geometria

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06/09/2023, 12:41 UNIP/Objetivo - Conteúdo Online
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 Módulo 01 - Introdução ao estudo da geometria
Matemática - 1º Bimestre - 2ª Série - Ensino Médio
1. Geometria plana
A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de pontos
de um plano. Quando dizemos que uma figura é plana, estamos afirmando que ela está totalmente contida num
plano.
O conjunto universo da geometria plana será, pois, o plano.
2. Ponto, reta e plano
São ideias primitivas, entes que não possuem definição. Conhecemos imagens de ponto como, por exemplo, a
ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens, pois não há
dimensão para ponto.
Analogamente, possuímos a intuição de reta e plano.
Representação gráfica
Notação
Costumam-se indicar:
a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ...
b) as retas com letras minúsculas r, s, t, ...
c) os planos com letras do alfabeto grego , , , ...
d) como dois pontos distintos determinam uma reta, pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
3. Semirreta
Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subconjuntos chamados semirretas.
O ponto A é origem das semirretas e pertence a ambas. Representa-se por e .

1 2
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A semirreta pode ser também indicada por dois pontos. indica a semirreta com origem A, que contém o ponto
B, e indica a semirreta com origem A, que contém o ponto C.
4. Segmento de reta
Podemos definir segmento de reta como sendo a intersecção de duas semirretas, cada uma contendo a origem da
outra.
Representa-se por AB.
Simbolicamente:
5. Medidas
Medida de um ente geométrico é um número real positivo, obtido pela comparação deste ente com um outro
escolhido como unidade. Ao escolhermos esta unidade, estamos estabelecendo um sistema de medidas.
A medida do segmento AB em centímetros é 5 e pode ser representada por:
AB = 5 cm ou med (AB) = 5cm
6. Congruência
O termo congruência não será definido. A ideia intuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão congruentes quando suas medidas forem iguais.
Para indicarmos a congruência entre dois entes geométricos utilizaremos o símbolo .
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7. Congruência de segmentos de reta
Dois segmentos de reta, AB e CD, serão congruentes se, e somente se, tiverem a mesma medida.
Simbolicamente:
8. Segmentos colineares
São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
Exemplos
AB, MN, AN, AM etc ...
9. Ponto médio de um segmento
M será ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M pertencer ao segmento AB e AM for congruente com
BM.
Assim:
10. Região convexa
Um conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S, o
segmento AB for subconjunto de S.
Assim,
 
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Quando existirem dois pontos A e B de S, de tal forma que AB não é um subconjunto de S, a região é dita côncava
ou não convexa.
Assim:
 
 
11. Ângulos
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem.
Simbolicamente:
 
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas e e são os lados do ângulo.
Notação
O ângulo determinado pelas semirretas e será indicado por:
r s ou B C ou 
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12. Região angular
Observe que o ângulo geralmente determina, no plano, três conjuntos:
a) pontos "interiores" (P; Q; R; ...)
b) pontos do ângulo (O; A; B; ...)
c) pontos "exteriores" (X; Y; Z; ...)
Região angular é a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos pontos
"interiores".
13. Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo vértice e pelo menos um lado em comum.
Os ângulos mÔr e rÔs são consecutivos, pois admitem o lado em comum.
 
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Os ângulos mÔr e rÔs são consecutivos, pois admitem o lado em comum.
14. Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quando a intersecção entre seus conjuntos de pontos "interiores" for
vazia.
Os ângulos mÔr e rÔs são adjacentes.
 
Observação
Dois ângulos adjacentes são sempre dois ângulos consecutivos, porém dois ângulos consecutivos nem sempre são
adjacentes.
15. Congruência de ângulos
Dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles têm mesma medida.
Simbolicamente:
16. Ângulo reto
Duas retas são chamadas concorrentes se, e somente se, elas possuírem um único ponto em comum.
Observe que duas retas concorrentes determinam quatro regiões angulares adjacentes.
Quando duas dessas regiões angulares adjacentes forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
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Observação
Quando duas retas r e s são concorrentes e determinam ângulos adjacentes congruentes, elas são chamadas
perpendiculares.
Simbolicamente r ^ s.
Exercícios Propostos
Nos exercícios de 1 a 4, represente graficamente os entes geométricos, apresentando sua notação:
1. Reta r determinada por dois pontos, A e B.
2. Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem origem no ponto A e contém o ponto B.
3. Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.
4. Ângulo de lados e e vértice O.
5. Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta
b) ângulo
c) região angular
d) circunferência
e) círculo
f) coroa circular
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6. É difícil saber se foram os egípcios ou os sumérios os primeiros a produzir escritos de natureza matemática. É
fato que os mais antigos documentos indubitavelmente matemáticos que chegaram até nós, são tabletes sumérios
de barro cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C., mas como os egípcios escreviam sobre papiros
facilmente degradáveis, eles podem ter produzido documentos ainda mais antigos e que se perderam. É preciso
lembrar, entretanto, que existem tabletes sumérios de cerca de 3500 a.C., quando ainda eram usados símbolos
anteriores aos cuneiformes, que já traziam registros numéricos. O sistema de numeração dos sumérios, depois
adotado e adaptado por seus sucessores, usava como base o número 60, de onde se origina a convenção que
empregamos até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a hora em 60 minutos e o minuto em 60 segundos (a
divisão do dia em 24 horas vem dos egípcios).
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2ª. ed. Livraria da Física.
Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60", faça os cálculos a seguir, associando-os com:
a) 45°13’
b) 12°40’
c) 104°53’37"
d) 23°12’17"
e) 24°01’17"
I) 83° 20’ 43" + 21° 32’ 54"
II) 41° 23’ – 17° 21’ 43"
III) 38° : 3
7. Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua
localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global)
com longitude de 124° 3’ 0" a leste do Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60".
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°.
d) 124,30°. 
e) 124,50°.
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
2. RESOLUÇÃO:
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3. RESOLUÇÃO:
4. RESOLUÇÃO:
5. RESOLUÇÃO:
a) convexa
b) não convexa
c) convexa
d) não convexa
e) convexa
f) não convexa
6.RESOLUÇÃO:
I)
Como 1’ 60", temos que.
83° 20’ 43" + 21° 32’ 54" = 104° 53’ 37"
Resposta: C
II)
 
Resposta: E
III) 
Logo, 38° : 3 = 12° 40’
Resposta: B
7. RESOLUÇÃO:
124° 3’ 0" = 124° + = 124° + = 124° + 0,05° = 124,05°
Resposta: B
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Professor: Antonio José Gonçalves
Aula: Introdução ao estudo da geometria
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Aula: Introdução ao estudo da geometria - Exercícios
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