Flexúo composta

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ESTRUTURAS DE AÇO
ANÁLISE ESTRUTURAL
E
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA
Flexão
Simples (sem força axial)
Composta (com força axial)
Normal (ou reta)
Oblíqua
Normal (ou reta)
Oblíqua
FLEXÃO - NOMENCLATURA
Caso mais geral: flexão composta oblíqua
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA - EXEMPLOS
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA - EXEMPLOS
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA - EXEMPLOS
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA - EXEMPLOS
Em regime elástico, assumindo
0,1
Af
Nou 
y

y
ymáx Wf
Mf
W
M
A
N
yy
yy
MWf
NAf

 0,1
yy M
M
N
N
ymáx f obtém-se:
ESTUDO DA FLEXÃO COMPOSTA
Graficamente:
Estendendo para a flexão composta oblíqua:
0,1
















yyxyy
M
M
M
M
N
N
flexão em “x”
flexão em “y”
O conceito de superfícies de interação pode ser generalizado, 
prevendo-se plasticidade e instabilidades:
ABNT NBR 8800:2008 – subseção 5.5
1,0
0,2
0,9 1,0
NSd
MRd
NRd
MSd
MRd
MSd
2 NRd
NSd + < 1,0
MRd
MSd
 NRd
NSd + < 1,09
8
1,0
0,2
0,9 1,0
NSd
MRd
NRd
MSd
MRd
MSd
2 NRd
NSd + < 1,0
MRd
MSd
 NRd
NSd + < 1,09
8
 2,0
Rd
Sd
N
N
0,1
9
8
y,Rd
y,Sd
x,Rd
x,Sd
Rd
Sd 








M
M
M
M
N
N
 2,0
Rd
Sd
N
N
0,1
2 y,Rd
y,Sd
x,Rd
x,Sd
Rd
Sd 








M
M
M
M
N
N
Sd
Sd
M
N
Análise
estrutural
ANÁLISE ESTRUTURAL
Em princípio, deve contemplar:
- Efeitos dos deslocamentos da estrutura (NLG)
- Imperfeições geométricas: globais e locais
- Imperfeições de material (NLF)
fy = 250MPa
I 203x27,30kg/m
ANÁLISE ESTRUTURAL - EXEMPLO
EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
(influência da geometria deformada da estrutura)
P 
P 


P 
P 


Efeito local de segunda ordem (P-)
Efeito global de segunda ordem (P-∆)
local
global
Efeito local de segunda ordem (P-)
É de interesse, pois a força axial
amplifica o momento fletor
yNMM  0
y
parcela de
2ª. ordem
1ª. ordem
Efeito local de segunda ordem (P-)
Solução geral da flexo-compressão:
2
0
2
2
2
2 )()()(
dz
zMdzMk
dz
zMd
 EI
Nk 2onde
Obtida a função M(z) tem-se o valor de Mmáx na barra
Efeito local de segunda ordem (P-)
Solução aproximada: elástica senoidal
L
zseny 00

e
t
N
N


1
1
00 
fator de amplificação
do deslocamento
Efeito local de segunda ordem (P-)
Amplificação do momento fletor:
e
m
e
máx
N
N
CM
N
NNMM




11
1 000 
amplificação
do momento fletor
e
m N
NC  1
1
0
0 
M
Ne
Efeito local de segunda ordem (P-)
faixa usual
Efeito local de segunda ordem (P-)
Exemplo 1: barra sob momento fletor constante
e
e
máx
N
N
N
N
MM



1
234,01
 0
234,0181
0
2
22
0
0
0 
M
L
EI
EI
LM
M
Ne



EI
LM
8
2
0
0 
M0 M0
Efeito local de segunda ordem (P-)
Exemplo 2: barra sob força uniformemente distribuída
e
e
máx
N
N
N
N
MM



1
028,01
 0
ee
m N
N
N
NC 028,011  
028,01
0
0 
M
Ne
Efeito local de segunda ordem (P-)
Nas barras sem carregamento transversal
(apenas momento fletor nas extremidades) 
)cos1(2
1cos)/(2)/( 21
2
21
2
2 kL
kLMMMM
M
MCMCM EmmE 


Expressão
simplificada: 2
14,06,0
M
MCm 
0/ 21 MM
0/ 21 MM
1ª. ordem
2ª. ordem
M1 M2
Efeito local de segunda ordem (P-)
Amplificação do momento fletor:
solução exata versus solução aproximada
e
m
máx
e
mmáx
e
Emáx
N
N
CMM
N
NMCM
N
NMM






1
1
1
1
1
2
2
ABNT NBR 8800:2008 – anexo D
Coeficiente de amplificação correspondente ao
efeito local de 2ª. ordem (efeito P-)
0,1
1
1 


e
m
N
N
CB
2
14,06,0
M
MCm 
- se houver forças transversais entre as extremidades:
- se não houver forças transversais entre as extremidades:
0,1mC
e
m N
NC  1
ou, simplificadamente, 
Efeito global de segunda ordem (P-∆)
P 
P 


P 
P 


 PMM 0
1ª. ordem
Parcela de 2ª. ordem
Efeito global de segunda ordem (P-∆)
N
EI
H
M = M + N = Hh + N
h

0
N
EI
H
M = M + N = Hh + N
h

0
Da análise de 1ª. ordem:
EI
Hh
HhM
3
3
0
0


Da análise de 2ª. ordem:
Hh
N
M
N
M
NMB
MBNMM







11
00
0
2
020
Coeficiente de
amplificação
Efeito global de segunda ordem (P-∆)
EI
H = H + 
M = Hh + N
h


eq h
 N
EI
H = H + 
M = Hh + N
h


eq h
 N
O deslocamento ∆ pode ser avaliado 
considerando a barra com uma força 
horizontal equivalente Heq que conduza 
ao mesmo momento fletor na base (M):
(1) ... 1
3333
02000
33
33





 









 

 
B
Hh
N
Hh
N
H
H
EIh
hN
EI
Hh
EI
h
h
NH
EI
hH
HH
eq
h
N
eq
Portanto, B2 é também coeficiente de amplificação do deslocamento
Efeito global de segunda ordem (P-∆)
Com base na expressão (1):



Sd
Sdh
s H
N
hR
B
11
1
2
Generalizando para um andar e adequando a simbologia, resulta a 
expressão de B2 apresentada no anexo D da ABNT NBR 8800:2008 
Coeficiente de amplificação
correspondente ao efeito global
de 2ª. ordem (efeito P-∆)
Rs é um coeficiente de ajuste
= 0,85 para pórticos
= 1,0 para demais casos
Hh
NBHh
NB
Hh
NBB
Hh
BNB
0
2
0
2
0
22
02
0002
1
1 11
1 )(







 




1,0
0,2
0,9 1,0
NSd
MRd
NRd
MSd
MRd
MSd
2 NRd
NSd + < 1,0
MRd
MSd
 NRd
NSd + < 1,09
8
ABNT NBR 8800:2008
Análise estrutural !!!
(subseção 4.9)
Em princípio deve-se considerar
todos os efeitos que contribuem 
para a instabilidade:
- geometria deformada da estrutura
(efeitos P- e P-∆)
- imperfeições geométricas
- imperfeições de material
(não linearidade física)
ABNT NBR 8800:2008
P 
P 


P 
P 


Influência da geometria deformada da estrutura
(efeitos P- e P-∆)
ABNT NBR 8800:2008
Imperfeições geométricas iniciais
L
NSd

NSd
NSd
=
NSd
H
H
L
NSd

NSd
NSd
=
NSd
H
H
333
L

ou, pela aplicação de forças horizontais
equivalentes (forças nocionais):
SdNH 003,0
(imperfeição global)
Obs:
a imperfeição local () pode ser
suprimida, pois já está contemplada
nas curvas de dimensionamento!
ABNT NBR 8800:2008
Imperfeições geométricas iniciais
Forças horizontais
equivalentes
(efeito P-∆)


ABNT NBR 8800:2008
Imperfeições de material na
resposta da estrutura
0,8E
E
Procedimento:
análise elástica reduzindo
a rigidez axial (EA) e à flexão (EI)
para 80% dos valores originais
Obs:
o efeito das imperfeições de
material no esforço resistente
da barra é considerado nas
curvas de dimensionamento!
ABNT NBR 8800:2008
Qual a importância dos efeitos mencionados?
4.9.4 – Classificação da estrutura quanto
à sensibilidade a deslocamentos
laterais 1
2
u
u
Desloc. 2ª. ordem
Desloc. 1ª. ordem
1,1
1
2 
u
u
4,11,1
1
2 
u
u
4,1
1
2 
u
u
Pequena deslocabilidade:
Média deslocabilidade:
Grande deslocabilidade:
4.9.6 – Considerações para dimensionamento
ABNT NBR 8800:2008
- o procedimento é calibrado para K = 1, isto é, KL = L
- deve ser feita análise elástica de 2ª. ordem
- para estruturas de pequena deslocabilidade, pode ser feita
análise de 1ª. ordem (sob certas condições)
FÓRMULA DE EULER GENERALIZADA
Conceito de comprimento efetivo de flambagem (KL)
(introduzido por Jasinsky em 1893)
2
2
)(KL
EINe


Comprimento da
barra bi-articulada
equivalente
FÓRMULA DE EULER GENERALIZADA
Conceito de comprimento efetivo de flambagem (KL)
2
2
)(KL
EINe


Comprimento da
barra bi-articulada
equivalente
K = ?
4.9.7 – Determinação dos esforços solicitantes para ELU
ABNT NBR 8800:2008
P1
P2
P3
P1
P2
P3
# Estruturas de pequena e média delocabilidade:
Considerar imperfeições
geométricas:
 PFn 003,0
(carregamento lateral mínimo, isto é,
não precisa ser somado às ações
horizontais atuantes)
Considerar imperfeições de
material, admitindo 0,8E. Entretanto,
não é necessário considerá-la no
caso de pequena deslocabilidade.
Fn1
Fn3
Fn2
4.9.7 – Determinação dos esforços solicitantespara ELU
ABNT NBR 8800:2008
# Estruturas de grande delocabilidade:
Deve ser feita análise rigorosa levando-se
em consideração as não linearidades
geométricas e de material.
4,1
1
2 
u
u
(não são comuns na prática!)
4.9.8 – Determinação de respostas para ELS
ABNT NBR 8800:2008
Não é necessário considerar as imperfeições
geométricas e de material
Para estruturas de pequena e média deslocabilidade:
pode ser feita análise elástica de 1ª. ordem.
Para estruturas de grande deslocabilidade:
deve ser feita análise elástica de 2ª. ordem.
Como proceder quanto à
análise elástica de 2ª. ordem?
- Programas computacionais de análise estrutural
(comuns nos escritórios de projeto estrutural)
- Método da amplificação dos esforços de 1ª. ordem
(Anexo D – NBR 8800:2008)
Alternativa:
Método da amplificação dos esforços solicitantes de 1ª. ordem
“Método B1 – B2”
no translation lateral translation
tntSd
tntSd
NBNN
MBMBM


2
21


0,1
1 1
1 


e
Sd
m
N
N
C
B



Sd
Sdh
s H
N
hR
B
11
1
2
EXEMPLOS
Exemplo 1 – pórtico de um pavimento
Ações: valores nominais
Aço: ASTM A36
Combinação Descrição 
C1 (apenas ações gravitacionais) 1,4 PP + 1,5 SC + FHE 
C2 (todas as ações – sobrecarga como principal) 1,4 PP + 1,5 SC + (1,4x0,6)Vento 
C3 (todas as ações – vento como principal) 1,4 PP + 1,4 Vento + (1,5x0,5)SC 
PP é ação permanente 
SC é sobrecarga de utilização 
FHE (força horizontal equivalente) = 0,003(1,4x10x36,6 + 1,5x11,5x36,6) = 3,4 kN 
Combinação Descrição 
C1 (apenas ações gravitacionais) 1,4 PP + 1,5 SC + FHE 
C2 (todas as ações – sobrecarga como principal) 1,4 PP + 1,5 SC + (1,4x0,6)Vento 
C3 (todas as ações – vento como principal) 1,4 PP + 1,4 Vento + (1,5x0,5)SC 
PP é ação permanente 
SC é sobrecarga de utilização 
FHE (força horizontal equivalente) = 0,003(1,4x10x36,6 + 1,5x11,5x36,6) = 3,4 kN 
Combinações de ações
Classificação da estrutura quanto à deslocabilidade
(imperfeições de material não necessitam ser consideradas nesta fase)
Configuração deformada
da estrutura
Combinação u1 (cm) u2 (cm) u2 / u1 
C1 1,4 PP + 1,5 SC + FHE 1,88 2,33 1,24 
C2 * 1,4 PP + 1,5 SC + 0,84 Vento 2,66 3,31 1,24 
C3 1,4 PP + 1,4 Vento + 0,75 SC 2,94 3,43 1,17 
* Combinação recomendada para efeito de classificação 
 (NBR 8800 - subseção 4.9.4.6). 
Combinação u1 (cm) u2 (cm) u2 / u1 
C1 1,4 PP + 1,5 SC + FHE 1,88 2,33 1,24 
C2 * 1,4 PP + 1,5 SC + 0,84 Vento 2,66 3,31 1,24 
C3 1,4 PP + 1,4 Vento + 0,75 SC 2,94 3,43 1,17 
* Combinação recomendada para efeito de classificação 
 (NBR 8800 - subseção 4.9.4.6). 
Estrutura de média deslocabilidade, pois 4,11,1
1
2 
u
u
- análise de 2ª. ordem (efeitos P-∆ e P-)
(programa Acadframe)
- imperfeições geométricas (FHE)
- imperfeições de material
(análise elástica com redução
de rigidez: 0,8E)
(K = 1)
Pilar central: 1ª. ordem x 2ª. ordem – combinação C2
MSd (kN.m) – 1ª. ordem
MSd (kN.m) – 2ª. ordem
M2 / M1 = 1,22u2 / u1 = 1,24
Comb.
Nc,Sd 
(kN) 
MSd 
(kN.m) 
C1 711,6 91,9 
C2 713,8 133,6 
C3 518,8 139,3 
 
Comb.
Nc,Sd 
(kN) 
MSd 
(kN.m) 
C1 711,6 91,9 
C2 713,8 133,6 
C3 518,8 139,3 
 
Esforços resistentes:
NRd = 1.194kN
Obs: calculado com K = 1
MRd = 327kN.m
Interação (combinação C2):
0,1961,0
327
134
9
8
194.1
7140,1
9
8






Rd
Sd
Rd
Sd
M
M
N
N
OK!
Esforços solicitantes
(obtidos via Acadframe)
Verificação do pilar central
(W 360X79)
Análise estrutural via método da amplificação dos esforços de 1ª. ordem
“Método B1 – B2”
tntSd
tntSd
NBNN
MBMBM


2
21


0,1
1 1
1 


e
Sd
m
N
N
CB



Sd
Sdh
s H
N
hR
B
11
1
2
Efeito P-
Efeito P-∆
Classificação da estrutura quanto à deslocabilidade
(imperfeições de material não necessitam ser consideradas nesta fase)
26,1
31
144.1
550
64,2
85,0
11
1
11
1
2 























Sd
Sdh
s H
N
hR
B
B2 estima a relação u2 / u1
média
deslocabilidade
(obs: via Acadframe: u2 / u1 = 1,24) 
Portanto, o coeficiente B2 deve ser recalculado com 0,8E
Estrutura “nt”
Estrutura “ℓt”
kNNnt 6,706 mkNM nt .76,5
kNN t 5 mkNM t .109
0,1
1 1
1 


e
Sd
m
N
N
C
B 0,164,0
857.11
6,7111
6,0
1 

B 0,11 B
6,04,06,0
2
1 
M
MCm
kNNNN tntSd 6,71156,7061  
kNxx
L
IE
NN
x
x
exe 857.11
550
713.22)000.208,0()8,0(
2
2
2
2


Cálculo do coeficiente B1
0
Cálculo do coeficiente B2
35,1
31
144.1
550
3,3
85,0
11
1
11
1
2 























Sd
Sdh
s H
N
hR
B
  kNNSd 144.1
  kNHSd 31
(carga gravitacional total no andar)
(força cortante no andar referente à estrutura ℓt)
cmh 3,3 (deslocamento horizontal referente à estrutura ℓt)
85,0sR (coeficiente de ajuste – estrutura do tipo pórtico)
cmh 550 (altura do andar)
kNxNBNN
mkNxMBMBM
tntSd
tntSd
4,713535,16,706
.14110935,1)76,5(0,1
2
21




Resulta:
 Análise de 2ª. ordem 
(1) 
Método B1-B2 
(2) 
(2)/(1) 
MSd (kN.m) 133,6 141 1,05 
NSd (kN) 713,8 713,4 1 
 Análise de 2ª. ordem 
(1) 
Método B1-B2 
(2) 
(2)/(1) 
MSd (kN.m) 133,6 141 1,05 
NSd (kN) 713,8 713,4 1 
OK
M
M
N
N
Rd
Sd
Rd
Sd 





 0,198,0
6,326
141
9
8
194.1
4,713
9
8
Exemplo 2 – barra isolada sob compressão centrada
Objetivo: confrontar o método da análise direta com o
método do comprimento efetivo de flambagem para o
dimensionamento de uma barra isolada submetida à
compressão axial, no caso uma barra em balanço.
I 203 x 27,30 kg/m
h 
= 
4.
00
0
 
 
I 203x27,30 kg/m (aço ASTM A36) 
 
Propriedades geométricas: 
 
Ag = 34,8 cm2 
 
Ix = 2.400 cm4 
 
rx = 8,3 cm 
 
Z = 268 cm3 
 
I 203 x 27,30 kg/m
h 
= 
4.
00
0
 
 
I 203x27,30 kg/m (aço ASTM A36) 
 
Propriedades geométricas: 
 
Ag = 34,8 cm2 
 
Ix = 2.400 cm4 
 
rx = 8,3 cm 
 
Z = 268 cm3 
 
Hipótese: barra contida lateralmente, bem como à torção.
200101
3,8
400x1,2
r
LK
x
xx
x 
I 203 x 27,30 kg/m
h 
= 
4.
00
0
I 203 x 27,30 kg/m
h 
= 
4.
00
0
Para barras isoladas, a ABNT NBR 8800:2008
prevê como alternativa o método do comprimento
efetivo de flambagem. Nesse caso recomenda-se
Kx = 2,1 (barra em balanço).
kN 671
)LK(
EI
NN
2
xx
x
2
exe 


14,1
N
fQA
e
yg
0  58,0 kNNRd 460
Flambagem local: resulta Q = 1,0
Solução via método da análise direta: K = 1 e imperfeições
Admitindo NSd = NRd = 460 kN (sem folga pelo método do comprimento
efeitvo de flambagem), resulta: 
Imperfeição geométrica: FHE = 0,003NSd = 0,003 x 460 = 1,38kN
Análise de 2ª. ordem via método B1 – B2
1,38 kN
ESTRUTURA ORIGINAL
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA "nt"
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA " t"
+

1,38 kN
ESTRUTURA ORIGINAL
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA "nt"
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA " t"
+

Da estrutura t : 
cm 613,0
cm.kN 552M
0N
h
t
t





 
1,38 kN
ESTRUTURA ORIGINAL
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA "nt"
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA " t"
+

1,38 kN
ESTRUTURA ORIGINAL
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA "nt"
460 kN
1,38 kN
ESTRUTURA " t"
+

Da estrutura nt: 
Nnt = 460 kN 
Mnt = 0 
4,151,2
38,1
460
400
613,0
85,0
11
1
H
N
hR
11
1B
Sd
Sdh
s
2 







Classificação: considera-se a rigidez original (EI)
grande
deslocabilidade
Deve-se considerar a imperfeições de material – rigidez reduzida (0,8EI)
02,4B
cm 766,0
2
h


cm.kN 219.2552x02,4MBMBM
kN 460NBNN
t2nt1Sd
t2ntSd




0
0
B1 não se aplica, pois Mnt = 0
NRd = 699 kN (calculado considerando K = 1,0)
MRd = Zfy/a1 = 268x25/1,1 = 6.091 kN.cm
Esforços
solicitantes
Esforços
resistentes
OK! 0,198,0324,0658,0
091.6
219.2
9
8
699
4600,1
9
8
N
N
Rd
Sd 





Rd
Sd
M
M
Resumo dos resultados
Análise direta: resultados para outros comprimentos da barra