2019 1-AP2-PC-Critrio

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AP2 – 2019-1 – CRITÉRIO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Critério de Correção da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,4 ponto] 
➢ Critério, se o aluno usou a identidade trigonométrica fundamental. 
• Citar ou usar uma das identidades, sen2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃 ou cos2 𝜃 = 1 − sen2 𝜃 ganha 0,1 
• Chegar em uma delas cos2 𝜃 =
3
4
 OU sen2 𝜃 =
1
4
 ganha 0,1 
• Chegar em uma delas cos 𝜃 = ±
√3
2
 OU sen 𝜃 = ±
1
2
 ganha 0,4 
(0,2 para positivo e 0,2 para negativo) 
Sub critério 1: SE o aluno chegou a 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = ±
√𝟑
𝟐
 ∶ 
• Concluir que a solução de cos 𝜃 = 
√3
2
 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 é 𝜃 =
𝜋
6
 ganha 0,4 
• Concluir que a solução de cos 𝜃 = −
√3
2
 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 é 𝜃 =
5𝜋
6
 ganha 0,4 
OBSERVAÇÃO: Se além dessas duas soluções o aluno apresentar outras soluções, perde 
0,4 por cada solução errada, com desconto máximo de 0,8. 
Sub critério 2: SE o aluno chegou a 𝐬𝐞𝐧 𝜽 = ±
𝟏
𝟐
 ∶ 
• Concluir que a solução de sen 𝜃 = 
1
2
 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 é 𝜃 =
𝜋
6
 ou 𝜃 =
5𝜋
6
 ganha 0,8 
(0,4 para cada uma) 
OBSERVAÇÃO: se não tentar resolver sen 𝜃 = −
1
2
 e não escrever que essa equação não 
tem solução para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 perde 0,4 (se acima o aluno ganhou 0,8) ou 
perde 0,2 (se acima o aluno ganhou só 0,4) 
OBSERVAÇÃO: Se além dessas duas soluções o aluno apresentar outras soluções, perde 0,4 
por cada solução errada, com desconto máximo de 0,8. 
➢ Critério, se o aluno usou a identidade do cosseno do arco duplo. 
• Citar ou usar cos2 𝜃 − sen2 𝜃 = cos(2𝜃) ganha 0,5 
• Chegar em cos(2𝜃) =
1
2
 ganha 0,1 
• Chegar em, ou usar 2𝜃 =
𝜋
3
 como solução da equação cos(2𝜃) =
1
2
 ganha 0,2 
• Concluir que uma solução da equação cos(2𝜃) =
1
2
 é 𝜃 =
𝜋
6
 ganha 0,2 
• Chegar em, ou usar 2𝜃 =
5𝜋
3
 como solução da equação cos(2𝜃) =
1
2
 ganha 0,2 
• Concluir que outra solução da equação cos(2𝜃) =
1
2
 é 𝜃 =
5𝜋
6
 cos(2𝜃) =
1
2
 ganha 0,2 
Observação geral 1: As soluções podem ser em graus, 𝜃 = 30° ou 𝜃 = 150°. 
Observação geral 2: Caso o aluno tenha resolvido usando outra identidade, aplicar 
o análogo a um dos critérios acima. 
Observação geral 3: Caso o único erro do aluno tenha sido somar 𝑘𝜋 ou 2𝑘𝜋 nas 
duas soluções, perde 0,2 na questão. 
 
AP2 – 2019-1 – CRITÉRIO Pré-Cálculo 
 
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Questão 2 [1,4 ponto] 
• No intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], esboço correto do gráfico de 𝒇𝟏(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧(𝒙), com crescimento e 
concavidades corretas, com interseção no eixo 𝑦 em 𝑦 = 0, com variação de −1 a 1 no eixo 𝑦 e 
com os 3 valores onde corta o eixo 𝑥 {0, 𝜋, 2𝜋} ganha 0,4 
OBSERVAÇÃO 1: possíveis erros, com desconto máximo de 0,4: erro na variação no eixo 𝑦 
(perde 0,2), erro na marcação dos valores onde corta o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 (perde 0,05 por 
marcação errada). 
OBSERVAÇÃO 2: erro no crescimento ou na concavidade, não ganha nada pelo gráfico. 
• No intervalo [−𝟐𝝅, 𝟎), esboço correto do gráfico de 𝒇𝟏(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧(𝒙), com crescimento e 
concavidades corretas com variação de −1 a 1 no eixo 𝑦 e com os 2 valores onde corta o eixo 𝑥 
{− 2𝜋, 0} ganha 0,3 
OBSERVAÇÃO 1: possíveis erros, com desconto máximo de 0,3: erro na variação no eixo 𝑦 
(perde 0,2), erro na marcação dos valores onde corta o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 (perde 0,05 por 
marcação errada). 
OBSERVAÇÃO 2: erro no crescimento ou na concavidade, não ganha nada pelo gráfico. 
• Citar translação vertical do gráfico de 𝑓1(𝑥), de 
1
2
 unidade para baixo ganha 0,1 
• No intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], esboço correto do gráfico de 𝒇𝟐(𝒙) = −
𝟏
𝟐
+ 𝐬𝐞𝐧(𝒙), com crescimento e 
concavidades corretas, com a interseção no eixo 𝑦 em 𝑦 = −
1
2
, com variação de −
3
2
 a 
1
2
 no eixo 
𝑦 e com os 2 valores onde corta o eixo 𝑥 {
𝜋
6
,
5𝜋
6
} ganha 0,3 
OBSERVAÇÃO 1: possíveis erros, com desconto máximo de 0,3: erro na variação no eixo 𝑦 
(perde 0,2), erro na marcação dos valores onde corta o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 (perde 0,05 por 
marcação errada). 
OBSERVAÇÃO 2: corrigir com coerência caso o aluno tenha errado no gráfico de 𝑓1 em [0,2𝜋] 
e o gráfico de 𝑓2 estiver com translação vertical de 
1
2
 unidade para baixo. 
• No intervalo [−𝟐𝝅, 𝟎), esboço correto do gráfico de 𝒇𝟐(𝒙) = −
𝟏
𝟐
+ 𝐬𝐞𝐧(𝒙), com crescimento e 
concavidades corretas, com a interseção no eixo 𝑦 em 𝑦 = −
1
2
, com variação de −
3
2
 a 
1
2
 no eixo 
𝑦 e com os 2 valores onde corta o eixo 𝑥 {−
11𝜋
6
,
−7𝜋
6
} ganha 0,3 
OBSERVAÇÃO 1: possíveis erros, com desconto máximo de 0,3: erro na variação no eixo 𝑦 
(perde 0,2), erro na marcação dos valores onde corta o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 (perde 0,05 por 
marcação errada). 
OBSERVAÇÃO 2: corrigir com coerência caso o aluno tenha errado no gráfico de 𝑓1 em 
[−2𝜋, 0) e o gráfico de 𝑓2 estiver com translação vertical de 
1
2
 unidade para baixo. 
OBSERVAÇÃO GERAL: se preciso, arredondar para cima, por ex., de 1,25 para 1,3. 
 
 
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Questão 3 [1,4 ponto] 
(a) Valor: 0,8 
• Escrever ou usar que sen (
4π
3
) = −
√3
2
 ganha 0,3 
• Escrever ou usar claramente que cos ( 
5𝜋
6
) = −
√3
2
 ganha 0,2 
• Concluir, justificando, que arccos (−
√3
2
) =
5𝜋
6
 ganha 0,3 
OBSERVAÇÃO: se não justificar só ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO GERAL: Se o aluno deu duas respostas 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 (−
√𝟑
𝟐
) =
𝟓𝝅
𝟔
 e 
 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 (−
√𝟑
𝟐
) =
𝟕𝝅
𝟔
 , o aluno perde 0,2 dos 0,8 ponto do valor 
total da questão. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Valor: 0,6 
• Responder que arcsen (sen (
3π
8
)) = 
3π
8
 ganha 0,2 
• Justificar claramente, que 
3𝜋
8
 está no intervalo de inversão da função seno, [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
] 
 ganha 0,2 
• Justificar claramente, que arcsen(sen 𝑦) = 𝑦 para ∀ 𝑦 ∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
] ganha 0,2 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [0,8 ponto] 
• Citar ou usar (4 − 𝑥)7 ≠ 0 ganha 0,1 
• Citar ou usar uma delas (4 − 𝑥)7 ≥ 0 OU (4 − 𝑥)7 > 0 ganha 0,2 
• Citar ou usar, com ou sem justificativa, que 𝑥 ≠ 4 ganha 0,1 
• Concluir, com alguma justificativa, um deles 𝑥 ≤ 4 OU 𝑥 < 4 ganha 0,3 
OBSERVAÇÃO: sem justificativa, ganha só 0,1 
• Concluir um deles 𝐷𝑜𝑚 (𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 4} OU 𝐷𝑜𝑚 (𝑟) = (−∞, 4) ganha 0,1 
 
Questão 5 [1,3 ponto] 
• Impor que 3𝑥2 − 2𝑥 > 0 ganha 0,5 
OBSERVAÇÃO: se o aluno impor 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 ≥ 𝟎 só ganha 0,3. Corrigir com coerência daqui 
pra frente. 
• Mostrar que 𝑥( 3𝑥 − 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 =
2
3
 ganha 0,2 
(0,1 por valor) 
• Concluir, justificando de alguma forma, que 𝑥(3𝑥 − 2) > 0 ⟺ 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
2
3
 ganha 0,4 
• Responder que 𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
2
3
 } ou que 𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = (−∞ , 0) ∪ ( 
2
3
 , +∞)
 ganha 0,2 
 
AP2 – 2019-1 – CRITÉRIO Pré-Cálculo 
 
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Questão 6 [1,2 ponto] 
• Responder que o gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥 deve ser transladado verticalmente 2 unidades para 
baixo para se chegar ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não escrever a palavra verticalmente, não descontar nada. 
OBSERVAÇÃO: se não escrever a palavra para baixo, descontar 0,1. 
OBSERVAÇÃO: se não escrever 2 unidades, descontar 0,1. 
• Fazer 𝑦 = 0 para a interseção com o eixo 𝒙 ganha 0,1 
• Responder, mostrando as contas,que 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = ln (2) ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas, só ganha 0,1 
• Fazer 𝑥 = 0 para a interseção com o eixo 𝒚 ganha 0,1 
• Responder que 𝑓(0) = −1, mostrando as contas, ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas, só ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 ganha 0,4 
OBSERVAÇÃO: se não indicar no gráfico as interseções com os eixos coordenados, descontar 
0,1 uma vez só. 
OBSERVAÇÃO: se não ficar claro que a reta 𝑦 = −2 é uma assíntota horizontal, descontar 
0,2 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 7 [1,0 ponto] 
• Escrever ou usar que |𝑒𝑥 − 2| = 0 ⟺ 𝑒𝑥 − 2 = 0 ganha 0,3 
• Concluir, mostrando as contas, que 𝒆𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⟺ 𝒙 = 𝐥𝐧 (𝟐) ganha 0,6 
• Responder que ℎ toca o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0) ganha 0,1 
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Questão 8 [1,5 ponto] 
• Responder que o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 deve ser modulado para se chegar ao gráfico 
da função ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2| ganha 0,2 
• Concluir, mostrando as contas, que o gráfico da função ℎ intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0 ,1) 
 ganha 0,2 
• Responder que o gráfico da função ℎ toca o eixo 𝒙 no ponto (ln (2) ,0) ganha 0,1 
• Esboçar a reta de equação 𝑦 = 2 ganha 0,2 
• Esboçar o gráfico da função ℎ(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2| ganha 0,6 
OBSERVAÇÃO: se não indicar no gráfico as interseções com os eixos coordenados, descontar 
0,1 uma vez só. 
OBSERVAÇÃO: se não ficar claro que a reta 𝑦 = 2 é uma assíntota horizontal, descontar 
0,2. 
• Responder que 𝐼𝑚(ℎ) = [0, ∞) ganha 0,2