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RECEITA FEDERAL
Pré-edital
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS COMPOSTOS. TAXAS DE JUROS
Livro Eletrônico
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros Compostos. Taxas de Juros
Prof. Thiago Cardoso 
Introdução ................................................................................................3
1. Taxas de Juros ........................................................................................3
1.1. Taxa de Juros Nominal e Efetiva ...........................................................19
1.2. Taxas de Juros Equivalentes ................................................................23
1.3. Taxa de Juros Real e Aparente .............................................................39
2. Comparação entre Juros Simples e Compostos ..........................................58
2.1. Produtos Notáveis ..............................................................................67
2.2. Cindibilidade do Prazo .........................................................................72
3. Tópicos Adicionais sobre Juros Compostos ................................................75
3.1. Logaritmos ........................................................................................75
3.2. Capitalização Contínua ........................................................................79
3.3. Convenção Linear ...............................................................................83
Questões Comentadas em Aula ..................................................................88
Gabarito ................................................................................................ 106
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Juros Compostos. Taxas de Juros
Prof. Thiago Cardoso 
Introdução
Olá! Tudo bem? Seja bem-vindo(a) a mais uma aula do nosso curso de Matemá-
tica Financeira. Está animado(a)?
Nesta aula, falaremos sobre os Juros Compostos. Segundo Einstein: “os juros 
compostos são a oitava maravilha do mundo.”
Esse tipo de aplicação pode ser realmente maravilhoso para você, quando você 
é um investidor e está ganhando dinheiro com ela. Porém, pode morar nos seus 
pesadelos quando você tem uma dívida.
Além disso, a maior parte das aplicações seguem a lógica de Juros Compostos, 
por isso esse assunto é uma base fundamental para qualquer prova.
Como veremos, é um assunto que as bancas gostam bastante de cobrar, por-
tanto precisamos ficar de olho nele para acertar todas as questões.
Como de costume, preparei uma lista de questões resolvidas para você, que 
inclui um bom número de questões de alto nível para que você esteja preparado(a) 
para um certame extremamente rigoroso.
E, agora, vamos juntos explorar esse pedaço da matéria?
1. Taxas de Juros
No Regime de Juros Compostos, todo o saldo da aplicação é capitalizado – tanto 
o principal como juros. Esse enunciado também pode aparecer em questões teóri-
cas da seguinte forma:
• No Regime de Juros Compostos, há capitalização de juros.
Os Juros Compostos derivam do crescimento natural de populações. Por exem-
plo, considere um empréstimo de R$1000 capitalizado mensalmente a uma taxa de 
juros de 10% ao mês.
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Como você emprestou R$ 1000 para alguém te pagar daqui a um mês juros de 
10%, isso totalizaria R$ 1100.
Nesse mês, você teria duas opções: receber de volta os R$ 1100 ou refazer o 
empréstimo. Nesse segundo caso, é natural que você queira receber juros sobre 
todo o capital de R$ 1100 e receber juros de 10% sobre R$ 1100 (R$ 110).
Caso contrário, se você fosse receber juros apenas sobre o capital inicial de R$ 
1000, você emprestaria somente R$1000.
Figura 1: Regime de Capitalização Composta
Observe que, a cada período de capitalização, todo o montante acumulado é ca-
pitalizado – não somente o principal, mas também os juros anteriormente recebidos.
Seja Mi o montante acumulado no mês i após o início de um investimento em 
juros compostos. Pode-se escrever que esse montante é igual ao montante anterior 
mais os juros recebidos.
Por sua vez, os juros recebidos são calculados pela fórmula geral da Capitaliza-
ção, porém, incidindo sobre todo o montante acumulado previamente.
Quando a taxa de juros e a capitalização estão na mesma unidade de tem-
po, podemos dizer que o período de capitalização é igual a 1.
Essa condição que acabamos de explicar é de extrema importância, pois ela 
será mais explorada na aula e é muito frequente em provas de concursos públicos.
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Para entender o que queremos dizer com isso, volte à Figura 1. Nela, tratamos um 
empréstimo com uma taxa de juros de 10% ao mês com capitalização mensal.
Essa equação é uma típica progressão geométrica, que possui as seguintes ca-
racterísticas:
Na equação acima, M0 é o primeiro termo, ou seja, o capital acumulado no mês 
0 que corresponde justamente ao Capital Inicial. Já a razão dessa progressão é o 
termo (1+i). Sendo assim, pode-se escrever o termo geral, ou seja, o capital acu-
mulado em um mês qualquer, como:
�Os..:� caso você não se lembre da expressão do termo geral de uma progressão, 
você deve se lembrar da seguinte expressão:
 �
Nessa expressão, tem-se o (n-1) no expoente, porque a progressão começa no 
termo a1. No nosso problema de Juros Compostos, começamos no mês 0, por isso 
o primeiro termo é a0.
De qualquer maneira, você pode simplesmente memorizar a expressão deduzida 
para o montante acumulado numa operação de juros compostos. Vamos repeti-la:
Na Seção 1.1.1, examinaremos todas as condições necessárias para aplicar 
essa expressão.
Em questões de Juros Compostos, é relativamente comum ser pedido para cal-
cular os juros recebidos na aplicação. É possível deduzir uma expressão para eles.
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Note, porém, que tal expressão não é muito elegante e fácil de memorizar. Por 
isso, a minha recomendação é que você sempre calcule o montante final e obtenha 
os juros como a diferença entre o montante final e o capital inicial investido.
Questão 1 (CESPE/TCE-SC/2016/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) 
Pedro aplicou R$ 10.000 em uma instituição financeira pelo prazo de 3 meses con-
secutivos. A taxa de juros compostos dessa aplicação no primeiro mês foi de 5%; 
no segundo mês, de 10%; e no terceiro, de 8%. Nessa situação, Pedro, ao final do 
terceiro mês, recebeu de juros mais de R$ 2.400.
Certo.
Uma boa questão para começarmos a treinar a expressão dos Juros Compostos. No 
primeiro mês, Pedro recebe juros de 5% sobre o seu capital inicial investido.
O montante acumulado no primeiro mês, portanto, será de:
No mês seguinte, Pedro recebe juros de 10% sobre o montante previamente acu-
mulado no mês 1.
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O montante acumulado no segundo mês, portanto, será de:
No mês seguinte, Pedro recebe juros de 8% sobre o montante previamente acu-
mulado no mês 2.
Apenas por curiosidade, o montante acumulado no terceiro mês, portanto, será de:
Os juros recebidos podem ser calculados de duas formas diferentes:
Por fim, podemos representar graficamente a situação.
(
Questão 2 CESPE/STM/2011/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) A diferen-
ça entre a remuneração de capital - devido a empréstimo, investimento etc. - nos 
regimes de juros simples e compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros 
compostos, o cálculo da remuneração por determinado período é feito sobre o capital 
inicial acrescido dos rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros sim-
ples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial.
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Certo.
É exatamente isso! No regime de juros simples, a capitalização incide apenas sobre 
o capital inicial. Não ocorre a capitalização dos juros.
Questão 3 (CESPE/SEFAZ-AC/2009/FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) A quantia 
de R$ 110.500,00 foi repartida em 2 partes, que foram aplicadas na mesma data, 
sob o regime de juros compostos. Uma parte foi aplicada no banco A, que paga ju-
ros de 3% ao mês, e a outra, no banco B, que paga juros de 5,06% ao mês. Consi-
derando que 10 meses após as aplicações os montantes nos 2 bancos eram iguais, 
que 1,0506/1,03 = 1,02e que 1,1 corresponde ao valor aproximado de 1,025, é 
correto afirmar que a parte aplicada no banco A, em reais, era:
a) inferior a 49.000.
O) superior a 49.000 e inferior a 59.000.
c) superior a 59.000 e inferior a 69.000.
d) superior a 69.000.
Letra c.
Uma questão cheia de detalhes para se prestar atenção. Chamemos e as 
quantias investidas em cada um dos bancos citados. Os montantes finais podem 
ser calculados pela expressão dos juros compostos.
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Comparando as duas expressões, temos que:
Agora, utilizaremos as aproximações fornecidas no enunciado:
Utilizando as propriedades de somas internas da Razão e Proporção, teremos:
Agora, basta substituir o valor conhecido para a soma.
Questão 4 (FCC/TRF-3ª REGIÃO/ANALISTA JUDICIÁRIO) O senhor A investiu a 
quantia de x em um produto financeiro que apresentou queda constante e sucessi-
va de 10% ao ano por, pelo menos, 10 anos. Simultaneamente, o senhor B investiu 
a quantia de 27x (27 vezes a quantia x) em um produto financeiro que apresentou 
queda constante e sucessiva de 70% ao ano por, pelo menos, 10 anos.
A partir do início desses dois investimentos, o número de anos completos necessá-
rios para que o montante investido pelo senhor A se tornasse maior que o montante 
investido pelo senhor B é igual a:
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a) 2
O) 4
c) 6
d) 3
e) 5
Letra O.
O montante acumulado pelo senhor A é dado por:
Já o montante acumulado pelo senhor B é dado por:
Sendo assim, queremos que o montante investido pelo senhor A se torne maior 
que o montante investido pelo senhor B.
Agora, precisamos prestar atenção, já que o enunciado pediu que o montante do se-
nhor A fosse maior, não simplesmente igual. Além disso, o enunciado frisou que que-
ria o número de anos completos. Ou seja, não interessam respostas como 3,2 anos.
Assim, em t = 3 anos, os montantes se igualam. Para t = 4 anos, finalmente, o 
montante do senhor A supera o montante do senhor B.
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Questão 5 (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um capi-
tal foi aplicado pelo período de um ano, em uma conta remunerada, à taxa de juros 
de 10% ao mês. Considerando que o regime de capitalização foi de juros simples 
nos primeiros 10 meses e de juros compostos nos 2 últimos meses, que, durante 
esse ano, o investimento gerou um lucro de R$ 3.075,01, e desconsiderando taxas 
de administração e outras taxas, então é correto afirmar que o capital aplicado, em 
reais, foi:
a) Inferior a 2.170
O) Superior a 2.170 e inferior a 2.200
c) Superior a 2.200 e inferior a 2.230
d) Superior a 2.230 e inferior a 2.260
e) Superior a 2.260
Letra a.
Para os dez primeiros meses, apliquemos a expressão dos juros simples.
Agora, para os dois últimos meses, aplicaremos a expressão dos juros compostos 
considerando o capital inicial como o M10.
Agora, podemos calcular os juros recebidos sobre os doze meses de aplicação.
Comparando esse valor com o que nos foi fornecido, podemos encontrar o capital 
aplicado.
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A única esperança para reduzir um pouco as contas é testar se 307501 é divisível 
por 71 (e é):
Questão 6 (ESAF/ATRFB/2012) Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 
meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o mon-
tante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de 
juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação 
é igual a:
a) R$ 221,10.
O) R$ 220,00.
c) R$ 252,20.
d) R$ 212,20.
e) R$ 211,10.
Letra a.
Primeiramente, devemos calcular o montante referente à primeira aplicação em 
juros simples.
Esse montante deve ser calculado considerando o capital inicial de R$10.000,00 
com a taxa de juros simples de 2% ao mês e o prazo de aplicação de 5 meses. 
Basta usar a expressão dos Juros Simples.
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Esse montante foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês por 2 
meses. Agora, devemos usar a expressão dos juros compostos.
Como a questão pediu os juros referentes à segunda aplicação, temos que os 
juros recebidos correspondem à diferença entre o montante final e o capital apli-
cado. Porém, é importante lembrar que o capital aplicado na segunda aplicação 
foi de R$11.000. O capital de R$10.000 foi aplicado na primeira aplicação, não 
na segunda.
Questão 7 (FCC/TCE-PR/2011/ANALISTA DE CONTROLE) Um capital no valor de 
R$ 18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% 
ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, 
durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas apli-
cações é igual a:
a) R$ 4.012,30.
O) R$ 4.026,40.
c) R$ 4.176,00.
d) R$ 4.226,40.
e) R$ 5.417,10.
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Letra d.
Na primeira aplicação, o capital de R$18.000,00 é aplicado a uma taxa de 18% ao 
ano por 8 meses. Como o prazo foi fornecidoem meses, devemos converter a taxa 
anual em mensal.
Agora, podemos calcular o montante ao final dessa aplicação.
Os juros recebidos nessa aplicação são calculados por:
Para a segunda aplicação, o montante de R$20.160 foi aplicado a juros compostos 
de 5% ao semestre por 1 ano. O montante final pode ser calculado pela expressão 
dos juros compostos.
Portanto, os juros recebidos nessa segunda aplicação são calculados por:
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Assim sendo, o total de juros recebidos nas duas aplicações é:
Questão 8 (FCC/TRF/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTADORIA) Dois capitais 
são aplicados sob o regime de capitalização composta a uma taxa de 10% ao ano. 
O primeiro capital foi aplicado durante 2 anos e o segundo durante 3 anos, apre-
sentando um total de juros no valor de R$ 1.680,00 e R$ 1.986,00, respectivamen-
te. A porcentagem que o segundo capital representa do primeiro é, em %, igual a:
a) 80
O) 75
c) 60
d) 100
e) 90
Dados: 1,102 = 1,210 e 1,103 = 1,331
Letra O.
Consideremos o primeiro capital e a sua aplicação por 2 anos rendendo R$1.680,00 
de juros – ou seja, o montante será o capital acrescido de R$1.680 e pode ser cal-
culado pela expressão dos juros compostos. Pode-se escrever que:
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Então, escrevamos a equação para o segundo capital que rendeu R$1.986,00 após 
três anos.
Agora, basta dividir uma equação pela outra para obter o percentual:
Questão 9 (FCC/METRÔ-SP/2014/ANALISTA DESENVOLVIMENTO GESTÃO 
JÚNIOR/ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS) Joaquim pretende comprar um car-
ro no valor de R$12.500,00 e fará um depósito bancário. Sabendo-se que a 
taxa de juros do Banco A é de 6% ao ano, e que ele deverá resgatar o total 
do valor do carro, ao final de 12 meses, o valor principal a ser depositado por 
Joaquim deve ser de:
a) R$12.083,33
O) R$10.000,00
c) R$11.792,45
d) R$7.500,00
e) R$3.472,22
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Letra c.
Joaquim pretende acumular um montante de R$12.500 ao final dos 12 meses 
(ou 1 ano). Portanto, o capital que ele deve investir é dado pela expressão dos 
juros compostos.
Questão 10 (FCC/SEFAZ-RJ/2014/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADU-
AL) Um capital aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 se-
mestre, apresentou, no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso 
esse capital fosse aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 
ano, apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe-
-se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i ao semestre (i >0 ). Um 
outro capital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o regime 
de capitalização composta a uma taxa de i ao semestre, apresentará no final 
deste prazo um montante de:
a) R$16.242,00
O) R$16.200,00
c) R$16.212,00
d) R$16.224,00
e) R$16.236,00
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Letra d.
Na primeira aplicação, o capital C foi aplicado por 1 semestre a uma taxa de juros 
compostos i semestral. A aplicação rendeu juros de R$580,00, o que significa que 
o montante auferido excede o capital inicial nesse valor. Nesse caso, temos:
Agora, na segunda aplicação, o mesmo capital C é aplicado por 1 ano (2 semestres) 
à mesma taxa semestral i. A aplicação rendeu juros de R$1.183,20, o que significa 
que o montante auferido excede o capital inicial nesse valor. Escrevemos:
Desmembrando ambos os termos da equação, tem-se:
Agora, temos duas equações e duas incógnitas:
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Podemos, simplesmente, dividir uma equação pela outra.
Dessa forma, descobrimos que a taxa semestral envolvida nas aplicações é de 4%. 
Portanto, se aplicarmos o capital de R$15.000 nessa taxa por 1 ano (2 semestres), 
teremos:
1.1. Taxa de Juros Nominal e Efetiva
Na seção anterior, vimos uma condição muito importante para que a expressão 
do montante acumulado em juros compostos seja válida: a taxa de juros deve es-
tar no mesmo período de tempo da capitalização.
Quando a taxa de juros está num período diferente da capitalização, ela é de-
nominada taxa de juros nominal. São exemplos:
• 12% ao ano (capitalizada mensalmente);
• 24% ao ano (capitalizada semestralmente);
• 1% ao mês (capitalizada trimestralmente).
A Taxa de Juros Nominal não deve ser utilizada para efetuar contas.
Quando um problema fornece uma taxa de juros nominal, ela deve ser conver-
tida em uma taxa efetiva para que as contas possam ser efetuadas.
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Essa conversão é muito simples e muito cobrada em concursos. O aluno deve 
se lembrar de que a Taxa de Juros Nominal é sempre proporcional à Taxa de 
Juros efetiva, ainda que a operação seja de juros compostos.
Figura 2: Taxa de Juros Nominal e Efetiva
Questão 11 (ESAF/ISS-RN/2008) Duas pessoas fizeram uma aplicação financei-
ra. A pessoa “A” aplicou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a 
pessoa “B” aplicou R$ 50.000,00, à taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos 
as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal. Ao final 
de 1 (um) ano podemos afirmar que:
a) O juro recebido pela pessoa “A” é maior do que o juro recebido pela pessoa “B”.
O) Não há proporcionalidade entre juros de “A” e “B
c) A taxa efetiva de juros de “A” é maior do que a taxa efetiva de “B”.
d) A taxa nominal de “B” é maior do que a taxa nominal de “A”.
e) Os montantes finais são iguais.
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Juros Compostos. Taxas de Juros
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Letra a.
Nessa questão, o aluno deve se lembrar de que a taxa de juros nominal é sem-
pre proporcional à taxa efetiva. Dessa forma, para encontrar a taxa de juros 
mensal que é proporcional à taxa nominal de 6% ao ano, devemos dividir por 12, 
já que 1 ano tem 12 meses.
Perceba, portanto, que a taxa nominal de 6% ao ano capitalizada mensalmente é 
proporcional à taxa efetiva de 0,5% ao mês capitalizada mensalmente. Portanto, 
as duas taxas efetivas das aplicações de A e B são iguais. Logo, as afirmações C e 
D estão erradas.
Porém, como o capital investido por A é o dobro do capital investido por B, conclu-
ímos que A receberá o dobro dos juros. Portanto, A recebe mais juros que B.
Existe, sim, uma proporcionalidade entre os juros recebidos, pois os juros são dire-
tamente proporcionais aos capitais investidos. Afirmação B está errada.
Questão 12 (FGV/IBGE/2016/ANALISTA DE RECURSOS MATERIAIS E LOGÍSTI-
CA) Um investimento tem taxa nominal de 18% ao ano, capitalizados mensalmente 
no sistema de juros compostos.Para calcular o montante no final de 2 meses, o 
capital inicial deve ser multiplicado por:
a) 1+0,15²
O) (1+0,15)²
c) 1+0,015²
d) (1+0,015)²
e) 1 + 2.0,015
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Letra d.
A taxa de 18% ao ano é capitalizada mensalmente, portanto se trata de uma taxa 
nominal. Sendo assim, devemos convertê-la em taxa efetiva.
Agora, basta aplicar a expressão dos Juros Compostos.
Dessa maneira, o termo (1,015)² deve multiplicar o capital inicial.
Questão 13 (CESPE/TCE-PR/2016) Um investidor possui as propostas A e B de 
investimentos, com prazo de resgate de um ano, e ambas exigem um aporte ini-
cial de R$ 10.000. Com relação ao investimento A, está previsto o rendimento de 
14,4% de juros anuais (nominal), capitalizados mensalmente. No que se refere 
ao investimento B, está previsto o rendimento de 15% de juros ao ano (nominal), 
capitalizados bimestralmente. Nessas condições, a proposta B é mais atrativa que 
a proposta A.
Certo.
Essa questão solicita a comparação entre duas taxas de juros nominais com capita-
lizações diferentes. Uma forma de resolver o problema é converter ambas as taxas 
em efetivas bimestrais.
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Para a taxa A, em primeiro lugar, calcularemos a taxa efetiva mensal pela propor-
cionalidade.
A conversão de taxa efetiva mensal em efetiva bimestral é feita pelo procedimento 
das Taxas Equivalentes.
Para a taxa B, a taxa efetiva bimestral é dada diretamente pela proporcionalidade 
com a taxa nominal.
Dessa forma, o banco B oferece uma taxa melhor que o banco A.
1.2. Taxas de Juros Equivalentes
Duas taxas de juros são equivalentes quando produzem, no regime de ju-
ros simples, o mesmo montante final quando aplicadas pelo mesmo capital e o 
mesmo tempo.
Para encontrar duas taxas equivalentes, devemos nos lembrar da expressão dos 
juros compostos.
Por exemplo, a taxa de juros de 12% ao ano é equivalente a que taxa de juros 
mensal? Basta montar o esquema.
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Agora, devemos nos lembrar de que 1 ano é equivalente a 12 meses. Portanto, 
escrevemos esses coeficientes na equação.
Então, procedemos às contas:
Não se preocupe. Você não precisará fazer esse tipo de potência na mão sem 
calculadora na hora da prova. Em geral, as questões pedem potências menores, 
fornecem a potência ou deixam a resposta com esse termo a ser calculado – vere-
mos algumas questões assim.
De qualquer forma, com o auxílio de uma calculadora, é fácil calcular a taxa 
mensal equivalente a 12% ao ano.
Olha só que interessante. A taxa de juros de 12% ao ano é equivalente a 
0,95% ao mês, porém é proporcional a 1% ao mês.
Vejamos, agora, mais alguns exemplos. Qual taxa de juros trimestral é equiva-
lente a 1% ao mês?
Os números que apareceram nos expoentes refletem que 1 trimestre é igual 
a 3 meses. Portanto, o lado da taxa mensal deve ser elevado ao cubo. Dessa 
forma, tem-se:
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Agora, podemos extrair a taxa trimestral equivalente.
Também é possível fazer a conversão de uma unidade de tempo maior para uma 
menor. Por exemplo, qual a taxa mensal que é equivalente a 21% ao bimestre?
Por fim, resta-nos dizer que as bancas adoram confundir os conceitos de taxas 
de juros proporcionais e equivalentes. Portanto, você deve ficar atento(a).
E, agora, vamos ver como esse assunto aparece em provas.
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Questão 14 (FCC/TRE-PR/2017/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) A 
Cia. Escocesa, não tendo recursos para pagar um empréstimo de R$ 150.000,00 
na data do vencimento, fez um acordo com a instituição financeira credora para 
pagá-la 90 dias após a data do vencimento. Sabendo que a taxa de juros compos-
tos cobrada pela instituição financeira foi 3% ao mês, o valor pago pela empresa, 
desprezando-se os centavos, foi, em reais,
a) 163.909,00.
O) 163.500,00.
c) 154.500,00.
d) 159.135,00.
e) 159.000,00.
Letra a.
90 dias é o equivalente a 3 meses. Portanto, basta aplicar a expressão do montante 
final em juros compostos.
Questão 15 (CESPE/TCE-PE/2017/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) A taxa de 
24% ao ano é proporcional à taxa de 2% ao mês.
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Certo.
A questão falou em taxas proporcionais, portanto devemos utilizar o conceito de ju-
ros simples. Sendo assim, a taxa mensal que é proporcional a 24% ao ano é dada por:
Portanto, a afirmativa está correta.
Questão 16 (FCC/TRF 3/2016) Uma instituição financeira divulga que a taxa de 
juros nominal para seus tomadores de empréstimos é de 24% ao ano com capitali-
zação mensal. Isto significa que a taxa efetiva bimestral correspondente é de:
a) 
O) 
c) 
d) 
e) 
Letra d.
A taxa efetiva bimestral, na verdade, pode ser entendida como a taxa bimestral 
equivalente à efetiva mensal. Dessa maneira, devemos fazer o procedimento.
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Façamos, portanto, a primeira etapa. Encontraremos a taxa efetiva mensal por 
meio da proporcionalidade entre a taxa nominal e a taxa efetiva.
Agora, utilizando o conceito de taxas equivalentes, calcularemos a chamada taxa 
efetiva bimestral:
Questão 17 (FGV/SEFAZ-RJ/2011/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO) A taxa 
de juros anual equivalente à taxa de juros de 30% ao ano, capitalizados semestral-
mente, é:
a) 31,75%
O) 15,00%
c) 30,00%
d) 32,25%
e) 60,00%
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Letra d.
Devemos seguir o mesmo esquema da questão anterior.
Primeiramente, transformaremos a taxa nominal em efetiva, no caso, semestral, 
usando o conceito de taxas proporcionais.
Agora, para calcularmos a taxa efetiva anual, usamos o conceito de taxas equivalentes.
Questão 18 (FGV/SEFIN-RO/2018/AUDITOR-FISCAL) A taxa efetiva trimestral, 
que é equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados mensalmen-
te, é uma taxa de:
a) 21,78%
O) 30,00%
c) 33,10%
d) 46,41%
e) 50,00%
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Letra c.
Percebeu que é um problema recorrente? Devemos seguir o mesmo esquema da 
questão anterior.
Primeiramente,transformaremos a taxa nominal em efetiva, no caso, mensal, 
usando o conceito de taxas proporcionais.
Agora, para calcular a taxa efetiva trimestral, devemos utilizar o conceito de taxas 
equivalentes.
Questão 19 (CESPE/BRB/2011/ESCRITURÁRIO) Se o capital de R$ 5.000,00 for 
aplicado por 3 anos, à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização 
trimestral, o juro auferido por essa aplicação, em reais, ao final do período, será 
igual a 5.000 × (1,0412 - 1).
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Errado.
A taxa de 12% ao ano é nominal. Portanto, devemos convertê-la em efetiva trimes-
tral. Para isso, precisamos lembrar que 1 ano é equivalente a 4 trimestres.
Dessa maneira, podemos aplicar a expressão dos juros compostos.
Agora, podemos calcular os juros auferidos na aplicação:
Questão 20 (FCC/FUNAPE/2017/ANALISTA DE GESTÃO PREVIDENCIÁRIA) A 
quantia de R$41.212,04 é o montante de aplicação de R$40.000,00, durante 3 
meses, a uma taxa mensal de:
a) 1,0%
O) 0,9%
c) 0,8%
d) 0,7%
e) 1,1%
Letra a.
Acho chatas essas questões em que o(a) aluno(a) deve supor se o enunciado fala 
de juros simples ou compostos. Em linhas gerais, posso dizer que os juros compostos 
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são operações mais comuns no mercado, portanto prefira juros compostos. 
Vamos aplicar a Equação dos Juros Compostos:
Não se preocupe. Você não vai precisar tirar nenhuma raiz cúbica na hora da prova. 
Basta testar as taxas de juros fornecidas pelo enunciado.
Por sorte, conseguimos o valor procurado logo na letra A.
Questão 21 (FCC/MPE-AM/2013/AGENTE TÉCNICO/ECONOMIA) Uma pessoa 
tem R$ 20.000,00 e deseja aplicá-lo a juros compostos por 2 meses. Está em dú-
vida se deve aplicar todo o capital à taxa de 4% ao mês ou se deve aplicar metade 
à taxa de 3% ao mês e a outra metade à taxa de 5% ao mês. Se M1 e M2 são, 
respectivamente, os montantes que seriam obtidos pela primeira e pela segunda 
opção, é verdade que:
a) M1 = M2
O) M1 – M2 = R$4,00
c) M2 – M1 = R$2,00
d) M1 > R$22.000,00
e) M2 < R$21.500,00
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Letra c.
Vamos calcular o montante de cada operação. Na primeira, a pessoa investe todo 
o seu capital a uma taxa de 4% ao mês.
Para a segunda operação, a pessoa divide o capital inicial em dois, portanto:
Concluímos que:
Questão 22 (FCC/TST/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) Um pro-
duto custa R$ 100,00 à vista, mas o comprador deseja pagá-lo a prazo. A menor 
taxa de juros compostos mensal compreende efetuar o pagamento:
a) em um mês em uma parcela única de R$ 110,00.
O) em dois meses em uma parcela única de R$ 125,00.
c) de R$ 50,00 à vista e R$ 56,00 em uma única parcela que vence em um mês.
d) R$ 30,00 à vista e R$ 80,00 em uma única parcela que vence em um mês.
e) de R$ 53,00 em uma parcela que vence em um mês e outra de R$ 56,18 que 
vence em dois meses
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Letra e.
Um conceito fundamental que o(a) aluno(a) deve ter em mente é que os juros só 
incidem quando há transcurso de tempo. Dessa maneira, calculemos as taxas de 
juros envolvidas nas transações acima.
a) Errada. Em um mês em uma parcela única de R$ 110,00.
O) Errada. Em dois meses em uma parcela única de R$ 125,00.
c) Errada. De R$ 50,00 à vista e R$ 56,00 em uma única parcela que vence em 
um mês. Nesse caso, devemos calcular os juros apenas referente à parcela que foi 
paga após um mês.
Observe que o produto custava R$100,00, dos quais R$50,00 foram pagos à vista 
e o restante (R$100,00 – R$50,00 = R$50,00) foi pago no mês seguinte. Só incidiu 
juros sobre esse último capital.
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d) Errada. R$ 30,00 à vista e R$ 80,00 em uma única parcela que vence em um mês.
Observe que o produto custava R$100,00, dos quais R$30,00 foram pagos à vista 
e o restante (R$100,00 – R$30,00 = R$70,00) foi pago no mês seguinte. Só incidiu 
juros sobre esse último capital.
e) Certa. De R$ 53,00 em uma parcela que vence em um mês e outra de R$ 56,18 
que vence em dois meses. Essa é alternativa mais interessante. Note que o valor 
da compra foi dividido em duas partes de R$50,00, que foram atualizados a juros 
compostos.
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Portanto, a menor taxa de juros é a da letra E, que equivale a 6% ao mês.
Questão 23 (FCC/TJ-PE/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) Um 
valor X foi aplicado a juros compostos de 10% ao mês durante dois meses em um 
fundo de investimentos A. O mesmo valor X foi aplicado a juros compostos de 20% 
ao mês durante dois meses em um fundo de investimentos B. Em relação ao ren-
dimento da aplicação no fundo A, o rendimento obtido na aplicação no fundo B o 
supera em, aproximadamente,
a) 23%
O) 44%
c) 65%
d) 110%
e) 210%
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Letra d.
Mais uma questão sagaz da FCC. Essa banca não dá moleza, não! Na primeira ope-
ração, que rendia 10% de juros ao mês, temos:
Portanto, os juros recebidos foram:
Agora, para a segunda aplicação com a taxa de 20% ao mês, pode-se escrever:
O enunciado nos pediu para calcular as razões entre os juros recebidos – não entre 
os montantes, cuidado!
Portanto, os juros recebidos na segunda aplicação excedem os juros recebidos na 
primeira aplicação em:
Questão 24 (FCC/TJ-PE/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO) Uma taxa de juros nomi-
nal de 21% ao trimestre, com juros capitalizados mensalmente, apresenta uma 
taxa de juros efetiva, trimestral de, aproximadamente:
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a) 21,7%
O) 22,5%
c) 24,8%
d) 32,4%
e) 33,7%
Letra O.
Para a conversão de taxa de juros nominal em efetiva, usaremos o mesmo esque-
ma que já vimos na questão 17.
Como a capitalização é mensal, calculemos a taxa efetiva mensal primeiramente.
Agora, usando o conceito de Taxas Equivalentes, calcularemos a taxa efetiva trimestral:
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1.3. Taxa de Juros Real e Aparente
Considere que você tenha investido R$10.000 nas ações da CVC em julho de 
2016. Nessa época, as ações valiam R$23,53. Em um ano, as ações da companhiaatingiram R$34,53.
Figura 3: Comportamento das Ações da CVC
Dessa maneira, você teria obtido um ganho de 46,75% aproximadamente. Isso 
significa que você teria um montante Oruto de R$14.675. Muito bom, não é?
Porém, existem dois detalhes a considerar.
1. Se você quisesse sacar esse dinheiro hoje, você não poderia sacar tudo. Você 
teria de pagar Imposto de Renda sobre os seus rendimentos. No caso de ações, a 
uma alíquota é de 15% – pelo menos, para a prova de Matemática Financeira você 
não precisa saber disso, ok?
Esse imposto pode ser calculado por:
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O valor que você efetivamente pode sacar é conhecido como Montante Líqui-
do – na vida real – ou ainda como Montante Aparente – nas questões de prova. 
Esse montante seria:
Sendo assim, você pode sacar um montante líquido de aproximadamente 
R$14 mil. Porém, vivemos num mundo de inflação. O poder de compra desses 
R$14 mil hoje é menor do que era há um ano quando você começou o seu 
investimento.
Se a inflação acumulada no período citado foi de 10%, é necessário descontar 
a inflação. O desconto a ser aplicado é o desconto racional composto que será 
estudado propriamente na aula de Descontos. Por enquanto, basta você conhecer 
a expressão.
A taxa real é calculada por um desconto racional.
Muitos alunos tentam subtrair a inflação da taxa aparente – e, provavelmente, a 
questão de prova terá uma alternativa errada esperando por essa conta.
No caso do exemplo que vimos anteriormente, podemos calcular.
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Além disso, poderíamos calcular o montante real – grandeza muito explorada no 
mercado financeiro e, por isso, pode aparecer numa prova futuramente. O montan-
te real corresponde ao montante aparente descontado da inflação.
De qualquer maneira, a única expressão que você precisa saber é a relação en-
tre a taxa real, a taxa aparente e a taxa de inflação.
É útil saber também que essa relação também vale entre os montantes real e aparente.
Não vale a pena decorar todas as expressões que vimos aqui nessa Seção. É 
muito melhor você aprender a lógica da inflação e da taxa real do que decorar um 
monte de expressões.
Caso você já tenha estudado o assunto de Descontos, é bom lembrar que:
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Vamos treinar bastante sobre essa expressão antes de nos aprofundarmos no 
tema de inflação?
Questão 25 (CESPE/TCE-PB/2018/AUDITOR DAS CONTAS PÚBLICAS) Em no-
vembro de 2016, João comprou 10 kg de uma mercadoria e, um ano depois, ele 
comprou 11 kg dessa mesma mercadoria, mas pagou 21% a mais que em 2016.
Se a inflação do período tiver sido a única responsável pelo aumento de preço da 
mercadoria, então a inflação desse período foi de:
a) 12,1%
O) 18,9%
c) 7,9%
d) 10,0%
e) 11,0%
Letra d.
A inflação diz respeito à variação do preço da mercadoria. Suponha que João tenha 
gastado uma quantia Q em 2016 para comprar 10 kg da mercadoria. Desse modo, 
o preço da mercadoria em 2016 é de:
Já em 2017, João comprou 11 kg da mesma mercadoria, porém, gastando 21% a 
mais, ou seja, 1,21Q.
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Queremos saber o aumento percentual de preço, que corresponde à inflação, por-
tanto basta dividir:
O aumento de preço foi de 0,10 ou 10%.
Questão 26 (CESPE/SEFAZ-AC/2009) Se, para uma aplicação de um ano, um 
fundo de investimentos oferecer a taxa de remuneração de 12,35%, e a taxa de 
inflação nesse período for de 5%, então a taxa real de ganho desse fundo no perí-
odo será igual a:
a) 1,07%
O) 7%
c) 7,35%
d) 17,35%
Letra O.
Questão muito direta. Basta aplicar a fórmula do desconto racional para a taxa de 
juros real.
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Questão 27 (FCC/ICMS-PI/2015) Um investidor aplicou um capital de R$10.000,00 
e resgatou o total de R$ 13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa 
real de juros foi de 32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da 
taxa de inflação do período é:
a) 3%
O) 2,5%
c) 4,5%
d) 4%
e) 3,5%
Letra a.
Podemos calcular a taxa aparente pelo montante fornecido no enunciado.
Agora, usemos a relação clássica entre a taxa real e a aparente.
Questão 28 (CESPE/TCE-SC/2016/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) 
Um investidor do mercado imobiliário comprou um terreno por R$ 40.000 e, após 
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dois anos, vendeu-o por R$ 62.400. A taxa de inflação acumulada durante esses 
dois anos foi de 20%. Nessa situação, a rentabilidade real desse investimento foi 
superior a 32% no biênio.
Errado.
Como não houve imposto de renda, o montante aparente é de R$62.400. A taxa de 
ganho aparente é calculada pela valorização entre o montante aparente e o capital 
inicialmente investido.
Agora, basta utilizar a expressão que aprendemos para o cálculo de taxa de juros real.
Portanto, a rentabilidade real do investimento é inferior a 32%.
Questão 29 (CESPE/TCE-SC/2016/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) 
Um capital de R$ 80.000 investido durante um ano, rendeu R$ 13.870 de juros. A 
taxa de inflação nesse período foi de 7,3%. Nessa situação, o ganho real do inves-
timento foi superior a R$ 8.000.
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Errado.
O montante aparente corresponde à soma do capital investido com os juros recebidos.
O montante real corresponde ao montante aparente descontado da inflação.
Infelizmente, o CESPE colocou uma conta muito difícil de fazer.
Portanto, o ganho real do investidor foi de:
Durante uma prova, pode ser difícil de fazer essa conta. Por isso, é interessante 
você fazer a conta aproximada.
Questão 30 (FCC/TST/2017/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) Um in-
vestidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos que remuneram à taxa de juros compos-
tos de 10% ao ano e o prazo para resgate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se 
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que a inflação no prazo total da aplicação foi 15%, a taxa real de remuneração 
obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi:
a) 5,00%
O) 6,00%.
c) 5,22%.
d) 5,00% (negativo).
e) 4,55%.
Letra c.
Em primeiro lugar, calcularemos o rendimento aparente obtido pelo investidor, que 
corresponde a uma taxa de 10% ao ano por 2 anos.
Agora, basta usar a definição de juros reais para calcular ojuro real obtido:
Infelizmente, o enunciado não forneceu uma conta simples de fazer. Realmente, você 
teria de dividir 1,21 por 1,15. Bom, agora podemos obter a taxa de juros reais:
Questão 31 (CESPE/2011/PC-ES/PERITO CRIMINAL) Uma dívida de R$ 5.000,00 
é paga, com juros reais acrescidos da taxa de inflação do período, por R$ 5.670,00. 
Nessa situação, sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflação é 
0,004, julgue o item que se segue.
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A soma da taxa de juros reais com a taxa de inflação é inferior a 13,1%.
Certo.
Uma questão estranha, porém o procedimento é o mesmo. Foi fornecido o montan-
te aparente pago pelo investidor.
Agora, podemos utilizar a relação entre taxa real, taxa aparente e taxa de inflação.
O enunciado pediu a soma que chamaremos de S:
Agora, procederemos aos cálculos:
Questão 32 (CESPE/TCU/2015/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO) 
Situação Hipotética: Um investidor pretende adquirir um dos imóveis da empresa 
FastBrick por R$ 75.000,00 à vista e vendê-lo, após quatro anos, por R$ 120.000,00. 
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Assertiva: Nesse caso, se a inflação acumulada no período for de 20%, a rentabili-
dade real do investidor, no período de quatro anos, será superior a 35%.
Errado.
No período de quatro anos, o montante aparente obtido pelo investidor é de 
R$120.000, portanto podemos calcular a taxa de juros aparente.
Como a inflação acumulada foi fornecida para o mesmo período de 4 anos, pode-
mos aplicar a expressão conhecida para a taxa de juros real.
Questão 33 (FGV/ISS/NITERÓI/2015/FISCAL DE TRIBUTOS) Uma aplicação de 
R$ 10.000,00, após dois meses, resultou em um montante de R$ 14.210,00. Con-
siderando a incidência de imposto sobre o rendimento de 30% e a taxa mensal de 
inflação de 10%, a taxa de juros real durante o período de aplicação foi:
a) 7,0%
O) 7,5%
c) 8,0%
d) 8,5%
e) 9,0%
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Letra a.
Em primeiro lugar, devemos calcular o imposto pago na operação.
Portanto, o montante líquido será:
Para calcular a taxa de juros real, devemos considerar a inflação no período. Como 
a inflação foi de 10% ao ano e o período foi de dois meses, primeiramente, deve-
mos calcular a inflação acumulada pela expressão dos juros compostos – ou taxas 
equivalentes.
De posse da inflação, podemos calcular o montante e a taxa de juros real referen-
tes à operação:
1.3.1. Inflação e Poder de Compra
Você já parou para se perguntar sobre o que é o dinheiro?
O dinheiro emerge do mercado. O mercado é o processo de trocas voluntárias 
entre indivíduos.
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Tigres têm um jeito muito idiota de viver. Suponha que o tigre A viva num ter-
ritório com ampla disponibilidade de caça, enquanto o tigre B vive num território 
com ampla disponibilidade de água.
O que aconteceria se o tigre A cruzasse a fronteira dos territórios em busca da 
água que o tigre B tem em excesso?
Provavelmente, os dois lutariam até morrer ou até que um deles abandonasse 
o território disputado.
Por outro lado, dois seres humanos teriam atitudes diferentes. Provavel-
mente, o ser humano A caçaria em excesso, assim como o ser humano B co-
letaria água em excesso. Então, eles se encontrariam fronteiras e trocariam a 
água por alimentos.
Assim, tanto o ser humano A como o ser humano B teriam água e caça dis-
poníveis de maneira completamente pacífica. E é exatamente assim que funcio-
na um mercado.
O processo de trocas diretas de um bem por outro, como ilustrado acima, é 
denominado escamOo. Numa economia mais complexa, torna-se impossível fazer 
trocas diretas.
Imagine que você precise de cuidados médicos. Como você poderia pagar por 
esses cuidados?
Você poderia levar 1 kg de filé mignon ao consultório e oferecer como paga-
mento. Porém, e se o médico não gostar ou não tiver interesse naquele pedaço 
de carne?
É para isso que serve o dinheiro. O dinheiro é um meio de troca entre bens, 
permitindo trocas indiretas.
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O dinheiro é um bem facilmente comerciável, ou seja, é aceito por um grande 
número de pessoas. As pessoas aceitam o dinheiro simplesmente porque sabem 
que podem trocá-lo por outros bens no futuro.
No Império Romano, utilizava-se o sal como dinheiro. Tornou-se uma convenção 
naquela civilização.
Porém, o sal tinha um grande problema. Toda vez que alguma expedição volta-
va cheio de sal, aquilo provocava uma grande flutuação na quantidade de dinheiro 
disponível na economia.
Por isso, uma característica importantíssima do dinheiro é que o dinheiro deve 
ser um Oem escasso. Um bem escasso é aquele que não pode ser produzido pelo 
ser humano e que é muito difícil de ser falsificado, já que é facilmente reco-
nhecível.
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Com o tempo, o ouro e a prata foram escolhidos pelo mercado como bens para 
o dinheiro, justamente por reunir essas características que detalhamos acima.
O ouro e a prata não podem ser produzidos pelo ser humano – a natureza criou 
uma quantidade fixa e o máximo que o ser humano pode fazer é extrair.
O dinheiro que utilizamos hoje em dia nasceu como certificados de ouro e prata.
O conceito mais importante sobre dinheiro que precisamos para entender a in-
flação é que “Dinheiro não é riqueza”.
Isso mesmo que você leu. Não importa o quanto dinheiro você tenha, o dinheiro 
por si só não representa riqueza.
Pense, por exemplo, num grande imperador, como Napoleão. Ele tinha exérci-
tos, podia trazer todos os grandes luxos da época.
Porém, Napoleão não tinha acesso a bens como: frutas o ano inteiro, ar-condi-
cionado, medicamentos de toda espécie.
A riqueza deve ser medida pela disponiOilidade de Oens e serviços. Um 
cidadão de classe média de hoje em dia tem acesso a muito mais riqueza do 
que Napoleão.
E, por isso, temos o importante conceito de poder de compra do dinheiro. Por 
exemplo, na tabela a seguir, tratamos o poder de compra de R$300.
Bem Preço Poder de Compra de R$300
Arroz R$4/kg 75 kg
Feijão R$5/kg 60 kg
Leite R$3/L 100 L
Dólar R$3/1US$ US$100
Observe que o poder de compra é inversamente proporcional ao preço dos bens.
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Questão 34 (CESPE/ANAC/2008/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Se, em determi-
nado mês, um trabalhador não sofrer reajuste salarial e os preços subirem 25%, 
então o poder de compra desse trabalhador será reduzido em 20% no referido mês.
Certo.
O poder de comprado salário de um trabalho é inversamente proporcional. Seja P 
o preço inicial dos bens, os preços aumentaram 25%, portanto, o preço final será:
As setas estão no sentido contrário, porque as grandes são inversamente propor-
cionais. Montando a proporção no sentido das setas:
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Lembre-se da nossa dica sobre resolver contas com 25 no denominador. Basta mul-
tiplicar por 4.
Portanto, de fato, o poder de compra diminuiu em 20%. Note que esse é também 
um ponto importante sobre porcentagem: aumentar 25% não é a mesma coisa de 
reduzir 25%.
O que aconteceria se a Fada do Dente visitasse todas as casas brasileiras e 
multiplicasse por dois todo o dinheiro disponível nas contas bancárias de todas as 
pessoas? Será que todos nós ficaríamos mais ricos?
Certamente não. Dinheiro não é riqueza. A riqueza é medida pela disponibilida-
de de bens e serviços.
A Fada não aumentou a quantidade de bens e serviços disponíveis na economia. 
Então, o que aconteceria é que, quando as pessoas fossem tentar gastar o dinheiro 
extra que receberam, os preços dos bens teriam subido.
O único efeito que a Fada causou foi aumentar a quantidade de dinheiro na 
economia, o que é conhecido como inflação monetária. Se existe mais dinheiro, ele 
vale menos.
Portanto, a inflação não é o aumento generalizado dos preços, mas sim o au-
mento na quantidade de dinheiro na economia. O aumento generalizado dos preços 
dos bens é apenas uma consequência.
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No Brasil, o Banco Central é o único órgão autorizado a emitir moeda.
Quando o Banco Central emite moeda, acontece algo diferente da Fada. O que 
acontece é que o governo simplesmente imprime mais dinheiro para si.
Há um aumento na quantidade de dinheiro na economia, mas esse aumento é 
desigual, pois o governo recebeu todo o dinheiro novo. Desse modo, a inflação é 
economicamente um imposto, mas não tributariamente, portanto jamais conside-
re, numa prova de Direito Tributário, a inflação como um exemplo de imposto, ok?
No entanto, é importante destacar que o que conhecemos popularmente como 
inflação, na verdade, é o IPCA – índice de preços ao consumidor amplo. O IPCA é 
uma medida de como os preços aumentaram. Portanto, o IPCA não é uma medida 
da inflação propriamente dita, mas apenas de um de seus sintomas.
A despeito disso, o índice de preços reflete o poder de compra do dinheiro e, por 
isso, é uma métrica muito útil para a avaliação de investimentos.
Um dos efeitos mais danosos da inflação, segundo o economista Friedrich von 
Hayek, Prêmio Nobel de Economia em 1974, é que a inflação torna muito mais 
difícil o cálculo econômico, portanto os agentes terão mais dificuldade em tomar 
decisões racionais.
Para ilustrar essa afirmação, tomemos como exemplo uma situação que apre-
sentei aos clientes da minha consultoria de investimentos em julho de 2017.
Questão 35 O Tesouro Selic é um título público pós-fixado que paga juros de acor-
do com a Taxa Selic. Em julho de 2016, a Taxa Selic era de 14,25% ao ano e a 
inflação era de 10% ao ano. Já em julho de 2017, a Taxa Selic era de 9% ao ano e 
a inflação era de 5% ao ano.
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Sobre os rendimentos no Tesouro, incide alíquota de Imposto de Renda de 17,5% 
para aplicações de 1 ano.
Nessa situação, considerando o prazo de 1 ano, é correto afirmar que era mais van-
tajoso investir nesse título em 2016 do que em 2017.
�Os..: Use calculadora, porque os dados são reais e não receberam nenhum trata-
mento para facilitar as contas.
Errado.
Calculemos os ganhos líquidos em ambos os anos:
Agora, calculemos os ganhos reais considerando a inflação. Para 2016:
Para o ano de 2017:
Portanto, o ganho real no ano de 2017 com o Tesouro Selic foi superior ao ganho 
real do mesmo investimento em 2016.
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A despeito do que vimos na questão anterior, se você lesse qualquer jornal de 
investimentos na época, muitos analistas de investimentos estavam apontando 
para a morte da Renda Fixa em 2017.
Eles estavam simplesmente olhando para a taxa de juros nominal que caiu de 
14,25% para 9% naquela época. Bastante compreensível a confusão, não é?
Agora, imagine um cenário em que você não tem nem mesmo a previsão de 
quanto será a inflação nos próximos anos? É muito difícil dizer qual o retorno você 
deve esperar para um investimento, não é verdade?
A Figura 4 mostra o comportamento da taxa de inflação no Brasil de 2007 a 
2017. Perceba como a inflação brasileira é instável. Esse cenário afasta muitos in-
vestidores.
Figura 4: Taxa de Inflação no Brasil
2. Comparação entre Juros Simples e Compostos
Um tema frequentemente abordado pelas bancas é a relação entre Juros Sim-
ples e Compostos.
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Para isso, tomemos uma aplicação de R$10 mil que rende 12% ao ano calcula-
dos a juros simples e compostos com o auxílio de uma planilha de Excel.
Tempo (anos) Juros Simples Juros Compostos �Oservação
0 R$ - R$ - Ambos nulos
0,1 R$ 120,00 R$ 113,97 JS > JC
0,2 R$ 240,00 R$ 229,25 JS > JC
0,3 R$ 360,00 R$ 345,83 JS > JC
0,4 R$ 480,00 R$ 463,75 JS > JC
0,5 R$ 600,00 R$ 583,01 JS > JC
0,6 R$ 720,00 R$ 703,62 JS > JC
0,7 R$ 840,00 R$ 825,62 JS > JC
0,8 R$ 960,00 R$ 949,00 JS > JC
0,9 R$ 1.080,00 R$ 1.073,79 JS > JC
1 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 JS = JC
1,1 R$ 1.320,00 R$ 1.327,65 JC > JS
1,2 R$ 1.440,00 R$ 1.456,76 JC > JS
1,3 R$ 1.560,00 R$ 1.587,33 JC > JS
1,4 R$ 1.680,00 R$ 1.719,40 JC > JS
1,5 R$ 1.800,00 R$ 1.852,97 JC > JS
1,6 R$ 1.920,00 R$ 1.988,06 JC > JS
1,7 R$ 2.040,00 R$ 2.124,69 JC > JS
1,8 R$ 2.160,00 R$ 2.262,88 JC > JS
1,9 R$ 2.280,00 R$ 2.402,64 JC > JS
2 R$ 2.400,00 R$ 2.544,00 JC > JS
Tabela 2 : Efeito dos Juros Simples e Compostos num período de 2 anos
A conclusão da Tabela 2 é muito importante para provas de concursos. É natu-
ral esperar que os juros compostos superem os juros simples ao longo do tempo. 
Porém, perceba que os juros simples rendem mais que os juros compostos 
quando o período de tempo é inferior a 1.
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Essa conclusão também pode ser visualizada na Figura 5 e na Figura 6.
Figura 5: Efeito dos Juros Simples e Compostos num Prazo de 2 anos
Figura 6: Proporção entre Juros Simples e Compostos no Prazo de 2 Anos
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Agora, vamos esquematizar essa conclusão para que você não esqueça mais.
O tempo deve ser medido na mesma unidadeda taxa de juros. Assim, se a taxa é 
anual, para t < 1 ano, os juros simples rendem mais que os juros compostos.
Naturalmente, os bancos tomam vantagem dessa propriedade. Por exemplo, 
como as taxas de juros dos bancos são mensais, caso você fique devendo no che-
que especial por um período de tempo inferior a um mês (situação bem corriquei-
ra), você será cobrado por juros simples.
Outro ponto a se comentar é que os juros compostos realmente rendem mais 
que os juros simples quando o tempo cresce e que essa diferença fica sensivelmen-
te maior à medida que o tempo passa.
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Figura 7: Efeito dos Juros Simples e Compostos para o prazo de 10 Anos
A Figura 7 mostra que, quanto maior o efeito do tempo sobre a aplicação finan-
ceira, maior será a diferença de rendimento entre juros simples e compostos.
Questão 36 (CESPE/TJ-CE/2014) Considere que dois capitais de mesmo valor C 
tenham sido aplicados, um no regime de juros simples e outro no regime de juros 
compostos, às mesmas taxas de juros anuais e no mesmo prazo, o que gerou, res-
pectivamente, os montantes M e N. Nessa situação, é correto afirmar que:
a) M > N, para prazo inferior a um ano.
O) N > M, para prazo inferior a um ano.
c) M = N, visto que são calculados com a mesma taxa de juros e com o mesmo prazo.
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d) M > N, qualquer que seja o prazo da operação.
e) N > M, qualquer que seja o prazo da operação.
Letra a.
Como a taxa de juros é anual, temos que os juros simples rendem mais que os 
compostos para um prazo inferior a um ano.
Questão 37 (CESPE/TCE-PE/2017/AUDITOR DAS CONTAS PÚBLICAS) Conside-
re que dois capitais, cada um de R$10.000, tenham sido aplicados à taxa de juros 
de 44% ao mês – 30 dias –, por um período de 15 dias, sendo um a juros simples e 
outro a juros compostos. Nessa situação, o montante auferido com a capitalização 
no regime de juros compostos será superior ao montante auferido com a capitali-
zação no regime de juros simples.
Errado.
Como a taxa de juros é ao mês, o período de 15 dias corresponde a t = 1/2, por-
tanto é inferior a uma unidade de tempo. Sendo assim, o regime de juros simples 
rende mais.
Questão 38 (FGV/ISS/NITERÓI/2015/CONTADOR) Um empréstimo por dois me-
ses utilizando o regime de juros compostos de 10% ao mês equivale a um emprés-
timo utilizando o regime de juros simples, pelo mesmo período, de:
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a) 9,0% ao mês
O) 9,5% ao mês
c) 10,0% ao mês
d) 10,5% ao mês
e) 11,0% ao mês
Letra d.
Calculemos o montante da operação pela expressão dos Juros Compostos.
Agora, queremos saber qual taxa de juros simples produziria o mesmo montan-
te no mesmo intervalo de tempo de 2 meses.
Um comentário importante a se fazer é que realmente deveríamos esperar que a taxa 
de juros simples fosse maior. Como o período de tempo é superior a 1 ano, temos 
que, numa mesma taxa, os juros compostos seriam superiores aos juros simples.
Como queremos que sejam iguais, precisamos de uma taxa de juros simples maior.
Questão 39 (FGV/ISS/NITERÓI/2015/FISCAL DE TRIBUTOS) Um empréstimo 
de dois anos utilizando o regime de juros simples de 150% ao ano equivale a um 
empréstimo utilizando o regime de juros compostos, pelo mesmo período, de:
a) 100% ao ano
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O) 125% ao ano
c) 150% ao ano
d) 175% ao ano
e) 200% ao ano
Letra a.
Agora se trata do problema inverso. Calcularemos, primeiramente, o montante 
acumulado no regime de juros simples.
Agora, calculemos qual taxa de juros compostos produziria o mesmo montante no 
mesmo período de 2 anos.
Questão 40 (FGV/SEFAZ-MT/2014/AFRE) A taxa efetiva anual equivalente à taxa 
nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente, será:
a) igual a 10%.
O) menor do que 10%.
c) menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral.
d) maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral.
e) maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização 
diária, semestral, trimestral ou anual.
Letra d.
Alguns alunos poderiam achar um exagero por parte da FGV cobrar uma taxa no-
minal com capitalização diária, o que levaria a uma potência de expoente 365.
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Porém, eu considero que há uma forma bastante elegante de fazer essa questão 
sem o uso de calculadora durante uma prova de concurso.
Seja N o número correspondente à quantidade de período de capitalização contidos 
em 1 ano. Ou seja, N = 12 para capitalização mensal, porque 1 ano tem 12 meses. 
N = 2 para capitalização semestral, porque 1 ano tem 2 semestres. E, daí em diante.
Seguindo o processo que aprendemos na Seção 18, temos que a taxa nominal 
pode ser convertida em efetiva no período da capitalização por meio de uma 
proporcionalidade:
Por outro lado, a taxa efetiva anual será calculada pela regra das taxas equivalen-
tes, ou seja, uma potência:
Agora, devemos utilizar a desigualdade entre os juros simples e compostos. Para N 
> 1 – o que é o caso de todas as capitalizações pedidas na questão:
Portanto, em todos os casos (capitalização diária, mensal, trimestral ou semestral), 
a taxa efetiva anual será superior a 10%. Além disso, como comentamos anterior-
mente, quanto maior for o efeito do tempo, ou seja, quanto maior o N, maior será 
o efeito dos juros compostos.
Portanto, mais distante de 10% será a taxa efetiva anual.
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Sendo assim, para capitalização diária (N=365), a taxa efetiva anual atingirá o seu 
máximo. Depois virá a capitalização mensal (N=12), a bimestral (N=6), a trimes-
tral (N=4) e, por último, a semestral (N=2).
Sendo assim, a letra D é o nosso gabarito, tendo em vista que a taxa efetiva 
anual com capitalização mensal será maior que a taxa efetiva anual com capi-
talização semestral.
Feito esse raciocínio que poderia ser aplicado na hora da prova, podemos calcular 
todas as expressões para as diferentes capitalizações pedidas na questão.
Tipo de Capitalização N
Diária 365 0,027% 10,51%
Mensal 12 0,83% 10,47%
Trimestral 4 2,5% 10,38%
Semestral 2 5% 10,25%
A diferença pode parecer mínima olhando pela tabela. Porém, no mercado finan-
ceiro, ganha-se dinheiro nos pequenos percentuais. Esse tipo de problema é de 
bastante relevância.
2.1. Produtos Notáveis
Em questões mais avançadas, é relativamente comum serem cobrados os pro-
dutos notáveis. Por isso, precisamos saber muito bem, pelo menos, os principais. 
Vamos a eles:
1. Quadrado da Soma.: 
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Demonstração:
2. Quadrado da Diferença.: 
Demonstração:
3. Soma pela Diferença.: 
Demonstração:
4. 
Demonstração: usando o produto notável anterior, temos que:
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Questão 41 (ESAF/AFRFB2012) No sistema de juros simples, um capital foi apli-
cado a uma determinada taxa anual durante dois anos. O total de juros auferidos 
por esse capital no final do período foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de juros 
compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 
anos, e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no final de 
2 anos foi igual a R$ 2.200,00:
Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a:
a) 4.800,00
O) 5.200,00
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c) 3.200,00
d) 5.000,00
e) 6.000,00
Letra d.
Para o sistema de juros simples, temos que os juros auferidos são dados por:
Por outro lado, para o sistema de juros compostos:
Podemos subtrair os juros obtidos em cada operação:
Dessa forma, tem-se um sistema de duas equações e duas incógnitas:
Como queremos o capital inicial investido (C), a maneira mais simples de resolvê-lo 
é elevando a primeira equação ao quadrado e dividindo pela segunda:
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Questão 42 (FCC/SEFAZ-RJ/2014/AFRE) Um capital aplicado sob o regime de ca-
pitalização composta, durante 1 semestre, apresentou, no final deste prazo, um 
total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital fosse aplicado sob o regime de ca-
pitalização composta, durante 1 ano, apresentaria no final deste prazo um total de 
juros de R$ 1.183,20. Sabe-se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i 
ao semestre (i >0 ). Um outro capital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 
1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de i ao semestre, apre-
sentará no final deste prazo um montante de
a) R$16.242,00
O) R$16.200,00
c) R$16.212,00
d) R$16.224,00
e) R$16.236,00
Letra d.
Vamos escrever a valorização do capital em função da taxa semestral. No primeiro 
caso, temos uma aplicação de apenas 1 semestre.
Agora, para a segunda aplicação que durou 1 ano (2 semestres):
Da equação anterior, já calculamos o valor de Ci. Portanto, segue que:
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Agora, já temos duas equações e duas incógnitas bem simples em função do Ca-
pital e da taxa (i). O enunciado quer saber o valor que seria obtido ao investir o 
capital de R$15.000 à taxa i, portanto precisamos calcular a taxa i. Para isso, basta 
utilizar as duas equações que temos. Com base nelas, podemos escrever que:
Dividindo a primeira pela segunda, temos:
Basta agora aplicar a Equação dos Juros Compostos para o capital de R$15.000,00, 
a taxa conhecida de 4% ao semestre e o prazo de 1 ano (2 semestres):
2.2. Cindibilidade do Prazo
Para entender esse problema, voltemos a uma questão do CESPE.
Questão 43 (CESPE/BRB/2011/ESCRITURÁRIO)Se um investidor aplicar a quantia 
de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros 
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simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante rece-
bido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, 
ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00.
Errado.
Questão interessante sobre a dinâmica dos Juros Simples. Nesse caso, temos duas 
aplicações. Na primeira, o montante final pode ser calculado por:
Esses R$540,00 serão reaplicados nas mesmas condições – taxa de juros de 4% ao 
ano – por mais dois anos gerando um montante final de:
Note que o montante final foi de R$583,20 que é diferente do enunciado. Portanto, 
a alternativa está errada.
A questão anterior trata de um aspecto muito importante das operações de Ju-
ros Simples.
É interessante notar que, caso os R$500,00 tivessem sido aplicados diretamen-
te à taxa de 4% ao ano por 4 anos, o montante final produzido seria diferente.
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Dessa maneira, é diferente aplicar um capital de R$500,00 por uma taxa de ju-
ros simples contínua por 4 anos de aplicar o mesmo capital à mesma taxa de juros 
simples, porém quebrada em dois períodos de 2 anos.
Por isso, diz-se que, no caso de Juros Simples, não é possível cindir o prazo 
da aplicação.
Por outro lado, caso a operação fosse de juros compostos, teríamos a seguinte 
situação. Caso calculássemos em partes, como foi solicitado pela questão, teríamos:
Por outro lado, caso o prazo da aplicação não fosse cindido, ou seja, se a apli-
cação permanecesse por 4 anos, teríamos:
Sendo assim, no caso de Juros Compostos, é indiferente se a aplicação é mantida 
ou quebrada, desde que o prazo global seja o mesmo. Por isso, é possível afirmar que 
o Regime de Juros Compostos possui a propriedade de cindiOilidade do prazo.
A cindibilidade do prazo é uma propriedade importante da operação de juros 
compostos. Graças a ela, os juros compostos se tornam uma maneira muito natural 
de fazer investimentos.
Se você tivesse um capital de R$500 investidos a juros simples, naturalmente, 
você gostaria de sacá-lo todo ano e reinvestir o montante global para obter um 
rendimento maior.
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Porém, se o capital estiver investido a juros compostos, não há necessidade 
de mexer na sua aplicação, pois todo o seu montante acumulado está rendendo 
a juros.
A falta de cindibilidade do prazo nas operações de juros simples tornou essa 
operação praticamente morta no mercado financeiro. As poucas aplicações derivam 
apenas da propriedade estudada na Seção 2
de que os juros simples rendem mais que os juros compostos para tempo infe-
rior a uma unidade.
3. Tópicos Adicionais sobre Juros Compostos
Nessa Seção, eu resolvi incluir alguns assuntos que sempre causam confusão 
entre os alunos quando aparecem em provas.
Gostaria de adiantar que não são assuntos muito frequentes, porém, para che-
gar ao topo da montanha e estar bem preparado(a) para uma prova de alto nível 
de dificuldade, você precisa estar atento(a) a eles.
3.1. Logaritmos
Talvez você odiasse esse assunto quando você estava no Ensino Médio. Porém, 
fique tranquilo(a), não é nada do outro mundo.
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