Avaliação de Calculo II

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AD2
{Álgebra 1 e Teoria dos Números e
Álgebra}
Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro
Professor: Gladson Antunes – 2023.2
Questão 1. [2,5 pontos] Utilize as propriedades de congruências para determinar a solução da equação
47x120 + 7x100 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101)
Solução: Em primeiro lugar vejam que x ≡ 0(mod 101) não é solução uma vez que não vale
2 ≡ 0(mod 101); pois 101 não divide 2. Por outro lado, como 101 é primo, então pelo Pequeno Te-
orema de Fermat temos que
x100 ≡ 1(mod 101)
Logo,
47x120 ≡ 47x20(mod), e 7x100 ≡ 7(mod 101)
e, portanto
47x120 + 7x100 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101) ⇐⇒
47x20 + 7 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101) ⇐⇒
101x20 + 25x+ 9 ≡ 0(mod 101) ⇐⇒
25x ≡ −9(mod 101) ⇐⇒
100x ≡ −36(mod 101) ⇐⇒
−x ≡ −36(mod 101) ⇐⇒
x ≡ 36(mod 101).
Ou seja, x = 36 + 101k, com k ∈ Z.
Critério de correção
• 0,5 ponto se percebeu que x ≡ 0(mod 101) não é solução da equação dada.
• 0,5 se aplicou corretamente o Teorema de Fermat e obteve x100 ≡ 1(mod 101)
• 1,5 distribuido pelo restante do desenvolvimento.
Questão 2. [3,0 pontos]
(a) (1, 5 ponto) Prove que podemos determinar os algarismos da dezena e da unidade de um número N
qualquer representado na base 10 efetuando a divisão de N por 100.
(b) (1, 5 ponto) Qual é o algarismo das unidades de 7888? E o das dezenas? Justifique sua resposta.
Solução:
(a) Seja N = an10n + an−110n−1 + ...+ a2102 + a110+ a0, com a0, a1, ..., an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a representação do número N na base 10. Se colocarmos 100 = 102 em evidência, exceto nas duas
primeiras parcelas que aparecem do lado direito da igualdade, vamos obter:
N = 102(an10
n−2 + an−110
n−3 + ...+ a2) + a110 + a0.
Isto nos mostra que o resto da divisão de N por 100 é igual a a110 + a0 - veja que o maior valor
possível assumido por a110 + a0 é 99)- ou seja, determinamos desta forma os algarismos da dezena
e da unidade na representação de N na base 10.
(b) Devemos determinar o resto da divisão de 7888 por 100. Notemos que 74 = 2401 e, portanto
74 ≡ 1(mod 100),
donde vem que
7888 = (74)222 ≡ 1(mod 100).
Conclusão: O algarismo das unidades é 1 e o das dezenas é 0.
Critério de correção
(a)
• 0,5 ponto se representou N na base 10 por N = an10n + an−110n−1 + ...+ a2102 + a110 + a0;
• 0,5 se evidenciou 102 na representação anterior para N ;
• 0,5 ponto pela conclusão correta.
(b)
• 0,5 ponto se obteve uma boa congruência inicial, como por exemplo 74 ≡ 1(mod 100);
• 0,5 ponto se concluiu que 7888 = (74)222 ≡ 1(mod 100);
• 0,5 ponto pela conclusão correta.
Questão 3. [2,5 pontos] Seja Zn o anel dos inteiros módulo n. Um elemento a ∈ Zn é invertível
quando existe um elemento b ∈ Zn tal que a · b = 1 ∈ Zn.
(a) (1,0 ponto) Mostre que um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se, mdc(a, n) = 1.
(b) (0,5 ponto) Encontre os elementos invertíveis e os divisores de zero em Z18.
(c) (1,0 ponto) Resolva a equação 5x = 16x+ 3 no anel Z18. Justifique cada passo.
Solução:
(a) Veja a Proposição 2 na Página 55 da Aula 12 do nosso material didático.
(b) Os invertíveis em Z18 são os elementos a tais que mdc(a, 18) = 1, logo os invertíveis em Z18 são
{1, 5, 7, 11, 13, 17} e os divisores de zero são os elementos não-nulos que não são invertíveis em Z18,
portanto, os divisores de zero são {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16}.
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(c) Se subtrairmos 5x − 3 em ambos os membros da equação 5x = 16x + 3 iremos obter que 11x =
−3 = 15. Para resolvermos essa equação precisamos determinar o inverso de 11 em Z18. Como
mdc (11, 18) = 1 e 1 = 5×11−3×18, então 11×5 = 1. Ou seja, o inverso de 11 em Z18 é 5. Então,
multiplicando por 5 dos dois lados da equação 11x = 15 obtemos x = 15× 5 = 75 = 4× 18+3 = 3.
Portanto, a solução da equação dada são os números inteiros do tipo 3 + 18k, com k ∈ Z.
Critério de correção
(a) 1,0 ponto distribuído pela demonstração correta;
(b) • 0,25 se apresentou corretamente todos os elementos invertíveis em Z18;
• 0,25 se apresentou todos os divisores de zero;
(c) • 0,5 ponto se obteve que o inverso de 11 em Z18 é 5;
• 0,5 ponto se obteve que a solução da equação é dada pelos números inteiros do tipo 3 + 18k,
com k ∈ Z.
Questão 4. [2,0 pontos] Em um pedágio, cada carro paga R$7, 00 e cada motocicleta paga R$4, 00.
Sabendo que foi arrecadado em um certo período de tempo R$142, 00, calcule o maior número de carros
e o maior número de motos possíveis que tenham passado neste pedágio.
Solução: Veja que podemos modelar o problema por meio da equação diofantina 7C + 4M = 142,
onde C é o número de carros e M é o número de motos. Utilizando o algoritmo de Euclides temos que
1 = 7× (−1)+4× (2) o que implica 142 = 7× (−142)+4× (284), de onde concluímos que as soluções
gerais do problema são C = −142 + 4t e M = 284− 7t, com t ∈ Z.
Como o número de carros e motos é maior do que zero, podemos definir os limites para a variável
t ∈ Z. Ou seja, de −142 + 4t > 0 e 284− 7t > 0 concluimos que 36 ≤ t ≤ 40.
Analisando as expressões podemos perceber que quanto maior o valor de t maior será o número de
carros e menor o de motos, e quanto menor o valor de t o número de motos será máximo e o número
de carros será mínimo, ou seja, quando t = 40 então C = 18 e M = 4 e quando t = 36 então C = 2
e M = 32. Desta forma concluímos que passaram no máximo 18 carros ou no máximo 32 motos neste
pedágio.
Critério de correção
• 0, 5 ponto se verificou que o conjunto solução da equação é não vazio;
• 0, 5 ponto se obteve uma solução particular para a equação;
• 0, 5 ponto se obteve corretamente as expressões para a solução geral da equação.
• 0, 5 ponto se mostrou corretamente que x+ y é divisível por 5.
Atenção: Entrega da AD2 exclusivamente via postagem pela Plata-
forma até o dia 03 de outubro.
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