FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 4

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FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA 
Luciana Maria Margoti
Número fracionário e 
operações com fração
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Conceituar e ler números fracionários.
 � Utilizar técnicas para efetuar operações com frações.
 � Resolver problemas envolvendo frações.
Introdução
Neste capítulo, você conhecerá os números racionais, ou fracionários, 
muito úteis no nosso cotidiano. Pensando nisso, alguns exemplos com 
ilustrações de situações diárias lhe ajudarão a entender o conceito ma-
temático de frações.
Compreendendo os números fracionários, você aprenderá suas 
propriedades e as características das operações. Dessa maneira, a inter-
pretação e resolução de problemas envolvendo frações ficarão muito 
mais fáceis.
Números fracionários
Na matemática, muitas operações e propriedades tratam de relações entre 
os conjuntos numéricos, que podem ser exemplificados com o conjunto dos 
números naturais e o conjunto dos números inteiros.
 � N = {0,1,2,3,…} — conjunto dos números naturais.
 � Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} — conjunto dos números inteiros.
Os números inteiros designam múltiplos da unidade, tanto negativos quanto 
positivos. Todos os conjuntos numéricos estão presentes no seu dia a dia, ao 
executar as tarefas mais comuns. Ir à padaria e comprar 5 pães ou à papelaria 
e comprar 3 cadernos; ter 10 lápis de cor e perder três (-3), restando apenas 7; 
dentre inúmeros outros exemplos. Porém, nem todas as situações ou todos os 
problemas podem ser resolvidos apenas com números inteiros.
Quando alguns amigos se reúnem e pedem uma pizza grande, esta vem 
cortada em 8 pedaços iguais. Cada pedaço comido é uma parte da pizza in-
teira. Devido à necessidade de representar partes ou pedaços de algo inteiro, 
trabalha-se com o conjunto dos números racionais.
Dado um número inteiro q ≠ 1 e q ≠ –1, seu inverso 1q não existe em Z 
(IEZZI; MURAKAMI, 2013). No conjunto Z, não há definição para a divisão 
entre dois números que não tenha resultado inteiro. Assim, para que o resultado 
de divisões do tipo pq faça parte do conjunto dos números inteiros, p deverá 
sempre ser um múltiplo de q.
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q;. Nele, estão 
contidos os resultados de operações que não resultam em números inteiros: 
as frações. Assim como cada pedaço da pizza representa uma fração, ou seja, 
uma parte do todo.
Seja uma fração:
m
n
m — é o numerador; 
n — é o denominador.
São exemplos de frações:
1
2
–5
9
, 6
1
7
11
,,
O exemplo em que a pizza é dividida em 8 pedaços iguais pode ser re-
presentado de modo semelhante às representações apresentadas na Figura 1. 
Número fracionário e operações com fração2
Figura 1. Representação de frações.
Fonte: Adaptada de Chekyravaa/Shutterstock.com.
Cada pedaço dessa pizza representará 18 (um oitavo) do todo.Algumas frações são possíveis de serem reduzidas, desde que numerador 
e denominador tenham um máximo divisor comum (MDC) diferente de 1. 
Por exemplo, considere a fração três nonos, numericamente representada por:
3
9
O MDC entre 3 e 9 é o próprio 3. Procedendo com a divisão do numerador 
e denominador por 3, teremos como resultado a fração um terço, que, nume-
ricamente, é representada por:
1
3
Se você observar a última fração, o MDC entre 1 e 3 é somente o número 
1. Essa fração é dita irredutível, uma vez que seu numerador e denominador 
não podem mais ser simplificados, com divisão por números inteiros.
3Número fracionário e operações com fração
7
1 = 7
Todas as vezes que o denominador de uma fração for igual a 1, o resultado 
será um número inteiro. É possível entender melhor a representação de frações, 
com seus numeradores e denominadores, por meio da Figura 1.
Ao comparar duas frações, podemos dizer que elas são equivalentes quando 
a forma irredutível de cada uma delas for igual. Observe as duas frações a 
seguir e suas respectivas reduções.
8
24 =
1
3
Fazendo-se a simplificação pelo MDC(8,24) =8;
10
30 =
1
3
Fazendo-se a simplificação pelo MDC(10,30) =10.
Você pode, então, afirmar que 824 é equivalente a 
10
30 ou, matematicamente 8
24 ≡
10
30
: 
Realizar a leitura de frações implica em você estar atento, principalmente, 
ao denominador. Todas as frações cujo denominador for igual a 2, na leitura, 
fala-se o número que está no numerador seguido da palavra “meio” ou “meios”. 
Assim:
 � 12 = um meio;
 
 � 52 = cinco meios;
 
 � 7
2
 = sete meios.
Para o caso de denominador igual a 3, na leitura, falamos o número que 
está no numerador seguido da palavra “terço” ou “terços”; denominador igual 
a 4, fala-se o número que está no numerador seguido da palavra “quarto” 
ou “quartos”; denominador for igual a 5, o número que está no numerador 
seguido da palavra “quinto” ou “quintos”; denominador igual a 6, o número 
que está no numerador seguido da palavra “sexto” ou “sextos”; denominador 
Número fracionário e operações com fração4
igual a 7, o número que está no numerador seguido da palavra “sétimo” ou 
“sétimos”; denominador igual a 8, o número que está no numerador seguido 
da palavra “oitavo” ou “oitavos”; denominador for igual a 9, o número que está 
no numerador seguido da palavra “nono” ou “nonos”; denominador igual a 10, 
o número que está no numerador seguido da palavra “décimo” ou “décimos”; 
a partir de 11, o número de numerador e o número de denominador seguido 
da palavra “avos”. Por exemplo:
 � 1012 = dez, doze avos;
 � 1527 = quinze, vinte e sete avos.
Ao representar uma fração, o denominador será sempre o número de partes em que 
o todo foi dividido. Já o numerador será igual ao número dessas partes que foram 
tomadas do todo, conforme a representação da Figura 2.
Figura 2. Representação de soma de quatro partes de um inteiro.
Fonte: Adaptada de Chalermpon Poungpeth/Shutterstock.com.
5Número fracionário e operações com fração
Operações com frações
Assim como ocorre com o conjunto dos números inteiros, também é possível 
realizar operações com os números racionais. Vamos tomar como exemplo 
as duas frações: a
b
 e cd , considerando que b ≠ 0 e d ≠ 0.
a) Adição e subtração de frações — Para realizar a soma de frações, é 
necessário que ambas tenham o mesmo denominador, para que, assim, 
possamos somar as partes do inteiro. Caso as frações tenham deno-
minadores diferentes, será necessário encontrar um múltiplo comum 
entre os mesmos, ou o mínimo múltiplo comum (MMC) que pode 
facilitar os cálculos.
a
b
c
d+ =
ad + bc
bd
Considerando que bd seja o MMC(b,d), para determinar a soma, você 
deverá dividir o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo 
numerador. Depois, você deverá repetir em todas as frações que estiverem 
presentes na adição.
Como exemplo:
5
8
1
2
7
16+ – = ?
Determinando o MMC (8,2,16) = 16, assim, em cada parcela, faremos 16 
dividido pelo denominador e multiplicaremos o resultado pelo numerador, 
conforme segue:
10 + 8 – 7
16 =
11
16
Só é possível realizar a adição ou a subtração de frações quando todas 
as parcelas possuem o mesmo denominador. Caso contrário, será necessário 
determinar o MMC .
Número fracionário e operações com fração6
b) Multiplicação de frações — Para realizar a multiplicação (produto) 
entre frações, basta multiplicar os numeradores e colocar o resultado 
sobre a multiplicação dos denominadores.
a
b
c
d× =
ac
bd
Como exemplos numéricos, realizaremos as multiplicações a seguir:
4
5
7
3× = =
4 × 7
5 × 3
28
15
4
5 ×
7
3 ×
3
5 = =
4 × 7 × 3
5 × 3 × 5
84
75
Independentemente do número de termos presentes na expressão, a multi-
plicação sempre ocorrerá da mesma forma, multiplicando numeradores com 
numeradores e denominadores com denominadores.
c) Divisão de frações — A divisão de frações consiste em organizar as 
frações sob a operação de forma que possamos realizar um produto, 
como vimos anteriormente.
Primeiramente, você precisa saber como inverter frações. Sempre que 
for necessário obter o inverso de uma fração,o numerador passará a ser o 
denominador, e o denominador passará a ser o numerador. Assim, para obter 
o inverso da fração: 
a
b
basta fazer: ba
Podemos, ainda, representar a fração por números decimais correspondentes 
à divisão que elas indicam:
3
2 = 1,5
5
16 = 0,3125
7Número fracionário e operações com fração
Quando temos duas frações sendo divididas, conservamos a primeira 
fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração:
a
b
c
d
a
b
d
c÷ = ×
Para realizar o produto da maneira aprendida, multiplica-se o numerador 
da primeira pelo numerador da segunda fração; e o denominador da primeira 
pelo denominador da segunda fração, conforme segue:
7
9 ÷
10
3 =
7
9 ×
3
10 =
21
90
Podemos, ainda, simplificar a fração obtida, pois o MDC (21,90) = 3:
21
90
21 ÷ 3
90 ÷ 3= =
7
30
Ou, ainda, na representação em número decimal:
7
30 = 0,2333 ...
Sempre que possível, ao realizar operações com frações, simplifique-as deixando as 
frações na forma irredutível. Isso pode facilitar outros cálculos e possíveis comparações.
Problemas envolvendo frações
Muitas situações que acontecem conosco todos os dias têm relação com núme-
ros fracionários, suas propriedades e operações. Na sequência, descreveremos 
algumas situações e resolveremos com base no que foi visto até aqui.
No primeiro dia aula, Karla percebeu que um de seus colegas não havia 
levado nenhum tipo de lanche. Durante o intervalo, Karla se aproximou do 
colega e lhe ofereceu metade do sanduíche que estava em sua lancheira. Ve-
rificaremos, em termos de frações, quanto cada um comeu do lanche.
Número fracionário e operações com fração8
Todas as vezes que a expressão “metade” é utilizada, ela indica que o todo 
será dividido em 2 partes. Sendo assim, o lanche de Karla seria dividido em 
duas partes iguais, e cada um comeria um desses pedaços.
Então, cada um comeria 12 , metade ou 0,5 (meio) do lanche.
Tomamos outro exemplo. Ao escolher um livro para seus alunos, uma 
professora dividiu o número total de folhas por 5, pois, durante 5 semanas, os 
alunos teriam a tarefa de ler o número certo de páginas para discutirem em 
sala de aula. Considerando que a professora verificou que esse livro continha 
235 páginas, quantas páginas seriam lidas por semana?
Como a professora dividiu o livro em 5 partes, considerando as 5 sema-
nas de estudos, em cada semana seria lido 1/5 do livro. Determinar quantas 
páginas seriam lidas por semana é o mesmo que determinar quanto equivale 
1/5 das 235 páginas. Basta, então, dividir o número de páginas pelo número 
de semanas, encontrando quantas serão lidas em cada semana.
1/5 de 235 = 235 ÷ 5 = 45
Logo, 1/5 do livro corresponde a 47 páginas.
 � Consideremos uma nova situação. Um refrigerante de 2 litros (2.000 mL) 
será servido em copos de 250 mL para 4 pessoas. Representando na 
forma fracionária, quantos copos de refrigerante cada pessoa poderá 
beber, para que todos bebam a mesma quantidade?
Como o refrigerante será servido em copos de 250 ml, primeiro, é necessário 
saber quantos copos serão preenchidos com todo o refrigerante.
2.000 ÷ 250 = 8
Em um total de 8 copos para 4 pessoas, cada um poderá tomar 8÷ 4 = 2 
copos de refrigerante, de forma que todos tenham bebido a mesma quantidade. 
Cada pessoa tomará 2 copos de um todo que foi dividido em 8 partes iguais. 
Assim, cada pessoa beberá 2⁄8 do refrigerante.
Como existe um MDC entre 2 e 8, MDC (2,8) = 2, a fração poderá ser 
simplificada para sua forma irredutível.
2
8 =
1
4
9Número fracionário e operações com fração
Da mesma forma que é possível representar uma fração com um número decimal, o 
contrário também é possível. Supondo o número decimal 0,5 (cinco décimos) possa 
ser reescrito como 5/10, passando para sua forma irredutível, 5/10= 1/2.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar: conjuntos-funções. 9. 
ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. 
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. D. Materiais manipulativos para o ensino de frações e números 
decimais. Porto Alegre: Penso, 2016. (Coleção Mathemoteca, v. 3).
Referência
Número fracionário e operações com fração10