GAB AP2 MD1 2023

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 2/2023
Código da disciplina EAD06075
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
Os gráficos a seguir mostram os valores A(c) e B(c), em reais, da conta de luz a ser paga em função do consumo c,
em kWh, em dois planos de tarifação, chamados de “plano Alfa”e “plano Básico”, respectivamente.
Métodos Determińısticos I AP2 2
Questão 1 [1,0 pt] Determine a expressão de B em função de do consumo c. Justifique.
Solução: O gráfico de B é uma reta, portanto é uma função polinomial de primeiro grau. Com isso,
B(c) = ac + d.
Temos que B(0) = 30, logo
a0̇ + b = 30 ∴ b = 30.
Além disso, B(120) = 90, logo
a · 120 + 30 = 90 ∴ 120a = 60 ∴ a = 60120 =
1
2 .
Assim,
B(c) = 12 · c + 30.
Questão 2 [1,0 pt] Determine a expressão de A em função do consumo c. Justifique.
Note que A tem uma expressão para c < 100 e outra para c > 100.
Solução: Para 0 ≤ c < 100, temos A(c) = 50. Para c > 100, temos A(c) = a′c + d′. Como A(100) = 50 e
A(120) = 90, assim,
a′ · 100 + d′ = 50 ∴ 100a′ + b′ = 50
a′ · 120 + d′ = 90 ∴ 120a′ + b′ = 90
Fazendo a segunda igualdade menos a primeira, temos
20a′ = 40 ∴ a′ = 2.
Como a′ = 2 e 100a′ + b′ = 50, temos 200 + b′ = 50 e b′ = −150. Assim, para c > 100,
A(c) = 2c− 150.
Com isso,
A(c) =
{
50, se 0 6 c < 100
2c− 150, se c > 100.
.
Questão 3 [1,0 pt] Para que valores de c tem-se B(c) > A(c)? Justifique.
Solução: Se representarmos os gráficos de A e B em um mesmo esboço, teremos
Note que, pelos esboços dados no enunciado comum às questões, ambos os gráficos contém o ponto (120, 90).
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Métodos Determińısticos I AP2 3
Para descobrirmos o outro ponto de interseção entre os gráficos, fazemos B(c) = 50, assim,
B(c) = 50⇔ 12 · c + 30 = 50⇔
1
2 · c = 20⇔ c = 2 · 20 = 40.
Assim, temos
Podemos ver então, pelo esboço, que B(c) > A(c) se, e somente se 40 6 c 6 120.
Questão 4 [2,0 pt] Esboce a região do plano cartesiano formada pelos pontos (x, y) que satisfazem simultaneamente
as desigualdades abaixo: 
(x− 1)2 + (y − 2)2 6 25
x 6 4
y < 2
Não se esqueça de detalhar bem os contornos da região, especificando os pontos e dizendo se cada parte deste con-
torno pertence ou não à região. Apresente todos os cálculos e justificativas necessários.
Solução: A desigualdade
(x− 1)2 + (y − 2)2 6 25
representa os pontos sobre e no interior do ćırculo de centro (1, 2) e raio 5.
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Métodos Determińısticos I AP2 4
A desigualdade x 6 4 representa os pontos sobre a reta x = 4 e à esquerda dela.
A desigualdade y < 2 representa os pontos abaixo da reta y = 2.
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Métodos Determińısticos I AP2 5
Assim, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem as três desigualdades simultaneamente é dado por
A interseção entre as retas x = 4 e y = 2 é o ponto (4, 2), que não pertence à solução pois a reta y = 2 não está
contida nela. A interseção entre a reta x = 4 e o ćırculo (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25 pode ser obtida resolvendo (x− 1)
2 + (y − 2)2 = 25
x = 4
Substituindo x = 4 na primeira equação ,temos
(4− 1)2 + (y − 2)2 = 25 ⇔ 9 + (y − 2)2 = 25
⇔ (y − 2)2 = 16
⇔ y − 2 = 4 ou y − 2 = −4
⇔ y = 6 ou y = −2.
Assim, temos os pontos (4,−2) e (4, 6).
A interseção entre a reta y = 2 e o ćırculo (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25 é dada por (x− 1)
2 + (y − 2)2 = 25
y = 2
que nos dá
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 25 ⇔ (x− 1)2 + (2− 2)2 = 25
⇔ (x− 1)2 = 25
⇔ x− 1 = 5 ou x− 1 = −5
⇔ x = 6 ou x = −4.
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Métodos Determińısticos I AP2 6
Marcando todos estes pontos, temos
Deixando só aqueles que estão na fronteira da região, temos
Questão 5 [1,5 pt] Determine o conjunto de todos os valores de x ∈ R que satisfazem simultaneamente as
desigualdades
|2x− 2| < 5
|x− 3| > 1.
Apresente todos os cálculos e justificativas necessários.
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Métodos Determińısticos I AP2 7
Solução: Temos
|2x− 2| < 5 ⇔ −5 < 2x− 2 < 5
⇔ −5 + 2 < 2x < 5 + 2
⇔ −3 < 2x < 7
⇔ −32 <
2x
2 <
7
2
⇔ −32 < x <
7
2
e
|x− 3| > 1 ⇔ x− 3 6 −1 ou x− 3 > 1
⇔ x 6 2 ou x > 4
Representando as soluções de cada desigualdade e considerando a interseção entre elas,
vemos que o conjunto de todos os valores de x ∈ R que satisfazem simultaneamente as desigualdades é dado por(
−32 , 2
]
.
(Este texto é comum às questões 6 a 8 a seguir.)
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −2P 2 + 8P + 10 e Q(P ) = 5P − 10,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Questão 6 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: Encontramos o preço máximo do produto, valor acima do qual não há demanda pelo mesmo, verificando
quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 0
⇔ 2P 2 − 8P − 10 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P =
4±
√
(−4)2 − 4 · 1 · (−5)
⇔ P = 4±
√
16 + 20
2 · 1
⇔ P = 4±
√
36
2
⇔ P = 4± 62
⇔ P = −22 ou P =
10
2
⇔ P = −1 ou P = 5.
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Métodos Determińısticos I AP2 8
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 5. Assim, o preço máximo do produto é R$5,00.
Encontramos o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta do mesmo, verificando quando temos a
oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P − 10 = 0
⇔ 5P = 10
⇔ P = 105 = 2.
Assim, o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta para ele, é R$2,00.
Questão 7 [1,0 pt] Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Quais são os valores da demanda e da oferta
referentes a este preço?
Solução: Para encontrar o preço de equiĺıbrio, vamos igualar as funções demanda, D, e oferta, Q.
D(P ) = Q(P ) ⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10
⇔ −2P 2 + 8P − 5P + 10 + 10 = 0
⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P =
−(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4 =
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −104 .
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 4. Assim, o preço de equiĺıbrio é de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este preço é de D(P ) = Q(P ) = 5 · 4 − 10 = 10, isto é, 10 milhões de
unidades.
Questão 8 [0,5 pt] Qual é a demanda máxima deste produto e para que preço ela ocorre?
Solução: A demanda máxima é dada pelo valor máximo de D(P ), que é
Dv = −
∆
4a= −
82 − 4 · (−2) · 10
4 · (−2) = −
64 + 80
−8 =
144
8 = 18,
que é dada pelo preço
Pv = −
b
2a = −
8
2 · (−2) = 2.
Assim, a demanda máxima é de 18 milhões de unidades, ocorrendo quando o preço é de R$2,00.
Questão 9 [1,0 pt] Esboce em um mesmo gráfico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Solução: Já vimos, na questão anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 10. Repare que o ponto de
equiĺıbrio será então (4, 10).
O gráfico da função oferta Q é uma reta, pois ela é uma função polinomial de primeiro grau. E, como já conhecemos
dois de seus pontos (2, 0) e (4, 10), podemos esboçar a reta.
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Métodos Determińısticos I AP2 9
O gráfico da função demanda D é uma parábola. Já conhecemos as duas ráızes −1 e 5. O vértice (Pv, Dv) desta
parábola representa o ponto de demanda máxima, que já vimos na questão anterior que é (2, 18).
Esboçando as funções, temos
Mas já vimos que os preços para os quais há demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim, podemos esboçar o
gráfico das funções apenas para estes valores de P , como abaixo:
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