Apostila de Lógica

Prévia do material em texto

Apostila:
INTRODUÇÃO À LÓGICA
COMPUTACIONAL,
LÓGICA MATEMÁTICA
E
TEORIA DOS CONJUNTOS
Organizado e Ajustado por:
Felipe de Oliveira Lima
Fortaleza (CE)
2020
APRESENTAÇÃO
O pricipal objetivo desta apostila é complementar os conteúdos lecionados em sala de
aula, para completar o livro de Matemática adotado pela escola. Entretanto, será um prazer ter
essa apostila compartilhada para difundir os conteúdos nela presentes.
Além disso, indico fortemente a leitura dessa apostila, não só para meus alunos, mas para
qualquer pessoa que queira melhorar e formalizar seu raciocínio lógico, melhorar sua
argumentação ou que queira simplesmente fazer uma revisão completa sobre os principais
assuntos de questões de concursos públicos.
Tudo o que está escrito aqui não é 100% autoral, mas tive o cuidado de pegar as
melhores apostilas e livros que encontrei na Internet e melhorá-los ainda mais! Organizei os
conteúdos do meu jeito, para satisfazer meu cronograma letivo. Também mudei alguns textos
para satisfazer à minha didática e maneira que ensino.
RESUMO
Os conteúdos aqui presentes foram divididos em três unidades.
Na primeira unidade, com o título: “Introdução à Lógica Computacional”, veremos os
principais assuntos de Lógica Proposicional, pré-requisitos em concursos e no curso de
computação. Veremos os que são sentenças e proposições, bem como a famigerada
Tabela-Verdade.
Na segunda unidade, intitulada: “Lógica Matemática”, daremos seguimento aos
conteúdos da primeira unidade, porém focando mais em símbolos gráficos e em silogismos
(argumentação básica para provas matemáticas). Nessa unidade, aproveitando temas
relacionados, trago um apanhado de Falácias e Sofismas. Acredito muito que precisamos
aprender esses conteúdos, dada a grande quantidade de desinformação disponível nessa
Internet, principalmente em canais no Youtube.
Na terceira e última unidade, “Teoria dos Conjuntos”, continuo os conteúdos de lógica,
sob a perspectiva de conjuntos, além de definir tudo detalhadamente. Nessa unidade, em vez
de trazer a definição comum de conjuntos numéricos, decidi colocar um texto meu adaptado
de meu TCC de forma bem resumida. Também falamos de funções, mas sem aprofundar, para
não fugir muito do tema central. Termino a unidade trabalhando com provas matemáticas,
para exemplificar uma aplicação extraordinária de tudo o que se aprendeu nas outras
unidades.
Boa leitura!
Palavras-chave: Lógica Computacional, Proposições Compostas, Problemas
Envolvendo Verdades e Mentiras, Lógica Matemática, Silogística Aristotélica, Paralogismos
e Sofismas, Proposições Associadas, Teoria dos Conjuntos, Operações entre Conjuntos,
Problemas envolvendo Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Funções, Provas Matemáticas.
SUMÁRIO
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO À LÓGICA COMPUTACIONAL................................ 5
1 Introdução......................................................................................................................... 6
2 Proposições Compostas.................................................................................................... 8
2.1 Conectivo “E”.................................................................................................................. 8
2.2 Conectivo “OU”...............................................................................................................11
2.3 Conectivo “OU... OU...”.................................................................................................. 13
2.4 Conectivo “Se..., então...”................................................................................................15
2.5 Conectivo “... se, e somente se, ...”..................................................................................19
2.6 Partícula “Não”................................................................................................................ 21
2.7 Negação de uma proposição composta............................................................................ 23
2.8 Tautologia, Contradição e Contingância..........................................................................26
3 Problemas Envolvendo Verdades e Mentiras................................................................ 30
4 Exercícios........................................................................................................................... 34
4.1 Problemas envolvendo Proposições.................................................................................34
4.2 Problemas envolvendo Tabelas-Verdade.........................................................................36
4.3 Problemas envolvendo Verdades e Mentiras...................................................................37
UNIDADE 2 - LÓGICA MATEMÁTICA.........................................................................39
1 Introdução......................................................................................................................... 40
2 Silogística Aristotélica...................................................................................................... 42
2.1 Silogismos........................................................................................................................42
2.2 Enunciados Categóricos...................................................................................................48
2.3 Negação de Enunciados Categóricos............................................................................... 51
2.4 Validade de um argumento usando uma Tabela-Verdade............................................... 52
2.5 Validade de um argumento usando Diagramas............................................................... 54
3 Paralogismos e Sofismas...................................................................................................56
3.1 Tipos de Falácias..............................................................................................................57
3.2 Estratagemas.................................................................................................................... 64
4 Proposições Associadas.....................................................................................................68
4.1 Problemas envolvendo Condicionais...............................................................................70
4.2 Equivalências Lógicas..................................................................................................... 71
5 Exercícios........................................................................................................................... 73
5.1 Problemas envolvendo Frases Categóricas......................................................................73
5.2 Problemas envolvendo Silogismos.................................................................................. 76
5.3 Problemas envolvendo Equivalências..............................................................................81
UNIDADE 3 - TEORIA DOS CONJUNTOS....................................................................85
1 Introdução......................................................................................................................... 86
1.1 Relações entre Conjuntos e Elementos............................................................................ 87
1.2 Conjuntos Especiais......................................................................................................... 92
1.3 Conjuntos como Elementos............................................................................................. 94
1.4 Exercícios.........................................................................................................................95
2 Operações entre Conjuntos..............................................................................................96
2.1 União................................................................................................................................96
2.2 Interseção.........................................................................................................................96
2.3 Diferença..........................................................................................................................97
2.4 Complementação..............................................................................................................98
2.5 Operações Avançadas...................................................................................................... 99
2.6 Propriedades.....................................................................................................................100
2.7 Exercícios.........................................................................................................................102
3 Problemas Envolvendo Conjuntos.................................................................................. 103
3.1 Número de Elementos do Conjunto União...................................................................... 103
3.2 Problemas Envolvendo Conjuntos...................................................................................104
3.3 Exercícios.........................................................................................................................108
4 Conjuntos Numéricos....................................................................................................... 109
4.1 Números Naturais............................................................................................................ 109
4.2 Números Inteiros..............................................................................................................109
4.3 Números Racionais.......................................................................................................... 110
4.4 Números Reais................................................................................................................. 111
4.5 Exercícios.........................................................................................................................113
5 Introdução ao Estudo de Funções................................................................................... 114
5.1 Representação Gráfica do Produto Cartesiano................................................................ 114
5.2 Relação.............................................................................................................................115
5.3 Domínio e Imagem de uma Relação................................................................................116
5.4 Função..............................................................................................................................117
5.5 Tipos de Função...............................................................................................................120
5.6 Exercícios.........................................................................................................................122
6 Provas Matemáticas..........................................................................................................123
6.1 Termos de uma Prova Matemática.................................................................................. 123
6.2 Tipos de Demonstração....................................................................................................124
6.3 Exercícios.........................................................................................................................128
CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................................. 129
REFERÊNCIAS...................................................................................................................130
ANEXO................................................................................................................................. 132
5
PRIMEIRA UNIDADE:
INTRODUÇÃO À LÓGICA
COMPUTACIONAL
6
1. Introdução
O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição. Proposição “vem de
propor” que significa submeter à apreciação, fazer uma proposta, requerer um juízo. Trata-se
de uma sentença declarativa – algo que será declarado por meio de termos, palavras ou
símbolos – e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso.
Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição cujo
valor lógico é verdadeiro.
Fica claro que quando falamos em valor lógico estaremos nos referindo a um dos dois
possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou
falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor
lógico.
Concluímos, pois, que...
 Sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
 Sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”
 Sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
...não serão estudadas. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser
imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são
representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, etc). São outros exemplos de proposições:
 p: Pedro é médico.
 q: 5 > 8
 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de
p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma
proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não?
7
Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito
fáceis de entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes:
1. Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da
identidade);
2. Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da
Não-Contradição);
3. Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.
(Princípio do Terceiro Excluído).
Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas
que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido.
Exemplos:
 Todo homem é mortal.
 O novo papa é argentino.
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só
sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:
 João é médico e Pedro é dentista.
 Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
 Ou Luís é baiano, ou é paulista.
 Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.
 Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar na loteria.
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Conectivos Lógicos são
expressões que servem para unir duas ou mais proposições. Estudaremos cada um deles a
seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para determinarmos se uma proposição composta é verdadeira ou falsa,
dependeremos de duas coisas:
1º) do valor lógico das proposições componentes;
2º) do tipo de conectivos que as une.
8
2. Proposições Compostas
2.1. Conectivo “E”:
(Conjunção)
Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas CONJUNÇÕES.
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença:
“Marcos é médico eMaria é estudante”
...poderemos representá-la apenas por: p∧q. onde: p = Marcos é médico e q = Maria é
estudante.
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma
conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também
verdadeiras. Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só
poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo
tempo, que Marcos é médico e queMaria é estudante.
Pensandopelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições
componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o
resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem
falsas.
Essas conclusões podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da
tabelaverdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Retomemos as nossas premissas: p =Marcos é médico e q = Maria é estudante.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico
eMaria é estudante) será também verdadeira. Teremos:
Se for verdade apenas queMarcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
9
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico,
teremos:
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:
Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora
disso não há outras! Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjunção, ou
seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”.
Teremos:
É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada
em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a
compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.
Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples
como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”. Ora,
pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o
pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá
sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também
verdadeiras!
Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q),
saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a
seguinte estrutura:
10
Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois (V) “vês”
seguidos de dois (F) “efes”. Assim:
Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas,
para a premissa q é diferente: “vês” (V) e “efes” (F) se alternando a cada linha, começando
com um V. Assim:
Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A
terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do
conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela
verdade:
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama,
a conjunção “p e q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q, teremos:
11
2.2. Conectivo “OU”:
(Disjunção)
Recebe o nome de DISJUNÇÃO toda proposição composta em que as partes estejam
unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto,
se temos a sentença:
“Marcos é médico ouMaria é estudante”
...então a representaremos por: p∨q.
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro!
Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola
OU te darei uma bicicleta”. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por
apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a
promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for rico e resolver dar os dois presentes?
Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida.
Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o
presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. Daí,
concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem
ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis
situações:
A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as
duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do q – são exatamente
iguais às da tabela-verdade da conjunção (p E q). Muda apenas a terceira coluna, que agora
representa um “ou”, a disjunção.
Um outro exemplo interessante é o do médico obstetra que era programador nas horas
livres. Esse médico foi fazer um parto para um casal que queria saber o sexo do bebê na hora
do nascimento. Como o pai da criança decidiu esperar do lado de fora, quando o médico saiu
12
da sala do parto, ele perguntou ansioso: “E aí, doutor, é menino ou menina?”. O médio, com
toda a calma do mundo, respondeu: “Sim!” e saiu. Sem entender, o marido correu para ver sua
esposa. Podemos dizer que o médico mentiu? Logicamente falando, sua resposta foi
satisfatória, porém não agradou ao pai, que deveria ter feito a pergunta de um jeito diferente,
que veremos mais à frente.
Outra coisa importante de se salientar é o porquê de usarmos a palavra “disjunção”. Na
Gramática, disjunção é o mesmo que juntar palavras sem conectivos gramaticais, usando uma
figura de linguagem chamada “assíndeto”; contudo, nessa matéria, consideremos disjunção
como sendo a composição de proposições cuja dependência é não-obrigatória, daí chamada
“disjunta”. Se ainda não ficou claro esse conceito, usando operadores de conjuntos, na
próxima parte desta Apostila, será mais fácil de entender.
Só uma pequena prévia: se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por
meio de um diagrama, a disjunção “p ou q” corresponderá à união do conjunto p com o
conjunto q:
13
2.3. Conectivo “OU... OU...”:
(Disjunção Exclusiva)
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que
acabamos de ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
“OU Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se
facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a
segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for
verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa,
ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes,
de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao
mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA,
pela presença dos dois conectivos “ou”, que determinam que uma sentença é
necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se
obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver
uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será
falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “⊻”. E a tabela-verdade será, pois, a
seguinte:
14
Lembra daquele exemplo do médico obstetra que era programador? Então, se o pai
tivesse perguntado para o médico desta forma: “E aí, doutor, ou é menino ou menina.”, o
médico seria obrigado a responder especificando o sexo da criança já que ficou clara a
disjunção exclusiva. Claro que, na vida real, quando o pai fez aquela primeira pergunta, já
deveria ficar claro que se tratava de uma disjunção exclusiva, não sendo necessário usar a
palavra “ou” duas vezes, contudo, para fins práticos, lembre-se da necessidade de uma a
estrutura “ou... ou...” para deixar claro esse tipo de disjunção.
Em conjuntos, a representaremos da seguinte forma:
15
2.4. Conectivo “Se..., então...”:
(Condicional)
Estamos agora falando de proposiçõescomo as que se seguem:
 Se Pedro é médico, então Maria é dentista.
 Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição.
Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.
 Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo
nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado.
Por exemplo:
 Se nasci em Salvador, então sou baiano.
 Se nasci em Curitiba, então sou paranaense.
E assim por diante. Pronto?
Agora me responda: qual é a única maneira dessa proposição estar incorreta? Ora, só há
um jeito desta frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja,
se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense.
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou
cearense, então esse conjunto estará todo falso.
É importante salientar que o exemplo trabalhado acima foi escolhido exclusivamente
para fins didáticos. Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o
conteúdo das proposições componentes da condicional. Por exemplo, poderíamos ter a
seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
16
O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição
suficiente para obtenção de um resultado necessário. Perceba, pois, que se alguém disser que:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever
essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Por outro lado, se ocorrer de alguém dizer que: “Maria ser médica é condição
necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” Ou
“Para que Maria seja médica é necessário que Pedro seja rico” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Não podemos, pois, esquecer disto:
 Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando houver a
condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a
primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional
será verdadeira.
A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p→q ou p⇒q .
Esse tipo de sentença também é conhecida como “Implicação Lógica” e pode ser traduzida
como “p implica que q”. Ou seja, a sentença “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”
pode ser reescrita como “Eu ter nascido em Fortaleza implica que sou cearense”.
Na proposição “Se p, então q”, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a
proposição q é dita conseqüente. Sabendo disso, podemos escrever as proposições de forma
invertida da seguinte forma: “q se p”, ou seja, no exemplo acima, poderíamos falar: “Sou
cearense se eu nasci em Fortaleza”, apesar de termos invertido os termos, o valor lógico se
manteve. Se pensarmos bem, a estrutura também é a mesma: “Então q se p”, só mudando a
17
ordem. Note que essa forma de representar a condicional tem a mesma ideia, a
representaremos por “q ⇐ p” e a leremos como “q se p”.
É muito importante você entender essa mudança de ordem pois a condicional tem ainda
uma outra leitura, que é esta: “p somente se q”. Dessa forma, a frase anterior, ficaria: “Eu
nasci em Fortaleza somente se sou cearense”. São muitas formas de representar a mesma
coisa, não é mesmo? A seguir, farei uma resumo em forma de Tabela para deixar todas essas
representações mais simples.
ESTRUTURA SIMBOLOGIA FRASE DE APOIO
Se p, então q. p⇒ q Se nasci em Fortaleza, então sou
cearense.
p implica que q p⇒ q Eu ter nascido em Fortaleza implica que
sou cearense.
p somente se q p⇒ q Eu nasci em Fortaleza somente se sou
cearense.
p é condição suficiente para q p⇒ q Eu ter nascido em Fortaleza é condição
suficiente para que eu seja cearense.
q, se p q ⇐ p Eu sou cearense se eu tiver nascido em
Fortaleza.
q é condição necessária para p q ⇐ p Eu ser cearense é condição necessária
para eu tenha nascido em Fortaleza.
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Como
vimos até aqui, uma condição suficiente p gera um resultado necessário q, desse modo, caso a
condição suficiente não se cumpra, então o resultado não pode se cumprir. Exemplificando,
não tem como “eu ser cearense” se “eu não nasci em Fortaleza”. Em todos os outros casos,
teremos uma condicional verdadeira. Considere a seguinte Tabela-Verdade:
Muitos questionam a veracidade de uma condicional quando a condição suficiente não é
atendida. Para explicar isso de forma simples, analisemos o seguinte exemplo:
18
Um rapaz vai em uma loja de tênis e decide comprar um par de sua preferência e,
enquanto decidia a forma de pagamento, o vendedor falou: “Se o pagamento for à vista, então
você terá dez por cento de desconto”. O rapaz gostou da proposta e comprou os tênis à vista,
porém, quando viu a nota, reparou que não havia recebido o desconto prometido, ou seja, o
vendedor deliberadamente mentiu. Revendo essa mesma situação sobre outra perspectiva: e
se o rapaz tivesse pagado no cartão à prazo, ou seja, sem ter pagado à vista, nada teria
impedido o vendedor de falar com seu gerente e garantir um desconto de dez por cento para
esse rapaz e seria uma surpresa para ele ver na nota da compra o desconto.
Ou seja, o senso comum nos diz que uma proposta será falsa caso a condição seja
contemplada, mas o resultado não seja satisfatório. Por outro lado, se o resultado for
satisfatório independente da condição, a proposta foi verdadeira. Se eu, por acaso, disser a um
amigo: “Se meu salário cair na minha conta, então vamos ao cinema”, nada me impede de ir
ao cinema e pagar tudo com cartão de crédito, caso meu salário não tenha caído; além disso,
se não formos ao cinema, será justamente porque meu salário não caiu na conta e, em
nenhuma das situações, eu teria mentido para meu amigo.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama,
a proposição condicional “Se p, então q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto
q (p está contido em q):
19
2.5. Conectivo “... se, e somente se, ...”:
(Bicondicional)
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se, e somente se,”, separando as
duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre se, e somente se, Mariana sorri”.
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:
“Eduardo fica alegre se Mariana sorri e Eduardo fica alegre somente se Mariana
sorri”.
Ou ainda, dito de outra forma:
“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica
alegre”.
São construções de mesmo sentido! A bicondicional é uma conjunção entre duas
condicionais. Haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando
antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos.
Nos demais casos, a bicondicional será falsa.
Sabendo que a frase “p se, e somente se, q” é representada por “p↔q” ou “p⇔q”, então
nossa Tabela-Verdade será a seguinte:
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama,
a proposição bicondicional “p se, e somente se, q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p
e q.
20
Simbologia: Uma proposição bicondicional “p se, e somente se, q” equivale à
proposição composta: “p somente se q e p se q”, ou seja, “p⇔q” é a mesma coisa que
“(p⇒q)∧(p ⇐ q)”.
Dê atenção à posição das proposições, pois, como vimos anteriormente, dizer “p se q”
(p⇐ q) é o mesmo que considerar a proposiçãoq como condição suficiente. Sendo assim,
dizer “p somente se q e p se q” faz a proposição q ser considerada condição necessária e
suficiente ao mesmo tempo. E a proposição p também! Lembre-se que, numa condicional
simples (p⇒q), consideramos a p condição suficiente e q condição necessária, mas na
bicondicional (p⇔q), ambas as proposições são necessárias e suficientes!
Para exemplificar, vamos adaptar aquele exemplo “Se nasci em Fortaleza, então sou
cearense” para se encaixar nessa lógica: “Se nasci no Ceará, então sou cearense”. Notou a
adaptação? Você concorda comigo quando digo que poderíamos inverter os termos, fixando o
conectivo? Desta forma: “Se sou cearense, então nasci no Ceará”, coisa que não poderíamos
fazer com a frase original: “Se sou cearense, então nasci em Fortaleza”, pois não seria
verdadeira!
Caso isso ocorra, preferiremos escrever essas sentenças desta forma: “Nasci no Ceará
somente se sou cearense” e “Nasci no Ceará se sou cearense” para então as aglutinarmos
numa só sentença: “Nasci no Ceará se, e somente se, sou cearense”. Daí o uso do conectivo.
Você percebeu que o uso desse conectivo é muito difícil de ser logicamente válido, a
menos que tenhamos redundâncias ou quando a questão nos obriga a aceitar a bicondicional.
Por exemplo, se uma questão falar: “Eu ganho dinheiro se, e somente se, eu trabalho”,
seremos obrigados a aceitar que “Se eu ganho dinheiro, então eu trabalho” o que meio que
nos indica que “Eu trabalho, porque eu ganho dinheiro” e não somente o contrário.
Veremos mais adiante que essas bicondicionais se tornarão essenciais em Demonstrações
Matemáticas.
21
2.6. Partícula “Não”:
(Negação)
Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não
antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:
 João é médico. Negativa: João não é médico.
 Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
Reparemos que caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não),
então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não, como se dois “nãos” virassem
um sim, ou, matematicamente falando, “menos com menos dá mais”. Assim:
 João não é médico. Negativa: João é médico.
 Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~)
antecedendo a frase. (Adotaremos o til).
A tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos:
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:
 Não é verdade que A.
 É falso que A.
Daí as seguintes frases são equivalentes:
 Matemática não é fácil.
22
 Não é verdade queMatemática é fácil.
 É falso queMatemática é fácil.
Na representação de conjuntos, ~p é o complementar do p, isto é, todos os elementos
externos de p.
23
2.7. Negação de uma proposição composta:
Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta,
como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. Veremos,
pois, uma a uma:
2.7.1. Negação de uma proposição conjuntiva: ~(p e q)
Para entender bem essa situação, vejamos o seguinte exemplo:
“Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é
verdade que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em
seguida? Uma estrutura de conjunção!
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Basta considerar que um
deles não é o que se afirma, ou quem sabe os dois não sejam! Concluímos que “João não é
médico ou Pedro não é dentista”.
Notou o que aconteceu? Transformamos uma conjunção em uma disjunção.
Portanto, para negar uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o
seguinte:
1. Negaremos a primeira parte (~p);
2. Negaremos a segunda parte (~q);
3. Trocaremos e por ou.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p∧q) = (~p)∨(~q)
Conseguimos comprovar esse resultado com facilidade comparando as tabelas-verdade
de ambas as sentenças. Inclusive, isso fico como exercício no final da unidade.
2.7.2. Negação de uma proposição disjuntiva: ~(p ou q)
24
Para negar uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos basicamente o
contrário do que fizemos anteriormente:
1. Negaremos a primeira parte (~p);
2. Negaremos a segunda parte (~q);
3. Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à
seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. Pensemos: a
frase começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo negado! E o
que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos
acima, faremos:
1. Nega-se a primeira parte (~p) = Pedro não é dentista;
2. Nega-se a segunda parte (~q) = Paulo não é engenheiro;
3. Troca-se OU por E.
E o resultado final será o seguinte: “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro.”
Na linguagem apropriada, concluímos que: ~(p∨q) = (~p)∧(~q)
2.7.3. Negação de uma proposição condicional: ~(p⇒q)
Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
1. Mantém-se a primeira parte;
2. Nega-se a segunda parte;
3. Faremos a conjunção das duas partes.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1. Mantendo a primeira parte: “Chove”
2. Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
25
3. Fazendo a conjunção, teremos o resultado final: “Chove e eu não levo o
guarda-chuva”.
Na linguagem apropriada, concluímos que: ~(p⇒q) = p∧(~q)
Pode parecer estranho pensar assim: “transformar uma condicional em uma conjunção”,
mas volte para aquele exemplo do rapaz que foi comprar o tênis e pense na insatisfação dele.
A promessa foi: “Se o pagamento for à vista, então você terá dez por cento de desconto”,
como o vendedor mentiu, o rapaz deve ter pensado: “eu paguei à vista e não tive o desconto
de dez por cento, que raiva!”.
Na sequência, apresento duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até o
momento. Vejamos:
Estrutura Lógica É Verdade quando É Falso quando
p∧q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso
p∨q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos
p⇒q Nos demais casos p é verdade e q é falso
p⇔q p e q tiverem valores
lógicos iguais
p e q tiverem valores lógicos
diferentes
~p p é falso p é verdade
Negativa das proposições compostas:
Negativa de (p e q) ~p ou ~q
Negativa de (p ou q) ~p e ~q
Negativa de (p⇒q) p e ~q
Negativa de (p⇔q) (p e ~q) ou (q e ~p)
26
2.8. Tautologia, Contradição e Contingência:
2.8.1. Tautologia:
Do grego, “tautos” exprime a ideia de “mesmo”, de “idêntico”, desse modo, Tautologia
trata-se de outra denominação para pleonasmo vicioso e se caracteriza pela repetição, por
meio de termos diferentes. Quando dizemos “que surpresa inesperada”, estamos cometendo
um vício linguístico, contudo, vendo do ponto de vista lógico, dizer: “Se foi surpresa, então
foi inesperado”, trata-se de uma tautologia! Por quê? Porque não tem como uma surpresa não
ser inesperada! Ou seja, essa condicional é Verdadeira em todos os casos.
Isso que significa Tautologia, na Lógica, quando uma situação sempre será verdadeira
independente da validade das condições, ou dos termos que a compõe. Para exemplificar,
considere a seguinte sentença: “Eu estou acordado ou estou dormindo”. Podemos considerar,
para fins práticos, que, quando eu não estou acordado, estou dormindo. Ou seja, essa
disjunção será sempre verdadeira, em qualquer caso!
Em símbolos, considere p = eu estou acordado e ~p = estou dormindo (aqui, escrevemos
em símbolos o fato de “não estar acordado” significar “estar dormindo”), então teremos a
seguinte disjunção: p∨(~p), agora analisemos sua Tabela-Verdade:p ~p p∨(~p)
V F V
F V V
Já que os possíveis valores lógicos para p são V ou F, e ~p tem exatamente valores
lógicos contrários, temos que a disjunção entre V e F ou F e V sempre será V (lembre-se que,
numa disjunção, basta uma das proposições ser V para que ela toda seja V).
2.8.2. Contradição:
Ao contrário da Tautologia, uma proposição composta formada por duas ou mais
proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores
lógicos das proposições que a compõem. Ou seja, construindo a Tabela-Verdade de uma
27
proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem falsos, então estaremos
diante de uma contradição.
Um exemplo bem simples para entender é aquele mesmo usado para a Tautologia, mas
trocando o conectivo “ou” pelo “e”, ficando a frase deste jeito: “Eu estou acordado e estou
dormindo”. Já fica evidente a invalidade dessa sentença, contudo, iremos analisar sua
Tabela-Verdade.
Considere p = eu estou acordado e ~p = estou dormindo, levemos em conta todas as
possibilidades para p, que são V ou F, teremos ~p como F ou V, respectivamente; portanto, ao
fazer a conjunção, teremos:
p ~p p∧(~p)
V F F
F V F
Já que a sentença toda é considerada falsa quando uma das proposições componentes é
falsa.
Agora vejamos um exemplo um pouco mais complexo: (p∨q)∧[(~p)∧(~q)]. Essa
sentença é uma contradição e, para mostrar isso, iremos analisar detalhadamente sua
Tabela-Verdade. Inicialmente, iremos construir a Tabela considerando apenas as
possibilidades para p e q:
p q
V V
V F
F V
F F
Agora iremos colocar mais duas colunas representando as possibilidades para (~p) e (~q),
considerando os valores já imposto nas primeiras colunas:
p q (~p) (~q)
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
28
Lembre-se que, quando p é V, (~p) é F e vice-versa. O mesmo se aplica para q. Agora
iremos adicionar mais duas colunas, uma representando a disjunção de p com q, e a outra
representando a conjunção de (~p) com (~q). Ficando assim:
p q (~p) (~q) p∨q (~p)∧(~q)
V V F F V F
V F F V V F
F V V F V F
F F V V F V
E, para finalizar, faremos a conjunção das duas últimas colunas. Note como ficou
alternado os valores lógicos, quando uma é V, a outra é F e vice-versa. Nesse caso, a
conjunção vai considerar sempre o valor F e resultará em F.
p q (~p) (~q) p∨q (~p)∧(~q) (p∨q)∧[(~p)∧(~q)]
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V F
Tendo, então, uma contradição, já que, considerando todos os possíveis valores lógicos
para p e q, temos tudo F no final.
Perceba que, se trocássemos a conjunção final por uma disjunção, teríamos exatamente
uma Tautologia. Ou seja: (p∨q)∨[(~p)∧(~q)] é uma Tautologia.
2.8.3. Contingência:
Para encerrar esse Tópico, lidaremos com proposições compostas que não resultam nem
em Tautologias nem em Contradições, são as chamadas “Contingência”. Esse tipo de sentença
também é considerada indeterminada.
Veremos mais à frente que as Contingências e a análise das Tabelas-Verdade se tornarão
ferramentas cruciais para resolver problemas envolvendo verdades e mentiras, silogismos,
negações e sentenças mais complexas.
29
Para exemplificar uma Contingência, observe a seguinte sentença: p⇔(p∧q). Temos
aqui uma contingência, pois essa sentença não é uma Tautologia, nem uma Contradição. E
para justificar, usaremos sua Tabela-Verdade:
30
3. Problemas Envolvendo Verdades e
Mentiras
Em várias questões de Lógica, é comum aparecerem argumentos com premissas
verdadeiras ou falsa. Deve-se começar a análise pelas afirmativas que carreguem mais
informações. Em cada problema, você deverá interpretar e fazer uma análise lógica das
situações, identificando possíveis contradições para, no fim, apresentar uma resposta coerente.
Recomenda-se que você faça uma Tabela-Verdade contendo apenas os valores lógicos
contemplados pelo problema, em vez de considerar todos os possíveis valores.
Para exemplificar e sugerir um passo a passo, considere o seguinte exemplo:
“Em um grupo de quatro pessoas que estão conversando, sabe-se que exatamente uma
delas fala a verdade e as demais mentem. Segue descrita uma conversa:
Adriano: － Todos aqui falam a verdade.
Beatriz: － Adriano fala a verdade.
Carlos: － Beatriz mente.
Daniel: － Carlos mente.
Quem falou a verdade?”
Nesse exemplo, vamos considerar uma Tabela-Verdade combinando apenas os valores F,
F, F e V, pois, como diz a questão, apenas uma das quatro pessoas fala a verdade. Agora,
exatamente onde se encaixarão esses valores? Para responder a essa pergunta, teremos que
arbitrariamente inserir esses valores para cada pessoa e procurar por contradições
considerando que apenas uma pessoa fala a verdade.
Em termos práticos, considere o seguinte passo a passo:
1. Traduza as proposições para símbolos;
Adriano = A, Beatriz = B, Carlos = C e Daniel = D. As frases ficariam:
“Todos aqui falam a verdade” = A, B, C, D é F
31
“Adriano fala a verdade” = A é V
“Beatriz mente” = B é F
“Carlos mente” = C é F
2. Escreva a Tabela-Verdade na forma transposta;
A diz: A, B, C, D é F
B diz: A é V
C diz: B é F
D diz: C é F
3. Considere os Valores Lógicos Coerentes com o Problema;
A diz: A, B, C, D é F V F F F
B diz: A é V F V F F
C diz: B é F F F V F
D diz: C é F F F F V
Note que, aqui, consideraremos apenas um valor V, porém precisaremos deduzir onde
esse V deve se encaixar para não termos contradições.
4. Elimine as colunas que geram contradições evidentes;
A diz: A, B, C, D é F F F F
B diz: A é V V F F
C diz: B é F F V F
D diz: C é F F F V
Aqui, eliminamos a primeira coluna que supunha que A era V, pois evidentemente é F,
já que, caso fosse V, teríamos que todos mentem, e já sabemos que um deles fala a verdade.
5. Divida seu problema em Tabelas separadas para cada coluna restante;
Esse passo poderia ser o primeiro, se você já estiver familiarizado com esse tipo de
problema e já capta as contradições evidentes de primeira só pela leitura do enunciado. Desse
modo, teremos as seguintes tabelas:
32
1º Situação
A diz: A, B, C, D é F F
B diz: A é V V
C diz: B é F F
D diz: C é F F
2º Situação
A diz: A, B, C, D é F F
B diz: A é V F
C diz: B é F V
D diz: C é F F
3º Situação
A diz: A, B, C, D é F F
B diz: A é V F
C diz: B é F F
D diz: C é F V
6. Faça a negação dos que forem F;
1º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V
B diz: A é V V
C diz: B é F F B é V
D diz: C é F F C é V
2º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V
B diz: A é V F A é F
C diz: B é F V
D diz: C é F F C é V
33
3º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V
B diz: A é V F A é F
C diz: B é F F B é V
D diz: C é F V
7. Analisemos cada situação, considerando os valores lógicos supostos.
1º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V Correto!
B diz: A é V V Errado, pois A é F.
C diz: B é F F B é V Correto!
D diz: C é F F C é V Errado, pois C é F.
2º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V Correto!
B diz: A é V F A é F Correto!
C diz: B é F V Correto!
D diz: C é F F C é V Correto!
3º Situação
A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V Correto!
B diz: A é V F A é F Correto!
C diz: B é F F B é V Errado, pois B é F.
D diz: C é F V Correto!
Após essa análise, chegamos a conclusão que a única situação em que nenhum dos
valores entra em contradição com os outros é a segunda situação. Portanto, concluímos que o
que C diz é V. Em outras palavras, concluímos que quem falou a verdade foi o Carlos e todos
os outros mentiram.
34
4. Exercícios
4.1. Problemas envolvendo Proposições:
1) Dê o valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F), nas sentenças que são proposições
abaixo, e marque um X quando não for possível:
a) Salvador é a capital da Bahia ( )
b) -5 pertence ao conjunto Z ( )
c) Que raiva!( )
d) Todos os animais são mamíferos ( )
e) Quero tirar férias! ( )
f) Mercúrio não é um planeta do sistema solar. ( )
g) Pitágoras era um grande matemático. ( )
h) Henrique é físico. ( )
i) Ela é uma boa professora. ( )
j) Gostaria de uma xícara dechá. ( )
k) Qual é o seu nome?. ( )
l) As nuvens são feitas de algodão. ( )
2) Transforme as proposições simples em proposições compostas:
a) p: Ana estuda matemática
q: Caio estuda história
p∧q:
_______________________________________________________________
b) p: Faz frio
q: Faz calor
p∨q:
_______________________________________________________________
c) p: Bia estudou veterinária
q: Bia gosta de animais
p⇒q:
_______________________________________________________________
d) p: x pertence ao conjunto dos números naturais
35
q: x é um número inteiro e positivo
p⇔q:
_______________________________________________________________
e) p: Gosto de sorvete
q: Gosto de refrigerante
p∧(~q):
_______________________________________________________________
f) p: Vou ao restaurante
q: Vou ao cinema
p∨q:
_______________________________________________________________
3) Sejam as proposições p: Paulo é feliz e q: Paulo é atleta. Traduza para a linguagem
simbólica as seguintes proposições:
a) Paulo é feliz e atleta: _________________
b) Paulo é feliz e não é atleta: _________________
c) Se Paulo é feliz então Paulo é atleta: _________________
d) Não é verdade que Paulo é triste ou atleta :_________________
e) Paulo não é feliz e não é atleta: _________________
f) Paulo é atleta se, e somente se é feliz: _________________
g) Paulo é feliz ou é triste e atleta: _________________
h) É falso que Paulo é feliz ou que não é atleta: _________________
36
4.2. Problemas envolvendo Tabelas-Verdade:
1)Mostre que ~(p∧q) = (~p)∨(~q) comparando as tabelas-verdade.
2)Mostre que ~(p⇒q) = p∧(~q) comparando as tabelas-verdade.
3)Mostre que ~(p⇔q) = [p∧(~q)]∨[q∧(~p)] comparando as Tabelas-Verdade.
4)Mostre que (p∧q)⇒(p∨q) é uma Tautologia analisando sua Tabela-Verdade.
37
4.3. Problemas envolvendo Verdades e Mentiras:
1) Um crime foi cometido por uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: André,
Bernardo, Caio, Daniel e Edu. Perguntados sobre quem era o culpado cada um deles afirmou:
 André: “Sou inocente”;
 Bernardo: “Caio é o culpado”;
 Caio: “Edu é o culpado”;
 Daniel: “André disse a verdade”;
 Edu: “Bernardo mentiu”.
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a
verdade, pode-se concluir que o culpado é?
2) Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem
foi o penetra:
– Foi o Carlos, diz o Mário.
– O Mário não tem razão, diz o Pedro.
– Foi o Pedro, diz o Carlos.
– Eu não fui, diz o Benjamim.
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada?
3) Ana, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida.
Ana disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em 2º lugar;
Beatriz disse: Célia chegou em 2º lugar e Dora, em 3º;
Célia disse: Dora foi a última; Ana, a 2ª;
Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Qual a colocação de cada
menina?
4) Roberto, Toni e Hipácia são irmãos. Indagados sobre a veracidade das afirmações dos
três, obteve-se as seguintes declarações:
“Hipácia mente”, diz Roberto
“Toni mente”, diz Hipácia.
“Roberto e Hipácia mentem”, diz Toni.
Quem é então que fala a verdade?
38
5) Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes declarações:
João: Carlos é o criminoso;
Pedro: eu não sou criminoso;
Carlos: Paulo é o criminoso;
Paulo: Carlos está mentindo.
Sabendo que apenas um dos suspeitos disse a verdade, determine quem é o criminoso e
quem falou a verdade.
6) Na porta da minha casa, passam dois ônibus, em A e outro B. Um deles passa pelo
Ministério da Fazenda; o outro, não. Na casa ao lado da minha, moram dois irmãos. Um só
diz a verdade, outro só diz mentira. Ao indagar sobre qual ônibus tomar para chegar ao
Ministério da Fazenda, um dos irmãos me disse: “Se meu irmão estivesse aqui, mandaria você
tomar o ônibus A”. Que ônibus devo tomar?
7) Eu tenho 3 bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul,
não necessariamente nessa ordem. Somente uma das afirmações é verdadeira:
I. A é vermelha
II. B não é vermelha
III. C não é azul
Qual a cor de cada bola?
8) Numa certa comunidade mítica, os políticos sempre mentem e os não políticos sempre
falam a verdade. Um estrangeiro encontra-se com três nativos e pergunta ao primeiro deles se
é político. Este responde à pergunta. O segundo nativo informa, então, que o primeiro nativo
negou ser um político. Mas, o terceiro nativo afirma que o primeiro é, realmente, um político.
Quais desses três nativos eram políticos?
9) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado, um número, do outro lado uma letra.
Alguém afirmou que todos os cartões que tem uma vogal numa face tem um número par na
outra. Como é possível verificar se tal afirmação é verdadeira?
39
SEGUNDA UNIDADE:
LÓGICA MATEMÁTICA
40
1. Introdução
O que é lógica? As palavras “lógica” e “lógico” nos são familiares. Falamos
freqüentemente de comportamento lógico, de explicação lógica em contraste com
comportamento ilógico, de explicação ilógica. Nestes casos, a palavra é usada no mesmo
sentido de “razoável”. Uma pessoa com “espírito lógico” é uma pessoa razoável. Esses usos
podem ser considerados como derivativos de um sentido mais técnico do termo para
caracterizar os argumentos racionais.
O estudo de Lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o
raciocínio correto do incorreto.
Isto não significa que só se tem raciocínio lógico quem estuda lógica. Mas uma pessoa
que estuda lógica tem maior probabilidade de raciocinar corretamente. A Lógica Matemática
é conhecida também por Lógica Proposicional ou Lógica Simbólica Clássica. Seu objetivo é a
formulação de critérios que permitam a análise da legitimidade dos argumentos usados na
demonstração de determinadas afirmações.
Assim, usando argumentos “legítimos”, se conseguirmos mostrar que uma afirmação
segue de afirmações anteriores já estabelecidas, passamos a considerar essa afirmação como
estabelecida também. Isso dá o modelo geral de uma teoria matemática acerca de determinado
assunto, onde tomamos como verdadeiras certo número de afirmações iniciais (axiomas ou
postulados) e a partir daí, usando argumentos logicamente válidos, começamos a deduzir
outras afirmações construindo a teoria. (Isso fica bem claro na construção da geometria
euclidiana, da teoria dos conjuntos, etc.).
Uma parte do estudo da lógica consiste no exame e na análise dos métodos incorretos do
raciocínio, ou seja as falácias. O estudo de lógica dá uma visão mais profunda dos princípios
do raciocínio em geral e proporciona, através da aplicação de algumas técnicas, determinar a
correção ou incorreção de todos os raciocínios. Exemplos:
“Ou você é a favor do presidente ou você é contra a reeleição.
Você é contra a reeleição.
Você não é a favor do presidente.”
“Criança que tem brinquedo estrela é feliz.
41
A criança é feliz.
A criança tem brinquedo estrela.”
O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo induz a pensar que o
antecedente segue do consequente, ou seja, a condição suficiente é também necessária.
Para quem estuda lógica é interessante corrigir o processo do raciocínio. Sua pergunta é
sempre essa: a conclusão a que se chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas? Se as
premissas fornecem base ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das
premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é
correto. No caso contrário, é incorreto. A distinção entre o raciocínio correto e o incorreto é o
problema central de que se incube a lógica.
42
2. Silogística Aristotélica
2.1. Silogismos:
Aristóteles (384 - 322 a.C) definiu silogismo como sendo uma série de palavras em que,
sendo admitidas certas coisas, delas resultará necessariamente alguma outra coisa, pela
simples razão de se terem admitido aquelas. De modo geral, o silogismo funciona quando
temos duas proposições, chamadas “premissas”, das quais se tira uma terceira chamada
“conclusão”. Mais adiante veremoscomo identificar silogismos inválidos. Exemplos de
silogismos:
“Hoje está quente ou frio.
Bem, não está quente.
Hoje está frio.”
“Sabemos que 1 + 4 = 5
Mas 2 + 3 = 5 também.
Concluímos que 1 + 4 = 2 + 3.”
2.1.1. Inferência e Argumento:
Chamamos de inferência o processo pelo qual chegamos a uma conclusão. Divagação,
associações de idéias, imaginação são recursos válidos para o pensamento, cujos resultados
podem ser desde crença e opiniões até sentenças científicas. Para a lógica interessa o
argumento que corresponde à inferência. Ou seja, após o processo de descoberta, qualquer
que tenha sido o caminho percorrido, cabe ao lógico examinar a forma da inferência a fim de
verificar se é justificável chegar a determinada conclusão.
Argumento é uma seqüência de proposições, na qual um das proposições é a conclusão e
as demais, chamadas premissas ou hipóteses, formam as provas ou evidências para a
conclusão. Exemplos:
43
Argumento 1: Como todo brasileiro é sul-americano e todo paulista é brasileiro, então
todo paulista é sul-americano.
Neste caso, “Todo brasileiro é sul-americano” e “Todo paulista é brasileiro” são as
premissas e “Todo paulista é sul-americano” é a conclusão desse argumento.
Argumento 2: Como todo matemático é louco e eu sou matemático, então eu sou
louco.
Neste caso, a argumentação é válida embora as premissas sejam falsas.
2.1.2. Dedução e Indução:
Os argumentos podem ser classificados em argumentos dedutivos ou indutivos.
Exemplos:
 Dedutivo: Todo mamífero tem coração.
Todos os cavalos são mamíferos.
Portanto, todos os cavalos tem um coração.
 Indutivo: Todos os cavalos até hoje observados tinham coração.
Portanto, todos os cavalos tem coração.
Argumento dedutivo é um argumento cuja conclusão é inferida necessariamente de suas
premissas. Existe uma ligação entre as premissas e a conclusão tal que a conclusão se torna
necessária, ou seja, tem que ser esta e não outra. Além disso, o enunciado da conclusão não
excede o conteúdo das premissas, isto é, não se diz mais na conclusão do que foi dito nas
premissas.
Argumento indutivo é um argumento cuja conclusão não é derivada necessariamente de
suas premissas. A indução é uma argumentação na qual, a partir de dados singulares
suficientemente enumerados, inferimos uma verdade universal. Exemplos:
44
“Esta porção de água ferve a 100 graus e esta outra, e esta outra... Logo, a água ferve a
100 graus.”
“Ontem e anteontem havia nuvens no céu. Depois Choveu.
Hoje, também há nuvens no céu. Então, hoje choverá.”
Diferentemente do argumento dedutivo, em um argumento indutivo, o conteúdo da
conclusão excede o das premissas. A conclusão da indução tem apenas probabilidade de ser
correta.
Esta forma de argumento é responsável pela fundamentação de grande parte de nossos
conhecimentos na vida diária e de grande valia nas ciências experimentais. Além disso, todas
as previsões que fazemos para o futuro tem base na indução.
2.1.3. Validade de um Argumento:
Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem
provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando as premissas e a conclusão estão de tal
modo relacionadas que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a
conclusão tampouco for verdadeira.
A validade de um argumento depende exclusivamente de sua forma, e não do seu
conteúdo ou da verdade ou falsidade dos enunciados que nele ocorrem. Todo raciocínio (ou
argumento) dedutivo é dito válido ou inválido. Exemplos:
“Todos os baianos gostam de carnaval. Ora, eu gosto de carnaval. Logo, eu sou
baiano.”
“Todos os homens são homofóbicos. Ora, eu sou homem. Logo, eu sou homofóbico.”
“Toda baleia é mamífero. Nenhum mamífero é peixe. Logo, a baleia não é peixe.”
“Todos os gatos são mamíferos. Todos os mamíferos têm pulmão. Portanto, todos os
gatos têm pulmão.”
45
“Todas as aranhas tem seis pernas. Todos os seres de seis pernas tem asas. Portanto,
todas as aranhas têm asas.”
“A água provoca câncer pois todas as pessoas que morreram de câncer bebiam água.”
Nos exemplos acima, o primeiro e o último argumento são inválidos. Note que alguns
desses exemplos, apesar de válidos, possuem premissas falsas.
Verdadeiro e falso são propriedades das proposições, nunca dos argumentos, assim como
propriedades de validade ou invalidade só podem pertencer a argumentos dedutivos, mas
nunca a proposições. Alguns argumentos válidos contém apenas proposições verdadeiras, mas
um argumento pode conter exclusivamente proposições falsas e, mesmo assim, ser válido.
No exemplo da aranha, o argumento é valido, pois, se suas premissas fossem verdadeiras,
sua conclusão também seria verdadeira.
Para ficar mais claro, considere o seguinte exemplo:
“Se eu possuísse todo o ouro de Serra Pelada, então eu seria muito rico. Não possuo o
ouro de Serra Pelada. Portanto, não sou muito rico.”
Embora possamos considerar que as premissas sejam verdadeiras, o argumento é
inválido, pois a negação de uma condicional é uma conjunção, ou seja, é uma estrutura
diferente. Mais à frente veremos como analisar estruturas com negação.
Assim, pode-se observar que existem argumentos válidos com conclusões falsas, bem
como argumentos inválidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade da sua
conclusão não determinam a validade ou invalidade de um argumento. Há raciocínios
perfeitamente válidos que tem conclusão falsa mas, para que isso ocorra, devem ter pelo
menos uma premissa falsa.
Os argumentos inválidos ou aqueles válidos que contenham pelo menos uma premissa
falsa são chamados de Falácias ou Sofismas. Estudaremos cada um detalhadamente mais à
frente.
2.1.4. Como reconhecer Argumentos?
46
Para se reconhecer se um argumento é válido ou inválido, deve-se em primeiro lugar
saber reconhecer os argumentos, quando eles ocorrem e identificar as suas premissas e
conclusões. A conclusão de um enunciado não tem que ser enunciada necessariamente no seu
final ou começo. Por exemplo:
“Como a moral tem influência nas ações e afeições, segue-se que ela não pode ser
derivada da razão; e isso porque a razão, por si só, como já provamos, jamais pode ter tal
influência.” (David Hume)
Podemos transcrever esse argumento válido na seguinte forma:
Premissa 1: A moral tem influência nas ações e afeições.
Premissa 2: A razão não pode, isoladamente, influenciar as ações e afeições.
Conclusão: Logo, a moral não pode ser derivada da razão.
Observação: nenhuma proposição é isoladamente uma premissa ou conclusão. Só é
premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão
quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse
argumento. Exemplos:
“Tudo que é predeterminado é necessário.
Todo evento é predeterminado.
Logo, todo evento é necessário.”
“Todo evento causado por outros eventos é predeterminado.
Todo evento é causado por outros eventos.
Logo, todo evento é predeterminado.”
No primeiro argumento a proposição “todo evento é predeterminado” é uma premissa
enquanto no segundo argumento ela é a conclusão.
Além disso, nem tudo que é dito no decorrer de um argumento é premissa ou conclusão
desse argumento. Um trecho que contém um argumento pode também conter outro material
que tanto pode ser irrelevante quanto fornecer importantes informações sobre os antecedentes
do argumento. Por exemplo:
47
“Se o código penal proíbe o suicídio, esta proibição é ridícula; pois que penalidade
pode assustar um homem que não teme a própria morte?”
A proposição “o código penal proíbe o suicídio” não é premissa nem conclusão do
argumento mas auxilia a se ter conhecimento de que proibição se refere o texto. Podemos
escrever esse argumento na forma:
Premissa 1: Nenhuma penalidade pode assustar um homem que não teme a própria
morte.
Premissa 2: O código penal proíbe suicídio.
Conclusão: A proibição do suicídio do código penal é ridícula.
48
2.2. Enunciados Categóricos:
Além dos argumentos falaciosos,existe ainda o problema das frases ambíguas.
Consideremos a declaração: “Políticos são Corruptos”. Do ponto de vista lógico, esta
declaração é imprecisa. Surge então a questão: como podemos eliminar esta imprecisão?
Segundo o filósofo grego Aristóteles (séc. IV a.C) isso somente é possível se enunciarmos as
sentenças na forma categórica, usando quantificadores.
2.2.1. Quantificadores:
Acrescentando as expressões “todos”, “alguns”, “nenhum” à afirmação acima, obtemos
enunciados categóricos, ou seja, enunciados precisos, no sentido de que podemos atribuir-lhes
um e somente um valor lógico. Chamaremos essas expressões de quantificadores lógicos.
A declaração: “Políticos são corruptos” adquire as seguintes formas enunciativas,
quando acrescidas de uma dos quantificadores: todo, nenhum e alguns:
“Todos os políticos são corruptos.”
“Nenhum político é corrupto.”
“Alguns políticos são corruptos.” ou “Existem políticos corruptos.”
“Alguns políticos não são corruptos.” ou “Existem políticos que não são corruptos.”
As sentenças assim formuladas são chamadas de proposições categóricas. Segundo a
classificação de Aristóteles elas podem ser de quatro tipos:
Tipo de Enunciado Categórico Forma Lógica
Afirmação Universal Todo S é P
Negação Universal Nenhum S é P
Afirmação Particular Algum S é P
Negação Particular Algum S não é P
2.2.2. Símbolos Gráficos e Representação por Diagramas:
Iremos resumir os quantificadores lógicos particulares usando o símbolo ∃, que
significa “existe”, e pode ser interpretado como qualquer um de seus sinônimos (pelo menos
um, ao menos um, algum). Já os quantificadores lógicos universais serão representados pelo
49
símbolo ∀, que significa “para todo e qualquer que seja”, e pode ser traduzido como
simplesmente “todos”. Para exemplificar:
“Toda pessoa que nasce em Fortaleza é cearense.”
Considere comoM o conjunto de todas as pessoas que nasceram em Fortaleza e como N
o conjunto de todos os cearenses. Então poderíamos transcrever a frase acima em códigos:
∀M é N.
Para facilitar o entendimento desse tipo de enunciado, usaremos diagramas, assim como
o matemático Leonard Euler (séc. XVIII), que utilizou-se de diagramas para explicar a uma
princesa alemã o significado dos quatro enunciados categóricos. Para isso ele utilizou
desenhos que se revelaram muito eficientes e ficaram conhecidos como diagramas de Euler.
Esses diagramas são bastante utilizados no estudo de conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma mesma característica, uma
propriedade que os distingue. Quando falamos no conjunto M das pessoas que nasceram em
Fortaleza, estamos reunindo em um só grupo todos os elementos que apresentam a
característica: ter nascido em Fortaleza. Assim, podemos representar o conjunto M por uma
região limitada do plano, que tal um círculo? Os pontos do seu interior representam os
elementos de M, isto é, as pessoas. Os pontos externos a essa região formam o conjunto ~M,
ou seja, as pessoas que nasceram em outras cidades, conforme a figura:
Agora, considere o conjunto de todos os cearenses N. Como a sentença nos diz∀M é N,
devemos ter diagramas assim desenhados:
50
Alguns anos mais tarde, no século XIX, o matemático e filósofo britânico John Venn,
usando os diagramas de Euler fez um trabalho de lógica formal intitulado “Da representação
mecânica e diagramática”, que trouxe um método que superava todos os outros em termos de
clareza e simplicidade. Desde então nos referimos a esses diagramas como “diagramas de
Venn”.
A grande sacada de Venn foi usar os diagramas para relacionar conjuntos que possuem
interseção, ou seja, propriedades em comum com outros. Para exemplificar, considere que A é
o conjunto de todas as pessoas que têm ansiedade e que D é o conjunto de todas as pessoas
que têm depressão. Sabe-se que algumas pessoas ansiosas têm depressão, ou seja, em
símbolos,∃A é D. Em diagramas, devemos ter:
Nesses diagramas, temos três regiões, que, representando em códigos, fica assim:
Amarela: A∧(~D);
Verde: A∧D;
Azul: (~A)∧D;
Sentença: [A∧(~D)]∨[A∧D]∨[(~A)∧D].
Vejamos agora, em diagramas, todas os possíveis enunciados categóricos, considerando
S o conjunto de pessoas saudáveis e A o conjunto de atletas:
51
2.3. Negação de Enunciados Categóricos:
2.3.1. Negação de sentenças quantificadas universalmente:
Qual é a negação de “todos são”? A resposta é: “nem todos são”, o que equivale a: “pelo
menos um não é” ou “algum não é”.
Um erro muito comum é achar que a negação de “todos são” é “todos não são”. A
negação de uma sentença quantificada universalmente é uma sentença quantificada
particularmente. Ou seja, o quantificador universal transforma-se em particular e nega-se o
complemento. Por exemplo, a negação de “todos gostam de futebol” é “pelo menos um não
gosta de futebol”.
2.3.2. Negação de sentenças quantificadas particularmente:
E a negação de “algum é”? Resposta: “nenhum é”, o que equivale a: “todos não são”.
A negação de uma sentença quantificada particularmente é uma sentença quantificada
existencialmente. Ou seja, o quantificador particular transforma-se em existencial e nega-se o
complemento. Por exemplo, a negação de “pelo menos um gosta de futebol” é “todos não
gostam de futebol”.
Cuidado para não cometer um erro análogo ao anterior e achar que a negação de “algum
é” é “algum não é”, pois está incorreto!
52
2.4. Validade de um argumento usando uma
Tabela-Verdade:
Usando quantificadores, universal ou existencial, e a letra “x” como variável, podemos
reescrever os enunciados categóricos do seguinte modo:
Todo S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x é P.
Nenhum S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x não é P.
Algum S é P Existe x, x é S e x é P.
Algum S não é P Existe x, x é S e x não é P.
Com isso, podemos testar a validade de argumentos categóricos usando tabela-verdade
ou equivalências. Por exemplo, sejam argumentos:
1) Todo animal é mortal. O homem é um animal. Portanto, o homem é mortal.
2) Todo animal é mortal. O homem é mortal. Portanto, o homem é um animal.
Agora transcrevamos para símbolos usando operadores lógicos:
1) ∀x, se x é animal, então x é mortal.∀x, se x é homem, então x é animal. Portanto,∀x,
se x é homem, então x é mortal.
2) ∀x, se x é animal, então x é mortal.∀x, se x é homem, então x é mortal. Portanto,∀x,
se x é homem, então x é animal.
Fazendo:
p:∀x, x é animal
q:∀x, x é mortal
r:∀x, x é homem
Considerando a conjunção das premissas, usando o símbolo ∧, o formato dos
argumentos fica assim:
53
1) [(p⇒q)∧(r⇒p)]⇒(r⇒q).
2) [(p⇒q)∧(r⇒q)]⇒(r⇒p).
Agora, analisemos detalhadamente as suas Tabelas-Verdade, considerando todos os
possíveis valores lógicos para p, q e r:
Argumento 1
p q r p⇒q r⇒p (p⇒q)∧(r⇒p) r⇒q [(p⇒q)∧(r⇒p)]⇒(r⇒q)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V F V F F V
F V V V F F V V
V F F F V F V V
F V F V V V V V
F F V V F F F V
F F F V V V V V
Argumento 2
p q r p⇒q r⇒q (p⇒q)∧(r⇒q) r⇒p [(p⇒q)∧(r⇒q)]⇒(r⇒p)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V F F F V V
F V V V V V F F
V F F F V F V V
F V F V V V V V
F F V V F F F V
F F F V V V V V
Note que as Tabelas-Verdade nos indicam que o Argumento 1 é uma Tautologia e o
Argumento 2 é uma Contingência. Usamos esses fatos para concluir que o Argumento 1
está correto e que o Argumento 2 está incorreto.
54
2.5. Validade de um argumento usando Diagramas:
Se você preferir, usar diagramas de Venn pode até ser bem mais simples, porém é
necessário entender o padrão de transitividade desse tipo de problema. Para entender a
transitividade, tente separar as premissas em termo pequeno, termo médio e termo grande.
Por termo pequeno, nos referimos ao menor conjunto; termo médio, o conjunto intermediário,
e termo grande, o maior conjunto, ou o conjunto universo.
Desse modo, aquele Argumento do tópico anterior:
1) Todo animal é mortal. O homem é um animal. Portanto, o homem é mortal.
...pode ser ser representado em diagramas da seguinte forma:
Premissas:
Todo homem é animal: Todoanimal é mortal:
Conclusão:
Todo homem é mortal:
Note que, usando diagramas, conseguimos facilmente identificar qual é o conjunto
menor, qual é o conjunto intermediário e qual é o maior conjunto, e conseguimos encaixar
perfeitamente um dentro do outro e a esse fato damos o nome de Propriedade Transitiva.
Mais adiante veremos a aplicação dessa propriedade na Matemática.
55
Agora vejamos como ficaria o outro Argumento:
2) Todo animal é mortal. O homem é mortal. Portanto, o homem é um animal.
Premissas:
Todo homem é mortal: Todo animal é mortal:
Conclusão:
Todo homem é animal:
Nesse caso, não ficou claro qual era o maior conjunto. Nas premissas, quando dizemos
“Todo homem é mortal”, temos que o termo “homem” é menor que o termo “mortal”; porém,
quando dizemos que “Todo animal é mortal”, temos que o termo “animal” também é menor
que o termo “mortal”. Quando isso acontecer, é porque o argumento é inválido.
Para ficar mas claro, pensemos em números: 3 < 5 e 2 < 5, não podemos dizer que 3 < 2.
56
3. Paralogismos e Sofismas
Para encerrar o estudo de Silogística Aristotélica nessa apostila e ver suas aplicações
junto com a Lógica Proposicional, precisamos entender o conceito de Falácias.
Falácia é todo o raciocínio aparentemente válido que é, na realidade, incorreto, que faz
cair em erro ou engano. Na lógica, uma falácia é um argumento logicamente incoerente, sem
fundamento, inválido ou falho na tentativa de provar eficazmente o que alega. Argumentos
que se destinam à persuasão podem parecer convincentes para grande parte do público apesar
de conterem falácias, mas não deixam de ser falsos por causa disso.
Tradicionalmente, distinguem-se dois tipos de falácias: o paralogismo e o sofisma. O
paralogismo é uma falácia cometida involuntariamente, sem má-fé; já o sofisma, uma falácia
cometida com plena consciência, com a intenção de enganar. Essa distinção não é, no entanto,
aceitável, pois introduz um critério exterior à lógica - a Ética. Dito de outro modo, não
compete à lógica apreciar as intenções de quem argumenta. Por isso, tornam-se como
sinônimos os termos falácia e sofisma.
A seguir, apresentaremos os principais tipos de falácias.
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Persuas%C3%A3o
57
3.1. Tipos de Falácias:
3.1.1. Apelo à Força (argumentum ad baculum):
Definição: Consiste em ameaçar com consequências desagradáveis se não for aceita ou
acatada a proposição apresentada.
Exemplos:
- Você deve se enquadrar nas novas normas do setor. Ou quer perder o emprego?
- É melhor exterminar os bandidos: você poderá ser a próxima vítima.
- Cala essa tua boca, ou não te dou o dinheiro para o show.
- Ou nós, ou a desgraça, o caos.
Contra-argumentação: Argumente que apelar à força não é racional, não é argumento,
que a emoção não tem relação com a verdade ou a falsidade da proposição.
3.1.2. Apelo à Misericórdia, à Piedade (argumentum ad misericordiam,
ignorância de questão, fuga do assunto):
Definição: Consiste em apelar à piedade, à misericórdia, ao estado ou virtudes do autor.
Exemplo: Ele não pode ser condenado: é bom pai de família, contribuiu com a escola,
com a igreja, etc.
Contra-argumentação: Argumente que se trata de questões diferentes, que o que é
invocado nada tem a ver com a proposição. Quem argumenta assim ignora a questão, foge do
assunto.
3.1.3. Apelo ao Povo (argumentum ad populum):
Definição: Consiste em sustentar uma proposição por ser defendida pela população ou
parte dela. Sugere que quanto mais pessoas defendem uma ideia, mais verdadeira ou correta
ela é. Incluem-se aqui os boatos, o “ouvi falar”, o “dizem”, o “sabe-se que”.
Exemplo: Dizem que um disco voador caiu em Minas Gerais, e os corpos dos
alienígenas estão com as Forças Armadas.
58
Contra-argumentação: Os educadores, os professores, as mães têm o argumento: se
todos querem se atirar em alto mar, você também quer? O fato de a maioria acreditar em algo
não o torna verdadeiro.
3.1.4. Apelo à Autoridade:
Definição: Consiste em citar uma autoridade (muitas vezes não-qualificada) para
sustentar uma opinião.
Exemplo: Segundo Schopenhauer, filósofo alemão do séc. XIX, “toda verdade passa por
três estágios: primeiro, ela é ridicularizada; segundo, sofre violenta oposição; terceiro, ela é
aceita como autoevidente”. (De fato, riram-se de Copérnico, Galileu e outros. Mas nem todas
as verdades passam por esses três estágios: muitas são aceitas sem o ridículo e a oposição. Por
exemplo: Einstein).
Contra-argumentação: Mostre que a pessoa citada não é autoridade qualificada. Ou
que muitas vezes é perigoso aceitar uma opinião porque simplesmente é defendida por uma
autoridade. Isso pode nos levar a erro.
3.1.5. Apelo à Novidade (argumentum ad novitatem):
Definição: Consiste no erro de afirmar que algo é melhor ou mais correto porque é novo,
ou mais novo.
Exemplo: Saiu a nova geladeira Pólo Sul. Com design moderno, arrojado, ela é perfeita
para sua família, sintonizada com o futuro.
Contra-argumentação: Mostre que o progresso ou a inovação tecnológica não implica
necessariamente que algo seja melhor.
3.1.6. Apelo à Antiguidade (argumentum ad antiquitatem):
Definição: É o erro de afirmar que algo é bom, correto apenas porque é antigo, mais
tradicional.
Exemplo: Essas práticas remontam aos princípios da Era Cristã. Como podem ser
questionadas?
59
Contra-argumentação: Argumente que o fato de um grande número de pessoas durante
muito tempo ter acreditado que algo é verdadeiro não é motivo para se continuar acreditando.
3.1.7. Falso Dilema:
Definição: Consiste em apresentar apenas duas opções, quando, na verdade, existem
mais.
Exemplos:
- Brasil: ame-o ou deixe-o.
- Você prefere uma mulher cheirando a alho, cebola e frituras ou uma mulher sempre
arrumadinha?
- Você não suporta seu marido? Separe-se!
- Quem não está a favor de mim está contra mim.
Contra-argumentação: Simples. Mostre que há outras opções.
3.1.8. Falso Axioma:
Definição: Um axioma é uma verdade auto-evidente sobre a qual outros conhecimentos
devem se apoiar. Por exemplo: duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si.
Outro exemplo: a educação é a base do progresso. Muitas vezes atribuímos, no entanto,
“status” de axioma a muitas sentenças ou máximas que são, na realidade, verdades relativas,
verdades aparentes.
Exemplo: Quem cedo madruga Deus ajuda.
Contra-argumentação: Mostre que muitas frases de efeito, impactantes, bombásticas,
retóricas, muito respeitadas podem ser meras estratégias mediantes as quais alguém tenta
convencer, persuadir o ouvinte/leitor em direção a um argumento. No caso dos provérbios,
mostre que se contradizem
- “Ruim com ele, pior sem ele” vs “Antes só do que mal acompanhado”.
- “Depois da tempestade vem a bonança” vs “Uma desgraça nunca vem sozinha”.
- “Longe dos olhos, perto do coração” vs “O que os olhos não vêem o coração não
sente”.
3.1.9. Generalização Não-Qualificada (dicto simpliciter):
60
Definição: É uma afirmação ou proposição de caráter geral, radical e que, por isso,
encerra um juízo falso em face da experiência.
Exemplo: A prática de esportes é prejudicial à saúde.
Contra-argumentação: Mostre que é necessário especificar os enunciados. Othon
Garcia (Comunicação em Prosa Moderna, FGV, 1986, p. 169) ilustra como se pode
especificar a falácia acima, dada como exemplo: A prática indiscriminada de certos esportes
violentos é prejudicial à saúde dos jovens subnutridos.
3.1.10. Generalização Apressada (erro de acidente):
Definição: Trata-se de tirar uma conclusão com base em dados ou em evidências
insuficientes. Dito de outro modo, trata-se de julgar todo um universo com base numa
amostragem reduzida.
Exemplos:
- Todo político é corrupto.
- Os padres são pedófilos.
- Os mulçumanos são todos uns fanáticos.
Contra-argumentação: Argumente que dois professores ruins não significam uma
escola ruim; que, em ciência, é preciso o maior número de