Cálculo I - Oncina

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CÁ
LCULO I
Luis Oncina
2015-2016
GRADO EN FÍSICA
Departamento de Matemáticas
Introducción
E l objetivo de estos apuntes de Cálculo I es el de fundamentar y ampliar los conocimientos sobre
funciones reales de una variable real adquiridos por el alumno en Bachillerato. Estas notas están pensadas
para los alumnos de Cálculo I del Grado en F́ısica de la Universidad de Murcia.
D urante el curso usaremos el programa de cálculo simbólico Maxima que puede descargarse pin-
chando en el siguiente enlace http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/. Mi intención es usar Ma-
xima para ayudarnos a aprender Cálculo; no al contrario. En algunos casos el código Maxima emplea-
do en un ejemplo quizás no sea el más directo. La idea es trasladar nuestros razonamientos matemáticos
al código para facilitarnos las cuentas. Podéis copiar y pegar el código (azul) de Maxima que aparece
en los apuntes. Solamente el apóstrofe da problemas al pegar: borrar y teclearlo en la consola de Ma-
xima . Para aprender más comandos de Maxima podeis descargar, por ejemplo, las siguientes prácticas
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf. Por supuesto, más infor-
mación a través de www.google.es.
L os apuntes están divididos en cuatro partes.
Caṕıtulos 1-6. Son los apuntes propiamente dichos. En ellos presentamos el desarrollo teórico de la asigna-
tura, junto con una gran cantidad de ejercicios resueltos que ayudarán al alumno a adquirir habilidades
de cálculo aśı como a entender mejor el armazón teórico en el que se fundamenta el cálculo de las fun-
ciones reales de una variable.
En muchos casos, damos en el propio texto la demostración de los resultados enunciados. En otros,
dichas pruebas las ponemos en el apéndice C como complemento. De esta forma, conseguimos que los
apuntes sean auto contenidos.
Cuando en el texto aparezca el siguiente śımbolo detrás de un teorema, pinchando sobre él iremos a la
prueba.
Una vez léıda la demostración podemos volver donde nos hab́ıamos quedado sin más que pinchar en
Apéndice A: Complementos. En este apéndice he puesto las demostraciones de los resultados que explico
y que no aparecen en el propio texto. ¿Por qué las demostraciones en unos apuntes de Cálculo? A veces,
surge algún alumno que no se contenta con aprender una fórmula o un enunciado de un teorema y
quiere ver cómo y por qué dicho resultado es cierto. Para este tipo de alumno incluyo las pruebas.
Apéndice B: Ampliación. En la ampliación he tocado dos temas que por falta de tiempo no se pueden
contar en clase. Primero una breve introducción al cuerpo de los números complejos para poder pre-
sentar la función exponencial compleja (es lo que sigue de forma natural al caṕıtulo sobre series de
http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf
www.google.es
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potencias). Esta función nos permite definir de forma rigurosa las funciones trigonométricas reales que
el alumno conoce bien: el seno y el coseno.
Por otro lado presentamos la noción de convergencia para sucesiones de funciones. Este estudio nos
permite demostrar los resultados importantes sobre series de potencias que no probamos en el caṕıtulo
correspondiente.
Apéndice C: Autoevaluación. Al final de cada caṕıtulo hay unos ejercicios de autoevaluación. En el
apéndice C están escritas las soluciones de dichos ejercicios. La idea es que una vez completado el
caṕıtulo y sus ejercicios, el alumno pueda practicar un poco más y comprobar qué sabe hacer y dónde
tiene dudas.
E l material que aparece en estos apuntes no sale de un libro. A lo largo de los años se consulta mucha
bibliograf́ıa y con el paso del tiempo es dif́ıcil recordar donde se leyó cada cosa. Recomiendo a continuación
varios libros que se pueden consultar y que en algunos casos aportan distintos puntos de vista sobre un
mismo tema. Si tuviera que elegir de entre los siguientes un libro de referencia este seŕıa el número 6.
1. T. M. Apostol, Análisis Matemático, Reverté, Barcelona, 1991.
2. B. Cascales, J. M. Mira y S. Sánchez-Pedreño, Análisis Matemático I, http://ocw.um.es/ciencias/
analisis-matematico-i-2009.
3. B. P. Demidóvich, 5.000 problemas de Análisis Matemático, Paraninfo, Madrid, 1985.
4. J. A Fernández Viña y E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I, Tecnos,
Madrid, 1986.
5. J. M. Ortega, Introducción al Análisis Matemático, Ed. Labor, 1993.
6. J. Rogawski, Cálculo. Una variable, segunda edición original, Ed. Reverté, Barcelona, 2012.
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i-2009
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i-2009
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Contenidos
1. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. La necesidad de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Definición axiomática de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. N,Z,Q como subconjuntos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Los números naturales. Principio de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Enteros, racionales. Otras propiedades de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Propiedades de densidad en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1. Ráıces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2. Representación decimal de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3. Ráıces n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1. Ĺımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2. Sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2. Potencias de exponente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1. Exponente entero y racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2. Exponente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.3. La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3. Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1. Ĺımite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1. Teoremas de Weierstrass y Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2. La propiedad de los valores intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3. Función inversa. Continuidad y monotońıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1. Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.1. El teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2. Extremos de funciones. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
iv
4.2.2. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3. Desarrollos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.1. El resto de Landau: desarrollos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3.2. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5. Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1. Definición de Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2. Caracterización de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.2.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4. Cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.1. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.4.2. Primitivas de Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3. Primitivas de Funciones que contienen cos x y sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.4. Primitivas de Funciones de la forma f(ex) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.5. Primitivas de funciones que contienen
√
ax2 + 2bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5.1. Cálculo de áreas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.5.2. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.3. Sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5.4. Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.6.2. Funciones no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.6.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6. Series numéricas y de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1.1. Series de términos no negativos. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.2. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.3. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1. Pruebas del Caṕıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1.1. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1.2. Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.1.3. Potencias de base real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
A.1.4. La raiz cuadrada de dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
A.2. Pruebas del Caṕıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.2.1. Álgebra de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.2.2. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.2.3. Subsucesiones convergentes y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.2.4. Exponencial racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.2.5. Exponencial real y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
A.2.6. La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A.2.7. Tamaños de infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.2.8. Criterios de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
A.3. Pruebas del Caṕıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.3.1. Propiedades de otras funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.3.2. Resolución numérica de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
A.3.3. Continuidad de senx/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.3.4. Teorema de la función inversa: continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.4. Pruebas del Caṕıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.4.1. Teorema de la función inversa: derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.4.2. Tabla de funciones derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
A.4.3. Monotońıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
A.4.4. Reglade L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.4.5. El polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.4.6. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.4.7. El método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.5. Pruebas del Caṕıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
A.5.1. Primeros ejemplos de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
A.5.2. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.5.3. Producto de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
A.5.4. Las funciones integrables tienen puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.5.5. El teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.5.6. Cálculo de algunas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.6. Pruebas del Caṕıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.6.1. La serie armónica es divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.6.2. Convergencia incondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B. Ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.1. El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.2. La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
B.2.1. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
B.3. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
B.4. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
C. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
C.1. Autoevaluación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
C.2. Autoevaluación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
C.3. Autoevaluación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
C.4. Autoevaluación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
C.5. Autoevaluación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
C.6. Autoevaluación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
1 Los númerosreales
1.1. La necesidad de los números reales
Todos conocemos los números naturales: N := {1, 2, 3, . . .} y los usamos para contar objetos. El número
cero (que no lo consideramos un número natural) también lo manejamos (al sumarle cero a cualquier número
natural, éste no cambia). Bien pronto aprendemos a sumarlos y multiplicarlos y también, como no, a restarlos.
Aqúı comenzamos a tener problemas.
Si n,m son números naturales de forma que m > n entonces no tiene sentido la diferencia n−m.
Nota.
Creamos aśı otro conjunto de números, los enteros, Z := {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} donde esta ope-
ración tiene sentido. En este conjunto el cero también tiene una propiedad interesante: si n ∈ N entonces
n+ (−n) = 0.
Con este conjunto, podemos resolver ecuaciones del tipo x+ a = b donde a, b ∈ Z y la solución vuelve a
ser un número entero.
Nos planteamos ahora resolver la ecuación 2x = 1. Por desgracia esta ecuación no se puede resolver en
Z, es decir,
No existe ningún número entero x tal que 2x = 1.
Nota.
Este problema lo resolvemos con los números racionales Q := {m · 1n : n ∈ N,m ∈ Z} donde
1
n es
precisamente la solución de la ecuación nx = 1. También conocemos los racionales; los sabemos sumar, restar,
multiplicar y dividir (aqúı la división no tiene problemas). Habitualmente denotamos por mn al número m ·
1
n .
Con los racionales ya podemos hacer bastantes cosas. Por ejemplo podemos medir longitudes; pero ¿po-
demos medir cualquier longitud? La respuesta es no.
El teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos. Si tomamos por el ejemplo el triángulo cuyos catetos tienen longitud
uno, tendremos que la hipotenusa cumple h2 = 1 + 1 = 2. Es conocido por todos que la longitud de h es
mayor que la longitud de cualquiera de los catetos, pero ¿quién o qué es h?. El siguiente resultado muestra
que h no es un número racional.
7
1.2 Definición axiomática de R 8 Caṕıtulo 1
No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Proposición 1.
Prueba:
Supongamos que existen p, q ∈ N tales que
p2
q2
= 2.
Podemos suponer además que la fracción p/q es irreducible (es decir, que no se puede expresar como un
cociente p′/q′ con p′ < p y q′ < q). De p2 = 2q2 se obtiene que p es un número par, es decir, existe k ∈ N tal
que p = 2k. Efectivamente, si fuera p un número impar, es decir, p = 2m+ 1 para algún m ∈ N tendŕıamos
que
p2 = (2m+ 1)2 = 4m2 + 4m+ 1 = 2(2m2 + 2m) + 1
seŕıa impar lo cual no es cierto.
Sustituyendo este valor de p tenemos que 4k2 = 2q2 de donde obtenemos que q2 = 2k2 y por tanto que q ha
de ser par también. Esto contradice el hecho de que p/q es irreducible.
Fin de la prueba
Vemos aśı que una ecuación tan sencilla como x2 = 2 no tiene solución en los números racionales. Creamos
aśı el conjunto de los números reales R donde si podemos resolver esta ecuación (las ecuaciones formadas
por un polinomio igualado a cero se conocen como algebraicas). Pero en este nuevo conjunto aparecerán
números que no son soluciones de ecuaciones de este tipo. Dos números conocidos por todos cumplen esto
último: π, e.
¿Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en R? La respuesta es no y un ejemplo sencillo nos lo
da la ecuación x2 + 1 = 0. Para resolverla necesitaremos otro conjunto de números: los complejos C... pero
esto es otra historia.
La construcción que vamos a hacer a continuación sigue el camino contrario al que hemos presentado
hasta ahora. Definiremos los números reales y veremos como los naturales, los enteros y los racionales están
en este conjunto que hemos definido.
1.2. Definición axiomática de R
Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo al que denotaremos por R.
Axioma (El cuerpo de los números reales).
¿Qué significa cada cosa en el axioma?
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 9 Caṕıtulo 1
Significa que hay dos operaciones internas en R, + : R×R→ R, · : R×R→ R llamadas suma y
producto que cumplen las siguientes propiedades:
1. x+ (y + z) = (x+ y) + z para todo x, y, z ∈ R (asociativa),
2. x+ y = y + x para todo x, y ∈ R (conmutativa),
3. existe un elemento en R denotado con 0 con la propiedad de que x+ 0 = x para todo x ∈ R
(elemento neutro de la suma),
4. para cada x ∈ R existe x′ ∈ R con la propiedad de que x + x′ = 0, dicho x′ se denota con
−x (elemento opuesto),
5. x · (y · z) = (x · y) · z para todo x, y, z ∈ R (asociativa),
6. x · y = y · x para todo x, y ∈ R (conmutativa),
7. existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 · x = x
para todo x ∈ R (elemento neutro del producto),
8. para cada x ∈ R con x 6= 0 existe x′′ ∈ R con la propiedad de que x · x′′ = 1, dicho x′′ se
denota con 1
x
(elemento inverso),
9. (x+ y) · z = x · z + y · zpara todo x, y, z ∈ R (distributiva).
Definición 1 (Cuerpo).
(El śımbolo ∈ es el de pertenencia de conjuntos, es decir, x ∈ R significa que x es un elemento de R).
Los neutros de la suma y el producto son únicos. Los elementos opuesto e inverso son únicos.
Proposición 2.
Prueba:
Entre paréntesis ponemos la propiedad que usamos para pasar de un lado a otro de la igualdad.
Comencemos con el neutro de la suma. Si existiera α ∈ R tal que x + α = x para todo x ∈ R tenemos, en
particular, por un lado que 0 + α = α pero por otro lado 0 + α = 0 por tanto α = 0.
El opuesto es único. Dado x ∈ R si existiera x′′ ∈ R tal que x+x′′(∗)=0 sumando en ambos lados −x tenemos
−x+ (x+ x′′) (1)= (−x+ x) + x′′ (4)= 0 + x′′ (3)= x′′(∗)=0 + (−x) (3)= −x
La unicidad para el producto se hace de forma similar.
Fin de la prueba
Maxima conoce las operaciones algebraicas
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 10 Caṕıtulo 1
Asociativa de la suma
(%i1) x+(y+z);
(x+y)+z;
( %o1) z + y + x
( %o2) z + y + x
0 es el elemento neutro de la suma
(%i3) x+0;
( %o3) x
Buscamos el número real y que al sumar a x da como resultado cero. El comando solve nos ayuda a
resolver ecuaciones (hay que indicar quien es la variable a despejar)
(%i4) solve(x+y=0,y);
( %o4) [y = −x]
Asociativa del producto
(%i5) x*(y*z);
(x*y)*z;
( %o5) x y z
( %o6) x y z
1 es el elemento neutro del producto
(%i7) 1*x;
( %o7) x
Buscamos el inverso del número x.
(%i8) solve(x*y=1,y);
( %o8) [y =
1
x
]
Distributiva
(%i9) (x+y)*z;
( %o9) (y + x) z
Le pedimos que haga la multiplicación. Aplicar un comando al % significa aplicar dicho comando al último
resultado obtenido.
(%i10) expand(%);
( %o10) y z + x z
(%i11) x*z+y*z;
( %o11) y z + x z
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 11 Caṕıtulo 1
Vamos a sacar factor común.
(%i12) factor(%);
( %o12) (y + x) z
Claro, también podemos comprobarlo aśı.
(%i13) compare((x+y)*z,x*z+y*z);
( %o13) =
Significa que existe una relación binaria denotada con ≤ con las siguientes propiedades:
10. x ≤ x para todo x ∈ R (reflexiva),
11. x ≤ y e y ≤ x implican x = y (antisimétrica),
12. x ≤ y e y ≤ z implican x ≤ z para todo x, y, z ∈ R (transitiva),
13. para cada dos elementos x, y ∈ R se cumple una de las dos relaciones: x ≤ y ó y ≤ x,
14. x ≤ y implica x+ z ≤ y + z para todo x, y, z ∈ R,
15. x ≤ y y 0 ≤ z implica x · z ≤ y · z para todo x, y, z ∈ R.
Definición 2 (Totalmente ordenado).
Maxima sabe manejar desigualdades. Comenzamos cargando el paquete ineq
(%i1) load(ineq);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/simplification/ineq.mac
La propiedad 15.
(%i2) z*(x<=y);
Is z positive, negative or zero?positive;
( %o2) x z <= y z
La propiedad 14.
(%i3) z+(x<=y);
( %o3) z + x <= z + y
La propiedad transitiva.
(%i4) assume(x<=y and y<=z);
( %o4) [y >= x, z >= y]
(%i5) is(x<=z);
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 12 Caṕıtulo 1
( %o5) true
(%i6) assume(y<=x);
( %o6) [x >= y]
(%i7) is(x=y);
( %o7) false
Con la propiedad antisimétrica tiene problemas. Pero hay otra forma de resolverlo.
(%i8) is(equal(x,y));
( %o8) true
Las propiedades 10–12 son la definición de orden; 13, relación de orden total; 14–15, compatibilidad con
las operaciones del cuerpo.
Significa que satisface el siguiente:
16. Axioma del supremo: todo subconjunto no vaćıo de R acotado superiormente tiene supremo.
Definición 3 (Completo).
Un conjunto no vaćıo A ⊂ R se dice que está acotado superiormente si existe M ∈ R tal que
a ≤M para todo a ∈ A.
Si A está acotado superiormente, el número α ∈ R se dice que es el supremo de A, y lo denotaremos
α = supA si α es la menor cota superior de A, es decir,
a ≤ α para todo a ∈ A y si β ∈ R con a ≤ β para todo a ∈ A entonces se cumple α ≤ β.
Definición 4.
La relación x ≥ y significa, por definición, lo mismo que y ≤ x. Y si x ≤ y siendo x 6= y entonces
escribiremos x < y o, indistintamente, y > x. En lo sucesivo, por comodidad de notación, el producto x · y
se escribirá como xy. Si x > 0 diremos que x es positivo, mientras que si x < 0 diremos que x es negativo.
En lo que sigue dados a, b ∈ R denotaremos por a− b := a+ (−b).
A continuación vamos a ver algunas de las propiedades que se pueden deducir de los axiomas de R.
1. a · 0 = 0 para todo a ∈ R. 2. a = b ⇔ a− b = 0.
3. (−1)a = −a y por tanto (−a)b = −(ab). 4. c < 0 ⇔ −c > 0.
5. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a+ c ≤ b+ d. 6. a ≤ b⇔ −a ≥ −b.
7. a ≤ b y c < 0 ⇔ ac ≥ bc. 8. aa ≥ 0 y por tanto 1 > 0.
9. a > 0⇒ 1
a
> 0. 10. a ≥ b > 0⇔ 1
a
≤ 1
b
.
Proposición 3 (Propiedades).
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 13 Caṕıtulo 1
Maxima es capaz de operar de forma simbólica. Comprobamos las propiedades anteriores.
Las demostraciones rigurosas en la sección de pruebas.
(%i1) load(ineq);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/simplification/ineq.mac
Propiedad 1
(%i2) a*0;
( %o2) 0
Propiedad 2
(%i3) -b+(a=b);
( %o3) a− b = 0
Propiedad 3
(%i4) -1*a;
( %o4) − a
Propiedad 4
(%i5) assume(c<0);
( %o5) [c < 0]
(%i6) is(-c>0);
( %o6) true
Propiedad 5
(%i7) (a<=b)+(c<=d);
( %o7) c+ a <= d+ b
Propiedad 6
(%i8) -a+(a<=b);
( %o8) 0 <= b− a
(%i9) -b+%;
( %o9) − b <= −a
Propiedad 7
(%i10) c*(a<=b);
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 14 Caṕıtulo 1
( %o10) a c >= b c
Propiedad 8
(%i11) is(a^2>=0);
( %o11) true
Propiedad 9
(%i12) assume(a>0);
( %o12) [a > 0]
(%i13) is(1/a>0);
( %o13) true
Propiedad 10
(%i14) assume(b>0);
( %o14) [b > 0]
(%i15) 1/a*(a>=b);
( %o15) 1 >=
b
a
(%i16) 1/b*%;
( %o16)
1
b
>=
1
a
Dado a ∈ R al número real a · a lo denotaremos por a2.
Nota.
Un conjunto no vaćıo A ⊂ R se dice que está acotado inferiormente si existe α ∈ R tal que α ≤ a
para todo a ∈ A.
Definición 5.
Sea A ⊂ R no vaćıo acotado inferiormente. Existe el ı́nfimo de A, es decir, existe α := ı́nf A tal
que si β ≤ a para todo a ∈ A se tiene β ≤ α.
Proposición 4.
Prueba:
Si A está acotado inferiormente por β, entonces −A := {−a : a ∈ A} está acotado superiormente por −β
(como β ≤ a para todo a ∈ A entonces −β ≥ −a para todo a ∈ A) y si α es el supremo de −A es inmediato
que −α es el ı́nfimo de A.
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 15 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
1.2.1. Valor absoluto
La estructura de cuerpo conmutativo totalmente ordenado lleva asociada la nociones de valor absoluto y
de ((distancia)).
Para cada x ∈ R se define el valor absoluto |x| := x si x ≥ 0 y |x| = −x si x ≤ 0.
Definición 6.
Para cada par de elementos x, y de R se cumplen:
1. |x| = | − x| ≥ 0 y |x| > 0 si x 6= 0. 2. |x| = máx{x,−x}.
3. |x · y| = |x| · |y|. 4. | 1
x
| = 1|x| .
5. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 6. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular).
7. ||x| − |y|| ≤ |x− y|
Proposición 5.
Las primeras se demuestran según sean los números positivos o negativos. La desigualdad triangular se
deduce de 5. y 7. de la desigualdad triangular.
Comprobamos con Maxima las propiedades.
(%i1) plot2d(abs(x),[x,-2,2]);
( %o1)
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
abs(x)
x
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 16 Caṕıtulo 1
Propiedad 1
(%i2) is(abs(x)=abs(-x));
( %o2) true
Propiedad 3
(%i3) abs(x*y);
( %o3) |x| |y|
Propiedad 4
(%i4) abs(1/x);
( %o4)
1
|x|
Propiedad 5
(%i5) assume(a>0);
( %o5) [a > 0]
(%i6) assume(abs(x)<=a);
( %o6) [a >= |x|]
(%i7) is(x<=a);
( %o7) true
(%i8) is(x>=-a);
( %o8) true
(%i9) compare(a,x);
( %o9) >=
(%i10) compare(-a,x);
( %o10) <=
(%i11) forget(a>0);
( %o11) [a > 0]
(%i12) forget(abs(x)<=a);
( %o12) [a >= |x|]
Lo vamos a hacer de otra forma. Cargamos el siguiente paquete. Con él podemos intentar resolver
inecuaciones.
(%i13) load(fourier_elim);
( %o13) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/fourier elim/fourier elim.lisp
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 17Caṕıtulo 1
(%i14) fourier_elim(abs(x)<=a,[x,a]);
( %o14) [x = 0, a = 0] ∨ [x = a, 0 < a] ∨ [x = −a, 0 < a] ∨ [−a < x, x < a, 0 < a]
Qué significan estos resultado: Por ejemplo [x = a, 0 < a] quiere decir que es cierto si x = a y a > 0. El
signo ∨ es la unión de conjuntos y lo podemos leer como o. El que nos interesa es el último [−a < x, x <
a, 0 < a]: cierto para −a < x < a y a > 0.
Propiedad 6. La desigualdad triangular
(%i15) is(abs(x+y)<=abs(x)+abs(y));
( %o15)unknown
No es de extrañar. Intentamos resolver con fourier elim
(%i16) fourier_elim(abs(x+y)<=abs(x)+abs(y),[x,y]);
( %o16) [x = 0, y = 0] ∨ [y = 0, 0 < x] ∨ [x = 0, 0 < y] ∨ [0 < x, 0 < y] ∨ [x < 0, y < 0] ∨ [x = 0, y < 0]
∨ [y = 0, x < 0] ∨ [x < −y, 0 < y] ∨ [0 < x, x < −y, y < 0] ∨ [x = −y, 0 < y] ∨ [−y < x, x < 0, 0 < y]
∨ [x = −y, y < 0] ∨ [−y < x, y < 0]
Hay que leer los resultados: con paciencia uno se da cuenta que todas las posibilidades para x e y están
cubiertas.
Propiedad 8
(%i17) is(abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y));
( %o17)unknown
(%i18) fourier_elim(abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y),[x,y]);
( %o18) [y < x, x < 0, y < 0]∨ [x = 0, y < 0]∨ [x = 0, y = 0]∨ [x = y, 0 < y]∨ [x = y, y < 0]∨ [x = 0, 0 < y]
∨ [0 < x, x < y, 0 < y] ∨ [y = 0, 0 < x] ∨ [y < x, 0 < y] ∨ [x < y, y < 0] ∨ [y = 0, x < 0] ∨ [x < −y, 0 < y]
∨ [−y < x, y < 0] ∨ [x = −y, 0 < y] ∨ [−y < x, x < 0, 0 < y] ∨ [x = −y, y < 0] ∨ [0 < x, x < −y, y < 0]
También aqúı todas las posibilidades están cubiertas. Compruébalo.
A la propiedad 6 se la conoce con el nombre de desigualdad triangular. Este nombre proviene de la
propiedad que tienen los triángulos de que la longitud de cualquier lado es menor que la suma de las de los
otros dos lados. Aśı, si X,Y, Z son los tres vértices del triángulo
l(XY ) ≤ l(XZ) + l(ZY )
siendo l(AB) la longitud del segmento AB.
Resolver la siguiente inecuación |x+ 1|+ |x− 1| ≤ 4.
Ejemplo 1.
Solución:
Se trata de encontrar aquellos números reales x que satisfacen la inecuación dada. Para poder resolverla hay
que “quitar” el valor absoluto. Para ello procedemos de la siguiente forma.
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 18 Caṕıtulo 1
Si x− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 1 tenemos que x+ 1 > 0 y por lo tanto la inecuación queda
(x+ 1) + (x− 1) ≤ 4⇔ 2x ≤ 4⇔ x ≤ 2
Luego si x ≥ 1 los números reales que cumplen x ≤ 2 son solución. Esto lo podemos resumir diciendo
si x ∈ [1, 2] entonces satisface la inecuación. Recordad que el intervalo cerrado [1, 2] := {y ∈ R : 1 ≤
y ≤ 2}.
Si x − 1 < 0 ⇔ x < 1 es |x − 1| = −(x − 1). Si además es x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 tenemos que la
inecuación queda
(x+ 1)− (x− 1) ≤ 4⇔ 2 ≤ 4
lo cual es cierto. Esto nos dice que si x < 1 cualquier x ∈ R que sea x ≥ −1 satisface la inecuación.
Esto lo resumimos diciendo que si x ∈ [−1, 1) entonces es solución.
Finalmente, si x + 1 < 0 ⇔ x < −1 es |x + 1| = −(x + 1) y |x − 1| = −(x − 1). Sustituyendo la
inecuación queda
−(x+ 1)− (x− 1) ≤ 4⇔ −2x ≤ 4⇔ 2x ≥ −4⇔ x ≥ −2
Lo cual sucede cuando x ∈ [−2,−1).
Repasando ahora los tres apartados concluimos que x ∈ R es solución de la inecuación si
x ∈ [−2,−1) ∪ [−1, 1) ∪ [1, 2] = [−2, 2] 1
Maxima nos puede ayudar a resolver este tipo de problemas. Vamos a dibujar la función
f(x) = |x+ 1|+ |x− 1| y la recta y = 4 para ver dónde la gráfica de la función queda por debajo
de la recta.
(%i1) f:abs(x+1)+abs(x-1);
( %o1) |x+ 1|+ |x− 1|
(%i2) wxplot2d([f,4],[x,-4,4],[y,0,8]);
( %o2)
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
abs(x+1)+abs(x-1)
4
1Recordad que si A y B son dos conjuntos de R, se define la unión de ambos A ∪ B = {x ∈ R : x ∈ A o x ∈ B} y la
intersección como A ∩B = {x ∈ R : x ∈ A y x ∈ B}
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 19 Caṕıtulo 1
Es claro que solo para valores de x entre -2 y 2 la función está por debajo de y = 4. Ese es precisamente el
conjunto [−2, 2]. Notad que en x = −2 y en x = 2 se da la igualdad f(−2) = f(2) = 4.Maxima tiene un
comando que nos permite resolver desigualdades.
(%i3) load(fourier_elim);
( %o3) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0/share/maxima/5.30.0/share/fourier elim/fourier elim.lisp
(%i4) fourier_elim([abs(x+1)+abs(x-1)<=4],[x]);
( %o4) [x = 2] ∨ [x = −2] ∨ [−2 < x, x < −1] ∨ [x = −1] ∨ [−1 < x, x < 1] ∨ [x = 1] ∨ [1 < x, x < 2]
Ahora hay que leer los resultados y entenderlos:
[x = 2],[x = −2], [x = −1], [x = 1] dice que los números son solución.
[−2<x, x< − 1] es el intervalo abierto (-2,-1); [−1<x, x<1] es (−1, 1); [1<x, x<2] es (1, 2). La unión de todos
ellos es [−2, 2].
Fin de la solución
1. Decir si son ciertas o falsas cada una de las afirmaciones siguientes sobre números reales:
a) Si x < y + ε para todo ε > 0, entonces x ≤ y b) Si x < y, z < w entonces xz < yw
c) (x+ y)2 = 0⇔ x = y = 0 d) x2 + y2 = 0⇔ x = y = 0
e) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0 f) Si 0 < ε < 1 entonces ε2 < ε
2. Hallar todos los valores reales de x que cumplen las siguientes desigualdades:
(i)x2 > x, (ii) 2
3
(4x− 6) + 1
2
(3x+ 2) ≤ 3
4
(2x− 7), (iii)x2 − 5x+ 4 ≤ 0,
(iv) |x2 − x|+ x > 1, (v) 5 < |2x− 7| < 35 (vi) 2x−1
3x+2
≤ 1
3. Desarrollar las siguientes expresiones hasta que desaparezcan todos los paréntesis, simplifi-
cando el resultado:
(i) x2 − (3x(x2 − 2)− 2x2(x+ 1)).
(ii) 4a((1− a)2a2 + (3a+ 1)3a2).
(iii) 5a(4a− 2(3a− 4b) + 5(4a− 3b)).
(iv) −4x(2x2 + 3x((x− 1)− 5(x− 2))).
4. Sea B ⊂ R un conjunto no vaćıo acotado superiormente y sea b = supB. Entonces para
cualquier a ∈ R, con a < b, existe x ∈ B tal que a < x ≤ b.
5. Sean A y B dos subconjuntos no vaćıos de R. Probar:
(i) Si A ⊂ B entonces supA ≤ supB e ı́nf A ≥ ı́nf B.
(ii) Si a ≤ b para cualesquiera a ∈ A y b ∈ B entonces: supA ≤ supB e ı́nf A ≤ ı́nf B.
Ejercicios 1.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 20 Caṕıtulo 1
1.3. N,Z,Q como subconjuntos de R
1.3.1. Los números naturales. Principio de inducción
Un conjunto de I ⊂ R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 1 ∈ I y si x ∈ I
entonces x+ 1 ∈ I.
Definición 7.
Claramente R es un conjunto inductivo (ya que la suma de dos números reales vuelve a ser un número
real). Aśı pues la colección de los subconjuntos inductivos de R es no vaćıa y, por tanto tiene sentido la
siguiente definición.
Se llama conjunto de los números naturales y se denota con N al siguiente conjunto
N :=
⋂
{I : donde I es un conjunto inductivo de R}.
Definición 8.
N es un conjunto inductivo, y por su propia definición, es el menor conjunto inductivo de R.
Proposición 6.
Prueba:
X N es inductivo. Es claro, por definición, que si I ⊂ R es un conjunto inductivo cualquiera entonces 1 ∈ I.
Por lo tanto 1 ∈ N (por estar en todos los conjuntos de la intersección).
Ahora, si n ∈ N, tenemos que n ∈ I para cualquier conjunto I inductivo. Por tanto, n+1 ∈ I para cualquier
I inductivo lo que nos permite concluir que n+ 1 ∈ N por ser la intersección de todos ellos.
X N es el menor conjunto inductivo contenido en R. Supongamos que A ⊂ N es inductivo. Como A ⊂ R,
por la propia definición de N si x ∈ N, x pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R. En particular,
x ∈ A, con lo que hemos probado que N = A.
Fin de la prueba
Como consecuencia N viene caracterizado por la siguiente propiedad.
Cualquier subconjunto S ⊂ N que satisfaga las siguientes propiedades
(X) 1 ∈ S,
(XX) Si n ∈ S entonces n+ 1 ∈ S,
verifica que S = N.
Corolario 7 (Método de inducción).
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 21 Caṕıtulo 1
Por cierto, los primeros números naturales se denotan de la siguiente manera:
1, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, 4 := 3 + 1, . . .
Notad que 1 ∈ N y, como N es inductivo, resulta que 1+1 ∈ N y le llamamos 2 y aśı sucesivamente.
Por inducción describimos todos los naturales.
Nota.
A veces sucede que una cierta propiedad P (n) no se cumple para 1, 2, . . . ,m pero queremos
probar que si se satisface para cualquier número natural n > m. ¿Nos puede ayudar el principio
de inducción para probar que la propiedad se cumplepara todo natural n > m?. La respuesta es
si y vamos a ver cómo hacerlo.
Nota.
Prueba:
Supongamos que se cumple P (m + 1) y que si suponemos que se satisface P (n) para algún n > m somos
capaces de probar que también se cumple P (n+ 1). Entonces definimos el conjunto
S = {1, 2, . . . ,m} ∪ {n ∈ N : se cumple P (n)}
El conjunto S es inductivo. Es claro que 1 ∈ S. Si suponemos que un cierto natural k ∈ S entonces k+1 ∈ S
ya que si 1 ≤ k < m entonces 1 ≤ k + 1 ≤ m mientras que si k ≥ m tenemos que k + 1 ≥ m + 1 pero
suponemos que se cumple P (k + 1).
Por lo tanto S = N luego {n ∈ N : se cumple P (n)} = {n ∈ N : n > m}.
Fin de la prueba
Potencias de exponente natural
Sea x ∈ R, definimos x1 := x.
Supongamos que para un cierto número natural n ≥ 1 hemos definido xn entonces definimos
xn+1 := xn · x
El método de inducción nos permite pues definir la potencia natural de cualquier número real.
Definición 9.
A continuación enumeramos las propiedades, por todos conocidas, que tienen las potencias con números
naturales. Siendo rigurosos, para poder escribir los apartados 1. y 3. de la siguiente proposición, hemos de
probar previamente que dados dos números naturales cualesquiera n,m son n+m y n ·m de nuevo números
naturales. Esto lo haremos en los complementos.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 22 Caṕıtulo 1
Si a, b ∈ R y n,m ∈ N se cumplen las siguientes propiedades.
1. an+m = anam 2. (ab)n = anbn
3. (an)m = anm 4. Si 0 < a < b entonces an < bn
5. Si a > 1 y n < m, entonces an < am 6. Si 0 < a < 1 y n < m, entonces an > am.
Proposición 8.
Demostraciones por inducción
Usando el método de inducción, demostrar que se verifica la siguiente igualdad para cualquier
número natural n.
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Ejemplo 2.
Solución:
¿En primer lugar, cómo averiguamos una fórmula como esta? Bueno, hay varias formas, pero vamos a pedirle
a Maxima que la calcule.
Cargando primero el paquete simplify sum el comando con el mismo nombre nos simplifica
la suma.
(%i1) S[n]:=sum(k,k,1,n);
( %o1) Sn :=
n∑
k=1
k
(%i2) load(simplify_sum);
( %o2) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,24,0/share/contrib/solve rec/
simplify sum.mac
(%i3) simplify_sum(S[n]);
( %o3)
n2 + n
2
Vamos a probar ahora, usando el método de inducción, que la fórmula es cierta.
Sea S := {n ∈ N : n verifica la fórmula del enunciado}. Comprobamos en primer lugar que 1 ∈ S.
1∑
k=1
k = 1
?
=
1(1 + 1)
2
= 1 se cumple la fórmula
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 23 Caṕıtulo 1
Supongamos ahora que un cierto número natural n cumple la fórmula del enunciado, es decir, n ∈ S (hipótesis
de inducción, H. I.), tenemos que probar que entonces n+ 1 ∈ S.
n+1∑
k=1
k =(n+ 1) +
n∑
k=1
k
(H.I.)
= (n+ 1) +
n(n+ 1)
2
=
2(n+ 1) + n(n+ 1)
2
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
=
=
(n+ 1)((n+ 1) + 1)
2
⇒ (n+ 1) ∈ S
El método de inducción nos asegura que S = N, es decir, la fórmula se cumple para cualquier número natural.
Fin de la solución
Demostrar que 4n > n2 para cualquier número natural n.
Ejemplo 3.
Solución:
Vamos a comprobar con Maxima que la desigualdad puede ser cierta.
Para ello sustituiremos valores en 4n y n2 y veremos que se cumple.
(%i1) a[n]:=4^n;
b[n]:=n^2;
( %o1) an := 4
n
( %o2) bn := n
2
(%i3) makelist([a[n],b[n]],n,1,9);
( %o3) [[4, 1], [16, 4], [64, 9], [256, 16], [1024, 25], [4096, 36], [16384, 49], [65536, 64], [262144, 81]]
Ahora lo demostramos. Sea S := {n ∈ N : 4n > n2}. En primer lugar, 1 ∈ S ya que 41 = 4 > 12 = 1.
Podemos preguntarnos si en verdad es 4 > 1. Claro, hay que probarlo ya que de números concretos sabemos,
por ejemplo, que 1 > 0. Aśı que podemos usar el siguiente razonamiento:
1 > 0⇒ 1 + 1 > 0 + 1⇔ 2 > 1⇒ 3 > 2 > 1⇒ 4 > 1
(usando la transitividad del orden y la compatibilidad del orden con las operaciones).
Vale, una vez visto cómo se demuestra algo aśı no lo haremos más. Los números naturales tienen su orden,
el que conocemos, que concuerda con el que heredan de la definición que hemos dado de números reales.
Volvamos a la prueba de la desigualdad. Hemos visto que 1 ∈ S y supongamos ahora que un cierto número
natural 1 < n ∈ S (H. I.).
4n+1 = 4n · 4 > n2 · 4 = n2 + 2n2 + n2
(∗)
> n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2, (†)
En (∗) hemos usado un par de cosas: 2n2 > 2n ya que al ser n > 1 y cualquier número natural es (por ser
mayor que 1) n > 0 tenemos n2 = n · n > 1 · n = n. Al ser 2 > 0, 2n2 > 2n.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 24 Caṕıtulo 1
Por otro lado como n > 1, n2 > n. La propiedad transitiva nos dice que n2 > 1.
La fórmula (†) nos dice que n+ 1 ∈ S. El principio de inducción nos permite concluir que S = N, es decir,
4n > n2 para cualquier número natural n ∈ N.
Fin de la solución
Probad que
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
k=1
|xk| para cualesquiera x1, . . . , xn ∈ R y cualquier n ∈ N.
Ejemplo 4.
Solución:
Lo probamos por inducción en el número de sumandos.
Para n = 1 es claro que |x1| = |x1|. Supongamos pues que la desigualdad es cierta para n sumandos, con
n ≥ 1 y sean x1, x2, . . . , xn, xn+1 números reales. Tenemos∣∣∣∣∣
n+1∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk + xn+1
∣∣∣∣∣ (1)≤
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣+ |xn+1| (2)≤
n∑
k=1
|xk|+ |xn+1| =
n+1∑
k=1
|xk|
En (1) hemos usado la desigualdad triangular del valor absoluto.
En (2) hemos usado la hipótesis de inducción.
Fin de la solución
1.3.2. Números combinatorios
Ya dijimos al comienzo del caṕıtulo que los números naturales nos sirven para contar. Para resolver
problemas de contar (por ejemplo ¿cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con 1,2,3,4,5 y
6?) son útiles las fórmulas de la combinatoria. Recordamos las dos más sencillas, que nos permitirán escribir
la fórmula del binomio de Newton:
Sea n ∈ N. Definimos, por inducción, el factorial de n. Para n = 1 definimos 1! := 1. Supongamos
ahora que hemos definido, para un cierto número natural n ≥ 1 el número n!, entonces se define
(n+ 1)! := (n+ 1) · n!
Aśı, para cualquier n ∈ N se tiene: n! := n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1. Finalmente definimos 0! := 1.
Definición 10 (Factorial de un número natural).
Supongamos que elegimos elementos de un conjunto que tiene n elementos.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 25 Caṕıtulo 1
El número de listas ordenadas con m elementos distintos (m ≤ n) que se pueden formar se denota
por V (n,m) y se llama variaciones sin repetición o permutaciones de n elementos tomados de m
en m. Tenemos n formas de elegir el primero de la lista; hecho esto tenemos n−1 formas de elegir
el segundo, y de este modo se observa que
V (n,m) = n(n− 1) . . . (n−m+ 1) = n!
(n−m)!
en particular V (n, n) = n!
Nota (Variaciones sin repetición).
El número de subconjuntos con m elementos que se pueden formar (m ≤ n) se denota por C(n,m)
o por
(
n
m
)
o por y se llama combinaciones de n elementos tomados de m en m. Cada uno de
estos conjuntos da lugar a m! listas ordenadas, luego
C(n,m) =
(
n
m
)
=
n!
(n−m)! m!
A estos números se les llama números combinatorios.
Nota (Combinaciones).
Describir todos los subconjuntos con tres elementos y todas las listas ordenadas con tres elementos
distintos que tiene el conjunto {a, b, c, d, e}.
Ejemplo 5.
Solución:
El número de subconjuntos es C(5, 3) = 10, y éstos son:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}
Las listas ordenadas son muchas más, V (5, 3) = 60, pues cada uno de los conjuntos anteriores da lugar a
3! = 6 listas ordenadas, que para el primer conjunto son
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)
Fin de la solución
El cálculo de estos números combinatorios se simplifica si se tienen en cuenta las siguientes propiedades
(las tres primeras se siguen directamente de las definiciones; la última es más laboriosa):
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 26 Caṕıtulo 1
Sean n,m ∈N (
n
n
)
=
(
n
0
)
= 1,
(
n
1
)
=
(
n
n− 1
)
= n
(
n
m
)
=
(
n
n−m
)
,
(
n
m
)
=
(
n− 1
m− 1
)
+
(
n− 1
m
)
Proposición 9.
La prueba de la proposición la haremos en ejercicios. Estos números combinatorios aparecen en la fórmula
del binomio de Newton:
Sean a, b ∈ R, n ∈ N.
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk =
(
n
0
)
an +
(
n
1
)
an−1b+ · · ·+
(
n
n− 1
)
abn−1 +
(
n
n
)
bn
Proposición 10 (Fórmula del binomio).
Prueba:
La demostración de la fórmula del binomio se hace por inducción en n.
Para n = 1, es claro que
(a+ b)1 = a+ b =
(
1
0
)
a+
(
1
1
)
b
Supongamos ahora que la fórmula es cierta para algún natural n ≥ 1. Veamos que también se verifica para
el número natural n+ 1.
(a+ b)n+1 =(a+ b)(a+ b)n
H.I.
=
=(a+ b)
[(
n
0
)
an +
(
n
1
)
an−1b+ · · ·+
(
n
n− 1
)
abn−1 +
(
n
n
)
bn
]
=
=
(
n
0
)
an+1 +
(
n
1
)
anb+
(
n
2
)
an−1b2 + . . .+
(
n
n− 1
)
a2bn−1 +
(
n
n
)
abn+
+
(
n
0
)
anb+
(
n
1
)
an−1b2 +
(
n
2
)
an−2b3 + . . .+
(
n
n− 1
)
abn +
(
n
n
)
bn+1 =
=
(
n
0
)
an+1 +
[(
n
0
)
+
(
n
1
)]
anb+
[(
n
1
)
+
(
n
2
)]
an−1b2 + . . .+
[(
n
n− 1
)
+
(
n
n
)]
abn +
(
n
n
)
bn+1 =
=
(
n+ 1
0
)
an+1 +
(
n+ 1
1
)
anb+
(
n+ 1
2
)
an−1b2 + . . .+
(
n+ 1
n
)
abn +
(
n+ 1
n+ 1
)
bn+1
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 27 Caṕıtulo 1
Vemos ahora cómo nos puede ayudar Maxima Vamos a comprobar con Maxima que se da
la igualdad anterior.
(%i1) suma[n]:=sum(binomial(n,k)*a^(n-k)*b^k,k,0,n);
( %o1) suman :=
n∑
k=0
(
n
k
)
an−k bk
(%i2) diferencia[n]:=(a+b)^n-suma[n];
( %o2) diferencian := (a+ b)
n − suman
Queremos ver que la diferencia es cero.
(%i3) diferencia[n];
( %o3) (b+ a)
n −
n∑
k=0
an−k bk
(
n
k
)
(%i4) diferencia[2];
( %o4) (b+ a)
2 − b2 − 2 a b− a2
Le pedimos que desarrolle la potencia (a+ b)2.
(%i5) expand(%);
( %o5) 0
Probamos con otro valor concreto
(%i6) diferencia[10];
( %o6) (b+ a)
10−b10−10 a b9−45 a2 b8−120 a3 b7−210 a4 b6−252 a5 b5−210 a6 b4−120 a7 b3−45 a8 b2−
10 a9 b− a10
(%i7) expand(%);
( %o7) 0
Lo vemos para cualquier valor de n. Maxima maneja bien las sumas y las potencias. Cargamos para ello el
siguiente paquete.
(%i8) load(simplify_sum);
( %o8) C : /PROGRA 2/MAXIMA 1,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/simplify sum.mac
(%i9) simplify_sum(diferencia[n]);
( %o9) 0
Fin de la prueba
Las propiedades de los números combinatorios que hemos visto anteriormente, permiten usar el triángulo
de Tartaglia (o de Pascal) para encontrar los coeficientes del binomio de Newton sin hacer más que unas
pocas sumas. El triángulo empieza aśı:
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 28 Caṕıtulo 1
1
1 1
↘↙
1 2 1
↘↙ ↘↙
1 3 3 1
↘↙ ↘↙ ↘↙
1 4 6 4 1
↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙
1 5 10 10 5 1
Cada fila empieza y termina en 1, y el resto de números se obtienen sumando los dos de arriba (gracias a la
última propiedad de la proposición 9). Entonces, por ejemplo, en la fila 1 4 6 4 1 los números se corresponden
en orden con (
4
0
)
,
(
4
1
)
,
(
4
2
)
,
(
4
3
)
,
(
4
4
)
que son precisamente los que se necesitan en el desarrollo de (a+ b)4.
Calculad (x+ y)3, (a− b)4 y (2z + 3t)5.
Ejemplo 6.
Solución:
(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(a− b)4 = a4 + 4a3(−b) + 6a2(−b)2 + 4a(−b)3 + (−b)4 = a4 − 4a3b+ 6a2b2 − 4ab3 + b4
(2z + 3t)5 = 32z5 + 240z4t+ 720z3t2 + 1080z2t3 + 810zt4 + 243t5
Con Maxima
(%i1) expand((x+y)^3);
( %o1) y3 + 3x y2 + 3x2 y + x3
(%i2) expand((a-b)^4);
( %o2) b4 − 4 a b3 + 6 a2 b2 − 4 a3 b+ a4
(%i3) expand((2*z+3*t)^5);
( %o3) 32 z5 + 240 t z4 + 720 t2 z3 + 1080 t3 z2 + 810 t4 z + 243 t5
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 29 Caṕıtulo 1
1.3.3. Enteros, racionales. Otras propiedades de R
El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q se definen como:
1. Z := {0}
⋃
{n ∈ R : n ∈ N, o bien − n ∈ N}
2. Q := {m · 1
n
: m ∈ Z y n ∈ N}. El número real m · 1
n
se denota como m
n
o como m/n.
Definición 11.
R tiene la propiedad arquimediana, es decir, dados x ∈ R, 0 < y ∈ R existe n ∈ N tal que x < ny.
Proposición 11.
Prueba:
De no cumplirse la tesis, el conjunto A := {ny : n ∈ N} estaŕıa acotado superiormente por x (seŕıa x ≥ ny
para todo n ∈ N). Sea pues α := supA. Tenemos en particular que para todo n ∈ N es ny ≤ α. Por otra
parte, α − y no seŕıa cota superior de A y por tanto existe n0 ∈ N tal que α − y < n0y. En consecuencia
seŕıa α < (n0 + 1)y, lo cual es contradictorio con el hecho de que A está acotado superiormente por α.
Fin de la prueba
N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente.
Corolario 12.
Prueba:
Si N estuviera acotado superiormente, llamando α = supN, como 1 > 0 la propiedad arquimediana de los
números reales nos proporcionaŕıa n0 ∈ N tal que α < n0 · 1 = n0, contradiciendo el hecho de que α sea cota
superior de N
Fin de la prueba
Todo subconjunto no vaćıo A ⊂ N tiene primer elemento.
Proposición 13 (Principio de la buena ordenación).
Prueba:
Utilizaremos el método de inducción. Supongamos (reducción al absurdo) que A no tuviera primer elemento
y sea B := N \ A el complementario del conjunto A. Es claro que 1 /∈ A, pues en caso contrario A tendŕıa
primer elemento. Aśı pues 1 ∈ B.
Además, si n ∈ B entonces n + 1 ∈ B ya que si, por el contrario, se tuviera n + 1 ∈ A entonces A tendŕıa
primer elemento, que seŕıa, concretamente mı́n{1, 2, . . . , n+ 1} ∩A.
El método de inducción garantiza que B = N y, por tanto, que A = ∅, lo que contradice la hipótesis.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 30 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
1. Demostrar las siguientes fórmulas siendo n ∈ N:
a)
∑n
j=1 j
2 = n(n+1)(2n+1)
6
b) n(n2 + 5) es un múltiplo de 6.
c) 32n+2 + 26n+1 = 1̇1 (múltiplo de 11)
d) (1 + x)n > 1 + nx, donde x > 0 y n > 1.
e) Si 0 < ε < 1 y n ∈ N se cumple (1 + ε)n < 1 + 3nε
2. Sean n,m ∈ N. Probad(
n
n
)
=
(
n
0
)
= 1,
(
n
1
)
=
(
n
n− 1
)
= n
(
n
m
)
=
(
n
n−m
)
,
(
n
m
)
=
(
n− 1
m− 1
)
+
(
n− 1
m
)
3. Probad que no existe n ∈ N tal que 1 < n < 2.
Ejercicios 2.
1.4. Propiedades de densidad en R
La función parte entera
Para cada x ∈ R existe un único número entero m que verifica m ≤ x < m+ 1.
Corolario 14.
Prueba:
Supongamos inicialmente que x ≥ 1. Aplicando la propiedad arquimediana a la pareja compuesta por x y 1 se
tiene que el conjunto {n ∈ N : x < n} no es vaćıo y en consecuencia aplicando la proposición inmediatamente
anterior podemos concluir que dicho conjunto tiene un primer elemento, digamos k ∈ N. Haciendo m := k−1
se obtiene el resultado en este caso. Si x < 1 basta tomar k ∈ N tal que x + k ≥ 1 y aplicar el resultado
anterior. La unicidad es consecuencia de que no existe, como es fácil probar por inducción, ningún número
natural entre 1 y 2 (ver ejercicios más arriba).
Fin de la prueba
Esta proposición da sentido a la siguiente
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 31 Caṕıtulo 1
Sea x ∈ R, el único número entero m que verifica m ≤ x < m+ 1 se llama parte entera de x y se
denota con [x], es decir [x] := m.
Definición 12.
Dibujamos la función parte entera
Vemos ahora otro comando para realizar gráficos con Maxima Cargamos el paquete draw.
--> load(draw);
--> draw2d(explicit(entier(x),x,-3,3),
xaxis=true,yaxis=true,
terminal=pdf,
xrange=[-4,4],yrange=[-4,4]);
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Notad las ĺıneas verticales que dibuja Maxima donde se produce el “salto” de la función.
explicit(entier(x),x,-3,3): dibuja la función y=entier(x) dada de forma expĺıcita.
xaxis=true,yaxis=true: se dibujan los ejes coordenados.
terminal=pdf: exporta el gráfico a un fichero llamado maxima out.pdf (dónde se guarda el fichero
depende de la configuración del ordenador. Búscalo en la carpeta donde está instalado Maxima dentro
de la subcarpetawxmaxima, o bien en la carpeta personal de usuario).
Usando la propiedad arquimediana y la función anterior se puede probar.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 32 Caṕıtulo 1
Si x, y ∈ R, y se verifica x < y, entonces existe r ∈ Q tal que x < r < y.
Corolario 15.
Prueba:
Por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que 1 < n(y − x), es decir, 1/n < y − x. Sea m := [nx], se
tiene m ≤ nx < m+ 1, es decir, m
n
≤ x < m+1
n
y, por tanto,
x <
m+ 1
n
=
m
n
+
1
n
≤ x+ 1
n
< y.
Tomando r = (m+ 1)/n se obtiene el resultado buscado.
Fin de la prueba
Si representamos a los números reales en una recta de longitud infinita: colocamos el cero, a la derecha
los números que son mayores que cero y a la izquierda los que son menores, el corolario anterior nos dice que
no hay “huecos”.
1.4.1. Ráıces cuadradas
Si x = y2 se dice que y es una ráız cuadrada de x.
Definición 13.
Es muy fácil observar que si y es una ráız cuadrada de x, −y también es una ráız cuadrada de x, y que x no
puede tener más ráıces cuadradas.
Si 0 < r ∈ Q cumple r2 < 2, entonces existe t ∈ Q tal que r < t y r2 < t2 < 2.
Si 0 < s ∈ Q cumple s2 > 2, entonces existe w ∈ Q tal que 0 < w < s y s2 > w2 > 2.
Además, las afirmaciones anteriores son también ciertas si los números reales r y s son números
reales cualesquiera.
Proposición 16.
De lo anterior podemos deducir que el conjunto A := {0 ≤ r ∈ Q : r2 < 2} no tiene supremo en Q. Sin
embargo, A es un subconjunto no vaćıo de R (1 ∈ A) acotado superiormente por 2 (como es fácil comprobar)
y por tanto existe
α := sup{0 ≤ r ∈ Q : r2 < 2}
que necesariamente ha de cumplir (razonando como en la proposición que acabamos de demostrar) α2 = 2.
Denotando
√
2 := α, se verifica que
√
2 ∈ R\Q. Aśı, tenemos que R\Q 6= ∅, es decir, hay números reales que
no son racionales.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 33 Caṕıtulo 1
A los elementos de R\Q se les llama números irracionales.
Definición 14.
Como todos sabemos:
los números naturales los usamos para contar;
los enteros para poder resolver ecuaciones de la forma n + m = 0 con n,m ∈ N (o para
poder restar);
los racionales para resolver q · r = 1 con q, r ∈ Q (o para poder dividir números enteros).
La última definición (y los comentarios previos) nos dicen que con los números racionales
no podemos medir longitudes ya que la longitud de la diagonal del cuadrado unidad no es
un número racional.
Los números reales nos ayudan a resolver ese problema.
Sin embargo, no todo se resuelve con los reales. Una ecuación del tipo x2 +1 = 0 no tiene solución
en R ya que si x ∈ R entonces
x2 ≥ 0⇒ x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Para poder resolver estas ecuaciones necesitaremos otro conjunto de números más grande: los
números complejos, C.
Nota.
Extendemos ahora el corolario 15 para irracionales.
Si x, y ∈ R, x < y, entonces existe z ∈ R\Q tal que x < z < y.
Corolario 17.
Prueba:
Sea w ∈ Q de modo que x < w < y. Por la propiedad arquimediana existe n ∈ N de modo que
√
2
n
< y−w.
Tomando z := w +
√
2
n
se obtiene el resultado buscado.
Fin de la prueba
El siguiente resultado es una consecuencia directa del corolario 15.
Cada elemento x ∈ R es el supremo del conjunto de números racionales que son menores que él,
es decir, x = sup{r : r ∈ Q con r < x}.
Corolario 18.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 34 Caṕıtulo 1
Maxima maneja y simplifica expresiones con ráıces
(%i1) sqrt(4+sqrt(144))+sqrt(2);
( %o1)
√
2 + 4
(%i2) a:(sqrt(2)+sqrt(3))/(sqrt(2)-sqrt(3));
( %o2)
√
3 +
√
2√
2−
√
3
(%i3) radcan(%);
( %o3) −
√
3 +
√
2√
3−
√
2
(%i4) ratsimp(a);
( %o4) −
√
3 +
√
2√
3−
√
2
No ha hecho nada (solo cambiar un signo). Usamos el siguiente comando.
(%i5) algebraic:true;
( %o5) true
(%i6) radcan(a);
( %o6) − 2 32
√
3− 5
(%i7) ratsimp(a);
( %o7) − 2 32
√
3− 5
De nuevo los dos comandos hacen lo mismo. Pero el resultado es diferente al de antes. Ha racionalizado
la expresión.
(%i8) b:sqrt(5*x/y)+sqrt(5*y/x)+(1/x-1/y)*sqrt(5*x*y);
( %o8)
√
5
(
1
x
− 1
y
)
√
x y +
√
5
√
y
x
+
√
5
√
x
y
(%i9) radcan(b);
( %o9)
2
√
5
√
y
√
x
(%i10) ratsimp(b);
( %o10)
√
5x y
√
y
x
+
√
x y
(√
5 y −
√
5x
)
+
√
5x
√
x
y
y
x y
(%i11) algebraic:false;
( %o11) false
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 35 Caṕıtulo 1
(%i12) ratsimp(b);
( %o12)
√
5x y
√
y
x
+
√
x y
(√
5 y −
√
5x
)
+
√
5x
√
x
y
y
x y
(%i13) radcan(b);
( %o13)
2
√
5
√
y
√
x
En este caso no hay diferencia entre algebraic:true o false. Si que la hay, sin embargo, en las respuestas
dadas por radcan y ratsimp.
(%i14) c:(9*x-x^2)/( sqrt(x)*(sqrt(x) + sqrt(6)));
( %o14)
9x− x2(√
x+
√
6
) √
x
(%i15) algebraic:true;
( %o15) true
(%i16) radcan(c);
( %o16)
−x2 +
√
x
(√
2
√
3x−
√
2 3
5
2
)
+ 9x
x− 6
(%i17) ratsimp(c);
( %o17)
−x2 +
√
x
(√
6x− 9
√
6
)
+ 9x
x− 6
(%i18) algebraic:false;
( %o18) false
(%i19) ratsimp(c);
( %o19) − x
2 − 9x
x+
√
6
√
x
(%i20) radcan(c);
( %o20) − (x− 9)
√
x
√
x+
√
2
√
3
1.4.2. Representación decimal de los números reales
Volvemos ahora a la pregunta ¿quién es
√
2? El siguiente resultado que no probaremos nos habla de cómo
representar en base 10 los números reales: los números racionales son aquellos que tienen una cantidad finita
de cifras decimales o bien a partir de un momento un “bloque” de dichas cifras se repite infinitas veces. Los
irracionales son aquellos que no cumplen lo anterior.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 36 Caṕıtulo 1
La unicidad de la expresión decimal viene dada por el hecho de que no todos los términos sean 9 a partir
de un cierto lugar. Si permitieramos esto el número 0, 99999999 . . . y el 1 que son el mismo número (si fueran
distintos, entre ambos habŕıa otro número real pero no es posible!) tendŕıa dos expresiones.
Sea x ≥ 0 un número real.
1. Existe una sucesión única de números enteros (an)n tal que a0 ≥ 0, 0 ≤ an ≤ 9 para n ≥ 1
que verifica para cada n ∈ N la siguiente propiedad:
a0, a1a2 . . . an ≤ x < a0, a1a2 . . . an +
1
10n
(†)
donde a0, a1a2 . . . an :=
∑n
k=0 ak
1
10k
recibe el nombre de número decimal finito. Además,
en esta sucesión no todos los términos son 9 a partir de un cierto lugar.
2. Rećıprocamente, dada una sucesión de números naturales (an) con 0 ≤ an ≤ 9 para n > 0,
tales que en esta sucesión no todos los términos son 9 a partir de un cierto lugar, existe un
único real x ≥ 0 que cumple las relaciones (†) para todo n.
Diremos que la expresión a0, a1a2 . . . an . . . es la representación decimal del número real x. a0 es
la parte entera de x y se verifica x = sup{a0, a1a2 . . . an : n ∈ N}.
Proposición 19.
Maxima es una buena calculadora. Podemos trabajar con números decimales o con sus
expresiones exactas. Por defecto, trabaja con valores exactos pero podemos modificar esto usando
numer:true. Para volver al estado original usamos numer:false. Si queremos conocer la expresión
decimal de algún número concreto escribimos float( ).
(%i1) sqrt(2);
( %o1)
√
2
(%i2) float(%);
( %o2) 1,414213562373095
(%i3) 5/7;
( %o3)
5
7
(%i4) float(%);
( %o4) 0,71428571428571
(%i5) sqrt(3)+sqrt(2);
( %o5)
√
3 +
√
2
(%i6) numer:true;
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 37 Caṕıtulo 1
( %o6) true
(%i7) sqrt(3)+sqrt(2);
( %o7) 3,146264369941973
(%i8) numer:false;
( %o8) false
(%i9) %i5;
( %o9)
√
3 +
√
2
Los números e y π
(%i10) float(%e);
( %o10) 2,718281828459045
(%i11) float(%pi);
( %o11) 3,141592653589793
Para que Maxima nos devuelva un número concreto de decimales usamos el siguiente comando (9 es el
número de cifras que usará)
(%i12) fpprintprec:9;
( %o12) 9
(%i13) float(%pi);
( %o13) 3,14159265
1.4.3. Ráıces n-ésimas
Ahora vamos a analizar la existencia de ráıces n-ésimas de cualquier número real positivo. Usando las
mismas ideas que en el caso de
√
2 se puede probar.Sea x ∈ R, x > 0, y sea p ∈ N.
1. Si r ∈ R, r > 0 cumple rp < x entonces existe t ∈ Q tal que r < t y rp < tp < x
2. Si s ∈ R, s > 0 cumple sp > x entonces existe w ∈ Q tal que 0 < w < s y sp > wp > x.
3. Existe un único número real positivo α tal que αp = x. De hecho
α = sup{r : r ∈ Q, rp < x}
Proposición 20.
Esta proposición da sentido a la siguiente definición.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 38 Caṕıtulo 1
Para cada x ∈ R, x > 0 y cada p ∈ N, se define la ráız p-ésima de x como el único número real
positivo α tal que αp = x. Se denota x
1
p := p
√
x := α = sup{r : r ∈ Q, rp < x}.
Definición 15.
Obsérvese que si x > 0 y p es par, entonces y = p
√
x e y = − p
√
x son los dos únicos números reales
que cumplen yp = x. Mientras que si p es impar, aunque x sea negativo, y = signo(x). p
√
| x |, donde
signo(x) = 1 si x ≥ 0 y signo(x) = −1 si x < 0, es el único número real que cumple yp = x.
Maxima conoce la función signo. Le decimos a Maxima que x es positivo
(%i1) assume(x>0);
( %o1) [x > 0]
(%i2) signum(x);
( %o2) 1
Ahora le decimos que se olvide de la hipótesis sobre x
(%i3) forget(x>0);
( %o3) [x > 0]
(%i4) assume(x<0);
( %o4) [x < 0]
(%i5) signum(x);
( %o5) − 1
1. Si a es racional y b es irracional, ¿es a+ b necesariamente irracional?. Si a es irracional y b
es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?. Probar que
√
3 y
√
6 son irracionales.
2. Completar las siguientes expresiones:
3
√
. . . = a2bc4, 4
√
5a . . . = 5a3c,
√
. . . = 7 + a, ...√
5+
√
3
=
√
5−
√
3.
3. Calcular, simplificando el resultado:
a) (2
√
8 + 3
√
5− 7
√
2)(
√
72− 5
√
20− 2
√
2).
b) (3
√
2− 3
√
3 + 6
√
5)(2
√
2 + 2
√
3 + 4
√
5).
c) (
√
3 +
√
5)(2
√
3 + 3
√
5)− (3
√
3− 2
√
5)(
√
3 + 2
√
5).
d)
(√
1− x+ 1√
1 + x
)
:
(
1 +
1√
1− x2
)
.
Ejercicios 3.
Luis Oncina, Cálculo I
1.5 Autoevaluación 39 Caṕıtulo 1
1.5. Autoevaluación
1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre números reales son verdaderas?
a) La suma de dos números irracionales es un número irracional.
b) El producto de un número racional no nulo por un número irracional es un número
irracional.
c) Todo número irracional tiene un inverso que es también un número irracional.
d) Si a+
√
b = c+
√
d, entonces a = c y b = d.
e) Para todo n ∈ N, la ráız n-ésima de un irracional positivo es un irracional.
2. Consideremos el conjunto A = {x ∈ R : |x2−3| ≤ 1}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
a) supA = 2, ı́nf A =
√
2
b) supA = 2, ı́nf A = −2
c) ı́nf{x ∈ A : x ≥ 0} =
√
2
d) supA = −
√
2, ı́nf A =
√
2
3. Sea A = {x ∈ R : |x2 − x| − x > 8} y B = R \A, entonces:
a) supB = ı́nf A
b) supB = ı́nf{x ∈ A y x > 0}.
c) ı́nf B = −2 y supB = 4.
d) El conjunto A no está acotado ni superior ni inferiormente.
e) sup{x ∈ A y x < 0} ∈ A.
4. Demostrad que para cualquier número natural n se verifica
∑n
j=0 j(j + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
5. Demostrad que para cualquier número natural n se cumple
∑n
j=1 j
3 > n
4
4
6. Demostrad que para cualquier número natural n si 0 < x < 1 se cumple la desigualdad
(1 + x)n < 1 + 3nx.
7. Para cada n ∈ N definimos
Sn :=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ . . .+
1
n(n+ 1)
Calculad S1, S2, S3, S4, . . . e inducid un probable valor de Sn. Probad por inducción que Sn
coincide efectivamente con el valor obtenido anteriormente.
Autoevaluación 1.
Luis Oncina, Cálculo I
2 Sucesiones denúmeros reales
2.1. Sucesiones
Se llama sucesión en R a cualquier aplicación ϕ : N → R. Si an := ϕ(n) la sucesión se denota
con (an)n∈N o brevemente (an)n. El número real an recibe el nombre de término general de la
sucesión.
Definición 16 (Sucesión).
Cuando el término general de una sucesión es conocido, es decir, la fórmula que a cada número natural
n le asigna un valor ϕ(n) es inmediato conocer cualquier término de la sucesión: solo tenemos que sustituir
en la fórmula el valor de n deseado.
Otras veces tenemos información de los primeros términos de la sucesión y queremos averiguar el valor
para “n mayor”. Para ello es imprescindible conocer el término general de la sucesión. Aunque esto no
siempre es posible, en algunos casos lo podremos conseguir.
Veamos algunos ejemplos. Sean d, r ∈ R. Hallar el término general de:
1. La sucesión cuyos primeros miembros son a, a+ d, a+ 2d, a+ 3d, . . .. Se conoce como pro-
gresión aritmética.
2. La sucesión cuyos primeros términos son a, ar, ar2, ar3, . . .. Se conoce como progresión
geométrica (de razón r).
Ejemplo 7.
Solución:
1. Tenemos
a1 = a, a2 = a+ d, a3 = a+ 2d = a+ (3− 1)d, a4 = a+ 3d = a+ (4− 1)d . . .
Es claro que la fórmula que nos da esta sucesión es ϕ(n) = a + (n − 1)d. El término general es entonces
a+ (n− 1)d.
2. Tenemos
b1 = a, b2 = ar, b3 = ar
2 = ar3−1, b4 = ar
3 = ar4−1
40
2.1 Sucesiones 41 Caṕıtulo 2
y por tanto el término general es bn = ar
n−1.
Este tipo de sucesiones se dice que están definidas por recurrencia. Notad que en el primer caso, empezamos
con a1 = a y a2 lo conseguimos sumando a a1 el número d. Para hallar a3 le sumamos a a2 de nuevo d. Aśı,
para cualquier n ∈ N el término n-ésimo lo conseguimos an = an−1 + d.
En el caso de la progresión geométrica es bn = rbn−1.
Maxima sabe manejarlas
(%i1) load(solve_rec);
( %o1) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/solve rec.mac
(%i2) solve_rec(a[n]=a[n-1]+d,a[n],a[1]=a);
( %o2) an = d (n− 1) + a
(%i3) solve_rec(b[n]=r*b[n-1],b[n],b[1]=a);
( %o3) bn = a r
n−1
Fin de la solución
Maxima sabe encontrar el término general de otras sucesiones definidas por recurrencia (de muchas otras
no, claro).
Hallar el término general de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia.
1. cn =
n
1 + n
cn−1, n ≥ 2 c1 = 1.
2. dn+1 =
(dn + dn−1)
2
, n ≥ 2, d1 = 2, d2 = 4.
3. en =
√
en−1 + 2, n ≥ 2, e1 = 1.
Ejemplo 8.
Vamos a ver los ejemplos
(%i1) load(solve_rec);
( %o1) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/solve rec.mac
(%i2) solve_rec(c[n]=n*c[n-1]/(1+n),c[n],c[1]=1);
( %o2) cn =
2
n+ 1
(%i3) solve_rec(d[n+1]=(d[n]+d[n-1])/2,d[n],d[1]=2,d[2]=4);
( %o3) dn =
23−n (−1)n
3
+
10
3
(%i4) solve_rec(e[n]=sqrt(e[n-1]+2),e[1]=1);
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 42 Caṕıtulo 2
( %o4) false
Vale, esta última no la sabe resolver. Volveremos a ella más adelante en el caṕıtulo.
Nos planteamos ahora obtener de forma gráfica información de una sucesión. ¿Cómo podemos represen-
tarla gráficamente? Veamos dos formas: la primera será representar en la recta real el conjunto de valores de
(an)n, es decir, dibujaremos los puntos del conjunto {an : n ∈ N}. La segunda forma será representar (an)
como una función, es decir, pondremos en el eje de abscisas la n y en el de ordenadas ϕ(n).
Vamos a estudiar las sucesiones an =
1
n y bn = cos(
nπ
9 ).
Ejemplo 9.
Dibujamos el conjunto de valores de an y bn
Para hacer gráficas cargamos en primer lugar el paquete draw. También se puede usar el comando plot2d
(ver ayuda de Maxima) para hacer gráficos.
(%i1) load(draw);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/draw/draw.lisp
Definimos dos sucesiones
(%i2) a[n]:=1/n;
b[n]:=cos(n*(%pi/9));
( %o2) an :=
1
n
( %o3) bn := cos
(
n
π
9
)
Creamos a continuación la lista de puntos a dibujar para cada sucesión. Usamos el comando makelist.
(%i4) an:makelist([a[n],0],n,1,80)$
bn:makelist([b[n],0],n,1,80)$
Dibujamos la primera sucesión an =
1
n .
(%i6) draw2d(point_type=filled_circle, point_size=0.4, points(an));
( %o6) [gr2d (points)]
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 43 Caṕıtulo 2
Dibujamos la segunda sucesión bn = cos(n
π
9 ).
(%i7) draw2d(color=red, point_type=filled_circle, point_size=0.4,
points(bn));
( %o7) [gr2d (points)]
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
-1 -0.5 0 0.5 1
Dibujamos las sucesiones como funcionesde la variable n.
(%i1) a[n]:=1/n;
b[n]:=cos(n*(%pi/9));
( %o1) an :=
1
n
( %o2) bn := cos
(
n
π
9
)
(%i3) sucan:makelist([n,a[n]],n,1,80)$
sucbn:makelist([n,b[n]],n,1,80)$
(%i5) load(draw);
( %o5) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/draw/draw.lisp
(%i6) draw2d(color=blue, point_type=filled_circle, point_size=0.3,
points(sucan), color=red, points(sucbn));
( %o6) [gr2d (points, points)]
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 10 20 30 40 50 60 70 80
La segunda forma de representar gráficamente una sucesión nos da una información relevante: en el caso
azul, es decir, la sucesión an =
1
n , cuando n se hace suficientemente grande los valores de an se aproximan a
cero (y cuanto más avanzamos están más cerca). Sin embargo, en el otro caso los puntos rojos van oscilando
sin parar, dicho de otro modo, no hay ningún número real al cual se aproximen los valores de la sucesión a
partir de un cierto momento.
Vamos a ser más precisos.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 44 Caṕıtulo 2
2.1.1. Ĺımites de sucesiones
Se dice que la sucesión (an)n tiene por ĺımite a ∈ R si para cada ε > 0 existe un número natural
n0 tal que si n > n0 entonces |an − a| < ε. La notación que se utiliza es la siguiente:
a = ĺım
n→∞
an = ĺım
n
an.
Una sucesión se dice convergente cuando tiene ĺımite.
Definición 17 (Ĺımite).
Vamos a ilustrar la definición con algunos ejemplos.
1. La sucesión constante dada por an := a es convergente y su ĺımite es a.
2. La sucesión dada por an :=
1
n
es convergente y su ĺımite es 0.
3. La sucesión dada por an :=
n
n6 + 5n3 + 2n+ 1
tiene ĺımite cero.
4. Si a = ĺımn an entonces se cumple que |a| = ĺımn |an|.
5. Si an > 0 para todo n y existe a = ĺımn an entonces ĺımn
√
an =
√
a.
Ejemplo 10.
Solución:
1. Para cada ε > 0 dado se cumple que |an − a| = |a− a| = 0 < ε para todo n ∈ N.
2. Dado ε > 0 si n0 := [
1
ε ] + 1 se cumple que |an − 0| =
1
n <
1
n0
< ε siempre que n > n0, ya que
1
ε <
[
1
ε
]
+ 1 = n0 implica
1
n0
< ε
3. Dado ε > 0 si n0 := [
1
ε ] + 1 se cumple que |an − 0| < ε siempre que n > n0, ya que
|an − 0| =
n
n6 + 5n3 + 2n+ 1
<
n
n6
=
1
n5
≤ 1
n
<
1
n0
< ε
4. Fijado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |a − an| < ε si n > n0; pero como por el último apartado de la
proposición 5 se tiene
||a| − |an|| ≤ |a− an| < ε si n > n0,
lo cual significa que |a| = ĺımn |an|.
5. Supongamos inicialmente que a > 0 y entonces fijado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |a − an| <
√
aε si
n > n0; pero por otra parte se tiene la siguiente estimación
|
√
a−
√
an| =
|a− an|√
a+
√
an
≤ |a− an|√
a
<
√
aε√
a
= ε
si n > n0, que demuestra precisamente que, en este caso, ĺımn
√
an =
√
a.
Para el caso en que sea a = 0 dado ε > 0, como ĺımn an = 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple
an < ε
2. Por lo tanto para n > n0
|
√
an −
√
0| =
√
an <
√
ε2 = ε
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 45 Caṕıtulo 2
Notad que en la última desigualdad hemos usado que si 0 < x < y entonces
√
x <
√
y. Para probar esta
afirmación supongamos, por reducción al absurdo, que
√
x ≥ √y. Entonces, al ser ambos positivos,
√
y
√
x ≤
√
x
√
x = x
por otro lado
y =
√
y
√
y ≤ √y
√
x
de donde y ≤ x, contradicción.
Los ejemplos 4 y 5 son importantes y más adelante haremos mención a ellos.
Maxima calcula ĺımites de sucesiones
(%i1) limit(a,n,inf);
( %o1) a
(%i2) limit(1/n,n,inf);
( %o2) 0
(%i3) limit(n/(n^6+5*n^3+2*n+1),n,inf);
( %o3) 0
Fin de la solución
El concepto que sigue es útil para muchos fines y, en particular, para “visualizar” el concepto de ĺımite, como
luego veremos. Aunque ya los hemos usado conviene definirlos de nuevo.
Si a ≤ b son números reales:
Se llama intervalo cerrado de extremos a, b al conjunto [a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.
Se llama intervalo abierto de extremos a, b al conjunto (a, b) := {x ∈ R; a < x < b}.
Los conjuntos [a, b) y (a, b] reciben el nombre de intervalos semiabiertos por la derecha e
izquierda respectivamente.
Se llama longitud del intervalo al número real b− a.
Definición 18 (Intervalo).
Conectado con estos conceptos está la noción de bola de centro x0 y radio r > 0.
1. Se llama bola cerrada de centro x0 y radio r > 0 y se denota con B[x0, r] al siguiente
conjunto B[x0, r] := {x ∈ R; |x− x0| ≤ r} = [x0 − r, x0 + r].
2. Se llama bola abierta de centro x0 y radio r > 0 y se denota con B(x0, r) al siguiente
conjunto B(x0, r) := {x ∈ R; |x− x0| < r} = (x0 − r, x0 + r).
Definición 19 (Bola).
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 46 Caṕıtulo 2
Obsérvese que, utilizando estos conceptos, el que la sucesión (an)n tenga ĺımite a puede expresarse
diciendo que para cualquier ε > 0 la bola abierta B(a, ε) contiene a todos los términos de la sucesión (an)n
salvo a lo más un número finito.
En el caso visto anteriormente de la sucesión ( 1n )n vemos gráficamente que el ĺımite es cero. Dado ε1 > 0
observamos que solo los siete primeros términos de la sucesión se quedan fuera de la bola B(0, ε1) = (−ε1, ε1).
Tomando ahora otro radio más pequeño, ε2, fuera de la bola de radio ε2 quedan algunos más, pero siempre
un número finito.
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
)
ε1
)
ε2
Usando la otra forma de representar la sucesión, la definición de ĺımite queda aśı: dado ε > 0 a partir de
un término de la sucesión todos quedan dentro de la franja centrada en cero y de radio ε.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 10 20 30 40 50 60 70 80
Veamos ahora un ejemplo de sucesión que no es convergente. Volvamos a la sucesión bn = cos(
πn
9 ).
Tenemos que probar que dado a ∈ R cualquiera a no cumple la definición de ĺımite, es decir, existe un
número positivo ε tal que fuera de la bola B(a, ε) caen infinitos términos de la sucesión bn. (De momento
nos contentamos con hacer la prueba gráficamente. Más adelante daremos la prueba correcta (anaĺıtica)).
Es fácil ver que si |a| > 1 podemos encontrar ε > 0 de manera que en la franja de radio ε centrada en a
(de color rojo) no hay ningún término de la sucesión y por tanto este a no puede ser ĺımite de la misma.
Si |a| ≤ 1 encontramos una franja (color azul) que contiene infinitos términos de la sucesión. Pero fuera
de la misma hay infinitos y por tanto a tampoco puede ser ĺımite de bn.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
10 20 30 40 50 60 70 80
Lo que acabamos de hacer resulta más dif́ıcil si representamos los valores que toma la sucesión. En
este caso no podemos saber cuántos términos de la sucesión se corresponden con cada valor y por tanto
desconocemos si dada una bola centrada en un punto quedan fuera una cantidad finita de términos de la
sucesión.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 47 Caṕıtulo 2
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
-1 -0.5 0 0.5 1
Un primer hecho que se deduce de forma inmediata de la definición de ĺımite es el siguiente.
El ĺımite de una sucesión convergente es único.
Proposición 21.
Prueba:
Supongamos, por reducción al absurdo, que la sucesión (an)n tuviera dos ĺımites distintos, digamos a 6= b.
Gráficamente es fácil de ver. Trazamos sendas bolas centradas en a y en b que sean disjuntas. Como a cumple
la definición de ĺımite fuera de su bola solo hay una cantidad finita de términos de an. Pero lo mismo ha
de suceder en la bola centrada en b y esto es imposible ya que dentro de la bola centrada en a hay infinitos
términos.
( ( (
(
Vamos a probarlo. Sea ε = |a− b|/3 > 0. Entonces, de acuerdo con la definición existen números naturales
n1 y n2 para los que se verifica que |an − a| < ε si n > n1 y |an − b| < ε si n > n2. Aśı pues, llamando
n0 := máx{n1, n2} se debe cumplir que |an − a| < ε si n > n0 y |an − b| < ε si n > n0. De donde se deduce
que si n > n0 ha de ser
|a− b| = |a− an + an − b| ≤ |a− an|+ |an − b| < ε+ ε = 2
|a− b|
3
y por tanto que 1 < 23 , lo cual no es cierto.
Fin de la prueba
Sucesión acotada
Una sucesión (an) se dice
acotada superiormente siexiste M ∈ R tal que an ≤M para todo n ∈ N.
acotada inferiormente si existe M ∈ R tal que M ≤ an para todo n ∈ N.
acotada si lo es superior e inferiormente. Equivalentemente, si su imagen es un conjunto
acotado de R, es decir, existe M > 0 tal que |an| ≤M ≤⇔ −M ≤ an ≤M para todo n ∈ N
Definición 20.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 48 Caṕıtulo 2
De nuevo la idea con bolas permite construir fácilmente una demostración de la proposición que sigue.
Las sucesiones convergentes de R son acotadas.
Proposición 22.
Prueba:
Sea una sucesión convergente (an)n con ĺımite a. Aplicando la definición de ĺımite con ε = 1 podemos
garantizar la existencia de un número natural n0 tal que si n > n0 se cumple |an − a| < 1 y por tanto
|an| = |an − a+ a| ≤ |an − a|+ |a| < 1 + |a|.
Llamando M := máx{|a1|, |a2|, . . . |an0 |, (1 + |a|)} se cumple que |an| ≤ M para todo n ∈ N, es decir, la
sucesión (an)n es acotada.
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
-10 -5 0 5 10
( (| |
Fin de la prueba
Las sucesiones acotadas no tienen por que ser convergentes
Nota.
Solución:
La sucesión (xn)n definida por xn = (−1)n es acotada ya que |xn| = |(−1)n| = 1 para todo n y sin embargo
no es convergente (representadla gráficamente). En este caso la demostración es sencilla.
1 no puede ser el ĺımite de xn ya que tomando una bola centrada en 1 y de radio (digamos)
1
2 todos los
términos impares (que son infinitos) quedan fuera de dicha bola. Lo mismo ocurre con −1. Más sencillo es
ver que si a 6= 1 y a 6= −1 podemos trazar una bola centrada en a que no contenga ni al 1 ni al −1, es decir,
en dicha bola no hay términos de la sucesión, luego a no puede ser ĺımite.
Fin de la solución
Álgebra de ĺımites
A continuación establecemos el comportamiento de las sucesiones convergentes con relación a las opera-
ciones ordinarias.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 49 Caṕıtulo 2
Sean (an)n y (bn)n sucesiones convergentes en R con ĺımites a y b, respectivamente. Entonces:
1. (an + bn)n es convergente con ĺımite a+ b.
2. (anbn)n es convergente con ĺımite ab.
3. Si bn 6= 0 y b 6= 0 entonces la sucesión (an/bn)n tiene por ĺımite a/b.
Proposición 23.
Prueba:
1. Dado ε > 0 existen enteros positivos n1 y n2 tales que se tiene
|a− an| <
ε
2
si n > n1 y |b− bn| <
ε
2
si n > n2.
Llamando n0 = máx{n1, n2} se tiene
|(a+ b)− (an + bn)| ≤ |a− an|+ |b− bn| <
ε
2
+
ε
2
= ε, para cada n > n0,
lo que prueba que a+ b = ĺımn(an + bn).
Fin de la prueba
Las pruebas de los apartados 2 y 3 en complementos.
Maxima puede manipular de forma formal los ĺımites
(%i1) ’limit(a[n]+b[n],n,inf)=limit(a[n]+b[n],n,inf);
( %o1) ĺım
n→∞
bn + an = ĺım
n→∞
bn + an
(%i2) ’limit(a[n]*b[n],n,inf)=limit(a[n]*b[n],n,inf);
( %o2) ĺım
n→∞
an bn = ĺım
n→∞
an bn
(%i3) ’limit(a[n]/b[n],n,inf)=limit(a[n]/b[n],n,inf);
( %o3) ĺım
n→∞
an
bn
= ĺım
n→∞
an
bn
(%i4) declare(limit,additive);
( %o4) done
(%i5) ’limit(a[n]+b[n],n,inf);
( %o5) ĺım
n→∞
bn + ĺım
n→∞
an
(%i6) declare(limit,multiplicative);
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 50 Caṕıtulo 2
( %o6) done
(%i7) ’limit(a[n]*b[n],n,inf);
( %o7)
(
ĺım
n→∞
an
) (
ĺım
n→∞
bn
)
(%i8) ’limit(a[n]/b[n],n,inf);
( %o8)
(
ĺım
n→∞
an
) (
ĺım
n→∞
1
bn
)
La idea de la proposición anterior es obtener el ĺımite de una sucesión obtenida a partir de otras utilizando
para ello los ĺımites de las sucesiones que sirven para construirla.
Hay que notar que la existencia del ĺımite de la suma no implica la existencia del ĺımite de los
sumandos; y otro tanto ocurre con el producto o cociente.
Nota.
Sean (an)n∈N y (bn)n∈N sucesiones convergentes de números reales con ĺımites a y b respectiva-
mente. Entonces:
1. Si an ≤ bn, para todo n ∈ N, se verifica que a ≤ b.
2. Si a < b se verifica que existe n0 ∈ N tal que an < bn para todo n > n0.
3. Si (an)n, (bn)n y (cn)n son sucesiones de números reales tales que
an ≤ cn ≤ bn
y ĺımn an = ĺımn bn = α, entonces ĺımn cn = α.
Proposición 24.
Prueba:
1. Supongamos, por reducción al absurdo, que fuera a > b. Sea ε := |a− b|/4. Entonces existiŕıa n0 tal que
para n > n0 habŕıa de ser |a− an| < ε y |b− bn| < ε con lo cual para n > n0 tendŕıamos
bn = bn − b+ b < ε+ b < a− ε < an,
lo cual contradice la hipótesis an ≤ bn.
2. Se demuestra de forma parecida.
3. Observemos que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 los puntos an y bn pertenecen a la bola B(α, ε)
y al ser an ≤ cn ≤ bn también se tiene que cn ∈ B(α, ε), pero eso es lo mismo que decir que |α − cn| < ε
para n > n0. En otras palabras, ĺımn cn = α.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 51 Caṕıtulo 2
2.1.2. Sucesiones monótonas y acotadas
Un tipo interesante de sucesiones lo proporciona las sucesiones monótonas.
Una sucesión (an)n de números reales se dice que es monótona creciente (respectivamente decre-
ciente) si para cualesquiera n1 < n2 números naturales se tiene an1 ≤ an2 (resp. an1 ≥ an2).
Definición 21.
Maxima nos permite declarar una función como creciente o decreciente
(%i1) declare(a,increasing);
( %o1) done
(%i2) assume(n1<n2);
( %o2) [n2 > n1]
(%i3) is(a(n1)<a(n2));
( %o3) true
Un ejemplo de sucesión monótona creciente.
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Una sucesión monótona creciente (decreciente) y acotada superiormente (inferiormente) en R es
convergente.
Proposición 25.
Prueba:
Si (an)n es una sucesión monótona creciente acotada superiormente y a es el supremo del conjunto A :=
{an : n ∈ N}, entonces a = ĺımn an.
En la siguiente gráfica hemos dibujado el conjunto A (en azul) correspondiente a la sucesión monótona de
la gráfica anterior. En rojo hemos dibujado el supremo de A.
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
(
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 52 Caṕıtulo 2
En efecto: fijado ε > 0, por la definición de supremo existe n0 ∈ N tal que a − ε < an0 y al ser (an)n una
sucesión monótona creciente para cada n > n0 se tiene a− ε < an0 ≤ an ≤ a < a+ ε, lo cual significa que
a = ĺımn an.
El caso de sucesiones monótonas decrecientes acotadas inferiormente se reduce al anterior sin más que razonar
con la sucesión (−an)n.
Fin de la prueba
Como aplicación de la proposición 25 y el método de inducción (corolario 7) se puede resolver el siguiente
tipo de problemas. Volvemos al ejemplo 8.
Calcular el ĺımite de la sucesión (an)n definida recurrentemente por las fórmulas a1 =
√
2 y
an+1 =
√
2 + an para n ∈ N.
Ejemplo 11.
Solución:
Usando Maxima observamos que a1 < a2 < a3 < . . . (ver más abajo), lo que induce a pensar que la sucesión
(an)n aśı definida es monótona creciente, como de hecho ocurre. Vamos a probarlo por inducción sobre n.
Es claro que a1 < a2.
Supongamos ahora que an−1 < an, en cuyo caso an =
√
2 + an−1 <
√
2 + an = an+1. El método de
inducción (corolario 7) permite concluir que la sucesión (an)n es estrictamente creciente.
Además la sucesión está acotada por 2. Esto también se prueba por inducción sobre n. Es claro que a1 ≤ 2
y supuesto que an ≤ 2 se tiene que an+1 =
√
2 + an ≤
√
2 + 2 = 2.
Aplicando ahora la proposición 25 se obtiene que la sucesión (an)n converge. Llamemos a al ĺımite de dicha
sucesión. Tomando ĺımites se tiene la siguiente ecuación
ĺım
n
an+1 =
√
2 + ĺım
n
an(∗), o equivalentemente a =
√
2 + a,
o, si se prefiere, a2 = 2 + a. Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones −1 y 2, pero únicamente
la solución a = 2 puede ser el ĺımite de la sucesión considerada (ya que an ≥ 0 para todo n ∈ N), de modo
que, finalmente ĺımn an = 2.
Para tomar ĺımites en la expresión (*) hay que aplicar primero la proposición 23 (1) y a continuación el
ejemplo 10 (5).
Hacemos algunas cuentas con Maxima
(%i1) a[n]:=sqrt(2+a[n-1]);
( %o1) an :=
√
2 + an−1
(%i2) a[1]:sqrt(2);
( %o2)
√
2
(%i3) a:makelist(a[n],n,2,13);
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 53 Caṕıtulo2
( %o3) [
√√
2 + 2,
√√√
2 + 2 + 2,
√√√√
2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2,√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,√√√√√√√√√
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
√√√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√
√√√√√√√√
√√√√√√√
√√√√√√
√√√√√
√√√√√√√√
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2]
Aśı es dif́ıcil ver algo. Vamos a pedirle que aproxime estos números con decimales.
(%i4) a, numer;
( %o4) [1,847759065022574, 1,961570560806461, 1,990369453344394, 1,997590912410345,
1,999397637392409, 1,999849403678289, 1,999962350565202, 1,999990587619152,
1,999997646903404, 1,999999411725765, 1,999999852931436, 1,999999963232858]
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 54 Caṕıtulo 2
Es claro que la sucesión converge a 2
(%i5) limit(a[n],n,inf);
Maxima encountered a Lisp error: Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow.Automatically conti-
nuing.To enable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
Maxima no sabe calcular el ĺımite. Pero habiendo probado que la sucesión es convergente hacia un cierto
ĺımite x, este número tiene que ser solución de la ecuación x =
√
2 + x.
(%i6) solve(x=sqrt(2+x),x);
( %o6) [x =
√
x+ 2]
No sabe resolverla. ¿Qué tal si elevamos al cuadrado?
(%i7) solve(x^2=2+x,x);
( %o7) [x = 2, x = −1]
O bien usamos el siguiente comando.
(%i8) to_poly_solve(x=sqrt(x+2),x);
( %o8) %union ([x = 2])
Fin de la solución
El número e
La proposición 25 también nos sirve para demostrar la existencia de uno de los números más importantes
en Matemáticas: el número e.
1. La sucesión (an)n definida por an =
(
1 + 1n
)n
es monótona creciente y acotada.
2. La sucesión (bn)n definida por bn =
(
1 + 1n
)n+1
es monótona decreciente y acotada.
3. Las sucesiones (an)n y (bn)n anteriores tienen el mismo ĺımite, cuyo valor se denota con e.
4. Además el número e también es el ĺımite de la sucesión (Sn)n definida por
Sn = 1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · ·+ 1
n!
.
5. El número real e es irracional.
Proposición 26.
La prueba anaĺıtica la dejamos para los complementos. Sin embargo los primeros cuatro
apartados los podemos ver gráficamente
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 55 Caṕıtulo 2
(%i1) a[n]:=(1+1/n)^n;
b[n]:=(1+1/n)^(n+1);
S[n]:=sum(1/k!,k,0,n);
( %o1) an :=
(
1 +
1
n
)n
( %o2) bn :=
(
1 +
1
n
)n+1
( %o3) Sn :=
n∑
k=0
1
k!
(%i4) a:makelist([n,a[n]],n,1,70)$
b:makelist([n,b[n]],n,1,70)$
S:makelist([n,S[n]],n,1,70)$
(%i7) load(draw)$
(%i8) draw2d(color=blue, yrange=[2,3.5], point_type=filled_circle,
point_size=0.3, points(a), color=red, points(b), color=green, points(S));
( %o8) [gr2d (points, points, points)]
 2
 2.2
 2.4
 2.6
 2.8
 3
 3.2
 3.4
 10 20 30 40 50 60 70
Maxima conoce el ĺımite
(%i9) limit(a[n],n,inf);
( %o9) e
(%i10) limit(b[n],n,inf);
( %o10) e
Para el caso de S[n] le decimos a Maxima que sume hasta el infinito. Cargamos un paquete para que
nos ayude a hacerlo.
(%i11) load(simplify_sum);
( %o11) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.24.0/share/contrib/solve rec/simplify sum.mac
(%i12) sum(1/n!,n,0,inf);
( %o12)
∞∑
n=0
1
n!
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 56 Caṕıtulo 2
(%i13) simplify_sum(%);
( %o13) e
La siguiente propiedad de los intervalos encajados está fuertemente relacionada con la “completitud” de
R, es decir con el hecho de que en la recta real no hay agujeros.
El principio de encaje de Cantor
Sea {(In)n : n ∈ N} una sucesión de intervalos cerrados de R tales que:
1. In+1 ⊂ In,
2. La longitud de In tiene por ĺımite cero.
Entonces existe un único número real común a todos los intervalos.
Proposición 27.
Prueba:
Sea In := [an, bn]. Como forman una sucesión de intervalos encajados, para cualquier par j, k ∈ N se tiene
que aj ≤ bk. Esto implica, en particular que (an)n es una sucesión monótona creciente acotada superiormente
por b1 con lo que es convergente.
[ ][ ][ [ ]]|
Si a := ĺımn an entonces se cumple a = sup{an : n ∈ N} ≤ bk para todo k y, como ak ≤ a ≤ bk para todo k
se obtiene que a ∈
⋂
n∈N In 6= ∅.
Por otra parte si α, β ∈
⋂
n∈N In, como la longitud de In tiene por ĺımite cero, necesariamente ha de ser
α = β. De lo contrario existiŕıa n0 ∈ N tal que long(In0) < |β − α| lo cual contradice que α, β ∈ In0 .
Fin de la prueba
Si los intervalos no son cerrados el resultado anterior no es cierto; basta tomar In = (0, 1/n).
2.1.3. Subsucesiones
Sea ϕ : N → R una sucesión y sea τ : N → N monótona estrictamente creciente. La sucesión
ϕ ◦ τ : N → R se dice que es una subsucesión de la anterior. Si (an)n := (ϕ(n))n es la sucesión
inicial entonces la subsucesión se denota del siguiente modo (ank)k := (ϕ ◦ τ(k))k.
Definición 22.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 57 Caṕıtulo 2
Si una sucesión (an)n∈N es convergente cualquier subsucesión suya converge al mismo ĺımite.
Proposición 28.
Prueba:
Supongamos que (an)n∈N es una sucesión convergente con ĺımite a. Entonces dado ε > 0 existe un número
natural p tal que si n > p se verifica que |an−a| < ε. Sea (ank)k∈N una subsucesión de (an)n. Necesariamente
para todo k ∈ N se cumple que k ≤ nk por tanto, dado ε > 0 si p es como antes y si k > p se tiene |ank−a| < ε,
lo que significa que ĺımk ank = a.
Fin de la prueba
La sucesión bn = cos(
nπ
9 ) del ejemplo 9 no es convergente.
Ejemplo 12.
Solución:
Basta con encontrar dos subsucesiones de bn que converjan hacia números distintos. Esto es fácil de conseguir.
Fin de la solución
Aplicando el Principio de Encaje obtenemos.
Cualquier sucesión acotada en R posee una subsucesión convergente.
Teorema 29 (Bolzano-Weierstrass).
Prueba:
Sea (an)n∈N una sucesión acotada y sean c0, d0 tales que c0 ≤ an ≤ d0. Sea m0 el punto medio del intervalo
I0 := [c0, d0]. Entonces uno al menos de los siguientes conjuntos
{n ∈ N : an ∈ [c0,m0]} {n ∈ N : an ∈ [m0, d0]}
es infinito. Elegimos el intervalo correspondiente y lo denotamos con I1 siendo I1 = [c1, d1]. Tomamos
n1 ∈ N de forma que an1 ∈ I1. A continuación dividimos el intervalo I1 por su punto medio y denotamos
con I2 = [c2, d2] uno de los dos subintervalos de dicha división, elegido con el mismo criterio que se eligió I1
a partir de los dos subintervalos de I0. Como el conjunto {n ∈ N : an ∈ [c2, d2]} es infinito podemos
elegir n2 > n1 de forma que an2 ∈ I2. Por inducción se obtiene aśı una sucesión de intervalos (Ik)k y una
subsucesión (ank)k con k = 1, 2, . . . de modo que:
1. Ik+1 ⊂ Ik, siendo la longitud de Ik = d0−c02k , convergente a cero cuando k →∞,
2. ank ∈ Ik.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 58 Caṕıtulo 2
Aplicando la proposición 27 a la sucesión (Ik)k∈N se tiene garantizada la existencia de un único z ∈
⋂
k Ik.
Como consecuencia de 1. y 2. anteriores es claro que z = ĺımk ank , ya que |z − ank | ≤ long(Ik) y la prueba
está completa.
Fin de la prueba
El teorema de Bolzano-Weierstrass nos va a permitir probar el siguiente resultado. Comparad el enunciado
con el de la proposición 28.
Sea (an)n∈N una sucesión acotada. Si cualquier subsucesión convergente de (an) converge hacia
un cierto número real a, entonces la sucesión (an)n es convergente hacia a.
Proposición 30.
2.1.4. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R
Una sucesión (an)n en R se dice de Cauchy si para cada ε > 0 existe un número natural n0 tal
que si n0 ≤ n ≤ m son números naturales entonces |am − an| <ε.
Definición 23.
Las sucesiones cuyos términos generales vienen a continuación son de Cauchy
an =
1
n
y bn =
n∑
k=1
1
k2
Ejemplo 13.
Prueba:
En el caso de la sucesión (an)n∈N esto es muy fácil ya que fijado ε > 0 existe, por la propiedad arquimediana,
n0 ∈ N tal que 1/n0 < ε/2 y en consecuencia
∣∣ 1
n −
1
m
∣∣ ≤ ∣∣ 1n ∣∣+ ∣∣ 1m ∣∣ < ε2 + ε2 = ε.
Para la sucesión (bn)n∈N hay que observar en primer lugar que
1
n
− 1
n+ 1
=
1
n(n+ 1)
>
1
(n+ 1)2
con lo que, si m > n, se tiene
|bm − bn| =
∣∣∣∣ 1(n+ 1)2 + 1(n+ 2)2 + · · ·+ 1m2
∣∣∣∣ ≤
≤
( 1
n
− 1
(n+ 1)
)
+
( 1
(n+ 1)
− 1
(n+ 2)
)
+ · · ·+
( 1
(m− 1)
− 1
m+ 1
)
=
=
1
n
− 1
m
<
1
n
.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 59 Caṕıtulo 2
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que 1/n0 < ε y en consecuencia si n,m > n0 se tiene |bm− bn| < ε. Esto acaba
la prueba de que ambas sucesiones son de Cauchy.
Fin de la prueba
Veamos ahora algunas propiedades de las sucesiones de Cauchy.
Toda sucesión de Cauchy en R es acotada.
Proposición 31.
Prueba:
Sea (an)n una sucesión de Cauchy. Para ε = 1 existirá n0 ∈ N tal que si n,m ≥ n0 tendremos |an−am| < 1.
En particular, tomando n = n0, si m > n0, |am − an0 | < 1 de donde
|am| = |am − an0 + an0 | ≤ |an0 |+ |am − an0 | < 1 + |an0 |.
Si consideramos M := máx{|a1|, |a2|, . . . , |an0 |, 1+ |an0 |} tendremos que |an| ≤M para todo n ∈ N, es decir,
(an) es acotada.
Fin de la prueba
Para probar que una sucesión es convergente es necesario, a tenor de la definición, tener un “candidato”
a ĺımite de la misma. El teorema que sigue es básico: establece la posibilidad de demostrar que una sucesión
tiene ĺımite sin necesidad disponer del candidato.
Una sucesión en R es convergente si y sólo si es de Cauchy.
Teorema 32 (Completitud de R).
Prueba:
En primer lugar vamos a probar que si (an)n∈N es una sucesión convergente con ĺımite a, entonces es una
sucesión de Cauchy. En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple |an − a| < ε/2, por
tanto tomando n,m > n0 se tiene
|am − an| = |am − a+ a− an| ≤ |am − a|+ |a− an| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Para probar el rećıproco sea (an) una sucesión de Cauchy. Por la proposición que acabamos de ver, (an) es
acotada. Podemos ahora aplicar el teorema 29 de Bolzano–Weierstrass a (an)n y obtener una subsucesión
(ank) convergente, digamos a b. Para acabar, únicamente hemos de probar que b es precisamente el ĺımite de
la sucesión (an)n∈N. En efecto, como (an)n∈N es de Cauchy, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n,m > n0
se cumple |an − am| < ε2 .
Por otra parte, debido a que ĺımk ank = b, existe k0 ∈ N de modo que |ank − b| < ε2 siempre que k > k0.
Tomemos p > máx{n0, k0} y sea n > p entonces se cumple
|an − b| = |an − anp + anp − b| ≤ |an − anp |+ |anp − b| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Lo que significa que ĺımn an = b, como queŕıamos demostrar.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 60 Caṕıtulo 2
Fin de la prueba
A la vista de este resultado podemos volver al ejemplo 13. Hemos probado que la sucesión 1n es de Cauchy
y por tanto convergente (no nos haćıa falta el teorema anterior para determinar la convergencia de 1n , ya
sabemos que lo es y su ĺımite es 0). Sin embargo, una vez probado que la sucesión sn :=
∑n
k=1
1
k2 es de
Cauchy, el teorema de completitud de R nos dice que existe ĺımn→∞ sn = a. Otra cosa será determinar el
valor de dicho ĺımite. Maxima nos puede ayudar,
Le pedimos a Maxima que sume hasta el infinito
(%i1) sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum;
( %o1)
π2
6
En el último caṕıtulo volveremos a encontrarnos con la expresión
∞∑
n=1
1
n2
:= ĺım
n→∞
n∑
k=1
1
k2
1. Demostrar, aplicando la definición de ĺımite, que la sucesión de término general xn =
5n−3
2n−1
converge hacia 52 .
2. Utilizando el concepto de ĺımite resolver las siguientes cuestiones
a) Una sucesión es convergente y sus términos son alternativamente, positivos y negativos.
¿Cual es su limite? Razonar la respuesta.
b) Sean (xn) e (yn) dos sucesiones convergentes a x e y respectivamente que satisfacen la
siguiente propiedad:
(*) para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple |xn − yn| < ε.
Demostrar que x = y. Rećıprocamente, si dos sucesiones cumplen la propiedad (*), ¿se
puede concluir que son convergentes? Ejemplos.
c) Probar que si ĺımn→∞ xn = ĺımn→∞ yn = λ, la sucesión x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn, . . .
también tiene limite λ.
3. Probar que las siguientes sucesiones, definidas por recurrencia, son convergentes y calcular
su ĺımite.
a) xn+1 = 1−
√
1− xn, para n ≥ 1 y 0 < x1 < 1.
b) x1 = 1, xn+1 =
√
1 + xn, n ≥ 1.
4. Una sucesión (an)n se dice que es contractiva si existe 0 < c < 1 tal que para todo n ∈ N
se verifica |an+1 − an| < c|an − an−1|. Demostrar que las sucesiones contractivas son de
Cauchy.
Ejercicios 4.
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 61 Caṕıtulo 2
2.2. Potencias de exponente real
Hemos visto ya las propiedades que cumplen las potencias de base real y exponente natural.
2.2.1. Exponente entero y racional
Para n ∈ Z definiendo a0 := 1 y an = 1a−n si n es un entero negativo.
Definición 24.
Con esas definiciones es fácil de comprobar que se verifican las siguientes propiedades para n,m ∈ Z y
a, b ∈ R
1. an+m = anam.
2. (ab)n = anbn.
3. (an)m = anm.
4. Si a > 1 (respectivamente 0 < a < 1) y n < m, entonces an < am (respectivamente an > am).
5. Si 0 < a < b y n > 0 (respectivamente n < 0), entonces an < bn (respectivamente an > bn).
Hemos visto en una proposición anterior que dado un real positivo a y n ∈ N existe un único real positivo
b que cumple bn = a y que recibe el nombre de ráız n-ésima de a. n
√
a := b.
Sea a > 0. Definimos a1/n := n
√
a, es decir el único número real positivo que cumple (a1/n)n = a.
Más generalmente definimos a
m
n donde m ∈ Z, n ∈ N mediante la fórmula
a
m
n := n
√
am.
Definición 25.
Es sencillo comprobar que si pq =
m
n , es decir, pn = mq entonces se cumple que
a
m
n = n
√
am = q
√
ap = a
p
q ,
con lo que queda uńıvocamente definido ar para todo r ∈ Q.
Solución:
Sean α = a
p
q , β = a
m
n ⇔ αq = ap, βn = am. Tenemos que
apn = aqm ⇒ (ap)n = (am)q ⇒ (αq)n = (βn)q ⇒ αqn = βqn ⇒ α = β
Fin de la solución
Además esta definición extiende la anterior para r ∈ Z y verifica las propiedades antes enumeradas.
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 62 Caṕıtulo 2
Sean r, s ∈ Q y a, b reales estrictamente mayores que cero.
1. ar+s = aras.
2. (ab)r = arbr.
3. (ar)s = ars.
4. Si a > 1 (respectivamente 0 < a < 1) y r < s, entonces ar < as (respectivamente ar > as).
5. Si 0 < a < b y r > 0 (respectivamente r < 0) entonces ar < br (respectivamente ar > br).
6. Sea (αn) ⊂ R es una sucesión con ĺımite α. Si q ∈ Q entonces ĺımn αqn = αq.
Proposición 33.
2.2.2. Exponente real
El siguiente resultado, interesante por śı mismo, nos ayudará a definir las potencias de exponente real.
Si a es un número real positivo entonces
1. ĺımn→∞ a
1/n = 1.
2. ĺımn→∞ n
1/n = 1.
Proposición 34.
Prueba:
1. Para a = 1 el resultado es trivial.
Si 1 < a = 1 + b y definimos bn mediante n
√
a = 1 + bn. Notad que bn > 0, es decir, n
√
a > 1. De lo contrario,
si fuera n
√
a ≤ 1, tendŕıamos (por el apartado 4 de la proposición anterior) ( n
√
a)n ≤ 1n ⇒ a ≤ 1, contrario
a la hipótesis. Entonces
a = 1 + b = (1 + bn)
n ≥ 1 + nbn,
por el binomio de Newton, y por tanto bn ≥ bn > 0 con lo que ĺımn bn = 0. Y el caso a < 1 se reduce a éste
tomando inversos.
2. Sea (bn)n una sucesión de números reales no negativos (como antes, n
√
n > 1 ya que si fuera lo contrario
n
√
n ≤ 1⇒ n ≤ 1 lo que es absurdo) tal que n1/n = 1 + bn entonces
n = (1 + bn)
n >
n(n− 1)
2!
b2n ⇒ b2n <
2
n− 1
⇒ 0 < bn <
√
2
n− 1
y por tanto ĺımn bn = 0, usando el apartado (3) de la proposición 24, ya que ĺımn
√
2
n−1 = 0.
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 63 Caṕıtulo 2
Fin de la prueba
Vamos a continuación a definir ax para x ∈ R. La forma natural dehacerlo es tomar sucesiones de
racionales (rn)n con ĺımite x y definir a
x como el ĺımite de (arn)n, para lo cual es necesario probar que dicho
ĺımite existe y que no depende de la sucesión (rn)n.
Sea a > 0 y x ∈ R.
1. Si (rn)n es una sucesión de racionales con ĺımite x, entonces existe ĺımn a
rn .
2. El ĺımite anterior es independiente de la sucesión (rn)n.
Proposición 35.
La proposición anterior da sentido a la siguiente definición
Sea a ∈ R, a > 0 y x ∈ R. Si (rn)n ∈ Q es una sucesión cualquiera de racionales que converge a
x entonces se define
ax := ĺım
n
arn
Definición 26.
Propiedades de la exponencial
Sean x, y ∈ R y a, b > 0.
1. ax+y = axay. 2. (ab)x = axbx. 3. (ax)y = axy.
4. Si x < y entonces
Si a > 1, entonces ax < ay.
Si 0 < a < 1, entonces ax > ay.
5. Si 0 < a < b y
x > 0, entonces ax < bx
x < 0, entonces ax > bx.
6. Si (xn)n converge a x entonces ĺım a
xn = ax.
7. Si a > 1, para cada k ∈ R existe t ∈ R tal que x > t implica ax > k. (ax no está acotada
superiormente si a > 1).
8. Si a < 1, para cada ε > 0 existe t ∈ R tal que x > t implica ax < ε. (El ı́nfimo de los valores
de ax es 0 si a < 1).
Proposición 36.
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 64 Caṕıtulo 2
Vemos algunas de las propiedades con Maxima
Maxima conoce las propiedades 1, 2, 3.
(%i1) assume(a>0);
assume(b>0);
( %o1) [a > 0]
( %o2) [b > 0]
(%i3) compare(a^(x+y),a^x*a^y);
compare((a*b)^x,a^x*b^x);
compare((a^x)^y,a^(x*y));
( %o3) =
( %o4) =
( %o5) =
Propiedad 4
(%i6) assume(a>1);
assume(x<y);
( %o6) [a > 1]
( %o7) [y > x]
(%i8) compare(a^x,a^y);
( %o8) <
Propiedad 5
(%i9) forget(a>1);
assume(a<b);
assume(x>0);
( %o9) [a > 1]
( %o10) [b > a]
( %o11) [x > 0]
(%i12) compare(a^x,b^x);
( %o12) <
 0
 5
 10
 15
 20
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
%e^x
1/2^x
2.2.3. La función logaritmo
Con la ayuda de la siguiente proposición definiremos la función logaritmo.
Si 0 < a 6= 1 y x > 0 existe un único y tal que ay = x.
Proposición 37.
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 65 Caṕıtulo 2
Prueba:
Supongamos a > 1 y consideremos el conjunto definido por A := {z ∈ R : az ≤ x}. Dicho conjunto
está acotado superiormente debido al último apartado de la proposición anterior. Sea y := supA. Entonces
se cumple ay = x. Ya que, por una parte, es claro que ay ≤ x. Pero si fuera ay < x existiŕıa ε > 0 tal
que ay+ε < x (lo cual es contradictorio con la definición de y) por la penúltima propiedad de la proposición
anterior. Si 0 < a < 1 puede reducirse al caso anterior.
Fin de la prueba
Si a > 0 y x > 0 se define loga x := y mediante la ecuación a
y = x.
En el caso particular de que a sea el número e, el logaritmo en base e o neperiano se denotará,
en lo que sigue, por log.
Definición 27.
Veamos las propiedades del logaritmo
Para a > 0, a 6= 1 y x, y > 0
1. loga a
x = x
2. aloga x = x
3. loga xy = loga x+ loga y, loga
x
y = loga x− loga y.
4. loga x
y = y loga x
5. Si a > 1 y 0 < x < y entonces loga x < loga y.
6. Si 0 < a < 1 y 0 < x < y entonces loga x > loga y.
7. Si ĺımn xn = x con xn > 0 y x > 0 entonces ĺımn loga xn = loga x.
Proposición 38.
Comprobamos las propiedades con Maxima
(%i1) log(%e^x);
( %o1) x
(%i2) %e^(log(x));
( %o2) x
(%i3) log(x*y);
( %o3) log (x y)
Luis Oncina, Cálculo I
2.2 Potencias de exponente real 66 Caṕıtulo 2
(%i4) %,logexpand=super;
( %o4) log (y) + log (x)
(%i5) logcontract(%);
( %o5) log (x y)
(%i6) log(x/y);
( %o6) log
(
x
y
)
(%i7) %, logexpand=super;
( %o7) log (x)− log (y)
(%i8) logcontract(%);
( %o8) log
(
x
y
)
(%i9) log(x^y);
( %o9) log (x) y
(%i10) logcontract(%);
( %o10) log (x) y
No ha hecho nada. Si declaramos y como
entero si lo hace
(%i11) declare(y,integer);
( %o11) done
(%i12) logcontract(%o10);
( %o12) log (xy)
Vemos ahora la monotońıa del logaritmo
neperiano
(%i13) assume(x<y);
( %o13) [y > x]
(%i14) compare(log(x),log(y));
( %o14) <
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 0 1 2 3 4 5
lo
g(
x)
x
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 67 Caṕıtulo 2
2.3. Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites
1. Se dice que la sucesión (an)n de números reales tiene por ĺımite infinito y se escribe ĺımn an =
+∞ si para cada M > 0 existe un número natural n0 tal que an > M si n > n0.
2. Se dice que la sucesión (an)n de números reales tiene por ĺımite −∞ y se escribe ĺımn an =
−∞ si para cada M < 0 existe un número natural n0 tal que an < M si n > n0.
Definición 28.
Los resultados de la proposición 23 se generalizan en el siguiente sentido:
1. Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn an + bn =∞.
2. Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn = b 6= 0 entonces ĺımn anbn = +∞ o ĺımn anbn = −∞ según que
b sea positivo o negativo.
3. Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn anbn =∞.
4. Si ĺımn an = a ∈ R y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn anbn = 0.
5. Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn = a ∈ R \ {0} entonces ĺım anbn =∞
Proposición 39.
En śımbolos:
a+ (−∞) = −∞ a− (+∞) = −∞ a− (−∞) = +∞
a
±∞ = 0 a · (+∞) = +∞ a · (−∞) = −∞ si a > 0
a · (+∞) = −∞ a.(−∞) = +∞ si a < 0
(+∞) + (+∞) = (+∞) (+∞) · (+∞) = +∞ (−∞) · (−∞) = +∞
(−∞) + (−∞) = (−∞) (+∞) · (−∞) = (−∞)
En cambio nada puede decirse de:
ĺımn an + bn si ĺımn an = +∞, ĺımn bn = −∞
ĺımn anbn si ĺımn an = ±∞, ĺımn bn = 0
ĺımn an/bn si ĺımn an = ±∞, ĺımn bn = ±∞
ĺımn an/bn si ĺımn an = 0, ĺımn bn = 0
ĺımn a
bn
n si ĺımn an = 1, ĺımn bn =∞
ĺımn a
bn
n si ĺımn an = 0, ĺımn bn = 0
como es sencillo comprobar a través de ejemplos.
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 68 Caṕıtulo 2
Algunas técnicas para el cálculo de ĺımites
1. Si a ∈ R y |a| < 1 entonces ĺımn an = 0.
2. Si ĺımn xn =∞ entonces ĺımn
(
1 + 1xn
)xn
= e y ĺımn
(
1− 1xn
)xn
= e−1.
3. Si existe ĺımn
zn+1
zn
= w ∈ R con |w| < 1, entonces ĺımn zn = 0.
4.
ĺım
n
akn
k + ak−1n
k−1 + . . .
brnr + br−1nr−1 + . . .
=

ak
br
si k = r
0 si k < r
±∞ si k > r dependiendo de los signos de ak, br
5. Sea (xn) una sucesión con ĺımn xn = 1 siendo xn 6= 1 para n ≥ n0. Entonces,
ĺım
n→∞
log xn
xn − 1
= 1
Proposición 40.
Prueba:
1. Como |an| = |a|n basta probarlo para 0 < a = 11+ε , pero
0 < an =
1
(1 + ε)n
≤ 1
1 + nε
y la conclusión se sigue del apartado (3) de la proposición 24.
2. Para xn = n es cierto. El resultado general se obtiene de las siguientes acotaciones(
1 +
1
[xn] + 1
)[xn]
≤
(
1 +
1
xn
)xn
≤
(
1 +
1
[xn]
)xn
≤
(
1 +
1
[xn]
)[xn]+1
.
La segunda parte se obtiene fácilmente de(
1− 1
xn
)xn
=
(
xn
xn − 1
)−xn
=
1(
1 + 1xn−1
)xn .
3. Se tendŕıa que existe 0 < a < 1 y n0 tal que
∣∣∣ zn+1zn ∣∣∣ < a < 1 =⇒ |zn0+k| < |z0|ak =⇒ |zn| → 0.
4. En el caso k = r dividimos numerador y denominador por nk y aplicamos las propiedades de los ĺımites
(ambos existen y son no nulos).
Si k < r dividimos numerador y denominador por nk y aplicamos la propiedad 4 de ĺımites infinitos.
Si k > r dividimos numerador y denominador por nr y aplicamos la propiedad 5 de ĺımites infinitos.
5. Ponemos αn = xn − 1, αn → 0 y αn 6= 0 para n ≥ n0.
ĺım
n→∞
log(1 + αn)
αn
= ĺım
n→∞
log((1 + αn)
1
αn ) = ĺım
n→∞
log
(1 + 11
αn
) 1
αn
 (1)= log e = 1
En (1) hemos usado la propiedad 7 de la proposición 38.
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 69 Caṕıtulo 2
Fin de la prueba
Como corolario del apartado 6 obtenemos
Si ĺımn xn = 1 y ĺımn yn = ±∞ entonces
ĺım
n→∞
xynn = e
ĺımn→∞ yn(xn−1)
Corolario 41.
Prueba:
Solo tenemos que darnos cuenta que
ĺım
n→∞
xynn = ĺım
n→∞
elog x
yn
n
(1)
= eĺımn→∞ log x
yn
n = eĺımn→∞ yn log xn
(2)
= eĺımn→∞ yn(xn−1)
En (1) hemos usado la proposición 36, apartado 6.
En (2) aplicamos el apartado 6 de la proposición anterior.
Fin de la prueba
Comparación de infinitos
Si (an)n y (bn)n son sucesiones con ĺımite ∞ escribimos bn � an si ĺımn anbn =∞.
Si b > 0, c > 1 y d > 0 sonnúmeros reales se tiene logn� nb � cn � ndn..
Además, si d ≥ 1 entonces cn � n!� ndn.
Corolario 42.
Con Maxima podemos comprobar los tamaños de los infinitos
(%i1) assume(b>0);
assume(c>1 and d>0);
( %o1) [b > 0]
( %o2) [c > 1, d > 0]
(%i3) limit(n^b/log(n),n,inf);
Is b an integer?no;
( %o3) ∞
(%i4) limit(c^n/n^b,n,inf);
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 70 Caṕıtulo 2
Is b an integer?no;
( %o4) ∞
(%i5) limit(n^(d*n)/c^n,n,inf);
( %o5) ∞
(%i6) assume(d>1);
( %o6) [d > 1]
(%i7) limit(n!/c^n,n,inf);
( %o7) ∞
(%i8) limit(n^(d*n)/n!,n,inf);
( %o8) ∞
(%i9) limit(n^n/n!,n,inf);
( %o9) ∞
Sean (an)n y (bn)n sucesiones de números reales que cumplen una de las dos condiciones siguientes:
1. (bn)n es estrictamente creciente (decreciente) y ĺım an = ĺım bn = 0, o
2. (bn)n es estrictamente creciente (decreciente) y ĺım bn =∞.
Entonces, si existe
ĺım
an+1 − an
bn+1 − bn
= L con L ∈ R ∪ {∞,−∞}
también se verifica ĺım anbn = L.
Proposición 43 (Criterios de Stolz).
Calcular el siguiente ĺımite
ĺım
n→∞
senα+ 22 sen α2 + · · ·+ n
2 sen αn
n2
Ejemplo 14.
Solución:
Aplicamos el criterio de Stolz: an = senα+ 2
2 sen α2 + · · ·+ n
2 sen αn , bn = n
2.
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 71 Caṕıtulo 2
ĺım
n→∞
an
bn
= ĺım
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= ĺım
n→∞
(n+ 1)2 sen αn+1
(n+ 1)2 − n2
= ĺım
n→∞
(n+ 1)2 sen αn+1
2n+ 1
=
= ĺım
n→∞
n+ 1
2n+ 1
sen αn+1
1
n+1
= ĺım
n→∞
n+ 1
2n+ 1
α ĺım
n→∞
sen αn+1
α
n+1
=
1
2
α1 =
α
2
Lo hacemos con Maxima
(%i1) a(n):=sum(k^2*sin(alpha/k),k,1,n);
( %o1) a (n) :=
n∑
k=1
k2 sin
(α
k
)
(%i2) b(n):=n^2;
( %o2) b (n) := n2
Calculamos el ĺımite directamente
(%i3) limit(a(n)/b(n),n,inf);
( %o3) ĺım
n→∞
∑n
k=1 sin
(
α
k
)
k2
n2
Maxima no sabe calcularlo. Aplicamos el criterio de Stolz.
(%i4) (a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n));
( %o4)
(∑n+1
k=1 sin
(
α
k
)
k2
)
−
∑n
k=1 sin
(
α
k
)
k2
(n+ 1)
2 − n2
Operamos en el numerador
(%i5) sumcontract(intosum(num((%))));
( %o5) (n+ 1)
2
sin
(
α
n+ 1
)
(%i6) %/(b(n+1)-b(n));
( %o6)
(n+ 1)
2
sin
(
α
n+1
)
(n+ 1)
2 − n2
(%i7) limit(%,n,inf);
( %o7)
α
2
Fin de la solución
Como aplicación de los criterios de Stolz obtenemos:
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 72 Caṕıtulo 2
1. Si (an)n una sucesión convergente entonces
ĺım
n
a1 + a2 + · · ·+ an
n
= ĺım
n
an.
2. Si (an)n una sucesión convergente de números positivos entonces
ĺım
n
n
√
a1 · a2 . . . an = ĺım
n
an.
3. Sea (an)n una sucesión de números positivos. Supongamos que existe ĺımn
an
an−1
entonces se
tiene
ĺım
n
n
√
an = ĺım
n
an
an−1
= ĺım
n
an
an−1
.
Corolario 44.
Prueba:
1. Es consecuencia inmediata del primero de los criterios de Stolz.
2. Se reduce al primero sin más que tomar logaritmos.
log ( n
√
a1 · a2 . . . an) =
1
n
log(a1 . . . an) =
log a1 + . . .+ log an
n
Por lo tanto, usando que si ĺımn xn = x entonces ĺımn log xn = log(ĺımn xn)
log
(
ĺım
n
n
√
a1 · a2 . . . an
)
= ĺım
n
log ( n
√
a1 · a2 . . . an) = ĺım
n
log a1 + . . .+ log an
n
= ĺım
n
log an = log ĺım
n
an
y por la inyectividad del logaritmo se obtiene el resultado.
3. observamos que se tiene la siguiente identidad
n
√
an = n
√
a1
1
a2
a1
. . .
an
an−1
.
Aplicando ahora el segundo apartado a la sucesión An :=
an
an−1
, para n ≥ 2, y A1 = a1 se obtiene el resultado
buscado ya que
ĺım
n
n
√
an = ĺım
n
n
√
A1A2 . . . An = ĺım
n
An = ĺım
n
an
an−1
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
2.3 Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites 73 Caṕıtulo 2
1. Desmostrar los siguientes resultados:
a) Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn an + bn =∞.
b) Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn = b 6= 0 entonces ĺımn anbn = +∞ o ĺımn anbn = −∞ según
que b sea positivo o negativo.
c) Si ĺımn an =∞ y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn anbn =∞.
d) Si ĺımn an = a ∈ R y ĺımn bn =∞ entonces ĺımn an/bn = 0.
2. Comprobar con ejemplos que no puede asegurarse nada en los siguientes casos:
ĺımn an + bn si ĺımn an = +∞, ĺımn bn = −∞
ĺımn anbn si ĺımn an = ±∞, ĺımn bn = 0
ĺımn an/bn si ĺımn an = ±∞, ĺımn bn = ±∞
ĺımn an/bn si ĺımn an = 0, ĺımn bn = 0
3. Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺımn→∞
3+6+···+3n
n2 (b) ĺımn→∞
4n+1+7n+1
4n+7n
(c) ĺımn→∞(
√
4n2 − 1− (2n− 1)) (d) ĺımn→∞ n
n
√
n−1
logn
(e) ĺımn→∞(
√
n2 + n
3
2 + 1−
√
n2 − n 32 − 1) (f) ĺımn→∞ n(
√
n+2n+1)
n2+3
(g) ĺımn→∞
(4n−2)(3n+1)(2n−5)2
n2(2n+3)(3n−1) (h) ĺımn→∞
n n
√
n−1
logn
(i) ĺımn→∞
√
n√
n+
√
n+
√
n
(j) ĺımn→∞
n
√
(2n)!
n!
(k) ĺımn→∞
n√
n!
n (l) ĺımn→∞
3n
√
n3 − 1
(m) ĺımn→∞(
√
n−3√
n+1
)
√
n (n) ĺımn→+∞(
1+n logn
n logn )
n
(o) ĺımn→∞(n
2 + n)
1
n+2 (p) ĺımn→∞(2 + n
2)
1
logn
(q) ĺımn→∞(
log(n+a)
logn )
n logn (r) ĺımn→∞
1p+3p+···+(2n−1)p
np+1
4. Calcular el ĺımite de la siguiente sucesión: 1n2 +
1
(n+1)2 + · · ·+
1
(n+n)2 .
Ejercicios 5.
Luis Oncina, Cálculo I
2.4 Autoevaluación 74 Caṕıtulo 2
2.4. Autoevaluación
1. Calculad, para c 6= d, ĺım
n→∞
√
n+ a−
√
n+ b
√
n+ c−
√
n+ d
2. Calculad
ĺım
n→∞
1
2 +
√
2
3 + . . .+
√
n
n+1√
n+ 1
3. Hallad, para cualquier número natural k > 1, el siguiente ĺım
n→∞
1k + 2k + . . .+ nk
nk+1
4. Calculad ĺımn→∞
(√
n2 +
√
n− n
)
(
√
n+ 1 +
√
2n).
5. Calculad
ĺım
n→∞
n2 + 3n
2 + 6 + 10 + . . .+ (4n− 2)
6. Calculad
ĺım
n→∞
(
n+ 2
n2 + 1
+
n+ 4
n2 + 2
+ . . .+
n+ 2n
n2 + n
)
7. Consideremos la sucesión definida por recurrencia mediante la fórmula:
a1 = 1, an+1 =
3
√
4 + a2n, para n ≥ 1.
Probad que la sucesión es convergente y hallad su ĺımite.
8. Consideremos la sucesión definida por recurrencia mediante la fórmula:
x1 =
1
2
, xn+1 =
√
1 + xn
2
, para n ≥ 1.
Probad que la sucesión es convergente y hallad su ĺımite.
9. Consideremos la siguiente sucesión definida por recurrencia:
x1 = 3, xn+1 =
√
3xn − 2, n ≥ 1
Probad que es convergente y hallad su ĺımite.
10. Hallad
ĺım
n→∞
(n+ 2)! + (n+ 1)!
(n+ 3)!
11. Hallad
ĺım
n→∞
√
1 + 22 +
√
1 + 32 + . . .+
√
1 + n2
n2 + 1
Autoevaluación 2.
Luis Oncina, Cálculo I
3 Funcionescontinuas
3.1. Ĺımite de una función en un punto
Denotaremos por R al conjunto R∪{+∞}∪{−∞} que se conoce como recta real ampliada. En lo que sigue
por intervalo I de extremos a, b ∈ R entenderemos cualquiera de los siguientes intervalos: [a, b], [a, b), (a, b],
(a, b), (−∞,+∞), (−∞, b), (−∞, b], (a,+∞), [a,+∞).
Sea I un intervalo de R de extremos a, b. Sea f una función con valores reales cuyo dominio
incluye (a, b). Si c ∈ I se dice que ` es el ĺımite de f en c, y se escribe
ĺım
x→c
f(x) = `,
si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− c| < δ y x ∈ I entonces se tiene |f(x)− `| < ε.
Definición 29.
Una terminoloǵıa que resulta útil es la siguiente:
75
3.1 Ĺımite de una función en un punto 76 Caṕıtulo 3
1. Se dice que V es un entorno de x ∈ R si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ V . En particular
B(x, r) es un entorno de x.
2. Si V es un entorno de x ∈ R se llama entorno reducido de x al conjunto V \ {x}
3. Si A es un subconjunto de R diremos que x ∈ R es un punto de acumulación de A si para
cada V , entorno de x, el conjunto V ∩A contiene al menos un punto diferente de x .
Definición 30.
Sea A 6= ∅ un conjunto en R y x ∈ R. Entonces x es un punto de acumulación de A si, y sólo si,
existe una sucesión (xn)n ⊂ A con xn 6= x, para todo n ∈ N, tal que x = ĺımn xn.
Proposición 45.
Prueba:
Supongamos que x es un punto de acumulación de A. Para cada n ∈ N, B(x, 1n ) ∩ A ha de contener algún
punto distinto de x. Si xn es uno de esos puntos, tenemos que ĺımn→∞ xn = x ya que |xn − x| < 1n .
Para probar el rećıproco, sea V un entorno de x y sea r > 0 tal que B(x, r) ⊂ V . Por hipótesis existe
(xn) ⊂ A, con xn 6= x y ĺımxn = x Para r > 0 dado anteriormente existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se tiene
|xn − x| < r, es decir, xn ∈ B(x, r), luego xn ∈ V ∩A y xn 6= x.
Fin de la pruebaPara funciones cuyo dominio de definición no es un intervalo se puede extender la definición de ĺımite del
siguiente modo:
Sea f : D → R. Si c es punto de acumulación de D se dice que ` es el ĺımite de f en c, y se
escribe ĺım
x→c
f(x) = `, si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ, x ∈ D entonces
es |f(x)− `| < ε.
Definición 31.
La existencia del ĺımite de una función en un punto puede caracterizarse en términos de sucesiones.
Sean f : D → R y c un punto de acumulación de D. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. ` = ĺımx→c f(x).
2. Para cada sucesión (xn)n∈N ⊂ D tal que ĺımn xn = c y xn 6= c para todo n ∈ N, se verifica
` = ĺımn f(xn).
Proposición 46.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 77 Caṕıtulo 3
Prueba:
1.⇒2. Por la definición de ĺımite, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D, 0 < |x − c| < δ se cumple
|f(x)− `| < ε. Sea ahora (xn) ⊂ D, con xn 6= c y ĺımn xn = c (que existe por ser c un punto de acumulación
de D). Existe n0 ∈ N tal que si n > n0, |xn − c| < δ y por tanto |f(xn)− `| < ε.
2.⇒1. Supongamos que ` no es el ĺımite de f(x) en c. Existirá pues ε > 0 tal que para todo δ > 0 podremos
encontrar x ∈ D, x 6= c con |x − c| < δ y sin embargo |f(x) − `| > ε. Para cada n ∈ N tomando δ = 1n
obtendremos (xn) ⊂ D, xn 6= c tal que |xn − c| < 1n y |f(xn) − `| > ε. Aśı obtenemos (xn) → c pero
(f(xn)) 6→ `.
Fin de la prueba
Aunque no hemos introducido formalmente las funciones trigonométricas seno, coseno y tangen-
te, ya las conocemos y las manejaremos habitualmente. Algunas propiedades y sus gráficas se
pueden encontrar en los complementos donde también presentamos las funciones trigonométricas
hiperbólicas. Una propiedad importante que tiene la función seno es que
ĺım
x→0
senx = 0
Nota.
1. La función f : R→ R definida por f(x) = x tiene por ĺımite c en el punto c.
2. La función f : R→ R definida por f(x) = x3 tiene por ĺımite c3 en el punto c.
3. La función f : R→ R definida por f(x) = senx tiene por ĺımite sen c en el punto c.
4. La función f : R→ R definida por f(x) = ex tiene por ĺımite ec en el punto c.
5. La función f : (0,+∞)→ R definida por f(x) = log x tiene por ĺımite log c en el punto c.
6. La función f : [0,+∞)→ R definida por f(x) = n
√
x tiene por ĺımite n
√
c en el punto c.
7. La función f : R→ R definida por f(x) = [x] tiene por ĺımite [c] si c 6∈ Z y no tiene ĺımite
si c ∈ Z.
8. La función f : R→ R definida por f(x) = sen(1/x) no tiene ĺımite para c = 0.
9. La función f : R→ R definida por f(x) = x sen(1/x) tiene por ĺımite 0 para c = 0.
Ejemplo 15.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 78 Caṕıtulo 3
Prueba:
Antes de hacer la prueba,
Primero calculamos los ĺımites con Maxima
(%i1) limit(x,x,c);
( %o1) c
(%i2) limit(x^3,x,c);
( %o2) c3
(%i3) limit(sin(x),x,c);
( %o3) sin (c)
(%i4) limit(%e^x,x,c);
( %o4) ec
(%i5) limit(log(x), x,c);
( %o5) log (c)
(%i6) limit((x)^(1/n),x,c);
( %o6) c
1
n
La función parte entera se escribe como entier(x)
(%i7) limit(entier(x),x,c);
( %o7) ĺım
x→c
floor (x)
No nos da una respuesta satisfactoria (buscad en la ayuda la función floor). Le decimos a Maxima que c
no es entero
(%i8) declare(c,noninteger);
( %o8) done
(%i9) limit(entier(x),x,c);
( %o9) ĺım
x→c
floor (x)
(%i10) kill(c);
( %o10) done
(%i11) declare(c,integer);
( %o11) done
(%i12) limit(entier(x),x,c);
( %o12)und
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 79 Caṕıtulo 3
und significa que es un valor indefinido.
(%i13) limit(entier(x),x,1.5);
rat: replaced 0.5 by 1/2 = 0.5
rat: replaced 1.0 by 1/1 = 1.0
rat: replaced -1.5 by -3/2 = -1.5
rat: replaced -1.5 by -3/2 = -1.5
rat: replaced 0.5 by 1/2 = 0.5
rat: replaced 1.0 by 1/1 = 1.0
rat: replaced -1.5 by -3/2 = -1.5
Sigue un buen rato de esta forma. Nos interesa el resultado.
( %o13) 1
Este tipo de mensajes son algo molestos. Para que no aparezcan durante cálculos usamos el comando:
(%i14) ratprint:false;
( %o14) false
(%i15) limit(entier(x),x,1);
( %o15)und
(%i16) limit(sin(1/x),x,0);
( %o16) ind
ind significa indefinido pero acotado, es decir, la función no tiene ĺımite en el punto pero está acotada en un
entorno de dicho punto.
(%i17) limit(x*sin(1/x),x,0);
( %o17) 0
1. Dado ε > 0 si tomamos δ := ε tenemos que si |x − c| < δ entonces |f(x) − c| = |x − c| < ε, es decir,
ĺımx→c f(x) = c.
2. Si xn es una sucesión que converge a c, sabemos que x
3
n converge a c
3, es decir, ĺımn f(xn) = c
3.
3. Aplicando la fórmula senx− sen c = 2 cos x+c2 sen
x−c
2 tenemos que
| senx− sen c| =
∣∣∣∣2 cos x+ c2 sen x− c2
∣∣∣∣ = 2 ∣∣∣∣cos x+ c2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣sen x− c2
∣∣∣∣ ≤ 2 ∣∣∣∣sen x− c2
∣∣∣∣
Ahora como ĺımy→0 sen y = 0 dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que si |y| < δ1 tenemos que | sen y| < ε2 . Aśı, si
|x−c2 | < δ1 ⇔ |x− c| < 2δ1 := δ tenemos que
| senx− sen c| ≤ 2
∣∣∣∣sen x− c2
∣∣∣∣ < 2ε2 = ε
4. Es consecuencia directa de la proposición 36, apartado 6, y de la Proposición 46.
5. Es consecuencia directa de la proposición 38, apartado 7, y de la Proposición 46.
6. Es consecuencia directa de la proposición 33, apartado 6, y de la Proposición 46.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 80 Caṕıtulo 3
7. Si c 6∈ Z existe δ > 0 tal que si |x− c| < δ entonces [x] = [c], es decir, si n < c < n+ 1 para algún entero
n tomamos δ suficientemente pequeño para que n < c− δ < c < c+ δ < n+1 y por tanto si x ∈ (c− δ, c+ δ)
entonces x y c tienen la misma parte entera. Por lo tanto ĺımx→c[x] = [c].
Si c ∈ Z, para x < c tenemos que [x] < [c] = c mientras que si x > c, [x] ≥ [c] = c. Para cada n > 1, sean
yn = c− 1n y xn = c+
1
n . Tanto xn como yn convergen a c. Sin embargo, [yn] = c− 1 mientras que [xn] = c.
Aśı ĺımn→∞[yn] = c− 1 6= ĺımn→∞[xn] = c por lo que la función parte entera no tiene ĺımite en c.
8. Consideremos las sucesiones
xn =
1
2πn
e yn =
1
π/2 + 2πn
Tanto xn como yn convergen a 0 cuando n → ∞ y sin embargo f(xn) = 0 para todo n mientras que
f(yn) = 1. Luego no puede existir ĺımite.
Con Maxima
(%i1) f:sin(1/x);
( %o1) sin
(
1
x
)
(%i2) x[n]:=1/(2*%pi*n);
( %o2) xn :=
1
2π n
(%i3) y[n]:=1/(%pi/2+2*%pi*n);
( %o3) yn :=
1
π
2 + 2π n
(%i4) ev(f,x=x[n]);
( %o4) sin (2π n)
(%i5) limit(%,n,inf);
( %o5) ind
¿Qué ocurre aqúı? Maxima no sabe que sen(2πn) = 0. Hay que decirle que n es un número natural (o
entero).
(%i6) declare(n,integer);
( %o6) done
(%i7) ev(f,x=x[n]);
( %o7) 0
(%i8) ev(f,x=y[n]);
( %o8) 1
De color rojo hemos representado los puntos (xn, f(xn)) mientras que en azul dibujamos (yn, f(yn)).
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 81 Caṕıtulo 3
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
9. |x sen(1/x)| ≤ |x| y sólo hay que aplicar la definición de ĺımite. Gráficamente se observa que
−x ≤ x sen(1/x) ≤ x
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x
x
-x
sin(1/x)*x
Fin de la prueba
De la unicidad del ĺımite de una sucesión se deduce inmediatamente que el ĺımite de una función también
es único.
Si existe el ĺımite de una función en un punto, entonces es único.
Proposición 47.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 82 Caṕıtulo 3
Álgebra de ĺımites
Utilizando la proposición 46 y las correspondientes propiedades para los ĺımites de sucesiones (propo-
sición 23) puede probarse sin dificultad el siguiente enunciado.
Sean f, g funciones de D en R tales que existen ĺımx→c f(x) = L1 ∈ R y ĺımx→c g(x) = L2 ∈ R.
Entonces:
1. Existe ĺımx→c f(x) + g(x) y vale L1 + L2.
2. Existe ĺımx→c f(x) · g(x) y vale L1 · L2
3. Existe ĺımx→c
f(x)
g(x)
y vale
L1
L2
en el supuesto de que L2 6= 0.
4. L1 ≤ L2 en el supuesto de que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ D.
5. Si h es otra función de D en R tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en D y además L1 = L2 = L,
también se verifica que L = ĺımx→c h(x).
Proposición 48.
Ĺımitesinfinitos y en el infinito
Hasta ahora hemos considerado que c y L son números reales, pero es posible ampliar las definiciones
para que incluyan también los ĺımites infinitos o ĺımites en el infinito. Basta para ello utilizar la definición
31 aclarando lo que se entiende por entornos de ∞.
Un entorno de +∞ es cualquier conjunto de la forma (k,+∞). Un entorno de −∞ es cualquier conjunto
de la forma (−∞, k). Aśı:
Sea f : (a,+∞)→ R, ` ∈ R. Diremos que:
1. ĺım
x→+∞
f(x) = ` si para cada ε > 0 existe K > 0: si x ∈ (K,+∞)∩ I entonces |f(x)− `| < ε.
2. ĺım
x→+∞
f(x) = +∞ si para cada K > 0 existe M > 0: si x ∈ I, x > M entonces f(x) > M .
Definición 32.
Sea f : I → R, c punto de acumulación de I. Diremos que ĺım
x→c
f(x) = +∞ si para cada K > 0
existe δ > 0: si x ∈ I, 0 < |x− c| < δ entonces f(x) > K.
Definición 33.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 83 Caṕıtulo 3
Ĺımites laterales
En ocasiones interesa considerar ĺımites de una función en un punto a través de un subconjunto de su
dominio, lo que no es otra cosa que considerar la restricción de la función a ese subconjunto del dominio.
Especial interés tienen en R los ĺımites laterales que a continuación se definen:
Sea f : D ⊂ R→ R y sea c un punto de acumulación de D.
1. Se llama ĺımite por la derecha de f en c y se denota con f(c+) = ĺımx→c+ f(x) al ĺımite
de la función g : D ∩ (c,+∞) → R en c, supuesto que c sea un punto de acumulación del
dominio de g y donde g representa la restricción de f a D ∩ (c,+∞).
2. Se llama ĺımite por la izquierda de f en c y se denota con f(c−) = ĺımx→c− f(x) al ĺımite
de la función g : D ∩ (−∞, c) → R en c, supuesto que c sea un punto de acumulación del
dominio de g y donde g representa la restricción de f a D ∩ (−∞, c).
Definición 34.
De la definición es evidente que si existe el ĺımite de una función en un punto c, entonces existen
los dos ĺımites laterales en c y coinciden. Y, rećıprocamente, si existen los dos ĺımites laterales en
un punto y coinciden, entonces existe el ĺımite de la función en dicho punto.
Nota.
1. La función parte entera, f(x) = [x] tiene ĺımite por la izquierda en cada entero c que vale
c− 1 y ĺımite por la derecha que vale c.
2. La función f(x) = 1/x, x 6= 0 verifica que ĺımx→0− f(x) = −∞ y ĺımx→0+ f(x) = +∞.
3. La función f(x) = 1x2 tiene por ĺımite +∞ en x = 0.
4. Para la función f(x) = e−(1/x) se verifica que
ĺım
x→0+
f(x) = 0 y ĺım
x→0−
f(x) = +∞.
5. Para la función f(x) = e−(1/x
2) se verifica que ĺımx→∞ f(x) = 1.
Ejemplo 16.
Solución:
1. Sea c ∈ Z. Si c − 1 < x < c entonces [x] = c − 1 (la función es constante en (c − 1, c)) y por tanto
ĺımx→c− [x] = c − 1. Si consideramos ahora c < x < c + 1 tenemos que [x] = c (es constante en (c, c + 1))
por lo que ĺımx→c+ [x] = c.
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 84 Caṕıtulo 3
Con Maxima
(%i1) declare(c,integer);
( %o1) done
(%i2) limit(entier(x),x,c,minus);
( %o2) c− 1
(%i3) limit(entier(x),x,c,plus);
( %o3) c
2.
Representamos la función y hallamos los ĺımites
(%i1) plot2d(1/x,[x,-3,3],[y,-10,10]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.plot2d: some values were
clipped.
( %o1)
-10
-5
 0
 5
 10
-3 -2 -1 0 1 2 3
1/
x
x
(%i2) limit(1/x,x,0,plus);
( %o2) ∞
(%i3) limit(1/x,x,0,minus);
( %o3) −∞
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 85 Caṕıtulo 3
Vamos ahora a aplicar la definición de ĺımite. Dado K > 0 si tomamos como δ := 1K resulta que si 0 < x < δ
tenemos que
1
x
>
1
δ
=
1
1
K
= K
luego ĺımx→0+
1
x = +∞. De forma similar (teniendo cuidado con los signos) se demuestra que ĺımx→0−
1
x =
−∞.
3.
(%i1) plot2d(1/x^2,[x,-3,3],[y,0,10]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.plot2d: some values were
clipped.
( %o1)
 0
 2
 4
 6
 8
 10
-3 -2 -1 0 1 2 3
1/
x^
2
x
(%i2) limit(1/x^2,x,0);
( %o2) ∞
Dado K > 0 tomando como δ := 1√
K
resulta que si 0 < |x− 0| = |x| < δ resulta que
|f(x)| = 1
x2
>
1
δ2
= K
lo cual demuestra que ĺımx→0
1
x2 =∞.
4.
(%i1) f:exp(-1/x);
( %o1) e−
1
x
(%i2) limit(f,x,0);
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 86 Caṕıtulo 3
( %o2) und
(%i3) limit(f,x,0,plus);
( %o3) 0
(%i4) limit(f,x,0,minus);
( %o4) ∞
(%i5) plot2d(f,[x,-2,2],[y,0,10]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.plot2d: some values were
clipped.
( %o5)
 0
 2
 4
 6
 8
 10
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
%
e^
-(
1/
x)
x
Para hallar el ĺımite lateral por la derecha, notad que
ĺım
x→0+
e−
1
x = ĺım
x→0+
1
e
1
x
=
1
e+∞
=
1
+∞
= 0
Hallamos ahora el ĺımite por la izquierda
ĺım
x→0−
e−
1
x = e+∞ = +∞
5. En este caso, dado que ĺımx→∞
1
x2 = 0 y la exponencial es continua
ĺım
x→∞
e
1
x2 = e0 = 1
(%i1) f:exp(-1/x^2);
( %o1) e−
1
x2
Luis Oncina, Cálculo I
3.1 Ĺımite de una función en un punto 87 Caṕıtulo 3
(%i2) limit(f,x,inf);
( %o2) 1
(%i3) plot2d(f,[x,-10,10]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.
( %o3)
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
-10 -5 0 5 10
%
e^
-(
1/
x^
2)
x
Fin de la solución
Funciones monótonas
Sea f : I → R siendo I un intervalo de R. Se dice que f es:
creciente (resp. estrictamente creciente) si dados x < y ∈ I se cumple f(x) ≤ f(y) (resp.
f(x) < f(y)).
decreciente (resp. estrictamente decreciente) si dados x < y ∈ I se cumple f(x) ≥ f(y)
(resp. f(x) > f(y)).
monótona (en I) si es creciente o decreciente en I.
Definición 35.
Si f : I → R siendo I un intervalo es monótona, entonces para todo c ∈ I existen ĺım
x→c−
f(x) y
ĺım
x→c+
f(x).
Ejemplo 17.
Solución:
Supongamos que f es monótona creciente y que c no es un extremo del intervalo I (en el caso de ser un
extremo solo podŕıamos calcular uno de los ĺımites laterales).
Sea A := {f(x) : x ∈ I, x < c}. Si fijamos a > c, a ∈ I, al ser f creciente tenemos que f(x) ≤ f(a) para todo
x ∈ I, x < a. En particular será f(x) < f(a) para todo x ∈ I, x < c, es decir, el conjunto A está acotado
Luis Oncina, Cálculo I
3.2 Funciones continuas 88 Caṕıtulo 3
superiormente. Al no ser c un extremos de I tenemos que A es también no vaćıo y por tanto existe α = supA.
Probemos que α = ĺımx→c− f(x).
Dado ε > 0 el número α− ε < α no es supremo de A, luego debe existir x0 < c, x0 ∈ I tal que
α− ε < f(x0) ≤ α
Pero por la monotońıa de f , si x ∈ I con x0 < x < c tenemos que α− ε < f(x) < α, es decir, |f(x)−α| < ε
para todo x ∈ (x0, c).
El caso del ĺımite lateral por la derecha se hace de forma análoga sin más que trabajar con el ı́nfimo del
conjunto correspondiente.
Fin de la solución
1. Demostrar, usando directamente la definición de ĺımite funcional, que si existe el ĺımite de
una función en un punto, entonces es único.
2. Se consideran las funciones f(x) = log(x−1x+2 ) y g(x) = log(x− 1)− log(x+ 2) para valores
de x en sus respectivos dominios. ¿Qué relación existe entre f(x) y g(x)?
3. Estudiar la existencia de los siguientes ĺımites y calcular su valor o los valores de los ĺımites
laterales correspondientes, cuando existan:
ĺım
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4
ĺım
x→0
|x|
x2 + x
ĺım
x→0
(2 + sen(
1
x
)) ĺım
x→0
√
x
2 + sen( 1x )
ĺım
x→∞
e−x cosx ĺım
x→−∞
3− x2
1− 2x2
ĺım
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
ĺım
x→1
√
1 + 8x4
Ejercicios 6.
3.2. Funciones continuas
La continuidad de una función en un punto c de su dominio responde a la idea de que los valores que
toma f en los puntos cercanos a c están próximos al valor f(c). La definición que sigue formaliza esa idea.
Sea f : D → R y sea c ∈ D. Se dice que f es continua en c si para ε > 0 existe δ > 0 tal que si
|x− c| < δ entonces |f(x)− f(c)| < ε.
Definición 36.
Obsérvese que si c ∈ D es un punto de acumulación de D, lo anterior equivale a que f(c) = ĺımx→c f(x).
Mientrasque si c no es un punto de acumulación de D (es lo que se llama un punto aislado de D) entonces la
condición anterior se cumple trivialmente. En otras palabras una función es siempre continua en los puntos
aislados de su dominio, y en los puntos de acumulación del dominio, que pertenezcan al dominio, lo es si y
Luis Oncina, Cálculo I
3.2 Funciones continuas 89 Caṕıtulo 3
sólo si el ĺımite de la función en el punto coincide con el valor que la función toma en dicho punto. Es decir,
se obtiene aśı el resultado siguiente.
Sea f : D → R y sea c ∈ D. Las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. f es continua en c.
2. Para cada sucesión (xn)n ⊂ D con c = ĺımn xn se tiene f(c) = ĺımn f(xn).
Proposición 49.
Operaciones con funciones continuas
Una función f : D → R se dice continua en D si lo es en cada punto de D.
Definición 37.
Como consecuencia de los correspondientes resultados para ĺımites de una función en un punto,
la suma, el producto y el cociente (si está definido) de funciones continuas da como resultado una
función continua.
Nota.
Lo mismo ocurre con la composición de funciones continuas.
Sea f1 : D1 → R una función continua en c ∈ D1 y sea f2 : D2 → R tal que f1(D1) ⊂ D2 continua
en f1(c). Entonces f2 ◦ f1 es continua en c.
Proposición 50.
Prueba:
Para cualquier sucesión (xn)n∈N ⊂ D tal que c = ĺımn xn, por la continuidad de f1 en c se tiene que
f1(c) = ĺımn f(xn), pero al ser f2 continua en f1(c) se tiene, a su vez, f2(f1(c)) = ĺımn f2(f1(xn)), o dicho
de otra forma (f2 ◦ f1)(c) = ĺımn(f2 ◦ f1)(xn) y en consecuencia, aplicando la proposición 49, se obtiene que
f2 ◦ f1 es continua en c.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
3.2 Funciones continuas 90 Caṕıtulo 3
Ejemplos de funciones continuas
1. Las funciones constantes, la identidad y, más generalmente, los polinomios son funciones
continuas.
2. La función exponencial, definida por f(x) = ex, es continua en todo punto.
3. El logaritmo neperiano, definido por f(x) = log x para x > 0, es continua para todo x > 0.
4. Las funciones seno y coseno son continuas en todo punto.
5. La función de Dirichlet D1 definida mediante D1(x) :=
0, si x /∈ Q1, si x ∈ Q, no es continua en
ningún punto.
Ejemplo 18.
Solución:
1. Es consecuencia directa de la proposición 48. Dado que la identidad es continua f(x) = x resulta que
f(x)f(x) = x2 también lo es. Aśı, por inducción, para cualquier número natural xn es una función continua.
Ahora si an ∈ R entonces la función anxn es una función continua.
Finalmente, un polinomio anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0 es suma de funciones continuas y por tanto
continua.
2. Es consecuencia del ejemplo 15, apartado 4.
3. Es consecuencia del ejemplo 15, apartado 5.
4. La continuidad de la función seno ya la probamos en el ejemplo 15. La del coseno se prueba de forma
análoga.
5. Sea r ∈ Q por las propiedades de densidad de R (ver corolarios 15 y 17) podemos encontrar sucesiones
(rn)n ⊂ Q y (xn)n ⊂ R \ Q tales que ĺımn rn = ĺımn xn = r. Pero D1(rn) = 0 y D1(xn) = 1 de donde
ĺımnD1(rn) 6= ĺımnD1(xn), es decir, la función D1 no tiene ĺımite en r por lo que no puede ser continua.
De forma análoga se razona si r ∈ R \Q.
Fin de la solución
El siguiente ejemplo es importante ya que gracias a él podremos, en el siguiente caṕıtulo, calcular la derivada
de la función seno.
Demostrar que la función f(x) = sen xx si x 6= 0 y f(0) = 1 es continua en todo R.
Ejemplo 19.
Prueba:
Si x 6= 0 la función es continua por ser cociente de funciones continuas. En el caso x = 0 hemos de probar
que efectivamente ĺımx→0
sen x
x = 1 = f(0). (Dicho ĺımite es cierto cuando x viene expresado en radianes).
La gráfica de la función es la siguiente:
Luis Oncina, Cálculo I
3.2 Funciones continuas 91 Caṕıtulo 3
 0.955
 0.96
 0.965
 0.97
 0.975
 0.98
 0.985
 0.99
 0.995
 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
si
n(
x)
/x
x
Es bastante claro, a la vista de la gráfica, cual es el ĺımite.
Maxima sabe calcularlo
(%i1) ’limit(sin(x)/x,x,0)=limit(sin(x)/x,x,0);
( %o1) ĺım
x→0
sin (x)
x
= 1
La prueba geométrica la ponemos en complementos.
Fin de la prueba
A veces una función f no es continua en un punto c de su dominio porque:
a pesar de que existe ĺımx→c f(x), el valor de dicho ĺımite no coincide con f(c). Un punto c
de esa naturaleza se llama una discontinuidad evitable para f , en el sentido de que f puede
redefinirse en c de modo que sea continua en dicho punto.
Si existen los dos ĺımites laterales en c pero no coinciden se dice que la discontinuidad de
f en c es de primera especie y se llama salto de f en c a la diferencia |f(c+)− f(c−)|. Tal
ocurre con la función parte entera en los puntos de Z y más generalmente con cualquier
función monótona.
Si alguno de los dos ĺımites laterales no existe la discontinuidad se suele llamar discontinuidad
de segunda especie.
Nota (Tipos de discontinuidad).
1. Determinar los dominios de definición y los puntos de discontinuidad de las funciones:
f(x) =
√
x− [x], f(x) = e−
1
(x−1)2 , f(x) = sen(x−1)|x−1|
2. Calcular f(0) para que f sea continua en x = 0 en los siguientes casos:
f(x) = x2 sen 1x , f(x) =
(1+x)n−1
x
Ejercicios 7.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 92 Caṕıtulo 3
3.3. Funciones continuas en un intervalo
En esta sección y en la siguiente nos ocuparemos de cuestiones relativas a continuidad global, es decir, a
la continuidad en un intervalo. Los resultados centrales, teoremas de Weierstrass y Bolzano, dependen de la
completitud de la recta real.
3.3.1. Teoremas de Weierstrass y Bolzano
Una función acotada no alcanza necesariamente su máximo, incluso aunque sea continua. La función
identidad f : (a, b) → R definida por f(x) = x es un buen ejemplo. Asimismo es sencillo construir una
función (no continua) definida en un intervalo cerrado que no es acotada. Las funciones continuas definidas
en intervalos cerrados y acotados tienen un comportamiento más satisfactorio, recogido en el teorema que
sigue.
Sea f : [a, b] → R una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado de R con
valores reales. Entonces:
1. f es una función acotada.
2. Existen c, d ∈ [a, b] tales que f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), es decir, f alcanza sus valores máximo y
mı́nimo en dicho intervalo.
Teorema 51 (Weierstrass).
Prueba:
1. Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo. Si f no estuviera acotada, para cada n ∈ N, existiŕıa
xn ∈ [a, b] tal que |f(xn)| > n. Aplicando el teorema de Bolzano–Weierstrass 29, se tiene garantizada la
existencia de una subsucesión (xnk)k∈N de la sucesión (xn)n∈N convergente a un punto, digamos, c ∈ [a, b].
Pero entonces, como f es continua en c la sucesión (f(xnk))k∈N converge a f(c) y por tanto es una sucesión
acotada, lo cual es absurdo, ya que |f(xnk)| > nk.
2. Por lo anterior el conjunto f([a, b]) es acotado. Si α = sup{f(x) : x ∈ [a, b]} existe una sucesión (xn)n ⊂
[a, b] con α = ĺımn f(xn) y, procediendo como antes, existe una subsucesión (xnk)k∈N de la sucesión (xn)n∈N
convergente a un punto, digamos, d ∈ [a, b]. Entonces por la continuidad de f es f(d) = ĺım f(xnk), pero
como α = ĺımk f(xnk) se concluye que α = f(d), es decir, la función f alcanza su máximo absoluto en el
punto d. La demostración de que f alcanza su mı́nimo absoluto en [a, b] se realiza de forma análoga sin más
que tomar β = ı́nf{f(x) : x ∈ [a, b]}.
Fin de la prueba
La clave de la demostración del teorema anterior está en la propiedad de Bolzano-Weierstrass, que asegura
que cada sucesión acotada en [a, b] posee una subsucesión convergente a un punto de [a, b]. De hecho, más
generalmente, el teorema es válido para cualquier función continua cuyo dominio cumpla esa propiedad,
denominados conjuntos compactos.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 93 Caṕıtulo 3
Sea f : [a, b] → R una función continua tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f(c)= 0.
Teorema 52 (Bolzano).
Prueba:
Supongamos, por ejemplo que f(a) < 0 y f(b) > 0 y definimos a1 = a y b1 = b. Tomemos m el punto medio
de [a, b]. Si f(m) = 0 ya hemos terminado. En el caso de que f(m) 6= 0, f cambia de signo en alguno de los
intervalos [a,m] o [m, b]. Supongamos, por ejemplo, f(a) < 0 y f(m) > 0 y pongamos a2 = a1 y b2 = m.
Tomamos ahora m2 el punto medio de [a2, b2] y evaluamos f . Procediendo recursivamente o bien se encuentra
un cero de f en alguna de las etapas o bien se obtiene una sucesión [an, bn] en las condiciones del principio
de encaje de Cantor. Si llamamos
c :=
∞⋂
n=1
[an, bn] se tiene c = ĺım
n
an = ĺım
n
bn
La continuidad de f junto con que f(an) < 0 y f(bn) > 0 implica que
f(c) = ĺım
n→∞
f(an) ≤ 0 y f(c) = ĺım
n→∞
f(bn) ≥ 0
lo que permite concluir que f(c) = 0.
Fin de la prueba
De la prueba del teorema de Bolzano que hemos visto podemos obtener un método para resolver de forma
aproximada una ecuación.
Método de bisección
Es un algoritmo muy simple, aunque bastante lento, para hallar las ráıces de una función continua, y
consiste en:
1. Localizar un intervalo de la recta real [a, b] donde f cambie de signo (f(a)f(b) < 0). El teorema de
Bolzano nos asegura que en el intervalo [a, b] hay una ráız.
2. Calcular f(a+b2 ), el valor de f en el punto medio del intervalo. Si f(
a+b
2 ) = 0 hemos terminado. En
caso contrario elegimos el subintervalo en el que f cambia de signo.
3. Repetir el proceso para ir “acorralando” a la ráız.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 94 Caṕıtulo 3
Aproximar una ráız de f(x) = x3 + x− 1 con 2 cifras decimales.
Ejemplo 20.
Solución:
Como f(0) = −1 y f(1) = 1, hay una ráız en I0 = [0, 1]. Cogemos ahora una calculadora de mano y con
paciencia aplicamos el método.
En el punto medio se tiene f(0′5) < 0, luego la ráız está en el intervalo I1 = [0
′5, 1].
En el punto medio se tiene f(0′75) > 0, luego la ráız está en el intervalo I2 = [0
′5, 0′75].
Continuando aśı se obtienen los intervalos
I3 = [0
′625, 0′75] I4 = [0
′625, 0′6875] I5 = [0
′65625, 0′6875] I6 = [0
′671875, 0′6875]
I7 = [0
′6796875, 0′6875] I8 = [0
′6796875, 0′68359375] I9 = [0
′681640625, 0′68359375]
por lo que la aproximación pedida es 0′68.
Si nos pidieran 4 decimales habŕıa que llegar hasta I14 = [0
′682312 . . . , 0′682373 . . . ], o mejor hasta I15 =
[0′682312 . . . , 0′682342 . . . ] para estar seguros de que la quinta cifra decimal no es superior a 5 (en ese caso
habŕıa que redondear a 0′6824).
Maxima lo hace más fácil
Definimos la función a la que queremos hallar las ráıces.
(%i1) f:x^3+x-1;
( %o1) x3 + x− 1
Evaluamos dicha función en los puntos x = 0 y x = 1.
(%i2) ev(f,x=0);
ev(f,x=1);
( %o2) − 1
( %o3) 1
Una vez encontrados puntos donde la función cambia de signo, usamos el comando
(%i4) find_root(f,x,0,1);
( %o4) 0,68232780382802
¿Hay más ráıces? Vamos a verlo gráficamente.
(%i5) plot2d(f,[x,-3,3]);
( %o5)
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 95 Caṕıtulo 3
-40
-30
-20
-10
 0
 10
 20
 30
-3 -2 -1 0 1 2 3
x^
3+
x-
1
x
Aparentemente no hay más ráıces. Para dar una prueba de este hecho tendremos que esperar al cálculo
diferencial.
¿Puede Maxima resolver la ecuación x3 + x− 1 = 0 de forma exacta?
(%i6) solve(x^3+x-1,x);
( %o6) [x =
(√
31
2 3
3
2
+
1
2
) 1
3
(
−
√
3 i
2
− 1
2
)
−
√
3 i
2 −
1
2
3
(√
31
2 3
3
2
+ 12
) 1
3
,
x =
(√
31
2 3
3
2
+
1
2
) 1
3
(√
3 i
2
− 1
2
)
−
−
√
3 i
2 −
1
2
3
(√
31
2 3
3
2
+ 12
) 1
3
, x =
(√
31
2 3
3
2
+
1
2
) 1
3
− 1
3
(√
31
2 3
3
2
+ 12
) 1
3
]
Si puede, además nos dice que la ecuación tiene dos ráıces complejas y una real. La solución real que nos
proporciona ¿coincide con la obtenida por el método numérico?
(%i7) raiz:rhs(part(%[3]));
( %o7)
(√
31
2 3
3
2
+
1
2
) 1
3
− 1
3
(√
31
2 3
3
2
+ 12
) 1
3
(%i8) float(%);
( %o8) 0,68232780382802
Fin de la solución
El teorema del punto fijo
Una consecuencia del teorema del Bolzano es la existencia de puntos fijos.
Sea f : R→ R. Diremos que c ∈ R es un punto fijo para f si f(c) = c.
Definición 38.
Geométricamente, que una función tenga un punto fijo quiere decir que las gráficas de y = f(x) e y = x se
cortan.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 96 Caṕıtulo 3
Sea f : [0, 1]→ [0, 1] continua. Entonces f tiene un punto fijo.
Corolario 53 (Teorema del punto fijo).
Prueba:
Si f(0) = 0 o f(1) = 1 ya tendŕıamos un punto fijo y el teorema
estaŕıa demostrado. Aśı que supongamos que f(0) > 0 y f(1) < 1.
Consideramos la función g(x) = f(x)− x que es continua en [0, 1].
g(0) = f(0) > 0 y g(1) = f(1) − 1 < 0. Vemos que g cambia de
signo en los extremos del intervalo [0, 1] y el Teorema de Bolzano
asegura que existe c ∈ (0, 1) tal que g(c) = 0, es decir, f(c) − c =
0⇔ f(c) = c. Que es el punto fijo que ı́bamos buscando.
Fin de la prueba
La búsqueda de puntos fijos de una función también nos puede ayudar a resolver ecuaciones. Si
queremos resolver una ecuación f(x) = 0 ponemos f(x) + x = x y por tanto una solución de la
primera ecuación será un punto fijo de la función F (x) = f(x) + x. En los complementos vemos
un métodos para hallar puntos fijos.
Nota.
3.3.2. La propiedad de los valores intermedios
Si f : [a, b]→ R es continua y z está comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe c ∈ [a, b] tal
que f(c) = z.
Corolario 54 (Propiedad de Darboux).
Prueba:
Aplicamos el teorema de Bolzano a la fun-
ción continua g(x) = f(x)−z. Como vemos
en la gráfica puede haber más de un valor
donde f alcance el valor z.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 97 Caṕıtulo 3
Obsérvese que el teorema de Bolzano (teorema 52) y la propiedad de los valores intermedios (corolario
54) son equivalentes desde un punto de vista matemático.
Si I es un intervalo de R y f es una función continua definida en I, entonces f(I) es un intervalo.
Además si I es un intervalo cerrado y acotado, también f(I) lo es.
Corolario 55.
Prueba:
f(I) está contenido en el intervalo de extremos α y β donde α = ı́nf f(x) ∈ R y β = sup f(x) ∈ R. Pero por
la propiedad de los valores intermedios, f(I) es un intervalo.
Si I es cerrado y acotado, entonces f(I) coincide con [α, β] debido el teorema de Weierstrass 51.
Fin de la prueba
3.3.3. Función inversa. Continuidad y monotońıa.
Una aplicación f : X → Y entre dos conjuntos X e Y se dice que es:
inyectiva si dados a 6= b ∈ X se tiene f(a) 6= f(b).
sobreyectiva si dado y ∈ Y existe x ∈ X tal que f(x) = y.
biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Definición 39.
Si f : X → Y es biyectiva diremos que g : Y → X es la función inversa de f , y la denotaremos
por f−1, si se cumplen
f(g(y)) = y para todo y ∈ Y
g(f(x)) = x para todo x ∈ X
Definición 40.
La existencia de inversa para funciones reales de variable real no requiere la continuidad.
De hecho la función f(x) = (1/x) si x 6= 0, f(0) = 0 es biyectiva (de R en R) con inversa ella
misma; y asimismo es biyectiva la función g(x) = (1/x) si x < 0, g(x) = x si x ≥ 0 también de
R en R.
Ejemplo 21.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 98 Caṕıtulo 3
Para funciones continuas la situación es diferente:
Sea f : [a, b] → R inyectiva y continua. Sea [c, d] = f([a, b]), f : [a, b] → [c, d] es biyectiva y la
función inversa de f , f−1 : [c, d]→ [a, b] es continua.
Proposición 56.
Prueba:
Sea y ∈ [c, d] y sea (yn)n una sucesión en [c, d] con ĺımn→∞ yn = y. Queremos probar que ĺımn→∞ f−1(yn) =
f−1(y) lo cual nos dará la continuidad de f−1 en y y por tanto en [c, d]. Sea x ∈ [a, b] tal que f(x) = y y
(xn) ∈ [a, b] tal que f(xn) = yn. Tenemos que probar que ĺımn xn = x. Como (xn) es una sucesión acotada,
el teorema de Bolzano-Weierstrass nos garantiza que existe una subsucesión (xnk)k convergente hacia un
punto x0 ∈ [a, b] (como a ≤ xnk≤ b tenemos que el ĺımite también cumple a ≤ x0 ≤ b). Como f es continua
f(x0) = ĺım
k→∞
f(xnk) = ĺım
k→∞
ynk
(1)
= y
En (1) hemos usado que (ynk)k es una subsucesión de (yn) y por tanto tiene que converger a y. Por otro
lado, f es inyectiva y como f(x) = f(x0) concluimos que x0 = x. Este razonamiento nos dice también que
cualquier subsucesión de (xn) que sea convergente tiene que hacerlo a x y por tanto la proposición 30 nos
garantiza la convergencia de (xn) hacia x.
Fin de la prueba
Este resultado nos garantiza la continuidad de las inversas de las funciones trigonométricas.
Veamos ahora una relación más profunda entre inyectividad y monotońıa.
Sea f : I → R continua donde I un intervalo arbitrario de R. Entonces:
1. f es inyectiva si y sólo si es estrictamente monótona.
2. Si f es estrictamente monótona, también lo es su inversa f−1 que, además, es continua.
Teorema 57 (Función inversa).
La continuidad en el teorema anterior es esencial, como muestra el resultado que sigue a continuación.
Sean I, J intervalos de R y sea f : I → J biyectiva. Entonces f es continua si y sólo si f es
estrictamente monótona.
Corolario 58.
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 99 Caṕıtulo 3
3.3.4. Continuidad uniforme
Una función f es continua en un punto c si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− c| < δ entonces
|f(x)− f(c)| < ε. El valor de δ depende, obviamente, del valor de ε, pero, a priori, también puede depender
del valor de c. Si se puede conseguir que el valor de δ dependa únicamente ε para todos los puntos del
dominio, se dice que la función es uniformemente continua.
La función continua f : (0, 1)→ R definida por f(x) = 1x no es uniformemente continua.
Ejemplo 22.
Solución:
Consideremos ε = 12 y supongamos que existe δ > 0 tal que para todo x, y ∈ (0, 1) con |x− y| < δ se cumple
|f(x) − f(y)| < 12 . Sea n ∈ N tal que
1
n < δ. Considerando los puntos x =
1
n e y =
1
n+1 resulta que la
diferencia |x− y| = | 1n −
1
n+1 | =
1
n(n+1) <
1
n < δ y sin embargo,
|f(x)− f(y)| = |n− (n+ 1)| = 1 > 1
2
Fin de la solución
De forma precisa:
Se dice que la función f : D → R es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal
que si x, y ∈ D y se verifica |x− y| < δ entonces |f(x)− f(y)| < ε.
Definición 41.
Evidentemente toda función uniformemente continua es continua, pero, en general, el rećıproco no es cierto,
como ya hemos comprobado anteriormente. El teorema que sigue establece la equivalencia de ambos conceptos
en los intervalos cerrados y acotados de R.
Una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b] es uniformemente continua.
Teorema 59 (Heine).
Prueba:
Si una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b] no fuera uniformemente continua, existiŕıa
ε > 0 para el que no se cumple la condición de continuidad uniforme y en consecuencia existiŕıan sucesiones
(xn)n y (x
′
n)n tales que
|xn − x′n| < (1/n) y |f(xn)− f(x′n)| ≥ ε > 0.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass (29) existen subsucesiones (xnk)k y (x
′
nk
)k de las anteriores que son
convergentes a un mismo punto digamos z ∈ [a, b]. Usando la continuidad de f en z se tendŕıa entonces
ĺım
k
f(xnk) = f(z) = ĺım
k
f(xn′k)
Luis Oncina, Cálculo I
3.3 Funciones continuas en un intervalo 100 Caṕıtulo 3
pero por otra parte |f(xnk)− f(x′nk)| ≥ ε > 0 con lo que pasando al ĺımite se obtendŕıa 0 ≥ ε > 0, lo cual
es absurdo.
Fin de la prueba
De nuevo, como en el teorema de Weierstrass, (teorema 51) la demostración se basa en el hecho de que las
sucesiones acotadas de [a, b] poseen subsucesiones convergentes a un punto de [a, b] (teorema de Bolzano-
Weierstrass) y, por tanto, el teorema de Heine mantiene su validez cuando se reemplaza el intervalo [a, b]
por un conjunto compacto.
1. Demostrad el Teorema de Bolzano sobre la existencia de ceros de funciones continuas sin
usar el principio de Cantor de los intervalos encajados.
2. ¿Qué se puede decir de una función real continua que sólo toma valores racionales?
3. Demostrad que las siguientes ecuaciones tienen solución y dar un valor aproximado de la
misma (con una precisión de un par de cifras decimales):
x− senx− 5 = 0 xe−x + 1 = 0
4. Demostrad que todo polinomio de grado impar tiene al menos una ráız real.
5. Probad que si f : R→ R es una función continua con ĺım
x→+∞
f(x) = ĺım
x→−∞
f(x) = 1, entonces
f tiene un máximo o un mı́nimo absoluto en R.
6. Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R, y f : [a, b] → R una función continua tal
que f(x) 6= x para todo x ∈ [a, b]. Demostrad que existe un número real k > 0 tal que
|f(x)− x| > k para todo x ∈ [a, b].
7. Sea f : (a, b) → R una función continua tal que existen los ĺımites ĺım
x→a+
f(x), ĺım
x→b−
f(x) y
son finitos. Demostrad que f es uniformemente continua en (a, b).
8. Demostrad que la función f(x) = x2 definida en R no es uniformemente continua en R.
¿Es siempre uniformemente continua la función producto de dos funciones uniformemente
continuas?
Ejercicios 8.
Luis Oncina, Cálculo I
3.4 Autoevaluación 101 Caṕıtulo 3
3.4. Autoevaluación
1. Calculad los siguientes ĺımites (o los laterales si estos no existen).
A) ĺım
x→a
xn − xa
x− a
B) ĺım
x→1
3
√
x− 1
x− 1
C) ĺım
x→∞
(
4
√
x4 + 1− x
)
D) ĺım
x→0
√
1 + senx−
√
1− senx
x
E) ĺım
x→0
sen 1x
e
1
x + 1
F) ĺım
x→∞
x senx
x2 + 1
G) ĺım
x→0
log(1 + x)− log(1− x)
x
, H) ĺım
x→π4
1− tanx
cos 2x
2. Probad que el polinomio 6x3 − 10x2 − 5x + 1 tiene sus tres ráıces reales y dar un valor
aproximado de las mismas.
3. Probad que la función f(x) = senx es uniformemente continua en R.
Autoevaluación 3.
Luis Oncina, Cálculo I
4 Cálculodiferencial
4.1. Funciones derivables
Una función f : I → R definida en un intervalo abierto I de R se dice que es derivable en c ∈ I si
existe
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
:= f ′(c).
El valor f ′(c) recibe el nombre de derivada de f en c y es frecuente llamar a f(c+h)−f(c)h cociente
incremental de f en c.
Definición 42.
Una función f : I → R definida en un intervalo abierto I se dice derivable en I si f es derivable
en cada punto de I.
La función f ′ : I → R que a cada punto x ∈ I le hace corresponder el valor f ′(x) se llama la
derivada de la función f .
Definición 43.
Primeros ejemplos
1. Si f : I ⊂ R → R es una función constante en un intervalo I, entonces f es derivable en I
con derivada nula.
2. Si f : I ⊂ R → R está definida por f(x) = x entonces f es derivable en I con derivada
f ′(x) = 1 para todo x ∈ I.
3. La función f definida en R mediante f(x) = xn, n ∈ N, es derivable en R y su derivada es
la función f ′(x) = nxn−1.
Ejemplo 23.
102
4.1 Funciones derivables 103 Caṕıtulo 4
4. La función seno, g(x) = senx, es derivable en R con derivada f ′(x) = cosx y la función
coseno, g(x) = cosx, también es derivable en R con derivada g′(x) = − senx.
5. La función exponencial, f(x) = ex, es derivable en R y su derivada es la función f ′(x) = ex.
6. La función f definida por las fórmulas f(x) = x sen(1/x) si x 6= 0 y f(0) = 0 no es derivable
en x = 0.
7. La función g dada por g(x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0 y g(0) = 0 es derivable en todo R.
Ejemplo.
Solución:
Lo hacemos primero con Maxima
(%i1) diff(a,x);
( %o1) 0
(%i2) diff(x,x);
( %o2) 1
(%i3) diff(x^n,x);
( %o3) nxn−1
(%i4) diff(sin(x),x);
( %o4) cos (x)
(%i5) diff(cos(x),x);
( %o5) − sin (x)
(%i6) diff(%e^x,x);
( %o6) ex
El siguiente ĺımite no existe y por tanto la función no es derivable en x = 0.
(%i7) limit(x*sin(1/x)/x,x,0);
( %o7) ind
El siguiente ĺımite nos da la derivada de la función en x = 0.
(%i8) limit(x^2*sin(1/x)/x,x,0);
( %o8) 0
Para x 6= 0 Maxima nos da la derivada en cada x.
(%i9) diff(x^2*sin(1/x),x);
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 104 Caṕıtulo 4
( %o9) 2 sin
(
1
x
)
x− cos
(
1
x
)
1. Si f(x) = a para todo x ∈ I y c ∈ I
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
= ĺım
h→0
a− a
h
= 0⇒ f′(c) = 0
2. Sea c ∈ I,
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
= ĺım
h→0
c+ h− c
h
= 1
3. Para comprobarlo basta utilizar la definición y desarrollar (x+ h)n mediante el binomio de Newton. En
efecto:
ĺım
h→0
(x+ h)n − xn
h
= ĺım
h→0
(n0)x
n + (n1)x
n−1h+ (n2)x
n−2h2 + . . .+ (nn)h
n − xn
h
=
= ĺım
h→0
((
n
1
)
xn−1 +
(
n
2
)
xn−2h+ . . .+
(
n
n
)
hn−1
)
= nxn−1
4. Recordemos que sen(x+ h)− senx = 2 cos[(2x+ h)/2] sen(h/2) y recordando que
ĺım
x→0
senx
x
= 1.
ĺım
h→0
sen(x+ h)− senx
h
= ĺım
h→0
2 cos[(2x+ h)/2] sen(h/2)
h
= ĺım
h→0
cos[(2x+ h)/2]
sen(h/2)
h/2
= cosx.
La derivada del coseno puede hacerse de forma análoga.
5. Sea x ∈ R.
ĺım
h→0
ex+h − ex
h
= ĺım
h→0
ex
eh − 1
h
= ex ĺım
h→0
eh − 1
h
.
Para calcular este ĺımite, hacemos el cambio de variable eh − 1 = y y nos queda:
ĺım
h→0
eh − 1
h
= ĺım
y→0
y
log(1 + y)
= ĺım
y→0
1
1
y log(1 + y)
= ĺım
y→0
1
log
[
(1 + 11/y )
1/y
] = 1
log e
= 1
Finalmente
ĺım
h→0
ex+h − ex
h
= ex · 1 = ex
6. Tenemos
ĺım
h→0
f(h)− f(0)
h− 0
= ĺım
h→0
h sen(1/h)
h
= ĺım
h→0
sen(1/h)
último ĺımite que sabemos no existe (ejemplo 15).
7. Nos encargaremos ahora de estudiar su derivabilidad en x = 0; en los demás puntos de R lo haremos más
adelante.
ĺım
h→0
h2 sen(1/h)
h
= ĺım
h→0
h sen(1/h) = 0
luego g′(0) = 0.
Fin de la solución
Incluso para intervalos que no sean abiertos puede tener sentido calcular ĺımh→0
f(c+h)−f(c)
h siempre que
c, (c+h) ∈ I, lo cual, en el caso de que c sea uno de los extremos del intervalo I puede reducirse a un ĺımite
por la derecha o por la izquierda. En ese caso todav́ıa se dice que la función f es derivable en c.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 105 Caṕıtulo 4
Derivadas laterales
Lo anterior lleva, para funciones definidas en un intervalo en que los ĺımites
ĺım
h→0+
f(c+ h)− f(c)
h
:= f ′(c+) ≡ f ′+(c) ĺım
h→0−
f(c+ h)− f(c)
h
:= f ′(c−) ≡ f ′−(c)
existan, al concepto de derivada por la izquierda f ′(c−) de f en c y de derivada por la derecha
f ′(c+) de f en c.
Nota.
Un ejemplo t́ıpico de esta situación es la función f : R→ R definida por f(x) = |x|.
La función f(x) = |x| no es derivable en x = 0.
Ejemplo 24.
Solución:
Lo que haremos será calcular las derivadas laterales:
ĺım
h→0+
f(h)− f(0)
h
= ĺım
h→0+
h
h
= 1 = f ′+(0)
ĺım
h→0−
f(h)− f(0)
h
= ĺım
h→0−
−h
h
= −1 = f ′−(0)
que como vemos son distintas.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) limit(abs(x)/x,x,0,plus);
( %o1) 1
(%i2) limit(abs(x)/x,x,0,minus);
( %o2) − 1
Maxima calcula la derivada del valor absoluto en cualquier punto
(%i3) diff(abs(x),x);
( %o3)
x
|x|
Fin de la solución
Volveremos a este ejemplo cuando veamos la interpretación geométrica de la derivada.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 106 Caṕıtulo 4
Interpretación geométrica. La recta tangente
Interpretación geométrica:
Sea f : (a, b)→ R y x0 ∈ (a, b). Supongamos que f es derivable en x0. Consideremos h > 0 fijo y tracemos
la secante a la curva que pasa por (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)).
-2
0
2
4
6
8
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
De la gráfica anterior se deduce fácilmente que el ángulo α que forma la secante con la horizontal cumple
tanα =
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
es decir, la pendiente de la secante coincide con el valor del cociente incremental.
Si ahora vamos tomando valores de h más pequeños, o sea, tomamos ĺımite cuando h → 0. Vemos que
las distintas secantes que trazamos se aproximan a la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)). En rojo
aparece la recta tangente a la parábola. Posteriormente definiremos lo que entendemos por recta tangente.
Pinchar en el gráfico para ver la animación.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 107 Caṕıtulo 4
Aśı, el ĺımite de los cocientes incrementales (que son las pendientes de las secantes) coincidirá con la pendiente
“del ĺımite”, es decir, con la pendiente de la recta tangente.
Por lo tanto f ′(x0) es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x0, f(x0)).
Ĺınea de comandos para la animación
--> with_slider(t,makelist(2-0.1*t,t,1,30),
[x^2,-2*x-1,1+(t-1)*(x+1)],[x,-2,2.5],[y,-2,9]);
Fin
Sea f : (a, b)→ R derivable en c ∈ (a, b). La función definida por g(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) tiene
por gráfica una recta de pendiente f ′(c) que pasa por el punto (c, f(c)). Dicha función recibe el
nombre de recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (c, f(c)).
Definición 44 (Recta tangente).
Si volvemos al ejemplo de la función valor absoluto, vemos que en origen de coordenadas es
imposible definir “una tangente”. Si nos movemos a la izquierda del 0, tenemos una tangente
de pendiente −1 = f ′−(0) que es la propia recta y = −x mientras que si estamos a la derecha,
tenemos otra tangente de pendiente 1 = f ′+(0).
Nota.
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
-1 -0.5 0 0.5 1
ab
s(
x)
x
Calcular las siguientes derivadas e interpretar gráficamente los resultados:
1. f ′(1), donde f(x) = x2.
2. g′(0), donde g(x) = sen(|x|).
3. h′−(1), donde h(x) =
√
1− x2 está definida en D = [−1, 1].
Ejemplo 25.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 108 Caṕıtulo 4
Solución:
1.
ĺım
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
= ĺım
x→1
x2 − 1
x− 1
= ĺım
x→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
= ĺım
x→1
x+ 1 = 2
Tenemos pues que f ′(1) = 2. Aśı la recta tangente a f en x = 1 tiene por ecuación
y − f(1) = 2(x− 1)⇒ y = 2x− 1
Lo hacemos con Maxima
(%i1) f:x^2;
( %o1) x2
Hallamos la derivada en x = 1
(%i2) ’limit((f-ev(f,x=1))/(x-1),x,1)=limit((f-ev(f,x=1))/(x-1),x,1);
( %o2) ĺım
x→1
x2 − 1
x− 1
= 2
Hallamos la derivada en cualquier punto x = a usando la definición
(%i3) ’limit((f-ev(f,x=a))/(x-a),x,a)=limit((f-ev(f,x=a))/(x-a),x,a);
( %o3) ĺım
x→a
x2 − a2
x− a
= 2 a
Evaluamos en a = 1
(%i4) ev(%,a=1);
( %o4) ĺım
x→1
x2 − 1
x− 1
= 2
Interpretación geométrica. La función y la tangente
(%i5) plot2d([f,1+2*(x-1)],[x,-2,2]);
( %o5)
-5
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
x^2
2*(x-1)+1
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 109 Caṕıtulo 4
2. Calculamos
ĺım
x→0
g(x)− g(0)
x− 0
= ĺım
x→0
sen(|x|)
x
=
{
ĺımx→0+
sen x
x = 1
ĺımx→0−
sen(−x)
x = ĺımx→0− −
sen x
x = −1
Tenemos pues que g′−(0) = −1 mientras que g′+(0) = 1 y por tanto g no es derivable en x = 0. Sin embargo,
al tener derivadas laterales podemos dibujar la tangente por la izquierda y = −x y la tangente por la derecha
y = x en x = 0.
Usamos ahora Maxima
(%i1) g(x):=sin(abs(x));
( %o1) g (x) := sin (|x|)
(%i2) ’limit(g(x)/x,x,0)=limit(g(x)/x,x,0);
( %o2) ĺım
x→0
sin (|x|)
x
= und
No existe pues el ĺımite en x = 0. Sin embargo, si existen los ĺımites laterales
(%i3) ’limit(g(x)/x,x,0,plus)=limit(g(x)/x,x,0,plus);
( %o3) ĺım
x→0+
sin (|x|)
x
= 1
(%i4) ’limit(g(x)/x,x,0,minus)=limit(g(x)/x,x,0,minus);
( %o4) ĺım
x→0−
sin (|x|)
x
= −1
(%i5) plot2d([g(x),x,-x],[x,-1,1],[y,0,1]);
plot2d: some values were clipped.plot2d: some values were clipped.
( %o5)
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
-1 -0.5 0 0.5 1
y
x
sin(abs(x))
x
-x
3. Hallamos
ĺım
x→1−
h(x)− h(1)
x− 1
= ĺım
x→1−
√
1− x2
x− 1
= − ĺım
x→1−
√
1 + x√
1− x
= −2
0
= −∞
Este valor para la “derivada” de h nos indica que la tangente a la curva en el punto (1, 0) es vertical
(pendiente infinito).
Usamos ahora Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 110 Caṕıtulo 4
(%i1) h(x):=sqrt(1-x^2);
( %o1) h (x) :=
√
1− x2
(%i2) ’limit((h(x)-h(1))/(x-1),x,1,minus)=limit((h(x)-h(1))/(x-1),x,1,minus);
( %o2) ĺım
x→1−
√
1− x2
x− 1
= −∞
(%i3) load(draw);
( %o3) C : /PROGRA 2/MAXIMA 1,0− 2/share/maxima/5,28,0− 2/share/draw/draw.lisp
(%i4) draw2d(line_width=1.5, xrange=[-1.5,1.5], yrange=[0,1.5],
explicit(h(x),x,-1,1), color=red, parametric(1,t,t,0,1));
( %o4) [gr2d (explicit, parametric)]
En rojo dibujamos la recta tangente (vertical) mediante su ecuación paramétrica.
 0
 0.2
 0.40.6
 0.8
 1
 1.2
 1.4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fin de la solución
Diferenciabilidad
El hecho de que exista la derivada de f en c y valga m puede formularse diciendo que
f(c+ h) = f(c) +mh+ hα(h)
donde α(h) es una función definida en un entorno reducido del origen con la propiedad de que
ĺımh→0 α(h) = 0.
Nota.
Recordad que
Una aplicación L : R→ R se dice que es lineal si: L(a+ b) = L(a) + L(b) y L(ax) = aL(x) para
cualesquiera a, b, x ∈ R.
Definición 45.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 111 Caṕıtulo 4
Una función f : I → R se dice diferenciable en el punto c ∈ I si existe una aplicación lineal
L : R→ R, llamada diferencial de f en c y denotada con df(c), tal que
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)− L(h)
h
= 0.
Definición 46.
L : R→ R es lineal si y solo si existe a ∈ R tal que L(x) = ax para todo x ∈ R.
Ejemplo 26.
Solución:
Es claro que las aplicaciones de la forma L(x) = ax para algún a son lineales:
L(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = L(x) + L(y) y L(λx) = a(λx) = λ(ax) = λL(x)
Por otro lado, si definimos a := L(1) tenemos que L(x) = L(x · 1) = xL(1) = ax.
Fin de la solución
De lo anterior se deduce el resultado siguiente.
f : I → R con I intervalo abierto, es derivable en el punto c ∈ I si y sólo si f es diferenciable en
c. Y en ese caso df(c)(x) = f ′(c)x.
Proposición 60.
Prueba:
Si f es derivable en c tenemos que el cociente
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
− f ′(c) = ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h
h
= 0
luego se cumple la definición de diferenciabilidad siendo df(c)(x) = f ′(c)x.
Rećıprocamente, si existe L lineal tal que ĺımh→0
f(c+h)−f(c)−L(h)
h = 0 llamamos, para h 6= 0,
α(h) :=
f(c+ h)− f(c)− L(h)
h
=
f(c+ h)− f(c)
h
− L
(
h
h
)
=
f(c+ h)− f(c)
h
− L(1)
tenemos que
ĺım
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
= ĺım
h→0
α(h) + L(1) = L(1)
por lo que f es derivable en x = c y f ′(c) = L(1).
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 112 Caṕıtulo 4
La diferencial es una aplicación lineal de R en R que aproxima el incremento de la función en el sentido
de que f(c+ h)− f(c) = df(c)(h) + hα(h), con ĺımh→0 α(h) = 0.
Si f : I ⊂ R→ R es derivable en c ∈ I entonces f es continua en c.
Proposición 61.
Prueba:
La fórmula f(c+ h)− f(c) = df(c)(h) + hα(h) = (f ′(c) + α(h))h permite obtener el resultado ya que dado
ε > 0 existe δ1 > 0 tal que si |h| < δ1 es |α(h)| < 1. Tomando δ := mı́n{δ1, ε|f ′(c)|+1} resulta que si |h| < δ
|f(c+ h)− f(c)| = |f ′(c) + α(h)||h| ≤ (|f ′(c) + |α(h)|)|h| < ε
Fin de la prueba
El rećıproco no es cierto. Basta considerar la función f definida en R por la fórmula f(x) = |x| que es
continua en x = 0 y sin embargo no es derivable.
Operaciones con las derivadas
Algunas fórmulas elementales para el cálculo de derivadas vienen dadas por las proposiciones que siguen.
Si f, g son funciones del intervalo abierto I ⊂ R en R derivables en un punto c ∈ I entonces:
1. La suma f + g es derivable en c con
(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).
2. El producto fg es derivable en c con
(fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c).
3. Si g(x) 6= 0 en I entonces f/g es derivable en c y(f
g
)′
(c) =
f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)
g(c)2
.
4. Si a es una constante, la función af es derivable en c y
(af)′(c) = af ′(c).
En particular, la derivada es un operador lineal: (af + bg)′(c) = af ′(c) + bg′(c)
Proposición 62.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 113 Caṕıtulo 4
Prueba:
1.
ĺım
h→0
(f + g)(c+ h)− (f + g)(c)
h
= ĺım
h→0
f(c+ h) + g(c+ h)− f(c)− g(c)
h
=
= ĺım
h→0
(
f(c+ h)− f(c)
h
+
g(c+ h)− g(c)
h
)
= f ′(c) + g′(c)
2. Escribiendo la definición de derivada y sumando y restando f(c)g(c+ h) observamos que
ĺım
h→0
f(c+ h)g(c+ h)− f(c)g(c)
h
= ĺım
h→0
g(c+ h)
f(c+ h)− f(c)
h
+ ĺım
h→0
f(c)
g(c+ h)− g(c)
h
= g(c)f ′(c) + f(c)g′(c).
3. Utilizamos la definición de derivada
ĺım
h→0
f(c+h)
g(c+h) −
f(c)
g(c)
h
= ĺım
h→0
f(c+ h)g(c)− f(c)g(c+ h)
hg(c)g(c+ h)
=
= ĺım
h→0
f(c+ h)g(c)− f(c)g(c) + f(c)g(c)− f(c)g(c+ h)
hg(c)g(c+ h)
=
= ĺım
h→0
g(c)
f(c+ h)− f(c)
hg(c)g(c+ h)
+ f(c)
g(c)− g(c+ h)
hg(c)g(c+ h)
=
= g(c)
f ′(c)
g(c)2
+ f(c)
−g′(c)
g(c)2
sin más que recordar que la función g es continua en c.
4. Es consecuencia de 3 y del hecho de que la derivada de una constante es cero.
Fin de la prueba
Lo hacemos con Maxima
(%i1) ’diff(f(x)+g(x),x)=diff(f(x)+g(x),x);
( %o1)
d
dx
(g (x) + f (x)) =
d
dx
g (x) +
d
dx
f (x)
(%i2) ’diff(f(x)*g(x),x)=diff(f(x)*g(x),x);
( %o2)
d
dx
(f (x) g (x)) = f (x)
(
d
dx
g (x)
)
+ g (x)
(
d
dx
f (x)
)
(%i3) ’diff(f(x)/g(x),x)=diff(f(x)/g(x),x);
( %o3)
d
dx
f (x)
g (x)
=
d
d x f (x)
g (x)
−
f (x)
(
d
d x g (x)
)
g (x)
2
(%i4) factor(%);
( %o4)
d
dx
f (x)
g (x)
= −
f (x)
(
d
d x g (x)
)
− g (x)
(
d
d x f (x)
)
g (x)
2
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 114 Caṕıtulo 4
(%i5) ’diff(a*f(x)+b*g(x),x)=diff(a*f(x)+b*g(x),x);
( %o5)
d
dx
(b g (x) + a f (x)) = b
(
d
dx
g (x)
)
+ a
(
d
dx
f (x)
)
Sean I, J intervalos abiertos de R y sean las funciones f : I → R y g : J → R tales que f(I) ⊂ J .
Si f es derivable en c ∈ I y g es derivable en f(c) entonces g ◦ f es derivable en c y
(g ◦ f)′(c) = g′(f(c))f ′(c).
Proposición 63 (Regla de la cadena).
Prueba:
El resultado se obtiene utilizando que
f(c+ h) = f(c) + hf ′(c) + hα(h); g(f(c) + k) = g(f(c)) + kg′(f(c)) + kβ(k).
En efecto:
g(f(c+ h)) = g(f(c) + hf ′(c) + hα(h))
= g(f(c)) + (hf ′(c) + hα(h))g′(f(c)) + (hf ′(c) + hα(h))β(hf ′(c) + hα(h))
= g(f(c)) + hf ′(c)g′(f(c)) + h
(
α(h)g′(f(c)) + (f ′(c) + α(h))β(hf ′(c) + hα(h))
)
,
es decir, g ◦ f(c+ h) = g ◦ f(c) + hf ′(c)g′(f(c)) + hγ(h), donde ĺımh→0 γ(h) = 0. Esto acaba la prueba del
teorema.
Fin de la prueba
Ejemplo con Maxima
(%i1) g(u):=sin(u);
( %o1) g (u) := sin (u)
(%i2) depends(f,x);
( %o2) [f (x)]
(%i3) subst(f,u,g(u));
( %o3) sin (f)
(%i4) diff(%,x);
( %o4) cos (f)
(
d
dx
f
)
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 115 Caṕıtulo 4
Estudiar la derivabilidad de f(x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0 y f(0) = 0.
Ejemplo 27.
Solución:
Ya sabemos que f es derivable en x = 0. Para ver la derivabilidad si x 6= 0 vamos a aplicar los resultados
anteriores. Para ello consideramos las funciones g(x) = x2, h(x) = senx, j(x) = 1/x. Estas funciones son
todas derivables en sus dominios de definición siendo además f(x) = g(x)h(j(x)). Por tanto
f ′(x) = g′(x)h(j(x)) + g(x)h′(j(x))j′(x) = 2x sen(1/x) + x2 cos(1/x)
−1
x2
= 2x sen(1/x)− cos(1/x)
Comprobamos con Maxima
(%i1) diff(x^2*sin(1/x),x);
( %o1) 2 sin
(
1
x
)
x− cos
(
1
x
)
Fin de la solución
4.1.1. El teorema de la función inversa
Sea f : I → J una biyección derivable entre los intervalos abiertos I y J y tal que f ′(x) 6= 0 para
todo x ∈ I. Supongamos además que f−1 es continua. Entonces f−1 es derivable en J y se tiene
(f−1)′(y) = 1f ′(f−1(y)) .
Teorema 64 (Función inversa).
Prueba:
Sea y, y0 ∈ J . Como f−1 es inyectiva tenemos que si y 6= y0 es f−1(y) 6= f−1(y0). Podemos escribir
x = f−1(y) y x0 = f
−1(y0) de manera que x→ x0 ⇔ y → y0 (por la continuidad de f y f−1).
ĺım
y→y0
f−1(y)− f−1(y0)
y − y0
= ĺım
y→y0
1
y−y0
f−1(y)−f−1(y0)
= ĺım
x→x0
=
1
f(x)−f(x0)
x−x0
=
1
f ′(x0)
=
1
f ′(f−1(y0))
Fin de la prueba
Algo podemos hacer con Maxima
(%i1) depends(f,g);
( %o1) [f (g)]
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 116 Caṕıtulo 4
(%i2) depends(g,x);
( %o2) [g (x)]
Le decimos ahora a Maxima que f(g(x)) = x. Notad que f = g−1.
(%i3) f=x;
( %o3) f = x
Derivamos la ecuación
(%i4) diff(%,x);
( %o4)
(
d
d g
f
) (
d
dx
g
)
= 1
Despejamos la derivada de f , es decir, la derivada de la inversa de g
(%i5) solve(%,’diff(f,g));
( %o5) [
d
d g
f =
1
d
d x g
]
La versión más general del teorema de la función inversa la encontrareis en complementos. Para hacer la
demostración hace falta otro resultado (importante por si mismo) que se conoce como teorema de Darboux.
Derivada de las funciones inversas
El teorema de la funcióninversa y el ejemplo 23 nos proporcionan las derivadas de las siguientes funciones:
La función
1. log : (0,∞)→ R es derivable con derivada (log)′(x) = 1
x
.
2. arc sen : (−1, 1)→ R es derivable con derivada (arc sen)′(x) = 1√
1− x2
.
3. arc cos : (−1, 1)→ R es derivable con derivada (arc cos)′(x) = −1√
1− x2
.
4. arc tg : (−π/2, π/2)→ R es derivable con derivada (arc tg)′(x) = 1
1 + x2
.
Ejemplo 28.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 117 Caṕıtulo 4
Solución:
1. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función f(x) = ex siendo f ′(x) = ex. Por lo tanto
(log)′(x) =
1
elog x
=
1
x
.
2. La función arc sen es la inversa de la función f(x) = senx cuya derivada es f ′(x) = cosx. Por lo tanto
(arc sen)′(x) =
1
cos(arc senx)
=
1√
1− sen2(arc senx)
=
1√
1− x2
3. Se hace de forma análoga.
4. La función arctanx es la inversa de f(x) = tanx cuya derivada es f ′(x) = 1 + tan2 x por lo tanto
(arctan)′(x) =
1
1 + tan2(arctanx)
=
1
1 + x2
Ahora con Maxima
(%i1) diff(log(x),x);
( %o1)
1
x
(%i2) diff(asin(x),x);
( %o2)
1√
1− x2
(%i3) diff(acos(x),x);
( %o3) − 1√
1− x2
(%i4) diff(atan(x),x);
( %o4)
1
x2 + 1
Fin de la solución
Sea α ∈ R, la derivada de la función f(x) = xα es f ′(x) = αxα−1.
Ejemplo 29 (Derivación logaŕıtmica).
Solución:
Tomando logaritmos en la definición de f tenemos log(f(x)) = α log x. Derivando ahora en esta igualdad
1
f(x)
f ′(x) = α
1
x
⇒ f ′(x) = f(x)α 1
x
= xααx−1 = αxα−1
Con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 118 Caṕıtulo 4
(%i1) f(x)=x^(alpha);
( %o1) f (x) = xα
lhs y rhs se corresponden con el lado izquierdo y el lado derecho, respectivamente, de la ecuación. Es decir,
tomamos logaritmos en la ecuación.
(%i2) log(lhs(%))=log(rhs(%));
( %o2) log (f (x)) = α log (x)
Derivando la igualdad
(%i3) diff(%,x);
( %o3)
d
d x f (x)
f (x)
=
α
x
Despejamos en la ecuación la derivada de f(x)
(%i4) solve(%,’diff(f(x),x));
( %o4) [
d
dx
f (x) =
α f (x)
x
]
Sustituimos en la fórmula anterior el valor de f(x) = xα
(%i5) subst(x^(alpha),f(x),%);
( %o5) [
d
dx
xα = αxα−1]
Fin de la solución
En la asignatura de Calculo II estudiaremos con profundidad las funciones definidas de forma
impĺıcita por una ecuación. Veamos con un ejemplo qué son y cómo derivarlas.
Ejemplo 30 (Derivación impĺıcita).
Solución:
La lemniscata de Bernoulli es la curva del plano dada por la ecuación (x2 + y2)2 = 2(x2 − y2), es decir,
C = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2)2 = 2(x2 − y2)}
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 119 Caṕıtulo 4
La lemniscata la dibujamos aśı
(%i1) load(draw);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/draw/draw.lisp
(%i2) draw2d(xaxis=true,yaxis=true,
nticks=1000,line_width=1.5,
implicit((x^2+y^2)^2=2*(x^2-y^2),x,-2,2,y,-1,1));
( %o2) [gr2d (implicit)]
Es claro también que C no es la gráfica de ninguna función f : I → R ya que por ejemplo el punto (
√
3
2 ,
1
2 ) ∈ C
pero también (
√
3
2 ,−
1
2 ) ∈ C, es decir, a un mismo valor de x le corresponden dos valores de y (¡esto no es
una función!)
Sin embargo, si elegimos el punto de la curva (
√
3
2 ,
1
2 ), vemos que en un entorno I (en verde) de x =
√
3
2
existe una única función f(x) tal que f(
√
3
2 ) =
1
2 y que los puntos (x, f(x)) ∈ C.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Dicho de otra forma, un trozo de la curva C (cerca del punto elegido) si es la gráfica de una función. En este
caso el intervalo verde elegido es I = (0,
√
2). Por lo tanto, para todo x ∈ I tenemos
(x2 + (f(x))2)2 = 2(x2 − (f(x))2)
El teorema de la función impĺıcita que veremos en Cálculo II, nos asegura bajo ciertas condiciones (que
aqúı se cumplen) que existe una única función f derivable (de hecho será de clase C∞(I)), cumpliendo la
ecuación y que f(
√
3
2 ) =
1
2 .
Podemos derivar en la ecuación anterior y queda
2(x2 + (f(x))2)(2x+ 2f(x)f ′(x)) = 2(2x− 2f(x)f ′(x))
Haciendo en la ecuación anterior x =
√
3
2 , f(
√
3
2 ) =
1
2 tenemos
2
(
3
4
+
1
4
)(√
3 + f ′
(√
3/2
))
= 2
(√
3− f ′
(√
3/2
))
⇒ 2
√
3 + 2f ′
(√
3/2
)
= 2
√
3− 2f ′
(√
3/2
)
de donde f ′
(√
3
2
)
= 0. Es decir, la tangente a la gráfica de la lemniscata en dicho punto es horizontal.
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 120 Caṕıtulo 4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Última gráfica y cuentas con Maxima (las coordenadas del punto las colocamos a mano
(%i1) load(draw);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/draw/draw.lisp
(%i2) draw2d(xaxis=true,yaxis=true,
user_preamble="set size ratio 1", nticks=1000,line_width=1.2,
implicit((x^2+y^2)^2=2*(x^2-y^2),x,-2,2,y,-1,1),
line_width=2,color=red,
parametric(sqrt(2-4*sin(theta)^2)*cos(theta),
sqrt(2-4*sin(theta)^2)*sin(theta),theta,0,%pi/2),
color=black,point_size=0.4, point_type = filled_circle,
points([[sqrt(3)/2,1/2]]),
color=brown,line_width=1.5, parametric(t,1/2,t,sqrt(3)/2-1,sqrt(3)/2+1),
color=green,line_width=1.8, parametric(t,0,t,0,sqrt(2)));
( %o2) [gr2d (implicit, parametric, points, parametric, parametric)]
Buscamos un punto de la curva
(%i3) ecu:(x^2+y^2)^2=2*(x^2-y^2);
( %o3)
(
y2 + x2
)2
= 2
(
x2 − y2
)
(%i4) subst(1/2,y,ecu);
( %o4)
(
x2 +
1
4
)2
= 2
(
x2 − 1
4
)
(%i5) solve(%,x);
( %o5) [x = −
√
3
2
, x =
√
3
2
]
Le decimos ahora a Maxima que, en la ecuación, la variable y es una función de x
(%i6) depends(y,x);
( %o6) [y (x)]
“Sustituyendo” y(x) en la ecuación y derivando
Luis Oncina, Cálculo I
4.1 Funciones derivables 121 Caṕıtulo 4
(%i7) diff(ecu,x);
( %o7) 2
(
y2 + x2
) (
2 y
(
d
dx
y
)
+ 2x
)
= 2
(
2x− 2 y
(
d
dx
y
))
Despejamos y′(x) y le llamamos dy
(%i8) [sol]:solve(%,’diff(y,x));
( %o8) [
d
dx
y = − x y
2 + x3 − x
y3 + (x2 + 1) y
]
(%i9) dy:rhs(part(sol));
( %o9) − x y
2 + x3 − x
y3 + (x2 + 1) y
Sustituimos en dy los valores del punto x =
√
3
2 , y =
1
2 .
(%i10) ev(dy,x=sqrt(3)/2);
( %o10) −
√
3 y2
2 +
3
3
2
8 −
√
3
2
y3 + 7 y4
(%i11) ev(%,y=1/2);
( %o11) 0
Fin de la solución
En complementos podéis encontrar una tabla de las fórmulas de derivación de las funciones elementales.
1. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones:
f(x) =
{
x
1+e
1
x
si x 6= 0
0 si x = 0
g(x) =

x si x < 1
2− x si 1 ≤ x ≤ 2
3x− x2 si x > 2
2. Sean u, v : I → R funciones derivables en el intervalo I siendo además u(x) > 0 para todo
x ∈ I. Calcular la función derivada de f(x) = (u(x))v(x).
3. Calcular la función derivada de las siguientes funciones, justificando previamente su deriva-
bilidad, y simplificando lo más posible el resultado:
f(x) = arctan
√
x− 1− arc sen
√
x−1
x , x > 1 , g(x) = log
√
1+x+
√
1−x√
1+x−
√
1−x , 0 < x < 1
h(x) = arc cos 1√
1+x2
+ log
√
1+x
1−x , −1 < x < 1 , i(x) = arctan
√
1−cos x
1+cos x , 0 < x < π
Ejercicios 9.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 122 Caṕıtulo 4
4.2. Extremos de funciones derivables.
Teoremas del valor medio
Funciones monótonas en un intervalo
Recordemos que
Una función f : I → R definida en un intervalo I se dice que es:
creciente (en I) si para cualesquiera x, y ∈ I con x < y implica que f(x) ≤ f(y). La función
se llama estrictamente creciente (en I) si se verifica que f(x) < f(y) siempre que x < y.
decreciente (en I) si para cualesquiera x, y ∈ I con x < y implica que f(x) ≥ f(y). La
función se llama estrictamente decreciente (en I) si f(x) > f(y) si x < y.
Definición 47.
Las definiciones anteriores corresponden a propiedades globales de crecimiento en el intervalo. La definición
que sigue formula los conceptos con carácter local.
Funciones monótonas en un punto
Sea f : I ⊂ R→ R una función definida en un intervalo I. Sea c ∈ I, se dice que:
f es creciente (respectivamente, estrictamente creciente) en c, si existe un entorno reducido
V de c tal que para cada x ∈ I∩ V es f(x)− f(c)
x− c
≥ 0 (resp. f(x)− f(c)
x− c
> 0).
f es decreciente (respectivamente, estrictamente decreciente) en c, si existe un entorno
reducido V de c tal que para cada x ∈ I ∩ V es f(x)− f(c)
x− c
≤ 0 (resp. f(x)− f(c)
x− c
< 0).
Definición 48.
El crecimiento de f : I → R en I implica claramente el crecimiento en cada punto c ∈ I.
Vamos a indicarle a Maxima que f es una función creciente
(%i1) declare(f,increasing);
( %o1) done
(%i2) assume(x<c);
assume(y>c);
( %o2) [c > x]
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 123 Caṕıtulo 4
( %o3) [y > c]
Le preguntamos ahora a Maxima el signo del cociente (a la izquierda y a la derecha de c).
(%i4) is((f(x)-f(c))/(x-c)>0);
is((f(y)-f(c))/(y-c)>0);
( %o4) true
( %o5) true
El rećıproco, algo más dif́ıcil de probar, también es cierto.
Sea f : I → R con I un intervalo. Son equivalentes:
1. f es creciente (decreciente) en I.
2. f es creciente (decreciente) en cada x ∈ I.
Proposición 65.
4.2.1. Extremos relativos
Podemos encontrarnos con puntos donde la función no es creciente ni decreciente. Son importantes donde
ocurre lo siguiente.
f tiene un máximo relativo o local en c ∈ I si existe un entorno V de c tal que f(x) ≤ f(c)
para todo x ∈ I ∩ V .
f tiene un mı́nimo relativo o local en c ∈ I si existe un entorno V de c tal que f(x) ≥ f(c)
para todo x ∈ I ∩ V .
f tiene un extremo relativo en c si f tiene en c un máximo o un mı́nimo relativo.
Definición 49 (Extremos relativos).
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 124 Caṕıtulo 4
La función f : [a, b]→ R de la figura anterior presenta máximos relativos en x1, x3 y b y mı́nimos
relativos en a, x2 y x4.
Ejemplo 31.
Solución:
Nos fijamos en un punto de cada: x2 y b.
Tomamos el entorno Vx2 de x2. Es claro que los valores de la función para x ∈ Vx2 (en rojo) quedan por
encima de la recta roja y = f(x2), es decir f(x) ≥ f(x2) por lo que hay un mı́nimo relativo.
En el caso de b tomamos el entorno abierto Vb y para x ∈ Vb∩ [a, b] (en azul) los valores de la función quedan
por debajo de la recta azul, es decir, para x ∈ Vb ∩ [a, b] es f(x) ≤ f(b). Por lo que en b la función presenta
un máximo relativo.
Fin de la solución
Derivadas, monotońıa y extremos relativos
Una consecuencia sencilla de las definiciones es, para el caso de funciones derivables:
Sea f : I ⊂ R→ R una función definida en un intervalo I y sea c ∈ I.
1. Si f es derivable en c y f ′(c) > 0 entonces f es estrictamente creciente en c.
2. Si f es derivable en c y f ′(c) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en c.
3. Si c es un punto interior del intervalo I, f es derivable en c y en c f tiene un extremo
relativo, entonces f ′(c) = 0.
Proposición 66.
Prueba:
1. Al ser
f ′(c) = ĺım
x→c
f(x)− f(c)
x− c
> 0
existe un entorno reducido V de c tal que si x ∈ V ∩ I se tiene f(x)−f(c)x−c > 0, es decir, f es estrictamente
creciente en c.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 125 Caṕıtulo 4
2. Se prueba de forma análoga.
3. Supongamos que en x = c la función f presenta un máximo relativo. Existe pues V entorno de c tal que
si x ∈ I ∩ V es f(x) ≤ f(c). Evaluamos para x ∈ I ∩ V
si x < c⇒ f(x)− f(c)
x− c
≥ 0⇒ f ′−(c) = ĺım
x→c−
f(x)− f(c)
x− c
≥ 0
si x > c⇒ f(x)− f(c)
x− c
≤ 0⇒ f ′+(c) = ĺım
x→c+
f(x)− f(c)
x− c
≤ 0
Pero f es derivable en c y por tanto ha de ser 0 ≤ f ′−(c) = f ′+(c) ≤ 0 por lo que f ′(c) = 0.
Fin de la prueba
Notad que en la prueba de 3, en el punto b solo obtenemos la f ′−(b) ≥ 0 mientras que en a es f ′+(a) ≥ 0
(haced las cuentas en el caso de mı́nimo relativo como es a. En los puntos interiores donde f es derivalbe, la
tangente a la curva en dicho punto es horizontal: f(x1) = f
′(x2) = f
′(x4) = 0.
En el punto x3 donde f no es derivable este resultado no nos dice nada. (En la gráfica la tangente por la
derecha es vertical mientras que la f ′−(x3) > 0
La anulación de la derivada en un punto no implica que la función tenga un extremo en dicho
punto. Por ejemplo, la función f(x) = x3 es estrictamente creciente en x = 0 pero f ′(0) = 0.
Ejemplo 32.
Solución:
Es fácil ver que es estrictamente creciente en x = 0. Si
x > 0 es f(x) = x3 > 0 = f(0). Mientras que si x < 0
sucede f(x) = x3 < 0 = f(0). Y, claramente, f ′(x) = 3x2
luego f ′(0) = 0.
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
Fin de la solución
La función f : [0, 1]→ R, definida por f(x) = x, tiene un máximo relativo en x = 1 y sin embargo
f ′(1) = 1 6= 0.
Ejemplo 33.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 126 Caṕıtulo 4
Solución:
Basta con representar gráficamente la identidad para darse
cuenta de las propiedades citadas en el enunciado.
En x = 1 presenta un máximo relativo: al ser f(x) = x
estrictamente creciente (si x < y en [0, 1] es x = f(x) <
f(y) = y).
Ahora bien f ′(x) = 1 (¡es la pendiente de la recta, claro!)
por lo que la derivada no se anula nunca. -0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
Fin de la solución
No debe confundirse el que una función sea creciente en un punto con que lo sea en un entorno
del punto.
La función definida por f(x) =
{
x+ 2x2 sen(1/x) si x 6= 0
0 si x = 0
es un ejemplo.
Ejemplo 34.
Solución:
Para comprobar que es creciente en x = 0 tene-
mos que estudiar el signo de
f(x)− f(0)
x− 0
= 1 + 2x sen(1/x)
para x en un entorno reducido de cero. Tomando
x tal que |2x| < 1/2 coseguimos que
|2x sen(1/x)| ≤ |2x| < 1
2
⇒ −1
2
< 2x sen(1/x) <
1
2
y por tanto 1 + 2x sen(1/x) > 1− 12 =
1
2 > 0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
También lo pod́ıamos haber hecho usando la proposición anterior: calculando
f ′(0) = ĺım
x→0
f(x)− f(0)
x− 0
= ĺım
x→0
x+ 2x2 sen(1/x)
x
= ĺım
x→0
1 + 2x sen(1/x) = 1 > 0
por tanto es estrictamente creciente en x = 0.
Por otro lado, en ningún entorno de cero la función es creciente (gráficamente vemos que cerca de cero la
función oscila). Para probar esta afirmación calculamos la derivada de f
f ′(x) =
{
1 + 4x sen(1/x)− 2 cos(1/x) si x 6= 0
1 si x = 0
toma valores positivos y negativos en cada entorno reducido de 0.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 127 Caṕıtulo 4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
Vamos a verlo. El punto rojo en la gráfica es el ( 12π , f
′( 12π )) mientras que el negro es (
1
3π , f
′( 13π )).
Es claro que esto lo podemos hacer en cualquier entorno de cero sin más que eligiendo con cuidado los
correspondientes puntos rojo y negro. Tomando xn =
1
2nπ e yn =
1
(2n+1)π tenemos que f(xn) = −1 < 0
mientras que f(yn) = 3 > 0.
Ahora, si fuera f creciente en un entorno de cero, seŕıa creciente en cada punto de dicho entorno. Pero en
los puntos donde f ′(x) < 0, la función es decreciente (y de estos puntos hay en cada entorno de cero!) por
lo que llegamos a una contradicción.
Las cuentas
(%i1) f(x):=x+2*x^2*sin(1/x);
( %o1) f (x) := x+ 2x2 sin
(
1
x
)
(%i2) f1:diff(f(x),x);
( %o2) 4 sin
(
1
x
)
x− 2 cos
(
1
x
)
+ 1
(%i3) x[n]:=1/(2*n*%pi);
y[n]:=1/((2*n+1)*%pi);
( %o3) xn :=
1
2nπ
( %o4) yn :=
1
(2n+ 1) π
(%i5) declare(n,integer);
( %o5) done
(%i6) ev(f1,x=x[n]);
( %o6) − 1
(%i7) ev(f1,x=y[n]);
( %o7) 3
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 128 Caṕıtulo 4
(%i8) load(draw);
( %o8) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/draw/draw.lisp
(%i9) draw2d(explicit(f1,x,-.3,.3), point_type=filled_circle,point_size=0.3,
color=red, points([[x[1],ev(f1,x=x[1])]]), color=black,
points([[y[1],ev(f1,x=y[1])]]),terminal=pdf);
( %o9) [gr2d (explicit, points, points)]
Fin de la solución
Sea f : [a, b] ⊂ R → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe
c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Teorema 67 (Teorema de Rolle).
Prueba:
Si la función es constante entonces tomando c := a+b2 se tiene el resultado.
En otro caso supongamos, por ejemplo, que existex0 ∈ [a, b] tal que f(x0) > f(a) = f(b). Utilizando
el teorema de Weierstrass 51 la función f alcanza su valor máximo absoluto en [a, b] y dicho valor ha
de alcanzarse en un punto c interior al intervalo, es decir, en c ∈ (a, b). Pero por tratarse de un máximo
absoluto, es también máximo relativo y podemos aplicar el tercer apartado de la proposición 66 para concluir
que f ′(c) = 0.
Fin de la prueba
4.2.2. Teoremas del valor medio
El siguiente resultado se usa, por ejemplo, para demostrar la regla de L’Hospital de cálculo de ĺımites.
Sean f, g : [a, b] → R continuas. Si f, g son derivables en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que
(f(b)− f(a))g′(c) = (g(b)− g(a))f ′(c).
Corolario 68 (Teorema del valor medio de Cauchy).
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 129 Caṕıtulo 4
Prueba:
Basta considerar la función h definida por h(x) := f(x)(g(b)−g(a))−g(x)(f(b)−f(a)) y aplicar el teorema
de Rolle.
Fin de la prueba
Sea f : [a, b]→ R continua. Si f es derivable en (a, b), entonces existe θ ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(θ)(b− a).
Corolario 69 (Teorema del valor medio de Lagrange).
Prueba:
Se obtiene como caso particular del corolario 68 al tomar g(x) := x.
Fin de la prueba
Interpretación geométrica:
Si trazamos la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) observamos que la pendiente de dicha secante
es tanα = f(b)−f(a)b−a . Pues bien, el teorema del valor medio de Lagrange asegura que existe un punto θ ∈ (a, b)
donde la tangente a la curva es paralela a dicha secante, es decir,
f ′(θ) = tanα =
f(b)− f(a)
b− a
Fin
El siguiente resultado se le conoce como el teorema del incremento finito y es un corolario del teorema
del valor medio.
Sea f : [a, b] → R continua y derivable en (a, b). Si |f ′(x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b) entonces,
|f(x)− f(y)| ≤M |x− y| para todo par x, y ∈ [a, b].
Corolario 70 (Teorema de los incrementos finitos).
Prueba:
No hay más que aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a f : [x, y] → R y usar la acotación de la
derivada.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 130 Caṕıtulo 4
Más sobre monotońıa y derivadas
Aplicando el Teorema del valor medio de Lagrange obtenemos.
Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b)
1. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b].
2. Si f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b) entonces f y g “se diferencian en una constante”, es
decir, existe k ∈ R tal que f(x) = g(x) + k para todo x ∈ (a, b).
3. Si f ′(x) ≥ 0, en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].
4. Si f ′(x) ≤ 0, en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].
5. Si f ′(x) > 0, en (a, b), entonces f es estrictamente creciente en [a, b].
6. Si f ′(x) < 0, en (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b].
Corolario 71.
Prueba:
1. Veamos que f(x) = f(a) para cualquier x ∈ (a, b]. Aplicando el teorema del valor medio en [a, x] se
obtiene c ∈ (a, x) con f(x)−f(a)x−a = f
′(c) = 0, de donde f(x) = f(a).
2. La función h(x) = f(x)− g(x) verifica h′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0 para x ∈ [a, b]. Por el apartado anterior
existe k ∈ R con h(x) = k, o sea f(x) = g(x) + k, para x ∈ [a, b].
3. Dados x < y ∈ (a, b) el teorema del valor medio de Lagrange nos garantiza que existe c ∈ (x, y) tal que
f(y)− f(x) = f ′(c)(y − x) ≥ 0, es decir, f(y) ≥ f(x) por lo que f es creciente.
Fin de la prueba
Obsérvese que una función puede ser estrictamente creciente y tener derivada cero en algún punto, como
ocurre con f(x) = x3.
Condición suficiente para extremos relativos
La demostración del siguiente resultado se obtiene de forma sencilla aplicando el teorema de valor medio
de Lagrange.
Sea f : (a, b)→ R derivable y sea c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
1. Si existe δ > 0 tal que f ′(x) ≤ 0 si x ∈ (c−δ, c) ⊂ (a, b) y f ′(x) ≥ 0 si x ∈ (c, c+δ) ⊂ (a, b),
entonces f posee un mı́nimo relativo en c.
2. Si existe δ > 0 tal que f ′(x) ≥ 0 si x ∈ (c−δ, c) ⊂ (a, b) y f ′(x) ≤ 0 si x ∈ (c, c+δ) ⊂ (a, b),
entonces f posee un máximo relativo en c.
Corolario 72.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 131 Caṕıtulo 4
Ráıces de ecuaciones y desigualdades
Probad que la ecuación ex = x no posee ninguna ráız real.
Ejemplo 35.
Solución:
Comenzamos dibujando las gráficas de las funciones ex y x para comprobar que no se cortan.
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
x
%e^x
Para probarlo, consideraremos la función f(x) = ex − x. Es claro que si x < 0 es f(x) > 0. Aśı que nos
fijaremos en el intervalo [0,+∞). Si y ∈ (0,+∞), aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo
[0, y] y dado que f ′(x) = ex − 1 resulta que existe c ∈ (0, y) tal que
f(y)− f(0) = ey − y − 1 = f ′(c)(y − 0) = (ec − 1)y > ec − 1 por ser y > 0
Tenemos, sumando 1 a la desigualdad anterior,
ey − y > ec > 0⇒ ey > y
Por tanto f(x) > 0 y esto implica que ex = x no posee ninguna ráız real.
Fin de la solución
La desigualdad de Bernouilli se usa para demostrar la existencia del número e. Vamos a dar ahora una
prueba de la misma usando las técnicas de este caṕıtulo.
Probar que (1 + x)α > 1 + αx si x > 0 y α > 1.
Ejemplo 36.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 132 Caṕıtulo 4
Prueba:
Para probarlo consideremos la función f definida para x ≥ 0 por la fórmula
f(x) = (1 + x)α − 1− αx, α ∈ R.
Puesto que f(0) = 0, es suficiente probar que f es estrictamente creciente, si α > 1. Pero esto es claro ya
que f ′(x) = α
(
(1 + x)α−1 − 1
)
> 0, si x > 0.
Fin de la prueba
Hallad, de forma aproximada, las ráıces de la ecuación x− x2 − 14 log(1 + x) +
1
2 = 0
Ejemplo 37.
Solución:
Consideramos la función f(x) = x− x2 − 14 log(1 + x) +
1
2 definida en (−1,∞)
Lo resolvemos con Maxima
(%i1) f(x):=x-x^2-1/4*log(1+x)+1/2;
( %o1) f (x) := x− x2 + −1
4
log (1 + x) +
1
2
(%i2) plot2d(f(x),[x,-1,3],[y,-3,1]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.
plot2d: some values were clipped.
( %o2)
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0
.2
5*
lo
g(
x+
1)
-x
^
2+
x+
0.
5
x
Aparentemente tiene dos ráıces pero como
(%i3) limit(f(x),x,-1,plus);
( %o3) ∞
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 133 Caṕıtulo 4
Cerca de −1 tiene que tomar valores positivos y por lo tanto tiene 3 ráıces reales. Para probarlo estudiamos
la monotońıa de la función.
(%i4) f1:diff(f(x),x);
( %o4) − 1
4 (x+ 1)
− 2x+ 1
(%i5) factor(f1);
( %o5) − 8x
2 + 4x− 3
4 (x+ 1)
(%i6) pcriticos:solve(%,x);
( %o6) [x = −
√
7 + 1
4
, x =
√
7− 1
4
]
(%i7) max:rhs(part(pcriticos[2]));
min:rhs(part(pcriticos[1]));
( %o7)
√
7− 1
4
( %o8) −
√
7 + 1
4
Evaluamos la función en los puntos cŕıticos (que claramente son extremos relativos; compruébalo).
(%i9) f(max);
f(min);
( %o9) −
log
(√
7−1
4 + 1
)
4
+
√
7− 1
4
−
(√
7− 1
)2
16
+
1
2
( %o10) −
log
(
1−
√
7+1
4
)
4
−
(√
7 + 1
)2
16
−
√
7 + 1
4
+
1
2
Mejor será aproximar estos valores si queremos saber su signo.
(%i11) numer:true;
( %o11) true
(%i12) f(float(max));
f(float(min));
( %o12) 0,656004511445
( %o13) − 0,63614412602505
Intervalos de monotońıa. Dado que el denominador es positivo, solo nos fijamos en los signos del numerador
que es −8x2 + 4x− 3 = −8(x−mı́n)(x−máx). Por lo tanto:
Si −1 < x < min es f ′(x) < 0.
Si mı́n < x < máx es f ′(x) > 0.
Si x > máx es f ′(x) < 0.
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 134 Caṕıtulo 4
f es estrictamente decreciente en (−1,mı́n) y como f(mı́n) < 0 solo tiene una ráız en dicho intervalo. Al
ser f(máx) > 0 y estrictamente creciente en (mı́n,máx) solo tiene una. A partir de x = máx la función es
estrictamente decreciente y como f(2) < 0 solo tendrá en dicho intervalo una única ráız.
Comprobamos puntos donde haya cambio de signo. El teorema de Bolzano asegura la existencia de ráıces
(%i14) f(-.9999);( %o14) 0,80288508299407
Maxima nos da un valor aproximado de la primera.
(%i15) r1:find_root(f(x),-.9999,min);
( %o15) − 0,99744411176893
La segunda está entre los puntos cŕıticos
(%i19) r2:find_root(f(x),min,max);
( %o19) − 0,44789453382891
Hacemos lo mismo a la derecha
(%i16) f(2);
( %o16) − 1,774653072167027
(%i20) r3:find_root(f(x),max,2);
( %o20) 1,240490572607595
Fin de la solución
Una ayuda para el cálculo de ĺımites
El resultado que sigue es de utilidad en la resolución de diversos tipos de indeterminaciones de la forma
0
0
o bien
∞
∞
.
Sean f, g funciones derivables en I = (a, b) ⊂ R donde −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Supongamos que g, g′
no tienen ceros en I y que se cumple una de las condiciones siguientes:
1. ĺımx→b− f(x) = ĺımx→b− g(x) = 0.
2. ĺımx→b− g(x) = ±∞.
Entonces, si existe
L := ĺım
x→b−
f ′(x)
g′(x)
∈ R también existe ĺım
x→b−
f(x)
g(x)
= L.
Proposición 73 (Regla de L’Hospital).
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 135 Caṕıtulo 4
El rećıproco de la proposición anterior no es cierto, como es fácil comprobar considerando
ĺım
x→∞
x+ senx
x− senx
= ĺım
x→∞
1 + sen xx
1− sen xx
= 1
ya que ĺımx→∞
sen x
x = 0. Sin embargo el cociente de las derivadas no tiene ĺımite
ĺım
x→∞
1 + cosx
1− cosx
(el numerador se anula en cualquier entorno de +∞ por lo que esa expresión no se “puede” ni escribir).
Lo hacemos con Maxima
(%i1) f:x+sin(x);
g:x-sin(x);
( %o1) sin (x) + x
( %o2) x− sin (x)
(%i3) limit(f/g,x,inf);
( %o3) 1
(%i4) f1:diff(f,x);
g1:diff(g,x);
( %o4) cos (x) + 1
( %o5) 1− cos (x)
(%i6) limit(f1/g1,x,inf);
( %o6) und
Calcular los siguientes ĺımites:
1. ĺım
x→0
(
1
x
− 1
senx
)
, 2. ĺım
x→0+
√
x log x, 3. ĺım
x→0
x2 + log(1− senx2)
2 tan(1− cosx) + 1− ex2
Ejemplo 38.
Solución:
1.
ĺım
x→0
(
1
x
− 1
senx
)
= ĺım
x→0
(
senx− x
x senx
)
L′H
= ĺım
x→0
(
cosx− 1
senx+ x cosx
)
L′H
=
= ĺım
x→0
(
− senx
cosx+ cosx− x senx
)
=
0
2
= 0
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 136 Caṕıtulo 4
2.
ĺım
x→0+
√
x log x = ĺım
x→0+
log x
x−1/2
L′H
= ĺım
x→0+
1/x
− 12x−3/2
= −2 ĺım
x→0+
x1/2 = 0
Con Maxima es mucho más fácil
(%i1) limit(1/x-1/sin(x),x,0);
( %o1) 0
(%i2) limit(sqrt(x)*log(x),x,0);
( %o2) 0
3.
Lo hacemos directamente con Maxima
(%i1) f:x^2+log(1-sin(x^2));
( %o1) log
(
1− sin
(
x2
))
+ x2
(%i2) g:2*tan(1-cos(x))+1-exp(x^2);
( %o2) − 2 tan (cos (x)− 1)− ex
2
+ 1
(%i3) limit(f/g,x,0);
( %o3) 0
Comprobamos gráficamente
(%i4) load(draw);
( %o4) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/draw/draw.lisp
(%i5) draw2d(xaxis=true,yaxis=true, yrange=[0,1], explicit(f/g,x,-.5,.5));
( %o5) [gr2d (explicit)]
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 137 Caṕıtulo 4
Pues parece que cero no es. Evaluamos el cociente cerca del origen
(%i6) ev(f/g,x=0.01);
( %o6) 0,85715959191176
Vamos a aplicar la regla de L’Hospital a ver si salimos de dudas.
(%i7) L1:diff(f,x)/diff(g,x);
( %o7)
2x− 2 x cos(x
2)
1−sin(x2)
2 sin (x) sec (cos (x)− 1)2 − 2x ex2
(%i8) limit(L1,x,0);
( %o8) 0
(%i9) ev(L1,x=0.01);
( %o9) 0,85716795968488
(%i10) draw2d(xaxis=true,yaxis=true, yrange=[0,1],explicit(L1,x,-.5,.5));
( %o10) [gr2d (explicit)]
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Como podemos observar el valor del cociente de las derivadas cerca de cero se aproxima al valor de nuestra
función (como nos indica L’Hospital). Aplicamos de nuevo L’Hospital, para ello comprobamos que tenemos
una indeterminación del tipo 00 antes de calcular derivadas.
(%i11) diff(f,x);
ev(%,x=0);
( %o11) 2x− 2x cos (x
2)
1− sin (x2)
( %o12) 0
(%i13) diff(g,x);
ev(%,x=0);
( %o13) 2 sin (x) sec (cos (x)− 1)2 − 2x ex
2
( %o14) 0
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 138 Caṕıtulo 4
(%i15) L2:diff(f,x,2)/diff(g,x,2);
( %o15) (
4x2 sin (x2)
1− sin (x2)
− 2 cos (x
2)
1− sin (x2)
− 4x
2 cos (x2)
2
(1− sin (x2))2
+ 2)/
(−4 sin (x)2 sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1) + 2 cos (x) sec (cos (x)− 1)2 − 4x2 ex
2
− 2 ex
2
)
(%i16) limit(L2,x,0);
Maxima encountered a Lisp error: Console interrupt.Automatically continuing.To enable the Lisp debugger
set *debugger-hook* to nil.
Después de un buen rato con “Maxima calculando” le he dado al botón rojo con el aspa.
(%i17) draw2d(xaxis=true,yaxis=true, yrange=[0,1],explicit(L2,x,-.5,.5));
( %o17) [gr2d (explicit)]
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
(%i18) ev(L2,x=0.001);
( %o18) 0,8571432755031
Maxima no ha sabido calcular este último ĺımite, aunque si evalúa y dibuja la función.
Aplicamos L’Hospital una vez más. Primero comprobamos que tenemos una indeterminación
(%i19) diff(f,x,2);
ev(%,x=0);
( %o19)
4x2 sin (x2)
1− sin (x2)
− 2 cos (x
2)
1− sin (x2)
− 4x
2 cos (x2)
2
(1− sin (x2))2
+ 2
( %o20) 0
(%i21) diff(g,x,2);
ev(%,x=0);
( %o21) − 4 sin (x)2 sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1) + 2 cos (x) sec (cos (x)− 1)2 − 4x2 ex
2
− 2 ex
2
( %o22) 0
Calculamos las derivadas terceras del numerador y del denominador y evaluamos ambas en cero (ya que el
ĺımite del cociente quizás de problemas).
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 139 Caṕıtulo 4
(%i23) diff(f,x,3);
ev(%,x=0);
( %o23)
12x sin (x2)
1− sin (x2)
+
24x3 cos (x2) sin (x2)
(1− sin (x2))2
+
8x3 cos (x2)
1− sin (x2)
− 12x cos (x
2)
2
(1− sin (x2))2
− 16x
3 cos (x2)
3
(1− sin (x2))3
( %o24) 0
(%i25) diff(g,x,3);
ev(%,x=0);
( %o25) 8 sin (x)
3
sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1)2−12 cos (x) sin (x) sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1) +
4 sin (x)
3
sec (cos (x)− 1)4 − 2 sin (x) sec (cos (x)− 1)2 − 8x3 ex
2
− 12x ex
2
( %o26) 0
Tenemos de nuevo que ĺımx→0
f ′′′(x)
g′′′(x) =
0
0 . Aplicamos de nuevo la regla de L’Hospital. Calculamos las deri-
vadas cuartas y evaluamos.
Esta vez le pedimos a Maxima que no nos muestre las derivadas cuartas (son fórmulas largas que no nos
sirven de nada).
(%i28) diff(f,x,4)$
ev(%,x=0);
( %o29) − 12
(%i30) diff(g,x,4)$
ev(%,x=0);
( %o31) − 14
Aśı pues el ĺımite propuesto es
(%i32) -12/-14;
( %o32)
6
7
Pero ¿hemos hecho todo el trabajo? No. En cada paso, hay que comprobar que se cumplen las hipótesis del
teorema de L’Hospital. Aparte de asegurarnos que tenemos una indeterminación, tenemos que demostrar que
el denominador y su derivada no se anulan en un entorno de cero. Pero claro, demostrar que, por ejemplo,
g′′′(x) = 8 sin (x)
3
sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1)2−12 cos (x) sin (x) sec (cos (x)− 1)2 tan (cos (x)− 1)+
4 sin (x)
3
sec (cos (x)− 1)4 − 2 sin (x) sec (cos (x)− 1)2 − 8x3 ex2 − 12x ex2
no se anula en un entorno reducido de cero puede ser algo complicado. Śı se puede comprobar gráficamente
que tanto g, g′, g′′ y g′′′ no se anulan alrededor de cero.
En la siguiente sección veremos otra forma de calcular este ĺımite. Esta vez con éxito.
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
4.2 Extremos de funciones. Valor medio 140 Caṕıtulo 4
1. Probad las siguientes desigualdades senx < x < tanx para x ∈ (0, π2 ).
2. Demostrar que si 0 < a ≤ b se tiene 1− ab ≤ log
b
a ≤
b
a − 1.
3. Hallar el triángulo rectángulo de área máxima, si la suma de un cateto y la hipotenusa es
constante.
4. Hallar el volumen máximo de un cono con una generatriz dada l.
5. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja rectangular abierta,
que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en las esquinas de la
hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz aśı obtenida. Hallar las
dimensiones de dicha caja.
6. Hallar los extremos absolutos de la función f(x) = |x2 − 3x+ 2| en el intervalo [−10, 10].
7. Separar las ráıces de las ecuaciones:
2x3 + 3x2 − 12x+ 12 = 0, 3x4 − 4x3 − 12x2 + 12 = 0
8. Calcular los ĺımites que se indican a continuación:
(a) ĺım
x→1
log x
x−
√
x
, (b) ĺım
x→01 + senx− ex
(arctanx)2
, (c) ĺım
x→0+
(arctanx)
1
log x , (d) ĺım
x→+∞
(log x)
1
1−log x
9. Se consideran las funciones f(x) = x2 sen 1x si x 6= 0, f(0) = 0, y g(x) = senx. Comprobar
que, cuando x→ 0, el cociente f(x)/g(x) tiene ĺımite, mientras que el cociente f ′(x)/g′(x)
no lo tiene. Comparar este resultado con la regla de L’Hospital.
Ejercicios 10.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 141 Caṕıtulo 4
4.3. Desarrollos de Taylor
1. Si f es derivable en un abierto Ω ⊂ R y f ′ también es derivable en Ω se dice que f es dos
veces derivable en Ω y la derivada de f ′ se denota con f ′′ o bien f (2 y se llama la derivada
segunda de f .
2. Por inducción, se dice que f es n veces derivable si f es (n−1) veces derivable y la derivada
(n− 1)-ésima, f (n−1, es derivable, en cuyo caso se denota la derivada con f (n := (f (n−1)′.
3. f se dice de clase Cn en Ω si existe la derivada n-ésima de f y es continua y se dice que es
de clase C∞ en Ω si es de clase Cn para todo n.
Definición 50.
Los polinomios P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a0 son funciones de clase C∞ en R y conociendo
el valor de P y sus derivadas en un punto x0 es posible reconstruir el polinomio.
Ejemplo 39.
Prueba:
En efecto, basta observar que dividiendo P (x) por (x− x0)n se puede escribir
P (x) = bn(x− x0)n +Qn−1(x)
donde bn es constante y Qn−1(x) es un polinomio de grado n− 1. Procediendo por inducción se obtiene:
P (x) = bn(x− x0)n + bn−1(x− x0)n−1 + · · ·+ b0.
Pero entonces b0 = P (x0) y derivando sucesivamente se obtiene que
bk =
P (k)(x0)
n!
, para k = 0, 1, ...n
con lo que
P (x) = P (x0) +
P ′(x0)
1!
(x− x0) + · · ·+
P (n)(x0)
n!
(x− x0)n. (†)
Fin de la prueba
Vamos a usar Maxima para desarrollar el polinomio P (x) = 5x4 + 3x3 − 7x2 + x − 3
alrededor del punto x = 1.
Definimos el polinomio a desarrollar
(%i1) P(x):=5*x^4+3*x^3-7*x^2+x-3;
( %o1) P (x) := 5x4 + 3x3 + (−7) x2 + x− 3
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 142 Caṕıtulo 4
Calculamos ahora las derivadas sucesivas del polinomio
(%i2) D[k,x]:=diff(P(x),x,k)$
makelist(D[k,x],k,1,4);
( %o3) [20x3 + 9x2 − 14x+ 1, 60x2 + 18x− 14, 120x+ 18, 120]
Calculamos los coeficientes del polinomio alrededor de x = 1
(%i4) b[0]:P(1)$
b[k]:=ev(D[k,x],x=1)/k!$
Escribimos el polinomio alrededor de x = 1
(%i6) S(x):=sum(b[k]*(x-1)^k,k,0,4)$
S(x);
( %o7) 16 (x− 1) + 5 (x− 1)4 + 23 (x− 1)3 + 32 (x− 1)2 − 1
Finalmente comprobamos que este polinomio coincide con P (x)
(%i8) expand(S(x));
( %o8) 5x4 + 3x3 − 7x2 + x− 3
En el caso de funciones f varias veces derivables puede construirse la expresión que figura en el segundo
miembro de la identidad (†), con f en lugar de P .
Tal expresión es un polinomio de grado n que recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado
n de f en x0.
Pn(f, x;x0) = f(x0) +
f ′(x0)
1!
(x− x0) + · · ·+
f (n(x0)
n!
(x− x0)n.
Definición 51 (Polinomio de Taylor).
En lo sucesivo, cuando los parámetros estén claros por el contexto, nos limitaremos a escribir Pn(x) para
denotar el polinomio de Taylor.
El resto del polinomio
Antes hemos probado que cuando f es un polinomio de grado n entonces f(x) = Pn(x), pero, obviamente,
esto sólo ocurre cuando f es un polinomio; en otro caso f(x)− Pn(x) 6≡ 0.
A la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor de grado n se le llama resto del polinomio
y lo denotaremos por Rn(x;x0) := f(x)− Pn(x).
Definición 52.
La proposición 74 nos dará una propiedad importante del resto y el teorema de Taylor 77 proporciona una
expresión clara del mismo.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 143 Caṕıtulo 4
Vamos a apoyarnos en Maxima para calcular los polinomios de Taylor de algunas funcio-
nes. Para ello usaremos el comando que posee el programa:
taylor(funcion, variable, punto, grado)
Haremos en todos los casos el desarrollo alrededor de x = 0 (desarrollo de MacLaurin) y de grado 10.
(%i1) taylor(%e^x, x, 0, 10);
taylor(sin(x), x, 0, 10);
taylor(cos(x),x, 0, 10);
taylor(1/(1+x), x, 0, 10);
taylor(log(1+x),x, 0, 10);
( %o1)/T/ 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
+
x6
720
+
x7
5040
+
x8
40320
+
x9
362880
+
x10
3628800
+ ...
( %o2)/T/ x− x
3
6
+
x5
120
− x
7
5040
+
x9
362880
+ ...
( %o3)/T/ 1− x
2
2
+
x4
24
− x
6
720
+
x8
40320
− x
10
3628800
+ ...
( %o4)/T/ 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 − x9 + x10 + ...
( %o5)/T/ x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+
x5
5
− x
6
6
+
x7
7
− x
8
8
+
x9
9
− x
10
10
+ ...
Función Polinomio de Taylor
ex 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n
n!
senx x− x
3
3!
+
x5
5!
+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
cosx 1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
1
1+x 1− x+ x
2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn
log(1 + x) x− x
2
2
+
x3
3
− · · ·+ (−1)n−1x
n
n
(1 + x)α 1 + (α1)x+ (
α
2)x
2 + · · ·+ (αn)x
n
donde (αk) =
α(α− 1)(α− 2) . . . (α− (k − 1))
k!
Vamos a dibujar en [−3π, 3π] la función senx y sus polinomios de Taylor de diferentes
grados en x = 0.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 144 Caṕıtulo 4
(%i1) f:sin(x);
( %o1) sin (x)
(%i2) P(x,n):=taylor(f,x,0,n);
( %o2) P (x, n) := taylor (f, x, 0, n)
(%i3) plot2d([f,P(x,1),P(x,5),P(x,9),P(x,12),P(x,18)],
[x,-3*%pi,3*%pi],[y,-10,10],
[legend,"seno","P1","P5","P9","P12","P18"]);
( %o3)
-10
-5
 0
 5
 10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
seno
P1
P5
P9
P12
P18
Podemos observar que cerca del origen (el punto alrededor del cual hemos calculado los polinomios
de Taylor) la función seno apenas se distingue de la gráfica de sus polinomios. Por otro lado, al
alejarnos de x = 0 los valores de la función y del polinomio comienzan a separarse. Es evidente
también que los polinomios de grado mayor aproximan mejor a la función en un intervalo más
grande. Dibujamos a continuación los de grado 18, 30, 40 y 60 y el dominio [−8π, 8π].
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 145 Caṕıtulo 4
-10
-5
 0
 5
 10
-20 -10 0 10 20
y
x
seno
P18
P30
P40
P60
¿Pero ocurre esto siempre? La respuesta es negativa. Un ejemplo nos lo proporciona la función log(1+x).
Más allá del intervalo (0, 1] por muy grande que tomemos el grado del polinomio no aproximamos a la
función. Volveremos a este ejemplo cuando, en el último caṕıtulo, estudiemos las series de potencias.
-15
-10
-5
 0
 5
 10
 15
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
log
P2
P5
P10
P15
P30
Vamos a centrarnos ahora en lo que ocurre cerca del punto x0. Para “medir” el grado de aproximación
del polinomio a la función resulta conveniente introducir la siguiente definición.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 146 Caṕıtulo 4
Se dice que una función g definida en un entorno reducido de x0 es una ((o pequeña de |x− x0|n))
y se escribe g(x) = o(|x− x0|n) si ĺım
x→x0
|g(x)|
|x− x0|n
= 0.
Definición 53.
Hay que notar que si g(x) = o(|x − x0|n) para un cierto 1 < n, entonces también es g(x) =
o(|x− x0|k) para 1 ≤ k ≤ n.
Nota.
Prueba:
Calculamos
ĺım
x→x0
|g(x)|
|(x− x0)|k
= ĺım
x→x0
|g(x)|
|(x− x0)|n
|(x− x0)|n−k = 0 · 0 = 0
Fin de la prueba
4.3.1. El resto de Landau: desarrollos limitados
Como consecuencia inmediata del teorema de L’Hospital se obtiene:
Si f : (a, b) ⊂ R→ R es n− 1 veces derivable en (a, b) y existe la derivada n-ésima en x0 ∈ (a, b),
entonces f(x) = Pn(f, x;x0) + o(|x− x0|n).
Proposición 74.
Dada una función f : (a, b) ⊂ R→ R, una expresión de la forma
f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·+ an(x− x0)n + o(|x− x0|n)
se le denomina un desarrollo limitado de f de grado n.
Definición 54.
La proposición 74 se enuncia ahora diciendo que una función (n− 1) veces derivable en (a, b) con derivada
n-ésima en x0 admite un desarrollo limitado y nos proporciona los coeficientes an. No vamos a entrar aqúı en
muchos detalles sobre desarrollos limitados, pero vale la pena mencionar que
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 147 Caṕıtulo 4
El desarrollo limitado de grado n de una función es único:en el caso de funciones de clase Cn en
un intervalo dicho desarrollo viene dado por su polinomio de Taylor.
Nota.
Hay funciones que no se pueden aproximar mediante su polinomio de Taylor, a pesar de que son
infinitamente derivables. f(x) = e−1/x
2
si x 6= 0, y f(0) = 0
Nota.
Solución:
Esta función cumple que para cualquier n ∈ N, f (n(0) = 0. Por lo tanto su polinomio de Taylor de cualquier
grado es cero, o dicho de otro modo, e−
1
x2 = o(|x|n) para cualquier n ∈ N.
Fin de la solución
Conocer los desarrollos limitados de las funciones habituales, que aparecen en las fórmulas anteriores,
nos permite realizar desarrollos limitados de funciones que se obtienen como resultado de operaciones con
tales funciones. Lo vemos en el siguiente resultado.
Sean f y g funciones de clase Cn definidas en sendos entornos de los puntos x0 e y0 y derivables
n veces en dichos puntos.
1. Si y0 = x0 entonces el desarrollo limitado de orden n de f + g en x0 se obtiene sumando los
desarrollos limitados de orden n de f y g.
2. Si y0 = x0 entonces el desarrollo limitado de orden n de f · g en x0 se obtiene multiplicando
los desarrollos limitados de orden n de f y g y agrupando los términos convenientemente,
tanto en la parte polinómica de grado no superior a n como en la parte del resto de Landau.
3. Si y0 = x0 y g(x0) 6= 0 entonces el desarrollo limitado de orden n de f/g en x0 se obtiene
dividiendo los desarrollos limitados de f y g y agrupando los términos convenientemente
tanto en la parte polinómica de grado no superior a n como en la parte del resto de Landau.
4. El desarrollo limitado de orden n − 1 de f ′ se obtiene derivando formalmente el desarrollo
limitado de orden n de f y bajando el orden del resto de landau en una unidad.
5. Si f(x0) = y0 y la función g ◦ f está definida en un entorno de x0 y admite un desarrollo
limitado en x0 entonces tal desarrollo se obtiene sustituyendo formalmente el desarrollo de
f en el de g, y agrupando los términos convenientemente tanto en la parte polinómica de
grado no superior a n como en la parte del resto de Landau.
Proposición 75.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 148 Caṕıtulo 4
Cálculo de ĺımites
Calculad el siguiente ĺımite ĺımx→0
senx− x
tanx− x
Ejemplo 40.
Solución:
Vamos a escribir los desarrollos limitados del numerador y del denominador:
−x+ senx = −x+ (x− x
3
6
+ o(|x|3) = −x
3
6
+ o(|x|3)
Como el desarrollo del numerador es de grado 3, escribimos el desarrollo de la tangente hasta grado 3.
tan 0 = 0, (tanx)′ = (1 + tan2 x)⇒ (tan)′(0) = 1.
(tanx)′′ = 2 tanx(1 + tan2 x)⇒ (tan)′′(0) = 0.
(tanx)′′′ = 2(1 + tan2 x)2 + 4 tan2 x(1 + tan2 x)⇒ (tan)′′′(0) = 2.
Por lo tanto tanx = x+ x
3
3 + o(|x|
3).
−x+ tanx = −x+ (x+ x
3
3
+ o(|x|3) = x
3
3
+ o(|x|3)
Sustituyendo
ĺım
x→0
senx− x
tanx− x
= ĺım
x→0
−x
3
6 + o(|x|
3)
x3
3 + o(|x|3)
= ĺım
x→0
− 16 +
o(|x|3)
x3
1
3 +
o(|x|3)
x3
= −3
6
= −1
2
Fin de la solución
Calculad el siguiente ĺımite
ĺım
x→0
log(1 + x2)− 2 + 2 cosx
sen2 x+ 2
√
1− x2 − 2
Ejemplo 41.
Solución:
Comenzamos con el numerador. Dado que
log(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ o(|x|4)
log(1 + x2) = x2 − (x
2)2
2
+
(x2)3
3
− (x
2)4
4
+ o(|x2|4) = x2 − x
4
2
+
x6
3
− x
8
4
+ o(|x|8)
cosx = 1− x
2
2
+
x4
24
+ o(|x|4)
de donde (solo haremos uso del desarrollo limitado de orden 4 del log(1 + x2).)
log(1 + x2)− 2 + 2 cosx = x2 − x
4
2
+ o(|x|4)− 2 + 2− 2x
2
2
+ 2
x4
24
+ o(|x|4) = −5x
4
12
+ o(|x|4)
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 149 Caṕıtulo 4
Para el denominador necesitamos llegar hasta grado 4. Como senx = x− x
3
6 + o(|x|
3) tenemos
(senx)2 =(x− x
3
6
+ o(|x|3))2 = x2 + x
6
36
+ o(|x|3)o(|x|3)− 2xx
3
6
+ 2xo(|x|3)− 2x
3
6
o(|x|3) =
=x2 − x
4
3
+ o(|x|4)
porque el resto de sumandos son una o(|x|4).
Hallamos ahora el de
√
1− x2 usando el desarrollo de f(x) =
√
1 + x.
f(0) = 1,
f ′ = 12 (1 + x)
−1/2 ⇒ f ′(0) = 12 .
f ′′ = − 14 (1 + x)
−3/2 ⇒ f ′′(0) = − 14 .
Aśı,
√
1 + x = 1 +
x
2
− x
2
8
+ o(|x|2)
por lo que √
1− x2 = 1 + −x
2
2
− (−x
2)2
8
+ o(| − x2|2) = 1− x
2
2
− x
4
8
+ o(|x|4)
Finalmente
sen2 x+ 2
√
1− x2 − 2 = x2 − x
4
3
+ o(|x|4) + 2
(
1− x
2
2
− x
4
8
+ o(|x|4)
)
− 2 = − 7
12
x4 + o(|x|4)
Sustituyendo en el ĺımite a calcular:
ĺım
x→0
log(1 + x2)− 2 + 2 cosx
sen2 x+ 2
√
1− x2 − 2
= ĺım
x→0
− 5x
4
12 + o(|x|
4)
− 712x4 + o(|x|4)
= ĺım
x→0
− 512 +
o(|x|4)
x4
− 712 +
o(|x|4)
x4
=
5
7
Lo hacemos con Maxima
Definimos las siguientes funciones
(%i1) f:log(1+x^2)-2+2*cos(x);
g:(sin(x))^2+2*sqrt(1-x^2)-2;
( %o1) log
(
x2 + 1
)
+ 2 cos (x)− 2
( %o2) sin (x)
2
+ 2
√
1− x2 − 2
Está claro que podemos calcular el ĺımite que nos piden usando el comando limit
(%i3) limit(f/g,x,0);
( %o3)
5
7
Pero vamos a hacerlo usando desarrollos limitados. Con Maxima no hay problema con el grado...
(%i4) DLf:taylor(f,x,0,6);
DLg:taylor(g,x,0,6);
( %o4)/T/ − 5x
4
12
+
119x6
360
+ ...
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 150 Caṕıtulo 4
( %o5)/T/ − 7x
4
12
− 29x
6
360
+ ...
Sustituimos ahora estos desarrollos en el ĺımite a calcular
(%i6) limit(DLf/DLg,x,0);
taylor: assumed to be zero: − 12
7x4
+
58
245x2
+ ...
( %o6) 0
¿Qué sucede? Maxima interpreta el desarrollo de Taylor como de grado “infinito”. Vamos a convertir estos
desarrollos en polinomios de grado 6. Para ello usamos el comando taytorat que convierte el desarrollo de
Taylor en un polinomio.
(%i7) DL2f:taytorat(DLf);
DL2g:taytorat(DLg);
( %o7)/R/
119x6 − 150x4
360
( %o8)/R/ − 29x
6 + 210x4
360
(%i9) limit(DL2f/DL2g,x,0);
( %o9)
5
7
Fin de la solución
Volvemos al ĺımite que nos costó tanto usando la regla de L’Hospital.
ĺım
x→0
x2 + log(1− senx2)
2 tan(1− cosx) + 1− ex2
Ejemplo 42.
Solución:
Lo resolvemos con Maxima
(%i1) f:x^2+log(1-sin(x^2));
( %o1) log
(
1− sin
(
x2
))
+ x2
(%i2) g:2*tan(1-cos(x))+1-exp(x^2);
( %o2) − 2 tan (cos (x)− 1)− ex
2
+ 1
(%i3) ’limit(f/g,x,0);
( %o3) ĺım
x→0
log (1− sin (x2)) + x2
−2 tan (cos (x)− 1)− ex2 + 1
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 151 Caṕıtulo 4
(%i4) DLf:taylor(f,x,0,6);
DLg:taylor(g,x,0,6);
( %o4)/T/ − x
4
2
− x
6
6
+ ...( %i5)
( %o5)/T/ − 7x
4
12
− 29x
6
360
+ ...
(%i6) limit(DLf/DLg,x,0);
taylor: assumed to be zero: − 127 x4 +
58
245 x2 + ...
( %o6) 0
(%i7) DL2f:taytorat(DLf);
DL2g:taytorat(DLg);
( %o7)/R/ − x
6 + 3x4
6
( %o8)/R/ − 29x
6 + 210x4
360
(%i9) limit(DL2f/DL2g,x,0);
( %o9)
6
7
Fin de la solución
Condición necesaria para extremos relativos
En el último apartado de la proposición 66 ha sido establecida una condición necesaria para la existencia
de extremos relativos. La proposición 74 nos permite ahora dar una condición suficiente de extremo relativo.
Sean f : (a, b) ⊂ R→ R y x0 ∈ (a, b). Supongamos que f es n− 1 veces derivable en (a, b) siendo
f ′(x0) = f
(2(x0) = · · · = f (n−1(x0) = 0 y que existe f (n(x0) 6= 0.
1. Si n es par, entonces f presenta en x0 un máximo relativo en el caso de que f
(n(x0) < 0 o
un mı́nimo relativo en el caso de que f (n(x0) > 0.
2. Si n es impar, entonces f no tiene extremo relativo en x0.
Corolario 76.
Prueba:
De acuerdo con la proposición 74 se tiene que
f(x) = f(x0) +
1
n!
f (n(x0)(x− x0)n + o((x− x0)n) (†)
y por tanto
f(x)− f(x0)
(x− x0)n
=
1
n!
f (n(x0) +
o((x− x0)n)
(x− x0)n
.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 152 Caṕıtulo 4
Supongamos que n es par. Si además f (n(x0) < 0 entonces, existe un entorno de x0 en el cual el segundo
miembro de la igualdad anterior es estrictamente negativo y por consiguiente, también lo es el primero, pero
al ser n par ello requiere que f(x)− f(x0) < 0 en dicho entorno, es decir, f tiene en x0 un máximo relativo
estricto. Si, por el contrario, fuera f (n(x0) > 0 un razonamiento análogo mostraŕıa que f(x)− f(x0) > 0 en
dicho entorno, es decir, f tiene en x0 un mı́nimo relativo estricto.
Si n es impar, procediendo deforma similar llegaŕıamos a la conclusión de que existiŕıa un entorno de x0 en
el que el primer miembro de la ecuación (†) habŕıa de ser, o bien estrictamente negativo, o bien estrictamente
positivo. Pero un instante de reflexión sobre el signo del numerador de la fracción del primer miembro de la
ecuación (†) muestra que ambas situaciones son incompatibles con la existencia de extremo relativo en x0.
Fin de la prueba
Determinar los extremos relativos de la siguiente función
f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 12
Ejemplo 43.
Solución:
Vamos a resolverlo usando Maxima
Definimos la función
(%i1) f(x):=3*x^4-4*x^3-12*x^2+12;
( %o1) f (x) := 3x4 − 4x3 + (−12) x2 + 12
Calculamos sus derivadas
(%i2) d1f:(diff(f,x))$
d2f:diff(f,x,2)$
Calculamos los puntos cŕıticos de f(x)
(%i4) pcriticos:solve(d1f,x);
( %o4) [x = 2, x = −1, x = 0]
Hemos obtenido 3 puntos cŕıticos. Asignamos una constante a cada punto cŕıtico para luego poder evaluar
la derivada segunda.
(%i5) x[k]:=rhs(part(pcriticos,k));
( %o5) x[k] := rhs(part(pcriticos, k))
Generamos una lista con los puntos y los valores de la derivada segunda
(%i6) makelist([x[k],ev(d2f,x=x[k])],k,1,3);
( %o6) [[2, 72], [−1, 36], [0,−24]]
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 153 Caṕıtulo 4
En x=2 y x=-1 tenemos mı́nimos relativos y en x=0 hay un máximo relativo. Representamos gráficamente
f(x).
(%i7)
plot2d(f,[x,-2,3]);
( %o7)
-20
-10
 0
 10
 20
 30
 40
 50
-2 -1 0 1 2 3
3*
x^
4-
4*
x^
3-
12
*x
^
2+
12
x
Fin de la solución
En el caso de funciones de clase Cn puede deducirse del teorema de Taylor 77 que las condiciones anteriores
son necesarias y suficientes.
4.3.2. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
El teorema de Taylor precisa el valor de la diferencia entre f y su polinomio de Taylor de grado n, si tal
cosa existe.
Sea f : (a, b)→ R n veces derivable en (a, b) y sean x0, x ∈ (a, b). Sea
Rn−1(x;x0) := f(x)−
[
f(x0) +
f ′(x0)
1!
(x− x0) + · · ·+
f (n−1(x0)
(n− 1)!
(x− x0)n−1
]
.
Entonces existe c estrictamente contenido entre x y x0 de modo que
Rn−1(x, x0) =
f (n)(c)
n!
(x− x0)n
Esta forma de expresar el resto se llama la forma de Lagrange.
Teorema 77 (Fórmula de Taylor).
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 154 Caṕıtulo 4
A veces se escribe x = x0 + h y c = x0 + θh con 0 < θ < 1 en cuyo caso la fórmula de Taylor adopta la
forma:
f(x) = f(x0) +
f ′(x0)
1!
h+ · · ·+ f
(n−1)(x0)
(n− 1)!
hn−1 +
f (n)(x0 + θh)
n!
hn
Cuando x0 = 0 la fórmula de Taylor recibe el nombre de fórmula de Mac-Laurin.
Encontrar los primeros términos en los desarrollos de Taylor es sencillo. Las dificultades pueden aparecer
en el cálculo del término general o del término correspondiente al resto. Veamos a continuación algunos
ejemplos importantes de desarrollos de Taylor.
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n−1
(n− 1)!
+
eθx
n!
xn.
senx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·+ sen(θx+ nπ/2)
n!
xn.
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·+ cos(θx+ nπ/2)
n!
xn.
log(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · ·+ (−1)n−1 1
n(1 + θx)n
xn.
(1 + x)α = 1 +
(
α
1
)
x+
(
α
2
)
x2 +
(
α
3
)
x3 + . . .+
(
α
n− 1
)
xn−1 +
(
α
n
)
(1 + θx)α
(1 + θx)n
xn
donde se define (
α
k
)
=
α(α− 1)(α− 2) . . . (α− (k − 1))
k!
Ejemplo 44.
Aproximación de valores de una función
Se quiere usar el polinomio de Mac-Laurin de f(x) = ex para aproximar el valor de e = f(1) con
un error menor que 10−5. ¿Qué grado hay que tomar? ¿Qué valor aproximado se obtiene para e?
(Nota: se supone conocida la cota e < 3).
Ejemplo 45.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 155 Caṕıtulo 4
Prueba:
El polinomio es 1 + x+ x
2
2 +
x3
3! + · · ·+
xn
n! con resto Rn(x, 0) =
eθx
(n+ 1)!
xn+1 para cierto 0 < θ < 1. Para
x = 1 se tiene |eθ| < e < 3 y aśı
|Rn(1, 0)| <
3
(n+ 1)!
Buscamos por tanto el menor n para el que se tenga 3/(n+1)! < 10−5, ó (n+1)! > 3 ·105, por lo que hemos
de tomar grado n = 8. La aproximación vale:
e = 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
120
+
1
720
+
1
5,040
+
1
40,320
=
109,601
40,320
= 2′718278 . . .
de modo que, redondeando en la quinta cifra decimal, tenemos e ≈ 2′71828.
Ahora con Maxima
(%i1) f:%e^x;
( %o1) ex
Definimos el resto R[c, n, x] de Lagrange del polinomio de Taylor de la exponencial de grado n
(%i2) R[c,n,x]:=diff(subst(c,x,f),c,n+1)*x^(n+1)/(n+1)!;
( %o2) Rc,n,x :=
diff (subst (c, x, f) , c, n+ 1) xn+1
(n+ 1)!
Ahora generamos una lista con los restos hasta grado 10
(%i3) makelist(R[c,n,x],n,1,10);
( %o3) [
ec x2
2
,
ec x3
6
,
ec x4
24
,
ec x5
120
,
ec x6
720
,
ec x7
5040
,
ec x8
40320
,
ec x9
362880
,
ec x10
3628800
,
ec x11
39916800
]
Evaluamos los restos en x = 1
(%i4) T[n,c]:=ev(R[c,n,x],x=1)$
makelist(T[n,c],n,1,10)$
Como 0 < c < 1 y la exponencial es creciente, tendremos que ec < e. Sustituimos c por 1 y comprobamos
qué resto es menor que 10−5
(%i6) makelist([is (ev(T[n,c],c=1)<10^(-5)),n], n, 1, 10);
( %o6) [[false, 1], [false, 2], [false, 3], [false, 4], [false, 5], [false, 6], [false, 7], [true, 8], [true, 9], [true, 10]]
Como vemos, el primer valor de n para el que el resto es menor que 10−5 es n = 8. Escribimos el polinomio de
Taylor de grado 8 y calculamos su valor en x = 1, lo cual nos dará el valor aproximado de e que queŕıamos.
(%i7) P[x]:=taylor(f,x,0,8);
P[x];
float(ev(P[x],x=1));
( %o7) Px := taylor (f, x, 0, 8)
( %o8)/T/ 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
+
x6
720
+
x7
5040
+
x8
40320
+ ...( %i9)
( %o9) 2,71827876984127
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 156 Caṕıtulo 4
Fin de la prueba
¿Para qué valores positivos de x se comete un error menor que 10−3 al aproximar la función√
1 + x por su polinomio de Mac-Laurin de grado 3?
Ejemplo 46.
Prueba:
Las derivadas sucesivas de y = (1 + x)1/2 valen
y′ =
1
2
(1 + x)−1/2 y′′ =
−1
4
(1 + x)−3/2 y′′′ =
3
8
(1 + x)−5/2 yiv =
−15
16
(1 + x)−7/2
por lo que el polinomio es P3(x) = 1 +
1
2x−
1
8x
2 + 116x
3 con error
|R3(x, 0)| =
1
4!
15
16
(1 + ξ)−7/2x4 =
5
128
(1 + ξ)−7/2x4
donde 0 < ξ < x. Como la función (1 + ξ)−7/2 es positiva y decreciente, alcanza su máximo a la izquierda
del intervalo [0, x], y ese máximo vale 1. Por tanto R3(x, 0) <
5
128 x
4, que es menor que 10−3 cuando
5x4 < 0′128, o sea cuando x < 4
√
0′0256 = 0′4. En consecuencia, para los valores de x en [0, 0′4] se tiene
asegurado ese error máximo.
Vamos a hallar el resto del polinomio de grado 3
(%i1) f:sqrt(1+x);
( %o1)
√
x+ 1
Calculamos el resto del polinomio de Taylor de grado 3
(%i2) R:diff(subst(c,x,f),c,4)*x^4/4!;
( %o2) − 5x
4
128 (c+ 1)
7
2
Tomando valor absoluto nos queda
(%i3) abs(R);
( %o3)
5x4
128 (c+ 1)
7
2
Fin de la prueba
Desigualdades
Probad la desigualdad 0 ≤ tanx− senx ≤ 3x3 si x ∈ [0, π4 ].
Ejemplo 47.
Luis Oncina, Cálculo I
4.3 Desarrollos de Taylor 157 Caṕıtulo 4
Solución:
Consideremos la función f(x) = tanx − senx.
Comprobamos, mediante una gráfica, que f(x)
(azul) es menor que 3x3 (en rojo) si x ∈ [0, π4 ].
Calculamos el polinomio de Taylor de f de grado
2 con resto de Lagrange:
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 1.4
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Las cuentas
(%i1) f(x):=tan(x)-sin(x);
( %o1) f (x) := tan (x)− sin (x)
(%i2) f1:diff(f(x),x);
( %o2) sec (x)
2 − cos (x)
(%i3) ev(f1,x=0);
( %o3) 0
(%i4) f2:diff(f(x),x,2);
( %o4) 2 sec (x)
2
tan (x) + sin (x)
(%i5) ev(f2,x=0);
( %o5) 0
(%i6) f3:diff(f(x),x,3);
( %o6) 4 sec (x)
2
tan (x)
2
+ 2 sec (x)
4
+ cos (x)
(%i7) R:subst(c,x,f3)*x^3/3!;
( %o7)
(
4 sec (c)
2
tan (c)
2
+ 2 sec (c)
4
+ cos (c)
)
x3
6
Nos queda entonces
tanx− senx =
(
4 sec (c)
2
tan (c)
2
+ 2 sec (c)
4
+ cos (c)
)
6
x3 (∗)
Ahora bien, la función secante es creciente (y positiva) en [0, π4 ]; la tangente es creciente y el coseno decre-
ciente. Por tanto
(∗) ≤ 1
6
(
4 sec2
π
4
tan2
π
4
+ 2 sec4
π
4
+ cos 0
)
x3 =
1
6
(4 · 2 · 1 + 2 · 4 + 1)x3 = 17
6
x3< 3x3
Luis Oncina, Cálculo I
4.4 Funciones convexas 158 Caṕıtulo 4
Fin de la solución
1. ¿Para qué valores de x es válida la fórmula de aproximación cosx = 1− x
2
2 con una exactitud
de 0,0001?
2. Acotad el error absoluto que cometemos al aproximar la función tanx por x + x
3
3 para
|x| ≤ 0, 1.
3. Un cuerpo cuya masa en reposo es m0 tiene una enerǵıa relativista E =
m0c
2√
1− (v/c)2
cuando se mueve a la velocidad v, y tiene una enerǵıa cinética relativista T = E −m0c2 (c
representa a la velocidad de la luz). Desarrollad T en potencias de v y observar cómo, para
valores pequeños de vc , T se aproxima a la enerǵıa cinética no relativista T
∗ = 12m0v
2.
4. Determinad los siguientes desarrollos limitados en un entorno del origen.
A) De orden 4 para f(x) = log2(1 + x).
B) De orden 6 para f(x) = log(cosx).
5. Calculad los siguientes ĺımites.
A) ĺım
x→0
log(1 + senx)− log(1 + x)
x− tanx
, B) ĺım
x→0
log secx− sen2 x
x(x− tanx) cosx
Ejercicios 11.
4.4. Funciones convexas
Convexidad en un intervalo
Sea f : I → R una función definida en un intervalo I.
1. f se dice convexa en I si para todo x, y ∈ I se verifica
f((1− t)x+ ty) ≤ (1− t)f(x) + tf(y) con t ∈ [0, 1]
2. f se dice cóncava en I si para todo x, y ∈ I se verifica
f((1− t)x+ ty) ≥ (1− t)f(x) + tf(y) con t ∈ [0, 1]
Definición 55.
Obsérvese que f es cóncava si, y sólo si, −f es convexa; en consecuencia, es posible limitar el estudio al
caso de las funciones convexas.
Luis Oncina, Cálculo I
4.4 Funciones convexas 159 Caṕıtulo 4
Geométricamente, f es convexa (respectivamente, cóncava) si para cada par de puntos x, y ∈ I
la gráfica de la secante que une los puntos (x, f(x)), (y, f(y)) está por encima (respectivamente,
por debajo) de la gráfica de la función f para el intervalo determinado por x y y.
Nota.
Interpretación geométrica:
Para darse cuenta de que eso es justamente lo que se afirma en la definición de convexidad basta observar
que:
X Cualquier punto z del intervalo [x, y] puede ser expresado en la forma
z = x+ t(y − x) = (1− t)x+ ty, donde t ∈ [0, 1].
X La ecuación de la recta secante que une (x, f(x)) con (y, f(y)) puede ser escrita en la forma
g(s) = f(x) +
f(y)− f(x)
y − x
(s− x).
En particular para s = z se tendŕıa
g(z) =f(x) +
f(y)− f(x)
y − x
(z − x) = f(x) + (f(y)− f(x))z − x
y − x
=
=f(x) + (f(y)− f(x))t = (1− t)f(x) + tf(y)
Fin
La convexidad admite una reformulación sumamente útil, para la que resulta conveniente introducir la
siguiente notación para la pendiente recta secante pasando por (x0, f(x0)), (x, f(x))
px0(x) =
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Sea f : I → R una función definida en un intervalo I. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. f es convexa en I.
2. Cualesquiera que sean a < x < b en I se verifica que pa(x) ≤ pb(x).
Proposición 78.
Luis Oncina, Cálculo I
4.4 Funciones convexas 160 Caṕıtulo 4
Prueba:
Sean a < b puntos en el intervalo I y x = a+ t(b−a) = (1− t)a+ tb con t ∈ (0, 1). Entonces x−a = t(b−a),
x− b = (1− t)(a− b) y se tiene la siguiente cadena de equivalencias
pa(x) ≤ pb(x)⇔
f(x)− f(a)
x− a
≤ f(x)− f(b)
x− b
⇔ (f(x)− f(a))(x− b) ≥ (f(x)− f(b))(x− a)⇔ f(x)(a− b) ≥ f(a)(x− b)− f(b)(x− a)
⇔ f(x)(a− b) ≥ f(a)(1− t)(a− b)− f(b)t(b− a)⇔ f(x) ≤ f(a)(1− t) + f(b)t
f es convexa.
Fin de la prueba
Derivadas y convexidad
Para funciones derivables conseguimos una caracterización muy útil de las funciones convexas.
Sea f : I → R una función derivable en el intervalo abierto I. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1. f es convexa.
2. f ′ es una función creciente en I.
3. Para cada punto de I la gráfica de la función f está situada por encima de la recta tangente
correspondiente a dicho punto.
Además, si f es dos veces derivable en I, se verifica que f es convexa si y sólo si f ′′ ≥ 0 en I.
Teorema 79.
La definición de convexidad que hemos dado es una definición global para un intervalo. Resulta también
interesante considerar un concepto de convexidad local.
Convexidad en un punto
Sea f : I → R una función definida en el intervalo I derivable en x0 ∈ I.
Diremos que f es convexa en x0 si existe δ > 0 tal que si x ∈ B(x0, δ)∩I entonces se verifica
que f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Diremos que f es cóncava en x0 si existe δ > 0 tal que si x ∈ B(x0, δ)∩I entonces se verifica
que f(x) ≤ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Definición 56 (Convexidad local).
Luis Oncina, Cálculo I
4.4 Funciones convexas 161 Caṕıtulo 4
Diremos que x0 es un punto de inflexión si existe δ > 0 tal que si x ∈ B(x0, δ) ∩ I, x < x0
entonces se verifica que f(x) > f(x0) + f
′(x0)(x − x0) mientras que si x ∈ B(x0, δ) ∩ I, x > x0
es f(x) < f(x0) + f
′(x0)(x− x0) (o al revés).
Definición 57 (Punto de inflexión).
Aśı, la función es convexa en x0 si la curva se sitúa por encima de la recta tangente en x0 para algún entorno
de x0, y cóncava si se sitúa por debajo de la misma. Si a un lado está por encima y a otro está por debajo
entonce f tiene en x0 un punto de inflexión, en cuyo caso el gráfico de f atraviesa a la tangente en x0.
No siempre se presenta una de las tres situaciones: la función f(x) = x2 sen(1/x) en x0 = 0 es un buen
ejemplo de ello.
Convexidad local y global
Para funciones derivables en un intervalo abierto hay dos conceptos de convexidad: uno local y otro
global. La relación entre ellos es la siguiente:
Sea f : I → R derivable en el intervalo abierto I. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. f es (globalmente) convexa en I.
2. f es (localmente) convexa para cada x ∈ I.
Proposición 80.
Para funciones convexas (o cóncavas) en un intervalo podemos dar un nuevo método de resolución
de ecuaciones. El método de Newton-Raphson es más rápido que el de bisección y el de iteración
que hemos visto.
Nota.
Hemos visto anteriormente, usando desarrollos de Taylor, que 0 ≤ tanx − senx ≤ 3x3 si x ∈
[0, π/4]. Probad ahora que, de hecho, podemos encontrar una estimación mejor:
0 ≤ tanx− senx ≤ x3 si x ∈ [0, π/4].
Ejemplo 48.
Luis Oncina, Cálculo I
4.4 Funciones convexas 162 Caṕıtulo 4
Solución:
Para mejorar esta acotación consideramos la función g(x) = x3−(tan(x)−sen(x)) y calculamos sus derivadas
sucesivas.
g(x) = x3 − (tan(x)− sen(x))
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0.18
 0.2
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-
t
a
n
(
x
)
+
s
i
n
(
x
)
+
x
^
3
x
g′(x) = 3x2 − (sec2(x)− cos(x)) g′′(x) = 6x− (2 sec2(x) tan(x) + sen(x))
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-
s
e
c
(
x
)
^
2
+
c
o
s
(
x
)
+
3
*
x
^
2
x
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-
2
*
s
e
c
(
x
)
^
2
*
t
a
n
(
x
)
-
s
i
n
(
x
)
+
6
*
x
x
g′′′(x) = 6− (4 sec2(x) tan2(x)− 2 sec4(x)− cos(x)) g(iv)(x) = sen(x)cos5(x) (cos
5(x) + 8 cos2(x)− 24)
-12
-10
-8
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-
4
*
s
e
c
(
x
)
^
2
*
t
a
n
(
x
)
^
2
-
2
*
s
e
c
(
x
)
^
4
-
c
o
s
(
x
)
+
6
x
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
 0
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-
8
*
s
e
c
(
x
)
^
2
*
t
a
n
(
x
)
^
3
-
1
6
*
s
e
c
(
x
)
^
4
*
t
a
n
(
x
)
+
s
i
n
(
x
)
x
Ahora bien g(iv)(x) ≤ 0 para x ∈ [0, π/4], ya que
g(iv)(x) =
sen(x)
cos5(x)
(cos5(x) + 8 cos2(x)− 24) ≤ sen(x)
cos5(x)
(1 + 8− 24) ≤ 0
luego g′′ es una función cóncava en [0, π/4]. Por lo tanto, la secante que une los puntos (0, g′′(0)) y
(π/4, g′′(π/4)) que es y = g′′(π/4)x queda por debajo de la gráfica de g′′. Como g′′(π/4) > 0, conclui-
mos que g′′(x) ≥ 0 para x ∈ [0, π/4]. El desarrollo de Taylor de orden 2 de g es
g(x) = g(0) + g′(0)x+
g′′(c)
2
x2 =
g′′(c)
2
x2 ≥ 0, para todo x ∈ [0, π/4]
lo cual concluye la prueba.
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 163 Caṕıtulo 4
Fin de la solución
4.5. Representación gráfica de funciones
Vamos a ayudarnos de las derivadas para dar representaciones gráficas aproximadas de funciones. Primero
recordaremosel concepto de aśıntota de una curva.
Sea y = f(x). Diremos que:
La recta x = a es una aśıntota vertical de f(x) si ĺımx→a f(x) =∞.
La recta y = b es una aśıntota horizontal de f(x) si ĺımx→∞ f(x) = b.
La recta y = mx + b es una aśıntota oblicua de f(x) si ĺımx→∞[f(x) − (mx + b)] = 0.
Cuando éste es el caso las constantes m y b se calculan del siguiente modo:
m = ĺım
x→∞
f(x)
x
, b = ĺım
x→∞
[f(x)−mx]
Definición 58 (Aśıntotas).
Una función f : D ⊂ R → R se dice que es par si f(−x) = f(x) para todo x ∈ D (en este
caso la gráfica de la función es simétrica respecto del eje de ordenadas) y se dice que es impar
si f(−x) = −f(x) para todo x ∈ D (ocurre ahora que f es simétrica respecto del origen de
coordenadas).
Definición 59 (Simetŕıa).
Representar gráficamente la función y = x3 e−x.
Ejemplo 49.
Solución:
El dominio de la función es R y se trata de una función de clase C∞(R).
La función no presenta ninguna simetŕıa ya que: y(−x) = (−x)3 e−(−x) = −x3 ex, que es distinto de
−y(x) y de y(x).
Estudiemos las aśıntotas:
No tiene aśıntotas verticales.
ĺımx→−∞ x
3 e−x = −∞.
ĺımx→+∞ x
3 e−x = ĺımx→+∞
x3
ex = 0
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 164 Caṕıtulo 4
Luego la recta y = 0 es una aśıntota a la derecha. A la izquierda no tiene.
Estudiemos ahora la monotońıa de la función:
y′(x) = 3x2 e−x − x3 e−x = e−xx2(3− x) = 0
cuyas soluciones son x = 0, x = 3.
Si x < 3, y′(x) > 0; si x > 3, y′(x) < 0. Luego la función es creciente en el intervalo (−∞, 3) y decreciente
en (3,∞). Presenta por tanto un máximo relativo en x = 3.
0 3
+ + −
↗ ↗ ↘
Veamos la convexidad:
y′′(x) = − e−x(3x2 − x3) + e−x(6x− 3x2) = e−x(x3 − 6x2 + 6x) = e−xx(x2 − 6x+ 6) = 0
Cuyas soluciones son: x = 0, x = 3 +
√
3, x = 3−
√
3.
Estudiamos los intervalos de convexidad.
si x < 0, y′′(x) < 0;
si 0 < x < 3−
√
3, y′′(x) > 0;
si 3−
√
3 < x < 3 +
√
3, y′′(x) < 0;
si x > 3 +
√
3, y′′(x) > 0.
Luego los puntos: x = 0, x = 3 +
√
3, x = 3−
√
3, son puntos de inflexión.
3−
√
3 0 3 +
√
3
− + − +
∩ ∪ ∩ ∪
La gráfica de la función se representa a continuación.
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-2 0 2 4 6 8 10
x^
3*
%
e^
-x
x
Hacemos las cuentas con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 165 Caṕıtulo 4
(%i1) f(x):=x^3*exp(-x);
( %o1) f (x) := x3 exp (−x)
Puntos de corte de la función
(%i2) f(0);
( %o2) 0
(%i3) solve(f(x),x);
( %o3) [x = 0]
El punto (0, 0) es el único punto de corte. Estudiamos a continuación su comportamiento asintótico.
(%i4) limit(f(x),x,-inf);
( %o4) −∞
(%i5) limit(f(x),x,inf);
( %o5) 0
La recta y = 0 es por tanto una aśıntota horizontal en +∞. Pasamos a estudiar la monotońıa.
(%i6) f1:diff(f(x),x);
( %o6) 3x2 e−x − x3 e−x
(%i7) factor(%);
( %o7) − (x− 3) x2 e−x
Si x < 3 es f ′(x) > 0 y por tanto f es creciente, mientras que si x > 3 tenemos f ′(x) < 0 y f es pues
decreciente. Hallamos ahora los puntos cŕıticos.
(%i8) solve(%,x);
( %o8) [x = 0, x = 3]
Para conocer si son extremos relativos, aśı como para estudiar la convexidad de la función hallamos la
derivada segunda.
(%i9) f2:diff(f(x),x,2);
( %o9) x3 e−x − 6x2 e−x + 6x e−x
(%i10) ev(f2,x=0);
( %o10) 0
La derivada segunda no nos ayuda para saber si en x = 0 hay un extremo relativo.
(%i11) ev(f2,x=3);
( %o11) − 9 e−3
Tenemos que f ′′(3) < 0 por lo que en x = 3 la función presenta un máximo relativo.
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 166 Caṕıtulo 4
(%i12) factor(f2);
( %o12)x
(
x2 − 6x+ 6
)
e−x
(%i13) solve(%);
( %o13) [x = 3−
√
3, x =
√
3 + 3, x = 0]
Viendo la factorización de f ′′ vemos que si
Si x < 0 es f ′′(x) < 0 y por tanto f es cóncava.
Si 0 < x < 3−
√
3, f ′′(x) > 0 y entonces f es convexa.
Si 3−
√
3 < x < 3 +
√
3 tenemos f ′′(x) < 0. f es cóncava.
Si x > 3 +
√
3 es f ′′(x) > 0 y por tanto f es convexa.
Encontramos aśı tres puntos de inflexión. Comprobamos a continuación, con la derivada tercera, que en
x = 0 hay un punto de inflexión.
(%i14) f3:diff(f(x),x,3);
( %o14) − x3 e−x + 9x2 e−x − 18x e−x + 6 e−x
(%i15) ev(f3,x=0);
( %o15) 6
Como vemos f ′′′(0) 6= 0 por lo que según el resultado visto tenemos que en x = 0 hay un punto de inflexión.
Fin de la solución
Representar gráficamente la función y =
x(x− 1)
(x+ 1)2
.
Ejemplo 50.
Solución:
El dominio es R \ {−1}, y no hay simetŕıas.
Los cortes con el eje y = 0 están en x = 0 y x = 1.
Como (x + 1)2 es positivo, para estudiar el signo de y(x) basta con considerar el signo del numerador de
donde deducimos que y es positiva en (−∞, 0) y (1,+∞), y negativa en (0, 1).
En cuanto a las aśıntotas, se tiene
ĺım
x→−1
x(x− 1)
(x+ 1)2
= +∞ ĺım
x→±∞
x(x− 1)
(x+ 1)2
= 1
luego x = −1 es una aśıntota vertical e y = 1 es una aśıntota horizontal por la derecha y por la izquierda.
La derivada primera vale
y′ =
(2x− 1)(x+ 1)2 − (x2 − x)2(x+ 1)
(x+ 1)4
=
2x2 + 2x− x− 1− 2x2 + 2x
(x+ 1)3
=
3x− 1
(x+ 1)3
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 167 Caṕıtulo 4
y por tanto hay un único punto cŕıtico en x = 1/3. Estudiamos el signo de la derivada primera y obtenemos
que la función crece en los intervalos (−∞,−1) y (1/3,∞), y decrece en (−1, 1/3). Por lo tanto en x = 1/3
hay un mı́nimo relativo.
La derivada segunda vale
y′′ =
3(x+ 1)3 − (3x− 1)3(x+ 1)2
(x+ 1)6
=
3x+ 3− 9x+ 3
(x+ 1)4
=
6− 6x
(x+ 1)4
luego la función es convexa en (−∞, 1), es cóncava en (1,+∞), y tiene un punto de inflexión en x = 1.
Las cuentas con Maxima
(%i1) f:x*(x-1)/(x+1)^2;
( %o1)
(x− 1) x
(x+ 1)
2
Puntos de corte con el eje X.
(%i2) solve(f,x);
( %o2) [x = 0, x = 1]
Comportamiento asintótico de f
(%i3) limit(f,x,-1);
( %o3) ∞
(%i4) limit(f,x,inf);
( %o4) 1
Hallamos los puntos cŕıticos de f
(%i5) f1:diff(f,x);
( %o5)
x
(x+ 1)
2 +
x− 1
(x+ 1)
2 −
2 (x− 1) x
(x+ 1)
3
(%i6) solve(f1,x);
( %o6) [x =
1
3
]
Convexidad
(%i7) f2:diff(f,x,2);
( %o7)
2
(x+ 1)
2 −
4x
(x+ 1)
3 −
4 (x− 1)
(x+ 1)
3 +
6 (x− 1) x
(x+ 1)
4
(%i8) solve(f2,x);
( %o8) [x = 1]
Evaluamos la derivada segunda en el punto cŕıtico y comprobamos que se trata de un mı́nimo relativo.
(%i9) ev(f2,x=1/3);
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 168 Caṕıtulo 4
( %o9)
81
64
Con todos estos datos podemos dibujar la gráfica:
Las gráficas
(%i1) plot2d((x*(x-1))/(x+1)^2,[x,-30,30]);
( %o1)
-50000
 0
 50000
 100000
 150000
 200000
 250000
 300000
 350000
 400000
 450000
-30 -20 -10 0 10 20 30
(x
-1
)*
x/
(x
+
1)
^
2
x
Aśı no se ve nada. Vamos a restringir el rango de la variable y.
(%i2) plot2d((x*(x-1))/(x+1)^2,[x,-30,30],[y,-3,10]);
plot2d : somevalueswereclipped.
( %o2)
-2
 0
 2
 4
 6
 8
 10
-30 -20 -10 0 10 20 30
(x
-1
)*
x/
(x
+
1)
^
2
x
Aśı vemos algo más. Podemos centrarnos alrededor del origen
(%i3) plot2d((x*(x-1))/(x+1)^2,[x,-.5,2],[y,-1,3]);
( %o3)
Luis Oncina, Cálculo I
4.5 Representación gráfica de funciones 169 Caṕıtulo 4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
(x
-1
)*
x/
(x
+
1)
^
2
x
Fin de la solución
Representar gráficamente las siguientes funciones:
f(x) =
x+ ex
x− ex
; g(x) = e
2x
x2−1 ; h(x) =
x
log x
; i(x) =
√
x2 − 1
x2 − 4
; j(x) = xe
1
x
k(x) = x log x; l(x) =
x4
(1 + x)3
; m(x) =
x
(1− x2)2
; n(x) =
x2 − 1
x2 + 1
Ejercicios 12.
Luis Oncina, Cálculo I
4.6 Autoevaluación 170 Caṕıtulo 4
4.6. Autoevaluación
1. ¿Cuántas ráıces reales tiene la ecuación x5 + 2x3 + 4x − 12 = 0? Justificad la respuesta y
encontrad intervalos de longitud uno que las contengan.
2. Determinad el número de ráıces reales de la ecuación 3x3 − x− 6 = 0.
3. Separar las ráıces de la ecuación 3x4 − 4x3 − 12x2 + 6 = 0.
4. De todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio r, hallad el de mayor
área.
5. Hallad las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en untriángulo isósceles que tiene por
base 10 cm y altura 15 cm.
6. Queremos construir una caja cerrada de cartón. La longitud de la caja ha de ser dos veces su
anchura y el volumen de la misma 72 cm3. Calculad las dimensiones de la caja que podemos
construir con la mı́nima cantidad de cartón posible.
7. Hallad el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triángulo rectángulo de
lados 3, 4 y 5, siendo los lados del rectángulo paralelos a los catetos de dicho triángulo.
8. Consideremos la función f(x) = x2e−1/x. Representad gráficamente la función f(x) estu-
diando la monotońıa (extremos relativos) y convexidad (puntos de inflexión).
9. Representad gráficamente la función f(x) = e−x/x estudiando la monotońıa, convexidad y
comportamiento asintótico.
10. Sea f(x) = xe−x
2
para x ∈ R. Hallad los extremos relativos y los puntos de inflexión de f
y representarla gráficamente.
11. Sea f(x) = x2 log x si x > 0 y f(0) = 0. Hallad f ′(0+). Estudiad la monotońıa y con-
vexidad de f hallando también sus extremos relativos y puntos de inflexión. Representad
gráficamente la función f .
12. Representad gráficamente la función y = x
2−1
x2−4 . Indicando comportamiento asintótico, inter-
valos de crecimiento, extremos relativos, convexidad y puntos de inflexión.
13. Representad gráficamente la función f(x) = x3ex estudiando la monotońıa (extremos rela-
tivos) y convexidad (puntos de inflexión) aśı como su comportamiento asintótico.
14. Representad gráficamente la función f(x) = x
3
x2−1 estudiando la monotońıa (extremos rela-
tivos) y convexidad (puntos de inflexión) aśı como su comportamiento asintótico.
15. Representad gráficamente la función f(x) = x3e−x
2
estudiando la monotońıa (extremos
relativos) y convexidad (puntos de inflexión) aśı como su comportamiento asintótico.
Autoevaluación 4.
Luis Oncina, Cálculo I
4.6 Autoevaluación 171 Caṕıtulo 4
16. Calculad ĺım
x→0
1 + senx− ex
(arctanx)2
17. Calculad ĺım
x→0
x4 + 2 log(cos(x2))
4(1− cosx)2 − x4
18. Calculad ĺım
x→0
(
2
sen2 x
− 1
1− cosx
)
19. Calculad, usando desarrollos limitados, ĺımx→0
senx2 − log(1 + x2)
e1−cos x −
√
1 + x2
20. Calculad, usando desarrollos limitados, ĺımx→0
√
1 + x2 − 1 + log(cosx)
arctanx4
21. Calculad, usando desarrollos limitados, ĺımx→0
sen2 x− (ex2 − 1)√
1− x2 − cosx
22. Para la función f(x) =
{
sen(x2) si x ≥ 0
x3 si x < 0
, decid (razonadamente) cuáles de las si-
guientes afirmaciones son ciertas:
a) f(x) es continua y derivable en todo R.
b) f(x) ∈ C1(R).
c) f ′(x) es derivable en R.
d) f(x) ∈ C2(R).
23. La siguiente gráfica se corresponde con la de la derivada de una función f : [−2, 2] → R.
Decid (razonadamente) cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) f es estrictamente creciente para 1 < x < 2.
b) f es convexa en (−2,−1).
c) f posee un máximo relativo en x = 1.
d) f posee dos puntos de inflexión en [−2, 2].
e) f posee un mı́nimo relativo en x = −1.
Autoevaluación.
Luis Oncina, Cálculo I
5 CálculoIntegral
5.1. Definición de Integral de Riemann
En este caṕıtulo f : [a, b]→ R será, salvo que se indique expresamente lo contrario, una función acotada.
Llamaremos partición de [a, b] a cualquier colección de puntos t0 = a < t1 < t2 < . . . < tn =
b. Llamaremos P([a, b]) al conjunto de todas las particiones de [a, b]. Dada una partición
π ≡ (t0 < t1 < . . . < tn) ∈ P([a, b]) denotaremos por Mi = sup{f(t) : t ∈ [ti−1, ti]} y por
mi = ı́nf{f(t) : t ∈ [ti−1, ti]}.
Si π ∈ P([a, b)] llamamos suma superior y suma inferior de f correspondiente a π a los
números reales definidos por las siguientes fórmulas:
S(f, π) =
n∑
i=1
Mi(ti − ti−1), s(f, π) =
n∑
i=1
mi(ti − ti−1)
Definición 60 (Partición de un intervalo, sumas superior e inferior).
Es sencillo ver la interpretación geométrica de tales sumas. En verde vemos la suma inferior y en amarillo
la suma superior.
a bt1 t2 t3 t4 t5 t6
f
m6
a t1 t2 t3 t4 t5 t6 b
f
M6
Es fácil también ver que s(f, π) ≤ S(f, π) para cualquier partición π de [a, b] ya que mi ≤ Mi. Si
m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b] tenemos que dada π ∈ P([a, b])
s(f, π) =
n∑
i=1
mi(ti − ti−1) ≤
n∑
i=1
M(ti − ti−1) = M(b− a)
S(f, π) =
n∑
i=1
Mi(ti − ti−1) ≥
n∑
i=1
m(ti − ti−1) = m(b− a)
172
5.1 Definición de Integral de Riemann 173 Caṕıtulo 5
Por lo tanto los conjuntos {s(f, π) : π ∈ P([a, b])} y {S(f, π) : π ∈ P([a, b])} están acotados superior e
inferiormente, respectivamente. Esta sencilla observación da sentido a las siguientes definiciones.
Se llama integral inferior (de Darboux) de f al siguiente número real∫ b
a
f = sup{s(f, π) : π ∈ P([a, b])}.
Se llama integral superior (de Darboux) de f al siguiente número real∫ b
a
f = ı́nf{S(f, π) : π ∈ P([a, b])}.
Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] y se escribe f ∈ R[a, b] si las integrales inferior
y superior de f coinciden. A ese valor común se llama integral Riemann de f en [a, b] y se
denota ∫ b
a
f
Definición 61 (Integral).
Interpretación geométrica:
¿Qué miden la suma superior e inferior? Si la función f : [a, b]→ R es positiva (como en las figuras anteriores)
la suma inferior nos da el área de los rectángulos verdes mientras que la suma superior nos proporciona el
área de los rectángulos amarillos. La idea de la integral es “medir el área” que queda entre la curva y = f(x)
y el eje 0X.Con los rectángulos verdes nos quedamos “cortos” mientras que con los amarillos nos “pasamos”.
En la siguiente sección veremos que haciendo más trozos en el intervalo, los rectángulos verdes resultantes
ajustan mejor (por abajo) mientras que los naranjas lo hacen “por arriba”.
Fin
La primera pregunta natural que uno ha de hacerse es ¿hay funciones integrables Riemann? Respuesta,
si. Es claro que si una función es constante en un intervalo [a, b], por ejemplo f(x) = k > 0, para cualquier
partición π = (t0 < t1 < . . . < tn) resulta que Mi = mi = k para todo i ∈ {1, . . . n} por lo que
S(f, π) = s(f, π) =
n∑
i=1
k(ti − ti−1) = k(b− a)
luego f es integrable y su integral es
∫ b
a
f = k(b− a).
Veamos otro ejemplo un poco más complicado, pero no mucho más.
La función f(x) = x definida en [0, 1] es integrable Riemann y su integral vale
∫ 1
0
x =
1
2
.
Ejemplo 51.
Luis Oncina, Cálculo I
5.1 Definición de Integral de Riemann 174 Caṕıtulo 5
Solución:
Sea π ∈ P([0, 1]). Con la notación habitual, dado que f es monótona creciente,
Mi = sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} = ti y mi = ı́nf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} = ti−1.
Aśı S(f, π) =
∑n
i=1 ti(ti − ti−1), s(f, π) =
∑n
i=1 ti−1(ti − ti−1).
¿Y ahora tomamos supremos e ı́nfimos en estos valores? Vamos a tomar otro camino. Para cada n ∈ N
tomamos la partición de [0, 1] dada por πn = (0 <
1
n < . . . <
n−1
n < 1). Notad que en este caso ti − ti−1 =
i
n −
i−1
n =
1
n por lo que las sumas superior e inferior se simplifican bastante.
S(f, πn) =
n∑
i=1
i
n
1
n
=
1
n2
n∑
i=1
i =
1
n2
n(n+ 1)
2
=
n+ 1
2n
s(f, πn) =
n∑
i=1
i− 1
n
1
n
=
1
n2
n∑
i=1
(i− 1) = 1
n2
(
n(n+ 1)
2
− n
)
=
1
n
(
n+ 1− 2
2
)
=
n− 1
2n
Por lo tanto, para cualquier n
n− 1
2n
≤
∫ 1
0
x ≤
∫ 1
0
x ≤ n+ 1
2n
Pero
ĺım
n→∞
n− 1
2n
= ĺım
n→∞
n+ 1
2n
=
1
2
Por lo tanto han de ser
∫ 1
0
x =
∫ 1
0
x y además dicho valor es 12 por lo que f es integrable Riemann en [0, 1]
y además
∫ 1
0
f =
1
2
.
Hacemos las cuentas con Maxima
(%i1) f(x):=x;
( %o1) f (x) := x
Calculamos la suma superior de f respecto de la partición
(%i2) S[n]:=sum(f(i/n)*1/n,i,1,n);
( %o2) Sn :=
n∑
i=1
f
(
i
n
)
1
n
(%i3) S[n];
( %o3)
∑n
i=1 i
n2
Calculamos la suma inferior de f respecto de la partición
(%i4) s[n]:sum(f((i-1)/n)*1/n,i,1,n);
( %o4)
∑n
i=1 i− 1
n2
Vamos a calcular cuánto valen dichas sumas
Luis Oncina, Cálculo I
5.1 Definición de Integral de Riemann 175 Caṕıtulo 5
(%i5) load(simplify_sum);
( %o5) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/solve rec/simplify sum.mac(%i6) UB:simplify_sum(S[n]), ratsimp;
( %o6)
n+ 1
2n
(%i7) LB:simplify_sum(s[n]),ratsimp;
( %o7)
n− 1
2n
Es claro que s[n] ≤
∫ 1
0
x ≤
∫ 1
0
x ≤ S[n] para todo n ∈ N. Calculamos ahora los ĺımites cuando n tiende a
infinito de s[n] y S[n].
(%i8) limit(UB,n,inf);
limit(LB,n,inf);
( %o8)
1
2
( %o9)
1
2
Como vemos toman el mismo valor por lo tanto
∫ 1
0
x =
∫ 1
0
x, lo cual implica que f(x) = x es integrable y
que su integral vale este valor común.
¿Maxima tiene algún comando para calcular la integral? Si.
(%i1) integrate(x,x,0,1);
( %o1)
1
2
Fin de la solución
¿Hay funciones acotadas que no sean integrables Riemann? Si. Un ejemplo nos lo da una función que ya
conocemos
La función de Dirichlet D1 en [0, 1] definida por D1(x) =
{
0 si x ∈ [0, 1] ∩Q
1 si x ∈ [0, 1] ∩ (R \Q)
no es
integrable Riemann.
Ejemplo 52.
Solución:
Para cualquier partición t0 < t1 < . . . < tn de [0, 1], debido a la densidad de Q en R, tenemos
Mi = sup{f(t) : t ∈ [ti−1, ti]} = 1, y mi = ı́nf{f(t) : t ∈ [ti−1, ti]} = 0
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 176 Caṕıtulo 5
y aśı, para cualquier partición S(f, π) = 1 mientras que s(f, π) = 0. Por lo tanto∫ 1
0
D1 = 1 6= 0 =
∫ 1
0
D1
Fin de la solución
5.2. Caracterización de integrabilidad
Comenzaremos estableciendo una relación de orden en el conjunto de las particiones y algunas observa-
ciones sencillas que permitirán establecer una caracterización útil de la integrabilidad Riemann.
i) Si π, π′ son particiones de [a, b] diremos que π′ es más fina que π, y escribiremos π ≺ π′, si
todos los elementos de π están en π′. En otras palabras, si π es un subconjunto de π′.
ii) Denotaremos con π∨π′ a la partición cuyos elementos son los puntos pertenecientes a alguna
de las particiones π o π′ (obviamente es una partición pues contiene al menos los puntos a,
b). Se trata pues de la partición unión de ambas y π ∨ π′ es más fina que las dos.
Definición 62.
Relaciones entre sumas superiores e inferiores
Sean π, π′ ∈ P([a, b]). Si π ≺ π′, entonces: s(f, π) ≤ s(f, π′) y S(f, π) ≥ S(f, π′).
Proposición 81.
Prueba:
El resultado se prueba en el caso que π′ tenga un punto más que π. (El caso general se hace reiterando).
Aśı que supongamos que π ≡ t0 < t1 < t2 < . . . < tn y que π′ ≡ t0 < t1 < . . . < tk−1 < p < tk < . . . < tn.
Al añadir el punto p hemos sombreado en rosa cuánto aumenta la suma inferior (en este caso se alcanza el
ı́nft∈[tk−1,p]{f(t)} = f(p) mientras el ı́nft∈[p,tk]{f(t)} se mantiene como antes).
a bt1 t2 t3 t4 t5 t6
f
m6
p
f(p)
a t1 t2 t3 t4 t5 t6 b
f
M6
p
f(p)
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 177 Caṕıtulo 5
Entonces
s(f, π) =
∑
i6=k
mi(ti − ti−1) +mk(tk − tk−1) =
∑
i6=k
mi(ti − ti−1) +mk[(tk − p) + (p− tk−1)] ≤
≤
∑
i 6=k
mi(ti − ti−1) + ı́nf
t∈[tk−1,p]
{f(t)}(p− tk−1) + ı́nf
t∈[p,tk]
{f(t)}(tk − p) = s(f, π′)
Análogamente se hace el caso de las sumas superiores. En este caso hemos sombreado en naranja la cantidad
en la que disminuye la suma superior al añadir el punto p a la partición.
Fin de la prueba
Si π, π′ son dos particiones de [a, b] entonces s(f, π) ≤ S(f, π′).
Corolario 82.
Prueba:
Obviamente, π ≺ π ∨ π′ y π′ ≺ π ∨ π′, entonces por la proposición anterior:
s(f, π) ≤ s(f, π ∨ π′) ≤ S(f, π ∨ π′) ≤ S(f, π′).
Fin de la prueba
Sea f : [a, b] → R acotada. f ∈ R[a, b] y sólo si para cada ε > 0 existe π ∈ P([a, b]) tal que
S(f, π)− s(f, π) < ε.
Teorema 83.
Prueba:
Supongamos que f ∈ R[a, b]. Dado ε > 0,
X como
∫ b
a
f = ı́nf{S(f, π) : π ∈ P([a, b])} existe π1 ∈ P([a, b]) tal que 0 ≤ S(f, π1)−
∫ b
a
f <
ε
2
,
X como
∫ b
a
f = sup{s(f, π) : π ∈ P([a, b])} existe π2 ∈ P([a, b]) tal que 0 ≤
∫ b
a
f − s(f, π2) <
ε
2
.
Por tanto, si tomamos π = π1 ∨ π2, como π es más fina que π1 y π2 tenemos
S(f, π)−
∫ b
a
f ≤ S(f, π1)−
∫ b
a
f <
ε
2
,
∫ b
a
f − s(f, π) ≤
∫ b
a
f − s(f, π2) <
ε
2
y sumando ambas desigualdades obtenemos S(f, π)− s(f, π) < ε (en verde la diferencia S(f, π)− s(f, π)).
a t1 t2 t3 t4 t5 t6 b
f
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 178 Caṕıtulo 5
Rećıprocamente, supongamos que para cada ε > 0 se cumple la condición, es decir, existe π(ε) ∈ P([a, b])
tal que S(f, π(ε))− s(f, π(ε)) < ε. Ahora bien, por la definición de integral superior e inferior tenemos
0 ≤
∫ b
a
f −
∫ b
a
f ≤ S(f, π(ε))− s(f, π(ε)) ≤ ε.
Al ser ε arbitrario, esto sólo puede ser cierto si las integrales superior e inferior coinciden.
Fin de la prueba
f ∈ R[a, b] si y sólo si existe un único número real α, tal que s(f, π) ≤ α ≤ S(f, π) para cualquier
partición π de [a, b].
Proposición 84.
Prueba:
Supongamos que f ∈ R[a, b]. Sea α =
∫ b
a
f , es claro que para cualquier partición π ∈ P([a, b]), s(f, π) ≤
α ≤ S(f, π) ya que la integral es el supremo de las sumas inferiores y el ı́nfimo de las sumas superiores. Para
demostrar la unicidad, si existiera β tal que s(f, π) ≤ β ≤ S(f, π) para cualquier π ∈ P([a, b]) tendŕıamos
que α ≤ β (por ser α = sup{s(f, π) : π ∈ P([a, b])}) y β ≤ α (por ser α = ı́nf{S(f, π) : π ∈ P([a, b])}).
Rećıprocamente, supongamos que existe α verificando las condiciones del enunciado. Supongamos que f /∈
R[a, b], es decir,
∫ b
a
f <
∫ b
a
f . Ahora bien, para cualquier π ∈ R[a, b],
s(f, π) ≤
∫ b
a
f <
∫ b
a
f ≤ S(f, π)
existen por tanto infinitos números reales verificando la condición del enunciado (aquellos que pertenecen al
intervalo
[∫ b
a
f,
∫ b
a
f
]
).
Fin de la prueba
Las funciones continuas son integrables
Otros ejemplos más importantes los proporciona el siguiente resultado.
Si f : [a, b]→ R es continua entonces f ∈ R[a, b]. Además,
ĺım
n→∞
b− a
n
n∑
k=1
f(zk,n) =
∫ b
a
f,
para cualquier elección de zk,n ∈ [a+ (b−a)n (k− 1), a+
(b−a)
n k] para k y n enteros con 1 ≤ k ≤ n.
Teorema 85.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 179 Caṕıtulo 5
Prueba:
Si π es una partición cualquiera de [a, b], tenemos que
S(f, π)− s(f, π) =
n∑
i=1
(Mi −mi)(ti − ti−1).
Debido a la caracterización anterior de la integrabilidad y viendo esta expresión, dado ε > 0 cualquiera:
Dado que f es continua en [a, b], es uniformemente continua y por lo tanto existe δ > 0 tal que si |x− y| < δ
entonces |f(x)− f(y)| < ε2(b−a) . Sea n0 ∈ N tal que
b−a
n0
< δ. Ahora, para todo n ∈ N, definimos la partición
πn = (a < a+
b− a
n
< . . . < a+ k
b− a
n
< . . . < a+ n
b− a
n
)
con 1 < k < n. Si llamamos tk,n = a + k
b−a
n tenemos que para n ≥ n0 es tk,n − tk−1,n < δ y por tanto
Mk,n −mk,n ≤ ε2(b−a) , para n ≥ n0. Por tanto,
S(f, πn0)− s(f, πn0) ≤
n0∑
i=1
ε
2(b− a)
(ti,n0 − ti−1,n0) =
ε
2
< ε
Con un poco más de esfuerzo vamos a probar la fórmula que aparece en el enunciado. Como f es integrable,
la proposición anterior nos dice que existe un único número real α =
∫ b
a
f tal que para cualquier partición
π ∈ P([a, b]) se tiene s(f, π) ≤ α ≤ S(f, π). En particular, para cualquier n ∈ N es
s(f, πn) ≤ α ≤ S(f, πn) (1).
Para cada n fijemos zk,n ∈ [a+ (b−a)n (k−1), a+
(b−a)
n k] para 1 ≤ k ≤ n arbitrario y sea an =
b− a
n
n∑
k=1
f(zk,n),
probaremos que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 es |an − α| < ε.
En primer lugar, por la propia definición de suma de Riemann, tenemos que s(f, πn) ≤ an ≤ S(f, πn).
Ahora, dado ε > 0, hemos visto más arriba que la continuidad uniforme de f en [a, b] nos proporciona n0 ∈ N
tal que
si n ≥ n0 se cumple S(f, πn)− s(f, πn) <
ε
2
(2)
Por lo tanto, si n ≥ n0, de (1) y (2) obtenemos que
S(f, πn)− α ≤
ε
2
y S(f, πn)− an <
ε
2
de donde
|an − α| ≤ |S(f, πn)− an|+ |S(f, πn)− α| <
ε
2
+
ε
2
= ε para n ≥ n0
Fin de la prueba
Más adelante veremos que esta forma de aproximar el valor de la integral se puede extender al caso más
general de funciones integrables.
Pero el teorema 85 y, por el momento, la ayuda de Maxima también nos permite calcular el ĺımite de
ciertas sucesiones.
Si p > 0, calculad ĺım
n→∞
1p + 2p + . . .+ (2n− 1)pnp+1
Ejemplo 53.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 180 Caṕıtulo 5
Solución:
ĺım
n→∞
1p + 2p + . . .+ (2n− 1)p
np+1
= ĺım
n→∞
1
n
[(
1
n
)p
+
(
2
n
)p
+ . . .+
(
2n− 1
n
)p]
(∗)
=
Si consideramos la función f(x) = xp definida en [0, 2] y tomamos la partición πn que resulta de dividir
el intervalo en 2n partes de longitud 1n para cada n ∈ N. Para cada i ∈ {0, . . . , 2n − 1} tomando zi =
i
n
tenemos que
(∗)
= ĺım
n→∞
S(f, πn, zi) =
∫ 2
0
xp
Maxima nos calcula ahora esta integral
(%i1) integrate(x^p,x,0,2);
Is p positive, negative, or zero? positive;
( %o1)
2p+1
p+ 1
Con Maxima podemos resolver el problema para un valor de p natural concreto (aunque
para valores naturales de p lo sabemos hacer usando los criterios de Stolz). Hacemos p=6
(%i1) S[n]:=sum(i^p,i,1,2*n-1)/n^(p+1);
( %o1) Sn :=
∑2n−1
i=1 i
p
np+1
(%i2) p:6;
( %o2) 6
(%i3) S[n], simpsum;
( %o3)
6 (2n− 1)7 + 21 (2n− 1)6 + 21 (2n− 1)5 − 7 (2n− 1)3 + 2n− 1
42n7
(%i4) ratexpand(%);
( %o4) − 32
n
+
16
n2
− 4
3n4
+
1
21n6
+
128
7
(%i5) limit(%,n,inf);
( %o5)
128
7
(%i6) integrate(x^p,x,0,2);
( %o6)
128
7
Fin de la solución
Este teormea nos permite con algo más de facilidad calcular la integral de una función continua.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 181 Caṕıtulo 5
Calculad
∫ 3
2
x2.
Ejemplo 54.
Solución:
La partición de [2, 3] será (ti = 2 +
i
n ), para i = 0, 1, . . . , n y tomamos como zi = ti para i = 1, 2, . . . , n.∫ 3
2
x2 = ĺım
n→∞
1
n
n∑
k=1
(
2 +
k
n
)2
= ĺım
n→∞
1
n
n∑
k=1
(
4 +
k2
n2
+ 4
k
n
)
= ĺım
n→∞
1
n
(
n∑
k=1
4 +
1
n2
n∑
k=1
k2 +
4
n
n∑
k=1
k
)
=
= ĺım
n→∞
1
n
(
4n+
1
n2
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+
4
n
n(n+ 1)
2
)
= ĺım
n→∞
(
4 +
2n2 + 3n+ 1
6n2
+
2n+ 2
n
)
=
19
3
Con Maxima
(%i1) f(x):=x^2; t(i):=2+i/n;
( %o1) f (x) := x2
( %o2) t (i) := 2 +
i
n
(%i3) S:sum(f(t(i))*1/n,i,1,n);
( %o3)
∑n
i=1
(
i
n + 2
)2
n
(%i4) S,simpsum;
( %o4)
2n3+3n2+n
6n2 +
2n2+2n
n + 4n
n
(%i5) factor(%);
( %o5)
38n2 + 15n+ 1
6n2
(%i6) limit(%,n,inf);
( %o6)
19
3
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 182 Caṕıtulo 5
Más ejemplos de funciones integrables
Sea f : [a, b]→ R acotada:
1. Si f es monótona entonces f ∈ R[a, b].
2. Si f ∈ R[c, b] para todo c > a entonces f ∈ R[a, b].
Proposición 86.
La proposición 86 nos va a permitir dar ejemplos de funciones integrables Riemann que no sean continuas:
cualquier función monótona definida en un intervalo [a, b] aunque presente discontinuidades de salto es
integrable Riemann.
Otro ejemplo interesante nos lo proporciona una función que ya conocemos bien.
La función f(x) = sen 1x si 0 < x ≤ 1 y f(0) = 0 es integrable Riemann en [0, 1].
Ejemplo 55.
Solución:
Para cualquier 0 < c < 1 la función f es continua en [c, 1] y por tanto integrable en [c, 1]. Es, claramente,
una función acotada en [0, 1]. El apartado 2 de la proposición nos dice que f ∈ R[0, 1].
Otra cosa muy distinta es conocer el valor de
∫ 1
0
sen
1
x
.
Se lo preguntamos a Maxima
(%i1) integrate(sin(1/x),x,0,1);
( %o1)
2 sin (1) + gamma incomplete (0, i) + gamma incomplete (0,−i)
2
¿Esto qué es?
(%i2) float(%);
( %o2) 0,50406706190693
Si queremos conocer la precisión del cálculo usamos integración numérica
(%i3) quad_qags(sin(1/x), x, 0, 1);
( %o3) [0,50411061321101, 3,4994456304948685 10−5, 8379, 1]
El primer valor es la aproximación de la integral y el segundo número la precisión.
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 183 Caṕıtulo 5
5.2.1. Sumas de Riemann
Sea f : [a, b] → R y π ≡ (t0 < t1 < . . . < tn) una partición de [a, b]. Se llama suma de Riemann
asociada a la partición π y a los puntos zi ∈ [ti−1, ti] a
S(f, π, zi) :=
n∑
i=1
f(zi)(ti − ti−1).
Definición 63.
a bt1 t2 t3 =t4 t5 t6
f
z1 z2 z3
z4 z5 z6 z7
Es claro que independientemente de la elección de los zi siempre se tiene que
s(f, π) ≤ S(f, π, zi) ≤ S(f, π).
(Comparad con las gráficas correspondientes a la suma inferior y superior al comienzo del caṕıtulo).
Antes de enunciar el siguiente resultado necesitamos una definición.
Si π = (t0 < t1 < . . . < tn = b) es una partición de [a, b] se llama norma de π, y la denotaremos
por ‖π‖, a ‖π‖ := máx{ti − ti−1 : 1 ≤ i ≤ n}
Definición 64.
Sea f : [a, b]→ R acotada. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. f es integrable Riemann en [a, b].
2. Existe A ∈ R tal que para cada ε > 0 existe π0 ∈ P([a, b]) tal que si π0 ≺ π se cumple
|A− S(f, π, zi)| < ε, para cualquier suma de Riemann correspondiente a π.
3. Existe A ∈ R tal que para cada ε > 0 existe δ > 0 de manera que si π ∈ P([a, b]), ‖π‖ < δ
se cumple |A− S(f, π, zi)| < ε, para cualquier suma de Riemann correspondiente a π.
Además en este caso A =
∫ b
a
f .
Teorema 87.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 184 Caṕıtulo 5
5.2.2. Propiedades de la integral
R[a, b] es un espacio vectorial y el operador
∫ b
a
es lineal, es decir, si f, g ∈ R[a, b] y α, β ∈ R
entonces αf + βg ∈ R[a, b] y
∫ b
a
(αf + βg) = α
∫ b
a
f + β
∫ b
a
g.
Proposición 88 (Linealidad).
Prueba:
Sean f, g ∈ R[a, b] y k ∈ R. Dado ε > 0 existe π0 ∈ P([a, b]) tal que para π0 ≺ π se cumplen las desigualdades∣∣∣∣∣
∫ b
a
f − S(f, π, zi)
∣∣∣∣∣ < ε2 y
∣∣∣∣∣
∫ b
a
g − S(g, π, zi)
∣∣∣∣∣ < ε2
con lo que ∣∣∣∣∣
∫ b
a
f +
∫ b
a
g − S(f + g, π, zi)
∣∣∣∣∣ < ε.
Que equivale a decir que f + g ∈ R[a, b] y que
∫ b
a
(f + g) =
∫ b
a
f +
∫ b
a
g.
Para demostrar que kf ∈ R[a, b], dado ε > 0 sea π0 ∈ P([a, b]) tal que tal que para π0 ≺ π se cumple∣∣∣∣∣
∫ b
a
f − S(f, π, zi)
∣∣∣∣∣ < ε1 + |k| . Ahora
∣∣∣∣∣k
∫ b
a
f − S(kf, π, zi)
∣∣∣∣∣ = |k|
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f − S(f, π, zi)
∣∣∣∣∣ < |k| ε1 + |k| < ε
lo cual indica que kf ∈ R[a, b] y que
∫ b
a
kf = k
∫ b
a
f .
Maxima permite declarara la integral como un operador lineal
(%i1) S:integrate(alpha*f(x)+beta*g(x),x,a,b);
( %o1)
∫ b
a
β g (x) + α f (x) dx
(%i2) declare(integrate,linear);
( %o2) done
(%i3) S=integrate(alpha*f(x)+beta*g(x),x,a,b);
( %o3)
∫ b
a
β g (x) + α f (x) dx = β
∫ b
a
g (x) dx+ α
∫ b
a
f (x) dx
Fin de la prueba
Sin embargo, Maxima no permite definir la integral como un operador monótono. Algo que nosotros si
sabemos probar.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 185 Caṕıtulo 5
1. Sean f, g ∈ R[a, b] tales que f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f ≤
∫ b
a
g.
En particular si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces
∫ b
a
f ≥ 0.
2. Si m ≤ f(x) ≤M , para todo x ∈ [a, b], entonces
m(b− a) ≤
∫ b
a
f ≤M(b− a).
Proposición 89 (Monotońıa).
Prueba:
1. Es claro que para cualquier partición π de [a, b] tenemos que s(f, π) ≤ s(g, π) ≤
∫ b
a
g, luego tomando
supremos a la izquierda de la desigualdad tendremos
∫ b
a
f ≤
∫ b
a
g.
2. Basta aplicar el apartado anterior teniendo en cuenta que si k es una constante,
∫ b
a
k = k(b− a) ya que
entonces
m(b− a) =
∫ b
a
m ≤
∫ b
a
f ≤
∫ b
a
M = M(b− a)
Fin de la prueba
Sea f : [a, b]→ R continua. Existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f
Corolario 90 (Valor medio de la integral).
Prueba:
El teorema de Weierstrass asegura que existen c1, c2 ∈ [a, b] tales que f(c1) ≤ f(x) ≤ f(c2) para todo
x ∈ [a, b]. La proposición anterior nos asegura que
f(c1) ≤
1
b− a
∫ b
a
f ≤ f(c2)
El número 1b−a
∫ b
a
f está comprendido entre dos valores de la función. La propiedad de los valores intermedios
de las funciones continuas nos proporciona c ∈ [a, b] tal que f(c) = 1
b− a
∫ b
a
f .
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 186 Caṕıtulo 5
Si f ∈ R[a, b], entonces |f | ∈ R[a, b] y
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f
∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
|f |.
Proposición 91.
Prueba:
Como f ∈ R[a, b], dado ε > 0, sea π ∈ P([a, b]) tal que S(f, π)− s(f, π) < ε.
Denotemos con M ′i ,m
′
i el supremo y el ı́nfimo de |f| en [ti−1, ti] y como siempre Mi,mi los de f . De
||f(z)| − |f(w)|| ≤ |f(z)− f(w)| ≤Mi −mi
para z,w ∈ [ti−1, ti] se obtiene que M ′i −m′i ≤Mi −mi y por tanto
S(|f |, π)− s(|f |, π) ≤ S(f, π)− s(f, π) < ε,
lo cual permite concluir la integrabilidad de |f |.
La acotación es consecuencia de la linealidad de la integral, de que |f | es integrable y de que
−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|
para todo x ∈ [a, b] ya que entonces∫ b
a
−|f | = −
∫ b
a
|f | ≤
∫ b
a
f ≤
∫ b
a
|f | ⇔
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f
∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
|f |
Fin de la prueba
Sea f : [a, b]→ R acotada, y sea c ∈ [a, b].
(i) f ∈ R[a, b] implica f ∈ R[a, c] y f ∈ R[c, b] y
∫ b
a
f =
∫ c
a
f +
∫ b
c
f .
(ii) f ∈ R[a, c] y f ∈ R[c, b] implica f ∈ R[a, b].
Proposición 92 (Aditividad respecto del intervalo).
Prueba:
Basta refinar cualquier partición añadiéndole el punto c.
Fin de la prueba
Cuando a < b conviene definir
∫ a
b
f := −
∫ b
a
f . Con esa definición, para cualesquiera a, b, c con
las hipótesis de integrabilidad adecuadas, es
∫ c
a
f +
∫ b
c
f =
∫ b
a
f .
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.2 Caracterización de integrabilidad 187 Caṕıtulo 5
Si f ∈ R[a, b] y g : [a, b] → R coincide con f salvo en un número finito de puntos, entonces
g ∈ R[a, b] y
∫ b
a
f =
∫ b
a
g.
Proposición 93.
Prueba:
Basta probarlo cuando difieran en un punto c ∈ [a, b] y como las funciones integrables son un espacio
vectorial, es suficiente probar que g− f := h es integrable. Ahora bien, h es nula en todos los puntos menos
en c y es inmediato que una función en esas condiciones es integrable Riemann y su integral es nula. (Dado
ε > 0 tomar una partición π ∈ P[a, b] tal que ti− ti−1 ≤ εh(c) y aśı es inmediato ver que la suma de Riemann
asociada a esta partición es menor o igual que ε.)
Fin de la prueba
¿Qué ocurre con el producto de funciones integrables Riemann? De nuevo es una función integrable
Riemann. La prueba requiere un poco de esfuerzo y la ponemos en los complementos.
Sean f, g : [a, b]→ R integrables Riemann. Entonces el producto fg es también integrable.
Proposición 94.
Existe un teorema de Lebesgue, cuya demostración excede los contenidos de este curso, que carac-
teriza las funciones integrables Riemann como aquellas cuyo conjunto de puntos de discontinuidad
“no es muy grande”. Por ejemplo, usando este resultado, la prueba de que el producto de dos
funciones integrables es de nuevo integrable Riemann resulta bastante sencilla. El ejemplo de la
función D1 de Dirichlet, al ser discontinua en todos los puntos de [0, 1], resulta que no es integrable
Riemann a la luz de este resultado.
Para nuestros propósitos puede sernos suficiente conocer la siguiente propiedad.
Nota.
Sea f : [a, b] → R integrable Riemann. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que f es continua en c.
En particular, gracias a la proposición 92 , f tiene puntos de continuidad en cualquier intervalo
[α, β] ⊂ [a, b].
Proposición 95.
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 188 Caṕıtulo 5
1. Calculad los siguientes ĺımites
(a) ĺım
n→∞
n∑
i=1
1
2n+ i
, (b) ĺım
n→∞
n
(
1
1 + n2
+
1
22 + n2
+ . . .+
1
n2 + n2
)
(c) ĺım
n→∞
n∑
k=1
(n− k)k
n3
, (d) ĺım
n→∞
1
n
+
1√
n2 − 12
+
1√
n2 − 22
+ · · ·+ 1√
n2 − (n− 1)2
Para calcular las integrales resultantes podéis usar Maxima
2. Usando ĺımites, calculad las siguientes integrales
(a)
∫ 1
0
x2(1− x), (b)
∫ 2
1
x3
3. Sea f : [a, b]→ R continua tal que
∫ b
a
|f(x)| = 0. Probar que f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
4. Sea f : [a, b]→ R una función continua que satisface f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Probad
que entonces
∫ b
a
f > 0.
Ejercicios 13.
5.3. El Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f ∈ R[a, b]. Para cada x ∈ [a, b] se define F (x) :=
∫ x
a
f que recibe el nombre de integral
indefinida de f .
Definición 65.
El siguiente teorema nos proporciona las propiedades que posee esta función. Pero ¿qué es la integral inde-
finida de f? Vamos a verlo con un ejemplo.
Consideremos la función f(x) = cosx definida en el intervalo [0, 2π]. La integral indefinida de f
es la función seno.
Ejemplo 56.
Solución:
Vamos a usar Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 189 Caṕıtulo 5
(%i1) f:cos(t);
( %o1) cos (t)
(%i2) F:’integrate(f,t,0,x);
( %o2)
∫ x
0
cos (t) dt
(%i3) load(draw);
( %o3) C:/ARCHIV 1/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/draw/draw.lisp
(%i4) draw2d(xaxis=true,key="coseno", explicit(f,t,0,2*%pi),
color=red,key="integral indefinida", explicit(F,x,0,2*%pi));
( %o4) [gr2d (explicit, explicit)]
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 1 2 3 4 5 6
coseno
integral indefinida
A partir de la gráfica es claro que la función integral indefinida es, no solo continua, sino que también es
derivable en [0, 2π]. Esto es precisamente lo que afirma el Teorema Fundamental del Cálculo: si la función
es continua entonces su integral indefinida es derivable.
Teniendo en mente la idea de área que nos da la integral, para cada x ∈ [0, π2 ] (alĺı donde el coseno es
positivo), la integral indefinida F (x) =
∫ x
0
cos t nos mide el área que encierra el coseno y el eje 0X hasta x.
Aśı la función F irá creciendo (porque al movernos a la derecha vamos acumulando área) hasta llegar a donde
el coseno se anula. A partir de π2 el coseno es negativo y por tanto aporta “área” negativa que irá restando
a la ya obtenida. Vemos entonces que F decrece alcanzando su valor mı́nimo alĺı donde el coseno se vuelve
a anular (en 3π2 ). El coseno vuelve a ser ahora positivo y F vuelve a crecer.
Gráficamente vemos que para cada x ∈ [0, 2π] es F (x) = − cos(π2 + x) = senx.
Maxima lo sabe
(%i1) f:cos(t);
( %o1) cos (t)
(%i2) F:integrate(f,t,0,x);
Is x positive, negative, or zero? positive;
( %o2) sin (x)
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 190 Caṕıtulo 5
Sea f ∈ R[a, b] y F (x) :=
∫ x
a
f su integral indefinida. Se verifica:
1. F es continua en [a, b].
2. Si fes continua en c ∈ (a, b), entonces F es derivable en c y F ′(c) = f(c). (Continuidad en
los extremos del intervalo implica la existencia de la correspondiente derivada lateral.)
Teorema 96 (Fundamental del Cálculo).
Prueba:
Llamando M := sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, por las propiedades de la integral, tenemos que
|F (x)− F (y)| =
∣∣∣∣∫ y
x
f
∣∣∣∣ ≤M |x− y|
lo cual demuestra que F es (uniformemente) continua en [a, b] ya que dado ε > 0, tomando δ = εM se verifica
que si |x− y| ≤ δ entonces |F (x)− F (y)| ≤ ε.
Supongamos ahora que f es continua en c ∈ (a, b). Sea p := f(c) y sea h > 0 tal que c+ h ∈ [a, b].∣∣∣∣F (c+ h)− F (h)h − p
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∫ c+h
a
f −
∫ c
a
f
h
− 1
h
∫ c+h
c
p
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1h
∫ c+h
c
(f − p)
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
h
sup
t∈[c,c+h]
{|f(t)− p|}|h| = sup
t∈[c,c+h]
{|f(t)− p|}
y como f es continua en c es claro que el último miembro de la desigualdad tiende a cero cuando h tiende a
cero. Lo mismo ocurre si h < 0 y por tanto
ĺım
h→0
F (c+ h)− F (h)
h
= p = f(c)
Fin de la prueba
Dada f : [a, b] → R se dice que g : [a, b] → R es una primitiva de f en [a, b] si g es derivable en
(a, b) y para todo x ∈ (a, b) se tiene que g′(x) = f(x).
Definición 66.
Por el teorema fundamental del cálculo, toda función f continua en un intervalo [a, b] tiene
primitivas en [a, b]. La función integral indefinida F de f es una de ellas. Las demás se obtienen
sumando a ésta una constante.
Corolario 97.
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 191 Caṕıtulo 5
Prueba:
Denotando por F la integral indefinida de f , si g : [a, b]→ R es otra primitiva de f en [a, b] resulta que para
x ∈ (a, b) tenemos
(F − g)′(x) = F ′(x)− g′(x) = f(x)− f(x) = 0
para x ∈ (a, b). Por el teorema del valor medio la función F − g es constante en [a, b], es decir, existe K ∈ R
tal que F (x) = g(x) +K para todo x ∈ [a, b].
Fin de la prueba
Volviendo ahora al ejemplo de la función coseno, tenemos que F (x) =
∫ x
0
cos t es derivable
en [0, 2π] y que F ′(x)= cosx. Pero todos conocemos que la derivada de la función seno es
precisamente el coseno. Por lo tanto, para x ∈ [0, 2π] tenemos F (x) = senx + C para algún
C ∈ R. Pero al ser F (0) =
∫ 0
0
cos t = 0 y sen 0 = 0 resulta que C = 0 por lo que F (x) = senx.
Nota.
La integral indefinida puede no ser una primitiva. Sea f : [0, 1]→ R la función caracteŕıstica del
intervalo [ 12 , 1], denotada por χ[ 12 ,1] y definida como
χ[ 12 ,1](x) =
{
0 si x 6∈ [ 12 , 1]
1 si x ∈ [ 12 , 1]
Es fácil ver que la integral indefinida de χ[ 12 ,1] es
F (x) =
{
0 si x ∈ [0, 12 ]
x− 12 si x ∈ [
1
2 , 1]
que no es derivable en x = 12 .
Ejemplo 57.
Solución:
Si 0 ≤ x < 12 , F (x) =
∫ x
0
χ[ 12 ,1] = 0. Si
1
2 ≤ x ≤ 1, F (x) =
∫ x
0
χ[ 12 ,1] =
∫ x
1
2
1 = x− 1
2
.
F no es derivable en 12 ya que
F ′−(1/2) = ĺım
x→ 12
−
F (x)− F ( 12 )
x− 12
= 0
mientras que
F ′+(1/2) ĺım
x→ 12
+
F (x)− F ( 12 )
x− 12
= ĺım
x→ 12
+
x− 12
x− 12
= 1
Maxima no sabe calcular la integral de funciones definidas a trozos
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 192 Caṕıtulo 5
(%i1) f: if x< 1/2 then 0 else 1;
( %o1) if x <
1
2
then 0 else 1
(%i2) integrate(f,x,0,1);
( %o2)
∫ 1
0
if x <
1
2
then 0 else 1dx
Fin de la solución
Hay funciones discontinuas que tienen primitiva. La derivada de la función
g(x) =
{
x2 sen( 1x ) si x 6= 0
0 si x = 0
está en estas condiciones ya que
g′(x) =
{
2x sen( 1x )− cos(
1
x ) si x 6= 0
0 si x = 0
es discontinua en x = 0 y tiene primitiva en R (g es su primitiva).
Ejemplo 58.
Sea f : [a, b]→ R continua y g una primitiva de f en [a, b]. Entonces∫ b
a
f = g(b)− g(a)
Corolario 98 (Fórmula de Barrow).
Prueba:
Sea F la integral indefinida de f . Tenemos que existe c ∈ R tal que F (x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b].
Por tanto
∫ b
a
f = F (b)− F (a) = (g(b) + c)− (g(a) + c) = g(b)− g(a)
Fin de la prueba
En el caso más general de suponer que f ∈ R[a, b] y que admite primitiva g en [a, b] también
podemos usar la fórmula de Barrow.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 193 Caṕıtulo 5
Fórmula de integración por partes
Sean f, g ∈ R[a, b] y supongamos que tienen primitivas F y G respectivamente. Entonces,∫ b
a
Fg = F (b)G(b)− F (a)G(a)−
∫ b
a
fG.
Corolario 99.
Prueba:
Es claro que FG es una primitiva de Fg + fG:
(FG)′(x) = F ′(x)G(x) + F (x)G′(x) = f(x)G(x) + F (x)g(x)
La fórmula de Barrow nos proporciona∫ b
a
(Fg + fG) = F (b)G(b)− F (a)G(a)⇒
∫ b
a
Fg +
∫ b
a
fG = F (b)G(b)− F (a)G(a)⇒
∫ b
a
Fg = F (b)G(b)− F (a)G(a)−
∫ b
a
fG.
Con Maxima Sean F y G primitivas de f y g, respectivamente, es decir, F’=f, G’=g. La
función FG es una primitiva de Fg+Gf
(%i1) ’diff(F(x)*G(x),x)=diff(F(x)*G(x),x);
( %o1)
d
dx
(F (x) G (x)) = F (x)
(
d
dx
G (x)
)
+ G (x)
(
d
dx
F (x)
)
(%i2) ev(%,’diff(F(x),x)=f(x),’diff(G(x),x)=g(x));
( %o2)
d
dx
(F (x) G (x)) = f (x) G (x) + g (x) F (x)
(%i3) declare(integrate,linear);
( %o3) done
La fórmula de Barrow nos dice que
(%i4) integrate(%o2,x,a,b);
( %o4) F (b) G (b)− F (a) G (a) =
∫ b
a
f (x) G (x) dx+
∫ b
a
g (x) F (x) dx
Despejando
(%i5) solve(%,’integrate(F(x)*g(x),x,a,b));
( %o5) [
∫ b
a
g (x) F (x) dx = −
∫ b
a
f (x) G (x) dx+ F (b) G (b)− F (a) G (a)]
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 194 Caṕıtulo 5
Fin de la prueba
Cálculo de
∫ 1
0
xex.
Ejemplo 59.
Solución:
Hacemos F (x) = x y g(x) = ex tenemos que F ′(x) = f(x) = 1 mientras que G(x) = ex es una primitiva de
g. Por tanto
∫ 1
0
xex = F (1)G(1)− F (0)G(0)−
∫ 1
0
ex = e− (e1 − e0) = e0 = 1
Calculamos la integral
(%i1) ’integrate(x*%e^x,x,0,1);
( %o1)
∫ 1
0
x exdx
(%i2) F(x):=x;
g(x):=%e^x;
( %o2) F (x) := x
( %o3) g (x) := ex
(%i4) f(x):=diff(F,x);
G(x):=%e^x;
( %o4) f (x) := diff (F, x)
( %o5) G (x) := ex
Aplicamos la fórmula de integración por partes
(%i6) ’integrate(x*%e^x,x,0,1)= F(1)*G(1)-F(0)*G(0)-’integrate(%e^x,x,0,1);
( %o6)
∫ 1
0
x exdx = e−
∫ 1
0
exdx
Como ex es una primitiva de ex, aplicamos la regla de Barrow para calcular la última primitiva.
(%i7) %=%e-(G(1)-G(0));
( %o7)
∫ 1
0
x exdx = e−
∫ 1
0
exdx = 1
Por supuesto, Maxima puede calcular directamente la integral
(%i8) integrate(x*%e^x,x,0,1);
( %o8) 1
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 195 Caṕıtulo 5
Fórmula del cambio de variable
Sea ϕ : [c, d] → [a, b] de clase C1[c, d] con ϕ(c) = a y ϕ(d) = b. Sea f : [a, b] → R continua.
Entonces ∫ b
a
f =
∫ d
c
(f ◦ ϕ)ϕ′.
Teorema 100.
Prueba:
Si F es una primitiva de f en [a, b], entonces F ◦ ϕ es una primitiva de (f ◦ ϕ)ϕ′ en [c, d] y por tanto:∫ b
a
f = F (b)− F (a) = F (ϕ(d))− F (ϕ(c)) = (F ◦ ϕ)(d)− (F ◦ ϕ)(c) =
∫ d
c
(f ◦ ϕ)ϕ′.
Fin de la prueba
Este teorema da sentido a la notación habitual que explicita la variable en las integrales
∫ b
a
f(x) dx :=
∫ b
a
f ,
porque escrito de esta manera, si x = ϕ(t) es sencillo nemotécnicamente dx = ϕ′(t)dt y por tanto la fórmula
del cambio de variable se escribe ∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.
Resolver:
1.
∫ 1
2
0
1√
1− x2
dx (haciendo x = sen t)
2.
∫ π
4
0
tanxdx (haciendo cosx = t)
Ejemplo 60.
Solución:
1. Haciendo x = sen t, dx = cos t dt. Para x = 0, t = 0 y para x = 12 , t =
π
6 . Aśı∫ 1
2
0
1√
1− x2
dx =
∫ π
6
0
1√
1− sen2 t
cos t dt =
∫ π
6
0
cos t
cos t
dt =
∫ π
6
0
1 dt =
π
6
Vamos a calcularla usando Maxima
(%i1) I:’integrate(1/sqrt(1-x^2),x,0,1/2);
( %o1)
∫ 1
2
0
1√
1− x2
dx
Maxima tiene un comando para cambiar la variable en la integral
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 196 Caṕıtulo 5
(%i2) cambio:changevar(I,x=sin(t),t,x);
solve: using arc-trig functions to get a solution.Some solutions will be lost.
( %o2)
∫ π
6
0
cos (t)√
1− sin (t)
√
sin (t) + 1
dt
Pero claro, la idea del cambio de variable es transformar una integral en otra a la cual poder aplicar la regla
de Barrow. Maxima sabe evaluar esta integral
(%i3) ev(cambio,integrate);
( %o3)
π
6
El problema que se nos presenta es que el comando changevar nos separa
√
1− sin(t)2 en dos factores√
1− sin(t)
√
1 + sin(t) y aśı no podemos simplificar. Lo hacemos ahora a mano
(%i4) f(x):=1/sqrt(1-x^2);
( %o4) f (x) :=
1√
1− x2
Cambiamos la variable y multiplicamos por la derivada del cambio
(%i5) integrando:f(sin(t))*diff(sin(t),t);
( %o5)
cos (t)√
1− sin (t)2
Simplificamos
(%i6) trigsimp(%);
( %o6)
cos (t)
|cos (t)|
Como x está entre 0 y 1/2 el coseno es positivo
(%i7) assume(cos(t)>0);
( %o7) [cos (t) > 0]
(%i8) trigsimp(integrando);
( %o8) 1
Cambiamos los ĺımites de integración a los de la variable t
(%i9) asin(0);
asin(1/2);
( %o9) 0
( %o10)
π
6
Finalmente
(%i11) integrate(integrando,t,0,%pi/6);
Luis Oncina, Cálculo I
5.3 El Teorema Fundamental del Cálculo 197 Caṕıtulo 5
( %o11)
π
6
2. Haciendo cosx = t tenemos senx =
√
1− t2, y como x = arc cos t, dx = − 1√
1−t2 dt, además para x = 0,
t = 1 y para x = π4 , t =
√
2
2 .∫ π
4
0
tanxdx =
∫ π
4
0
senx
cosx
dx =
∫ √2
2
1
√
1− t2
t
−1√
1− t2
dt = −
∫ √2
2
1
1
t
dt =
=
∫ 1
√
2
2
1
t
dt = log(1)− log
(√
2
2
)
=
log 2
2
Usamos el comando de Maxima
(%i1) I:’integrate(tan(x),x,0,%pi/4);
( %o1)
∫ π
4
0
tan (x) dx
(%i2) cambio:changevar(I,t=cos(x),t,x);
( %o2)
∫ 1
1√
2
1
t
dt
Una primitiva de 1t es log t y aśı aplicando la regla de Barrow
(%i3) %=log(1)-log(1/sqrt(2));
( %o3)
∫ 1
1√
2
1
t
dt =
log (2)
2
O bien, que lo haga Maxima
(%i4) ev(cambio,integrate);
( %o4)
log (2)
2
Fin de la solución
1. Hallad F ′(x) siendo: F (x) =
∫ x3
0
sen3 t dt, F (x) =
∫ x2
sen x2
t6
1 + t4
dt
2. Sean f, g : [a, b] → R continuas tales que para todo x ∈ (a, b)
∫ x
a
f(t) dt =
∫ x
a
g(t) dt.
Probad que f(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
3. Calculad las siguientes integrales
A)
∫ π/3
π/6
dx
senx cosx
dx, B)
∫ 1/2
0
√
1 + x
1− x
dx, C)
∫ a2
0
x
a4 + x4
dx
Ejercicios 14.
LuisOncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 198 Caṕıtulo 5
4. La gráfica de la figura se corresponde con la de la función F (x) definida por F (x) =∫ x
0
f(t) dt siendo f : [0, 3]→ R derivable.
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
a) f(x) ≤ 0 para x ∈ [0, 2].
b) f es decreciente en (1, 3).
c) f(1/2) = 0.
d) f(1) = 0.
Ejercicios.
5.4. Cálculo de Primitivas
Sea f : [a, b]→ R una función que admite primitiva en [a, b]. Denotaremos por
∫
f(x) dx a una primitiva
cualquiera de f en [a, b]. Si f es continua en [a, b], el conjunto de todas las primitivas de f en [a, b] lo
escribiremos como
∫
f(x) dx + K donde K es un número real cualquiera. La demostración del siguiente
resultado es inmediata y se basa en las propiedades de las derivadas.
El comando de Maxima para calcular primitivas es integrate(funcion,variable).
Sean f y g funciones continuas en [a,b], y sean α y β números reales cualesquiera. Entonces:
1.
∫
(αf(x) + βg(x)) dx = α
∫
f(x) dx+ β
∫
g(x) dx.
2.
∫
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x) dx. (Para este caso se suponen f y g derivables).
3.
∫
f(x) dx =
∫
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt, donde ϕ : [c, d]→ [a, b] es una biyección de clase C1([c, d]),
ϕ(c) = a y ϕ(d) = b.
Proposición 101.
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 199 Caṕıtulo 5
Prueba:
1. Sean u(x) y v(x) primitivas de f(x) y g(x) respectivamente, α, β ∈ R.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) u(x):=’integrate(f(x),x);
v(x):=’integrate(g(x),x);
( %o1) u (x) :=
∫
f (x) dx
( %o2) v (x) :=
∫
g (x) dx
Al ser
(%i3) ’diff(alpha*’u(x)+beta*’v(x),x)=diff(alpha*u(x)+beta*v(x),x);
( %o3)
d
dx
(β v (x) + α u (x)) = β g (x) + α f (x)
Esto quiere decir que
(%i4) ’integrate(alpha*f(x)+beta*g(x),x)=alpha*’u(x)+beta*’v(x);
( %o4)
∫
β g (x) + α f (x) dx = β v (x) + α u (x)
Y por tanto
(%i5) %=alpha*u(x)+beta*v(x);
( %o5)
∫
β g (x) + α f (x) dx = β v (x) + α u (x) = β
∫
g (x) dx+ α
∫
f (x) dx
2. Una vez probada la linealidad de las primitivas vamos a probar la fórmula de integración por partes.
Con Maxima
Vamos a decirle a Maxima que hallar primitivas es algo lineal
(%i1) declare(integrate,linear);
( %o1) done
Dado que las siguientes funciones son iguales
(%i2) ’diff(f(x)*g(x),x)=diff(f(x)*g(x),x);
( %o2)
d
dx
(f (x) g (x)) = f (x)
(
d
dx
g (x)
)
+ g (x)
(
d
dx
f (x)
)
Tomando primitivas en ambos miembros y usando la linealidad
(%i3) integrate(’diff(f(x)*g(x),x),x)=’integrate(diff(f(x)*g(x),x),x);
( %o3) f (x) g (x) =
∫
f (x)
(
d
dx
g (x)
)
dx+
∫
g (x)
(
d
dx
f (x)
)
dx
Despejamos ahora en la igualdad lo que nos interesa para obtener la fórmula
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 200 Caṕıtulo 5
(%i4) solve(%,’integrate(f(x)*diff(g(x),x),x));
( %o4) [
∫
f (x)
(
d
dx
g (x)
)
dx = f (x) g (x)−
∫
g (x)
(
d
dx
f (x)
)
dx]
3. La fórmula del cambio de variable.
Sea u(x) una primitiva de f(x)
(%i1) u(x):=’integrate(f(x),x);
( %o1) u (x) :=
∫
f (x) dx
Hacemos el cambio de variable x = ϕ(t) y derivamos aplicando la regla de la cadena.
(%i2) diff(u(phi(t)),t);
( %o2) f (ϕ (t))
(
d
d t
ϕ (t)
)
Lo que nos dice que u(ϕ(t)) es una primitiva de la última expresión. Aśı, si calculamos una primitiva será igual
a u(x) (o mejor dicho a u(ϕ(t)).
(%i3) ’u(phi(t))=’integrate(diff(u(phi(t)),t),t);
( %o3) u (ϕ (t)) =
∫
f (ϕ (t))
(
d
d t
ϕ (t)
)
dt
Fin de la prueba
La fórmula de integración por partes:∫
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x) dx
que aparece en los textos como
∫
udv = uv −
∫
v du se utiliza a menudo cuando el integrando
contiene un producto de funciones, por ejemplo (n ∈ N):∫
log xdx
∫
xn log xdx
∫
xn arctanxdx
∫
xn arc senxdx
∫
xnex dx
∫
xn senxdx
∫
xn cosxdx
∫
ex senxdx
La integración por partes no busca dar directamente una primitiva, sino transformarla en otra
que śı sabemos calcular. Para poder aplicar estos métodos necesitamos conocer la siguiente tabla.
Nota (La fórmula de integración por partes).
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 201 Caṕıtulo 5
5.4.1. Primitivas inmediatas
Las primitivas de las siguientes funciones se calculan directamente de la definición de derivada. Sea u(x)
una función.
Tabla de primitivas inmediatas∫
un(x)u′(x) dx =
un+1(x)
n+ 1
+ C, n 6= −1
∫
u′(x)
u(x)
dx = ln |u(x)|+ C, u(x) 6= 0
∫
eu(x)u′(x) dx = eu(x) + C
∫
au(x)u′(x) dx =
au(x)
ln a
+ C, a > 0, a 6= 1∫
cos(u(x))u′(x) dx = sen(u(x)) + C
∫
sen(u(x))u′(x) dx = − cos(u(x)) + C∫
cosh(u(x))u′(x) dx = senh(u(x)) + C
∫
senh(u(x))u′(x) dx = cosh(u(x)) + C∫
u′(x)
sen2(x)
dx = − cot(u(x)) + C
∫
u′(x))
cos2(u(x))
dx = tan(u(x)) + C
∫
u′(x)
senh2(x)
dx = − coth(u(x)) + C
∫
u′(x))
cosh2(u(x))
dx = tanh(u(x)) + C
∫
u′(x)
1 + u2(x)
dx = arctan(u(x)) + C
∫
u′(x)√
1− u2(x)
dx = arc sen(u(x)) + C
∫
u′(x)
1− u2(x)
= arg tanh(u(x)) =
1
2
ln
(
1 + u(x)
1− u(x)
)
+ C
∫
u′(x)√
u2(x) + 1
dx = arg senh(u(x)) + C = ln
(
u(x) +
√
u2(x) + 1
)
+ C
∫
u′(x)√
u2(x)− 1
dx = arg cosh(u(x)) + C = ln
(
u(x) +
√
u2(x)− 1
)
+ C
En casi todos los casos, la respuesta de Maxima coincide con la dada más arriba en la tabla. Prescindiendo
de la función u(x) comentamos a continuación algunas de ellas.
Primitivas inmediatas con Maxima
(%i1) ’integrate(u(x)^n*diff(u(x),x),x)=integrate(u(x)^n*diff(u(x),x),x);
Is n+1 zero or nonzero?pos;
( %o1)
∫
u (x)
n
(
d
dx
u (x)
)
dx =
u (x)
n+1
n+ 1
(%i2) ’integrate(1/cosh(x)^2,x)=integrate(1/cosh(x)^2,x);
( %o2)
∫
1
cosh (x)
2 dx =
4
2 e−2 x + 2
(%i3) s:rhs(part(%));
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 202 Caṕıtulo 5
( %o3)
4
2 e−2 x + 2
No se parece al valor dado en la tabla. Recordad que la tangente hiperbólica viene definida por la siguiente
expresión.
(%i4) t:(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x));
( %o4)
ex − e−x
ex + e−x
Simplificamos t y s y vemos que si se parecen
(%i5) ratsimp(t);
( %o5)
e2 x − 1
e2 x + 1
(%i6) ratsimp(s);
( %o6)
2 e2 x
e2 x + 1
De hecho se diferencian en una constante (como debe suceder al ser ambas primitivas de la cosecante
hiperbólica al cuadrado).
(%i7) s-t;
( %o7)
4
2 e−2 x + 2
− e
x − e−x
ex + e−x
(%i8) factor(%);
( %o8) 1
En la siguiente primitiva hay que llevar cuidado con x− 1 y 1− x
(%i9) ’integrate(1/(1-x^2),x)=integrate(1/(1-x^2),x);
( %o9)
∫
1
1− x2
dx =
log (x+ 1)
2
− log (x− 1)
2
Para que al calcular primitivas utilice logaritmo de valor absoluto, hay que ejecutar
(%i10) logabs:true;
( %o10) true
(%i11) ’integrate(1/(1-x^2),x)=integrate(1/(1-x^2),x);
( %o11)
∫
1
1− x2
dx =
log (|x+ 1|)
2
− log (|x− 1|)
2
Calculamos ahora
(%i12) ’integrate(1/sqrt(x^2+1),x)=integrate(1/sqrt(x^2+1),x);
( %o12)
∫
1√
x2 + 1
dx = asinh (x)
Para escribir el argumento seno hiperbólico en términos de logaritmos hacemos
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 203 Caṕıtulo 5
(%i13) logarc(%);
( %o13)
∫
1√
x2 + 1
dx = log
(√
x2 + 1 + x
)
Finalmente
(%i14) ’integrate(1/sqrt(x^2-1),x)=integrate(1/sqrt(x^2-1),x);
( %o14)
∫
1√
x2 − 1
dx = log
(
2
√
x2 − 1 + 2x
)
(%i15) factor(%), logexpand=super;
( %o15)
∫
1√
x2 − 1
dx = log
(√
x2 − 1 + x
)
+ log (2)
Que coincide, salvo una constante, con la dada en la tabla
Calculad las primitivas que se indican:
1.
∫
x3 − 2
√
x+ 3
x
dx 2.
∫
tan2 xdx 3.
∫
log xdx 4.
∫
x3 arctanxdx
5.
∫
eax sen(bx) dx 6.
∫
x√
1− x2
dx 7.
∫
arctan
√
x
(1 + x)
√
x
dx
Ejemplo 61.
Solución:
1.
∫
x3 − 2
√
x+ 3
x
dx =
∫
x2 dx− 2
∫
x−1/2 dx+ 3
∫
1
x
dx =
x3
3
− 4
√
x+ 3 log x+ C
Con Maxima
(%i1) (x^3-2*sqrt(x)+3)/x;
( %o1)
x3 − 2
√
x+ 3
x
(%i2) ratexpand(%);
( %o2) x2 − 2√
x
+
3
x
Estas son inmediatas
(%i3) integrate(%,x);
( %o3) 3 log (x) +
x3
3
− 4
√
x
2.
∫
tan2 xdx =
∫
sen2 x
cos2 x
dx =
∫
1− cos2 x
cos2 x
dx =
∫
1
cos2 x
dx−
∫
1 dx = tanx− x+ C
Ahora con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 204 Caṕıtulo 5
(%i1) f:tan(x)^2;
( %o1) tan (x)
2
(%i2) trigsimp(%);
( %o2)
sin (x)2
cos (x)
2
(%i3) subst(1-cos(x)^2,sin(x)^2,%);
( %o3)
1− cos (x)2
cos (x)
2
(%i4) ratexpand(%);
( %o4)
1
cos (x)
2 − 1
Estas son inmediatas
(%i5) integrate(%,x);
( %o5) tan (x)− x
3.
∫
log xdx. Hacemos u = log x, dv = dx, de donde du = dxx , v = x y aśı∫
log xdx = x log x−
∫
x
1
x
dx = x log x−
∫
1 dx = x log x− x+ C
Aplicamos la fórmula de integración por partes
(%i1) I:’integrate(log(x),x);
( %o1)
∫
log (x) dx
(%i2) u:log(x);
dv:1;
( %o2) log (x)
( %o3) 1
(%i4) v:integrate(dv,x);
( %o4) x
(%i5) I=u*v-integrate(v*diff(u,x),x);
( %o5)
∫
log (x) dx = x log (x)− x
4.
∫
x3 arctanxdx. Hacemos u = arctanx, dv = x3 dx; por tanto du = dxx2+1 , v =
x4
4 y∫
x3 arctanxdx =
x4
4
arctanx−
∫
x4
4
1
x2 + 1
dx
(†)
=
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 205 Caṕıtulo 5
esta última primitiva es la de una función racional, para las que veremos un método general de resolución,
pero podemos también resolverla ya:∫
x4
x2 + 1
dx =
∫
(x2 + 1)(x2 − 1) + 1
x2 + 1
dx =
∫
(x2 − 1) dx+
∫
1
x2 + 1
dx =
x3
3
− x+ arctanx+ C
Por tanto
(†)
=
1
4
[
(x4 − 1) arctanx+ x− x
3
3
]
+ C
Lo hacemos con Maxima
(%i1) A:’integrate(x^3*atan(x),x);
( %o1)
∫
x3 atan (x) dx
(%i2) u:atan(x);
dv:x^3;
( %o2) atan (x)
( %o3) x3
(%i4) v:integrate(dv,x);
( %o4)
x4
4
(%i5) u*v-’integrate(v*diff(u,x),x);
( %o5)
x4 atan (x)
4
−
∫
x4
x2+1dx
4
Calculamos aparte la primitiva que queda por hacer
(%i6) J:’integrate(x^4/(x^2+1),x);
( %o6)
∫
x4
x2 + 1
dx
(%i7) integrando:x^4/(x^2+1);
( %o7)
x4
x2 + 1
Hacemos el cociente
(%i8) P:num(integrando);
Q:denom(integrando);
( %o8) x4
( %o9) x2 + 1
(%i10) C:quotient(P,Q);
r:remainder(P,Q);
( %o10)x2 − 1
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 206 Caṕıtulo 5
( %o11) 1
(%i12) J=’integrate(C+r/Q,x);
( %o12)
∫
x4
x2 + 1
dx =
∫
1
x2 + 1
+ x2 − 1dx
(%i13) A=u*v-1/4*ev(rhs(part(%)),integrate);
( %o13)
∫
x3 atan (x) dx =
x4 atan (x)
4
−
atan (x) + x
3
3 − x
4
(%i14) ratsimp(%);
( %o14)
∫
x3 atan (x) dx =
(3x4 − 3) atan (x)− x3 + 3x
12
5.
∫
eax sen(bx) dx. Hacemos u = sen(bx), dv = eax dx y aśı du = b cos(bx) dx, v = e
ax
a∫
eax sen(bx) dx =
1
a
eax sen(bx)− b
a
∫
eax cos(bx) dx
(†)
=
Tomando ahora u = cos(bx), dv = eax dx resulta du = −b sen(bx) dx, v = 1a e
ax y aśı
(†)
=
1
a
eax sen(bx)− b
a
(
1
a
eax cos(bx) +
b
a
∫
eax sen(bx) dx
)
Tenemos pues, llamando I a la primitiva del enunciado y multiplicando por a2 para quitar denominadores,
que
a2I = a eax sen(bx)− b eax cos(bx)− b2I
y despejando I nos queda ∫
eax sen(bx) dx =
eax [a sen(bx)− b cos(bx)]
a2 + b2
+ C
Con Maxima
(%i1) I:’integrate(exp(a*x)*sin(b*x),x);
( %o1)
∫
ea x sin (b x) dx
(%i2) u:sin(b*x);
dv:exp(a*x);
( %o2) sin (b x)
( %o3) ea x
(%i4) v:integrate(dv,x);
( %o4)
ea x
a
(%i5) I=u*v-’integrate(v*diff(u,x),x);
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 207 Caṕıtulo 5
( %o5)
∫
ea x sin (b x) dx =
ea x sin (b x)
a
−
b
∫
ea x cos (b x) dx
a
(%i6) J:’integrate(v*diff(u,x),x);
( %o6)
b
∫
ea x cos (b x) dx
a
(%i7) ecu:I=u*v-J;
( %o7)
∫
ea x sin (b x) dx =
ea x sin (b x)
a
−
b
∫
ea x cos (b x) dx
a
Calculamos J aparte
(%i8) u:cos(b*x);
dv:exp(a*x);
( %o8) cos (b x)
( %o9) ea x
(%i10) v:integrate(dv,x);
( %o10)
ea x
a
(%i11) b/a*(u*v-’integrate(v*diff(u,x),x));
( %o11)
b
(
b
∫
ea x sin(b x)dx
a +
ea x cos(b x)
a
)
a
(%i12) p:ratexpand(%);
( %o12)
b2
∫
ea x sin (b x) dx
a2
+
b ea x cos (b x)
a2
Sustituimos este valor en I = uv − J
(%i13) subst(p,J,ecu);
( %o13)
∫
ea x sin (b x) dx = −
b2
∫
ea x sin (b x) dx
a2
+
ea x sin (b x)
a
− b e
a x cos (b x)
a2
(%i14) solve(%,I);
( %o14) [
∫
ea x sin (b x) dx =
a ea x sin (b x)− b ea x cos (b x)
b2 + a2
]
(%i15) factor(%);
( %o15) [
∫
ea x sin (b x) dx =
ea x (a sin (b x)− b cos (b x))
b2 + a2
]
6.
∫
x√
9− x2
dx. Hacemos u = 9− x2, du = −2xdx y aśı
∫
x√
9− x2
dx =
∫ − 12√
u
du = −1
2
∫
u−
1
2 du = −1
2
u
1
2
1
2
+ C = −
√
9− x2 + C
Cambio de variable con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 208 Caṕıtulo 5
(%i1) f:x/sqrt(9-x^2);
( %o1)
x√
9− x2
Hacemos el cambio de variable y = 9− x2
(%i2) changevar(’integrate(f,x),y=9-x^2,y,x);
( %o2) −
∫
1√
ydy
2
Esta primitiva es inmediata
(%i3) ev(%,integrate);
( %o3) −√y
(%i4) subst(9-x^2,y,%);
( %o4) −
√
9− x2
Podemos hacer el cambio de forma manual. Hacemos x =
√
(9− y)
(%i5) ’integrate(subst(sqrt(9-y),x,f)*diff(sqrt(9-y),y),y);
( %o5) −
∫
1√
ydy
2
Llegamos al mismo sitio
7.
∫
arctan
√
x
(1 + x)
√
x
dx. Hacemos t =
√
x, dt = 1
2
√
x
dx⇔ dx = 2t dt.
∫
arctan
√
x
(1 + x)
√
x
dx =
∫
arctan t
(1 + t2)t
2t dt = 2
∫
arctan t
1 + t2
dt
(†)
=
Hacemos ahora u = arctan t, du = 11+t2 dt y por tanto
(†)
=
∫
udu =
u2
2
+ C =
arctan2 t
2
+ C =
arctan2
√
x
2
+ C
Con Maxima
(%i1) b:’integrate(atan(sqrt(x))/((1+x)*sqrt(x)),x);
( %o1)
∫
atan (
√
x)√
x (x+ 1)
dx
(%i2) B:changevar(b,t=sqrt(x),t,x);
Is t positive, negative or zero?pos;
( %o2) 2
∫
t atan (t)
(t2 + 1) |t|
dt
Vamos a quitar el valor absoluto de esta expresión
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 209 Caṕıtulo 5
(%i3) assume(t>0);
( %o3) [t > 0]
(%i4) ratsimp(B);
( %o4) 2
∫
atan (t)
t2 + 1
dt
(%i5) changevar(%,u=atan(t),u,t);
( %o5) 2
∫
sec (u)
2
atan (tan (u))
tan (u)
2
+ 1
du
El siguiente comando le dice a Maxima que arcotangente y tangente son funciones inversas
(%i6) triginverses:all;
( %o6) all
(%i7) changevar(ratsimp(B),u=atan(t),u,t);
( %o7) 2
∫
u sec (u)
2
tan (u)
2
+ 1
du
Hay que intentar siempre simplificar las funciones trigonométricas
(%i8) trigsimp(%);
( %o8) 2
∫
udu
(%i9) ev(%,integrate);
( %o9) u2
Deshacemos el cambio de variable
(%i10) subst(atan(t),u,%);
( %o10) atan (t)
2
(%i11) subst(sqrt(x),t,%);
( %o11) atan
(√
x
)2
Fin de la solución
5.4.2. Primitivas de Funciones Racionales
Sean P (x) y Q(x) polinomios. Se trata de resolver
∫
P (x)
Q(x)
dx. En primer lugar nos aseguraremos de
que el gradoP (x) < gradoQ(x), en caso contrario haremos la división, P (x) = C(x)Q(x) + R(x), con
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 210 Caṕıtulo 5
gradoR(x) < gradoQ(x), y aśı ∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
C(x) dx+
∫
R(x)
Q(x)
dx.
Podemos asumir en lo que sigue que gradoP (x) < gradoQ(x).
Descomposición en fracciones simples
Si conocemos la factorización del polinomio del denominador
Q(x) = (x− a1)m1 · · · (x− ar)mr(x2 + p1x+ q1)n1 · · · (x2 + psx+ qs)ns ,
donde qi >
p2i
4 , i = 1, 2, . . . , s. Se puede demostrar que
P (x)
Q(x) se puede expresar de manera única
como suma de fracciones simples:
P (x)
Q(x)
=
A11
(x− a1)
+ . . .+
Am11
(x− a1)m1
+ . . .+
A1r
(x− ar)
+ . . .+
Amrr
(x− ar)mr
+
M11x+N
1
1
x2 + p1x+ q1
+ . . .+
Mn11 x+N
n1
1
(x2 + p1x+ q1)n1
+ . . .+
+
M1s x+N
1
s
(x2 + psx+ qs)
+ . . .+
Mnss x+N
ns
s
(x2 + psx+ qs)ns
donde Aik,M
i
k, N
i
k son numeros reales a determinar.
Proposición 102.
Se trata pues de ser capaz de calcular la primitiva de cada una de las fracciones tipo que aparecen en la
descomposición. Aśı tenemos:
∫
A
x− a
dx = A ln |x− a|+K.∫
A
(x− a)n
dx = − A
n− 1
1
(x− a)n−1
+K,n = 2, 3, . . .
∫
Mx+N
x2 + px+ q
dx =
M
2
ln
[
(x+
p
2
)2 + c2
]
+
N −M p2
c
arctan
(
x+ p2
c
)
+ K. siendo c =
√
4q−p2
2 .
Proposición 103.
Solución:
Maxima sabe resolverlas
(%i1) integrate(A/(x-a),x);
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 211 Caṕıtulo 5
( %o1) log (x− a) A
(%i2) integrate(A/(x-a)^n,x);
Is n-1 zero or nonzero?nonzero;
( %o2)
(x− a)1−nA
1− n
(%i3) integrate((M*x+N)/(x^2+p*x+q),x);
Is 4q − p2 positive or negative?positive;
( %o3)
atan
(
2 x+p√
4 q−p2
)
(2N − pM)√
4 q − p2
+
log (x2 + p x+ q) M
2
Fin de la solución
Veamos con un ejemplo cómo resolver el tercer tipo:
Calculad ∫
x+ 1
x2 + x+ 1
dx
Ejemplo 62.
Solución:
∫
x+ 1
x2 + x+ 1
dx =
1
2
∫
2x+ 2
x2 + x+ 1
dx =
1
2
∫
2x+ 1 + 1
x2 + x+ 1
dx =
1
2
∫
2x+ 1
x2+ x+ 1
dx+
1
2
∫
1
x2 + x+ 1
dx
La primera primitiva es inmediata ya que la derivada de x2 + x+ 1 es precisamente 2x+ 1 y por tanto
1
2
∫
2x+ 1
x2 + x+ 1
dx =
1
2
log(x2 + x+ 1)
Para resolver la segunda comenzamos “completando cuadrados” en el denominador
x2 + x+ 1 =
(
x+
1
2
)2
+ 1− 1
4
=
(
x+
1
2
)2
+
3
4
=
3
4
(
(x+ 12 )
2
3
4
+ 1
)
=
3
4
((
2x+ 1√
3
)2
+ 1
)
1
2
∫
1
x2 + x+ 1
dx =
1
2
∫
1
3
4
((
2x+1√
3
)2
+ 1
) dx (†)= 2
3
∫ √3
2 dt
t2 + 1
=
√
3
3
arctan t =
√
3
3
arctan
(
2x+ 1√
3
)
En (†) hemos hecho el cambio de variable 2x+1√
3
= t. Finalmente la primitiva queda∫
x+ 1
x2 + x+ 1
dx =
1
2
log(x2 + x+ 1) +
√
3
3
arctan
(
2x+ 1√
3
)
+ C
Fin de la solución
Cuando aparecen ráıces complejas múltiples se suele usar el método de Hermite u Ostrogadsky que no
comentaremos aqúı o bien usar el método de reducción que resolvemos en los complementos.
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 212 Caṕıtulo 5
Para n ≥ 2 sea In =
∫
1
(1 + x2)n
dx. Entonces
In =
1
2n− 2
x
(1 + x2)n−1
+
2n− 3
2n− 2
In−1, con I1 = arctanx
Proposición 104.
Pero no hay que preocuparse, en caso de necesidad lo haremos con Maxima
(%i1) integrate((M*x+N)/(x^2+p*x+q)^2,x);
Is 4 q − p2 positive or negative? positive;
( %o1)
x (2N − pM) + pN − 2 qM
(4 q − p2) x2 + (4 p q − p3) x+ 4 q2 − p2 q
+
atan
(
2 x+p√
4 q−p2
)
(4N − 2 pM)
(4 q − p2)
3
2
¿Cómo hacemos la descomposición? Se trata de averiguar las constantes Aik,M
i
k, N
i
k. Una forma
es “volver a agrupar” las fracciones de la derecha y el numerador de esta nueva fracción R(x) ha
de ser igual a P (x). Podemos ahora ir dando valores a x e igualar P (x) = R(x) para averiguar
las constantes. Veamos un ejemplo.
Nota.
Descomponer en fracciones simples
x2 + 3x− 1
(x5 − x4 − x2 + x)
y calcular
∫
x2 + 3x− 1
(x5 − x4 − x2 + x)
dx
Ejemplo 63.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) ’integrate((x^2+3*x-1)/(x^5-x^4-x^2+x),x);
( %o1)
∫
x2 + 3x− 1
x5 − x4 − x2 + x
dx
Lo primero que haremos será factorizar el denominador
(%i2) Q:factor(x^5-x^4-x^2+x);
( %o2) (x− 1)2 x
(
x2 + x+ 1
)
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 213 Caṕıtulo 5
(%i3) P:x^2+3*x-1;
( %o3) x2 + 3x− 1
Escribimos la descomposición en fracciones simples
(%i4) descomp:A/x+B/(x-1)+C/(x-1)^2+(D*x+E)/(x^2+x+1);
( %o4)
E + xD
x2 + x+ 1
+
C
(x− 1)2
+
B
x− 1
+
A
x
Reagrupamos
(%i5) factor(%);
( %o5) (x3E− 2x2E+xE+x4D− 2x3D+x2D+x3C+x2C+xC+x4B−xB+x4A−x3A−xA+
A)/((x− 1)2 x
(
x2 + x+ 1
)
)
(%i6) ratsimp(%);
( %o6)
(x3 − 2x2 + x) E + (x4 − 2x3 + x2) D + (x3 + x2 + x) C + (x4 − x) B + (x4 − x3 − x+ 1) A
x5 − x4 − x2 + x
(%i7) R:num(%);
( %o7)
(
x3 − 2x2 + x
)
E +
(
x4 − 2x3 + x2
)
D +
(
x3 + x2 + x
)
C +
(
x4 − x
)
B +
(
x4 − x3 − x+ 1
)
A
El numerador de esta fracción ha de ser igual a P . Dando valores a ambos polinomios obtenemos un
sistema
(%i8) [solucion]:solve([ev(R,x=0)=ev(P,x=0),ev(R,x=1)=ev(P,x=1),
ev(R,x=-1)=ev(P,x=-1), ev(R,x=2)=ev(P,x=2), ev(R,x=-2)=ev(P,x=-2)],[A,B,C,D,E]);
( %o8) [[A = −1, B = −1
3
, C = 1,D =
4
3
, E =
2
3
]]
Sustituimos estos valores en la descomposición en fracciones simples
(%i9) ev(descomp,solucion);
( %o9)
4 x
3 +
2
3
x2 + x+ 1
− 1
x
− 1
3 (x− 1)
+
1
(x− 1)2
Son todas inmediatas incluso la primera ya que d(x2 + x+ 1)/dx = 2x+ 1. Integramos
(%i10) integrate(%,x);
( %o10)
2 log (x2 + x+ 1)
3
− log (x)− log (x− 1)
3
− 1
x− 1
Hallar los coeficientes en la descomposición en fracciones simples es pesado. Maxima tiene un comando
(%i11) partfrac(P/Q,x);
( %o11)
4x+ 2
3 (x2 + x+ 1)
− 1
x
− 1
3 (x− 1)
+
1
(x− 1)2
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 214 Caṕıtulo 5
5.4.3. Primitivas de Funciones que contienen cos x y sen x
Sea f(u, v) una función racional de dos variables y nos planteamos calcular
∫
f(cos(x), sen(x)) dx.
En general haremos el cambio de variable t = tan(x2 ) y aśı:
cosx =
cos(2x2 )
sen2(x2 ) + cos
2(x2 )
=
cos2(x2 )− sen
2(x2 )
sen2(x2 ) + cos
2(x2 )
(1)
=
1− tan2(x2 )
tan2(x2 ) + 1
=
1− t2
1 + t2
senx =
sen(2x2 )
sen2(x2 ) + cos
2(x2 )
=
2 sen(x2 ) cos(
x
2 )
sen2(x2 ) + cos
2(x2 )
(2)
=
2 tan(x2 )
tan2(x2 ) + 1
=
2t
1 + t2
Tanto en (1) como en (2) hemos dividido numerador y denominador por cos2(x2 ).
x
2
= arctan t⇒ x = 2 arctan t⇒ dx = 2
1 + t2
dt.
Queda entonces una función racional en la variable t,
∫
f
(
1−t2
1+t2 ,
2t
1+t2
)
2
1+t2 dt.
Nota.
En algunos casos particulares resulta más rápido hacer otro cambio de variable. Veamos algunos:
1. La función f(cosx, senx) = g(senx) cosx, donde g(s) es una función racional. Hacemos
t = senx. Esto ocurre cuando al hacer f(cos x,sen x)cos x aparecen sólo potencias pares de cosx.
2. La función f(cosx, senx) = g(cosx) senx, donde g(s) es una función racional. Hacemos
t = cosx. Esto ocurre cuando al hacer f(cos x,sen x)sen x aparecen sólo potencias pares de senx.
3. La función f(cosx, senx) = g(tanx), donde g(s) es una función racional. Haremos el cambio
tanx = t. Esto ocurre cuando al sustituir senx por cosx tanx quedan sólo potencias pares
de cosx, ya que cos2 x = 11+tan2 x .
Nota.
Merece la pena hacer especial mención del caso
∫
cosn x senm xdx, n,m ∈ N.
a) Si n es impar, haremos el cambio t = senx.
b) Si m es impar, haremos el cambio t = cosx.
c) Si n y m son pares, usaremos cos2 x = 1+cos(2x)2 y sen
2 x = 1−cos(2x)2 para “reducir el grado”
en el integrando.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 215 Caṕıtulo 5
Calcular las siguientes primitivas.
1.
∫
dx
5 + 4 cosx
2.
∫
1 + cos2 x
cosx(1 + sen2 x)
dx 3.
∫
sen2 x cos2 xdx 4.
∫
(1− cosx)3/2 dx
Ejemplo 64.
Solución:
1. Haremos el cambio tan x2 = t. Aśı, cosx =
1−t2
1+t2 , dx =
2
1+t2 dt.∫
1
5 + 4 cosx
dx =
∫
1
5 + 4 1−t
2
1+t2
2
1 + t2
dt =
∫
2
5 + 5t2 + 4− 4t2
dt = 2
∫
1
9 + t2
dt =
2
9
∫
1
1 + ( t3 )
2
dt =
=
2
3
∫ 1
3
1 + ( t3 )
2
dt =
2
3
arctan
(
t
3
)
+ C =
2
3
arctan
(
1
3
tan
x
2
)
+ C
Con Maxima
(%i1) f:1/(5+4*cos(x));
( %o1)
1
4 cos (x) + 5
Hacemos el cambio de variable en la primitiva
(%i2) changevar(’integrate(f,x),y=tan(x/2),y,x);
solve: using arc-trig functions to get a solution.Some solutions will be lost.
( %o2) 2
∫
1
(4 y2 + 4) cos (2 atan (y)) + 5 y2 + 5
dy
Simplificamos a continuación el integrando
(%i3) trigexpand(%);
( %o3) 2
∫
1
(4 y2 + 4)
(
1
y2+1 −
y2
y2+1
)
+ 5 y2 + 5
dy
(%i4) factor(%);
( %o4) 2
∫
1
y2 + 9
dy
Esta es casi inmediata. Hacemos el cambio de variable
(%i5) changevar(%,t=y/3,t,y);
( %o5) 2
∫
1
3 t2 + 3
dt
(%i6) factor(%);
( %o6)
2
∫
1
t2+1dt
3
Ahora si que es inmediata
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 216 Caṕıtulo 5
(%i7) ev(%,integrate);
( %o7)
2 atan (t)
3
Deshacemos los cambios de variable
(%i8) subst(y/3,t,%);
( %o8)
2 atan
(
y
3
)
3
(%i9) subst(tan(x/2),y,%);
( %o9)
2 atan
(
tan( x2 )
3
)
3
2. Haremos el cambio t = senx, dt = cosxdx⇔ dx = 1√
1−t2 dt∫
1 + cos2 x
cosx(1 + sen2 x)
dx =
∫
1 + (1− t2)√
1− t2(1 + t2)
1√
1− t2
dt =
∫
2− t2
1− t4
dt =
∫
2− t2
(1− t)(1 + t)(1 + t2)
dt
(†)
=
Descomponemos a continuación la función en el integrando en fracciones simples
2− t2
(1− t)(1 + t)(1 + t2)
=
A
1− t
+
B
1 + t
+
Ct+D
1 + t2
=
=
A(1 + t)(1 + t2) +B(1− t)(1 + t2) + (Ct+D)(1− t)(1 + t)
(1− t)(1 + t)(1 + t2)
Dando valores a los numeradores e igualando obtenemos:
t = 1, 1 = 4A, A = 14 .
t = −1, 1 = 4B, B = 14 .
t = 0, 2 = 14 +
1
4 +D, D =
3
2 .
t = 2, −2 = 154 −
5
4 + (2C +
3
2 )(−3), C = 0.
Sustituyendo estos valores en la integral:
(†)
=
∫
1
4
1
1− t
dt+
∫
1
4
1
1 + t
dt+
3
2
∫
1
1 + t2
dt =
1
4
log(1 + t)− 1
4
log(1− t) + 3
2
arctan t+ C =
=
1
4
log(1 + senx)− 1
4
log(1− senx)− 3
2
arctan(senx)
Con Maxima
(%i1) g:(1+(cos(x))^2)/(cos(x)*(1+(sin(x))^2));
( %o1)
cos (x)
2
+ 1
cos (x)
(
sin (x)
2
+ 1
)
Hacemos el cambio de variable estudiado
(%i2) changevar(’integrate(g,x),y=sin(x),y,x);
Luis Oncina,Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 217 Caṕıtulo 5
( %o2)
∫
y2 − 2
y4 − 1
dy
Descomponemos en fracciones simples el integrando
(%i3) partfrac(diff(%,y),y);
( %o3)
3
2 (y2 + 1)
+
1
4 (y + 1)
− 1
4 (y − 1)
Estas primitivas son inmediatas
(%i4) integrate(%,y);
( %o4)
log (y + 1)
4
+
3 atan (y)
2
− log (y − 1)
4
Deshacemos ahora el cambio de variable
(%i5) subst(sin(x),y,%);
( %o5)
log (sin (x) + 1)
4
+
3 atan (sin (x))
2
− log (sin (x)− 1)
4
3. ∫
sen2 x cos2 xdx =
∫
1− cos 2x
2
1 + cos 2x
2
dx =
1
4
∫
1− cos2 2xdx = x
4
− 1
4
∫
1 + cos 4x
2
dx =
=
x
4
− x
8
− 1
4
sen 4x
8
+ C =
x
8
− sen 4x
32
+ C
Con Maxima
(%i1) f:sin(x)^2*cos(x)^2;
( %o1) cos (x)
2
sin (x)
2
Pasamos al ángulo doble
(%i2) trigreduce(f);
( %o2)
1− cos (4x)
8
Maxima ha hecho la reducción de un paso. Esta primitiva es inmediata
(%i3) integrate(%,x);
( %o3)
x− sin(4 x)4
8
(%i4) ratsimp(%);
( %o4) − sin (4x)− 4x
32
4. Esta primitiva no se ajusta a los métodos vistos antes ya que no es una función racional en el coseno.
Para calcularla usaremos la fórmula del ángulo mitad
sen2(x/2) =
1− cosx
2
⇔ 1− cosx = 2 sen2(x/2)
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 218 Caṕıtulo 5
∫
(1− cosx)3/2 dx =
∫
(2 sen2(x/2))3/2 dx
(∗)
= 23/2
∫
sen3(x/2) dx = 23/2
∫
(1− cos2(x/2)) sen(x/2) dx =
(∗∗)
= − 23/22
∫
1− t2 dt = −25/2
(
t− t
3
3
)
+ C = −25/2
(
cos(x/2)− cos
3(x/2)
3
)
+ C
En (∗∗) hemos hecho el cambio de variable cos(x/2) = t.
El paso (∗) no es correcto ya que (sen2(x/2))3/2 6= sen3(x/2) si no sen2(x/2)| sen(x/2)|. Estaŕıa bien si
asumimos que la primitiva la estamos calculando en el intervalo [0, 2π] ya que entonces sen(x/2) ≥ 0. Esta
licencia que nos hemos tomado le complica la vida a Maxima como veremos a continuación.
Maxima tiene muchos problemas para resolver esta primitiva (de manera satisfactoria para
nosotros) pero lo consigue.
(%i1) f:(1-cos(x))^(3/2);
( %o1) (1− cos (x))
3
2
Lo hacemos directamente
(%i2) integrate(f,x);
( %o2)− (
(√
2 cos (3x)− 9
√
2 cos (2x)− 9
√
2 cos (x) +
√
2
)
sin
(
3 atan2 (sin (x) , cos (x)) + 3π
2
)
+
(
−
√
2 sin (3x) + 9
√
2 sin (2x) + 9
√
2 sin (x)
)
cos
(
3 atan2 (sin (x) , cos (x)) + 3π
2
)
)/ 6
Utiliza la función atan2. Buscad en la ayuda de Maxima quién es esta función. Como hemos hecho al resolver
la primitiva, hacemos el siguiente cambio en la función
(%i3) cambio:subst(2*(sin(x/2))^2,1-cos(x),f);
( %o3) 2
3
2 sin
(x
2
)2 ∣∣∣sin(x
2
)∣∣∣
(%i4) integrate(%,x);
( %o4)
∫ cos(2 x)+2 x sin(x)−1
|ei x−1| dx+ (2x− 2 sin (x))
∣∣ei x − 1∣∣
2
3
2
Esta solución no es muy clara. ¡Incluso aparece la exponencial compleja!
(%i5) assume(sin(x/2)>0);
( %o5) [sin
(x
2
)
> 0]
(%i6) cambio;
( %o6) 2
3
2 sin
(x
2
)2 ∣∣∣sin(x
2
)∣∣∣
(%i7) integrate(cambio,x);
( %o7)
∫ cos(2 x)+2 x sin(x)−1
|ei x−1| dx+ (2x− 2 sin (x))
∣∣ei x − 1∣∣
2
3
2
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 219 Caṕıtulo 5
No hemos conseguido nada. El siguiente paquete nos puede ayudar
(%i8) load(abs_integrate);
( %o8) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0/share/maxima/5.30.0/share/contrib/integration/abs integrate.mac
(%i9) integrate(cambio,x);
( %o9) 2
11
2
16 −
2
(
3 sin( x2 )
2
(cos( x2 )+1)
2 + 1
)
12 sin( x2 )
6
(cos( x2 )+1)
6 +
36 sin( x2 )
4
(cos( x2 )+1)
4 +
36 sin( x2 )
2
(cos( x2 )+1)
2 + 12
 signum
(
1
cos
(
x
2
)
+ 1
)
Como solución no es más clara que la anterior. Notad la función signum que aparece. Simplificamos la función
cambio.
(%i10) ratsimp(cambio);
( %o10) 2
3
2 sin
(x
2
)3
(%i11) integrate(%,x);
( %o11) 2
5
2
(
cos
(
x
2
)3
3
− cos
(x
2
))
Fin de la solución
5.4.4. Primitivas de Funciones de la forma f(ex)
Si f es una fracción racional, las primitivas de la forma
∫
f(ex) dx se calculan haciendo el cambio t = ex,
y entonces
∫
f(ex) dx =
∫
f(t)
dt
t
=
∫
f1(t) dt, donde f1 es también una fracción racional y se reduce a los
casos estudiados anteriormente.
Hay que mencionar que toda fracción racional de cosh(x) y senh(x) se transforma en una de las
anteriores sin más que expresar dichas funciones hiperbólicas en función de la exponencial:
cosh(x) =
ex + e−x
2
y senh(x) =
ex − e−x
2
Recordad que las inversas se pueden escribir también como:
arg cosh(x) = ln(x+
√
x2 − 1), arg senh(x) = ln(x+
√
x2 + 1).
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 220 Caṕıtulo 5
Calculad
∫
1− senhx
1 + coshx
dx
Ejemplo 65.
Solución:
∫
1− senhx
1 + coshx
dx =
∫
1− e
x−e−x
2
1 + e
x+e−x
2
dx =
∫
2− ex + e−x
2 + ex + e−x
dx =
∫
2ex − e2x + 1
2ex + e2x + 1
dx =
∫
2t− t2 + 1
2t+ t2 + 1
1
t
dt =
=
∫
−t2 + 2t+ 1
t(1 + t)2
dt =
∫
1
t
− 2
t+ 1
+
2
(t+ 1)2
dt = log t− 2 log(1 + t)− 2
(1 + t)
+ C =
=x− 2 log(1 + ex)− 2
(1 + ex)
+ C
Ahora la hacemos de otra forma.
∫
1− senhx
1 + coshx
dx =
∫
1
1 + coshx
dx−
∫
senhx
1 + coshx
dx =
∫
1
1 + e
x+e−x
2
dx− log(1 + coshx) =
=
∫
2
2 + ex + 1ex
dx− log(1 + coshx) =
∫
2ex
2ex + e2x + 1
dx− log(1 + coshx) =
=2
∫
1
t2 + 2t+ 1
dt− log(1 + coshx) = − 2
1 + t
− log(1 + coshx) + C =
=− 2
1 + ex
− log(1 + coshx) + C
Con Maxima la podemos hacer directamente pero vamos a hacer el cambio de variable
que hemos realizado anteriormente
(%i1) g:(1-(exp(x)-exp(-x))/2)/(1+(exp(x)+exp(-x))/2);
( %o1)
1− e
x−e−x
2
ex+e−x
2 + 1
Hacemos el cambio de variable y = exp(x) en la primitiva
(%i2) changevar(’integrate(g,x),y=exp(x),y,x);
( %o2) −
∫
y2 − 2 y − 1
y3 + 2 y2 + y
dy
Descomponemos ahora en fracciones simples el integrando
(%i3) partfrac(diff(%,y),y);
( %o3) − 2
y + 1
+
2
(y + 1)
2 +
1
y
Estas primitivas son inmediatas
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 221 Caṕıtulo 5
(%i4) integrate(%,y);
( %o4) − 2 log (y + 1) + log (y)− 2
y + 1
Deshacemos el cambio de variable
(%i5) subst(exp(x),y,%);
( %o5) − 2 log (ex + 1)− 2
ex + 1
+ x
Fin de la solución
5.4.5. Primitivas de funciones que contienen
√
ax2 + 2bx+ c
Nos proponemos calcular primitivas de expresiones que continenen
√
ax2 + 2bx+ c, donde a, b, c son
números reales con a 6= 0 en aquellos intervalos de R donde ax2 + 2bx+ c ≥ 0. Descartamos, pues, el caso
b2 − ac < 0.
Poniendo d = (ac−b
2)
a se tiene la identidad ax
2 + 2bx + c = a(x + ba )
2 + d lo cual nos sugiere hacer el
cambio de variable x+ ba = t. Nos quedará ahora una expresión del tipo
√
at2 + d. Dependiendo de los signos
de a y d tenemos tres tipos:
1. a > 0, d > 0. Podemos hacer dos cambios:
Hacemos at2 = d senh2 u (o t =
√
d
a senhu) y se transforma en
√
d(1 + senh2 u) =
√
d coshu, con dt =
√
d
a coshudu.
Hacemos at2 = d tan2 u (o t =
√
d
a tanu) y se transforma en
√
d(1 + tan2 u) =
√
d
√
sec2 u =
√
d secu, con dt =
√
d
a sec
2 udu.
2. a > 0, d < 0. Ponemos e = −d > 0 y queda
√
at2 − e.
Hacemos at2 = e cosh2 u (o t =
√
e
a coshu) y se transforma en
√
e(cosh2 u− 1) =
√
e senhu, con dt =
√
e
a senhu.
Hacemos at2 = e sec2 u (o t =
√
e
a secu) y se transforma en
√
e(sec2 u− 1) =
√
e
√
tan2 u =
√
e tanu, con dt =
√
e
a secu tanudu
3. a < 0, d > 0. Ponemos e = −a > 0 y queda
√
d− et2. Hacemos et2 = d sen2 u (o t =√
d
e senu) y se transforma en
√
d(1− sen2 u) =
√
d cosu, con dt =
√
d
e cosu.
Normalmente, resulta más complicado usar los cambios trigonométricos circulares en los apartados
1 y 2.
Nota (Tipo
√
at2 + d).
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 222 Caṕıtulo 5
Calculad las siguientes primitivas:
1.
∫ √
x2 + 2xdx 2.
∫
(−x2 + x+ 1)− 12 dx 3.
∫
1
x2
√
2x2 + 3
dx
Ejemplo 66.
Solución:
1. La haremos de dos formas.
X
∫ √
x2 + 2xdx =
∫ √
(x+ 1)2 − 1 dx (†)= (Haciendo x+ 1 = cosh t, dx = senh t dt)
(†)
=
∫ √
cosh2 t− 1 senh t dt =
∫
senh2 t dt =
∫
cosh(2t)− 1
2
dt = −1
2
t+
1
4
senh(2t) + C =
=− 1
2
arg cosh(x+ 1) +
1
2
senh t cosh t+ C = −1
2
log(x+ 1 +
√
x2 + 2x) +
1
2
√
cosh2 t− 1(x+ 1) + C =
=− 1
2
log(x+ 1 +
√
x2 + 2x) +
1
2
(x+ 1)
√
x2 + 2x+ C
Hacemos el cambio con Maxima
(%i1) g:sqrt((x+1)^2-1);( %o1)
√
(x+ 1)
2 − 1
Hacemos el cambio de variable aprendido para eliminar la ráız cuadrada
(%i2) subst(cosh(t),x+1,g);
( %o2)
√
cosh (t)
2 − 1
(%i3) a:trigsimp(%);
( %o3) |sinh (t)|
Tenemos que hacer desaparecer el valor absoluto
(%i4) assume(sinh(t)>0);
( %o4) [sinh (t) > 0]
(%i5) a*diff(cosh(t),t);
( %o5) sinh (t) |sinh (t)|
Para hallar una primitiva del senh2(t) hemos de pasar al ángulo doble
(%i6) trigreduce(%);
( %o6)
cosh (2 t)− 1
2
Esta primitiva es inmediata
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 223 Caṕıtulo 5
(%i7) integrate(%,t);
( %o7)
sinh(2 t)
2 − t
2
Deshacemos el cambio de variable
(%i8) subst(acosh(x+1),t,%);
( %o8)
sinh(2 acosh(x+1))
2 − acosh (x+ 1)
2
Le pedimos que desarrolle el senh del ángulo doble
(%i9) trigexpand(%);
( %o9)
√
x (x+ 1)
√
x+ 2− acosh (x+ 1)
2
Pedimos ahora a Maxima que escriba la trigonométrica hiperbólica inversa en términos de logaritmos
(%i10) logarc(%);
( %o10)
√
x (x+ 1)
√
x+ 2− log
(√
x
√
x+ 2 + x+ 1
)
2
X Haremos ahora el cambio x+ 1 = secu, dx = secu tanudu.∫ √
x2 + 2xdx =
∫ √
(x+ 1)2 − 1 dx =
∫
tanu secu tanudu =
∫
sen2 u
cos3 u
du
(†)
=
Haciendo el cambio v = senu, dv = cosudu
(†)
=
∫
v2
(1− v2)2
dv =
∫
v2
(1− v)2(1 + v)2
dv
(1)
=
∫ (
− 1
4(1 + v)
+
1
4(1 + v)2
− 1
4(1− v)
+
1
4(1− v)2
)
dv =
=− 1
4
log(1 + v) +
1
4
log(1− v)− 1
4(v + 1)
+
1
4(1− v)
=
1
4
log
(
1− v
1 + v
)
+
1
4
2v
1− v2
=
=
1
4
log
(
1− senu
1 + senu
)
+
1
4
2 senu
1− sen2 u
=
1
4
log
(
1− sen2 u
(1 + senu)2
)
+
1
2
senu
cos2 u
=
=
1
4
log
(
cos2 u
(1 + senu)2
)
+
1
2
senu
cos2 u
=
1
2
log
(
cosu
1 + senu
)
+
1
2
senu
cos2 u
=
(2)
=
1
2
log
(
1
x+1
1 +
√
x2+2x
1+x
)
+
1
2
√
x2+2x
1+x
1
(1+x)2
=
1
2
log
(
1
x+ 1 +
√
x2 + 2x
)
+
1
2
(x+ 1)
√
x2 + 2x =
=− 1
2
log
(
x+ 1 +
√
x2 + 2x
)
+
1
2
(x+ 1)
√
x2 + 2x+ C
En (1) hemos hecho la descomposición en fracciones simples.
En (2) hemos deshecho el cambio de variable x+ 1 = secu haciendo cosu = 1x+1 y por tanto
senu =
√
1− cos2 u =
√
1− 1
(x+ 1)2
=
√
(x+ 1)2 − 1
x+ 1
=
√
x2 + 2x
x+ 1
2. −x2 + x+ 1 = −(x2 − x− 1) = −((x− 12 )
2 − 14 − 1) = −((x−
1
2 )
2 − 54 ) =
5
4 − (x−
1
2 )
2. Hacemos ahora
el cambio
x− 1
2
=
√
5
4
sen t
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 224 Caṕıtulo 5
∫
(−x2 + x+ 1)− 12 dx =
∫
1√
5
4 − (x−
1
2 )
2
dx =
∫
1√
5
4 −
5
4 sen
2 t
√
5
4
cos t dt =
∫
1
cos t
cos t dt = t+ C =
= arc sen
x− 12√
5
4
+ C = arc sen
2x− 1√
5
+ C
Cambio de variable a mano con Maxima
(%i1) f:1/sqrt(5/4-(x-1/2)^2);
( %o1)
1√
5
4 −
(
x− 12
)2
A veces tenemos problemas con el cambio de variable directo
(%i2) changevar(’integrate(f,x),x=1/2+sqrt(5/4)*sin(t),t,x);
( %o2) − i
∫
cos (t)√
sin (t)− 1
√
sin (t) + 1
dt
Aplicamos entonces la fórmula del cambio de variable a mano.
(%i3) subst(1/2+sqrt(5/4)*sin(t),x,f);
( %o3)
1√
5
4 −
5 sin(t)2
4
Las funciones trigonométricas es aconsejable simplificarlas lo máximo posible
(%i4) factor(%);
( %o4)
2
√
5
√
1− sin (t)2
(%i5) fsimple:trigsimp(%);
( %o5)
2√
5 |cos (t)|
Quitemos ahora el valor absoluto
(%i6) assume(cos(t)>0);
( %o6) [cos (t) > 0]
(%i7) fsimple*diff(1/2+sqrt(5/4)*sin(t),t);
( %o7)
cos (t)
|cos (t)|
Esto vale 1 y su primitiva
(%i8) integrate(%,t);
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 225 Caṕıtulo 5
( %o8) t
(%i9) subst(asin((x-1/2)/sqrt(5/4)),t,%);
( %o9) asin
(
2
(
x− 12
)
√
5
)
(%i10) factor(%);
( %o10) asin
(
2x− 1√
5
)
3. La haremos de dos formas: usando las trigonométricas hiperbólicas y las circulares.
X Hacemos el cambio 2x2 = 3 senh2 t, y aśı:
∫
1
x2
√
2x2 + 3
dx =
∫ √ 3
2 cosh t
3
2 senh
2 t
√
3 cosh t
dt =
√
2
3
∫
1
senh2 t
dt = −
√
2
3
cosh t
senh t
+ C =
=−
√
2
3
1√
3
√
2x2 + 3√
2
3x
+ C = −
√
2x2 + 3
3x
+ C
Lo hacemos con Maxima
(%i1) f:1/(x^2*sqrt(2*x^2+3));
( %o1)
1
x2
√
2x2 + 3
(%i2) changevar(’integrate(f,x),x=sqrt(3/2)*sinh(t),t,x);
( %o2)
√
2
∫ cosh(t)
sinh(t)2
√
sinh(t)2+1
dt
3
(%i3) trigsimp(%);
( %o3)
√
2
∫
1
cosh(t)2−1dt
3
(%i4) subst(sinh(t)^2,cosh(t)^2-1,%);
( %o4)
√
2
∫
1
sinh(t)2
dt
3
Esta primitiva es inmediata
(%i5) u:-sqrt(2)/3*coth(t);
( %o5) −
√
2 coth (t)
3
Maxima maneja mejor la tangente hiperbólica
(%i6) v:-(sqrt(2)/3)/tanh(t);
( %o6) −
√
2
3 tanh (t)
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 226 Caṕıtulo 5
Deshacemos el cambio de variable
(%i7) subst(asinh(sqrt(2/3)*x),t,v);
( %o7) −
√
2 x2
3 + 1√
3x
(%i8) factor(%);
( %o8) −
√
2x2 + 3
3x
Que coincide con el valor obtenido a mano. Podemos también sustituir en la integral el seno hiperbólico en
función de la exponencial
(%i9) subst((exp(t)-exp(-t))/2,sinh(t),%o4);
( %o9)
2
5
2
∫
1
(et−e−t)2 dt
3
(%i10) expand(%);
( %o10)
2
5
2
∫
1
e2 t+e−2 t−2dt
3
(%i11) changevar(%,y=%e^t,y,t);
( %o11)
2
5
2
∫
y
y4−2 y2+1dy
3
Descomponemos el integrando en fracciones simples
(%i12) partfrac(diff(%,y),y);
( %o12)
√
2
3 (y − 1)2
−
√
2
3 (y + 1)
2
Esta es inmediata
(%i13) integrate(%,y);
( %o13)
√
2
3 (y + 1)
−
√
2
3 (y − 1)
Deshacemos el cambio de variable
(%i14) subst(%e^t,y,%);
( %o14)
√
2
3 (et + 1)
−
√
2
3 (et − 1)
(%i15) factor(%);
( %o15) − 2
3
2
3 (et − 1) (et + 1)
(%i16) subst(asinh(sqrt(2/3)*x),t,%);
Luis Oncina, Cálculo I
5.4 Cálculo de Primitivas 227 Caṕıtulo 5
( %o16) − 2
3
2
3
(
e
asinh
(√
2 x√
3
)
− 1
) (
e
asinh
(√
2 x√
3
)
+ 1
)
El siguiente comando hace que para las inversas de las trigonométricas hiperbólicas se usen logaritmos
(%i17) logarc(%);
( %o17) − 2
3
2
3
(√
2 x2
3 + 1 +
√
2 x√
3
− 1
) (√
2 x2
3 + 1 +
√
2 x√
3
+ 1
)
Simplificamos la expresión
(%i18) factor(%);
( %o18) − 2
3
2(√
2x2 + 3 +
√
2x−
√
3
) (√
2x2 + 3 +
√
2x+
√
3
)
Obteniendo esta primitiva.
(%i19) radcan(%);
( %o19) −
√
2√
2x
√
2x2 + 3 + 2x2
(%i20) i:integrate(f,x);
( %o20) −
√
2x2 + 3
3x
¿Pero qué relación hay entre estas dos funciones? Han de ser iguales salvo una constante
(%i21) %o8-%o19;
( %o21)
√
2√
2x
√
2x2 + 3 + 2x2
−
√
2x2 + 3
3x
(%i22) radcan(%);
( %o22) − 2
√
2x2 + 3 + 2
3
2 x
3
√
2
√
2x2 + 3 + 6x
(%i23) factor(%);
( %o23) −
2
(√
2x2 + 3 +
√
2x
)
3
(√
2
√
2x2 + 3 + 2x
)
El siguiente comando nos ayuda a simplificar los radicales
(%i24) algebraic:true;
( %o24) true
(%i25) radcan(%o23);
( %o25) −
√
2
3
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 228 Caṕıtulo 5
X Hacemos ahora el cambio 2x2 = 3 tan2 u, es decir, x =
√
3√
2
tanu⇒ dx =
√
3√
2
sec2 udu
∫
1
x2
√
2x2 + 3
dx =
∫
1
3
2 tan
2 u
√
3
√
tan2 u+ 1
√
3√
2
sec2 udu =
=
2√
23
∫
sec2 u
tan2 u secu
du =
√
2
3
∫
cosu
sen2 u
du
(X)
=
Haciendo ahora el cambio senu = t, dt = cosudu resulta
(X)
=
√
2
3
∫
t−2 dt = −
√
2
3
1
t
= −
√
2
3
1
senu
(XX)
= −
√
2
3
1
√
2x√
3+2x2
= −
√
2x2 + 3
3x
En (XX) tenemos que deshacer el cambio. Dado que
1
sen2 u
= cosec2 u = 1 + cot2 u = 1 +
1
tan2 u
=
1 + tan2 u
tan2 u
⇒ senu = tanu√
1 + tan2 u
Además, al ser 23x
2 = tan2 u tenemos
senu =
√
2
3x√
1 + 23x
2
=
√
2√
3
x
√
3+2x2√
3
=
√
2x√
3 + 2x2
Fin de la solución
Calculad las siguientes primitivas:
A)
∫
x2 arctanxdx B)
∫
senxex dx C)
∫
log x
x2
dx
D)
∫
x2 cos 3xdx E)
∫
2x+ 2
(x− 1)(x2 + 1)2
dx F )
∫
(x+ 2)
(x+ 3)(x+ 4)3
dx
G)
∫
x cos(4x2 − 1) dx H)
∫
x arctanx√
1 + x2
dx I)
∫
xearc sen x√
1− x2
dx
J)
∫
ex(1 + ex)
1
2 dx K)
∫
e3x
e2x − ex + 1
dx L)
∫
x5(1 + x3)
1
3 dx
M)
∫
sen4 xdx N)
∫
sen4 x cos3 xdx Ñ)
∫
senh3 x cosh2 xdx
O)
∫
cosx
1− senx
dx P )
∫
1
senx+ cosx
dx Q)
∫ √
9x2 − 4 dx
Ejercicios 15.
5.5. Aplicaciones de la Integral
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 229 Caṕıtulo 5
5.5.1. Cálculo de áreas de figuras planas
Sean f, g : [a, b] → R continuas. Supongamos que f(a) = g(a) y f(b) = g(b) y f(x) ≥ g(x) para
todo x ∈ [a, b]. Entonces el área encerrada por las gráficas de f y g sedefine como:∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx.
Definición 67.
Hallar el área del recinto limitado por las curvas y = x3 − 12x e y = x2.
Ejemplo 67.
Solución:
Las gráficas de las funciones y el recinto cuya área hay que calcular son:
Para hallar los puntos de corte de las curvas resolvemos la ecuación
x3 − 12x = x2 ⇒ x3 − x2 − 12x = 0⇒ x(x2 − x− 12) = 0⇒ x(x− 4)(x+ 3) = 0
Aśı el área pedida es
A =
∫ 0
−3
[(x3 − 12x)− x2] dx+
∫ 4
0
[x2 − (x3 − 12x)] dx =
[
x4
4
− x
3
3
− 6x2
]0
−3
+
[
−x
4
4
+
x3
3
+ 6x2
]4
0
=
937
12
Comprobamos con Maxima qué función está por encima en cada trozo y calculamos el
área
(%i1) f:x^3-12*x;
g:x^2;
( %o1) x3 − 12x
( %o2) x2
(%i3) solve(f=g,x);
( %o3) [x = −3, x = 4, x = 0]
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 230 Caṕıtulo 5
(%i4) assume(-3<x and x<0);
( %o4) [x > −3, x < 0]
(%i5) is( f<g );
( %o5) false
(%i6) is (f>g);
( %o6) true
(%i7) forget(-3<x and x<0);
( %o7) [x > −3, x < 0]
(%i8) assume (x>0 and x<4);
( %o8) [x > 0, x < 4]
(%i9) is (f<g);
( %o9) true
(%i10) integrate(f-g,x,-3,0)+integrate(g-f,x,0,4);
( %o10)
937
12
Maxima dispone de un paquete que puede ayudarnos a integrar el valor absoluto.
(%i11) load(abs_integrate);
( %o11) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/contrib/integration/abs integrate.mac
Podemos pues intentar evaluar la integral directamente
(%i12) integrate(abs(f-g),x,-3,4) ;
( %o12)
937
12
Fin de la solución
5.5.2. Longitud de un arco de curva
Sea f : [a, b] → R una función de clase C1([a, b]). La longitud de la curva C = {(x, y) : x ∈
[a, b], y = f(x)} viene dada por L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx
Definición 68.
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 231 Caṕıtulo 5
Interpretación geométrica:
Sea f : [a, b]→ R de clase C1 y π = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) una partición. Sea Pi = (xi, f(xi)). Una
aproximación a la longitud de la curva nos la da longitud de la poligonal inscrita en la misma:
(x1,f (x1))
(x2,f (x2))
(x3,f (x3))
(x4,f (x4)) (x5,f (x5))
(a,f (a))
(b,f (b))
n∑
i=1
d(Pi−1, Pi) =
n∑
i=1
√
(f(xi)− f(xi−1))2 + (xi − xi−1)2 =
n∑
i=1
√(
f(xi)− f(xi−1)
xi − xi−1
)2
+ 1(xi − xi−1) =
=
n∑
i=1
√
1 + (f ′(ξi))
2
(xi − xi−1) con ξi ∈ (xi−1, xi)
que converge a
∫ b
a
√
1 + (f ′(x))
2
dx cuando ‖π‖ → 0.
Fin
Hallad la longitud de la circunferencia de radio R.
Ejemplo 68.
Solución:
La longitud total L será el cuádruple de la del primer cuadrante, donde la ecuación es y =
√
R2 − x2.
Simplifiquemos primero la ráız del integrando:
√
1 + [y′]2 =
√
1 +
(
−2x
2
√
R2 − x2
)2
=
√
1 +
x2
R2 − x2
=
√
R2
R2 − x2
=
R√
R2 − x2
Por tanto
L =4
∫ R
0
√
1 + [y′]2 dx = 4R
∫ R
0
dx√
R2 − x2
(†)
= 4R
∫ π
2
0
R cos t dt√
R2 −R2 sen2 t
= 4R
∫ π
2
0
R cos t dt
R
√
cos2 t
=
=4R
∫ π
2
0
dt = 4R
π
2
= 2πR
En (†) hemos hecho el cmabio x = R sen t.
Lo hacemos con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 232 Caṕıtulo 5
(%i1) f(x):=sqrt(R^2-x^2);
( %o1) f (x) :=
√
R2 − x2
(%i2) 4*’integrate(sqrt(1+(diff(f(x),x))^2),x,0,R);
( %o2) 4
∫ R
0
√
x2
R2 − x2
+ 1dx
(%i3) L:ratsimp(%);
( %o3) 4 |R|
∫ R
0
1√
R2 − x2
dx
(%i4) assume(R>0);
( %o4) [R > 0]
(%i5) changevar(L,x=R*sin(theta),theta,x);
solve: using arc-trig functions to get a solution.Some solutions will be lost.
( %o5) 4
∫ π
2
0
cos (θ)√
1− sin (θ)
√
sin (θ) + 1
dθ |R|
(%i6) trigsimp(%);
( %o6) 4
∫ π
2
0
cos (θ)√
1− sin (θ)
√
sin (θ) + 1
dθ R
(%i7) ev(%,integrate);
( %o7) 2πR
Fin de la solución
5.5.3. Sólidos de revolución
Llamamos sólido de revolución al cuerpo que se obtiene al girar una función f : [a, b] → R
alrededor del eje OX.
El volumen de dicho cuerpo es V = π
∫ b
a
[f(x)]2 dx
El área de dicho cuerpo vale A = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
Definición 69 (Alrededor del eje OX).
Interpretación geométrica:
Sea f : [a, b]→ R continua y positiva. El sólido de revolución generado por f es el cuerpo de R3 que resulta
al girar la gráfica de la curva y = f(x), x ∈ [a, b], alrededor de la recta OX.
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 233 Caṕıtulo 5
a b
f
El volúmen de dicho sólido lo podemos calcular de la siguiente forma: tomamos una partición arbitraria del
intervalo [a, b], π = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) y aproximamos el volumen del cuerpo mediante “secciones
ciĺındricas” del mismo. Para hacerlo consideramos un subintervalo de la partición [xi−1, xi] y trazamos un
rectángulo de altura f(xi).
x xii-1
Al girar dicho rectángulo, generamos un cilindro alrededor del sólido cuyo volumen aproxima a la parte
correspondiente del sólido.
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 234 Caṕıtulo 5
El volumen de dicho cilindro, cuyo radio es precisamente f(xi) y la altura xi − xi−1, viene dado por
π(f(xi)
2)(xi − xi−1)
Sumando ahora todas las secciones ciĺındricas generadas por la partición obtenemos una aproximación del
volumen del sólido:
V (f, π) =
n∑
i=1
π(f(xi))
2(xi − xi−1)
refinando la partición (o haciendo ‖π‖ → 0) esta expresión converge al volumen pedido y queda
π
∫ b
a
(f(x))
2
dx
Fin
Sea f : [a, b] → R continua. Nos planteamos calcular el volumen del sólido que resulta al girar
alrededor del eje OY la superfice encerrada por las rectas x = a, x = b y la curva y = f(x). El
volumen es 2π
∫ b
a
xf(x)dx.
Definición 70 (Alrededor del eje OY ).
Interpretación geométrica:
Vamos a girar la curva y = f(x)
a b
f
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 235 Caṕıtulo 5
El sólido al que vamos a calcular el volumen es el encerrado por las superficies roja (la que resulta al gira la
gráfica de f), la azul (la que resulta al gira la recta x = a con y ∈ [0, f(a)]) y la verde (girar la recta x = b
con y ∈ [0, f(b)]).
Consideremos una partición de [a, b], π = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) una partición de [a, b]. En el
subintervalo [xi−1, xi] tomamos el punto medio
xi−1+xi
2 , evaluamos la función en dicho punto y dibujamos
un rectángulo de altura f(xi−1+xi2 ).
Al girar dicho cilindro alrededor del eje OY obtenemos el sólido
cuyo volumen es
πx2i f(
xi−1 + xi
2
)− πx2i−1f(
xi−1 + xi
2
) = π(x2i − x2i−1)f(
xi−1 + xi
2
)
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 236 Caṕıtulo 5
Haciendo lo mismo en cada subintervalo de la partición y sumando aproximamos el volumen del sólido de
revolución mediante
n∑
i=1
π(x2i − x2i−1)f
(
xi + xi−1
2
)
= 2π
n∑
i=1
xi + xi−1
2
f
(
xi + xi−1
2
)
(xi − xi−1)→ 2π
∫ b
a
xf(x)dx
Fin
Hallar el volumen y el área de la esfera de radio R.
Ejemplo 69.
Solución:
La esfera de radio R se genera al hacer girar la circunferencia de radio R, es decir, al hacer girar y =
√
R2 − x2
entre [−R,R]. Aśı el volumen es
V = π
∫ R
−R
(√
R2 − x2
)2
dx = π
∫ R
−R
(R2 − x2) dx = π
[
R2x− x
3
3
]R
−R
=
4
3
πR3
Para hallar el área aprovechamos los cálculos del ejercicio anterior, y vale
A = 2π
∫ R
−R
√
R2 − x2 R√
R2 − x2
dx = 2π
∫ R
−R
R dx = 2πR [x]
R
−R = 4 πR
2
Fin de la solución
5.5.4. Volumen de un cuerpo por secciones
Supongamos que tenemos un cuerpo y que, para cada c ∈ [a, b], el corte de ese cuerpo con el plano
x = c tiene una superficie S(c). Si suponemos además que la aplicación x 7→ S(x) es continua en
[a, b], entonces el volumen del cuerpo entre a y b vale
V =
∫ b
a
S(x) dx.
Definición 71.
Interpretación geométrica:
Dada una partición del intervalo [a, b], π = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b), tomamos ci ∈ [xi−1, xi] y
trazamos el plano x = ci. Suponemos conocida el área de la sección (azul) de dicho plano con el sólido,
S(ci).
Luis Oncina, Cálculo I
5.5 Aplicaciones de la Integral 237 Caṕıtulo 5
Z
Y
X
En el subintervalo [xi−1, xi] aproximamos el volumen del sólido mediante el cilindro de base S(ci) y altura
xi − xi−1.
Podemos aśı aproximar el volumen el volumen del sólido mediante
n∑
i=1
S(ci)(xi − xi−1)→
∫ b
a
S(x)dx cuando ‖π‖ →0
Fin
Calcular el volumen de una pirámide de altura h y con base cuadrada de área B.
Ejemplo 70.
Solución:
Situemos el vértice en el origen y el centro de la base en el eje horizontal (en el punto (h, 0)). El corte con el
plano x = c es un cuadrado cuyo área aumenta proporcionalmente al cuadrado de c, es decir, S(c) = kc2 para
cierto k. Podemos determinar el valor de k porque sabemos que B = S(h) = kh2, y por tanto k = B/h2.
Aśı S(c) = Bc2/h2 y el volumen vale
V =
∫ h
0
Bx2
h2
dx =
B
h2
[
x3
3
]h
0
=
1
3
Bh
Obsérvese que no hemos usado la forma de la base; podŕıa haber sido cualquier otro poĺıgono regular o un
ćırculo, y en este caso la pirámide se convertiŕıa en un cono.
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 238 Caṕıtulo 5
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x3 − x y su tangente en el punto de
abscisa x = −1.
2. Determinar el área superficial de un cono de altura h y de base de radio R.
3. Calcular el volumen del sólido que se obtiene cuando gira alrededor del eje horizontal el
ćırculo de ecuación (x− 5)2 + (y − 5)2 ≤ 4.
4. La base de un sólido es el ćırculo de centro (0, 0) y radio 1 en el plano XOY. Sus secciones
por planos perpendiculares al eje OX son cuadrados. Calcular el volumen del sólido.
Ejercicios 16.
5.6. Integrales impropias
Dos ejemplos concretos
Se trata de extender el concepto de integral a funciones acotadas en intervalos no acotados y a funciones
no acotadas en intervalos acotados.
Como ejemplo del primer caso podemos considerar la función f(x) = 1x2 en el intervalo I = [1,∞),
y darle sentido a la expresión
∫ ∞
1
1
x2
dx.
Ejemplo 71.
Solución:
Dado u ∈ [1,∞) cualquiera, podemos calcular∫ u
1
1
x2
dx =
[
− 1
x
]u
1
=
(
1− 1
u
)
y podŕıamos definir ∫ ∞
1
1
x2
dx := ĺım
u→∞
∫ u
1
1
x2
dx = ĺım
u→∞
(
1− 1
u
)
= 1
Fin de la solución
En el segundo caso considerar la función f(x) = 1√
x
en I = (0, 1] y ver cómo definir
∫ 1
0
1√
x
dx.
Ejemplo 72.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 239 Caṕıtulo 5
Solución:
Tomamos ahora u ∈ (0, 1] y calculamos ∫ 1
u
1√
x
dx =
1
1
2
(
1−
√
u
)
igualmente definimos ∫ 1
0
1√
x
dx := ĺım
u→0+
∫ 1
u
1√
x
= ĺım
u→0+
1
1
2
(
1−
√
u
)
= 2
Fin de la solución
Diremos que una función f : [a, b)→ R, (b ≤ ∞), es localmente integrable si para todo u ∈ [a, b),
f|[a,u] es integrable, es decir, existe
∫ u
a
f(x) dx.
Si f es localmente integrable y existe ĺımu→b−
∫ u
a
f(x) dx, diremos que la integral impropia∫ b
a
f(x) dx es convergente y que su valor es
∫ b
a
f(x) dx := ĺım
u→b−
∫ u
a
f(x) dx.
(Análogamente definimos para f : (a, b]→ R la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx).
Si el ĺımite anterior es +∞ o −∞, diremos que la integral (impropia) diverge hacia +∞ o −∞
respectivamente. Si no existe dicho ĺımite diremos que no existe la integral en sentido impropio.
Definición 72.
Veamos dos ejemplos: si α ∈ R, 1.
∫ ∞
1
1
xα
dx, 2.
∫ 1
0
1
xα
dx
Ejemplo 73.
Solución:
1. Como la función 1xα es continua en [1,∞), es localmente integrable en [1,∞). Distingamos dos casos:
dado u ∈ [1,∞).
Si α 6= 1, ∫ u
1
1
xα
dx =
1
1− α
(
1
uα−1
− 1
)
Si α = 1, ∫ u
1
1
x
dx = log u
Luego, si α > 1 ∫ ∞
1
1
xα
dx := ĺım
u→∞
1
1− α
(
1
uα−1
− 1
)
=
1
α− 1
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 240 Caṕıtulo 5
Si α < 1 ∫ ∞
1
1
xα
dx := ĺım
u→∞
1
1− α
(
1
uα−1
− 1
)
=∞
Si α = 1 ∫ ∞
1
1
xα
dx := ĺım
u→∞
log u =∞.
La integral impropia
∫ ∞
1
1
xα
dx es pues convergente si α > 1 siendo divergente en caso contrario.
Con Maxima
(%i1) integrate(1/x^a,x,1,inf);
Is a positive, negative, or zero?positive;
Is a-1 positive, negative, or zero?positive;
( %o1)
1
a− 1
(%i2) integrate(1/x^a,x,1,inf);
Is a positive, negative, or zero? positive;
Is a-1 positive, negative, or zero?zero;
defint: integral is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i3) integrate(1/x^a,x,1,inf);
Is a positive, negative, or zero?positive;
Is a-1 positive, negative, or zero?negative;
Is 1a an integer?yes;
defint: integral is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i4) integrate(1/x^a,x,1,inf);
Is a positive, negative, or zero?negative;
defint: integral is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
2. Solo hay que estudiar el caso α > 0 ya que si α ≤ 0 la función es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y
se trata de una integral de Riemann normal. En cualquier caso, la función 1xα es continua en (0, 1] y por lo
tanto localmente integrable. Igual que antes, dado u ∈ (0, 1], si α 6= 1∫ 1
u
1
xα
dx =
1
1− α
[
1
xα−1
]1
u
=
1
1− α
(
1− 1
uα−1
)
si α = 1, ∫ 1
u
1
xα
dx = [log x]
1
u = − log u
Luego, si α < 1 ∫ 1
0
1
xα
dx = ĺım
u→0+
∫ 1
u
1
xα
dx =
1
1− α
,
si α ≥ 1 ∫ 1
0
1
xα
dx = ĺım
u→0+
∫ 1
u
1
xα
dx = +∞.
Aśı pues la integral impropia es convergente a 11−α para α < 1 y divergente en caso contrario.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 241 Caṕıtulo 5
Fin de la solución
5.6.1. Propiedades
Para definir una integral impropia en un intervalo abierto (a, b) necesitamos el siguiente teorema.
Sea f una función definida y localmente integrable en [a, b) y sea a < c < b. La función es
integrable en sentido impropio en [a, b) si, y sólo si, lo es en [c, b) y, en este caso, se cumple∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
Teorema 105.
Prueba:
Si a < c < t < b, ∫ t
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ t
c
f(x) dx
y por tanto, existe ĺımt→b−
∫ t
a
f(x) dx si, y sólo si, existe ĺımt→b−
∫ t
c
f(x) dx. En este caso es obvio que vale
la relación del enunciado.
Fin de la prueba
Sea f una función definida en (a, b), (a ≥ −∞, b ≤ +∞). Supongamos que f sea integrable
Riemann en cada subintervalo cerrado de (a, b). Diremos que la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx
es convergente si para un c, a < c < b, son convergentes las integrales impropias
∫ c
a
f(x) dx y∫ b
c
f(x) dx. En este caso, definimos
∫ b
a
f(x) dx :=
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
Definición 73.
Por el teorema anterior, el valor de la integral impropia definida anteriormente no depende del
punto c.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 242 Caṕıtulo 5
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx+
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx =
= − ĺım
u→−∞
arctan(u) + ĺım
u→∞
arctan(u) = −(−π
2
) +
π
2
= π.
Ejemplo 74.
Solución:
(%i1) integrate(1/(1+x^2),x,-inf,inf);
( %o1) π
Fin de la solución
Sea f : [a, b)→ R. Existe ĺımx→b− f(x) si, y sólo si, para cada ε > 0 existe b0, a < b0 < b, tal que
|f(x1)− f(x2)| < ε si b0 < x1 < x2 < b.
Proposición 106 (Condición de Cauchy).
Sea f una función localmente integrable en [a, b). Una condición necesaria y suficiente para que
la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx sea convergente es que para cada ε > 0 exista b0, a < b0 < b tal
que ∣∣∣∣∫ x2
x1
f(t) dt
∣∣∣∣ < ε
si b0 < x1 < x2 < b.
Teorema 107.
Prueba:
Es suficiente aplicar la proposición anterior a la función F (x) =
∫ x
a
f(t) dt.
Fin de la prueba
Obsérvese que, si b es finito y f está acotada en [a, b), la integral impropia converge siempre, ya
que si |f(x)| < K, entonces ∣∣∣∣∫ x2
x1
f(t) dt
∣∣∣∣ ≤ K|x1 − x2|.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 243 Caṕıtulo 5
Las siguientes propiedades elementales de las integrales impropias, son consecuencias inmediatas de las
propiedades de los ĺımites y de las correspondientes de las integrales de Riemann.
Sean f y g dos funciones integrables en sentido impropio en [a, b) y sean λ, µ números reales. La
función λf + µg es entonces integrable en sentido impropio y se cumple∫ b
a
(λf + µg)(t) dt = λ
∫ b
a
f(t) dt+ µ
∫ b
a
g(t) dt.
Teorema 108.
Prueba:
Basta pasar la ĺımite cuando x→ b− en la identidad∫ x
a
(λf + µg)(t) dt = λ
∫ x
a
f(t) dt+ µ
∫ x
a
g(t) dt.
Fin de la prueba
Sean f y g continuas en [a, b), g derivable con derivada continua.Sea F una función primitiva de
f . La existencia de dos de los tres ĺımites siguientes implica la existencia del otro:
ĺım
x→b−
∫ x
a
f(t)g(t) dt, ĺım
x→b−
F (x)g(x), ĺım
x→b−
∫ x
a
F (t)g′(t) dt.
En este caso se cumple la igualdad:∫ b
a
f(t)g(t) dt = ĺım
x→b−
F (x)g(x)− F (a)g(a)−
∫ b
a
F (t)g′(t) dt.
Teorema 109.
Prueba:
Basta pasar al ĺımite cuando x → b− en la identidad dada por la regla de integración por partes en el
intervalo [a, x]: ∫ x
a
f(t)g(t) dt = F (x)g(x)− F (a)g(a)−
∫ x
a
F (t)g′(t) dt.
Fin de la prueba
∫ ∞
0
te−t dt = ĺım
x→∞
(xe−x) +
∫ ∞
0
e−t dt = 1
Ejemplo 75.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 244 Caṕıtulo 5
5.6.2. Funciones no negativas
Cuando el integrando de una integral impropia es no negativo se pueden dar condiciones que aseguren la
convergencia de la misma.
Sea f una función localmente integrable y no negativa en [a, b). Una condición necesaria y suficien-
te para que la integral impropia
∫ b
a
f(t) dt sea convergente es que la función F (x) =
∫ x
a
f(t) dt
esté acotada.
Teorema 110.
Prueba:
Por ser f no negativa se deduce que F es monótona creciente.
Si F está acotada existe ĺımx→b− F (x), que es el supremo de la función, y la integral impropia es por tanto
convergente.
Rećıprocamente, si F (x) no estuviese acotada, seŕıa ĺımx→b− F (x) = +∞ y aśı la integral impropia divergeŕıa
a +∞.
Fin de la prueba
En particular para este tipo de integrales sólo puede haber convergencia o divergencia a +∞.
Sean f y g dos funciones no negativas, localmente integrables en [a, b). Supongamos que existe una
constante K y un entorno V de b tal que si x ∈ V se tiene f(x) ≤ Kg(x). En estas condiciones,
si
∫ b
a
g(t) dt es convergente también lo es
∫ b
a
f(t) dt y, en consecuencia, la divergencia de esta
última implica la de la primera.
Teorema 111.
Prueba:
La convergencia de las integrales impropias en [a, b) depende sólo del comportamiento de las funciones en
un entorno de b (Teorema 105.) Sin pérdida de generalidad podemos suponer pues que f(x) ≤ Kg(x) para
todo x ∈ [a, b). Tendremos
∫ x
a
f(t) dt ≤ K
∫ x
a
g(t) dt. Si el término de la derecha permanece acotado en x,
también lo hace el de la izquierda; el teorema anterior acaba pues la demostración.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 245 Caṕıtulo 5
Sean f y g dos funciones no negativas en [a, b) y localmente integrables. Supongamos que
ĺım
t→b−
f(t)
g(t)
= A.
Si A 6= 0 y A 6= ∞, las dos integrales
∫ b
a
g(t) dt y
∫ b
a
f(t) dt tienen el mismo carácter, es
decir, son las dos divergentes o las dos convergentes.
Si A = 0, la convergencia de
∫ b
a
g(t) dt implica la de
∫ b
a
f(t) dt.
Si A =∞, la convergencia de
∫ b
a
f(t) dt implica la convergencia de
∫ b
a
g(t) dt.
Corolario 112.
Prueba:
En el primer caso, dado ε > 0 con ε < A existe aε tal que si aε ≤ x < b, tenemos
∣∣∣ f(x)g(x) −A∣∣∣ ≤ ε, es decir,
A− ε < f(x)g(x) < A+ ε, y por tanto para cualquier x ∈ [aε, b) tenemos
(A− ε)g(x) < f(x) < (A+ ε)g(x).
Ahora, por el teorema anterior si
∫ b
a
g(t) dt converge (A + ε es constante)
∫ b
a
f(t) dt ha de converger. Si∫ b
a
g(t) dt diverge como (A− ε)g(x) ≤ f(x),
∫ b
a
f(t) dt también.
Si A = 0, de la misma forma que antes obtenemos que f(x) ≤ εg(x) para x en un entorno de b. Aśı, el
teorema anterior nos dice que si
∫ b
a
g(t) dt converge también lo hace
∫ b
a
f(t) dt.
Si A =∞, sólo hay que cambiar el papel de las funciones.
Fin de la prueba
La integral
∫ 1
0
tan2 t
(1− cos t)t 12
dt es convergente por serlo
∫ 1
0
t−
1
2 dt.
Ejemplo 76.
Solución:
La integral es impropia en t = 0. Vamos a usar el corolario anterior para compararla con
∫ 1
0
t−
1
2 dt que es
convergente:
ĺım
t→0+
tan2 t
(1−cos t)t
1
2
t−1/2
= ĺım
t→0+
tan2 t
1− cos t
= ĺım
t→0+
t2 + o(t2)
t2
2 + o(t
2)
= 2
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 246 Caṕıtulo 5
La integral
∫ ∞
−∞
e−x
2
dx es convergente. Su valor es
√
π.
Ejemplo 77.
Solución:
La convergencia de la integral es consecuencia de que
ĺım
x→∞
e−x
2
1
x2
= ĺım
x→∞
x2
ex2
= ĺım
x→∞
2x
2xex2
= ĺım
x→∞
1
ex2
= 0
y el hecho de que
∫ ∞
1
1
x2
dx es convergente.
El valor de dicha integral nos lo proporciona Maxima
(%i1) integrate(%e^(-x^2),x,-inf,inf);
( %o1)
√
π
Fin de la solución
La combinación de los teoremas anteriores con algunos de los ejemplos vistos, dan lugar a algunos criterios
de convergencia para integrales impropias.
Sea f una función no negativa y localmente integrable en (0, 1]. Si existe una constante α < 1 tal
que ĺımt→0+ f(t)t
α exista y sea finito, la integral impropia
∫ 1
0
f(t) dt es convergente. En cambio,
si existe α ≥ 1 tal que ĺımt→0+ f(t)tα exista y sea no nulo, la integral es divergente.
Teorema 113.
Prueba:
Observemos que ĺım
t→0+
f(t)tα = ĺım
t→0+
f(t)
( 1tα )
. Si α < 1, la integral
∫ 1
0
1
tα
dt es convergente y el corolario anterior
implica entonces la convergencia de
∫ 1
0
f(t) dt.
Como consecuencia del mismo corolario y teniendo en cuenta que
∫ 1
0
1
tα
dt es divergente si α ≥ 1, se
demuestra la última afirmación del enunciado.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 247 Caṕıtulo 5
a) La integral
∫ 1
0
1
t
1
2 + 3t
1
3
dt es convergente porque ĺım
t→0+
1
t
1
2 + 3t
1
3
t
1
3 =
1
3
.
b) La integral
∫ 1
0
1
t+ t2
dt es divergente porque ĺım
t→0+
1
t+ t2
t = 1 6= 0.
Ejemplo 78.
Sea f una función no negativa y localmente integrable en [a,∞). Si existe α > 1 tal que
ĺımt→∞ f(t)t
α existe y es finito, la integral impropia
∫ ∞
a
f(t) dt es convergente. En cambio,
si existe α ≤ 1 tal que ĺımt→∞ f(t)tα es no nulo, la integral es divergente.
Teorema 114.
5.6.3. Convergencia absoluta
Un caso particularmente importante de convergencia de integrales impropias es el de la convergencia
absoluta.
Sea f una función localmente integrable en [a, b). Diremos que la integral impropia de f en [a, b)
es absolutamente convergente si la integral impropia
∫ b
a
|f(t)| dt es convergente.
Definición 74.
Sea f una función localmente integrable en [a, b). Si
∫ b
a
f(t) dt es absolutamente convergente
entonces es convergente.
Proposición 115.
Prueba:
Por el criterio de convergencia de Cauchy, aplicado a |f(t)| cuya integral impropia es convergente por hipóte-
sis, dado ε > 0 existe b0, a < b0 < b tal que si b0 < x1 < x2 < b entonces
∫ x2
x1
|f(t)| dt < ε. Entonces también
se tiene que
∣∣∣∫ x2x1 f(t) dt∣∣∣ < ε y, por el mismo criterio, la integral ∫ b
a
f(t) dt es convergente.
Fin de la prueba
Es pues interesante, al estudiar la convergencia de una integral impropia, estudiar primero su convergencia
absoluta.
Hay que mencionar que existen funciones cuya integral es convergente pero que no son absolutamente
convergentes.
Luis Oncina, Cálculo I
5.6 Integrales impropias 248 Caṕıtulo 5
Aunque omitimos la prueba, un ejemplo de una integral convergente que no es absolutamente
convergente nos lo proporciona ∫ ∞
0
sen(t)
t
dt
Ejemplo 79.
Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, calculando aquellas que sean convergentes:
(1)
∫ +∞
1
x(1 + x4)−1 dx (2)
∫ +∞
0
1√
x
dx (3)
∫ +∞
0
(2 + senx) dx
Ejercicios 17.
Luis Oncina, Cálculo I
5.7 Autoevaluación 249 Caṕıtulo 5
5.7. Autoevaluación
1. Hallad el área encerrada por la curva y = x
2−1
x2+1 y las rectas y = 0, x = −1 y x = 1.
2. Para 0 < x < π2 , sea
F (x) =
∫ sen x
0
dt√
1− t2
√
2− t2
Hallad F ′(x).
3. Sea f : [0, 6] → R la función derivable de la figura y F (x) :=
∫ x
0
f(t) dt para x ∈ [0, 6].
Sean xP y xQ las abscisas de los puntos P y Q respectivamente.
A) F es creciente en (0, 2) y (4, 6).
B) F es convexa en (2, 4).
C) F presenta máximos relativos en xP y xQ.
D) F presenta un mı́nimo relativo en x = 4.
E) F presenta puntos de inflexión en xP y xQ.
4. Calculad el área encerrada por la curva y = x2e−x y el eje OX entre los puntosx = 0 y
x = 2.
5. Hallad el área encerrada por la curva y = 11+x2 y la parábola y =
x2
2 .
6. Calculad
∫ 2
1
x2 log xdx.
7. Hallad el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado
por la curva y = xex y las rectas x = 1 e y = 0.
8. Calculad
∫ √
xe
√
x dx.
Autoevaluación 5.
Luis Oncina, Cálculo I
5.7 Autoevaluación 250 Caṕıtulo 5
9. Hallad el área encerrada por la curva y = ex senx con x ∈ [0, 2π].
10. Calculad una primitiva de la función f(x) = x arc cos( 1x ).
11. Hallad el ĺımite
ĺım
n→∞
(
1
1 + n2
+
2
22 + n2
+
3
32 + n2
+ . . .+
n
n2 + n2
)
12. Probad que la siguiente integral impropia es convergente y hallar su valor
∫ +∞
0
4x
1 + x4
dx
13. Hallad una primitiva de la función
x
x3 − x2 − 4x+ 4
14. Hallad el ĺımite
ĺım
n→∞
1
n
(
(n+ 1)(n+ 2) . . . (n+ n)
)1/n
15. Calculad
∫
x2 sen2 xdx
16. Hallad
∫ 1
0
x3e−x
2
dx
Autoevaluación.
Luis Oncina, Cálculo I
6 Series numéricasy de potencias
6.1. Series numéricas
Sea a1, a2, . . . , an, . . . una sucesión de números reales. A partir de ella podemos formar una nueva
sucesión (Sn) definida por:
S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . . , Sn = a1 + a2 + . . .+ an, . . .
y a esta sucesión la llamaremos serie asociada a la sucesión (an).
Los números S1, S2, . . . , Sn, . . . se llamarán, por definición, sumas parciales de la serie y los
a1, a2, . . . , an, . . . términos de la serie.
Al término genérico an, que pone de manifiesto la ley de formación de la sucesión dada, se le
llamará término general de la serie y a la suma parcial Sn, suma parcial n-ésima de la serie.
Es habitual denotar por a1 + a2 + . . . + an + . . ., o más detalladamente por
∞∑
n=1
an a la serie
asociada a la sucesión (an).
Definición 75.
Si la sucesión de sumas parciales (Sn)
tiene ĺımite en R, es decir, si existe ĺımn→∞ Sn = S, diremos que la serie es convergente y
que tiene por suma S y escribiremos
∞∑
n=1
an = S.
tiene por ĺımite ±∞, diremos que la serie es divergente a ±∞.
Si no existe ĺımn→∞ Sn diremos que la serie es oscilante.
Estudiar el carácter de una serie significa determinar a cual de estos tres grupos pertenece la serie.
Definición 76.
251
6.1 Series numéricas 252 Caṕıtulo 6
1. La serie geométrica
∑
n≥0 r
n con |r| < 1 es una serie convergente son suma 11−r . Si r ≥ 1 la
serie es divergente a +∞. Si r = −1 la serie es oscilante.
2. La serie cuyo término general es 1n (que se conoce como serie armónica) es divergente a +∞.
3. La serie de término general 1n2 es convergente.
4. La serie
∑∞
n=1 n es divergente.
Ejemplo 80.
Solución:
Vamos a ver si nos puede ayudar Maxima a determinar el carácter de las series
(%i1) sum(r^n,n,0,inf),simpsum;
Is |r| − 1 positive, negative, or zero?negative;
( %o1)
1
1− r
(%i2) sum(r^n,n,0,inf),simpsum;
Is |r| − 1 positive, negative, or zero?positive;
sum: sum is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i3) sum(1/n,n,1,inf),simpsum;
sum: sum is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i4) sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum;
( %o4)
π2
6
(%i5) sum(n,n,1,inf),simpsum;
Is n positive, negative, or zero?positive;
sum: sum is divergent. – an error. To debug this try: debugmode(true);
Vamos a hacerlo ahora “a mano”.
1. Para comprobarlo, hallemos la suma parcial n-ésima de la serie:
Sn = 1 + r + r
2 + . . .+ rn.
Multiplicando ambos miembros por r queda
rSn = r + r
2 + r3 + . . .+ rn+1.
Restando las dos igualdades queda (1− r)Sn = 1− rn+1 y por tanto si r 6= 1,
Sn =
1− rn+1
1− r
.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 253 Caṕıtulo 6
Si |r| < 1, ĺımn→∞ Sn = 11−r .
Si r > 1, es claro que ĺımn→∞ Sn =∞.
En el caso r = 1, Sn = (n+ 1) cuyo ĺımite es claramente +∞.
Finalmente, si r = −1, tenemos que S1 = 0, S2 = −1, S3 = 0 que obviamente no tiene ĺımite.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) Sn:sum(r^m,m,0,n);
( %o1)
n∑
m=0
rm
Multiplicamos Sn por r y lo restamos a Sn
(%i2) dif:factor(Sn-r*Sn),simpsum;
( %o2) −
(
rn+1 − 1
)
(%i3) Sn-r*Sn=dif;
( %o3)
(
n∑
m=0
rm
)
− r
n∑
m=0
rm = −
(
rn+1 − 1
)
(%i4) factor(%);
( %o4) − (r − 1)
n∑
m=0
rm = −
(
rn+1 − 1
)
Despejamos la suma parcial
(%i5) [Sumn]:solve(%,Sn);
( %o5) [
n∑
m=0
rm =
rn+1 − 1
r − 1
]
Suponemos que |r| < 1 y tomamos ĺımites
(%i6) assume(abs(r)<1);
( %o6) [|r| < 1]
(%i7) limit(Sumn,n,inf);
( %o7) ĺım
n→∞
n∑
m=0
rm = − 1
r − 1
Suponemos que r > 1 y tomamos ĺımites
(%i8) forget(abs(r)<1);
( %o8) [|r| < 1]
(%i9) assume(r>1);
( %o9) [r > 1]
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 254 Caṕıtulo 6
(%i10) limit(Sumn,n,inf);
( %o10) ĺım
n→∞
n∑
m=0
rm =∞
(%i11) forget(r>1);
( %o11) [r > 1]
El caso r = 1
(%i12) r:1;
( %o12) 1
(%i13) Sn,simpsum;
( %o13)n+ 1
(%i14) limit(%,n,inf);
( %o14)∞
El caso r = −1
(%i15) r:-1;
( %o15) − 1
(%i16) Sn,simpsum;
( %o16) − (−1)
n+1 − 1
2
(%i17) limit(%,n,inf);
( %o17) ind
(%i18) kill(r);
( %o18) done
Caso r < −1.
(%i19) assume(r<-1);
( %o19) [r < −1]
(%i20) limit(Sumn,n,inf);
( %o20) ĺım
n→∞
n∑
m=0
rm = infinity
2. Consideremos la función definida, [1,∞], por f(t) = 1n si t ∈ [n, n+ 1]. Es claro que(
1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
n
)
=
∫ n+1
1
f(t) dt ≥
∫ n+1
1
1
t
dt
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 255 Caṕıtulo 6
y como la integral impropia
∫ ∞
1
1
t
dt es divergente tenemos que
ĺım
n→∞
(
1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
n
)
=∞
es decir, la serie armónica es divergente.
Para ver otras pruebas de la divergencia de la serie armónica sin usar integrales impropias vamos a los
complementos o al ejemplo 81.
3. Vimos en el ejemplo 13 que la sucesión de sumas parciales Sn =
n∑
k=1
1
k2
era una sucesión de Cauchy y por
tanto convergente, es decir, la serie es convergente.
4. Escribimos la suma parcial n-ésima
Sn =
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
y es claro que ĺımn→∞ Sn = +∞, es decir, la serie es divergente.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) S[n]:=sum(i,i,1,n);
( %o1) Sn :=
n∑
i=1
i
(%i2) load(simplify_sum);
( %o2) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/solve rec/simplify sum.mac
(%i3) simplify_sum(S[n]);
( %o3)
n2 + n
2
(%i4) limit(%,n,inf);
( %o4) ∞
Fin de la solución
La serie
∑
n≥1 an es convergente si y sólo si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n0 ≤ p ≤ q
números naturales se verifica |ap+1 + . . .+ aq| < ε.
Proposición 116 (Condición de Cauchy).
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 256 Caṕıtulo 6
Prueba:
Es una consecuencia directa de la condición de Cauchy de existencia de ĺımite. Sólo hay que tener en cuenta
que |Sq − Sp| = |ap+1 + . . .+ aq|.
Fin de la prueba
La serie armónica no satisface la condición de Cauchy y por tanto no es convergente.
Ejemplo 81.
Prueba:
Sea p ∈ N y q = p+ k para algún k ∈ N
Sq − Sp =
1
p+ 1
+
1
p+ 2
+ . . .+
1
p+ k
≥ 1
p+ k
+
1
p+ k
+ . . .+
1
p+ k
=
k
p+ k
(†)
=
Ahora, tomando ε = 12 para cualquier n ∈ N tomamos cualquier p ≥ n y k = p, es decir, q = 2p y resulta
(†)
=
p
2p
=
1
2
Es por tanto Sq − Sp ≥ 12 lo cual muestra que la serie armónica no satisface la condición de Cauchy.
Fin de la prueba
La convergencia de una serie no se altera modificando un número finito de términos de la misma.
Corolario 117.
En una serie convergente el término general tiene ĺımite cero.
Corolario 118.
Prueba:
Es una consecuencia directa de la condición de Cauchy para series ya que si una serie
∞∑
n=1
an es convergente
entonces dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n0 ≤ p ≤ q entonces |ap + ap+1 + . . .+ aq| ≤ ε. En particular,
para p = q tenemos que si p ≥ n0 entonces |ap| ≤ ε lo que equivale a decir que ĺımn an = 0.
Fin de la prueba
En lo sucesivo, cuando sólo estemos interesados en el carácter de una serie, abreviaremos la representación
de dicha serie por
∑
an.
Sean
∑
n≥1 an,
∑
n≥1 bn dos series convergentes con sumas A, B respectivamente. Entonces para
cada λ, µ ∈ R, la serie
∑
n≥1(λan + µbn) es convergentey tiene suma λA+ µB.
Proposición 119 (Linealidad de la suma).
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 257 Caṕıtulo 6
6.1.1. Series de términos no negativos. Convergencia
A lo largo de esta sección nos ocuparemos del estudio de series tales que an ≥ 0. En este caso la sucesión
de las sumas parciales es monótona creciente y aśı tendremos el siguiente criterio de convergencia.
Sea
∑
an una serie de términos no negativos an ≥ 0. La serie es convergente si y sólo si la
sucesión de las sumas parciales está acotada.
Proposición 120.
La condición de convergencia para series de términos no negativos, dada por la Proposición 120, nos
permitirá establecer diversos criterios de convergencia para este tipo tipo de series.
Criterios de convergencia para series de términos positivos
Sean
∑
an,
∑
bn series de términos no negativos. Si existe M > 0 tal que an ≤Mbn para todo
n ∈ N, entonces la convergencia de
∑
bn implica la de
∑
an.
Proposición 121 (Criterio de comparación).
Prueba:
Tenemos que An = a1 + . . .+ an ≤M(b1 + . . .+ bn) = MBn y de la acotación de (Bn) se sigue la de (An).
Fin de la prueba
El criterio de comparación es también válido si la desigualdad an ≤Mbn se verifica para cualquier
n mayor o igual que un cierto n0 ∈ N.
Nota.
1. La serie
∞∑
n=1
1
np
es divergente si 0 < p ≤ 1. Para p = 1 ya vimos que la serie es divergene, y
para 0 < p < 1 las sumas n-ésimas son mayores que en el caso p = 1.
2. La serie
∞∑
n=1
1
np
es convergente para p ≥ 2 como consecuencia de la proposición anterior y
de la convergencia para el caso p = 2 que probamos anteriormente.
Ejemplo 82.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 258 Caṕıtulo 6
Las series
∞∑
n=1
1
np
reciben el nombre de series armónicas de orden p. Solo nos falta estudiar la
convergencia de dichas series para 1 < p < 2.
Nota.
Sean
∑
an,
∑
bn series de términos positivos y supongamos que existe l := ĺımn→∞
an
bn
.
Si 0 < l <∞ entonces las dos series tienen el mismo carácter.
Si l = 0 entonces la convergencia de
∑
bn implica la convergencia de
∑
an.
Si l =∞ entonces la convergencia de
∑
an implica la convergencia de
∑
bn.
Corolario 122.
Prueba:
Se prueba de forma análoga al correspondiente criterio de convergencia de las integrales impropias.
Fin de la prueba
Sea f : [1,∞) → R monótona decreciente y sea an = f(n). Entonces la serie
∑
an converge si,
y sólo si, converge la integral impropia
∫∞
1
f(x) dx.
Proposición 123 (Criterio de la integral).
Prueba:
Es consecuencia directa de f(n) ≥
∫ n+1
n
f(x) dx ≥ f(n+ 1), ya que entonces
Sn =
n∑
k=1
ak ≥
∫ n+1
1
f(x) dx ≥
n+1∑
k=2
ak.
Fin de la prueba
Para 1 < q < 2 la serie
∑ 1
nq
es convergente.
Ejemplo 83.
Solución:
Consideramos la función f(x) = 1xq . La integral
∫ ∞
1
1
xq
dx es convergente y por la proposición anterior
también lo es la serie.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 259 Caṕıtulo 6
Fin de la solución
La serie
∞∑
n=2
1
n(logn)p
es convergente para p > 1 y divergente para p ≤ 1.
Ejemplo 84.
Solución:
Consideramos la función f(x) = 1x(log x)p y la integral impropia∫ ∞
2
1
x(log x)p
dx
Haciendo el cambio de variable t = log x dicha integral queda∫ ∞
log 2
1
tp
dt
que sabemos que es convergente si p > 1 y divergente para p ≤ 1.
Fin de la solución
En el criterio de comparación (o el del ĺımite del cociente) la idea es sustituir la sucesión que da el término
general de la serie por otra para la que se conozca el carácter de su serie.
Los criterios que veremos a continuación (ráız y cociente) son criterios de convergencia que dependen
directamente de la sucesión en cuestión.
Sea
∑
an una serie de términos no negativos y supongamos que exista a = ĺım n
√
an.
Si a < 1 entonces la serie converge.
Si a > 1 la serie diverge.
Si a = 1 no se puede afirmar nada.
Proposición 124 (Criterio de la ráız).
Prueba:
Si a < 1, sea r ∈ R tal que a < r < 1. Como ĺımn n
√
an = a < r existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 es
n
√
an < r ⇔ an < rn. Al ser r < 1 la serie geométrica
∑
n r
n es convergente y el criterio de comparación nos
proporciona la convergencia de la serie
∑
n an.
Si a > 1, existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 es an > 1. Por lo tanto la sucesión an no puede converger a cero lo
que implica la divergencia de la serie
∑
n an.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 260 Caṕıtulo 6
Probar, utilizando el criterio de la ráız, que las series siguientes son convergentes:
1.
∞∑
n=2
1
(logn)n
.
2.
∞∑
n=1
√
n(n+ 1)2−n.
Ejemplo 85.
Solución:
1. Hallamos
ĺım
n→∞
n
√
1
(logn)n
= ĺım
n→∞
1
logn
= 0 < 1
2. Hallamos
ĺım
n→∞
n
√√
n(n+ 1)2−n = ĺım
n→∞
√
n
√
n(n+ 1)
2n
=
√
ĺım
n→∞
n
√
n n
√
n+ 1
2
=
√
1
2
< 1
Fin de la solución
Consideremos la sucesión
an =
{
0 si n es impar
1
2n si n es par
Ejemplo 86.
Por el critero de comparación (an ≤ 12n para todo n ∈ N.), la serie
∞∑
n=1
an es convergente por serlo
∞∑
n=1
1
2n
(estamos sumando sólo los términos pares de la progresión geométrica).
Sin embargo, no podemos aplicar directamente el criterio de la ráız a an porque no existe
ĺım
n→∞
n
√
an
Para salvar esto procedemos como sigue.
Sea (an) una sucesión acotada de números reales.
Se dice que a ∈ R es un punto de aglomeración de (an) si a es ĺımite de alguna subsucesión de
(an). Recordad que el teorema de Bolzano-Weierstrass nos asegura que las sucesiones acotadas
poseen puntos de aglomeración.
Pues bien, definimos el ĺımite superior de (an) y lo denotamos por ĺım supn an (o ĺımn) como el
mayor punto de aglomeración de an.
Si (an) es de términos no negativos y no acotada se define ĺım sup an = +∞.
Definición 77 (Punto de aglomeración y ĺım sup).
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 261 Caṕıtulo 6
Volviendo al ejemplo anterior la sucesión n
√
an está acotada, de hecho es
n
√
an =
{
0 si n es impar
1
2 si n es par
Es también claro que esta sucesión posee dos puntos de aglomeración: el 0 y el 12 . Entonces
ĺım sup
n
n
√
an =
1
2
De la definición de ĺımite superior se deduce que si an es una sucesión de términos no negativos entonces
siempre existe ĺım supn an (será un número real o +infinito). Modificando un poco la prueba que hemos visto
del criterio de la ráız podemos enunciarlo con el ĺımite superior, es decir,
Si ĺım supn n
√
an < 1 la serie converge.
Si ĺım supn n
√
an > 1 la serie diverge.
Sea
∑
an una serie de términos no negativos. Si existe a = ĺım
an+1
an
entonces a = ĺım n
√
an, y
por tanto:
Si a < 1 entonces la serie converge.
Si a > 1 entonces la serie diverge.
Proposición 125 (Criterio del cociente).
Prueba:
El hecho de que la existencia del primer ĺımite nos de que coincide con el ĺımite de la ráız lo vimos como
consecuencia del criterio de Stolz.
Fin de la prueba
Las series
∑ 1
n
y
∑ 1
n2
muestran que los criterios de la ráız y del cociente no permiten extraer
conclusiones cuando los respectivos ĺımites valen 1. La primera es divergente mientras que la
segunda es convergente.
Nota.
Estudiar el carácter de las siguientes series:
1.
∞∑
n=0
xn
n!
para x > 0.
2.
∞∑
n=1
xn
np
, para x > 0 y p > 0.
Ejemplo 87.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 262 Caṕıtulo 6
Solución:
1. Fijamos x > 0 y usamos el criterio del cociente
ĺım
n→∞
xn+1
(n+1)!
xn
n!
= ĺım
n→∞
xn+1n!
xn(n+ 1)!
= ĺım
n→∞
x
n+ 1
= 0 < 1
Por lo que la serie es convergente para cualquier x > 0.
Con Maxima
(%i1) assume(x>0);
( %o1) [x > 0]
(%i2) a(n):=x^n/n!;
( %o2) a (n) :=
xn
n!
(%i3) a(n+1);
( %o3)
xn+1
(n+ 1)!
(%i4) a(n+1)/a(n);
( %o4)
n!x
(n+ 1)!
Para simplificar los factoriales
(%i5) factorial_expand:true;
( %o5) true
(%i6) a(n+1)/a(n);
( %o6)
x
n+ 1
(%i7) limit(%,n,inf);
( %o7) 0
De hecho, Maxima sabe sumar esta serie para cada x ∈ R.
(%i8) sum(x^n/n!,n,0,inf),simpsum;
( %o8)
∞∑
n=0
xn
n!
(%i9) load(simplify_sum);
( %o9) C:/PROGRA2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/solve rec/simplify sum.mac
(%i10) simplify_sum(%o8);
( %o10) ex
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 263 Caṕıtulo 6
2. Fijamos x > 0 y p > 0 y usamos el criterio de la ráız.
ĺım
n→∞
n
√
xn
np
= ĺım
n→∞
x
( n
√
n)p
=
x
1p
= x
Por lo tanto si 0 < x < 1 la serie es convergente mientras que si x > 1 es divergente. El caso x = 1 lo
hacemos sustituyendo dicho valor en la serie obteniendo
∑∞
n=1
1
np que sabemos que es convergente para
p > 1 mientras que diverge para 0 < p ≤ 1.
Con Maxima
(%i1) b(n):=x^n/n^p;
( %o1) b (n) :=
xn
np
(%i2) assume(p>0);
( %o2) [p > 0]
(%i3) (b(n))^(1/n);
( %o3)
(
xn
np
) 1
n
(%i4) limit(%,n,inf);
( %o4) x
Maxima lo hace directamente
(%i1) a[n]:=x^n/n!;
( %o1) an :=
xn
n!
(%i2) limit(a[n+1]/a[n],n,inf);
( %o2) 0
(%i3) b[n]:=x^n/n^p;
( %o3) bn :=
xn
np
(%i4) limit((b[n])^(1/n),n,inf);
( %o4) x
Fin de la solución
Cálculo de la suma de algunas series
Finalizamos la sección estudiando la convergencia y calculando la suma de algunas series.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 264 Caṕıtulo 6
Carácter y suma de la serie
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
.
Ejemplo 88.
Solución:
La serie es convergente porque se puede comparar con la serie
∞∑
n=1
1
n2
que sabemos que lo es.
ĺım
n→∞
1
n(n+1)
1
n2
= ĺım
n→∞
n2
n(n+ 1)
= 1
Para hallar la suma descomponemos la fracción 1n(n+1) en fracciones simples
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
Calculamos ahora la suma parcial n-ésima
Sn =
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ . . .+
1
(n− 1)n
+
1
n(n+ 1)
=
=
(
1
1
− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+ . . .+
(
1
n− 1
− 1
n
)
+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
Por lo tanto
ĺım
n→∞
Sn = ĺım
n→∞
(
1− 1
n+ 1
)
= 1
La serie del enunciado es pues convergente y su suma es 1.
Usamos este método con Maxima
(%i1) a(n):=1/(n*(n+1));
( %o1) a (n) :=
1
n (n+ 1)
(%i2) sum(a(n),n,1,inf);
( %o2)
∞∑
n=1
1
n (n+ 1)
En primer lugar comprobamos que la serie es convergente comparándola con la serie de término general 1/n2
(%i3) limit(a(n)/(1/n^2),n,inf);
( %o3) 1
Descomponemos el término general de la serie en fracciones simples
(%i4) partfrac(a(n),n);
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 265 Caṕıtulo 6
( %o4)
1
n
− 1
n+ 1
Escribimos la suma parcial m-ésima
(%i5) sum(%,n,1,m);
( %o5)
m∑
n=1
1
n
− 1
n+ 1
La separamos en dos. Nos damos cuenta que, en la segunda suma parcial, el denominador empieza en 1/2 y
termina en 1m+1 .
(%i6) sum(1/n,n,1,m)-sum(1/n,n,2,m+1);
( %o6)
(
m∑
n=1
1
n
)
−
m+1∑
n=2
1
n
Simplificamos cancelando términos
(%i7) Sm:sumcontract(intosum(%));
( %o7) 1− 1
m+ 1
Este es el valor de la suma parcial m-ésima. Tomando ĺımites obtenemos el valor de la serie
(%i8) limit(Sm,m,inf);
( %o8) 1
Buscamos la suma parcial n-ésima con la ayuda de Maxima
(%i1) load(simplify_sum);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/solve rec/simplify sum.mac
(%i2) S[n]:=sum(1/(k*(k+1)),k,1,n);
( %o2) Sn :=
n∑
k=1
1
k (k + 1)
(%i3) Sn:simplify_sum(S[n]);
( %o3)
n
n+ 1
(%i4) limit(Sn,n,inf);
( %o4) 1
Fin de la solución
Carácter y suma de la serie
∑
n≥1
3n− 1
n(n+ 1)(n+ 2)
.
Ejemplo 89.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 266 Caṕıtulo 6
Solución:
La serie es convergente porque se puede comparar con
∑
n
1
n2
que es convergente. Para hallar su suma
descomponemos el término general en fracciones simples
3n− 1
n(n+ 1)(n+ 2)
= −1
2
1
n
+
4
n+ 1
− 7
2
1
n+ 2
Calculamos ahora la suma parcial n-ésima
Sn =
(
−1
2
+
4
2
−7
2
1
3
)
+
(
−1
2
1
2
+
4
3
−7
2
1
4
)
+
(
−1
2
1
3
+
4
4
− 7
2
1
5
)
+
(
−1
2
1
4
+
4
5
− 7
2
1
6
)
+ . . .
. . .+
(
−1
2
1
n− 2
+
4
n− 1
−7
2
1
n
)
+
(
−1
2
1
n− 1
+
4
n
− 7
2
1
n+ 1
)
+
(
−1
2
1
n
+
4
n+ 1
− 7
2
1
n+ 2
)
=
=− 1
2
+ 2− 1
4
− 7
2
1
n+ 1
+
4
n+ 1
− 7
2
1
n+ 2
=
5
4
+
1
2
1
n+ 1
− 7
2
1
n+ 2
Notad que los números que llevan los mismos colores se cancelan entre si quedando solo los tres primeros
números y tres términos correspondientes a los dos últimos paréntesis.
Tomando ahora ĺımites
∞∑
n=1
3n− 1
n(n+ 1)(n+ 2)
= ĺım
n→∞
Sn = ĺım
n→∞
(
5
4
+
1
2
1
n+ 1
− 7
2
1
n+ 2
)
=
5
4
Agrupar sumandos con Maxima es más sencillo
(%i1) a(n):=(3*n-1)/(n*(n+1)*(n+2));
( %o1) a (n) :=
3n− 1
n (n+ 1) (n+ 2)
(%i2) partfrac(a(n),n);
( %o2) − 7
2 (n+ 2)
+
4
n+ 1
− 1
2n
(%i3) -7/2*sum(1/n,n,3,m+2)+4*sum(1/n,n,2,m+1)-1/2*sum(1/n,n,1,m);
( %o3) −
7
∑m+2
n=3
1
n
2
+ 4
(
m+1∑
n=2
1
n
)
−
∑m
n=1
1
n
2
(%i4) sumcontract(intosum(%));
( %o4) − 7
2 (m+ 2)
+
1
2 (m+ 1)
+
5
4
(%i5) limit(%,m,inf);
( %o5)
5
4
Ahora lo hacemos directamente
(%i1) load(simplify_sum);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/solve rec/simplify sum.mac
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 267 Caṕıtulo 6
(%i2) S[n]:=sum((3*k-1)/(k*(k+1)*(k+2)),k,1,n);
( %o2) Sn :=
n∑
k=1
3 k − 1
k (k + 1) (k + 2)
(%i3) Sn:simplify_sum(S[n]);
( %o3)
n (5n+ 3)
4 (n+ 1) (n+ 2)
(%i4) limit(Sn,n,inf);
( %o4)
5
4
Fin de la solución
Carácter y suma de la serie
∑
n≥1
3n+ 2
2n−1
.
Ejemplo 90.
Solución:
Este tipo de series se conocen como aritmético-geométricas.
La convergencia de la serie viene garantizada por el criterio de la raiz ya que
ĺım
n→∞
n
√
3n+ 2
2n−1
=
1
2
< 1
Para calcular la suma n-ésima procedemos como en el caso de la geométrica. Fijamos n ∈ N:
Sn =
5
1
+
8
2
+
11
4
+ . . .+
3n− 1
2n−2
+
3n+ 2
2n−1
Multiplicando ahora en ambos lados de la igualdad por 12 y restando obtenemos
1
2
Sn =
5
2
+
8
4
+
11
8
+ . . .+
3n− 1
2n−1
+
3n+ 2
2n
1
2
Sn = 5 +
3
2
+
3
4
+ . . .+
3
2n−1
− 3n+ 2
2n
= 5 +
3
2
(
1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
)
− 3n+ 2
2n
De donde
Sn = 10 + 3
(
1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
)
− 3n+ 2
2n−1
Ahora
ĺım
n→∞
Sn = 10 + 3 ĺım
n→∞
(
1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
)
− ĺım
n→∞
3n+ 2
2n−1
= 10 + 3
1
1− 12
− 0 = 10 + 6 = 16
Con Maxima
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 268 Caṕıtulo 6
(%i1) a(n):=(3*n+2)/2^(n-1);
( %o1) a (n) :=
3n+ 2
2n−1
(%i2) S(m):=sum(a(n),n,1,m);
( %o2) S (m) :=
m∑
n=1
a (n)
(%i3) ’S(m)/2=S(m)-intosum(1/2*S(m));
( %o3)
S (m)
2
=
(
m∑
n=1
(3n+ 2) 21−n
)
−
m∑
n=1
3n+ 2
2n
Para tener los mismos denominadores en la serie y poder operar, sustituimos n = 1 en la primera y sustituimos
n por n+ 1.
(%i4) ’S(m)/2=5+sum((3*n+5)/2^n,n,1,m)-sum((3*n+2)/2^n,n,1,m);
( %o4)
S (m)
2
=
(
m∑
n=1
3n+ 5
2n
)
−
(
m∑
n=1
3n+ 2
2n
)
+ 5
(%i5) sumcontract(intosum(%));
( %o5)
S (m)
2
=
(
m∑
n=1
3n+ 5
2n
− 3n+ 2
2n
)
+ 5
(%i6) expand(%);
( %o6)
S (m)
2
= 3
(
m∑
n=1
1
2n
)
+ 5
La suma de los m primeros términos de la progresión la sabemos hallar
(%i7) %,simpsum;
( %o7)
S (m)
2
= 5− 6
(
2−m−1 − 1
2
)
(%i8) expand(%);
( %o8)
S (m)
2
= 8− 3
2m
(%i9) 2*%;
( %o9) S (m) = 2
(
8− 3
2m
)
(%i10) limit(rhs(part(%)),m,inf);
( %o10) 16
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 269 Caṕıtulo 6
1. Estudiar la convergencia de las series:
(a)
∞∑
n=1
1√
n3 + 2n+ 2
; (b)
∞∑
n=1
(n+ 1)!− n!
4n
; (c)
∞∑
n=2
2 + n2
n2 − 1
; (d)
∞∑
n=1
n2
3n
; (e)
∞∑
n=1
1√
n
;
(f)
∞∑
n=1
2n
3n + n
; (g)
∞∑
n=1
e−n
n2 + n!
; (h)
∞∑
n=1
n3 + 5n
3n + 4
; (i)
∞∑
n=1
(n+ 1)ne−n
2
;
(j)
∞∑
n=2
(
1√
n− 1
− 1√
n+ 1
) ; (k)
∞∑
n=1
(
n+ 1
3n+ 2
)n logn ; (l)
∞∑
n=1
1
n!2n
.
2. Hallar la suma de las siguientes series demostrando previamente su convergencia:
(a)
∞∑
n=1
1
2n
; (b)
∞∑
n=1
(−2)n
3n
; (c)
∞∑
n=1
2n
3n
; (d)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)
;
(e)
∞∑
n=1
2n+ 1
2n
; (f)
∞∑
n=1
4n+ 2
3n
; (g)
∞∑
n=3
n
2n
; (h)
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
;
(i) Sabiendo que
∑∞
n=1
1
n2 =
π2
6 , hallar:
∞∑
n=1
4n− 1
(n+ 2)(n− 1)2
.
(j) Sabiendo que
∑∞
n=1
(−1)n+1
n = log 2, hallar:
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2n(2n+ 1)
.
Ejercicios 18.
6.1.2. Convergencia absolutaLa serie
∑
an con an ∈ R se dice absolutamente convergente si la serie
∑
|an| es convergente.
Definición 78.
Si la serie
∑
an converge absolutamente entonces es convergente.
Proposición 126.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 270 Caṕıtulo 6
Prueba:
Es consecuencia directa del criterio de Cauchy de convergencia de series. Dado ε > 0, por ser
∑
n |an|
convergente, existe n0 ∈ N tal que si p ≥ q > n0 se cumple |aq+1|+ |aq+2|+ . . .+ |ap| < ε. Pero
|aq+1 + aq+2 + . . .+ ap| ≤ |aq+1|+ |aq+2|+ . . .+ |ap| < ε
Luego
∑
n an cumple la condición de Cauchy y es pues convergente.
Fin de la prueba
El siguiente resultado será nuestra principal herramienta para conocer cuando una serie de términos no
negativos que no sea absolutamente convergente es convergente.
Sea (an)n decreciente con ĺımite 0. Entonces la serie alternada
∑
(−1)n+1an es convergente.
Además denotando con S la suma de la serie y Sn =
∑n
k=1(−1)k+1ak se tienen las siguientes
acotaciones:
S2n ≤ S ≤ S2n+1, |Sn − S| < an+1
Teorema 127 (Criterio de Leibniz para series alternadas).
Prueba:
Consideramos las sumas parciales S2n y S2n+1. Para cualquier n ∈ N, dado que an es una sucesión decreciente
tenemos que S2n ≤ S2n+1. Efectivamente,
S2n =
2n∑
k=1
(−1)k+1ak ≤
2n∑
k=1
(−1)k+1ak + a2n+1 =
2n+1∑
k=1
(−1)k+1ak = S2n+1
Por otro lado, la sucesión (S2n)n es monótona creciente: como para cualquier n ∈ N a2n+1 ≥ a2n+2 tenemos
que
S2n ≤ S2n + a2n+1 − a2n+2 = S2n+2 = S2(n+1).
De la misma forma probamos que (S2n+1)n es decreciente.
Para cada n ∈ N definimos ahora In = [S2n, S2n+1]. Los intervalos In forman una sucesión de intervalos
cerrados, acotados y encajados
S2n ≤ S2n+2 ≤ S2n+3 ≤ S2n+1 ⇔ In+1 ⊂ In
Como además
Long(In) = |S2n+1 − S2n| = a2n+1
tenemos que ĺımn→∞ Long(In) = 0 el principio de Cantor asegura que existe S un único punto común a
todos los intervalos (que es S = ĺımn S2n = ĺımn S2n+1).
La desigualdad |Sn − S| < an+1 es fácil de ver.
X Si n = 2k tenemos que S2k ≤ S ≤ S2k+1 y por tanto |S − S2k| < a2k+1.
X Si n = 2k + 1, también S2k+2 ≤ S ≤ S2k+1 y |S − S2k+1| ≤ |S2k+1 − S2k+2| ≤ a2k+2.
Finalmente, y dado que ĺımn an = 0 y |S − Sn| ≤ an+1 se cumple que ĺımn Sn = S.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 271 Caṕıtulo 6
Como consecuencia del criterio de Leibniz tenemos que la serie
∑
n≥1
(−1)n+1 1
n
es convergente a un
número real S y |S − Sn| < 1n+1 .
Ejemplo 91.
El cálculo del valor de la suma de la serie lo haremos más adelante con la ayuda de las series de potencias.
Notad, sin embargo, que la serie
∑
n≥1
(−1)n+1 1
n
no es absolutamente convergente ya que al tomar valor
absoluto en el término general de la serie resulta la serie armónica. Volveremos pronto a este ejemplo pero
antes vamos a introducir algunos conceptos más.
Sean
∞∑
n=1
an y
∞∑
n=1
bn dos series. Diremos que la serie
∞∑
n=1
bn es una reordenación de la serie
∞∑
n=1
an
si existe una biyección ϕ : N→ N tal que bn = aϕ(n).
Definición 79.
Es fácil ver que si una serie convergente es de términos positivos cualquier reordenada suya también es
convergente y ambas tienen la misma suma, ya que la convergencia equivale a la acotación de las sumas
parciales.
Una serie
∞∑
n=1
an se dice que es incondicionalmente convergente si todas sus reordenadas son
convergentes y tienen la misma suma.
Definición 80.
Lo que cuesta un poco más de probar es el siguiente resultado.
Una serie
∞∑
n=1
an es absolutamente convergente si, y solo si, es incondicionalmente convergente.
Teorema 128.
Por lo tanto, para la serie
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
que no es absolutamente convergente podremos encontrar una
reordenada que siendo convergente no sume lo mismo que
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
.
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 272 Caṕıtulo 6
Lo que vamos a enunciar a continuación es un caso particular del conocido como Teorema de Riemann
de reordenación de series.
Sea A > 0 cualquiera. Podemos encontrar una reordenación de la serie
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
de manera
que su suma sea precisamente A.
Ejemplo 92.
Solución:
La idea de la prueba se basa en que las series cuyos términos generales son an =
1
2n y bn =
1
2n−1 son
divergentes y que (−1)
n+1
n es igual a −an para n par e igual a bn para n impar.
Como A > 0 y la serie
∞∑
n=1
1
2n− 1
es divergente, sea k1 ∈ N el primer natural impar que cumple
1 +
1
3
+
1
5
+ . . .+
1
k1
> A
Sea ahora j1 ∈ N el primer natural par de manera que (por ser
∞∑
n=1
1
2n
divergente)
1 +
1
3
+
1
5
+ . . .+
1
k1
−
(
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
j1
)
< A
Tomamos ahora k2 ∈ N el primer número impar que cumple
1 +
1
3
+
1
5
+ . . .+
1
k1
−
(
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
j1
)
+
1
k1 + 2
+
1
k1 + 4
+ . . .+
1
k2
> A
Hemos obtenido aśı una reordenada de la serie original que converge hacia A (esto se debe a que ĺımn→∞
1
2n =
ĺımn→∞
1
2n−1 = 0).
También podemos tomar A = +∞ y reordenar para que la serie obtenida sea divergente (haciendo que las
sumas sean sucesivamente mayores que 1, 2, etc...)
Fin de la solución
Este ejemplo muestra que la idea de serie como la suma de infinitos números no es muy apropiada ya
que dependiendo del orden en que sumemos dichos números podemos obtener distintos resultados.
Producto de series absolutamente convergentes
Consideremos las series
∑∞
n=1 an y
∑∞
n=1 bn. Se define el producto de Cauchy de dichas series
como la serie
∑∞
n=1 cn definida mediante cn :=
n∑
k=1
akbn+1−k
Definición 81 (El producto de Cauchy de series).
Luis Oncina, Cálculo I
6.1 Series numéricas 273 Caṕıtulo 6
Notad que c1 = a1b1, c2 = a1b2 + a2b1, c3 = a1b3 + a2b2 + a3b1, . . . Aśı, el producto de Cauchy es hacer
n∑
j=1
cj =
(
n∑
k=1
ak
)(
n∑
k=1
bk
)
agrupando de forma adecuada los productos que surgen en el lado derecho de la igualdad.
Sean
∑∞
n=1 an y
∑∞
n=1 bn absolutamente convergentes con sumasA yB respectivamente. Entonces
el producto de Cauchy es convergente y tiene por suma AB.
Teorema 129.
Prueba:
Sean α =
∑∞
n=1 |an| y β =
∑∞
n=1 |bn|. Sea n ∈ N
n∑
j=1
|cj | =
n∑
j=1
∣∣∣∣∣
j∑
k=1
akbj+1−k
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
j=1
j∑
k=1
|ak||bj+1−k| =
(
n∑
k=1
|ak|
)(
n∑
k=1
|bk|
)
≤ αβ
Tenemos que las sumas parciales de la serie
∑∞
n=1 |cn| están acotadas superiormente y por tanto la serie es
absolutamente convergente, en particular, convergente.
Como para todo n ∈ N es
n∑
j=1
cj =
(
n∑
k=1
ak
)(
n∑
k=1
bk
)
tomando ĺımites en esta expresión obtenemos
∞∑
n=1
cn =
( ∞∑
n=1
an
)( ∞∑
n=1
bn
)
Fin de la prueba
Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series:
(a)
∞∑
n=2
(−1)n
logn
, (b)
∞∑
n=1
(−1)nn2
n3 + 1
, (c)
∞∑
n=1
cosn
n3 + 1
(d)
∞∑
n=1
(−1)n
n2
, (e)
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
, (f)
∞∑
n=1
(−1)n+1 4n+ 3
n3
Ejercicios 19.
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 274 Caṕıtulo 6
6.2. Series de potencias
Las pruebas de “dif́ıciles” de esta sección las encontramos en el Apéndice B.4.
Una serie de potencias entorno a x0 ∈ R es una expresión del tipo
∞∑
n=0
an(x− x0)n
donde (an)n es una sucesión dada.
Definición 82.
Para cada valor de x se tiene una serie numérica, que puede o no ser convergente.
Para x0 siempre lo es, y dependiendo de la sucesión (an)n puede que no haya otro valor diferente de x
para el que la serie converja.
El análisis de la convergencia absoluta puede realizarse con ayuda del criterio de la ráız. En efecto, si
existe
ĺım n
√
|an||x− x0|n = |x− x0| ĺım n
√
|an| < 1
la serie converge absolutamente; y esto ocurre si, y sólo si,
|x− x0| <
1
ĺım n
√
|an|
=: R ∈ [0,∞]
Para los valores x que satisfacen
ĺım n
√
|an||x− x0| > 1
el término general de la serie
∑∞
n=0 an(x− x0)n no tiene ĺımite cero y por tanto la serie no converge.
Sea
∞∑
n=0
an(x− x0)n una serie de potencias. Se define el radio de convergencia de la serie como
R :=
1
ĺım n
√
|an|
∈ [0,∞]
(en el caso de que el ĺımn→∞
n
√
|an| exista) y el radio (o bola) abierto con centrox0 y radio R
recibe el nombre de intervalo de convergencia de la serie.
Definición 83 (Radio de convergencia).
Aśı pues la serie
∞∑
n=0
an(x − x0)n converge absolutamente si |x − x0| < R y no converge si
|x− x0| > R. En el caso de los puntos donde |x− x0| = R no se puede asegurar nada.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 275 Caṕıtulo 6
Para ser más precisos, el radio de convergencia de la serie R se define como R := 1
ĺım sup n
√
|an|
que siempre existe ya que ĺım supn
n
√
|an| es el mayor punto de aglomeración de n
√
|an| (será un
número real si la sucesión está acotada o infinito si no lo está).
Nota.
La serie de potencias
∞∑
i=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 tiene por radio de convergencia 1.
Ejemplo 93.
Solución:
Sea
an =

0 para n = 0
(−1)
n+1
2
n si n es impar
0 si n es par
La serie es entonces
∞∑
i=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 =
∞∑
n=0
anx
n
La sucesión
n
√
|an| =

0 para n = 0
1
2n+1
√
2n+1
si n es impar
0 si n es par
no tiene ĺımite. Sin embargo, la subsucesión de los impares converge a 1. Es decir
ĺım sup
n
n
√
|an| = 1
Fin de la solución
Por lo tanto, cuando nos encontremos series de potencias de este tipo (exponentes pares o impares)
utilizaremos ĺım n
√
|an| aunque lo que estemos haciendo es calcular el ĺım sup.
El corolario 44, 3, nos dice que en el caso de que exista el ĺımn→∞
|an+1|
|an| es igual a ĺımn
n
√
|an| y
por lo tanto
R = ĺım
n
|an|
|an+1|
Nota.
El siguiente teorema nos proporciona las propiedades que tienen las series de potencias. La prueba es muy
técnica y excede los objetivos de este curso. Lo que viene a decir es que las series de potencias se comportan
en muchos casos como los polinomios.
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 276 Caṕıtulo 6
Propiedades de las series de potencias
Sea la serie de potencias
∞∑
n=0
an(x−x0)n y pongamos f(x) =
∑∞
n=0 an(x−x0)n para x ∈ B(x0, R)
siendo R el radio de convergencia de la serie. Entonces:
1. La función f es continua en B(x0, R).
2. La serie
∞∑
n=1
nan(x− x0)n−1 obtenida derivando formalmente la anterior término a término
tiene radio de convergencia R, la función f es derivable siendo
f ′(x) =
∞∑
n=1
nan(x− x0)n−1,
para x ∈ B(x0, R).
3. La serie
∞∑
n=0
an
n+ 1
(x−x0)n+1 obtenida integrando formalmente la anterior término a término
tiene radio de convergencia R y es, precisamente, una de las primitivas de f , es decir,∫
f(x)dx =
∞∑
n=0
an
n+ 1
(x− x0)n+1 + C,
para x ∈ B(x0, R).
Teorema 130.
La demostración de este teorema y del criterio de Abel que veremos más adelante requiere profundizar
en la convergencia de las series de potencias. Esto lo hacemos en el Apéndice B.4.
La prueba del apartado 1: La prueba del apartado 2:
El apartado 3 es una consecuencia inmediata del apartado 2.
Es consecuencia del apartado 2 del teorema anterior el siguiente resultado, que nos dice que si hacemos el
desarrollo de Taylor “infinito” de la función definida por la serie de potencias, dicho desarrollo es precisamente
la serie de potencias.
Sea la serie de potencias f(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)n cuyo radio de convergencia es R, entonces f es
una función infinitamente derivable en B(x0, R) y an =
f(n)(x0)
n! para n ≥ 0.
Corolario 131 (Unicidad del desarrollo en serie de potencias).
Volvamos al ejemplo 93. La serie de potencias
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 define a una función f : (−1, 1) → R.
¿Quien es esta función?
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 277 Caṕıtulo 6
Para x ∈ (−1, 1) es arctanx =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1
Ejemplo 94.
Solución:
Para x ∈ (−1, 1)
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 =
∞∑
n=0
∫
(−1)nx2n dx =
∫ ( ∞∑
n=0
(−1)nx2n
)
dx =
∫ ( ∞∑
n=0
(−x2)n
)
dx =
=
∫
1
1 + x2
dx = arctanx+K
Ahora bien como la serie de potencias vale 0 cuando x = 0 y arctan 0 = 0 resulta que K = 0 por lo que
obtenemos la fórmula del enunciado. Notad que si |x| > 1 la serie es divergente luego esta fórmula sólo es
válida en (−1, 1).
Lo hacemos con Maxima de otra forma
(%i1) a(n):=(-1)^n/(2*n+1);
( %o1) a (n) :=
(−1)n
2n+ 1
Hallamos el radio de convergencia
(%i2) limit((abs(a(n)))^(1/n),n,inf);
( %o2) 1
Luego para x ∈ (−1, 1) tenemos que la serie de potencias define una cierta función f . Vamos a hallarla.
(%i4) f:sum(a(n)*x^(2*n+1),n,0,inf);
( %o4)
∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n+ 1
Derivando en la expresión
(%i5) diff(f,x);
( %o5)
∞∑
n=0
(−1)n x2n
“Poniendo el signo menos junto a x2”, sumamos la serie
(%i7) sum((-x^2)^n,n,0,inf),simpsum;
Is (x− 1) (x+ 1) positive, negative or zero?negative;
( %o7)
1
x2 + 1
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 278 Caṕıtulo 6
Claro, la serie la sumamos para x ∈ (−1, 1), es decir, x2 < 1⇔ (x−1)(x+1) < 0. Calculando una primitiva
de esta función recuperamos f
(%i8) f=integrate(%,x)+C;
( %o8)
∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n+ 1
= C + atan (x)
Para hallar el valor de la constante de integración evaluamos la expresión anterior para x = 0.
(%i9) ev(%,x=0);
( %o9) 0 = C
Fin de la solución
Funciones anaĺıticas reales
Dada una función f de clase C∞ (en un entorno de un punto x0) podemos plantear la serie de
potencias
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n
Supongamos que dicha serie de potencias tiene radio de convergencia R > 0. Aśı, la expresión
anterior define una función en (x0−R,x0+R) que llamaremos g. Por el corolario anterior sabemos
que g es infinitamente derivable en (x0 − R,x0 + R). La pregunta natural es ¿coinciden f y g
en algún entorno de x0? La respuesta, en general, es no (a las funciones que cumplen esto se las
conoce como funciones anaĺıticas reales), pero en muchos casos esto śı es aśı.
Nota.
Desarrollos en series de potencias de algunas funciones
(%i1) powerseries(exp(x),x,0);
( %o1)
∞∑
i1=0
xi1
i1!
Los ı́ndices que utiliza... pues la verdad es que no quedan bien
(%i2) niceindicespref:[n];
( %o2) [n]
(%i4) niceindices(powerseries(exp(x),x,0));
( %o4)
∞∑
n=0
xn
n!
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 279 Caṕıtulo 6
(%i5) niceindices(powerseries(sin(x),x,0));
( %o5)
∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n+ 1)!
(%i6) niceindices(powerseries(cos(x),x,0));
( %o6)
∞∑
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
(%i7) niceindices(powerseries(log(1+x),x,0));
( %o7) −
∞∑
n=1
(−1)n xn
n
Para todo x ∈ R es
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
Ejemplo 95.
Solución:
La serie de potencias
∞∑
n=0
xn
n!
tiene radio de convergencia ∞ ya que
R =
1
n!
1
(n+1)!
= ĺım
n→∞
(n+ 1) =∞
Aśı que define una función infinitamente derivable f : R→ R. Queremos probar que para cada x ∈ R (fijo)
es ex = f(x), es decir,
ex = ĺım
n→∞
n∑
k=0
xk
k!
(†)
La fórmula de Taylor asegura que para un cierto c entre 0 y x (que también depende de n) se cumple
ex =
n∑
k=0
xk
k!
+
ec
(n+ 1)!
xn+1
Gracias al corolario 42 es claro que
ĺım
n→∞
ec
(n+ 1)!
xn+1 = 0
con lo que probamos la afirmación (†).
Fin de la solución
Aśı que podemos tomar como definición de exponencial precisamente la serie de potencias. Usando la
serie de potencias como definición podemos obtener las propiedades de la exponencial. Veamos algunas
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 280 Caṕıtulo 6
Algunas propiedades
1. ex es continua y derivable en todo R.
2. (ex)′ = ex para todo x ∈ R
3. exey = ex+y
4. ex > 0 para todo x ∈ R
5. Si x > y entonces ex > ey.
Ejemplo 96.
Solución:
1. Es consecuencia del teorema 130.
2.
(ex)′ =
( ∞∑
n=0
xn
n!
)′
=
∞∑
n=1
nxn−1
n!
=
∞∑
n=1
xn−1
(n− 1)!
=
∞∑
n=0
xn
n!
= ex
3.
Lo hacemos con Maxima
(%i1) A:sum(x^n/n!,n,0,inf);
( %o1)
∞∑
n=0
xn
n!
(%i2) B:sum(y^n/n!,n,0,inf);
( %o2)
∞∑
n=0
yn
n!
(%i3) A*B;
( %o3)
( ∞∑
n=0
xn
n!
) ∞∑
n=0
yn
n!
Vamos a simplificar este producto usando el producto de Cauchy de series que conoce Maxima . Para ello
necesitamos los siguientes comandos.
(%i4) sumexpand:true;
( %o4) true
(%i5) cauchysum:true;
( %o5) true
(%i6) A*B;
( %o6)
∞∑
i1=0
i1∑
i2=0
xi2 yi1−i2
(i1− i2)! i2!
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 281Caṕıtulo 6
(%i7) niceindices(%);
( %o7)
∞∑
j=0
j∑
i=0
xi yj−i
i! (j − i)!
¿Esto que hemos obtenido qué es? Nosotros sabemos que A = ex y B = ey luego AB = ex+y Pero ex+y es
(%i8) C:sum((x+y)^n/n!,n,0,inf);
( %o8)
∞∑
n=0
(y + x)
n
n!
Tenemos que ver que C = AB. Como
(%i9) binomial(n,j)=n!/((n-j)!*j!);
( %o9)
(
n
j
)
=
n!
j! (n− j)!
Usando el binomio de Newton
(%i10) (y+x)^n=sum(n!/((n-j)!*j!)*x^(n-j)*y^(j),j,0,n);
( %o10) (y + x)
n
= n!
n∑
j=0
xn−j yj
j! (n− j)!
(%i11) %/n!;
( %o11)
(y + x)
n
n!
=
n∑
j=0
xn−j yj
j! (n− j)!
Sustituyendo ahora esta expresión en la serie C tenemos
(%i12) C=subst(rhs(part(%)),(x+y)^n/n!,%o8);
( %o12)
∞∑
n=0
(y + x)
n
n!
=
∞∑
n=0
n∑
j=0
xn−j yj
j! (n− j)!
Que coincide con el valor que da Maxima al hacer AB. Es decir
(%i13) %e^x*%e^y;
( %o13) ey+x
4. Del apartado anterior tenemos que para cualquier x ∈ R, exe−x = ex−x = e0 = 1 por lo que ex 6= 0. Por
otro lado, dado x ∈ R por el apartado anterior
ex = e
x
2 +
x
2 = e
x
2 e
x
2 =
(
e
x
2
)2 ≥ 0
por lo que ex > 0 para cualquier x ∈ R.
5. Como (ex)′ > 0 para todo x ∈ R tenemos que la función ex es estrictamente creciente, lo cual prueba el
enunciado.
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 282 Caṕıtulo 6
En el caṕıtulo 4 vimos que para x > 1 los polinomios de Taylor del log(1 + x) no aproximaban bien a la
función (incluso tomando grados muy grandes). Vamos a dar ahora una explicación a este fenómeno usando
el desarrollo en serie de potencias de la función log(1 + x).
Para x ∈ (−1, 1) es
log(1 + x) =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn
Ejemplo 97.
Solución:
Vamos a hacerlo de dos formas distintas.
La serie de potencias
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn
tiene radio de convergencia R = 1 ya que
ĺım
n→∞
n
√∣∣∣∣ (−1)n−1n
∣∣∣∣ = ĺımn→∞ 1n√n = 1
Tenemos aśı definida en el intervalo (−1, 1) una función derivable g(x) =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn. Su derivada es,
para |x| < 1
g′(x) =
∞∑
n=1
(−1)n−1xn−1 =
∞∑
n=1
(−x)n−1 (†)= 1
1 + x
En (†) hemos sumado la serie por ser una geométrica de razón −x con |x| < 1.
Para hallar g calculamos una primitiva
g(x) =
∫
1
1 + x
dx = log(1 + x) + C (∗)
Ahora, al sustituir x = 0 en la expresión que define g resulta g(0) = 0. Poniendo x = 0 en la expresión (*)
tenemos que 0 = g(0) = log(1 + 0) + C = C por lo que g(x) = log(1 + x).
Finalmente, el motivo por el que los polinomios de Taylor no aproximan al log(1 + x) para x > 1 es que la
serie de potencias
∞∑
k=1
(−1)k−1
k
xk es divergente en dicho caso.
Fin de la solución
El siguiente resultado es interesante en el caso de que c = R siendo R el radio de convergencia de la serie∑
anx
n. De nuevo, la prueba es bastante técnica y la ponemos en complementos.
Sea f(x) =
∑∞
n=0 anx
n una serie de potencias y supongamos que para x = c la serie es conver-
gente. Entonces f es continua en el segmento [0, c].
Proposición 132 (Criterio de Abel).
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 283 Caṕıtulo 6
Probad que
log 2 =
∞∑
n=1
(−1)n
n
Ejemplo 98.
Solución:
En primer lugar, la serie del enunciado es convergente por el criterio de Leibniz para series alternadas. Por
tanto, la función g(x) =
∞∑
n=1
(−1)n
n
xn es continua en el intervalo [0, 1]. Pero para x < 1 resulta g(x) =
log(1 + x) y por tanto
g(1) = ĺım
x→1−
g(x) = ĺım
x→1−
log(1 + x) = log 2
como queŕıamos ver.
Fin de la solución
Calculad la suma de la serie f(x) :=
∞∑
n=1
xn+3
(n+ 1)n
.
Ejemplo 99.
Solución:
Calculamos en primer lugar el radio de convergencia
ĺım
n→∞
n
√
1
(n+ 1)n
= ĺım
n→∞
1
n
√
n+ 1 n
√
n
= 1
En x = 1, la serie
∑
n
1
n(n+1) es convergente.
En x = −1, la serie
∑
n
(−1)n
n(n+1) es también convergente.
Luego f está definida y es continua (por el criterio de Abel) en [−1, 1] y es infinitamente derivable en (−1, 1).
Manipulando f
f(x) =
∞∑
n=1
xn+3
n(n+ 1)
= x2
∞∑
n=1
xn+1
n(n+ 1)
Llamamos g(x) =
∞∑
n=1
xn+1
n(n+ 1)
que tiene el mismo radio de convergencia que f . Además, si x ∈ (−1, 1),
derivando g
g′(x) =
∞∑
n=1
xn
n
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 284 Caṕıtulo 6
Derivando esta expresión de nuevo
g′′(x) =
∞∑
n=1
xn−1 =
1
1− x
g′ será pues una primitiva de 11−x por lo que g
′(x) = − log(1−x) +C. Dado que g′(0) = 0 resulta ser C = 0
y entonces
g′(x) = − log(1− x)
Para hallar g calcularemos una primitiva de − log(1 − x). Usando el método de integración por partes:
u = − log(1− x), du = − 11−x (−1) dx =
1
1−x dx; dv = dx, v = x∫
− log(1− x) dx =− x log(1− x)−
∫
x
1− x
dx = −x log(1− x)−
∫
−1 + 1
1− x
dx =
=− x log(1− x) + x+ log(1− x) + C
De nuevo, g(0) = 0 por lo que la constante de integración C = 0.
Tenemos por tanto, para x ∈ (−1, 1)
f(x) = x2g(x) = x2 (−x log(1− x) + x+ log(1− x)) = x3 + x2(1− x) log(1− x)
Hallamos ahora los valores de f en los extremos del intervalo de convergencia haciendo uso de la continuidad
en el intervalo cerrado.
f(1) = ĺım
x→1−
x3 + x2(1− x) log(1− x) = ĺım
x→1−
x2(x+ (1− x) log(1− x) = 1(1 + 0) = 1
f(−1) = ĺım
x→−1+
x3 + x2(1− x) log(1− x) = −1 + 2 log 2
Lo hacemos con Maxima
(%i1) f:sum(x^(n+3)/(n*(n+1)),n,1,inf);
( %o1)
∞∑
n=1
xn+3
n (n+ 1)
Sacamos x2 de la serie
(%i2) x^2*intosum(f/x^2);
( %o2) x2
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
Definimos la función g que si sabemos manipular
(%i3) g:sum(x^(n+1)/(n*(n+1)),n,1,inf);
( %o3)
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
(%i4) diff(g,x);
( %o4)
∞∑
n=1
xn
n
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 285 Caṕıtulo 6
(%i5) diff(g,x,2);
( %o5)
∞∑
n=1
xn−1
Sumamos la serie geométrica
(%i6) ’diff(g,x,2)=%,simpsum;
Is |x| − 1 positive, negative or zero?negative;
( %o6)
d2
dx2
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
=
1
1− x
Hallamos la derivada de g calculando una primitiva de la parte derecha
(%i7) diff(g,x)=integrate(rhs(part(%)),x)+C;
( %o7)
∞∑
n=1
xn
n
= C − log (1− x)
(%i8) subst(0,x,%);
( %o8) 0 = C
Al sustituir x = 0 en la ecuación anterior nos da que la constante de integración ha de ser cero
(%i9) ’diff(g,x)=-log(1-x);
( %o9)
d
dx
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
= −log (1− x)
Integramos de nuevo para hallar la función g
(%i10) g=integrate(rhs(part(%)),x)+C;
( %o10)
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
= C + x+ log (1− x) (1− x)− 1
(%i11) subst(0,x,%);
( %o11) 0 = C − 1
(%i12) solve(%,C);
( %o12) [C = 1]
Sustituimos el valor C = 1 para obtener el valor de g
(%i13) subst(1,C,%o10);
( %o13)
∞∑
n=1
xn+1
n (n+ 1)
= x+ log (1− x) (1− x)
Finalmente escribimos el valor de la serie
(%i14) f=x^2*rhs(part(%));
Luis Oncina, Cálculo I
6.2 Series de potencias 286 Caṕıtulo 6
( %o14)
∞∑
n=1
xn+3
n (n+ 1)
= x2 (x+ log (1− x) (1− x))
Fin de la solución
Las funciones trigonométricas
Usando series de potencias podemos definir las funciones trigonométricas.
Para cualquier x ∈ R se definen las funciones
senx :=
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!
x2n−1 cosx :=
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
Definición 84.
A partir de esta definición podemos probar solamente unas pocas propiedades de las funciones. Para
obtener las otras propiedades que conocemos de las funciones trigonométricas hay que pasar por el estudio
de las series de números complejos. Algo que queda fuera de los objetivos de este curso pero que podéis leer
en el Apéndice B.1.
1. ĺım
x→0
senx = 0
2. ĺım
x→0
senx
x
= 1
3. (senx)′ = cosx, (cosx)′ = − senx.
Proposición 133.
Prueba:
1. Es consecuencia del teorema 130.
2. Para x 6= 0
senx
x
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n−1)! x
2n−1
x
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!
x2n−2
pero esta serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia que la que define a la función seno y por
tanto define una función continua que en x = 0 toma el valor 1. Aśı ĺımx→0
sen x
x = 1.
3. Como consecuencia del teorema 130, para cada x ∈ R
(senx)′ =
( ∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!
x2n−1
)′
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!
(2n− 1)x2n−2 =
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 2)!
x2n−2 =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
(cosx)′ =
( ∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
)′
=
∞∑
n=1
(−1)n
(2n)!
2nx2n−1 =
∞∑
n=1
(−1)n
(2n− 1)!
x2n−1 = −