AP1-2023-1_GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Introdução à combinatória de contagem – 1/2023
Código da disciplina EAD01093
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
• Apresente o desenvolvimento de TODAS as respostas.
• Formalize matematicamente TODAS as respostas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Um médico tem 12 pacientes na sala de espera aguardando sua consulta, dos quais 2 estão com
febre. Determine o seguinte:
Questão 1 [1,0 pt] De quantas maneiras o médico pode selecionar 4 pacientes da sala de espera
para iniciarem a triagem de atendimento?
R: São 12 pacientes e deve-se selecionar 4 deles, onde a ordem não é importante. Portanto, são
C(12, 4) = 12!8!4! =
12.11.10.9.8!
8!(24) =
12.11.10.9
24 = 495
escolhas posśıveis.
Introdução à combinatória de contagem AP1 2
Questão 2 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm 2 pacientes com febre?
R: Para determinar o número das escolhas que contêm 2 pacientes com febre, pode-se dividir a tarefa
em duas partes:
(a) Escolher 2 pacientes com febre. Como há no total exatamente 2 pacientes com febre, esta parte
pode ser feita de apenas 1 maneira.
(b) Escolher 2 pacientes sem febre em um conjunto de 12 − 2 = 10 pacientes saudáveis. Isto pode
ser feito de
C(10, 2) = 10!2!8! =
10.9.8!
8!(2) =
90
2 = 45
maneiras. Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, há 1 × 45 = 45 escolhas com exatamente 2
pacientes com febre.
Questão 3 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm apenas 1 paciente com febre?
R: Pode-se dividir a tarefa de realizar uma escolha com 3 pacientes bons e 1 com febre em duas
partes:
(a) Escolher 1 paciente com febre no conjunto de 2 pacientes com febre. Isto pode ser feito de 2
maneiras distintas.
(b) Escolher 3 pacientes bons em um conjunto de 10 pacientes bons. Isto pode ser feito de
C(10, 3) = 10!3!7! =
10.9.8.7!
7!(6) =
10.9.8
6 = 120
maneiras distintas.
Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, há 2 × 120 = 240 escolhas com 3 pacientes bons e 1 com
febre.
Questão 4 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm apenas pacientes saudáveis (sem
febre)?
R: Usando as informações já obtidas, tem-se: são 495 escolhas posśıveis para selecionar 4 pacientes
na sala espera. Entre essas, 45 escolhas têm 2 pacientes com febre, 240 escolhas têm apenas 1
paciente com febre. Subtraindo, tem-se
495 − 240 − 45 = 210
escolhas com os 4 pacientes saudáveis.
Outra maneira de resolver: o número de escolhas de 4 pacientes bons no conjunto de 10 pacientes
sem febre é
C(10, 4) = 10!4!6! =
10.9.8.7.6!
6!(24) =
10.9.8.7
24 = 210.
Questão 5 [2,0 pt] Quantos inteiros entre 1 e 1000 são diviśıveis por 3 ou 5?
R: Definem-se:
A: conjunto dos inteiros entre 1 e 1000 que são diviśıveis por 3.
B: conjunto dos inteiros entre 1 e 1000 que são diviśıveis por 5.
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Introdução à combinatória de contagem AP1 3
Deseja-se calcular |A ∪ B|. Assim, tem-se
|A| =
[1000
3
]
= 333,
sendo [ ] = a parte inteira.
|B| =
[1000
5
]
= 200
|A ∩ B| =
[1000
15
]
= 66,
pois A∩B é o conjunto dos inteiros entre 1 e 1000 que são diviśıveis por 3 e 5, ou seja, são diviśıveis
por 15.
Assim, pelo Prinćıpio da Inclusão-Exclusão, tem-se
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
= 333 + 200 − 66
= 467
Portanto, há 467 números inteiros entre 1 e 1000 diviśıveis por 3 ou 5.
Questão 6 [2,0 pt] De quantas maneiras 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de
ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?
R: Primeiramente, pode-se formar uma roda com os homens de (PC)6 = 5! maneiras. Depois,
deve-se escolher um dos 6 espaços entre os homens (o que pode ser feitos de 6 maneiras diferentes)
para, em seguida, alocar todas as muheres. Por fim, deve-se decidir em que ordem as 5 mulheres
se colocarão nesse espaço, pois há 5! formas distintas de ordenar essas mulheres. Portanto, há
5! × 6 × 5! = 120 × 6 × 120 = 86.400 maneiras de 5 mulheres e 6 homens formarem um roda de
ciranda permitindo que as mulheres permaneçam juntas.
Questão 7 [2,0 pt] Determine a expansão de (a − 1)4 a partir do Teorema Binomial.
R: Observa-se que é posśıvel tratar o caso geral (x − y)n como (x + (−y))n. Nesse caso, pelo
Teorema Binomial, tem-se que
(a − 1)4 = C(4, 0)a4 + C(4, 1)a3(−1)1 + C(4, 2)a2(−1)2 + C(4, 3)a1(−1)3 + C(4, 4)(−1)4
= a4 + 4a3(−1) + 6a2(1) + 4a(−1) + 1
= a4 − 4a3 + 6a2 − 4a + 1.
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