Mecanica dos materiais 161 - 170

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163
PROBLEMA RESOLVIDO 3.1
O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 
mm, respectivamente. Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro 
d. Para o carregamento mostrado na fi gura, determine (a) as tensões de cisalhamento 
máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se 
a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.
SOLUÇÃO
Equações da estática. Chamando de TAB o torque no eixo AB, cortamos uma 
seção através do eixo AB e, para o diagrama de corpo livre mostrado, escrevemos
16 kN m2 TAB 0 TAB 6 kN m©Mx 0:
Cortamos agora uma seção através do eixo BC e, para o corpo livre mostrado, temos
16 kN m2 114 kN m2 TBC 0 TBC 20 kN m©Mx 0:
a. Eixo BC. Para esse eixo circular vazado temos
J
p
2
1c42 c412 p2 3 10,06024 10,04524 4 13,92 10 6 m4
Tensão de cisalhamento máxima. Na superfície externa, temos
tmáx 86,2 MPa tmáx t2
TBC c2
J
120 kN m2 ˛10,060 m2
13,92 10 6 m4
Tensão de cisalhamento mínima. Escrevemos que as tensões são proporcionais 
à distância do centro do eixo.
tmín 64,7 MPa 
tmín
tmáx
c1
c2
 
tmín
86,2 MPa
45 mm
60 mm
b. Eixos AB e CD. Notamos que em ambos os eixos a intensidade do torque é 
T � 6 kN � m e tadm � 65 MPa. Chamando de c o raio dos eixos, escrevemos
d 77,8 mm d 2c 2138,9 mm2
c3 58,8 10 6 m3 c 38,9 10 3 m
 t
Tc
J
 65 MPa
16 kN m2c
p
2
 c4
TA � 6 kN · m
TB � 14 kN · m
0,9 m
d
A
B
TC � 26 kN · m
TD � 6 kN · m
0,7 m
0,5 m
120 mm
d
C
D
A TAB
x
TA � 6 kN · m
TB � 14 kN · m
A
B TBC 
xx
TA � 6 kN · m
c1 � 45 mm
c2 � 60 mm
2�
1�
A
B
6 kN · m
6 kN · m
164
PROBLEMA RESOLVIDO 3.2
O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador 
determinou que o eixo escolhido fosse vazado e com diâmetros interno e externo de 
100 mm e 150 mm, respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admis-
sível é de 82 MPa, determine o valor do torque máximo que pode ser transmitido (a) 
pelo eixo conforme o projeto preliminar, (b) por um eixo de seção cheia com o mesmo 
peso, (c) por um eixo de seção vazada com o mesmo peso e com diâmetro externo de 
200 mm.
SOLUÇÃO
a. Eixo vazado conforme foi projetado. Para o eixo vazado, temos
J
p
2
1c42 c412 p2 3 10,075 m 24 10,050 m 24 4 39,9 10 6 m4
Utilizando a Equação (3.9), escrevemos
T 43,6 kN m tmáx
Tc2
J
 82 MPa
T 10,075 m 2
39,9 10 6 m4
b. Eixo de seção cheia de mesmo peso. Para que o eixo projetado e a seção 
transversal cheia tenham o mesmo peso e comprimento, suas áreas de seção transver-
sal devem ser iguais.
p 3 10,075 m 22 10,050 m 22 4 pc23 c3 0,056 m A1a2 A1b2
Como tadm � 82 MPa, escrevemos
T 22,62 kN m tmáx
Tc3
J
 82 MPa
T 10,056 m 2
p
2
10,056 m 24
c. Eixo vazado com 200 mm de diâmetro externo. Para ter o mesmo peso, as 
áreas das seções transversais devem ser iguais. Determinamos o diâmetro interno do 
eixo escrevendo
p 3 10,075 m 22 10,050 m 22 4 p 3 10,100 m 22 c25 4 c5 0,083 m A1a2 A1c2
Para c5 � 0,083 m e c4 � 100 mm
J
p
2
3 10,100 m 24 10,083 m 24 4 8,25 10 5 m4
Com tadm � 82 MPa e c4 � 100 mm
T 67,65 kN m tmáx
Tc4
J
 82 MPa
T 10,10 m 2
8,25 10 5 m4
150 mm100 mm
2,50 m
T'
T
T
c2 � 0,075 m
c1 � 0,050 m
c3
T
c5
T
c4 = 100 mm
PROBLEMAS
3.1 Para o eixo cilíndrico mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxi-
ma provocada por um torque de intensidade T � 1,5 kN � m.
3.2 Determine o torque T que provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 
80 MPa no eixo cilíndrico de aço mostrado.
3.3 Sabendo que o diâmetro interno do eixo vazado mostrado é d � 22,9 mm, 
determine a máxima tensão de cisalhamento causada por um torque de intensidade 
T � 1,017 kN � m aplicado.
3.4 Sabendo que d � 30,5 mm, determine o torque T que causa a máxima ten-
são de cisalhamento de 51,7 MPa no eixo vazado mostrado.
3.5 (a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com 
diâmetro de 20 mm, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material 
do eixo de 80 MPa. (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia 
foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um 
diâmetro interno igual à metade de seu próprio diâmetro externo.
3.6 Um torque T � 3 kN � m é aplicado ao cilindro sólido de bronze mostrado. 
Determine (a) a máxima tensão de cisalhamento, (b) a tensão de cisalhamento no 
ponto D que se encontra sobre um círculo de raio 15 mm situado na extremidade do 
cilindro e (c) a porcentagem do torque total absorvido pela porção do eixo compreen-
dida pelo raio de 15 mm.
3.7 O sistema da fi gura é constituído por um eixo de seção transversal cheia AB 
e com uma tensão de cisalhamento admissível de 82,7 MPa, e por um tubo CD feito 
de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48,3 MPa. Determine (a) o 
maior torque T que pode ser aplicado em A, sem que a tensão de cisalhamento admis-
sível do material do tubo CD seja excedida e (b) o valor correspondente necessário 
para o diâmetro d do eixo AB.
3.8 O sistema da fi gura é constituído por um eixo de aço com seção transversal 
cheia AB, com diâmetro d � 38 mm e tensão de cisalhamento admissível de 82 MPa, 
e por um tubo CD feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 
48 MPa. Determine o maior torque T que pode ser aplicado em A.
T
22 mm
100 mm
200 mm
76 mm
C
B
D
A
d
T
t = 6,4 mm
Fig. P3.1 e P3.2
d
40,6 mm
T
Fig. P3.3 e P3.4
60 mm
30 mm
D
200 mmT 5 3 kN · m
Fig. P3.6
Fig. P3.7 e P3.8
165
166 Torção 3.9 Os torques mostrados são aplicados nas polias A e B. Sabendo que os eixos 
de aço tem seção cheia, determine a máxima tensão de cisalhamento (a) no eixo AB 
e (b) no eixo BC.
3.10 Para reduzir a massa total do conjunto do Problema 3.9, está sendo con-
siderado um novo projeto no qual o diâmetro do eixo BC será menor. Determine o 
menor diâmetro do eixo BC para o qual o valor máximo da tensão de cisalhamento no 
conjunto não será aumentado.
3.11 Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque 
de 2,8 kN � m no eixo AB. Sabendo que cada um dos eixos tem seção transversal 
cheia, determine a tensão de cisalhamento máxima no (a) eixo AB, (b) eixo BC e 
(c) eixo CD.
3.12 Para reduzir a massa total do conjunto do Problema 3.11, está sendo con-
siderado um novo projeto no qual o diâmetro do eixo BC será menor. Determine o 
menor diâmetro do eixo BC para o qual o valor máximo da tensão de cisalhamento no 
conjunto não será aumentado.
30 mm
TA 5 300 N · m
TB 5 400 N · m
46 mm
C
A
B
A
56 mm TB 5 1,4 kN · m
B
48 mm
48 mm
46 mm
C
D
TC 5 0,9 kN · m
TD 5 0,5 kN · m
E
Fig. P3.9
Fig. P3.11
3.13 Os torques mostrados são aplicados nas polias A, B e C. Sabendo que 
ambos os eixos são cheios, determine a tensão de cisalhamento máxima no (a) eixo 
AB e (b) eixo BC.
3.14 Os eixos do conjunto de polias mostrado na fi gura deve ser redimensio-
nado. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível em cada eixo é de 58,6 MPa, 
determine o menor diâmetro admissível para (a) o eixo AB, (b) o eixo BC.
3.15 A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa na barra de aço AB 
e 55 MPa na barra de latão BC. Sabendo que um torque de intensidade T � 1130 
N � m é aplicado em A e desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine 
o diâmetro necessário de (a) barra AB e (b) barra BC.
3.16 A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa na barra de aço AB de 
38,1 mm de diâmetro e 55 MPa na barra BC de 45,7 mm de diâmetro. Desprezando 
o efeito das concentrações de tensão, determine o maior torque que pode ser aplicado 
em A.
3.17 A seção transversal cheia mostrada na fi gura é feita de latão para o qual a 
tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa. Desprezando o efeito das concentra-
ções de tensão, determine os menores diâmetros dAB e dBC para os quais a tensão de 
cisalha mento admissível não é excedida.
3.18 Resolva o Problema 3.17, considerando que a direção de TC seja 
invertida.
3.19 A tensão admissível é de 50 MPa nabarra de latão AB e de 25 MPa na bar-
ra de alumínio BC. Sabendo que um torque de intensidade T � 1 250 N � m é aplicado 
em A, determine o diâmetro necessário (a) da barra AB e (b) da barra BC.
3.20 A barra BC de seção cheia tem diâmetro de 30 mm e é feita de um alumí-
nio para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 25 MPa. A barra AB é vazada 
e tem um diâmetro externo de 25 mm; ela é feita de um latão para o qual a tensão 
de cisalhamento admissível é de 50 MPa. Determine (a) o maior diâmetro interno da 
barra AB para o qual o coefi ciente de segurança seja o mesmo para cada barra e (b) o 
maior torque que pode ser aplicado em A.
768 N · m
45,7 mm
1 829 mm
C
1 175 N · m
33,0 mm407 N · m
B
1 219 mmA
B
C
Latão
T
A
Aço
A
600 mm
750 mm
dAB
dBC C
B
TB � 1200 N · m
TC � 400 N · m
Alumínio
Aço
T
B
C
A
Fig. P3.13 e P3.14
Fig. P3.15 e P3.16
Fig. P3.19 e P3.20
Fig. P3.17
Problemas 167
168 Torção 3.21 Um torque de intensidade T � 904 kN � mm é aplicado em D, como mos-
tra a fi gura. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 51,7 MPa em cada 
eixo, determine o diâmetro necessário do (a) eixo AB e (b) eixo CD.
3.22 Um torque de T � 904 kN � mm é aplicado em D, como mostra a fi gura. 
Sabendo que o diâmetro do eixo AB é de 57,1 mm e que o diâmetro do eixo CD é de 
45 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima no (a) eixo AB e (b) eixo CD.
3.23 Dois eixos de aço com seção transversal cheia são conectados por en-
grenagens conforme mostra a fi gura. É aplicado um torque de intensidade T � 900 
N � m no eixo AB. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e 
considerando somente tensões causadas por torção, determine o diâmetro necessário 
para (a) o eixo AB e (b) o eixo CD.
3.24 O eixo CD é feito de uma barra de 66 mm de diâmetro e está conectado ao 
eixo AB de 48 mm de diâmetro, como mostra a fi gura. Considerando somente tensões 
em decorrência da torção e sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 
60 MPa para cada eixo, determine o maior torque T que pode ser aplicado.
3.25 Os dois eixos de seção transversal cheia estão conectados por engrena-
gens como você pode ver na fi gura e são feitos de um aço para o qual a tensão de 
cisalhamento admissível é de 48,3 MPa. Sabendo que os diâmetros dos dois eixos 
são, respectivamente, dBC � 40,6 mm e dEF � 31,8 mm, determine o maior torque 
TC que pode ser aplicado em C.
A
101,6 mm
40,6 mmC
B
D
T 5 904 kN · mm
240 mm
80 mm
B
A
T
C
D
Fig. P3.21 e P3.22
Fig. P3.23 e P3.24
3.26 Os dois eixos de seção transversal cheia estão conectados por engrena-
gens, como mostra a fi gura, e são feitos de um aço para o qual a tensão de cisa-
lhamento admissível é de 58,6 MPa. Sabendo que um torque de intensidade TC � 
565 kN � mm é aplicado em C e que o conjunto está em equilíbrio, determine o diâ-
metro necessário do (a) eixo BC e do (b) eixo EF.
3.27 Um torque de intensidade T � 120 kN � m é aplicado ao eixo AB do trem 
de engrenagem mostrado. Sabendo que a tensão de cisalhamento é de 75 MPa em 
cada um dos três eixos sólidos, determine o diâmetro necessário para (a) o eixo AB, 
(b) o eixo CD e (c) o eixo EF.
3.28 Um torque de intensidade T � 100 kN � m é aplicado ao eixo AB do trem 
de engrenagem mostrado. Sabendo que os diâmetros dos três eixos sólidos são respec-
tivamente, dAB � 21 mm, dCD � 30 mm, e dEF � 40 mm, determine a máxima tensão 
de cisalhamento no (a) eixo AB, (b) eixo CD e (c) eixo EF.
3.29 Embora a distribuição exata das tensões de cisalhamento em um eixo ci-
líndrico vazado seja como mostra a Fig. P3.29a, pode-se obter um valor apro ximado 
para tmáx considerando que as tensões são uniformemente distribuídas sobre a área A 
da seção transversal, como mostra a Fig. P3.29b, e supondo ainda que todas as forças 
de cisalhamento elementares agem a determinada distância do ponto O dada pelo 
raio médio da seção transversal 12(c1 � c2). Esse valor é uma aproximação de t0 �
T�Arm, em que T é o torque aplicado. Determine a relação tmáx�t0, em que tmáx é a 
tensão de cisalhamento exata e t0 é a tensão aproximada para valores da relação c1�c2, 
respectivamente iguais a 1,00; 0,95; 0,75; 0,50 e 0.
101,6 mm
63,5 mm
B
E
G
H
A
D
F
C TC
TF
C
B
F
D
A
30 mm
25 mm
60 mm
75 mm
E
T
3.30 (a) Para uma dada tensão de cisalhamento admissível, determine a relação 
T�w do torque T máximo admissível e o peso por unidade de comprimento w para o 
eixo vazado mostrado na fi gura. (b) Chamando de (T�w)0 o valor dessa relação para 
uma seção transversal cheia com o mesmo raio c2, expresse a relação T�w para o eixo 
vazado em termos de (T�w)0 e c1�c2.
Problemas 169
Fig. P3.25 e P3.26
Fig. P3.29
Fig. P3.27 e P3.28
Fig. P3.30
c2
c1
O O
c1
máx
rmc2
0
(a) (b)
170 Torção 3.5. Ângulo de torção no regime elástico
Nesta seção, será determinada uma relação entre o ângulo de torção f de 
um eixo circular e o momento torçor T aplicado no eixo. Vamos considerar 
que o eixo permanece elástico em qualquer parte. Considerando primeiro o 
caso de um eixo de comprimento L e de seção transversal uniforme de raio 
c submetido a um momento torçor T em sua extremidade livre (Fig. 3.22), 
lembramos da Seção 3.3 que o ângulo de torção f e a deformação de cisalha-
mento máxima gmáx estão relacionados da seguinte forma:
 gmáx
cf
L
 (3.3)
Contudo, no regime elástico, a tensão de escoamento não é excedida em nenhum 
ponto do eixo, assim aplica-se a lei de Hooke da seguinte forma: gmáx � tmáx�G. 
Dessa relação e da Equação (3.9), obtém-se
 gmáx
tmáx
G
Tc
JG
 (3.15)
Igualando os dois membros direitos das Equações (3.3) e (3.15), e resolvendo 
para f, escrevemos
 f
TL
JG
 (3.16)
em que f é expresso em radianos. A relação obtida mostra que, dentro do 
regime elástico, o ângulo de torção f é proporcional ao momento torçor T 
aplicado no eixo. Isso está de acordo com a evidência experimental citada no 
início da Seção 3.3.
A Equação (3.16) nos proporciona um método conveniente para determinar 
o módulo de elasticidade transversal de um material. Um corpo de prova do 
material a ser analisado, na forma de uma barra cilíndrica de diâmetro e com-
primento conhecidos, é colocado em uma máquina para ensaios de torção (Fig. 
3.23). Torques T de intensidades crescentes são aplicados ao corpo de prova e os 
valores correspondentes do ângulo de torção f em determinado comprimento L 
do corpo de prova são registrados. Enquanto a tensão de escoamento do material 
não é excedida, os pontos obtidos em um gráfi co de T em função de f estarão em 
uma linha reta. A inclinação dessa linha representa a quantidade JG�L, por meio 
da qual pode ser calculado o módulo de elasticidade transversal G.
L
T
c
�
�máx
Fig. 3.22
Fig. 3.23 Máquina de teste de torção.
A Equação (3.16) para o ângulo de torção só pode ser utilizada se o eixo 
for homogêneo (G constante), se a seção transversal for uniforme, e se o car-
regamento for aplicado somente nas extremidades. Se o eixo estiver subme-
tido a torques em outras localizações que não as suas extremidades, ou se ele 
consistir em várias partes com diferentes seções transversais e possivelmente 
em diferentes materiais, devemos dividi-lo em partes componentes que satis-
façam individualmente às condições necessárias para a aplicação da Equação 
(3.16). No caso do eixo AB mostrado na Fig. 3.24, por exemplo, devem ser 
considera das quatro partes diferentes: AC, CD, DE e EB. O ângulo de torção 
total do eixo, isto é, o ângulo pelo qual a extremidade A gira com relação à 
extremidade B, é obtido somando-se algebricamente os ângulos de torção de 
cada parte componente. Chamando, respectivamente, de Ti, Li, Ji e Gi o mo-
mento torçor interno, o comprimento, o momento polar de inércia da secção 
transversal e o módulo de elasticidade transversal correspondente à parte i, o 
ângulo de torção total do eixo é expresso como
 
f a
i
 
Ti Li
Ji Gi
 (3.17)
O momento torçor interno Ti em qualquer parte do eixo é obtido cortando-se 
uma seção do eixoatravés daquela parte e desenhando o diagrama de corpo 
livre da parte do eixo localizada em um dos lados da seção. Esse procedimen-
Qual o torque que deverá ser aplicado à extremidade do eixo do 
Exemplo 3.1 para produzir um ângulo de torção de 2°? Use o valor 
G � 77 GPa para o módulo de elasticidade transversal do aço.
Resolvendo a Equação (3.16) para T, escrevemos
T
JG
L
f
Substituindo os valores dados
f 2°a2p rad
360°
b 34,9 10 3 rad
G 77 109 Pa L 1,5 m
e lembrando do Exemplo 3.1 que, para a seção transversal, dada,
J 1,021 10 6 m4
temos
T 1,829 103 N m 1,829 kN m
 134,9 10 3 rad211,021 10 6 m42 ˛177 109 Pa2
1,5 m
T
JG
L
f
Qual o ângulo de torção que criará uma tensão de cisalhamento de 
70 MPa na superfície interna do eixo vazado de aço dos Exemplos 
3.1 e 3.2?
O método de abordagem para resolver esse problema que 
vem à mente, em primeiro lugar, é usar a Equação (3.10) para 
encontrar o torque T correspondente ao valor fornecido de t, e 
a Equação (3.16) para determinar o ângulo de torção f corres-
pondente ao valor de T que acabamos de encontrar.
No entanto, pode ser utilizada uma solução mais direta. Pela 
lei de Hooke, primeiro calculamos a deformação de cisa lhamento 
na superfície interna do eixo:
gmín
tmín
G
70 106 Pa
77 109 Pa
909 10 6
Lembrando a Equação (3.2), que foi obtida expressando o com-
primento do arco AA¿ na Fig. 3.14c em termos de g e f, temos
f
Lgmín
c1
1500 mm
20 mm
 1909 10 62 68,2 10 3 rad
Para obtermos o ângulo de torção em graus, escrevemos
f 168,2 10 3 rad2a 360°
2p rad
b 3,91°
EXEMPLO 3.2
EXEMPLO 3.3
TC
TD
TA
TB
A
C
B
E
D
Fig. 3.24
 171
172 Torção to, que já foi explicado na Seção 3.4 e ilustrado na Fig. 3.17, é aplicado no 
Problema Resolvido 3.3.
No caso de um eixo com uma seção circular variável, como mostra a Fig. 
3.25, a Equação (3.16) pode ser aplicada a um disco de espessura dx. O ângu-
lo segundo o qual uma face do disco gira em relação a outra é, portanto,
 df
T dx
JG
em que J é uma função de x que pode ser determinada. Integrando em x de 0 
a L, obtemos o ângulo total de torção do eixo:
 f
L
0
 
T dx
JG
 (3.18)
O eixo mostrado na Fig. 3.22, utilizado para deduzir a Equação (3.16) e 
o eixo da Fig. 3.16, discutido nos Exemplos 3.2 e 3.3, tinham ambos uma das 
extremidades engastada a um suporte fi xo. Em cada caso, portanto, o ângulo de 
torção f do eixo era igual ao ângulo de rotação de sua extremidade livre. No 
entanto, quando ambas as extremidades de um eixo giram, o ângulo de torção 
do eixo é igual ao ângulo pelo qual uma extremidade do eixo gira em relação a 
outra. Considere, por exemplo, o conjunto mostrado na Fig. 3.26a, que consiste 
em dois eixos elásticos AD e BE, cada um deles com comprimento L, raio c 
e módulo de elasticidade transversal G, que estão ligados a engrenagens aco-
pladas em C. Se for aplicado um torque T em E (Fig. 3.26b), ambos os eixos 
sofrerão torção. Como a extremidade D do eixo AD está fi xa, o ângulo de torção 
de AD é medido pelo ângulo de rotação fA da extremidade A. No entanto, como 
ambas as extremidades do eixo BE giram, o ângulo de torção de BE é igual à 
diferença entre os ângulos de rotação fB e fE, isto é, o ângulo de torção é igual 
ao ângulo segundo o qual a extremidade E gira em relação à extremidade B. 
Designando esse ângulo relativo de rotação por fE�B, escrevemos
 
fE B fE fB
TL
JG
x
A
dx
B
L
T'
T
Fig. 3.25
(a) (b)
C0
C
Suporte fixo
B
L
T
rB
Ef
Bf
A
D E
rA C
Extremidade fixa
B
L
A
D
Af
C'
E
Fig. 3.26