Transformações lineares

Prévia do material em texto

TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES
Definição
■ Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) 
linear é uma função de V em W, T: 𝑉 → 𝑊 , que satisfaz as seguintes 
condições:
■ i) Quaisquer que sejam u e v em V 
𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
■ ii) Quaisquer que sejam 𝑘 ∈ ℝ e 𝑣 ∈ 𝑉 ,
𝑇 𝑘𝑣 = 𝑘𝑇(𝑣)
Domínio, contradomínio e imagem 
de T: ℝ𝑛 → ℝ𝑚
Teorema
■ Seja T: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 uma transformação linear. Então existe uma única matriz 
A, denominada matriz canônica da transformação linear, tal que:
𝑇 𝑣 = 𝐴𝑣 para todo v ∈ ℝ 𝑛 .
De fato, A é a matriz mx ncuja j-ésimacoluna é o vetor 𝑇(𝑒 𝑗 ), em que 𝑒𝑗
é a j-ésimacoluna da matriz identidade em ℝ𝑛 :
𝐴 = 𝑇(𝑒 1 ) … 𝑇(𝑒 𝑛 )
Exemplo 1: Encontre a matriz canônica 
A da dilatação T: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇 𝑣 = 3𝑣 , 
v ∈ ℝ 2
𝑇 𝑒 1 = 3𝑒 1 =
3
0 e 𝑇 𝑒 2 = 3𝑒 2 =
0
3
𝐴 = 3 00 3
Dilatação - No exemplo da planilha, 
T: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇 𝑣 = 3𝑣 , v ∈ ℝ 2
0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 0
0 5 5 3,5 3,5 5 5 0 0 1,5 1,5 0 0
H original=Matriz Transformação (A) = 3 0
0 3
H com a 
transformação 0 0 3 3 6 6 9 9 6 6 3 3 0
0 15 15 10,5 10,515 15 0 0 4,5 4,5 0 0
Exemplo 2. Encontre a matriz Bda 
contração T: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇 𝑣 = 12 𝑣
Contração 𝑇 𝑣 = 12 𝑣 ou 𝑇 𝑣 =
1
2 0
0 12
𝑣 ,
T: ℝ2 → ℝ2
H original = 0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 0
0 5 5 3,5 3,5 5 5 0 0 1,5 1,5 0 0
Matriz 
Transforma
ção (B) 0,5 0
0 0,5
H com a 
transformação 0 0 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 1 1 0,5 0,5 0
0 2,5 2,5 1,75 1,75 2,5 2,5 0 0 0,75 0,75 0 0
Exemplo 3: Cisalhamento verticalT: ℝ2 → ℝ2
𝑇 𝑣 = 1 02 1 𝑣
■ A) O que significam esses números no exemplo da letra H?
Exemplo 3: Cisalhamento vertical T: ℝ2 →
ℝ2 𝑇 𝑣 = 1 02 1 𝑣
■ B) Mostre que esse cisalhamento é uma transformação linear.
i) 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
ii) 𝑇 𝑘𝑣 = 𝑘𝑇 𝑣
𝑢 = 𝑥𝑢𝑦𝑢 , v=
𝑥𝑣
𝑦𝑣
i) 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 1 02 1 𝑢 + 𝑣 =
1 0
2 1
𝑥𝑢
𝑦𝑢 +
𝑥𝑣
𝑦𝑣 =
1 0
2 1
𝑥𝑢
𝑦𝑢 +
1 0
2 1
𝑥𝑣
𝑦𝑣 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
ii) 𝑇 𝑘𝑣 = 1 02 1 𝑘𝑣 =
1 0
2 1 𝑘
𝑥𝑣
𝑦𝑣 =
1 0
2 1
𝑘𝑥 𝑣
𝑘𝑦 𝑣
= 1𝑘𝑥 𝑣 + 0𝑘𝑥 𝑣2𝑘𝑥 𝑣 + 1. 𝑘𝑥 𝑣
= 𝑘 1𝑥 𝑣 + 0𝑥 𝑣2𝑥 𝑣 + 1𝑥 𝑣
= 𝑘𝑇 𝑣
Exemplo 4: Rotação de um ângulo 
𝜑 em torno da origem. T: ℝ2 → ℝ2 .
■ Matriz dessa transformação: 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
Exercícios Atividade 5
■ Resolução
Transformação em qualquer base
■ Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, A = 𝑣 1 , … , 𝑣𝑛 base de V e B =
𝑤1 , … , 𝑤𝑛 base de W. Então 𝑇 𝑣 1 , … T(𝑣𝑛 ) são vetores de W e a transposta 
da matriz de coeficientes desse sistema, denotada 𝑇𝐵𝐴 será chamada de 
matriz de T em relação às bases A e B:
𝑇𝐵𝐴 = 𝑇(𝑣 1 ) … 𝑇(𝑣 𝑛 )
Ex 1 – Atividade 6
■ Seja T: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 . Sejam 𝐴 =
1,1,1 , 1,1,0 , (1,0,0) e 𝐵 = 1,3 , 1,4 . Encontre 𝑇𝐵𝐴, ou seja, a matriz de 
transformação linear do enunciado, associada às bases A e B.
𝐵 = 1,3 , 1,4
■ 𝑇 1,1,1 = 2,5 = 3 1,3 − 1 1,4
■ 𝑇 1,1,0 = 3,1 = 11 1,3 − 8 1,4
■ 𝑇 1,0,0 = 2,3 = 5 1,3 − 3(1,4)
𝑇𝐵𝐴 = 𝑇(𝑣 1) 𝑇(𝑣 2) 𝑇(𝑣 3 )
𝑇𝐵𝐴 =
3 11 5
−1 −8 −3
Ex 2 – Atividade 6
■ Seja T: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 . Sejam 𝐴 =
1,0,0 , 0,1,0 , (0,0,1) e 𝐵 = 1,0 , 0,1 . Encontre 𝑇𝐵𝐴, ou seja, a matriz de 
transformação linear do enunciado, associada às bases A e B – nesse caso 
podemos chamar somente de T. 
Provando que é transformação linear. 
■ Mostre que o cisalhamento Cisalhamento vertical T: ℝ2 → ℝ2 𝑇 𝑣 = 1 02 1 𝑣 é 
uma transformação linear.
i) 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
ii) 𝑇 𝑘𝑣 = 𝑘𝑇 𝑣
𝑢 = 𝑥𝑢𝑦𝑢 , v=
𝑥𝑣
𝑦𝑣
i) 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 1 02 1 𝑢 + 𝑣 =
1 0
2 1
𝑥𝑢
𝑦𝑢 +
𝑥𝑣
𝑦𝑣 =
1 0
2 1
𝑥𝑢
𝑦𝑢 +
1 0
2 1
𝑥𝑣
𝑦𝑣 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)
ii) 𝑇 𝑘𝑣 = 1 02 1 𝑘𝑣 =
1 0
2 1 𝑘
𝑥𝑣
𝑦𝑣 =
1 0
2 1
𝑘𝑥 𝑣
𝑘𝑦 𝑣
= 1𝑘𝑥 𝑣 + 0𝑘𝑥 𝑣2𝑘𝑥 𝑣 + 1. 𝑘𝑥 𝑣
= 𝑘 1𝑥 𝑣 + 0𝑥 𝑣2𝑥 𝑣 + 1𝑥 𝑣
= 𝑘𝑇 𝑣
Translação – contra exemplo de 
transformação linear
■ Mostre que a translação T: ℝ2 → ℝ2 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) não é uma 
transformação linear (a menos que a = b= 0).
■ Decorre da definição que uma transformação linear𝑇: 𝑉 → 𝑊 leva o vetor nulo
de V no vetor nulo de W, ou seja, se0 ∈ 𝑉, 𝑇 0 = 0 ∈ 𝑊.
■ Dessa forma, observamos que na translação acima 
■ Se a, b ≠ 0 ֜ 𝑇 0 = 𝑇 0,0 = 0 + 𝑎, 0 + 𝑏 = 𝑎, 𝑏 ≠ 0,0 ≠ 0
■ Observação: 𝑇 0 = 0 não é o suficiente para que T seja linear.
Operador linear
É uma transformação linear com domínio igual ao contradomínio.
Fica como tarefa assíncrona de 21/12 assistir o vídeo da aula 10 – Univesp
https://www.youtube.com/watch?v=wm4Vlu9LFCg&list=PLxI8Can9yAHdUtW
DKtTA9AmuICNyX9EIr&index=11
Bibliografia
■ Boldrini, J. L. [et al] Álgebra Linear. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1986.
■ Lay, D. C.; Lay, J. J., McDonald J. Álgebra linear e suas aplicações. 5 ed, 
Rio de Janeiro: LTC, 2018.
	Página 1
	Página 2
	Página 3
	Página 4
	Página 5
	Página 6
	Página 7
	Página 8
	Página 9
	Página 10
	Página 11
	Página 12
	Página 13
	Página 14
	Página 15
	Página 16
	Página 17
	Página 18
	Página 19
	Página 20
	Página 21
	Página 22
	Página 23