PC_2010-1_AD01_GABARITO

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AD 01 – 2010-1 Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
___________________________________________________________________________________ 
 
1) [1,0 ponto] Se a soma de quatro múltiplos consecutivos de 3 vale 54, quanto vale o menor desses 
múltiplos? 
 
Solução: 
 
Consideremos quaisquer quatro múltiplos consecutivos de 3: 
)3(3,)2(3,)1(3,3 +++ nnnn , onde n é um número inteiro. 
Por hipótese, 54)3(3)2(3)1(33 =++++++ nnnn . 
Aplicando as propriedades associativa, comutativa e distributiva dos números reais, obtemos: 
54)3(3)2(3)1(33 =++++++ nnnn 
549363333 =++++++ nnnn 
541812 =+n 
3612 =n 
3=n 
Portanto, o menor desses múltiplos é o 9. 
___________________________________________________________________________________ 
 
2) [1,4 ponto] [item f): 0,4 ponto – os demais itens: 0,2 ponto cada]. 
 Diga quais das afirmações abaixo são falsas e quais são verdadeiras. 
 Se a afirmação for verdadeira, explique usando as propriedades dos números reais e do 
valor absoluto. 
 Se a afirmação for falsa, dê um exemplo mostrando isso. Na realidade, você estará dando um 
"contra-exemplo" para a afirmação proposta. 
 
Solução: 
 
Sejam yx , números reais. 
 
a) 32 ≥⇒> xx . 
Falsa. Faça, por exemplo, 5,2=x . 
Temos que 35,2,25,2 <> mas . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 3322 yxyx =⇒= . 
Falsa. Faça, por exemplo, 2−=x e 2=y . 
Substituindo esses valores na expressão 22 yx = , obtemos 22 )2(4)2( ==− . 
Mas, substituindo esses valores na expressão 33 yx = , obtemos 33 )2(88)2( =≠−=− . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
AD 01 – 2010-1 – Gabarito Pré-Cálculo 
2 de 8 
c) Para 0≠∀ x , temos que 11 >⇔< yxy
x
. 
Analisando a implicação: 11 >⇒< yxy
x
. 
Falsa. Faça, por exemplo, 2−=x e 3=y . 
Substituindo esses valores na expressão y
x
<
1 , obtemos 3
2
1
<
−
. Porém, substituindo 
esses valores na expressão yx , obtemos 163)2( <−=⋅− . 
Lembramos que quando multiplicamos uma desigualdade por um número negativo, 
invertemos a desigualdade. 
Analisando a implicação: y
x
yx <⇒> 11 . 
Falsa. Basta escolher para x um valor negativo. Se 0<x , então 01 <
x
. Ao 
multiplicarmos uma desigualdade por um número negativo, invertemos a desigualdade. 
Assim, 
x
y
x
yx
x
yx 11111 <⇒⋅<⋅⋅⇒> . 
Atenção: Bastava analisar uma das implicações porque se uma delas é falsa a equivalência 
também é falsa. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) Para 0≠∀ x , temos que 11 22 >⇔< yxyx
. 
Verdadeira. 
Sabemos que para 0≠∀ x , 02 >x e 012 >x
 e multiplicando uma desigualdade por um número 
positivo não invertemos a desigualdade. 
"⇒ " 
yxyx
x
xxporladososambosndomultiplicay
x
⋅<⇒⋅<⋅⇒< 222
22
2 1
1)(1 . 
"⇐ " 
y
x
yx
xxx
porladososambosndomultiplicayx <⇒⋅⋅<⋅⇒⋅< 2
2
222
2 1111)1(1 . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
e) yxyx <⇒< . 
Falsa. Faça, por exemplo, 5−=x e 2=y . Temos que 55 =−=x e 22 ==y . 
Assim, yx < , pois 25 <− , mas yx > , pois, yx ==>=−= 2255 . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
AD 01 – 2010-1 – Gabarito Pré-Cálculo 
3 de 8 
 
f) 32
3
41 −≤⇒≥−< yxyex . 
Verdadeira. 
De fato: 
3
1323
3
8323
3
4232
3
422
3
4
−≥−⇒−≥−⇒−⋅≥−⇒⋅≥⇒≥ yyyyy
Concluímos que, 32
3
11 −≤−<−< yx . 
Portanto, 32 −≤ yx . 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
3) [2,0 ponto] [item a): 0,3 – item b): 0,7 – item c: 1,0] 
 
 a) Suponha que IR∈x e que [ ]5,2-∈x . Faça uma estimativa para o número real x43− . 
 
Solução: 
 
Se [ ]5,2-∈x então 52 ≤≤− x . Multiplicando a desigualdade por 4− , segue que, 
84205)4()4()2()4(52 ≤−≤−⇒⋅−≥⋅−≥−⋅−⇒≤≤− xxx . 
Somando 3 à última desigualdade, segue que: 
 1134173834320 ≤+−≤−⇒+≤+−≤+− xx . 
 Portanto, 
[ ]11,1734 −∈+− x . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 b) Suponha que IR∈x e que 12 ≤− x . Usando as propriedades dos números reais e do 
valor absoluto, faça uma estimativa para 12 +x 
 
 Observe que, 
 ⇔−≤−≤−⇔+−≤−+−≤−−⇔≤−≤−⇔≤− 1312221212112 xxxx 
 
( ) ( ) ( ) 101219111913131 222222 ≤+≤⇔+≤+≤+⇔≤≤⇔≤≤⇔≤≤ xxxxx
 
Portanto, 
[ ]10,212 ∈+x . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
c) Suponha que IR∈x e que 552 <− x . Use a propriedade geométrica de valor absoluto 
e diga entre quais valores reais encontra-se o número real x . Agora, encontre o menor número 
inteiro 0, >aa , tal que seja possível garantir que ax < . Explique! 
Você está fazendo uma estimativa para x . 
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4 de 8 
 
Observe que, 
 
⇔<−<−⇔+−<−+−<−−⇔<−<−⇔<− 35752522525525552 xxxx
 
5
7
5
3753 <<−⇔<<− xx . 
Mas, 
 
2224,16,014,1
5
7
5
36,0
5
7
5
3
<<−⇒<<<−<−⇒=<<
−
=−⇒<<
− xxxx
 
Logo, 2<x . 
___________________________________________________________________________________ 
 
4) [2,1 ponto] [item a): 0,4– item b): 0,7– item c: 1,0] 
 
Faça os cálculos necessários e responda se existem valores reais de x para os quais as 
identidades abaixo são verdadeiras. Responda na forma de conjunto ou de intervalo, quando e se 
for o caso. 
 
Solução: 
 
 a) xxx −−=2 . 
 
Sabemos que 
))((2 xxxxx −−=⋅= para todo IR∈x , e que a identidade 
baab = só é válida para 0≥a e 0≥b . 
Logo 
xxxx −−=−− ))(( só é válida para 0≥− x , isto é, 0≤x . 
Assim, 
xxxxxxx −−=−−=⋅= ))((2 só é válida para 0≤x (note que 02 ≥x ), ou seja, para 
( ]0,-∞∈x . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 b) 11 +=+ xx . 
 Se 0≥x , então 011 >≥+x . Assim, 11 +=+ xx e xx = . 
 Portanto, 
 1111 +=+⇒+=+ xxxx e a igualdade é verdadeira. 
 
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5 de 8 
Se 0<x , então 11 <+x . Temos duas possibilidades: 
I) 110 <+≤ x ou II) 01 <+x . 
 
No caso I) 110 <+≤ x e 0<x : 
11 +=+ xx e xx −= . Assim, a igualdade 11 +=+ xx transforma-se em 
11 +−=+ xx , o que é válido somente para 0=x , que não faz parte desse caso. 
 
No caso II) 01 <+x e 0<x : 
11 −−=+ xx e xx −= . Assim, a igualdade 11 +=+ xx transforma-se em 
11 +−=−− xx , que não é verdadeira.. 
Assim, a igualdade 11 +=+ xx , só é verdadeira para 0≥x , ou seja, para [ )∞+∈ ,0x . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 c) 
x
x
x
x
−
−
=
− 11
. 
 
Como a identidade 
b
a
b
a
= só é válida para 0≥a e 0>b , temos que: 
x
x
x
x
−
−
=
−
−
11
 só é válida para 0≥− x e 01 >− x . 
Como 
11)1(1 −
=
+−
=
−−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x é válida para todo 1≠x , podemos concluir que: 
111 −
=
−
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
 é válida para todo 1≠x , 0≥− x e 01 >− x . 
Mas, 00 ≤⇔≥− xx e 1101 <⇔>⇔>− xxx , donde 0≤x . 
 
Conclusão: 
111 −
=
−
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
 é válida para todo 0≤x , ou seja, para 
]0,( ∞−∈x . 
___________________________________________________________________________________ 
 
5) [1,8 ponto] 
Considere a expressão 
2
11
21
1
x
x
x
−
−
+
. 
 
 
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6 de 8 
 
Diga para quais valores de x não é possível calcular essa expressão. 
Simplifique a expressão de forma a obter uma expressão com apenas um numerador e um 
denominador. Estude o sinal da expressão simplificada. 
Iguale a expressão simplificada à 
18
1
− e resolva a equação encontrada. 
Solução: 
 A expressão 
2
11
21
1
x
x
x
−
−
+
 não pode ser calculada para: 
 
021 =− x , 02 =x e para 0111 2
2
2 =
−
=−
x
x
x
, ou seja, para: 
2
1=x , 0=x , 1=x e 1−=x . 
 
Temos: 
 
=
−−
−
=
−
−
−
=
−
−
+−
=
−
−
+
)21()1(
)1(
1
21
1
1
21
)21(
11
21
1
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
 
=
−−−
−−
)21()1(
)1(
2
2
xx
xx
=
−+−
−
=
−−
−
)12()1()1(
)1(
)12()1(
)1( 2
2
2
xxx
xx
xx
xx 
 
)12()1(
2
−+ xx
x . 
 
 
Analisando o sinal da fração: 
 
 
 1−<<∞− x 1−=x 01 <<− x 0=x 2
10 << x 
2
1
=x ∞+<< x2
1
 
2x ++++ + ++++ 0 ++++ + ++++ 
)12()1( −+ xx ++++ 0 −−−− − −−−− 0 ++++ 
)12()1(
2
−+ xx
x
 ++++ nd −−−− 0 −−−− nd ++++ 
 
 
 
 
 
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7 de 8 
 
Assim, 
0
)12()1(
2
>
−+ xx
x para ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∞+∪−∞− ,
2
11, . 
 
0
)12()1(
2
=
−+ xx
x para 0=x . 
 
0
)12()1(
2
<
−+ xx
x para. ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∪−
2
1,00,1 
 
 
 
Vamos calcular 
18
1
11
21
1
2
−=
−
−
+
x
x
x
, ou seja, vamos calcular 
18
1
)12()1(
2
−=
−+ xx
x . 
 
Temos, 
⇒−+=−⇒−=
−+
)12()1(18
18
1
)12()1(
2
2
xxx
xx
x 
01201218 222 =−+⇒−+=− xxxxx . 
40
91
40
8011
40
)1(20411 22 ±−
=
+±−
=
−⋅⋅−±−
=x . 
Logo, 
4
1
40
10
−=−=x ou 
5
1
40
8
==x , que são soluções possíveis. 
___________________________________________________________________________________ 
 
6) [1,7 ponto] 
Resolva a seguinte inequação em IR e responda na forma de intervalo: 
1
1
1
1
32 −
<
− xx
. 
 
Solução: 
⇒<
−−
−−−
⇒<
−
−
−
⇒
−
<
−
0
)1()1(
)1(10
1
1
1
1
1
1
1
1
32
23
3232 xx
xx
xxxx
 
 
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8 de 8 
 
 
0
)1()1(
0
)1()1()1(
)1(0
)1()1( 22
2
22
2
32
23
<
++−
⇒<
++−−
−
⇒<
−−
−
xxx
x
xxxx
xx
xx
xx
 
 
Analisando o sinal da fração: 
 
 1−<<∞− x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 
1=x
 
∞+<< x1 
2x ++++ + ++++ 0 ++++ + ++++ 
12 ++ xx ++++ + ++++ + ++++ + ++++ 
12 −x ++++ 0 −−−− − −−−− 0 ++++ 
)1()1( 22
2
++− xxx
x
 ++++ nd −−−− 0 −−−− nd ++++ 
<
++− )1()1( 22
2
xxx
x 0 ///////////// 
 
/////////////// 
 
 
 
Solução: )1,0()0,1( ∪− 
___________________________________________________________________________________