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INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL W BA 07 39 _v 2. 0 2 Renan de Lima Branco Thiago Drozdowski Priosta São Paulo Platos Soluções Educacionais S.A 2021 Introdução à análise estrutural 1ª edição 3 2021 Platos Soluções Educacionais S.A Alameda Santos, n° 960 – Cerqueira César CEP: 01418-002— São Paulo — SP Homepage: https://www.platosedu.com.br/ Head de Platos Soluções Educacionais S.A Silvia Rodrigues Cima Bizatto Conselho Acadêmico Alessandra Cristina Fahl Camila Braga de Oliveira Higa Camila Turchetti Bacan Gabiatti Giani Vendramel de Oliveira Gislaine Denisale Ferreira Henrique Salustiano Silva Mariana Gerardi Mello Nirse Ruscheinsky Breternitz Priscila Pereira Silva Tayra Carolina Nascimento Aleixo Coordenador Mariana Gerardi Mello Revisor Alana Dias de Oliveira Priscila Flavia Souza da Silva Editorial Beatriz Meloni Montefusco Carolina Yaly Márcia Regina Silva Paola Andressa Machado Leal Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) ________________________________________________________________________________________ Branco, Renan de Lima B816i Introdução à análise estrutural / Renan de Lima Branco, Thiago Drozdowski Priosta. – São Paulo: Platos Soluções Educacionais S.A. 2021. 140 p. ISBN 978-85-522-1557-8 1. Estrutura. 2. Diagrama de Esforços Solicitantes. 3. Hiperestaticidade. I. Priosta, Thiago Drozdowski. II. Título. CDD 620 ____________________________________________________________________________________________ Evelyn Moraes – CRB 010289 © 2021 por Platos Soluções Educacionais S.A. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Platos Soluções Educacionais S.A. https://www.platosedu.com.br/ SUMÁRIO Apresentação da disciplina _________________________________________________05 Caracterização de estruturas _______________________________________________06 Classificação dos apoios das estruturas e suas reações _____________________24 Classificação das forças atuantes nas estruturas ____________________________44 Diagramas de Esforços Solicitantes para estruturas lineares ________________63 Diagramas de Esforços Solicitantes para estruturas em pórticos ________ 81 Relação Matemática entre os diagramas de esforços solicitantes e o comportamento das estruturas _____________________________________________98 Introdução à hiperestaticidade das estruturas ______________________________118 INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL 4 Apresentação da disciplina Seja bem-vindo à disciplina de Introdução à Análise Estrutural. Nesta disciplina você será apresentado aos conceitos fundamentais para a análise estrutural, bem como levantar informações iniciais para o dimensionamento de estruturas. Inicialmente, será apresentado a uma visão da análise estrutural na história, bem como sua abordagem em termos práticos no cenário da construção. Através desta disciplina você será capacitado a identificar e classificar os tipos de estruturas, aplicando conceitos da mecânica, como estática e equilíbrio de corpos, para realizar análise da aplicação de cargas externas, bem como as reações em apoios. A fase seguinte de estudos é essencial para capacitar quanto à definição das características dos elementos estruturais, pois será estudado como calcular os esforços internos em uma estrutura por meio dos diagramas de esforços solicitantes, seja uma estrutura linear ou em pórticos. Além disso, você aprenderá a realizar a diferenciação entre estruturas isostáticas e hiperestáticas. Por fim, a disciplina ainda lhe introduzirá à relação matemática entre os diagramas de esforços solicitantes e o comportamento das estruturas, como deformações e deslocamentos. Além disso, como para análises de estruturas hiperestáticas os recursos manuais se apresentam limitados serão apresentados os recursos computacionais necessários para solucionar a problemática de modelar e analisar o comportamento de estruturas sujeitas a ações externas, mesmo quando se apresentam como hiperestáticas. Caracterização de estruturas Autor: Renan de Lima Branco Leitor crítico: Alana Dias de Oliveira Objetivos • Proporcionar reflexão sobre a origem dos estudos de análise estrutural e sua evolução. • Capacitar a leitura e interpretação de sistemas estruturais quanto aos seus elementos. • Capacitar para a identificação de diferentes tipos de estruturas e suas aplicações. 7 1. A concepção estrutural 1.1 Os fatores históricos para o desenvolvimento das construções Estima-se que a revolução agrícola se deu por volta de 12.000 a.C. (BRAIDWOOD, 1960). Desde então a espécie humana alterou a forma de se organizar em sociedade. Com o desenvolvimento de estruturas de irrigação (Figura 1), passou a ser possível deixar aos poucos a cultura nômade para se tornar sedentária. Figura 1 – Resquícios de sistema de irrigação da região de Cuzco, Peru Fonte: lovelypeace/iStock.com. Para muitos historiadores, a revolução agrícola é um dos principais pontos de inflexão na história da humanidade. A convivência em sociedades fixadas em uma determinada região permitiu o desenvolvimento tecnológico mais acelerado, uma vez que passou a ser possível o acúmulo de conhecimento. 8 A Pont du Gard (Figura 2) é um aqueduto que data da era do império Romano, construído sobre o rio Gardon, próximo a cidade de Vers- Pont-du-Gard, no sul da França (PONT DU GARD, 2019). A Pont du Gard, também conhecida como Ponte do Gard, foi construída de forma a sobrepor três fileiras de arcos. O objetivo era levar água para a cidade de Nîmes, sendo a mais alta de todas as elevações romanas e uma das mais bem preservadas. Esta é uma obra característica do período histórico em que os romanos expandiram seu império através do investimento em infraestrutura, como abastecimento de água e estradas, fixando cidades e consolidando seu domínio nas regiões por onde construía. Figura 2 – Pont du Gard, França Fonte: espiegle/iStock.com. O desenvolvimento das tecnologias construtivas não advém somente para suprir as necessidades humanas por água e alimentos. Um importante motor para o desenvolvimento das construções e grandes estruturas é a necessidade de defesa e a participação em guerras. Além do comércio, grandes pontes foram construídas para transportar exércitos de uma região à outra. 9 A Grande Muralha da China (Figura 3) é uma barreira fortificada no norte da China com 21.196 km de extensão. A construção da muralha começou na Dinastia Qin (221-206 a.C.), sob o Primeiro Imperador Shi Huangdi e continuou por centenas de anos ao longo de muitas dinastias diferentes (WALDRON, 1990). Este é um exemplo de uma mega construção motivada pelas necessidades de proteção em períodos de guerra. Figura 3 – Grande Muralha da China Fonte: Hung_Chung_Chih/iStock.com. 1.2 A estrutura A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é responsável pela sustentação de todos os sistemas e subsistemas, resistindo aos esforços atuantes. Além disso, é responsável por prover segurança e estabilidade à construção. A estrutura deve ser projetada para resistir a intempéries, choques mecânicos e outros fatores que possam afetar a construção. O esquema da Figura 4 apresenta a segmentação clássica entre superestrutura e infraestrutura, quando analisada uma construção. 10 Figura 4 – Elementos da superestrutura e da infraestrutura Fonte: Elaborada pelo autor. 2. Análise estrutural A análise estrutural é a previsão do desempenho da estrutura sob os esforços aos quais os elementos estão submetidos. Os esforços provêm de cargas, movimentações e mudançasde temperatura. A análise estrutural tem como principais objetivos identificar nos elementos: • Tensões ou resultantes de tensões, tais como forças normais, forças cortantes e momentos fletores; • Flechas (deslocamentos); e • Reações de apoio. Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro empreendimento. Para uma edificação residencial, por exemplo, a ordem do dimensionamento da estrutura é inversa à ordem de locação dos elementos que a compõem (Figura 5). 11 Figura 5 – Relação entre dimensionamento e locação da estrutura. Fonte: Elaborada pelo autor. 2.1 O processo de análise estrutural A análise estrutural se dá sobre o projeto estrutural e juntos compõem a Engenharia Estrutural. Essa é uma área na qual muitos engenheiros civis se especializam e trata do planejamento, projeto, construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho e lazer. Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço, concreto, madeira, pedra, materiais não convencionais (materiais que utilizam fibras vegetais, por exemplo), ou novos materiais sintéticos (plásticos, por exemplo). Ela deve resistir a ventos fortes, a solicitações que são impostas durante a sua vida útil e, em muitas partes do mundo, a terremotos (MARTHA, 2010, p. 1). Para cada tipo de material escolhido para a estrutura, seja em função econômica, de disponibilidade ou até mesmo da expertise da mão de obra, há uma tecnologia de construção distinta. Dessa forma, o aporte da análise estrutural também será distinto. O resultado final do projeto estrutural é a especificação de uma estrutura de forma completa: locação, dimensões e detalhes de execução. 12 A primeira etapa da análise estrutural é a previsão do comportamento da estrutura descrita em projeto. O estado da estrutura deve atender, dentro dos coeficientes normatizados, às condições de segurança e de utilização para as quais ela foi projetada. É importante ser enfatizado que o comportamento aceitável é aquele que não apresente deslocamento ou vibração excessivos sob carga (GILBERT et al., 2009). O comportamento da estrutura é definido em função de diversos parâmetros: tensões atuantes, características dos materiais que a compõem, deformações e deslocamentos na estrutura. A análise estrutural deve ser feita para as possíveis configurações dos carregamentos e solicitações. As teorias que baseiam as análises iniciaram com o estudo de estruturas formadas por barras (elementos com uma dimensão muito superior às outras duas). É comum realizar análises prévias do comportamento global, ou parcial, de edifícios aproximando para um modelo de barras (MARTHA, 2010). 2.2 Avanços no campo da análise estrutural O estudo das estruturas data desde meados do século XVII, por Galileu Galilei. Desde então notórios cientistas1 e matemáticos contribuíram para a formalização da engenharia estrutural (MARTHA, 2010). Esse embasamento científico criado permite o estudo dos carregamentos e esforços atuantes nos componentes estruturais. Dois adventos que marcam avanços no campo da análise estrutural foram a Revolução Industrial, que trouxe à tona o uso de novos materiais na construção, e o advento dos computadores, que possibilitou a resolução de complexos equacionamentos de análise estrutural. 1 Jacob Bernoulli (1654-1705), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Coulomb (1736-1806), Navier (1785- 1836), Thomas Young (1773-1829), Saint-Venant (1797-1886), Kirchhoff (1824-1887), Kelvin (1824-1907), Maxwell (1831-1879), Mohr (1835-1918), entre outros. 13 PARA SABER MAIS A Engenharia Civil brasileira está presente nas listas de recordes mundiais, especialmente na construção de pontes. De acordo com Martha (2010), o Brasil foi cenário de um forte e concentrado investimento em infraestrutura na metade do século XIX, o que proporcionou grande evolução na construção de grandes pontes, hidrelétricas e rodovias. Desde o final do século XX, softwares para análise estrutural são o ponto central em todo o processo da Engenharia Estrutural. Muitos apresentam uma interface sofisticada, intuitiva e versátil, com ferramentas de auxílio ao projeto. Tais softwares são indicados para diversas áreas, como infraestrutura de transporte, obras industriais, públicas, instalações de ginásios de esportes, obras para geração de energia, edifícios de múltiplos usos, etc. Uma outra característica é o ambiente de modelagem gráfica, que é baseado em objetos 3D (Figura 6), que fornece de forma visual a distribuição dos esforços entre os elementos da estrutura. Figura 6 – Software para Análise Estrutural Fonte: https://edrmedeso.com/tekla-structures-and-sap2000-v-17-interface-2/. Acesso em: 24 fev. 2019. https://edrmedeso.com/tekla-structures-and-sap2000-v-17-interface-2/ 14 Esses avanços permitem a construção de estruturas cada vez mais complexas, uma vez que é possível realizar as verificações estruturais num curto espaço de tempo e com grande confiabilidade dos resultados. A confiabilidade dos resultados está diretamente relacionada com a correta parametrização da estrutura, em termos normativos. Além disso, o domínio técnico do profissional que atua nas análises estruturais é o ponto-chave para a correta interpretação dos resultados e tomadas de decisões que favoreçam o desempenho seguro das estruturas. Graças aos recursos computacionais, hoje é possível construir arranha-céus rapidamente (Figura 7), servindo como marcos que representam o desenvolvimento tecnológico e a competitividade econômica dos países (DEMPSEY, 2014). Figura 7 – Novos arranha-céus estão sendo construídos rapidamente ao longo de Abu Dhabi Fonte: MindStorm-inc/iStock.com. Para passar da simples interpretação da estrutura real até chegar ao modelo computacional é necessário seguir o processo apresentado na Figura 8. A estrutura real é apresentada graficamente e sobre ele 15 pode ser elaborado o modelo estrutural, que consiste na visualização dos carregamentos sobre a estrutura. Essa etapa exige grande poder de intepretação e abstração por parte do profissional. A etapa seguinte é o modelo discreto, onde serão apresentados os deslocamentos e deformações. Trata-se de uma etapa intrínseca ao cálculo computacional, no entanto, para uma série de análises prévias é possível obter o modelo por meio de alguns métodos analíticos (Método das Forças e Método dos deslocamentos). Por fim, o modelo computacional é aquele a ser tratado por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) e tem como resultado um resumo detalhado do comportamento de todos os elementos da estrutura e a relação entre eles. Figura 8 – Abstração para análise estrutural Fonte: Adaptada de Martha (2010). 3. Elementos estruturais Toda estrutura pode ser segmentada em elementos que a compõem. O que diferencia os elementos entre si são características geométricas 16 e os esforços sob os quais cada um deles trabalha. A NBR 6118 (ABNT, 2014), em seu item 14.1, classifica os elementos em função das suas características geométricas. Elementos lineares (ou barras, Figura 9.a) são aqueles onde uma das dimensões é maior em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal. Os exemplos mais comuns são as vigas (recebem carga verticalmente ao eixo principal) e os pilares (recebem carga axialmente ao eixo principal). Elementos bidimensionais (ou elementos de superfície, Figura 9.b) são aqueles onde uma dimensão é muito menor que as outras duas dimensões. Os exemplos mais comuns são as lajes (placas, pois têm carregamento perpendicular à superfície) e as paredes. Além de placas, os elementos bidimensionais podem se comportar como chapas, quando o carregamento está contido no plano da superfície. Por fim, cascas são elementos de superfície curva. Elementos tridimensionais são os elementos de volume, onde as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza, como blocos de fundação,sapatas, etc. Figura 9 – Exemplo de elementos no contexto da estrutura a. Barras que compõem uma estrutura, desempenhando papel de vigas e pilares. Fonte: iStock – runna10/iStock.com b. Superfície que compõem uma estrutura, desempenhando papel de laje. Fonte: iStock – sheldunov/iStock.com 17 4. Tipos de estruturas Muitos fatores contribuem para a escolha de um sistema estrutural. Os fatores podem ser econômicos, disponibilidade de materiais ou até mesmo disponibilidade de mão de obra. O profissional responsável por realizar as análises da estrutura precisa estar ciente das peculiaridades do sistema escolhido. A seguir são apresentados os principais sistemas estruturais. 4.1 Concreto armado O concreto armado é originado pela composição de concreto (mistura de cimento, água, agregados miúdos e graúdos) e armaduras de aço, tendo como principal fenômeno a aderência entre os dois diferentes materiais. O desempenho de estruturas de concreto armado é historicamente conhecido e apresenta muitas vantagens: baixo custo de produção e execução, domínio das técnicas construtivas (alta disponibilidade de mão-de-obra), flexibilidade de projeto, boa resistência ao fogo, intempéries, choques mecânicos e vibrações. PARA SABER MAIS O concreto tem como principal característica a elevada resistência a compressão. Já o aço apresenta como principais características a ductilidade, resistência à tração, flexão e torção. Dessa forma, juntos, compõem um dos sistemas estruturais mais utilizados globalmente. Uma variação muito aplicada do concreto armado é o concreto protendido, onde as armaduras sofrem deformações antes da concretagem, melhorando seu desempenho durante o período de utilização da estrutura. Geralmente é aplicado para vencer grandes vãos que o concreto armado simples são venceria. 18 4.2 Estruturas metálicas As estruturas metálicas são aquelas cujos elementos são produzidos totalmente em material metálico, principalmente aço. A estrutura metálica pode ser utilizada para a execução de vigas, pilares, terças, treliças de telhado, dentre outros. Este tipo de estrutura vem sendo largamente utilizado desde a revolução industrial e apresenta uma série de vantagens: seções esbeltas melhoram o uso do espaço e deixam a estrutura mais leve, maior confiabilidade nas propriedades do material (pelo fato de ser industrializado), uniformidade no acabamento, canteiro de obra mais enxuto e maior velocidade na execução. 4.3 Estruturas de madeira As estruturas de madeira vêm ganhando espaço no mercado de construção em larga escala, principalmente com o uso de matéria-prima de reflorestamento, posteriormente tratadas para resistir melhor às ações físico-químicas do ambiente. Para se posicionar no mercado como um sistema estrutural competitivo, as estruturas de madeira necessitam de alguns cuidados, como o tratamento contra fungos e cupins e, em algumas situações, a aplicação de substâncias que retardam a propagação do fogo em caso de incêndio. Entre as vantagens do uso das estruturas de madeiras podemos destacar a leveza do material, baixo preço e o fato de ser composta por materiais renováveis. 4.4 Alvenaria estrutural A alvenaria estrutural é um sistema no qual os pilares e vigas de concreto armado são substituídos por paredes autoportantes. Essas paredes são construídas com blocos de alta resistência, podendo ser cerâmicos ou de concreto. As vantagens no uso desse sistema são a economia com fôrmas de madeira, aço e concreto, o fato de suas técnicas serem de simples replicação para formação de mão de obra, 19 além do canteiro de obras ser mais organizado, pois apresenta uma menor variedade de materiais. 4.5 Estruturas mistas As estruturas mistas são aquelas compostas pela combinação de mais de um sistema estrutural isolado. No setor da construção civil no Brasil são muito comuns obras com estruturas mistas de concreto armado com estruturas metálicas. Nestes casos, os pontos que requerem maior atenção são as interfaces de ligação entre os diferentes materiais. Além do projeto detalhado da ligação, é fundamental considerar os diferentes comportamentos, intrínsecos às características de cada um dos componentes. 5. Recapitulando A análise estrutural é a ferramenta que permite estudar o comportamento das estruturas e elaborar projetos cada vez mais eficientes e seguros. Com análises cada vez mais precisas, é possível evoluir quanto às técnicas e materiais utilizados. É papel do profissional interpretar corretamente os elementos da estrutura e estudar aos esforços, cargas e deformações que estão sujeitos. TEORIA EM PRÁTICA Você trabalha em um escritório de análise e cálculo estrutural. Além de projetos estruturais, a empresa é responsável por emitir laudos quanto à estabilidade e segurança de estruturas. Em épocas em que o mercado da construção está aquecido, as principais tarefas estão relacionadas com cálculo e desenvolvimento de 20 projetos estruturais. Em épocas de baixa no mercado da construção, o principal serviço é a visita aos mais variados tipos de edificações, inspeção, análise dos esforços aos quais cada elemento está submetido e o parecer quanto ao comportamento do sistema estrutural. Você está responsável por treinar um novo funcionário e como primeira tarefa pediu que fizesse um relatório com duas construções que encontrasse no trajeto até o restaurante na hora do almoço, descrevendo resumidamente os elementos estruturais presentes na edificação, bem como os prováveis esforços a que estão submetidos. O novo funcionário apresentou em seu relatório um museu e um galpão industrial. Agora você precisa explicar detalhadamente os elementos estruturais e apresentar os esforços característicos aos quais estão sujeitos. VERIFICAÇÃO DE LEITURA 1. A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é responsável pela sustentação de todos os sistemas e subsistemas, resistindo aos esforços atuantes. Além disso, é responsável por prover segurança e estabilidade à construção. A estrutura deve ser projetada para: a. proporcionar um ambiente com iluminação e ventilação natural, seguro e com longa vida útil. b. resistir a intempéries, choques mecânicos e outros fatores que possam afetar a construção. c. resistir aos esforços das lajes e impedir qualquer deslocamento dos seus elementos. 21 d. proporcionar que os deslocamentos sejam transmitidos às fundações. e. resistir aos choques mecânicos provocados pelo trânsito dos ocupantes da edificação. 2. Para passar da simples interpretação da estrutura real até chegar ao modelo computacional, é necessário seguir algumas etapas: 1 – Modelo computacional 2 – Modelo discreto 3 – Estrutura Real 4 – Modelo estrutural Assinale a alternativa que apresenta corretamente a sequência das etapas descritas. a. 1 - 3 - 2 - 4. b. 1 - 3 - 4 - 2. c. 3 - 4 - 2 - 1. d. 3 - 4 - 1 - 2. e. 4 - 3 - 2 - 1. 3. A escolha dentre os diferentes sistemas estruturais é uma tomada de decisão que deve ser baseada nas características necessárias para o projeto. Avalie as afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F para falso. ( ) O concreto armado apresenta baixo custo e alta confiabilidade nas características do material. 22 ( ) O concreto armado protendido apresenta boa resistência ao fogo e é utilizado para vencer grandes vãos. ( ) As estruturas metálicas apresentam um canteiro de obra enxuto e maior velocidade de execução. a. V - V - V. b. V - F - V. c. V - F - F. d. F - F - V. e. F - V - V. Referências Bibliográficas ABNT. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto-procedimento. Rio de Janeiro, 2014. BASTOS, P. S. S. Fundamentos do concreto armado. Bauru: UNESP, 2006. BRAIDWOOD, R. J. The agricultural revolution. Scientific American, v. 203, n. 3, p. 130-152, 1960. DEMPSEY, Michael Cameron. Castles in the Sand: A city planner in Abu Dhabi. McFarland, 2014. GILBERT, A. M.; LEET, K. M.; UANG, C. M. Fundamentosda análise estrutural. 3. ed. McGrawHill Brasil, 2009. KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, 2009. MARK, E. Great Wall of China. Ancient History Encyclopedia. Disponível em: https://www.ancient.eu/Great_Wall_of_China/. Acesso em: 24 fev. 2019. MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2010. PONT DU GARD. Site oficial da Ponte do Gard. Disponível em: http://www. pontdugard.fr/fr?langue=FR. Acesso em: 17 mar. 2019. WALDRON, Arthur. The Great Wall of China: from history to myth. Cambridge University Press, 1990. https://www.ancient.eu/Great_Wall_of_China/ http://www.pontdugard.fr/fr?langue=FR http://www.pontdugard.fr/fr?langue=FR 23 Gabarito Questão 1 – Resposta: B Resolução: A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é responsável pela sustentação de todos os sistemas e subsistemas, resistindo aos esforços atuantes. Além disso, é responsável por prover segurança e estabilidade à construção. A estrutura deve ser projetada para resistir a intempéries, choques mecânicos e outros fatores que possam afetar a construção. Questão 2 – Resposta: C Resolução: A estrutura real é apresentada graficamente e sobre ele pode ser elaborado o modelo estrutural, que consiste na visualização dos carregamentos sobre a estrutura. Essa etapa exige grande poder de intepretação e abstração por parte do profissional. A etapa seguinte é o modelo discreto, onde serão apresentados os deslocamentos e deformações. Trata-se de uma etapa intrínseca ao cálculo computacional, no entanto, para uma série de análises prévias é possível obter o modelo por meio de alguns métodos analíticos (Método das Forças e Método dos deslocamentos). Por fim, o modelo computacional é aquele a ser tratado por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) e tem como resultado um resumo detalhado do comportamento de todos os elementos da estrutura e a relação entre eles. Questão 3 – Resposta: E Resolução: A 1ª afirmativa é falsa, pois o aço apresenta alta confiabilidade nas características do material por ser produzido industrialmente. As outras afirmativas são verdadeiras. Classificação dos apoios das estruturas e suas reações Autor: Renan de Lima Branco Leitor crítico: Alana Dias de Oliveira Objetivos • Compreender a ocorrência dos esforços internos em situações de equilíbrio; • Capacitar a identificar os diferentes tipos de apoios dos elementos estruturais; • Capacitar a calcular as reações nos diferentes tipos de apoios. 25 1. Apoios de elementos estruturais Toda estrutura é projetada de forma tal que as cargas recebidas sejam transmitidas ao solo de alguma forma. No entanto, uma estrutura, geralmente, não é constituída de um único elemento (estrutura monolítica). As estruturas são compostas por elementos que transmitem as cargas recebidas aos elementos a que estão conectados. Existe um trabalho integrado entre os elementos para que seja alcançada a estabilidade da estrutura. A relação entre elementos se dá por conexões. Quando é feita uma análise estrutural detalhada, analisa-se cada um dos elementos isoladamente, na medida do possível. Dessa forma, cada tipo de conexão entre elementos pode ser representado como um apoio, classificados em rígidos, articulados ou com rolamento. Na Figura 1 é possível observar representações clássicas para esses diferentes tipos de suporte. Figura 1 – Representação de apoios: (a) classe I, apoio móvel. (b) classe II, apoio fixo. (c) classe III, engaste (a) (b) (c) Fonte: Elaborada pelo autor. As reações de apoio são os esforços exercidos pelos apoios a fim de assegurar o equilíbrio do elemento. É importante conhecer seus valores, sentidos e direções. Como os apoios representam pontos de contato entre diferentes elementos, a Terceira Lei de Newton assegura que o carregamento transmitido ao elemento de apoio terá igual módulo, direção e sentido oposto à reação calculada. 26 PARA SABER MAIS O enunciado da Terceira Lei de Newton é o seguinte: Para toda força que surgir num corpo como resultado da interação com um segundo corpo, deve surgir nesse segundo uma outra força, chamada de reação, cuja intensidade e direção são as mesmas da primeira, mas cujo sentido é o oposto da primeira (RIDPATH, 2012). 2. Equilíbrio de estruturas Para a análise de reações nos apoios é importante compreender o conceito de esforços internos e a diferenciação das forças externas. As forças externas são aquelas originadas de carregamentos (permanentes, acidentais, ambientais), bem como as reações dos apoios estruturais. Já os eforços internos são aqueles presentes em cada seção do elemento. O equilíbrio estrutural pode ser definido como a permanência no estado de repouso de uma estrutura que, inicialmente em repouso, continua neste estado mesmo quando sujeita a uma combinação de carregamentos (KASSIMALI, 2015). O equilíbrio é alcançado quando todas as forças atuantes, momentos e reações de apoio (Figura 2) se equilibram, sem haver resultante diferente de zero em qualquer direção. O sistema de equações que representa o equilíbrio tridimensional de um elemento é o seguinte: 0 0 0 x y z F F F = = = ∑ ∑ ∑ 0 0 0 x y z M M M = = = ∑ ∑ ∑ 27 Figura 2 – Atuação de forças externas e momentos atuantes em um elemento tridimensional Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). Para um modelo bidimensional (estruturas planas), o conjunto de equações que definem o equilíbrio pode ser resumido naquelas que relacionam somente as duas coordenas principais1 (x e y): 0 0 0 x y z F F M = = = ∑ ∑ ∑ As principais formas de carregamento estão apresentadas na Figura 3. A Figura 3(a) apresenta a força concentrada, caracterizada por ser aplicada em um único ponto, podendo variar módulo, sentido e direção. A Figura 3(b) apresenta o momento fletor concentrado, caracterizado por causar uma rotação do elemento em torno do eixo z, podendo variar o sentido do giro. A Figura 3(c) apresenta o carregamento distribuído, caracterizado por aplicar cargas ao longo de um trecho do elmento, podendo variar o formato da sua distribuição. 1 O momento em torno do eixo z é considerado no sistema de equações, pois ele é gerado pelas forças nos eixos x e y. 28 Figura 3 – Principais carregamentos. (a) Força concentrada. (b) Momento concentrado. (c) Carga distribuída (a) (b) (c) Fonte: Elaborada pelo autor. 3. Cálculo de reações Para aplicar os conceitos de equilíbrio e apoio, tendo por finalidade o cálculo das reações de apoio, vamos estudar a Figura 4. Uma viga biapoioada, com um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel na outra, recebe uma carga concentrada, uma carga triangularmente distribuída e um momento concentrado. As reações de apoio são responsáveis por garantir o equilíbrio do sistema de equações, ou seja, a somatória das forças na direção x e na direção y devem ter somatória igual a zero. O apoio do ponto A apresenta duas reações, pois é um apoio fixo e impede o deslocamento em duas direções, gerando uma reação vertical RA e uma reação horizontal HA. O apoio do ponto B é um apoio simples e impede o deslocamento somente em uma direção, gerando somente uma reação, neste caso, como o apoio B sustenta o elemento na direção vertical, a reação será na direção vertical RB. 29 Figura 4 – Equilíbrio estático em uma viga biapoiada Fonte: Elaborada pelo autor. 3.1 Exemplos de aplicação É fundamental que o profissional da Engenharia Estrutural domine o processo de calcluar as forças de reações dos apoios. Dessa forma a proposta desta seção é que você exercite a capacidade resolutiva de problemas. Serão apresentados diferentes tipos e posições de apoios, com diferentes carregamentos. Para todas essas configurações o objetivo é o mesmo: determinar módulo, direção e sentido das reações de apoio. 3.1.1 Força aplicada sobre viga biapoiada A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga concentrada de 20 kN aplicada a3 metros de um dos apoios. Figura 5 – Viga com carregamento concentrado Fonte: Elaborada pelo autor. 30 O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: 0 0 0 x y A F F M = = = ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : 20 0 20 0 : 20 3 5 0 60 12 5 20 20 12 8 x A y A B A B A B B A B F H F kN R R R kN R M kN m R m kNmR kN m R kN R kN kN kN = = = − + + = = − = ⋅ − ⋅ = = = = − = − = ∑ ∑ ∑ Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário à força aplicada. Figura 6 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 31 3.1.2 Força aplicada sobre viga engastada A seguir está apresentada uma viga engastada com uma carga concentrada de 20 kN aplicada a 5 metros do engaste, na extremidade oposta ao apoio. Figura 7 – Viga engastada com carregamento concentrado Fonte: Elaborada pelo autor. O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para o apoio. No caso, foi considerado o engaste como apoio A. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A impede toda movimentação, inclusive rotação, haverá um momento diferente de zero que deve equilibrar-se com o momento causado pela força aplicada. Dessa forma, temos o seguinte sistema de equações: 0 0 0 x y A F F M = = ≠ ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : 20 0 20 20 5 100 x A y A A A F H F kN R R kN M kN m kNm = = = − + = = = ⋅ = ∑ ∑ 32 Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a força aplicada tende a rotacionar o elemento no sentido horário, logo, a reação de momento no engaste (apoio A) deverá ter sentido anti-horário. Figura 8 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 3.1.3 Força aplicada sobre viga em balanço A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga concentrada de 20 kN aplicada na extremidade em balanço, onde os apoios distam 3 metros entre si. Figura 9 – Viga biapoiada com balanço Fonte: Elaborada pelo autor. O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 33 impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: 0 0 0 x y A F F M = = = ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : 20 0 20 0 : 20 5 3 0 100 33,3 3 20 20 33,3 13,3 x A y A B A B A B B A B F H F kN R R R kN R M kN m R m kNmR kN m R kN R kN kN kN = = = − + + = = − = ⋅ − ⋅ = = = = − = − = − ∑ ∑ ∑ Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. Figura 10 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 34 4. Carga distribuída sobre viga biapoiada A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga distribuída de 20 kN/m aplicada ao longo dos 4 metros entre os apoios. Figura 11 – Viga biapoiada com carregamento distribuído Fonte: Elaborada pelo autor. O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: 0 0 0 x y A F F M = = = ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : (20 4 ) 0 80 0 : (20 4 ) 2 4 0 160 40 4 80 80 40 40 x A y A B A B A B B A B F H F kN m m R R R kN R M kN m m m R m kNmR kN m R kN R kN kN kN = = = − ⋅ + + = = − = ⋅ ⋅ − ⋅ = = = = − = − = ∑ ∑ ∑ 35 Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário à força aplicada, o que foi confirmado pelo sinal de positivo ao final dos cálculos. Figura 12 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 4.1 Carga distribuída sobre viga em balanço A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga distribuída de 20 kN/m ao longo de toda a extensão do trecho em balanço de uma viga biapoiada. Figura 13 – Viga biapoiada com balanço e carregamento distribuído Fonte: Elaborada pelo autor. O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele mais à esquerda do elemento e, B, aquele mais à direita do elemento. 36 Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: 0 0 0 x y A F F M = = = ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: Figura 14 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 37 4.2 Combinação de carga distribuída e força concentrada aplicada em viga A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga concentrada de 20 kN aplicada na extremidade em balanço e uma carga distribuída de 4 kN/m no trecho entre os apoios. Figura 15 – Viga biapoiada com balanço e carregamento distribuído 2 Fonte: Elaborada pelo autor. O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado o apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : 20 4 3 0 32 0 : 20 5 (4 3 ) 1,5 3 0 118 39,3 3 32 32 39,3 7,3 x A y A B A B A B B A B F H F kN kN m m R R R kN R M kN m kN m m m R m kNmR kN m R kN R kN kN kN = = = − − ⋅ + + = = − = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = = = = − = − = − ∑ ∑ ∑ 38 Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças na direção do eixo y mostra que as reações RAe RB apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. Figura 16 – Resolução Fonte: Elaborada pelo autor. 4.3 Força aplicada em pórtico A seguir está apresentado um pórtico biapoiado, onde os apoios distam 4 metros horizontalmente e 2 metros verticalmente. Na extremidade em balanço do pórtico está aplicada uma caraga concentrada de 10 kN. Figura 17 – Pórtico inclinado com carga concentrada Fonte: Elaborada pelo autor. 39 O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, fornecendo uma das equações para o sistema: 0 0 0 x y A F F M = = = ∑ ∑ ∑ Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 0 : 0 0 : 10 0 10 0 :10 6 4 0 60 15 4 10 10 15 5 x A y A B A B A B B A B F H F kN R R R kN R M kN m R m kNmR kN m R kN R kN N kN = = = − + + = = − = ⋅ − ⋅ = = = = − = − = − ∑ ∑ ∑ Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. A compreensão de como diferentes confirgurações do sistema estrutural alteram os valores das reações de apoio poderá ser alcançada somente com o exercício de desenvolver o raciocínio de cálculo. Aproveite para resolver novamente os exemplos apresentados com a liberdade de variar os valores das cargas e das dimensões das vigas e pórticos. 40 TEORIA EM PRÁTICA Você está responsável por analisar um pórtico que recebe diferentes carregamentos: um carregamento distribuído, uma carga concentrada e um momento concentrado (Figura 18). Fazendo as considerações necessárias, apresente os valores das reações nos apoios desse pórtico. Figura 18 – Pórtico inclinado com carga concentrada Fonte: Elaborada pelo autor. VERIFICAÇÃO DE LEITURA 1. As cargas atuantes em uma estrutura são transmitidas entre os elementos estruturais de uma forma que: a. as conexões funcionam como ponto de contato entre os elementos e podem ser interpretadas, em termos de análise, como apoios. b. as conexões e os apoios sejam conhecidamente distintos: um proporciona impedimento à rotação enquanto o outro impede deslocamentos. 41 c. as conexões entre eles funcionam como ponto de contato rígido entre os elementos e podem ser interpretadas, em termos de análise, como engastes. d. os valores transmitidos independem do tipo de conexões e restrições de movimentos que ela proporciona. e. para cada tipo de sistema estrutural existe uma nomenclatura diferente para os tipos de apoios. 2. As reações de apoio são os esforços exercidos pelos apoios a fim de assegurar o equilíbrio do elemento. É importante conhecer seus valores, sentidos e direções. Avalie as afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F para falso. ( ) o carregamento transmitido ao elemento de apoio terá iguais módulo e direção, mas sentido oposto à reação calculada. ( ) o estudo da transmissão das cargas aos apoios é importante para entender o equilíbrio do elemento estrutural. ( ) as reações de apoio são exemplos de esforços internos da estrutura. ( ) o equilíbrio é alcançado quando todas as forças atuantes, momentos e reações de apoio resultam em valores diferentes de zero, em qualquer direção. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. a. V - V - V - V. b. F - V - V - V. 42 c. V - F - F - V. d. V - V - F - F. e. V - V - F - V. 3. Avalie as afirmativas a seguir, onde cada uma delas descreve as principais formas de carregamento em um elemento estrutural: I. a força concentrada é caracterizada por ser aplicada em um único ponto, podendo variar módulo, sentido e direção. II. o momento fletor concentrado é caracterizado por causar giro do elemento em torno do próprio eixo de aplicação da força. III. o carregamento distribuído é caracterizado por aplicar cargas em todo o elemento estrutural, de forma uniforme. É correto o que se afirma apenas em: a. I. b. II. c. III. d. I e II. e. II e III. Referências Bibliográficas BEER, Ferdinand P. et al. Vector mechanics for engineers. 9. ed. Tata McGraw-Hill Education, Nova Iorque, 2009. 43 HIBBELER, Russell C.; TAN, Kiang-Hwee. Structural Analysis in SI Units. Pearson Australia Pty Limited, Singapura, 2016. KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, Ilinois, 2009. RIDPATH, Ian. A dictionary of astronomy. Oxford University Press, Oxford, 2012. Gabarito Questão 1 – Resposta: A Resolução: Existe um trabalho integrado entre os elementos para que seja alcançada a estabilidade da estrutura. A relação entre elementos se dá por conexões. Quando é feita uma análise estrutural detalhada, analisa-se cada um dos elementos isoladamente, na medida do possível. Dessa forma, cada tipo de conexão entre elementos pode ser representado como um apoio, classificados em rígidos, articulados ou com rolamento. Questão 2 – Resposta: D Resolução: As reações de apoio são consideradas forças externas à estrutura, mas é fundamental seu conhecimento para o cálculo dos esforços internos. O equilíbrio é alcançado quando todas as forças atuantes (concentradas, distribuídas, momentos e reações de apoio) equilibram-se, ou seja, a resultante em cada direção é igual a zero. Questão 3 – Resposta: A Resolução: O momento fletor causa a rotação do elemento perpendicularmente ao eixo de aplicação da força. A carga distribuída pode ser aplicada ao longo de um trecho do elemento, não necessariamente em todo o elemento e pode variar o formato da sua distribuição. Classificação das forças atuantes nas estruturas Autor: Renan de Lima Branco Leitor crítico: Alana Dias de Oliveira Objetivos • Capacitar a verificação das cargas que podem agir sobre a estrutura durante sua vida útil; • Dominar as normas relacionadas para o dimensionamento de carregamentos e os tipos de carregamentos que cada elemento está sujeito; • Ser capaz de estimar a magnitude das cargas de projeto. 45 1. Carregamentos Beer (2009) apresenta que as forças atuantes sobre um corpo rígido podem ser separadas em dois grupos: forças externas e forças internas. As ações de outros corpos (ou campos) são as forças externas e são responsáveis pelo comportamento exterior do corpo rígido. As forças externas são caracterizadas por representar carregamentos sobre as estruturas. Já as forças internas são aquelas responsáveis por manter a estrutura íntegra, inclusive se for composta por diferentes elementos. As forças externas representam os carregamentos sobre a estrutura. Tais carregamentos são, geralmente, classificados em função da sua natureza e origem: cargas permanentes, cargas acidentais e cargas ambientais (KASSIMALI, 2016). 1.1 Carregamentos permanentes As cargas permanentes consistem dos pesos dos vários elementos estruturais e nos pesos de quaisquer objetos que compõem ou estão permanentemente conectados à estrutura. Assim, para um edifício, as cargas permanentes incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, entre outros elementos construtivos. Inicialmente, o carregamento permanente inerente à própria estrutura deve ser calculadocom base em valores característicos e, após análise estrutural e ajuste das dimensões dos elementos estruturais, deve ser adotado o novo carregamento. Os pesos específicos de alguns materiais comuns de construção estão fornecidos na Tabela 1. Outros equipamentos presentes na edificação têm seus dados obtidos com os fabricantes. 46 Tabela 1 – Alguns pesos específicos geralmente adotados Material Peso específico (kN/m³) Alumínio 28 Bloco cerâmico maciço (Tijolo) 18 Concreto simples 24 Concreto armado 25 Aço (Estrutural) 77,0 Madeira (Eucalipto) 10 *Para consultar outros pesos específicos vide NBR 6120 (ABNT, 2019, pág. 8, 9 e 10) Fonte: NBR 6120 (ABNT, 2019). PARA SABER MAIS A norma brasileira que apresenta as diferenciações entre os carregamentos é a NBR 8681 (ABNT, 2004), “Ações e segurança nas estruturas – Procedimento”. De acordo com a norma, as ações a considerar classificam-se em permanentes, variáveis e excepcionais. Além disso, a norma fixa os requisitos para a verificação da segurança estrutural e estabelece as definições e os critérios de quantificação das ações e das resistências a serem consideradas no projeto das estruturas. Veja na prática um exemplo para determinar o carregamento permanente de uma viga. A viga metálica de perfil I da Figura 1 suporta uma laje de espessura 10 centímetros. A área de influência1 da laje sobre esta viga é de 1,80 metros ao longo de todo o elemento. A viga ainda suporta uma parede de 30 centímetros de largura por 2,40 metros de altura composta por tijolos. Para calcular o carregamento permanente que atua sobre a viga, basta utilizar os dados da Tabela 1 e seguir os cálculos apresentados a seguir. 1 Área de influência é a porção da área da laje que exerce influência sobre o comprimento de uma viga espe- cífica. A sustentação de uma laje, geralmente, se dá pela distribuição de sua carga sobre algumas vigas, dessa forma é necessário calcular qual será a parcela de carga que cada uma das vigas recebe. Há uma seção espe- cífica para você estudar mais sobre este assunto. 47 Como não se conhece o comprimento total da viga, pode ser admitido o carregamento por unidade de comprimento: Laje: 25 kN/m3.1,80m/m .0,10m=4,50 kN/m Parede: 18 kN/m3.2,40m/m .0,30m=12,96 kN/m Total: 4,50+12,96=17,46 kN/m Figura 1 – Parede e laje sobre viga metálica. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2016). No item 5.4 da NBR 6120 (ABNT, 2019) existe uma tabela que facilita esse cálculo, nela consta a indicação de carregamentos pré-estabelecidos de alvenarias prontas, considerando também a espessura de revestimento por face, o bloco e a argamassa de assentamento entre blocos vertical e horizontal. Além deste carregamento, para análise do comportamento da viga será necessário acrescentar seu peso próprio. Para elementos metálicos, o peso próprio é encontrado tabelado em função do perfil metálico empregado. Essas informações, assim como detalhes do perfil, podem ser obtidos em catálogos de fabricantes. 48 1.2 Carregamentos acidentais Cargas acidentais, também chamadas de cargas variáveis, são todas aquelas que apresentam variações significativas no seu valor em torno de sua média durante a vida útil da edificação e que atuam sobre a estrutura em função do uso da edificação. Elas podem variar tanto em magnitude quanto em localização da sua aplicação, e ainda podem ser causadas pelos pesos de objetos temporariamente colocados em uma estrutura, veículos em movimento ou forças naturais. Existe a estipulação de valores mínimos a serem adotados pela norma NBR 6120 (ABNT, 2019). As cargas acidentais (ou variáveis) normalmente são especificadas como cargas uniformemente distribuídas em 2/kN m . A Tabela 2 apresenta alguns valores mínimos a serem adotados para diferentes usos. Tabela 2 – Valores mínimos para algumas cargas acidentais Local Carga (kN/m²) Bancos Escritórios 2,5 Banheiros 2,0 Salas de diretoria e de gerência 2,5 Corredores Com acesso ao público 3,0 Sem acesso ao público 1,5 Edifícios residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5 Despensa, área de serviço e lavanderia 2,0 Forros Sem acesso a pessoas (redução de cargas não permitida) 0,1 Lojas Circulação em geral 4,0 Fonte: NBR 6120 (ABNT, 2019). As cargas variáveis devem ser consideradas como quase-estáticas e podem ser multiplicadas por um coeficiente de redução conforme descrito no item 6.12 da NBR 6120 (ABNT, 2019). Além de estabelecer padrões de cálculo, a norma ainda estabelece alguns pontos de atenção, como a utilização de cargas acidentais especiais no 49 projeto de garagens e estacionamentos, conforme item 6.6.1 da NBR 6120 (ABNT, 2019). Outro ponto interessante que consta no item 6.3 que trata das forças horizontais que devem ser acrescentadas a guarda-corpos ou barreiras de proteção de pessoas. E por fim um tópico, item 6.4, específico para cargas variáveis em coberturas, sempre proporcionais à inclinação do telhado, como no exemplo abaixo: • Para inclinações de 5% em coberturas: Carga de q=0,25 kN/m². • Para inclinações de 1,5% em coberturas: Carga de q=0,50 kN/m². • Para outras inclinações em coberturas: Utilizar fórmula que consta na norma para determinar o valor exato a ser considerado. PARA SABER MAIS O estudo das cargas encontradas em pontes segue a norma NBR 7187 (ABNT, 2021), “Projeto de pontes, viadutos e passarelas de concreto”, onde é apresentada uma classificação igual à conhecida para edificações (permanentes, acidentais, ou variáveis, e excepcionais). No entanto, cada uma dessas classes abrange ações que requerem acompanhamento pela própria norma de pontes, a NBR 7188 (ABNT, 2013), pois o estudo de cargas em movimento difere bastante de cargas estáticas. 1.3 Carregamentos ambientais Finalmente, após conhecer os carregamentos devido ao peso próprio da estrutura e às solicitações inerentes ao seu uso, você conhecerá quais são as cargas devido a fenômenos ambientais (naturais ou não). 50 As mais comuns delas são cargas de vento, produzidas pelo fluxo do vento em torno da estrutura. A NBR 6123 (ABNT, 2013) trata das forças devidas ao vento em edificações. Neste caso, as cargas de vento são consideradas ambientais pela sua origem, mas não excepcionais, pois ocorrem numa frequência maior do que sismos e incêndios, por exemplo. A velocidade básica do vento, V0, é a velocidade de uma rajada de 3 segundos, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano. A Figura 2 apresenta o gráfico das isopletas da velocidade básica no Brasil, com intervalos de 5 m/s. Como regra geral, é admitido que o vento básico pode soprar de qualquer direção horizontal. Figura 2 – Isopletas da velocidade básica V0 (m/s) Fonte: NBR 6123 (ABNT, 2013). 51 A força do vento em uma superfície plana depende da velocidade característica do vento, que por sua vez depende da velocidade básica e de diferentes fatores: ([1] topográfico; [2] influência da rugosidade do terreno, das dimensões da edificação ou parte da edificação em estudo e de sua altura sobre o terreno; e [3] conceitos probabilísticos. As cargas de ventos são especialmente importantes para estruturas metálicas, pois são estruturas leves e o vento representa um risco à estabilidade e segurança. Em estruturas metálicas, o vento pode causar efeitos de sobrepressão (efeito é somado às cargas permanentes e acidentais) ou efeitos de sucção (efeito é subtraído das cargas permanentes de acidentais). Outras cargas ambientais importantes para cálculo, mas classificadas como excepcionais, são aquelas devido a explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais. Os incêndios, ao invés de serem tratados como causa de ações excepcionais, também podem ser levados em conta por meio de uma redução da resistência dos materiais constitutivos da estrutura. Cargas ambientais que podem ser consideradas não excepcionais, além do vento, podem ser as variações de temperatura, o atrito nosaparelhos de apoio e, em geral, as pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. A NBR 8681 (ABNT, 2004) é onde estão consolidadas as tabelas de referência para majoração das cargas em função de sua origem e frequência. 2. Área de influência A área de influência que contribui para o carregamento de um determinado elemento deve ser encontrada pelo estudo da geometria do sistema estrutural. A seguir são apresentados alguns casos bastante recorrentes, mas, para modelos menos usuais, será necessário que você 52 estude muito bem as características geométricas e interprete como as cargas serão transmitidas entre os elementos. As Figuras 3a e 3b apresentam um caso de uma laje com dimensões 1 23L L× apoiada sobre um sistema composto por 4 vigas igualmente espaçadas ( , , ,AE BF CG DH ) e duas longarinas ( ,AD EH ). Em casos como esse, cada viga receberá uma carga proporcional à metade da área da laje que é apoiada nela, onde q é a carga acidental considerada. Figura 3a – Áreas de influência sobre vigas, caso 1 Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). No caso da Figura 3a, o comprimento de influência (Li) a ser utilizado para calcular a área de influência das vigas centrais ,BF CG , indicada pela região 1, será de ou então L1. Mas, a as vigas externas, ,AE DH terão comprimento de influência (Li) (região 2) de . Ou seja, as vigas centrais, ,BF CG , recebem duas vezes o valor que as vigas laterais ,AE DH recebem, chegando então nas seguintes equações: • • 53 Portanto, para determinar qual o carregamento distribuído (C ), em [kN/m] que cada viga recebe de fato, multiplica-se o valor da carga total q (permanente + acidental) da laje, aos respectivos comprimentos de influência, acrescido do peso próprio da viga (Q), ou seja: . Para as vigas internas ,BF CG : Para as vigas externas ,AE DH : Nos esquemas acima, podemos já verificar as reações de apoio geradas pelo carregamento na viga. Como trata-se de uma viga bi-apoiada simples, foi utilizada a simplificação: São essas reações de apoio que vão solicitar as longarinas ,AD EH , como ilustrado na Figura 3b. 54 Figura 3b – Áreas de influência sobre longarinas, caso 1 Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). As solicitações das vigas nas longarinas, será em forma de carga pontual (kN) nos pontos onde essas vigas estão apoiadas, em A, B, C, D para a longarina e em (E, F, G, H) para a longarina . Lembrando que deve-se acrescer ainda no esquema estático o valor do Peso Próprio da Longarina em forma de carga distribuída. Dessa forma, o carregamento em função da área de influência para cada elemento fica: Para as longarinas ,AD EH : Observa-se que, caso continuássemos a determinar o caminho das ações, as Reações AD e EH seriam aquelas que utilizaríamos para calcular os pilares que sustentam aquelas longarinas. 55 Para simplificar os próximos casos, e facilitar o entendimento da proporcionalidade de carregamento que as áreas de influência causam, a partir deste ponto a carga q apresentada será relacionada somente com o carregamento da laje não estando somado o valor do peso próprio das vigas e longarinas metálicas. Voltando ao entendimento de áreas de influência, nos casos onde a carga da laje é distribuída a 2 vigas (à esquerda e à direita como na Figura 3), temos que cada viga receberá a carga proporcional a metade da área de laje que está apoiada sobre ela, sendo o carregamento da parcela de laje nessa viga a multiplicação de q pelo comprimento de influência Li . Portanto, no caso da Figura 4 onde é apresentado um caso de laje com dimensões L L× apoiada sobre um sistema composto por 4 vigas de iguais dimensões ( , , ,AB BD DC CA ). Em casos como esse, cada viga receberá uma carga proporcional a um quarto da área da laje que apoia com o carregamento da parcela de laje nessa viga seguindo o mesmo conceito acima, de Figura 4 – Áreas de influência sobre vigas, caso 2 Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 56 Se Li é igual a L2 /2 e a carga incide de forma triangular, dessa forma, o carregamento em função da área de influência para cada elemento fica: Para as vigas , , ,AB BD DC CA : A Figura 5 apresenta um caso de laje com dimensões 1 2L L× , com 1 2L L> apoiada sobre um sistema composto por 4 vigas ( ,AB CD AC BD= = ). Em casos como esse, as vigas menores receberão o carregamento da parcela de laje nessa viga seguindo o mesmo conceito já comentado acima, de proporcional ao triângulo isósceles virtualmente definido e as vigas maiores receberão o carregamento proporcional à área do trapézio apresentado na Figura 2.5, onde q é a carga acidental considerada. Figura 5 – Áreas de influência sobre vigas, caso 3 Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 57 Para estes casos, o carregamento em forma triangular e trapezoidal em função da área de influência para cada elemento fica: Para as vigas ,AC BD : Para as vigas ,AB CD : 3. Combinações de carregamentos A análise das estruturas requer avaliar os efeitos dos carregamentos combinados sobre os elementos. Não basta analisar o efeito de um tipo de carregamento somente. Para tanto, as combinações utilizadas variam em função dos estados limites. Os estados limites podem ser estados limites últimos ou estados limites de serviço. Os estados limites considerados nos projetos de estruturas dependem dos tipos de materiais de construção empregados e devem ser especificados pelas normas referentes ao projeto de estruturas com eles construídas. 58 ASSIMILE Estados limites de uma estrutura tratam-se dos estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção. Podem ser últimos (ELU) ou de serviço (ELS). Quando a estrutura atinge o ELU, paralisa-se parcial ou totalmente o uso da edificação. Já para o ELS, são verificados efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção. Este capítulo apresentou um roteiro base para o estudo dos carregamentos nas estruturas, apresentando as principais Normas Brasileiras que regem este campo de trabalho. É muito importante que pratique o que foi apresentado para ter domínio das normas e suas especificidades. TEORIA EM PRÁTICA Você trabalha em um escritório de análise e cálculo estrutural e precisa determinar o carregamento das vigas e das longarinas de uma estrutura metálica. A estrutura está apresentada na Figura 6 e se sabe que este pavimento será destinado às salas de gerência de um banco. A laje foi feita em concreto armado (16 centímetros de espessura) e as vigas são de um perfil metálico com 0,7 /kN m de carga devido ao peso próprio, e longarinas com 2,1 /kN m . 59 Figura 6 – Pavimento de um banco VERIFICAÇÃO DE LEITURA 1. As cargas permanentes consistem dos pesos dos vários elementos estruturais e nos pesos de quaisquer objetos que compõem ou estão permanentemente conectados à estrutura. Assim, para um edifício, as cargas permanentes: a. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, ventos e esforços gerados por recalques. b. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, entre outros elementos construtivos. c. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, ventos e esforços pela dilatação térmica. d. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, esforços pela dilatação térmica, entre outros elementos construtivos. e. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, ventos, entre outros elementos construtivos. 60 2. A força do vento em uma superfície plana depende da velocidade característica do vento, que por sua vez depende da velocidade básica e de diferentes fatores. Avalie as afirmativas a seguir e assinale com V para fatores verdadeiros e F para falsos. ( ) topográfico; ( ) rugosidade do terreno; ( ) uso e altura da edificação; ( ) conceitos probabilísticos. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: a. V - V - V - V. b. F - V - V - V.c. V - F - F - V. d. V - V - F - F. e. V - V - F - V. 3. Com relação às cargas acidentais, analise as afirmativas a seguir: I. Cargas podem variar tanto em magnitude quanto em localização da sua aplicação; II. Não existe a estipulação de valores mínimos a serem adotados, pois derivam de processos empíricos; III. Em hipótese alguma podem ser minorados os valores das cargas acidentais, pois isso seria contra a segurança. É correto o que se a firma apenas em: 61 a. I. b. II. c. III. d. I e II. e. II e III. Referências Bibliográficas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas-Procedimento. Rio de Janeiro, 2004. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto-procedimento. Rio de Janeiro, 2014. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6120: Ações para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 2019. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6123: Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 2013. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 7187: Projeto de pontes, viadutos e passarelas de concreto. Rio de Janeiro, 2021. BEER, Ferdinand P. et al. Vector mechanics for engineers. 9. Ed. Tata McGraw-Hill Education. Nova Iorque, 2009. HIBBELER, Russell C.; TAN, Kiang-Hwee. Structural Analysis in SI Units. Pearson Australia Pty Limited, Sinapura, 2016. KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, Ilinois, 2009. Gabarito Questão 1 – Resposta: B Resolução: As cargas permanentes consistem dos pesos dos vários elementos estruturais e nos pesos de quaisquer objetos que compõem ou estão permanentemente conectados à estrutura. Assim, para um edifício, as cargas permanentes incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, paredes, entre outros elementos 62 construtivos. Cargas de ventos, deslocamentos e deformações são acidentais. Questão 2 – Resposta: E Resolução: A força do vento em uma superfície plana depende da velocidade característica do vento, que por sua vez depende da velocidade básica e de diferentes fatores, são eles: topográfico; rugosidade do terreno; posicionamento da estrutura (bem como altura) e conceitos probabilísticos. O carregamento do vento independe o uso da edificação. Questão 3 – Resposta: A Resolução: Existe a estipulação normatizada dos valores de cargas acidentais mínimos que devem ser adotados em função do uso da edificação. A norma ainda prevê a minoração de cargas acidentais quando a edificação não será utilizada como depósito de armazenamento, por exemplo. Diagramas de Esforços Solicitantes para estruturas lineares Autor: Renan de Lima Branco Leitor crítico: Alana Dias de Oliveira Objetivos • Compreensão das forças normais, cortantes e momentos fletores; • Análise das forças e momentos internos que são transmitidos ao longo dos elementos; • Capacitar para representação dos diagramas de esforços solicitantes. 64 1. Forças e momentos internos As forças e momentos internos são aqueles que partem do elemento estrutural realizado sobre o restante. Considere a viga da Figura 1, onde uma viga biapoiada nas suas extremidades recebe um carregamento distribuído e uma carga concentrada. Para compreender como os esforços internos são transmitidos ao longo do elemento é importante que seja analisada uma determinada seção, no caso, a seção CC’. Figura 1 – Viga biapoiada Fonte: Elaborada pelo autor. Para se estudar os esforços internos, deve-se avaliar trechos segmentados dessa viga: AC e BC. Dessa forma, considerando-se o equilíbrio estático para cada uma dessas abordagens é possível identificar os esforços resultantes em CC’, ou seja, os esforços internos da viga em determinada seção. Observe que a Figura 2 faz justamente essa consideração. A Figura 2(a) mostra que para equilibrar as forças externas deve haver uma combinação de ações internas na seção CC’, assim como a Figura 2(b). Tais ações na seção da viga é o que se denomina esforços internos e eles são classificados em: força cortante (representada com a letra ‘S’ na Figura 2), força normal (representada com a letra ‘N’ na Figura 2) e momento fletor (representada com a letra ‘M’ na Figura 2). Vale ressaltar que a força normal é aquela aplicada no eixo do centro de gravidade da viga, enquanto a força cortante é transversal a esse eixo. 65 Figura 2 – Esforços internos na seção da viga (a) (b) Fonte: Elaborada pelo autor. Para que haja equilíbrio no elemento como um todo, observe que o sentido dos esforços internos em AC e BC são opostos. Segundo Kassimali (2009), o esforço normal interno em qualquer seção é igual em magnitude, mas com sentido oposto à soma algébrica das componentes na direção paralela ao eixo da viga em ambos os lados da seção considerada. O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o esforço cortante e o momento fletor. Ainda neste assunto, quando se trata de esforços interno, é muito importante seguir padronizações quanto ao sentido dos esforços e o que isso representa quando se desenvolve os cálculos. As considerações para esforço normal, cortante e momento fletor são as seguintes: • Esforço normal positivo é aquele que tende a tracionar o elemento; • Esforço cortante positivo é aquele que gera momento no sentido horário sobre uma seção; • Momento fletor positivo é aquele que tende a tracionar as fibras inferiores e comprimir as fibras superiores do elemento. 66 2. Procedimento para cálculo Para o cálculo dos esforços internos basta ter registrados os esforços externos e a geometria do elemento. Para o caso das vigas, pode-se considerar o procedimento descrito na Figura 3. 1. Calcular as reações de apoio. 2. Definição de uma seção perpendicular. 3. Escolha um dos lados definidos pela seção (indicado escolher aquele com menor número de reações do apoio). 4. Cálculo do esforço normal na seção. 5. Cálculo do esforço cortante na seção. 6. Cálculo do momento fletor. 7. Pode-se verificar os valores encontrados calculando os esforços para a mesma seção, mas como ponto de partida o outro lado definido pela seção. Vamos verificar alguns exemplos a seguir com as vigas da Figura 4(a), 4(b) e 4(c). Figura 4 – Esforços externos atuando em uma viga (a) 67 (b) (c) (d) Fonte: Elaborada pelo autor. Para as vigas da Figura 4, considere uma seção num ponto ‘C’ localizado a 1 metro da extremidade direita. A seguir será apresentado o roteiro de cálculo para os esforços internos desta seção para cada um dos casos (vigas das Figuras 4(a), 4(b), 4(c) e 4(d). Como já foi apresentado, basta realizar o cálculo para o equilíbrio da parte do elemento delimitada pela seção de interesse. Dessa forma, 68 para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(a), tem-se os seguintes cálculos: Semelhantemente aos cálculos para a viga da Figura 4(a), a viga da Figura 4(b) apresenta os mesmos carregamentos externos quando considerada a porção à direita da seção. ASSIMILE Para o simples cálculo dos esforços internos presentes na seção de um elemento estrutural vale ser considerado somente esforços de um lado ou de outro da seção. Dessa forma, para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(b) os cálculos pela direita da seção já foram apresentados, 69 então tem-se os seguintes cálculos quando considerada a porção à esquerda da seção: Para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(c), tem-se os seguintes cálculos: 70 Para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(a), tem-se os seguintes cálculos: 3. Diagramas de esforços internos Uma forma bastante visual de apresentar como um elemento estrutural se comporta é com o uso dos diagramas de esforços. Seja o diagrama de força normal, o de esforço cortante ou o de momento fletor, todos estes fornecem dados suficientes para tomadas de decisões no âmbito da análise estrutural. Segundo Martha (2009), o diagrama de esforços cortantes pode ser definido comouma descrição da variação dos esforços cortantes ao longo das seções transversais da estrutura. Já o diagrama de momentos fletores apresenta a variação dos momentos fletores ao longo das seções transversais da estrutura. A convenção adotada para o desenho do diagrama é tal que valores positivos de esforços cortantes são 71 desenhados do lado das fibras superiores da barra e negativos do outro lado, diferentemente da representação para o diagrama de momentos fletores, onde os valores positivos ficam no lado das fibras inferiores da barra e os negativos do outro lado. Para todas as vigas da Figura 4 será apresentado o roteiro de cálculo a seguir. Considere como “x” a distância entre o ponto de origem e uma seção “C” estudada. Para a Figura 4(a), por exemplo, há a aplicação de uma carga concentrada de 20 kN na extremidade direita, tomando esta extremidade como origem de um eixo x, você pode avaliar como os esforços internos desenvolvem-se ao longo do eixo: Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independentemente do valor de ‘x’, o diagrama observado é um retângulo de altura 20 kN por comprimento 5 metros. Já o diagrama do momento fletor é um triângulo na parte superior da viga (sinal negativo é representado na parte superior), iniciando com valor igual a zero kN.m na origem e chegando a 100 kN.m no ponto do engaste. 72 Viga Figura 4(a) Diagrama Cortante (kN) Momento Fletor (kN.m) Para a viga da Figura 4(b), você perceberá que para cada ponto de esforço externo deve haver uma seção para estudar os esforços internos, pois há uma descontinuidade no diagrama. No primeiro caso isso não foi necessário, pois se tratava de uma viga engastada somente em uma extremidade. Para uma carga concentrada em uma viga biapoiada com um trecho em balanço há a aplicação de uma carga concentrada de 20 kN na extremidade direita, tomando esta extremidade como origem de um eixo x, você pode avaliar como os esforços internos se desenvolvem ao longo do eixo: 73 Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independente do valor de ‘x’ em cada um dos trechos analisados e o diagrama observado é um retângulo de altura 20 kN por comprimento 2 metros (trecho em balanço) e um outro retângulo de altura 13,3 kN com sinal negativo para o trecho entre os apoios. Já o diagrama do momento fletor é um triângulo na parte superior da viga (sinal negativo é representado na parte superior), onde tem um valor máximo de 40 kN.m no apoio mais ao centro e valor nulo em ambas as extremidades. Viga Figura 4(b) Diagrama Cortante (kN) Momento Fletor (kN.m) Para a viga da Figura 4(c), a resolução será muito similar à resolução da viga 4(b), pois há mais de um ponto de aplicação de esforços externos ao longo da viga. Tomando esta extremidade como origem de um eixo x, você pode avaliar como os esforços internos se desenvolvem ao longo do eixo: 74 Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou dependente do valor de ‘x’, o diagrama observado é um triângulo com altura máxima sobre o apoio mais ao centro com valor de 40 kN. À esquerda fica representado um retângulo, pois neste trecho o valor indemende de ‘x’, com altura de 13,3 kN, é negativo. Já o diagrama do momento fletor é uma parábola com concavidade para cima no trecho em balanço e um com altura máxima no apoio mais ao centro. As alturas do triângulo e da parábola apresentam mesmo valor no apoio (40 kN.m) e nas extremidades apresentam valor nulo. Viga Figura 4(c) Diagrama Cortante (kN) Momento Fletor (kN.m) 75 Para a viga da Figura 4(d), há a aplicação de uma carga concentrada de 20 kN na extremidade direita e uma carga distribuída no trecho entre os apoios, logo apresenta descontinuidades e precisa ser estudada trecho a trecho: Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independente do valor de ‘x’ para o primeiro trecho, o que gera um diagrama retangular de altura 20 kN, já para o segundo trecho o diagrama observado é um trapézio negativo (abaixo da linha central do elemento) com altura máxima sobre o apoio mais ao centro com valor de 19,3 kN e altura mínima sobre o apoio fixo com valor de 7,3 kN. Já o diagrama do momento fletor é uma parábola com concavidade para cima no trecho entre os apoios e um triângulo no trecho em balanço. A altura máxima está no apoio mais ao centro, com valor de 40 kNm. Nas extremidades o valor é nulo. 76 Viga Figura 4(d) Diagrama Cortante (kN) Momento Fletor (kN.m) TEORIA EM PRÁTICA Você está responsável por dimensionar a armadura de uma viga biapoiada e com uma extremidade em balanço. Tal viga recebe diferentes carregamentos ao longo de sua extensão. No primeiro trecho, tomando como referência o apoio à esquerda da viga, do ponto 0 aos 2 metros recebe 2 kN/m e recebe também uma carga concentrada de 10 kN no ponto 3 metros. Na extremidade em balanço ainda há uma carga concentrada de 5 kN. Como engenheiro estrutural você sabe que a correta armação da viga depende diretamente da análise dos diagramas de esforços cortantes e de momento fletor. Fazendo as considerações necessárias, apresente os diagramas dessa viga. 77 VERIFICAÇÃO DE LEITURA 1. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a relação entre forças internas e externas. a. Os esforços externos são aqueles que partem do elemento estrutural realizados sobre os apoios, como uma forma de manter o equilíbrio estático. b. Os esforços internos são aqueles que partem do elemento estrutural realizados sobre o restante, como uma forma de manter o equilíbrio com as forças externas. c. Os apoios de um elemento estrutural representam um tipo de esforço interno, pois aplicam uma carga de reação. d. Os apoios de um elemento estrutural representam um tipo de esforço externo e não é considerado no cálculo dos esforços internos. e. Os esforços externos são aqueles transmitidos ao longo do elemento, enquanto que os esforços internos são aqueles aplicados pelo uso da estrutura. 78 2. Para entender a relação entre os esforços internos de uma mesma seção, quando se analisa por diferentes segmentos dela (pelo trecho da esquerda ou pelo trecho da direita), Kassimali (2009) apresenta um importante raciocício. Avalie as afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F para falso. ( ) Para que haja equilíbrio no elemento como um todo, observe que o sentido dos esforços internos em uma mesma seção, quando analisada por diferentes segmentos, são opostos. ( ) O esforço normal interno em uma seção qualquer é igual em magnitude, mas com sentido oposto à soma algébrica das componentes na direção paralela ao eixo da viga em ambos os lados da seção considerada. ( ) Não se pode estabelecer uma relação de raciocínio entre os diferente tipos de esforços internos, pois cada um apresenta um mecanismo diferente. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. a. V - V - V. b. F - V - V. c. V - F - F. d. V - V - F. e. V - V - F. 3. Quando se trata de esforços interno é muito importante conhecer os sentidos (positivos e negativos) de cada um dos esforços. Avalie as afirmativas a seguir, onde cada uma delas descreve sobre o sentido dos esforços internos de um elemento estrutural: 79 I. Esforço normal positivo é aquele que tende a comprimir o elemento; II. Esforço cortante positivo é aquele que gera momento no sentido horário sobre uma seção; III. Momento fletor negativo é aquele que tende a tracionar as fibras tanto superiores quanto as inferiores do elemento. É correto o que se afirma apenas em: a. I. b. II. c. III. d. I e II. e. II e III. Referências Bibliográficas BEER, Ferdinand P. et al. Vector mechanics for engineers. Tata McGraw-Hill Education, Nova Iorque, 9ª Ed. 2009. HIBBELER, Russell C.; TAN, Kiang-Hwee. Structural Analysis in SI Units. Pearson Australia Pty Limited, Singapura, 2016. KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, Ilinois, 2009. Gabarito Questão 1 – Resposta: B Resolução: Os esforços
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