Aritmética e Teoria dos Números-1

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Indaial – 2020
AritméticA e teoriA dos 
Números
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S237a
 Santos, Leonardo Garcia dos
 Aritmética e teoria dos números. / Leonardo Garcia dos 
Santos; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 181 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-024-3
1. Aritmética. - Brasil. 2. Teoria dos números. - Brasil. I. Pitzer, Luiz 
Carlos. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 510.7
III
ApreseNtAção
A Aritmética e a Teoria dos Números são áreas da matemática que 
procura estudar, principalmente, os números inteiros. Destes, abordam-se 
temas como a divisibilidade, os números primos, de onde surge o famoso 
Teorema Fundamental da Aritmética. Nesta abordagem, ainda, discorrem 
aplicações importantes para a matemática, por exemplo, as equações 
diofantinas e as congruências.
A teoria dos números pode ser considerada com a geometria 
euclidiana, como um dos estudos mais antigos da matemática, haja visto 
que Euclides em Os elementos dedicou alguns capítulos a este tema. Outro 
matemático historicamente importante que se dedicou bastante a este estudo 
foi Carl Friedrich Gauss (1777–1855), onde dizia que a teoria dos números é 
a rainha da matemática.
Acerca da teoria dos números ainda existem problemas importantes 
não solucionados (quem sabe você consegue!?). São eles:
• (Conjectura de Goldbach) Todo número natural n > 2 é soma de dois 
números primos.
• Será que existem infinitos números primos da forma n2 + 1?
• Será que existem infinitos números primos da forma 2n – 1? Estes números 
primos são chamados de Mersenne.
• Será que existem infinitos números primos da forma 22n+1? Estes números 
primos são chamados de Fermat.
Neste livro, mostraremos as teorias que permitem a continuidade dos 
estudos acerca da Aritmética e Teoria dos Números. Ele se divide em três 
importantes unidades.
Na Unidade 1, estudaremos os números inteiros e suas propriedades. 
Além disso, daremos foco em métodos importantes de demonstração e o 
conceito fundamental de divisibilidade. Na Unidade 2, apresentaremos as 
principais ferramentas deste estudo: O Algoritmo de Euclides (mmc e mdc) 
e os Números Primos. O primeiro, o alicerce da aritmética, o segundo, 
os principais atores do processo (você entenderá por quê!). Por fim, na 
Unidade 3, teremos foco nas aplicações, com as congruências, sistemas de 
congruências, aritmética dos restos e a criptografia.
Para finalizar, destaca-se que o estudo não será simples. Você 
deverá ler e reler trechos algumas vezes, resolver os exemplos com a leitura, 
pesquisar bastante. Essa é uma disciplina bastante técnica e exigirá dedicação 
e empenho. Realize as autoatividades com atenção e busque apoio sempre 
que precisar!
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
Bons estudos.
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
NOTA
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer teu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em tuas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela terás 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar teu crescimento.
Acesse o QR Code, que te levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nessa caminhada!
LEMBRETE
VIII
IX
UNIDADE 1 – NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE ...........................................................1
TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................................4
3 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS ..........................................................................................................6 
4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO ................................................................................................9
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................12
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14
TÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICA ...........................................................................................15
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................15
2 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................15
3 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA ..................................................................................................22
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................29
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................30
TÓPICO 3 – DIVISIBILIDADE ............................................................................................................33
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................33
2 DIVISIBILIDADE .................................................................................................................................332.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE ......................................................................................35
3 DIVISÃO EUCLIDIANA ....................................................................................................................39
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................42
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................43
TÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .....................................................................................45
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................45
2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL .......................................................................................45
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER .....................................................46
4 EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B ..................................................................................47
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................50
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................56
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................57
UNIDADE 2 – ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS ........................................59
TÓPICO 1 – MDC E MMC .....................................................................................................................61
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................61
2 MÁXIMO DIVISOR COMUM ..........................................................................................................61
2.1 CÁLCULO DO MDC .......................................................................................................................65
2.2 FATORAÇÃO MÚLTIPLA .............................................................................................................65
2.3 ALGORITMO DE EUCLIDES ........................................................................................................68
3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................................75
3.1 CÁLCULO DO MMC ......................................................................................................................77
sumário
X
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................79
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................80
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE MDC ....................................................................................................81
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................81
2 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES .......................................................................................81
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................93
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................94
TÓPICO 3 – NÚMEROS PRIMOS .......................................................................................................97
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................97
2 NÚMEROS PRIMOS ...........................................................................................................................97
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................103
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104
TÓPICO 4 – NÚMEROS ESPECIAIS.................................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................105
2 PRIMOS DE FERMAT .......................................................................................................................105
3 NÚMEROS PERFEITOS ....................................................................................................................106
4 PRIMOS DE MERSENNE .................................................................................................................109
5 FATORAÇÃO DO FATORIAL EM PRIMOS ................................................................................110
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................115
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................119
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120
UNIDADE 3 – CONGRUÊNCIA ........................................................................................................121
TÓPICO 1 – CONCRUÊNCIAS ..........................................................................................................123
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................123
2 ARITMÉTICA DOS RESTOS ...........................................................................................................123
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA ............................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 PROVA DOS NOVE ...........................................................................................................................137
3 PEQUENO TEOREMA DE FERMAT ..............................................................................................139
4 TEOREMA DE EULER .......................................................................................................................142
5 TEOREMA DE WILSON ...................................................................................................................148
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................150
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................151
TÓPICO 3 – CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES RESIDUAIS ......................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
2 CONGRUÊNCIAS LINEARES ........................................................................................................153
3 TEOREMA CHINÊSDOS RESTOS ...............................................................................................155
4 ARITMÉTICA DAS CLASSES RESISUAIS ..................................................................................158
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................163
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................164
XI
TÓPICO 4 – NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA .........................................................................165
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................165
2 CRIPTOGRAFIA RSA .......................................................................................................................165
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................178
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................179
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................181
XII
1
UNIDADE 1
NÚMEROS INTEIROS E 
DIVISIBILIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer as propriedades e as estrutura dos números inteiros;
• reconhecer as operações de adição e de multiplicação e as propriedades 
construídas a partir delas;
• desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades;
• aplicar o conceito de adição e multiplicação em questões relacionadas 
com a divisibilidade;
• compreender o sistema de numeração e como é possível representá-los 
em outras bases numéricas.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROS
TÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICA
TÓPICO 3 – DIVISIBILIDADE
TÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NÚMEROS INTEIROS
1 INTRODUÇÃO
É extremamente curioso e intrigante como a matemática, ao longo dos anos, 
vem se desenvolvendo e contribuindo para o surgimento de novas tecnologias e 
descobertas. Apesar das inúmeras aplicações, existe uma matemática esperando 
ser utilizada, a qual chamamos de matemática pura. Porém, apesar de termos 
grandes avanços em vários momentos ao analisar a história da humanidade, tudo 
referente à fundamentação da matemática passou por grandes questionamentos 
no final do Século XIX.
Neste primeiro momento, daremos fundamentos axiomáticos, para a 
construção desta disciplina, que foi desenvolvido pelo matemático italiano 
Giuseppe Peano (1858-1932), no final do Século XIX. Ele foi quem contribui para 
a menor lista de axiomas, para obter os números naturais e, consequentemente, 
os inteiros.
Os números naturais possuem como ideia simples e primordial a noção 
intuitiva de contagem. Porém, houve a necessidade de criar outros números, 
entre eles, os números negativos. Estes possuem, como uma de suas aplicações, 
as atividades comerciais. Suas regras operatórias foram publicadas em 1572 pelo 
matemático Rafael Bombelli.
O conjunto dos números inteiros, { }, 2, 1, 0, 1, 2,= … − − …Z , é munido das 
operações de adição e de multiplicação. Neste conjunto, há um subconjunto muito 
importante que utilizaremos bastante, o dos números naturais, que trataremos 
sem a utilização do zero, { }1, 2, 3, .= …N
Acadêmico, você sabe o que são axiomas? São sentenças que não necessitam 
ser provados ou demonstrados, simplesmente são consideradas evidentes dentro da 
matemática.
NOTA
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
4
2 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Para fins de simplificação, a lista de axiomas que utilizaremos para 
construir as propriedades será bastante sucinta. Porém, como o intuito é estudar 
outras partes da teoria, selecionamos as seguintes propriedades:
A1 – A adição e multiplicação são Bem Definidas. 
Para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅Z 
A2 – A adição e a multiplicação são Comutativas.
Para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅ Z 
A3 – A adição e a multiplicação são Associativas.
( ) ( ) ( ) ( )Para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Z 
A4 – A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros.
Para todo , , 0 e 1a a a a a∈ + = ⋅ = Z 
Assim, 0 é o Elemento Neutro da adição e 1 é o Elemento Neutro da 
multiplicação.
A5 – Adição possui elemento simétrico.
( )Para todo , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + = Z 
A6 – A multiplicação é distributiva com relação à adição.
Para todos , , , ,a b c ∈ Z tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
Esse conjunto de propriedades que estão representados pela letra A e 
mais um número serão nossas ferramentas para mostrar a validade de algumas 
propriedades do conjunto dos números inteiros e que se estenderam a toda 
estrutura algébrica de um anel. 
Caro acadêmico, você sabe o que é um anel? Um anel A é um conjunto 
munido com as operações de adição (+) e de multiplicação (·), obedecendo as seguintes 
propriedades na adição: associatividade, comutatividade, elemento neutro e simétrico; na 
multiplicação: associatividade; na adição combinado com a multiplicação: distributiva.
NOTA
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
5
Exemplo 1: realize a demonstração da proposição 0 0a ⋅ = para todo 
a∈Z .
Resolução: para realizar a demonstração, utilizaremos das terminologias 
adotadas nos axiomas anteriores.
Utilizando A4 (elemento neutro) ( )0 0 0a a⋅ = ⋅ +
Utilizando A6 (distributiva) ( )0 0 0 0 0a a a a⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ 
Logo, 0 0 0a a a⋅ = ⋅ + ⋅
Somando ( )0a− ⋅ a ambos os membros da igualdade A1 (adição bem 
definida):
( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0a a a a a⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅
Aplicando A5 (simétrico) no lado esquerdo e A3 (associatividade) no lado 
direito, obtemos:
( )( )( )0 0 0 0a a a= ⋅ + ⋅ + − ⋅
Aplicando A5 no lado direito 0 0 0a= ⋅ + .
Por fim, aplicando A2 (comutativo) e A6 no lado direito 0 0a= ⋅ .
Como queríamos demonstrar.
Perceba que nesse primeiro exemplo, apresentamos, de forma detalhada, 
a cronologia dos eventos. Isso teve um motivo bem lógico, que é familiarizar 
o leitor com esse tipo de demonstração. É importante comentar que não há a 
necessidade de ser tão meticuloso na demonstração, você pode realizá-la de 
forma mais rápida, como fizemos na última etapa da demonstração.
A adição nos fornece condições suficientes para definir uma outra 
operação, que chamaremos de subtração.
D1 – Seja dado dois números inteiros a e b, define-se o número b menos 
a, denotando essa operação por b – a, como sendo ( )b a b a− = + − e dizemos que 
b – a é o resultado da subtração de a de b.
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
6
Exemplo 2: mostre que se 0a b+ = , então b a= − e a b= − .
Resolução: primeiramente, demonstraremos que vale a igualdade b a= − .
Partindo de 0a b+ = , somaremos (–a) em ambos os membros A1 
( ) ( ) ( )0a b a a+ + − = + − .
Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b a a+ + − = − + .
Aplicando A3 e A2 na esquerda, primeiramente dentro dos parênteses, 
obtemos ( )( ) ( ) 0a a b a+ − + = − + .
Aplicando A5 na esquerda e A4 na direita 0 b a+ = − .
Aplicando A2 e A4 na esquerda .b a= −
Como queríamos demonstrar.
Demonstraremos, agora, que vale a igualdade a b= − .
Partindo de 0a b+ = , somaremos (–b) em ambos os membros A1 
( ) ( ) ( )0a b b b+ + − = + − .
Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b b b+ + − = − + .
Aplicando A5 na esquerda ( )0 0a b+= − + .
Por fim, aplicando A4 em ambos os membros .a b= −
Como queríamos demonstrar.
3 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
Vimos, anteriormente, algumas propriedades que são válidas para os 
inteiros. Desta forma, dando continuidade, veremos mais duas importantes 
propriedades que contribuirão para a demonstração de algumas proposições. 
Para facilitar, usaremos a mesma forma de denotar tais propriedades.
A7 – Fechamento nos N : O conjunto dos N é fechada para a adição e 
multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈N , tem-se que a b+ ∈N e a b⋅ ∈N.
A8 – Tricotomia: Dados ,a b∈Z , uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades 
é verificada:
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
7
I. a = b
II. b a− ∈N
III. ( )b a a b− − = − ∈N
A propriedade (ii) nos diz que se a é menor que b, o qual denotaremos por 
a < b, seu resultado será um número natural. (caso tenha dúvida, teste algumas 
possibilidades). No caso da propriedade (iii), temos o caso contrário, caso b seja 
menor que a, ou seja, b < a, temos um número natural. Desta forma, podemos 
entender que a tricotomia nos fornece que, para ,a b∈Z , apenas uma, e somente 
uma, das seguintes condições será verificada:
I. a = b
II. a < b
III. b < a
Perceba que outra importante definição é ao utilizarmos a notação b > a, ou 
seja, b é maior que a, estamos representando a < b.
NOTA
Apresentaremos algumas propriedades que podem ser demonstradas 
pelos axiomas vistos até o momento, e, em alguns casos, realizaremos sua 
demonstração.
Proposição 1: a relação “menor do que” é transitiva: , , , e . .a b c a b b c a c∀ ∈ < < <Z 
Demonstração: supomos que e a b b c< < , então usando A8 temos, 
b a− ∈N e c b− ∈N . Por A1 que diz que a adição é fechada, temos que: 
( ) ( ) ,c a b a c b− = − + − ∈N logo a c< .
Proposição 2: a adição e a lei do cancelamento são compatíveis com respeito à 
relação “menor do que”: , , , .a b c a b a c b c∀ ∈ < ⋅ + < +Z 
Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈N . Desta forma, 
( ) ( ) ,b c a c b a+ − + = − ∈N o que implica que .a c b c+ < +
 ⇐ supunha que a c b c+ < + , então ( ) ( )b c a c+ − + ∈N . Desta forma, ao somar 
(–a) em ambos os lados da desigualdade, obtemos a recíproca desejada.
Proposição 3: a multiplicação por elementos de N é compatível e 
passível de cancelamento com respeito à relação “menor do que”: 
 , , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ < ⋅ <Z N 
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
8
Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈N . Desta forma, escolhendo 
um c∈N e sabendo por A7 que a multiplicação é fechada nos naturais, temos: 
( ) ,b c a c b a c⋅ − ⋅ = − ⋅ ∈N o que implica que .ac bc<
⇐ supunha que ac bc< , com c∈N . Por A8 tricotomia, temos três casos para 
analisar.
(I) – a b= Está é falsa, pois isso tornaria .ac bc=
(II) b a< – Pela primeira parte da demonstração, podemos notar que acarretaria 
b c a c⋅ < ⋅ , o que também é falso. 
(III) – a b< Logo, está é a única possibilidade.
Proposição 4: a multiplicação é compatível e passível de cancelamento com 
respeito à igualdade: { } , , \ 0 , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ = =Z N 
Tente demonstrar está propriedade. Além de citar que a notação { }\ 0N 
significa o conjunto dos números naturais, exceto o zero, uma dica que deixamos para 
você, acadêmico, que pode te ajudar na demonstração, é seguir a ideia da proposição 
anterior e também utilizá-la com argumentos para provar a volta.
DICAS
Essa proposição é bem objetiva quanto ao cancelamento na multiplicação, 
não sendo possível cancelar se o número for o zero. Isso já é bem natural em 
várias situações da matemática. Veja este exemplo:
Exemplo 3: resolva a equação 2 4x x= com x∈R .
Resolução: por descuido, é possível simplificar o x em ambos os lados, obtendo, 
x = 4 como solução. Você pode estar se perguntando: mas o problema não está 
resolvido? A resposta é não, pois, não foi levado em consideração que o x poderia 
ser zero, é pela definição que vimos anteriormente, isso não pode ser feito. Porém, 
veremos o porquê!
2 4x x=
Somando (–4x) em ambos os lados:
2 4 0x x− =
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
9
Aplicando a distributiva:
( )4 0x x − =
Logo, é intuitivo perceber que x = 0 e x = 4 são duas possibilidades para a 
resolução da equação.
Um outro exemplo mais simples seria pensar na igualdade 2 0 3 0⋅ = ⋅ , 
que é verdade. Porém, ao cancelar o zero em ambos os lados, não obtemos uma 
igualdade com 2 = 3.
Neste último momento, definiremos uma importante proposição. Nos 
falta, porém, definir, por completo, a relação de ordem. Sendo assim, diremos 
que a é menor ou igual do que b, ou que b é maior ou igual do que a, denotando 
por a b≤ ou b a≥ , se a < b, ou a = b. Desta forma, a relação de ordem é satisfeita, 
pois possui as seguintes propriedades:
(I) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤Z .
(II) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ =Z 
(III) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤Z . 
Com essa definição, podemos definir a importante noção de valor absoluto 
ou módulo. Seja a∈Z , definimos:
, 0
, 0.
a se a
a
a se a
 ≥
= − <
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro, representado por |a|, 
possui as seguintes propriedades básicas:
Proposição 5: para ,a b∈Z e r∈ N , temos:
I. ;a b a b⋅ = ⋅
II. a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤
III. ;a a a− ≤ ≤
IV. a desigualdade triangular: .a b a b a b− ≤ ± ≤ +
Exemplo 4: para , ,a b c∀ ∈Z , mostre que vale: a < b e b c a c≤ ⇒ < .
Demonstração: se a < b e b c≤ , então é como se tivéssemos: a < b e (b < c ou b = c). 
Desta forma, uma das duas possibilidades a < b e b < c ou a < b e b = c.
Perceba que ambas implicam em a < c (na primeira, por transitividade e, 
na segunda, apenas pela troca). Portanto, se a < b e b c a c≤ ⇒ < .
 
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
10
4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO
Veremos, agora, o nono e último axioma, que nos darão condições 
suficientes para deduzir todas as propriedades que estão ligadas aos números 
inteiros, e que fornecerão uma propriedade que diferenciará os inteiros dos 
demais conjuntos. Com esse nono axioma será possível, então, caracterizar o 
conjunto dos números inteiros. 
Vamos, primeiramente, recordar a definição do que seria um conjunto 
limitado inferiormente. Dizemos que um subconjunto S de Z é limitado 
inferiormente, se existir c∈Z tal que c x≤ para todo x S∈ . Dizemos que a S∈ 
é um menor elemento de S se a x≤ para todo x S∈ , denotando por min(S) = a.
Um exemplo de conjunto limitado inferiormente é o próprio conjunto dos 
naturais, que possui o 1 como menor elemento.
IMPORTANT
E
A9 – Princípio da Boa Ordenação: se S é um subconjunto não vazio de � 
e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.
Vejamos como esse axioma pode diferenciar os inteiros dos racionais e 
dos reais. Se escolhermos um intervalo aberto qualquer (2, 4), perceba que tanto 
os racionais como os reais estão limitados inferiormente, porém, ambos não 
possuem um menor elemento. Pois, é sempre possível conseguir encontrar um 
valor cada vez mais próximo do 2. 
Veremos, agora, algumas propriedades dos inteiros, possíveis de serem 
demonstradas com este axioma, porém realizaremos a demonstração apenas de 
algumas, ficando a cargo do leitor as demais.
Proposição 6: não existe nenhum número inteiro n tal que 0 < n < 1.
Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor n com esta 
propriedade. Sendo assim, o conjunto { }, 0 1 S a a= ∈ < <Z não é vazio. Logo, S 
possui um menor elemento x, com 0 < x < 1. Porém, multiplicando a desigualdade 
por x, obtemos 0 < x2 < x, ou seja, atribuindo o que já supomos 0 < x2 < x < 1. 
Portanto, 2x S∈ . Contradição!
Corolário 1: dado um número inteiro n qualquer, não existe nenhum número 
inteiro m tal que n < m < n + 1.
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
11
Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor m com 
esta propriedade. Somando (–n) a cada termo da desigualdade, obtemos: 
( ) ( ) ( )1n n m n n n+ − < + − < + + −
0 < m – n < 1
Porém, pelaproposição anterior, temos que, entre zero e um, não há 
número inteiro, logo uma contradição.
Corolário 2: sejam ,a b∈Z . Se 1a b⋅ = , então 1.a b= = ±
Corolário 3: sejam ,a b∈Z com 0b ≠ , então .a b a⋅ ≥
Demonstração: pela proposição anterior, temos que, não existe valor entre zero e 
um, logo, com 0b ≠ , então 1b ≥ . Sendo assim, .a b a b a⋅ = ⋅ ≥
Corolário 4: (Propriedade Arquimediana) sejam ,a b∈Z com 0b ≠ , então existe 
n∈Z tal que .n b a⋅ >
Esse corolário quer nos dizer algo bem importante da matemática: que 
um conjunto (como os inteiros) não possui números infinitamente grandes ou 
infinitamente pequenos, pois sempre é possível obtermos números cada vez 
maiores ou menores. Já havíamos definido conjunto limitado inferiormente, 
agora, completaremos o Princípio da Boa Ordenação com a definição de conjunto 
limitado superiormente.
Proposição 7: se T é um subconjunto de � não vazio e limitado superiormente, 
então T possui um maior elemento.
Denotaremos, caso exista, o maior elemento do conjunto T, por max(T ) e 
por convenção, que o conjunto vazio é limitado superiormente por qualquer cota 
superior.
Agora que todas as proposições já foram esclarecidas e que Princípio da 
Boa Ordenação está bem definido, podemos apresentar no próximo tópico, sua 
principal consequência: Princípio da Indução Matemática. 
Este princípio consta também nos axiomas de Peano, que falam sobre o 
sucessor de um número natural. Você pode aprofundar seus conhecimento acessando o 
link: https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Afonso_TN18.pdf.
DICAS
12
Neste tópico, você aprendeu que:
• A adição e multiplicação são Bem Definidas:
 para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’.a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅Z 
• A adição e a multiplicação são Comutativas:
 para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅ Z .
• A adição e a multiplicação são Associativas:
 ( ) ( ) ( ) ( )para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Z .
• A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros
 para todos , , 0 e 1 .a a a a a∈ + = ⋅ = Z 
• A Adição possui elemento simétrico:
 ( )para todos , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + = Z .
• A multiplicação é distributiva com relação à adição:
 para todos , , , ,a b c ∈ Z tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
• Existe Fechamento nos � : O conjunto dos � é fechada para a adição e 
multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈N , tem-se que a b+ ∈N e a b⋅ ∈N.
• A propriedade da Tricotomia: Dados ,a b∈Z , uma, e apenas uma, das 
seguintes possibilidades é verificada:
RESUMO DO TÓPICO 1
( )
(I) ; = (I) ;
(II) ; = (II) ;
(III) . = (III) .
a b a b
b a a b
b a a b b a
= =
− ∈ <
− − = − ∈ <
N
N
• O Princípio da Boa Ordenação: Se S é um subconjunto não vazio de � e 
limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.
• A relação de ordem é satisfeita com as seguintes propriedades:
 (i) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤Z .
 (ii) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ =Z 
 (iii) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤Z 
13
• Para ,a b∈Z e r∈ N , temos:
 (i) ;a b a b⋅ = ⋅
 (ii) a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤
 (iii) ;a a a− ≤ ≤
 (iv) a desigualdade triangular
.a b a b a b− ≤ ± ≤ +
14
1 Para , ∈Za b , mostre que:
AUTOATIVIDADE
2 Mostre que para todo , ∈Za b , vale a propriedade:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3
a) 
b) 1
c) 
d) 
e)
g
1 1 1
 
f
 
 ) 
)
a a
a a
a b a b
a b a b
a a
b b
− − =
⋅ = −
− ⋅ = − ⋅
− ⋅ − =
− ⋅ − = ⋅
−
− = −
−
=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
a) 
b) 
c) 
d
0
) 
e) 
a a
a b a a
b a a b
a b c a c b
a b c a b c
− =
− + = − −
− − = −
− − = + −
− + = − −
15
TÓPICO 2
INDUÇÃO MATEMÁTICA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, veremos a forma de demonstrar pelo Princípio da Indução 
Matemática, “essa expressão designa o princípio que serve para o estabelecer 
a verdade de um teorema matemático em um número indefinido de casos” 
(ABBAGNANO, 2012, p. 645). 
Além de aprender a formalidade da demonstração, traremos várias 
aplicações, tanto para situações acadêmicas do estudo da matemática, quanto 
para as atividades com os estudantes das escolas.
2 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Para entender um pouco o funcionamento do teorema antes de apresentá-
lo, vamos supor algo bem intuitivo, acredito que você já tenha se divertido com 
este tipo de brincadeira que envolve dominós. 
Imagine uma quantidade de dominós colocados em sequência, de modo 
que ao derrubar um deles, o procedimento se estenderá até o último deles. Na 
prática, o método da brincadeira com dominós possui um funcionamento bem 
simples. Garanta que todos estejam alinhados, que o primeiro funcione e que 
este influencie no próximo e assim por diante. Assim, mesmo que a fila seja 
indefinidamente extensa, podemos garantir que todos os dominós cairão.
Teorema 1: (Princípio da Indução Matemática) sejam S um subconjunto de � e 
a∈Z tais que:
(I) a S∈
(II) S é fechado em relação à operação de “somar 1” a seus elementos, ou seja, 
 , 1n n S n S∀ ∈ ⇒ + ∈ .
Então, { };x x a S∈ ≥ ⊂Z .
Parece simples o teorema, porém, apesar da simplicidade de imaginar 
que o sucessor de um número pertence a um subconjunto dos inteiros, este serve 
como base para um importante método de demonstração, que chamaremos de 
Prova por Indução Matemática.
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
16
As ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica 
para formular leis que devem reger determinados fenômenos a partir 
de um grande número de observações particulares, selecionadas 
adequadamente. Esse tipo de procedimento, embora não seja uma 
demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é 
frequentemente satisfatório (FONSECA, 2011, p. 30).
Apesar do comentário de Fonseca ser “satisfatório”, pode não ser relevante 
para várias situações da matemática, em que o intuito é que uma proposição seja 
válida para um certo conjunto de números.
Bertrand Russel (1872-1970), matemático inglês, batizou a indução 
empírica de forma irônica, chamando de indução galinácea, que apresentava a 
seguinte história:
Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, 
ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro 
dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para 
se alimentar. No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se 
alimentando enquanto a senhora se retirava. No nonagésimo dia, a 
galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso da velha senhora. No 
centésimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por indução, 
foi ao encontro dela para reclamar o seu milho. Qual não foi a sua 
surpresa quando a senhora a pegou pelo pescoço com a intenção de 
pô-la na panela (HEFEZ, 2009, p. 10).
Admitir que algo funcione para uma certa quantidade de valores não 
significa que funcione para qualquer uma delas. Esse foi o caso da galinha da 
estória do matemático Russel. Achou que funcionaria novamente no caso 100, 
porém, a prova não foi muito bem o esperado, pelo menos para a galinha.
Veremos exemplos extremamente curiosos sobre a raciocínio indutivo 
que darão ênfase ao motivo de “demonstrar para validar”.
Exemplo 5: encontramos um polinômio ( ) 2 – 41P n n n= + , que fornece 
apenas números primos. Veja na tabela a seguir, os 40 primeiros números obtidos 
através dele:
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
17
n P(n) n P(n) n P(n) n P(n)
1 41 11 151 21 461 31 971
2 43 12 173 22 503 32 1033
3 47 13 197 23 547 33 1097
4 53 14 223 24 593 34 1163
5 61 15 251 25 641 35 1231
6 71 16 281 26 691 36 1301
7 83 17 313 27 743 37 1373
8 97 18 347 28 797 38 1447
9 113 19 383 29 853 39 1523
10 131 20 421 30 911 40 1601
TABELA 1 – VALORES APLICADOS EM P(n)
FONTE: Os autores
Será que conhecemos, então, um polinômio que fornece apenas números 
primos? Apesar de todos os números obtidosaté o momento serem realmente 
primos, o polinômio não funciona para ( )41 1681 41 41P = = ⋅ . Notem como é 
importante na matemática a demonstração. Apesar de refutarmos a ideia do 
polinómio com um contraexemplo, é fundamental trabalhar com verdades. 
Caso você tenha ficado surpreso com este polinômio, vamos lhe apresentar 
outro caso:
( ) 2 79 1601T n n n= − + .
Este polinômio fornece primos do 1 até o 79, falhando em: 
( ) 280 80 79 80 1601 1681 41 41T = − ⋅ + = = ⋅ .
Sendo assim, aceite apenas afirmações que forem demonstradas para todos 
os números.
DICAS
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
18
Teorema 2: (Prova por Indução Matemática) sejam a∈Z e seja p(n) uma 
sentença aberta em n. Suponha que:
(I) p(a) é verdadeiro, e que
(II) é verdadeiro.
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
O teorema nos diz que, se um certo valor a goza da sentença definida nos 
números inteiros, e que, além disso, o sucessor de a também goza desta sentença, 
então todos os números deste conjunto gozam desta sentença. 
Diferente da indução empírica já comentada, a indução matemática não 
deixa pontos abertos quanto à validade de uma proposição. Mesmo que uma 
sentença seja verdade para uma finidade de valores, isso não significa que 
funcionará para todos. 
Segundo Hefez (2016, p. 15), o primeiro registro da utilização do Princípio 
da Indução Matemática foi feita por Francesco Maurolycus, em 1575, na tentativa 
de encontrar uma fórmula exata, para a soma dos n primeiros números naturais 
ímpares: ( )1 3 2 1 .nS n= + +…+ −
Acompanhe o resultado obtido, quando realizamos a soma dos seis 
primeiros casos:
( ) ( ) , 1n a p n p n∀ ≥ ⇒ +
1
2
3
4
5
6
• 1
• 1 3 4
• 1 3 5 9
• 1 3 5 7 16
• 1 3 5 7 9 25
• 1 3 5 7 9 11 36
S
S
S
S
S
S
=
= + =
= + + =
= + + + =
= + + + + =
= + + + + + =
É intuitivo perceber que a fórmula ( )1 3 2 1 ,nS n= + +…+ − é o resultado 
da soma dos n números naturais ímpares. Ela nos fornece uma conjectura, para 
um raciocínio indutivo em que 2nS n= . Porém, já vimos anteriormente que nada 
está provado ainda. Vamos, então, utilizar do Princípio da Indução Matemática 
para realizar a demonstração. Os passos para realizar tal demonstração são 
simples: 
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
19
(I) Queremos provar que a propriedade ( ) 2: nP n S n= vale para todo n∈N.
 Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato: 21 1 1 S = = o que é 
verdade. 
(II) Agora, vamos supor que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos 
ambos os membros da igualdade por (2n + 1), obtemos:
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, a proposição 
P(n) vale para todo n∈N .
Colocaremos duas explicações da demonstração que não foram colocadas 
no exemplo, pois, “poluiriam” a escrita:
• Somar (2n + 1) em ambos os lados da igualdade está ligado ao sucessor do próximo 
termo da sequência, ou seja, qual é o próximo número depois do (2n – 1). Para 
saber quem deve ser acrescido, devemos trocar no último termo da sequência 
(2n – 1), o n por n + 1. Perceba: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 1 2 1n n n n − ⇒ + − = + − = +  .
• Após somarmos em ambos os lados da igualdade por (2n + 1), devemos 
conseguir realizar a implicação para o sucessor da nossa conjectura, ou seja, 
que o ( )22 1n n⇒ + .
Para que você possa familiarizar com o método da indução, faremos alguns 
exemplos variados que lhe contribuirão com artifícios lógicos e manipulações 
matemática elementares importantíssimas para formular a ideia da utilização 
desta ferramenta.
Exemplo 6: mostre que para n∈N, vale:
( ) ( )
1 1 1 
1 2 2 3 11
n hipótese de indução
nn n
+ + + =
⋅ ⋅ ++

Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade:
( ) ( )
1 1 1: 
1 2 2 3 11
nP n
nn n
+ + + =
⋅ ⋅ ++

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 3 2 1 2 1 2 1
1 3 2 1 2 1 1 
n n n n
n n n
+ +…+ − + + = + +
+ +…+ − + + = +
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
20
Vale para todo n∈N. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De 
fato: 
( )
1 1 1
1 1 21 1 1
= ⇒
++
O que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os 
membros da igualdade por
( )( )
1 , obtendo:
1 2n n+ +
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
2
1 1 1 1 1
1 2 2 3 11 1 2 1 2
2 1
 
1 2
2 1 
1 2
 
n
nn n n n n n
n n
n n
n n
n n
+ + + + = +
⋅ ⋅ ++ + + + +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +

( )
( )( )
1 ²
 
1 2
1 
2
n
n n
n
n
+
=
+ +
+
=
+
Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a proposição 
P(n) vale para todo n∈N.
Exemplo 7: encontre uma fórmula para n∈N , que determina a soma da 
sequência:
2 4 8 2 .n+ + + +
Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:
( )2 4 8 2 InnS = + + + +
(que é o sucessor da expressão mostrada como hipótese de indução)
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
21
Note que ela é uma progressão geométrica, então multiplicaremos ambos 
os lados por 2, obtemos:
( )12 4 8 16 2 2 IIn nnS +⋅ = + + + + +
Subtraímos (II) de (I), temos:
1 2 4 8 16 2 2
 2 4 8 2
n n
n
n
n
S
S
+⋅ = + + + + +
− = + + + +


( )12 2 2 2 1n nn nS S+= − + ⇒ = −
Note que vários valores se 
cancelam: 
4 e 4, 8 e 8, ..., 2n e 2n,
sobrando apenas dois 
elementos.
Desta forma, montamos nossa fórmula, ( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = − 
Tente realizar a demonstração!
Exemplo 8: encontre uma fórmula para n∈N , que determina a soma da 
sequência:
( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 .n n+ + + + − + −
Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:
( ) ( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 InS n n= + + + + − + −
Note que ela é uma progressão aritmética, então vamos reordenar a soma, 
obtendo:
( ) ( ) ( )3 2 3 5 7 4 1 IInS n n= − + − + + + +
Somando (I) de (II), temos:
( ) ( )
( ) ( )
 1 4 3 5 3 2
3 2 3 5 4 1
n
n
S n n
S n n
= + + + − + −
= − + − + + +


1 2 4 8 16 2 2
 2 4 8 2
n n
n
n
n
S
S
+⋅ = + + + + +
− = + + + +


( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 3 1 3 1nS n n n n= − + − +…+ − + −
n vezes
+
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
22
( )
( )
 2 3 1
3 1
 
2
n
n
S n n
n n
S
⇒ = −
−
⇒ =
Portanto, a fórmula procurada é ( ) ( ) ( )3 11 4 7 3 5 3 2
2
n n
n n
−
+ + + + − + − = . 
Novamente, tente realizar está demonstração!
Já vimos uma quantidade significativa da aplicação do Princípio da 
Indução Matemática, porém, existe uma variação chamada Princípio da Indução 
Completa que abrange outros casos muito importantes.
Teorema 3: (Prova por Indução Completa) seja p(n) uma sentença aberta tal que
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ••• e ( )p n ⇒ p(n + 1) é verdadeiro
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
A diferença entre o Princípio de Indução Matemática com este, é que 
enquanto no primeiro tínhamos um número natural n qualquer e tentamos provar 
que P(n + 1) é verdadeira baseado apenas, na hipótese de que P(n) é verdadeira. 
Na indução completa, prova-se que P(n + 1) é verdadeira fundamentado no fato de 
que as proposições P(1), P(2), P(3), ..., P(n) são todas verdadeiras, ou seja, em vez 
de admitir que apenas P(n) é verdadeira, pode-se admitir que P(1), P(2), ..., P(n) 
são verdadeiros, desta forma, temos mais base e consistência na demonstração.
3 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Para dar continuidade ao desenvolvimento das aplicações do método da 
indução, veremos o conceito de recorrência, que trará mais rigor no tratamento 
de algumas situações matemáticas.
Muitas sequências, como as aritméticas e geométricas, podem ser definidas 
recursivamente, ou seja, mediado de uma regra que possibilita calcular qualquer 
termo, em função do antecessor imediato.
TÓPICO 2 | INDUÇÃOMATEMÁTICA
23
Exemplo 9: seja a sequência ( )1 5 9 4 3n+ + +…+ − com n∈N. Essa é 
uma sequência bem conhecida, uma progressão aritmética de razão 4. Logo, uma 
forma de definir o próximo termo da sequência an+1, por recorrência, resumir-se-ia 
na expressão:
1 4.n na a+ = +
Ou, ainda, a soma de todos Sn os termos, seria definida por
1 1.n n nS S a+ += +
Perceba que neste exemplo elementar conseguimos notar a aplicação 
do conceito de recorrência por duas vezes, uma definindo o próximo termo da 
sequência e, no outro caso, a soma até determinado ponto. É importante ressaltar 
que podemos denotar somas como a dos exemplos anteriores, pela notação de 
somatório:
1
.
n
n i
i
S a
=
=∑
IMPORTANT
E
FIGURA – EXPLICAÇÃO DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO
FONTE: Os autores
Existem algumas propriedades que apenas apresentaremos sobre o 
somatório. Sejam ai e bi duas sequências de elementos de um conjunto A munida 
de duas operações sujeitas às leis da aritmética e seja .c A∈ Vale as seguintes 
propriedades:
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
24
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1 1
1 1 1
1
1
I
 
II
III
IV
 
 
 
 
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n
i i n
i
n
i
a b a b
c a c a
a a a a
c nc
= = =
= =
+ +
=
=
+ = +
⋅ = ⋅
− = −
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Exemplo 10: encontre uma expressão fechada para a soma
( )1 2 2 3 3 4 1 .n n⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ +
Resolução: perceba que podemos escrever este somatório por:
( )
1
1 .
n
i
i i
=
⋅ +∑
Utilizando da distributiva e da propriedade (i), temos:
( ) ( )2 2
1 1 1 1
1
n n n n
i i i i
i i i i i i
= = = =
⋅ + = + = +∑ ∑ ∑ ∑
Usando os resultados do exercício 1 itens a) e b), que são:
( ) ( )( )2 2 21 1 2 11 2 e 1 2
2 6
n n n n n
n n
+ + +
+ +…+ = + +…+ =
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
25
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 1
1 2 1 1
6 2
1 2 1 3 1
 
6
1 2 1 3
 
6
1 2 4
 
6
1 2
 .
3
n n
i i
n n n n n
i i
n n n n n
n n n
n n n
n n n
= =
+ + +
+ = +
+ + + +
=
+ + +
=
+ +
=
+ +
=
∑ ∑
Podemos escrever então,
Por recorrência, é possível definir o fatorial de um número inteiro, com 
0n ≥ , denotado por n!, como sendo 0! = 1! = 1 e ( ) ( )1 ! ! 1 ,n n n+ = ⋅ + se 1n ≥ .
Outra importante aplicação da recorrência está na definição da operação 
de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas operações 
sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an com n inteiro, 0n ≥ , são 
definidas por recorrência, como:
a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ então 1n na a a+ = ⋅ .
Com está definição, podemos apresentar e provar as propriedades da 
potenciação.
Proposição 8: sejam ,a b A∈ e , m n∈N . Então:
( )
( ) .
(I) .
(II) .
(III) 
m n m n
nm m n
n n n
a a a
a a
a b a b
+
⋅
⋅ =
=
⋅ = ⋅
Demonstração: demonstraremos os itens (i) e (ii) apenas.
Item (i): Fixando a e m arbitrariamente, realizaremos a prova por indução 
sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira, 
1 1.m m ma a a a a +⋅ = ⋅ =
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
26
Supondo que m n m na a a +⋅ = , temos que:
( ) ( )1 1 1 1m n m n m n m n m na a a a a a a a a a a+ + + +⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
Logo, por indução, a propriedade é válida.
Note que as duas partes da demonstração obedecem a definição de 
potenciação e utiliza como artifício a associatividade da multiplicação.
NOTA
Item (ii): fixando a e m arbitrariamente realizaremos a prova por indução 
sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira, 
( )1 1.m m ma a a ⋅= =
Supondo que ( )nm m na a ⋅= , temos que:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 .n n m nm m m m n m m n ma a a a a a a a+ ⋅ +⋅ ⋅ += ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Logo, por indução, a propriedade é válida.
Neste caso, utilizamos para a demonstração, definição de potenciação, 
propriedade (i) e da distributiva da multiplicação.
INTERESSA
NTE
Com essas definições, podemos realizar mais alguns exemplos de 
aplicação da prova por indução.
Exemplo 11: mostre que para cada n∈N , é válida a propriedade 
( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = −
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
27
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita para provar então 
que a propriedade:
( ) ( ): 2 4 8 2 2 2 1n nP n + + + + = −
Vale para todo n∈N. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De 
fato: ( )12 2 2 1 2 2= − ⇒ = , o que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os 
membros da igualdade por 2n+1, obtendo: 
( )1 12 4 8 2 2 2 2 1 2n n n n+ ++ + + + + = − +
( )
1 1
1
2 2 2
2 2 1
n n
n
+ +
+
= − +
= −
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, P(n) vale para 
todo n∈N .
Exemplo 12: seja a∈Z , mostre que para cada n∈N, existe um m∈Z
, tal que: 
2 1( 1) 1.na ma+− = −
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade
( ) 2 1: ( 1) 1nP n a ma+− = −
Vale para todo n∈N e para todo m∈Z . Verificaremos inicialmente que 
P(1) é válida. De fato: 
( )2 1 3 3 2 2( 1) ( 1) 3 3 1 3 3 1a a a a a a a a+− = − = − + − = − + −
Substituindo a2 – 3a + 3 por m, temos: am –1.
O que mostra que é válida para 1. Supondo que P(n) é verdadeira para 
certo valor de n, multiplicando ambos os membros da igualdade por (a – 1)2, 
obtendo:
( ) ( )
( )( )
( )
2 22 1
2 3 2
3 2 2
2
( 1) 1 ( 1) 1
 ( 1) 1 2 1
 2 2 1
 2 2 1
n
n
a a ma a
a ma a a
a m a m a am a
a a m am a m
+
+
− − = − −
− = − − +
= − − + + −
= − − + + −
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
28
Substituindo 2 2 2a m am a m− − + + por t = at – 1
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, P(n) vale para 
todo n∈N .
Exemplo 13: mostre que para cada n > 4 com n∈N , vale n! > 2n.
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade P(n): n! > 2n vale para todo n∈N com 4n ≥ . 
Verificaremos inicialmente que P(4) é válida. De fato: 44! 2 24 16,> ⇒ > o 
que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, multiplicamos 
ambos os membros da igualdade por (n + 1), obtendo: n! (n + 1) > 2n(n + 1) 
Como mencionado n deve ser maior ou igual a 4, portanto: 4n ≥ 
Somando 1 a ambos os lados 1 5n+ ≥ com 5 é menor que 2, podemos 
escrever 1 5 2,n+ ≥ > ou seja, n + 1 > 2 multiplicando ambos os lados por 2n: 
Substituindo II e I, temos
Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a propriedade 
P(n) vale para todo n∈N .
Neste ponto de nosso estudo, vimos uma forma de demonstração muito 
importante. Ela será bastante útil para entender e mostrar vários resultados 
posteriores em nosso material. Você poderá ler mais sobre aplicações especiais 
acerca da indução matemática, na Leitura Complementar desta unidade.
( ) 12 1 2 (II)n nn ++ >
( ) ( )1 ! 2 1 (I)nn n+ >
( ) ( )
( )
1
1
1 ! 2 1 2
1 ! 2
n n
n
n n
n
+
+
+ > + >
+ >
29
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A Prova por Indução Matemática: sejam a∈Z e seja p(n) uma sentença aberta 
em n. Suponha que:
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) n a∀ ≥ , ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiro.
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
• A Prova por Indução Completa: seja p(n) uma sentença aberta tal que
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ... e ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiro
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
• As Propriedades do somatório são:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
 
 
 I 
II 
 III
IV 
n n n n
i i i i i i n
i i i i
n n n
i i
i i i
a b a b a a a a
c a c a c nc
+ +
= = = =
= = =
+ = + − = −
⋅ = ⋅ =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
• A definição do fatorial de um número inteiro, com 0n ≥ , denotado por n!, como 
sendo:
( ) ( )0! 1! 1 e 1 !! 1 , se 1.n n n n= = + = ⋅ + ≥
• A definição da operação de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A 
munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an 
com n inteiro, 0n ≥ , são definidas por recorrência, como: a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ 
então 1n na a a+ = ⋅ .
• Sejam , e , a b A m n∈ ∈N . Então,
( )
( )
(I) 
(II) 
(III) 
m n m n
nm m n
n n n
a a a
a a
a b a b
+
⋅
⋅ =
=
⋅ = ⋅
30
AUTOATIVIDADE
1 Mostre as seguintes fórmulas por indução:
2 Ache uma fórmula para cada uma das seguintes somas:
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 2 2
2
3 3 3
2
22 2
22 2
1
a) 1 2
2
1 2 1
b) 1 2
6
1
c) 1 2
2
4 1
d) 1 3 2 1
3
2 1 2 1
e) 2 4 2
3
1 1 1f) 
1 2 2 3 11
31 1 1g) 
1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2
1 1 1h) 
1 3 3 5 2
n n
n
n n n
n
n n
n
n n
n
n n n
n
n
nn n
n n
n n n n n
+
+ +…+ =
+ +
+ +…+ =
 +
+ +…+ =  
  
−
+ +…+ − =
+ +
+ +…+ =
+ +…+ =
⋅ ⋅ +⋅ +
+
+ +…+ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + +
+ +…+
⋅ ⋅ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 11 2 1
1 1 1i) 
1 4 4 7 3 13 2 3 1
1 1 1j) 
1 5 5 9 4 14 3 4 1
n
nn n
n
nn n
n
nn n
=
+− ⋅ +
+ +…+ =
⋅ ⋅ +− ⋅ +
+ +…+ =
⋅ ⋅ +− ⋅ +
( )
( )
( )
a) 1 3 2 1
b) 1 4 3 2
c) 2 6 4 2
d) 3 9 3
1 1 1 1e) 
3 9 27 3
n
n
n
n
n
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+
+ + …+
31
( )
( )
( )
a) 1 3 2 1
b) 1 4 3 2
c) 2 6 4 2
d) 3 9 3
1 1 1 1e) 
3 9 27 3
n
n
n
n
n
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+
+ + …+
3 Calcule fórmulas fechadas para as seguintes somas:
5 Mostre por indução as seguintes observações.
4 Seja a∈Z . Mostre que
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
a) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 ··· .
b) 1·2·3 2·3·4 3·4·5 ··· 1 2 .
c) 1·3 3·5 5·7 ··· 2 1 2 1 .
d) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 3 ··· .
n
n n n
n n
n
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + − +
+ + + + + + + + + + +
( )
( )2 .
)
b
a para cada , existe tal que 1 1.
 para cada , existe tal que ) 1 1
n
n
n m a ma
n m a ma
∈ ∈ + = +
∈ ∈ − = +
N Z
N Z
2
2 , para todo .
! , para todo com 4.
! 3 , para todo com 7.
! , para todo com 2.
a) 
b) 
c) 
d) 
n
n
n
n n
n n n n
n n n
n n n n
> ∈
> ∈ ≥
> ∈ ≥
< ∈ ≥
N
N
N
N
32
33
TÓPICO 3
DIVISIBILIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, apresentaremos o conceito de divisibilidade, retomaremos 
e aprofundaremos os conceitos acerca dos números inteiros. Além disso, 
utilizaremos uma linguagem um pouco mais formal do que normalmente 
utilizamos para apresentar o conceito de divisibilidade. 
Reforçando, divisibilidade não é nenhuma novidade e podemos tratá-la 
como uma continuação do conceito de múltiplos e divisores, porém com uma 
abordagem diferente. Veja a divisão de um número inteiro a por um número 
inteiro não nulo b.
Note que se r = 0, resulta que a q b= × e seguem as seguintes relações:
• a divisão de a por b tem resto 0;
• a divisão de a por b é exata;
• a é divisível por b;
• a é um múltiplo de b;
• b é um divisor de a;
Ou seja, lembrando que são 5 afirmações verdadeiras desde que r = 0, para 
designar o mesmo fato.
2 DIVISIBILIDADE
Neste subtópico, dando sequência a ideia explorada na introdução, 
teremos que desenvolver uma sexta afirmação, pois será interessante colocar 
o zero em algumas oportunidades. Desse modo, poderemos falar também de 
“pares” de números inteiros a e b, tais que exista um número inteiro t, de modo 
que .a t b= ×
34
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Esta sexta forma de tratar a divisão é a nomenclatura clássica da aritmética e 
teoria dos números.
ATENCAO
Definição 1: dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se 
existir .t∈Z de modo que .a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, 
quando não puder ser escrita a forma .a t b= × , com .t∈Z 
Notações:
• b | a indica que b divide a;
• b aŒ indica que b não divide a.
Essa relação aqui definida é a de divisibilidade de números inteiros.
Não pode ser confundida a relação de divisibilidade b | a com a de fração b | a.
IMPORTANT
E
Exemplos:
1) 5|15, pois 15 3 5 e 3 .= × ∈Z
2) Mas 15 5Œ , pois não existe t inteiro tal que 5 15t= × . Note ainda:
• Para o caso de t = 0, teremos 15 0 5t× = ≠ ;
• Para o caso de t = 1, teremos 15 15 5t× = ≠ ;
• Caso t > 1, teremos 15 15 5, e assim 15 5t t× > > × ≠ ;
3) 1 | k, para todo k∈Z , uma vez que 1 ,k k= × para todo k;
4) Este aqui é um tanto polêmico e por este motivo iremos reforçar esta análise 
mais tarde em nosso material:
 
0 | 0, pois, por exemplo, 0 7 0= × e ainda 7 .∈Z
Proposição 8: 0 | a, se e somente se, a = 0.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
35
Mostraremos este caso para destituir a polêmica criada pelo exemplo 4 
anterior. Como pode ser notado, estamos lidando com um caso de “se e somete 
se”, e assim sendo temos que mostrar:
0 0 0 0 a a e a a⇒ = = ⇒
(I) Mostraremos incialmente o primeiro caso. Seja a um número inteiro tal que 
0 | a. Deste modo, utilizando a definição de divisibilidade, existe k∈Z , tal 
que 0a k= × . Mas, sabe-se que 0 0k× = , logo, a = 0.
(II) Suponhamos agora que a é um número inteiro qualquer, é fácil notar que 
a | a, sendo que 1a a= × , para todo a inteiro e ainda 1 .∈Z Particularmente, 
se a = 0, chegamos a mesma conclusão. Logo, 0 | a.
Por (i) e (ii), concluímos que 0 | 0.a a⇔ =
Observações importantes:
1. Denotaremos por m • n, ou mn o produto do número m pelo número n.
2. Se b | a, e 0b ≠ , então o número inteiro t, em que a = tb é único. Se considerarmos 
que existe um k (outro inteiro) onde a = kb, teríamos que kb = tb, sendo que 
supondo 0b ≠ , podemos cancelar b e obter k = t.
3. Já justificamos que 0 | 0. Porém, é interessante perceber que 
0 1 0, 0 5 0, 0 12 0, 0 147 0,= × = × = × = × ou seja, o número t não é único. Assim, 
dizemos que o quociente de 0 por 0 é indeterminado. Por isso, é verdade que 
0 | 0, porém, 0
0
 não está definido.
4. Pelo fato da não unicidade citada na observação anterior, é comum não utilizar 
zero como divisor. Assim, daqui em diante iremos supor os divisores diferentes 
de zero, apesar de não ser dito de modo explícito.
5. Poderemos utilizar as seguintes expressões, mesmo se b = 0:
• b é um divisor de a.
• a é múltiplo de b.
6. Se b = 0 não poderemos utilizar:
• a divisão de a por b tem resto 0;
• a divisão de a por b é exata;
• a é divisível por b.
2.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE
Neste momento, apresentaremos as propriedades iniciais da divisibilidade 
de números inteiros. Essas propriedades são fundamentais, pois serão utilizadas 
na demonstração de outros resultados e ainda para resolver problemas propostos.
36
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Propriedade 1: se a | b e b | a, então a = b.
Para se compreender o que esta propriedade trata, devemos imaginar que 
para cada número inteiro diferente de zero a, o único número b (inteiro) que é 
concomitantemente múltiplo e divisor de a, é o próprio a.
Demonstração: se a | b e b | a, então, por definição, existem números inteiros t e k tais 
que b = ta e a = kb. Dessa forma, a = k(ta) = (kt)a. Mas 0a ≠ ; logo, de a = (kt)a, segue 
que kt = 1. No entanto, t e k são números inteiros; portanto, kt = 1 só é possível 
se k = t = 1 e, assim, b = ta (ou a = kb) segue que a = b.
Propriedade 2: se a | b e b | m, então a | m.
Essa propriedade é conhecida como a propriedade de transitividade da 
divisibilidade. Ou seja, informalmente: divisor do divisor é divisor!
Demonstração: se a | b e b | m, então, por definição, existem números inteiros t e 
k de modo que b = ta e m = kb. Assim, temos que: m = k(ta) = (kt)a (i) mas como t 
e k são números inteiros, então x = kt também será um número inteiro, já que 
o produto de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), 
temos que m = xa, com x∈Z . Portanto, por definição, a | m.
Propriedade 3: se a | m e a | n, então a | m + n.
Essa propriedade nos informa que se a é divisor de dois números m e n, 
teremos que a também será divisor da soma m + n.
Demonstração:se a | m e a | n, então, por definição, existem números inteiros t e 
k de modo que m = ta e n = ka. Assim, temos que: m + n = ta + ka = (t + k)a (i), mas 
como t e k são números inteiros, então z = t + k também será um número inteiro, 
já que a soma de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), 
temos que m + n = za, com z∈Z . Portanto, por definição, a | m + n.
Propriedade 4: se a | m, então a | mn.
Essa propriedade nos mostra que se a divide m, a também divide qualquer 
múltiplo de m.
Demonstração: se a | m, então, por definição, existe um número inteiro k tal 
que m = ka. Então, para qualquer número inteiro n, temos que mn = (ka)n = (kn)a. Dessa 
forma, se fizermos kn = t, então teremos que mn = ta, com t∈Z , e isso é suficiente para 
garantir que a | mn.
Propriedade 5: se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números 
inteiros x e y.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
37
Informalmente, podemos definir essa propriedade sendo que se a é 
divisor de m e n, então a também será divisor da soma dos produtos xm e yn, com 
 xe y∈Z .
Demonstração: utilizaremos as propriedades 3 e 4. Desta forma, suponhamos 
que a seja um divisor de m e de n. Portanto, se x e y são números inteiros, então, 
pela propriedade 4, temos que a | xm e a | yn. Como temos que, a | xm e a | yn, 
utilizamos a propriedade 3 para concluir que a é divisor da soma entre xm e yn. 
Assim, podemos afirmar que a | xm + yn, para ,x y∈Z .
Além de demonstrar essas propriedades importantes e, obviamente, já 
munidos delas, resolveremos alguns problemas que tratam de divisibilidade.
Exemplo 14: 1008 é divisível por 21?
Resolução: sim, uma vez que ( )41008 3 7 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ . E, ainda, realizando 
42 3 k⋅ = , temos que 1008 3 7 21k k= ⋅ ⋅ = , com k∈Z .
Exemplo 15: o número 42 5⋅ é divisível por 3?
Resolução: não, basta notar que a decomposição deste número não 
contém o número 3.
Exemplo 16: encontre o menor número natural n tal que n! é divisível por 
990.
Resolução: como 990 2 3² 5 11= ⋅ ⋅ ⋅ , para que n! seja divisível por 990, é 
necessário que em sua decomposição haja todos esses fatores. 11 é primo, logo, 
ele mesmo tem que estar contido no produto. Observe que 11! é divisível por 2, 
por 32 e por 5. Assim, n = 11 é o menor valor possível, pois o fatorial de qualquer 
outro número menor que este não terá o fator 11 em sua decomposição.
Tentaremos notar que a divisibilidade em Z é uma relação de ordem, 
uma vez que:
(I) É reflexiva: para todo a, temos que a | a.
(II) É transitiva: se a |b e b | c, temos que a | c.
(III) É antissimétrica: se a | b, e b | a, então a = b. 
Tente voltar no texto e determinar quais as propriedades que justificam tais 
afirmações.
ATENCAO
38
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
A partir disso, mostraremos alguns resultados relevantes:
Proposição 9: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a – b | an – bn.
Demonstração: usaremos indução em n.
É elementar que a propriedade é válida para n = 1. Pois, a – b | a1 – b1 = a – b. 
Supondo agora a propriedade válida para n, ou seja, a – b | an – bn, escreveremos 
percebendo que podemos somar e subtrair um valor de uma expressão, sem alterar 
o seu valor:
( ) ( )1 1 .n n n n n n na b aa bb a b a b a b+ +− = − + − = − + −n nba ba
Como a – b | a – b, e por hipótese a – b | an – bn, decorre da propriedade 5, 
que a – b | an+1 – bn+1. Verificando o resultado para todo n.
Proposição 10: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n+1 – b2n+1.
Demonstração: utilizaremos novamente indução em n.
 
Note que a propriedade é válida para n = 0. Utilizaremos zero para fins de 
simplificação dos raciocínios, veja que a + b | a1 + b1. Supondo válida a propriedade 
para n, ou seja, a + b | a2n+1 – b2n+1, escreveremos:
( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 1 2 1 2 1
² ² ²
² .
n n n n n n
n n n
a b a a b a b a b b
a b a b a b
+ + + + + + + +
+ + +
− = − + +
= − + +
Como a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b), e, por hipótese, a + b | a2n+1 – b2n+1, decorre 
das propriedades anterior que a + b | a2(n+1)+1 – b2(n+1)+1, verificando o resultado para 
todo n.
Proposição 11: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n – b2n.
Demonstração: novamente, utilizaremos indução em n.
Notamos que a afirmação é válida para n = 1, pois é elementar notar que 
a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b). Supondo agora válida a propriedade para n, temos 
que a + b | a2n – b2n. Então, escreveremos:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2² ² ² ² .n n n n n n n n na b a a b a b a b b a b a b a b+ +− = − + − = − + −
Como a + b | a2 + b2, e, por hipótese, a + b | a2n – b2n, decorre das propriedades 
anteriores que a + b | a2(n+1) – b2(n+1), verificando o resultado para todo n.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
39
Exemplo 17: para quais valores de ,a∈N temos que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + .
Resolução: teremos como hipótese que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + , logo, 
podemos reescrever utilizando as proposições anteriores, sendo:
( )4 4 3 3 3 3 2 22 | 2 2 2 2 1 16 8 8 4a a a a a+ − + + + + + − + + + − − +
Sabemos, então que:
Logo, basta verificar os valores para os quais: a + 2 | 5. 
Como 5 é divisível por 1 e 5, teremos que:
( )2 1 1 , a a nãoconsideraremos poisaé natural+ = ⇒ = − (não consideraremos, pois a é natural)
ou
2 5 3.a a+ = ⇒ =
Exemplo 18: mostre que 53 | 74n – 24n
Resolução: temos que, ( )24 2 2 47 49 53 4 53 4 53 2nn n n nk k k= = − = − = +
Logo: 74n – 24n = 53k
Portanto, 53 | 74n – 24n.
3 DIVISÃO EUCLIDIANA
Neste ponto de nosso material, introduziremos um conceito baseado nos 
estudos de Euclides, nos seus Elementos, em que é tratado que mesmo que quando 
um número inteiro a não divide outro inteiro b, é citado que sempre é possível 
efetuar a divisão, porém, neste caso, com um resto (lembrando que Euclides só 
tratava de números positivos).
Teorema 4 (Divisão Euclidiana): sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 
0a ≠ . Existem dois números (únicos) q e r, tais que: , 0b a q r com r a= ⋅ + < ≤ .
Demonstração: vamos considerar o seguinte conjunto (incluindo o zero):
{ } { }( ); 0 .S x b ay y= = − ∈ ∩ ∪Z N
4 4 2 2
3 3 2 1 2 1
2 2 2 2
 pois 
 pois .
, pois .
• 2 | 2 , | .
• 2 | 2 , | 
• 2| 2 | 
n n
n n
n n
a a a b a b
a a a b a b
a a a b a b
+ +
+ − + −
+ + + −
+ − + −
40
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Demonstraremos dois fatos, a existência dos valores q e r e fato de serem 
únicos.
Existência: utilizando a Propriedade Arquimediana, dizemos que existe n∈Z
, tal que n (–a) > b, e, assim, temos que b – na > 0. Esse resultado mostra que 
S não é vazio. Percebendo que S é limitado inferiormente por zero, podemos 
utilizar o princípio da boa ordenação e aferir que S possui um menor elemento r. 
A partir disso, vamos supor que r = b – aq. Sabendo que 0r ≥ , devemos mostrar 
agora que .r a< Supomos, então, por absurdo que r a≥ . Desta forma existe 
{ }0s∈ ∪N , em que r a s= + , e assim, 0 .s r≤ < Contudo, isso contradiz o 
fato que r é o menor elemento de S.
Unicidade: suponhamos que 'b aq r aq r= + ′= + , onde , , , 'q q r r′ são 
inteiros. Ainda temos que perceber que: 0 0r a e r a≤ < ≤ ′ < . Assim, vem: 
.a r r r a′− < − ≤ − < O que resulta que: . r r a′ − < Por outro lado, 
( )' , a q q r r− = −′ o que gera: ' . a q q r r a− −′= < O que só é possível, quando 
 e 'q q r r′= = .
Esse resultado nos mostra os números q e r, que são respectivamente 
nomeados de quociente e resto da divisão de b por a.
Nesta divisão (euclidiana) o resto só será zero, caso a | b.
ATENCAO
Exemplo 19: como exemplo do resultado visto, podemos afirmar que para 
a divisão de 19 por 5, temos q = 3 e r = 4. Pois, sabemos que b a q r= ⋅ + , assim 
19 5 3 4= ⋅ + . Já se tivéssemos –19 por 5, seriam q = – 4 e r = 1. Pois, ( )19 5 4 1− = ⋅ − + .
Exemplo 20: mostrar que o resultado da divisão de 10n por 9 é sempre 1, 
para todo n.
Resolução: para garantir a veracidade do resultado, utilizaremos indução 
em n. De fato, para n = 1, é elementar, pois, 110 9 1 1= ⋅ + . Agora,supondo válido o 
resultado para n, ou seja, 10 9 1n q= ⋅ + , iremos escrever:
( ) ( )110 10 10 9 1 10 9 10 10 9 10 9 1 9 10 1n n n n n n nq q+ = ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + +
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
41
O que mostra o resultado válido para todo n natural.
Proposição 12: dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que: 
( )1na b n a≤ < + .
Demonstração: esta proposição procura mostrar que um sempre existe um número 
b entre dois múltiplos de um número natural a. Estes múltiplos são representados 
por na e (n + 1)a, ou seja, a multiplicação de a por n e por seu sucessor. Utilizando o 
conceito visto de divisão euclidiana, temos ,q r∈Z , com 0 r a≤ < , determinados 
univocamente, em que b a q r= ⋅ + . Basta usar agora, n = q.
Prezado acadêmico, os próximos dois exemplos serão citados sem sua devida 
demonstração, porém, fica como sugestão você procurar mostrar ou criar situações em 
sua mente que permitam comprovar sua veracidade.
DICAS
Exemplo 21: dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:
(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q, ou ainda,
(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q + 1.
A partir disso, classificamos os números inteiros em dois tipos, os números 
pares e os números ímpares. 
Exemplo 22: Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, 
com 0 r m≤ < . Ilustrando:
• Todo número n, pode ser escrito como 3k, ou 3k+1 ou 3k+2
• Todo número n, pode ser escrito como 4k, ou 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3, e assim por 
diante.
Exemplo 23: determinaremos a quantidade de múltiplos de 5, entre 1 e 253.
Resolução: sabemos que pela divisão euclidiana, podemos escrever: 
253 5 50 3= ⋅ + . Deste modo, o maior deles é 5 50⋅ , e, assim sendo, podemos 
escrever os múltiplos de 5 entre 5 e 253: 1 5, 2 5, 3 5,..., 5 50⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Que obviamente 
resultam em 50 valores.
Os estudos que seguem abordarão vários conceitos, e todos eles estão 
fortemente ligados com o conceito de divisibilidade. Desta forma, é importante 
que você esteja bastante apropriado deste embasamento teórico para a sequência 
de seus estudos.
42
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se existir t∈Z de 
modo que . a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, quando não 
puder ser escrita a forma . a t b= × , com t∈Z .
• b | a indica que b divide a;
• b aŒ indica que b não divide a.
• Se a | b e b | a, então a = b.
• Se a | b e b | m, então a | m.
• Se a | m e a | n, então a | m + n.
• Se a | m, então a | mn.
• Se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números inteiros x e y.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a – b | an – bn.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n+1 – b2n+1.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n – b2n.
• Sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 0a ≠ . Existem dois números 
(únicos) q e r, tais que:
, com 0b a q r r a= ⋅ + < ≤
• Dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que:
( )1na b n a≤ < +
• Dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:
(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q, ou ainda,
(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q + 1.
• Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, com 0 r m≤ < . 
43
1 Mostre que dados a, b e c inteiros, com 0c ≠ , temos: .ac bc a b⇔
2 Determinar a soma de todos os múltiplos de 6 que podem ser escritos com 
2 dígitos.
3 Com quantos zeros termina 1000!
4 Mostre utilizando indução:
a) 8 | 32n + 7
b) 169 | 33n+3 – 26n – 27
5 Mostre que 70 7013 | 2 3 .+
6 Mostre que para todo n:
a) 9 | 10n + 7
b) 8 | 32n + 7
7 Para quais valores de a, temos que a + 2 | a4 + 2.
8 Determine o quociente e o resto da:
a) Divisão de 36 por 7.
b) Divisão de 147 por 32.
9 Verifique a paridade:
a) Da soma de dois números inteiros. 
b) Da diferença de dois números inteiros.
c) Do produto de dois números inteiros.
d) Da soma de n ímpares.
10 Mostre que a é par, se e somente se, an é par.
11 Seja a terna de números n, n + 1 e n + 2, mostre que apenas um deles é 
divisível por 3.
AUTOATIVIDADE
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12 (ENC, 2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da 
divisão de N por 5?
 
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2002)
13 Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e 
por 4.
14 (ENC, 2000) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 
deixa resto 1 na divisão por 3.
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2000)
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TÓPICO 4
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O sistema de numeração que estamos habituados a utilizar é o sistema 
posicional de base 10. Porém, existem outros sistemas de numeração que são 
bastante usuais e que tem sua base de análise fortemente ligadas à Aritmética.
Por exemplo, o sistema sexagesimal que, de acordo com Roque (2012, p. 
50), datam registros em fontes históricas por volta de 1700 a.C. na civilização 
dos babilônicos. Era usado, frequentemente, por matemáticos e astrônomos. Eles 
faziam uma combinação de base 60 e de base 10, pois os sinais até 59 mudam 
de 10 em 10. Por exemplo, para representarmos o valor decimal de 1h4min23s, 
temos que calcular ( )1 3600 4 60 23 6023 . s⋅ + ⋅ + = Portanto, o sistema que usamos 
para representar as horas é um sistema sexagesimal.
Neste tópico, dedicaremos algumas linhas para discutir a base formal 
desse sistema de numeração e ampliar nosso horizonte para outras formas de 
representações numéricas.
2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema que utilizamos é o sistema de base 10, ele está organizado 
através de agrupamentos de 10 em 10, conforme podemos visualizar:
FIGURA 1 – CLASSES E ORDENS DE BASE 10
FONTE: Os autores
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UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Por exemplo, no nosso sistema decimal, no número 325, o 3 representa 100; 
o 2 representa 20 e o 5 representa 5 mesmo. Assim, 2 1 0325 3 10 2 10 5 10= ⋅ + ⋅ + ⋅ . 
Mais genericamente, podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 𝑛 
= 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟, em que 𝑟 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ 0, 1, … , 9 ; para 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 
e o representamos por 𝑎𝑟𝑎𝑟−1 … 𝑎1𝑎0 com 𝑎𝑖 sendo um dígito de 𝑛.
Exemplo 24: 11547 = 7 + 4 × 10 + 5 × 102 + 1 × 103 + 1 × 104
 
Este sistema de numeração supracitado já está no nosso íntimo 
emprocessos matemáticos que já vivenciamos, agora, generalizaremos os sistemas 
de numeração para uma base qualquer.
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER
Ao utilizar uma base qualquer (chamaremos 𝑏), devemos supor um 
conjunto de 𝑏 símbolos 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 que representará quaisquer números. 
utilizaremos o Teorema a seguir para garantir a existência destes números nesta 
base 𝑏.
Teorema 5: seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo 
número natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira: 
𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.
Demonstração: mostraremos a existência da representação por indução em 𝑛. 
Se 𝑛 < 𝑏, neste caso, basta tomar 𝑛 = 𝑎0 e a representação está definida. Suponha 
agora, 𝑛 ≥ 𝑏 e que para todo 𝑞 𝜖 ℕ entre 1 ≤ 𝑞 < 𝑛 a representação esteja definida. 
Pelo algoritmo de Euclides temos 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0, com 𝑎0 ∈ 𝑀. Observe que de 𝑞 < 𝑛, 
pois, caso contrário teríamos: 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0 ≥ 𝑏𝑞 > 𝑞 ≥ 𝑛 absurdo.
Pela hipótese de indução podemos escrever 𝑞 na base 𝑏, ou seja, 
𝑞 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 com 𝑎0 ∈ 𝑀 e 𝑎0 ≠ 0. 
Logo, 𝑛 = 𝑏 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, o 
que conclui a existência da representação. 
Devemos garantir a unicidade da escrita e também faremos por meio do 
segundo princípio de indução. 
É fácil ver que para 𝑛 ≤ 𝑏 a unicidade é óbvia. Suponhamos que 𝑛 > 𝑏, e 
que a unicidade é válida para todo 𝑞, com 1 ≤ 𝑞 < 𝑛. Suponhamos