CIRC_ELE_I_A07_2021 2

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 I
CIRCUITOS ELÉTRICOS I
1
Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati
edmarcio.belati@ufabc.edu.br
Aula 7
➢ Circuitos RC e RL
➢ Resposta a uma Função de Excitação 
Constante
➢ Exercícios
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2
CAPACITOR
O capacitor é um componente que armazena carga
elétrica num campo elétrico.
𝑖𝐶 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝐶
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
A capacitância ( 𝐶 ) é medida pelo
quociente da quantidade de carga (𝑄 )
armazenada pela diferença de potencial
(𝑣𝑐) que existe entre as placas.
𝐶 =
𝑄
𝑣𝑐
(𝐹)
O processo de carga e
descarga não é instantâneo
e depende do circuito,
fazendo com que a corrente
e a tensão não variem de
forma abrupta.
+q +q +q +q +q +q +q +q
-q -q -q -q -q -q -q -q
+
-
??
𝑖𝐶
𝑉𝑣𝑐
Chave - S
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R
C
+
-
V(t)
i(t)
V0
+
-
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC
Circuito RC sem fonte
Considere o circuito da figura 1,
onde se supõe que o capacitor
está inicialmente carregado e
fornecendo energia após a
chave ser aberta. Como a tensão
no capacitor não pode variar
abruptamente, então:
Figura 1: Circuito RC sem fonte.
0000 V)(v)(v)(v CCC ===
−+
t=0
No instante t=0 o interruptor é
aberto. A corrente total deixando o
nó no topo do diagrama deve ser
zero. Assim podemos escrever:
0=+ CR ii
dt
dv
CiC =
R
v
iR =
Como 
então:
0=+
dt
dv
C
R
v
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Dividindo a expressão por C:
Esta é uma equação diferencial
de 1° ordem. Para resolvê-la
dispõe-se os termos da
expressão da seguinte forma:
0=+
dt
dv
RC
v
dt
RCv
dv 1
−=
Integrando ambos os lados tem-
se:
 −= dtRCv
dv 1
resolvendo, 
k
RC
t
vln +−=
k é a constante de integração e 
é determinada pelas condições 
iniciais. Em 𝑡 = 0.
kVln)(vln == 00
Substituindo k
RC
t
V
v
lnVlnvln −==−
0
0
Sabendo que tem-se:xe
xln =
𝑣 𝑡 = 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑉0𝑒
−𝑡
𝑅𝐶
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC –
CONSTANTE DE TEMPO
Figura 2: Gráfico do fator de decaimento de tensão no 
circuito RC sem fonte em função do tempo, RC=100.
RC
t
C eV)t(v
−
= 0
A velocidade com que a
tensão diminui com o
passar do tempo é
expressa através de um
termo chamado constante
de tempo denotada pela
letra grega τ (tau).
A tensão no circuito será Voe
-1 [V], para t=τ e, portanto, a constante de
tempo de um circuito é o tempo necessário para que a resposta caia
por um fator de 1/e, ou seja, 36,8% do seu valor inicial.
RC
t
0c eV)t(v
−
=
)s(RC=
5
0 200 400 600 800
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
V
(t
)
0.367
0.135
 5
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A Tabela 1, mostra que em  = 5 o capacitor terá menos que 1% da
carga inicial. É considerado que o circuito atingiu o regime
permanente após transcorrido um tempo igual a 5 τ
Tempo (t) V(t) / V(0)
 0,36788
2 0,13534
3 0,04979
4 0,01832
5 0,00674
Tabela 1 – Tabela com dados do fator de 
decrescimento
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𝜏 = 𝑅𝐿 = 5 ∗ 0.01 = 0.05 (𝑠) 5𝜏 = 5 ∗ 0.05 = 0.25 (𝑠)
ANÁLISES DE CIRCUITOS RC
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Um indutor é um dispositivo
elétrico passivo que armazena
energia na forma de campo
magnético, normalmente
combinando o efeito de vários
loops da corrente elétrica. A
indutância (L) é a medida que
representa a capacidade que o
indutor tem de armazenar energia.
Henry (H) é uma grandeza física
associada aos indutores.
INDUTOR
Quando o indutor é percorrido por uma corrente
elétrica, a Lei de Faraday faz com que cargas
positivas se acumulem na entrada e negativas na
saída do indutor. Esse acumulo de carga
representa o armazenamento de energia.
dt
di
LvL =
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V0
R L
+
- +
-
VR VL
t=0
Supõe-se que o indutor da
figura 3 está fornecendo uma
corrente elétrica após a chave
ser aberta. Como a corrente no
indutor não pode variar
abruptamente, então:
Circuito RL sem fonte
Figura 3: Circuito RL sem fonte.
Aplicando LKT ao circuito da
figura 1, tem-se:
Como :
0000 I)(i)(i)(i ===
−+
0=+ RL vv
0=+ Ri
dt
di
L
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL
Dividindo por L e agrupando 
os termos:
dt
L
R
i
di
−=
i
dt
di
LvL = RivR =e
então:
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ou:
A tensão no indutor é:
L
Rt
eI)t(i
−
= 0
L
Rt
L eRI
dt
di
L)t(v
−
−== 0
 −= dtL
R
i
di
Calculando a integral indefinida 
de cada lado temos:
ou
k
L
Rt
iln +−=
K (constante de integração) é 
determinada pelas condições 
iniciais. Em t=0.
kIln)(iln == 00
Substituindo k
L
Rt
I
i
lnIlniln −==−
0
0
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RL –
CONSTANTE DE TEMPO
A partir do instante em
que o interruptor é
aberto, a corrente no
circuito decresce de
forma exponencial
conforme mostra a
Figura 2.
Figura 4: Gráfico do fator de decaimento da corrente no 
circuito RL sem fonte em função do tempo.
O valor de  seguindo
a definição feita na
aula anterior é:
L
Rt
eI)t(i
−
= 0
)s(
R
L
=
V0
R L
+
- +
-
VR VL
t=0
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𝜏 =
𝐿
𝑅
=
0.3
5
= 0.06 (𝑠) 5𝜏 = 5 ∗ 0.06 = 0.3 (𝑠)
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL –
CONSTANTE DE TEMPO
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Estudaremos circuitos que, além da energia armazenada nos
elementos armazenadores, são excitados por fontes de tensão ou
corrente independente e constante, ou função de excitação.
Considere o circuito da figura 5:
Figura 5: Circuito RC
Io
Ir Ic
v
-
+
t=0
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA
Para 𝑡 > 0 , a chave é
fechada e uma equação
nodal para o nó superior é
dada por:
Dividindo por C tem-se:
0RC Iii =+
ou equivalente.
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Circuitos com fonte – resposta forçada
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Reagrupando os termos 
resulta em:
Multiplicando os dois lados por
e integrando ambos
Resolvendo tem-se:
Constante de integração
os lados resulta:
Multiplicando por e (neperiano) 
resulta em:
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA
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Ordenando tem-se:
Onde A=ek é determinado 
pelas condições iniciais do 
circuito
Análise da solução:
Resposta natural (vn).
Tende a zero com o
passar do tempo
Resposta forçada (Vf).
Mantém constante com o
passar do tempo
Portanto:
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
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Obtendo “A”.
Em t=0+ temos que
v(0+) = v(0-) = V0.
Em t=0+, tem-se:
00 RIAV +=
00 RIVA −=
ou:
“A” é determinado pela tensão inicial
no capacitor e pela função de
excitação I0 .
Portanto:
RC
t
000 e)RIV(RIv
−
−+=
A corrente no capacitor para t>0 é:
RC
t
00 e
R
)RIV(
dt
dv
Ci
−−
−==
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA
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A corrente no resistor para t>0 pode ser determinada aplicando a 
LKC no circuito. Verifique que a chave está fechada para t>0.
CR iIi −= 0
RC
t
R e
R
RIV
Ii
−−
+=
)( 00
0
-
+
t >0
Io r v
Pela LKC: Logo:
EXCITAÇÃO CONSTANTE COM ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA
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iR
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Exercício 1 : Um capacitor de 1m F tem uma tensão inicial de 50V.
Determine o tempo 5 caso seja descarregado:
a) Através de um resistor de 100K ;
b) Através de um resistor de 1M .
Resp: a) 500 s; b) 5000 s
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Exercício 1 : Um capacitor de 1m F tem uma tensão inicial de 50V.
Determine o tempo 5 caso seja descarregado:
a) Através de um resistor de 100K ;
b) Através de um resistor de 1M .
Resp: a) 500 s; b) 5000 s
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS
𝜏 = 𝑅𝐶(𝑠)
5𝜏 = 5 100 ⋅ 103 1 ⋅ 10−3 =500 s
5𝜏 = 5 1 ⋅ 106 1 ⋅ 10−3 =5000 s
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Exercício 2 : Calcule v(t) e a constante de tempo  para o circuito abaixo,
dado que o circuito está em regime permanente cc imediatamente antes da
abertura da chave. Em t=0- , a chave está fechada.
Resp: v(t)=100e-t/10 V; =10 s
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V1
12V
R2
2kohm
R3
3kohm
R4
4kohm
C1
100uF
-
+
Vc(t)
t=0
-
+
V0(t)
Exercício 3 : Determine Vc(t) e V0(t) para t >0 no circuito mostrado a
seguir, se antes da chave ser aberta o circuito estava em regime
permanente.
Resp: Vc(t)=8e-1.667t V
V0(t)=2.66e-1.667t V
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Divisor de tensão:
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V1
100V
R2
75ohm
-
+
V(t)
t=0
R1
150ohm
L1
10H
R3
50ohm
i(t)
Exercício 4. Determine i(t) e v(t) no circuito RL da figura abaixo, assumindo
que esteja em regime permanente cc em t=0-?
)V(e100)t(v
)A(e2)t(i:spostaRe
t10
t10
−
−
−=
=
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS
Para t=0
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Exercício 5: Calcule v para t>0, se o circuito está em regime permanente
em t=0- da figura abaixo.
5uFv
-
+
t =0
10V
4 k Ω 2 k Ω
4V
t =0
Resp:10-6e-50t (V)
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Exercício 6: O circuito da figura ao lado está em regime permanente
em t=0-. Calcule i para t>0.
24 V
4 Ω
8 Ω
2 H
t =0
i
Resp:6-4e-2t (A)
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ANÁLISES DE CIRCUITOS RC - EXERCÍCIOS
𝜏 =
1
2
= 0.5 5𝜏 = 2.5 𝑠
Tempo de transição de 2 para 6 A.
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Exercício 1: Calcule v para t >0 se o circuito da figura a seguir está
em regime permanente t=0-.
4 A
24 Ω
4 Ω
24 V
8 Ω1/18 F
t=0
-
v
+
Resp:24-8e-3t (V)
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EXERCÍCIOS - EXTRAS
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Exercício 2. Considere o circuito da figura abaixo após a chave ser aberta
t>0. Qual a energia absorvida pelo resistor R quando o tempo se torna
infinito?
)J(LIspostaRe 20
2
1
=
Exercício 3: Em um circuito RL série, determine: 
a) A tensão no indutor para R = 200Ω, L = 40 mH e I0 = 10 mA;
b) L, se R= 10k Ω e  = 10 µs;
c) R, para que a corrente no indutor de 0,01 H se reduza a metade a cada
100 µs.
3,69)c);H(1,0)b);V(e2)a:spostaRe t5000−
EXERCÍCIOS - EXTRAS
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Exercício 4: Um circuito RL série tem um indutor de 1 H. Determine o valor
de R para que a energia armazenada se reduza à metade a cada 10 ms.
66,34spostaRe =
EXERCÍCIOS - EXTRAS
Exercício 5: O circuito da está no regime estacionário quando a
chave é fechada no instante t=0. Determine a tensão do
capacitor, v(t), para t ≥ 0.
Resposta: v(t) = 2 + e–2,5t V
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EXERCÍCIOS - EXTRAS
Exercício 6: O circuito da figura está no regime estacionário antes
que a chave seja fechada no instante t=0. A entrada do circuito é a
tensão da fonte de tensão, 12 V. A saída é a tensão do
capacitor, v(t). Determine v(t) para t > 0.
Resposta: v(t) = 6 − 2e–1,33t V
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Exercício 7: O circuito da figura está no regime estacionário antes 
que a chave seja aberta no instante t = 0. A entrada do circuito é a 
tensão da fonte de tensão, 12 V. A saída é a corrente no indutor, i(t). 
Determine i(t) para t > 0.
Resposta: i(t) = 1 + e–0,5t A
EXERCÍCIOS - EXTRAS
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Exercício 8: O circuito da figura está no regime estacionário
quando a chave é fechada no instante t = 0. Determine a tensão
no capacitor, v(t), para t > 0.
EXERCÍCIOS - EXTRAS
Resposta: v(t) = −6 + 18e–6,67t V
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1ohm
-
+
V(t)
t=0
2H
4ohm
i(t)
I1
5A
12ohm
Exercício 9: O circuito abaixo está em regime permanente em t = 0-. Em t=0 
a chave é fechada. Calcule i(t) e v(t) para t >0.
ANÁLISES DE CIRCUITOS RL – EXERCÍCIO
t2t2 e12)b);A(e4)a:spostaRe −− −
37
Edmarcio BelatiU
F
A
B
C
 /E
n
g
. d
e
 E
n
e
rg
ia
 –
C
irc
u
ito
s
 E
lé
tric
o
s
 I
38
ATIVIDADE 06
Atividade individual valendo 0,2 pontos na prova P1.
Quem entregar a atividade completa até dia 01/07 (23:59 h) terá um
acréscimo na nota da P1 de 0,25 pontos (precisa estar correta).
Resolver os exercícios complementares 1, 2, 3, 6 e 8. Entregar o pdf
contendo os passos até a solução. Resolver à mão. Entrega via e-mail.
Enviar para circuitos1.trab@gmail.com com a descrição (CE-
2021_2 – nome do responsável – atividade06).