Algebra Linear_material

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introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), o desenvolvimento do conhecimento sobre matrizes data do século XIX, no entanto,
representações de números semelhantes às matrizes modernas apareceram na Era Cristã, por meio
dos matemáticos Arthur Cayley, Augustin-Louis Cauchy, e entre outros.
Atente-se que, atualmente, as planilhas eletrônicas de computador, podem realizar cálculos
demasiadamente grandes, antes realizados à mão, de forma morosa. Tais planilhas, de modo geral,
são formadas por tabelas que tem a capacidade de armazenar os dados utilizados na resolução de
problemas.
ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
MATRIZESMATRIZES
Autor: Me. Rebecca Manesco Paixão
Revisor : E la ine Stur ion
IN IC IAR
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No entanto, é importante que você, caro(a) aluno(a), saiba interpretar o resultado, e entender como
é que ele é obtido. Dessa forma, na presente unidade, introdutória à Álgebra Linear, veremos a
de�nição de matrizes, os tipos de matrizes existentes e as operações que podem ser feitas.
Também, aprenderemos a obter a solução de sistemas lineares, a partir da utilização de matrizes.
Vamos lá?
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As matrizes são informações colocadas em forma de tabelas, constituídas por linhas e colunas, as
quais são utilizadas na organização de dados, e também na solução de sistemas lineares. A de�nição
dada por Anton e Rorres (2012, p. 26) é a de que “é um agrupamento retangular de números.
Dizemos que os números nesse agrupamento são as entradas da matriz”.
Dessa forma, caro(a) aluno(a), as matrizes são construídas com ‘‘ ” linhas e “ ” colunas, tendo seus
elementos limitados por parênteses ou colchetes. Como por exemplo, a matriz de ordem por é
uma tabela de números que encontram-se dispostos em linhas, cujo índice varia de 1 a
, e colunas, cujo índice  varia de 1 a :
Atente-se caro(a) aluno(a), que quando desejamos uma notação mais compacta, então, a matriz
pode ser escrita como .
Exemplo 1.1: a matriz é uma matriz de dimensão tal que seus elementos
são: ,   , e .
Classi�icação das Matrizes
Caro(a) aluno(a), veremos a seguir que algumas matrizes recebem denominações especiais:
Matriz Linha: caracteriza-se por uma matriz formada por uma única linha, sendo também
denominada de vetor-linha.
Exemplo 1.2: .
 é denominada matriz linha, tendo dimensão .
Matriz Coluna: caracteriza-se por uma matriz formada por uma única coluna.
MatrizesMatrizes
i j
m n
m × n m i
m (1, 2, 3, 4, . . . ,m) n j n (1, 2, 3, 4, . . . ,n)
A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
a11
a21
⋮
am1
a12
a22
⋮
am2
…
…
⋱
…
a1n
a2n
⋮
amn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
A = [ ]aij m×n
B = [ ]6
3
2
−1
2 × 2
= 6b11 = −3b12 = 3b21 = 0b22
A = [ ]2 4 6
A 1 × 3
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Exemplo 1.3: 
 é denominada matriz coluna, tendo dimensão .
Matriz Quadrada: caracteriza-se por uma matriz formada pelo mesmo número de linhas
e de colunas, tal que .
Exemplo 1.4: 
  é denominada matriz quadrada, tendo dimensão .
Matriz Retangular: caracteriza-se por uma matriz retangular que possui mais linhas do
que colunas, ou vice-versa, tal que .
Exemplo 1.5: 
  é denominada matriz retangular, tendo dimensão .
Matriz Nula ou matriz Zero: caracteriza-se por uma matriz quadrada formada por
elementos iguais a zero. Comumente, indica-se a matriz por zero.
Exemplo 1.6: 
  é denominada matriz nula, tendo dimensão .
Matriz Diagonal: caracteriza-se por uma matriz quadrada, cujos elementos 
quando .
Exemplo 1.7: 
  é denominada matriz diagonal, tendo dimensão .
Matriz Escalar: caracteriza-se por uma matriz diagonal, na qual todos os elementos da
diagonal principal são iguais entre si.
Exemplo 1.8: 
  é denominada matriz diagonal, tendo dimensão .
Matriz Unidade ou matriz Identidade: caracteriza-se por uma matriz escalar de qualquer
dimensão, que possui os elementos  para . Normalmente, é indicada por .
Exemplo 1.9: 
B = [ ]2
−4
B 2 × 1
m = n
C = [ ]1
3
2
4
C 2 × 2
m ≠ n
D =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
0
3
0
7
−1
4
1
0
2
5
−3
−2
⎤
⎦
⎥⎥⎥
D 4 × 3
0 = [ ]0
0
0
0
0 2 × 2
= 0aij
i ≠ j
E =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
2
0
0
0
−1
⎤
⎦
⎥
E 3 × 3
F =
⎡
⎣
⎢
4
0
0
0
4
0
0
0
4
⎤
⎦
⎥
F 3 × 3
= 1aij i = j I
I =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎤
⎦
⎥
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  é denominada matriz identidade, tendo dimensão .
IMPORTANTE: Atente-se caro(a) aluno(a), que em álgebra linear, a diagonal principal de uma matriz
 consiste  da coleção das entradas , em que é igual a . A diagonal principal de uma matriz
quadrada une seu canto superior esquerdo ao canto inferior direito, enquanto que a diagonal
secundária une os demais cantos. Seja a matriz quadrada , de dimensão , então:
Os elementos em que constituem a diagonal principal: , e ; enquanto que os
elementos em que constituem a diagonal secundária: , e .
Matriz Oposta: denomina-se matriz oposta aquela que é obtida trocando os sinais dos
elementos da matriz.
Exemplo 1.10: seja a matriz , então sua oposta é dada por 
Igualdade de Matrizes
Na igualdade de matrizes, os elementos das linhas e das colunas tem uma relação biunívoca, ou
seja, duas matrizes são ditas iguais quando os elementos que ocupam as mesmas posições
possuem o mesmo valor, tal que sejam as matrizes e , de mesma dimensão,
ambas serão iguais, se e somente se, .
Exemplo 1.11: sejam as matrizes e , temos que e são
matrizes iguais, tendo ambas dimensões .
Adição e Subtração de Matrizes
Sejam as matrizes e , ambas de dimensão , então a matriz formada pela
soma de  e é dada pela matriz , de�nida por:
Analogamente, a matriz formada pela subtração de  e é dada pela matriz , de�nida por:
Atente-se caro(a) aluno(a) que a soma e a subtração de matrizes só pode ser realizada quando
ambas as matrizes tiverem a mesma dimensão, somando-se os elementos correspondentes ou
subtraindo-se os elementos correspondentes, respectivamente.
I 3 × 3
A Aij i j
A 3 × 3
aij i = j a11 a22 a33
aij i + j = n + 1 = 3 + 1 a13 a22 a31
G = [ ]2
4
−1
1
−G = [ ]−2
−4
1
−1
P = [ ]pij Q = [ ]qij
=pij qij
P = [ ]3
4
4
0
−2
1
Q = [ ]3
4
4
0
−2
1
P Q
2 × 3
A = [ ]aij B = [ ]bij m × n
A B Cm×n
= +cij aij bij
A B Dm×n
= −dij aij bij
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Exemplo 1.12: sejam as matrizes  e , então a soma será:
E a subtração será:
Propriedades da adição de matrizes
Na adição de matrizes, algumas propriedades se destacam. Sejam as matrizes , e de mesma
dimensão, então:
Produto de uma Matriz por um Escalar
Seja um escalar real, então o produto de uma matriz por esse escalar, será uma
matriz , tal que:
Exemplo 1.13: seja a matriz  e o escalar , então o produto será:
Propriedades do produto de uma matriz por um escalar
Sejam e escalares reais,  e as matrizes e , então são válidas as seguintes propriedades:
A = [ ]0
4
1
0
2
1
B = [ ]4
3
2
5
3
9
C = A + B
C = [ ] + [ ]0
4
1
0
2
1
4
3
2
5
3
9
C = [ ] = [ ]0 + 4
4 + 3
1 + 2
0 + 5
2 + 3
1 + 9
4
7
3
5
5
10
D = A − B
D = [ ] − [ ]0
4
1
0
2
1
4
3
2
5
3
9
D = [ ] = [ ]0 − 4
4 − 3
1 − 2
0 − 5
2 − 3
1 − 9
−3
1
−1
−5
−1
−8
A B C
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A = A
−A + A = A − A = 0
A + B = B + A
k A = $[ ]aij m×n
B = [ ]bij m×n
= k ⋅bij aij
A = [ ]0
2
1
3
k = 5 kA
B = 5 ⋅ A
B = 5 ⋅ [ ]0
2
1
3
B = [ ] = [ ]5 ⋅ 0
5 ⋅ 25 ⋅ 1
5 ⋅ 3
0
10
5
15
α β A B
(αβ)A = α (βA)
(α + β)A = αA + βA
α (A + B) = αA + αB
1A = A
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Produto de uma Matriz por Outra
Seja a matriz de dimensão e a matriz de dimensão , então o
produto de e , denotado por , é a matriz , de�nida por:
Atente-se caro(a) aluno(a), que a multiplicação ou o produto de duas matrizes só pode ser realizada
quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo 1.14: sejam a matrizes  e , então o produto 
será:
Atente-se caro(a) aluno(a) que a multiplicação de por é dada pela matriz .
Neste caso, o produto também poderá ser calculado, e será dado por:
Atente-se caro(a) aluno(a) que a multiplicação de por é dada pela matriz . Isto
signi�ca que em geral, os produtos e são diferentes, de modo que a multiplicação de duas
matrizes não é comutativa.
Propriedades do produto de uma matriz por outra
Seja um escalar real, e as matrizes , e , então são válidas as seguintes propriedades:
, em geral
Transposição de Matrizes
A = [ ]aij m × p B = [ ]bij p × n
A B AB Cm×n
( ) = ⋅ + ⋅ +. . . + ⋅ = ⋅cij ai1 b1j ai2 b2j aip bpj ∑
p
k=1 aik bkj
A = [ ]0
3
−1
0
1
2
B =
⎡
⎣
⎢
5
3
−2
4
6
1
⎤
⎦
⎥ A ⋅ B
C = A ⋅ B
C = [ ] ⋅0
3
−1
0
1
2
⎡
⎣
⎢
5
3
−2
4
6
1
⎤
⎦
⎥
C = [ ] = [ ]
0 ⋅ 5 + (−1) ⋅ 3 + 1 ⋅ (−2)
3 ⋅ 5 + 0 ⋅ 3 + 2 ⋅ (−2)
0 ⋅ 4 + (−1) ⋅ 6 + 1 ⋅ 1
3 ⋅ 4 + 0 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1
−5
11
−5
14
A2×3 B3×2 C2×2
B ⋅ A
D = B ⋅ A
D = ⋅ [ ]
⎡
⎣
⎢
5
3
−2
4
6
1
⎤
⎦
⎥
0
3
−1
0
1
2
D = =
⎡
⎣
⎢
5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3
3 ⋅ 0 + 6 ⋅ 3
(−2) ⋅ 0 + 1 ⋅ 3
5 ⋅ (−1) + 4 ⋅ 0
3 ⋅ (−1) + 6 ⋅ 0
(−2) ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0
5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2
3 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2
(−2) ⋅ 1 + 1 ⋅ 2
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
12
18
3
−5
−3
2
13
15
0
⎤
⎦
⎥
B3×2 A2×3 D3×3
AB BA
α A B C
(AB)C = A (BC)
(A + B)C = AC + BC
C (A + B) = CA + CB
(αA)B = A (αB) = α (AB)
AB ≠ BA
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Seja a matriz de ordem , então a matriz transposta, denotada por , possui ordem
, e será resultante da troca das linhas com as colunas de .
Exemplo 1.15: seja a matriz , então sua transposta será:
Propriedades do produto de uma matriz por outra
Seja um escalar real, e as matrizes e , então são válidas as seguintes propriedades:
praticar
Vamos Praticar
É possível realizar a operação de multiplicação entre matrizes, desde que o número de colunas em uma
matriz seja igual ao número de linhas da outra matriz. Dessa forma, a matriz resultante terá o mesmo
número de linha da primeira matriz, e o mesmo número de colunas da segunda matriz. Sabendo disso,
sejam as matrizes e , assinale a alternativa que contenha :
a) A multiplicação não é possível
b) 
c) 
d) 
e) 
A m × n AT
n × m A
A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1
0
−4
1
2
−1
2
3
⎤
⎦
⎥⎥⎥ A
T
= [ ]AT 1
2
0
−1
−4
2
1
3
α A B
(A + B)T
T T
= α(αA)T AT
= A( )AT
T
=(AB)T BTAT
A = [ ]2
4
3
6
B = [ ]1
2
3
1
0
1
A ⋅ B
A ⋅ B
A ⋅ B = [ ]3
6
9
18
8
16
A ⋅ B = [ ]3
6
8
18
A ⋅ B = [ ]8
16
9
18
3
6
A ⋅ B =
⎡
⎣
⎢
3
6
18
8
15
12
9
12
7
⎤
⎦
⎥
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Caro(a) aluno(a), o determinante de uma matriz é um número real, indicado por .
Ordem de um Determinante
Denomina-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. À título
ilustrativo, se a matriz é de ordem 3, então, o determinante também será de ordem 3.
A Representação do Determinante de uma
Matriz A 
A representação do determinante de uma matriz , que será designado por , faz-se de
maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais, tal que:
Atente-se caro(a) aluno(a) que o cálculo do determinante de qualquer matriz só será possível se a
matriz for quadrada, ou seja, se possuir o mesmo número de linhas e colunas.
É importante destacar que o cálculo do determinante difere de acordo com a ordem da matriz,
como segue.
Determinante de Matriz de Ordem 1
Na matriz de ordem 1, o determinante é o próprio elemento da matriz.
Exemplo 1.16: seja a matriz , então 
Determinante de Matriz de Ordem 2
O determinante das matrizes quadradas de ordem é calculado a partir da diferença da
multiplicação dos elementos da diagonal principal pela secundária, tal que:
DeterminantesDeterminantes
A detA
A detA
detA =
∣
∣
∣
∣
∣
a11
⋮
an1
…
⋱
…
a1n
⋮
ann
∣
∣
∣
∣
∣
A = [1] detA = 1
2 × 2
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Exemplo 1.17:
Determinantes de Matriz de Ordem 3
O cálculo do determinante das matrizes quadradas de ordem é feito da seguinte forma:
Na prática, a fórmula pode ser obtida a partir de dois modos:
a) Desenvolvimento do determinante por uma linha:
Ou
3 × 3
detA =
∣
∣
∣
∣
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
∣
∣
∣
∣
= ( ⋅ ⋅ ) + ( ⋅ ⋅ ) + ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅ ⋅a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a3
detA = ⋅ ( ⋅ − ⋅ ) − ⋅ ( ⋅ − ⋅ ) + ⋅ ( ⋅ − ⋅ )a11 a22 a33 a23 a32 a12 a21 a33 a23 a31 a13 a21 a32 a22 a31
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b) Regra de Sarrus, que funciona da seguinte forma:
Primeiramente, copiamos as colunas um e dois da matriz para o lado direito da matriz mesma, tal
que:
E, posteriormente fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para
o lado direito, seguindo as setas abaixo:
Para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+);
para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos
(-). Isso implica que:
Exemplo 1.18: seja a matriz , segundo a regra de Sarrus, devemos copiar a
primeira e a segunda coluna de A para o lado direito:
detA = ⋅ − ⋅ + ⋅a11
∣
∣
∣
a22
a32
a23
a33
∣
∣
∣ a12
∣
∣
∣
a21
a31
a23
a33
∣
∣
∣ a13
∣
∣
∣
a21
a31
a22
a32
∣
∣
∣
A
detA = ( ⋅ ⋅ ) + ( ⋅ ⋅ ) + ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅ ⋅ ) − ( ⋅a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a21 a21 a33 a13 a
A =
⎡
⎣
⎢
1
2
2
3
5
1
0
1
3
⎤
⎦
⎥
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Seguindo o sentido das setas e obedecendo aos sinais, podemos chegar ao determinante:
Determinante para Matrizes de Ordem 4 ou Superior
Podemos fazer o cálculo do determinante de uma matriz de dimensão igual ou superior a ,
usando teorema de Laplace. A aplicação do teorema de Laplace pode ser realizada em matriz de
ordem , com , no entanto, em matrizes de ordem e , são mais simples para
calcular. Para entender o teorema de Laplace precisamos conhecer alguns conceitos e
procedimentos necessários.
Menor Complementar (Dij)
De�ne-se como menor complementar o determinante tirado de uma matriz quadrada, de modo que
para calculá-lo é preciso eliminar uma linha e uma coluna da matriz. Logo, o menor complementar é
de�nido como o determinante da matriz .
Exemplo 1.19: Seja a matriz , para encontrarmos e , fazemos:
Para , eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento :
Logo, chegamos a matriz , de modo que para encontrarmos basta calcularmos o
:
Para encontrarmos , eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento :
detA = (1 ⋅ 5 ⋅ 3) + (3 ⋅ 1 ⋅ 2) + (0 ⋅ 2 ⋅ 1) − (0 ⋅ 5 ⋅ 2) − (1 ⋅ 1 ⋅ 1) − (3 ⋅ 2 ⋅ 3) = 15 + 6 + 0 − 0 − 1 − 1
4 × 4
n × n n > 1 2 × 2 3 × 3
Dij
A =
⎡
⎣
⎢
1
2
2
3
5
1
0
1
3
⎤
⎦
⎥ D11 D21
D11 a11
B = [ ]5
1
1
3
D11
detB
D21 a21
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Assim, obtemos a matriz , de modo que para encontrarmos basta calcularmos o
:
Cofator ou Complemento Algébrico (Aij)
Denominamos cofator ou complemento algébrico de um elemento , para matrizes de ordem ,
isto é, matrizes quadradas, um número , tal que:
Em que e são os índices do elemento em questão, e é o determinante da matriz, resultante
da eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.
Exemplo 1.20: Seja a matriz , para encontrarmos e , fazemos:
O cofator de será:
Por meio da fórmula vista anteriormente:
C = [ ]3
1
0
3
D21
detC
aij n
Aij
= ⋅Aij (−1)
i+j
Dij
i j Dij
A =
⎡
⎣
⎢
1
2
2
3
5
1
0
1
3
⎤
⎦
⎥ A22 A13
A13
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Teorema de Laplace
Caro(a) aluno(a), a partir do teorema de Laplace, podemos encontrar o determinante de uma matriz
quadrada A, seguindo os seguintes passos:
1. Escolher aleatoriamente uma linha ou uma coluna; 
2. Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelos seus cofatores; 
3. O determinante de A será o resultado encontrado no item 2.
Exemplo 1.21: seja a matriz quadrada , devemos escolher a primeira linha,
pois contém mais 0 (zeros), e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos.
Dessa forma, multiplicamos os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:
Calculando os cofatores para os elementos e :
A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1
2
2
−1
0
1
3
1
2
1
0
2
0
1
1
2
⎤
⎦
⎥⎥⎥
detA = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14
= 1 ⋅ ⋅ + 0 ⋅ ⋅ + 2 ⋅ ⋅ + 0 ⋅ ⋅(−1)1+1 D11 (−1)
1+2
D12 (−1)
1+3
D13 (−1)
1+4
D14
= + 2D11 D13
D11 D13
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Para , removendo a linha e coluna do elemento:
Chegamos a matriz . Calculando o determinante segundo a regra de Sarrus:
Para , desconsiderando a linha e coluna do elemento:
Chegamos a matriz . Calculando o determinante segundo a regra de Sarrus:
D11
B =
⎡
⎣
⎢
1
3
1
1
0
2
1
1
2
⎤
⎦
⎥
detB = (1 ⋅ 0 ⋅ 2) + (1 ⋅ 1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 3 ⋅ 2) − (1 ⋅ 0 ⋅ 1) − (1 ⋅ 1 ⋅ 2) − (1 ⋅ 3 ⋅ 2)
= 0 + 1 + 6 − 0 − 2 − 6 = −1
D13
C =
⎡
⎣
⎢
2
2
−1
1
3
1
1
1
2
⎤
⎦
⎥
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Radio 
Radio 
Radio 
Portanto, . Isso implica que .
Propriedades dos Determinantes
O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta:
Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante será igual à zero
Caso existam duas �las paralelas, iguais ou proporcionais, o determinante será igual à zero
O determinante do produto de um número real por uma matriz é igual ao produto de
 elevado a , onde é o número de linhas de , pelo determinante de , tal que:
Se os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o
produto dos elementos da diagonal principal
Teorema de Binet: Seja e matrizes quadradas de ordem , o determinante do
produto de por é igual ao produto dos determinantes de e 
praticar
Vamos Praticar
Em nossos estudos, vimos que para calcularmos o cofator de um determinado elemento de uma matriz
quadrada de ordem , com , devemos utilizar a fórmula: , cujos e são os
índices do elementos em questão, e é o determinante da matriz resultante da eliminação das linhas e
colunas para o elemento escolhido. Seja a matriz , assinale a alternativa que contenha 
:
a) 
b) 
c) 
detC = (2 ⋅ 3 ⋅ 2) + (1 ⋅ 1 ⋅ (−1)) + (1 ⋅ 2 ⋅ 1) − (1 ⋅ 3 ⋅ (−1)) − (2 ⋅ 1 ⋅ 1) − (1 ⋅ 2 ⋅ 2)
= 12 − 1 + 2 + 3 − 2 − 4 = 10
+ 2 ⋅ = −1 + 2 ⋅ 10 = −1 + 20 = −19D11 D13 detA = −19
A
detA = detAT
k A
k n n A A
det(k ⋅ A) = ⋅ detAkn
A B n
A B A B
aij
A n n > 1 = ⋅Aij (−1)
i+j
Dij i j
Dij
A =
⎡
⎣
⎢
1
2
2
0
1
3
2
1
0
⎤
⎦
⎥
A23
= −3A23
= −1A23
= 0A23
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Radio 
Radio 
d) 
e) 
= 1A23
= 3A23
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Caro(a) aluno(a), a inversão de matrizes só pode ser realizada com matrizes quadradas, ou seja, com
matrizes que tenham o mesmo número de linhas e de colunas. Assim, seja uma matriz quadrada,
se existir uma matriz quadrada , de mesma dimensão, que satisfaça à condição: 
Diremos que é inversa de , e será representada por , tal que:
Exemplo 1.22: sejam as matrizes e , temos que é inversa de 
(ou é inversa de ), uma vez que:
Exemplo 1.23: seja a matriz , para encontrarmos a sua inversa, devemos fazer:
Isto nos leva aos seguintes sistemas:
Isso implica que:
Inversão de MatrizesInversão de Matrizes
A
B
A ⋅ B = B ⋅ A = I
B A A−1
A ⋅ = ⋅ A = IA−1 A−1
A = [ ]8
3
5
2
B = [ ]2
−3
−5
8
A B
B A
A ⋅ B = B ⋅ A = I[ ] ⋅ [ ] = [ ] ⋅ [ ] = [ ]8
3
5
2
2
−3
−5
8
2
−3
−5
8
8
3
5
2
1
0
0
1
A = [ ]−5
7
−3
4
A ⋅ = IA−1
[ ] ⋅ [ ] = [ ]−5
7
−3
4
a
c
b
d
1
0
0
1
[ ] = [ ]−5a − 3c
7a + 4c
−5b − 3d
7b + 4d
1
0
0
1
{−5a − 3c = 1
7a + 4c = 0
{−5b − 3d = 0
7b + 4d = 1
a = 4
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Portanto, a matriz inversa é dada por:
Caro(a) aluno(a), de acordo com Steinbruch e Winterle (p.231-232), para a obtenção da inversa de
uma matriz, também podemos utilizar a regra prática. Seja uma matriz , para obtermos ,
podemos permutar “os dois elementos da diagonal principal, trocando os sinais dos dois elementos
da diagonal secundária e dividindo os quatro elementos de A por ”. Assim, seja a matriz
, a mesma só será invertível se , caso em que a inversa é dada por:
.
Exemplo 1.24:
Então, seguindo os passos descritos anteriormente, temos que 
Propriedades da matriz Inversa
Seja o escalar , e as matrizes e , então satisfaz as seguintes propriedades:
b = 3
c = −7
d = −5
A−1
= [ ]A−1 4
−7
3
−5
A2×2 A
−1
detA = n
A = [ ]a
c
b
d
ad − bc ≠ 0
= [ ]A−1 1
ad−bc
d
−c
−b
a
= [ ]A−1
4
10
− 310
− 610
7
10
k A B
= +(A + B)−1 A−1 B−1
=(kA)−1 1
k
A−1
= A( )A−1
−1
= II−1
=(AB)−1 B−1A−1
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Matrizes e Criptogra�ia de Dados
A Criptogra�a teve início com a necessidade de manter mensagens importantes em segredo, para
que somente quem a enviasse e a recebesse pudessem decifrá-las. Nos dias atuais, a criptogra�a de
dados é usada com frequência para manter informações na forma con�dencial, tais como:
transações feitas via internet, em bancos nos caixas eletrônicos, entre outros. Assim, as matrizes são
usadas para fazer uma chave para codi�cação e outra para decodi�cação de mensagens, realizadas
pelo remetente e destinatário.
O primeiro passo para criptografar uma mensagem é escolher números aleatórios e criar uma
matriz de dimensão que seja invertível, ou seja, que possua determinante diferente de zero.
Exemplo 1.25: seja a matriz , como , temos que a matriz 
possui inversa, dada por . Dessa forma podemos continuar o processo
de criptogra�a.
Considere a seguinte tabela de associação de caracteres:
Agora imagine uma mensagem a ser criptografada, como a frase: SEJA FELIZ!
Para incluir espaço na frase, associe ao número 27.
saiba mais
Saiba mais
Uma matriz singular é uma matriz quadrada que tem
determinante nulo; por de�nição, a matriz singular não tem
inversa. Por sua vez, uma matriz não-singular é aquela
matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero. Veja
o capítulo 3, na página 51.
Fonte: a autora.
ACESSAR
m × n
A =
⎡
⎣
⎢
−3
0
4
−3
1
3
−4
1
4
⎤
⎦
⎥ detA= 1 A
=A−1
⎡
⎣
⎢
1
4
−4
0
4
−3
1
3
−3
⎤
⎦
⎥
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z !
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
https://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/53439098/Matrizes_Determinantes_e_Sistemas_Alfredo_Steinbruch.pdf?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DMatrizes_Determinantes_e_Sistemas_de_Equ.pdf&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3A%2F20200127%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20200127T193816Z&X-Amz-Expires=3600&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=864b73f62f4fa842adf623bbc4d887036a7198de22385db1f7c127783c725f8a
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FRASE VALOR NA TABELA ELEMENTO DA MATRIZ
S 18 a 
E 4 a 
J 9 a 
A 0 a 
27 a 
F 5 a 
E 4 a 
L 11 a 
I 8 a 
Z 25 a 
27 a 
! 26 a 
Seja a matriz formada pelos caracteres que formam a frase SEJA FELIZ!,
então a mensagem criptografada será representada pela matriz :
Para descriptografar, basta multiplicar a matriz inversa da matriz de números aleatórios escolhida
pela matriz da mensagem criptografada, ou seja, calcular , tal que:
11
21
31
12
22
23
13
23
33
41
42
43
B =
⎡
⎣
⎢
18
4
9
0
27
5
4
11
8
25
27
26
⎤
⎦
⎥
C = A ⋅ B
⋅ CA−1
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
praticar
Vamos Praticar
No contexto das matrizes inversas, Anton e Rorres (2012, p. 42) trazem a seguinte de�nição: “se for uma
matriz quadrada e se pudermos encontrar uma matriz de mesmo tamanho tal que ,
então diremos que é invertível (ou não singular) e que é uma inversa de . Se não puder ser
encontrada uma tal matriz , diremos que é não invertível ou singular”.
Fonte: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações . Porto Alegre: Bookman, 2012.
Seja a matriz , assinale a alternativa correta:
a) A matriz não é invertível, uma vez que .
b) 
c) 
d) 
e) 
A
B AB = BA = I
A B A
B A
A = [ ]6
5
1
2
A detA = 0
= [ ]A−1 −6
−5
−1
−2
= [ ]A−1
2
7
− 57
− 17
6
7
= [ ]A−1 2
1
5
6
= [ ]A−1
− 67
5
7
1
7
− 27
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Caro(a) aluno(a), antes de estudarmos os sistemas lineares, é importante nos lembrarmos do que é
uma equação linear. Por de�nição, uma equação linear é aquela da forma
, em que são as variáveis, são os
respectivos coe�cientes das variáveis e é o termo independente.
Logo, um sistema de equações lineares trata-se de um conjunto de equações lineares da forma:
Por de�nição, nós podemos associar a um sistema linear, uma matriz, cujos coe�cientes ocuparão as
linhas e colunas da matriz.
Exemplo 1.26: seja o sistema 
A matriz incompleta é aquela formada apenas pelos coe�cientes do sistema, tal que:
Por sua vez, a matriz completa é aquela formada pelos coe�cientes do sistema mais os termos
independentes:
Como sabemos se um sistema linear tem solução?
Para veri�carmos se um sistema linear tem solução, basta construirmos a matriz completa e na
sequencia calcular o determinante da mesma. Existem 3 possíveis resultados:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
+ +. . . + = ba1x1 a2x2 anxn , , . . . ,x1 x2 xn , , . . . ,a1 a2 an
b
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
+ +. . . + =a11x1 a12x2 a1nxn b1
+ +. . . + =a21x1 a22x2 a2nxn b2
       ⋮                     ⋮                                   ⋮                 ⋮     
+ +. . . + =am1x1 am2x2 amnxn bm
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
2x + y = 5
x + 2y = 1
5x + 2y = 3
⎡
⎣
⎢
2
1
5
1
2
2
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
2
1
5
1
2
2
5
1
3
⎤
⎦
⎥
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Sistema possível e determinado (SPD): o determinante é diferente de zero
Sistema possível e indeterminado (SPI): o determinante é igual a zero
Sistema impossível (SI): o determinante principal é igual a zero e o determinante
secundário é diferente de zero
Existem diferentes modos de resolver um sistema linear a partir da utilização de matrizes. No
entanto, caro(a) aluno(a), neste estudo vamos apresentar apenas dois deles: escalonamento e regra
de Cramer.
Escalonamento de Sistemas Lineares
O escalonamento de matrizes constitui-se em um processo no qual um sistema linear é
transformado em matriz, tendo por �nalidade a obtenção do valor das incógnitas desse sistema.
Escalonar um sistema signi�ca resolver um sistema linear, a partir da transformação do mesmo em
outro equivalente, que seja de mais fácil solução. Para escalonar um sistema, podemos:
- somar ou subtrair uma equação pela outra 
- multiplicar uma das equações por um número real, e diferente de zero 
- trocar duas equações de posição entre si 
- multiplicar uma das equações por um número real, e somá-la ou subtraí-la da outra 
- dividir uma equação inteira por um número real, e diferente de zero
Exemplo 1.27: seja o seguinte sistema linear, com as incógnitas , e :
Podemos construir a matriz completa do sistema, tal que:
Fonte: Elaborado pelo autor.
x y z
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y + z = 6
x + 2y + 2z = 9
2x + y + 3z = 11
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Perceba que se subtrairmos a linha 2 com a linha 1, vamos anular o elemento . Dessa forma:
Na sequência, podemos anular mais um elemento, o , a partir da subtração da terceira linha pelo
dobro da primeira linha, tal que:
Se somarmos a segunda linha com a terceira linha, conseguimos anular o elemento :
Assim, chegamos à forma escalonada, sendo possível encontrar os valores de , e , uma vez que
fomos capazes de chegar a um sistema equivalente de fácil resolução:
Isso implica que , e 
Regra de Cramer
A regra de Cramer é uma das formas de resolver um sistema linear, do tipo possível e determinado
(SPD), mas que só poderá ser utilizada na resolução de sistemas nos quais o número de equações
for igual ao número de incógnitas, ou seja, um sistema de 2 equações com 2 variáveis, ou um
sistema de 3 equações com 3 variáveis.
Ao resolvermos um sistema linear de equações e incógnitas devemos calcular o determinante (
) da equação incompleta do sistema, e depois substituirmos os termos independentes em cada
coluna, e calcularmos os seus respectivos determinantes aplicando a regra de Cramer.
⇒
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y + z = 6
x + 2y + 2z = 9
2x + y + 3z = 11
⎡
⎣
⎢
1
1
2
1
2
1
1
2
3
6
9
11
⎤
⎦
⎥
a21
⇒ − =
⎡
⎣
⎢
1
1
2
1
2
1
1
2
3
6
9
11
⎤
⎦
⎥ L2 L1
⎡
⎣
⎢
1
1 − 1
2
1
2 − 1
1
1
2 − 1
3
6
9 − 6
11
⎤
⎦
⎥
=
⎡
⎣
⎢
1
0
2
1
1
1
1
1
3
6
3
11
⎤
⎦
⎥
a31
⇒ − 2 =
⎡
⎣
⎢
1
0
2
1
1
1
1
1
3
6
3
11
⎤
⎦
⎥ L3 L1
⎡
⎣
⎢
1
0
2 − 2 ⋅ 1
1
1
1 − 2 ⋅ 1
1
1
3 − 2 ⋅ 1
6
3
11 − 2 ⋅ 6
⎤
⎦
⎥
=
⎡
⎣
⎢
1
0
0
1
1
−1
1
1
1
6
3
−1
⎤
⎦
⎥
a32
⇒ + =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
1
1
−1
1
1
1
6
3
−1
⎤
⎦
⎥ L2 L3
⎡
⎣
⎢
1
0
0 + 0
1
1
1 − 1
1
1
1 + 1
6
3
3 − 1
⎤
⎦
⎥
=
⎡
⎣
⎢
1
0
0
1
1
0
1
1
2
6
3
2
⎤
⎦
⎥
x y z
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y + z = 6
y + z = 3
2z = 2
z = 1 y = 2 x = 3
n n
D
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Por meio da referida regra, os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
Exemplo 1.27: considerando o sistema a seguir, vamos aplicar a regra de Cramer, para encontrar os
valores de , e :
A matriz incompleta do sistema linear será chamada de e é dada por:
O determinante da matriz , representado por é:
Substituindo-se os temos independentes na primeira coluna da matriz , e formando assim uma
segunda matriz, representada por , temos:
Ao Calcular o seu determinante representadopor , temos:
=x1
D1
D
=x2
D2
D
=x3
D3
D
⋮
=xn
Dn
D
x y z
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 2y + z = 8
2x − y + z = 3
3x + y − z = 2
A
A =
⎡
⎣
⎢
1
2
3
2
−1
1
1
1
−1
⎤
⎦
⎥
A D
D = (1 ⋅ (−1) ⋅ (−1)) + (2 ⋅ 1 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2 ⋅ 1) − (1 ⋅ (−1) ⋅ 3) − (1 ⋅ 1 ⋅ 1) − (2 ⋅ 2 ⋅ (−1))
= 1 + 6 + 2 + 3 − 1 + 4 = 15
A
Ax
Ax =
⎡
⎣
⎢
8
3
2
2
−1
1
1
1
−1
⎤
⎦
⎥
Dx
05/09/2022 19:00 Ead.br
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Substituindo-se os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta, formamos a
matriz :
Calculando-se o seu determinante , obtemos:
Ao substituir os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta,
formamos a matriz :
Agora, calculamos o seu determinante representado por :
Dx = (8 ⋅ (−1) ⋅ (−1)) + (2 ⋅ 1 ⋅ 2) + (1 ⋅ 3 ⋅ 1) − (1 ⋅ (−1) ⋅ 2) − (8 ⋅ 1 ⋅ 1) − (2 ⋅ 3 ⋅ (−1)) = 8 + 4 + 2 +
Ay
Ay =
⎡
⎣
⎢
1
2
3
8
3
2
1
1
−1
⎤
⎦
⎥
Dy
Dy = (1 ⋅ 3 ⋅ (−1)) + (8 ⋅ 1 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2 ⋅ 2) − (1 ⋅ 3 ⋅ 3) − (1 ⋅ 1 ⋅ 2) − (8 ⋅ 2 ⋅ (−1)) = −3 + 24 + 4 − 9 −
Az
Az =
⎡
⎣
⎢
1
2
3
2
−1
1
8
3
2
⎤
⎦
⎥
Dz
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Assim, aplicando a regra prática de Cramer, obtemos:
praticar
Vamos Praticar
Um sistema linear é aquele formado por um conjunto de equações lineares, cuja solução pertence aos
números reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema.
Sabendo disso, seja o sistema dada por , utilizando a regra de Cramer, assinale a
alternativa que contenha o valor de :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Dz = (1 ⋅ (−1) ⋅ 2) + (2 ⋅ 3 ⋅ 3) + (8 ⋅ 2 ⋅ 1) − (8 ⋅ (−1) ⋅ 3) − (1 ⋅ 3 ⋅ 1) − (2 ⋅ 2 ⋅ 2) = −2 + 18 + 16 + 24
x = = = 1
Dx
D
15
15
y = = = 2
Dy
D
30
15
z = = = 3
Dz
D
45
15
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
3x + 2y − z = 0
x + 3y + z = 1
2x + 2y − 2z = 2
x
x = −2
x = −1
x = 0
x = 1
x = 2
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reflita
Re�ita
As matrizes têm aplicações nas diversas áreas do
conhecimento como na física, no processamento
de dados, na logística no controle de estoque de
determinado produto, na criptogra�a de dados
aplicados nas transações que exigem sigilo, como
elaboração de senhas, emissão e recebimento de
mensagens secretas, entre outras.
Nessa perspectiva, re�ita sobre uma aplicação do
conceito de matrizes na área da engenharia.
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indicações
Material
Complementar
FILME
Matrix
Ano: 1999
Comentário: O �lme matrix trata-se de uma produção cienti�ca
classi�cada como tecnologia real, apresentando a concretização dos
grandes feitos que o protagonista desenvolve.  A mensagem do �lme
para atualidade dispõe da forma em que a tecnologia é uma mágica do
conhecimento, onde as informações chegam com velocidade inigualável,
fato que não acontecia no passado.
TRA ILER
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LIVRO
Introdução a Álgebra Linear
Bernard Kolman
ISBN: 85-216-1196-X
Comentário: O livro indicado aborda o conceito de matrizes e
determinantes, e propõe exercícios práticos de aplicação.
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), na presente unidade tivemos a oportunidade de conhecer os aspectos
introdutórios da disciplina de Álgebra Linear. Nesse contexto, foram abordados os temas matrizes e
determinantes visando uma melhor aplicação desses temas no decorrer da disciplina.
Vimos a de�nição de uma matriz, os tipos de matrizes e as operações que podem ser feitas com as
matrizes. Também pudemos veri�car o conceito de determinantes para matrizes de dimensão 1, 2, 3
e de ordem superior.
Por �m, identi�camos contextos nos quais utilizamos o tema visto para resolução de situações
problemas envolvendo até três variáveis desconhecidas, a partir do escalonamento e da regra de
Cramer para sistemas lineares.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações . Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, D. B. Álgebra linear . São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à álgebra linear . São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 1997.
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ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇOS VETORIAISESPAÇOS VETORIAIS
Autor: Me. Rebecca Manesco Paixão
Revisor : E la ine Stur ion
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), por de�nição a Álgebra Linear é uma parte da Álgebra, um
ramo da Matemática, na qual estudamos matrizes, espaços vetoriais e
transformações lineares, de modo que todos estes itens servem para um
estudo detalhado de sistemas lineares.
Na presente unidade, vamos estender o conceito de vetor, por meio das
propriedades algébricas mais importantes dos vetores em   como axiomas.
Tais axiomas, se satisfeitos por um conjunto de objetos, vão nos permitir
pensá-los como vetores.
Assim, vamos estudar de�nições e exemplos de espaços vetoriais, subespaços
vetoriais, combinação linear, dependência e independência linear, base e
dimensão de um espaço vetorial. Vamos lá?
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Caro(a) aluno(a), para iniciarmos nossos estudos sobre espaços vetoriais,
vamos considerar um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão de�nidas as
operações de adição e de multiplicação por escalar, tais que:
a. soma:  ∀u, v ∈ V, u + v ∈ V
b. produto por escalar : ∀α ∈ ℜ, ∀u ∈ V, αu ∈ V
Com vistas a veri�carmos se o conjunto constitui um espaço vetorial, se os
seguintes axiomas forem satisfeitos por todos os objetos u, v e w ∈ V e
quaisquer escalares α, β ∈ ℜ, diremos que V é um espaço vetorial e que os
objetos de V são vetores.
Lembre-se que “não se demonstra axiomas; os axiomas são hipóteses que
servem como ponto de partida para provar teoremas” (ANTON e RORRES,
2012, p.171).
em relação à adição:
A1 . (u + v) + w = u + (v + w)
Espaços VetoriaisEspaços Vetoriais
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A2 . u + v = v + u
A3 . u + 0 = 0 + u = u
A4 . u + (−u) = (−u) + u = 0
em relação à multiplicação por escalar:
M1 . (αβ)u = α(βu)
M2 . (α + β)u = αu + βu
M3 . α(u + v) = αu + αv
M4 . 1u = u 
para ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ ℜ
Atente-se que os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores,
independentemente de sua natureza.
Exemplo 2.1 : o conjunto V = ℜ2 = {(x, y) /x, y ∈ ℜ} é um espaço vetorial com
as operações de adição e de multiplicação por um escalar de�nidas por:
(x1, y1) +(x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α(x, y) = (αx, αy)
Estas operações, caro(a) aluno(a), são usuais. Para veri�carmos os oito
axiomas de espaço vetorial, vamos considerar u = (x1, y1), v = (x2, y2) e
w = (x3, y3), tal que:
A1 . (u + v) + w = ((x1, y1) +(x2, y2)) +(x3, y3)
(u + v) + w = (x1 + x2, y1 + y2) +(x3, y3)
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(u + v) + w = ((x1 + x2) + x3,(y1 + y2) + y3))
(u + v) + w = (x1 +(x2 + x3), y1(y2 + y3))
(u + v) + w = (x1, y1) +(x2 + x3, y2 + y3)
(u + v) + w = (x1, y1) +((x2, y2) +(x3, + y3))
(u + v) + w = u + (v + w)
A2 . u + v = (x1, y1) +(x2, y2)
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
u + v = (x2 + x1, y2 + y1)
u + v = (x2, y2) +(x1, y1)
u + v = v + u
A3 . ∃0 = (0, 0) ∈ ℜ2, ∀u ∈ ℜ2, u + 0 = (x1, y1) + (0, 0)
u + 0 = (x1, y1) + (0, 0)
u + 0 = (x1 + 0, y1 + 0)
u + 0 = (x1, y1)
u + 0 = u
A4 .
∀u = (x1, y1) ∈ ℜ2, ∃(−u) = (−x1, − y1) ∈ ℜ2, u + (−u) = (x1, y1) +(−x1, − y1)Processing math: 100%
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u + (−u) = (x1 − x1, y1 − y1)
u + (−u) = (0, 0) = 0
M1 . (αβ)u = (αβ)(x1, y1)
(αβ)u = ((αβ)x1, (αβ)y1)
(αβ)u = (α(βx1), α(βy1)
(αβ)u = α(βx1, βy1)
(αβ)u = α(βu)
M2 . (α + β)u = (α + β)(x1, y1)
(α + β)u = ((α + β)x1, (α + β)y1)
(α + β)u = (αx1 + βx1, αy1 + βy1)
(α + β)u = (αx1, αy1) +(βx1, βy1)
(α + β)u = α(x1, y1) + β(x1, y1)
(α + β)u = αu + βu
M3 . α(u + v) = α((x1, y1) +(x2, y2))
α(u + v) = α(x1 + x2, y1 + y2)
α(u + v) = α(x1 + x2)α(y1 + y2))
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α(u + v) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
α(u + v) = (αx1, αy1) +(αx2, αy2)
α(u + v) = α(x1, y1) + α(x2, y2)
α(u + v) = αu + αv
M4 . 1u = 1(x1, y1)
1u = (1x1, 1y1)
1u = (x1, y1)
1u = u
Exemplo 2.2 : seja V= conjunto de polinômios de grau 2, com as operações
usuais de adição e de multiplicação por escalar, temos que V não é um espaço
vetorial, uma vez que a adição de dois polinômios de grau 2, nem sempre
resulta em um polinômio de grau 2. Por exemplo, considerando
P2(x) = 1 + x + 2x
2 e Q2(x) = 5 − 3x − 2x
2, então temos que:
P2(x) + Q2(x) =(1 + x + 2x2) +(5 − 3x − 2x2)
P2(x) + Q2(x) = (1 + 5) + (x − 3x) +(2x2 − 2x2)
P2(x) + Q2(x) = 6 − 2x ∉ V
Propriedades dos espaços vetoriais
I. existe um único vetor nulo em V(elemento neutro da adição)
II. cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (−u) ∈ V
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III. para qualquer u, v, w ∈ V, se u + w = v + w, então u = v
IV. qualquer que seja v ∈ V, temos que o oposto de −v é v, ou seja, −(−v) = v
V. quaisquer que sejam u, v ∈ V, então existe um, e somente um, x ∈ V tal que
u + x = v
VI. qualquer que seja v ∈ V, tem-se que 0v = 0. Em que o primeiro zero é o
número real zero, e o segundo zero é o vetor 0 ∈ V
VII. qualquer que seja λ ∈ ℜ, tem-se λ0 = 0
VIII. λv = 0 implica que λ = 0 ou = 0
IX. qualquer que seja v ∈ V, tem-se (−1)v = − v
X. quaisquer que sejam v ∈ V e λ ∈ ℜ, tem-se (−λ)v = λ(−v) = − (λv)
Subespaços vetoriais
Seja V um espaço vetorial, e S um subconjunto não vazio de V, então dizemos
que S é um subespaço vetorial de V se 0 ∈ S, ∀u, v ∈ S, u + v ∈ S e
∀α ∈ ℜ, ∀u ∈ S, αu ∈ S
Atente-se que para demonstrarmos que um determinado subconjunto S é um
subespaço vetorial de V, deveríamos testar os axiomas vistos anteriormente,
que são relativos à adição e à multiplicação por escalar. No entanto, como S é
parte de V, como já sabemos que é um espaço vetorial, implica que não há tal
necessidade.
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Exemplo 2.3 : Seja V = ℜ2 e S ={(x, y) ∈ ℜ2 /y = 2x}, observe que S ≠ ⊘ , uma
vez que (0, 0) ∈ S. Para u = (x1, 2x1) ∈ S e v = (x2, 2x2) ∈ S, temos que:
u + v = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2)) ∈ S, uma vez que a
segunda componente de u + v é igual ao dobro da primeira
αu = α(x1, 2x1) = (αx1, 2(αx1)) ∈ S, uma vez que a segunda
componente de αu é igual ao dobro da primeira
Neste caso, geometricamente, o subespaço S representa uma reta que passa
pela origem.
reflita
Re�ita
Todo espaço vetorial V admite pelo
menos dois subespaços: o próprio
espaço vetorial V, e o conjunto {0},
denominado de subespaço zero ou
subespaço nulo. Estes dois
subespaços são subespaços triviais de
V, enquanto que os demais
subespaços, se existirem, são
chamados de subespaços próprios.
Fonte: Elaborado pela autora
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Exemplo 2.4 : seja o conjunto-solução do sistema linear homogêneo
{2x + 4y + z = 0x + y + 2z = 0x + 3y − z = 0 (1) que encontra-se munido das operações usuais de soma e
multiplicação por escalar, vamos veri�car se o mesmo constitui um subespaço
de V = M3 × 1:
Escrevendo o sistema em sua forma matricial, temos que:
[2 4 11 1 21 3 −1] ⋅[xyz] =[000] (2)
É necessário fazermos o cálculo dos vetores que satisfaçam o sistema,
considerando o espaço vetorial M3 × 1. Na sequência, devemos veri�car se esse
conjunto é subespaço de M3 × 1.
Vamos considerar os seguintes vetores-solução:
u =[ x1y1z1] e v =[
x2
y2
z2] (3)
Somando, membro a membro, as duas igualdades, temos que:
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[2 4 11 1 21 3 −1] ⋅([ x1y1z1] +[
x2
y2
z2]) =[000]
[2 4 11 1 21 3 −1] ⋅[ x1y1z1] +[2 4 11 1 21 3 −1] ⋅[
x2
y2
z2] =[000]
[2x1 + 4y1 + 1z11x1 + 1y1 + 2z11x1 + 3y1 − 1z1] +[
2x2 + 4y2 + 1z2
1x2 + 1y2 + 2z2
1x2 + 3y2 − 1z2] =[000]
[000] +[000] =[000]
 (4)
Multiplicando por α a primeira igualdade, vem que:
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[2 4 11 1 21 3 −1] ⋅(α[ x1y1z1]) =[000]
α([2 4 11 1 21 3 −1] ⋅[ x1y1z1]) =[000]
α([2x1 + 4y1 + 1z11x1 + 1y1 + 2z11x1 + 3y1 − 1z1]) =[000]
α([000]) =[000]
 (5)
Dessa forma, o conjunto-solução do sistema linear homogêneo é um
subespaço vetorial de M3 × 1.
Teorema: se S1, S2, . . . , Sn forem subespaços de um espaço vetorial V, então a
interseção desses subespaços também será um subespaço de V.
praticar
Vamos Praticar
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Estudamos que um espaço vetorial V é um conjunto, no qual estão de�nidas as
operações de adição, de modo que a cada par de vetores, u e v ∈ V faz corresponder
um novo vetor u + v ∈ V, e a multiplicação por um número real, que a cada α ∈ ℜ e a
cada vetor v ∈ V faz corresponder um vetor denotado por αv.
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
I. S ={(x, y, z) ∈ ℜ3 /x + y + z = 0} é um subespaço de ℜ3
Pois:
II. Dados u = (x1, y1, z1) ∈ S e v = (x2, y2, z2) ∈ S, temos que u + v ∈ S e que αu ∈ S
A seguir, assinale a alternativa correta:
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I
b) A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição
falsa.
c) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justi�cativa correta da I.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.
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Considerando quaisquer conjuntos vetoriais que pertençam a um espaço
vetorial V, sabemos que, pelas de�nições anteriormente apresentadas, a
soma desses vetores entre si, qualquer que seja a combinação, terá como
vetor resultante um vetor que também pertence a V. Analogamente, ao
multiplicarmos cada vetor por um escalar real, teremos como resultadoum
vetor também pertencente a V.
Dessa forma, caro(a) aluno(a), sejam v1, v2, . . . , vn os vetores do espaço
vetorial V e a1, a2, . . . , an os escalares, dizemos que qualquer vetor v ∈ V da
forma v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn é uma combinação linear dos vetores
v1, v2, . . . , vn.
Teorema: Seja S um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V,
tal que S ={w1, w2, . . . , wn}, então, o conjunto W de todas as combinações
lineares possíveis de vetores em S é um subespaço de V.
Exemplo 2.5 : no ℜ2, o vetor v = (10, 16) é uma combinação linear dos vetores
v1 = (1, 2) e v2 = (3, 4), uma vez que v = 4v1 + 2v2, ou seja:
CombinaçõesCombinações
LinearesLineares
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(10, 16) = 4(1, 2) + 2(3, 4)
(10, 16) = (4, 8) + (6, 8)
(10, 16) = (10, 16)
Exemplo 2.6 : sejam os vetores v1 = (1, − 3, 2) e v2 = (2, 4, − 1) no ℜ
3, podemos
escrever o vetor v = (−4, − 18, 7) como uma combinação linear de v1 e v2. Para
isso, pretendemos que:
v = a1v1 + a2v2
sendo a1 e a2 os escalares a determinar. Logo, teremos que:
(−4, − 18, 7) = a1(1, − 3, 2) + a2(2, 4, − 1)
(−4, − 18, 7) = (1a1, − 3a1, 2a1) +(2a2, 4a2, − 1a2)
(−4, − 18, 7) = (a1 + 2a2, − 3a1 + 4a2 + 2a1 − a2)
Assim, chegamos ao seguinte sistema:
{a1 + 2a2 = − 4− 3a1 + 4a2 = − 182a1 − a2 = 7 (6)
Cuja solução é a1 = 2 e a2 = − 3
Isso implica que v = 2v1 − 3v2
Exemplo 2.7 : sejam os vetores v1 = (1, − 3, 2) e v2 = (2, 4, − 1) no ℜ
3, vamos
determinar o valor de k, para que o vetor v = (−1, k, − 7) seja uma combinação
linear de v1 e v2.
Já sabemos que:
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v = a1v1 + a2v2
sendo a1 e a2 os escalares a determinar. Logo, teremos que:
(−1, k, − 7) = a1(1, − 3, 2) + a2(2, 4, − 1)
(−1, k, − 7) = (1a1, − 3a1, 2a1) +(2a2, 4a2, − 1a2)
(−1, k, − 7) = (a1 + 2a2, − 3a1 + 4a2 + 2a1 − a2)
Assim, chegamos ao seguinte sistema:
{a1 + 2a2 = − 1− 3a1 + 4a2 = k2a1 − a2 = − 7 (7)
do qual resulta como solução: k = 13 (a1 = − 3 e a2 = 1)
De fato:
(−1, 13, − 7) = − 3(1, − 3, 2) + 1(2, 4, − 1)
(−1, 13, − 7) = (−3, 9, − 6) + (2, 4, − 1)
(−1, 13, − 7) = (−1, 13, − 7)
Subespaço vetorial gerado
Sejam V um espaço vetorial e A ={v1, v2, . . . , vn} ⊂ V, A ≠ ⊘ , então, o
conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos
vetores de A é um subespaço vetorial de V.
Se u = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn e v = b1v1 + b2v2 + . . . + bnvn são dois quaisquer
vetores de S, então, podemos escrever que:Processing math: 100%
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u + v = (a1 + b1)v1 +(a2 + b2)v2 + . . . +(an + bn)vn
αu = (αa1)v1 +(αa2)v2 + . . . +(αan)vn
Isso signi�ca que u + v ∈ S e αu ∈ S por serem combinações lineares de
v1, v2, . . . , vn; logo, S é um subespaço vetorial de V.
Atente-se que S diz-se gerado pelos vetores v1, v2, . . . , vn, ou gerado pelo
conjunto A e é representado por S = [v1, v2, . . . , vn] ou S = G(A).
Exemplo 2.8: os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) geram o espaço vetorial V = ℜ
2,
uma vez que qualquer par (x, y) ∈ ℜ2 é combinação linear de e1 e e2:
(x, y) = xe1 + ye2 = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y)
Logo, [e1, e2] = ℜ2
Espaços vetoriais �initamente
gerados
Um espaço vetorial V é �nitamente gerado se existir um conjunto �nito A ⊂ V,
tal que V = G(A). Atente-se que os exemplos de espaços vetoriais dados são
de espaços vetoriais �nitamente gerados. Ou seja, vimos que o ℜ2 é gerado
por um conjunto de 2 vetores, e que o ℜ3 é gerado por um conjunto de 3
vetores. Atente-se caro(a) aluno(a), que embora existam espaços vetoriais
gerados por um conjunto de in�nitos vetores, neste nosso estudo, vamos
tratar  apenas dos espaços vetoriais �nitamente gerados. 
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praticar
Vamos Praticar
Estudamos que uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn é um vetor da
forma v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn = ∑
n
i= 1aivi, em que a1, a2, . . . , an  são números
reais, denominados de coe�cientes da combinação linear. Sabendo disso, sejam os
vetores v1 = (1, − 1) e v2 = (1, 3), assinale a alternativa que contenha a soma α1 + α2,
para que v = (2, 2) seja uma combinação linear de v1 e v2:
a) a1 + a2 = 0
b) a1 + a2 = 1
c) a1 + a2 = 2
d) a1 + a2 = 3
e) a1 + a2 = 4
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Caro(a) aluno(a), um conjunto de vetores será considerado linearmente
independente (LI) quando nenhum elemento contido nesse conjunto for
gerado por uma combinação linear dos demais. Dessa forma, um conjunto de
vetores será linearmente dependente (LD), se ao menos um de seus
elementos puder ser escrito como uma combinação linear dos demais
elementos.
Sejam V um espaço vetorial e A ={v1, v2, . . . , vn} ⊂ V, então temos que a
equação a1v1 + a2v2 + . . . + anvn = 0 admite, pelo menos, a solução trivial
a1 = a2 = . . . = an = 0. Sempre que isso acontecer, dizemos que os vetores
v1, v2, . . . , vn são LI, ou que o conjunto A é LINo entanto, caso existam soluções
ai ≠ 0, então dizemos que que os vetores v1, v2, . . . , vn são LD, ou que o
conjunto A é LD. 
Teorema : um conjunto S de dois ou mais vetores é:
DependênciaDependência
LinearLinear
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Exemplo 2.9: no ℜ2 os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) são LI. De fato:
a1e1 + a2e2 = 0
a1(1, 0) + a2(0, 1) = (0, 0)
(a1, 0) +(0, a2) = (0, 0)
(a1, a2) = (0, 0)
Exemplo 2.10: sejam os vetores v1 = (1, − 2, 3), v2 = (5, 6, − 1) e v3 = (3, 2, 1), a
dependência ou independência linear será determinada pela existência ou
não das soluções não triviais da equação vetorial, tal que: a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
. Assim:
a1(1, − 2, 3) + a2(5, 6, − 1) + a3(3, 2, 1) = (0, 0, 0)
(1a1, − 2a1, 3a1) +(5a2, 6a2, − 1a2) +(3a3, 2a3, 1a3) = (0, 0, 0)
Igualando componentes correspondentes dos dois lados, obtemos o seguinte
sistema linear homogêneo:
{a1 + 5a2 + 3a3 = 0− 2a1 + 6a2 + 2a3 = 03a1 − a2 + a3 = 0 (8)
Existem várias formas de determinarmos se o sistema tem soluções não
triviais; uma das possibilidades é simplesmente resolvendo o sistema, tal que
a1 = −
1
2t, a2 = −
1
2t e a3 = t. Porta'nto, podemos concluir que o sistema tem
soluções não triviais, logo, os vetores são linearmente dependentes.
Propriedades dos espaços vetoriais
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I. O vetor v = 0 do espaço vetorial V é LD, uma vez que para qualquer a ≠ 0,
tem-se que a0 = 0
II. Um único vetor v ≠ 0 do espaço vetorial é LI, uma vez que a igualdade av = 0
só se veri�ca para a = 0
III. Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é LD
IV. Se em um conjunto de vetores não nulos A ={v1, v2, . . . , vn} um deles é
combinação linear dos outros, então o conjunto é LD
V. Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é LD, então A também é LD
VI. Se um conjunto A ⊂ V é LI, então qualquer parte A1 de A também é LI
VII. Se A ={v1, v2, . . . , vn} ⊂ V é LI e B ={v1, v2, . . . , vn, w} ⊂ V é LD, então w é
combinação linear de v1, v2, . . . , vn
praticar
Vamos Praticar
Em nossos estudos vimos que em um espaço vetorial V, o conjunto 
A ={v1, v2, . . . , vn} ∈ V é dito linearmente independente (LI) caso a equação 
a1v1 + a2v2 + . . . +anvn = 0 admita apenas a solução trivial a1 = a2 = . . . = an = 0; caso
contrário, o conjunto A é dito linearmente dependente (LD).
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.Processing math: 100%
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I. No espaço vetorial V = ℜ3, os vetores v1 = (2, − 3, 1), v2 = (2, − 1, 3) e 
v3 = (−1, 0, − 2) formam um conjunto LD
Pois
II. −v1 + 3v2 + 4v2 = 0
A seguir, assinale a alternativa correta:
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I
b) A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição
falsa.
c) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justi�cativa correta da I.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.
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Caro(a) aluno(a), neste momento, iniciaremos o estudo de um novo tópico
referente aos espaços vetoriais. Veremos como é possível determinar um
conjunto de vetores que geram um espaço vetorial V, tal que todos sejam
realmente necessários para gerar V. E, em um segundo momento, veremos a
de�nição de dimensão de um espaço vetorial.
Base de um espaço vetorial
A partir de agora, nosso objetivo será encontrar um conjunto �nito de vetores
{v1, v2, . . . , vn} de um espaço vetorial V tais que qualquer outro vetor v ∈ V
possa ser escrito como uma combinação linear deles, ou seja
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn. Se nós pudermos encontrar esses vetores, para
qualquer espaço vetorial V, então, estaremos determinando uma base para V.
Atente-se que um conjunto B ={v1, v2, . . . , vn} ⊂ V é uma base de V se duas
condições forem satisfeitas: se B é LI, e se B gera V.
Base e DimensãoBase e Dimensão
de um Espaçode um Espaço
VetorialVetorial
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Teorema : se B ={v1, v2, . . . , vn} for uma base de um espaço vetorial V, então
cada vetor em V pode ser expresso na forma v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn de
exatamente uma única maneira.
Exemplo 2.11 : B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base do ℜ2, denominada de base
canônica.
De fato, anteriormente, já demonstramos que B é um conjunto LI. Resta-nos
mostrar que para qualquer par ordenado (x, y) ∈ ℜ2 é combinação linear dos
vetores de B, ou seja, que B gera ℜ2.
Seja (x, y) ∈ ℜ2, então x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y)
Logo, qualquer que seja (x, y) de ℜ2 é uma combinação linear dos vetores de B
. Podemos representar que B = {(1, 0), (0, 1)} gera ℜ2 da seguinte forma:
ℜ2 = [(1, 0), (0, 1)]
Dimensão de um espaço vetorial
Se V é um espaço vetorial que possui uma base com n vetores, então,
qualquer outra base de V também tem n vetores, ou seja, qualquer base de V
tem n elementos. O número n é chamado de dimensão de V, e é representado
por dimV = n.
Teorema: todas as bases de um espaço vetorial de dimensão �nita têm o
mesmo número de vetores.
Exemplo 2.12 : por de�nição, temos que: dim{0} = 0, dimℜ2 = 2 e dimℜ3 = 3
Propriedades relativas à base e à
dimensão
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I. Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele
gerado
II. Seja B ={v1, v2, . . . , vn} uma base de um espaço vetorial V, todo conjunto
com mais de n vetores de V é LD
III. Em um espaço vetorial, duas bases quaisquer têm o mesmo número de
vetores
IV. Seja uma base de um espaço vetorial V, tal que  B ={v1, v2, . . . , vn}, então
qualquer vetor v ∈ V se exprime como uma combinação linear dos vetores de
B
V. Se V é um espaço vetorial tal que dimV = n e S é um subespaço vetorial de V,
então dimS ≤ n
VI. A determinação da dimensão de um subespaço vetorial se dá pelo número
de variáveis livres de seu vetor genérico
Exemplo 2.13 : seja o subespaço S ={(x, y, z) ∈ ℜ3 /2x + y + z = 0}, queremos
determinar sua dimensão. Para isto, precisamos isolar z na equação de
de�nição, tal que:
z = − 2x − y
em que x e y são as variáveis livres.
Logo, para qualquer vetor (x, y, z) ∈ S temos que:
(x, y, z) = (x, y, − 2x − y)
(x, y, z) = (x, 0, − 2x) + (0, y, − y)
(x, y, z) = x(1, 0, − 2) + y(0, 1, − 1)
Podemos concluir que todo vetor de S é combinação linear dos vetores
(1, 0, − 2) e (0, 1, − 1). Como os dois vetores geradores de S são LI, o conjunto
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{(1, 0, − 2), (0, 1, − 1)} é uma base de S, o que implica que dimS = 2.
praticar
Vamos Praticar
Neste estudo, vimos que seja um conjunto B ={v1, v2, . . . , vn} ⊂ V, o conjunto será
 uma base do espaço vetorial V, se  duas condições forem satisfeitas: se o conjunto 
B é linearmente independente (LI), e se o conjunto B gera o espaço vetorial V.
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
I. B = {(1, 1), (−1, 0)} é uma base de ℜ2
Pois:
II. B é LI e B gera ℜ2
A seguir, assinale a alternativa correta:
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I
b) A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição
falsa.
c) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justi�cativa correta da I.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.
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indicações
Material
Complementar
FILME
Espaços vetoriais
Ano: 2017
Comentário: assista ao vídeo do canal “Toda a
Matemática” que trata dos espaços vetoriais, por meio
de de�nições e exemplos.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível.
TRA ILER
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LIVRO
Introdução à Álgebra Linear
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle
Editora: Pearson Education
ISBN: 9780074609446
Comentário: O livro Introdução à Álgebra Linear
encontra-se dividido em 6 capítulos. Sugere-se a leitura
do capítulo 1 que trata dos “espaços vetoriais ”, onde o
aluno encontrará de�nições e exemplos de espaços
vetoriais reais, subespaços, dependência e
independência linear, base e dimensão, componentes
de um vetor e mudança de base.
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), na presente unidade, estudamos espaços vetoriais e
subespaços vetoriais. No estudo da combinação linear, pudemos veri�car
como é que um vetor pode ser a combinação linear de outros vetores. Por sua
vez, no estudo da dependência e independência linear, vimos que tal
classi�cação toma como base a existência de uma ou mais soluções para a
equação vetorial, de modo que é denominado de linearmente independente
(LI) o conjunto que admite apenas a solução trivial, enquanto que é
denominado de linearmente dependente (LD) àquele conjunto que admite
soluções diferentes da trivial. Por �m, relacionamos os conceitosde
combinação linear, dependência e independência linear e de espaço gerado
para compreendermos base e dimensão. Bons estudos!
referências
Referências
Bibliográ�cas
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações . Porto Alegre:
Bookman, 2012.
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BERNARD KOLMAN. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações .
Tradução: Valéria de Magalhães Iorio, ESDI/UERJ, Editora: JC.
FERNANDES, D. B. Álgebra linear . São Paulo: Pearson Education do Brasil,
2014.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear . 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à álgebra linear . São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 1997.
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ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
TRANSFORMAÇÕESTRANSFORMAÇÕES
LINEARESLINEARES
Autor: Me. Rebecca Manesco Paixão
Revisor : E la ine Stur ion
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), dando continuidade aos nossos estudos sobre Álgebra
Linear, na presente unidade, vamos �nalizar a parte de base e dimensão de
espaços vetoriais, a partir do estudo da mudança de base.
Na sequência, iremos estudar funções da forma v = F(u), em que tanto a
variável independente u, como a variável dependente v são vetores. Logo,
vamos aprofundar nossos conhecimentos em uma classe de funções
vetoriais, denominada de transformações lineares, a qual apresenta
aplicações em diversas áreas das ciências exatas. Veremos de�nições,
propriedades e exemplos sobre as transformações lineares. E ainda: vamos
trabalhar com o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
Finalizaremos com o estudo da matriz de uma transformação linear. Vamos
lá!?
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Caro(a) aluno(a), estudamos que v ∈ V é expresso da seguinte forma:
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, em que B ={v1, v2, . . . , vn} é uma base de V. Nesse
caso, os escalares a1, a2, . . . , an determinados por v e pela base B são
denominados de componentes ou ainda, de coordenadas de v em relação à
base B.
um vetor v ∈ V, com dimV = n, de componentes a1, a2, . . . , an em
relação a uma base B, é usualmente indicado por vB e representado
por: vB = (a1, a2, . . . , an)
Na forma matricial, este mesmo vetor pode ser representado por:
vB =[ a1a2⋮an]
Componentes deComponentes de
um Vetor eum Vetor e
Mudança de BaseMudança de Base
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os vetores de uma base B ={v1, v2, . . . , vn} de um espaço vetorial V
podem ser representados por uma matriz cujos componentes de
cada vetor da base constitua uma coluna dessa matriz, de modo que
as colunas encontram-se dispostas na ordem em que os vetores
foram enunciados.
Exemplo 3.1 : a base B = {(1, 0, 1), (−2, 0, 3), (4, 5, 6)} do ℜ3 é representada por:
B =[1 −2 40 0 51 3 6]
Em que v1 = (1, 0, 1), v2 = (−2, 0, 3) e v3 = (4, 5, 6).
Considerando duas bases A e B de um espaço vetorial V, é possível
estabelecermos a relação entre as componentes de um vetor v em relação à
base A e as componentes do mesmo vetor em relação à base B.
Assim, sejam as bases A ={v1, v2} e B ={w1, w2} de V. Um determinado
vetor v ∈ V será combinação linear dos vetores das bases A e B, tal que:
Figura 3.1 - Álgebra Linear 
Fonte: Andriy Popov / 123RF.
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v = x1v1 + x2v2 ou vA = (x1, x2)
E,
v = y1w1 + y2w2 ou vB = (y1, y2)
Por de�nição, os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B de
modo que:
v1 = a11w1 + a21w2
v2 = a12w1 + a22w2
Substituindo v1 e v2 em v = x1v1 + x2v2, concluímos que:
v = x1(a11w1 + a21w2) + x2(a12w1 + a22w2)
ou
v = (a11x1 + a12x2)w1 +(a21x1 + a22x2)w2
Comparando a última igualdade com v = y1w1 + y2w2, temos que:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
Ou na forma matricial:
[ y1y2] =[ a11 a12a21 a22] ⋅[ x1x2]
Fazendo M =[ a11 a12a21 a22], então a equação matricial pode ser escrita como:
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vB = MvA
Isolando vA, temos que:
vA = M
− 1vB
Uma vez que M é inversível. Isso signi�ca que M transforma vA em vB e que
M − 1 transforma vB em vA.
As igualdades:
v1 = a11w1 + a21w2
v2 = a12w1 + a22w2
Podem ser escritas como:
[ v1v2] =[ a11 a21a12 a22] ⋅[w1w2]
Fazendo v1 = (x11, x12), v2 = (x21, x22), w1 = (y11, y12) e w2 = (y21, y22) temos
que:
[ x11 x12x21 x22] =[ a11 a21a
12
a22] ⋅[ y11 y12y21 y22]
Mas, como AT =[ x11 x12x21 x22], MT =[ a11 a21a12 a22], BT =[ y11 y12y21 y22], então, a
equação anteriormente vista, pode ser expressa como:
AT = MTBT
Ou ainda, por:
A = BM
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Como B é uma matriz inversível, segue que:
M = B − 1A
Ou ainda, conforme propriedade da matriz inversa:
M − 1 = A − 1B
Novamente, atente-se que M é a matriz mudança de base de A para B,
enquanto que M − 1 é a matriz de mudança de base de B para A.
reflita
Re�ita
Sendo M a matriz de mudança da base
A para a base B, e A e B as matrizes
das bases A e B, respectivamente, já
sabemos que M = B − 1A e que
M − 1 = A − 1B. No entanto, se uma
determinada base A for a base
canônica, tal que a matriz A seja igual a
matriz identidade I, então implica que
a matriz de transformação M será
M = B − 1 ⇔ M − 1 = B.
Exemplo 3.2 : sejam as bases do ℜ2, A = {(1, 3), (−1, 4)} e
B = {(−1, 0), (−2, − 1)}, para determinarmos a matriz de mudança de base de A
para B devemos calcular M = B − 1A. As matrizes são:
A =[1 −13 4], B =[−1 −20 −1]
Calculando o determinante de B:
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det B =|−1 −20 −1| = (( − 1) ⋅ ( − 1)) − (( − 2) ⋅ (0)) = 1
Como detB ≠ 0, então a matriz é inversível, e é igual a B − 1 =[−1 20 −1]
Portanto,
M =[−1 20 −1] ⋅[1 −13 4]
 =[ −1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 −1 ⋅ ( − 1) + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + ( − 1) ⋅ 3 0 ⋅ 1 + ( − 1) ⋅ 4]
 =[ 5 9−3 −4]
Supondo que vA = (1, 2), então, podemos calcular vB da seguinte forma:
vB = MvA
vB =[ 5 9−3 −4] ⋅[12]
vB =[ 5 ⋅ 1 + 9 ⋅ 2−3 ⋅ 1 + ( − 4) ⋅ 2]
vB =[ 23−11]
praticar
V P ti
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p
Vamos Praticar
Leia o trecho a seguir.
“Se mudarmos a base de um espaço vetorial V de alguma base velha 
B ={u1, u2, . . . , un} para uma base nova B′ ={u ′1, u ′2, . . . , u ′n}, então, dado qualquer
vetor v em V, o velho vetor de coordenadas [v]B está relacionado com o novo vetor
de coordenadas [v]B′ pela equação [v]B = P[v]B′ onde as colunas de P são os vetores
de coordenadas dos vetores da base nova em relação à base velha, ou seja, os
vetores coluna de P são [u ′1]B,[u ′2]B, . . . ,[u ′n]B” (ANTON; RORRES, 2012, p. 218).
Sabendo disso, sejam as bases do ℜ2, A = {(1, 0), (−1, 2)} e B = {(1, 0), (2, − 5)},
assinale a alternativa que contenha a mudança de base de A para B:
a) M =[−1 50 − 25]
b) M =[0 − 155 25]
c) M =[ 35 − 15− 15 − 25]
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d) M =[1 − 150 − 25]
e) M=[0 − 1515 0]
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Caro(a) aluno(a), lembra-se da de�nição de função?
Seja:
f :A → B
x → f(x) = y
Em que f é uma função se a cada elemento x ∈ A existe um único elemento
y ∈ B tal que y = f(x). Nesse caso, A é chamado de domínio de f; B é o
contradomínio de f, x é a variável independente e y é a variável dependente.
Neste estudo, veremos um tipo especial de função linear, com domínio e
contradomínio em espaços vetoriais reais. Isso signi�ca que tanto a variável
independente quanto a variável dependente pertencem a espaços vetoriais
reais, de modo que a imagem da soma de vetores seja igual à soma dessas
imagens, e a imagem de um vetor multiplicado por um escalar α é o produto
deste escalar pela imagem do vetor. Matematicamente falando, essas funções
são chamadas de Transformações Lineares.
TransformaçõesTransformações
LinearesLineares
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Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função
de V em W, T :V → W, sendo T uma função, em que cada vetor v ∈ V tem um
só vetor w ∈ W, indicado por w = T(v).
Uma transformação linear satisfaz às seguintes condições:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(αv) = αT(v)
para ∀u, v ∈ V e ∀α ∈ ℜ
No caso especial em que V = W, dizemos que uma transformação linear é um
operador linear de V.
Exemplo 3.3 : seja T : ℜ2 → ℜ3, T(x, y) = (2x, − y, x + y), vamos mostrar que é
uma transformação linear. Considerando que u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são
vetores genéricos do ℜ2, então temos que:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)
T(u + v) = (2(x1 + x2), − 1(y1 + y2),(x1 + x2) +(y1 + y2))
T(u + v) = (2x1 + 2x2, − 1y1 − 1y2, x1 + x2 + y1 + y2)
T(u + v) = (2x1, − 1y1, x1 + y1) +(2x2, − 1y2, x2 + y2)
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(αu) = T(αx1, αy1)
T(αu) = (2αx1, − αy1, αx1 + αy1)
T(αu) = α(2x1, − y1, x1 + y1)
T(αu) = αT(u)
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Genericamente, toda matriz Am× n determina a transformação linear
TA : ℜ
n → ℜm onde a imagem TA(v) é o produto da matriz Am× n pelo vetor-
coluna vn× 1: Am× n ⋅ vn× 1 = (Av)m× 1 = TA(v) (STEINBRUCH; WINTERLE, 1997).
Da mesma forma, toda transformação linear T : ℜn → ℜm pode ser
representada por uma matriz de ordem m × n.
Exemplo 3.4 : seja a matriz A =[ 1 10 −3−1 5] e v = (x, y) um vetor coluna, então,
o produto Av é:
Av =[ 1 10 −3−1 5] ⋅[xy]
 =[ 1 ⋅ x + 1 ⋅ y0 ⋅ x + ( − 3) ⋅ y( − 1) ⋅ x + 5 ⋅ y]
 =[ x + y−3y−x + 5y]
E, portanto, TA(x, y) = (x + y, − 3y, − x + 5y)
Propriedades da Transformação
Linear
I. se T :V → W é uma transformação linear, a imagem do vetor 0 ∈ V é o vetor
0 ∈ W: T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0
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II.  se T :V → W é uma transformação linear, tem-se que
T(a1v1 + a2v2) = a1T(v1) + a2T(v2),  para ∀v1, v2 ∈ V e ∀a1, a2 ∈ ℜ. Isso signi�ca
que a imagem de uma combinação linear dos vetores v1 e v2 é uma
combinação linear das imagens T(v1) e T(v2) com os mesmos coe�cientes a1
e a2.
Exemplo 3.5 : seja T : ℜ3 → ℜ2 uma transformação linear e
B = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} uma base do ℜ3, e sabendo que T(v1) = (1, 1),
T(v2) = (−1, 2) e T(v3) = (3, 0), para determinarmos T(3, 2, 1), primeiramente
devemos expressar o vetor (3, 2, 1) como combinação linear dos vetores da
base, de modo que:
(3, 2, 1) = a1(0, 1, 0) + a2(1, 0, 1) + a3(1, 1, 0)
(3, 2, 1) = (0, a1, 0) +(a2, 0, a2) +(a3, a3, 0)
(3, 2, 1) = (a2 + a3, a1 + a3, a2)
a2 + a3 = 3
a1 + a3 = 2
a2 = 1
Resolvendo o sistema, encontramos que: a1 = 0,  a2 = 1 e  a3 = 2
Logo, (3, 2, 1) = v2 + 2v3
Aplicando T, obtemos que:
T(3, 2, 1) = v2 + 2v3
T(3, 2, 1) = (−1, 2) + 2(3, 0)
T(3, 2, 1) = (−1, 2) + (6, 0)
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T(3, 2, 1) = (5, 2)
praticar
Vamos Praticar
No contexto das transformações lineares, seja a transformação linear T : ℜ3 → ℜ2 e 
B = {(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} uma base do ℜ3, e sabendo que T(v1) = (0, 1), 
T(v2) = (1, − 2) e T(v3) = (3, 1), assinale a alternativa que contenha T(5, 4, 1).
a) T(5, 4, 1) = (13, 2)
b) T(1, 4, 5) = (0, − 2)
c) T(1, 4, 5) = (13, 0)
d) T(1, 4, 5) = (2, − 13)
e) T(1, 4, 5) = (4, 1)
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Caro(a) aluno(a), dando continuidade aos nossos estudos sobre
transformações lineares, neste tópico, veremos a de�nição de núcleo de uma
transformação linear e de imagem de uma transformação linear, assim como
suas respectivas propriedades e exemplos.
Núcleo de uma transformação
linear
Chamamos de núcleo de uma transformação linear T :V → W o conjunto de
todos os vetores v ∈ V que são transformados em 0 ∈ W. Este conjunto é
indicado por N(T):
N(T) = {v ∈ V /T(v) = 0}
Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem
de umade uma
TransformaçãoTransformação
LinearLinear
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Observação : N(T) ≠ ⊘ , pois 0 ∈ N(T) uma vez que T(0) = 0
Exemplo 3.6 : o núcleo da transformação linear T : ℜ2 → ℜ2,
T(x, y) = (x − 2y, x + 3y) é o conjunto N(T) ={(x, y) ∈ ℜ2 /T(x, y) = (0, 0)}:
(x − 2y, x + 3y) = (0, 0)
x − 2y = 0
x + 3y = 0
a solução do sistema é x = 0 e y = 0
Portanto, N(T) = {(0, 0)}
Imagem de uma Transformação
Linear
A imagem de uma transformação linear T :V → W diz respeito ao conjunto dos
vetores w ∈ W que são imagens de vetores v ∈ V. Este conjunto é indicado por
Im(T):
Im(T) = {w ∈ W /T(v) = w para algum v ∈ V}
Atente-se que, se Im(T) = W, dizemos que T é sobrejetora. Isso signi�ca que
para todo w ∈ W, existe pelo menos um v ∈ V tal que T(v) = w.
Observação : Im(T) ≠ ⊘ , pois 0 = T(0) ∈ Im(T).
Exemplo 3.7 : seja T : ℜ3 → ℜ3, T(x, y, z) = (x, y, 0) a projeção ortogonal do ℜ3
sobre o plano x0y. A imagem de T é o próprio plano x0y, tal que:
Im(T) ={(x, y, 0) ∈ ℜ3 /x, y ∈ ℜ}
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Propriedades do Núcleo e da
Imagem de uma Transformação
Linear
I. o núcleo de uma transformação linear T :V → W é um subespaço vetorial de
V. Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e α um número real qualquer,
então T(v1) = 0, T(v2) = 0 e:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0, ou seja, v1 + v2 ∈ N(T)
T(αv1) = αT(v1) = α0 = 0, ou seja, αv1 ∈ N(T)
II. a imagem de uma transformação linear T :V → W é um subespaço vetorial
de W
III. se V é um espaço vetorial de dimensão �nita e T :V → W uma
transformação linear, então dim N(T) + dim Im(T) = dimV
Exemplo 3.8 : Seja T : ℜ2 → ℜ2, T(x, y) = (x − 2y, 2x + 3y), vamos veri�car se o
vetor (5, 3) pertence ao conjunto Im(T). Para isso, é necessário que exista
(x, y) ∈ ℜ2 tal que T(x, y) = (x − 2y, 2x + 3y) = (5, 3).
Seja o sistema:
x − 2y = 5
2x + 3y = 3
Encontramos a seguinte solução: x = 3 e y = − 1. Portanto, (5, 3) ∈ Im(T).
De�nição : seja T :V → W uma transformação linear de um espaço vetorial V
em um espaço vetorial W, dizemos que T é uma transformação injetora se T
transformar vetores distintos de V em vetores distintos de W.
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De�nição : seja T :V → W uma transformação linear de um espaço vetorial V
em um espaço vetorial W, dizemos que T é uma transformação sobrejetora
sobre W, se qualquer vetor em W for