Mecanica dos materiais 171 - 180

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3.6. Eixos estaticamente indeterminados
Vimos na Seção 3.4 que, para determinar as tensões em um eixo, era 
necessário primeiro calcular os momentos torçores internos nas várias seções 
do eixo. Esses momentos eram obtidos por meio da estática, desenhando o 
diagrama de corpo livre da parte do eixo localizada em um lado de determi-
nada seção e escrevendo que a soma dos momentos exercidos naquela parte 
era zero.
No entanto, há situações nas quais os momentos de torção internos não 
podem ser determinados somente pela estática. Na verdade, nesses casos os 
próprios momentos externos, isto é, os torques aplicados no eixo pelos apoios 
e conexões não podem ser determinados pelo diagrama de corpo livre do eixo 
inteiro. As equações de equilíbrio devem ser complementadas por relações 
que envolvem as deformações do eixo e obtidas considerando-se a geome-
tria do pro blema. Em virtude da estática não ser sufi ciente para determinar 
os momentos externos e internos, dizemos que os eixos são estaticamente 
indeterminados. O exemplo apresentado a seguir e o Problema Resolvido 
3.5 mostrarão como ana lisar eixos estaticamente indeterminados.
Para o conjunto da Fig. 3.26, sabendo que rA � 2rB, determine 
o ângulo de rotação da extremidade E do eixo BE quando lhe é 
aplicado o torque T em E.
Primeiro determinamos o torque TAD aplicado ao eixo AD. 
Observando que forças F e F¿ iguais e opostas são aplicadas nas 
duas engrenagens em C (Fig. 3.27), e lembrando que rA � 2rB, 
concluímos que o torque aplicado no eixo AD é duas vezes maior 
que o torque aplicado no eixo BE; assim, TAD � 2T.
 
A
B
C
F
F'
rA rB
Como a extremidade D do eixo AD está fi xa, o ângulo de 
rotação fA da engrenagem A é igual ao ângulo de torção do eixo, 
e é obtido escrevendo-se
fA
TADL
JG
2TL
JG
Observando que os arcos CC¿ e CC– na Fig. 3.26b devem ser 
iguais, escrevemos que rAfA � rBfB e obtemos
fB 1rA rB2fA 2fA
Temos, portanto,
fB 2fA
4TL
JG
Considerando agora o eixo BE, lembramos que o ângulo de 
torção desse eixo é igual a fE�B e corresponde ao giro da extremi-
dade E em relação à extremidade B. Temos
fE B
TBEL
JG
TL
JG
O ângulo de rotação da extremidade E é obtido escrevendo-se
 
4TL
JG
TL
JG
5TL
JG
fE fB fE B
EXEMPLO 3.4
 173
Fig. 3.27
174 Torção
Um eixo circular AB consiste em um cilindro de aço de 
240 mm de comprimento e 22 mm de diâmetro, no qual foi feito 
um furo de 120 mm de profundidade e 16 mm de diâmetro na 
extremidade B. O eixo está engastado a suportes fi xos em ambas 
as extremidades, e é aplicado um torque de 120 N · m na sua seção 
média (Fig. 3.28). Determine o torque aplicado no eixo por cada 
um dos suportes.
Desenhando o diagrama de corpo livre do eixo e chamando 
de TA e TB os torques aplicados pelos suportes (Fig. 3.29a), obte-
mos a equação de equilíbrio
TA TB 120 N m
Como essa equação não é sufi ciente para determinar os dois tor-
ques desconhecidos TA e TB, o eixo é estaticamente indetermi-
nado.
No entanto, TA e TB podem ser determinados se observarmos 
que o ângulo de torção total do eixo AB deve ser zero, pois am-
bas as extremidades estão rigidamente fi xadas. Cha mando de f1 
e f2, respectivamente, os ângulos de torção das partes AC e CB, 
escrevemos
f f1 f2 0
Com base no diagrama de corpo livre de uma pequena parte 
do eixo incluindo a extremidade A (Fig. 3.29b), notamos que 
o momento torçor interno T1 em AC é igual a TA. Por meio do 
diagrama de corpo livre de uma pequena parte do eixo incluindo 
a extremidade B (Fig. 3.29c), notamos que o momento torçor 
interno T2 em CB é igual a TB. Usando a Equação (3.16) e obser-
vando que as partes AC e CB do eixo giram em sentidos opostos, 
escrevemos
f f1 f2
TAL1
J1G
TBL2
J2G
0
Resolvendo para o torque TB, temos
TB
L1 J2
L2 J1
 TA
Substituindo os valores numéricos
J2
1
2p 3 10,011 m24 10,008 m24 4 1,66 10 8 m4J1
1
2p 10,011 m24 2,30 10 8 m4L1 L2 120 mm
obtemos
TB 0,720 TA
Substituindo essa expressão na equação de equilíbrio original, es-
crevemos
TA 69,77 N m TB 50,23 N m
1,720 TA 120 N m
EXEMPLO 3.5
120 mm
120 mm
120 N · m
B
A
(a)
(b)
(c)
TBT1
T2
TA
TB
TA
A
A
C
B
B
120 N · m
Fig. 3.28
Fig. 3.29
174
175
PROBLEMA RESOLVIDO 3.3
O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques 
mostrados na fi gura. Foi feito um furo de 44 mm de diâmetro na parte CD do eixo. 
Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G � 77 GPa, determine o ângulo 
de torção na extremidade A.
SOLUÇÃO
Como o eixo consiste em três partes AB, BC e CD, cada uma delas com seção 
transversal constante e momento torçor interno constante, pode ser utilizada a Equa-
ção (3.17).
Estática. Cortando o eixo em uma seção transversal entre A e B e utilizando o 
diagrama de corpo livre mostrado na fi gura, encontramos1250 N m2 TAB 0 TAB 250 N m©Mx 0:
Cortando agora o eixo em uma seção entre B e C, temos1250 N m2 12 000 N m2 TBC 0 TBC 2 250 N m©Mx 0:
Como não é aplicado nenhum torque em C,
TCD TBC 2 250 N m
Momentos polares de inércia
JCD
p
2
 1c24 c142 p2 3 10,030 m24 10,022 m24 4 0,904 10 6 m4
JBC
p
2
 c4
p
2
 10,030 m24 1,272 10 6 m4
JAB
p
2
 c4
p
2
 10,015 m24 0,0795 10 6 m4
Ângulo de torção. Utilizando a Equação (3.17) e lembrando que G � 77 GPa 
para o eixo inteiro, temos
fA 2,31° fA 10,0403 rad2 360°2p rad
 0,01634 0,00459 0,01939 0,0403 rad
fA
1
77 GPa
c 1250 N m2 ˛10,4 m2
0,0795 10 6 m4
12 2502 ˛10,22
1,272 10 6
12 2502 ˛10,62
0,904 10 6
d
fA a
i
 
TiLi
JiG
1
G
aTABLAB
JAB
TBCLBC
JBC
TCDLCD
JCD
b
B
D
C
A
2 000 N · m
0,2 m
0,4 m
0,6 m
60 mm
30 mm
250 N · m
44 mm
A x
TAB
250 N · m
B
A
TBC
2 000 N · m
250 N · m
x
22 mm
15 mm
30 mm
30 mm
AB BC CD
C
B
A
Af
D
176
PROBLEMA RESOLVIDO 3.4
Dois eixos cheios de aço estão acoplados pelas engrenagens mostradas na fi gura. Sa-
bendo que para cada eixo G � 77,2 GPa, e que a tensão de cisalhamento admissível é 
de 55 MPa, determine (a) o maior torque T0 que pode ser aplicado à extremidade A do 
eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira.
SOLUÇÃO
Estática. Chamando de F a intensidade da força tangencial entre os dentes da 
engrenagem, temos
Engrenagem B .
Engrenagem C . F162 mm2 TCD 0©MC 0: TCD 2,82T0F122 mm2 T0 0©MB 0: (1)
Cinemática. Notando que os movimentos periféricos das engrenagens são 
iguais, escrevemos
 rBfB rCfC fB fC
rC
rB
fC
62 mm
22 mm
2,82fC 
(2)
a. Torque T0
Eixo AB. Com TAB � T0 e c � 9,5 mm, juntamente com uma tensão de cisalha-
mento máxima admissível de 55 MPa, escrevemos
t
TAB c
J
 55 MPa
T019,5 mm2
1
2p 19,5 mm24 T0 74,07 N m
Eixo CD. De (1) temos TCD � 2,82 T0. Com c � 12,5 mm e tadm � 55 MPa, 
escrevemos
t
TCD c
J
 55 MPa
2,82T0112,5 mm2
1
2p 112,5 mm24 T0 59,84 N m
Torque máximo permitido. Escolhemos o menor valor obtido para T0
T0 59,84 N m 
b. Ângulo de rotação da extremidade A. Primeiro calculamos o ângulo de tor-
ção para cada eixo.
Eixo AB. Para TAB � T0 � 59,84 N � m, temos
fA B
TABL
JG
159,84 N m2 ˛10,650 m2
1
2p 10,0095 m24177,2 109 N/m22 0,0394 rad 2,26°
Eixo CD. TCD � 2,82 T0 � 2,82(59,84 N · m)
fC D
TCDL
JG
2,82159,84 N m2 ˛10,900 m2
1
2p10,012 m24177,2 109 N/m22 0,0604 rad 3,46°
Como a extremidade D do eixo CD está fi xa, temos fC � fC�D � 3,46°. Usando 
(2), calculamos que o ângulo de rotação da engrenagem B deve ser
fB 2,82fC 2,8213,46°2 9,76°
Para a extremidade A do eixo AB, temos
fA 12,02° fA fB fA B 9,76° 2,26°
650 mm
19 mm
25 mm
900 mm
22 mm
62 mm
A T0
D
C
B
C
B
TAB � T0 
TCD
F
F
rC � 62 mm
rB � 22 mm
�C
C B
�B
rB = 22 mmrC = 62 mm
650 mm
B
TAB � T0 
TAB � T0 
c = 9,5 mm A
900 mm
TCD
TCD
c = 12 mm
D
C
C
B
D
A
�A � 12,02�
�B� 9,76�
�C � 3,46�
177
PROBLEMA RESOLVIDO 3.5
Um eixo de aço e um tubo de alumínio são engastados a um suporte rígido e conecta-
dos a um disco também rígido, conforme está indicado na fi gura. Sabendo que as ten-
sões iniciais são iguais a zero, determine o torque máximo T0 que podeser aplicado 
ao disco se as tensões admissíveis são de 120 MPa no eixo de aço e 70 MPa no tubo 
de alumínio. Use G � 77 GPa para o aço e G � 27 GPa para o alumínio.
50 mm76 mm
8 mm
500 mm
30 mm
0,5 m
T1
1�
�J1 � �(38 mm)
4 � (30 mm)4�2
G1 � 27 GPa
Alumínio
� 2,003 	 10�6m4
38 mm
25 mm
T2
2f
pJ1 5 @(25 mm)
4
 #2
G1 5 77 GPa
Aço
5 0,614 3 1026m4
0,5 m
T1
T2
T0
SOLUÇÃO
Estática. Diagrama de corpo livre do disco. Chamando de T1 o torque exercido 
pelo tubo no disco, e de T2 o torque exercido pelo eixo no disco, encontramos
 T0 T1 T2 (1)
Deformações. Como o tubo e o eixo estão conectados ao disco rígido, temos
 
T2 0,874T1
T1 10,5 m212,003 10 6 m42 127 GPa2 T2 10,5 m210,614 10 6 m42 177 GPa2
f1 f2: 
T1L1
J1G1
T2L2
J2G2
 (2)
Tensões de cisalhamento. Vamos, inicialmente, considerar que a condição 
t alum � 70 MPa é crítica. Para o tubo de alumínio, temos
T1
talum J1
c1
170 MPa2 12,003 10 6 m42
0,038 m
3 690 N m
Utilizando a Equação (2), calculamos o valor correspondente de T2 e depois encontra-
mos a tensão de cisalhamento máxima no eixo de aço.
taço
T2 c2
J2
13 225 N m2 10,025 m2
0,614 10 6 m4
131,3 MPa
T2 0,874T1 0,874 13 6902 3 225 N m
Notamos que a tensão admissível de 120 MPa no aço é excedida, logo, a nossa supo-
sição estava errada. Então o torque máximo T0 será obtido fazendo t aço � 120 MPa. 
Primeiro determinamos o torque T2.
T2
taço J2
c2
1120 MPa2 10,614 10 6 m42
0,025 m
2 950 N m
Da Equação (2), temos
 2 950 N m 0,874T1 T1 3 375 N m
Utilizando a Equação (1), obtemos o torque máximo admissível
T0 6,325 kN m 
T0 T1 T2 3 375 N m 2 950 N m
PROBLEMAS
3.31 (a) Para o eixo de alumínio mostrado (G � 27 GPa), determine o tor-
que T0 que provoca um ângulo de torção de 2° e (b) o ângulo de torção provocado 
pelo mesmo torque T0 em um eixo cilíndrico cheio de mesmo comprimento e mes-
ma área.
3.32 (a) Para o eixo de aço com seção transversal cheia mostrado (G � 
77 GPa), determine o ângulo de torção em A. (b) Resolva a parte (a) considerando 
que o eixo de aço é vazado com 30 mm de diâmetro externo e 20 mm de diâmetro 
interno.
3.33 O navio em A está começando a perfurar um poço de petróleo no fun-
do do oceano a uma profundidade de 1524 m. Sabendo que o topo da broca de aço 
(G � 77,2 GPa) de 203 mm de diâmetro dá duas voltas completas até que a broca em 
B comece a girar, determine a tensão de cisalhamento máxima provocada na broca 
pela torção.
3.34 Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0 m 
de comprimento (G � 77,2 GPa), se a barra deve ser girada em 30° sem exceder a 
tensão de cisalhamento de 82,7 MPa.
3.35 O motor elétrico aplica um torque de 500 N � m no eixo de alumínio 
ABCD, quando ele está girando a uma rotação constante. Sabendo que G � 27 GPa e 
que os torques exercidos sobre as polias B e C são aqueles mostrados na fi gura, deter-
mine o ângulo de torção entre (a) B e C e (b) B e D.
226 N · m30 mm
A
1,80 m
300 N · m
A
200 N · m
1 m
1,2 m
0,9 m
44 mm
40 mm
B
C
48 mm
D
1 524 m
A
B
B
A
2,5 m
40 mm
50 mm
T0
178
Fig. P3.31
Fig. P3.32
Fig. P3.35
Fig. P3.33
3.36 Os torques mostrados são aplicados nas polias A, B e C. Sabendo que 
ambos os eixos têm seção transversal cheia e são feitos de latão (G � 39 GPa), deter-
mine o ângulo de torção entre (a) A e B e (b) A e C.
800 N · m
40 mm
1,8 m
C
1200 N · m
30 mm400 N · m
B
1,2 mA
3.37 A barra de alumínio BC (G � 26 GPa) está ligada à barra de latão AB 
(G � 39 GPa). Sabendo que cada barra é de seção cheia e tem um diâmetro de 12 mm, 
determine o ângulo de torção (a) em B e (b) em C.
3.38 A barra de alumínio AB (G � 27 GPa) está ligada à barra de latão BD 
(G � 39 GPa). Sabendo que a parte CD da barra de latão é vazada e tem um diâmetro 
interno de 40 mm, determine o ângulo de torção em A.
3.39 Três eixos sólidos, cada um deles com 19,05 mm de diâmetro, são conec-
tados pelas engrenagens mostradas. Sabendo que G � 77,2 GPa, determine (a) o ângu-
lo de torção na seção A do eixo AB e (b) o ângulo de torção da seção E do eixo EF.
A 4 in.152,4 mm
50,8 mm
B
9 144 mm
1 219 mm
C
E
D
F
r 38,1 mm
TA 11,30 kN · mm
TE 22,60 kN · mm
��
��
�
�
��
��
400 mm
375 mm
250 mm
D
60 mm
36 mm
TA 5 800 N · m
TB 5 1600 N · m
C
B
A
Latão
200 mm
300 mm
A
B
C
Alumínio
100 N · m
Fig. P3.36
Fig. P3.37
Fig. P3.38
Fig. P3.39
Problemas 179
180 Torção 3.40 Dois eixos, cada um com diâmetro de 22,2 mm, são conectados pelas 
engrenagens mostradas na fi gura. Sabendo que G � 77,2 GPa e que o eixo está fi xo 
em F, determine o ângulo pelo qual a extremidade A gira, quando lhe é aplicado um 
torque de 135,6 N � m.
3.41 Dois eixos de seção transversal cheia estão acoplados por engrenagens, 
conforme mostra a fi gura. Sabendo que G � 77,2 GPa para cada eixo, determine o 
ângulo de rotação da extremidade A quando TA � 1 200 N � m.
T
E
F B
A
110 mm
150 mm
300 mm
200 mm
150 mm
D
C
D240 mm
80 mm
B
A
TA
C
42 mm
1,6 m
1,2 m
60 mm
3.42 Resolva o Problema 3.41, considerando que o diâmetro de cada eixo 
seja de 54 mm.
3.43 Um tacômetro F, utilizado para registrar em forma digital a rotação do 
eixo A, é conectado ao eixo por meio do trem de engrenagens mostrado, valendo-se de 
quatro engrenagens e três eixos de aço de seção cheia e diâmetro d. Duas das engrena-
gens têm raio r e as outras duas têm raios nr. Se a rotação do tacômetro F for impedi-
da, determine em termos de T, l, G, J e n, o ângulo pelo qual a extremidade A gira.
3.44 Para o trem de engrenagens descrito no Problema 3.43, determine o ân-
gulo pelo qual a extremidade A gira quando T � 565 N � mm, l � 61 mm, d � 1,59 mm, 
G � 77,2 GPa e n � 2.
F
ED
nr r
C
l
TA
Bnr
l
l
A
r
Fig. P3.40 Fig. P3.41
Fig. P3.43
3.45 As especifi cações de projeto de um eixo de transmissão de seção cheia 
de 1,2 m de comprimento requerem que o ângulo de torção do eixo não exceda 4° 
quando for aplicado um torque de 750 N � m. Determine o diâmetro necessário para 
o eixo, sabendo que ele é feito de um aço com tensão de cisalhamento admissível de 
90 MPa e um módulo de elasticidade transversal de 77,2 GPa.
3.46 Um furo é feito em uma chapa de plástico em A através de uma força P 
de 600 N, aplicada à extremidade D da alavanca CD, que está rigidamente conectada 
ao eixo cilíndrico BC. Especifi cações de projeto exigem que o deslocamento do ponto 
D não exceda 15 mm desde o momento em que o punção toca a chapa até o ponto em 
que ele efetivamente penetra no plástico. Determine o diâmetro necessário para o eixo 
BC feito com aço de G � 77 GPa e tadm � 80 MPa. 
P
500 mm
300 mm
A
C
D
B
3.47 As especifi cações de projeto para o sistema de engrenagem e eixo de 
transmissão mostrados requerem que o mesmo diâmetro seja utilizado para os 
dois eixos e que o ângulo de torção da polia A quando submetida a um torque de 
226 N � m ao mesmo tempo em que a polia D é mantida fi xa não pode sofrer giro su-
perior a 7,5°. Determine o diâmetro necessário para ambos os eixos feitos de aço com 
G � 77,2 GPa e tensão de cisalhamento admissível tadm � 82,7 MPa.
A
203,2 mm
152,4 mm
127,0 mm
406,4 mm
50,8 mm
C
B
D
TA
TD
3.48 Resolva o Problema 3.47, considerando que ambos os eixos são feitos de 
latão com G � 38,6 GPa e tadm � 55,2 MPa.
Fig. P3.46
Fig. P3.47
Problemas 181
182 Torção 3.49 O projeto do sistema de engrenagem e eixo mostrado na fi gura requer 
que sejam utilizados eixos de aço de mesmo diâmetro para AB e CD. É necessário 
também que tadm � 60 MPa e que o ângulo fD pelo qual a extremidade D do eixo 
CD gira não exceda 1,5°. Sabendo que G � 77 GPa, determine o diâmetro necessário 
para os eixos.
3.50 O motor elétrico aplica um torque de 800 N ⋅ m ao eixo de aço ABCD 
quando a rotação tem velocidade constante. Especifi cações de projeto requerem que o 
diâmetro do eixo seja uniforme entre A e D e que o ângulo de torção entre A e D não 
exceda 1,5°. Sabendo que tadm � 60 MPa e G � 77 GPa, determine o menor diâmetro 
possível para esseeixo.
3.51 Os cilindros sólidos AB e BC estão conectados em B e estão engastados 
em suportes fi xos em A e em C. Sabendo que os módulos de rigidez são 25,5 GPa para 
o alumínio e 38,6 GPa para o latão, determine a máxima tensão de cisalhamento (a) 
no cilindro AB e (b) no cilindro BC.
3.52 Resolva o Problema 3.51, considerando que o cilindro AB é feito de aço 
com G � 77,2 GPa.
A
100 mm
40 mmC
B
D
T = 1 000 N · m
400 mm
600 mm
A
0,3 m
0,6 m
0,4 m C
B
500 N · m
300 N · m
D
457,2 mm
304,8 mm
38,1 mm
50,8 mm
A
C
B
T 1 412 kN · mm
Alumínio
Latão
Fig. P3.49
Fig. P3.51
Fig. P3.50