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LISTA DE EXECÍCIOS AULA 3 – FÍSICA ELETRICIDADE DENSIDADE DE CORRENTE E VELOCIDADE DE ARRASTE 1) A American Wire Gauge (AWG) é uma escala americana normalizada usada para padronização de fios e cabos elétricos. Um fio de cobre com AWG 15 (geralmente utilizado para ligação de chuveiros e torneiras elétricas) possui um diâmetro de 1,45 mm. Esse fio está ligado a um chuveiro de 4000 W e conduz uma corrente elétrica de 39 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5.10 28 elétrons por metro cúbico. a) Calcule o módulo da densidade de corrente J. b) Calcule o módulo da velocidade de arraste 𝑣𝑎. RESOLUÇÃO: a) Calcule o módulo da densidade de corrente J. O módulo da densidade de corrente J pode ser calculado por: 𝐽 = 𝐼 𝐴 Onde I é a corrente elétrica e A é a área da seção reta do fio. A área da seção reta do fio é calculada por: 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 Sendo D = 1,45 mm = 1,45.10 -3 m, então: 𝐴 = 𝜋(1,45 . 10−3)2 4 = 1,65 . 10−6 𝑚2 O módulo da densidade de corrente é: 𝐽 = 𝐼 𝐴 = 39 1,65 . 10−6 = 𝟐, 𝟑𝟔 . 𝟏𝟎𝟕 𝑨 𝒎𝟐 b) Calcule o módulo da velocidade de arraste 𝑣𝑎. A velocidade de arraste pode ser calculada pela relação: 𝑣𝑎 = 𝐽 𝑛 |𝑞| = 2,36 . 107 (8,5. 1028). |−1,6 . 10−19| 𝑣𝑎 = 1,74 . 10 −3 𝑚 𝑠 = 𝟏, 𝟕𝟒 𝒎𝒎 𝒔 RESISTÊNCIA DE UM CONDUTOR COM UMA DISTÂNCIA L E ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL A 2) A American Wire Gauge (AWG) é uma escala americana normalizada usada para padronização de fios e cabos elétricos. Um fio de cobre com AWG 15 (geralmente utilizado para ligação de chuveiros e torneiras elétricas) possui seção reta com área 1,65.10 -6 m 2 e diâmetro de 1,45 mm. Esse fio com resistividade ρ = 1,72.10-8 Ω.m, está ligado a um chuveiro e conduz uma corrente elétrica de 39 A. a) Calcule o módulo do campo elétrico no fio. b) Calcule a diferença de potencial entre os dois pontos do fio separados por uma distância igual a 50,0 m. c) Calcule a resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m. RESOLUÇÃO: a) Calcule o módulo do campo elétrico no fio. Para o cálculo do módulo do campo elétrico no fio, devemos utilizar a relação: 𝐸 = 𝜌. 𝐽 = 𝜌. 𝐼 𝐴 Logo, 𝐸 = 1,72. 10−8. 39 𝜋(1,45 . 10−3)2 4 = 1,72. 10−8. 39 1,65 . 10−6 = 𝟎, 𝟒𝟏 𝑽 𝒎 b) Calcule a diferença de potencial entre os dois pontos do fio separados por uma distância igual a 50,0 m. A diferença de potencial entre dois pontos do fio separados por uma distância L pode ser calculada pela equação: 𝑉 = 𝐸. 𝐿 Onde L é o comprimento do fio, logo: 𝑉 = 0,41 . 50,0 = 𝟐𝟎, 𝟓 𝑽 c) Calcule a resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m. A resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m, pode ser calculada pela lei de Ohm: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 Ou seja: 𝑅 = 𝑉 𝐼 = 20,5 39 = 𝟎, 𝟓𝟐 𝛀 Podemos obter a resistência de outra forma: 𝑅 = 𝜌𝐿 𝐴 = 1,72. 10−8. 50 1,65 . 10−6 = 𝟎, 𝟓𝟐 𝛀 FORÇA ELETROMOTRIZ E CIRCUITOS 3) Um circuito elétrico, conforme a figura, é composto por uma bateria de FEM ε = 12 V, com resistência interna r = 2 Ω e um resistor de R = 4 Ω. a) Qual a corrente elétrica I que passa pelo circuito? b) Qual é a tensão Vab entre os pontos a e b? RESOLUÇÃO: a) Qual a corrente elétrica I que passa pelo circuito? A corrente I que passa através do circuito pode ser calculada por: 𝐼 = 𝜀 𝑅 + 𝑟 𝐼 = 12 4 + 2 = 𝟐 𝑨 b) Qual é a tensão Vab entre os pontos a e b? A tensão entre dois pontos do circuito pode ser determinada pela relação: 𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟 𝑉𝑎𝑏 = 12 − 2.2 = 𝟖𝑽 4) Uma bateria com força eletromotriz ε= 12 V e resistência interna r = 2 Ω é ligada entre o polo positivo e negativo por um fio condutor, colocando o circuito em curto circuito, conforme figura abaixo. a) Qual a tensão entre os pontos a e b? b) Qual a corrente I através do circuito? RESOLUÇÃO: a) Qual a tensão entre os pontos a e b (Vab)? Sendo a resistência externa R do circuito é igual a zero (R = 0) e a diferença de potencial Vab entre os pontos a e b também deve ser zero. Vab = R.I, como R = 0, então: Vab = 0.I = 0 E portanto, na relação: 𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟 0 = 𝜀 − 𝐼𝑟 𝐼 = 𝜀 𝑟 b) Qual a corrente elétrica I que passa pelo circuito? A corrente de curto circuito será dada por: 𝐼𝑐𝑐 = 𝜀 𝑟 = 12 2 = 6 𝐴 5) Um cabo de transmissão de cobre, com resistividade ρ = 1,72.10-8 .m, possui 100 km de comprimento e 10,0 cm de diâmetro, carrega uma corrente de 125 A. a) Qual é a queda de potencial através do cabo? b) Quanta energia elétrica é dissipada como energia térmica por hora? RESOLUÇÃO: Para determinar a queda de potencial precisamos determinar a resistência elétrica provocada pelo cabo de transmissão. Pela relação abaixo, sendo L = 100 km = 1.10 5 m e o diâmetro D = 0,1 m a área será igual a: 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 𝐴 = 𝜋(0,1)2 4 = 7,85 . 10−3𝑚2 Então: 𝑅 = 𝜌𝐿 𝐴 = 1,72. 10−8. 105 7,85 . 10−3 = 0,219 Ω a) Qual é a queda de potencial através do cabo? Pela lei de Ohm, a queda de potencial será dada por: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 𝑉 = 0,219.125 = 𝟐𝟕, 𝟑𝟖 𝑽 b) Quanta energia elétrica é dissipada como energia térmica por hora? A energia elétrica dissipada é determinada através da potência dissipada: 𝑃 = 𝑉. 𝐼 𝑃 = 27,38.125 = 3422,5 𝑊 Como potencial é a razão entre a energia (E) e o intervalo de tempo (Δt): 𝑃 = 𝐸 Δ𝑡 Sendo Δ𝑡 = 1 ℎ = 3600 𝑠, a energia dissipada nesse intervalo de tempo, será: 𝐸 = 𝑃. Δ𝑡 𝐸 = 3422,5.3600 = 𝟏, 𝟐𝟑. 𝟏𝟎𝟕𝑱 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 6) Calcule a resistência equivalente do circuito indicado na figura e a corrente que passa em cada resistor. A bateria possui resistência interna desprezível. RESOLUÇÃO: Passo 1: Para o cálculo da resistência equivalente, o resistor de 1,0 Ω e o 3,0 Ω estão em série. O mesmo acontece com os resistores de 7,0 Ω e 5,0 Ω e nestes casos, quando os resistores estão ligados em série, o resistor equivalente será dado pelo somatório das resistências. Para os resistores em série de 1,0 Ω e o 3,0 Ω: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ 𝑅𝑒𝑞 = 1,0 + 3,0 = 4,0 Ω E para os resistores em série de 7,0 Ω e 5,0 Ω: 𝑅𝑒𝑞 = 7,0 + 5,0 = 12,0 Ω O circuito se resume então a: Agora os resistores de 4,0 Ω e 12,0 Ω encontram-se ligados em paralelo e para esses casos a resistência equivalente é determinada pela relação: 1 𝑅𝑒𝑞 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + ⋯ 1 𝑅𝑒𝑞 = 1 4,0 + 1 12,0 1 𝑅𝑒𝑞 = 3,0 + 1,0 12,0 = 4,0 12,0 𝑅𝑒𝑞 = 12,0 4,0 = 3,0 Ω Passo 2: Para o cálculo da corrente, aplica-se a Lei de Ohm: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 Como a resistência interna da bateria é zero, a tensão aplicada aos resistores é igual a força eletromotriz ε = 48,0 V e a resistência R é a resistência equivalente Req = 3,0 Ω, então: 𝜀 = 𝑅𝑒𝑞 . 𝐼 48,0 = 3,0. 𝐼 Logo, a corrente total no circuito será: 𝐼 = 48,0 3,0 = 𝟏𝟔 𝑨 Porém, quando essa corrente chega no nó que separa os resistores em paralelo (veja figura a seguir) ela se divide em I1 e I2, passando uma quantidade de corrente elétrica pela malha superior e o restante pela malha inferior: Como os resistores de 4,0 Ω e 12,0 Ω estão em paralelo, a tensão sobre eles é a mesma, ou seja, V = ε = 48,0 V. Logo,pela lei de Ohm a corrente I1 será dada por: 𝑉 = 𝑅. 𝐼1 48,0 = 4,0. 𝐼1 𝐼1 = 48,0 4,0 = 𝟏𝟐, 𝟎 𝑨 E a corrente I2, será: 𝐼2 = 48,0 12,0 = 𝟒, 𝟎 𝑨 Portanto, a corrente elétrica que passa pelos resistores de 1,0 Ω e 3,0 Ω no circuito inicial é de 12,0 A e a corrente elétrica que passa pelos resistores de 7,0 Ω e 5,0 Ω no circuito inicial é de 4,0 A. A corrente permanece a mesma para os dois resistores pelo fato de estarem em série e, com isso, ela se mantém constante. LEI DE KIRCHHOFF 7) O circuito da figura a seguir contém uma fonte de tensão de 12 V, com resistência interna desconhecida r, conectada a uma bateria descarregada, com FEM ε e resistência interna igual a 1 Ω, e com uma lâmpada de resistência de 3 Ω que transporta uma corrente de 2 A. A corrente que passa pela bateria descarregada é igual a 1 A no sentido indicado. Calcule a resistência interna desconhecida r, a corrente I e a FEM ε. RESOLUÇÃO: Como o circuito possui mais de uma malha, devemos aplicar tanto a Lei dos Nós como a Lei das Malhas. Assumimos o sentido da corrente que passa pela fonte de 12V, conforme indicado. Como há 3 incógnitas, então necessitamos de 3 equações. Passo 1: Aplicando Lei dos Nós no ponto a: ∑ 𝐼 = 0 −𝐼 + 1𝐴 + 2𝐴 = 0 𝑰 = 𝟑𝑨 Passo 2: Para determinarmos r, aplicamos Lei das Malhas para a malha externa designada por (1): ∑ 𝑉 = 0 12𝑉 − (3𝐴)𝑟 − (2𝐴)(3𝛺) = 0 𝒓 = 𝟐𝜴 Os termos de resistência r e 3 Ω são negativos pois o sentido do percurso através desses elementos é o mesmo sentido da corrente e, portanto, existe uma queda de potencial em cada um dos elementos. Caso resolvêssemos percorrer a malha externa (1) no sentido contrário, todos os termos teriam sinais opostos e o resultado obtido para r seria o mesmo. Passo 3: Para obtermos ε, aplicamos a Lei das Malhas para a malha designada por (2): ∑ 𝑉 = 0 −ε + (1𝐴)(1𝛺) − (2𝐴)(3𝛺) = 0 𝜺 = −𝟓 𝑽 O termo do resistor de 1 Ω é positivo porque ao atravessá-lo no sentido oposto ao da corrente, ocorre um aumento do potencial. Já o valor negativo da FEM ε indica que a polaridade real dessa FEM é oposta à indicada na figura do enunciado. O terminal positivo desta fonte está, na realidade, no lado direito. 8) A figura a seguir mostra um circuito “ponte”. Calcule a corrente que circula em cada resistor e a resistência equivalente do circuito com os cinco resistores. RESOLUÇÃO: O circuito em “ponte” não pode ser representado como combinações de ligações em série e paralelo. Por isso temos que usar a Lei de Kirchhoff para obter os valores das incógnitas. Ao analisar o circuito, percebemos que há cinco correntes diferentes a serem determinadas. No entanto, aplicando-se a lei dos nós para os nós a e b, podemos representá-las usando três correntes desconhecidas, como indica na figura. A corrente que passa na bateria é igual a I1+I2. Passo 1: Aplicando Lei das Malhas para as três malhas indicadas obtemos as três equações: ∑ 𝑉 = 0 13𝑉 − 𝐼1(1𝛺) − (𝐼1 − 𝐼3)(1𝛺) = 0 −𝐼2(1𝛺) − (𝐼2 + 𝐼3)(2𝛺) + 13𝑉 = 0 −𝐼1(1𝛺) − 𝐼3(1𝛺) + 𝐼2(1𝛺) = 0 Temos um sistema com três equações envolvendo três incógnitas. Este sistema pode ser resolvido por diversos métodos. Um procedimento direto consiste em explicitar I2 da terceira equação, obtendo-se 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3. A seguir eliminamos I2 substituindo essa expressão nas duas primeiras equações, obtendo as seguintes: 13𝑉 = 𝐼1(2𝛺) − 𝐼3(1𝛺) 13𝑉 = 𝐼1(3𝛺) + 𝐼3(5𝛺) Se multiplicarmos a primeira equação por 5 e somarmos membro a membro com a segunda equação, obteremos: 78 𝑉 = 𝐼1(13𝛺) 𝑰𝟏 = 𝟔 𝑨 Substituindo o resultado anterior na equação13𝑉 = 𝐼1(2𝛺) − 𝐼3(1𝛺), obteremos que 𝑰𝟑 = −𝟏 𝑨. E finalmente, pela equação −𝐼1(1𝛺) − 𝐼3(1𝛺) + 𝐼2(1𝛺) = 0, achamos 𝑰𝟐 = 𝟓 𝑨. A corrente total do circuito equivalente é igual a I1+I2=11 A e a queda de potencial através do resistor equivalente é dada pela FEM da bateria, ou seja, 13 V. Portanto, a resistência equivalente do circuito é: 𝑅𝑒𝑞 = 13 𝑉 11 𝐴 = 𝟏, 𝟐 𝜴
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