INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL

Prévia do material em texto

... -,,Me .. Pl.O -:- ~1 EER 
ª'º -•. ,so 1 10,985 C•2Dl . i.. 1·2001 ,. soo, .,. - '"" 1.609 7.654 6.511 
4+-3:5 t (+16'1 t..-121:i 
MMJ IIT . KLM 
7.1 DO 7,150 782 , ... 1•15(]1 l• '14) 
HJM OLC LSD 
134 1.011 631 
4+-5) - H81 '·'°' 
W
BA
07
39
_v
1.
1 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
 
 
2
Renan de Lima Branco 
Thiago Drozdowski Priosta 
Introdução à análise estrutural 
1ª edição 
Londrina 
Editora e Distribuidora Educacional S.A. 
2019 
2 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33
__________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
© 2019 por Editora e Distribuidora Educacional S.A. 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, 
eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de 
sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. 
Presidente 
Rodrigo Galindo 
Vice-Presidente de Pós-Graduação e Educação Continuada 
Paulo de Tarso Pires de Moraes 
Conselho Acadêmico 
Carlos Roberto Pagani Junior 
Camila Braga de Oliveira Higa 
Carolina Yaly 
Giani Vendramel de Oliveira 
Juliana Caramigo Gennarini 
Nirse Ruscheinsky Breternitz 
Priscila Pereira Silva 
Tayra Carolina Nascimento Aleixo 
Coordenador 
Nirse Ruscheinsky Breternitz 
Revisor 
Priscila Flavia Souza da Silva 
Editorial 
Alessandra Cristina Fahl 
Beatriz Meloni Montefusco 
Daniella Fernandes Haruze Manta 
Hâmila Samai Franco dos Santos 
Mariana de Campos Barroso 
Paola Andressa Machado Leal 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Branco, Renan de Lima 
B816i Introdução a Análise Estrutural / Renan de Lima
 Branco. Thiago Drozdowski Priosta. – Londrina : Editora e 
Distribuidora Educacional S.A., 2019.
 140 p.
 ISBN 978-85-522-1557-8
 1. Estrutura. 2. Diagrama de esforços solicitantes.
 3. Hiperestaticidade. I. Branco, Renan de Lima. II. Priosta,
 Thiago Drozdowski. III. Título. 
CDD 620 
Thamiris Mantovani CRB: 8/9491 
2019 
Editora e Distribuidora Educacional S.A. 
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza 
CEP: 86041-100 — Londrina — PR 
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br 
Homepage: http://www.kroton.com.br/ 
http://www.kroton.com.br
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL 
SUMÁRIO 
Apresentação da disciplina 5 
Caracterização de estruturas 6 
Classificação das forças atuantes nas estruturas 25 
Classificação dos apoios das estruturas e suas reações 42 
Diagramas de Esforços Solicitantes para estruturas lineares 63 
Diagramas de Esforços Solicitantes para estruturas em pórticos 80 
Relação Matemática entre os diagramas de esforços solicitantes e o 
comportamento das estruturas 97 
Introdução à hiperestaticidade das estruturas 116 
4 
5 55
Apresentação da disciplina 
Seja bem-vindo à disciplina de Introdução à Análise Estrutural. Nesta 
disciplina você será apresentado aos conceitos fundamentais para 
a análise estrutural, bem como levantar informações iniciais para o 
dimensionamento de estruturas. Inicialmente, será apresentado a 
uma visão da análise estrutural na história, bem como sua abordagem 
em termos práticos no cenário da construção. Através desta disciplina 
você será capacitado a identificar e classificar os tipos de estruturas, 
aplicando conceitos da mecânica, como estática e equilíbrio de corpos, 
para realizar análise da aplicação de cargas externas, bem como as 
reações em apoios. 
A fase seguinte de estudos é essencial para capacitar quanto à definição 
das características dos elementos estruturais, pois será estudado como 
calcular os esforços internos em uma estrutura por meio dos diagramas 
de esforços solicitantes, seja uma estrutura linear ou em pórticos. 
Além disso, você aprenderá a realizar a diferenciação entre estruturas 
isostáticas e hiperestáticas. 
Por fim, a disciplina ainda lhe introduzirá à relação matemática entre os 
diagramas de esforços solicitantes e o comportamento das estruturas, 
como deformações e deslocamentos. Para análises de estruturas 
hiperestáticas, os recursos manuais se apresentam limitados, logo são 
necessários recursos computacionais para solucionar a problemática 
de modelar e analisar o comportamento de estruturas sujeitas a ações 
externas, mesmo quando se apresentam como hiperestáticas. 
6 
 
 
 
6
Caracterização de estruturas 
Autor: Renan de Lima Branco 
Objetivos 
• Proporcionar reflexão sobre a origem dos estudos
de análise estrutural e sua evolução.
• Capacitar a leitura e interpretação de sistemas
estruturais quanto aos seus elementos.
• Capacitar para a identificação de diferentes tipos de
estruturas e suas aplicações.
7 77
1. A concepção estrutural 
1.1 Os fatores históricos para o desenvolvimento das 
construções 
Estima-se que a revolução agrícola se deu por volta de 12.000 a.C. 
(BRAIDWOOD, 1960). Desde então a espécie humana alterou a forma 
de se organizar em sociedade. Com o desenvolvimento de estruturas 
de irrigação (Figura 1), passou a ser possível deixar aos poucos a cultura 
nômade para se tornar sedentária. 
Figura 1 – Resquícios de sistema de irrigação da região de Cuzco, Peru 
Fonte: iStock – lovelypeace/iStock.com. 
Para muitos historiadores, a revolução agrícola é um dos principais 
pontos de inflexão na história da humanidade. A convivência 
em sociedades fixadas em uma determinada região permitiu o 
desenvolvimento tecnológico mais acelerado, uma vez que passou a ser 
possível o acúmulo de conhecimento. 
https://lovelypeace/iStock.com
8 8
A Pont du Gard (Figura 2) é um aqueduto que data da era do império 
Romano, construído sobre o rio Gardon, próximo a cidade de Vers-
Pont-du-Gard, no sul da França (PONT DU GARD, 2019). A Pont du Gard, 
também conhecida como Ponte do Gard, foi construída de forma a 
sobrepor três fileiras de arcos. O objetivo era levar água para a cidade 
de Nîmes, é a mais alta de todas as elevações romanas e uma das mais 
bem preservadas. Esta é uma obra característica do período histórico 
em que os romanos expandiram seu império através do investimento 
em infraestrutura, como abastecimento de água e estradas, fixando 
cidades e consolidando seu domínio nas regiões por onde construía. 
Figura 2 - Pont du Gard, França 
Fonte: espiegle/iStock.com. 
O desenvolvimento das tecnologias construtivas não advém somente 
para suprir as necessidades humanas por água e alimentos. Um 
importante motor para o desenvolvimento das construções e grandes 
estruturas é a necessidade de defesa e a participação em guerras. 
Além do comércio, grandes pontes foram construídas para transportar 
exércitos de uma região à outra. 
https://espiegle/iStock.com
9 
 
 
 
 
99
A Grande Muralha da China (Figura 3) é uma barreira fortificada no norte 
da China com 21.196 km de extensão. A construção da muralha começou 
na Dinastia Qin (221-206 a.C.), sob o Primeiro Imperador Shi Huangdi e 
continuou por centenas de anos ao longo de muitas dinastias diferentes 
(WALDRON, 1990). Este é um exemplo de uma mega construção motivada 
pelas necessidades de proteção em períodos de guerra. 
Figura 3 - Grande Muralha da China 
Fonte: Hung_Chung_Chih/iStock.com. 
1.2 A estrutura 
A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é responsável pela 
sustentação de todos os sistemas e subsistemas, resistindo aos esforços 
atuantes. Além disso, é responsável por prover segurança e estabilidade 
à construção. A estrutura deve ser projetada para resistir a intempéries, 
choques mecânicos e outros fatores que possam afetar a construção. 
O esquema da Figura 4 apresenta a segmentação clássica entre 
superestrutura e infraestrutura, quando analisada uma construção. 
https://Hung_Chung_Chih/iStock.com10 
 
 
 
10
Superestrutura 
{ 
Infraestrutura 
elementos estruturantes 
acima do nível da 
fundação 
fundação 
Figura 4 - Elementos da superestrutura e da infraestrutura 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
2. Análise estrutural 
A análise estrutural é a previsão do desempenho da estrutura sob os 
esforços aos quais os elementos estão submetidos. Os esforços provêm 
de cargas, movimentações e mudanças de temperatura. A análise 
estrutural tem como principais objetivos identificar nos elementos: 
• tensões ou resultantes de tensões, tais como forças normais, 
forças cortantes e momentos fletores; 
• flechas (deslocamentos); e 
• reações de apoio. 
Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento 
por si próprio ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro 
empreendimento. Para uma edificação residencial, por exemplo, a 
ordem do dimensionamento da estrutura é inversa à ordem de locação 
dos elementos que a compõem (Figura 5). 
11 1111
o m, 
u, 
ro 
u 
.9 
º 3 
('I) 
::::, 
!!!. 
o 
3 
QJ 
::::, 
rl-
0 
Figura 5 – Relação entre dimensionamento e locação da estrutura. 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
2.1 O processo de análise estrutural 
A análise estrutural se dá sobre o projeto estrutural e juntos compõem 
a Engenharia Estrutural. Essa é uma área na qual muitos engenheiros 
civis se especializam e trata do planejamento, projeto, construção 
e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, 
trabalho e lazer. 
Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço, concreto, 
madeira, pedra, materiais não convencionais (materiais que utilizam 
fibras vegetais, por exemplo), ou novos materiais sintéticos (plásticos, por 
exemplo). Ela deve resistir a ventos fortes, a solicitações que são impostas 
durante a sua vida útil e, em muitas partes do mundo, a terremotos 
(MARTHA, 2010, p. 1). 
Para cada tipo de material escolhido para a estrutura, seja em função 
econômica, de disponibilidade ou até mesmo da expertise da mão de 
obra, há uma tecnologia de construção distinta. Dessa forma, o aporte 
da análise estrutural também será distinto. O resultado final do projeto 
estrutural é a especificação de uma estrutura de forma completa: 
locação, dimensões e detalhes de execução. 
12 12
A primeira etapa da análise estrutural é a previsão do comportamento 
da estrutura descrita em projeto. O estado da estrutura deve atender, 
dentro dos coeficientes normatizados, às condições de segurança 
e de utilização para as quais ela foi projetada. É importante ser 
enfatizado que o comportamento aceitável é aquele que não apresente 
deslocamento ou vibração excessivos sob carga (GILBERT et al., 2009). 
O comportamento da estrutura é definido em função de diversos 
parâmetros: tensões atuantes, características dos materiais que a 
compõem, deformações e deslocamentos na estrutura. A análise 
estrutural deve ser feita para as possíveis configurações dos 
carregamentos e solicitações. As teorias que baseiam as análises 
iniciaram com o estudo de estruturas formadas por barras (elementos 
com uma dimensão muito superior às outras duas). É comum realizar 
análises prévias do comportamento global, ou parcial, de edifícios 
aproximando para um modelo de barras (MARTHA, 2010). 
2.2 Avanços no campo da análise estrutural 
O estudo das estruturas data desde meados do século XVII, por Galileu 
Galiei. Desde então notórios cientistas1 e matemáticos contribuíram 
para a formalização da engenharia estrutural (MARTHA, 2010). Esse 
embasamento científico criado permite o estudo dos carregamentos 
e esforços atuantes nos componentes estruturais. Dois adventos que 
marcam avanços no campo da análise estrutural foram a Revolução 
Industrial, que trouxe à tona o uso de novos materiais na construção, e o 
advento dos computadores, que possibilitou a resolução de complexos 
equacionamentos de análise estrutural. 
PARA SABER MAIS 
13 
 
1313
" 
A Engenharia Civil brasileira está presente nas listas de 
recordes mundiais, especialmente na construção de pontes. 
De acordo com Martha (2010), o Brasil foi cenário de um 
forte e concentrado investimento em infraestrutura na 
metade do século XIX, o que proporcionou grande evolução 
na construção de grandes pontes, hidrelétricas e rodovias. 
Desde o final do século XX, softwares para análise estrutural são o 
ponto central em todo o processo da Engenharia Estrutural. Muitos 
apresentam uma interface sofisticada, intuitiva e versátil, com 
ferramentas de auxílio ao projeto. Tais softwares são indicados para 
diversas áreas, como infraestrutura de transporte, obras industriais, 
públicas, instalações de ginásios de esportes, obras para geração de 
energia, edifícios de múltiplos usos, etc. Uma outra característica é o 
ambiente de modelagem gráfica, que é baseado em objetos 3D (Figura 
6), que fornece de forma visual a distribuição dos esforços entre os 
elementos da estrutura. 
Figura 6 - Software para Análise Estrutural 
Fonte: https://edrmedeso.com/tekla-structures-and-sap2000-v-17-interface-2/. 
Acesso em: 24 fev. 2019. 
https://edrmedeso.com/tekla-structures-and-sap2000-v-17-interface-2
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14
Esses avanços permitem a construção de estruturas cada vez mais 
complexas, uma vez que é possível realizar as verificações estruturais num 
curto espaço de tempo e com grande confiabilidade dos resultados. A 
confiabilidade dos resultados está diretamente relacionada com a correta 
parametrização da estrutura, em termos normativos. Além disso, o domínio 
técnico do profissional que atua nas análises estruturais é o ponto-chave 
para a correta interpretação dos resultados e tomadas de decisões que 
favoreçam o desempenho seguro das estruturas. Graças aos recursos 
computacionais, hoje é possível construir arranha-céus rapidamente (Figura 
7), servindo como marcos que representam o desenvolvimento tecnológico 
e a competitividade econômica dos países (DEMPSEY, 2014). 
Figura 7 - Novos arranha-céus estão sendo construídos rapidamente 
ao longo de Abu Dhabi 
Fonte: MindStorm-inc/iStock.com. 
https://MindStorm-inc/iStock.com
15 1515
Estrutura real 
•Representação 
gráfica da 
estrutura 
Modelo 
estrutural 
•Representação dos 
carregamentos sobre 
a estrutura 
Modelo 
discreto 
•Valores discretos de 
deslocamentos e 
deformações/ malhas 
Modelo 
computaciona 1 
•Método dos 
elementos finitos 
Para passar da simples interpretação da estrutura real até chegar ao 
modelo computacional é necessário seguir o processo apresentado 
na Figura 8. A estrutura real é apresentada graficamente e sobre ele 
pode ser elaborado o modelo estrutural, que consiste na visualização 
dos carregamentos sobre a estrutura. Essa etapa exige grande poder 
de intepretação e abstração por parte do profissional. A etapa seguinte 
é o modelo discreto, onde serão apresentados os deslocamentos 
e deformações. Trata-se de uma etapa intrínseca ao cálculo 
computacional, no entanto, para uma série de análises prévias é possível 
obter o modelo por meio de alguns métodos analíticos (Método das 
Forças e Método dos deslocamentos). Por fim, o modelo computacional 
é aquele a ser tratado por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) 
e tem como resultado um resumo detalhado do comportamento de 
todos os elementos da estrutura e a relação entre eles. 
Figura 8 – Abstração para análise estrutural 
Fonte: Adaptada de Martha (2010). 
16 16
3. Elementos estruturais 
Toda estrutura pode ser segmentada em elementos que a compõem. 
O que diferencia os elementos entre si são características geométricas 
e os esforços sob os quais cada um deles trabalha. A NBR 6118 (ABNT, 
2014), em seu item 14.1, classifica os elementos em função das suas 
características geométricas. 
Elementos lineares (ou barras, Figura 9.a) são aqueles onde uma das 
dimensões é maior em pelo menos três vezes a maior dimensão da 
seção transversal. Os exemplos mais comuns são as vigas (recebem 
carga verticalmente ao eixo principal) e os pilares (recebem cargaaxialmente ao eixo principal). 
Elementos bidimensionais (ou elementos de superfície, Figura 9.b) 
são aqueles onde uma dimensão é muito menor que as outras duas 
dimensões. Os exemplos mais comuns são as lajes (placas, pois têm 
carregamento perpendicular à superfície) e as paredes. Além de placas, 
os elementos bidimensionais podem se comportar como chapas, 
quando o carregamento está contido no plano da superfície. Por fim, 
cascas são elementos de superfície curva. 
Elementos tridimensionais são os elementos de volume, onde as 
três dimensões têm a mesma ordem de grandeza, como blocos de 
fundação, sapatas, etc. 
17 1717
Figura 9 – Exemplo de elementos no contexto da estrutura 
a. Barras que compõem uma estrutura, b. Superfície que compõem uma estrutura, 
desempenhando papel de vigas e pilares. desempenhando papel de laje. 
Fonte: runna10/iStock.com. Fonte: sheldunov/iStock.com. 
4. Tipos de estruturas 
Muitos fatores contribuem para a escolha de um sistema estrutural. 
Os fatores podem ser econômicos, disponibilidade de materiais 
ou até mesmo disponibilidade de mão de obra. O profissional 
responsável por realizar as análises da estrutura precisa estar ciente 
das peculiaridades do sistema escolhido. A seguir são apresentados os 
principais sistemas estruturais. 
4.1 Concreto armado 
O concreto armado é originado pela composição de concreto (mistura 
de cimento, água, agregados miúdos e graúdos) e armaduras de aço, 
tendo como principal fenômeno a aderência entre os dois diferentes 
materiais. O desempenho de estruturas de concreto armado é 
historicamente conhecido e apresenta muitas vantagens: baixo custo 
de produção e execução, domínio das técnicas construtivas (alta 
disponibilidade de mão-de-obra), flexibilidade de projeto, boa resistência 
ao fogo, intempéries, choques mecânicos e vibrações. 
https://sheldunov/iStock.com
https://runna10/iStock.com
18 18
PARA SABER MAIS 
O concreto tem como principal característica a elevada 
resistência a compressão. Já o aço apresenta como 
principais características a ductilidade, resistência à tração, 
flexão e torção. Dessa forma, juntos, compõem um dos 
sistemas estruturais mais utilizados globalmente. 
Uma variação muito aplicada do concreto armado é o concreto 
protendido, onde as armaduras sofrem deformações antes da 
concretagem, melhorando seu desempenho durante o período de 
utilização da estrutura. Geralmente é aplicado para vencer grandes vãos 
que o concreto armado simples são venceria. 
4.2 Estruturas metálicas 
As estruturas metálicas são aquelas cujos elementos são produzidos 
totalmente em material metálico, principalmente aço. A estrutura 
metálica pode ser utilizada para a execução de vigas, pilares, terças, 
treliças de telhado, dentre outros. Este tipo de estrutura vem sendo 
largamente utilizado desde a revolução industrial e apresenta uma série 
de vantagens: seções esbeltas melhoram o uso do espaço e deixam a 
estrutura mais leve, maior confiabilidade nas propriedades do material 
(pelo fato de ser industrializado), uniformidade no acabamento, canteiro 
de obra mais enxuto e maior velocidade na execução. 
4.3 Estruturas de madeira 
As estruturas de madeira vêm ganhando espaço no mercado de 
construção em larga escala, principalmente com o uso de matéria-prima 
de reflorestamento, posteriormente tratadas para resistir melhor às 
ações físico-químicas do ambiente. Para se posicionar no mercado como 
um sistema estrutural competitivo, as estruturas de madeira necessitam 
19 
 
 
 
 
 
 
1919
de alguns cuidados, como o tratamento contra fungos e cupins e, 
em algumas situações, a aplicação de substâncias que retardam a 
propagação do fogo em caso de incêndio. Entre as vantagens do uso das 
estruturas de madeiras podemos destacar a leveza do material, baixo 
preço e o fato de ser composta por materiais renováveis. 
4.4 Alvenaria estrutural 
A alvenaria estrutural é um sistema no qual os pilares e vigas de concreto 
armado são substituídos por paredes autoportantes. Essas paredes são 
construídas com blocos de alta resistência, podendo ser cerâmicos ou de 
concreto. As vantagens no uso desse sistema é a economia com fôrmas 
de madeira, aço e concreto, além de suas técnicas serem de simples 
replicação para formação de mão de obra, o canteiro de obras é mais 
organizado, pois apresenta uma menor variedade de materiais. 
4.5 Estruturas mistas 
As estruturas mistas são aquelas compostas pela combinação de mais 
de um sistema estrutural isolado. No setor da construção civil no Brasil 
são muito comuns obras com estruturas mistas de concreto armado 
com estruturas metálicas. Nestes casos, os pontos que requerem maior 
atenção são as interfaces de ligação entre os diferentes materiais. 
Além do projeto detalhado da ligação, é fundamental considerar os 
diferentes comportamentos, intrínsecos às características de cada um 
dos componentes. 
5. Recapitulando 
A análise estrutural é a ferramenta que permite estudar o 
comportamento das estruturas e elaborar projetos cada vez mais 
eficientes e seguros. Com análises cada vez mais precisas, é possível 
evoluir quanto às técnicas e materiais utilizados. É papel do profissional 
interpretar corretamente os elementos da estrutura e estudar aos 
esforços, cargas e deformações que estão sujeitos. 
20 
 
20
TEORIA EM PRÁTICA 
Você trabalha em um escritório de análise e cálculo 
estrutural. Além de projetos estruturais, a empresa é 
responsável por emitir laudos quanto à estabilidade e 
segurança de estruturas. Em épocas em que o mercado 
da construção está aquecido, as principais tarefas 
estão relacionadas com cálculo e desenvolvimento de 
projetos estruturais. Em épocas de baixa no mercado da 
construção, o principal serviço é a visita aos mais variados 
tipos de edificações, inspeção, análise dos esforços aos 
quais cada elemento está submetido e o parecer quanto 
ao comportamento do sistema estrutural. Você está 
responsável por treinar um novo funcionário e como 
primeira tarefa pediu que fizesse um relatório com duas 
construções que encontrasse no trajeto até o restaurante 
na hora do almoço, descrevendo resumidamente os 
elementos estruturais presentes na edificação, bem 
como os prováveis esforços a que estão submetidos. 
O novo funcionário apresentou em seu relatório um 
museu e um galpão industrial. Agora você precisa explicar 
detalhadamente os elementos estruturais e apresentar os 
esforços característicos aos quais estão sujeitos. 
VERIFICAÇÃO DE LEITURA 
1. A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é 
responsável pela sustentação de todos os sistemas e 
subsistemas, resistindo aos esforços atuantes. Além 
disso, é responsável por prover segurança e estabilidade 
à construção. A estrutura deve ser projetada para: 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2121
a. proporcionar um ambiente com iluminação e 
ventilação natural, seguro e com longa vida útil. 
b. resistir a intempéries, choques mecânicos e outros 
fatores que possam afetar a construção. 
c. resistir aos esforços das lajes e impedir qualquer 
deslocamento dos seus elementos. 
d. proporcionar que os deslocamentos sejam 
transmitidos às fundações. 
e. resistir aos choques mecânicos provocados pelo 
trânsito dos ocupantes da edificação. 
2. Para passar da simples interpretação da estrutura real 
até chegar ao modelo computacional, é necessário 
seguir algumas etapas: 
1. Modelo computacional 
2. Modelo discreto 
3. Estrutura Real 
4. Modelo estrutural 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a 
sequência das etapas descritas. 
a. 1-3-2-4. 
b. 1-3-4-2. 
c. 3-4-2-1. 
d. 3-4-1-2. 
e. 4-3-2-1. 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
3. A escolha dentre os diferentes sistemas estruturais 
é uma tomada de decisão que deve ser baseada nas 
características necessárias para o projeto. Avalie as 
afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F para falso. 
( ) O concreto armado apresenta baixo custo e alta 
confiabilidade nas característicasdo material. 
( ) O concreto armado protendido apresenta boa 
resistência ao fogo e é utilizado para vencer 
grandes vãos. 
( ) As estruturas metálicas apresentam um canteiro de 
obra enxuto e maior velocidade de execução. 
a. V-V-V. 
b. V-F-V. 
c. V-F-F. 
d. F-F-V. 
e. F-V-V. 
Referências bibliográficas 
ABNT. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto de estruturas 
de concreto-procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
BASTOS, P. S. S. Fundamentos do concreto armado. Bauru: UNESP, 2006. 
BRAIDWOOD, R. J. The agricultural revolution. Scientific American, v. 203, n. 3, 
p. 130-152, 1960. 
DEMPSEY, Michael Cameron. Castles in the Sand: A city planner in Abu Dhabi. 
McFarland, 2014. 
GILBERT, A. M.; LEET, K. M.; UANG, C. M. Fundamentos da análise estrutural. 
3. ed. McGrawHill Brasil, 2009. 
23 
 
2323
KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, 2009. 
MARK, E. Great Wall of China. Ancient History Encyclopedia. Disponível em: https:// 
www.ancient.eu/Great_Wall_of_China/. Acesso em: 24 fev. 2019. 
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Rio de 
Janeiro: Editora Elsevier, 2010. 
PONT DU GARD. Site oficial da Ponte do Gard. Disponível em: http://www. 
pontdugard.fr/fr?langue=FR. Acesso em: 17 mar. 2019. 
WALDRON, Arthur. The Great Wall of China: from history to myth. Cambridge 
University Press, 1990. 
Gabarito 
Questão 1 – Resposta: B 
A estrutura é o esqueleto de uma construção. Ela é responsável 
pela sustentação de todos os sistemas e subsistemas, resistindo aos 
esforços atuantes. Além disso, é responsável por prover segurança 
e estabilidade à construção. A estrutura deve ser projetada para 
resistir a intempéries, choques mecânicos e outros fatores que 
possam afetar a construção. 
Questão 2 – Resposta: C 
A estrutura real é apresentada graficamente e sobre ele pode ser 
elaborado o modelo estrutural, que consiste na visualização dos 
carregamentos sobre a estrutura. Essa etapa exige grande poder de 
intepretação e abstração por parte do profissional. A etapa seguinte 
é o modelo discreto, onde serão apresentados os deslocamentos 
e deformações. Trata-se de uma etapa intrínseca ao cálculo 
computacional, no entanto, para uma série de análises prévias é 
possível obter o modelo por meio de alguns métodos analíticos 
(Método das Forças e Método dos deslocamentos). Por fim, o 
modelo computacional é aquele a ser tratado por meio do Método 
dos Elementos Finitos (MEF) e tem como resultado um resumo 
detalhado do comportamento de todos os elementos da estrutura 
e a relação entre eles. 
https://www.ancient.eu/Great_Wall_of_China/
https://www.ancient.eu/Great_Wall_of_China/
http://www.pontdugard.fr/fr?langue=FR
http://www.pontdugard.fr/fr?langue=FR
24 24
Questão 3 – Resposta: E 
A 1ª afirmativa é falsa, pois o aço apresenta alta confiabilidade nas 
características do material por ser produzido industrialmente. As 
outras afirmativas são verdadeiras. 
 
 
 
 
2525
Classificação das forças atuantes 
nas estruturas 
Autor: Renan de Lima Branco 
Objetivos 
• Capacitar a verificação das cargas que podem agir 
sobre a estrutura durante sua vida útil; 
• Dominar as normas relacionadas para o 
dimensionamento de carregamentos e os tipos de 
carregamentos que cada elemento está sujeito; 
• Ser capaz de estimar a magnitude das cargas 
de projeto. 
25 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26
1. Carregamentos 
Beer (2009) apresenta que as forças atuantes sobre um corpo rígido 
podem ser separadas em dois grupos: forças externas e forças 
internas. As ações de outros corpos (ou campos) são as forças 
externas e são responsáveis pelo comportamento exterior do 
corpo rígido. As forças externas são caracterizadas por representar 
carregamentos sobre as estruturas. Já as forças internas são aquelas 
responsáveis por manter a estrutura íntegra, inclusive se for composta 
por diferentes elementos. 
As forças externas representam os carregamentos sobre a estrutura. 
Tais carregamentos são, geralmente, classificados em função da sua 
natureza e origem: cargas permanentes, cargas acidentais e cargas 
ambientais (KASSIMALI, 2016). 
1.1 Carregamentos permanentes 
As cargas permanentes consistem dos pesos dos vários elementos 
estruturais e nos pesos de quaisquer objetos que compõem ou estão 
permanentemente conectados à estrutura. Assim, para um edifício, as 
cargas permanentes incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, entre outros elementos construtivos. 
Inicialmente, o carregamento permanente inerente à própria 
estrutura deve ser calculado com base em valores característicos 
e, após análise estrutural e ajuste das dimensões dos elementos 
estruturais, deve ser adotado o novo carregamento. Os pesos 
específicos de alguns materiais comuns de construção estão 
fornecidos na Tabela 1. Outros equipamentos presentes na edificação 
têm seus dados obtidos com os fabricantes. 
27 
 
 
 
 
 
 
 
2727
Tabela 1 – Pesos específicos geralmente adotados 
Material Peso específico (kN/m²) 
Alumínio 25,9 
Tijolo 18,8 
Concreto armado 23,6 
Aço (estrutural) 77,0 
Madeira 6,3 
Fonte: Kassimali (2009). 
PARA SABER MAIS 
A norma brasileira que apresenta as diferenciações entre os 
carregamentos é a NBR 8681 (ABNT, 2004), “Ações e segurança 
nas estruturas – Procedimento”. De acordo com a norma, as 
ações a considerar classificam-se em permanentes, variáveis 
e excepcionais. Além disso, a norma fixa os requisitos para a 
verificação da segurança estrutural e estabelece as definições 
e os critérios de quantificação das ações e das resistências a 
serem consideradas no projeto das estruturas. 
Veja na prática um exemplo para determinar o carregamento 
permanente de uma viga. A viga metálica de perfil I da Figura 1 suporta 
uma laje de espessura 10 centímetros. A área de influência1 da laje sobre 
esta viga é de 1,80 metros ao longo de todo o elemento. A viga ainda 
suporta uma parede de 30 centímetros de largura por 2,40 metros de 
altura composta por tijolos. Para calcular o carregamento permanente 
que atua sobre a viga, basta utilizar os dados da Tabela 1 e seguir os 
cálculos apresentados a seguir. 
Como não se conhece o comprimento total da viga, pode ser admitido o 
carregamento por unidade de comprimento: 
28 28
30cm 
240cm 
10 cm 
Laje: 23,6kN / m2 · 1,80m / m · 0,10m = 4,248kN / m 
Parede: 18,8kN / m2 · 2,40m · 0,30m / m = 13,536kN / m 
Total: 4,248 + 13,536 = 17,784kN / m 
Figura 1 – Parede e laje sobre viga metálica. 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2016). 
Além deste carregamento, para análise do comportamento da viga será 
necessário acrescentar seu peso próprio. Para elementos metálicos, 
o peso próprio é encontrado tabelado em função do perfil metálico 
empregado. Essas informações, assim como detalhes do perfil, podem 
ser obtidos em catálogos de fabricantes. 
1.2 Carregamentos acidentais 
Cargas acidentais são todas aquelas que atuam sobre a estrutura em 
função do uso da edificação. Elas podem variar tanto em magnitude 
quanto em localização da sua aplicação, e ainda podem ser causadas 
pelos pesos de objetos temporariamente colocados em uma estrutura, 
veículos em movimento ou forças naturais. Existe a estipulação de 
29 
 
 
 
2929
valores mínimos a serem adotados pela norma NBR 6120 (ABNT, 2000). 
As cargas acidentais (ou variáveis) normalmente são especificadas como 
cargas uniformemente distribuídas em kN / m2. A Tabela 2 apresenta 
alguns valores mínimos a serem adotados para diferentes usos. 
Tabela 2 – Valores mínimos para algumas cargas acidentais 
Local Carga (kN/m²) 
Bancos 
Escritórios e banheiros 2, 0 
Salas de diretoria e de gerência 1, 5 
Corredores 
Com acesso ao público 3, 0 
Sem acesso ao público 2, 0 
Edifícios residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1, 5 
Despensa, área de serviço e lavanderia 2, 0 
Forros Sem acesso a pessoas 0, 5 
Lojas 4, 0 
Fonte: NBR 6120 (ABNT, 2000). 
É importante ressaltar que, segundoa NBR 6120 (ABNT, 2000), no 
item 2.2.1.4: 
Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos 
a arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc., não é 
necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se 
considere um acréscimo de 3 kN/m2 no valor da carga acidental. 
Além de estabelecer padrões de cálculo, a norma ainda estabelece 
alguns pontos de atenção, como a majoração de cargas acidentais no 
projeto de garagens e estacionamentos. O item 2.2.1.6 da NBR 6120 
(ABNT, 2000) apresenta como deve ser feita essa majoração, bem como 
a majoração de alguns elementos: 
30 
 
 
 
 
 
 
30
• Acréscimo de carga vertical de 1 kN na posição mais desfavorável 
de todo elemento isolado de coberturas, tais como ripas, terças e 
barras de banzo superior de treliças; 
• Acréscimo de carga vertical de 2 kN/m e horizontal de 0,8 kN/m ao 
longo dos parapeitos e balcões; 
Já para o cálculo dos pilares e das fundações de edifícios não destinados 
para depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo 
com os valores indicados na própria norma. 
PARA SABER MAIS 
O estudo das cargas encontradas em pontes segue a norma 
NBR 7187 (ABNT, 2004), “Projeto e execução de pontes 
de concreto armado e protendido”, onde é apresentada 
uma classificação igual à conhecida para edificações 
(permanentes, acidentais, ou variáveis, e excepcionais). 
No entanto, cada uma dessas classes abrange ações que 
requerem acompanhamento pela própria norma de pontes, 
a NBR 7188 (ABNT, 2013), pois o estudo de cargas em 
movimento difere bastante de cargas estáticas. 
1.3 Carregamentos ambientais 
Finalmente, após conhecer os carregamentos devido ao peso próprio da 
estrutura e às solicitações inerentes ao seu uso, você conhecerá quais 
são as cargas devido a fenômenos ambientais (naturais ou não). 
As mais comuns delas são cargas de vento, produzidas pelo fluxo do vento 
em torno da estrutura. A NBR 6123 (ABNT, 2013) trata das forças devidas 
ao vento em edificações. Neste caso, as cargas de vento são consideradas 
ambientais pela sua origem, mas não excepcionais, pois ocorrem numa 
frequência maior do que sismos e incêndios, por exemplo. 
31 3131
-1----+------1----1---~o· 
A velocidade básica do vento, V0, é a velocidade de uma rajada de 3 
segundos, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima 
do terreno, em campo aberto e plano. A Figura 2 apresenta o gráfico das 
isopletas da velocidade básica no Brasil, com intervalos de 5 m/s. Como 
regra geral, é admitido que o vento básico pode soprar de qualquer 
direção horizontal. 
Figura 2 – Isopletas da velocidade básica V0 (m/s) 
Fonte: NBR 6123 (ABNT, 2013). 
A força do vento em uma superfície plana depende da velocidade 
característica do vento, que por sua vez depende da velocidade básica 
e de diferentes fatores: ([1] topográfico; [2] influência da rugosidade do 
terreno, das dimensões da edificação ou parte da edificação em estudo 
e de sua altura sobreo terreno; e [3] conceitos probabilísticos. 
32 
 
 
 
32
As cargas de ventos são especialmente importantes para estruturas 
metálicas, pois são estruturas leves e o vento representa um risco à 
estabilidade e segurança. Em estruturas metálicas, o vento pode causar 
efeitos de sobrepressão (efeito é somado às cargas permanentes 
e acidentais) ou efeitos de sucção (efeito é subtraído das cargas 
permanentes de acidentais). 
Outras cargas ambientais importantes para cálculo, mas classificadas 
como excepcionais, são aquelas devido a explosões, choques de 
veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais. Os incêndios, ao 
invés de serem tratados como causa de ações excepcionais, também 
podem ser levados em conta por meio de uma redução da resistência 
dos materiais constitutivos da estrutura. Cargas ambientais que podem 
ser consideradas não excepcionais, além do vento, podem ser as 
variações de temperatura, o atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as 
pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. 
A NBR 8681 (ABNT, 2004) é onde estão consolidadas as tabelas de 
referência para majoração das cargas em função de sua origem e 
frequência. 
2. Área de influência 
A área de influência que contribui para o carregamento de um 
determinado elemento deve ser encontrada pelo estudo da geometria 
do sistema estrutural. A seguir são apresentados alguns casos bastante 
recorrentes, mas, para modelos menos usuais, será necessário que você 
estude muito bem as características geométricas e interprete como as 
cargas serão transmitidas entre os elementos. 
As Figuras 3a e 3b apresentam um caso de uma laje com dimensões 
3L1 × L2 apoiada sobre um sistema composto por 4 vigas igualmente 
33 3333
A B ~1 e D 1 1 i 1 i 1 1 
1 1 1 1 
L/2 L/2 L/2 
1 1 1 1 
1 E 1 í F G 1 H 1 
A B e D 
3L 
L/2 
E F G H 
espaçadas (AE, BF, CG, DH) e duas longarinas (AD, EH). Em casos como 
esse, cada viga receberá uma carga proporcional à metade da área 
da laje que apoia, onde q é a carga acidental considerada. No caso 
de vigas centrais, BF, CG, elas recebem duas vezes o valor das vigas 
laterais AE, DH. 
Figura 3a – Áreas de influência sobre vigas, caso 1 
Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 
Figura 3b – Áreas de influência sobre longarinas, caso 1 
Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 
Dessa forma, o carregamento em função da área de influência para 
cada elemento fica: 
34 
 
34
! I I I l I I I I l l 1 
BF,CG: 
AE,DH: 
! I I I I I I I l I I l 
q ·L ·L 1 2 q . L, . L2 q . l½ · l 1 
2 2 2 
AD,EH: l l l l 
t¾·q•L ·L, 4 1 - ¾-q-~-L,1 
Para este caso apresentado, vale ressaltar que a carga q apresentada 
está relacionada com o carregamento da laje, não estando somado o 
valor do peso próprio das vigas metálicas. 
A Figura 4 apresenta um caso de laje com dimensões L × L apoiada 
sobre um sistema composto por 4 vigas de iguais dimensões (AB, 
BD, DC, CA). Em casos como esse, cada viga receberá uma carga 
proporcional a um quarto da área da laje que apoia, onde q é a carga 
acidental considerada. 
35 
 
 
3535
A 
' 
' · 
/ 
-45° 
e 
AB,BD,DC,CA: 
' ' ' ,_ / 
' · ./ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
8 
L 
q·L 
2 
U2 
q·L2l 
8 
Figura 4 – Áreas de influência sobre vigas, caso 2 
Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 
Dessa forma, o carregamento em função da área de influência para 
cada elemento fica: 
A Figura 5 apresenta um caso de laje com dimensões L1 × L2, com L1 > L2 
apoiada sobre um sistema composto por 4 vigas (AB = CD, AC = BD). Em 
casos como esse, as vigas menores receberão a carga proporcional ao 
triângulo isósceles virtualmente definido e as vigas maiores receberão 
carga proporcional à área do trapézio apresentado na Figura 2.5, onde q 
é a carga acidental considerada. 
36 36
,BD: 
AB,CD: 
tq·L/ 
8 
/ 
/ 
,,. 
,, 
/ 
/ 
8,, 
,, 
/ ,, 
L/2 
q·L/ f 
8 
Figura 5 – Áreas de influência sobre vigas, caso 3 
Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 
Para estes casos, o carregamento em função da área de influência para 
cada elemento fica: 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3737
3. Combinações de carregamentos 
A análise das estruturas requer avaliar os efeitos dos carregamentos 
combinados sobre os elementos. Não basta analisar o efeito de 
um tipo de carregamento somente. Para tanto, as combinações 
utilizadas variam em função dos estados limites. Os estados limites 
podem ser estados limites últimos ou estados limites de serviço. Os 
estados limites considerados nos projetos de estruturas dependem 
dos tipos de materiais de construção empregados e devem ser 
especificados pelas normas referentes ao projeto de estruturas com 
eles construídas. 
ASSIMILE 
Estados limites de uma estrutura tratam-se dos estados 
a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho 
inadequado às finalidades da construção. Podem ser 
últimos (ELU) ou de serviço (ELS). Quando a estrutura 
atinge o ELU, paralisa-se parcial ou totalmente o uso da 
edificação. Já para oELS, são verificados efeitos estruturais 
que não respeitam as condições especificadas para o uso 
normal da construção. 
Este capítulo apresentou um roteiro base para o estudo dos 
carregamentos nas estruturas, apresentando as principais Normas 
Brasileiras que regem este campo de trabalho. É muito importante 
que pratique o que foi apresentado para ter domínio das normas e 
suas especificidades. 
38 
 
 
 
 
 
38
A 3m B 3m e 3m D 
5m 
E F G H 
TEORIA EM PRÁTICA 
Você trabalha em um escritório de análise e cálculo 
estrutural e precisa determinar o carregamento das vigas 
e das longarinas de uma estrutura metálica. A estrutura 
está apresentada na Figura 6 e se sabe que este pavimento 
será destinado às salas de gerência de um banco. A laje foi 
feita em concreto armado (16 centímetros de espessura) e 
as vigas são de um perfil metálico com 0,7 kN / m de carga 
devido ao peso próprio, e longarinas com 2,1 kN / m. 
Figura 6 – Pavimento de um banco 
VERIFICAÇÃO DE LEITURA 
1. As cargas permanentes consistem dos pesos dos 
vários elementos estruturais e nos pesos de quaisquer 
objetos que compõem ou estão permanentemente 
conectados à estrutura. Assim, para um edifício, as 
cargas permanentes: 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3939
a. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, ventos e esforços gerados por recalques. 
b. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, entre outros elementos construtivos. 
c. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, ventos e esforços pela dilatação térmica. 
d. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, esforços pela dilatação térmica, entre outros 
elementos construtivos. 
e. incluem os pesos dos pilares, vigas, lajes, telhados, 
paredes, ventos, entre outros elementos construtivos. 
2. A força do vento em uma superfície plana depende 
da velocidade característica do vento, que por sua vez 
depende da velocidade básica e de diferentes fatores. 
Avalie as afirmativas a seguir e assinale com V para 
fatores verdadeiros e F para falsos. 
( ) topográfico; 
( ) rugosidade do terreno; 
( ) uso e altura da edificação; 
( ) conceitos probabilísticos. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a. V-V-V-V. 
b. F-V-V-V. 
c. V-F-F-V. 
d. V-V-F-F. 
e. V-V-F-V. 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40
3. Com relação às cargas acidentais, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Cargas podem variar tanto em magnitude quanto em 
localização da sua aplicação; 
II. Não existe a estipulação de valores mínimos a serem 
adotados, pois derivam de processos empíricos; 
III.Em hipótese alguma podem ser minorados os 
valores das cargas acidentais, pois isso seria contra a 
segurança. 
É correto o que se a firma apenas em: 
a. I. 
b. II. 
c. III. 
d. I e II. 
e. II e III. 
Referências bibliográficas 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8681: Ações e 
segurança nas estruturas-Procedimento. Rio de Janeiro, 2004. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto-procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6120: Cargas para o 
Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro, 2000. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6123: Forças devidas 
ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 2013. 
41 4141
BEER, Ferdinand P. et al. Vector mechanics for engineers. 9. Ed. Tata McGraw-Hill 
Education. Nova Iorque, 2009. 
HIBBELER, Russell C.; TAN, Kiang-Hwee. Structural Analysis in SI Units. Pearson 
Australia Pty Limited, Sinapura, 2016. 
KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, Ilinois, 2009. 
Gabarito 
Questão 1 – Resposta: B 
As cargas permanentes consistem dos pesos dos vários elementos 
estruturais e nos pesos de quaisquer objetos que compõem ou 
estão permanentemente conectados à estrutura. Assim, para um 
edifício, as cargas permanentes incluem os pesos dos pilares, vigas, 
lajes, telhados, paredes, entre outros elementos construtivos. 
Cargas de ventos, deslocamentos e deformações são acidentais. 
Questão 2 – Resposta: E 
A força do vento em uma superfície plana depende da velocidade 
característica do vento, que por sua vez depende da velocidade 
básica e de diferentes fatores, são eles: topográfico; rugosidade 
do terreno; posicionamento da estrutura (bem como altura) e 
conceitos probabilísticos. O carregamento do vento independe o 
uso da edificação. 
Questão 3 – Resposta: A 
Existe a estipulação normatizada dos valores de cargas acidentais 
mínimos que devem ser adotados em função do uso da edificação. 
A norma ainda prevê a minoração de cargas acidentais quando a 
edificação não será utilizada como depósito de armazenamento, 
por exemplo. 
 
 
 
 
4242
Classificação dos apoios das 
estruturas e suas reações 
Autor: Renan de Lima Branco 
Objetivos 
• Compreender a ocorrência dos esforços internos em 
situações de equilíbrio; 
• Capacitar a identificar os diferentes tipos de apoios 
dos elementos estruturais; 
• Capacitar a calcular as reações nos diferentes tipos 
de apoios. 
42 
43 
 
 
 
 
 
 
 
4343
1. Apoios de elementos estruturais 
Toda estrutura é projetada de forma tal que as cargas recebidas 
sejam transmitidas ao solo de alguma forma. No entanto, uma 
estrutura, geralmente, não é constituída de um único elemento 
(estrutura monolítica). As estruturas são compostas por elementos que 
transmitem as cargas recebidas aos elementos a que estão conectados. 
Existe um trabalho integrado entre os elementos para que seja 
alcançada a estabilidade da estrutura. 
A relação entre elementos se dá por conexões. Quando é feita uma 
análise estrutural detalhada, analisa-se cada um dos elementos 
isoladamente, na medida do possível. Dessa forma, cada tipo de 
conexão entre elementos pode ser representado como um apoio, 
classificados em rígidos, articulados ou com rolamento. Na Figura 1 
é possível observar representações clássicas para esses diferentes 
tipos de suporte. 
Figura 1 - Representação de apoios: (a) classe I, apoio móvel. (b) classe II, 
apoio fixo. (c) classe III, engaste 
(a) (b) (c) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
As reações de apoio são os esforços exercidos pelos apoios a fim de 
assegurar o equilíbrio do elemento. É importante conhecer seus valores, 
sentidos e direções. Como os apoios representam pontos de contato 
entre diferentes elementos, a Terceira Lei de Newton assegura que o 
carregamento transmitido ao elemento de apoio terá igual módulo, 
direção e sentido oposto à reação calculada. 
44 44
LFx =O 
LFY=O 
LFz =Ü 
LMx =O 
LMY =O 
LMz =O 
PARA SABER MAIS 
O enunciado da Terceira Lei de Newton é o seguinte: 
“Para toda força que surgir num corpo como resultado da 
interação com um segundo corpo, deve surgir nesse segundo uma 
outra força, chamada de reação, cuja intensidade e direção são 
as mesmas da primeira, mas cujo sentido é o oposto da primeira” 
(RIDPATH, 2012). 
2. Equilíbrio de estruturas 
Para a análise de reações nos apoios é importante compreender o 
conceito de esforços internos e a diferenciação das forças externas. As 
forças externas são aquelas originadas de carregamentos (permanentes, 
acidentais, ambientais), bem como as reações dos apoios estruturais. Já 
os eforços internos são aqueles presentes em cada seção do elemento. 
O equilíbrio estrutural pode ser definido como a permanência no 
estado de repouso de uma estrutura que, inicialmente em repouso, 
continua neste estado mesmo quando sujeita a uma combinação de 
carregamentos (KASSIMALI, 2015). O equilíbrio é alcançado quando 
todas as forças atuantes, momentos e reações de apoio (Figura 2) se 
equilibram, sem haver resultante diferente de zero em qualquer direção. 
O sistema de equações que representa o equilíbrio tridimensional de 
um elemento é o seguinte: 
45 4545
Lr:=o 
LFY=O 
LMz =Ü 
Figura 2 – Atuação de forças externas e momentos atuantes em umelemento tridimensional 
Fonte: Adaptada de Kassimali (2009). 
Para um modelo bidimensional (estruturas planas), o conjunto de 
equações que definem o equilíbrio pode ser resumido naquelas que 
relacionam somente as duas coordenas principais1 (x e y): 
As principais formas de carregamento estão apresentadas na Figura 
3. A Figura 3(a) apresenta a força concentrada, caracterizada por ser 
aplicada em um único ponto, podendo variar módulo, sentido e direção. 
A Figura 3(b) apresenta o momento fletor concentrado, caracterizado 
por causar uma rotação do elemento em torno do eixo z, podendo variar 
o sentido do giro. A Figura 3(c) apresenta o carregamento distribuído, 
caracterizado por aplicar cargas ao longo de um trecho do elmento, 
podendo variar o formato da sua distribuição. 
Figura 3 – Principais carregamentos. (a) Força concentrada. (b) Momento 
concentrado. (c) Carga distribuída 
46 
 
46
Força 
Concentrada 
• Ponto N 
Carga 
11 
Distribuída 
hh 
(a) (b) (c) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
3. Cálculo de reações 
Para aplicar os conceitos de equilíbrio e apoio, tendo por finalidade 
o cálculo das reações de apoio, vamos estudar a Figura 4. Uma viga 
biapoioada, com um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel 
na outra, recebe uma carga concentrada, uma carga triangularmente 
distribuída e um momento concentrado. As reações de apoio são 
responsáveis por garantir o equilíbrio do sistema de equações, ou seja, 
a somatória das forças na direção x e na direção y devem ter somatória 
igual a zero. O apoio do ponto A apresenta duas reações, pois é um 
apoio fixo e impede o deslocamento em duas direções, gerando uma 
reação vertical RA e uma reação horizontal HA. O apoio do ponto B é 
um apoio simples e impede o deslocamento somente em uma direção, 
gerando somente uma reação, neste caso, como o apoio B sustenta o 
elemento na direção vertical, a reação será na direção vertical RB. 
Figura 4 – Equilíbrio estático em uma viga biapoiada 
47 
 
4747
y 
L 
-----x 
o 
3.1 Exemplos de aplicação 
É fundamental que o profissional da Engenharia Estrutural domine 
o processo de calcluar as forças de reações dos apoios. Dessa forma 
a proposta desta seção é que você exercite a capacidade resolutiva 
de problemas. Serão apresentados diferentes tipos e posições de 
apoios, com diferentes carregamentos. Para todas essas configurações 
o objetivo é o mesmo: determinar módulo, direção e sentido das 
reações de apoio. 
3.1.1 Força aplicada sobre viga biapoiada 
A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga 
concentrada de 20 kN aplicada a 3 metros de um dos apoios. 
Figura 5 – Viga com carregamento concentrado 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
48
LFx =O 
LFY =0 
LMA=O 
LFx =0:HA =0 
LFY = O :-20kN +RA +RB = O 
RA =20kN-RB 
LMA =0: 20kN·3m-R8 ·Sm =0 
R = 60kNm = 12kN 
B 5m 
RA = 20kN - RB = 20kN -12kN = SkN 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como 
atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado 
apoio A aquele mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à 
direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido 
das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória 
das forças na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB 
apresentam sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, 
foi convencionado para a resolução do problema que as reações teriam 
sentido contrário à força aplicada. 
49 
 
4949
x =O 
LFY =0 
LMA;;t:O 
Figura 6 – Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
3.1.2 Força aplicada sobre viga engastada 
A seguir está apresentada uma viga engastada com uma carga 
concentrada de 20 kN aplicada a 5 metros do engaste, na extremidade 
oposta ao apoio. 
Figura 7 – Viga engastada com carregamento concentrado 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir 
nomenclatura para o apoio. No caso, foi considerado o engaste 
como apoio A. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A 
impede toda movimentação, inclusive rotação, haverá um momento 
diferente de zero que deve equilibrar-se com o momento causado pela 
força aplicada. Dessa forma, temos o seguinte sistema de equações: 
50 
 
50
A 
LFx =0:HA =0 
LFY =0:-20kN+RA =0 
RA =20kN 
M A =20kN·5m=100kNm 
w,00.0ittTi 
~ 
K 
~ 
o 
d 
N 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das 
reações de apoio adotadas. No caso, a força aplicada tende a rotacionar 
o elemento no sentido horário, logo, a reação de momento no engaste 
(apoio A) deverá ter sentido anti-horário. 
Figura 8 – Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
3.1.3 Força aplicada sobre viga em balanço 
A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga 
concentrada de 20 kN aplicada na extremidade em balanço, onde os 
apoios distam 3 metros entre si. 
Figura 9 – Viga biapoiada com balanço 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
51 5151
LFx =O 
LFY=0 
LMA=O 
LFx =0:HA =0 
LFY =0:-20kN+RA+RB =0 
RA =20kN-RB 
LMA =0:20kN·5m-R8 ·3m=0 
R = lOOkNm = 33 3kN 
B 3m ' 
RA = 20kN-RB = 20kN-33,3kN =-I3,3kN 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir 
nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele 
mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das 
reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças 
na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal 
contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado 
para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário 
à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal 
negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. 
52 52
J;l111111111111111111111lfÍ1in1111111111111111111111~l 
A A 
LFx=Ü 
LFY = o 
LMA =0 
Figura 10 - Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
4. Carga distribuída sobre viga biapoiada 
A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga 
distribuída de 20 kN/m aplicada ao longo dos 4 metros entre os apoios. 
Figura 11 – Viga biapoiada com carregamento distribuído 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir 
nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele 
mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
53 5353
LFx =0:HA =0 
LFY =0:-(20kN/m·4m)+RA +RB =0 
RA = 80kN-RB 
LMA =0:(20kN/m·4m)·2m-R9 ·4m=0 
Rs = 160kNm = 40kN 
4m 
RA =80kN-RB = 80kN-40kN = 40kN 
hrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrlifiITfrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr~ 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido 
das reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das 
forças na direção do eixo y mostra que as reaçõesRA e RB apresentam 
sinal contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi 
convencionado para a resolução do problema que as reações teriam 
sentido contrário à força aplicada, o que foi confirmado pelo sinal de 
positivo ao final dos cálculos. 
Figura 12 - Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
4.1 Carga distribuída sobre viga em balanço 
A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga 
distribuída de 20 kN/m ao longo de toda a extensão do trecho em 
balanço de uma viga biapoiada. 
54 
 
 
 
54
~--
3
.
00 
m --------=>-r;-~l-II-IÍiirYn1nll~ 
A 
LFx =0:HA =0 
LFx =Ü 
LFY=O 
LMA=O 
K 
LFY =0:-20kN/m·2m+RA +Rn =0 
RA =40kN -RB 
LMA =0:(20kN/m·2m)·(3m+1m)-R8 ·3m =0 
R = 160kNm = 53 3kN 
B 3m ' 
RA =40kN-RB = 20kN-53,3kN =-l3,3kN 
Figura 13 – Viga biapoiada com balanço e carregamento distribuído 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como 
atribuir nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado 
apoio A aquele mais à esquerda do elemento e, B, aquele mais à 
direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
55 
 
5555
i,.e:=.----
3
.00 m --~>'"'4-E=h;;..__~ 1-11-lllfr Til 1 n ll~ 
~----3.00 m ---------::::~-- 2.00 m ------=~ 
4.00 kN/m 
~ 
o o 
N 
Figura 14 - Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
4.2 Combinação de carga distribuída e força concentrada 
aplicada em viga 
A seguir está apresentada uma viga biapoiada com uma carga 
concentrada de 20 kN aplicada na extremidade em balanço e uma carga 
distribuída de 4 kN/m no trecho entre os apoios. 
Figura 15 – Viga biapoiada com balanço e carregamento distribuído 2 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir 
nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado o apoio A aquele 
mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
 5656
LFx =0:HA =0 
LFx= Ü 
LFY=O 
LMA=O 
LFY =0 :-20kN-4kN/m·3m+RA +R8 = O 
RA =32kN-RB 
LMA =0: 20kN ·5m+(4kN/m·3m)·l,5m-RB -3m =0 
Ra = l 18kNm = 39 3kN 
3m ' 
RA = 32kN -RB = 32kN -39,3kN = -7,3kN 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das 
reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças 
na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal 
contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado 
para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário 
à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal 
negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. 
Figura 16 – Resolução 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
56 
57 5757
f 
t',.) 
8 
3 
LFx =O 
LFY=O 
LMA=O 
4.3 Força aplicada em pórtico 
A seguir está apresentado um pórtico biapoiado, onde os apoios distam 
4 metros horizontalmente e 2 metros verticalmente. Na extremidade em 
balanço do pórtico está aplicada uma caraga concentrada de 10 kN. 
Figura 17 – Pórtico inclinado com carga concentrada 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
O primeiro passo é fazer as considerações necessárias, como atribuir 
nomenclatura para os apoios. No caso, foi considerado apoio A aquele 
mais à esquerda do elemento, e B, aquele mais à direita do elemento. 
Na sequência, assegura-se o equilíbrio através do sistema de equações 
de equilíbrio. Para esta etapa, pode-se adotar que, como o apoio A não 
impede a rotação, a somatória de momentos neste ponto será nula, 
fornecendo uma das equações para o sistema: 
Resolvendo este sistema, apresentam-sem as seguintes equações: 
58 58
LFx = 0:HA =0 
LFY =o: -IOkN + RA + RB = o 
RA =lOkN-RB 
I,MA =O: 10kN-6m-RB -4m = O 
R = 60kNm =15kN 
B 4m 
RA = 10kN - RB = 10kN -15N = -5kN 
Para visualizar o resultado obtido, é importante relembrar o sentido das 
reações de apoio adotadas. No caso, a equação da somatória das forças 
na direção do eixo y mostra que as reações RA e RB apresentam sinal 
contrário ao da força concentrada aplicada, ou seja, foi convencionado 
para a resolução do problema que as reações teriam sentido contrário 
à força aplicada, caso o sinal seja positivo. Como RA apresenta sinal 
negativo, seu sentido apresenta o mesmo da força aplicada. 
A compreensão de como diferentes confirgurações do sistema estrutural 
alteram os valores das reações de apoio poderá ser alcançada somente 
com o exercício de desenvolver o raciocínio de cálculo. Aproveite para 
resolver novamente os exemplos apresentados com a liberdade de 
variar os valores das cargas e das dimensões das vigas e pórticos. 
TEORIA EM PRÁTICA 
Você está responsável por analisar um pórtico que recebe 
diferentes carregamentos: um carregamento distribuído, 
uma carga concentrada e um momento concentrado (Figura 
18). Fazendo as considerações necessárias, apresente os 
valores das reações nos apoios desse pórtico. 
59 
 
 
 
 
5959
f 
f'sJ 
8 
3 
l 
~ 
º! ci .- 2.00 kN/m lll ll ll ll ll lll l 
Figura 18 – Pórtico inclinado com carga concentrada 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
VERIFICAÇÃO DE LEITURA 
1. As cargas atuantes em uma estrutura são transmitidas 
entre os elementos estruturais de uma forma que: 
c. as conexões entre eles funcionam como ponto de 
contato rígido entre os elementos e podem ser 
interpretadas, em termos de análise, como engastes. 
a. as conexões funcionam como ponto de contato entre 
os elementos e podem ser interpretadas, em termos 
de análise, como apoios. 
b. as conexões e os apoios sejam conhecidamente 
distintos: um proporciona impedimento à rotação 
enquanto o outro impede deslocamentos. 
60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60
d. os valores transmitidos independem do tipo de 
conexões e restrições de movimentos que ela 
proporciona. 
e. para cada tipo de sistema estrutural existe uma 
nomenclatura diferente para os tipos de apoios. 
2. As reações de apoio são os esforços exercidos pelos 
apoios a fim de assegurar o equilíbrio do elemento. É 
importante conhecer seus valores, sentidos e direções. 
Avalie as afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F 
para falso. 
( ) o carregamento transmitido ao elemento de apoio 
terá iguais módulo e direção, mas sentido oposto à 
reação calculada. 
( ) o estudo da transmissão das cargas aos apoios é 
importante para entender o equilíbrio do elemento 
estrutural. 
( ) as reações de apoio são exemplos de esforços 
internos da estrutura. 
( ) o equilíbrio é alcançado quando todas as forças 
atuantes, momentos e reações de apoio resultam em 
valores diferentes de zero, em qualquer direção. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
a. V-V-V-V. 
b. F-V-V-V. 
c. V-F-F-V. 
d. V-V-F-F. 
e. V-V-F-V. 
61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6161
3. Avalie as afirmativas a seguir, onde cada uma delas 
descreve as principais formas de carregamento em um 
elemento estrutural: 
I. a força concentrada é caracterizada por ser aplicada 
em um único ponto, podendo variar módulo, sentido 
e direção. 
II. o momento fletor concentrado é caracterizado por 
causar giro do elemento em torno do próprio eixo de 
aplicação da força. 
III.o carregamento distribuído é caracterizado por 
aplicar cargas em todo o elemento estrutural, de 
forma uniforme. 
É correto o que se a firma apenas em: 
a. I. 
b. II. 
c. III. 
d. I e II. 
e. II e III. 
Referências bibliográficas 
BEER, Ferdinand P. et al. Vector mechanics for engineers. 9. ed. TataMcGraw-Hill 
Education, Nova Iorque, 2009. 
HIBBELER, Russell C.; TAN, Kiang-Hwee. Structural Analysis in SI Units. Pearson 
Australia Pty Limited, Singapura, 2016. 
KASSIMALI, A. Structural analysis. Cengage Learning, Ilinois, 2009. 
RIDPATH, Ian. A dictionary of astronomy. Oxford University Press, Oxford, 2012. 
62 62
Gabarito 
Questão 1 – Resposta: A 
Existe um trabalho integrado entre os elementos para que seja 
alcançada a estabilidade da estrutura. A relação entre elementos se 
dá por conexões. Quando é feita uma análise estrutural detalhada, 
analisa-se cada um dos elementos isoladamente, na medida do 
possível. Dessa forma, cada tipo de conexão entre elementos 
pode ser representado como um apoio, classificados em rígidos, 
articulados ou com rolamento. 
Questão 2 – Resposta: D 
As reações de apoio são consideradas forças externas à estrutura, 
mas é fundamental seu conhecimento para o cálculo dos esforços 
internos. O equilíbrio é alcançado quando todas as forças atuantes 
(concentradas, distribuídas, momentos e reações de apoio) 
equilibram-se, ou seja, a resultante em cada direção é igual a zero. 
Questão 3 – Resposta: A 
O momento fletor causa a rotação do elemento 
perpendicularmente ao eixo de aplicação da força. A carga 
distribuída pode ser aplicada ao longo de um trecho do elmento, 
não necessariamente em todo o elemento e pode variar o formato 
da sua distribuição. 
 
 
 
 
 
6363
Diagramas de esforços solicitantes 
para estruturas lineares 
Autor: Renan de Lima Branco 
Objetivos 
• Compreensão das forças normais, cortantes e 
momentos fletores; 
• Análise das forças e momentos internos que são 
transmitidos ao longo dos elementos; 
• Capacitar para representação dos diagramas de 
esforços solicitantes. 
63 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64
q 
A l!!!! C / 
B --
C' 1 
Ha r v. 
1. Forças e momentos internos 
As forças e momentos internos são aqueles que partem do elemento 
estrutural realizado sobre o restante. Considere a viga da Figura 1, onde 
uma viga biapoiada nas suas extremidades recebe um carregamento 
distribuído e uma carga concentrada. Para compreender como os 
esforços internos são transmitidos ao longo do elemento é importante 
que seja analisada uma determinada seção, no caso, a seção CC’. 
Figura 1 – Viga biapoiada 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Para se estudar os esforços internos, deve-se avaliar trechos segmentados 
dessa viga: AC e BC. Dessa forma, considerando-se o equilíbrio estático 
para cada uma dessas abordagens é possível identificar os esforços 
resultantes em CC’, ou seja, os esforços internos da viga em determinada 
seção. Observe que a Figura 2 faz justamente essa consideração. A 
Figura 2(a) mostra que para equilibrar as forças externas deve haver uma 
combinação de ações internas na seção CC’, assim como a Figura 2(b). Tais 
ações na seção da viga é o que se denomina esforços internos e eles são 
classificados em: força cortante (representada com a letra ‘S’ na Figura 
2), força normal (representada com a letra ‘N’ na Figura 2) e momento 
fletor (representada com a letra ‘M’ na Figura 2). Vale ressaltar que a 
força normal é aquela aplicada no eixo do centro de gravidade da viga, 
enquanto a força cortante é transversal a esse eixo. 
65 
 
 
 
 
6565
q 
: s : :C' ~ 
H, l v, 
Figura 2 – Esforços internos na seção da viga 
(a) (b) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Para que haja equilíbrio no elemento como um todo, observe que 
o sentido dos esforços internos em AC e BC são opostos. Segundo 
Kassimali (2009), o esforço normal interno em qualquer seção é 
igual em magnitude, mas com sentido oposto à soma algébrica das 
componentes na direção paralela ao eixo da viga em ambos os lados da 
seção considerada. O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o esforço 
cortante e o momento fletor. 
Ainda neste assunto, quando se trata de esforços interno, é muito 
importante seguir padronizações quanto ao sentido dos esforços e o 
que isso representa quando se desenvolve os cálculos. As considerações 
para esforço normal, cortante e momento fletor são as seguintes: 
• Esforço normal positivo é aquele que tende a tracionar 
o elemento; 
• Esforço cortante positivo é aquele que gera momento no sentido 
horário sobre uma seção; 
• Momento fletor positivo é aquele que tende a tracionar as fibras 
inferiores e comprimir as fibras superiores do elemento. 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66
(..
,J
 8 3 
33
.3
 k
N 
N
 8 3 
20
.0
 k
N 
... 8 o ! 
!-J
I 8 3 
~
 
2. Procedimento para cálculo
Para o cálculo dos esforços internos basta ter registrados os esforços
externos e a geometria do elemento. Para o caso das vigas, pode-se
considerar o procedimento descrito na Figura 3.
1. Calcular as reações de apoio.
2. Definição de uma seção perpendicular.
3. Escolha um dos lados definidos pela seção (indicado escolher
aquele com menor número de reações do apoio).
4. Cálculo do esforço normal na seção.
5. Cálculo do esforço cortante na seção.
6. Cálculo do momento fletor.
7. Pode-se verificar os valores encontrados calculando os esforços
para a mesma seção, mas como ponto de partida o outro lado
definido pela seção.
Vamos verificar alguns exemplos a seguir com as vigas da Figura 4(a),
4(b) e 4(c). 
Figura 4 – Esforços externos atuando em uma viga
(a)
(b)
67 
 
 
6767
ITlII III l III t~~ ; -11-11-J I-I I-I-J ::~1--==--<-- 2.00 m --------3"-I; 
LFx,C = O 
LFy,C = o 
LMc=O 
L Fx,C = -N +O= O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 = O ➔ S = 20 kN 
LMc = 20 · 1 +M =O--+ M = -20kNm 
N = 0,S = 20 kN,M = -20 kNm 
SeçãoC,Figura4(a ) 
(c) 
(d) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Para as vigas da Figura 4, considere uma seção num ponto ‘C’ localizado 
a 1 metro da extremidade direita. A seguir será apresentado o roteiro de 
cálculo para os esforços internos desta seção para cada um dos casos 
(vigas das Figuras 4(a), 4(b), 4(c) e 4(d). 
Como já foi apresentado, basta realizar o cálculo para o equilíbrio da 
parte do elemento delimitada pela seção de interesse. Dessa forma, 
para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(a), tem-se os 
seguintes cálculos: 
68 68
LFx,C = O 
LFy,C = o 
LMc=O 
L Fx,C = -N + O = O ➔ N = O 
L Fy,C = -S - 13,3 + 33,3 = O ➔ S = 20 kN 
I Me= -13,3 · 4 + 33,3 · 1- M =O ➔ M = -20 kNm 
N = 0,S = 20 kN,M = - 20 kNm 
SeçãoC,Figura4(b ) 
Semelhantemente aos cálculos para a viga da Figura 4(a), a viga da 
Figura 4(b) apresenta os mesmos carregamentos externos quando 
considerada a porção à direita da seção. 
ASSIMILE 
Para o simples cálculo dos esforços internos presentes 
na seção de um elemento estrutural vale ser considerado 
somente esforços de um lado ou de outro da seção. 
Dessa forma, para a seção de interesse da viga apresentada na 
Figura 4(b) os cálculos pela direita da seção já foram apresentados, 
então tem-se os seguintes cálculos quando considerada a porção à 
esquerda da seção: 
69 6969
LFx,c = O 
LFy,C = o 
LMc=O 
L Fx,c = -N +O= O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 · 1 = O ➔ S = 20 kN 
L Me = 20 · 1 · 0,5 + M = O ➔ M = -10 kNm 
N = 0,S = 20 kN,M = -10 kNm 
SeçãoC,Figura4(c) 
LFx,c = O 
LFy,C = o 
LMc=O 
L Fx,C = -N +O= O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 = O ➔ S = 20 kN 
L Me = 20 · 1 + M = O ➔ M = -20 kNm 
N = 0,S = 20 kN,M = -20 kNm 
SeçãoC,Figura4(d) 
Para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(c), tem-se os 
seguintes cálculos: 
Para a seção de interesse da viga apresentada na Figura 4(a), tem-se os 
seguintes cálculos: 
70 70
LFx,C = O 
LFy,C = o 
LMc=O 
L Fx,C = -N +O= O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 = O ➔ S = 20 kN 
L Me = 20 · x + M = O ➔ M = -20 · x kNm 
3. Diagramas de esforços internos 
Uma forma bastante visual de apresentar como um elemento estrutural 
se comporta é com o uso dos diagramas de esforços. Seja o diagrama de 
força normal, o de esforço cortante ou o de momento fletor, todos estes 
fornecem dados suficientes para tomadas de decisões no âmbito da 
análise estrutural. 
Segundo Martha (2009), o diagrama deesforços cortantes pode ser 
definido como uma descrição da variação dos esforços cortantes ao 
longo das seções transversais da estrutura. Já o diagrama de momentos 
fletores apresenta a variação dos momentos fletores ao longo das 
seções transversais da estrutura. A convenção adotada para o desenho 
do diagrama é tal que valores positivos de esforços cortantes são 
desenhados do lado das fibras superiores da barra e negativos do outro 
lado, diferentemente da representação para o diagrama de momentos 
fletores, onde os valores positivos ficam no lado das fibras inferiores da 
barra e os negativos do outro lado. 
Para todas as vigas da Figura 4 será apresentado o roteiro de cálculo a 
seguir. Considere como “x” a distância entre o ponto de origem e uma 
seção “C” estudada. Para a Figura 4(a), por exemplo, há a aplicação de 
uma carga concentrada de 20 kN na extremidade direita, tomando esta 
extremidade como origem de um eixo x, você pode avaliar como os 
esforços internos desenvolvem-se ao longo do eixo: 
71 7171
- 5.00 m -- -
20.0 
,, 
- 5.00 m -- -
100.0 -
,, 
Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independentemente 
do valor de ‘x’, o diagrama observado é um retângulo de altura 20 kN por 
comprimento 5 metros. Já o diagrama do momento fletor é um triângulo 
na parte superior da viga (sinal negativo é representado na parte 
superior), iniciando com valor igual a zero kN.m na origem e chegando a 
100 kN.m no ponto do engaste. 
Viga Figura 4(a) Diagrama 
Cortante (kN) 
Momento 
Fletor (kN.m) 
Para a viga da Figura 4(b), você perceberá que para cada ponto de 
esforço externo deve haver uma seção para estudar os esforços 
internos, pois há uma descontinuidade no diagrama. No primeiro 
caso isso não foi necessário, pois se tratava de uma viga engastada 
somente em uma extremidade. Para uma carga concentrada em uma 
viga biapoiada com um trecho em balanço há a aplicação de uma 
carga concentrada de 20 kN na extremidade direita, tomando esta 
extremidade como origem de um eixo x, você pode avaliar como os 
esforços internos se desenvolvem ao longo do eixo: 
72 
 
 
72
para O < x < 2 m, 
L Fx,C = - N +O= O ➔ N = O 
I Fy,C = S - 20 = O ➔ S = 20 kN 
I Me = 20 · x + M = O ➔ M = -20 · x kNm 
para 2 < x < 5 m, 
L Fx,C = -N +O= O ➔ N = O 
I Fy,C = S - 20 + 33,3 = O ➔ S = -13,3 kN 
I Me = 20 · x + M - 33,3 · (x - 2) = O ➔ 
M = 33 3 · x - 20 · x - 66 6 = (13 3 · x - 66 6) kNm I I I I 
t--E:------ 3.00 m ------3'-+<E:---- 2.00 m --------=~ 
20.0 
- 13.3 
Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independente do 
valor de ‘x’ em cada um dos trechos analisados e o diagrama observado 
é um retângulo de altura 20 kN por comprimento 2 metros (trecho em 
balanço) e um outro retângulo de altura 13,3 kN com sinal negativo 
para o trecho entre os apoios. Já o diagrama do momento fletor é um 
triângulo na parte superior da viga (sinal negativo é representado na 
parte superior), onde tem um valor máximo de 40 kN.m no apoio mais 
ao centro e valor nulo em ambas as extremidades. 
Viga Figura 4(b) Diagrama 
Cortante (kN) 
Momento 
Fletor (kN.m) 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7373
para O < x < 2 m, 
L Fx,C = -N + O = O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 · x = O ➔ S = 20 · x kN 
L Me= 20 · x · x/2 + M =O ➔ M = -10 • x 2 kNm 
para 2 < x < 5 m, 
L Fx,C = -N +O= O ➔ N = O 
L Fy,C = S - 20 · 2 + 53,3 = O ➔ S = -13,3 kN 
L Me = 20 · 2 · (x - 1) + M - 53,3 · (x - 2) = O ➔ 
M = 53,3 · x - 106,6 - 40 · x + 40 = (13,3 • x + 66,6) kNm 
Para a viga da Figura 4(c), a resolução será muito similar à resolução da 
viga 4(b), pois há mais de um ponto de aplicação de esforços externos ao 
longo da viga. Tomando esta extremidade como origem de um eixo x, você 
pode avaliar como os esforços internos se desenvolvem ao longo do eixo: 
Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou dependente do 
valor de ‘x’, o diagrama observado é um triângulo com altura máxima 
sobre o apoio mais ao centro com valor de 40 kN. À esquerda fica 
representado um retângulo, pois neste trecho o valor indemende de ‘x’, 
com altura de 13,3 kN, é negativo. Já o diagrama do momento fletor é 
uma parábola com concavidade para cima no trecho em balanço e um 
com altura máxima no apoio mais ao centro. As alturas do triângulo 
e da parábola apresentam mesmo valor no apoio (100 kN.m) e nas 
extremidades apresentam valor nulo. 
74 
 
 
 
 
 
 
74
para O < x < 2 m, 
L Fx,e = -N + O = O ➔ N = O 
L Fy,e = S - 20 = O ➔ S = 20 kN 
L Me = 20 · x + M = O ➔ M = -20 · x kNm 
para 2 < x < 5 m, 
L Fx,e = -N + O = O ➔ N = O 
L Fy,e = S - 20 + 39,3 - 4 · (x - 2) = O ➔ S = 4 • x - 27,3 kN 
L Me = 20 · x - 39,3 · (x - 2) + 4 · (x - 2) · (x - 2)/2 + M = O ➔ 
M = -20 · x + 39 3 · x - 78 6 - 2 · x 2 + 8 · x - 8 = -2 · x 2 + 17 3 · x - 78 6 kNm , , , , 
Viga Figura 4(c) Diagrama 
Cortante (kN) 
Momento 
Fletor (kN.m) 
Para a viga da Figura 4(d), há a aplicação de uma carga concentrada de 
20 kN na extremidade direita e uma carga distribuída no trecho entre 
os apoios, logo apresenta descontinuidades e precisa ser estudada 
trecho a trecho: 
Para esta viga, como o esforço cortante se mostrou independente 
do valor de ‘x’ para o primeiro trecho, o que gera um diagrama 
retangular de altura 20 kN, já para o segundo trecho o diagrama 
observado é um trapézio negativo (abaixo da linha central do 
75 
 
 
 
 
 
 
 
7575
3.00 m 
elemento) com altura máxima sobre o apoio mais ao centro com valor 
de 19,3 kN e altura mínima sobre o apoio fixo com valor de 7,3 kN. Já 
o diagrama do momento fletor é uma parábola com concavidade para 
cima no trecho entre os apoios e um triângulo no trecho em balanço. 
A altura máxima está no apoio mais ao centro, com valor de 40 kNm. 
Nas extremidades o valor é nulo. 
Viga Figura 4(d) Diagrama 
Cortante (kN) 
Momento 
Fletor (kN.m) 
TEORIA EM PRÁTICA 
Você está responsável por dimensionar a armadura de uma 
viga biapoiada e com uma extremidade em balanço. Tal viga 
recebe diferentes carregamentos ao longo de sua extensão. 
No primeiro trecho, tomando como referência o apoio à 
esquerda da viga, do ponto 0 aos 2 metros recebe 2 kN/m e 
recebe também uma carga concentrada de 10 kN no ponto 
3 metros. Na extremidade em balanço ainda há uma carga 
concentrada de 5 kN. 
76 
 
 
 
 
76
2.00 kN/rn 
lr-c-l~,-,-lll.-.-ll,--,-llTIIII 1 l l ll l ll ll 
1.00m - - 1.00 m - - 1.00m -· 
Como engenheiro estrutural você sabe que a correta 
armação da viga depende diretamente da análise dos 
diagramas de esforços cortantes e de momento fletor. 
Fazendo as considerações necessárias, apresente os 
diagramas dessa viga. 
1. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a 
relação entre forças internas e externas. 
a. Os esforços externos são aqueles que partem do 
VERIFICAÇÃO DE LEITURA 
elemento estrutural realizados sobre os apoios, como 
uma forma de manter o equilíbrio estático. 
b. Os esforços internos são aqueles que partem do 
elemento estrutural realizados sobre o restante, 
como uma forma de manter o equilíbrio com as 
forças externas. 
c. Os apoios de um elemento estrutural representam 
um tipo de esforço interno, pois aplicam uma carga 
de reação. 
77 
 
 
 
 
 
 
7777
d. Os apoios de um elemento estrutural representam 
um tipo de esforço externo e não é considerado no 
cálculo dos esforços internos. 
e. Os esforços externos são aqueles transmitidos 
ao longo do elemento, enquanto que os esforços 
internos são aqueles aplicados pelo uso da estrutura. 
2. Para entender a relação entre os esforços internos de 
uma mesma seção, quando se analisa por diferentes 
segmentos dela (pelo trecho da esquerda ou pelo trecho 
da direita), Kassimali (2009) apresenta um importante 
raciocício. 
Avalie as afirmativas a seguir com V para verdadeiro e F 
para falso. 
( ) Para que haja equilíbrio no elemento como um todo, 
observe que o sentido dos esforços internos em 
uma mesma seção, quando analisada por diferentes 
segmentos, são opostos. 
( ) O esforço normal