Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos

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Matemática 
Professor Witalo 
 
Sumário 
Teoria dos conjuntos ..................................................................................................................... 5 
Pertinência ................................................................................................................................ 5 
Representação........................................................................................................................... 5 
Diagrama de Venn ................................................................................................................. 6 
Características gerais dos conjuntos ......................................................................................... 6 
Relação de inclusão e subconjuntos ......................................................................................... 8 
Propriedades da relação de inclusão .................................................................................... 9 
Intersecção e reunião .............................................................................................................. 11 
Propriedades da Intersecção e da reunião ......................................................................... 13 
Diferença ................................................................................................................................. 15 
Conjuntos numéricos .................................................................................................................. 18 
O Conjunto ℕ .......................................................................................................................... 19 
Antecessor e sucessor ......................................................................................................... 19 
Subconjuntos dos números naturais ................................................................................... 19 
Operações aritméticas em ℕ............................................................................................... 20 
O conjunto ℤ ........................................................................................................................... 21 
Subconjuntos dos números inteiros .................................................................................... 21 
Números inteiros opostos ................................................................................................... 22 
Módulo de um número inteiro ........................................................................................... 22 
Interpretação geométrica ............................................................................................... 23 
Comparação de números inteiros ....................................................................................... 23 
Operações aritméticas em Z................................................................................................ 24 
O conjunto ℚ ........................................................................................................................... 26 
Noções básicas de fração .................................................................................................... 27 
Representação decimal das frações ................................................................................ 27 
Representação fracionária dos decimais exatos ............................................................. 27 
Representação fracionária das dízimas periódicas ......................................................... 28 
Comparação de números decimais ..................................................................................... 29 
Comparação de Frações ...................................................................................................... 30 
Representação geométrica do conjunto dos números racionais ....................................... 30 
Oposto, módulo e inverso de um número racional ............................................................ 31 
O conjunto 𝕀 ............................................................................................................................ 34 
O conjunto ℝ dos números reais ............................................................................................ 35 
Operações aritméticas básicas .................................................................................................... 37 
 
Adição de inteiros e decimais ................................................................................................. 37 
Propriedades da Adição ...................................................................................................... 37 
Algoritmo usual ................................................................................................................... 38 
Subtração de inteiros e decimais ............................................................................................ 39 
Algoritmo usual ................................................................................................................... 39 
Regra dos sinais – Adição e subtração ................................................................................ 41 
Tirando um número do parênteses .................................................................................... 42 
Multiplicação ........................................................................................................................... 46 
Tabuada ............................................................................................................................... 47 
Tabuada de Pitágoras .......................................................................................................... 48 
Propriedades da multiplicação ............................................................................................ 48 
Algoritmo usual ................................................................................................................... 49 
Você já sabe toda a tabuada. Duvida? ................................................................................ 51 
Multiplicar inteiro por 10, 100, 1000... ............................................................................... 51 
Multiplicação com números decimais (números com vírgula) ........................................... 51 
Multiplicar decimal por 10, 100, 1000... ............................................................................. 52 
Multiplicação com números negativos ............................................................................... 53 
Divisão ..................................................................................................................................... 56 
Algoritmo usual ................................................................................................................... 56 
Divisão com decimais .......................................................................................................... 58 
Vírgula no dividendo ....................................................................................................... 58 
Vírgula no divisor ............................................................................................................. 58 
Vírgula no dividendo e divisor ......................................................................................... 59 
Divisão com números negativos ......................................................................................... 60 
Divisão por 10, 100, 1000 ... ................................................................................................ 61 
Múltiplos de um número inteiro ................................................................................................. 63 
Propriedades ........................................................................................................................... 63 
Múltiplos comuns ....................................................................................................................63 
Divisores de um número inteiro ................................................................................................. 63 
Propriedades ........................................................................................................................... 64 
Número de divisores naturais ................................................................................................. 64 
Divisores comuns .................................................................................................................... 65 
Critérios de divisibilidade ........................................................................................................ 65 
Expressões numéricas ................................................................................................................. 66 
Números primos .......................................................................................................................... 66 
1 e 0 são primos? .................................................................................................................... 67 
 
Reconhecimento de um número primo .................................................................................. 67 
Decomposição em fatores primos .......................................................................................... 68 
Máximo Divisor Comum (MDC) ........................................................................................... 68 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ........................................................................................ 69 
Potenciação ................................................................................................................................. 72 
Base 0, 1 e 10 .......................................................................................................................... 72 
Expoente 0 e 1 ......................................................................................................................... 72 
Expoente Negativo .................................................................................................................. 72 
Base negativa .......................................................................................................................... 73 
Propriedades das potências .................................................................................................... 76 
Notação Científica ................................................................................................................... 76 
 
 
 
 
5 
 
Teoria dos conjuntos 
De uso corrente em Matemática, não se tem uma definição para o que 
seria conjunto, podemos ter apenas noções do que ele é. Sendo assim, a noção 
de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos que podem possuir 
certa característica em comum, esses objetos são chamados de elementos do 
conjunto. 
Exemplos: 
A = {0, 2, 4, 6 ...} conjunto dos números pares 
B = {verde, amarelo, azul, branco} conjunto das cores da bandeira do 
Brasil 
C = {a, e, i, o, u} conjunto das vogais 
 
Um conjunto é representado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, 
..., Y, Z). 
Um elemento é representado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, 
..., y, z). 
Pertinência 
 A relação entre elemento e conjunto é denominada pertinência (denotada 
pelo símbolo ∈, que significa “pertence”). 
Exemplos: 
 Dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7}, dizemos então que 1 A, 3 A, 5 A e 
7 A. 
Observação 
O símbolo ∉ é usado para expressar a negação de ∈. No exemplo acima, 
temos que 8 ∉ A. 
Representação 
Além de poder ser descrito enumerando-se um a um seus elementos, 
como mostrado nos exemplos anteriores (por extenso), um conjunto pode ser 
designado por uma propriedade comum de seus elementos (abreviadamente). 
Exemplos: 
por extenso: A = {1, 3, 5, 7} 
abreviadamente: A = {x | x é ímpar e menor que 8} 
 
 
 
 
(lê-se: tal que) 
 
6 
 
por extenso: B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
 abreviadamente: B = {x | x é divisor positivo de 24} 
Diagrama de Venn 
É a representação de um conjunto como auxílio de uma linha fechada e 
não entrelaçada e seus pontos interiores. 
Exemplo: 
A = {2, 3, 5, 7, 11} 
 
 
 
Características gerais dos conjuntos 
Igualdade: dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A 
pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. 
Assim, por exemplo: 
▪ Se A = {a, b, c} e B = {b, c, a}, temos que A = B; 
▪ Se A = {x | x – 2 = 5} e B = {7}, temos que A = B; 
▪ Se A é o conjunto das letras da palavra garra e B é o conjunto das letras 
da palavra agarrar, temos A = B. Note que, apesar de a palavra garra ter 
cinco letras e a palavra agarrar ter sete, temos {g, a, r, r, a} = {a, g, a, r, r, 
a, r} = {a, g, r}, ou seja, dentro de um mesmo conjunto não precisamos 
repetir elementos. 
▪ Há conjuntos que possuem um único elemento (chamados conjuntos 
unitários) e há um conjunto que não possui elementos (chamado conjunto 
vazio) representado por Ø ou { }. 
Exemplos 
1. São conjuntos unitários: 
 A = {5} 
 B = {x | x é capital da França} = {Paris} 
2. São conjuntos vazios: 
 C = conjunto das cidades de Goiás banhadas pelo oceano 
Atlântico = Ø 
 D = {x | x ≠ x} = Ø 
▪ Há conjuntos cujos elementos são conjuntos, como, por exemplo: 
F = { Ø, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} 
Assim, temos: Ø ∈ F; {a} ∈ F; {c} ∈ F; {a, b} ∈ F; {a, c} ∈ F; {a, b, c} ∈ F. 
Observe que: a ∉ F e c ∉ F, pois a e c não são elementos do conjunto F. 
Logo, a ≠ {a} e c ≠ {c}. 
 
 
2. .3 .5 
 .7 .11 
A 
 
7 
 
Exercícios 
 
1. Indique se cada um dos elementos 4; -3; 2 e 0,25 pertence ou não a 
cada um destes conjuntos. 
A = {x | x é um número par} 
B = {x | x < 1} 
C = {x | -2 ≤ x ≤ 5} 
D = {x | -1 < x < ½} 
 
2. Considerando que F= {x | x é estado do sudeste brasileiro} e G = {x | 
x é capital de um país sul-americano}, quais das sentenças seguintes 
são verdadeiras? 
a) Rio de Janeiro ∈ F d) Montevidéu ∈ G 
b) México ∈ G e) Espírito Santo ∉ F 
c) Lima ∉ G f) São Paulo ∈ F 
 
3. Relacione os conjuntos utilizando os símbolos = ou ≠ 
a) A = {0, -1, -2, -3} e B = {x | x é um número positivo} 
b) A = {sábado, domingo} e B = {x | x é dia da semana} 
c) A = {RS, SC, PR} e B = {x | x é sigla de um estado da região sul 
do Brasil} 
d) A = {O, H} e B = {x | x é um elemento que compõe a molécula da 
água} 
 
4. Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos seguintes 
enumerando seus elementos. 
A = {x | x ∈ H e x < 1} 
B = {x | x ∈ H e x é um quadrado perfeito} 
C = {x | x ∈ H e x < 0} 
 
5. Identifique os conjuntos unitários e os vazios. 
A = {x | x = 1 e x = 3} 
B = {x | x é um número par positivo menor que 3} 
C = {x | x é capital da Bahia} 
D = {x | x é mês cuja letra inicial do nome é p} 
E = {x | 
2
x
 = 0} 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Relação de inclusão e subconjuntos 
Consideremos os conjuntos A = {x | x é letra da palavra ralar} e B = {x | x 
é letra da palavra algazarra}; ou seja: 
A = {r, a, l} e B = {a, l, g, z, r} 
Note que todo elemento de A é também elemento de B. Nesse caso, 
dizemos que A é um subconjunto ou uma parte de B, o que é indicado por: 
A ⊂ B (lê-se A está contido em B ou A é um subconjunto de B ou A é uma 
parte de B) ou, ainda: B ⊃ A (lê-se: B contém A). 
De modo geral, temos: 
 A ⊂ B quando todo elemento de A é também elemento de B. 
Se A ⊂ B então B ⊃ A e A é subconjunto de B. 
 
Observações 
▪ O símbolo ⊂ é chamado de sinal de inclusão e estabelece uma relação 
entre dois conjuntos. A relação de inclusão entre dois conjuntos A e B 
pode ser ilustrada por meio de um diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
▪ Os símbolos ⊄ e ⊅ são as negações de ⊂ e ⊃, respectivamente. Assim 
sendo, temos: 
A ⊄ B se pelo menos um elemento de A não pertence a B 
 
 
Exemplos: 
▪ A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos: {1, 3, 5} ⊂ {0, 1, 2,3, 4, 5} ou 
A ⊂ B 
▪ A = { 0, 2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos: {0, 2, 4} ⊄ {1, 2, 3, 4, 5} ou A ⊄ 
B, pois 0 ∈ A e 0 ∉ B. Neste caso o conjunto A não e subconjunto de B. 
▪ A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {-1, 1, 3}, temos: {-1, 0, 1, 2, 3} ⊃ {-1, 1, 3} ou A 
⊃ B 
A 
B
 
 A ⊂ B 
 
 
9 
 
▪ A = {-5, -3, -1} e B = {-5, -4, -3, -2, -1}, temos: {-5, -3, -1} ⊅ {-5, -4, -3, -2, 
-1} ou A ⊅ B 
Exemplos de subconjuntos: 
Dados os conjuntos F = ∅, G = {a}, H = {a, b} e J = {a, b, c}: 
▪ O único subconjunto de F é o conjunto ∅; 
▪ São subconjuntos de G os conjuntos ∅ e {a}; 
▪ São subconjuntos de H os conjuntos ∅, {a}, {b} e {a, b}; 
▪ São subconjuntos de J os conjuntos ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e 
{a, b, c}. 
 
Observação 
O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n 
Propriedades da relação de inclusão 
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, temos: 
▪ ∅ ⊂ A 
▪ Reflexiva: A ⊂ A. 
▪ Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C 
▪ Antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B 
 
 
10 
 
Exercícios 
1. Sendo M = {0, 3, 5}, classifique as sentenças seguintes em verdadeiras 
(v) ou falsas (F). 
a) 5 ∈ M c) ∅ ∈ M e) ∅ ⊂ M g) 0 ∈ ∅ 
b) 3 ⊂ M d) 0 ∈ M f) 0 = ∅ h) 0 ⊂ M 
 
2. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em 
verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças abaixo: 
a) B ⊂ D c) A ⊄ C e) C ⊅ B 
b) A ⊂ B d) D ⊃ A f) C = D 
 
3. São dados os conjuntos: A = {x | x é um número ímpar positivo} e B = {y | 
y é um número inteiro e 0 < y ≤ 4}. 
Determine o conjunto dos elementos z, tais que z ∈ B e z ∉ A. 
 
4. Dado o conjunto A = {a, b, c}, em quais dos itens seguintes as sentenças 
são verdadeiras? 
a) c ∉ A c) {a, c} ⊂ A e) {b} ⊂ A 
b) {c} ∈ A d) {a, b} ∈ A f) {a, b, c} ⊂ A 
 
5. Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6, 8} e Z = {0, 1, 2}: 
a) Determine todos os subconjuntos de X que têm três elementos cada 
um. 
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual com quatro 
elementos. 
c) Determine todos os subconjuntos de Z. 
 
 
11 
 
Intersecção e reunião 
 A partir de dois conjuntos A e B podemos construir novos conjuntos cujos 
elementos devem obedecer a condições preestabelecidas. 
Por exemplo, dados os conjuntos A e B, podemos determinar um conjunto 
cujos elementos pertencem simultaneamente a A e B. Esse conjunto é chamado 
intersecção de A e B e indicado por A ∩ B, que se lê “A inter B”. 
Exemplo: dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e 
C = {1, 3, 5, 7}, temos: 
A ∩ B = {0, 2}, pois 0 e 2 aparecem tanto em A quanto em B 
A ∩ C = {1} 
B ∩ C = Ø 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}, ou seja, é o conjunto formado por quem aparece 
tanto em A quanto em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 Casos particulares: 
1) A ⊂ B 
A 
B 
A ∩ B = A 
 
12 
 
2) A e B não têm elementos comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de dois conjuntos A e B, também se pode obter um novo conjunto 
pegando os elementos de A e de B e unindo em apenas um (sem repetir os 
elementos comuns). O conjunto assim obtido é chamado reunião (ou união) de 
A e B e indicado por A ∪ B, que se lê “A reunião B” ou “A união B”. 
 Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}, C = {0, 1, 2, 3, 
4, 5} e D = {3, 4, x, z}, temos: 
 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, x, y, z} 
 A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 B ∪ D = {3, 4, x, y, z} 
A ∪ (C ∪ D) = A ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, x, z} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, x, z} 
Casos particulares: 
1) A ⊂ B 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A ∩ B = Ø (A e B disjuntos) 
 
A B 
Nesse caso, A ∩ B = Ø, e A e B se dizem disjuntos 
A 
B 
A ∪ B = B 
A B 
A ∪ B 
 
13 
 
Observações 
▪ Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, temos: A ⊂ (A U B) e B ⊂ (A U 
B). 
▪ Se A ∪ B = Ø, então A = Ø e B = Ø 
▪ n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) 
▪ União na linguagem formal matemática: {x | x ∈ A ou x ∈ B}, 
Propriedades da intersecção e da reunião 
Idempotente: A ∩ A = A e A ∪ A = A 
Comutativa: A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A 
Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C e A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 
Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
 
14 
 
Exercícios 
1- Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C = {p, s, t}, determine os 
conjuntos: 
a) A ∪ B c) B ∪ C e) A ∩ C 
b) A ∪ C d) A ∩ B f) B ∩ C 
 
2- Sendo A, B, e C os conjuntos dados no exercício anterior, determine: 
a) (A ∩ B) ∪ C c) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) 
b) A ∩ B ∩ C d) (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 
 
3- Dado U = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam A = {x ∈ U | x < 0}, B = {x ∈ U 
| -3 < x < 2} e C = {x ∈ U | x ≥ -1}. Determine: 
a) A ∩ B ∩ C c) C ∪ (B ∩ A) 
b) A ∪ B ∪ C d) (B ∪ A) ∩ C 
 
4- Dos 36 alunos da primeira série do ensino médio de certa escola, sabe-
se que 16 jogam futebol, 12 jogam voleibol e 5 jogam futebol e voleibol. 
Quantos alunos dessa classe não jogam futebol ou voleibol? 
 
5- Se A e B são conjuntos quaisquer, classifique cada uma das sentenças 
seguintes em verdadeira (V) ou falsa (F): 
a) A ∪ Ø 
b) B ∩ Ø 
c) (A ∩ B) ⊂ B 
d) (B ∪ A) ⊂ B 
e) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) 
f) Ø ⊄ (A ∩ B) 
 
 
 
15 
 
Diferença 
 Dados os conjuntos A e B, podemos determinar um conjunto cujos 
elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Esse 
conjunto é chamado diferença entre A e B e indicado por A – B, que se lê “A 
menos B”. 
 A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
 Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {2, 3} 
e D = {0, 7, 8}, temos: 
 A – B = {1, 2} 
 A – C = {1, 4, 5} 
 B – A = {6} 
 C – D = {2, 3} 
 C – A = Ø 
 D – D = Ø 
 Casos particulares: 
1) A ⊂ B então A – B = Ø 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A e B são disjuntos: A – B = A 
 
 
 
 
 
3) B ⊂ A 
 
A 
B 
A 
B 
B 
A 
 
16 
 
Observações 
▪ No caso 3, em que B ⊂ A, o conjunto A – B é chamado complementar de 
B em relação a A. 
Indica-se: 𝐶𝐴
 𝐵 = A – B, se B ⊂ A. 
Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 6} e B = {1, 2, 6, 8, 10}, temos: 
𝐶𝐵
 𝐴 = B – A = {1, 2, 6, 8, 10} – {1, 2, 6} = {8, 10} 
 
▪ Sendo A um subconjunto de um conjunto universo U, então 𝐶𝑈
 𝐴 = U – A 
pode ser representado pelo símbolo �̅�, que se lê “A barra”. Assim, �̅� = 𝐶𝑈
 𝐴 
= U – A. 
Exercício resolvido 
 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9}, em cada caso vamos determinar os elementos do conjunto indicado. 
a) 𝐶𝑈
 (𝐴 ∩B) 
 
b) 𝐶𝑈
 𝐴 ∪ 𝐶𝑈
 𝐵 
 
Solução: 
a) 𝐶𝑈
 (𝐴 ∩B) 
 = U – (A ∩ B) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {3, 4} = {0, 1, 2, 5, 
6, 7, 8, 9} 
b) Como 𝐶𝑈
 𝐴 = U – A = {0, 5, 6, 7, 8, 9} e 𝐶𝑈
 𝐵= U – B = {0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}, 
então: 
𝐶𝑈
 𝐴 ∪ 𝐶𝑈
 𝐵 = {0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9} 
Os resultados encontrados nos itens a e b ilustram a validade da seguinte 
propriedade: 
𝐶𝑈
 (𝐴 ∩B) 
 = 𝐶𝑈 𝐴 ∪ 𝐶𝑈 𝐵 
 
17 
 
Exercícios 
1- Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, c, d, e}, C = {c, d} e D = {a, d, e}, 
classifique cada uma das sentenças seguintes em verdadeiras (V) ou 
falsa (F). 
a) A – B = {b} f) 𝐶𝐵
 D = {c} 
b) B – C = {a, e} g) (A ∩ B) – D = {a, d, e} 
c) D – B = {c} h) B – (A ∪ C) = {e} 
d) 𝐶𝐴
 𝐶 = Ø i) (𝐶𝐵
 C) ∪ (𝐶𝐵
 D) = {a, c, e} 
e) 𝐶𝐵
 Ø = {a, c, d, e} 
 
2- Desenhe um diagrama de Venn para três conjuntos X, Y e Z, não vazios, 
satisfazendo as condições: Z ⊂ Y, X ⊄ Y, X ∩ Y ≠ Ø e Z – X = Z. 
 
3- Considerando o conjunto universo U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e dados A = 
{x ∈ U | x ≤ 3}, B = {x ∈ U | x é ímpar} e C = {x ∈ U | -2 ≤ x < 1}, determine: 
a) A ∩ B e) 𝐶𝐴
 𝐶 i) C ∪ (A – B) 
b) A ∪ C f) 𝐶𝐵
 𝐴 j) (A – B) ∪ (B – A) 
c) A – C g) �̅� k) 𝐶̅ ∩ �̅� 
d) C – B h) (A ∩ B) – B l) �̅� ∩ (C – B) 
 
 
18 
 
Problemas com conjuntos 
1) Uma avaliação contendo duas questões foi aplicada a 200 alunos. 
Sabe-se que: 
• 50 alunos acertaramas duas questões; 
• 100 alunos acertaram a primeira questão; 
• 90 alunos acertaram a segunda questão. 
Quantos alunos erraram as duas questões? 
 
2) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e 
constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 
tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos 
de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam 
somente problemas de imagem é: 
a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500 
 
3) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se 
informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar 
por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum 
desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de 
pessoas consultadas nessa pesquisa foi de: 
a) 380 b) 360 c) 340 d) 270 e) 230 
 
4) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra 
parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais 
que foram vacinados contra as duas doenças 
 
5) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade 
revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% 
têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa 
própria nem automóvel? 
 
6) Em um navio de cruzeiro viajam 1.200 pessoas, das quais: 
2/3 não bebem. 
4/5 não fumam. 
680 não bebem e não fumam. 
Quantas das pessoas que estão nesse navio bebem e fumam? 
 
 
19 
 
Conjuntos numéricos 
Denominamos conjuntos numéricos os conjuntos cujos elementos são 
números que apresentam algumas características entre si. 
Estudaremos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos 
racionais e dos irracionais. Por fim, apresentaremos o conjunto dos números 
reais. 
O surgimento do conjunto dos números naturais deveu-se à necessidade 
de se contar objetos. Os outros conjuntos numéricos, em geral, surgiram também 
por necessidade, como ampliações daqueles até então conhecidos. 
O Conjunto ℕ 
É o conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ... n, ...}, em que n 
representa o elemento genérico do conjunto. 
Podemos representar o conjunto dos números naturais ordenados sobre 
uma reta, como mostra o gráfico abaixo: 
 
Antecessor e sucessor 
O número zero é o primeiro elemento desse conjunto. O sucessor de 
cada número nesse conjunto é igual à soma dele mesmo com uma unidade, já 
o antecessor de qualquer elemento nesse conjunto é igual a ele subtraído de 
uma unidade. 
Exemplo: 
▪ Sucessor de 3 = 4, pois 3 + 1 = 4; 
▪ Antecessor de 3 = 2, pois 3 – 1 = 2; 
Observação 
O zero é o único elemento dos naturais que não possui antecessor 
Subconjuntos dos números naturais 
▪ O conjunto dos números naturais não nulos: 
ℕ * = {1, 2, 3, 4, 5, ... } 
O sinal * significa que o zero foi excluído do conjunto 
▪ O conjunto dos números naturais pares: 
ℕ p = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
Observe que cada elemento dos números pares é igual a um natural 
multiplicado por 2 
 
https://www.coladaweb.com/matematica/numeros-naturais
 
20 
 
▪ O conjunto dos números naturais ímpares: 
ℕ i = {1, 3, 5, 7, ...} 
Observe que cada elemento dos números ímpares é igual a um par 
somado a 1 
 
▪ O conjunto dos números naturais primos: 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 
 
Observação 
Os números primos serão estudados com mais profundidade nos 
próximos capítulos 
 
▪ O conjunto dos números naturais quadrados perfeitos: 
ℕ q = {1, 4, 9, 16, ...} 
Observação 
Os números quadrados perfeitos serão estudados com mais profundidade 
nos capítulos que tratam de potenciação 
▪ O conjunto dos números triangulares: 
 
 ℕ t = {1, 3, 6, 10, 15, ...} 
 
 
 
 
 
Operações aritméticas em ℕ 
 No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: 
adição e multiplicação. Pois adicionando-se ou multiplicando-se dois números 
naturais quaisquer, o resultado será sempre um número natural. 
Exemplo: 2 + 3 = 5 e 2 x 3 = 6 
Essa característica pode ser assim sintetizada: 
ℕ é fechado em relação à adição e à multiplicação 
Porém, o mesmo raciocínio não se aplica a subtração. Por exemplo, 
embora 5 – 2 = 3 ∈ ℕ, a operação de 2 – 5 não resulta um número natural. Por 
 
21 
 
esse motivo, faz-se necessária uma ampliação do conjunto ℕ, surgindo daí o 
conjunto dos números inteiros. 
Atenção 
Nessa apostila será estudada todas as operações aritméticas básicas 
com mais profundidade 
O conjunto ℤ 
É o conjunto dos números inteiros: ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
Oserve que o conjunto dos naturais está dentro dos inteiros, significa que: “ℕ é 
subconjunto de ℤ”. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
A representação geométrica do conjunto dos inteiros é feita a partir da 
representação de ℕ na reta numerada; basta acrescentar os pontos 
correspondentes aos números negativos: 
 
 
 
 
Subconjuntos dos números inteiros 
▪ O conjunto dos números inteiros não nulos: 
ℤ * = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
▪ O conjunto dos números inteiros não negativos: 
ℤ + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
.0 .1 .2 .3 .4 ... ℕ
 
ℤ 
ℕ ⊂ ℤ 
Ou 
ℤ ⊃ ℕ 
ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} 
 
Observe que esse é o conjunto dos números naturais 
 
22 
 
▪ O conjunto dos números inteiros (exatamente) positivos: 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, 4, ...} 
▪ O conjunto dos números inteiros não positivos: 
ℤ _ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
▪ O conjunto dos números inteiros (exatamente) negativos: 
ℤ−
∗
 = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
Números inteiros opostos 
Dois números inteiros são ditos opostos um ao outro quando sua soma 
é zero. Assim, geometricamente, são representados na reta por pontos que 
distam igualmente da origem. 
Podemos tomar como exemplo o número 2: 
▪ O oposto do número 2 é -2, pois 2 + (-2) = 0; 
▪ O oposto de -2 é 2, pois (-2) + 2 = 0 
 
 
 
 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de um número inteiro é ele 
mesmo com o sinal contrário 
Módulo de um número inteiro 
 Se x ∈ ℤ, o módulo ou valor absoluto de x (indica-se |x|) é definido 
pelas seguintes relações: 
▪ Se x ≥ 0, o módulo de x é igual ao próprio valor de x, isto é, |x| = x. 
▪ Se x < 0, o módulo de x é igual ao oposto de x, isto é, |x| = - x. 
 
Acompanhe os exemplos: 
| 7 | = 7 | -12 | = -(-12) = 12 | 63 | = 63 
 
 
| -3 | = -(-3) = 3 | 0 | = 0 
 
Dois números inteiros opostos têm o mesmo módulo 
 
-2 2 0 
2 unidades 2 unidades 
negativo 
positivo positivo negativo 
 
23 
 
Interpretação geométrica 
 Na reta numerada dos números inteiros, o módulo de x é igual à distância 
entre x e a origem. (x indica um número inteiro qualquer). 
 
| 7 | = 7 
 
 
 
| -10 | = 10 
 
 
 
 
De modo geral, o módulo ou valor absoluto de um número é o mesmo 
sem o sinal. 
Comparação de números inteiros 
Para realizar a comparação de números inteiros, devemos obedecer os 
seguintes critérios: 
 
1. O número que está à direita de outro na reta numérica é maior do que ele. 
2. O número que está à esquerda de outro na reta numérica é menor que 
ele. 
3. O zero é maior que qualquer número negativo. 
4. O zero é menor que qualquer número positivo. 
5. Um número positivo é sempre maior que um negativo. 
 
Então podemos afirmar que: 
▪ 8 > 6, pois na reta numerada 8 está a direita de 6 
▪ 5 > 4, pois na reta numerada 5 está a direita de 4 
▪ 3 > -2, pois 3 é positivo e -2 negativo 
▪ -5 < -2, pois na reta numerada -2 está a direita de -5 
▪ -7 < -5, pois na reta numerada -5 está a direita de -7 
▪ 0 > -2, pois zero é maior que qualquer número negativo 
 
 
 
 
 
… 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 
Distância = 7 
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 
 
Distância = 10 
 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Quanto mais pra direita, maior Quanto mais pra esquerda, menor 
 
24 
 
Operações aritméticas emZ 
Tomando os inteiros -3 e +2, calculamos: 
(-3) + (+2) = -3 + 2 = -1 
(-3) x (+2) = -6 
(-3) – (+2) = -5 
(+2) – (-3) = 5 
(-3) : (+2) = -1,5 
Relembrando 
As operações aritméticas serão estudadas com mais profundidade no próximo 
capítulo, no momento observe o resultado das operações. 
Observe que de todas as operações a única que não teve como resultado 
um número inteiro foi a divisão: (-3) : (+2) = -1,5. Por esse motivo, fez-se 
necessário uma ampliação do conjunto ℤ, surgindo então o conjunto dos 
números racionais. 
Observação 
Historicamente o conjunto dos números racionais já era conhecido antes dos 
inteiros, mas didaticamente o estudamos depois dos inteiros 
 
 
25 
 
Exercícios 
1. Determine o módulo do número inteiro: 
a) +31 c) -28 e) 0 
b) -300 d) +500 
 
2. Usando os símbolos =, > ou <, compare: 
a) -7 e -5 c) -10 e 5 e) |−35| e |+60| 
b) -8 e 5 d) -5 e 6 f) |−50| e |+50| 
 
3. Responda: 
a) Qual é o número oposto ou simétrico de -26 
b) Qual é o oposto do módulo de -65 
 
4. Escreva: 
a) O antecessor de -9 d) O sucessor de 0 
b) O sucessor de -20 e) O antecessor de +11 
c) O antecessor de 0 f) O sucessor de +29 
 
5. Coloque em ordem crescente: 
a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243 
b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505 
 
6. Um garoto faz o seguinte percurso sobre uma reta numérica: “A partir do 
zero, ele caminha cinco unidades no sentido positivo e em seguida anda 
sete unidades no sentido negativo.” Determine o ponto em que se 
encontra o garoto após esse percurso. 
 
7. Uma escola promoveu jogos esportivos cujos resultados estão descritos 
abaixo: 
 
Carlos 3 pontos ganhos 
Sílvio 8 pontos perdidos 
Paulo 7 pontos ganhos 
Mário 0 pontos 
Coloque os nomes na ordem do melhor classificado para o pior. 
8. Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4? 
 
26 
 
O conjunto ℚ 
É o conjunto dos números racionais, identificado por ℚ. É formado por 
todos os números que podem ser escritos na forma 
𝑎
𝑏
 , onde a é um número 
inteiro qualquer e b, um número inteiro qualquer diferente de zero. 
Observação 
A forma 
𝑎
𝑏
 é chamada de fração e será estudada com mais profundidade 
posteriormente, porém nessa parte de números racionais veremos alguns 
conceitos relacionados a mesma. 
Exemplo de números racionais: 
ℚ ={… − 2; −
1
2
; −
2
5
; 0; +
1
3
; +
2
3
; +1; 1, 3̅; 2,53 … } 
Observe que +1; -2; 2,5 e 1,3̅ não estão na forma de fração, porém 
podemos expressá-los na forma 
𝑎
𝑏
: 
 1 = 
1
1
 -2 = 
−2
1
 2,53 = 
253
100
 
1,3̅ = 1
3
9
 
(Essa barrinha em cima do 3 significa que o 3 se repete infinitamente, trata-se 
de uma dízima periódica que será estudada logo em seguida => 1,3̅ = 1,3333...). 
 Então observe que os números racionais são números inteiros, números 
fracionários (em forma de fração), números decimais (com vírgula), dízimas 
periódicas (com casas decimais infinitas e repetidas), pois todos tem uma 
característica em comum: podem ser representados na forma de fração. Dessa 
forma podemos definir os números racionais da seguinte maneira: 
ℚ = { 𝑥 | 𝑥 = 
𝑎
𝑏
, 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ∗} 
De forma geral podemos dizer que qualquer número inteiro, decimal finito ou 
infinito periódico é um número racional. 
 
 
 
 
 
ℕ 
ℚ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 
ℤ 
 
27 
 
O conjunto ℚ é fechado para as operações adição, multiplicação, e 
subtração. Como não dá pra dividir por zero, o conjunto ℚ não é fechado em 
relação à divisão. 
Noções básicas de fração 
Uma fração representa uma divisão, em que o numerador equivale ao 
dividendo e o denominador equivale ao divisor. 
Exemplo: 
2
5
 
 
Representação decimal das frações 
Para escrever uma fração na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. Nesta divisão podem ocorrer dois casos: 
Decimal exato: possui, após a vírgula, uma quantidade finita de 
algarismos. 
Exemplos: 
 
1
4
= 0, 𝟐𝟓 
5
10
= 0, 𝟓 
35
4
= 8, 𝟕𝟓 
153
50
= 3, 𝟎𝟔 
 
 
Dízimas periódicas: possui uma infinidade de algarismos após a vírgula. 
Nesse caso, ocorre uma repetição de alguns algarismos. 
Exemplos: 
2
3
= 0, 𝟔𝟔𝟔 … = 0,6̅ 
1
22
= 0,0𝟒𝟓𝟒𝟓 … = 0,045̅̅̅̅ 
 
167
66
= 2,5𝟑𝟎𝟑𝟎 … = 2,530̅̅̅̅ 
 
Representação fracionária dos decimais exatos 
Para representar um decimal exato na forma fracionária basta seguir os 
seguintes passos: 
1) Colocar no numerador o número sem a virgula; 
2) Contar a quantidade de algarismos após a vírgula; 
3) Colocar no denominador o número 1 seguido de zeros de acordo com a 
quantidade anterior de algarismos após a vírgula 
5 
Numerador 
Denominador 
2 
Dividendo 
Divisor 
0,4 0 
2 casas após a vírgula 1 casa após a vírgula 2 casas após a vírgula 
Os 3 pontos indicam infinitos algarismos 
Esse traço indica a parte periódica: que se repete, 
também chamada de período 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-resto-divisao.htm
 
28 
 
Exemplo: 
2,5 = 
25
10
 
 
 
Outros exemplos: 
0,8 = 
8
10
 12,57 = 
1257
100
 0,88 = 
88
100
 -2,587 = - 
2587
1000
 
 
 
Representação fracionária das dízimas periódicas 
Dízima periódica simples: não há presença de algarismo depois da virgula e 
antes do período. 
 
1,5̅ = 
15−𝟏
9
 = 
14
9
 
 
 
Outros exemplos: 
0,67̅̅̅̅ = 
67−0
99
 = 
67
99
 0,957̅̅ ̅̅ ̅ = 
957−0
999
 = 
957
999
 0,3456̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 
3456−0
9999
 = 
3456
9999
 
 
2,57̅̅̅̅ = 
257−2
99
 = 
255
99
 3,20̅̅̅̅ = 
320−3
99
 = 
317
99
 20,35̅̅̅̅ = 
2035−20
99
 = 
2015
99
 
 
Dízima periódica composta: essa dízima apresenta um ou mais algarismos 
antes do período e depois da vírgula. 
 
 
1,23̅ = 
123−12
90
 = 
111
90
 
 
 
1º número sem a vírgula no numerador 
2º contar quantidade de algarismos após a vírgula: 1 algarismo 
3º número 1 seguido de 1 zero no denominador 
1º Número sem a vírgula menos a parte inteira 
2º No denominador coloca-se “noves” de acordo com 
a quantidade de algarismos do período Período possui 1 algarismo 
Parte inteira = 1 
1 º Número sem a vírgula menos a parte antes do 
período 
Parte antes do período 
1 algarismo depois da 
vírgula e antes do período 
2º No denominador coloca-se “noves” de acordo com a 
quantidade de algarismos do período seguido de “zeros” de 
acordo com a quantidade de algarismos depois da virgula 
e antes do período. 
 
29 
 
 
Outros exemplos: 
1,224̅ = 
1224 −𝟏𝟐𝟐
900
 = 
1102
900
 2,3356̅̅̅̅ = 
23356−𝟐𝟑𝟑
9900
 = 
23123
9900
 
 
3,222327̅̅ ̅̅ ̅ = 
3222327−𝟑𝟐𝟐𝟐
999000
 = 
3219105
999000
 
A fração que representa uma dízima periódica é chamada geratriz 
Comparação de números decimais 
 Para comparar números decimais, segue-se a mesma lógica dos inteiros: 
quanto mais pra direita na reta numérica, maior o número. Então seguiremos os 
seguintes passos: 
1) Igualamos a quantidade de casas após a vírgula dos números que 
estamos comparando, acrescentando “zeros”. 
2) Comparamos parte inteira com parte inteira 
3) Caso as partes inteiras forem iguais, comparamos a parte decimal casa a 
casa. 
 
Exemplos 1: 
 
 
 
5,01 e 4,2 
1º igualamos as casas decimais: 5,01 e 4,20 
2º comparando a parte inteira: 5 > 4 então 5,01 > 4,2 
 
Exemplo 2: 
8,705 e 8,73 
1º igualamos as casas decimais: 8,705 e 8,730 
2º comparando a parte inteira: 8 = 8, então vamos para o passo 3. 
3º comparando parte decimal casa a casa: 
705 e 730 
 
7 = 7, então pula para o próximo: 0 < 3, então paramos e já temos que 
8,705 < 8,73. 
 
Exemplo 3: 
-2,56 e -2,57 
A partes decimais já possuem a mesma quantidade de algarismos e as 
partes inteiras já são iguais, então vamos para o passo 3. 
Comparando parte decimal casa a casa: 
Acrescenta-se o “zero” no 
número que possui menos 
casas decimais. 
Parte inteira 
 
30 
 
-5 = -5, então pula para o próximo: -6 > -7, entãoparamos e já temos que 
-2,56 > -2,57. 
Nesse exemplo, como cada número é negativo, então os algarismos que 
formam a parte decimal ficam negativos para fazer a comparação. 
Comparação de Frações 
Para comparar frações colocaremos na sua forma decimal e realizamos a 
comparação de números decimais. 
Exemplo: 
4
5
 e 
3
6
 
4
5
 = 0,8 
3
6
 = 0,5 
Casos especiais: 
• Frações com o mesmo numerador: a maior fração é a que possui 
o menor denominador. 
Exemplos: 
5
2
 > 
5
4
 
8
4
 < 
8
3
 
9
2
 > 
9
4
 
• Frações com o mesmo denominador: a maior fração é a que 
possui o maior numerador. 
 
Exemplos: 
10
6
 > 
5
6
 
60
25
 < 
70
25
 
6
11
 > 
5
11
 
Representação geométrica do conjunto dos números racionais 
Para representar um número racional fracionário na reta numérica, 
pegamos sua forma decimal e a localizaremos da seguinte maneira: 
Exemplo 1: 
1) 
2
5
 , colocando na forma decimal fica 0,4. 
2) 0,4 fica entre 0 e 1, pois 0 < 0,4 < 1. 
3) O número que fica entre 0 e 1, logo no meio é 0,5 
4) Então 0,4 ficará à esquerda de 0,5; pois 0,4 < 0,5. 
 
 
 
 
 -2 -1 0 0,4 0,5 1 2 
0,8 > 0,5; portanto 
4
5
 > 
3
6
 
 
31 
 
Observação 
Poderíamos continuar achando o número que fica entre 0 e 0,5 (logo no 
meio), que no exemplo acima seria 0,25; para ficar mais precisa a localização. 
Exemplo 2: 
1) 
8
5
 , colocando na forma decimal fica 1,6. 
2) 1,6 fica entre 1 e 2, pois 1 < 1,6 < 2. 
3) O número que fica entre 1 e 2, logo no meio é 1,5 
4) Então 1,6 ficará à direita de 1,5; pois 1,6 > 1,5. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
Agora iremos representar uma dízima: 
1) -1,3̅ fica entre -1 e -2, pois -2 < -1,3̅ < -1. 
2) O número que fica entre -1 e -2, logo no meio é -1,5 
3) Então, -1,3̅ ficará à direita de -1,5; pois -1,3 ̅ > -1,5 e o maior 
número fica sempre mais pra direita, ou seja, mais próximo de zero. 
 
 
 
 
Então: 
1) Pega-se a forma decimal; 
2) Acha-se os 2 inteiros entre os quais a forma decimal está localizada; 
3) Define-se o número que fica no meio dos 2 inteiros; 
4) Verifica-se se o número que estamos querendo localizar é maior ou menor 
que número achado no passo 3; 
5) Portanto, se for maior ficará à direita do número do meio e se for menor à 
esquerda. 
Oposto, módulo e inverso de um número racional 
Os conceitos de oposto e módulo, já estudados para os números inteiros, 
também são válidos para um número racional qualquer. 
Assim, por exemplo: 
 -2 -1 0 1 1,5 1,6 2 
 -2 -1,5 -1,�̅� -1 0 1 2 
 
32 
 
O oposto de −
3
4
 é 
3
4
 |−
7
8
| = |
7
8
| = 
7
8
 
O oposto de 
17
11
 é −
17
11
 |−
1
3
| = |
1
3
| = 
1
3
 
Dois números racionais são ditos inversos um do outro quando o produto 
entre eles é igual a 1. Por exemplo, 
5
6
 e 
6
5
 são inversos um do outro; 2 é o 
inverso de 
1
2
, e -
5
3
 é o inverso de -
3
5
. Observe que dois números inversos entre 
si têm necessariamente mesmo sinal. 
 
Observação 
 De forma geral, o inverso de um número fracionário é o mesmo número com 
numerador e denominador invertidos (Troca-se numerador por denominador e 
vice-versa). Observe os exemplos abaixo. 
11
12
 seu inverso fica 
12
11
 
14
15
, seu inverso fica 
15
14
. 
3, seu inverso fica 
1
3
 
4, seu inverso fica 
1
4
 
Observe que quando o número racional também é inteiro, basta colocá-lo no 
denominador e no numerador vai o número 1. 
 
 
33 
 
Exercícios 
1. Em seu caderno, classifique como verdadeiro (v) ou falso (f): 
a) 10 ∈ ℚ 
b) 
1
3
 ∈ ℚ e 3 ∈ ℚ 
c) x ∈ ℚ ⇒ x ∈ ℤ ou x ∈ ℕ 
d) O,851 ∈ ℚ 
e) -2,3̅ ∉ ℚ 
f) -2 ∈ ℚ - ℕ 
g) −
17
9
 ∉ ℚ 
h) -5,16666...∉ ℤ 
i) Todo número racional é inteiro 
 
2. Represente na forma fracionária: 
a) 0,05 c) -10,2 e) 3,3 
b) 1,05 d) 0,33 
 
3. Ache a fração geratriz de cada dízima: 
a) 0,4̅ c) 2,7̅ e) 1,123̅ g) 1,03̅̅̅̅ 
b) 0,14̅̅̅̅ d) 1,715̅̅ ̅̅ ̅ f) 0,023̅̅̅̅ h) 1,030̅̅̅̅ 
 
4. Represente na forma decimal: 
a) 
4
5
 c) 
2
25
 e) 
16
5
 
 
b) 
8
5
 d) 
3
125
 
 
5. Compare os decimais abaixo: 
a) 0,75 __ 0,77 d) 1,25__1,2345672... g) 3,1416__3,1388 
b) 2,98__2,957 e) -1,234__-1,235 h) -2,10203__-2,11 
c) -0,8333__0,83411 f) 1,1777__1,123 
 
6. Compare os números abaixo: 
a) 
50
29
 __ 
50
33
 c) - 
3
8
 __ - 
9
20
 e) -0,333... __ - 
1
3
 
 
b) 
5
11
 __ 
8
11
 d) −
2
3
 __ -0,7 f) 0,71 __ 
71
99
 
 
 
34 
 
O conjunto 𝕀 
Assim como existem números decimais que podem ser escritos como 
frações (com numerador e denominador inteiros), ou seja, os números racionais 
que acabamos de estudar, há os que não admitem tal representação. Trata-se 
dos números decimais não exatos, que possuem representação infinita não 
periódica. 
Vejamos alguns exemplos: 
▪ O número 0,212112111... não é uma dízima periódica, pois os 
algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente. 
▪ O número 1,203040... também não comporta representação 
fracionária, pois não é dízima periódica. 
▪ Os números √2 = 1,41421315..., √3 = 1,7320508... e 𝜋 = 
3,141592..., por não apresentarem representação infinita periódica, 
também não são números racionais. 
 
Observação 
O número 𝜋 é o quociente da divisão da medida do comprimento de 
uma circunferência pela medida de seu diâmetro: 
𝐶
𝑑
 = 𝜋 
Portanto, um número cuja representação decimal infinita não é periódica 
é chamado de número irracional, e o conjunto desses números é representado 
por 𝕀. 
1,41421315 
 
 
Diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não há repetição, 
por isso é um número irracional 
ℕ 
ℤ 
ℚ 
𝕀 
Observe que o conjunto 
dos números irracionais 
não possui nenhuma 
relação com os outros: ou 
um número é racional ou é 
irracional. 
 
35 
 
O conjunto ℝ dos números reais 
O conjunto formado pela reunião (junção) dos números racionais com os 
números irracionais é chamado de conjunto dos números reais e é 
representado por ℝ. 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim temos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e 𝕀 ⊂ ℝ 
 Além desses (ℕ, ℤ, ℚ, e 𝕀), o conjunto dos números reais apresenta outros 
subconjuntos importantes: 
▪ O conjunto dos números reais não nulos: 
ℝ* = {x ∈ ℝ | x ≠ 0} 
▪ O conjunto dos números reais não negativos: 
ℝ+ = {x ∈ ℝ | x ≥ 0} 
▪ O conjunto dos números reais positivos: 
ℝ+
∗ = {x ∈ ℝ | x > 0} 
▪ O conjunto dos números reais não positivos: 
ℝ_ = {x ∈ ℝ | x ≤ 0} 
▪ O conjunto dos números reais negativos: 
ℝ−
∗ = {x ∈ ℝ | x < 0} 
Observação 
A soma, a multiplicação e a divisão de um número racional por um irracional é 
um número irracional. 
Por exemplo: 3 e -√2, temos: 
3 - √2 ∈ 𝕀; 
−√2
3
 ∈ 𝕀; 
3
−√2
∈ 𝕀; 3 . -√2 ∈ 𝕀 
ℚ 
.1 .-5,2 .- 1
2
 
.0,78̅̅̅̅ .19
5
 
𝕀 
. √2 . √3 . 𝜋 
.0,212112111... 
ℝ 
 
36 
 
 Observe que cada um desses cinco conjuntos contém números racionais e 
irracionais. 
 As noções de números opostos, números inversos e módulo já foram 
apresentadas. Todas elas se aplicam do mesmo modo aos números reais, de 
maneira geral. 
 Por exemplo: 
▪ O oposto de √5 é -√5 (só inverte o sinal) 
▪ |−𝜋| = |𝜋| = 𝜋 
▪ O inverso de √2 = 
1
√2
 = 
√2
2
 ( forma racionalizada) 
Exercícios 
1. Dentre os números seguintes, identifique aqueles que são números 
irracionais: 
a) 
2
3
 c) 20,015̅̅ ̅̅ ̅ e) 
√2
2
 
b) -√3 d) -6,0001 f) -√40 
 
2. Classifique as sentenças abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F): 
a) A soma de dois números irracionais é, necessariamente, um número 
irracional. 
b) O produto de dois números irracionais é, obrigatoriamente, um número 
irracional.c) Se x e y são números racionais, xy é racional. 
d) O quociente entre um número irracional e um racional é um número 
real. 
e) Se x ∈ ℚ e y ∈ ℝ- ℚ , x-y pode ser racional. 
 
3. Determine o oposto, módulo e inverso de cada um dos números abaixo: 
a) √10 c) 𝜋 e) √3 
b) −√20 d) -√12 f) -30 
 
37 
 
Operações aritméticas básicas 
Antes de começarmos nas operações, revisaremos o quadro valor de 
lugar. Por exemplo, os números 123; 1.000; 120,25 ficarão dispostos no quadro 
dessa forma: 
 
 
 
 
3º 2º 1º 3º 2º 1º 3º 2º 1º 
 1 2 3 
 1 0 0 0 
 1 2 0 2 5 
 
Adição de inteiros e decimais 
Numa adição temos os seguintes componentes: 
234 + 120 = 354 
 
 
 Propriedades da Adição 
▪ Comutativa: a ordem das parcelas não altera o resultado. Observe: 
20 + 30 = 50 e 30 + 20 = 50 
▪ Associativa: numa adição de 3 ou mais números, podemos associá-los 
da seguinte maneira: 
20 + 30 + 50 = 100 
Podemos associar o 20 com o 30: (20 + 30) + 50 = 100 
Podemos, também, associar o 30 com 50: 20 + (30 + 50) = 100 
▪ Elemento neutro: o elemento neutro da adição é o zero 
10 + 0 = 10 
20 + 0 = 20 
 
 
 
Cent. 
Milhar 
Dez. 
Milhar 
Cent. 
Milhão 
Dez. 
Milhão 
Unid. 
Milhão 
Unid. 
Milhar 
Centena Dezena Unidade 
Unidades Milhares Milhões Decimais 
. . , 
, 
Parcela Parcela Soma 
 
38 
 
 
Algoritmo usual 
Para adicionarmos inteiros seguiremos o algoritmo usual, em que se soma 
unidade com unidade, dezena com dezena e assim por diante. Caso seja um 
número decimal, deve-se atentar para colocar a vírgula em baixo de vírgula e 
igualar as casas decimais acrescentando-se zeros. Veja os exemplos: 
 
U.m C D U 
2. 8 4 3 
1. 0 5 3 
3. 8 9 6 
 
 
Observe que no último exemplo colocamos o número em baixo do outro 
sem as marcações de unidade, dezenas etc. O importante é que eles estejam 
alinhados na direita 
Agora veremos com se faz a adição de decimais, observe os exemplos: 
 
4,879 + 13,14 = ? 
 
 
 
 
744,85 + 99,3 = ? 
 
 
 
 
 
73. 2 5 7 
 2. 4 3 5 
75. 6 9 2 
U.m C D U 
 3 5 7 
 9 8 3 
1. 3 4 0 
 4, 8 7 9 
13, 1 4 0 
18, 0 1 9 
 7 4 4, 8 5 
 9 9, 3 0 
 8 4 4, 1 5 
+ 
1 1 1 
+ 
+ + + 
+ 
+1 +1 
Foi acrescentado um zero pra 
igualar a quantidade de casas 
decimais. 
Atenção aqui! Sempre coloca a 
vírgula em baixo da vírgula 
+ 
+1 +1 +1 
1 + 
 
39 
 
Subtração de inteiros e decimais 
Numa subtração temos os seguintes componentes: 
300 – 200 = 100 
 
 
Veja os exemplos: 
5 – 2 = 3 
2 – 5 = -3 
7 – 3 = 4 
3 – 7 = -4 
Observe que há casos em que o minuendo é menor que o subtraendo, 
quando isso ocorrer devemos seguir do seguinte modo: 
3 – 7 = ? 
1) Invertemos ficando com: 7 – 3 = 4 
2) Achamos o módulo de cada número: |3| = 3 e |−7| = 7 
3) Agora o sinal do resultado será o do número que possui maior 
modulo (será o “-“) e nossa subtração ficará assim: 3 – 7 = -4 
Vejamos outros exemplos: 
▪ 10 – 15 = ? => 15 – 10 = 5 e |−15| > |10| portando sinal negativo: 
10 – 15 = -5; 
▪ 7 – 11 = ? => 11 – 7 = 4 e |−11| > |7| portanto sinal negativo: 7 – 
11 = -4; 
▪ 5 – 12 = ? => 12 – 5 = 7 e |−12| > |5| portanto sinal negativo: 5 – 
12 = - 7 
Atenção, esse método só é válido quando o minuendo é positivo. 
Veremos mais adiante casos em que esse é negativo. 
Algoritmo usual 
 O algoritmo da subtração é semelhante ao da adição: coloca-se unidade 
em baixo de unidade, dezena em baixo de dezena e assim por diante e efetua-
se a subtração. Observe abaixo: 
3555 – 2233 = ? 
U.m C D U 
3 5 5 5 
2 2 3 3 
1 3 2 2 
 
Minuendo Subtraendo 
Resto ou diferença 
- 
 
40 
 
4003 – 2847 = ? 
U.m C D U 
4 0 0 3 
2 8 4 7 
1 1 5 6 
 
 
 
 
 
 
758 – 2002 = ? Nesse caso o minuendo e menor que o subtraendo, então inverte-
se, ficando com: 2002 – 758 = ? 
 
2 0 0 2 
 7 5 8 
1 2 4 4 
 
 
 
 
Então 758 – 2002 = -1244, pois o minuendo é menor que o subtraendo. 
 
Agora, vamos para alguns exemplos de subtração com decimais: coloca 
vírgula em baixo de vírgula e iguala as casas decimais com “zeros”. 
60 – 30,9 = ? 
6 0, 0 
3 0, 9 
2 9, 1 
 
 
 
20,25 – 10,3 = ? 
2 0, 2 5 
1 0, 3 0 
0 9, 9 5 
3 < 7, então pega 1 
“emprestado”, ficando 
13 
1 
+1 
Como pegamos 1 
“emprestado”, temos que o 
somar com o próximo de 
baixo, ficando com 5. 
Atenção, seguiremos esses 2 métodos 
sempre que o de cima for menor que o 
de baixo! 
1 
+1 
1 
+1 - 
1 
+1 
1 
+1 
1 
+1 - 
Observe que aqui não colocamos as marcações de unidade, dezena e centena. O 
importante é que eles estejam alinhados na direita 
 
1 
+1 
1 
+1 - 
Acrescentado um “zero” 
no 60 após a vírgula para 
igualar as casas decimais 
Vírgula sempre embaixo de 
vírgula na mesma linha 
- 
1 
+1 
1 
+1 
 
41 
 
122,4 – 12 = ? 
1 2 2, 4 
 1 2, 0 
1 1 0, 4 
 
 
 
 
 
Regra dos sinais – Adição e subtração 
Para somar ou subtrair: 
▪ Dois números positivos: somamos seus módulos e o resultado é 
positivo. ( + + = +) 
Exemplos: 
(+10) + (+20) = + 30 mesma coisas que 10+20 = 30 
(+20) + (+40) = +60 mesma coisa que 20+40 = 60 
Somente soma e o resultado é positivo 
▪ Dois números negativos: somamos seus módulos e o resultado é 
negativo. (- - = -) 
Exemplos: 
-10 - 20 = - (|−10|+|−20|)= - (10 + 20) = -30 
-5 – 7 = - (|−5| + (|−7|) = - (5 + 7) = -12 
-15 – 20 = - (|−15| + |−20|) = - (15 + 20) = -35 
▪ Dois números de sinais contrários: subtraímos seus módulos e o 
resultado tem o sinal do número de maior módulo. 
Exemplos: 
-70 + 20 = - (|−70| - |−20|) = - (70 – 20) = -50 
50 - 70 = - ( |−70| - |50|) = - (70 – 50) = - 20 
-30+40 = + (|40| - |−30|) = + (40 – 30) = +10 
 
 
 
 
- 
Observação 
Há outras maneiras de efetuar a subtração, essa é a forma mais simples. 
O número de maior módulo sempre é o minuendo 
 
42 
 
Tirando um número do parênteses 
-7 – ( - 3) = ? 
Observando o exemplo acima, vemos que a regra dos sinais não se 
aplicou corretamente. Temos dois números negativos, então somaríamos seus 
módulos e o resultado seria negativo: - (|−7|+|−3|) = -10. Mas observe que isso 
não acontece, pois temos um número dentro do parênteses e devemos tirá-lo. 
Então como tirar um número do parêntese? 
Sinais iguais fica positivo e sinais diferentes fica negativo. Observe os 
exemplos abaixo. 
 
- (-3) = +3 
-(+4) = -4 
+(+2,5) = +2,5 
+(-10) = -10 
(-3) = -3 
(+4) = +4 
 
 
 
Então, retornando ao nosso exemplo: 
 – 7 – (-3) fica -7 + 3 = -4 
Veja outros exemplos: 
(-8) + (-5) = - 8 – 5 = -13 
(+8) – (-3) = 8 + 3 = 11 
-(-3) +(-2) = 3 – 2 = 1 
(+3) – (+5) = 3 – 5 = -2 
 
Atenção! Essa é a mesma regra dos sinais da multiplicação e divisão, 
então memorize! 
Atenção aqui! Quando não tem sinal antes do 
parênteses subtende-se que tem um sinal “+”. 
 
43 
 
 
Exercícios 
1. Efetue as somas abaixo: 
a) 14567 + 134 
b) 2954 + 1020 
c) 1334 + 500 
d) 122,2 + 234,50 
e) 1150,33 + 220 
f) 4440 + 3320,5 
 
2. Efetue as subtrações abaixo: 
a) 1220 – 480 
b) 2550 – 700 
c) 48880 – 56660 
d) 400,33 – 220,50 
e) 1220,65 – 480 
f) 50430,75 – 120,875 
 
3. Calcule: 
a) + 10 + 2 
b) + 2 + 21 
c) + 5 + 18 
d) + 23 + 21 
e) + 12 + 34 
f) + 12 – 8 
g) + 15 – 6 
h) + 45 – 32 
i) + 56 – 34 
j) + 57 – 31 
k) – 32 + 25 
l) – 23 + 12 
m) – 15 + 13 
n) – 45 + 40 
o) – 35 + 27 
p) – 23 + 32 
q) – 32 + 53 
 
44 
 
r) – 12 + 32 
s) – 11 + 40 
t) – 36 + 54 
u) – 5 – 9 
v) – 12 – 13 
w) – 23 – 10 
x) – 35 – 16 
y) – 51 – 21 
 
4. Calcule: 
a) ( + 12 ) + ( + 21 ) 
b) ( + 13 ) + ( + 7 ) 
c) ( + 23 ) + ( + 21) 
d) ( – 12 ) + ( – 11 ) 
e) ( – 23 ) + ( – 4 ) 
f) ( – 21 ) + ( – 12 ) 
g) ( + 10 ) + ( – 13 ) 
h) ( + 21 ) + ( – 23 ) 
i) ( + 40 ) + ( – 17 ) 
 
5. Calcule x – y: 
a) x = + 6 e y = + 5 
b) x = – 7 e y = + 8 
c) x = – 9 e y = – 5 
d) x = + 12 e y = – 15 
 
6. Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários,mas irá receber 
R$ 7300,00 de outra empresa. Represente essa situação com apenas um 
número inteiro? 
 
7. Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 
70,00. Qual foi o seu lucro? 
 
45 
 
 
8. Resolva: 
 a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 ) 
 b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 ) 
 c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 ) 
 d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 ) 
 e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 ) 
 f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 ) 
 
9. Elimine os parênteses: 
a) + ( – 3 + 8 ) 
b) – ( – 3 + 8 ) 
c) + ( 5 – 6 ) 
d) – ( – 3 – 1 ) 
e) – ( – 6 + 4 – 1 ) 
f) – 6 – ( – 3 + 2 ) 
g) 18 – ( – 5 – 2 – 3 ) 
h) 20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 ) 
i) – 32 – 1 – ( – 12 + 14 ) 
j) 7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 ) 
 
10. José depositou em sua conta bancária as importâncias de R$ 300,00 e 
R$ 200,00. Posteriormente, retirou R$ 350,00 e R$ 250,00. O saldo de 
sua conta corrente é de quanto? 
 
 
 
 
 
46 
 
Multiplicação 
A multiplicação pode ser interpretada como uma adição sucessiva de um 
mesmo número. Então por exemplo se eu tenho 2 + 2 + 2 + 2 + 2, eu posso 
escrever da seguinte maneira 2 x 5, ou seja, o 2 se repete 5 vezes. De maneira 
inversa, se eu tenho 3 x 2, posso escrever como uma soma de 3 + 3, ou seja, o 
3 se repete 2 vezes. 
Numa multiplicação, temos os seguinte símbolos e componentes: 
2 x 3 = 2 . 3 = 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6 
 
 
Observe que temos três símbolos para representar a multiplicação: (x), (.) 
e (*). 
 
 Outros exemplos de multiplicação: 
 5 x 16 = 5 . 16 = 5 * 16 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80 
 1 x 16 = 16 
 0 x 16 = 0 
Um número multiplicado por 1 sempre dará ele mesmo. Um número 
multiplicado por zero sempre dará zero 
 
Para multiplicar e dividir (próximo assunto) de forma eficiente, é muito 
importante que se saiba a tabuada, mas na frente veremos algumas maneiras 
legais de saber a tabuada. Agora veremos uma utilidade da multiplicação: 
Quantas bolinhas há na figura abaixo? 
 
O 2 e 3 são os fatores 
O 6 é o produto 
 
47 
 
Poderíamos contar uma por uma, mas vamos utilizar a multiplicação para 
nos ajudar: basta contar quantas bolinhas há em um linha (na horizontal), no 
caso temos 19 e quantas há em uma coluna (na vertical), no caso temos 8. 
Agora multiplicamos 8 x 19 = 152, portanto temos 152 bolinhas. 
 
Tabuada 
 
 Essa é a tabuada tradicional, do 1 até o 10; ela pode se estender 
infinitamente, porém já é o suficiente para fazermos todas as multiplicações. Há 
outra maneira mais legal de fazermos essa tabuada, observe abaixo: 
 
48 
 
Tabuada de Pitágoras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não precisamos nem decorar a tabuada inteira, pois essa 
parte que esta riscada é exatamente a mesma parte de cima. Então 
memorizaremos apenas a parte de cima, incluindo a diagonal circulada. 
Propriedades da multiplicação 
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto 
3 x 5 = 5 x 3 = 15 
Associativa: quando multiplicamos três ou mais fatores, podemos agrupar 
da forma que quisermos e o resultado é o mesmo. 
(3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30 
No exemplo acima, os parênteses são agrupamentos dos fatores. 
Percebemos que o resultado é o mesmo. Não importa a ordem como são 
multiplicados. 
Distributiva: Quando multiplicamos um valor por uma soma, o resultado é 
a soma do produto desse valor com as parcelas da soma. 
3 x (3 + 2) = 3 x 3 + 3 x 2 = 9 + 6 = 15 
 
49 
 
O que fizemos foi pegar o 3 e multiplicar por cada fator de dentro dos 
parênteses e depois somar, pois temos uma soma dentro dos parênteses. 
Paderia ser uma subtração: 3 x (3 – 2) = 3 x 3 – 3 x 2 = 9 – 6 
Elemento neutro: na multiplicação o número 1 (um) é o elemento neutro, 
ou seja, qualquer valor multiplicado por 1 (um) é o próprio valor. 
2 x 1 = 2 
Anulação: O número 0 (zero) anula qualquer produto. 
2 x 3 x 5 x 6 x 0 = 0 ou 10 x 0 = 0 
Fechamento: o produto de dois números reais tem como resultado um 
número real. 
Algoritmo usual 
Já aprendemos a tabuada e agora veremos os passos para multiplicar 
com números maiores. Observe abaixo. 
3 x 1560 = ? 
1º Armamos a multiplicação 
2º Multiplicamos um dos fatores pelo outro da direita para a esquerda 
 
1 5 6 0 
 x 3 
4 6 8 0 
 
Observe: multiplicamos o 3 da direita para a esquerda. Assim: 3 x 0 = 0, 
3 x 6 = 18 (deixa o 8 e eleva o 1), 3 x 5 = 15 e 15 +1 igual a 16 (deixa o 6 e eleva 
o 1), 3 x 1 = 3 e 3 + 1 = 4. Ficamos com o resultado 4680. 
 
23 x 1483 = ? 
Observe que agora o número menor, que sempre usamos como 
multiplicador, tem dois algarismos. Então veja como proceder quando isso 
acontece: 
 
 
+1 +1 
 
50 
 
 
 
 
 
 
1º multiplicamos o 3 pelo número de cima da direita para esquerda: 3 x 3 
= 9, 3 x 8 = 24 (deixa o 4 e eleva o 2), 3 x 4 = 12 e 12 + 2 = 14 (deixa o 4 e eleva 
o 1), 3 x 1 = 3 e 3 + 1 = 4. Ficando com o resultado de 4449. 
2º multiplicamos o 2 pelo número de cima da direita para a esquerda: 2 x 
3 = 6 (agora preste atenção que o 6 fica em baixo do 4, deixando um espaço em 
branco em baixo do 9) e continuamos com 2 x 8 = 16 (deixa o 6 e eleva o 1), 2 x 
4 = 8 e 8 + 1 = 9 (somamos somente com o 1, pois o 2 que já tinha era da outra 
operação), 2 x 1 = 2. Ficando com o resultado 2966. 
3º somamos os dois resultado ficando com 34109. 
 
234 x 1565 = ? 
Observe que agora o número menor, que sempre usamos como 
multiplicador, tem 3 algarismos. Então seguiremos como antes, multiplicando 
cada número pelo de cima e sempre deixando um espaço em branco quando ir 
multiplicar o próximo. Veja: 
 
 1 5 6 5 
 x 2 3 4 
 6 2 6 0 
 4 6 9 5 
3 1 3 0 
3 6 6 2 1 0 
 
1º multiplicamos o 4 pelo número de cima da direita para a esquerda: 4 x 
5 = 20 (deixa o 0 e eleva o 2), 4 x 6 = 24 e 24 + 2 = 26 (deixa o 6 e eleva o 2), 4 
x 5 = 20 e 20 + 2 = 22 (deixa o 2 e eleva o 2), 4 x 1 = 4 e 4 + 2 = 6. Ficando com 
o resultado 6260. 
2º multiplicamos o 3 pelo número de cima da direita para a esquerda: 3 x 
5 = 15 (deixa o 5 e eleva o 1), 3 x 6 = 18 e 18 + 1 = 19 (deixa o 9 e eleva o 1), 3 
x 5 = 15 e 15 + 1 = 16 (deixa o 6 e eleva o 1), 3 x 1 = 3 e 3 + 1 = 4. Ficando com 
o resultado 4695. 
3º multiplicamos o 2 pelo número de cima da direita para a esquerda: 2 x 
5 = 10 (deixa o 0 e eleva o 1), 2 x 6 = 12 e 12 + 1 = 13 (deixa o 3 e eleva o 1), 2 
 1 4 8 3 
 X 2 3 
 4 4 4 9 
2 9 6 6 
3 4 1 0 9 
+2 +1 
+1 
+ 
1 1 
1 
Espaço em branco deixado, 
porque estamos multiplicando o 
2 
2 2 2 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
+ 
 
51 
 
x 5 = 10 e 10 + 1 = 11 (deixa o 1 e eleva o 1), 2 x 1 = 2 e 2 + 1 = 3. Ficando com 
o resultado 3130. 
4º somamos todos os resultados ficando com 366210. 
 
Você já sabe toda a tabuada. Duvida? 
Se você sabe a tabuada do 1, 2, 5 e 10; então já sabe toda a tabuada. 
Basta apenas aplicar a propriedade distributiva que aprendemos. Veja os 
exemplos abaixo: 
7 x 8 = ? 
Poucas pessoas lembram da tabuada do 7. Então aplicando a 
propriedade distributiva: 
 7 x 8 = (5 + 2) x 8 = 5 x 8 + 2 x 8 = 40 + 16 = 56. 
Mais exemplos: 
11 x 12 = (10 + 1) x 12 = 10 x 12 + 1 x 12 = 120 + 12 = 132 
15 x 15 = (10 + 5) x 15 = 10 x 15 + 5 x 15 = 150 + 75 = 225 
Multiplicar inteiro por 10, 100, 1000... 
Para multiplicar por 10, basta acrescentar um zero: 
45 x 10 = 450 
43 x 10 = 430 
Para multiplicar por 100, basta acrescentar dois zeros: 
34 x 100 = 3400 
44 x 100 = 4400 
Para multiplicar por 1000, basta acrescentar três zeros: 
14 x 1000 = 14000 
13 x 1000 = 13000 
 
 
Multiplicação com números decimais (números com vírgula) 
23,2 x 17,4 = ? 
 Primeiro multiplicamos os números sem as vírgulas: 
 
 
52 
 
 2 3 2 
 x 1 7 4 
 9 2 8 
1 6 2 4 
2 3 2 
4 0 3 6 8 
 Agora, observe que o primeiro número tem uma casa após a vírgula e o 
segundo também tem uma casa após a vírgula, então o resultado terá duas 
casas após a vírgula (1 +1 = 2): 23,2 x 17,4 = 403,68. 
41,03 x 1,9 = ? 
 
 4 1 0 3 
 x 1 9 
3 6 9 2 7 
4 1 0 3 
7 7 9 5 7 
 O primeiro número tem duas casas após a vírgula e o segundo tem uma 
casa após a vírgula, então o resultado terá 3 casas após a vírgula (1 + 2 = 3): 
41,03 x 1,9 = 77,957 
 
 
 
Veja outro exemplo: 
1,7 x 3,1416 = ? 
 
 3 1 4 1 6 
 x 1 7 
2 1 9 9 1 2 
3 1 4 1 6 
5 3 4 0 7 2 
 
O primeiro número tem uma casa após a vírgula e o segundo tem quatro 
casas após a vírgula, então o resultado terá 5 casas após a vírgula (1 + 4 = 5): 
1,7 x 3,1416 = 5,34072 
Multiplicar decimal por 10, 100, 1000... 
 Para multiplicar por 10, basta andar a vírgula uma casa para a direita: 
2,34 x 10 = 23,4 
102,234 x 10 = 1022,34 
1 
1 2 
+ 
1 1 
2 
+ 
Então para multiplicarmos 2 números decimais: o resultado terá a quantidade de 
casas após a vírgula do primeiro fator somado com a do segundo fator. 
4 1 2 
1 1 
+ 
 
53 
 
 Para multiplicar por 100, basta andar a vírgula duas casas para a direita: 
34,657 x 100 = 3465,7 
102,456 x 100 = 10245,6 
 Para multiplicar por 1000, basta andar a vírgula três casas para a direita: 
10,3456 x 1000 = 10345,6 
2,5 x 1000 = 2500 
Observe que caso não tenha mais casas para andar, acrescenta-se zeros 
 
Multiplicação com números negativos 
+2 . +3 = +6 
(-2) . +3 = -6 
2 . (-3) = -6 
(-2) . (-3) = +6 
(-1) . (+5) = -5 
0 . (-726) = 0 
(-10) . (-5) . (-3) = -150 
 
Então, chegamos a seguinte conclusão: 
(+) (+) = (+) 
(-) (+) = (-) 
(+) (-) = (-) 
(-) (-) = (+) 
Observe que sinais iguais da positivo e sinais diferentes da negativo. 
 
 
54 
 
Exercícios 
1- Efetue as multiplicações abaixo: 
a) 1450 x 4 d) 5432 x 27 g) 7430 x 167 
b) 1560 x 7 e) 4320 x 49 h) 9876 x 120 
c) 24320 x 9 f) 6730 x 67 i) 10530 x 142 
 
2- Efetue as multiplicações com decimais: 
a) 2,5 x 1450 d) 21,8 x 0,32 g) 4,092 x 0,003 
b) 3,45 x 2570 e) 3,12 x 2,81 h) 0,25 x 3 
c) 20,34 x 1,23 f) 2,14 x 0,008 i) 6 x 3,21 
 
3- Determine os seguinte produtos: 
a) 3 x 1,5 x 0,12 
b) 0,7 x 0,8 x 2,1 
c) 3,2 x 0,1 x 1,7 
d) 0,2 x 0,02 x 0,002 
 
4- Efetue as multiplicações com inteiros: 
a) ( + 5 ) . ( + 3 ) 
b) ( + 4 ) . ( – 5 ) 
c) ( – 8 ) . ( + 4 ) 
d) ( – 6 ) . ( – 7 ) 
e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 ) 
f) ( – 5 ) . ( – 6 ) . ( – 2 ) 
g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 ) 
h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 ) 
 
5- Calcule o preço total de uma impressora colorida que foi paga em 6 vezes 
iguais de R$ 58,16 
 
6- Um carro faz, em média, 12,5 quilômetros com um litro de gasolina. 
Quantos quilômetros terá rodado, em média, depois de consumir: 
 
a) 6 litros de gasolina? 
b) 25 litros de gasolina? 
c) 38,5 litros de gasolina? 
 
7- Na mercearia, Elvis comprou 3 kg de arroz, 1 kg de feijão, 5 kg de batata 
e 2 kg de café. Calcule o preço total pago por Elvis, sabendo-se que: 
 
1 kg de feijão custa R$ 2,30 
1 kg de arroz custa R$ 2,15 
1 kg de batata custa R$ 2,60 
1 kg de café custa R$ 4,80 
 
 
55 
 
8- A velocidade de um navio são 20 nós. Mantendo essa velocidade, quantos 
quilômetros percorrerá em: 
 
a) 2 horas? 
b) 3,5 horas? 
 
Obs.: Um nó equivale a 1,852 quilômetros por hora. 
 
 
 
 
56 
 
 Divisão 
A divisão é o ato de dividir em partes iguais para todos. O número que 
está sendo dividido em partes iguais é chamado de dividendo; o número que 
indica em quantas vezes vamos dividir é chamado de divisor; o resultado é 
chamado de quociente; o que sobra é chamado de resto. 
Símbolos que indicam divisão: (÷), (:), ( / ), 
Ex.: 
 
15 7 
 1 2 
 
 
Algoritmo usual 
Vamos dividir o número 1560 por 2: 
1560 2 
16 0 
 0 
780 
 1º Começamos dividindo o primeiro número da esquerda para a direita, mas 
como 1 < 2, juntamos com o 5 formando o 15; 
 2º Agora vamos achar um número que multiplique o 2 e o resultado dê igual a 
15; como não temos, acharemos um número que multiplique e o resultado dê o 
mais próximo de 15: nesse caso é o 7; 7 x 2 = 14 e 15 – 14 = 1; 
3º Colocamos 1 em baixo do 15 e descemos o próximo número, o 6; 
4º Repetiremos o passo 2: dividindo o 16 por 2, o resultado deu 8: 8 x 2 = 16 e 
16 – 16 = 0; 
6º Colocamos o zero em baixo do 16 e descemos o próximo número, que no 
caso e o zero. Ficamos com 0 dividido para 2, que vai dar 0: 0 x 2 = 0 e 0 – 0 = 
0. Não temos mais números para descer então ficamos com o resto 0. 
 
Dividendo 
Divisor 
Quociente 
Resto 
 
57 
 
 1326 : 13 = ? 
1326 13 
026 102 
 00 
 
1º Começamos dividindo o primeiro número da esquerda para a direita; mas 
como 1 < 13 juntamos com o 3, formando 13. Agora dá pra dividir o 13 por 13. 
2º Para dividir 13 por 13, vamos achar um número que multiplique o 13 e o 
resultado dê igual a 13: esse número e o 1, pois 1 x 13 = 13 e 13 – 13 = 0 
(resto zero). 
3º Descemos o próximo número, o 2, e juntamos com o resto 0; ficando com 2 
dividido para 13. Como 2 é menor que 13 devemos descer o número que está 
depois do 2. Quando isso acontece devemos colocar um zero no quociente. 
4º Agora dividimos o 26 por 13: devemos achar um número que multiplique o 
13 e dê como resultado o 26; esse número é o 2 (2 x 13 = 26 e 26 – 26 = 0). 
5º Não temos mais números para descer, então o resultado da divisão e 102 
com resto 0. 
 
2232 : 96 = ? 
 
2232 96 
 0312 23 
 024 
1º Começamos dividindo o primeiro número da esquerda para a direita; mas 
como 2 < 96, juntamos com o próximo número o 2, ficando com 22. 22 ainda é 
menor que 96, então juntamos com o próximo o 3. Ficamos agora com um 
número maior que 96: o 223. 
2º Agora dividimos o 223 por 96: devemos achar um número que multiplique o 
96 e dê como resultado igual ou o mais próximo de 223. Esse número é o 2, pois 
2 x 96 = 192. 223 – 192 = 31 (resto). 
3º Descemos o próximo número o 2 e juntamos com o resto: ficando com 312. 
4º Agora dividimos 312 por 96: devemos achar um número que multiplique o 96 
e dê como resultado igual ou o mais próximo de 312. Esse número é o 3, pois 3 
x 96 = 288. 312 – 288 = 24 (resto) 
5º Não temos mais números para descer, então o resultado da divisão é 23 com 
resto 24. 
 
 
58 
 
Divisão com decimais 
Vírgula no dividendo 
 
8,3 : 4 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 10 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 83 : 40. 
3º 83 : 40 = 2,075 
 
0,83 : 4 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 100 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 83 : 400. 
3º 83 : 400 = 0,2075 
 
73,59 : 24 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 100 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 7359 : 2400 
3º 7359 : 2400 = 3,06625 
 
0,5236 : 14 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 10000 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 5236 : 140000 
3º 5236 : 140000 = 0,0374 
 
Observe que, para dividir com vírgula no dividendo, retira a vírgula e coloca 
zeros no divisor de acordo com a quantidade de casas após a vírgula 
 
Vírgula no divisor 
36 : 1,5 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 10 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 360 : 15 
 
59 
 
3º 360 : 15 = 24 
 
36 : 0,15 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 100 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 3600 : 15 
3º 3600 : 15 = 240 
 
21 : 0,5 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 10 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 210 : 5 
3º 210 : 5 = 42 
 
Para dividir por 0,5 basta multiplicar por 2 
 
21 : 0,25 = ? 
1º Retiramos a vírgula: basta multiplicar por 100 o dividendo e o divisor 
2º Agora efetuaremos a divisão de 2100 : 25 
3º 2100 : 25 = 84 
 
Para dividir por 0,25 basta multiplicar por 4 
 
Então, para dividir com vírgula no divisor, retira a vírgula e coloca zeros 
no dividendo de acordo com a quantidade de casas após a vírgula 
Vírgula no dividendo e divisor134,2 : 0,4 = ? 
1º Igualamos as casas decimais acrescentando zeros, nesse caso já são iguais; 
2º Retiramos as vírgulas: fica 1342 : 04; 
3º Efetuamos a divisão de 1342 : 4 = 335,5 
 
 
 
60 
 
 
134,2 : 0,04 = ? 
1º Igualamos as casas decimais acrescentando zeros: fica 134,20 : 0,04 
2º Retiramos as vírgulas: fica 13420 : 004 
3º Efetuamos a divisão de 13420 : 4 = 3355 
 
0,045 : 1,5 = ? 
1º Igualamos as casas decimais acrescentando zeros: fica 0,045 : 1,500 
2º Retiramos as vírgulas: fica 0045 : 1500 
3º Efetuamos a divisão de 45 : 1500 = 0,03 
 
Divisão com números negativos 
(-2) : (-3) = +0,66... 
(-3) : (-2) = +1,5 
(-18) : 5 = -3,6 
-(4 . 3) : 12 = -12 : 12 = -1 
(-16) : (-16) : (-16) = -0,0625 
[(-16) : (-16)] : (-16) = -0.0625 
(-16) : [(-16) : (-16)] = -16 
0 : (-19) = 0 
 
Então, chegamos a seguinte conclusão: 
(+) (+) = (+) 
(-) (+) = (-) 
(+) (-) = (-) 
(-) (-) = (+) 
Observe que sinais iguais da positivo e sinais diferentes da negativo. Isso 
é a mesma regra da multiplicação. 
 
 
 
61 
 
Divisão por 10, 100, 1000 ... 
▪ Para dividir um número por 10, basta andar a vírgula uma casa para a 
esquerda: 
2,5 : 10 = 0,25 
37,85 : 10 = 3,785 
102 : 10 = 10,2 
▪ Para dividir um número por 100, basta andar a vírgula duas casas para a 
esquerda: 
1287,5 : 100 = 12,875 
12,5 : 100 = 0,125 
7,6 : 100 = 0,076 
▪ Para dividir um número por 1000, basta andar a vírgula três casas para a 
esquerda: 
3700 : 1000 = 3,7 
2850 : 1000= 2,85 
2500 : 1000 = 2,5 
 
 
62 
 
Atividade 
 
1- Calcule os seguintes quocientes: 
 
a) (+265): (−5) 
b) (+824): (+4) 
c) (−180): (−12) 
d) (−420): (−10) 
e) 720: (−8) 
f) 0: (−568) 
g) (−330): 15 
h) (−101): 101 
 
2- Calcule: 
a) 6 : 5 f) 12 : 8 k) 9 : 6 p) 40 : 25 u) 32 : 5 
b) 5 : 4 g) 24 : 5 l) 70 : 28 q) 72 : 15 v) 84 : 35 
c) 7 : 2 h) 20 : 8 m) 18 : 15 r) 60 : 24 w) 72 : 48 
d) 15: 6 i) 22 : 4 n) 50 : 4 s) 54 :36 x) 108 : 24 
e) 14 : 4 j) 15 : 12 o) 30 : 12 t) 27 : 15 y) 117 : 45 
 
3- Efetue as divisões com decimais: 
a) 14: 5,6 f)16,9: 6,5 k)30,1 : 8,6 p)3,24 : 0,18 
b) 15 : 2,5 g)40,7 : 5,5 l)15,54 : 0,7 q)3,4 : 0,04 
c) 48 : 7,5 h)26,4 : 4,8 m)7,82 :3,4 r)12,95 : 0,007 
d)12,6 : 2,8 i)24,36 : 5,8 n)18 : 2,4 s)3 : 0,004 
e)25,08 : 3,8 j)4,14 : 1,8 o)1,96 : 1,4 t)15,36 : 4 
 
4- Um pacote de sabão com 4 barras custa R$ 2,88. Quanto custa cada barra 
de sabão? 
5- Um fardo de açúcar de 25 kg custa R$ 30,00. Qual o preço de 1 kg de 
açúcar? 
6- Uma caixa de leite com 12 litros custa R$ 18,60. Qual o preço de 1 litro de 
leite? 
7- Izamar comprou seis caixas de lápis, contendo cada uma doze lápis iguais, 
pagando R$ 45,00 pela compra. Quanto pagará se comprar oito caixas iguais 
às primeiras? 
8- Um edifício de 12 andares, todos com a mesma altura, tem 39 metros de 
altura. Calcule a altura de cada andar? 
9- Se trinta litros de um combustível custam R$ 49,50, quanto custarão 
oitenta litros do mesmo combustível? 
 
63 
 
Múltiplos de um número inteiro 
Dizemos que um número b ∈ ℤ é múltiplo de a ∈ ℤ, se b = a . n, n ∈ ℤ, a ≠ 
0. 
Ex.: 12 = 4 . 3, então 12 é múltiplo de 4 e 3 (b = 12, a = 4 e n = 3) 
 -6 = -2 . 3, então -6 é múltiplo de -2 e 3 (b = -6, a = -2 e n = 3) 
Ou seja, os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse 
número pela sequência dos números inteiros. Observe abaixo os múltiplos de 
números inteiros: 
Múltiplos de 4 = ... -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16... 
Múltiplos de -2 = ...-8, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8... 
Múltiplos de 15 = ...-30, -15, 0, 15, 30... 
Propriedades 
1- Todos os números são múltiplos de 1. 
Ex.: múltiplos de 1 = ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 
2- O 0 é múltiplos de todos os números (0 = a .0). 
3- O produto de qualquer inteiro n com outro inteiro qualquer é um múltiplo 
de n. 
4- Se a e b são múltiplos de x, então a + b e a - b também são múltiplos de 
x. 
Múltiplos comuns 
 Tomando como exemplos os números 2 e 3, vejamos como achar os 
múltiplos comuns: 
Múltiplos de 2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16... 
Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21... 
 Os múltiplos comuns são os que aparecem em 2 e 3: 0, 6, 12, ... Observe 
que o menor múltiplo comum (com exceção do zero) é o 6. Dizemos que 6 é o 
MMC de 2 e 3. 
Estudaremos mais na frente MMC 
Divisores de um número inteiro 
Dizemos que um número a ∈ ℤ∗ é divisor de b ∈ ℤ se existe um n ∈ ℤ tal 
que n = 
𝑏
𝑎
. Ou seja, os divisores de um número inteiros são os números inteiros 
(com exceção do zero) pelos quais se pode dividir esse número de forma exata 
(resto zero). 
 
64 
 
Para determinarmos os divisores naturais de um número tentamos dividir 
esse número pela sequência dos números naturais, como a seguir se 
exemplifica. 
Determinar os divisores naturais de 30: 
1 e 30 são divisores de 30 (a unidade e ele próprio) 
30:2 = 15, então 2 e 15 são divisores de 30 
30:3 = 10, então 3 e 10 são divisores de 30 
30:4 não dá resto zero 
30:5 = 6, então 5 e 6 são divisores de 30 
30:6 = 5 (como 5<6, podemos parar) 
• Os divisores naturais de 30 são: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 15 e 30. 
• Os inteiros são: -30, -15, -10, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 10, 15, 
30. 
Propriedades 
1- O zero não é divisor de número algum; 
2- 0 possui infinito divisores, com exceção do próprio 0; 
3- 1 é divisor universal 
Exemplos: 
D (1) = {-1, 1} ⊂ ℤ e {1} ⊂ ℕ 
D (2) = {-2, -1, 1, 1} ⊂ ℤ e {1, 2} ⊂ ℕ 
D(20) = {-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20} ⊂ ℤ e {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
⊂ ℕ 
Número de divisores naturais 
D (10) = {1, 2, 5, 10} portanto n (D (10)) = 4 
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} portanto n (D (12)) = 6 
O número de divisores de um número natural n = 2x . 5y é igual a 
(x+1).(y+1). 
Exemplo: 
20 = 2 . 2 . 5 = 22 . 51 então n (D (20)) = (2+1) . (1+1) = 3 . 2 = 6 
 
65 
 
30 = 2 . 3 . 5 = 21 . 31 . 51 então n (D (30)) = (1+1) . (1+1) . (1+1) = 2 . 2 . 2 
= 8 
Divisores comuns 
Exemplo: (36, 18) 
D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
Divisores comuns são os que aparecem em 36 e 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
Observe que o maior divisor comum é 18, então dizemos que 18 é o MDC 
(máximo divisor comum) de 36 e 18. 
Estudaremos mais a frente MDC 
Critérios de divisibilidade 
Por 2: basta o número ser par! 
Ex.: 144 é par (termina em 4), logo é divisível por 2. 
Por 3: soma dos algarismos do número tem que ser divisível por 3. 
Ex.: 198 -> 1+9+8 = 18 (que é divisível por 3, logo 198 também é divisível 
por 3) 
Por 4: número termina em 00 ou os dois últimos algarismos formam um 
número divisível por 4. 
Ex.: 100 termina em 00, logo é divisível por 4. 
 120 os dois últimos formam 20 e vinte é divisível por 4, logo 120 
também será. 
Por 5: termina em 0 ou 5. 
Ex.: 350 é divisível por 5 e 355 é divisível por 5, pois terminam em 0 e 5 
respectivamente. 
Por 6: número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Ex.: 144 é divisível por 2 (termina em 4) e a soma dos algarismos é 9, 
que é divisível por 3, logo 144 é divisível por 6. 
Por 7: diferença entre o dobro do último algarismo do número e os demais 
algarismos restantes dá um número divisível por 7. 
Ex.: 217 -> 2 x 7 = 14 (dobro do último algarismo), 21 – 14 = 7 (7 é divisível 
por 7, portanto 217 também será). 
Por 8: número termina em 000 ou três últimos algarismos formam um 
número divisível por 8. 
Ex.: 1000 termina em 000, logo é divisível por 8. 
 
66 
 
 1160 os três últimos formam 160 que é divisível por 8, logo 1160 é 
divisível por 8. 
Por 9: soma dos algarismos do número é divisível por 9. 
Ex.: 108 -> 1 + 0 + 8 = 9 (que é divisível por 9, logo 108 é divisível por 9). 
Por 10: número termina em 0. 
Ex.: 100 termina em 0, logo é divisível por 10. 
Expressões numéricas 
A regra pra resolver as expressões numéricas é a seguinte: 
(P)(E)(MD)(AS) 
 
 
 
 
Veja os exemplos: 
a) 5 + 5