LÓGICA

Prévia do material em texto

LÓGICA e MATEMATICA
Toda declaração (oração) a qual é possível valorar com sentido completo. Obrigatório verbo
A declaração pode ser verdadeira ou falsa, mas precisa ter sentido completo
Não são proposições logicas:
1. Exclamativas – “que belo dia!” “parabéns!”
2. Interrogativas – “hoje vai chover?”
3. Sem verbo – “o trabalho dos peritos”
4. Imperativo (ordem) – “abra a porta”
5. Sentença aberta – Ele é o melhor pintor da cidade (quem é ele?) 
6. Paradoxo – “a frase dentro dessas aspas é falsa” sentido contrário, quando da nó na cabeça
Sentenças abertas
Palavras com sentido indefinido - ele/ela, aquele/aquela. – “Ele é um ótimo cantor”
Letra não quantificada. – x é um número par (não é proposição). “existe x, tal que x é par” (proposição, já que me diz o valor da letra)
Proposições logicas simples
· Não há conectivos lógicos
· Não tem outra proposição na sua estrutura 
· Pode haver verbo principal e verbo auxiliar 
· Geralmente nesses casos, quem manda é o primeiro verbo “acredito que você será aprovado”
Proposições compostas
Quando há duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos lógicos. 
Conectivos:
E => ^ (conjunção)
OU => v (disjunção)
OU OU => v (disjunção exclusiva)
SE E SOMENTE SE => ↔ (bicondicional)
SE ENTÃO => → (condicional)
~P – negação/ nega o P
Ex: se então: P → (Q v R) = se Joao pula alto, então maria corre devagar ou Claudio fica parado 
SINÔNIMOS DOS CONECTIVOS LÓGICOS: 
Conectivo “E” usando “MAS”
Ex: joao dança, mas corre = joao dança e corre
Conectivo E usando NEM = joao não dança nem corre (nem = e+ não) = joao não dança e não corre
Conectivo OU OU usando “MAS NÃO AMBOS” = joao dança ou corre, mas não ambos = ou joao dança ou corre
Conectivo OU OU usando “Nunca os dois” = joao dança ou corre, nunca os dois 
Conectivo SE SOMENTE SE usando ASSIM COMO = vou à praia assim como vou ao cinema 
Conectivo SE SOMENTE SE usando DA MESMA FORMA = danço da mesma forma que corro 
Conectivo SE SOMENTE SE usando CONDIÇÃO SUFICIENTE E CONDIÇÃO NECESSÁRIA =
Estudar é condição suficiente e necessária para ser aprovado
SE ENTAO = COM VIRGULA: se estudo, passo
SE ENTAO = COM COMO: como estudo, passo
SE ENTAO = COM QUANDO, quando estudo, passo
SE ENTAO = SEMPRE QUE: sempre que estudo, passo
SE ENTAO = CONSEQUETEMENTE: estudo, consequentemente passo
SE ENTAO = LOGO: estudo, logo passo
SE ENTAO = POIS: passo pois estudo (inverte)
SE ENTAO = PORQUE passo porque estudo (inverte)
SE ENTAO = É UMA CONSEQUENCIA DE: passar é uma consequência de estudos
SE ENTAO = CONDIÇÃO SUFICIENTE: estudar é condição suficiente para passar 
SE ENTAO = CONDIÇÃO NECCESSÁRIA: passar é condição necessária para estudar
SE ENTAO = TODO: todos que estudam, passam 
SE A, ENTAO B = pode ter uma condição necessária e uma condição suficiente na mesma, porém, muda-se a ordem. 
Tabela Verdade (sempre colocar 2n e n vai ser o número de proposições simples)
P v Q = 2² = 2.2 = 4 linhas 
P -> (Q v R) = 2³ = 2.2.2 = 8 linhas
R -> (P v ~R) = 2² = 2.2 = 4 linhas (R e não R são as mesmas, então não conta)
Sempre agrupa a metade do numero de linhas na primeira coluna e o restante metade da metade. Se são 4 linhas, então no P serão dois V juntos e na Q metade, ou seja 1 em 1. 
Tabela Verdade do Modificador NÃO
~P 
O que é falso se torna verdade e o que for verdade se torna falso
~(~p) = p anula os dois modificadores: ~(v)=F 	~(f)=V
Tabela verdade de conjunção “e”: P^Q
Para o conectivo E apenas 100% verdade é verdade 
Tabela verdade da disjunção inclusiva “ou” PvQ
O conectivo ou te da verdade quando for pelo menos UMA verdade. 
Tabela verdade da disjunção exclusiva “ou...ou”: PṿQ
Quando valores lógicos forem diferentes é verdade
Bicondicional “se somente se” P↔Q
Quando os valores lógicos forem iguais resulta em verdade
Condicional “se então” P->Q
Se VAI FICAR FALSO, começa com verdade na primeira coluna e fica falso
Tautologia: 100% verdade, sempre será verdade. 
Contradição: quando for 100% falso
PÓS EDITAL
Progressão aritmética (P.A) 
Razão (r) = numero constante = segundo termo menos o primeiro
Ex: a1, a2, a3, a4 = 2, 4, 6, 8
R = a2 – a1 
R = 2
Termo geral da P.A (encontro qualquer posição na progressão)
An =A1 + (n-1) * r
A10 = 2 + (10-1) * 2 (nesse exemplo quero saber qual numero está na posição a10)
A10 = 2 + 9*2
A10 = 20
Se quiser somar os termos da P.A
Sn = (a1 + na) * n / 2
S10 =(a1 + a10) * 10 / 2
S10 = (2+20) * 5
S10 = 22 * 5 = 110
Progressão geométrica (P.G)
Razão = q
Q = a2/a1 = a5/a4
Ex: pg(3, 9, 27, 81...)
Q = a3/a2 = 27/9 = 3
Termo geral: 
An = a1 * q(n-1)
A6 = a1 * q (6-1)
A6 = 3¹*35
A6 = 36
= 729
Somar termos:
Finita: sn = a1*(1-qn)/1-q (quando a razão for menor que 1)
Sn = a1 (qn – 1) / q-1 (quando for maior que 1)
Infinita: s∞= a1/1-q
PRINCIPIOS FUNDAMENTAIS DA LOGICA:
Identidade: se é verdadeira, será somente verdadeira
Terceiro excluído: apenas V OU F, nunca um terceiro valor, como talvez.
Não contradição: nunca será V E F ao mesmo tempo.
PROPOSIÇÕES LÓGICAS:
toda declaração que pode ser V ou F com sentido completo. Obrigatório ter verbo. 
Uma proposição lógica tem sentido fechado/sentença, sendo assim, tem o sujeito e o verbo, como: Paulo é jogador de futebol 
Ele será aprovado não é proposição, porque não sei quem será aprovado, portanto não sei dizer se é verdadeira ou falsa. Trata-se de uma sentença aberta.
Oração = sujeito bem definido + verbo + predicado
Contingencia: resultado misto – falsa e verdade ao mesmo tempo
Equivalência da conjunção: conectivo “e” equivalência troca o p pelo q. p^q q^p
Equivalencia da disjunção inclusiva: conectivo “ou” PvQ Q v P – comutatividade P v Q ~P->Q – negando a primeira proposição e repete a segunda para poder usar o conectivo se então) SE NEGA, ENTÃO REPETE
Disjunção exclusiva: “ou ou” pode aparecer comutatividade “nunca ambos” “não os dois” – é equivalente ao “ou ou” e não ou comum 
Bicondicional: “se somente se”: comutatividade basta trocar os lados. Outra forma equivalente é usar (p->q)^(q->p)
Negação de proposições simples: modificação verbal, o que é verdadeiro fica falso e vice versa.
Mudar o verbo principal. 
Negação da conjunção: existem algumas opções, a primeira é trocar por ou a conjunção e negar as duas.
A segunda é trocar por se então e negar a segunda
A terceira é inverter, trocar por se então e negar a segunda (p)
Negação da disjunção: “ou” troca por “e” e nega os dois 
TUDO PRA SER LOGICA, PRECISA BATER OS CIRCULADOS
Negação da disjunção exclusiva “ou ou”: tradicional só troca por “se somente se” ou então nega os dois e coloca “se somente se”
Negação bicondicional: “se somente se” troca por “ou ou” da forma tradicional, mas existem outras. 
Condicional: REPETE E NEGA 
Todo A é B (universal afirmativo) quem vem primeiro ta dentro de quem vem depois. 
Todo A é B não significa que todo B é A
Todo = se então
Todo A é B = Se A, então B
Nenhum A é B (universal negativo)
Algum A é B (particular afirmativo)
Algum médico é policial 
Algum A não é B (particular negativo)
Equivalência de quantificadores lógicos:
Todo -> nenhum 
Todo a é b nenhum A não é B
Resposta: Nenhum aluno não será aprovado no concurso
Nenhum -> todo
Nenhum A é B Todo A não é B
Resposta: todo musico não sabe tocar trompete. 
Sinonimos dos qualificadores
NEGAÇÃO DE QUALIFICADORES
Universal: quando for negar sempre usa o particular
Particular: quando for negar sempre usa o universal
Verbo Afirmativo: verbo negativo 
Verbo negativo: verbo positivo
Nunca vai negar “todo” com “nenhum”
Todo: (universal +) => pelo menos; existe; algum. Tendo a particular negativa (+não)
Nenhum: pelo menos; existe; algum. Particular positiva
Quando negar o PEA usa nenhum ou todo. 
Argumentos: reunião de proposições que resultam em uma conclusão lógica. 
Proposições = premissas.
Resultado = conclusão lógica
Primeiro passo é ver se tem a reunião de premissas, se tiver apenas uma proposição lógica, não tem argumento. 
Objetivo das questões de argumentos: 
1- Verificar se os argumentos são validos ou não 
2- Achar a conclusão mais apropriada para determinado conjunto de premissas/proposições3- Identificar o tipo de argumento empregado na questão 
Ao ver uma questão, preciso ver se tem argumento, identificar qual o tipo de argumento
Representação de um argumento:
· Forma simbólica: P1; P2; P3;...;Pn Ͱ C
· Forma padronizada:
“logo” remete a conclusão lógica
Tipos de argumento
· Argumento dedutivo: quando a conclusão está explicita nas premissas
parte de informações gerais para chegar em uma conclusão particular 
· Argumento indutivo: é quando a conclusão traz mais informações do que as premissas já fornecem 
Parte de uma informação particular para chegar a uma conclusão geral.
 
· Argumentos categóricos:
Quantificadores lógicos (todo, nenhum, algum, algum + não.
· Argumentos hipotéticos
Conectivos lógicos – condicional (se então) 
Validade de argumentos 
Considerar que todas as premissas são verdadeiras. 
Ex: 
P1: todo mamífero tem asas
P2: o gato é um mamífero 
C: logo, o gato tem asas
Mesmo sabendo que não é verdade na vida real, na logica as premissas são verdadeiras, portanto, a conclusão é verdadeira. 
Validos ou bem construído: será considerado valido quando a sua conclusão é for uma consequência obrigatória das suas premissas
ex: todos os meninos são rápidos.
Nenhuma pessoa rápida é alta
Logo, nenhum menino é alto. 
A conclusão é consequencia obrigatória das premissas, portanto, é valido
Invalido ou mal construído / sofismo: quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão 
ex: todo medico fala inglês
Sara fala inglês 
Logo, sara é medica 
Pode ou não ser verdade, porque nesse caso ela pode ser qualquer outra coisa e também pode ser medica, então não da pra garantir com 100% de certeza. 
Nesse caso, eu sei que Pedro é nutricionista, mas o fato de ser verdade que Pedro é nutricionista, não precisa cuidar da saúde, na segunda premissa é um argumento desprezível, portanto não posso afirmar que a conclusão é verdadeira. 
Método da conclusão falsa: deixo primeiro a conclusão falsa, se as duas premissas forem verdadeiras, então o argumento é invalido. Mas caso a colocando a conclusão falsa, e uma parte ficando falsa, deixando o padrão v -> f então não consegui deixar o argumento invalido 
Bizu
Conclusões de argumentos
· Valoração com conectivos lógicos 
Pontos de partida: 
· Tudo V – começa pela proposição simples, com conectivo E
· A partir disso, começa a valorar todo o argumento 
· Há valor falso, quando a questão me dá o valor – se então sendo falso (v -> f = f), ou conectivo ou (F v F = F)
Quando a questão não te der valoração logica, é tudo verdade. Coloca tudo verdade na frente das premissas
REGRAS DE INFERENCIA 
Modus ponens (afirmação do antecedente) 
P1: se p, então q
P2: p
C: q 
Ex: se o prédio está fechado, então o porteiro dormiu.
O prédio está fechado 
Logo, o porteiro dormiu 
Modus tollens (negação do consequente) 
P1: se p, então q
P2: não q
C: não p 
Se valeria estuda, então fica em casa
Ela não fica em casa
Logo, valeria não estuda. 
Dilema construtivo: afirma a disjunção
condicional
condicional
disjunção
-
Disjunção
P -> q 
E -> s 
P v R
-
Q v S
Dilema destrutivo: nega a disjunção 
Silogismos: um tipo de argumento formado por duas premissas e uma conclusão. 
P1: todo animal é vesgo
P2: o gato é um animal
C: o gato é vesgo
Silogismo categórico: quantificadores lógicos 
Todo A é B
Todo B é C
Logo, todo A é C
Quantificador “todo” duas premissas e uma conclusão lógica 
Dica: 
Silogismo hipotético: dica é cortar os iguais, nesse caso foi o B
Se A, então B
Se B, então C
Logo, se A, então C
-
Se não A, então B. 	 se não B, então A (com isso eu corto o “se A”, e sobra se não b, então C)
Se A, então C
Logo, se não B, então C
Se a, então B
Se D, então C
Se B, então D
Se A, então D
Se D, então C
Se A, então C
Vai cortando os iguais, agrupando duas a duas 
Estrutura do silogismo: 3 termos diferentes
1- Termo maior: encontrado na premissa maior e na conclusão
2- Termo menor: encontrado na premissa menor e na conclusão
3- Termo médio: encontrado nas duas premissas, mas nunca na conclusão (termo repetido) 
· Tirando o termo médio, o que sobra é a resposta 
Regras do silogismo 
1. Todo silogismo contém apenas 3 termos (maior/menor/médio)
2. Os termos da conclusão não podem ser maiores do que os termos das premissas.
3. O termo médio não pode aparecer na conclusão 
4. O termo médio deve ser universal ao menos uma vez
5. De duas premissas negativas, nada se conclui 
6. de duas premissas afirmativas, não pode haver conclusão negativa 
7. a conclusão segue a premissa mais fraca
8. de duas premissas particulares, nada se conclui