Rota 04 - Fundamentos da Matematica

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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
RUA 04: FILOSOFIA MATEMÁTICA 
 
 
 
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1 Objetivos 
• Iniciar os estudos da Filosofia Matemática desde o conceito de números. 
2 Conteúdos 
• Johann Gottlob Frege e Os fundamentos da aritmética. 
o O conceito de número: 
▪ Princípios a serem seguidos; 
▪ A partir de onde demonstramos operações com base em proposições gerais? 
▪ Rebatimento aos conceitos que o antecederam; 
• Impressão sensível / dedução ou indução / agregados / etc. 
▪ A definição de Frege e o suporte de Bertrand Russell em “Introdução à Filosofia 
Matemática”. 
o As críticas de Frege às definições que o antecederam; 
o A definição de Frege; 
o A aceitação por Bertrand Russell; 
o Aplicabilidade ao infinito e ao zero. 
 
 
Fundamentos da Matemática - RUA 04: Filosofia da Matemática 
 
 
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3 Desenvolvimento do Conteúdo 
O conceito de número. 
Para começarmos a estudar a Filosofia da Matemática como ciência, devemos partir de suas 
ferramentas mais fundamentais: os números. O que são os números? O que representam? Como se 
define o que é número. 
Johann Gottlob Frege foi o mais detalhista filósofo a propor uma definição de número. 
Princípios. 
Frege inicia seu raciocínio dedicando boa parte dele a refutar definições que o antecederam e 
demonstrando onde elas falham e propõe princípios que devem ser seguidos na busca por uma 
definição mais apropriada: 
• Deve-se separar precisamente o psicológico do lógico, o subjetivo do objetivo; 
• Deve-se perguntar pelo significado das palavras no contexto da proposição, e não isoladamente; 
• Não se deve perder de vista a distinção entre conceito e objeto. 
Demonstração x Proposição geral. 
Uma proposta que simplifica – mas segundo Frege não satisfaz – a demonstração de fórmulas 
numéricas é separar o que é uma proposição geral do que é demonstrável. Suponhamos que por 
definição as operações de soma e sequência sejam consideradas proposição geral até o 10, e a partir 
daí, tudo seria demonstração. Ora, se podemos fazer isso a partir do 10, por que não o fazer a partir do 
5? Ou a partir do 2? Isso demonstra que usar de proposições gerais é uma fuga da questão, e não uma 
verdadeira solução. 
De fato, podemos aproveitar de Leibniz a forma de demonstrar todos os demais números a partir de 
algum ponto. Ainda assim, Frege mostra que na proposição de Leibniz, etapas são puladas. 
Para demonstrar que 2+2=4, podemos partir das seguintes proposições: 
1. 1+1=2 
2. 2+1=3 
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3. 3+1=4 
Portanto, 2+2=4 pode ser demonstrado como 2+2=2+1+1=3+1=4. Mas Frege evidencia que etapas 
foram puladas nessa demonstração, pois o mais preciso seria 2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4. Então há 
mais uma propriedade intermediária que precisaria ser demonstrada que é (a+b)+c=a+(b+c). 
O que são os números? 
Poderíamos dizer que os números são representações intuitivas (ou impressão sensível, segundo 
Stewart Mill) de agrupamentos ou conjuntos de elementos que guardam alguma relação de 
equivalência? Qual seria então a representação intuitiva de “três badaladas de um sino” ou “paladar, 
audição e olfato são três dos nossos sentidos”? 
Dedução ou Indução? 
Para trabalharmos na questão, devemos usar o método dedutivo ou indutivo? 
Estudando ambos os métodos, conclui-se que o método indutivo não é adequado a esse estudo, assim 
como um estudo analítico é preferível a um estudo sintético. 
Partindo dos estudos de Leibniz, concorda que os estudos sobre a natureza dos números deva partir 
do número 1 e, com base nas operações, seguir para todos os demais. Então precisamos definir o que 
é o número 1 e o que é aumentá-lo de uma unidade. 
O nome de um número designa uma propriedade de um agregado? 
A partir dessa ideia de Mill, o número um seria aquele agrupamento que não pode ser dividido, no 
entanto essa definição esbarra no conceito do que significa indivisibilidade e de qual característica 
comum contém a essência daquilo que está agrupado. 
Um conjunto de 1000 grãos de trigo continua sendo o mesmo depois de semeados? Eles precisam estar 
juntos numa bolsa ou podem estar espalhados no campo para serem um conjunto, um agregado? 
Um feixe de palha com 100 talos continua sendo um feixe igual se quebrarmos os talos ao meio? 
Assim, os números não são características intrínsecas dos conjuntos como o seriam a cor, o sabor, a 
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textura… 
Número 1 = unidade? 
Nessa questão Frege rebate diversos conceitos, de Schroeder, Hobbes, Hume e Thomae e defende sua 
própria definição, diferenciando o número 1 da unidade, com base em seus princípios, de acordo com 
o uso no âmbito específico da aritmética. 
As unidades podem ser diferentes, porém os números são indistinguíveis. João é 1 homem, Pedro 
também é 1 homem. Embora cada um seja uma unidade diferente, o número de homens é 1 para 
ambos. Assim, se num conjunto de 3 homens tiramos 2, temos 1 homem. Mas se no conjunto das 
unidades João, Pedro e Lúcio tirarmos Pedro e Lúcio, teremos João. Mas o que acontece se desse 
conjunto tirarmos Antônio e Manuel? Portanto tirar unidades não é a mesma coisa que tirar números. 
A definição de número segundo Frege 
O número de uma classe é a classe de todas as classes que lhe são equipotentes. 
Ex.: O número de um par será a classe de todos os pares, isto é, a classe de todos os pares será o 
número 2. 
Essa é a definição de Frege retomada e suportada por Bertrand Russell, que parte desse estudo em sua 
obra “Introdução à Filosofia Matemática”. 
Aplicação ao infinito e ao zero 
Por fim, Frege demonstra que sua definição se aplica tanto aos números infinitos como ao zero, fazendo 
uma concessão à palavra “conceito” que é usada no âmbito da aritmética conforme seus princípios 
adotados: “Deve-se perguntar pelo significado das palavras no contexto da proposição, e não 
isoladamente”. 
Assim, para o infinito ele aceita os conceitos propostos por Cantor e o zero ele define como “0 é o 
número que convém ao conceito de ‘diferente de si próprio’”. 
 
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4 Sugestões de Leitura e Vídeo 
• Ler a tradução de Fundamentos da Aritmética de J. G Frege. Em especial os parágrafos 45 (em que 
ele resume todo seu contraditório às definições de outros pensadores) e 62 a 83 (onde ele 
desenvolve sua definição de número). 
• Ler o Capítulo II, da referência 2, onde Russell simplifica os conceitos de Frege. 
• Ler o verbete Gottlob Frege da Wikipedia disponível em 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege>. 
• Assistir ao vídeo Dedução e Indução em <https://www.youtube.com/watch?v=L7EI7g_yiaw>. 
 
5 Atividades 
Questão Dissertativa 
Por que Frege rejeita o método indutivo para estudar a definição de números? 
Resposta 
A explicação de Frege se encontra no §17, em que ele diz “(…) as leis fundamentadas por indução não 
bastam. Delas devem ser derivadas novas proposições que não estão contidas em nenhuma particular. 
Que estejam já alojadas no conjunto de todas, isto não dispensa o trabalho de revelá-las e expô-las por 
si mesmas. Abre-se assim a seguinte possibilidade: ao invés de remeter imediatamente uma cadeia de 
raciocínio a um fato, pode-se deixá-lo em suspenso e assumir seu conteúdo como condição. 
Substituindo-se assim em um raciocínio todos os fatos por condições, o resultado obtido terá a forma 
do estabelecimento de dependência de uma consequência com relação a uma série de condições. 
 
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Questão Objetiva 
Sobre a obra “Os Fundamentos da Aritmética - Uma investigação lógico-matemática sobre o conceito 
de número” de Johann Gottlob Frege, podemos afirmar: 
a) Ele busca ser detalhista e rigoroso na conceituação de “número” porque julga essa definição 
essencial a qualquer estudo sobre aritmética e que,até então, não tinha sido definido de 
forma precisa. 
b) Frege concorda em grande parte com a definição dada por Bertrand Russell em sua obra 
“Introdução à Filosofia Matemática”. 
c) Para Frege, não havia diferença entre o número 1 e a Unidade, e ele se utiliza disso para 
estabelecer seu conceito de número. 
d) Frege enunciou que o número um seria aquele agrupamento que não pode ser dividido, e que, 
portanto, a indivisibilidade do conjunto estabelece o conceito de 1. 
e) Frege afirma que a demonstração dada por Leibniz de que 2+2= 2+1+1=3+1=4 a partir de três 
proposições fundamentais é aceitável, mas que faltava definir o número 1 antes de tudo. 
 
Respostas Comentadas: 
A resposta a) está correta. A obra é justamente para estabelecer rigor filosófico sobre o conceito de 
número. 
A resposta b) está errada. pois ocorreu o contrário, Russell deu suporte à definição estabelecida por 
Frege. 
A resposta c) está errada, pois Frege discorda da igualdade 1 = Unidade proposta por Leibniz. 
A resposta d) está errada, pois essa definição foi dada por Mill, e Frege discordou dela. 
A resposta e) está errada, afinal ele demonstrou que há uma etapa faltante nessa demonstração, que 
deveria incluir os parênteses: 2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4 e é preciso demonstrar que 
2+(1+1) =(2+1)+1. 
 
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6 Referências 
FREGE, J. G. Os Fundamentos da Aritmética – Uma investigação lógico-matemática sobre o conceito 
de número. 1ª Ed. INCM – Imprensa Nacional Casa da Moeda, 1992. 
RUSSELL, B. Introdução à Filosofia Matemática. 1ª Ed. CEHFC/EU, 2006.