GEOMETRIA SEM 10 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
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 GEOMETRÍA 
 CICLO 2022 – III 
 
Tema: GEOMETRÍA DEL ESPACIO 
 
 
 
Semana Nº 10 
Ingeniería 
 
GEOMETRÍA DEL ESPACIO 
Definición.- Llamada también estereometría, es 
la parte de la Geometría en la que se estudian las 
figuras en el espacio (figuras tridimensionales). 
 
Espacio.- Es una extensión indefinida y sin 
límites conocidos. El espacio contiene al menos 
cuatro puntos no coplanares. 
 
RECTAS Y PLANOS 
 
Plano.- Es una superficie ilimitada. 
 
DETERMINACIÓN DE UN PLANO: 
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y 
PLANOS: 
 
1. Entre dos rectas. 
a) Rectas secantes.- Son coplanares y se 
intersecan. a  b : M 
b) Rectas paralelas.- Son coplanares y no se 
intersecan. a // b 
 
c) Alabeadas.- No son coplanares ni se 
intersecan. a  b  a  b :  
a 
• Tres puntos no colineales determinan un plano. a a b 
• Una recta y un punto exterior a ella determina 
un plano. 
• Dos rectas secantes determinan un plano. 
• Dos rectas paralelas determinan un plano. 
A 
A 
B 
C 
b 
M 
b
 
a) b) c) 
 
2. Dos planos. 
 
a) Planos secantes.- Si tienen una recta 
común. 
 
b) Planos paralelos.- Si no tienen ningún 
punto común. 
 
Q 
 
Formulas para hallar el número de planos: B 
P Q 
• Número de planos que se pueden formar con 
“n” puntos: 
Cn = 
n! 
 
 
3!(n − 3)! 
A P
 
• Número de planos que se pueden formar con 
“m” rectas: 
a) b) 
Cm = 
m! 
 
 
2!(m − 2)! 
 
Perpendicularidad entre recta y plano.- Para 
que una recta sea perpendicular a un plano es 
• Número máximo de planos que se pueden 
formar con “n” puntos y “m” rectas: 
necesario y suficiente que esta recta sea 
perpendicular a dos rectas secantes. 
N° = C
n + Cm + n.m 
máx 3 2 
R 
O 
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Si: L ⊥ a  L ⊥ b  L ⊥ P 
 
 
Si: L ⊥ P  TU ⊥ b  a ⊥ b 
 
 
 
Perpendicularidad entre planos.- Para que dos 
planos sean perpendiculares es necesario y 
suficiente que una recta contenida en una de ellas 
sea perpendicular al otro plano. 
Si: L ⊥ m, L ⊥ n  L  Q  P ⊥ Q 
 
 
 
 
Procedimiento 
 
 
 
 
para calcular la mínima 
distancia entre dos rectas cruzadas: 
L 
Q Paso 1. Se escoge un plano que sea 
perpendicular a una de las dos caras. 
Paso 2. Dicha recta perpendicular al plano se 
proyectara como un punto en dicho plano, la otra 
m recta también se proyecta al mismo plano. 
Paso 3. En el plano escogido se encuentran las 
n dos rectas una como un punto y la otra como una 
P 
 
 
 
 
TEOREMA DE THALES.- Si tres o más planos 
paralelos son interceptados por dos rectas 
secantes, las longitudes de los segmentos que se 
determinan entre los planos son proporcionales. 
recta de proyección de modo que la distancia del 
punto a la recta proyectada viene a ser la mínima 
distancia entre las dos rectas cruzadas. 
 
Área de la Proyección de un Triángulo sobre 
un plano. 
B 
 
 
A D 
Se cumple: 
 
B E 
 
 
C F 
 
 
 
TEOREMA DE LAS “3” PERPENDICULARES. 
Si por el pie de una recta perpendicular a un 
plano se traza una segunda perpendicular a una 
recta contenida en el plano, el pie de la segunda 
perpendicular con un punto cualquiera de la 
primera perpendicular determinara una recta 
perpendicular a la recta contenida en el plano. 
 
 
A θ H 
P 
 
C 
 
Área Δ ACH = Área Δ ABC. Cosθ 
Recta de máxima pendiente. 
Si por un punto situado en una de las caras de 
un diedro, se trazan rectas en dicha cara. 
Entonces el ángulo formado por estas rectas y la 
otra cara será máximo cuando una de las rectas 
sea perpendicular a la arista del diedro. Sea el 
gráfico. 
L 
b 
a 
P 
a: punto cualquiera 
T 
x° 
U 
b 
P 
x° = 90° 
 
AB = DE 
BC EF 
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P 
 
O 
Plano horizontal 
 
E 
α 
B 
θ 
A 
 
N 
L 
 
 
 
 
 
 
 
 
A. 𝑏√3 
 
D. 𝑏√2 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. 
𝑏√3 
2 
 
E. 
𝑏√6 
2 
 
 
 
 
C. 
𝑏√5 
2 
Donde: OB y OA son dos rectas contenidas en el 
plano P, y OA ⊥ EL . 
Entonces:    . Además la OA se llama recta de 
máxima pendiente del plano P, respecto de N. 
 
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 
 
01. Hallar el máximo número de planos que se 
forman con 𝑛 puntos y (𝑛 − 1) rectas. 
05. Por el vértice “B” de un rectángulo ABCD se 
traza BP perpendicular a su plano, sea “M” 
punto medio de AB, tal que AC = 2(MP). Si 
el ángulo entre AC y MP mide 60° y PC = 
2√5; calcular PD. 
 
A. 6 B. 4√2 C. 8 
D. 6√2 E. 8√2 
𝑛(𝑛2+6𝑛−13) 
A. 
6 
(𝑛2+6𝑛−13) 
𝑛(𝑛2+6𝑛+13) 
B. 
6 
2𝑛(𝑛2+6𝑛−13) 
06. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo lado 
mide 𝒂 se trazan las perpendiculares AA’ y 
FF’ (A’ y F’ en el mismo semiespacio) al 
plano que contiene el hexágono tal que AA’ 
C. D. 
6 5 
(𝑛2−6𝑛−13) 
E. 
6 
 
02. Se tienen tres paralelos entre sí que al ser 
intersectados por las rectas L1 y L2 
determinan los puntos A, B y C (sobre L1) y 
los puntos D, E y F (sobre L2). Si AB = 5k + 
8; BC = 32k – 13; DE = 6k y EF = 10k + 14, 
calcular EF. 
= FF’ = 𝒂√𝟏𝟑, luego la distancia entre A’F’ y 
DC, es: 
 
A. 10𝑎 B. 11𝑎 C. 11,5𝑎 
D. 12𝑎 E. 12,5𝑎 
 
07. Según la figura AL es perpendicular al plano 
que contiene a la circunferencia de diámetro 
AB, 𝑚�̂�𝑁 = 60°, AB = 8 u, AL = 5 u y la 
distancia del punto “B” a MN es √3 u. 
Calcular el área de la región triangular LMN. 
A. 12 B. 18 C. 26 
D. 34 E. 51 L 
B
 
 
03. Sea A y B puntos exteriores a un plano P, tal 
que AB ∩ P = Q, AB = 4 u, Q es un punto del M 
plano P, halle el mayor valor de la diferencia 
de las distancias de Q a los puntos A y B. 
A. 3 u B. 4 u C. 5 u A N 
D. 8 u E. 9 u 
 
04. En el gráfico mostrado; ABCD es un 
cuadrado de lado “b”. Calcular la longitud de 
FB, si DC = DF. 
 
 
 
A. √13 𝑢2 B. 3√13 𝑢2 C. 4√13 𝑢2 
D. 7√13 𝑢2 E. 9√13𝑢2 
A 
B 
P 
D 
C 
F 
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. 
08. Dado un rectángulo ABCD, se traza EB 
perpendicular al plano de dicho rectángulo, 
luego se prolonga CD hasta el punto N, tal 
que: ND = AE = 3(CD) = 3 u y m<EAB = 
m<CNE. Calcular BC. 
 
A. 2√5 𝑢 B. 2√30 𝑢 C. 4√21 𝑢 
D. 5√10 𝑢 E. 10 u 
09. En un plano P se encuentra el triángulo 
equilátero ABC cuya longitud de su lado es 
𝑃. Se traza AF = 𝑃 perpendicular al plano P. 
Calcule la distancia entre AB y FC. 
13. Un triángulo equilátero ABC se encuentra 
en un plano perpendicular a un cuadrado 
ABDE. El segmento de recta que une el 
punto medio de BC con el punto medio de 
AE mide 4 metros. Hallar el área del 
cuadrado. 
 
A. 4 m2 B. 8 m2 C. 16 m2 
 
 
D. 4√2m2 E. 10 m2 
14. Se tiene un cuadrado ABCD de 4 m de lado 
y un triángulo equilátero AFC perpendicular 
al cuadrado. Se toman los puntos medios “H” 
de BC, “P” de AD y “Q” de FH. Hallar “PQ”. 
 
 
A. 
𝑎√3 
7 
 
 
D. 
𝑎√21 
4 
 
 
B. 
𝑎√14 
3 
 
 
E. 
𝑎√21 
3 
 
 
C. 
𝑎√21 
7 
 
 
A. √15 B. √5 C. 4 
D. 5 E. 7 
 
15. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF que 
se encuentran en dos planos 
10. De la figura AB = BC = CD = k. Halle la 
distancia entre AD y BC. 
D 
A 
 
 
 
 
 
 
B C 
perpendiculares. Calcular la distancia desde 
el baricentro del triángulo FEC al centro del 
cuadrado ABCD. Si AB = BE = 6. 
 
A. 2√3 B. 3√2 C. 4√2 
D. 2√6 E. √3 
 
16. Sean ABCD y ABE un cuadrado y un 
triángulo rectángulo isósceles (AE = BE); 
contenidos en planos perpendiculares. Si 
AC se interseca con BM (“M” es punto 
medio de CD) en “P” y AB = 2a. Calcular el 
área de la región triangular EPC. 
𝑘 
A 
4 
D. 
𝑘√2 
3 
𝑘 
B. 
2 
E. 
𝑘√2 
2 
C. 
𝑘√3 
4 
𝑎2√2 
A 
2 
𝑎2√3 
D. 
3 
𝑎2√3 
B. 
2 
𝑎2 
E. 
2 
𝑎2√2 
C. 
3 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
11. Calcular el máximo número de planos que 
determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en 
el espacio. 
 
A. 48 B. 72 C. 84 
D. 96 E. 106 
 
12. Se tiene un hexágono regular ABCDEF de 
lado “a” enun plano “P”, CDL es un triángulo 
equilátero perpendicular a dicho plano. 
Hallar el área del triángulo ALF. 
17. En la figura el triángulo equilátero LMN está 
inscrito en la circunferencia cuyo radio mide 
6. Si: PM = 2(MN) y PM perpendicular al 
plano que contiene a la circunferencia, el 
área en cm2 de la región que encierra el 
triángulo PLN, es. 
P 
 
 
 
 
 
M 
𝑎2√15 
A B. 
4 
 
𝑎2√5 
D. E. 
2 
𝑎2√15 
C. 
2 
𝑎2√15 
3 
𝑎2√5 
4 
 
N 
 
 
A. 3√1539 B. 124 C. 118 
D. 3√1323 E. 132 
L 
. 
.