Precalculo-Aula9-NOVA

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Potências de números reais
MÓDULO 1 - AULA 9
Potências de números reais
Objetivos
• Definir a raizn-ésima de um número real.
• Definir potências racionais de números reais.
• Definir potências reais de números reais não-negativos e apresentar as suas
propriedades.
• Estudar expressões algébricas envolvendo potências de números reais.
Certamente você conhece e manipula com familiaridade muitos dos concei-
tos que abordaremos a seguir.
O objetivo fundamental é entender o significado de uma expressão da forma
ra, onder ea são números reais.
Lembre que...
rn = r · . . . · r| {z }
n fatores
, n > 0 ;
rn = r−1 · . . . · r−1| {z }
−n fatores
, sendo
n < 0 , r 6= 0 ;
r0 = 1 , r 6= 0 .
A partir das propriedades básicas da multiplicação, você pode compreender
perfeitamente expressões do tiporn, onder é um número real en é um número
inteiro não-nulo.
Começamos abordando o caso em que o expoente é um número racional
para depois, por meio de aproximações e de maneira simbólica, tratar o caso mais
geral em que o expoente é um número real.
Potências de expoente racional.
Nas aulas anteriores falamos da raiz quadrada de números naturais. Vimos
que o número não-negativo que, elevado ao quadrado é igual a2, não é um número
racional.
Similarmente42 = 16, logo
√
16 = 4.
Agora, tente determinar o número reals, necessariamente não-negativo e
que, elevado ao cubo, é igual a16.
Verifique que
1, 25992 < 3
√
2 < 1.25993 .
Como23 = 8 < 16 < 27 = 33, o números está entre2 e 3 e pode ser
determinado, aproximadamente, utilizando um raciocínio análogo àquele usado
para
√
2 , na Aula 7.
O números é chamado deraiz cúbicade16 e se designa por3
√
16. Isto é,
s3 =
(
3
√
16
)3
= 16.
Estas idéias são generalizadas na seguinte definição.
95 CEDERJ
Potências de números reais
Definição 1 (Raízes n-ésimas)
Ser é um número real não-negativoen é um inteiro positivo, designamos porn
√
r
ou r1/n o número real não-negativocujan-ésima potência é igual ar. Isto é,(
n
√
r
)n
=
(
r1/n
)n
= r
Ser é um número real qualquer en é um inteiro positivo ímpar, n
√
r (ou
r1/n) é o número real, cujan-ésima potência é igual ar.
Na expressãon
√
r daraiz n-ésima der, o númeror é chamado oradicando,
o símbolo√ é chamado oradical e o númeron é chamado oíndiceda raiz.
Quandon = 2, escrevemos
√
r em vez de 2
√
r.
Veja os seguintes exemplos e observe que, quandon é um inteiro ímpare
r ∈ R , o númeron
√
r tem o mesmo sinal quer.
Exemplo 1
a. 4
√
16 = 161/4 = 2, pois24 = 16.
b. A raiz quadrada de−3 não é um número real, pois o índice é um inteiro par e
o radicando não é um número real não-negativo.
c. 3
√
−27 = (−27)1/3 = −3, pois(−3)3 = −27.
Cuidado!
Note que22 = 4 e que também(−2)2 = (−1)222 = 4. Mas,por definição,
a raiz quadrada de um número não-negativoé um número não-negativo. Neste
caso,
√
4 = 2 e não−2!
Combinando os conceitos de raizn-ésima e potência de expoente inteiro,
definimos as potências com expoente racional:
Definição 2 (Potências de expoente racional)
Se m
n
∈ Q, com n > 0, e r é um número realpositivo, escrevemosrm/n para
designar a raizn-ésima derm:
rm/n = n
√
rm = (rm)1/n , r > 0
Além disso, quandom, n ∈ Z, m > 0 e n > 0, definimos0mn = 0. Quais-
quer outras potências de0 de expoente racional não estão definidas.
As propriedades e as regras para o cálculo com potências de expoente ra-
cional são as mesmas que enunciamos para o caso de expoentes inteiros. Em
particular, ser > 0, temos
n
√
rm = rm/n = (rm)1/n =
(
r1/n
)m
= ( n
√
r)
m
.
CEDERJ 96
Potências de números reais
MÓDULO 1 - AULA 9
Potências reais de expoente real.
Qual o significado da expressãoxa quandox ea são números reais?
Bem, você já deve estar esperando uma resposta baseada em aproximações
de números reais por números racionais.
Sex é um número real positivo ea é um número irracional, o númeroxa
é aproximadamente igual asr, onder ∈ Q é uma aproximação racional dea e
s ∈ Q é uma aproximação racional dex.
A exatidão da definição dexa depende da exatidão das aproximações des
parax e der paraa.
Mesmo assim, como o cálculo dexa é feito aproximadamente com potências
de expoente racional, continuam válidas todas as propriedades já conhecidas.
Propriedades das potências de expoente real.
i. x0 = 1 para todo número realx positivo.
ii. 0a = 0 para todo número real positivoa .
iii. 1a = 1 para todo número reala .
iv. Sea, x ∈ R exa = 1, então ocorre apenas uma das alternativas:
• x = 1 ; • x > 0, x 6= 1 ea = 0 ; • x = −1 ea é um inteiro par.
v. Sea, x ∈ R ex > 0, entãoxa > 0 .
vi. Sex, y, a, b ∈ R , comx ey positivos, então:
xa+b = xa · xb , (x · y)a = xa · ya , (xa)b = xab .
vii. Sex, y, a ∈ R com0 < x < y ea > 0, então0 < xa < ya.
Estas propriedades permitem a manipulação simbólica das potências e raí-
zes em sua maior generalidade.
Veja os seguintes exemplos com muita atenção:
Exemplo 2
a. 3
√
272 = 272/3 =
(
271/3
)2
= 32 = 9.
b. Como21.168 = 24 × 33 × 72, temos:
3
√
21.168 = 3
√
24 × 33 × 72 = (24 × 33 × 72)1/3
= 24/3 × 33/3 × 72/3 = 2× 21/3 × 3× 72/3
= 6× (2× 72)1/3 = 6× 981/3 = 6 3
√
98 .
c. 3
√(
3
4
)4
=
(
3
4
)4/3
=
(
3
4
)1+1/3
=
3
4
· 3
1/3
41/3
=
3 3
√
3
4 3
√
4
.
Tal número pode ser escrito de uma forma esteticamente mais simples, multipli-
cando e dividindo por3
√
42. Isto é, multiplicando por1 =
3
√
42
3
√
42
. Veja:
97 CEDERJ
Potências de números reais
3
√(
3
4
)4
=
3 3
√
3
4 3
√
4
·
3
√
42
3
√
42
=
3 3
√
3 3
√
42
4 3
√
4 3
√
42
=
3 3
√
3× 42
4 3
√
4× 42
=
3 3
√
3× 16
4 3
√
43
=
3 3
√
48
4× 4
=
3 3
√
48
16
.
Esse processo é chamadoracionalização, pois o seu objetivo é converter o deno-
minador, dado em termos de raízes, numa expressão sem raízes.
Exemplo 3
Racionalizando expressões do tipo
a√
b +
√
c
ou
a√
b−
√
c
, comb, c ≥ 0 e b 6= c.
As raízes nos denominadores destas expressões podem ser eliminadas fazendo uso
da identidade:
(
√
b +
√
c)(
√
b−
√
c) = b− c
Por exemplo, vejamos como racionalizar a expressão
4√
7−
√
3
:
4√
7−
√
3
=
4√
7−
√
3
· 1 = 4√
7−
√
3
·
√
7 +
√
3√
7 +
√
3
=
4(
√
7 +
√
3)
(
√
7−
√
3)(
√
7 +
√
3)
=
4(
√
7 +
√
3)
7− 3
=
4(
√
7 +
√
3)
4
=
√
7 +
√
3 .
O argumento geral é feito de maneira análoga:
a√
b +
√
c
=
a√
b +
√
c
·
√
b−
√
c√
b−
√
c
=
a(
√
b−
√
c)
(
√
b +
√
c)(
√
b−
√
c)
=
a(
√
b−
√
c)
b− c
.
a√
b−
√
c
=
a√
b−
√
c
·
√
b +
√
c√
b +
√
c
=
a(
√
b +
√
c)
(
√
b−
√
c)(
√
b +
√
c)
=
a(
√
b +
√
c)
b− c
.
Por exemplo:
a.
3
√
4√
3 +
√
5
=
3
√
4(
√
3−
√
5)
3− 5
=
3
√
4(
√
3−
√
5)
−2
=
3
√
4(
√
5−
√
3)
2
.
b.
2
3−
√
2
=
2(3 +
√
2)
9− 2
=
2(3 +
√
2)
7
.
Exemplo 4
Sex é um número real positivo, como simplificar a expressão3
√(√
(x2/3)5/4
)8
?
Solução:Com muito cuidado! Preste atenção!
3
√(√
(x2/3)5/4
)8
=
(((
(x2/3)5/4
)1/2)8)1/3
= x
2
3
· 5
4
· 1
2
·8· 1
3
= x
24·5
23·32 = x
2·5
32 = x
10
9 = x
9+1
9 = x1+
1
9 = x · x 19 = x · 9
√
x .
Exemplo 5
Verifiquemos que, para todom
n
∈ Q, n > 0, vale1m/n = 1.
Solução:Com efeito,1m/n = (1m)1/n = 11/n = 1.
Como todo número realx pode ser aproximado por frações com graus arbitrários
de precisão, obtemos a propriedade (iii) que enunciamos antes:
CEDERJ 98
Potências de números reais
MÓDULO 1 - AULA 9
1x = 1, para todox ∈ R .
Exemplo 6
Que valores podemos dar ax para que3
√
x2 + 1
x2 − 1
seja um número real?
Solução: Segundo a definição da raizn-ésima de um número real, para que a
expressão proposta seja um número real, basta que o radicando
x2 + 1
x2 − 1
seja um
número real. Para isto acontecer, o númerox2 − 1 deve ser diferente de zero.
Comox2 − 1 = (x− 1)(x + 1), a equaçãox2 − 1 = 0 equivale a:
x− 1 = 0 ou x + 1 = 0.
Isto é: x = 1 ou x = −1.
Portanto,x2 − 1 6= 0 para todo número realx diferente de1 e−1.
Conclusão: 3
√
x2 + 1
x2 − 1
é um número real para todo número realx diferente de1 e
−1. Isto é,
3
√
x2 + 1
x2 − 1
∈ R ⇐⇒ x ∈ R− {1,−1} .
Observação importante.
Sejamx um número real er um número realpositivo,então:
rx = 1 com r > 0 se, e somente se,r = 1 ou x = 0
Esta relação é muito importante e será de grande utilidade na resolução de
diversas equações em que a variável aparece no expoente de expressões.
A validade da afirmação acima se verifica da seguinte maneira:
• ser = 1, entãorx = 1x = 1, pela propriedade (iii) .
• sex = 0, entãorx = r0 = 1, pela propriedade (i), poisr > 0.
Reciprocamente, vejamos que, serx = 1, entãor = 1 oux = 0.
• Serx = 1 ex 6= 0, o númerox−1 é um número real diferente de zero. Ele-
vando ambos os lados da igualdaderx = 1 ao expoentex−1, obtemos a igualdade
equivalente:(rx)x
−1
= 1x
−1
.
Como1x
−1
= 1 pela propriedade (iii), e(rx)x
−1
= rx·x
−1
= r1 = r, pela
propriedade (vi), concluímos que:r = 1 .
• Agora, serx = 1 e r > 0 é diferente de1, devemos analisar os casos:
r > 1 ou 0 < r < 1 .
Caso r > 1: sex > 0, usando as propriedades (vii) e (iii), temos1 = rx >
1x = 1, um absurdo. Logo,x não pode ser positivo.
Sex < 0, então−x > 0 e usando as propriedades (vii) e (iii), vemos que
r−x > 1−x = 1.
99 CEDERJ
Potências de números reais
Comor−x = 1
rx
= 1
1
= 1, chegamos ao absurdo1 = r−x > 1.
Portanto,x não pode ser negativo.
Assim, a única alternativa que resta ax é a de ser igual a zero.
Caso 0 < r < 1: sex > 0, então1 = rx < 1x = 1, em virtude das
propriedades (vii) e (iii). Logo,x não pode ser positivo.
Sex < 0, então−x > 0. Usando de novo (vii), (iii) er−x = 1
rx
= 1
1
= 1,
obtemos1 = r−x < 1−x = 1. Desse absurdo, vemos quex não pode ser um
número negativo.
Logo, para querx seja igual a1, a única alternativa para o númerox éx = 0,
finalizando assim o nosso argumento.
Resumindo: Ser, x ∈ R e r > 0, então:
rx = 1 comr > 0 se, e somente se,r = 1 oux = 0 .
Exemplo 7
Determinemos as soluçõesx da equação(
x2 +
1
2
)x3−4
= 1 .
Solução:Como a base da potência é positiva, a identidade vale se, e somente se,
x2 + 1
2
= 1 oux3 − 4 = 0.
A identidadex2 + 1
2
= 1 equivale ax2 = 1
2
, ou seja,x =
√
2
2
oux = −
√
2
2
.
Além disso,x3 − 4 = 0 se, e somente se,x = 3
√
4.
Portanto, as soluções da equação proposta sãox =
√
2
2
oux = −
√
2
2
oux = 3
√
4.
Exemplo 8
Para quais valores dex > 0 vale a identidadexx = 1?
Solução:Sabemos que a identidade vale quando a basex é igual a1 ou o expoente
x é igual a zero com a base positiva.
Portanto,x > 0 exx = 1 apenas quandox = 1.
Exemplo 9
Para quais valoresx ∈ R, x > −1, vale que(x + 1)x−1 = 1 ?
Solução:Comox > −1, a basex + 1 é positiva. Logo, a igualdade é verificada
se, e somente se, a basex + 1 é igual a1 ou o expoentex − 1 é igual a zero. Ou
seja se, e somente se,
x + 1 = 1 ou x− 1 = 0.
Portanto, temos duas soluções:x = 0 ou x = 1.
CEDERJ 100
Potências de números reais
MÓDULO 1 - AULA 9
Exemplo 10
Determinemos as soluções no intervalo(−∞, 9
2
) da equação:
(9− 2x)
1−x
1+x − 1 = 0.
Solução:Observamos que a equação equivale a(9 − 2x)
1−x
1+x = 1. Comox < 9
2
,
temos9− 2x > 0, então devemos ter9− 2x = 1 ou 1−x
1+x
= 0.
A igualdade9− 2x = 1 equivale a9− 2x+2x− 1 = 1+2x− 1, ou seja,8 = 2x
e, portanto,x = 4.
A expressão1−x
1+x
é igual a zero se, e somente se, o numerador é igual a zero,
sendo o denominador não-nulo. Ou seja,1 − x = 0, logo x = 1. Note que
9− 2× 1 = 7 6= 0.
Portanto, as soluções da nossa equação sãox = 4 ou x = 1, ambas contidas no
intervalo(−∞, 9
2
).
A moral do exemplo é:nem toda equação de cara feia morde.
Resumo
Definimos raízesn-ésimas de números reais, potências de expoente racio-
nal de números reais não-negativos, potências de expoente real de números reais
positivos e suas propriedades. Resolvemos expressões algébricas envolvendo po-
tências.
Exercícios
1. Fatorando os radicandos e usando as propriedades das potências, simplifi-
que:
a.
√
27 , b.
√
640 , c.
√
52 × 12 , d. 4
√
128 ,
e. 3
√
250 , f. 5
√
−1024 , g. 3
√
−640 .
2. Verifique que as seguintes igualdades são verdadeiras:
a. 1√
2
=
√
2
2 , b.
3
4√2
= 3
4√8
2 , c.
2
3
√
2−1 =
6
√
2+2
17 .
3. O número 2√
5−
√
3
− 23√2 é igual a:
a.
√
5 +
√
3 + 3
√
4 , b.
√
5 +
√
3− 3
√
2 , c.
√
5−
√
3 + 3
√
2 .
d.
√
5 +
√
3− 3
√
4 , e.
√
5−
√
3− 3
√
4 .
4. Sea, b ec são números reais diferentes de zero, diga quais sentenças abaixo
são verdadeiras. Justifique a sua resposta.
101 CEDERJ
Potências de números reais
a. Sea < b, entãoa2 < b2 .
b. Sea < b, entãoac < bc .
c. Sea2 = b2, entãoa = b oua = −b .
d.
√
a2 + b2 = a + b .
e.
√
a2 + b2 ≥ a .
5. Determine os números reaisx para os quais as expressões abaixo estão de-
finidas, isto é, determinam números reais:
a.
√
2x , b. 3
√
x− 1 , c. 6
√
x+1
x−1 ,
d.
√
3
√
x− 8 , e.
√
3
√
2− x2 .
6. Determine o valor dex em cada uma das identidades abaixo:
a. 35x+4 = 1 , b. (x2 + 1)x−1 = 1 , c. 9x−1 = 3x+1 ,
d. (x2 + 4)x
2+x = 1 , e. [(0, 1)x−1]x
−1
= [0, 01]x
−1
, f. 3x
2−x−1 = 1 .
7. a. Ser é um número positivo diferente de1, investigue a existência de um
número realx que satisfaça a identidade:
rx
−2
= r
x
3 .
b. Sabendo quer 6= s, r > 0 es > 0, calcule o valor dex na identidade:(r
s
)x
=
(s
r
)x2−6
.
8. Verifique a seguinte tabela de desigualdades e elabore exemplos para cada
possibilidade:
0 < r < 1 r > 1
s > 1 rs < r rs > r
s < 1 rs > r rs < r
9. Verifique que existem exatamente1.273 valores possíveis para o inteiron
de modo que:
1
1000
<
√
2
n
<
1
100
.
10. Desafio:
a. Verifique que os números a seguir estão entre 0 e 2:
√
2 ,
√
2
√
2 ,
√
2
√
2
√
2 ,
√
2
√
2
√
2
√
2 , . . .
b. Ache o valor de: √√√√
2
√
2
√
2
√
2
√
2
√
2 · · · .
CEDERJ 102
Potências de números reais
MÓDULO 1 - AULA 9
Auto-avaliação
Para resolver o exercício 1, você deve combinar a fatoração dos números
inteiros em produto de números primos com as propriedades das raízesn-ésimas;
para resolver o exercício 3, racionalize a primeira parcela e a segunda; para resol-
ver o exercício 5 , você tem que saber as definições de raiz quadrada, raiz cúbica
e raiz sexta, e deve escrever e solucionar uma desigualdade conveniente em cada
item; o exercício 6 trabalha as propriedades de potências e o exercício 4 é concei-
tual. Conseguiu fazê-los, com as observações acima? Se tiver alguma dúvida, fale
conosco, o mais rápido possível.
103 CEDERJ
	Potências de números reais