Estadistica_para_educacion_fisica

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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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SEGUNDA EDICIÓN 
 
 
 
FERNANDO MAUREIRA CID 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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© Texto: Fernando Maureira Cid 
 
© Estadística básica para educación física 
 
ISBN papel: 978-84-686-4579-7 
ISBN digital: 978-84-686-4604-6 
 
Impreso en España Código de barras 
Editado por Bubok Publishing S.L 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fernando Mauriera Cid 
 
Es PhD. en Educación, con especialización en 
neurociencia. Autor de más de 60 artículos científicos 
y varios libros sobre neurociencia, neuropsicobiología, 
ciencias cognitivas, metodología de la investigación y 
estadística. 
Profesor de la Escuela de Educación en Ciencias del 
Movimiento y Deportes, Universidad Católica Silva 
Henríquez. Santiago de Chile. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Dedicado a mis hermanas 
Miriam y Yessenia 
a mis padres 
Fernando y Nidia, 
a mi amor 
Elizabeth 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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La segunda edición de Estadística 
para educación física es una introducción al 
cálculo de diversas pruebas descriptivas e 
inferenciales, siendo en primera instancia 
un proceso manual y luego utilizando el 
programa estadístico SPSS. Este libro 
puede ser utilizado como base para un 
curso de estadística en carreras de educa-
ción física o ciencias del deporte y/o 
magísteres o maestrías en dichas discipli-
nas. 
Cada vez estoy más convencido de 
la importancia de conocer y entender los 
fundamentos de la estadística y su aplica-
ción en el ámbito de la educación física, 
ya que esto nos permitirá generar nuevo 
conocimiento, expandiendo el campo de 
acción de nuestra disciplina y entregando 
sólidas bases a nuestro quehacer. 
Algunas características que se han 
mantenido de la primera edición del libro 
son: el enfoque pedagógico, realizando 
las pruebas estadísticas paso a paso, de 
manera que el estudiante pueda desarro-
llar manualmente los estadísticos y así 
comprenda los fundamentos matemáticos 
que justifican la utilización de los diver- 
 sos análisis; los ejemplos enfocados en 
situaciones y estudios en el ámbito de la 
educación física, de manera que la reali- 
dad analizada sea lo más cercana al 
lector; y la utilización del SPSS como 
herramienta computacional para realizar 
las pruebas de contraste de hipótesis. 
En esta nueva edición se incluyen 
definiciones más completas de los funda-
mentos teóricos de la estadística y de las 
pruebas inferenciales; mayor número de 
análisis de datos; nuevos ejemplos para 
familiarizar al lector con la aplicación de 
las diversas pruebas; y la utilización de 
una versión más actualizada del SPSS. 
En esta nueva edición de Estadística 
para educación física quisiera volver a 
agradecer a mis estudiantes, los cuales 
gracias a sus necesidades y dudas rela-
cionadas con los análisis de datos, fueron 
un estímulo para la redacción de este 
libro y para quienes espero este texto sea 
de utilidad. 
 
 
Santiago, Julio 2017 
Fernando Maureira Cid 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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INTRODUCCIÓN 19 
 
PARTE I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 21 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 23 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 33 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 47 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 61 
 
PARTE II. MUESTRAS Y PROBABILIDADES 77 
 
Capítulo 5. Muestra y Muestreo 79 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 87 
 
PARTE III. ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA PARAMÉTRICA 101 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 103 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 115 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 127 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 137 
Capítulo 11. Análisis de varianza 155 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 169 
Capítulo 13. Correlación y regresión 183 
 
PARTE IV. ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA NO PARAMÉTRICA 201 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 203 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 225 
Capítulo 16. Asociación de variables 243 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 255 
 
ANEXOS 257 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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INTRODUCCIÓN 19 
 
PARTE I 
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 21 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 23 
1.1 Definiciones básicas 23 
1.2 Niveles de medición 25 
 1.2.1 Datos categóricos 25 
 1.2.2 Datos numéricos 25 
1.3 Análisis de datos 26 
1.4 Desarrollo histórico de la estadística 27 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 33 
2.1 Tablas de frecuencia 33 
2.2 Gráficos de barra y torta 36 
2.3 Diagrama de tallo y hoja 36 
2.4 Histograma, polígonos de frecuencia y ojiva 38 
2.5 Representación de datos en SPSS 42 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 47 
3.1 Medidas de tendencia central 47 
 3.1.1 Media aritmética 47 
 3.1.2 Mediana 48 
 3.1.3 Moda 50 
3.2 Medidas de dispersión 51 
 3.2.1 Amplitud o rango 51 
 3.2.2 Varianza 51 
 3.2.3 Desviación estándar 53 
3.3 Medidas de posición 54 
 3.3.1 Percentiles 54 
 3.3.2 Cuartiles 55 
 3.3.3 Quintiles y deciles 56 
3.4 Medidas centrales, dispersión y posición en SPSS 57 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 61 
4.1 Asimetría 61 
4.2 Curtosis 63 
4.3 Distribución según su forma 65 
4.4 Gráfico de caja (box-plot) 67 
Fernando Maureira Cid 
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4.5 Gráfico de dispersión (scatter-plot) 70 
4.6 Medidas de forma en SPSS 72 
4.7 Gráfico de caja en SPSS 74 
 
 
PARTE II 
MUESTRAS Y PROBABILIDADES 77 
 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 79 
5.1 Muestras en investigación 79 
 5.1.1 Calculo del tamaño de la muestra 79 
 5.1.2 Muestras para construir un instrumento de medición 82 
5.2 Muestreo 83 
 5.2.1 Para muestras probabilísticas 83 
 5.2.2 Para muestras no probabilísticas 85 
 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 87 
6.1 Conceptos básicos en probabilidades 87 
6.2 Distribuciones discretas 88 
 6.2.1 Distribuciónde Bernoulli 88 
 6.2.2 Distribución binominal 89 
 6.2.3 Distribución de Poison 92 
 6.2.4 Distribución hipergeométrica 93 
6.3 Distribuciones continuas 94 
 6.3.1 Distribución normal 94 
 6.3.2 Distribución Z 95 
 6.3.3 Distribuciones con muestras pequeñas 97 
 
 
PARTE III 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA PARAMÉTRICA 101 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 103 
7.1 Conceptos básicos en estadística inferencial 103 
 7.1.1 Nivel de significancia 103 
 7.1.2 Métodos de inferencia estadística 104 
7.2 Intervalos de confianza 107 
7.3 Normalidad de los datos 114 
7.4 Prueba de normalidad KS en SPSS 117 
 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 115 
8.1 Prueba KS de normalidad 115 
8.2 Prueba de normalidad de Shapiro-Wilks 118 
8.3 Prueba KS de normalidad en SPSS 121 
8.4 Prueba de normalidad de Shapiro-Wilks en SPSS 123 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 127 
9.1 Prueba de Cochran, Hartley y Bartlett 127 
9.2 Prueba de homogenidad de varianzas en SPSS 134 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 137 
10.1 Prueba t de Student para muestras independientes 137 
10.2 Prueba t de Student para muestras relacionadas 141 
10.3 Prueba t para una muestra en SPSS 146 
10.4 Prueba t para muestras independientes en SPSS 148 
10.5 Prueba t para muestras relacionadas en SPSS 151 
 
Capítulo 11. Análisis de varianza 155 
11.1 Análisis de varianza de un factor 155 
 11.1.1 Comparaciones posteriores a F 160 
11.2 ANOVA de un factor en SPSS 162 
 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 169 
12.1 Análisis de varianza de un factor de medidas repetidas 169 
 12.1.1 Comparaciones posteriores a F 174 
12.2 ANOVA de medidas repetidas en SPSS 176 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 183 
13.1 Coeficiente de correlación de Pearson 183 
13.2 Regresión lineal simple 187 
13.3 Correlación de Pearson en SPSS 191 
13.4 Correlaciones parciales en SPSS 193 
13.5 Regresión lineal simple en SPSS 195 
 
 
PARTE IV 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA NO PARAMÉTRICA 201 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 203 
14.1 Prueba U de Mann-Whitney 203 
14.2 Prueba de rangos de Wilcoxon 206 
14.3 Prueba de Chi-cuadrado 208 
14.4 Prueba de Chi-cuadrado 2x2 211 
14.5 Prueba de McNemar 213 
14.6 Prueba Z de proprociones 214 
14.7 Prueba U de Mann-Whitney en SPSS 215 
14.8 Prueba de rangos de Wilcoxon en SPSS 218 
14.9 Prueba de Chi-cuadrado en SPSS 219 
14.10 Prueba de Chi-cuadrado 2x2 en SPSS 222 
14.11 Prueba de McNemar en SPSS 223 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 225 
15.1 Análisis de la varianza unifactorial de rangos de Kruskal-Wallis 225 
15.2 Prueba de varianza por rango de Friedman 230 
15.3 Prueba Q de Cochran 234 
15.4 Prueba de Kruskal-Wallis en SPSS 236 
15.5 Prueba de Friedman en SPSS 239 
15.6 Prueba Q de Cochran en SPSS 241 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 243 
16.1 Correlación de Spearman 243 
16.2 Correlación de Phi 247 
16.3 Correlación de Spearman en SPSS 249 
16.4 Correlación de Phi en SPSS 251 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 255 
 
ANEXOS 257 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fórmula 1. Frecuencia relativa 34 
Fórmula 2. Media 47 
Fórmula 3. Mediana 49 
Fórmula 4. Rango 51 
Fórmula 5. Varianza 52 
Fórmula 6. Desviación estándar 53 
Fórmula 7. Percentil 55 
Fórmula 8. Cuartil 56 
Fórmula 9. Corrección cuartil 56 
Fórmula 10. Coeficiente de asimetría de Fisher 62 
Fórmula 11. Coeficiente de apuntamiento de Fisher 64 
Fórmula 12. Distancia inter-cuartil 67 
Fórmula 13. 1° cota 68 
Fórmula 14. 2° cota 68 
Fórmula 15. Tamaño de una muestra infinita 81 
Fórmula 16. Tamaño de una muestra finita 82 
Fórmula 17. Tamaño de una muestra estratificada 84 
Fórmula 18. Probabilidades 87 
Fórmula 19. Probabilidad de Bernoulli 89 
Fórmula 20. Probabilidad binominal 90 
Fórmula 21. Posibilidad de Poisson 92 
Fórmula 22. Modelo hipergeométrico 93 
Fórmula 23. Calificación Z 95 
Fórmula 24. Error estándar de la media con desviación estándar conocida 107 
Fórmula 25. Error estándar de la media con desviación estándar desconocida 108 
Fórmula 26. Diferencia de la media muestral y poblacional 108 
Fórmula 27. Intervalo de confianza para una población con desviación estándar 
 conocida 109 
Fórmula 28. Intervalo de confianza para una población con desviación estándar 
 desconocida 111 
Fórmula 29. Intervalo de confianza para proporciones 112 
Fórmula 30. Contraste de hipótesis para proporciones 113 
Fórmula 31. Prueba de Shapiro-Wilk 119 
Fórmula 32. Valor F 128 
Fernando Maureira Cid 
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Fórmula 33. R de Cochran 129 
Fórmula 34. F de Hartley 130 
Fórmula 35. B de Bartlett 132 
Fórmula 36. Valor C 132 
Fórmula 37. Valor S2p 132 
Fórmula 38. Error estándar de la diferencia de medias independientes con desviación 
 estándar conocida 138 
Fórmula 39. Error estándar de la diferencia de medias independientes con desviación 
 estándar desconocida 138 
Fórmula 40. Intervalos de confianza de diferencia de medias independientes 139 
Fórmula 41. Valor t de muestras independientes 139 
Fórmula 42. Tamaño del efecto de la prueba t para muestras independientes 140 
Fórmula 43. Desviación típica combinada 140 
Fórmula 44. Suma de cuadrados de la diferencia 143 
Fórmula 45. Desviación estándar de diferencia de medias relacionadas 143 
Fórmula 46. Error estándar de diferencia de medias relacionadas 143 
Fórmula 47. Intervalos de confianza de diferencia de medias relacionadas 144 
Fórmula 48. Valor t de muestras relacionadas 145 
Fórmula 49. Tamaño del efecto de la prueba t para muestras relacionadas 145 
Fórmula 50. Suma de cuadrados totales 156 
Fórmula 51. Suma de cuadrados inter-grupos 157 
Fórmula 52. Suma de cuadrados intra-grupos 157 
Fórmula 53. Cuadrados medios inter-grupos 158 
Fórmula 54. Cuadrados medios intra-grupos 158 
Fórmula 55. Valor F de análisis de varianza 158 
Fórmula 56. Cuadrado medio intra-grupo promedio 160 
Fórmula 57. Error estándar de una media 161 
Fórmula 58. Valor D 161 
Fórmula 59. Suma de cuadrados totales 170 
Fórmula 60. Suma de cuadrados inter-grupos 171 
Fórmula 61. Suma de cuadrados inter-sujetos 171 
Fórmula 62. Suma de cuadrados residual 172 
Fórmula 63. gl inter-grupos 172 
Fórmula 64. gl inter-sujetos 172 
Fórmula 65. gl residual 172 
Fórmula 66. gl total 172 
Fórmula 67. Media cuadrática inter-grupos 172 
Fórmula 68. Media cuadrática residual o intra-grupos 173 
Fórmula 69. Valor F 173 
Fórmula 70. Intervalos de confianza para pares de medias 175 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fórmula 71. Covarianza 184 
Fórmula 72. Correlación de Pearson 185 
Fórmula 73. Coeficiente de determinación 186 
Fórmula 74. Regresión lineal 188 
Fórmula 75. Suma de los errores al cuadrado 188 
Fórmula 76. Valor β1 188 
Fórmula 77. Valor SSxy 188 
Fórmula 78. Valor SSxx 188 
Fórmula 79. Valor β0 189 
Fórmula 80. Varianza residual 190 
Fórmula 81. Estadístico de contraste t para regresión lineal 191 
Fórmula 82. ValorU de Mann-Whitney 204 
Fórmula 83. Puntuación Z de la U de Mann-Whitney 205 
Fórmula 84. Puntuación Z de la prueba de Wilcoxon 208 
Fórmula 85. Media de la T de Wilcoxon 208 
Fórmula 86. Desviación estándar de la T de Wilcoxon 208 
Fórmula 87. Frecuencia esperada 209 
Fórmula 88. Prueba de Chi-cuadrado 210 
Fórmula 89. Grados de libertad de Chi-cuadrado 210 
Fórmula 90. Valor de Chi-cuadrado para tabla de 2x2 212 
Fórmula 91. Valor X2 de McNemar 213 
Fórmula 92. Prueba Z de proporciones 214 
Fórmula 93. Valor de Kruskal-Wallis sin empates 227 
Fórmula 94. Valor de Kruskal-Wallis con empates 227 
Fórmula 95. Valor crítico de diferencias de KW 229 
Fórmula 96. Valor de Friedman sin empates 232 
Fórmula 97. Valor de Friedman con empates 232 
Fórmula 98. Valor crítico de diferencias de Friedman 233 
Fórmula 99. Valor Q 235 
Fórmula 100. Correlación de Spearman sin empates 245 
Fórmula 101. Correlación de Spearman con empates 246 
Fórmula 102. Correlación de Phi 248 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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19 
 
 
 
 
 
 
La estadística es un elemento funda-
mental para desarrollar nuestras investí-
gaciones científicas, ya que ella nos per-
mite clasificar, comparar y asociar nues-
tros datos, de manera tal que podamos 
generar conclusiones e inferencias. Una 
vez que determinamos nuestro tipo de 
investigación (exploratoria, descriptiva, 
correlacional o explicativa), nuestro dice-
ño (experimental o no experimental), 
nuestros instrumentos y recogemos los 
datos, debemos proceder a aplicar diver-
sos análisis estadísticos para obtener 
nuestros resultados. 
Existen falencias en los conocimien-
tos y aplicaciones de la estadística por 
parte de los estudiantes y profesionales 
de la educación física, por lo que surge la 
idea de este libro con los aspectos básicos 
de esta ciencia, orientado a los lectores 
que estudian por primera vez esta área de 
conocimiento, ya sea por la exigencia de 
un curso o por la necesidad de realizar 
una investigación orientada a la obten-
ción de una licenciatura o magíster. 
El libro está dividido en 4 partes: la 
primera corresponde a la estadística des-
criptiva, constituida por cuatro capítulos 
donde se explican algunos conceptos fun-
damentales para esta ciencia, se presenta 
una clasificación de los principales análi-
sis, se realiza un breve resumen de la his-
toria de esta rama de las matemática, se 
muestra el paso a paso de los cálculos de 
frecuencia, las principales formas de 
representación gráfica de las mismas, los 
principales análisis de tendencia central, 
dispersión, posición y forma. Todos para 
presentar los datos de una investigación. 
 En la segunda parte, constituida por 
dos capítulos, se estudia el cálculo del ta-
maño de las muestras y las formas de 
muestreo. Además se analizan breve-
mente las principales distribuciones de 
datos, tanto discretas como continuas. 
La tercera parte corresponde a la 
estadística inferencial univariada para-
métrica y está constituida por siete 
capítulos. En ellos se realiza una intro-
ducción a los conceptos más relevantes 
en estadística inferencial: nivel de signi-
ficancia, estimaciones, contraste de hipó-
tesis y cálculos de normalidad en la dis-
tribución de datos. Luego se explican los 
cálculos de igualdad de varianzas y 
pruebas estadísticas para comparar dos y 
tres o más grupos diferentes (prueba t 
para muestras independientes y ANO-
VA de un factor), dos y tres o más 
mediciones al mismo grupo (prueba t 
para muestras relacionadas y ANOVA 
de un factor de medidas repetidas) y 
asociaciones entre variables (correlacio-
nes de Pearson y regresiones lineales 
simples). 
La cuarta parte corresponde a la 
estadística inferencial univariada no 
paramétrica, constituida por tres capítu-
los. En ellos se explican los análisis para 
datos que no poseen una distribución 
normal, comparando dos y tres o más 
grupos diferentes (prueba U de Mann-
Whitney, de Wilcoxon y Chi-cuadrado), 
comparando dos y tres o más mediciones 
al mismo grupo (Kruskal-Wallis, Fried-
man y Q de Cochran) y asociación de 
variables (correlaciones de Spearman y 
de Phi). 
Fernando Maureira Cid 
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Cada capítulo presenta los análisis 
de datos en su versión manual y en el 
programa estadístico SPSS 22.0. 
Es importante destacar que los ejem-
plos mostrados en cada uno de los capítu-
los y temas de este libro son FICTICIOS y 
solo formulados para ilustrar los análisis 
correspondientes. 
 Espero que este libro pueda ser una 
guía para estudiantes de pre-grado y 
magíster en educación física, como así 
también para profesionales del área que 
deseen explorar y desarrollar la inves-
tigación científica y ayuden de este modo 
al crecimiento de nuestra disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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La estadística es una rama de las 
matemáticas que reúne y clasifica los da-
tos numéricos para generar conclusiones 
e inferencias a partir de ellos. General-
mente se cuenta sólo con un pequeño con-
junto de datos, ya que puede resultar difí-
cil medir a todas las unidades que posean 
las características que interesan al investí-
gador. Pese a ello es posible inferir parti-
cularidades del conjunto total de unida-
des con sólo un pequeño grupo de ellas. 
Por ejemplo, es posible conocer con cierta 
precisión la estatura promedio de todos 
los estudiantes de un colegio, aun cuando 
sólo evaluemos a algunos de ellos. 
La particularidad de describir e infe-
rir información es lo que hace de la esta-
dística una disciplina tan atractiva para 
cualquier ámbito de conocimiento. Debi-
do a la necesidad de incorporar esta rama 
de las matemáticas a la educación física es 
que comenzaremos nuestro estudio con la 
aclaración de algunos conceptos funda-
mentales y que se utilizarán a los largo de 
este libro. 
 
 
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 
 
a) Población: conjunto total de sujetos o 
unidades de análisis sobre los que de-
seamos hacer conclusiones. En gene-
ral este conjunto es demasiado grande 
para abarcarlo en su totalidad. Por 
 ejemplo: los 10.000 estudiantes de 
enseñanza media de los colegios de 
la comuna de Santiago Centro, los 
5.000 adultos mayores de la zona 
oriente de Santiago, los 700 estudian-
tes de enseñanza básica de un colegio 
de Iquique, las 1.200 personas que 
asisten a un gimnasio de la comuna 
de Providencia, etc. 
 
b) Muestra: subconjunto de la pobla-
ción a la cual tenemos acceso y sobre 
quienes se realizarán verdaderamen-
te las mediciones. Por ejemplo: 250 
estudiantes de enseñanza media de 5 
colegios de la comuna de Santiago 
Centro, 160 adultos mayores de la 
zona oriente de Santiago, 80 estu-
diantes de enseñanza básica de un 
colegio de Iquique, 130 personas que 
asisten a un gimnasio de la comuna 
de Providencia, etc. 
 
c) Variable: es una característica obser-
vable que varía entre los diferentes 
individuos de una población. Por 
ejemplo: la edad, estatura, peso, 
porcentaje de grasa corporal, fuerza, 
resistencia, etc. 
 
d) Dato: un valor particular de una va-
riable,también llamado observación 
o medición. Por ejemplo: 28 años, 
1,82 mts. de estatura, 84 kilos, 21% de 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
24 
 
 
grasa corporal, 7 minutos en el test de 
Naveta, etc. 
 
e) Parámetro: Cantidad numérica calcu-
lada sobre una población. Por ejem-
plo: la estatura media de los 10.000 
estudiantes de enseñanza media de 
los colegios de la comuna de Santiago 
Centro, la fuerza del tren superior de 
los 5.000 adultos mayores de la zona 
oriente de Santiago, la resistencia de 
los 700 estudiantes de enseñanza 
básica de un colegio de Iquique, el 
porcentaje de grasa de las 1.200 
personas que asisten a un gimnasio 
de la comuna de Providencia, etc. 
 
f) Estadístico: Cantidad numérica calcu-
lada sobre la muestra. Por ejemplo, la 
 estatura media de 250 estudiantes de 
enseñanza media de los colegios de 
la comuna de Santiago Centro, la 
fuerza del tren superior de 160 
adultos mayores de la zona oriente 
de Santiago, la resistencia de 80 
estudiantes de enseñanza básica de 
un colegio de Iquique, el porcentaje 
de grasa de 130 personas que asisten 
a un gimnasio de la comuna de 
Providencia, etc. 
 
g) Censo: datos de una o más variables 
de toda la población. Por ejemplo: el 
CENSO poblacional que se realiza en 
nuestro país cada 10 años. 
 
h) Unidad de análisis: corresponde al 
objeto estudiado. Por ejemplo, una 
 
 
 
 
 
 Variable Caso Observación 
 
Figura 1.1 Conceptos importantes en un conjunto de datos. 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
25 
 
 
persona, una familia, un colegio, una 
región, un país, etc. 
 
i) Caso o registro: corresponde al con-
junto de mediciones realizadas sobre 
una unidad de análisis. Por ejemplo: 
el sexo, la edad, el curso y el IMC de 
una persona; la fuerza, velocidad, 
resistencia y flexibilidad de un depor-
tista, etc. 
 
 
1.2 NIVELES DE MEDICION 
 
Los datos obtenidos de nuestras va-
riables evaluadas pueden ser de dos ti-
pos: a) categóricos; b) numéricos. Deter-
minar correctamente el nivel de medición 
(o naturaleza de los datos) es fundamen-
tal en estadística, ya que esto determinará 
finalmente que tipos de análisis podemos 
realizar con ellos. 
 
 
1.2.1 Datos categóricos 
 
Las variables categóricas son las que 
registran la presencia de un atributo. Es 
importante destacar que las categorías 
deben ser excluyentes, es decir, un mismo 
sujeto no puede estar en dos categorías al 
mismo tiempo. La cantidad de categorías 
va a depender de las características del 
atributo medido. Son ejemplos de datos 
categóricos la puntuación baja, media y 
alta de un test; la presencia y ausencia de 
una cualidad; el tipo de colegio (munici-
pal, subvencionado y particular), etc. 
Las variables categóricas se dividen a 
su vez en dos grupos: 
 
a) Variables categóricas nominales: Son 
aquellas donde las categorías no po-
seen un orden, todas valen los mismo. 
 Estas variables pueden ser dicotó-
micas (cuando poseen dos catego-
rías) o policotómicas (tres o más ca-
tegorías). Por ejemplo: 
 Sexo de un sujeto: masculino-feme-
nino (variable dicotómica) 
 Presencia o ausencia de un atributo: 
embarazada – no embarazada (varia-
ble dicotómica) 
 Religión: cristiano, musulmán, pro-
testante, budista, etc. (variable poli-
cotómica) 
 Estado civil: soltero, casado, separa-
do, viudo (variable policotómica). 
 Comuna de residencia: Santiago Cen-
tro, Recoleta, Providencia, Ñuñoa, 
Maipú, etc. (variable policotómica). 
 
b) Variables categóricas ordinales: Son 
aquellas donde las categorías poseen 
un orden jerárquico, es decir, hay 
categorías mayores o más importan-
tes que otras. Por ejemplo: 
 Cursos del colegio (1°, 2°, 3°, 4°, etc.) 
 Nivel de desarrollo de patrones mo-
tores (bajo, medio y alto) 
 IMC (bajo-peso, normal, sobrepeso, 
obeso) 
 Puesto de trabajo (rector, director, 
subdirector, jefe de UTP, profesor, 
etc.) 
 
 
1.2.2 Datos numéricos 
 
También conocidas como variables 
continuas o discretas. Las variables nu-
méricas son las que presentan el resul-
tado de sus observaciones como núme-
ros, permiten ordenar los valores en un 
continuo y el intervalo entre cada par de 
valores es siempre el mismo indepen-
diente del lugar donde este (el intervalo 
entre el 4 y el 5 es el mismo que entre el 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
26 
 
 
81 y 82). Estas variables se clasifican 
en dos grupos: 
 
a) Variables intervalares: Son aquellas 
que miden atributos donde el cero es 
arbitrario y no significa la ausencia 
del atributo. También puede tomar 
valores negativos. Por ejemplo: 
 Las puntuaciones en las pruebas. 
 Las puntuaciones de coeficiente inte-
lectual. 
 Las puntuaciones de un test cognitivo 
(atención, memoria, planificación, 
etc.). 
 La temperatura (en grados Celsius o 
Fahrenheit). 
 Las puntuaciones de un test de motri-
cidad, agilidad, coordinación, etc. 
 
b) Variables de razón: Son aquellas que 
miden atributos donde el cero no es 
arbitrario, sino que indica la ausencia 
de dicha característica. No existen los 
valores negativos. Por ejemplo: 
 Edad, peso, estatura, etc. 
 Número de hermanos (el cero indica 
que no se tiene hermanos). 
  Velocidad, fuerza, resistencia, etc.  Número de ingreso y egreso de una 
carrera, etc. 
 
Como se dijo anteriormente, es muy 
importante definir correctamente el tipo 
de datos al que corresponden nuestros 
valores medidos, ya que eso determina 
que tipos de análisis estadísticos son 
posibles de realizar y cuáles no. Por 
ejemplo, obtener el promedio de una 
variable numérica tiene sentido en 
cambio determinar el promedio de una 
variable categórica no lo tiene. 
 
 
1.3 ANALISIS DE DATOS 
 
La estadística se divide en dos gran-
des áreas: la estadística descriptiva o aná-
lisis exploratorio de datos (presentación 
de los datos organizados y resumen de 
los mismos) y la estadística inferencial 
(conjunto de métodos que permiten pre-
decir características de un fenómeno). 
La estadística descriptiva contiene 
las tablas de frecuencia, gráficos, medi- 
 
 
 
 
Figura 1.2 Tipos de datos. 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
27 
 
 
 
 
Figura 1.3 Tipos de análisis en la estadística descriptiva. 
 
 
 
das de tendencia central, medidas de dis-
persión, medidas de posición y medidas 
de forma (Fig. 1.3). 
Por su parte, la estadística inferen-
cial se divide en Univariada (cuando en 
la investigación existe una sola variable 
dependiente, pudiendo existir 1 o más va-
riables independientes) y Multivariada 
(cuando en la investigación existen dos o 
más variables dependientes, pudiendo 
existir una o más variables independien-
tes). La estadística univariada puede divi-
dirse en paramétrica y no paramétrica, 
existiendo en ambos casos prueba para 
comparar grupos y para realizar asocia-
ciones entre variables (Fig. 1.4). Por su 
parte, la estadística multivariada se 
divide en métodos de dependencia, 
métodos de interdependencia y métodos 
 estructurales (en este libro se abordará la 
estadística descriptiva y la univariada). 
 
 
1.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE 
 LA ESTADÍSTICA 
 
La estadística es tan antigua como 
la escritura y corresponde a un elemento 
complementario a todas las ciencias. La 
historia de esta disciplina puede clasifi-
carse en 4 etapas: Censos, Aritmética Po-
lítica, Cálculo de probabilidades y Esta-
dística moderna. 
 
a) La primera etapa de la estadística se 
conoce como los censos, ya que se 
basa en la descripción de la población 
y riquezas por parte de los gobernan- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
28 
 
 
 
 
Figura 1.4 Tipos deanálisis en la estadística inferencial univariada. 
 
 
 
tes para lograr mejorar la administra-
ción de los estados. A continuación 
se presentan los hechos más relevan-
tes de esta etapa: 
 
 Los primeros indicios se remontan al 
antiguo Egipto unos 3.050 años A.C., 
con los censos de población y registro 
de las riquezas. 
 Situación similar ocurre en China en 
el año 2238 A.C. 
 Los romanos fueron quienes más uti- 
 utilizaron la estadística con censos, 
registros de nacimientos, defunción, 
matrimonios, riquezas, etc. 
 
b) La segunda etapa de la estadística: la 
aritmética política. 
 
 Durante los mil años posteriores a la 
caída del imperio romano se realiza-
ron muy pocas operaciones estadísti-
cas, con la excepción de las compila-
ciones de tierras de la iglesia realiza- 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
29 
 
 
da por el rey franco Pipino el Breve 
en 758 D.C. 
 En el año 1532 Enrique VII exige el 
registro de las defunciones en Ingla-
terra, debido al temor que tenía a la 
peste. Misma época en que los cléri-
gos franceses debían registrar los 
nacimientos, defunciones y matrimo-
nios. 
 En 1540 Sebastián Muster realiza una 
compilación de datos sobre la organi-
zación política, comercio y recursos 
militares de Alemania. 
 En 1632 se publican las Cuentas de 
Mortalidad en Inglaterra con los datos 
de nacimientos y defunciones. 
 En 1662 John Graunt publica Observa-
ciones Políticas y Naturales hechas a 
partir de las Cuentas de Mortalidad, 
donde utiliza registros de 30 años 
para efectuar predicciones sobre la 
muerte de personas por diversas en-
fermedades, siendo el primer intento 
de inferencia estadística del que se 
tiene registro. 
 
c) La tercera etapa de la estadística es 
denominada cálculo de probabilida-
des. 
 
 Las probabilidades comenzaron a ser 
formalizada por los franceses Blaise 
Pascal y Pierre Fermat en 1654 quie-
nes encontraron la solución a cómo 
repartir las apuestas de un juego que 
no había finalizado, mediante las pro-
babilidades de ganar que tuviese cada 
participante en ese momento. 
 En 1665 Blaise Pascal publica Tratado 
sobre el triángulo aritmético que se basa 
en las propiedades combinatorias del 
posteriormente llamado triángulo de 
Pascal (una representación de los 
coeficientes binominales ordenados 
en forma de triángulo). 
 
 
 
Figura 1.5 En las imágenes superiores 
Pipino el Breve (izquierda) y Enrique VII 
(derecha); en las imagenes inferiores 
Sebastián Muster (izquierda) y John 
Graunt (derecha). 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 En las imagenes superiores 
Blaise Pascal (izquierda) y Pierre Fermat 
(derecha); en las imagenes inferiores 
Jacob Bernoulli (izquierda) y Godofredo 
Achenwall (derecha). 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
30 
 
 
 
 
Figura 1.7 En las imágenes superiores 
Thomas Bayes (izquierda) y Pierre 
Laplace (derecha); en las imagenes 
inferiores Karl Gauss (izquierda) y 
Jacques Quételec (derecha). 
 
 
 En 1687 se publica la obra póstuma El 
arte de la Conjetura del matemático 
Suizo Jacob Bernoulli, donde se en-
cuentra entre otras cosas, las bases del 
teorema de Bernoulli (frecuencia 
aproximada que un suceso a la proba-
bilidad p ocurra a medida que se 
repite un experimento). 
 En 1760 Godofredo Achenwall, pro-
fesor alemán, acuño el término esta-
dística que proviene del latín status 
que significa estado o situación. 
 En 1764 se publica la obra póstuma 
de Thomas Bayes Ensayo sobre la 
resolución de un problema en la doctrina 
del azar, la cual fue ignorada por sus 
contemporáneos, pero 2 siglos des-
pués sirvió para formulación de la 
inferencia bayesiana, la cual asigna 
probabilidades a fenómenos no alea-
torios, pero cuyos resultados no son 
conocidos. 
  En 1812 Pierre Simón Laplace publi-
ca Teoría analítica de probabilidades 
donde estudia los problemas de las 
probabilidades continuas. También 
descubre y demuestra el teorema de 
límite central y fusiona el cálculo de 
probabilidades y la estadística. 
 En 1823 Karl Friedrich Gauss desa-
rrolla la teoría de errores (conjunta-
mente con Bessel y Laplace) estable-
ciendo el método de mínimos cua-
drados. Además de esto, el estudio 
de la distribución normal fue el gran 
aporte de Gauss al cálculo de proba-
bilidades. 
 En 1835 Jacques Quételect (matemá-
tico belga) es quien aplica por prime-
ra vez la estadística a las ciencias so-
ciales. 
 
d) La cuarta etapa de la estadística es 
denominada Estadística moderna. 
 
 En 1837 Simeón Poisson publicó 
Tratado de probabilidades que contiene 
la ley de probabilidades conocida 
como distribución de Poisson y la 
generalización de la ley de los gran-
des números de Bernoulli. 
 En 1888 Francis Galton introdujo el 
término correlación para hacer refe-
rencia a la influencia relativa de una 
variable sobre otra. También trabajo 
en regresión lineal, componentes de 
varianza y diseño curvas normales 
inversas llamadas ojivas. Sus trabajos 
en la ley normal bivariada de proba-
bilidades dieron origen a la ley nor-
mal multivariada, base de la estadís-
tica multivariante. 
 En 1892 Karl Pearson publica La 
gramática de la ciencia, donde estudió 
curvas asimétricas y generó el test de 
Chi-cuadrado. También trabajó y 
perfeccionó los análisis de correla- 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
31 
 
 
ción de Galton, desarrollando la 
correlación de Pearson. 
 En 1902 el inglés William Sealey 
Gosset publica un artículo con las ba-
ses de la distribución t de Student 
(seudónimo con el cual publicó dicho 
artículo). 
 En 1925 Ronald Arnold Fisher, 
matemático y biólogo inglés, publica 
su libro Métodos estadísticos para inves-
tigadores. Creo el análisis de varianza, 
numerosos análisis multivariados y 
del método de máxima verosimilitud 
para la estimación de parámetros. 
Desarrollo el diseño experimental en 
bloques, la aleatorización y los dice-
ños factoriales. Considerado el más 
grande estadístico del siglo XX. 
 En 1933 el ruso Andrei Kolmogorov 
desarrolló una teoría de probabilida-
des totalmente basada en axiomas 
fundamentales totalmente rigurosos. 
 En 1934 el polaco Jerzy Neyman 
introduce la teoría de los intervalos 
de confianza. También publica el pri-
mer trabajo en muestreos de pobla-
ciones finitas. 
 En 1936 Jerzy Neyman y Egon Pear-
son (hijo de Karl Pearson) presentan 
una teoría sobre la prueba de hipóte-
sis en estadística. 
 La década de 1930-1940 fue el auge de 
la estadística multivariada con Maha-
lanobis (1936), Fisher (1936), Hotte-
ling (1936), Bartlett (1938), etc. 
 En 1945 el estadounidense Frank 
Wilcoxon publicó un trabajo donde 
reemplazó los datos por sus rangos, 
de manera que fue posible conocer 
propiedades distribucionales de los 
mismos, creando así la prueba de 
rangos de Wilcoxon. Esta idea es la 
 
 
 
Figura 1.8 En las imágenes superiores 
Francis Galton (izquierda) y Karl 
Pearson (derecha); en las imagenes 
inferiores Ronald Fisher (izquierda) y 
Frank Wilcoxon (derecha). 
 
 
base de la estadística no paramétrica. 
 En 1952 los estadounidenses William 
Kruskal y Allen Wallis publican el 
análisis de rangos que lleva su nom-
bre. 
 A partir de la segunda mitad del 
siglo XX, la estadística está fuerte-
mente asociada a la computación, ya 
que el desarrollo de software estadís-
ticos permite la realización de cientos 
o miles de cálculos en tiempos redu-
cidos o el trabajo con decenas de 
variables al mismo tiempo. Por ejem-
plo el programa SPSS fue creado en 
1968 y en el 2016 se lanzó su versión 
24.0. Los programas estadísticos más 
usados en la actualidad son: SPSS, 
SAS, R, Statistica, Stata, Matlab, 
Minitab, etc. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
32Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
33 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
La estadística descriptiva o análisis 
exploratorio de datos ofrece modos de 
presentar y evaluar las características más 
importantes de un conjunto de datos. Esto 
a través de tablas, gráficos y medidas re-
súmenes. Es importante recordar que la 
finalidad de estos análisis no es el de 
obtener conclusiones sobre las variables 
que se están midiendo, sino solamente 
mostrar las características que presentan 
los datos que hemos recolectado. 
 
 
2.1 TABLAS DE FRECUENCIA 
 
Nivel de medición: 
Nominal y Ordinal 
 
La tabla de frecuencia es el modo 
más sencillo de presentar los datos, en 
ella se observa: 
 
 El nombre de las categorías: grupos 
en los cuales se clasifican los datos 
obtenidos. Por ejemplo: presión arte-
rial baja, presión arterial media y pre-
sión arterial alta; soltero, casado, di-
vorciado, viudo; colegio municipal, 
colegio subvencionado, colegio parti-
cular, etc. 
 La frecuencia absoluta: número de 
sujetos que componen cada catego-
ría. Por ejemplo: de 155 personas 
evaluadas 20 de ellas poseen una pre- 
 sión arterial baja, 80 personas una 
presión arterial media y 55 personas 
una presión arterial alta. 
 La frecuencia relativa: porcentaje 
que representa el número de sujetos 
en cada categoría en relación al total 
de observaciones. Por ejemplo: el 
12,9% de las personas evaluadas po-
seen una presión arterial baja, el 
51,6% poseen una presión arterial 
media y el 35,5% posee una presión 
arterial alta. 
 La frecuencia acumulada: porcentaje 
acumulado que corresponde a la su-
ma de los porcentajes de cada catego-
ría más las categorías anteriores. Por 
ejemplo: el 12,9% de las personas 
evaluadas posee una presión arterial 
baja, el 64,5% posee una presión arte-
rial baja-media y el 100% posee una 
presión arterial baja-media-alta. 
 
Los pasos de elaboración de una ta-
bla de frecuencias se observan en el 
ejemplo 2.1. 
También es posible utilizar tablas 
de frecuencia con datos de naturaleza 
numérica, sin embargo, aquí es necesario 
realizar un agrupamiento de los datos en 
intervalos de clases, donde cada inter-
valo corresponde a una categoría y con 
ellas es posible seguir los pasos para 
construir la tabla. Este proceso se observa 
en el ejemplo 2.2. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
34 
 
 
Ejemplo 2.1 
Un profesor busca conocer el IMC de 15 estudiantes de primer año básico de un colegio 
de Santiago, para ello mide la talla y el peso de ellos y luego calcula el IMC obteniendo 
los siguientes resultados: 
 
 
 
 Paso 1: 
Para elaborar la tabla de frecuencia debemos agrupar los valores del IMC obtenidos en 
diversas categorías: 
 
Bajo peso (<18,5) = 1 sujeto 
Normal (18,5 a 24,9) = 6 sujetos 
Sobre-peso (25 a 29,9) = 4 sujetos 
Obesidad I (30 a 34,9) = 2 sujetos 
Obesidad II (35 a 39,9) = 1 sujetos 
Obesidad III (>40) = 1 sujeto 
 
 Paso 2: 
Calculamos la frecuencia relativa (fr) de cada categoría con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 1) 
 
fr = n1 * 100 
 N 
 
 
n1 = número de observaciones de una categoría 
N = número de todas las observaciones 
 
Aplicamos la fórmula de la fr a los datos obtenidos en el paso 1: 
 
Bajo peso = 1 sujeto (1/15)*100 = 6,7 
Normal = 6 sujetos (6/15)*100 = 40,0 
Sobre-peso = 4 sujetos (4/15)*100 = 26,7 
Obesidad I = 2 sujetos (2/15)*100 = 13,2 
Obesidad II = 1 sujetos (1/15)*100 = 6,7 
Obesidad III = 1 sujeto (1/15)*100 = 6,7 
 
 Paso 3: 
Calculamos la frecuencia acumulada con la frecuencia relativa de la primera categoría, 
luego la frecuencia relativa de la segunda más la primera categoría, luego la tercera más 
la segunda y más la primera, así sucesivamente. 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
35 
 
 
Bajo peso 6,7 
Normal = 40,0 + 6,7 = 46,7 
Sobre-peso = 26,7 + 40,0 + 6,7 = 73,4 
Obesidad I = 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 86,6 
Obesidad II = 6,7 + 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 93,3 
Obesidad III = 6,7 + 6,7 + 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 100,0 
 
 Paso 4: 
Elaboramos la tabla de frecuencia con los datos anteriores: 
 
 
 
En la tabla de frecuencia podemos observar que la categoría normal presenta el mayor 
número de sujetos (6) y por ende la mayor frecuencia relativa (40,0%). Por otra parte, la 
categoría bajo peso, normal y sobre-peso presentan una frecuencia acumulada de 73,4%, 
es decir, las tres categorías suman ese porcentaje de sujetos de la muestra. 
 
 
 
Ejemplo 2.2 
Un profesor desea conocer cómo se distribuyen las notas de sus estudiantes en el último 
control realizado. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Debido a que la variable es numérica es necesario establecer intervalos de clases: 
 
Notas entre 2,0 y 2,9 Notas entre 4,0 y 4,9 Notas entre 6,0 y 6,9 
Notas entre 3,0 y 3,9 Notas entre 5,0 y 5,9 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
36 
 
 
 Paso 2: 
Construimos la tabla de frecuencia como en el ejemplo 2.1: 
 
 
 
*Nota: generalmente los intervalos de clases poseen la misma longitud. 
 
 
 
2.2 GRÁFICOS DE BARRA Y TORTA 
 
Nivel de medición: 
Nominal y Ordinal 
 
Una vez que hemos desarrollado 
una tabla de frecuencias es posible gene-
rar una representación de esta mediante 
gráficos. 
El gráfico de barras se utiliza para 
representar variables categóricas nomi-
nales u ordinales. La altura de cada barra 
indica un valor de frecuencia absoluta o 
relativa (Fig. 2.1), por lo tanto, es posible 
comparar visualmente las diferencias en-
tre cada categoría. También es posible uti-
lizar el gráfico de barra para comparar 
dos o más distribuciones (Fig. 2.2). 
El grafico de torta (también conoci-
do como circular o de sectores) repre-
senta la frecuencia como un ángulo y una 
porción dentro de un círculo (Fig. 2.3). 
Para calcular los grados de arco que co- 
rresponden a cada categoría es necesario 
multiplicar la frecuencia por 360 (que 
corresponde a la cantidad total de grado 
de un círculo) y el resultado dividirlo en 
 100. Por ejemplo: en un grupo evaluado 
el 40% son varones, por lo tanto el valor 
de frecuencia relativa debe multiplicarse 
por 360 (40*360 = 14.440) y ese resultado 
se divide por 100 (14.440 / 100 = 144), 
siendo la porción del grafico de torta que 
representa a los varones de 144°. 
Este tipo de grafico es igual de útil 
que el de barra para representar la dis-
tribución de un grupo, pero resulta me-
nos eficiente para representar a dos o 
más grupos siendo necesario utilizar va-
rios gráficos (uno por cada población o 
muestra). 
 
 
2.3 DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Corresponde a una alternativa a 
gráficos como el de barra, con la ventaja 
que no se pierde la información original. 
En este diagrama las decenas co-
rresponden al tallo y las unidades a las 
hojas, las cuales deben ubicarse siempre 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
37 
 
 
 
 
Figura 2.1 Gráfico de barra del porcentaje de IMC en estudiantes de primer año medio 
de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 Gráfico de barra del IMC comparando estudiantes de sexo masculino y 
femenino de primer año medio de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
38 
 
 
 
 
Figura 2.3 Gráfico de torta de la distribución de una muestra según sexo. Los varones 
representan el 40% (144° del círculo) y las damas el 60% (216° del círculo).a la derecha. En el ejemplo 2.3 se explica 
el proceso para generar un diagrama de 
estas características. 
 
 
2.4 HISTOGRAMA, POLÍGONOS DE 
 FRECUENCIA Y OJIVA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Es el más conocido de los gráficos 
para representar variables numéricas. A 
diferencia del gráfico de barra, en un 
histograma no existe separación entre 
categorías (a menos que una categoría 
tenga valor cero), ya que sus valores son 
continuos. 
En el ejemplo 2.4 se observa la re-
presentación de una tabla de frecuencia 
en forma de histograma. Es importante 
destacar que la representación visual de 
 este tipo de gráfico depende de la canti-
dad de clases que utilicemos (divisiones 
de los datos como categorías). 
Muchas clases provocarán que po- 
cos datos queden dentro de cada clase y 
por ende el histograma presentará una 
distribución uniforme. Por el contrario, 
pocas clases provocarán que muchos da-
tos queden dentro de una clase y el gráfi-
co mostrará pocas características impor-
tantes. El número ideal de clases se ha 
calculado entre 6 y 15. 
Los histogramas pueden utilizarse 
tanto con las frecuencias relativas, como 
con las frecuencias acumuladas y repre-
sentan la base para elaborar polígonos 
de frecuencia, que corresponden a una 
gráfica lineal que se construye uniendo 
los puntos centrales de cada barra del 
histograma (ejemplo 2.5). Así obtenemos 
una imagen de la curva que genera la 
distribución de la variable. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
39 
 
 
Ejemplo 2.3 
Un entrenador evalúo la flexibilidad de 18 gimnastas varones (edades entre 9 y 11 años) 
mediante una prueba de elevación frontal de la pierna. Los resultados fueron los 
siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
El primer dígito de cada valor se convierte en el tallo y el segundo en la hoja, ubicando 
los tallos en forma ascendente. Luego el segundo dígito se ubica a la izquierda del tallo: 
 
5 7 
6 0 3 5 6 9 
7 0 4 8 
8 1 4 8 
9 0 0 1 2 4 5 
 
En el diagrama es posible observar que la mayor cantidad de casos se encuentran en el 
rango de 90 cms. o más, en tanto el rango de 50 a 59 cms. solo presenta un sujeto. 
E 
 
 
Ejemplo 2.4 
Un profesor evaluó el desarrollo de los patrones motores en 42 estudiantes de tercer año 
básico de un colegio de Santiago. El test presenta una puntuación de 1 a 5 (1=muy bajo; 
2=bajo; 3=ni bajo ni alto; 4=alto; 5=muy alto). A continuación se presenta la tabla de 
frecuencia con los resultados: 
 
 
 
La frecuencia relativa de las puntuaciones del test de patrones motores de tercer año 
básico se presenta en el siguiente histograma: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
40 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Histograma de las puntuaciones de los patrones motores de 42 estudiantes de 
tercer año básico de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
 
Ejemplo 2.5 
Un profesor evaluó la coordinación de 15 niños de 6 años de un colegio de Santiago, 
mediante una escala de 1 a 5 (1=muy baja; 2=baja; 3=ni baja ni alta; 4=alta; 5=muy alta) y 
obtuvo los siguiente resultados: 
 
 
 
Se construyó la tabla de frecuencia: 
 
 
.. 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
41 
 
 
 Paso 1: 
Elaboramos el histograma y unimos el centro de cada barra con una recta, entregando la 
forma del polígono de frecuencia: 
 
 
 
Figura 2.5 Polígono de frecuencia relativa de los puntajes de la coordinación. 
 
 
 Paso 2: 
Elaboramos el histograma con la frecuencia acumulada y unimos las barras con una 
recta, entregando la ojiva. 
 
 
 
Figura 2.6 Ojiva de los puntajes de la coordinación. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
42 
 
 
Finalmente, si construimos el histo-
grama con la frecuencia acumulada y se 
unen los puntos de cada barra se obtiene 
un polígono de frecuencia acumulada, 
también llamada ojiva, la que resulta ser 
una curva ascendente que comienza con 
la 1° frecuencia acumulada y termina con 
un 100%. En este gráfico es posible 
conocer cómo van sumando las categorías 
y tener una visión de la evolución de la 
frecuencia de los datos. 
 2.5 REPRESENTACIÓN DE DATOS 
 EN SPSS 
 
En la actualidad existen muchos 
programas estadísticos que pueden ayu-
darnos a realizar los cálculos necesarios 
para nuestras investigaciones. A conti-
nuación se utilizará el programa SPSS 
(Statistical Package for the Social Scien-
ces) para trabajar los análisis descripti-
vos. 
 
 
Tras instalar el SPSS en nuestro computador abrimos el programa mostrando una 
pantalla como la figura siguiente: 
 
 
 
 
Figura 2.7 Pantalla inicial del SPSS 22.0. 
 
 
Luego debemos ingresar los descriptores de las variables que utilizaremos presionando 
Vista de variables en la barra inferior, con esto aparece una pantalla como la figura 2.8. 
En la primera columna colocamos los nombres de las variables. En la columna Tipo 
aparece el concepto de numérico (en variables numéricas) o cadena (en variables 
categóricas, con nombres en lugar de números). En la columna Decimales podemos 
modificar la cantidad de decimales de nuestros valores. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
43 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 Descripción de las variables en el SPSS 22.0. 
 
 
Si la variable es categórica debemos describir dichas categorías presionando en la 
columna Valores, así aparecerá una pantalla como la siguiente: 
 
 
 
Figura 2.9 Valores de las variables. 
 
En el recuadro Valor colocamos el número asignado a cada grado de la categoría. Por 
ejemplo, si la variable es sexo, un valor será 1 para femenino y 2 para masculino. En el 
recuadro de Etiqueta escribimos el nombre de la categoría. 
Una vez introducidos ambos valores presionamos Añadir para grabar los datos y 
comenzamos a realizar lo mismo nuevamente con la siguiente categoría de la variable. 
Recuerde que las variables numéricas no necesitan completar esta información. 
Una vez completada la información de todas las variables volvemos a Vista de varia-
bles y podemos escribir los valores para cada variable hasta completar el traspaso de 
datos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
44 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 Pantalla con los datos en el SPSS 22.0. 
 
 
Para realizar todos los análisis estadísticos debemos ir a Analizar que se ubica en la 
barra superior y se desplegará el índice general de pruebas. Cuando seleccionamos una 
de estas alternativas se desplegará un nuevo índice con los análisis particulares para 
cada caso. 
 
 
 
 
Figura 2.11 Desplegar los analisis estadisticos del SPSS 22.0. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
45 
 
 
Para obtener una tabla de frecuencia y los gráficos en el SPSS 22.0 vamos en el 
menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Frecuencia 
 
 
 
Figura 2.12 Pantalla de frecuencia en el SPSS 22.0. 
 
 
En el cuadro de la izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable 
categórica y la llevamos al cuadro derecho (Variables). Luego presionamos Gráficos y 
marcamos Gráfico de barra, Gráficos circulares o Histograma (Fig. 2.13). 
 
 
 
 
Figura 2.13 Pantalla de graficos en el SPSS 22.0. 
 
 
Tras esto presionamos Continuar para volver a la pantalla de frecuencia y presionamos 
Aceptar. La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la siguiente: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
46 
 
 
 
Tabla 2.1 Tabla de frecuencia 
 
 
 
En la tabla de frecuencia observamoslos nombres de las categorías de la variable, la 
frecuencia (número de sujetos en la categoría), el porcentaje o frecuencia relativa, el 
porcentaje válido (porcentaje que se ajusta cuando existen casos perdidos) y el 
porcentaje acumulado o frecuencia acumulada. 
La hoja de cálculos del programa también nos entregará el gráfico que se ha escogido. 
 
 
 
 
Figura 2.14 Grafico de barras entregado por el SPSS 22.0. 
 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
47 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA 
 CENTRAL (MTC) 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Son medidas resúmenes de posición 
central alrededor de los cuales se encuen-
tran las observaciones realizadas. Tam-
bién pueden ser definidas como el com- 
portamiento más común en un conjunto 
de datos. Las medidas de tendencia cen-
tral más usadas son la media, la mediana 
y la moda. 
 3.1.1 Media aritmética 
 
La media aritmética, media o pro-
medio es la MTC más utilizada y corres-
ponde a la suma de los valores de cada 
observación y cuyo resultado se divide 
por la cantidad de datos. El cálculo de la 
media se aprecia en los ejemplos 3.1 y 
3.2. 
La media de una muestra se desig-
na con la letra y la media de una pobla-
ción se designa con la letra griega µ 
(mu). La media representa el punto de 
equilibrio de los datos y es muy sensible 
 
 
Ejemplo 3.1 
Un profesor ha evaluado la velocidad en 30 metros lanzados de nueve estudiantes de 
primer año medio de un colegio de Santiago y ha encontrado los siguientes resultados: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la media aritmética con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 = ∑ Xi 
 n 
 
(fórmula 2) 
 
∑ X1 = suma del valor de todas las observaciones o datos 
n = número total de observaciones 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
48 
 
 
Ahora con los datos del ejemplo 3.1 reemplazamos en la fórmula de la media: 
 
 = 7,30 + 8,15 + 4,60 + 9,10 + 6,40 + 5,50 + 7,25 + 6,30 + 8,05 = 6,96 
 9 
 
La media de velocidad de los 9 estudiantes en el test de 30 mts. es de 6,96 segundos. 
 
 
 
Ejemplo 3.2 
En un partido de básquetbol de la liga nacional ocho jugadores de un equipo realizan 
lanzamientos a la canasta (independiente que estos terminen en puntos o no) y su 
entrenador registra el número de intentos de cada uno de ellos y obtiene la siguiente 
tabla: 
 
 
. 
En la primera columna vemos el número de jugadores, en la segunda los lanzamientos a 
la canasta realizadas en el primer tiempo por cada uno de ellos que generan una media 
de 5,25. Finalmente, en la tercera columna observamos una cantidad similar de 
lanzamientos excepto en el jugador seis que de 2 lanzamiento aumento a 75, por lo 
tanto, la media aumento a 14,38. Esto sirve para graficar como un solo dato outlier 
produce grandes variaciones en la media de un conjunto de datos. 
 
 
 
a los datos extremos (outliers), es decir, 
datos demasiado atípicos o extremos pro-
ducen cambios importantes en ella (ejem-
plo 3.2). 
 
3.1.2 Mediana 
 
Corresponde al dato que ocupa la 
posición central al ordenar las observacio- 
 nes de menor a mayor. Esta se obtiene 
con el número total de observaciones y la 
suma de una unidad, luego el resultado 
es dividido en 2 entregando el lugar don-
de se encuentra la mediana (ejemplo 3.3). 
Este análisis se utiliza con datos numé-
ricos, pero también con datos ordinales y 
es una medida robusta, muy poco sen-
sible a los datos outliers. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
49 
 
 
Ejemplo 3.3 
Un profesor evaluó la motricidad de 15 niños de edades pre-escolares de un jardín 
infantil de Santiago y los resultados del test se presentan ordenados de menor a mayor 
en la siguiente tabla: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la mediana con la siguiente fórmula: 
 
 
Mediana = n + 1 
 2 
 
(fórmula 3) 
 
n = número total de observaciones 
 
Mediana = 15 + 1 = 16 = 8 
 2 2 
 
La mediana corresponde al valor ubicado en el lugar 8 en el orden de menor a mayor y 
que en esta base de datos corresponde a una puntuación de 10 en el test de motricidad. 
 
 
Si la cantidad de datos es par la mediana es el valor promedio de los dos datos 
centrales. Por ejemplo, si tomamos los 10 primeros casos del ejemplo anterior y 
utilizamos la fórmula 2 tenemos: 
 
Mediana= (10 + 1) / 2 = 5,5 
 
La mediana se encuentra en el centro de los valores 5 y 6. 
 
. 
Como los valores de los lugares 5° y 6° son 7 y 8, respectivamente, es necesario obtener 
la media aritmética de dichos valores: 
 
= (7 + 8) / 2 = 7,5 que corresponde a la mediana de estos datos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
50 
 
 
3.1.3 Moda 
 
Es el dato que ocurre con mayor 
frecuencia en el conjunto de observacio-
nes, pudiendo utilizarse en datos numé-
ricos y categóricos. 
 Cuando una distribución presenta 
una sola moda recibe el nombre de uni-
modal, cuando presenta dos modas se 
denomina bimodal y cuando presenta 
tres o más modas se designa como dis-
tribución multimodal (Fig. 3.1). 
 
 
Ejemplo 3.4 
Un entrenador evaluó la cantidad de abdominales en un minuto que realizan 18 
seleccionados universitarios de fútbol como parte del proceso de evaluación de su 
condición física y los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
La moda es el número 60, ya que es el valor que se presenta más veces en este conjunto 
de datos (6 en total). 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 Distribuciones según sus modas. En la imagen superior izquierda se grafica 
una distribución unimodal, en la imagen superior derecha una distribución bimodal y en 
la imagen inferior una distribución multimodal. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
51 
 
 
3.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Las medidas de dispersión o varia-
bilidad describe cuan cerca se encuentran 
los datos entre sí o cuan cerca se en-
cuentran de alguna medida de tendencia 
central. 
 
3.2.1 Amplitud o rango 
 
Corresponde a la diferencia de las 
observaciones extrema de un conjunto de 
datos (ejemplo 3.5). Es común que en los 
resultados se presenten el valor menor, el 
mayor y el rango, siendo este último muy 
sensible a los valores outliers. 
 3.2.2 Varianza 
 
La varianza (S2) es la media del cua-
drado de las desviaciones respecto a la 
media de los datos. Esto permite conocer 
la diferencia promedio de los valores con 
respecto a su media, siendo la base de 
muchos análisis inferenciales. 
Este análisis siempre corresponde a 
valores positivos (debido a que los valo-
res son elevados al cuadrado), siendo 
muy sensible a datos outliers. La medida 
de la varianza corresponde a la unidad 
de medida de la variable al cuadrado, 
por ejemplo, si la variable es expresada 
en centímetros la varianza será en cen-
tímetros al cuadrado. 
El cálculo de la varianza se observa 
en el ejemplo 3.6. 
 
 
Ejemplo 3.5 
Un entrenador evaluó la fuerza del tren superior en 14 seleccionados de Judo. Esto se 
realizó a través de una RM en press banca y los resultados fueron los siguientes: 
 
 
  Paso 1: 
Calculamos el rango con la siguiente fórmula: 
 
 
Rango = Vmayor – Vmenor 
 
(fórmula 4) 
 
Vmayor = valor mayor de los datos 
Vmenor = valor menor de los datos 
 
Rango = 128 – 78 = 50 
 
50 kilos corresponde al rango de estos datos. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________52 
 
 
Ejemplo 3.6 
Un investigador desea conocer los niveles de memoria visual de 11 estudiantes de 
pedagogía en educación física de una universidad de Santiago y para ello se aplica un 
test neuropsicológico. Los resultados de las observaciones son los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la varianza con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 5) 
 
 
S2 = ∑(Xi – 2 
 n – 1 
 
 
∑(Xi – )2 = suma de los cuadrados de la diferencia entre cada puntuación y la media de las 
 puntuaciones 
n = número de datos 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos la suma de cuadrados para los datos de la memoria: 
 
 
 
 Paso 3: 
Aplicamos la fórmula 5 para nuestros datos: 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
53 
 
 
 
S2 = 28,55 = 28,55 = 2,855 
 11 – 1 10 
 
En el ejemplo la varianza es de 2,855 
 
 
 
3.2.3 Desviación estándar 
 
Corresponde al grado en que las 
puntuaciones de la variable se alejan de la 
media. Se calcula con la raíz cuadrada de 
la varianza (ejemplo 3.7). 
La desviación estándar muestral se 
designa con la letra S y la desviación es-
tándar poblacional con la letra sigma (σ . 
Este análisis es muy útil para cono-
cer cuánto se alejan los datos de la media 
de una muestra cuando esta posee una 
distribución simétrica. Esto ocurre cuan- 
do la mayoría de los datos obtenidos se 
encuentran en los puntajes centrales y 
muy pocos datos se encuentran en los 
extremos (Fig. 3.2). 
 Por ejemplo, en un test de fuerza 
muy pocas personas tendrán valores 
muy bajos o muy altos, la mayoría 
obtendrán puntuaciones medias. Esta 
situación ocurre en la mayoría de los pro-
cesos naturales si la muestra es lo sufí-
cientemente grande (tiende a infinito). 
Si la desviación estándar de la 
muestra se encuentra entre la cuarta y 
quinta parte del rango se considera que 
la distribución es homogénea, es decir, 
los datos obtenidos de todos los sujetos 
evaluados se encuentran cercanos a la 
media. Si la desviación estándar no se en-
cuentra en ese rango, la muestra se consi-
dera heterogénea. Cuando ocurre esta 
segunda opción podría ser interesante 
 
 
Ejemplo 3.7 
Utilizando la varianza del ejemplo 3.6 sobre la memoria de los estudiantes 
universitarios, calculamos la desviación estándar con la siguiente fórmula: 
 
 
S = √S2 
 
(fórmula 6) 
 
√S2 = raíz cuadrada de la varianza 
 
S = √2,855 = 1,689 
 
El promedio o media de los datos sobre la memoria de estudiantes de educación física 
fue de 5,64 y la desviación estándar fue de 1,689 esto quiere decir que todos los datos 
entre – 1 S (3,951) y + 1 S (7,329) se encuentran a una desviación de la media y 
siempre en este espectro se agrupa el 68% de los datos recolectados. Esto indica que casi 
el 70% de las observaciones obtuvieron puntajes entre 3,951 y 7,329. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
54 
 
 
 
 
Figura 3.2 Distribución simétrica. En estos datos la cantidad de observaciones que se 
encuentra entre una desviación estándar a la derecha y a la izquierda es del 68,26%, en 
dos desviaciones estándar es del 95,45% y en tres desviaciones es del 99,73%. 
 
 
comparar los resultados de los grupos 
extremos de datos que hemos obtenido, 
para saber si existen diferencias entre 
las puntuaciones más altas y más bajas. 
Para el ejemplo 3.6 de la memoria de 
los estudiantes universitarios: 
 
Rango = 6 
S = 1,689 
1/4 rango = 6/4 = 1,5 
1/5 rango = 6/5 = 1,2 
 
Como S =1,689 no se encuentra entre 
la cuarta y quinta parte del rango (1,5 y 
1,2 respectivamente) esta muestra se con-
sidera heterogénea. 
Para muestras homogéneas los valo-
res de rango, varianza y desviación están-
dar serán menores, debido a que los datos 
se encuentran más agrupados. En mues-
tras heterogéneas ocurrirá lo contrario. 
 3.3 MEDIDAS DE POSICIÓN 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
3.3.1 Percentiles 
 
Las medidas de posición se basan 
en el orden que poseen ciertos valores de 
las observaciones, comúnmente reciben 
el nombre de cuantiles y se define como 
el valor de la variable por debajo de la 
cual se encuentra una frecuencia acumu-
lada α. 
Un percentil es un valor p% que 
deja una cantidad de p% de datos de bajo 
de él y 1-p% sobre él. Por ejemplo, un 
percentil 30 deja por debajo el 30% de las 
observaciones o datos y por encima un 
70% de las observaciones. 
Los percentiles separan a la mues- 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
55 
 
 
tra en grupos de 1% y la mediana siem-
pre corresponde al percentil 50. Se repre-
sentan con la letra P. 
En el ejemplo 3.7 se observa como 
calcular un percentil. 
 3.3.2 Cuartiles 
 
Son valores que dividen a las obser-
vaciones en cuatro grupos con frecuen-
cias similares (25% cada una). El primer 
 
 
Ejemplo 3.7 
Un profesor midió la estatura de 21 estudiantes de cuarto año medio de un colegio de la 
comuna de Santiago en la clase de educación física. Los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Los datos siempre deben ser ordenados de menor a mayor. 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos los percentiles con la siguiente fórmula: 
 
 
P = n * K 
 100 
 
(fórmula 7) 
 
n = número de datos 
K = percentil que se desea conocer 
 
Si queremos conocer el percentil 20 reemplazamos: 
 
P20 = 21 * 20 = 420 = 4,2 
 100 100 
 
El resultado corresponde al lugar de la lista de datos, ordenadas de menor a mayor, 
donde se encuentra el valor del percentil. Si el resultado es una fracción, el valor del 
percentil corresponde al lugar inmediatamente superior, en este caso el lugar 5 (1,68 
mts.) corresponderá al percentil 20. Esto quiere decir que el 20% de los estudiantes 
medidos están bajo 1,68 de estatura y el 80% restante está sobre 1,68. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
56 
 
 
cuartil corresponde al percentil 25 (cuantil 
0,25), el segundo cuartil corresponde al 
percentil 50 (cuantil 0,5) y el tercer cuartil 
corresponde al percentil 75 (cuantil 0,75). 
Los cuartiles sirven para establecer 
cuatro grupos de datos, así podemos 
transformar una variable numérica en 
categórica. Por ejemplo, los valores igua-
les o bajo el cuartil 0,25 corresponden a 
un nivel bajo, valores entre el cuartil 0,25 
y 0,50 a un nivel medio bajo, valores entre 
el cuartil 0,50 y 0,75 a un nivel medio alto 
y valores sobre 0,75 a un nivel alto. 
 En el ejemplo 3.8 se toman los mis-
mos valores de la estatura de 21 estu-
diantes de 4° medio para calcular los 
cuartiles 
 
 
3.3.3 Quintiles y deciles 
 
Los quintiles son valores que divi-
den a las observaciones en cinco grupos 
con frecuencias similares (20%). El pri-
mer quintil corresponde la percentil 20 
(quintil 0,2), el segundo quintil corres- 
 
 
Ejemplo 3.8 
Utilizando los mismos valores del ejemplo 3.7 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos los cuartiles con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 8) 
 
Qx = K * (n + 1) 
 4 
 
K = valor del cuartil (1, 2 o 3) 
n = número de datos 
 
En caso que el cálculo no corresponda con la posición exacta se utiliza la siguiente 
corrección: 
 
 
(fórmula 9) 
 
Qx = Li + K * (Ls – Li ) 
 4 
 
Ls = límite superior del intervalo 
Li = límite inferior del intervalos 
. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
57 
 
 
Utilizando los datos de la estatura reemplazamos en la fórmula 8: 
 
Q1 = 1 * (21 + 1) = 22 = 5,5 
 4 4 
 
Q2 = 2 * (21 + 1) = 44 = 11 
 4 4 
 
Q3 =3 * (21 + 1) = 66 = 16,5 
 4 4 
 
Q1 corresponde a los valores en la posición 5 y 6 (1,68 y 1,69); Q2 corresponde al valor en 
la posición 11 (1,74) y Q3 corresponde al valor en la posición (1,77 y 1,79). Para el cuartil 
1 y 3 es necesario utilizar la fórmula 9 de corrección: 
 
 
 
 
 
ponde al percentil 40 (quintil 0,4), el ter-
cer quintil corresponde al percentil 60 
(quintil 0,6) y el cuarto quintil correspon-
de al percentil 80 (quintil 0,8). 
Los deciles son valores que dividen 
a las observaciones en diez grupos con 
frecuencias similares (10%). El decil 1 co- 
 rresponde al percentil 10, el decil 2 al 
percentil 20, el decil 3 al percentil 30 y así 
sucesivamente. 
La finalidad de los quintiles y deci-
les es la misma que cuartiles: poder esta-
blecer grupos y categorías más detalla-
das de nuestros datos. 
 
 
3.4 MEDIDAS CENTRALES, DISPER- 
 SIÓN Y POSICIÓN EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Frecuencia 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
58 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 Frecuencia en el SPSS 22.0. 
 
 
El programa mostrará una pantalla como la figura 3.4 con un cuadro a la izquierda que 
muestra nuestras variables, las cuales llevaremos al cuadro derecho (variables). Hecho 
esto presionamos Estadísticos abriéndose una pantalla como figura 3.5. 
 
 
 
Figura 3.4 Pantalla de frecuencia en el SPSS 22.0 
 
 
En la pantalla de estadísticos marcamos las medidas de tendencia central: media, mediana 
y moda; también podemos marcar desviación estándar, varianza, rango, mínimo y máximo; 
en la sección valores percentiles podemos marcar cuartiles y en punto de corte para n 
grupos iguales indicamos el número de percentiles que deseamos (en este caso 10 para 
obtener los deciles). 
 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
59 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 Pantalla estadísticos en el SPSS 22.0 
 
 
Una vez marcados los estadísticos que deseamos presionamos Continuar para volver a 
la pantalla de frecuencia y presionamos Aceptar. 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la siguiente: 
 
 
Tabla 3.1 Estadísticos descriptivos de una variable. 
 
 
. 
En la tabla 3.1 observamos la cantidad de datos válidos, la cantidad de datos perdidos, 
la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, la varianza, el rango de los datos, 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
60 
 
 
el mínimo y el máximo de los datos, el cuartil 0,25 (percentil 25), el cuartil 0,50 (percentil 
50) y el cuartil 0,75 (percentil 75) y los deciles que corresponden a los percentiles 10, 20, 
30, etc. 
 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
61 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
4.1 ASIMETRÍA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
La asimetría corresponde a la forma 
de la curva de una distribución en rela-
ción a su imagen derecha-izquierda. Una 
distribución es simétrica si la mitad iz-
quierda es igual a su mitad derecha (Fig. 
4.1) y por lo tanto, la mayor parte de los 
datos se encuentran cercanos a la media, 
existiendo pocos casos en los extremos. 
En este tipo de distribuciones la media, la 
mediana y la moda poseen igual valor. 
 
 
 
Figura 4.1 Distribución simétrica. 
 
 
Una distribución asimétrica es aque-
lla donde los datos tienden a agruparse 
hacia alguno de los lados: 
 
 Distribución asimétrica positiva: es 
aquella donde los datos se agrupan 
 hacia la izquierda, dejando una cola 
hacia la derecha, por lo tanto, la ma-
yoría de los datos se encuentran 
cerca de las puntuaciones más bajas. 
En estas distribuciones la media es 
mayor que la mediana (Fig. 4.2). 
 
 Distribución asimétrica negativa: es 
aquella donde los datos se agru-
pan hacia la derecha, dejando una 
cola hacia la izquierda, por lo tanto, 
la mayoría de los datos se encuentran 
cerca de las puntuaciones más altas. 
En estas distribuciones la media es 
menor que la mediana (Fig. 4.2). 
 
Para calcular la asimetría de una 
distribución existen varios análisis esta-
dísticos, nosotros utilizaremos el coefi-
ciente de asimetría de Fisher (g1), que se 
basa en la relación entre las distancias a 
la media y la desviación estándar. En el 
ejemplo 4.1 se estudian los pasos para 
calcular la asimetría de una distribución. 
El valor entregado por el coeficiente 
de asimetría se interpreta de la siguiente 
manera: 
 
 Valores de asimetría de cero indi-
can una distribución simétrica. 
 Valores de asimetría sobre cero in-
dican una asimetría positiva. 
 Valores de asimetría bajo cero in-
dican una asimetría negativa. 
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62 
 
 
 
 
Figura 4.2 Distribuciones asimétricas. La figura izquierda corresponde a una distribución 
positiva y la figura derecha a una distribución negativa. 
 
 
Ejemplo 4.1 
Un profesor evaluó la capacidad de planificación de los estudiantes de pedagogía en 
educación física de una universidad de Santiago. Los resultados de las puntuaciones 
fueron los siguientes: 
 
 
. 
 
 Paso 1: 
Calculamos la asimetría con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 10) 
 
 
g1 = ∑(Xi – 3 
 n * S3 
 
 
∑(Xi – 3 = suma de cada observación menos la media de todas las observaciones elevada al 
 cubo 
n = número de datos 
S3 = desviación estándar de los datos al cubo 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos la suma de cubos para los datos de la planificación: 
 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
63 
 
 
 
 
 
 Paso 3: 
Para obtener el coeficiente de asimetría de Fisher reemplazamos en la fórmula 10: 
 
g1 = 0,52 = 0,52 = 0,52 = 0,014 
 (9 * 1,593) 9 * 4,02 36,18 
 
El coeficiente de asimetría de Fisher es de 0,014 (distribución asimétrica positiva). 
 
 
 
4.2 CURTOSIS 
 
La curtosis corresponde al grado de 
apuntamiento o aplastamiento de una 
distribución. Existen tres tipos de curto-
sis: 
 
 Platicúrtica: es aquella distribución 
que presenta una forma achatada, esto 
significa que existen muchos casos 
lejos de la media y pocos cerca de ella 
(Fig. 4.3). 
 
 Mesocúrtica: es aquella distribución 
que presenta una elevación media, lo 
cual muestra un grado mediano de 
concentración de los datos alrededor 
del promedio (Fig. 4.3). 
 
 Leptocúrtica: es aquella distribución 
 que presenta una elevación alta, esto 
significa que existen pocos casos lejos 
de la media y muchos cerca de ella 
(Fig. 4.3). 
 
Para calcular la curtosis se puede 
utilizar el coeficiente de apuntamiento 
de Fisher (g2). En el ejemplo 4.2 se realiza 
un análisis paso a paso del cálculo de la 
curtosis de una distribución. 
El valor entregado por el coeficiente 
de curtosis se interpreta de la siguiente 
manera: 
 
 Valores de la curtosis de cero indi-
can una distribución mesocúrtica. 
 Valores sobre cero indican una dis-
tribución leptocúrtica. 
 Valores bajo cero indican una dis-
tribución platicúrtica. 
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64 
 
 
 
 
Figura 4.3 Tipos de curtosis. Una distribución platicúrtica (imagen superior izquierda), 
una distribución mesocúrtica (imagen superior derecha) y una distribución leptocúrtica 
(imagen inferior). 
 
 
Ejemplo 4.2 
Para el cálculo de la curtosis utilizaremos los datos de la planificación de los estudiantes 
de educación física: 
. Paso 1: 
Calculamos la curtosis con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 11) 
 
 
g2 = ∑(Xi – 4 - 3 
 n * S4 
 
 
∑(Xi – 3 = suma de cada observación menos la media de todas las observaciones elevada a la 
 cuarta 
n = número de datos 
S3 = desviación estándar de los datos a la cuarta 
. 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
65 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos la suma de valores a la cuarta para los datos de la planificación: 
 
 
 
 Paso 3: 
Para obtener el coeficiente de apuntamiento de Fisher reemplazamos en la fórmula 11: 
 
 
 
El coeficiente de apuntamiento de Fisher es de -1,38 (distribución platicúrtica). 
 
 
 
4.3 DISTRIBUCIÓN SEGÚN SU 
 FORMA 
 
Una distribución posee un valor de 
asimetría y curtosis, por lo tanto, tiene 
una de nueve formas posibles: 
 
 Simétrica–mesocúrtica: asimetría y 
curtosis de cero. Corresponde a una 
distribución normal. Los datos se en-
cuentran distribuidos de igual manera 
a la derecha e izquierda de la media y 
formando una curva de altura media 
(Fig 4.4). 
 
 Simétrica–platicúrtica: asimetría de 
cero y curtosis negativa. Los datos se 
encuentran distribuidos de igual ma- 
 nera a la derecha e izquierda de la 
media y forman una curva achatada. 
 
 Simétrica–leptocúrtica: asimetría de 
cero y curtosis positiva. Los datos se 
encuentran distribuidos de igual ma-
nera a la derecha e izquierda de la 
media y forman una curva alargada. 
 
 Asimétrica positiva–mesocúrtica: 
asimetría izquierda y curtosis de ce-
ro. Los datos se encuentran distri-
buidos hacia la izquierda de la dis-
tribución (valores menores) y forman 
una curva de altura media. 
 
 Asimétrica positiva–platicúrtica: asi-
metría izquierda y curtosis negativa. 
Fernando Maureira Cid 
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66 
 
 
 
 
Figura 4.4 Tipos de distribuciones. A= simétrica-mesocúrtica; B= simétrica-platicúrtica. 
C= simétrica-leptocúrtica; D= asimétrica positiva-mesocúrtica; E= asimétrica positiva-
platicúrtica, F= asimétrica positiva-leptocúrtica; G= asimétrica negativa-mesocúrtica; 
H= asimétrica negativa-platicúrtica. I= asimétrica negativa-leptocúrtica. 
 
 
Los datos se encuentran distribuidos 
hacia la izquierda de la distribución 
(valores menores) y forman una cur-
va achatada. 
 
 Asimétrica positiva–leptocúrtica: asi-
metría izquierda y curtosis positiva. 
Los datos se encuentran distribuidos 
hacia la izquierda de la distribución 
(valores menores) y forman una cur-
va alargada. 
 
 Asimétrica negativa–mesocúrtica: 
asimetría derecha y curtosis de cero. 
Los datos se encuentran distribuidos 
hacia la derecha de la distribución 
 (valores mayores) y forman una cur-
va de altura media. 
 
 Asimétrica negativa–platicúrtica: 
asimetría derecha y curtosis negativa. 
Los datos se encuentran distribuidos 
hacia la derecha de la distribución 
(valores mayores) y forman una cur-
va achatada. 
 
 Asimétrica negativa–leptocúrtica: 
asimetría derecha y curtosis positiva. 
Los datos se encuentran distribuidos 
hacia la derecha de la distribución 
(valores mayores) y forman una cur-
va alargada. 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
67 
 
 
4.4 GRÁFICO DE CAJA (BOX-PLOT) 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
El gráfico de caja, gráfico de caja y 
bigotes o box-plot es un gráfico propuesto 
por Tukey (1977) que se basa en medidas 
robustas de posición y dispersión, que 
muestra la distribución de los datos seña- 
slando donde caen la mayoría de ellos y 
 la existencia de datos extremos. Para 
construirlo es necesario en primer lugar 
ordenar los datos de menor a mayor y 
calcular la mediana, el cuartil inferior, el 
cuartil superior y la distancia intercuartil. 
En el ejemplo 4.3 se aprecia la cons-
trucción de un box-plot. 
Este tipo de gráfico es muy útil para 
comparar grupos diferentes (por ejemplo 
damas y varones) o un mismo grupo en 
diversas mediciones (por ejemplo antes y 
después de un tratamiento). 
 
 
Ejemplo 4.3 
Un profesor evaluó la motivación hacia la clase de educación física de 12 estudiantes de 
tercer año de enseñanza media de un colegio de Santiago. De ello se obtuvo la siguiente 
tabla ordenada de menor a mayor: 
 
 
. 
 Paso 1: 
Determinar el dato menor y mayor, la mediana, el cuartil inferior y el cuartil superior y 
la distancia intercuartil (Di) que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
Di = CS – SI 
 
(fórmula 12) 
CS = valor del cuartil superior 
S3 = valor del cuartil inferior 
. 
Al realizar los cálculos con el ejemplo 4.3 tenemos: 
 
Dato menor= 10 
Dato mayor= 55 
Mediana= 20,5 
Cuartil inferior= 13,5 
Cuartil superior= 29,5 
Distancia intercuartil= 29,5 – 13,5 = 16 
 
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68 
 
 
 Paso 2: 
Luego debemos determinar las cotas (límites de separación de los datos de la mediana) 
para decidir si un dato es outlier (extremo, anómalos o atípicos) cuando caiga entre la 1° 
y 2° cota inferior o superior o si un dato es outlier severo cuando caiga fuera de la 2° cota 
inferior o superior. La primera cota se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 13) 
 
 
1° cota = CIS ± 1,5 DI 
 
CIS = cuartil inferior y superior 
± = más en la cota superior y menos en la cota inferior 
DI = distancia intercuartil 
 
Con los datos del ejemplo 4.3: 
 
1° cota inferior = 13,5 – (16 * 1,5) = -10,5 
1° cota superior = 29,5 + (16 * 1,5) = 53,5 
 
 
La segunda cota se obtienen con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 14) 
 
 
2° cota = CIS ± 3 DI 
 
CIS = cuartil inferior y superior 
± = más en la cota superior y menos en la cota inferior 
DI = distancia intercuartil 
 
Con los datos del ejemplo 4.3: 
 
2° cota inferior = 13,5 – (16 * 3) = -34,5 
2° cota superior = 29,5 + (16 * 3) = 77,5 
 
 
 Paso 3: 
Con estos valores se debe dibujar una escala con el rango de variación de los datos, 
marcar la mediana y los cuartiles (inferior y superior) dibujando una caja entre los 
cuartiles. 
 
 
 Paso 4: 
Desde el cuartil inferior se traza una línea con bigotes hasta el dato menor de la muestra 
y de igual forma del cuartil superior se traza una línea hasta el dato mayor. Esto 
siempre y cuando ningún dato sobrepase la 1° o 2° cota inferior o superior, ya que de 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
69 
 
 
ser así la línea se traza hasta el dato mayor antes de la 1° cota y se marcan estos datos 
outlier con un * y los datos outlier extremos con un °. 
 
 
 
 
Figura 4.5 Box-plot donde se observa la mediana (20,5), el cuartil inferior (13,5), el cuartil 
superior (29,5), el dato menor (10), el dato mayor antes de la 1° cota superior (38) y un 
dato outlier (55). 
 
 
 
 
Figura 4.6 Gráfico de caja para comparar dos grupos. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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70 
 
 
4.5 GRÁFICO DE DISPERSIÓN 
 (SCATTER-PLOT) 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Es un gráfico simple y útil para es-
tudiar la relación entre dos variables nu-
méricas. Se caracteriza por representar 
una nube de puntos (forma en que se dis-
tribuyen los datos en el gráfico) que per-
mite evaluar la naturaleza de la relación 
de ambas variables (dirección, forma y 
fuerza de la relación). Puntos dispersos en 
el gráfico representan la falta de relación 
entre las variables, en cambio puntos 
agrupados o en líneas indican relación 
entre ellas. 
En el ejemplo 4.4 se puede observar 
que los puntos se ordenan en una especie 
de línea diagonal que asciende. Esta dis-persión de datos muestra una relación 
entre las dos variables, ya que a medida 
que una puntuación aumenta (agilidad) la 
otra también lo hace (motricidad). 
 En un scatter-plot las representa-
ciones de nubes difusas no muestran re-
lación entre las variables (por ejemplo, la 
relación entre la práctica de ejercicio físi-
co y el conocimiento en historia, ya que 
ambas no se conectan y por ende la va-
riación en una de ellas no provocará ne- 
sariamente cambios en la otra). 
Las representaciones lineales mues-
tran una fuerte relación entre variables, 
además esta relación puede ser positiva, 
cuando una variable aumenta la otra 
también aumenta o cuando una disminu-
ye la otra también disminuye (por ejem-
plo, la relación entre la práctica de ejerci-
cio físico aeróbico y la resistencia cardio-
vascular, ya que al aumentar la primera 
la segunda también aumenta por adapta-
ción fisiológica) o negativa, cuando una 
variable aumenta la otra disminuye o 
viceversa (por ejemplo, la relación de la 
práctica de ejercicio físico y el porcentaje 
de grasa corporal, ya que al aumentar la 
primera disminuye la segunda). 
Las representaciones exponenciales 
 
 
Ejemplo 4.4 
Un profesor evaluó la agilidad y el desarrollo motor de 11 estudiantes de 5° año básico 
de un colegio de Santiago. En la tabla siguiente se observan los puntajes obtenidos: 
 
 
. 
 Paso 1: 
Construimos un gráfico en cuyo eje X colocaremos la variable agilidad y en el eje Y la 
variable motricidad. Luego ubicaremos un punto en la intersección de las dos 
puntuaciones que obtuvo cada sujeto del ejemplo: 
 . 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
71 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 Gráfico de dispersión de las puntuaciones de agilidad y motricidad. 
. 
 
 
 
 
Figura 4.8 Dispersiones de los datos. En la imagen A se observa una representación de 
nube difusa de datos. En la imagen B y C una distribución lineal (B es positiva y C es 
negativa) y en la imagen D una distribución exponencial. 
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72 
 
 
no son lineales, aunque muestran relación 
entre las variables (positiva o negativa) 
pero se caracterizan porque una variable 
posee valores constantes o existen modi-
ficaciones pequeñas (aumento o disminu-
ción), pero de pronto se producen cam-
bios de gran envergadura produciendo 
una curva en el gráfico (por ejemplo, la 
relación entre el uso del gimnasio para 
mejorar la apariencia física y los meses 
 del año, ya que entre los meses de marzo 
y agosto existe en nuestro país un núme-
ro constante y bajo de personas que asis-
ten regularmente al gimnasio, situación 
que cambia radicalmente a partir de sep-
tiembre, cuando la cantidad aumenta, 
duplicándose o triplicándose). 
En la figura 4.8 se observan gráficos 
de diferentes tipos de relación entre los 
datos de dos variables. 
 
 
4.6 MEDIDAS DE FORMA EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Frecuencia 
 
 
 
Figura 4.9 Frecuencia en el SPSS 22.0. 
 
 
El programa mostrará una pantalla como la figura 4.10 con un cuadro a la izquierda que 
muestra nuestras variables, las cuales llevaremos al cuadro derecho (Variables). Hecho 
esto presionamos Estadísticos abriéndose una pantalla como figura 4.11. 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
73 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 Pantalla de frecuencia en el SPSS 22.0 
 
 
 
 
Figura 4.11 Pantalla estadísticos en el SPSS 22.0 
 
 
Una vez marcados los estadísticos que deseamos presionamos Continuar para volver a 
la pantalla de frecuencia y presionamos Aceptar. 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la siguiente: 
 
Tabla 4.1 Asimetría y curtosis de una variable. 
 
 
 
En la tabla 4.1 observamos la cantidad de datos válidos y pérdidos, el coeficiente de 
asimetría y el error estándar del mismo, la curtosis y su error estándar. 
Fernando Maureira Cid 
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74 
 
 
4.7 MEDIDAS DE POSICIÓN Y 
 GRÁFICO DE CAJA EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Gráficos 
 Cuadro de diálogo antiguos 
 Diagramas de cajas 
 
 
 
Figura 4.12 Diagrama de caja en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
Cuando presionamos Diagrama de caja aparece una pantalla como la figura 4.13. Aquí 
marcamos Simple si queremos graficar una variable o Agrupación si son dos o más 
variables 
 
 
 
Figura 4.13 Pantalla del gráfico de caja en el SPSS 22.0. 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
75 
 
 
Luego presionamos Definir y los datos numéricos que deseamos graficar los llevamos 
al cuadro Variable y la variable nominal al cuadro Eje de categorías. Luego 
presionamos Aceptar. 
 
 
 
Figura 4.14 Pantalla de definición de variables en gráfico de caja en el SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega el diagrama de caja correspondiente. 
 
 
 
Figura 4.15 Grafico de caja entregado pr el SPSS 22.0 
 
 
 
 
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Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
________________________________________________________________________ 
 
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78 
 
 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 
________________________________________________________________________ 
 
79 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
5.1 MUESTRAS EN INVESTIGACIÓN 
 
Cuando planteamos nuestra investí-
gación hemos formulado hipótesis sobre 
una población que deseamos estudiar. 
Por ejemplo, queremos saber si existen 
diferencias en los niveles de resistencia 
cardiovascular de los estudiantes de pri-
mer año medio de colegios municipaliza-
dos y de colegios particulares de la comu-
na de Providencia. 
Una vez que conocemos la pobla-
ción (en el ejemplo, el total de los estu-
diantes de primer año medio de colegios 
municipalizados y de colegios particula-
res de la comuna de Providencia) debe-
mos determinar la muestra en la cual rea-
lizaremos las mediciones (Fig. 5.1). 
Es importante recordar que para 
obtener la muestra es necesario establecer 
los criterios de inclusión y exclusión de la 
misma. 
 
a) Criterios de inclusión de la muestra: 
corresponde a las características que 
deben poseer los sujetos o unidades 
de análisis para poder ser considera-
dos como parte de la muestra. En el 
ejemplo anterior de la resistencia car-
diovascular, serían criterios de inclu-
sión: 
 Que los sujetos fuesen estudiantes de 
un colegio municipal o particular de 
Providencia. 
  Que se encuentren cursando primer 
año medio. 
 
b) Criterios de exclusión de la muestra: 
corresponde a las características que 
de poseer el sujeto o unidad de aná-
lisis serán excluidos de poder formar 
parte de la muestra. En el mismo 
ejemplo anterior, serían criterios de 
exclusión: 
 Los estudiantes de primer año medio 
de colegios municipales o particula-
res de Providencia que posean enfer-
medades respiratorias que puedan 
afectar su resistencia cardiovascular. 
 Aquellos estudiantes que formen 
parte de equipos o clubes deportivos 
con altos niveles de entrenamiento 
físico, lo cual también podría afectar 
su rendimiento en la medición. 
 Estudiantes de primer año medio de 
colegios municipaleso particulares 
de Providencia que se encuentren 
lesionados, etc. 
 
 
5.1.1 Calculo del tamaño de la muestra 
 
Una vez establecidos los criterios de 
inclusión y exclusión, debemos determi-
nar el tamaño de la muestra, es decir, el 
número de sujetos que debemos medir 
en la realidad. 
Las muestras pueden ser probabi- 
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80 
 
 
 
 
Figura 5.1 Representación de una población y una muestra. 
 
 
lísticas (sujetos elegidos al azar entre to-
dos los que componen la población, por 
lo tanto, todos tienen las mismas posibili-
dades de formar parte de la muestra y los 
casos son representativos de dicha pobla-
ción) o no probabilísticas (sujetos que 
son escogidos por la facilidad de acceso a 
ellos, no todos los sujetos de la población 
tienen posibilidades de ser escogidos y no 
pretende que los casos sean representati-
vos, aunque pudiesen serlo). 
En ambos casos resulta necesario 
determinar un número de sujetos que 
vamos a evaluar y esto depende de tres 
aspectos: 
 
 Del error muestral permitido: es el 
valor de equivocación que aceptamos 
para los estadísticos de la muestra al 
ser extrapolados con los parámetros 
de la población. Los niveles habitua-
les son de 0,05 (5% de error) y 0,01 
(1% de error). A medida que disminu-
ye el error permitido aumenta el ta-
maño de la muestra. 
  Del nivel de confianza: corresponde 
al grado de certeza que un evento 
ocurra. Recordemos que la probabi-
lidad se mide entre 0 y 1, siendo 0 
una absoluta desconfianza de que un 
evento acontezca y 1 una absoluta 
confianza que dicho evento ocurra. 
Los niveles de confianza más utiliza-
dos en ciencias sociales son 0,05 y 
0,01. 
 Del carácter finito o infinito de la 
población: las poblaciones finitas son 
aquellas de tamaños reducidos y 
cuyo valor conocemos (generalmente 
bajo 100.000 unidades de análisis) y 
las poblaciones infinitas son aquellas 
de gran tamaño y cuyo valor desco-
nocemos (generalmente sobre 100.000 
unidades de análisis). Por ejemplo, 
una población finita son los estudian-
tes de enseñanza media de un colegio 
de la comuna de Santiago Centro y 
una población infinita son los estu-
diantes de enseñanza media de todos 
los colegios de Chile. 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 
________________________________________________________________________ 
 
81 
 
 
Ejemplo 5.1 
Un investigador desea conocer si existe diferencia en los niveles de fuerza de tren su-
perior de los estudiantes de cuarto año medio de colegios de la ciudad de Santiago. Para 
ello determina un nivel de confianza del 95% (0,05) y un error permitido del 5% (0,05). 
 
 Paso 1: 
Para calcular el tamaño de la muestra de una población infinita (n) utilizamos la 
siguiente fórmula: 
 
 
n= Z2 pq 
 e2 
 
(fórmula 15) 
 
 
Z2 = nivel de confianza expresada en valor Z 
 Estos valores siempre serán: 
 0,05 = 1,96 
 0,04 = 2,05 
 0,03 = 2,17 
 0,02 = 2,33 
 0,01 = 2,58 
pq = varianza de la población (como no conocemos ese dato utilizamos una constante de 0,25) 
e2 = error muestral permitido elevado al cuadrado (por ejemplo un error del 3% corresponde a 
 un valor de 0,032 en la fórmula). 
 
Realizamos los cálculos para el ejemplo 5.1: 
 
n = 1,962 * 0,25 = 3,8416 * 0,25 = 384 
 0,052 0,0025 
 
Por lo tanto, es necesario medir a 384 estudiantes de cuarto año medio de colegios de la 
ciudad de Santiago. 
 
Ahora el investigador desea realizar el mismo estudio, pero con: 
a) Un nivel de confianza del 95% (0,05) y un error permitido del 1% (0,01). 
b) Un nivel de confianza del 99% (0,01) y un error permitido del 1% (0,01). 
 
n = 1,962 * 0,25 = 3,8416 * 0,25 = 9604 estudiantes de 4° año medio 
 0,012 0,0001 
 
n = 2,582 * 0,25 = 6,6564 * 0,25 = 16641 estudiantes de 4° año medio 
 0,012 0,0001 
 
Como es posible notar, el tamaño de la muestra aumenta exponencialmente si 
aumentamos el nivel de confianza y si disminuimos nuestro error muestral permitido. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
82 
 
 
Ejemplo 5.2 
Un investigador desea conocer los hábitos de estudio de los estudiantes de primer año 
de la carrera de educación física de una Universidad. La población es de 200 
estudiantes, el nivel de confianza es de 95% (0,05) y el error permitido del 5% (0,05). 
 
 Paso 1: 
Para calcular el tamaño de la muestra de una población finita (n) utilizamos la 
siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 16) 
 
 
n= N . 
 1 + e2 * (N – 1) 
 Z2 * pq 
 
 
N = tamaño de la población 
e2 = error muestral permitido elevado al cuadrado 
Z2 = nivel de confianza elevada al cuadrado 
pq = varianza de la población 
 
Realizamos los cálculos para el ejemplo 5.2: 
 
 
 
Por lo tanto, es necesario medir a 132 de primer año de educación física de la 
Universidad. 
 
 
 
El aumento de tamaño de la pobla-
ción no produce un aumento proporcio-
nal del tamaño de la muestra. Por ejem-
plo, con un nivel de confianza del 95% y 
un error permitido de 0,05 en poblaciones 
de 100 sujetos la muestra es de 80, con 
poblaciones de 500 sujetos la muestra es 
de 217 y con poblaciones de 100.000 
sujetos la muestra es de 383. 
Cuando las poblaciones son muy 
pequeñas (25 a 40 sujetos) la muestra es 
muy similar a la población. En poblacio-
nes de 15 a 25 sujetos la muestra es n-1 y 
en poblaciones de menos de 15 sujetos la 
 muestra es igual a la población (Morales, 
2012). 
 
5.1.2 Muestras para construir un 
 instrumento de medición 
 
Cuando se construye un test o una 
escala de actitudes debe aplicarse el ins-
trumento al menos a 5 sujetos por ítems. 
Por ejemplo, si el test cuenta con 35 ítems 
serán necesarios 175 sujetos escogidos de 
forma aleatoria entre la población de 
estudio. 
Cuando se desea llevar a cabo un 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 
________________________________________________________________________ 
 
83 
 
 
análisis factorial del instrumento es nece-
saria una muestra grande, ya que este 
análisis se basa en coeficientes de correla-
ción y el error típico de las correlaciones 
disminuye si aumenta el número de su-
jetos (Morales, 2012). 
Algunos autores recomiendan mues-
tras 10 veces mayores que el número de 
ítems, es decir, para un instrumento de 40 
ítems serían necesarios 400 sujetos. Otros 
autores recomiendan muestras 3 veces 
mayor, pero que no bajen de 150 o 200 
sujetos. Por ejemplo, para un instrumento 
de 80 ítems bastaría con 240 sujetos, pero 
si un instrumento posee 20 ítems 60 
sujetos no sería suficiente, aquí el número 
mínimo debería ser de 150 y 200 sujetos. 
 
 
5.2 MUESTREO 
 
Una vez que tenemos claro el tama-
ño de la muestra debemos decidir la for-
ma en la cual escogeremos a los sujetos 
para formar parte de la muestra, este pro-
ceso recibe el nombre de muestreo. 
 
5.2.1 Para muestras probabilísticas 
 
a) Muestreo aleatorio simple: corres-
ponde a la elección al azar de una 
muestra donde todos los sujetos o 
unidades de análisis tienen las mis-
mas probabilidades de ser escogidos. 
Por ejemplo, la selección de 210 
estudiantes de primer año medio de 
colegios particulares de la comuna de 
Providencia. 
Los métodos más utilizados para este 
tipo de muestreo son la tómbola 
(enumerar los sujetos del 1 a n y esco-
ger al azar los números que formarán 
parte de la muestra), las tablas Ran-
dómicas e incluso muchos programas 
 estadísticos como el SPSS poseen 
sistemas para calcular muestras 
aleatorias (ver detalles en Maureira & 
Flores, 2012). 
La muestra obtenida mediante este 
tipo de muestreo recibe el nombre de 
muestra irrestricta aleatoria. 
 
b) Muestreo probabilístico estratifica-
do: corresponde a una división de la 
muestraen segmentos de diferentes 
tamaños y de una selección al azar en 
cada segmento (ejemplo 5.3). 
 
c) Muestreo por conglomerados: se uti-
liza cuando las unidades de la mues-
tra se encuentran muy dispersas y su 
acceso es dificultoso o cuando no 
existe un marco de muestreo (lista de 
todos los integrantes de una pobla-
ción). En este tipo de muestreo alea-
torio las unidades están compuestos 
por grupos de elementos (conglo-
merado), los que pueden ser de igual 
o diferente tamaño. 
Cuando se observan todos los inte-
grantes de cada uno de los n conglo-
merados recibe el nombre de mues-
treo por conglomerado monoetápico 
ya que el proceso se realiza en una 
sola etapa. En cambio cuando se 
seleccionan al azar integrantes dentro 
de los n conglomerados elegidos, 
recibe el nombre de muestreo por 
conglomerado bietápico o en dos 
etapas. Finalmente, si dentro de los n 
conglomerados se seleccionan al azar 
n grupos y dentro de cada grupo se 
eligen los sujetos a observar recibe el 
nombre de muestreo por conglome-
rado polietápico. 
Por ejemplo, un investigador quiere 
conocer las cualidades físicas de 
los estudiantes de tercero medio de 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
84 
 
 
Ejemplo 5.3 
Para conocer las diferencias en el desarrollo de patrones motores de niños de NB1 de 
colegios particulares, subvencionados y municipales de la comuna de Recoleta debemos 
conocer: 
 
 El tamaño de la población (vamos a suponer que 5000 niños) 
 Calcular el tamaño de la muestra (384 niños) 
 Conocer la cantidad de niños en NB1 en los colegios particulares (950 niños), sub- 
vencionado (2800 niños) y municipales (1250 niños). 
 
 Paso 1: 
Como no existe la misma cantidad de estudiantes de NB1 en los colegios municipales, 
subvencionado y particulares en la comuna de Recoleta, utilizamos la siguiente fórmula 
para calcular el tamaño de la muestra por cada segmento: 
 
 
(fórmula 17) 
 
 
fh= n 
 N 
 
fh = factor de cada grupo de la muestra 
n = tamaño de la muestra 
N = tamaño de la población 
 
Reemplazamos en la fórmula 17: 
 
fh = 384 = 0,077 
 5000 
 
 Paso 2: 
Ahora multiplicamos el valor fh por la cantidad de sujetos de cada grupo y obtenemos 
la muestra de cada grupo: 
 
Colegios particulares = 950 * 0,077 = 73 niños 
Colegios subvencionados = 2800 * 0,077 = 215 niños 
Colegios municipales = 1250 * 0,077 = 96 niños 
 
Así al sumar el total de los niños que deben ser evaluados de cada grupo se obtienen los 
384 de la muestra total. 
 
 
 
los colegios de Santiago de Chile. La 
población está compuesta por todos 
los estudiantes de 3° medio de la 
ciudad lo que hace muy dificultosa la 
 elección de los sujetos a evaluar, por 
lo tanto, decide escoger al azar cinco 
comunas y dentro de ellas evalúa a 
todos los estudiantes de 3° medio 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 
________________________________________________________________________ 
 
85 
 
 
 
 
Figura 5.2 Tipos de muestreos. 
 
 
(muestreo monoetápico). Como se-
gunda opción puede ahora escoger al 
azar los colegios dentro de cada una 
de las cinco comunas elegidas y solo 
en esos colegios medir a todos los es-
tudiantes de 3° medio (muestreo bie-. 
tápico). Finalmente, el investigador 
puede elegir al azar a los estudiantes 
de 3° medio que medirá en cada uno 
de los colegios escogidos de las 5 
comunas seleccionadas para el 
estudio (muestreo polietápico). 
 
5.2.2 Para muestras no probabilísticas 
 
a) Muestreo por criterio o juicio: es 
donde el tamaño de la muestra y la 
elección de las unidades de análisis se 
realiza por el juicio del investigador, 
es decir, el investigador mediante su 
experiencia determina los elementos a 
estudiar. 
 b) Muestreo por cuotas: corresponde a 
un muestreo similar al juicio de 
expertos, pero permite obtener mues-
tras representativas en cuanto a la 
distribución de algunas variables de 
la población. Primero se identifican 
las variables a las cuales se le asigna-
rán cuotas (por ejemplo: edad, cur-
sos, sexo, etc.) y luego se busca infor-
mación sobre la distribución de esas 
cuotas en la población para así asig-
nar dichos porcentajes a las cuotas de 
la muestra (por ejemplo: de los 
seleccionados universitarios de hánd-
bol de una ciudad el 60% correspon-
de a hombres y el 40% a mujeres, por 
lo tanto la muestra deberá estar 
conformada por un 60% de hombres 
y 40% de mujeres). Es importante 
recordar que los sujetos no son 
escogidos al azar y por lo tanto, la 
muestra no es probabilística. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
86 
 
 
c) Muestreo bola de nieve: es aquel 
donde la muestra se obtiene porque 
los primeros sujetos medidos traen a 
los demás para su evaluación. Este 
sistema es muy útil cuando el inves-
tigador quiere conformar una mues-
tra con sujetos con características muy 
particulares y de difícil acceso, enton-
ces los primeros individuos invitan a 
otros sujetos con esas características a 
participar en el estudio. 
Por ejemplo, un investigador quiere 
conocer los niveles de potencia de 
cuádriceps en atletas seleccionados 
nacionales que hayan participado en 
al menos un campeonato internacio-
nal. Para ello se pone en contacto con 
 3 atletas e incita a que estos inviten a 
deportistas conocidos suyos con las 
características requeridas a participar 
de la investigación. 
 
d) Muestreo por conveniencia: es aquel 
donde los sujetos que formarán la 
muestran están disponibles para el 
investigador. Se utilizan principal-
mente para hacer estudios sobre las 
propias muestras, ya que resulta difí-
cil extrapolar los resultados a la pob-
lación (que no necesariamente se en-
cuentra representada en la muestra). 
En otras palabras esta muestra está 
constituida por los sujetos a los 
cuales el investigador tiene acceso. 
 
 
 
 
 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
87 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
6.1 CONCEPTOS BÁSICOS EN 
 PROBABILIDADES 
 
La estadística inferencial resulta de 
aplicar las probabilidades a la estadística 
descriptiva. En este libro no estudiare-
mos probabilidades, ya que eso resultaría 
un libro en sí mismo, sólo explicaremos 
algunos conceptos básicos. 
 
 Probabilidad: es una medida numé- 
rica que cuantifica la posibilidad que 
un evento ocurra. Por ejemplo, en el 
noticiario indican un 80% de probabi-
lidad de que llueva, esto representa 
una posibilidad muy alta de que ese 
evento ocurra y por lo tanto debería-
mos salir preparados con un para-
guas. Las probabilidades fluctúan 
entre 0 y 1 (0% y 100%). 
 
 Evento: es el resultado futuro de una 
decisión. Por ejemplo, decidimos lan-
zar un dado y para ello existen seis 
eventos posibles (las seis caras de un 
dado). En el ejemplo anterior de la 
lluvia existen dos eventos posibles 
respecto del paraguas: llevarlo o no 
llevarlo. 
  Evento aleatorio: es aquel resultado 
que se logra por azar o al menos 
podemos atribuirlo a él. Por ejemplo, 
en el caso del lanzamiento de un 
dado, ya que el número que se obtie-
ne es resultado del azar (claro si no 
tomamos en cuenta, la fuerza, direc- 
ción y otra enorme cantidad de varia-
bles al momento de lanzar el dado). 
 
 Evento no aleatorio: es aquel resul-
tado que no se produce por azar. Por 
ejemplo, en el caso del paraguas y la 
lluvia el resultado no es producto del 
azar, ya que depende de nuestra pre-
ferencia de llevar o no el paraguas. 
 
 Espacio muestral: corresponde a to-
dos los posibles eventos aleatorios 
que puedan existir. Por ejemplo, seis 
eventos aleatorios en el caso de un 
dado: sus seis caras. 
 
La estadística inferencial trata sobre 
los eventos aleatorios, por lo tanto, todas 
las futuras referencias a eventos serán de 
este tipo. La probabilidad(px) de que un 
evento ocurra se puede calcular con la 
siguiente fórmula: 
 
 px = na 
 Em 
(fórmula 18) 
 
na = número de eventos aleatorios 
Em = tamaño de espacio muestral 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
88 
 
 
En el caso del dado reemplazamos 
en la fórmula 18: 
 
p(x) = 1 / 6 = 0,16666 
 
La probabilidad de obtener un 
número cualquiera al lanzar un dado (un 
dos por ejemplo) es de 16,666%. El 1 re-
presentan el evento que deseamos, como 
el número dos (que por ende es un even-
to) y el 6 es el total de posibles eventos o 
espacio muestral (seis caras del dado). 
Desde el punto de vista de la 
investigación científica, usando los esta-
dísticos descriptivos de una muestra y 
con la ayuda de las probabilidades pode-
mos determinar parámetros en una 
población, función principal de la esta-
dística inferencial. 
Las variables aleatorias de un espa-
cio muestral pueden ser de dos tipos: dis-
cretas o continuas. Las variables discretas 
son por ejemplo, el lanzamiento de una 
moneda, la cantidad de elementos erró- 
neos en una serie de elementos, el lanza-
miento de un dado, etc. Por su parte, son 
variables continuas el peso, estatura, 
edad, resultados en una prueba y cual-
quier valor dentro de un intervalo. 
 6.2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS 
 
6.2.1 Distribución de Bernoulli 
 
Es la distribución más simple, don-
de existen solamente dos posibles resul-
tados: éxito y fracaso. Por ejemplo, un 
jugador de fútbol frente al balón en un 
lanzamiento penal tiene dos posibilida-
des: a) convierte el gol y; b) falla el lanza-
miento. 
El proceso de Bernoulli consiste en 
un experimento, que a su vez consiste en 
una serie de ensayos independientes, 
idénticos y dicotómicos. El éxito (p) o 
fracaso (q) de un ensayo corresponde a la 
expresión: 
 
p + q = 1 por lo tanto, 
p = 1 – q 
q = 1 – p 
 
Es decir, éxitos más fracasos es 
igual a 1 (100%) o lo que es lo mismo, la 
cantidad de éxitos es igual a 1 menos la 
cantidad de fracasos y por lo tanto, la 
cantidad de fracasos es igual a 1 menos 
la cantidad de éxitos. Por ejemplo, Un 
delantero de fútbol posee un 70% de 
 
 
 
 
Figura 6.1 Distribución de Bernoulli de los penales de un delantero de fútbol. 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
89 
 
 
aciertos en sus lanzamientos penales y 
por ende presenta un 30% de fracasos. 
Esta distribución posee su principal 
aplicación en procesos de calidad, donde 
es necesario conocer las posibilidades de 
una combinación determinada de éxitos y 
fracasos en la elaboración de un pro-
ducto. Esto se puede observar en el ejem-
plo 6.1. 
 
 
6.2.2 Distribución binominal 
 
Esta distribución produce una des-
cripción adecuada a las probabilidades de 
 ocurrencia de los resultados de un expe- 
rimento generado en un proceso de 
Bernoulli. Un experimento puede ser 
dicotómico o teniendo muchos resulta-
dos puede dicotomizarse, por ejemplo, 
en el lanzamiento de un dado tenemos 6 
posibles resultados, pero podemos redu-
cirlo a obtener un número 2 (éxito) o no 
obtener un número 2 (fracaso). 
En un experimento de Bernoulli con 
dos etapas tenemos la existencia de dos 
posibilidades en la 1° etapa (éxito o fraca- 
so) y tenemos cuatro posibilidades en la 
2° etapa (éxito-fracaso-éxito-fracaso). En 
la figura 6.2 se aprecia un diagrama de 
 
 
Ejemplo 6.1 
En una fábrica de elaboración de balones de fútbol el 5% de los artículos presenta algún 
defecto. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 balones defectuosos de una muestra de 
6 balones? 
. 
 Paso 1: 
Determinar la probabilidad de ocurrencia con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 19) 
 
 
 
n = coeficiente binominal, donde n es total de la muestra inspeccionada y k es el 
k número de artículos defectuosos que se desea encontrar. Esto se resuelve 
 mediante factoriales x! que corresponde al producto de todos los números 
 enteros positivos hasta n (por ejemplo, 3! = 3*2*1=6). El coeficiente binominal 
 se resuelve con= n! . 
 (n – k)! * k! 
p = probabilidad de artículos defectuosos 
q = probabilidad de artículos correctos 
 
Realizamos los cálculos para el ejemplo 6.1: 
 
Pr = 6 (0,05)2 * (0,95)4 = 6! * 0,0025 * 0,8145 = 720 * 0,00203 = 0,0406 
 3 (6 – 3)! * 3! 6*6 
 
La probabilidad de que se obtengan 3 balones defectuosos de entre 6 es de 0,04%. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
90 
 
 
árbol de un experimento de dos etapas 
generado por un proceso de Bernoulli. 
 
 
 
Figura 6.2 Diagrama de árbol de un 
experimento con 2 etapas. En la primera 
existen dos opciones: éxito y fracaso. En 
la segunda para cada resultado anterior 
existe un éxito o fracaso. 
 Si p es igual al 80% y q es igual al 
20% tenemos que: 
 
p*p = 0,80 * 0,80 = 0,64 (64%) 
p*q = 0,80 * 0,20 = 0,16 (16%) 
q*p = 0,20 * 0,80 = 0,16 (16%) 
q*q = 0,20 * 0,20 = 0,04 (4%) 
 
Por lo tanto, la posibilidad de obte-
ner dos éxitos en este experimento es de 
un 64%, de obtener 1 éxito es de 32% y de 
obtener 0 éxito es de un 4%. 
También es posible que necesite-
mos conocer algún resultado en particu-
lar y no toda la distribución de un expe-
rimento binominal y para ello existe un 
método explicado en el ejemplo 6.2. 
 
 
Ejemplo 6.2 
Un voleibolista tiene una probabilidad de acierto en su saque de un 75% (0,75). Si en un 
partido se escogen al azar 5 saques, calcular la posibilidad que cero, uno, dos, tres, 
cuatro y cinco saques sean correctos. 
 
 Paso 1: 
Determinar la probabilidad total (p(X|n,p) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 20) 
 
 
P(X|n,p)= n! px * qn-x 
 x! (n – x)! 
 
 
n! = número factorial de ensayos del experimento 
x! = número factorial de errores de los n ensayos 
n = número de ensayos del experimento 
x = número de errores de los n ensayos 
p = probabilidad de éxito de cualquier ensayo 
q = probabilidad de fracaso de cualquier ensayo 
 
Reemplazamos en la fórmula 20 para cada posibilidad: 
 
 
 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
91 
 
 
 
 
De esto es posible concluir que el voleibolista tiene 23,7% de probabilidades de realizar 
correctamente los 5 saques, 39,5% de realizar correctamente 4 saques, 26% de realizar 
correctamente 3 saques, 9% de realizar correctamente 2 saques, 2% de realizar 
correctamente sólo un saque y 0,098% de no realizar correctamente ninguno de los 
saques. En la figura 6.3 se observa la distribución binominal para este ejemplo. 
 
 
 
Figura 6.3 Distribución binominal, donde se aprecia la posibilidad de éxito de una 
cantidad n de saques del voleibolista del ejemplo. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
92 
 
 
6.2.3 Distribución de Poisson 
 
Esta distribución es una de las más 
importantes en variables discretas. Se ca-
racteriza por modelar situaciones en las 
que interesa determinar el número de 
ciertos hechos que se pueden producir en 
un intervalo de tiempo o espacio, bajo 
ciertas características. También se utiliza 
 para determinar límites de procesos dico-
tómicos reiterados cuando la probabili-
dad de obtener éxito es muy pequeña. 
Este proceso se utiliza por ejemplo 
para determinar el número de fallas de 
un sistema, la cantidad de autos que 
pasan por una caseta de peajes, número 
de gente que sube y baja en un terminal 
de buses, etc. (ejemplo 6.3). 
 
 
Ejemplo 6.3 
En un partido de básquetbol de la liga amateur el 20% de los lanzamientos realizados 
desde fuera de la zona se convierten en canastasde 3 puntos. Calcular la posibilidad que 
en un partido donde se realizan 30 lanzamientos fuera de la zona, 8 de ellos se convierta 
en canastas de tres puntos. 
 
 Paso 1: 
Determinar la probabilidad de Poisson (p(x)) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 21) 
 
 
P(x) = e-(np) (np)x 
 x! 
 
 
e = 2,71828 (constante, base de logaritmos naturales) 
n = número de intentos 
p = probabilidad de ocurrencia 
x! = valores , , …factorial 
 
n = 30 
p = 20% = 0,2 
x! = 8 
np = 30 * 0,2 = 6 
 
Reemplazamos en la fórmula 21: 
 
p(8) = 2,71828-6 * 68 = 0,0025 * 1679616 = 4199,04 = 0,104 
 8! 40320 40320 
 
 
Esto significa que existe un 10,4% de posibilidades que en el partido 8 lanzamientos 
desde fuera de la zona se conviertan en canastas de 3 puntos. También es posible 
calcular las posibilidades con diferente cantidad de canastas (5, 6, 7, 8, 9, etc.) y así 
construir una curva de distribución de Poisson mediante un gráfico de barras. 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
93 
 
 
6.2.4 Distribución hipergeométrica 
 
En una distribución binominal las 
observaciones son independientes entre sí 
y es un proceso estacionario, que resulta 
de una población infinita. Cuando la po- 
 blación es finita los ensayos sucesivos no 
son independientes entre sí, ni tampoco 
estacionarios y por ende la probabilidad 
de éxito varia de ensayo en ensayo. En 
estos casos se utiliza una distribución 
hipergeométrica (ejemplo 6.4). 
 
 
Ejemplo 6.4 
En una bodega de gimnasio sin luz, hay 10 balones de los cuales 7 son de color negro y 3 
de color blanco. De una muestra de 4 balones calcule la posibilidad de sacar 2 de color 
negro. 
 
 Paso 1: 
Determinar la probabilidad con el modelo hipergeométrico con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 22) 
 
R = éxitos de la población 
x = éxitos de la muestra 
n = número de la muestra 
N = total de la población 
 
N = 10 
n = 4 
R = 7 balones negros 
x = 2 balones negros 
 
Reemplazamos en la fórmula 22: 
 
 
 
Las posibilidades de sacar 2 balones negros al escoger balones al azar y en la oscuridad 
son del 30%. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
94 
 
 
6.3 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 
 
Las variables continuas son aquellas 
que pueden adquirir un número finito de 
posibilidades dentro de una escala conti-
nua como puntos en una línea. Por ejem-
plo, el tiempo, la temperatura, la fuerza, 
la velocidad, etc. Estas variables corres-
ponden a datos de tipo numérico que 
pueden distribuirse en forma normal o 
en curvas de pequeñas muestras. 
 
 
6.3.1 Distribución normal 
 
Los datos que recolectamos de la 
muestra poseen una distribución obser- 
vable en los histogramas o polígonos de 
frecuencia, cuya área bajo la curva repre-
senta el 100% de los casos estudiados o de 
la población. Los datos pueden presentar 
un sinnúmero de distribuciones siendo la 
 más conocida e importante la distribu-
ción normal (Fig. 6.4). 
Mediante la utilización de histogra-
mas y los cálculos de la asimetría y curto-
sis podemos tener una idea de la forma 
de distribución de nuestros datos (una 
simetría y curtosis de cero representan 
una distribución normal o gaussiana). En 
las distribuciones normales la media, la 
mediana y la moda son iguales, con una 
media 0 y varianza 1. 
Recordemos que en una distribu-
ción normal el 68,26% de los datos caen 
dentro de la primera desviación estándar 
(34,13% en 1S y 34,13 en -1S), el 95,45% 
cae dentro de dos desviaciones estándar 
(13,595% entre 1S y 2S y entre -1S y -2S) y el 
99,73% cae dentro de tres desviaciones 
estándar (2,14% entre 2S y 3S y entre -2S y 
-2S). 
El teorema del límite central dice 
que aumentando el número de observa- 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 Una distribución normal es aquella cuya asimetría y curtosis es igual a cero. 
Estas distribuciones presentan una forma acampanada. En el esquema se puede observar 
el porcentaje de la muestra que se encuentra en el área bajo la curva por cada desviación 
estándar, mostrando valores hacia la derecha e izquierda de la curva. 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
95 
 
 
ciones en una muestra que no presenta 
una distribución normal, esta se logra. 
Para esto es necesario que el número de 
observaciones de la muestra sea mayor a 
30 y en poblaciones muy grandes (infi-
nitas) el número debe ser menor o igual al 
5% de la población. 
La mayor parte de los fenómenos 
naturales tienden a generar una distribu-
ción normal siempre que el número de 
observaciones sea suficientemente gran-
de. 
 6.3.2 Distribución Z 
 
Una distribución normal puede ser 
estandarizada o tipificada, lo que corres-
ponde a la asignación de un valor Z a 
cada desviación estándar, donde ± 1S es 
igual a 1 Z; ± 2S equivale a 2 Z y así 
sucesivamente. Esto se utiliza para deter-
minar porcentajes o número de observa-
ciones que se encuentran entre diversos 
intervalos bajo la curva de la distribución 
(ejemplo 6.5 y 6.6). 
 
 
Ejemplo 6.5 
Un profesor evaluó a la flexibilidad de tronco a 562 estudiantes de enseñanza media, 
obteniendo una media de 17,2 cms. y una desviación estándar de 4,28. Ahora desea 
conocer cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga una 
flexibilidad menor o igual a 15 cms. 
 
 Paso 1: 
En estos casos es necesario estandarizar los datos mediante una calificación Z que se 
obtiene con la fórmula siguiente: 
 
 
Z = (Xi – ) 
 S 
 
(fórmula 23) 
 
Xi = valor de cada observación 
 = media de las observaciones 
S = desviación estándar 
 
Puntuación Z para 15 = 15 – 17,2 = -2,2 = -0,5 
 4,28 4,28 
 
 Paso 2: 
Buscamos en la tabla de probabilidades de una distribución Z (Anexo 1) y observamos 
que para Z= -0,5 el área bajo la curva es 0,3085. 
 
 
 Paso 3: 
Hacemos la suma o resta de áreas para encontrar la posibilidad buscada. En este caso no 
es necesario restar el área a 1 (100%) como se observa en la figura 6.5 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
96 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 Área bajo la curva de interes para estudiantes con flexibilidad a 5 cms. 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que X 5 es de 0,3805 (38,05% . 
 
 
 
Ejemplo 6.6 
Utilizado los mismos datos del ejemplo 6.5, ahora el profesor desea conocer cuál es la 
probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga una flexibilidad mayor o igual 
a 20 cms. 
 
 Paso 1: 
Puntuación Z para 20 = 20 – 17,2 = 2,8 = 0,7 
 4,28 4,28 
 
 Paso 2: 
Buscamos en la tabla de probabilidades de una distribución Z (Anexo 1) y observamos 
que para Z= 0,7 el área bajo la curva es 0,7580. 
 
 
 
. 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
97 
 
 
 Paso 3: 
Hacemos la suma o resta de áreas para encontrar la posibilidad buscada. En este caso es 
necesario restar el área a 1 (100%) como se observa en la figura 6.6 
 
 
 
Figura 6.6 Área bajo la curva de interes para estudiantes con flexibilidad a 20 cms. 
 
Área bajo la curva= 1 – 0,7580 = 0,242 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que X 5 es de 0,2 2 (2 ,20% . 
 
 
 
6.3.3 Distribuciones con muestras 
 pequeñas 
 
Una distribución normal contiene 
una gran cantidad de casos evaluados, 
pero puede suceder que la muestra este 
constituida por menos de 30 observacio- 
nes o teniendo un gran número de casos 
no posea una curva normal, situaciones 
en las que resulta necesario utilizar otros 
tipos de distribuciones para realizar el 
análisis de nuestros datos, siendolas más 
comunes la curva de distribución t, la 
Chi-cuadrado y la curva F. 
 
 
a) La distribución t de Student 
 
Distribución descrita por William 
Sealy Gosset en 1908 bajo el seudónimo 
 de Student. Esta curva surge de la esti-
mación de la media en muestras peque-
ñas, generalmente con menos de 30 
casos, es una distribución simétrica que 
posee media 0 y varianza 1, es más acha-
tada que la normal (mesocúrtica) y adop-
ta diferentes formas según los grados de 
libertad (Fig. 6.7). 
Los grados de libertad son el núme-
ro de valores de una muestra que pode-
mos especificar libremente, una vez que 
se conoce la media de la muestra. Para 
explicar lo anterior imaginemos que le 
piden escoger dos números que sumen 
10, una vez que ha escogido libremente 
el primero (un 5 o 7 o 2, etc.) ya no puede 
escoger el segundo, ya que va a existir un 
único número que sumado al que esco-
gió sumen 10. Por lo tanto, en esa situa-
ción se dice que existe 1 grado de liber- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
98 
 
 
 
 
Figura 6.7 Distribución t. La línea continua representa la curva normal de distribución 
(más de 30 casos), la línea cortada representa la distribución de una muestra de 15 casos 
y la línea de puntos una muestra de 10 casos. Como se puede observar a medida que 
aumenta el n de la muestra más se acerca a una curva normal. 
 
 
 
tad (la posibilidad de escoger un núme-
ro). 
Ahora, si debe escoger 3 números 
que sumen 20, usted puede escoger libre- 
mente los dos primeros, ya que una vez 
hecho esto solo existe un único tercer nú-
mero que sumado a los dos que usted es-
cogió sumen 20, por lo tanto tiene 2 gra-
dos de libertad. Así se continúa depen-
diendo de la cantidad de números a 
escoger. 
Los grados de libertad (gl) se pue-
den calcular mediante n – 1, siendo n el 
número de la muestra. 
En una distribución t a medida que 
aumentan los grados de libertad se apro-
xima a una distribución normal. Su uso es 
adecuado cuando se desea probar una 
hipótesis con un muestreo pequeño (ge-
neralmente menor a 30 casos) y probar si 
dos muestras provienen de la misma 
población. 
 b) La distribución Chi-cuadrado (X2) 
 
Se le conoce como distribución chi 
cuadrado, distribución ji cuadrado o dis- 
tribución de Pearson. Corresponde a una 
curva con un parámetro k que representa 
los grados de libertad de una variable. 
Su uso es adecuado para muestras de 
menos de 30 casos, siendo una distribu-
ción asimétrica positiva que adopta 
diferentes formas según los grados de 
libertad (Fig. 6.8), por lo tanto, existen 
infinitas curvas de chi-cuadrado. A 
medida que aumenta el tamaño de la 
muestra esta distribución se vuelve 
menos asimétrica acercándose a una 
curva normal. 
Cuando la muestra es mayor a 2 
casos, la media de X2 corresponde a n – 1 
y la varianza a 2(n – 1). 
El uso de la curva X2 es adecuado 
para determinar si una muestra se ajusta 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
99 
 
 
 
 
Figura 6.8 Distribución Chi Cuadrada. La línea continua representa una distribución Chi 
cuadrada con 1 grado de libertad, la línea cortada con 3 grados de libertad y la línea de 
puntos con 6 grados de libertad. 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 Distribución F. La línea continua representa una distribución F con 10 grados 
de libertad en el grupo 1 e infinitos grados de libertad en el grupo 2, la línea cortada con 
10 grados de libertad en el grupo 1 y 10 grados de libertad en el grupo 2 y la línea de 
puntos con 10 grados de libertad en el grupo 1 y 4 grados de libertad en el grupo 2. 
 
 
a una distribución teórica, para saber si 
poblaciones son homogéneas y para de-
terminar la dependencia de variables. 
 
 
c) La distribución F de Fisher 
 
Se le conoce como distribución F de 
Fisher, distribución F de Snedecor o dis- 
 tribución F de Fisher-Snedecor. Corres- 
ponde a una distribución para dos mues-
tras aleatorias independientes de tamaño 
n1 y n2 que poseen una distribución Chi- 
cuadrado. Este tipo de distribución es 
asimétrica positiva y adopta diferentes 
formas según los grados de libertad (Fig. 
6.9) 
Fernando Maureira Cid 
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100 
 
 
Esta curva surge de la necesidad de 
comparar las varianzas de dos poblacio- 
nes, por lo cual se define como el cocien-
te de dos variables X2 independientes ca-
da una dividida por su grados de liber-
tad. 
 A medida que aumentan los grados 
de libertad de ambas muestras m y n la 
distribución F de Fisher se vuelve menos 
asimétrica acercándose a una distribu-
ción normal. 
 
 
 
Chi-cuadrado: https://es.slideshare.net/sevilla_carlos2004/distribucion-de-chi-cuadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.slideshare.net/sevilla_carlos2004/distribucion-de-chi-cuadrado
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 
________________________________________________________________________ 
 
101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
102 
 
 
 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
103 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
7.1 CONCEPTOS BÁSICOS EN 
 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
 
7.1.1 Nivel de significancia 
 
El nivel de significancia o valor p 
tiene que ver con la probabilidad de que 
un evento ocurra y se mide entre 0 y 1, 
siendo 0 la imposibilidad absoluta que 
dicho evento ocurra y 1 la certeza abso-
luta que ocurra. Como vimos en el capí-
tulo 6, la probabilidad que salga un 
número determinado en el lanzamiento 
de un dado es de 0,16666 (16,666%). 
Cuando un investigador desea esti-
mar los parámetros poblacionales desde 
los estadísticos de la muestra debe preo-
cuparse de que ambos valores sean cerca-
nos (por ejemplo la media de la muestra y 
la población), ya que si esto es así, resulta 
posible generalizar los resultados hacia la 
población, de lo contrario es necesario 
dudar de la generalización de dichos va-
lores. 
En este ámbito, el nivel de signifi-
cancia (nivel α es la probabilidad de 
equivocarse al generalizar los resultados 
de la muestra hacia la población. Los 
niveles α más utilizados en ciencias socia-
les son 0,05 (95% de probabilidades de 
acierto y 5% de probabilidad de error) y 
0,01 (99% de acierto y 1% de error). 
También es posible utilizar niveles 
α más pequeños (0,001 ó 0,0001). 
  La interpretación de un análisis 
estadístico inferencial se basa en la 
aceptación o rechazo de la hipótesis 
nula (H0) de nuestra investigación. 
 
Al representar el nivel de signifi-
cancia bajo la curva normal (p=0,05) se 
produce un área de aceptación de la H0 y 
un área de rechazo de ella (Fig. 7.1). Si 
nuestro resultado cae dentro de la prime-
ra (p>0,05) debemos aceptar igualdad en 
los resultados y si cae en la segunda área 
(p<0,05) debemos aceptar que lo resulta-
dos son distintos estadísticamente. 
Aquí es importante destacar la exis-
tencia de hipótesis de una cola y de dos 
colas. La primera se relaciona con hipó-
tesis en las que se puede anticipar cual 
grupo posee una desviación mayor res-
pecto a otro. Una hipótesis de dos colas 
es aquella donde no es posible anticipar 
la dirección de diferencias entre grupos. 
Por ejemplo, un investigador quiere 
conocer si existen diferencias en los 
hábitos de estudio de los alumnos de 
educación física de una universidad, 
según el sexo de la muestra y para ello 
plantea las siguientes hipótesis: 
 
Hipótesis nula (H0): 1 = 2 
Hipótesis investigación (H1): 1 ≠ 2 
 
En caso que se rechace la H0 no es 
posible predecir cual grupo presentará 
Fernando MaureiraCid 
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104 
 
 
 
 
Figura 7.1 Áreas bajo la curva normal de aceptación y rechazo de la hipótesis nula. En la 
imagen izquierda se observa un área para hipótesis de dos colas y en la imagen derecha 
para hipótesis de una cola. 
 
 
mayor puntuación en la encuesta de hábi-
tos de estudio, por lo tanto, esta hipótesis 
es de dos colas. 
En otro ejemplo, el mismo investíga-
dor quiere conocer si existen diferencias 
en los niveles de fuerza de los estudiantes 
de educación física de una universidad, 
según el sexo de la muestra y para ello 
plantea las siguientes hipótesis: 
 
H0: 1 = 2 
H1: 1 > 2 
 
En caso que se rechace la hipótesis 
nula es posible predecir que el grupo de 
varones ( 1) presentará niveles mayores 
de fuerza que las damas, por lo tanto, esta 
hipótesis es de una cola. 
Para una prueba de dos colas el 95% 
del área bajo la curva (área de aceptación 
de la hipótesis nula) se valora en términos 
de puntajes Z a 1,96 desviaciones están-
dar (α=0,05 . Un 8% del área bajo la 
curva se valora en 2,58 desviaciones 
estándar (α=0,01) y el 99,9% área bajo la 
curva se valora en 3,90 desviaciones 
estándar (α=0,00 . 
Para una prueba de una cola el 95% 
 del área bajo la curva (área de aceptación 
de la hipótesis nula) se valora en térmi-
nos de 1,64 desviaciones estándar en 
sentido positivo o negativo (α=0,05). Un 
98% del área bajo la curva se valora en 
2,32 desviaciones estándar (α=0,01) y el 
99,9% área bajo la curva se valora en 3,70 
desviaciones estándar (α=0,00 . 
 
 
7.1.2 Métodos de inferencia estadística 
 
La estadística inferencial nos permi-
te hacer afirmaciones sobre más elemen-
tos de los que vamos a medir, existiendo 
dos métodos de inferencia: la estimación 
(donde proponemos aproximaciones de 
los valores de los parámetros de la pobla-
ción) y el contraste de hipótesis (donde 
establecemos una hipótesis respecto al 
valor de un parámetro de la población y 
se evalúa con la información obtenida de 
la muestra). 
La estimación pretende determinar 
parámetros en base a estadísticos, es 
decir, conocer los valores de una carac-
terística de la población en base a unos 
pocos sujetos extraídos de ella (muestra) 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
105 
 
 
 
 
Figura 7.2 Métodos para realizar inferencias estadisticas. 
 
 
y a los cuales medimos. Por ejemplo, he-
mos determinado la media y la desvia-
ción estándar de la velocidad en una ca-
rrera de 100 mts. planos de una muestra 
aleatoria de 360 estudiantes de segundo 
año medio y ahora queremos conocer 
esos mismos valores de la población de 
2.500 estudiantes de segundo medio de 
donde se extrajo la muestra. Para esto 
necesitamos realizar una estimación de la 
media y la desviación estándar de la 
población. 
La estimación de parámetros se di-
vide en estimaciones puntuales y estima-
ciones por intervalos. 
 
 
Estimaciones puntuales 
 
Tratan de asignar un solo valor lo 
más cercano posible al valor del 
parámetro de la población. Estas estima-
ciones requieren de un estimador que no 
es otra cosa que un estadístico que per-
mite conocer características de la pobla-
ción. 
Para cada parámetro pueden existir 
varios estimadores y la forma de seleccio-
nar el correcto es en base a cuatro propie-
dades: 
 
 Carencia de sesgo: Un estimador será 
 insesgado si su valor esperado coin-
cide con el parámetro a estimar. Por 
ejemplo, la media de una muestra 
aleatoria es un estimador insesgado 
de la media de la población, ya que 
el valor esperado de la media mues-
tral coincide con el valor de la media 
poblacional. 
 Consistencia: Un estimador será 
consistente si a medida que aumenta 
el tamaño de la muestra, el valor del 
estimador se aproxima al valor del 
parámetro de la población. 
 Eficiencia: Un estimador es más 
eficiente (preciso) que otro si presen-
ta una varianza menor. 
 Suficiencia: Un estimador será sufi-
ciente si resume toda la información 
relevante contenida en la muestra, de 
manera que ningún otro estimador 
pueda entregar información adicio-
nal sobre el parámetro. 
 
Para obtener un estimador puntual 
se selecciona una muestra que permita 
minimizar el error de la diferencia del 
parámetro y el estadístico (esto se logra 
con el muestreo adecuado, situación que 
se analizó en el capítulo 5). Luego se 
calcula el estadístico muestral y se utiliza 
como estimación del parámetro verifi-
cando las cuatro propiedades menciona- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
106 
 
 
das anteriormente. Por ejemplo, un inves-
tigador desea conocer la edad promedio 
de egreso de los estudiantes de la carrera 
de educación física de una Universidad 
de Santiago y para ello selecciona una 
muestra de 50 estudiantes. El valor de la 
media de la muestra será un estimador 
puntual de la media de la población de 
egresados. 
 
 
Estimaciones por intervalos 
 
Es una forma de establecer dos 
valores entre los cuales se encuentra el 
parámetro que deseamos conocer con una 
confianza de 1 – α. Esto ayuda en la 
precisión y confiabilidad del estimador 
puntual. A este intervalo se le denomina 
intervalo de confianza. Por ejemplo, una 
media poblacional nunca será conocida, 
pero con la información de la muestra 
podemos determinar dos valores entre los 
cuales se incluirá la verdadera media 
poblacional con una confianza del 95% 
(esto se verá en detalle más adelante en 
este capítulo). 
 
 
Contraste de hipótesis 
 
Es el proceso de decisión donde 
contrastamos o comparamos la hipótesis 
nula con los datos empíricos y determi-
namos si es o no compatible con ellos. 
Recuerde que las hipótesis siempre pre- 
 guntan por la población, aunque solo 
contemos con los estadísticos de la 
muestra. 
Una vez determinado el nivel de 
confianza (95%, 99%, etc.) procedemos a 
refutar la hipótesis nula si el estadístico 
cae en la región de rechazo y la admiti-
mos cierta si cae en la región de acepta-
ción. 
Cuando se toma una decisión 
estadística hay que tener cuidado de no 
cometer los errores tipo I y tipo II. 
El error tipo I también llamado 
error alfa (α se comete cuando un 
investigador no acepta la hipótesis nula 
siendo esta verdadera, es decir, se 
concluye que existe una diferencia entre 
grupos, existe relación entre ellos o existe 
diferencia entre la muestra y la pobla-
ción, cuando en realidad no existe. 
El error tipo II también llamado 
error beta (β es el error que se comete 
cuando un investigador no rechaza la 
hipótesis nula siendo esta falsa, es decir, 
se concluye que no existe diferencia entre 
grupos, no existe relación entre ellos o no 
existe diferencia entre la muestra y la 
población, cuando en realidad si existe. 
La potencia de un contraste es la 
probabilidad de rechazar una hipótesis 
nula cuando esta es incorrecta. Esto se 
puede definir como 1 – β. Cuanto mayor 
es la varianza de la población menor es la 
potencia y cuanto mayor sea el tamaño 
de la muestra mayor es la potencia del 
contraste. 
 
 
Decisión H0 correcta H0 incorrecta 
No rechazar H0 No hay error (1 – α Error tipo II (β 
Rechazar H0 Error tipo I (α No hay error (1 – β 
 
Figura 7.3 Error tipo I y tipo II. 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
107 
 
 
El error tipo I y tipo II no se pueden 
cometer simultáneamente, ya que el pri-
mero solo puede ocurrir si H0 es correcta 
y el segundo si H0 es incorrecta. Si la pro-
babilidad del error tipo I aumenta, la 
probabilidad del error tipo II disminuye. 
Para reducir la probabilidad de cometer 
un error tipo I es necesario aumentar el 
nivel de confianza, por lo menos debe ser 
de un 0,05. Por su parte, para disminuir la 
probabilidad de cometer un error tipo II 
es necesario aumentar el tamaño de lamuestra. 
 7.2 INTERVALOS DE CONFIANZA 
 
En muchas investigaciones es nece-
sario construir intervalos de confianza 
(IC) para establecer valores entre los cua-
les se encuentra la media poblacional. 
Para ello es necesario conocer el error 
estándar de la media, que corresponde a 
la diferencia entre la media de la muestra 
y la población. Los análisis para deter-
minar este error dependen si conocemos 
o desconocemos la desviación estándar 
de dicha población (ejemplo 7.1 al 7.3). 
 
 
Ejemplo 7.1 
Un investigador evaluó la fuerza de 252 adultos mayores de entre 65 y 75 años de 
diversos centros y fundaciones de Santiago, obteniendo una media de 35,8 y una 
desviación estándar de 7,36. Ahora se desea conocer cuál será error estándar de la 
media. La población presenta una variación de 8,5 puntos. 
 
 Paso 1: 
Si conocemos las desviación estándar de la población, el error estándar de la media (e.e.) 
se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
e.e.= σ . 
 √n 
 
(fórmula 24) 
 
σ = desviación estándar de la población 
√n = raíz cuadrada del número de datos 
 
 Paso 2: 
Calcular la desviación estándar de la población: 
 
σ = √8,5 = 2, 5 
 
 Paso 3 
Calcular el error estándar de la media con la fórmula 24: 
 
e.e. = 2,915 = 2,915 = 0,184 
 √252 5,8 
 
Con esto el investigador puede concluir que el error estándar de la media es de 0,184. 
 
Fernando Maureira Cid 
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108 
 
 
Ejemplo 7.2 
Un investigador evaluó la agilidad de 52 estudiantes de tercer año básico de 2 colegios 
de Santiago, obteniendo una media de 6,50 y una desviación estándar de 2,14. Ahora se 
desea conocer cuál será la diferencia de la media de la muestra y de la población. 
 
 Paso 1: 
Si desconocemos las desviación estándar de la población, el error estándar de la media 
(e.e.) se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 25) 
 
 
e.e.= S . 
 √n 
 
S = desviación estándar de la muestra 
√n = raíz cuadrada del número de datos 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 25: 
 
e.e.= 2,14 = 2,14 = 0,296 
 √52 ,2 
 
Con esto el investigador puede concluir que el error estándar de la media es de 0,296. 
 
 
 
Ejemplo 7.3 
Un entrenador de fútbol evaluó los tiros al arco realizado por sus 3 jugadores delanteros 
durante los partidos de la liga nacional, obteniendo una media de 9,5 lanzamientos por 
partido. En el torneo existe una media de 12,1 lanzamientos por partido con una 
desviación estándar de 2,8. Ahora se desea conocer si existen diferencias entre los 
resultados obtenidos por el equipo en relación con la media nacional. Para ello se 
establecen las hipótesis: 
 
H0 = 1 = 2 
H1 = 1 ≠ 2 
  Paso 1: 
Para establecer si existe diferencia entre la media muestral y la poblacional, es necesario 
utilizar las puntuación Z que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
Z= ( - µ). 
 e.e. 
 
(fórmula 26) 
 
 = media de la muestra 
µ = media de la población 
e.e.= error estándar de la media (fórmula 24 o 25 según corresponda) 
. 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
109 
 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 26: 
 
Z= 9,5 – 12,1 = -2,6 = -1,605 
 2,8 / √3 1,62 
 
De lo anterior el entrenador puede concluir que siendo -1,605 menor a -1,96 (una 
desviación Z) se debe aceptar la H0 de igualdad y por lo tanto, no existen diferencias 
significativas entre el rendimiento de tiros al arco de los 3 delanteros del equipo y la 
media nacional. 
 
 
 
Una vez que hemos determinado el 
error estándar de la media, podemos cal-
cular los IC y realizar el contraste de hi-
pótesis entre la media muestral y la po-
blacional. En este punto es importante 
aclarar que los cálculos necesarios para 
 estas operaciones varían según un hecho 
específico: la desviación estándar (S) de 
la población es conocida (ejemplo 7.4) o 
es desconocida (ejemplo 7.5). De igual 
forma es posible establecer IC para pro-
porciones (ejemplo 7.6). 
 
 
Ejemplo 7.4 
Un investigador desea estimar los intervalos de confianza al extrapolar la media de su 
muestra aleatoria a los de la población y para ello evaluó la flexibilidad a 108 niños de 
cuarto año básico de tres colegio de Santiago obteniendo una media de 15,7 cm. y una 
desviación estándar muestral de 3,29. Según los registros la población de estudiantes de 
esos cursos posee una desviación estándar de 5,89. El investigador determinó un nivel 
de confianza de 0,05 (por ende un valor Z= 1,96). 
 
Datos: 
 = 15,7 S = 3,29 σ = 2,89 
e.e. = 2,89 / √108 = 0,278 
 
 Paso 1: 
Calcular los IC para una población con desviación estándar conocida con la siguiente 
fórmula: 
 
 
IC= ± (Z * e.e.) 
 
 
(fórmula 27) 
 
 = media de la muestra 
± = más para el IC superior y menos para el IC inferior 
Z = nivel de confianza 
e.e.= error estándar de la media (fórmula 24) 
. 
Fernando Maureira Cid 
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110 
 
 
Determinamos los intervalos de confianza utilizando la fórmula 27: 
 
ICi = 15,7 – (1,96 * 0,278) = 15,7 – 0,545 = 15,155 
ICs = 15,7 + (1,96 * 0,278) = 15,7 + 0,545 = 16,245 
 
Por lo tanto: 15,155 < µ < ,2 5 
Esto significa que el intervalo de confianza 15,155 a 16,245 contiene la media de la 
flexibilidad de la población con una confianza del 95%. 
 
 Paso 2: 
Siguiendo con el ejemplo 7.4, se sabe que la media de la población es de 16,4 entonces el 
investigador se pregunta ¿los estudiantes de la muestra tendrán una media de 
flexibilidad menor que la población? 
 
Datos: 
 = 15,7 S = 3,29 µ = 16,4 
σ = 2,89 e.e. = 0,278 
 
H0 = 1 = 2 
H1 = 1 ≠ 2 
 
Realizamos el contraste de hipótesis para la media de una población con desviación 
estándar conocida con la fórmula 25: 
 
Z = (15,7 – 16,4) = -0,7 = -2,518 
 0,278 0,278 
 
De lo anterior el investigador puede concluir que siendo -2,518 mayor a -1,96 (una 
desviación Z) se debe rechazar la H0 de igualdad y por lo tanto, existen diferencias 
significativas entre la flexibilidad de los estudiantes evaluados y la flexibilidad media 
poblacional. 
 
 
 
Ejemplo 7.5 
Un profesor evaluó la ejecución de la voltereta adelante en 18 niños de quinto año 
básico de un colegio de Santiago. La media de la evaluación fue de 3,17 y una 
desviación estándar de 1,21. Ahora se desea establecer los intervalos de confianza de la 
media de la población (a un nivel de 0,05). 
 
Datos: 
 = 3,17 S = 1,21 
Grados de libertad (gl) = 18 – 1 = 17 
e.e. = 1,21 / √ 8 = 0,285 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
111 
 
 
 Paso 1: 
Calcular los IC para una población con desviación estándar desconocida con la 
siguiente fórmula: 
 
 
IC= ± (t * e.e.) 
 
 
(fórmula 28) 
 
 = media de la muestra 
± = más para el IC superior y menos para el IC inferior 
t = valor t 
e.e.= error estándar de la media (fórmula 25) 
. 
El valor t se obtiene de una tabla t student (Anexo 2) donde es necesario ubicar el valor 
de significancia a utilizar y los grados de libertad de la muestra, el valor de intersección 
corresponde al valor t en la fórmula. Por ejemplo, para 7 gl y un nivel de confianza de 
0,05 el valor es de 1,89. 
 
 
 
Ahora determinamos los intervalos de confianza utilizando la fórmula 28: 
 
ICi = 3,17 – (1,89 * 0,285) = 3,17 – 0,539 = 2,631 
ICs = 3,17 + (1,89 * 0,285) = 3,17 + 0,539 = 3,709 
 
Por lo tanto: 2, 3 < µ < 3, 0 
 
Esto significa que el intervalo de confianza 2,631 a 3,709 contiene la media de la 
ejecución de la voltereta de la población con una confianza del 95%. 
 
 
 Paso 2: 
Siguiendo con el ejemplo 7.5, se sabe que la media de la población es de 2,31 entonces el 
investigador se pregunta¿los estudiantes de la muestra tendrán una media en la 
ejecución de la voltereta mayor que la población? 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
112 
 
 
Datos: 
 = 3,17 S = 2,21 µ = 2,31 
e.e. = 0,285 t = 2,11 
 
H0 = 1 = 2 
H1 = 1 ≠ 2 
 
Realizamos el contraste de hipótesis para la media de una población con desviación 
estándar desconocida con la fórmula 26: 
 
Z = (3,17 – 2,31) = 0,86 = 3,018 
 0,285 0,285 
 
De lo anterior el investigador puede concluir que siendo 3,018 mayor a 1,96 (una 
desviación Z) se debe rechazar la H0 de igualdad y por lo tanto, existen diferencias 
significativas entre la puntuación de la ejecución de la voltereta en la muestra y la 
población. 
 
 
 
Ejemplo 7.6 
Un investigador desea conocer los intervalos de confianza de la proporción de niños con 
obesidad a partir de su muestra aleatoria de 357 estudiantes de primer año de 
enseñanza básica de diversos colegios de la ciudad de Santiago. El porcentaje de obesos 
de la muestra fue del 20,5% (0,205) y el nivel de confianza determinado fue de 0,05 (Z = 
1,96). 
 
Datos: 
p = 20,5% = 0,205 
n = 357 
 
 Paso 1: 
Calcular los IC para proporciones con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 29) 
 
 
 
 
 
p = valor de la proporción expresada en números enteros (0,18; 0,25, etc.) 
± = más para el IC superior y menos para el IC inferior 
Z = nivel de confianza expresada en desviaciones estándar 
n = número de datos 
.. 
Ahora determinamos los intervalos de confianza utilizando la fórmula 29: 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 
________________________________________________________________________ 
 
113 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: 0, < µ < 0,2 
 
Esto significa que el intervalo de confianza 0,164 (16,4%) a 0,246 (24,6%) contiene el 
porcentaje de obesidad de la población con una confianza del 95%. 
 
 
 Paso 2: 
Siguiendo con el ejemplo 7.6, se sabe que el porcentaje de obesidad de la población es de 
24,0% entonces el investigador se pregunta ¿los estudiantes de la muestra tendrán un 
porcentaje menor de obesidad que la población? 
 
Datos: 
p = 20,5% = 0,205 
P = 24,8% = 0,248 
n = 357 
 
H0 = p = P 
H1 = p ≠ P 
 
Realizar el contraste de hipótesis para proporciones con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 30) 
 
 
p = valor de la proporción expresada en números enteros (0,18; 0,25, etc.) 
P = proporción de la población 
n = número de datos 
. 
Ahora realizamos el contraste de hipótesis utilizando la fórmula 30: 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
114 
 
 
 
 
 
De lo anterior el investigador puede concluir que siendo -1,89 menor a -1,96 (una 
desviación Z) se debe aceptar la H0 de igualdad y por lo tanto, no existen diferencias 
significativas entre la proporción de obsesos de la muestra y de la población. 
 
 
 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
115 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
Recordemos que la estadística infe-
rencial univariada puede dividirse en 
estadística paramétrica y no paramétrica, 
dependiendo de las características de dis-
tribución y naturaleza de los datos. La 
elección de una y otra resulta fundamen-
tal para nuestro trabajo de investigación, 
ya que la aplicación de análisis inadecua-
dos conllevará a errores en nuestras con-
clusiones. 
Los análisis paramétricos para una 
población siempre necesitan cumplir con 
dos supuestos para su aplicación y es 
obligación del investigador confirmar que 
estas dos características se cumplan: 
 
 La variable dependiente debe pre-
sentar una distribución normal. 
 La variable dependiente debe ser 
numérica (intervalar o de razón). 
 8.1 PRUEBA KS DE NORMALIDAD 
 
Antes de comenzar los análisis 
paramétricos debemos constatar que se 
cumplen los supuestos mencionados 
anteriormente. El primer supuesto es po-
sible de confirmar con análisis estadís-
ticos, en tanto, el segundo se logra sim-
plemente confirmando el nivel de medi-
da de los datos que tenemos. 
Como en los análisis de una pobla-
ción no existe comparación entre grupos 
no debemos confirmar la homocedastici-
dad, pero si es necesario determinar si 
los datos poseen una distribución normal 
y para ello utilizamos el estadístico de 
Kolmogorov-Smirnov (prueba KS), el 
cual permite contrastar la hipótesis que 
la distribución teórica es igual a la distri-
bución observada (Ejemplo 8.1). 
 
 
Ejemplo 8.1 
Un profesor evaluó la agilidad de 35 estudiantes de tercer año medio de un colegio de 
Santiago. Ahora quiere saber si estos datos poseen una distribución normal. 
 
Consideraciones: 
 Variable: agilidad 
 1 grupo: 35 estudiantes 
 H0 = No existen diferencias estadísticamente significativas entre la distribución 
teórica y la distribución observada. 
 
En la tabla a continuación se observan los puntajes del test, la frecuencia relativa 
(número de sujetos que obtuvieron dicho puntaje) y acumulada con la cantidad de 
niños que obtuvieron dicho puntaje: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
116 
 
 
 
 
 
 Paso 1: 
Cada frecuencia acumulada se divide por la frecuencia acumulada total (en este caso 35) 
para obtener la frecuencia observada (fo). 
 
 
 
 Paso 2: 
La frecuencia acumulada total (en este caso 35) se divide por la cantidad de categorías 
(en este caso 10) para obtener la frecuencia relativa teórica (frt). 
 
 
.. 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
117 
 
 
 Paso 3: 
La frecuencia acumulada teórica (fat) se obtiene con la suma de una categoría más las 
anteriores de la frecuencia relativa teórica. 
 
 
 
 Paso 4: 
Ahora cada fat se divide por la frecuencia acumulada total (en este caso 35) para obtener 
la frecuencia teórica (ft). 
 
 
 
 Paso 5: 
Finalmente a cada frecuencia observada (fo) se le resta la frecuencia teórica (ft) y así 
obtenemos cada valor de diferencia (D). 
 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
118 
 
 
 Paso 6 
La diferencia máxima (Dmáx) corresponde al valor KS (en este caso es de -0,157). Ahora 
el investigador debe contrastar el valor KS obtenido (sin importar su signo positivo o 
negativo) con los valores críticos de D (Anexo 3) según el nivel de confianza escogido. 
Para el ejemplo, con 0,05 y 35 datos tenemos un valor KS de 0,22425. 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor D obtenido es menor o igual al valor D de la tabla se debe aceptar la 
H0. 
 Si el valor D obtenido es mayor al valor D de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como KS = 0,157 < 0,22425 debemos aceptar H0 que plantea una distribución teórica 
igual a la observada, es decir, los datos poseen una distribución normal. 
 
 
 
8.2 PRUEBA DE NORMALIDAD DE 
 SHAPIRO-WILK 
 
La prueba de Shapiro-Wilks corres-
ponde a una prueba de bondad de ajuste, 
igual que la prueba KS, que suele utili-
zarse cuando el número de la muestra es 
pequeño (menor a 50 casos). 
Esta prueba permite contrastar la hi- 
 pótesis que la distribución teórica (Xt) es 
igual a la distribución observada (Xo): 
 
H1 = Xt ≠ Xo 
H0 = Xt = Xo 
 
Los detalles del cálculo de la prueba 
de Shapiro-Wilks se muestran en el ejem-
plo 8.2. 
 
 
Ejemplo 8.2 
Un profesor evaluó la coordinación de 11 estudiantes de tercer año básico de un colegio 
de Santiago. Ahora quiere saber si estos datos poseen una distribución normal. 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
119 
 
 
Consideraciones: 
 Variable: coordinación 
 1 grupo: 11 estudiantes 
 H0 = No existen diferenciasestadísticamente significativas entre la distribución 
teórica y la distribución observada. 
 
En la tabla a continuación se observan los puntajes del test ordenados de menor a 
mayor: 
 
 
 
Para el cálculo de la prueba de Shapiro-Wilk se utiliza la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
W = [∑ain [X(n-1+1) – Xi] ]2 
 ∑(Xi – )2 
 
(fórmula 31) 
 
 
ain = valor específico para cada tamaño de la muestra 
X(n-1+1) – Xi = diferencias al restar el primer valor al último, el segundo al penúltimo, etc. 
Xi = valor de una medición 
 = media de los datos 
 
 Paso 1: 
Calcular el X(n-1+1) – Xi : 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular ain [X(n-1+1) – Xi] obteniendo el valor ain del anexo 4 según N de la muestra. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
120 
 
 
 
 
 
 Paso 3: 
Calcular ∑(Xi – )2 
 
 
 
 Paso 3: 
Reemplazamos en la fórmula 30: 
 
W= 8,4992 = 72,233 = 0,948 
 76,182 76,182 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor W obtenido con los valores críticos de W 
(Anexo 5) según el nivel de confianza escogido. Para el ejemplo, con 0,05 y 11 datos 
tenemos un valor W de 0,850. 
 
 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
121 
 
 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor W obtenido es menor o igual al valor W de la tabla se debe aceptar la 
H0. 
 Si el valor W obtenido es mayor al valor W de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como W = 0,948 > 0,850 debemos rechazar H0 que plantea una distribución teórica igual 
a la observada, es decir, los datos no poseen una distribución normal. 
 
 
 
8.3 PRUEBA KS DE NORMALIDAD 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de dialogo antiguo 
 KS de una muestra 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 8.2 observamos que en el rectángulo de la 
izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable que deseamos 
analizar y la llevamos al cuadro derecho (lista prueba de variables). 
 
Por defecto aparece marcada la opción normal en el cuadro prueba de distribución. 
Luego presionamos Aceptar. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
122 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 Prueba KS en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 8.2 Pantalla de prueba KS en el SPSS 22.0. 
 
 
El programa nos entrega una tabla como la figura 8.1, donde se observa el número de 
sujetos, la media y desviación estándar de los datos, las diferencias más extremas al 
comparar las frecuencias teóricas y las frecuencias observadas, un valor Z de la prueba 
de normalidad de Kolmogorov-Smirnov y la Sig. o valor p de la prueba KS. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor Z calculado con el valor crítico de Z 
(Anexo 3) obteniendo: 0,911 < 1,96 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,377) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea que la variable posee una distribución normal. 
 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
123 
 
 
 
Tabla 8.1 Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra en el SPSS 22.0. 
 
 
. 
 
 
8.5 PRUEBA DE NORMALIDAD DE 
SHAPIRO-WILK EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Frecuencia 
 Explorar 
 
 
 
Figura 8.3 Prueba de Shapiro-Wilk en el menú del SPSS 22.0. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
124 
 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 8.4 observamos que en el rectángulo de la 
izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable que deseamos 
analizar y la llevamos al cuadro derecho (lista de dependientes). Luego presionamos la 
opción Gráficos y aparece una pantalla como la figura 85. 
 
 
 
 
Figura 8.4 Pantalla de explorar en el SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 8.5 Pantalla de explorar: gráficos en el SPSS 22.0. 
 
 
En la figura 8.5 marcamos gráficos de prueba de normalidad. Luego presionamos 
Continuar. Al volver a la pantalla de Explorar presionamos Aceptar. 
 
El programa nos entrega varias tablas, pero las que nos interesa es la tabla 8.2, donde se 
observa la prueba de Kolmogorv-Smirnov con la corrección de Lilliefors, la cual se suele 
utilizar debido a que la prueba KS por sí sola resulta ser muy conservadora. 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 
________________________________________________________________________ 
 
125 
 
 
 
Tabla 8.2 Prueba de normalidad. 
 
 
 
También se observa la prueba de Shapiro-Wilk que entrega el valor W, los grados de 
libertad y el valor p o sig. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor W calculado con el valor crítico de W 
(Anexo 5) obteniendo: 0,945 > 0,892 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea que la variable posee una distribución normal. 
 
El programa también nos entrega el grafico Q-Q de la figura 8.6 
 
 
 
Figura 8.6 Gráfico Q-Q de normalidad de datos. 
 
En la figura 8.6 muestra cada valor observado y lo compara con cada valor esperado 
(distribución normal). Si ambos valores coinciden se encontraran en una línea recta. 
Si el ajuste de los datos no es buena entonces los puntos pueden adquirir diferentes 
distribuciones (Figura 8.7). 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
126 
 
 
 
 
 
Figura 8.7 Diferentes distribuciones en gráfico Q-Q de normalidad de datos. La figura A 
representa una distribución asimétrica derecha, la figura B una asimétrica izquierda, la 
figura C una distribución leptocúrtica y la figura D una platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 
________________________________________________________________________ 
 
127 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
9.1 PRUEBAS DE COCHRAN, 
 HARTLEY Y BARTLETT 
 
La constatación de la distribución 
normal de los datos de una variable de-
pendiente observada, nos permite la 
utilización de análisis paramétricos para 
la contrastación de hipótesis. En el caso 
que necesitemos comparar la media de 
dos grupos (por ejemplo, la flexibilidad 
entre hombres y mujeres) primero debe-
mos verificar que se cumpla la homoge-
neidad u homocedasticidad de varianzas 
entre los dos grupos. 
 Esta situación se refiere a la existen-
cia de varianzas semejantes entre dife-
rentes grupos. Cuando deseamos com-
parar las medias de dos grupos debemos 
calcular el valor F entre la relación de la 
varianza de mayor y menor tamaño de 
los dos grupos (ejemplo 9.1). Por su par-
te, cuando comparamos tres o más gru-
pos de igual tamaño se utiliza la prueba 
de Cochran o la prueba de Hartley 
(ejemplo 9.2) y cuando comparamos tres 
o más grupos de diferente tamaño 
utilizamos la prueba de Bartlett (ejemplo 
9.3) 
 
 
Ejemplo 9.1 
Un investigador evalúo las estrategias de aprendizaje de los alumnos de 2 cursos, 
obteniendo una media de 3,16 (S=0,97) con los puntajes de los 32 estudiantes del curso A 
y una media de 3,74 (S=1,11) con los puntajes de los 35 estudiantes del curso B. Ahora se 
desea saber si existe diferencia entre las varianzas de los grupos. 
 
Consideraciones: 
 Variable: estrategias de aprendizaje 
 2 grupos: curso A y curso B 
 H0 = No existen diferencias estadísticamente significativas entre las varianzas del 
curso A y B. 
 
 Paso 1: 
Calcular la varianzas de los grupos A y B: 
 
Grupo A: La desviación estándar = 0,97 por lo tanto, la varianza = 0,972 = 0,941 
Grupo B: La desviación estándar = 1,11 por lo tanto, la varianza = 1,112 = 1,232 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
128 Paso 2: 
Calcular el valor F con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 32) 
 
 
F = S21 
 S22 
 
S21 = varianza mayor de los dos grupos 
S22 = varianza menor de los dos grupos 
 
Reemplazamos en la fórmula 32: 
 
F = 1,232 = 1,309 
 0,941 
 
 
 Paso 3: 
Ahora el investigador debe contrastar el valor F obtenido con los valores críticos de F 
(Anexo 6) según el nivel de confianza escogido y los grados de libertad (n – 1) de cada 
grupo. Para el ejemplo, con 0,05 y gl1=31 y gl2=34 tenemos un valor F de 1,841. 
 
 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor F obtenido es menor o igual al valor F de la tabla se debe aceptar la 
H0. 
 Si el valor F obtenido es mayor al valor F de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como el valor F =1,309 < 1,841 debemos aceptar H0 que plantea la igualdad de varianza 
entre los dos grupos. 
 
 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 
________________________________________________________________________ 
 
129 
 
 
Ejemplo 9.2 
Un profesor evalúo la capacidad de aciertos en lanzamientos a la canasta en básquetbol 
en estudiantes de enseñanza media de un colegio. Cada curso estuvo constituido por 40 
alumnos. El primer año obtuvo una media de 15,7 (S=2,45), segundo año 14,8 (S=1,95), 
tercer año 17,2 (S=3,80) y cuarto año 16,4 (S=2,96). Ahora se desea saber si las varianzas 
de los cuatro grupos son iguales. 
 
 
PRUEBA DE COCHRAN 
 
Consideraciones: 
 Variable: aciertos en lanzamientos en básquetbol 
 4 grupos: 1°, 2°, 3° y 4° año 
 H0 = No existen diferencias estadísticamente significativas entre las varianzas de los 
cuatro cursos. 
 
 Paso 1: 
Calcular la varianzas de los grupos: 
 
Grupo 1: La desviación estándar = 2,45 por lo tanto, la varianza = 2,452 = 6,00 
Grupo 2: La desviación estándar = 1,95 por lo tanto, la varianza = 1,952 = 3,80 
Grupo 3: La desviación estándar = 3,80 por lo tanto, la varianza = 3,802 = 14,44 
Grupo 4: La desviación estándar = 2,96 por lo tanto la varianza = 2,962 = 8,76 
 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor R de Cochran con la siguiente fórmula: 
 
 
R = S2máx 
 ∑S2 
 
(fórmula 33) 
 
 
S2máx = varianza mayor de entre los grupos 
∑S2 = suma de las varianzas de todos los grupos 
 
Reemplazamos en la fórmula 33: 
 
R = 14,44 = 14,44 = 0,438 
 6,00 + 3,80 + 14,44 + 8,76 33 
 
 
 Paso 3: 
Ahora el profesor debe contrastar el valor R obtenido con los valores críticos de R 
(Anexo 7) según el nivel de confianza escogido y los valores correspondientes al núme- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
130 
 
 
ro de muestra y número de grupos. Para el ejemplo, con 0,05 y N°1=40 y N°2=4 tenemos 
un valor R de 0,3720. 
 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor R obtenido es menor al valor R de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor R obtenido es igual o mayor al valor R de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como el valor R = 0,437 > 0,3720 debemos rechazar H0 que plantea la igualdad de 
varianza entre los cuatro grupos. 
 
 
PRUEBA DE HARTLEY 
 
 Paso 1: 
Para el mismo ejemplo 8, calculamos el valor F de Hartley con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 34) 
 
 
Fmáx = S2máx 
 S2min 
 
S2máx = varianza mayor de entre los grupos 
S2min = varianza menor de entre los grupos 
. 
Reemplazamos en la fórmula 34: 
 
Fmáx = 14,44 = 3,8 
 3,80 
 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 
________________________________________________________________________ 
 
131 
 
 
 Paso 2: 
Ahora el profesor debe contrastar el valor F obtenido con los valores críticos de F 
(Anexo 6) según el nivel de confianza escogido y los valores correspondientes al 
número de muestra y número de grupos. Para el ejemplo, con 0,05 y N°1=40 y N°2=4 
tenemos un valor F de 2,606. 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor F obtenido es menor o igual al valor F de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor F obtenido es mayor al valor F de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como el valor F = 3,8 > 2,606 debemos rechazar H0 que plantea la igualdad de varianza 
entre los cuatro grupos. 
 
 
 
Ejemplo 9.3 
Un investigador evalúo la capacidad de atención en seleccionados universitarios de 
cuatro deportes. El primer grupo estuvo constituido por 15 seleccionados de voleibol 
con una media de 7,97 puntos (S=1,05), el segundo grupo de 18 seleccionados de fútbol 
con 8,03 (S=1,96), el tercer grupo de 16 seleccionados de básquetbol con 9,12 (S=0,98) y el 
cuarto grupo de 14 seleccionados de hándbol con 8,54 (S=1,45). Ahora se desea saber si 
las varianzas de los cuatro grupos son iguales. 
 
Consideraciones: 
 Variable: atención 
 4 grupos: seleccionados de voleibol, fútbol, básquetbol y hándbol. 
 H0 = No existen diferencias estadísticamente significativas entre las varianzas de los 
cuatro grupos. 
 
 Paso 1: 
Calcular la varianza de cada grupo. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
132 
 
 
Grupo 1: La desviación estándar = 1,05 por lo tanto, la varianza = 1,052 = 1,10 
 n1= 15 
Grupo 2: La desviación estándar = 1,96 por lo tanto, la varianza = 1,962 = 3,84 
 n2= 18 
Grupo 3: La desviación estándar = 0,98 por lo tanto, la varianza = 0,982 = 0,96 
 n3= 16 
Grupo 4: La desviación estándar = 1,45 por lo tanto, la varianza = 1,452 = 2,10 
 n4= 14 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor B de Bartlett con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 35) 
 
 
B = 2,3026 * [ (N – K) log S2p - ∑(n1 – 1) log S2i ] 
 C 
 
2,3026 = constante 
N = número total de la muestra 
log = logaritmo común de base 10 
ni = número de sujetos de cada muestra 
K = número de grupos 
C = valor que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
(fórmula 36) 
 
 
 
 
S2p = valor que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
(fórmula 37) S2p = ∑(ni – 1) * S2i 
 N – K 
 
 
 Calcular S2p reemplazando en la fórmula 37: 
 
S2p = [(15-1)*1,10 + (18-1)*3,84 + (16-1)*0,96 + (14-1)*2,10] = (15,4 + 65,28 + 14,4 + 27,3) 
 (15+18+16+14) – 4 63 – 4 
 = 122,38 = 2,074 
 59 
 
 Calcular C reemplazando en la fórmula 36: 
 
 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 
________________________________________________________________________ 
 
133 
 
 
 Calcular (N – k) log S2p : 
 
log S2p = log 2,074 = 0,317 
Por lo tanto, (N – k) log S2p = (63 – 4) * 0,317 = 59 * 0,317 = 18,703 
 
 Calcular ∑(n1 – 1) log S2i : 
 
(n1 – 1) log S21 = (15 – 1) * log 1,10 = 14 * 0,041 = 0,574 
(n2 – 1) log S22 = (18 – 1) * log 3,84 = 17 * 0,584 = 9,928 
(n3 – 1) log S23 = (16 – 1) * log 0,96 = 15 * -0,018 = -0,270 
(n4 – 1) log S24 = (14 – 1) * log 2,10 = 13 * 0,322 = 4,186 
∑(n1 – 1) log S2i = 0,574 + 9,928 + (-0,270) + 4,186 = 14,418 
 
 Calcular el valor B con la fórmula 35: 
 
B= 2,3026 * (18,703 – 14,418) = 8,051 * 4,285 = 34,50 
 0,286 
 
 
 Paso 3: 
Ahora el investigador debe contrastar el valor X2 obtenido con los valores críticos de X2 
(Anexo 8) según el nivel de confianza escogido y los gl (n – 1). Para el ejemplo, con 0,05 
y gl=3 tenemos un valor X2 de 7,815. 
 
 
 
Ahora debemos seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor X2 obtenido es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 obtenido es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como el valor X2 = 34,50 > 7,815 debemos rechazar H0 que plantea la igualdad de 
varianza entre los cuatro grupos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
134 
 
 
9.2 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD 
DE VARIANZAS EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadísticoSPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Explorar 
 
 
 
Figura 9.1. Prueba de homogeneidad de varianzas en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
Figura 9.2. Pantalla Explorar en el SPSS 22.0. 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 9.2 observamos que en el rectángulo de la 
izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable dependiente y la 
llevamos al cuadro superior derecho (lista dependiente). Luego tomamos la variable de 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 
________________________________________________________________________ 
 
135 
 
 
agrupación (grupos que queremos comparar, por ejemplo el sexo) y la llevamos al 
cuadro medio derecho (lista de factores). 
Luego presionamos Gráficos y en el cuadro dispersión por nivel con prueba de Levene 
marcamos no transformado (Fig. 9.3). 
 
 
 
 Figura 9.3 Pantalla de gráficos en explorar en el SPSS 22.0. 
 
 
Hecho esto presionamos continuar para volver a la pantalla de explorar y presionamos 
Aceptar. 
La hoja de cálculos del programa nos entrega varias tablas pero la que nos interesa es la 
siguiente: 
 
Tabla 9.1 Prueba de homogeneidad de varianza 
 
 
 
 
En la tabla se observa el estadístico de la prueba de Levene, los grados de libertad uno 
que corresponde al número de grupos menos 1 (2 – 1 = 1), los grados de libertad dos que 
corresponde al número total de sujetos de la muestra menos el número de grupos (147 – 
2 = 145) y la Sig. o valor p. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor F calculado con el valor crítico de F 
(Anexo 6) obteniendo: 0,208 < 3,960 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
136 
 
 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,650) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la homogeneidad de las varianzas. 
 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
137 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
10.1 PRUEBA T DE STUDENT PARA 
 MUESTRAS INDEPENDIENTES 
 
Nivel de medición: 
Intervalar o de razón 
 
La prueba t para muestras indepen-
dientes se utiliza para comparar las me-
dias de dos muestras que no están relacio-
nadas entre sí (por ejemplo: sexo, curso, 
colegio, comuna, país, etc.) y determinar 
si la diferencia entre ambos son estadísti-
camente significativas (no se deben al 
azar). 
 Supuestos de la prueba t: 
 
 La variable dependiente debe pre-
sentar una distribución normal. 
 La variable dependiente debe ser 
numérica. 
 Debe cumplirse la homocedastici-
dad u homogeneidad de varianzas 
entre los dos grupos. 
 
Al calcular el valor t también pode-
mos determinar los intervalos de con-
fianza de la diferencia de medias y el 
tamaño del efecto (ejemplo 10.1). 
 
 
Ejemplo 10.1 
Un investigador midió la fuerza prensil en 9 varones de 15 años y 7 varones de 17 años 
de un colegio de Santiago. Las puntuaciones se observan en la tabla siguiente: 
 
 
Grupo 1 Puntaje Grupo 2 Puntaje 
N° 1 12 N° 1 15 
N° 2 15 N° 2 18 
N° 3 13 N° 3 19 
N° 4 15 N° 4 18 
N° 5 14 N° 5 17 
N° 6 15 N° 6 20 
N° 7 16 N° 7 15 
N° 8 12 
N° 9 14 
= 14,0 = 17,4 
S= 1,41 S= 1,90 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
138 
 
 
Ahora se desea establecer los intervalos de confianza de la media y saber si existen 
diferencias entre la media de ambos grupos. Para ello se determina la diferencia de 
medias independientes (D) que se obtiene con la media del grupo 1 menos la media del 
grupo 2: 
 
D= 14,0 – 17,4 = -3,4 
 
Luego se establecen las siguientes hipótesis: 
 
H0 = 1 = 2 
H1 = 1 ≠ 2 
 
 Paso 1: 
Calcular el error estándar de la diferencia de medias independientes, que corresponde 
al error posible entre la diferencia de dos o más grupos que forman la muestra y de dos 
o más grupos que conforman la población. 
 
 
(fórmula 38) 
 
 
 
 
 
σ21 = desviación estándar al cuadrado de la población 1 
σ22 = desviación estándar al cuadrado de la población 2 
n1 = número de casos del grupo 1 
n2 = número de casos del grupo 2 
. 
Si la desviación estándar de la población es desconocida, el error estándar se obtiene con 
la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 39) 
 
 
 
 
 
S21 = desviación estándar al cuadrado del grupo 1 
S22 = desviación estándar al cuadrado del grupo 2 
n1 = número de casos del grupo 1 
n2 = número de casos del grupo 2 
 
Para el ejemplo 10.1 reemplazamos en la fórmula 39: 
 
 
 
Se obtiene un error estándar de diferencia de medias de 0,858. 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
139 
 
 
 Paso 2: 
Calcular los intervalos de confianza de diferencia de medias independientes con la 
siguiente fórmula: 
 
 
IC = D ± (Z * e.e.) 
 
 
(fórmula 40) 
 
D = diferencia de medias independientes 
Z = puntuación Z (por ejemplo 1,96) 
e.e. = error estándar de la diferencia de medias independientes 
. 
Siguiendo con el ejemplo 10.1, tenemos una diferencia de medias independientes de -3,4 
y un error estándar de diferencia de medias independientes de 0,858. 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 40: 
 
ICs = -3,4 + (1,96*0,858) = -3,4 + 1,682 = -1,718 
ICi = -3,4 – (1,96*0,858) = -3,4 – 1,682 = -5,082 
 
Por lo tanto: -5,082 µD -1,718 
 
Esto significa que la media poblacional de la diferencia de medias de la fuerza prensil 
de los estudiantes de 15 y 17 años de un colegio de Santiago se encuentre entre -5,082 y 
-1,718 con una confianza del 95%. 
 
 
 Paso 3: 
Para saber si la diferencia de medias es significativa debemos calcular el valor t de 
muestras independientes que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
t = 1 – 2 
 e.e. 
 
(fórmula 41) 
 
1 = media grupo 1 
2 = media grupo 2 
e.e. = error estándar de la diferencia de medias independientes 
. 
Para el ejemplo 10.1 reemplazamos en la fórmula 41: 
 
t = 14,0 – 17,4 = -3,4 = -3,963 
 0,858 0,858 
 
El valor t de muestras independientes fue de 3,963 (no importa el signo del valor 
obtenido). Luego calculamos los grados de libertad [(n1 – 1) + (n2 – 1)] = 14. Con ambos 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
140 
 
 
datos vamos a la tabla de valores críticos de t (Anexo 2) y vemos que con 14 gl y un 
nivel de confianza de 0,05 el valor t es de 1,76. 
 
 
 
Ahora utilizamos la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor t calculado es menor al valor t de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor t calculado es igual o mayor al valor t de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como el valor t = 3,963 > 1,76 se debe rechazar H0 y podemos concluir que existen 
diferencias entre las medias de los grupos. 
 
 
 Paso 4: 
Calcular el tamaño del efecto de la prueba t para muestras independientes, que 
corresponde a la magnitud de la diferencia de dos medias, es decir, nos índica si la 
diferencia es pequeña, mediana o grande. El tamaño del efecto (ES) corresponde a una 
comparación en desviaciones típicas (Z) y en dos muestras independientes se calcula 
con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 42) 
 
 
ES = 1 – 2 
 σ 
 
1 = media grupo 1 
2 = media grupo 2 
σ = desviación típica combinada que se obtiene con: 
 
(fórmula 43) 
 
 
 
N1 y N2 = número de sujetos grupo 1 y 2 respectivamente 
S1 y S2 = desviación estándar grupo 1 y 2 respectivamente 
 
. 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
141 
 
 
Para el ejemplo 10.1 reemplazamos en la fórmula 43: 
 
 
El valor de la desviación típica combinada es de 1,27. Ahora reemplazamos en la 
fórmula 42: 
 
ES = (14,0 – 17,4) = -3,4 = -2,68 
 1,27 1,27 
 
El tamaño delefecto de la diferencia de las dos medias independientes fue de 2,68 (no 
importa el signo negativo). Para Cohen (1988) estos efectos se pueden clasificar en: 
 
0,20 = efecto pequeño 
0,50 = efecto moderado 
0,80 = efecto grande 
 
Por lo tanto, podemos asumir que la diferencia de medias de la fuerza prensil entre el 
grupo de varones de 15 años y el grupo de varones de 17 años posee una diferencia 
significativa y dicha diferencia es grande (ES=2,68). 
 
 
 
10.2 PRUEBA T DE STUDENT PARA 
 MUESTRAS RELACIONADAS 
 
Nivel de medición: 
Intervalar o de razón 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
la media de dos muestras que están rela-
cionadas entre sí (por ejemplo: dos medi-
ciones a los mismos sujetos en diferentes 
momentos, como antes y después de un 
entrenamiento) y determinar si la diferen-
cia entre ambos son estadísticamente sig-
nificativas (no se debe al azar). 
 Supuestos de la prueba t para muestras 
relacionadas: 
 
 La variable dependiente debe pre-
sentar una distribución normal. 
 La variable dependiente debe ser 
numérica. 
 
En la prueba t para muestras rela-
cionadas no es necesario que exista ho-
mogeneidad de varianzas. En esta prue-
ba también podemos determinar los in-
tervalos de confianza y el tamaño del 
efecto (ejemplo 10.2). 
 
 
Ejemplo 10.2 
Un investigador evaluó la motivación por la clase de educación física de 10 estudiantes 
de sexto básico de un colegio de Santiago en marzo y luego en julio. Las puntuaciones 
se observan en la tabla siguiente: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
142 
 
 
 
 
 
Ahora se desea establecer los intervalos de confianza de la diferencia de medias y saber 
si existen diferencias entre las medias de ambas evaluaciones. Para ello, establecemos 
las siguientes hipótesis: 
 
H0 = 1 = 2 
H1 = 1 ≠ 2 
 
 
 Paso 1: 
Calcular la diferencia de medias de cada valor ( 1 – 2) y elevarlas al cuadrado ( 1 – 
2)2 
 
 
La diferencia de medias fue de -2,1. 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
143 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la suma de cuadrados de la diferencia (∑d2) que se obtiene con la siguiente 
fórmula: 
 
 
∑d2 = ∑D2 – (∑D 2 
 n 
 
(fórmula 44) 
 
 
∑D2 = suma de los valores de las diferencias al cuadrado 
(∑D 2 = suma de los valores de la diferencia elevada al cuadrado 
n = número de sujetos 
. 
Para el ejemplo 10.2 reemplazamos en la fórmula 44: 
 
∑d2 = 77 – (-21)2 = 77 – 441 = 77 – 44,1 = 32,9 
 10 10 
 
 Paso 3: 
Calcular la desviación estándar de diferencia de medias relacionadas (SD) que se 
obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 45) 
 
 
∑d2 = suma de cuadrados de la diferencia 
n = número de sujetos 
. 
Para el ejemplo 10.2 reemplazamos en la fórmula 45: 
 
 
 
 Paso 4: 
Calcular el error estándar de diferencia de medias relacionadas (e.e.D) que se obtiene 
con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 46) 
 
 
SD = desviación estándar de diferencia de medias 
n = número de sujetos 
.. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
144 
 
 
Para el ejemplo 10.2 reemplazamos en la fórmula 46: 
 
e.e.D = 1,813 = 1,813 = 1,813 = 0,604 
 √(10 – 1 √ 3 
 
El error estándar de diferencia de medias del ejemplo 10.2 es de 0,604. 
 
 
 Paso 5: 
Calcular los intervalos de confianza de diferencia de medias relacionadas con la 
siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 47) 
 
 
IC = D ± (t * e.e.D) 
 
 
D = diferencia de medias independientes 
t = valor t de la tabla de valores críticos (se calcula con el nivel de significancia y los grados de 
 libertad: n – 1) 
e.e.D = error estándar de la diferencia de medias relacionadas 
. 
Para el ejemplo 10.2 tenemos 9 gl y un α=0,05 por lo cual el valor t es 1,83. 
 
 
 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 47: 
 
ICs = -2,1 + (1,83 * 0,604) = -2,1 + 1,105 = -0,995 
ICi = -2,1 – (1,83 * 0,604) = -2,1 – 1,105= -3,205 
 
Por lo tanto: -3,205 µD -0,995 
 
Esto significa que la media poblacional de la diferencia de medias de la motivación por 
la clase de educación física de estudiantes de sexto básico se encuentre entre -3,205 y 
-0,995 con una confianza del 95%. 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
145 
 
 
 Paso 6: 
Para saber si la diferencia de medias es significativa debemos calcular el valor t de 
muestras relacionadas que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
t = D . 
 e.e.D 
 
(fórmula 48) 
 
 
D = diferencia de medias relacionadas 
e.e.D = error estándar de la diferencia de medias relacionadas 
. 
Para el ejemplo 10.2 reemplazamos en la fórmula 48: 
 
t = -2,1 = -3,477 
 0,604 
 
El valor t de muestras relacionadas fue de -3,477. Con un α=0,05 y gl= el valor t= ,83. 
Ahora seguimos la regla de decisión: 
 
 Si el valor t calculado es menor al valor t de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor t calculado es igual o mayor al valor t de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
Como t= 3,477 > 1,83 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias entre 
las medias de los grupos. Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que los 
estudiantes de sexto básico aumentaron su motivación por la clase de educación física 
entre marzo y julio. 
 
 
 Paso 7: 
Calcular el tamaño del efecto de la prueba t para muestras relacionadas, que se calcula 
con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 49) 
 
 
ES = post – pre 
 σpost 
 
 
post = media post-intervención 
pre = media pre-intervención 
σpost = desviación típica post-intervención 
. 
Para el ejemplo 10.2 reemplazamos en la fórmula 49: 
 
ES = 6,7 – 4,6 = 2,1 = 2,21 
 0,95 0,95 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
146 
 
 
El tamaño del efecto de la diferencia de las dos medias relacionadas fue de 2,21. Por lo 
tanto, podemos asumir que la diferencia de medias de la motivación por la clase de 
educación física es grande, ya que las puntuaciones han variado en más de 1 desviación 
estándar (ES=2,21). 
 
 
 
9.3 PRUEBA T PARA UNA MUESTRA 
EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una prueba t para una muestra: 
 
a) Distribución normal de la variable dependiente (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de la variable dependiente. 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Comparar medias 
 Prueba t para una muestra 
 
 
 
Figura 10.1 Prueba t para una muestra en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 10.2 se observa un rectángulo en la izquierda 
donde aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable que deseamos 
comparar y la llevamos al cuadro derecho (contrastar variables). Luego en valor de la 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
147 
 
 
prueba ingresamos la media de la población (por ejemplo, 5,4). Luego presionamos 
Aceptar. 
 
 
 
Figura 10.2 Pantalla de prueba t para una muestra en el SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
Tabla 10.1 Estadísticas de muestra única. 
 
 
 
 
Tabla 10.2 Prueba de muestra única. 
 
 
 
En la tabla 10.1 se observa la estadística descriptiva de la variable medida en la muestra. 
En la tabla 10.2 se observa el valor t de la prueba, los grados de libertad, la Sig. o valor 
p, la diferencia de medias y los intervalos de confianza de la diferencia de medias. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor t calculado con el valor crítico de t 
(Anexo 2) obteniendo: -16,906> 1,65 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de la media de la muestra y la población. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
148 
 
 
9.4 PRUEBA T PARA MUESTRAS 
 INDEPENDIENTES EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una prueba t para muestras independientes: 
 
a) Distribución normal de la variable dependiente (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de la variable dependiente. 
c) Homocedasticidad (la prueba de Levene la da el mismo análisis de prueba t para 
muestras independientes) 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Comparar medias 
 Prueba t para muestras independientes 
 
 
 
Figura 10.3 Prueba t para muestras independientes en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 10.4 se observa un rectángulo en la izquierda 
donde aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable dependiente y la 
llevamos al cuadro superior derecho (contraste de variables). Luego tomamos la 
variable de agrupación (grupos que queremos comparar, por ejemplo sexo) y la 
llevamos al cuadro inferior derecho (variable de agrupación). 
Luego presionamos definir grupos y agregamos los valores con que asignamos los sexos 
(en este caso 1 femenino y 2 masculino). 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
149 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 Pantalla prueba t para muestras independientes. 
 
 
 
 
Figura 10.5 Pantalla de definición de grupos para la prueba t de muestras 
independientes. 
 
 
Hecho esto presionamos Continuar para volver a la pantalla de prueba t para muestras 
independientes y presionamos Aceptar. 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega dos tablas como las siguientes: 
 
 
Tabla 10.3 Estadísticos de grupo. 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
150 
 
 
Tabla 10.4 Prueba de muestras independientes. 
 
 
 
En la tabla 10.3 se puede observar los estadísticos descriptivos de cada grupo. 
En la tabla 10.4 se aprecia la prueba de Levene para la igualdad de varianzas: 
 
 
 
El investigador debe contrastar el valor F calculado (17,346) con el valor crítico de F 
(Anexo 6) obteniendo: 17,346 < 3,960 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula. 
Con todo lo anterior el investigador puede concluir que la prueba de Levene no muestra 
homogeneidad de varianzas entre los grupos 1 y 2 (F=17,346; p=0,000). 
 
Si seguimos observando la tabla, notaremos la existencia de dos filas de resultados la 
superior si las varianzas son iguales y la inferior si las varianzas son diferentes. En este 
caso las varianzas son diferentes por lo tanto, se utilizan los valores de la fila inferior 
 
 
 
En la tabla observamos el valor t para diferencia de medias independientes, los grados 
de libertad, la Sig. bilateral o valor p, la diferencia de medias, el error estándar de la 
diferencia de medias independientes y los intervalos de confianza de la diferencia de 
medias independientes. 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
151 
 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor t calculado con el valor crítico de t 
(Anexo 2) obteniendo: 2,340 > 1,65 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,021) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias de los dos grupos. 
 
 
 
9.5 PRUEBA T PARA MUESTRAS 
RELACIONADAS EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una prueba t para muestras relacionadas: 
 
d) Distribución normal de la variable dependiente (con la prueba KS) 
e) Naturaleza numérica de la variable dependiente. 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Comparar medias 
 Prueba t para muestras relacionadas 
 
 
 
Figura 10.5 Prueba t para muestras relacionadas en el menú del SPSS 22.0. 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 10.6 se observa un rectángulo en la izquierda 
donde aparece la lista de nuestras variables. Tomamos las 2 mediciones que deseamos 
comparar (antes y después) y las llevamos al cuadro derecho (variables relacionadas). 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
152 
 
 
 
 
 
Figura 10.6 Pantalla de prueba t para muestras relacionadas en el SPSS 22.0. 
 
 
Luego presionamos Aceptar. La hoja de cálculos del programa nos entrega tres tablas 
como las siguientes: 
 
Tabla 10.5 Estadísticas de muestras emparejadas. 
 
 
 
Tabla 10.6 Correlaciones de muestras emparejadas. 
 
 
 
Tabla 10.7 Prueba de muestras emparejadas. 
 
 
 
 
En la tabla 10.5 se puede observar los estadisticos descriptivo de ambas mediciones. 
En la tabla 10.6 se observa un análisis de correlación entre las dos mediciones, con un 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
153 
 
 
valor Sig. o valor p=0,010 < 0,05 por lo cual se debe rechazar H0 que establece que no 
existe relación entre las mediciones. El valor r =0,211 indica una relación positiva entre 
las mediciones y si bien dicha asociación es baja, tiene sentido realizar la prueba t entre 
los dos conjuntos de datos. 
 
En la tabla 10.7 se observa la diferencia de medias de muestras relacionadas (0,20408), la 
desviación estándar, el error estándar de la diferencia de medias relacionadas y sus 
intervalos confianza. También se muestra el valor t de diferencia de medias relacio-
nadas (1,612), los grados de libertad y la Sig. bilateral o valor p=0,109. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor t calculado con el valor crítico de t 
(Anexo 2) obteniendo: 1,612 < 1,65. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,109) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias de las dos mediciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
154 
 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
155 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
11.1 ANALISIS DE VARIANZA DE 
 UN FACTOR 
 
Nivel de medición: 
Intervalar o de razón 
 
Cuando necesitamos comparar la 
media de tres o más grupos no resulta 
eficiente agruparlos en dúos y realizar 
comparaciones de diferencia de medias 
con pruebas t para muestras indepen-
dientes, ya que al aumentar el número de 
análisis también aumenta la posibilidad 
de cometer el error tipo I. Por lo tanto, en 
estas situaciones es necesario realizar un 
análisis de varianza (ANOVA). 
 El análisis de varianza de un factor 
estima la influencia de una o más varia-
bles independientes categóricas sobre 
una variable dependiente numérica. 
 
Supuestos del ANOVA 
 
 La variable dependiente debe pre-
sentar una distribución normal. 
 La variable dependiente debe ser 
numérica. 
 Debe cumplirse la homocedastici-
dad u homogeneidad de varianza 
entre los grupos. 
 Debe existir independencia de las 
mediciones de los grupos. 
 
 
Ejemplo 11.1 
Un investigador evalúa los hábitos de estudio de los alumnos de 3 carreras univer-
sitarias: grupo 1 educación física, grupo 2 kinesiología y grupo 3 nutrición. Los puntajes 
obtenidos se observan en la tabla siguiente: 
 
 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
156 
 
 
Ahora se desea saber si existe diferencia entre las medias de los tres grupos. Para ello, 
se establecenlas siguientes hipótesis: 
 
H0 = 1 = 2 = 3 
H1 = 1 ≠ 2 ≠ 3 
 
 Paso 1: 
Los valores obtenidos en cada observación de los grupos deben ser elevados al 
cuadrado y calcular la suma de valores cuadrados de cada grupo. 
 
 
 
Ahora sumamos el valor de la suma de los valores al cuadrado de cada grupo: 
 
∑x2 = 217 + 369 + 456 = 1042 
 
Luego sumamos todos los valores de cada grupo: 
 
(∑x)2 = 43 + 57 + 60 = 160 
 
  Paso 2: 
Calcular la suma de cuadrados totales (SCT) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 50) 
 
 
SCT = ∑x2 – (∑x 2 
 N 
 
 
∑x2 = suma de los cuadrados de todos los grupos 
(∑x 2 = suma de los valores de las observaciones de todos los grupos 
N = número de toda la muestra 
. 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
157 
 
 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 50: 
 
SCT = 1042 – 1602 = 1042 – 25600 = 984,62 = 57,38 
 26 26 
 
 Paso 3: 
Calcular la suma de cuadrados inter-grupos (SCinter) con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 51) 
 
 
(∑x2)= suma de las observaciones de cada grupo elevada al cuadrado 
n = número de sujetos del grupo 
(∑x2)= suma de todas las observaciones de cada grupo al cuadrado 
N= número total de la muestra 
. 
 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 51: 
 
 
 
 
 Paso 4: 
Calcular la suma de cuadrados intra-grupos (SCintra) con la siguiente fórmula: 
 
 
SCintra = SCT – SCinter 
 
 
(fórmula 52) 
 
SCT = suma de cuadrados totales 
SCinter = suma de cuadrados inter-grupos 
. 
 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 52: 
 
SCintra = 57,38 – 31,82 = 25,56 
 
 
 Paso 5: 
Calcular los cuadrados medios inter-grupos (CMinter) con la siguiente fórmula: 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
158 
 
 
 
 
CMinter = SCinter 
 glinter 
 
(fórmula 53) 
 
 
SCinter = suma de cuadrados inter-grupos 
glinter = grados de libertad inter-grupos que corresponde al número de grupos menos 1 
 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 53: 
 
CMinter = 31,82 = 31,82 = 15,91 
 3 – 1 2 
 
 Paso 6: 
Calcular los cuadrados medios intra-grupos (CMintra) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 54) 
 
 
CMintra = SCintra 
 glintra 
 
 
SCintra = suma de cuadrados intra-grupos 
glintra = grados de libertad intra-grupos que corresponde a la suma de casos de cada grupo 
 menos 1 
. 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 54: 
 
CMintra = 25,56 = 25,56 = 1,111 
 (9 – 1) + (9 – 1) + (8 – 1) 23 
 
 
 Paso 7: 
Calcular el valor F de análisis de varianza con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 55) 
 
 
F = CMinter 
 CMintra 
 
 
CMinter = cuadrado medio inter-grupos 
CMintra = cuadrado medio intra-grupos 
. 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 55: 
 
F = 15,91 = 14,320 
 1,111 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
159 
 
 
Los datos calculados en el análisis de varianza deben ser presentados en una tabla como 
la siguiente: 
 
 
. 
 
El valor F del análisis de varianza fue de 14,320 ahora se debe encontrar el valor crítico 
de F (Anexo 6), donde debemos ubicar los gl de los cuadrados medios inter e intra-
grupos, buscando los gl menor entre ellos en la primera fila (horizontal) y los gl 
mayores en la primera columna (vertical). 
 
Con los datos del ejemplo 1 los 2 gl inter-grupos se buscan en primera fila y los 23 gl 
intra-grupos en la primera columna. La intersección de ambos fue un valor F de 3,422. 
 
 
 
 
 
A continuación se sigue la regla de decisión: 
 
 Si el valor F calculado es menor al valor F de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor F calculado es igual o mayor al valor F de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como F = 14,320 > 3,422 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias 
entre las medias de los grupos. Por lo anterior, es que el investigador puede concluir 
que los hábitos de estudio de los alumnos de educación física, kinesiología y nutrición 
son diferentes. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
160 
 
 
11.1.1 Comparaciones posteriores a F 
 
El análisis de varianza nos dice si 
existe o no diferencia entre la media de 
tres o más grupos, pero en el caso de 
haberla no dice nada sobre los grupos 
entre los cuales se presentan esta dife-
rencias. Para ello es necesario realizar 
análisis posteriores comúnmente llama-
dos comparaciones múltiples. 
 Los métodos principales para estas 
comparaciones son el procedimiento de 
Tukey, la diferencia mínima significativa 
(LSD), prueba de rangos múltiples de 
Duncan, Prueba de Student-Newman-
Keuls (SNK), prueba de Scheffé, etc. 
A continuación se explicará el pro-
cedimiento de Tukey modificado por 
Snedecor, utilizando los resultados del 
ejemplo 11.1 para ello. 
 
 
Siguiendo con el ejemplo 11.1, el valor F= 14,320 con lo cual aceptamos que hay 
diferencias entre los grupos. Ahora utilizamos la prueba de Tukey: 
 
 Paso 1: 
Se ubican las medias de los grupos de mayor a menor y la diferencia entre ellas. 
 
 
 
 nutrición – kinesiología = 7,50 – 6,33 = 1,17 
 nutrición – ed. Física = 7,50 – 4,78 = 2,72 
 kinesiología - ed. Física = 6,33 – 4,78 = 1,55 
 
 
 Paso 2: 
Obtener un cuadrado medio intra-grupo promedio (CMintraX) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 56) 
 
 
 
 
 
k = número de sujetos 
n= número de sujetos de cada grupo 
. 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 56: 
 
 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
161 
 
 
 Paso 3: 
Calcular el error estándar de una media (Sx) con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
Sx = √CMintraX 
 
(fórmula 57) 
 
√CMintraX = raíz cuadrada del cuadrado medio intra-grupo promedio 
. 
Con los datos del ejemplo 11.1 reemplazamos en la fórmula 57: 
 
Sx = √ 0, 28 = 0,358 
 
 
 Paso 4: 
Determinar el valor Q (Anexo 7) con el número de grupos (3) y los grados de libertad 
dentro de los grupos (9 + 9 + 8= 24 – 1 = 23): 
 
 
 
El valor de intersección es de 3,53. 
 
 Paso 5: 
Se calcula D con la siguiente fórmula: 
 
 
D = Q * Sx 
 
(fórmula 58) 
 
Q= valor Q 
Sx= error estándar de una media 
. 
Con los datos del ejemplo 11.1 tenemos: 
 
D = 3,53 * 0,358 = 1,263 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
162 
 
 
 Paso 6: 
Se compara el valor D con las diferencias de los pares de medias de los grupos. Valores 
mayores que D significa diferencia entre los grupos. 
Con los datos del ejemplo 11.1 tenemos: 
 
Nutrición – Kinesiología = 1,17 < 1,263 
Nutrición – E. Física = 2,72 > 1,263 
Kinesiología – E. Física = 1,55 > 1,263 
 
Por lo tanto, es posible concluir que las puntuaciones de los hábitos de estudio entre 
estudiantes de nutrición y kinesiología son estadísticamente iguales. En cambio, 
educación física posee una media menor que las otra dos carreras. 
 
 
 
11.2 ANOVA DE UN FACTOR EN 
 SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una prueba ANOVA: 
 
a) Distribución normal de la variable dependiente (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de la variable dependiente. 
c) Homocedasticidad (que se puede seleccionar dentro de la misma prueba ANOVA) 
d) Independencia de las variables 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 Analizar 
 Comparar medias 
 ANOVA de un factor 
 
 
 
Figura 11.1 Prueba ANOVA de un factor en el menú del SPSS 22.0. 
Capítulo 11. Análisisde varianza 
________________________________________________________________________ 
 
163 
 
 
Cuando aparece el cuadro de la figura 11.2 se observa un rectángulo en la izquierda 
donde aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable dependiente y la 
llevamos al cuadro superior derecho (lista de dependientes). Luego tomamos nuestra 
variable independiente o de agrupación (grupos a comparar, por ejemplo cursos) y la 
llevamos al cuadro inferior derecho (factor). 
 
Luego presionamos opciones y aparece un cuadro como la figura 11.3. Aquí marcamos 
Descriptivos, test de homogeneidad de varianzas, Brown-Forsythe y Welch. 
Hecho esto presionamos continuar para volver a la pantalla de ANOVA. 
 
 
 
 
Figura 11.2 Pantalla de ANOVA de un factor en el SPSS 22.0. 
 
 
 
 
 
Figura 11.3 Pantalla de Opciones del ANOVA de un factor en el SPSS 22.0. 
 
 
Una vez de vuelta en la pantalla de ANOVA de un factor presionamos Aceptar. La hoja 
de cálculos del programa nos entrega tres tablas como las siguientes: 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
164 
 
 
 
Tabla 10.1 Descriptivos. 
 
 
 
Tabla 10.2 Prueba de homogeneidad de varianzas. 
 
 
 
Tabla 10.3 ANOVA. 
 
 
 
 
En la tabla 11.1 se puede observar los estadisticos descriptivo de la variable dependiente 
en cada uno de los grupos que se desean comparar. 
 
En la tabla 11.2 se observa el estadístico de Levene para igualdad de varianza, los 
grados de libertad 1 (número de grupos menos 1, por lo tanto, 4 – 1 = 3), los grados de 
libertad 2 (número total de observaciones menos el número de grupos, por lo tanto, 147 
– 4 = 143) y la Sig. o valor p. El investigador debe contrastar el valor F calculado con el 
valor crítico de F (Anexo 6) obteniendo: 1,011 < 2,696. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,390) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la homogeneidad de varianzas entre los grupos 1, 2, 3 y 4 
(F=1,011; p=0,390). 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
165 
 
 
En la tabla 11.3 (la prueba de ANOVA de un factor como tal) se observan las sumas de 
cuadrados, los grados de libertad, los cuadrados medios (medias cuadráticas), el valor F 
y la Sig. bilateral o valor p. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor F calculado con el valor crítico de F 
(Anexo 6) obteniendo: 3,100 > 2,696. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,029) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias de los tres grupos. 
 
 
NOTA: 
Las pruebas de Welch y Brown-Forsythe son buenas alternativas al estadístico F cuando 
no se pueden asumir varianzas iguales de los grupos (valor F<0,05 en la prueba de 
Levene). 
 
Tabla 11.4 Pruebas sólidas de igualdad de medias. 
 
 
 
En la tabla 11.4 se observa el estadístico de Welch, el estadístico de Brown-Forsythe, los 
grados de libertad 1 de ambas pruebas y la Sig. o valor p de ambas pruebas. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor F calculado en ambas pruebas con el 
valor crítico de F (Anexo 6) obteniendo: 3,442 > 2,736 para la prueba de Welch y 3,064 > 
2,736 para la prueba de Brown-Forsythe. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,021 para la prueba de Welch y 
p=0,031 para la prueba de Brown-Forsythe) siendo en ambos casos p<0,05 se debe 
rechazar la hipótesis nula que plantea la igualdad de medias de los tres grupos. 
En caso que los valores de ambas pruebas difieran, se utilizan los valores de Welch para 
realizar las conclusiones. 
 
 
PRUEBAS POST HOC (POSTERIORES A F) 
 
Si la prueba de ANOVA de un factor indica que existen diferencias entre tres o más 
grupos, resulta necesario conocer entre cuales grupos se dan esas diferencias. En el 
paquete estadístico SPSS 22.0 cuando estamos en la pantalla ANOVA de un factor (Fig. 
11.2) marcamos Post-Hoc y aparece una pantalla como la figura 11.4. 
Marcamos Tukey si asumimos varianzas iguales o Games-Howell si no asumimos 
varianzas iguales. Hecho esto presionamos continuar para volver a la pantalla de 
ANOVA de un factor y presionamos Aceptar. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
166 
 
 
 
 
 
Figura 11.4 Pantalla de Post hoc del ANOVA de un factor en el SPSS 22.0. 
 
 
Si marcamos Tukey la hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas 
siguientes: 
 
Tabla 11.5 Comparaciones múltiples. 
 
 
. 
 
 
Capítulo 11. Análisis de varianza 
________________________________________________________________________ 
 
167 
 
 
En la tabla 11.5 se puede observar la diferencia de medias entre cada par de grupos 
evaluados (que se calcula restando a la media del grupo 1 la media del grupo 2), el error 
estándar de diferencia de medias de muestras independientes, la Sig. o valor p y los 
intervalos de confianza de la diferencia de medias independientes. 
Los valores sig iguales o menores de 0,05 indican que se debe rechazar la H0. Por su 
parte, la diferencia de medias nos permite conocer cuál de los dos grupos comparados 
posee una puntuación mayor. Si el valor es positivo el primer grupo posee un puntaje 
mayor, por el contrario, si el valor es negativo el primer grupo posee una puntación 
menor que el segundo grupo. Por ejemplo, la diferencia de medias del grupo 2 y 3 
presenta un valor p=0,015 < 0,05 lo que indica que existen diferencias entre estos dos 
grupos. El valor de diferencia de medias es de 0,87500 lo cual significa que el grupo 2 
posee una media mayor que el grupo 3. 
 
 
Tabla 11.6 HSD Tukey. 
 
 
 
 
 
En la tabla 11.6 se observan los cuatro grupos, el número de sujetos de cada grupo y 
subconjuntos donde se aglutinan los grupos. En este caso hay un subconjunto con el 
grupo 3, 1 y 4 y otro subconjunto con el grupo 1, 4 y 2. Entre los grupos que se 
encuentran en el mismo subconjunto no existen diferencias significativas en sus medias 
(grupo 3 = grupo 1 = grupo 4 y grupo 1 = grupo 4 = grupo 2), por lo tanto, en el ejemplo 
sólo se observan diferencias entre el grupo 3 y 2. 
 
Si marcamos Games-Howell la hoja de cálculos del programa nos entrega la tabla 
siguiente: 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
168 
 
 
 
Tabla 11.7 Comparaciones múltiples. 
 
 
 
La tabla de comparaciones múltiples de Games-Howell se interpreta igual que la tabla 
de la prueba de Tukey. 
 
 
 
 
https://es.slideshare.net/yerkob/15-test-estadisticos 
https://es.slideshare.net/yerkob/15-test-estadisticos
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
169 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
12.1 ANALISIS DE VARIANZA DE 
 UN FACTOR DE MEDIDAS 
 REPETIDAS 
 
Nivel de medición: 
 Intervalar o de razón 
 
Cuando tenemos un grupo y le he-
mos realizado dos mediciones a través del 
tiempo (antes y después de una interven-
ción o en un momento inicial y otro 
posterior) es posible determinar si existen 
diferencias entre ambas mediciones a 
través de una prueba t para muestras 
relacionadas. Pero cuando las mediciones 
 al mismo grupo se realizan tres o más 
veces la prueba t no resulta adecuada, 
entonces debemos utilizar un ANOVA 
de medidas repetidas. 
 
Supuestos del ANOVA de medidas 
repetidas 
 
 La variable dependiente debe pre-
sentar una distribución normal. 
 La variable dependiente debe ser 
numérica. 
 Debe cumplirse la homocedastici-
dad u homogeneidad de varianza 
entre los grupos. 
 
 
Ejemplo 12.1 
Un profesor de gimnasia aplicó un entrenamiento de mejora de la flexibilidad a un 
grupo de 11 gimnastas de 8 y 9 años durante 3 meses. Una de las pruebas que compone 
la batería de medición es el sit and reach que fue evaluado antes del entrenamiento, 
luego de 6 semanas y a las 12 semanas entregandolos resultados de la tabla siguiente: 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
170 
 
 
Ahora el profesor quiere saber si existen diferencias entre las 3 mediciones, es decir, si el 
programa de entrenamiento provocó mejoras en las puntuaciones de esta evaluación. 
Para ello, se establecen las siguientes hipótesis: 
 
H0 = 1 = 2 = 3 
H1 = 1 ≠ 2 ≠ 3 
 
 Paso 1: 
Calcular la suma de cuadrados de cada grupo 
 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la suma de cuadrados totales (SCT) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 59) 
 
 
SCT = ∑∑y2 – T2 
 N 
 
 
∑∑y2 = suma de los cuadrados totales 
T2 = suma de valores de todos los casos al cuadrado 
N = número total de mediciones 
.. 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 59: 
 
SCT = 599 – 1112 = 599 – 12321 = 599 – 373,36 = 225,64 
 33 33 
 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
171 
 
 
 Paso 3: 
Calcular la suma de cuadrados inter-grupos (SCI) con la siguiente fórmula: 
 
 
SCT = ∑Tj2 – T2 
 n N 
 
(fórmula 60) 
 
 
∑Tj2 = Suma del total de puntaje de cada grupo al cuadrado 
n = número de sujetos de cada grupo 
T2 = suma de valores de todos los casos al cuadrado 
N = número total de mediciones 
 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 60: 
 
 
 
 
 Paso 4: 
Calcular la suma de cuadrados inter-sujetos (SCB) con la siguiente fórmula: 
 
 
SCB = ∑Ti2 – T2 
 J N 
 
(fórmula 61) 
 
 
∑Ti2 = Suma de las puntuaciones de cada sujeto al cuadrado 
J = número de grupos 
T2 = suma de valores de todos los casos al cuadrado 
N = número total de mediciones 
.. 
Del ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 61: 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
172 
 
 
 Paso 5: 
Calcular la suma de cuadrados residual (SCr) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 62) 
 
 
SCr = SCT – SCI – SCB 
 
SCT = suma de cuadrados totales 
SCI = suma de cuadrados inter-grupos 
SCB = suma de cuadrados inter-sujetos 
.. 
Del ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 62: 
 
SCr = 225,64 – 144,73 – 73,34 = 7,57 
 
 
 Paso 6: 
Calcular los grados de libertad con las siguientes fórmulas: 
 
 
(fórmula 63) 
 
glinter-grupos = J – 1 
 
(fórmula 64) glinter-sujetos = n – 1 
(fórmula 65) glresidual = (J – 1)*(n – 1) 
(fórmula 66) gltotal = N – 1 
 
J = número de grupos 
n = número de sujetos de cada grupo 
N = número total de mediciones 
.. 
Ahora con el ejemplo 12.1 reemplazamos en las fórmulas de grados de libertad: 
 
glinter-grupos = 3 – 1 = 2 
glinter-sujetos = 11 – 1 = 10 
glresidual = (3 – 1)*(11 – 1) = 2*10 = 20 
gltotal = 33 – 1 = 32 
 
 
 Paso 7: 
Calcular la media cuadrática inter-grupos (MCI) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 67) 
 
 
MCI = SCI . 
 glinter-grupos 
 
SCi = Suma de cuadrado inter-grupos 
.., 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
173 
 
 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 67: 
 
MCI = 144,73 = 72,365 
 2 
 
 
 Paso 8: 
Calcular la media cuadrática residual o intra-grupos (MCr) con la siguiente fórmula: 
 
 
MCr = SCr . 
 glresidual 
 
(fórmula 68) 
 
SCr = Suma de cuadrados residuales 
.. 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 68: 
 
MCr = 7,57 = 0,379 
 20 
 
 Paso 9: 
Calcular el valor F con la siguiente fórmula: 
 
 
F = MCI . 
 MCr 
 
(fórmula 69) 
 
 
MCI = media cuadrática inter-grupos 
MCr = media cuadrática residual 
.. 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 69: 
 
F = 72,365 = 190,94 
 0,379 
 
Los datos calculados en el análisis de varianza de medidas repetidas deben ser 
presentados en una tabla como la siguiente: 
 
 
.. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
174 
 
 
El valor F del análisis de varianza de medidas repetidas fue de 190,94 ahora se debe 
encontrar el valor crítico de F (Anexo 6), donde debemos ubicar los gl inter-sujetos y los 
gl residuales. Con los datos del ejemplo 2 los 2 glinter-sujetos se buscan en primera fila y los 
20 glresiduales en la primera columna. La intersección de ambos fue un valor F de 3,493. 
 
 
 
A continuación se sigue la regla de decisión: 
 
 Si el valor F calculado es menor al valor F de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor F calculado es igual o mayor al valor F de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como F= 190,94 > 3,49 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias 
entre las tres medias de los grupos. Por lo anterior, es que el profesor puede concluir 
que las puntuaciones del test de sit and reach de flexibilidad son diferentes en los tres 
momentos de medición. Por lo tanto, el programa de entrenamiento provocó una 
mejora de esta cualidad física. 
 
 
 
12.1.1 Comparaciones posteriores a F 
 
Los métodos principales para las 
comparaciones múltiples de ANOVA de 
un factor de medidas repetidas son la 
prueba de Bonferroni, la diferencia míni- 
 ma significativa (LSD), la prueba de 
Sidak, etc. 
A continuación se explicará el pro-
cedimiento de Bonferroni para compara-
ciones. Para ello se utilizaran los resulta-
dos del ejemplo 11.1. 
 
 
Siguiendo con el ejemplo 12.1, el valor F= 190,94 con lo cual aceptamos que hay 
diferencias entre las 3 mediciones. Ahora utilizamos la prueba de Bonferroni: 
 
 Paso 1: 
Calcular intervalos de confianza para todos los pares de medias posibles, con la 
siguiente fórmula: 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
175 
 
 
 
 
 
 
(fórmula 70) 
 
 
1 = media grupo 1 
2 = media grupo 2 
tn-k,α/2 = valor t con número de sujetos menos número de grupos y un alfa dividido en 2 
S2w = varianza de todos los datos 
n1 = número de sujetos grupo 1 
n2 = número de sujetos grupo 2 
 
Con el ejemplo 12.1 reemplazamos en la fórmula 70: 
 
 
 
 Paso 2: 
El método de Bonferroni trata de establecer intervalos de confianza para cada par de 
medias comparadas en el ANOVA de un factor de medidas repetidas y luego 
determinar si existe diferencias entre ellas de la siguiente forma: 
 
 Si el intervalo de confianza calculado contiene al cero las medias comparadas son 
estadísticamente iguales. 
 Si el intervalos de confianza calculado NO contiene al cero las medias son 
estadísticamente diferentes. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
176 
 
 
En el caso del ejemplo 12.1 se puede observar que ninguno de los intervalos de 
confianza calculado para cada par de medias (-3,301 y -0,699; -6,401 y -3,799; -4,401 y -
1,799) contiene al cero, por lo tanto, existen diferencias significativas entre las tres 
mediciones de flexibilidad realizadas con el test de sit and reach. 
 
 
 
12.2 ANOVA DE MEDIDAS 
 REPETIDAS EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una prueba ANOVA de medidas repetidas: 
 
a) Distribución normal de la variable dependiente (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de la variable dependiente. 
c) Homocedasticidad (prueba de Levene) 
d) Esfericidad de la matriz de varianzas-convarianzas (test de Mauchly que lo entrega 
el mismo ANOVA). 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Modelo lineal general 
 Medidas repetidas 
 
 
 
 
Figura 12.1 ANOVA de medidas repetidas en el menú del SPSS 22.0. 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
177 
 
 
Cuando apareceel cuadro de la figura 12.2 en el rectángulo superior (nombre del factor 
intra-sujetos) colocamos el nombre de nuestra variable dependiente. En el cuadro de 
número de niveles colocamos el número de veces que medimos a la muestra (3, 4, 5, 
etc.) y presionamos Añadir. Esto permitirá que se active el botón Definir. 
 
 
 
 
Figura 12.2 Pantalla de ANOVA de medidas repetidas en el SPSS 22.0. 
 
 
Tras presionamos Definir aparece un cuadro como la figura 12.3. En el rectángulo de la 
izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos en este caso las tres 
mediciones realizadas y las llevamos al cuadro superior derecho (lista dependiente). 
 
 
 
 
Figura 12.3 Pantalla para definir variables en ANOVA de medidas repetidas en el 
SPSS 22.0. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
178 
 
 
Luego presionamos Opciones y aquí marcamos Estadística descriptiva. Luego 
presionamos Continuar para volver a la pantalla de ANOVA de Medidas repetidas. 
 
 
 
 
Figura 12.4 Pantalla de opciones en ANOVA de medidas repetidas en el SPSS 22.0. 
 
 
Luego presionamos Aceptar. La hoja de cálculos del programa nos entrega varias tablas 
por defecto, pero nos interesan las siguientes: 
 
 
Tabla 12.1 Estadísticos descriptivos 
 
 
 
En la tabla 12.1 se observa la media de cada medición, la desviación estándar y el 
número de sujetos medidos. 
 
La tabla 12.2 corresponde a contrastes multivariados que se pueden utilizar cuando no 
existe igualdad de varianza entre las mediciones realizadas. En la tabla observamos 
cuatro estadísticos (traza de Pillai, Lambda de Wilks, traza de Hotelling y raíz mayor de 
Roy) que contrastan la hipótesis nula de que las medias son iguales. Los valores F son 
todos mayores que sus valores críticos y las Sig. son todas menores de 0,05 por lo tanto, 
se rechaza la H0 de la igualdad de las medias entre las tres mediciones. 
En caso de obtener resultados diferentes en los cuatro estadísticos se recomienda usar 
los valores entregados en la traza de Pillai.. 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
179 
 
 
 
Tabla 12.2 Pruebas multivariantes 
 
 
 
Cuando tenemos 3 mediciones de un grupo, poseemos 3 variables, pero también 
podemos generar 3 pares de variables (v1 y v2; v1 y v3; v2 y v3), de manera tal que al 
restar las medias de cada par obtenemos 3 nuevas variables. En el modelo de ANOVA 
de un factor de medidas repetidas se asume que las varianzas de estas tres nuevas 
variables son iguales, lo que equivale a decir que la matriz de varianzas-covarianzas es 
esférica. Para comprobar esto existen variados análisis, pero el SPSS utiliza la prueba de 
esfericidad de Mauchly (1940). 
 
 
Tabla 12.3 Prueba de esfericidad de Mauchly 
 
 
 
 
En la tabla 12.3 se observa el valor W de Mauchly, un valor X2 aproximado, los grados 
de libertad y un Sig. o valor p. En este caso p=0,030 < 0,05 por lo tanto se rechaza la H0 
que plantea la igualdad de varianzas entre los 3 grupos (esfericidad). 
De no cumplirse este supuesto es necesario usar los análisis multivariado que se 
observan en la tabla 12.2 o utilizar un valor corregido de épsilon que aparece en la 
derecha de la tabla 12.3. La tabla ofrece dos estimadores de épsilon (Greenhouse-
Geisser, 1959 y Hyunh-Feldt, 1976) siendo el primero más conservador y el más usado. 
También aparece un límite inferior que corresponde al valor que adoptaría épsilon en el 
caso del incumplimiento del supuesto de esfericidad. Para utilizar la tabla de valores 
críticos de F cuando no se cumple el supuesto es necesario corregir los gl del numerador 
y denominador del ANOVA de medidas repetidas multiplicándolo por el valor de 
épsilon. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
180 
 
 
 
Tabla 12.4 Pruebas de efecto dentro de sujetos 
 
 
 
 
En la tabla 12.4 observamos la suma de cuadrados, gl, media cuadrática, valor F y Sig. o 
valor p. En caso del cumplimiento del supuesto de esfericidad se emplean los valores de 
esfericidad asumida, donde F es mayor al valor crítico de F (Anexo 6) y p=0,013 < 0,05 
por lo tanto, se rechaza la H0 y se asume que existen diferencias entre las medias de las 
tres mediciones. 
Si no se asume esfercidad en los datos y se desea utilizar un estadístico univariado se 
utilizan las tres alternativas corregidas (Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt, Límite 
inferior). Siendo la primera de ellas la más conservadora y la que se utiliza en caso de 
haber diferencias entre los tres análisis. 
 
 
Pruebas Post Hoc 
 
Si la prueba de ANOVA de medidas repetidas indica que existen diferencias entre tres o 
más grupos, resulta necesario conocer entre cuales grupos se dan esas diferencias. Para 
ello utilizamos la prueba post-hoc de Bonferroni. 
En la figura 12.3 se observa la pantalla Opciones del ANOVA de medidas repetidas 
donde se debe seleccionar Opciones. En la figura 12.5 llevamos nuestra variable 
dependiente del cuadro de la izquierda a la derecha. Luego marcamos Comparar 
efectos, lo que permitirá desplegar el índice de ajuste del intervalo de confianza donde 
marcamos Bonferroni. 
Posteriormente presionamos Continuar para volver a la pantalla de ANOVA de 
medidas repetidas y presionamos Aceptar. 
 
 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 
________________________________________________________________________ 
 
181 
 
 
 
 
 
Figura 12.5 Pantalla opciones del ANOVA de medidas repetidas en el SPSS 22.0. 
 
 
El programa nos entrega unas tablas como las siguientes: 
 
Tabla 12.5 Estimaciones 
 
 
 
 
Tabla 12.6 Comparaciones por parejas 
 
 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
182 
 
 
 
En la tabla 12.5 se observa la media de cada medición, el error estándar de cada media y 
los intervalos de confianza de la media de cada grupo. 
 
En la tabla 12.6 se observa la diferencia de medias, el error estándar de la diferencia de 
medias, la Sig. o valor p y los intervalos de confianza para la diferencia de medias. 
Esta tabla se interpreta igual que el estadístico de Tukey. 
 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
183 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
13.1 COEFICIENTE DE 
 CORRELACIÓN DE PEARSON 
 
Nivel de medición: 
Intervalar o de razón 
 
Cuando necesitamos establecer la 
posible relación existente entre dos varia-
bles recurrimos a los análisis de asocia-
ción, de esta forma podemos determinar 
si los cambios en un fenómeno producen 
cambios en otro. Es importante recordar 
que estos análisis no implican causalidad. 
A continuación estudiaremos la co-
rrelación de Pearson, la cual se utiliza pa- 
 ra determinar si existe una relación lineal 
entre dos variables (por ejemplo, activi-
dad física e IMC) y determinar si esa 
relación es estadísticamente significativa 
(no se debe al azar). Esta prueba puede 
utilizarse con 2 o más variables. 
 
Supuestos de la correlación de Pearson 
 
 Las variables deben presentar una 
distribución normal. 
 Las variables deben ser de naturale-
za numéricas. 
 Los datos de ambas variables deben 
ser independientes. 
 
 
Ejemplo 13.1 
Un investigador evaluó el tiempo de práctica de actividad física semanal de 10 
estudiantes de tercer año medio de un colegio de Santiago y las notas obtenidas por 
ellos durante su año académico. 
 
 
.. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
184 
 
 
Ahora el investigador quiere saber si existe una relación significativa entre los puntajes 
alcanzados por los estudiantes, es decir, si los alumnos que realizan más actividad física 
son los mismos que logran mejores notas. Para ello, se establecen las siguientes 
hipótesis: 
 
H0 =1 se relaciona 2 
H1 = 1 no se relaciona 2 
 
 
 Paso 1: 
Calcular la covarianza (Cov) de las variables. Esta es el promedio de los productos de 
las desviaciones de las variables respectos a sus medias. Esto se obtiene con la siguiente 
fórmula: 
 
 
(fórmula 71) 
 
 
Cov (x,y) = ∑(Xi – )*(yi – ) 
 n – 1 
 
 
Xi = valor de cada observación de la variable X 
 = media de la variable X 
yi = valor de cada observación de la variable y 
 = media de la variable y 
n= número total de sujetos 
 
Con el ejemplo 13.1 tenemos la siguiente tabla: 
 
 
 
Ahora con los datos del ejemplo 13.1 reemplazamos en la fórmula 71: 
 
Cov (x,y) = 12,82 = 12,82 = 1,424 
 10 – 1 9 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
185 
 
 
La covarianza de los datos es de 1,424 
En un gráfico de dispersión si la covarianza es positiva los puntos se distribuyen 
principalmente en los cuadrantes I y III (Fig. 13.1). Si la covarianza es negativa los 
puntos se distribuyen en los cuadrantes II y IV. Si la covarianza es cercana a cero los 
puntos se distribuyen por los cuatro cuadrantes. 
 
 
 
Figura 13.1. Gráfico de dispersión de los datos. Como se puede 
observar los datos se distribuyen principalmente en los cuadrantes I y III. 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la correlación de Pearson (r) con la siguiente fórmula: 
 
 
r = Cov (x, y) 
 Sx * Sy 
 
(fórmula 72) 
 
 
Cov (x, y) = covarianza de X e y 
Sx = desviación estándar de la variable X 
Sy = desviación estándar de la variable y 
 
 
Ahora con el ejemplo 13.1 reemplazamos en la fórmula 72: 
 
r = 1,424 = 1,424 = 0,943 
 3,02*0,50 1,51 
 
El coeficiente de correlación de Pearson es de 0,943 ahora se debe contrastar con el valor 
crítico de r (Anexo 10), donde debemos ubicar los gl de libertad con N – 1. En este caso 
el valor de intersección es de 0,666. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
186 
 
 
 
 
 
A continuación se sigue la regla de decisión: 
 
 Si el valor r calculado es menor al valor r de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor r calculado es igual o mayor al valor r de la tabla se debe rechazar la H0
 
Como r= 0,943 > 0,666 se debe rechazar H0 y podemos decir que existe relación entre las 
variables. 
La correlación de Pearson puede tomar valores entre -1 y 1 midiendo la fuerza de 
asociación lineal de las variables. Un valor r de cero indica que no existe correlación de 
X e Y, valores positivos indica una correlación positiva y viceversa. 
 
 
 
Este coeficiente de correlación es muy influenciado por datos extremos (outlier) y solo se 
utiliza cuando existe relaciones lineales entre variables, por esta razón es necesario 
construir un gráfico de dispersión para determinar la linealidad de los datos antes de 
utilizar este análisis. 
Por lo anterior, es que el investigador del estudio del ejemplo 13.1 puede concluir que 
los estudiantes que practican más actividad física son los mismos que poseen mejor 
rendimiento académico y que esta relación es muy alta (r = 0,943). 
 
También es posible calcular el coeficiente de determinación (r2) que corresponde al 
porcentaje de relación de las variables. Este se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
187 
 
 
 
 
 
 
r2= r * r 
 
(fórmula 73) 
r = correlación de Pearson 
. 
Así del ejemplo 13.1 tenemos: 
 
r2 = 0,943 * 0,943 = 0,89 
 
Es decir, la relación entre las dos variables es de un 89%. 
 
 
 
13.2 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 
 
Nivel de medición: 
Intervalar o de razón 
 
La representación de la relación de 
dos variables, permite realizar prediccio-
nes sobre los valores que tomará una de 
las variables a partir de los valores de la 
otra. La regresión lineal simple es el esta-
dístico más utilizado a la hora de predecir 
los valores de una variable cuantitativa 
numérica en base a otra variable cuantita-
tiva numérica. 
 Supuestos de la regresión lineal simple 
 
 Las variables deben presentar una 
distribución normal. 
 Las variables deben ser numéricas. 
 Los datos de ambas variables deben 
ser independientes. 
 Debe existir homocedasticidad u 
homogeneidad de varianzas. 
 Debe existir linealidad en los pará-
metros (esto indica que un cambio 
unitario en X tiene el mismo efecto en 
Y, independiente del valor inicial de 
X). 
 
 
Ejemplo 13.2 
Un investigador evaluó el tiempo de práctica de actividad física y los niveles de estrés 
de un grupo de 10 estudiantes universitarios. Ahora quiere saber si la práctica de 
actividad física puede predecir los niveles de estrés en estos estudiantes. 
 
 
 
 Paso 1: 
Calcular el modelo de regresión lineal que consiste en ajustar los datos a una línea recta 
mediante la siguiente ecuación: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
188 
 
 
 
 
(fórmula 74) 
 
 
Y= β0 + β1X + ε 
 
 
β0 = ordenada de origen 
β1 = pendiente 
ε = error aleatorio 
 
En un modelo de regresión es deseable que la media de los errores aleatorios sea cero. 
Ahora debemos encontrar la recta que más se ajuste a nuestros datos, es decir, buscar 
los valores de β0 y β1 que hagan mínimos los errores de estimación. 
 
 Paso 2: 
Calcular los valores que hagan mínima la suma de los errores al cuadrado (SSE) 
mediante el método de mínimos cuadrados que se obtiene con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 75) 
 
 
SEE= ∑yi – (β0 + β1Xi)2 
 
 
∑yi = suma de valores observados en eje y 
β0 = ordenada de origen 
β1 = pendiente 
Xi = valor en eje X 
 
El valor β1 se obtiene con la fórmula siguiente: 
 
 
(fórmula 76) 
 
 
β1= SSxy 
 SSxx 
 
SSxy = suma de cuadrados de xy 
SSxx = suma de cuadrados de x 
 
El valor SSxy se obtiene con: 
 
(fórmula 77) 
 
SSxy = ∑ (Xi – )*(yi – 
(Xi – ) = cada valor de X menos la media de X 
(yi – = cada valor de y menos la media de y 
 
El valor SSxx se obtiene con: 
 
(fórmula 78) 
 
SSxx = ∑ (Xi – )2 
(Xi – )2 = cada valor de X menos la media de X al cuadrado 
. 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
189 
 
 
El valor β0 se obtiene con la fórmula siguiente: 
 
 
(fórmula 79) 
 
 
Β0= – β1 
 
 
 = media de y 
 = media de x 
 
Del ejemplo 13.2 calculamos β1 y β0 
 
 
 
El valor SSxy = 26,4 y el valor SSxx = 40,4. 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 76: 
 
β1 = 26,4 = 0,653 
 40,4 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 79: 
 
β0 = 3,4 – (0,653 * 5,4) = 3,4 – 3,526 = -0,126 
 
La recta de regresión de y sobre X es por lo tanto: 
 
y = -0,126 + 0,653 * Xi 
 
Por ejemplo, si X tuviese un valor de 10, ¿cuál sería el valor de y? 
 
y = -0,126 + (0,653 * 10) = -0,126 + 6,53 = 6,404 
 
Es decir, si X adquiere un valor de 10 el valor de y sería de 6,404 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
190 
 
 
CONTRASTE DE HIPOTESIS DE LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 
 
 Paso 1: 
Realizar el contraste de hipótesis para la regresión lineal, con el fin de conocer si el 
efecto de la variable X sobre la variable y es significativo. Por eso se plantean las 
siguientes hipótesis: 
 
H0 = β1 = β0 
H1 = β1 ≠ β0 
 
Luego se calcula la varianza residual (Sr2) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 80) 
 
 
Sr2 = SSyy – β1 SSxy 
 n – 2 
 
 
SSyy = ∑(yi – )2 = cada valor de y menos la media de y al cuadrado 
 
 
 
 
SSyy = 18,4 
β1 = 0,653 
SSxy = 26,4 
n = 10 
 
Ahora reemplazamos en la fórmula 80: 
 
Sr2 = 18,4 – (0,653*26,4) = 18,4 – 17,239 = 1,161 = 0,145 
 10 – 2 8 8 
 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________191 
 
 
 Paso 2: 
Calcular el estadístico de contraste t para regresión lineal con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 81) 
 
b1 = constante 0 
 
Con los datos anteriores reemplazamos en la fórmula 81: 
 
 
 
Contrastar el valor t obtenido con el valor crítico de t del anexo 2 con un α=0,05 y n – gl 
(10 – 2 = 8) que en este caso es de 1,85 y seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor t calculado es menor al valor t de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor t calculado es igual o mayor al valor t de la tabla se debe rechazar la H0. 
 
1,85 < 10,919 podemos concluir que existen efectos significativos de la práctica de 
actividad física sobre el estrés de los 10 estudiantes universitarios evaluados. 
 
 
 
13.3 CORRELACIÓN DE PEARSON 
 EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una correlación de Pearson: 
 
a) Distribución normal de las variables (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de las variables. 
c) Ambas variables deben ser independientes. 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Correlación 
 Bivariada 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
192 
 
 
En el cuadro de la figura 13.2 aparece un rectángulo a la izquierda con la lista de nues-
tras variables. Tomamos las dos o más variables que deseamos relacionar y las llevamos 
al cuadro derecho. Por defecto aparece marcada la opción Pearson. 
Hecho esto presionamos Aceptar. 
 
 
 
 
Figura 13.1 Correlación de Pearson en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
 
Figura 13.2 Pantalla de correlación de Pearson en el SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la 12.1 en la cual se 
observa la correlación de Pearson, la Sig. o valor p y el número de sujetos de la muestra. 
Se debe contrastar el valor p calculado (p=0,010) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
193 
 
 
hipótesis nula que plantea que no existe relación entre la variables. 
Además, el valor de r =0,211 lo que significa que la relación es positiva y baja. 
 
 
Tabla 13.1 Correlaciones de Pearson. 
 
 
. 
 
 
13.4 CORRELACIONES PARCIALES 
 EN SPSS 
 
 
 
Esta prueba se utiliza para determinar si existe una relación lineal entre dos variables, 
pero controlando el posible efecto de una tercera variable y determinar si esa relación es 
estadísticamente significativa (no se debe al azar). 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una correlación Bivariada: 
 
a) Distribución normal de las variables (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de las variables. 
c) Todas las variables deben ser independientes. 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Correlación 
 Parcial 
 
En el cuadro de la figura 13.4 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos las dos variables que deseamos relacionar y la 
llevamos al cuadro superior derecho. Luego llevamos la variable que deseamos 
controlar al cuadro inferior derecho. 
Hecho esto presionamos Aceptar. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
194 
 
 
 
 
 
Figura 13.3 Correlación parcial en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 13.4 Pantalla de correlación parcial en el SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la 13.2 donde se observa la 
correlación parcial entre la variable 1 y 2 (r= 0,128) controlando la variable 3. 
El investigador debe utilizar la misma regla de correlación que en el coeficiente de 
correlación de Pearson. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,128) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea que no existe relación entre las variables. 
 
 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
195 
 
 
 
Tabla 13.2 Correlaciones parciales. 
 
 
.. 
 
 
13.5 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 
 EN SPSS 
 
 
 
En primer lugar debemos constatar que se cumplen los supuestos para la aplicación de 
una regresión simple: 
 
a) Distribución normal de las variables (con la prueba KS) 
b) Naturaleza numérica de las variables. 
c) Ambas variables deben ser independientes. 
d) Homocedasticidad 
e) Linealidad de los parámetros. 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Regresión 
 Simple 
 
 
 
Figura 13.5 Regresión lineal en el menú del SPSS 22.0. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
196 
 
 
En el cuadro de la figura 13.6 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. 
Tomamos la variable dependiente y la llevamos al cuadro superior derecho 
(dependiente). Luego tomamos la variable independiente y la llevamos al cuadro medio 
derecho (independiente). 
Hecho esto presionamos Estadísticos y se abre una pantalla como la figura 13.7, donde 
Estimaciones y Ajuste del modelo viene predeterminado, nosotros presionamos 
Descriptivos y Durbin-Watson. 
 
 
 
 
Figura 13.6 Pantalla de regresión lineal en el SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 13.7 Estadísticos de la regresión lineal simple en el SPSS 22.0. 
 
Luego presionamos Continuar para volver a la pantalla de regresión lineal y 
presionamos Aceptar. 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
197 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega unas tablas como las siguientes: 
 
 
Tabla 13.3 Estadísticos descriptivos 
 
 
 
Tabla 13.4 Correlaciones 
 
 
 
En la tabla 13.3 se observa la media, la desviación estándar y la cantidad de sujetos para 
las dos variables. 
En la tabla 13.4 se observa la correlación de Pearson entre las dos variables. El 
investigador puede ver que existe correlación entre ellas (p=0,000) y esta es positiva y 
media (r=0,447). 
 
Tabla 13.5 variables entradas/eliminadas 
 
 
 
 
Tabla 13.6 Resumen del modelo 
 
 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
198 
 
 
La tabla 13.5 muestra las variables predictoras introducidas en el modelo de regresión 
lineal. 
En la tabla 13.6 se observa el coeficiente de correlación múltiple (R) que corresponde a la 
correlación de Pearson de las dos variables, el coeficiente de determinación (R 
cuadrado) que expresa la proporción de varianza de la variable dependiente que es 
explicada por la variable independiente (en el ejemplo, R2 nos muestra que el 20% de la 
variable dependiente es explicada por la variable independiente), el coeficiente de R2 
corregido, el error estándar de la estimación que corresponde a una medida de la 
variabilidad de la variable dependiente que no es explicada por la recta de regresión (se 
obtiene con la raíz cuadrada de la media cuadrática residual que se observa en la tabla 
de ANOVA siguiente) y Durbin-Watson que muestra la correlación de los residuos, en 
valores que oscilan entre 0 y 4, siendo los valores mayores a 2,5 los que indican 
autocorrelación positiva, los valores menores a 1,5 autocorrelación negativa y los 
valores entre 1,5 y 2,5 independencia de los residuos (esta última opción es necesaria 
para el modelo de regresión lineal). 
 
Tabla 13.7 ANOVA de la regresión lineal 
 
 
 
En la tabla 13.7 se observa el ANOVA con la suma de cuadrados de la recta de 
regresión, la suma de cuadrados residuales (donde los valores residuales corresponden 
a la desviación estándar de las distancias existentes entre las puntuaciones de la variable 
dependiente y los pronósticos realizados con la recta de regresión), los grados de 
libertad de la recta de regresión (n – 1 = 2 – 1 = 1), los gradosde libertad de los valores 
residuales (n – 2 = 45 – 2 = 43), la media cuadrática de la recta de regresión, la media 
cuadrática de los valores residuales, el valor F y la Sig. o valor p. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor F calculado con el valor crítico de F. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea que no existe relación lineal entre ambas variables. 
 
 
Tabla 13.8 Coeficientes de la regresión lineal 
 
 
. 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
199 
 
 
En la tabla 13.8 se observan las características de la ecuación de regresión de la recta: el 
coeficiente no estandarizado de la constante que corresponde al valor que toma la 
variable dependiente cuando la variable independiente vale 0. Es el punto en que la 
recta corta el eje vertical, el coeficiente no estandarizado de la variable independiente 
que corresponde a la pendiente de la recta, el error estándar de los coeficientes no 
estandarizados de la constante y de la variable dependiente, el coeficiente estandarizado 
de la variable dependiente, el valor t de la constante, el valor t de la variable 
independiente y la Sig, o valor p de la constante y de la variable independiente. 
El coeficiente no estandarizado de la constante más el coeficiente no estandarizado de la 
variable independiente (1,577 + 0,516 = 2,093) indica que a cada valor de la variable X le 
corresponde un pronóstico de Y multiplicado por 2,093. Por ejemplo, si X= 2,500 es 
posible predecir un valor de Y= 2,093*2,500 que es igual a 5,2325. 
 
 
Tabla 13.9 Estadísticos de residuos 
 
 
. 
La tabla 12.9 muestra los estadísticos descriptivos (mínimo, máximo, media, desviación 
estándar y número de sujetos) de los residuos de la ecuación de regresión. Es 
importante que las medias del residuo bruto, valor pronosticado típico y residuo típico 
sean de cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 
________________________________________________________________________ 
 
201 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
202 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
203 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
Los análisis no paramétricos tienen 
las siguientes características: 
 
 No necesitan tener una distribución 
normal. 
 Se basa en frecuencias, modas y 
rangos. 
 Sus variables son categóricas. 
 
Si nuestros datos presentan estas 
características, debemos buscar los análi-
sis más adecuados según sea el problema 
de investigación (comparación o asocia-
ción). 
 14.1 PRUEBA U DE 
 MANN-WHITNEY 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
Esta prueba se utiliza para compa-
rar la media de dos muestras que no 
están relacionadas entre sí y determinar 
si la diferencia entre ambos es estadís-
ticamente significativa (no se debe al 
azar). La variable dependiente debe ser 
de nivel ordinal. Es equivalente a la 
prueba t para muestras independientes. 
 
 
Ejemplo 14.1 
Un investigador evaluó los niveles de estrés de un conjunto de 9 profesores de 
educación física de dos colegios de Santiago. El nivel de estrés se midió en una escala de 
0= nada, 1=bajo, 2=medio y 3=alto. Los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
Ahora el investigador quiere saber si existen diferencias significativas entre los puntajes 
alcanzados por los profesores de los dos colegios. 
 
 Paso 1: 
Asignar un rango a cada puntaje obtenido ordenándolos de menor a mayor (los dos 
grupos juntos). El rango corresponde a la suma del número de orden de los mismos va- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
204 
 
 
lores dividido por el número de valores iguales. 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la suma de rangos de cada grupo (∑Rx) 
 
 
 
 
 Paso 3: 
Calcular el valor U de Mann-Whitney (U) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 82) 
 
 
 
 
 
n1 y n2 = número de casos del grupo 1 y 2 
nx = número de casos de cada grupo 
∑Rx = suma de rangos de cada grupo 
 
Con el ejemplo 14.1 reemplazamos en la fórmula 82: 
 
 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
205 
 
 
Utilizando el valor menor obtenido en la prueba comparamos con el número de la tabla 
de valores críticos U de Mann Whitney (Anexo 11) ubicando el n del grupo 1 en los 
valores verticales y el n del grupo 2 en los horizontales. En el ejemplo, n1=5 y n2= 4, la 
intersección entrega un valor= 1 
 
 
 
Luego seguimos la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor U obtenido es menor o igual al valor de la tabla se debe rechazar H0. 
 Si el valor U obtenido es mayor al valor de la tabla se debe aceptar H0. 
 
En el ejemplo 14.1 el valor U es de 6,5 > 1, se debe aceptar H0 y concluir que no existen 
diferencias en los niveles de estrés de los profesores de educación física de los dos 
colegios de Santiago. 
Si alguno de los grupos tiene 20 o más casos no es posible utilizar la tabla de U de 
Mann-Whitney, entonces el valor U debe convertirse en puntuación Z con la siguiente 
fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 83) 
 
 
 
Para la puntuación Z se puede utilizar cualquiera de los dos U calculadas. 
Reemplazamos con la U menor en la fórmula 83: 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
206 
 
 
El valor Z obtenido debe ser contrastado con el valor Z para un α=0,05. Como -0,857 < 
1,96 se debe aceptar la H0 que plantea la igualdad de medias entre los dos grupos. 
 
 
 
14.2 PRUEBA DE RANGOS DE 
 WILCOXON 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 dos medias de la misma muestra y deter-
minar si la diferencia entre ambas es 
estadísticamente significativa (no se debe 
al azar). La variable dependiente debe 
ser de nivel ordinal. Esta prueba es 
equivalente a la prueba t para muestras 
relacionadas. 
 
 
Ejemplo 14.2 
Un investigador evaluó los niveles de confianza de 6 jugadores de fútbol reservas antes 
y después de la aplicación de un programa psicológico orientado a la mejora de la 
autopercepción. El nivel de confianza se midió en una escala de 1=bajo, 2=medio y 
3=alto. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 
 
 
 
Ahora el investigador quiere saber si existen efectos de dicho programa y por ende una 
mejora en la confianza de los jugadores reservas. 
 
 Paso 1: 
Obtener la diferencia entre la primera y segunda medición de cada sujeto. Luego 
asignar un rango a cada puntaje obtenido de la misma forma que en la prueba U de 
Mann-Whitney (no se deben considerar las diferencias de cero). 
 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
207 
 
 
 
 
 
Por cada empate es necesario restar un sujeto al n del grupo. 
 
 Paso 2: 
La suma de rangos con menor valor debe ser contrastado con los valores críticos de W 
(Anexo 12) con el número de sujetos ajustados y un α=0,05. Para el ejemplo .2 con 0 
rangos positivos y un n= 6 – 1= 5 se obtiene un valor W de cero. 
 
 
 
 
Luego se debe aplicar la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor W obtenido es menor o igual al valor de la tabla de valores críticos de 
W se debe rechazar H0. 
 Si el valor W obtenido es mayor al valor de la tabla de valores críticos de W se 
debe aceptar H0. 
 
Por lo tanto, como el valor W obtenido es 0 = 0 concluimos que se debe rechazarH0 y 
por lo tanto, existen diferencias entre la primera y segunda medición en los jugadores 
reservas de fútbol, aumentando sus niveles de confianza. 
 
Si el grupo tiene más de 25 casos no es posible utilizar la tabla de Wilcoxon, entonces el 
valor W debe convertirse en puntuación Z con la siguiente fórmula: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
208 
 
 
 
 
(fórmula 84) 
 
 
ZT = W – T 
 ST 
 
W = valor estadístico de Wilcoxon 
T = Media de la T de Wilcoxon 
ST = Desviación estándar de la T de Wilcoxon 
 
El valor T se calcula con la siguiente fórmula: 
 
(fórmula 85) T = n*(n + 1) 
 4 
 
n = tamaño de la muestra 
 
El valor ST se calcula con la siguiente fórmula: 
 
(fórmula 86) 
 
 
 
 
Reemplazamos en la fórmula 85 y 86: 
 
T = 6*(6 + 1) = 6*7 = 42 = 10,5 
 4 4 4 
 
 
Ahora con los valores de T y ST reemplazamos en la fórmula 84: 
 
ZT = (0 – 10,5) = -10,5 = -2,201 
 4,770 4,770 
 
El valor Z obtenido debe ser contrastado con el valor Z para un α=0,05. Como 2,20 > 
1,96 se debe rechazar la H0 que plantea la igualdad de medias entre las dos mediciones. 
 
 
 
14.3 PRUEBA DE CHI-CUADRADO 
 
Nivel de medición: 
Nominal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 dos o más grupos independientes de 
proporciones organizadas en una tabla 
de contingencia y determinar si las 
diferencias son estadísticamente signifi-
cativas (no se debe al azar). La variable 
dependiente debe ser de nivel nominal. 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
209 
 
 
Ejemplo 14.3 
Un investigador evaluó los estilos de enseñanza de profesores de educación física 
clasificándolos en tradicionales, que fomenta la participación del alumno y que implica 
cognoscitivamente al alumno. Ahora se desea conocer si existen diferencias en la 
preferencia de cada estilo de enseñanza entre profesores hombres y mujeres. 
 
 Paso 1: 
Organizar una tabla de contingencia donde en la columnas se representan los grupos y 
en las fila las categorías. Luego sumar los totales marginales por columnas y filas. 
 
 
 
  Paso 2: 
Obtener la frecuencia esperada (fe) para cada valor con la siguiente fórmula: 
 
 
fe= X1 * X2 
 N 
 
(fórmula 87) 
 
X1 = valor total de la fila 
X2 = valor total de la columna 
N = número de sujetos 
 
Con el ejemplo 14.3 reemplazamos en la fórmula 87: 
 
fe1 = (7*10) / 19 = 3,68 
fe2 = (7*10) / 19 = 3,68 
fe3 = (5*10) / 19 = 2,63 
fe4 = (7*9) / 19 = 3,32 
fe5 = (7*9) / 19 = 3,32 
fe6 = (5*9) / 19 = 2,37 
 
 
 
  Paso 3: 
Calcular el valor de Chi-cuadrado (X2) con la siguiente fórmula: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
210 
 
 
 
 
(fórmula 88) 
 
 
 
 
f0 = frecuencia observada 
fe = frecuencia esperada 
 
Con el ejemplo 13.3 reemplazamos en la fórmula 88: 
 
X2 = (2–3,68)2 + (5–3,68)2 + (3–2,63)2 + (5–3,32)2 + (2–3,32)2 + (2–2,37)2 
 3,68 3,68 2,63 3,32 3,32 2,37 
 
 = (-1,68)2 + (1,32)2 + (0,37)2 + (1,68)2 + (-1,32)2 + (-0,37)2 
 3,68 3,68 2,63 3,32 3,32 2,37 
 
 = 2,82 + 1,74 + 0,14 + 2,82 + 1,74 + 0,14 = 0,77 + 0,47 + 0,05 + 0,85 + 0,52 + 0,06 
 3,68 3,68 2,63 3,32 3,32 2,37 
 
 = 2,72 
 
 Paso 4: 
Calcular los grados de libertad de X2 con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 89) 
 
 
gl= (f – 1)*(c – 1) 
 
f = número de filas 
c = número de columnas 
 
Del ejemplo 14.3 reemplazamos en la fórmula 89: 
 
gl = (3 – 1)*(2 – 1) = 2*1 = 2 
 
El valor X2 fue de 2,72 ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar los gl (en este caso 2) y un nivel de confianza de 0,05. 
 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
211 
 
 
Con los datos del ejemplo 14.3 el valor X2 de la tabla es 5,991. 
Ahora debemos seguir la regla de decisión: 
 
 Si el valor X2 calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2 = 2,72 < 5,991 se debe aceptar H0 y podemos decir que no existen diferencias 
entre los grupos. 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que los profesores de educación 
física hombres y mujeres no poseen diferentes estilos de enseñanza. 
 
 
 
14.4 PRUEBA DE CHI-CUADRADO 
 2x2 
 
Nivel de medición: 
Nominal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 dos grupos independientes de propor-
ciones organizadas en una tabla de con-
tingencia de 2 X 2 (dos columnas y dos 
filas) y determinar si las diferencias son 
estadísticamente significativas (no se de-
be al azar). La variable dependiente debe 
ser de nivel nominal. 
 
 
Ejemplo 14.4 
Un investigador evaluó si la actividad física es un factor protector para no fumar. Para 
ello se entrevistó a 19 personas, de las cuales 11 decían realizar actividad física, en tanto 
8 no lo hacían. Por otra parte, del total de la muestra 9 afirman fumar y 10 afirmaban no 
hacerlo.. 
 
 Paso 1: 
Organizar una tabla de contingencia donde en la columnas se representan los grupos y 
en las fila las categorías. Luego sumar los totales marginales por columnas y filas. 
 
 
 A, B, C y D son las frecuencias observadas. 
 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor de X2 con la siguiente fórmula: 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
212 
 
 
 
 
(fórmula 90) 
 
 
X2 = N*[(AD – BC) – (N/2)]2 . 
 (A+B)*(C+D)*(A+C)*(B+D) 
 
 
 
En el ejemplo 14.4 reemplazamos en la fórmula 90: 
 
X2 = 19*[((3*2) – (8*6)) – (19/2)]2 = 19*[(6 – 48) – 9,5]2 = 19*[(-42) – 9,5]2 
 (3+8)*(6+2)*(3+6)*(8+2) 11*8*9*10 7920 
 
 = 19*(-51,5)2 = 19*2652,25 = 50392,75 = 6,36 
 7920 7920 7920 
 
El valor X2 fue de 6,36 ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar siempre 1 gl y un nivel de confianza de 0,05. 
 
 
 
 
 
Con los datos del ejemplo 14.4 el valor X2 de la tabla es 3,841. 
Ahora debemos seguir la regla de decisión: 
 
 Si el valor X2 calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2= 6,36 > 3,841 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias entre 
los grupos. 
 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que las personas que realizan 
actividad física tienen menos tendencia a fumar que las personas que no realizan 
actividad física. 
 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
213 
 
 
14.5 PRUEBA DE McNEMAR 
 
Nivel de medición: 
Nominal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 dos muestras relacionadas (el mismo 
grupo antes y después) pero cuando la 
variable dependiente es dicotómica y 
determinar si las diferencias son estadís-
ticamente significativas (no se debe al 
azar). 
 
 
Ejemplo 14.5 
Un investigador quiere saber si una charla de beneficios de la actividad física puede 
incentivar a un grupo de personas a inscribirse en un gimnasio. Para ello se evaluó a los 
sujetos antes y después de la intervención. Ahora se desea conocer si existieron cambios. 
 
 Paso 1: 
Organizar una tabla donde: 
La celdilla A (cruce de asistirán al gimnasio) se ubica la cantidad de sujetos que 
mantienen su respuesta positiva hacia el gimnasio. 
En la celdilla B (cruce de asistirán y no asistirán al gimnasio) se ubican los sujetos que 
cambian su respuesta de positiva a negativa hacia el gimnasio. 
La celdilla C (cruce de no asistirány asistirán al gimnasio) se ubican los sujetos que 
cambian su respuesta de negativa a positiva hacia el gimnasio. 
La celdilla D (cruce de no asistirán la gimnasio) se ubican los sujetos que mantienen su 
respuesta negativa hacia el gimnasio. 
 
 
 Después 
  Paso 2: 
Calcular el valor X2 con la siguiente fórmula: 
 
 
X2 = [(B – C) – 1]2. 
 B + C 
 
(fórmula 91) 
 
 
 
Con el ejemplo 14.5 reemplazamos en la fórmula 91: 
 
X2 = [(0 – 5) – 1]2 = -62 = 36 = 7,2 
 0 + 5 5 5 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
214 
 
 
El valor X2 fue de 7,2 ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar siempre 1 gl y un nivel de confianza de 0,05. 
Con los datos del ejemplo 14.5 el valor X2 de la tabla es 3,841. 
Ahora debemos seguir la regla de decisión: 
 
 Si el valor X2 calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2 = 7,2 > 3,841 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias entre 
los grupos. 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que las personas que reciben una 
charla sobre los beneficios de la actividad física tienden a cambiar su opinión sobre la 
inscripción en un gimnasio. 
 
 
 
14.6 PRUEBA Z DE PROPORCIONES 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
Para realizar un contraste de hipóte-
sis entre dos proporciones independientes 
 debemos basarnos en una aproximación 
normal de la distribución binominal y un 
estadístico Z. De esta forma, podemos 
determinar si existen diferencias signifi-
cativas (no se deben al azar) entre dos 
porcentajes que provienen de dos pobla-
ciones independientes. 
 
 
Ejemplo 14.6 
Un investigador desea conocer si existen diferencias entre el porcentaje de estudiantes 
que poseen un IMC normal (72 sujetos, 62% del total) y los que presentan sobrepeso (30 
sujetos, 26% del total) en los cursos de enseñanza secundaria de un colegio de Santiago. 
 
 Paso 1: 
Calcular el valor de Z con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 92) 
 
 
 
 
 
P1 y P2 = Porcentaje grupo 1 y 2 respectivamente (expresado en 0,25; 0,72; 0,85, etc.) 
q1 y q2 = 1 – p del grupo 1 y 2 respectivamente 
N1 y N2 = número de la muestra 1 y 2 respectivamente 
 
.. 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
215 
 
 
En el ejemplo 14.6 reemplazamos en la fórmula 92: 
 
 
 
 Paso 2: 
Ahora contrastamos la puntuación Z con la distribución normal de puntuaciones Z con 
el correspondiente nivel de confianza escogido. En contrastes unilaterales (también 
llamados de una cola) para un nivel de 0,05 la puntuación Z es de -1,65 a +1,65. Para un 
nivel de 0,01 la puntuación Z es de -2,33 a +2,33. En contrastes bilaterales (también 
llamados de dos colas) para un nivel de 0,05 la puntuación Z es de -1,96 a + 1,96. Para un 
nivel de 0,01 la puntuación Z es de -2,58 a +2,58. 
 
En el ejemplo 14.6 la puntuación Z= 3,78 > 2,58 razón por la cual se rechaza H0 y se 
asume que existen diferencias entre el porcentaje de estudiantes de la muestra con IMC 
normal y con sobrepeso. 
 
 
 
14.7 PRUEBA U DE 
 MANN-WHITNEY EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 Dos muestras independientes 
 
 
En el cuadro de la figura 14.2 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos la variable dependiente y la llevamos al cuadro 
superior derecho (lista de variables de prueba). Luego llevamos la variable de 
agrupación al cuadro inferior derecho. Por defecto se encuentra marcada la prueba U de 
Mann-Whitney. 
 
Hecho esto presionamos definir grupos abriéndose un cuadro como la figura 14.3. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
216 
 
 
 
 
 
Figura 14.1 Prueba U de Mann-Whitney en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 14.2 Pantalla de pruebas para dos muestras independientes en el SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 14.3 Pantalla de pruebas para dos muestras independientes (definir grupos) en el 
SPSS 22.0. 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
217 
 
 
En el cuadro 14.3 de definen los códigos de los dos grupos que se desean comparar. 
Luego se presiona Comparar y se vuelve a la pantalla de la figura 14.2. Presionamos 
Aceptar. 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las tabla siguientes: 
 
Tabla 14.1 Rangos de la prueba U de Mann-Whitney. 
 
 
 
 
Tabla 14.1 Rangos de la prueba U de Mann-Whitney. 
 
 
 
En la tabla 14.1se observa los grupos comparados, el número de sujetos por grupo (76 y 
71), la suma de rangos y el rango promedio que se obtiene con la suma de rangos 
dividido por el número de observaciones del grupo. 
 
 
Tabla 14.2 Estadísticos de prueba U de Mann-Whitney. 
 
 
 
 
En la tabla 14.2 se observan valores de las pruebas U de Mann-Whitney y la W de 
Wilcoxon. Además se aprecia el valor Z y un valor Sig. de la prueba. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor Z de la tabla con el valor crítico Z (-0,371 
< 1,96). 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,711) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea que no existe diferencia entre la media de los grupos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
218 
 
 
14.7 PRUEBA DE WILCOXON 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 Dos muestras relacionadas 
. 
 
 
Figura 14.4 Prueba de Wilcoxon en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 14.5 Pantalla Pruebas para dos muestras relacionadas en el menú del SPSS 22.0. 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
219 
 
 
En el cuadro de la figura 14.5 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos las dos mediciones del mismo grupo que 
deseamos comparar y la llevamos al cuadro derecho. Por defecto aparece marcada la 
opción Wilcoxon. Luego presionamos Aceptar. 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
 
Tabla 14.3 Rangos de la prueba de Wilcoxon. 
 
 
 
 
Tabla 14.4 Estadísticos de la prueba de Wilcoxon. 
 
 
 
En la tabla 14.3 se muestran los rangos promedio y la suma de rangos de cada grupo 
que se comparan con la prueba de Wilcoxon. 
En la tabla 14.4 se observan el valor Z y un valor Sig. de la prueba. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor Z de la tabla con el valor crítico Z (-1,900 
< 1,96). 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,057) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea que no existe diferencia entre las dos mediciones del grupo. 
 
 
 
14.8 PRUEBA DE CHI-CUADRADO 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Tablas cruzadas 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
220 
 
 
 
 
 
Figura 14.6 Prueba de X2 en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
En el cuadro de la figura 14.7 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. 
Tomamos la variable dependiente y la llevamos al cuadro superior derecho (Filas). Lue-
go tomamos la variable independiente (la variable de agrupación, por ejemplo sexo) y la 
llevamos al cuadro medio derecho (columnas). 
 
 
 
Figura 14.7 Pantalla de tablas cruzadas en el SPSS 22.0. 
 
 
En la figura 14.7 presionamos Estadísticos y se abre una pantalla comola figura 14.8, 
aquí marcamos la opción Chi Cuadrada. Hecho esto presionamos continuar para volver 
a la pantalla de tablas de contingencia y presionamos Aceptar. 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
221 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.8 Estadísticos en tablas cruzadas en el SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega unas tablas como las siguientes: 
 
 
Tabla 14.5 Tabla de tabulación cruzada. 
 
 
 
Tabla 14.6 Prueba de chi-cuadrado. 
 
 
.. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
222 
 
 
En la tabla 14.5 se observa la cantidad de casos femeninos en cada curso y los casos 
masculinos de cada categoría. 
En la tabla 14.6 se observa el valor Chi cuadrado de Pearson, la razón de verosimilitud 
que corresponde a una prueba para estudiar la relación entre variables categóricas que 
se interpreta igual que la prueba X2, la asociación lineal por lineal, el número total de 
casos de la muestra, los grados de libertad de X2, los grados de libertad de la razón de 
verosimilitud que se obtiene de igual forma que los gl de X2, los grados de libertad de la 
asociación lineal por lineal y la Sig. o valor p de la prueba X2, razón de verosimilitud y 
de la asociación lineal por lineal. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor X2 calculado con el valor crítico de X2 
(Anexo 8) obteniendo: 1,447 < 7,815. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,695) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad entre las categorías de los dos grupos. 
 
 
 
14.9 PRUEBA DE CHI-CUADRADO 
 2x2 EN SPSS 
 
 
 
El procedimiento es exactamente igual a la prueba de X2. La hoja de cálculos del 
programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
Tabla 14.7 Tabla de tabulación cruzada. 
 
 
 
Tabla 14.8 Prueba de chi-cuadrado 2x2. 
 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 
________________________________________________________________________ 
 
223 
 
 
En la tabla 14.7 se observan la cuatro combinaciones posibles (femenino curso 1, 
femenino curso 2, masculino curso 1 y masculino curso 2) con el número de sujetos de 
cada categoría. 
En la tabla 14.8 se observa el valor Chi cuadrado de Pearson (X2), la corrección de 
continuidad que corresponde a un análisis de ajuste para X2 en una tabla de 
contingencia de 2x2, la razón de verosimilitud, la prueba exacta de Fisher que permite 
asociar dos variables dicotómicas cuando el 20% o más de las casillas presentan 
frecuencias esperadas inferiores a 5 (con un p<0,05 se rechaza la H0 de independencia 
de las variables, por lo tanto, ambas se encuentran asociadas), la asociación lineal por 
lineal, el número total de casos de la muestra, los grados de libertad de X2, de la 
corrección por continuidad, de la razón de verosimilitud y de la asociación lineal por 
lineal (en todos los casos siempre será 1) y la Sig. o valor p de la prueba X2, de la 
corrección de continuidad, de la razón de verosimilitud y de la asociación lineal por 
lineal. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor p de la corrección por continuidad 
calculado con el valor crítico de X2 (Anexo 8) obteniendo: 0,332 > 3,841. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,211) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad entre las categorías de los dos grupos. 
 
 
 
14.10 PRUEBA DE McNEMAR EN SPSS 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 Dos muestras relacionadas 
 
 
 
Figura 14.9 Pantalla Pruebas para dos muestras relacionadas en el SPSS 22.0. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
224 
 
 
En el cuadro de la figura 14.9 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. 
Tomamos las dos mediciones dicotómicas del mismo grupo que deseamos comparar y 
la llevamos al cuadro derecho. Marcamos la opción McNemar. Luego presionamos 
Aceptar. 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
 
Tabla 14.9 Tabla de tabulación cruzada. 
 
 
 
Tabla 14.10 Estadísticos de la prueba de McNemar. 
 
 
 
En la tabla 14.9 se observa que de las personas que dijeron que NO en la 1° medición 40 
de ellas continuaban respondiendo que NO en la segunda medición (cruce No-No de la 
tabla), de las personas que dijeron que NO en la 1° medición 36 de ellas respondieron 
que SI en la segunda medición (cruce No-Si de la tabla), de las personas que dijeron que 
SI en la 1° medición 43 contestaron No en la segunda medición (cruce Si-No de la tabla) 
y de las personas que dijeron que SI en la 1° medición 28 de ellas mantenían su 
respuesta en la segunda medición (cruce Si-Si de la tabla). 
En la tabla 14.10 se observa el número total de sujetos de la muestra y la Sig. o valor p 
de la prueba de McNemar. 
Ahora el investigador debe contrastar el X2 calculado con el valor crítico de X2 (Anexo 8) 
obteniendo: 0,456 > 3,841. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,500) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad entre las categorías de los dos grupos. 
 
 
 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
225 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
15.1 ANÁLISIS DE VARIANZA 
 UNIFACTORIAL DE RANGOS 
 DE KRUSKAL-WALLIS 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 tres o más grupos de rangos indepen-
dientes y determinar si las diferencias 
son estadísticamente significativas (no se 
debe al azar). La variable dependiente 
debe ser de nivel ordinal. 
Esta prueba es equivalente al análi-
sis de varianza de un factor en la estadís-
tica paramétrica. 
 
 
Ejemplo 15.1 
Un investigador evaluó los niveles de IMC de estudiantes de primero, segundo y 
tercero básico de un colegio de Santiago. El IMC se clasifico en 1=bajo-peso, 2=normal, 
3=sobrepeso y 4=obeso. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 
 
 
 
 
 
Ahora se desea conocer si existen diferencias entre los tres cursos. 
 
 
 Paso 1: 
Asignar un rango a cada puntaje obtenido tal como se explicó en la prueba U de Mann-
Whitney. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
226 
 
 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la suma (∑Rx) y media ( Rx) de rangos de cada grupo: 
 
 
} 
 Paso 3: 
Se consideran los casos con las mismas puntuaciones como empates y el número de 
casos como valor t. Por ejemplo, en la tabla anterior hay 7 casos que obtuvieron una 
puntuación de 2 por lo tanto, el valor t de 2 puntos es 7. 
 
 
.. 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
227 
 
 
 Paso 4: 
Calcular el valor de Kruskal-Wallis (KW) con la fórmula 93 si no hay empates y con la 
94 si existen empates: 
 
 
 
 
(fórmula 93) 
 
 
N = número total de casos 
n = número de casos de cada grupo 
R = media de rangos de cada grupo 
 
 
 
 
(fórmula 94) 
 
N = número total de casos 
n = número de casos de cada grupo 
R = media de rangos de cada grupo 
T = número de empates en cada conjunto de rangos 
 
Como en el ejemplo 15.1 existen empates en los rangos utilizamos la fórmula 94: 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
228 
 
 
El valor KW fue de 3,587 ahora se debe encontrar el valor crítico de KW (Anexo 13), 
donde debemos ubicar el número de sujetos de cada grupo (6-6-5) y un nivel de 
confianza de 0,05. 
 
 
 
 
Si la cantidad de sujetos de un grupo o la cantidad de grupos supera los valores de la 
tabla KW se debe utilizar la tabla de valores críticos de X2 (Anexo8). Aquí es necesario 
determinar los gl que equivalen al número de grupos menos 1. 
Luego se debe seguir la siguiente regla de decisión: 
 
 Si el valor KW o X2 calculado es menor al valor KW o X2 de la tabla se debe 
aceptar la H0. 
 Si el valor KW o X2 calculado es igual o mayor al valor KW o X2 de la tabla se 
debe rechazar la H0. 
 
Como el valor KW= 3,587 < 5,77 se debe aceptar H0 y podemos decir que no existen 
diferencias entre los grupos. 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que el IMC de los estudiantes de 
primer, segundo y tercer año básico de un colegio de Santiago es igual. 
 
 
COMPARACIONES MÚLTIPLES 
 
Cuando obtenemos una diferencia significativa en la prueba KW es necesario 
determinar entre que par de grupos existen dichas diferencias. 
 
 Paso 1: 
Calcular la diferencia de las medias de los rangos de cada grupo. 
 
R1 – R2 = 7,00 – 8,08 = -1,08 = 1,08 
R1 – R3 = 7,00 – 12,50 = -5,5 = 5,5 
R2 – R3 = 8,08 – 12,50 = -4,42 = 4,42 
 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
229 
 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor crítico de la diferencia entre cada par de grupos con la siguiente 
fórmula: 
 
 
 
 
(fórmula 95) 
 
 
Zα/k(k-1) = valor Z para el número de comparaciones correspondiente 
N = Total de casos de todos los grupos 
n1 = número de casos del primer grupo 
n2 = número de casos del segundo grupo 
 
Valores críticos de Z para el número de comparaciones múltiples 
 
 
. 
 
Ahora con el ejemplo 15.1 reemplazamos en la fórmula 95 con un Z para tres 
comparaciones: 
 
 
 
R2 – R3 se desarrolla y se obtiene el mismo resultado que R1 – R3 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
230 
 
 
Como se puede observar ninguna diferencia entre par de grupos es mayor que los 
valores críticos obtenidos al comparar los pares: 
 
G1 – G2 = 1,08 < 6,99 
G1 – G3 = 5,5 < 7,33 
G2 – G3 = 4,42 < 7,33 
 
Por lo tanto, es posible asumir que no existen diferencias entre los tres grupos 
comparados. 
 
 
 
15.2 PRUEBA DE VARIANZA POR 
 RANGOS DE FRIEDMAN 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 tres o más grupos de rangos relacionados 
y determinar si las diferencias son esta-
dísticamente significativas (no se debe al 
azar). Esta prueba corresponde a un aná-
lisis de varianza de clasificaciones por 
rangos. La variable dependiente debe ser 
de nivel ordinal. 
 
 
Ejemplo 15.2 
Un profesor evaluó los niveles de destreza técnica en la ejecución de una voltereta en 
estudiantes de primer año medio en marzo, julio y octubre. Los niveles se clasificaron 
en 1=mal, 2=medio, 3=bien y 4=sobresaliente. Los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
Ahora se desea conocer si existen diferencias entre las tres mediciones. 
 
 Paso 1: 
Asignar un rango a cada puntaje. Se ordenan las puntuaciones de menor a mayor en 
cada sujeto. Como tenemos tres mediciones el rango menor será 1 y el mayor 3. Cuando 
dos mediciones sean iguales les corresponde la media de los rangos, por ejemplo, el 
sujeto 1 posee tres valores diferentes, por lo tanto, sus rangos son 1, 2 y 3. Pero el sujeto 
3 posee valores de 1, 1 y 2, por lo tanto, el rango de los dos primeros valores 
corresponde a la suma del orden dividido en dos ((1 + 2)/2 = 1,5). 
 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
231 
 
 
 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la suma de rangos de cada grupo (∑Rx): 
 
 
 
 Paso 3: 
Se consideran los casos con las mismas puntuaciones en cada sujeto como empates y el 
número de casos como valor t. Por ejemplo, en la tabla anterior el caso 3 posee dos 
puntuaciones de 1,5 por lo tanto, el valor t de 1,5 puntos en ese caso es de 2. Los rangos 
que aparecen solo una vez en cada sujeto reciben un valor t de 1. 
 
 
 
La suma de t3 es igual a (8+8) + (11*1) lo que equivale a 27. 
 
 
 Paso 4: 
Calcular el valor de Friedman (X2r) con la fórmula 96 si no hay empates y con la 97 si 
existen rangos empatados: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
232 
 
 
 
 
(fórmula 96) 
 
 
 
 
 
N = número total de casos 
k = número de mediciones 
∑R2 = suma de rangos de cada medición al cuadrado 
 
 
(fórmula 97) 
 
 
N = número total de casos 
k = número de mediciones 
∑R2 = suma de rangos de cada mediciones al cuadrado 
t = número de empates de cada sujeto 
 
Con el ejemplo 15.2 reemplazamos en la fórmula 97: 
 
X2r = (12*342) – 3*52*3*(3+1)2 = 4104 – (3*25)*(3*16) = 4104 – (75*48) = 4104 - 3600 
 (5*3)*(3+1) + 5*3 – 27 (15*4) + (15-27) 60 + (-12) 60 + (-6) 
 (3–1) 2 2 
 
 = 504 = 9,33 
 54 
 
El valor X2r fue de 9,33 ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar los gl y un nivel de confianza de 0,05. 
 
 
 
 
Con 2 gl y un α=0,05 el valor de X2 es de 5,991. Ahora debemos seguir la regla de 
decisión: 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
233 
 
 
 Si el valor X2 calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2 = 9,33 > 6,40 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias entre 
las diversas mediciones. 
Por lo anterior, es que el profesor puede concluir que la destreza técnica en la ejecución 
de la voltereta en estudiante de primer año medio mejoró entre los meses de marzo, 
julio y octubre. 
 
 
COMPARACIONES MÚLTIPLES 
 
Cuando obtenemos una diferencia significativa en la prueba de Friedman es necesario 
determinar entre que par de grupos existen dichas diferencias. 
 
 Paso 1: 
Calcular la diferencia de las sumas de los rangos entre cada medición. 
 
∑R1 – ∑R2 = 6,0 – 9,0 = -3,0 = 3,0 
∑R1 – ∑R3 = 6,0 – 15,0 = -9,0 = 9,0 
∑R2 – ∑R3 = 9,0 – 15,0 = -6,0 = 6,0 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor crítico de la diferencia entre cada par de grupos con la siguiente 
fórmula: 
 
 
 
 
 
 
(fórmula 98) 
 
 
Zα/k(k-1) = valor Z para el número de comparaciones correspondiente. 
N = Total de casos de todos los grupos 
k = número de mediciones 
 
Valores críticos de Z para el número de comparaciones múltiples 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
234 
 
 
Ahora con el ejemplo 15.2 reemplazamos en la fórmula 98 con un Z para tres 
comparaciones: 
 
 
 
 Si el valor de las diferencias calculadas es menor al valor crítico se acepta H0. 
 Si el valor de las diferencias calculadas es igual o mayor al valor crítico se rechaza 
H0. 
 
Como se puede observar la medición 1 y 2 no presentan diferencias significativas (3,0 < 
7,569) de igual forma que la medición 2 y 3 (6,0 < 7,569). En cambio sí hay diferencias 
entre la medición 1 y 3 (9,0 > 7,569). Por lo tanto, es posible asumir que existen cambios 
entre la medición realizada en marzo y la realizada en octubre. 
 
 
 
15.3 PRUEBA Q DE COCHRAN 
 
Nivel de medición: 
Nominal 
 
Esta prueba se utiliza para comparar 
 tres o más grupos de rangos relacionados 
con variable dependiente dicotómica y 
determinar si las diferencias son estadís-
ticamente significativas (no se debe al 
azar). La variable dependiente debe ser 
de nivel nominal. 
 
 
Ejemplo 15.3 
Un entrenador evaluó si un grupo de asistentes a un club deportivo seguía asistiendo a 
los entrenamientos pese a la extensión del programa. Las mediciones se realizaron la 
cuarta, la octava y la decimosegunda semana. Los niveles se clasificaron en 0=no asiste y 
1=asiste. Ahora se desea conocer si existen diferencias entre las tres mediciones. 
 
 
Capítulo 15.Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
235 
 
 
 Paso 1: 
Contar los aciertos por sujeto y elevarlos al cuadrado (L2). Contar los aciertos por 
medición y elevarlos al cuadrado (G2). 
 
 
 
 Paso 2: 
Calcular el valor Q con la siguiente fórmula: 
 
 
Q= (k – 1 *[k∑G2 – (∑G 2] 
 k∑L – ∑L2 
 
 
(fórmula 99) 
 
L = número de aciertos por sujeto 
G = número de aciertos por medición 
k = número de mediciones 
 
Con los datos del ejemplo 15.3 reemplazamos en la fórmula 99: 
 
Q = (3 – 1)*[(3*126) – (18)2] = 2*(378 – 324) = 2*54 = 108 = 9 
 (3*18) – 42 54 – 42 12 12 
 
El valor Q fue de 9, ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar los gl (k – 1) y un nivel de confianza de 0,05. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
236 
 
 
Con 2 gl y un α=0,05 el valor de X2 es de 5,991. Ahora debemos seguir la regla de 
decisión: 
 
 Si el valor Q calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor Q calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2= 9 > 5,991 se debe rechazar H0 y podemos decir que existen diferencias entre 
las diversas mediciones. 
Por lo anterior, es que el entrenador puede concluir que los asistentes a un 
entrenamiento de larga duración disminuyen a medida que se progresa en la programa, 
es decir, existen muchos más participantes al comienzo del programa que a la 
decimosegunda semana. 
 
 
 
15.4 PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 K muestras independientes 
 
 
 
Figura 15.1 Prueba Kruskal-Wallis en el menú del SPSS 22.0. 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
237 
 
 
En la figura 15.2 se observa el cuadro de la izquierda aparece la lista de nuestras 
variables. Tomamos la variable dependiente y la llevamos al cuadro superior derecho. 
Luego tomamos la variable independiente (la variable de agrupación, en este caso 
cursos) y la llevamos al cuadro medio derecho (variable de agrupación). Por defecto 
aparece marcada la prueba de Kruskal-Wallis. 
 
 
 
 
Figura 15.2 Pantalla de Prueba para varias muestras independientes en SPSS 22.0. 
 
 
Luego en la pantalla de la figura 15.2 presionamos definir rangos y colocamos las dos 
etiquetas extremas de las categorías (en este caso categoría 1 y 4). 
Hecho esto presionamos Continuar para volver a la pantalla de prueba para k muestras 
independientes y presionamos Aceptar. 
 
 
 
 
Figura 15.3 Pantalla para definir grupos en varias muestras independientes en SPSS 
22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
238 
 
 
 
Tabla 15.1 Rangos de la prueba de Kruskal-Wallis. 
 
 
 
 
Tabla 15.2 Estadísticos de la prueba de Kruskal-Wallis. 
 
 
 
 
En la tabla 15.1 se observa el número de sujetos por grupo y la media de rangos de cada 
grupo. 
En la tabla 15.2 se muestra el valor en la distribución de Chi-cuadrado que se obtiene a 
partir del estadístico de Kruskal-Wallis, los grados de libertad (n – 1, por lo tanto 3 – 1 = 
2) y la Sig. o valor p. 
 
Ahora el investigador debe contrastar el valor X2 calculado con el valor crítico de X2 
(Anexo 8) obteniendo: 0,380 < 5,991 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,537) siendo p>0,05 se debe aceptar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias entre los grupos. 
 
 
NOTA: 
 
Cuando la prueba de Kruskal-Wallis entrega diferencia entre los grupos, es necesario 
realizar pruebas de U de Mann-Whitney entre cada par de grupos para determinar 
entre quienes existen diferencias significativas. Sin embargo, resulta necesario realizar la 
corrección de Bonferroni para controlar la tasa de error (posibilidad de cometer el error 
de tipo I) por la suma de comparaciones de dos grupos. Esto se realiza dividiendo el 
nivel de confianza por el número de comparaciones (si son tres grupos serán necesarias 
tres comparaciones de pares, por lo tanto, el valor de 0,05 se divide en tres obteniendo 
un valor de sig. de 0,017) y estableciendo este límite como el nivel crítico de aceptación 
o rechazo de la H0 al comparar cada par de grupos. 
 
 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
239 
 
 
15.5 PRUEBA DE FRIEDMAN 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 K muestras relacionadas 
 
 
 
Figura 15.4 Prueba de Friedman en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 15.5 Pantalla prueba para varias muestras relacionadas en SPSS 22.0. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
240 
 
 
En el cuadro de la figura 15.5 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos las mediciones que deseamos comparar y las 
llevamos al cuadro superior derecho. Por defecto aparece marcada la prueba de 
Friedman. Luego presionamos Aceptar. 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
 
Tabla 15.3 Rangos de la prueba de Friedman. 
 
 
 
 
Tabla 15.4 Estadísticos de la prueba de Friedman. 
 
 
 
En la tabla 15.3 se observa la media de rangos de cada grupo. 
En la tabla 15.4 se observa el número de sujetos de la muestra, el valor en la distribución 
de Chi-cuadrado que se obtiene a partir del estadístico de Friedman, los grados de 
libertad (n – 1, por lo tanto 3 – 1 = 2) y la Sig. o valor p. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor X2 calculado con el valor crítico de X2 
(Anexo 8) obteniendo: 7,611 > 5,991 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,022) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias entre las medidas. 
 
 
NOTA: 
 
Cuando la prueba de Friedman entrega diferencia entre los grupos, es necesario realizar 
pruebas de U de Mann-Whitney entre cada par de grupos para determinar entre 
quienes existen diferencias significativas, de igual forma que en la prueba de Kruskal-
Wallis (utilizando la corrección de Bonferroni). 
 
 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 
________________________________________________________________________ 
 
241 
 
 
15.10 PRUEBA Q DE COCHRAN 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Pruebas no paramétricas 
 Cuadro de diálogo antiguo 
 K muestras relacionadas 
 
En el cuadro de la figura 15.6 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos las mediciones que deseamos comparar 
relacionar y la llevamos al cuadro superior derecho. Marcamos Q de Cochran y luego 
presionamos Aceptar. 
 
 
 
Figura 15.6 Pantalla prueba para varias muestras relacionadas en SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las dos tablas siguientes: 
 
 
Tabla 15.5 Frecuencias de la prueba Q de Cochran. 
 
 
 
En la tabla 15.5 se observa la cantidad de respuestas negativas y positivas frente a una 
pregunta en las mediciones 1, 2 y 3. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
242 
 
 
 
Tabla 15.6 Estadísticos de la prueba Q de Cochran. 
 
 
 
 
En la tabla 15.6 se observa el número de sujetos, el valor de la prueba Q de Cochran, los 
grados de libertad (número de grupos menos uno) y la Sig. o valor p. 
Ahora el investigador debe contrastar el valor Q calculado con el valor crítico de X2 
(Anexo 8) obteniendo:941,333 > 5,991 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea la igualdad de medias entre las mediciones. 
 
 
NOTA: 
 
Cuando la prueba Q de Cochran entrega diferencia entre los grupos, es necesario 
realizar pruebas de U de Mann-Whitney entre cada par de grupos para determinar 
entre quienes existen diferencias significativas, de igual forma que en la prueba de 
Kruskal-Wallis y Friedman. 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
243 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
16.1 COEFICIENTE DE 
 CORRELACIÓN DE SPEARMAN 
 DE RANGOS ORDENADOS 
 
Nivel de medición: 
Ordinal 
 
La prueba de correlación de Spear-
man se utiliza para determinar si existe 
una relación lineal entre dos variables y si 
dicha relación es estadísticamente signi-
ficativa (no se debe al azar). Este análisis 
es el más utilizado cuando es necesario 
asociar dos variables y el número de me- 
 diciones es menor a 30 y no se cumple el 
supuesto de normalidad o los datos son 
de tipo categóricos (al menos una de las 
variables debe ser de nivel ordinal). 
Esta prueba es equivalente a la co-
rrelación de Pearson en estadística para-
métrica. 
Para llevar a cabo esta prueba debe-
mos establecer las siguientes hipótesis: 
 
H1= Existe asociación o relación entre las 
 variables X e Y. 
H0= No existe asociación o relación entre 
 las variables X e Y. 
 
 
Ejemplo 16.1 
Un investigador evaluó los niveles de estrés y la asistencia a un programa de actividad 
física de un grupo de trabajadores de una empresa. Las variables se clasificaron en: 
 
 Estrés Asistencia al programa de act. física 
1= Bajo 1= Casi nunca 
2= Medio 2= Ocasionalmente 
3= Alto 3= Regularmente 
 4= Casi siempre 
 
Los resultados fueron los siguientes: 
 
 
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244 
 
 
Ahora el investigador quiere saber si existe relación significativa entre los niveles de 
estrés y la asistencia al programa, es decir, si los trabajadores que más asisten al 
programa de actividad física son los mismos que tienen menores niveles de estrés. Para 
ello establece las siguientes hipótesis: 
 
H1= Existe relación entre los niveles de estrés y la asistencia al programa de actividad 
 física. 
H0= No existe relación entre los niveles de estrés y la asistencia al programa de 
 actividad física. 
 
 
 Paso 1: 
Asignar un rango a cada puntaje obtenido tal como se explicó en la prueba U de Mann-
Whitney. 
 
a) Variable estrés 
 
 
 
. 
a) Variable asistencia al programa de act. física 
 
 
.. 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
245 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la diferencia de rangos de Rx y Ry y luego elevar esas diferencias al cuadrado. 
 
 
. 
 Paso 3: 
Se consideran los casos con las mismas puntuaciones como empates y el número de 
casos como valor t. Por ejemplo, en la tabla anterior hay 5 casos que obtuvieron una 
puntuación de 2 puntos en la variable X por lo tanto el valor t de 2 puntos es 5. 
 
 
 
 Paso 4: 
Calcular la correlación de Spearman (rs) con la fórmula 100 cuando no hay rangos 
empatados y la fórmula 101 cuando si lo hay: 
 
 
 
 
(fórmula 100) 
 
 
N = número de sujetos 
D2 = diferencia entre los rangos de X e Y elevados al cuadrado 
.. 
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246 
 
 
 
 
(fórmula 101) 
 
 
 
N = número de sujetos 
D2 = diferencia entre los rangos de X e Y elevados al cuadrado 
T = suma de las diferencias de t3 menos t 
 
Ahora con el ejemplo 16.1 reemplazamos en la fórmula 101 
 
 
 
El valor rs fue de -0,749 ahora se debe encontrar el valor crítico de Spearman (Anexo 
14), donde debemos ubicar el número de casos (N) y un nivel de confianza de 0,05. 
 
 
 
Con un N= 0 y un α=0,05 el valor rs= 0,648. Ahora debemos seguir la regla de decisión: 
 
 Si el valor rs calculado es menor al valor rs de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor rs calculado es igual o mayor al valor rs de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
247 
 
 
Como rs = -0,790 > 0,648 se debe rechazar H0 y podemos decir que existe relación lineal 
entre las diversas mediciones. 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que existe relación entre los 
niveles de estrés y la asistencia a un programa de actividad física. Además la correlación 
es alta y negativa (-0,790), es decir, que a más práctica física menores niveles de estrés. 
 
 
 
16.2 COEFICIENTE DE 
 CORRELACIÓN DE PHI 
 
Nivel de medición: 
Nominal 
 
La prueba de correlación de Phi o 
prueba de correlación de Mathews se 
utiliza para determinar si existe una rela-
ción lineal entre dos variables binarias y 
si dicha relación es estadísticamente sig-
nificativa (no se debe al azar). Este análi-
sis es necesario para asociar dos variables 
 que se categorizan como ausencia-pre-
sencia del atributo (por ejemplo, emba-
razo). Las dos variables que se desean 
asociar deben tener datos de tipo 
nominales. 
Esta prueba es equivalente a una 
correlación de Pearson pero de tipo bi-
naria. Para llevar a cabo esta prueba de-
bemos establecer las siguientes hipótesis: 
 
H1= Existe asociación o relación entre las 
 variables X e Y. 
H0= No existe asociación o relación entre 
 las variables X e Y. 
 
 
Ejemplo 16.2 
Un investigador evaluó la práctica de algún deporte de padres e hijos obteniendo los 
siguientes resultados: 
 
 
 
Ahora el investigador desea saber si existe alguna relación entre la práctica deportiva de 
los padres y la práctica deportiva de sus hijos, es decir, si los hijos de padres que 
realizan algún deporte también lo realizan en forma regular. 
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248 
 
 
 Paso 1: 
Organizar una tabla de contingencia donde en la columnas se representan los grupos y 
en las fila las categorías. Luego sumar los totales marginales por columnas y filas. 
 
 
 A, B, C y D son las frecuencias observadas 
 
 
 Paso 2: 
Calcular la correlación de Phi (rø) con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 102) 
 
 
 
 
Con el ejemplo 16.2 reemplazamos en la fórmula 102: 
 
 
 
 
 Paso 3: 
La correlación de Phi está relacionada con la prueba X2 de 2x2, por lo tanto, es necesario 
calcularla con la fórmula 87. 
 
 
X2 = 20*[((8*7) – (3*2)) – (20/2)]2 = 20*[(56 – 6) – 10]2 = 20*[50 – 10]2 = 20 * 402 
 (8+3)*(2+7)*(8+2)*(3+7) 11*9*10*10 9900 9900 
 
 = 20 * 1600 = 32000 = 3,23 
 9900 9900 
 
 
El valor X2 fue de 3,23 ahora se debe encontrar el valor crítico de X2 (Anexo 8), donde 
debemos ubicar siempre 1 gl y un nivel de confianza de 0,05. 
Con los datos del ejemplo 16.2 el valor X2 de la tabla es 3,841. 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
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249 
 
 
 
 
 
 
Ahora debemos seguir la regla de decisión: 
 
 Si el valor X2 calculado es menor al valor X2 de la tabla se debe aceptar la H0. 
 Si el valor X2 calculado es igual o mayor al valor X2 de la tabla se debe rechazar la 
H0. 
 
Como X2= 3,23 < 3,841 por lo tanto se debe aceptar H0 y podemos decir que no existe 
relación entre los grupos. 
Por lo anterior, es que el investigador puede concluir que la práctica de actividad física 
de los hijos no está influenciada por la práctica de actividad física de lospadres. 
 
En caso que el estadístico X2 permita rechazar la H0, el valor Phi entrega el tipo de 
correlación (positiva o negativa) y la fuerza de la asociación (baja, media o alta). 
 
 
 
16.3 CORRELACIÓN DE SPEARMAN 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Correlaciones 
 Bivariadas 
 
En la figura 16.1 se observa el cuadro de la izquierda aparece la lista de nuestras 
variables. Tomamos las variables que deseamos correlacionar y las llevamos al cuadro 
superior derecho. Marcamos Spearman y luego presionamos Aceptar. 
 
 
 
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250 
 
 
 
 
 
Figura 16.1 Correlación de Spearman en el menú del SPSS 22.0. 
 
 
 
 
Figura 16.2 Pantalla correlaciones bivariadas en SPSS 22.0. 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la 16.1 donde se observa la 
correlación de Spearman, la Sig. o valor p y el número de sujetos de la muestra. 
La correlación de Spearman se interpreta de igual forma que Pearson. 
También se debe contrastar el valor p calculado (p=0,000) siendo p<0,05 se debe 
rechazar la hipótesis nula que plantea que no existe relación lineal entre las variables. 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
251 
 
 
 
Tabla 16.1 Correlación Rho de Spearman. 
 
 
. 
 
 
16.4 CORRELACIÓN DE PHI 
 EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Tablas cruzadas 
 
 
 
Figura 16.3 Correlación de Phi en el menú del SPSS 22.0. 
 
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252 
 
 
En el cuadro de la figura 16.4 aparece un rectángulo a la izquierda donde se encuentra 
la lista de nuestras variables. Tomamos las dos variables dicotómicas que deseamos 
relacionar y llevamos una al cuadro superior derecho y la otra al cuadro medio derecho 
(no importa cual vaya en cual cuadro). 
 
 
 
Figura 16.4 Pantalla de tablas cruzadas en el SPSS 22.0. 
 
 
Luego en la figura 16.4 presionamos estadísticos y en el cuadro nominal presionamos Phi 
y V de Cramer. Hecho esto presionamos Continuar para volver a la pantalla de tablas 
cruzadas y presionamos Aceptar. 
 
 
 
 
La hoja de cálculos del programa nos entrega las tablas 16.2 y 16.3. En la primera se 
observa la cantidad de respuestas SI y No de la variable 1 y la variable 2. 
En la tabla 16.3 se observa el coeficiente de correlación de Phi, el coeficiente de 
correlación V de Cramer que corresponde a una pequeña modificación del coeficiente 
Phi y la Sig. o valor p. 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
253 
 
 
 
Tabla 16.2 tabulación cruzada de las variables. 
 
 
 
 
Tabla 16.3 Medidas simétricas de la prueba Phi. 
 
 
 
 
La correlación de Phi puede tomar valores entre 0 y 1 midiendo la fuerza de asociación 
de las variables. El coeficiente Phi se interpreta de igual forma que Pearson y Spearman. 
También debe contrastar el valor p calculado (p=0,024) siendo p<0,05 se debe rechazar la 
hipótesis nula que plantea que no existe relación lineal entre las variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 16. Asociación de variables 
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Capítulo 16. Asociación de variables 
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259 
 
 
ANEXO 1 
Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar 
 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,22960,2266 
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 
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260 
 
 
Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar (continuación) 
 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
261 
 
 
ANEXO 2 
Tabla de valores críticos de la distribución t de Student 
 
 
gl 0,05 0,025 0,01 0,005 gl 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 6,31 12,71 31,82 63,66 21 1,72 2,08 2,52 2,83 
2 2,92 4,30 6,96 9,92 22 1,71 2,07 2,51 2,82 
3 2,35 3,18 4,54 5,84 23 1,71 2,07 2,50 2,81 
4 2,13 2,78 3,75 4,60 24 1,71 2,06 2,49 2,80 
5 2,01 2,57 3,36 4,03 25 1,70 2,06 2,49 2,79 
6 1,94 2,45 3,14 3,71 26 1,70 2,06 2,48 2,78 
7 1,89 2,36 3,00 2,50 27 1,70 2,05 2,47 2,77 
8 1,85 2,31 2,90 3,36 28 1,70 2,05 2,47 2,76 
9 1,83 2,26 2,82 3,25 29 1,70 2,05 2,46 2,76 
10 1,81 2,23 2,76 3,17 30 1,70 2,04 2,46 2,75 
11 1,80 2,20 2,72 3,11 31 1,70 2,04 2,45 2,74 
12 1,78 2,18 2,68 3,05 32 1,69 2,04 2,45 2,74 
13 1,77 2,16 2,65 3,01 33 1,69 2,03 2,44 2,73 
14 1,76 2,14 2,62 2,98 34 1,69 2,03 2,44 2,73 
15 1,75 2,13 2,60 2,95 35 1,69 2,03 2,44 2,72 
16 1,74 2,12 2,58 2,92 36 1,69 2,03 2,43 2,72 
17 1,74 2,11 2,57 2,90 37 1,69 2,03 2,43 2,72 
18 1,73 2,10 2,55 2,88 38 1,69 2,02 2,43 2,71 
19 1,73 2,09 2,54 2,86 39 1,68 2,02 2,43 2,71 
20 1,72 2,09 2,53 2,85 40 1,68 2,02 2,42 2,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
262 
 
 
ANEXO 3 
Tabla de valores críticos de la prueba KS para una muestra 
 
 
n 0,05 0,02 0,01 n 0,05 0,02 0,01 
1 0,97500 0,99000 0,99500 27 0,25438 0,28438 0,25438 
2 0,84189 0,90000 0,92929 28 0,24993 0,27942 0,29971 
3 0,70760 0,78456 0,82900 29 0,24571 0,27471 0,29466 
4 0,62394 0,68887 0,73424 30 0,24170 0,27023 0,28986 
5 0,56328 0,62718 0,66853 31 0,23788 0,26596 0,28529 
6 0,51926 0,57741 0,61661 32 0,23424 0,26189 0,28094 
7 0,48342 0,53844 0,57581 33 0,23076 0,25801 0,27577 
8 0,45427 0,50654 0,54179 34 0,22743 0,25429 0,27271 
9 0,43001 0,47960 0,51332 35 0,22425 0,25073 0,26897 
10 0,40925 0,45562 0,48893 36 0,22119 0,24732 0,26532 
11 0,39122 0,43670 0,46770 37 0,21826 0,24404 0,26180 
12 0,37543 0,41918 0,44905 38 0,21544 0,24089 0,25843 
13 0,36143 0,40362 0,43247 39 0,21273 0,23785 0,25518 
14 0,34890 0,38970 0,41762 40 0,21012 0,23494 0,25205 
15 0,33750 0,37713 0,40420 41 0,20760 0,23213 0,24904 
16 0,32733 0,36571 0,39201 42 0,20517 0,22941 0,24613 
17 0,31796 0,35528 0,38086 43 0,20283 0,22679 0,24332 
18 0,30936 0,34569 0,37062 44 0,20056 0,22426 0,24060 
19 0,30143 0,33685 0,30143 45 0,19837 0,22181 0,23798 
20 0,29408 0,32866 0,35241 46 0,19625 0,21944 0,23544 
21 0,28724 0,32104 0,34426 47 0,19420 0,21715 0,23298 
22 0,28087 0,31394 0,33666 48 0,19221 0,21493 0,23059 
23 0,27491 0,30728 0,32954 49 0,19028 0,21281 0,22832 
24 0,26931 0,30104 0,32286 50 0,18841 0,21068 0,22604 
25 0,26404 0,29518 0,31657 >50 1,36 1,52 1,63 
26 0,25908 0,28962 0,30963 √n √n √n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
263 
 
 
ANEXO 4 
Coeficientes ain para el contraste de Shapiro-Wilks 
 
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 0,7071 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
3 0,7071 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
4 0,6872 0,1677 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
5 0,6646 0,2413 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
6 0,6431 0,2806 0,0875 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
7 0,6233 0,3031 0,1401 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
8 0,6052 0,3164 0,1743 0,0561 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
9 0,5888 0,3244 0,1976 0,0947 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
10 0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
11 0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
12 0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303 0,0000 0,0000 0,0000 
13 0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539 0,0000 0,0000 0,0000 
14 0,5251 0,3318 0,2495 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240 0,0000 0,0000 
15 0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433 0,0000 0,0000 
16 0,5056 0,3229 0,2521 0,1988 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 0,0000 
17 0,4968 0,3273 0,2540 0,1988 0,1524 0,1109 0,0725 0,0359 0,0000 
18 0,4886 0,3253 0,2553 0,2027 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163 
19 0,4808 0,3232 0,2561 0,2059 0,1641 0,1271 0,0932 0,0612 0,0303 
20 0,4734 0,3211 0,2565 0,2085 0,1686 0,1334 0,1013 0,0711 0,0422 
21 0,4643 0,3185 0,2578 0,2119 0,1736 0,1339 0,1092 0,0804 0,0530 
22 0,4590 0,3156 0,2571 0,2131 0,1764 0,1443 0,1150 0,0878 0,0618 
23 0,4542 0,3126 0,2563 0,2139 0,1787 0,1480 0,1201 0,0941 0,0696 
24 0,4493 0,3098 0,2554 0,2145 0,1807 0,1512 0,1245 0,0997 0,0764 
25 0,4450 0,3069 0,2543 0,2148 0,1822 0,1539 0,1283 0,1046 0,0823 
26 0,4407 0,3043 0,2533 0,2151 0,1836 0,1563 0,1316 0,1089 0,0876 
27 0,4366 0,3018 0,2522 0,2152 0,1848 0,1584 0,1346 0,1128 0,0923 
28 0,4328 0,2992 0,2510 0,2151 0,1857 0,1601 0,1372 0,1162 0,0965 
29 0,4291 0,2968 0,2499 0,2150 0,1864 0,1616 0,1395 0,1192 0,1002 
30 0,4254 0,2944 0,2487 0,2148 0,1870 0,1630 0,1415 0,1219 0,1036 
31 0,4220 0,2921 0,2475 0,2145 0,1874 0,1641 0,1433 0,1243 0,1066 
32 0,4118 0,2898 0,2463 0,2141 0,1878 0,1651 0,1449 0,1265 0,1093 
33 0,4156 0,2876 0,2451 0,2137 0,1880 0,1660 0,1463 0,1284 0,1118 
34 0,4127 0,2854 0,2439 0,2132 0,1882 0,1667 0,1475 0,1301 0,1140 
35 0,4096 0,2834 0,2427 0,2127 0,1883 0,1673 0,1487 0,1317 0,1160 
36 0,4068 0,2813 0,2415 0,2121 0,1883 0,1678 0,1496 0,1331 0,1179 
37 0,4040 0,2794 0,2403 0,2116 0,1883 0,1683 0,1505 0,1344 0,1196 
38 0,4015 0,2774 0,2391 0,2110 0,1881 0,1686 0,1513 0,1356 0,1211 
39 0,3989 0,2755 0,2380 0,2104 0,1880 0,1689 0,1520 0,1366 0,1225 
40 0,3964 0,2737 0,2368 0,2098 0,1878 0,1691 0,1526 0,1376 0,1237 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________264 
 
 
Coeficientes ain para el contraste de Shapiro-Wilks (continuación) 
 
 
n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
20 0,0140 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
21 0,0263 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
22 0,0368 0,0122 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
23 0,0459 0,0228 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
24 0,0539 0,0321 0,0107 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
25 0,0610 0,0403 0,0200 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
26 0,0672 0,0476 0,0284 0,0094 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
27 0,0728 0,0540 0,0358 0,0178 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
28 0,0778 0,0598 0,0424 0,0253 0,0084 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
29 0,0822 0,0650 0,0483 0,0320 0,0159 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
30 0,0862 0,0697 0,0537 0,0381 0,0227 0,0076 0,0000 0,0000 0,0000 
31 0,0899 0,0739 0,0585 0,0435 0,0289 0,0144 0,0000 0,0000 0,0000 
32 0,0931 0,0777 0,0629 0,0485 0,0344 0,0206 0,0068 0,0000 0,0000 
33 0,0961 0,0812 0,0669 0,0530 0,0395 0,0262 0,0187 0,0000 0,0000 
34 0,0988 0,0844 0,0706 0,0572 0,0441 0,0314 0,0187 0,0062 0,0000 
35 0,1013 0,0873 0,0739 0,0610 0,0484 0,0361 0,0239 0,0119 0,0000 
36 0,1036 0,0900 0,0770 0,0645 0,0523 0,0404 0,0287 0,0172 0,0057 
37 0,1056 0,0924 0,0798 0,0677 0,0559 0,0444 0,0331 0,0220 0,0110 
38 0,1075 0,0947 0,0824 0,0706 0,0592 0,0481 0,0372 0,0264 0,0158 
39 0,1092 0,0967 0,0848 0,0733 0,0622 0,0515 0,0409 0,0305 0,0203 
40 0,1108 0,0986 0,0870 0,0759 0,0651 0,0546 0,0444 0,0343 0,0244 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
265 
 
 
Coeficientes ain para el contraste de Shapiro-Wilks (continuación) 
 
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
41 0,3940 0,2719 0,2357 0,2091 0,1876 0,1693 0,1531 0,1384 0,1249 
42 0,3917 0,2701 0,2345 0,2085 0,1874 0,1694 0,1535 0,1392 0,1259 
43 0,3894 0,2684 0,2334 0,2078 0,1871 0,1695 0,1539 0,1398 0,1269 
44 0,3872 0,2667 0,2323 0,2072 0,1868 0,1695 0,1542 0,1405 0,1278 
45 0,3850 0,2651 0,2313 0,2065 0,1865 0,1695 0,1545 0,1410 0,1286 
46 0,3830 0,2635 0,2302 0,2058 0,1862 0,1695 0,1548 0,1415 0,1293 
47 0,3808 0,2620 0,2291 0,2052 0,1859 0,1695 0,1550 0,1420 0,1300 
48 0,3789 0,2604 0,2281 0,2045 0,1855 0,1693 0,1551 0,1423 0,1306 
49 0,3770 0,2589 0,2271 0,2038 0,1851 0,1692 0,1553 0,1472 0,1312 
50 0,3751 0,2574 0,2260 0,2032 0,1847 0,1691 0,1554 0,1430 0,1317 
 
 
n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
41 0,1123 0,1004 0,0891 0,0782 0,0677 0,0575 0,0476 0,0379 0,0283 
42 0,1136 0,1020 0,0909 0,0804 0,0701 0,0602 0,0506 0,0411 0,0318 
43 0,1149 0,1035 0,0927 0,0824 0,0724 0,0628 0,0534 0,0442 0,0352 
44 0,1160 0,1049 0,0943 0,0842 0,0745 0,0651 0,0560 0,0471 0,0383 
45 0,1170 0,1062 0,0959 0,0860 0,0765 0,0673 0,0584 0,0497 0,0412 
46 0,1180 0,1073 0,0972 0,0876 0,0783 0,0694 0,0607 0,0522 0,0439 
47 0,1189 0,1085 0,0986 0,0892 0,0801 0,0713 0,0628 0,0546 0,0465 
48 0,1197 0,1095 0,0998 0,0906 0,0817 0,0731 0,0648 0,0568 0,0489 
49 0,1205 0,1105 0,1010 0,0919 0,0832 0,0748 0,0667 0,0588 0,0511 
50 0,1212 0,1113 0,1020 0,0932 0,0846 0,0764 0,0685 0,0608 0,0532 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
266 
 
 
ANEXO 5 
Tabla de valores críticos de la prueba de Shapiro-Wilks 
 
 
n 0,05 0,02 0,01 n 0,05 0,02 0,01 
1 - - - 26 0,920 0,904 0,891 
2 - - - 27 0,923 0,906 0,894 
3 0,767 0,756 0,753 28 0,924 0,908 0,896 
4 0,748 0,707 0,687 29 0,926 0,910 0,898 
5 0,762 0,715 0,686 30 0,927 0,912 0,900 
6 0,788 0,743 0,713 31 0,929 0,914 0,902 
7 0,803 0,760 0,730 32 0,930 0,915 0,904 
8 0,818 0,778 0,749 33 0,931 0,917 0,906 
9 0,829 0,791 0,764 34 0,933 0,919 0,908 
10 0,842 0,806 0,781 35 0,934 0,920 0,910 
11 0,850 0,817 0,792 36 0,935 0,922 0,912 
12 0,859 0,828 0,805 37 0,936 0,924 0,914 
13 0,866 0,837 0,814 38 0,938 0,925 0,916 
14 0,874 0,846 0,825 39 0,939 0,927 0,917 
15 0,881 0,855 0,835 40 0,940 0,928 0,919 
16 0,887 0,863 0,844 41 0,941 0,929 0,920 
17 0,892 0,869 0,851 42 0,942 0,930 0,922 
18 0,897 0,874 0,858 43 0,943 0,932 0,923 
19 0,901 0,879 0,863 44 0,944 0,933 0,924 
20 0,905 0,884 0,868 45 0,945 0,934 0,926 
21 0,908 0,888 0,873 46 0,945 0,935 0,927 
22 0,911 0,892 0,878 47 0,946 0,936 0,928 
23 0,914 0,895 0,881 48 0,941 0,937 0,929 
24 0,916 0,898 0,884 49 0,947 0,937 0,929 
25 0,918 0,901 0,888 50 0,947 0,938 0,930 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
267 
 
 
ANEXO 6 
Tabla de valores críticos de la distribución F de Fisher (α= , 5 
 
 
gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 161,446 199,499 215,707 224,583 230,160 233,988 236,767 238,884 240,543 
2 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,329 19,353 19,371 19,385 
3 19,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 
4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 
5 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,772 
6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 
7 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 
8 5,318 4,459 4,066 3,838 3,688 3,581 3,500 3,438 3,388 
9 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 
10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,020 
11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 
12 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 
13 4,667 3,805 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 
14 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 
15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641 2,588 
16 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,538 
17 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548 2,494 
18 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510 2,456 
19 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477 2,423 
20 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,423 
21 4,325 3,467 3,072 2,840 2,685 2,573 2,488 2,420 2,366 
22 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397 2,342 
23 4,279 3,422 3,028 2,796 2,640 2,528 2,442 2,375 2,320 
24 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355 2,300 
25 4,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,490 2,405 2,337 2,282 
26 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,474 2,388 2,321 2,265 
27 4,210 3,354 2,960 2,728 2,572 2,459 2,373 2,305 2,250 
28 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291 2,236 
29 4,183 3,328 2,934 2,701 2,545 2,432 2,346 2,278 2,223 
30 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 
40 4,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,180 2,124 
50 4,034 3,183 2,790 2,557 2,400 2,286 2,199 2,130 2,073 
60 4,002 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040 
70 3,978 3,128 2,736 2,503 2,346 2,231 2,143 2,074 2,017 
80 3,960 3,111 2,719 2,486 2,329 2,214 2,126 2,056 1,999 
90 3,947 3,098 2,706 2,473 2,316 2,201 2,113 2,043 1,986100 3,936 3,087 2,696 2,463 2,305 2,191 2,103 2,032 1,975 
200 3,888 3,041 2,650 2,417 2,259 2,144 2,056 1,985 1,927 
500 3,860 3,014 2,623 2,390 2,232 2,117 2,028 1,957 1,899 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
268 
 
 
Tabla de valores críticos de la distribución F de Fisher (α= , 5 continuación 
 
 
gl 10 15 20 30 40 50 100 200 500 
1 241,882 245,949 248,016 250,096 251,144 251,774 253,043 253,676 254,062 
2 19,396 19,429 19,446 19,463 19,471 19,476 19,486 19,491 19,494 
3 8,785 8,703 8,660 8,617 8,594 8,581 8,554 8,540 8,532 
4 5,964 5,858 5,803 5.746 5,717 5,699 5,664 5,646 5,635 
5 4,735 4,619 4,558 4,496 4,464 4,444 4,405 4,385 4,373 
6 4,060 3,938 3,874 3,808 3,774 3,754 3,712 3,690 3,678 
7 3,637 3,511 3,445 3,376 3,340 3,319 3,275 3,252 3,239 
8 3,347 3,218 3,150 3,079 3,043 3,020 2,975 2,951 2,937 
9 3,137 3,006 2,936 2,864 2,826 2,803 2,756 2,731 2,717 
10 2,978 2,845 2,774 2,700 2,661 2,637 2,588 2,563 2,548 
11 2,854 2,719 2,646 2,570 2,531 2,507 2,457 2,431 2,415 
12 2,753 2,617 2,544 2,466 2,426 2,401 2,350 2,323 2,307 
13 2,671 2,533 2,459 2,380 2,339 2,314 2,261 2,234 2,218 
14 2,602 2,463 2,388 2,308 2,266 2,241 2,187 2,159 2,142 
15 2,544 2,403 2,328 2,247 2,204 2,178 2,123 2,095 2,078 
16 2,494 2,352 2,276 2,194 2,151 2,124 2,068 2,039 2,022 
17 2,450 2,308 2,230 2,148 2,104 2,077 2,020 1,991 1,973 
18 2,412 2,269 2,191 2,107 2,063 2,035 1,978 1,948 1,929 
19 2,378 2,234 2,155 2,071 2,026 1,999 1,940 1,910 1,891 
20 2,348 2,203 2,124 2,039 1,994 1,966 1,907 1,875 1,856 
21 2,321 2,176 2,096 2,010 1,965 1,936 1,876 1,845 1,825 
22 2,297 2,151 2,071 1,984 1,938 1,909 1,849 1,817 1,797 
23 2,275 2,128 2,048 1,961 1,914 1,885 1,823 1,791 1,771 
24 2,255 2,108 2,027 1,939 1,892 1,863 1,800 1,768 1,747 
25 2,236 2,089 2,007 1,919 1,872 1,842 1,779 1,746 1,725 
26 2,220 2,072 1,990 1,901 1,853 1,823 1,760 1,726 1,705 
27 2,204 2,056 1,974 1,884 1,836 1,806 1,742 1,708 1,686 
28 2,190 2,041 1,959 1,869 1,820 1,790 1,725 1,691 1,669 
29 2,177 2,027 1,945 1,854 1,806 1,775 1,710 1,675 1,653 
30 2,165 2,015 1,932 1,841 1,792 1,761 1,695 1,660 1,637 
40 2,077 1,924 1.839 1,744 1,693 1,660 1,589 1,551 1,526 
50 2,026 1,895 1,784 1,687 1,634 1,599 1,525 1,484 1,457 
60 1,993 1,836 1,748 1,649 1,594 1,559 1,481 1,438 1,409 
70 1,969 1,812 1.722 1,622 1,566 1,530 1,450 1,404 1,374 
80 1,951 1,793 1,703 1,602 1,545 1,508 1,426 1,379 1,347 
90 1,938 1,779 1,688 1,586 1,528 1,491 1,407 1,358 1,326 
100 1,927 1,768 1,676 1,573 1,515 1,477 1,392 1,342 1,308 
200 1,878 1,717 1,623 1,516 1,455 1,415 1,321 1,263 1,221 
500 1,850 1,686 1,592 1,482 1,419 1,376 1,275 1,210 1,159 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
269 
 
 
Tabla de valores críticos de la distribución F de Fisher (α= , 1 
 
 
gl 1 2 3 4 5 6 7 8 
1 4052,185 4999,340 5403,534 5624,257 5763,955 5858,950 5928,334 5980,954 
2 98,502 99,000 99,164 99,251 99,302 99,331 99,357 99,375 
3 34,116 30,816 29,457 28,710 28,237 27,911 27,671 27,489 
4 21,198 18,000 16,694 15,977 15,522 15,207 14,976 14,799 
5 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 
6 13,745 10,925 9,780 9,148 8,746 8,466 8,260 8,102 
7 12,246 9,547 8,451 7,847 7,460 7,191 6,993 6,840 
8 11,259 8,649 7,591 7,006 6,632 6,371 6,178 6,029 
9 10,562 8,022 6,992 6,422 6,057 5,802 5,613 5,467 
10 10,044 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,200 5,057 
11 9,646 7,206 6,217 5,668 5,316 5,069 4,886 4,744 
12 9,330 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,640 4,499 
13 9,074 6,701 5,739 5,205 4,862 4,620 4,441 4,302 
14 8,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4.278 4,140 
15 8,683 6,359 5,417 4,893 4,556 4,318 4.142 4,004 
16 8,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,890 
17 8,400 6,112 5,185 4,669 4,336 4,101 3,927 3,791 
18 8,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 
19 8,185 5,926 5,010 4,500 4,171 3,939 3,765 3,631 
20 8,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 
21 8,017 5,780 4,874 4,369 4,042 3,812 3,640 3,506 
22 7,945 5,719 4,817 4,313 3,988 3,758 3,587 3,453 
23 7,881 5,664 4,765 4,264 3,939 3,710 3,539 3,406 
24 7,823 5,614 4,718 4,218 3,895 3,667 3,496 3,363 
25 7,770 5,568 4,675 4,177 3,855 3,627 3,457 3,324 
26 7,721 5,526 4,637 4,140 3,818 3,591 3,421 3,288 
27 7,677 5,488 4,601 4,106 3,785 3,558 3,388 3,256 
28 7,636 5,453 4,568 4,074 3,754 3,528 3,358 3,226 
29 7,598 5,420 4,538 4,045 3,725 3,499 3,330 3,198 
30 7,562 5,390 4,510 4,018 3,699 3,473 3,305 3,173 
40 7,314 5,178 4,313 3,818 3,514 3,291 3,124 2,993 
50 7,171 5,057 4,199 3,720 3,408 3,186 3,020 2,890 
60 7,077 4,977 4,126 3,649 3,339 3,119 2,953 2,823 
70 7,011 4,922 4,074 3,600 3,291 3,071 2,906 2,777 
80 6,963 4,881 4,036 3,563 3,255 3,036 2,871 2,742 
90 6,925 4,849 4,007 3,535 3,228 3,009 2,845 2,715 
100 6,895 4,824 3,984 3,513 3,206 2,988 2,823 2,694 
200 6,763 4,713 3,881 3,414 3,110 2,893 2,730 2,601 
500 6,686 4,648 3,821 3,357 3,054 2,838 2,675 2,547 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
270 
 
 
Tabla de valores críticos de la distribución F de Fisher (α= , 1 continuación 
 
 
gl 9 10 15 20 40 50 100 
1 6022,397 6055,925 6156,974 6208,662 6286,427 6302,260 6333,925 
2 99,397 99,397 99,433 99,448 99,477 99,477 99,491 
3 27,345 27,228 26,872 26,690 26,411 26,354 26,241 
4 14,659 14,546 14,198 14,019 13,745 13,690 13,577 
5 10,158 10,051 9,722 9,553 9,291 9,238 9,130 
6 7,976 7,874 7,559 7,396 7,143 7,091 6,987 
7 6,719 6,620 6,314 6,155 5,908 5,858 5,755 
8 5,911 5,814 5,515 5,359 5,116 5,065 4,963 
9 5,351 5,257 4,962 4,808 4,567 4,517 4,415 
10 4,942 4,849 4,558 4,405 4,165 4,115 4,014 
11 4,632 4,539 4,251 4,099 3,860 3,810 3,708 
12 4,388 4,296 4,010 3,858 3,619 3,569 3,467 
13 4,191 4,100 3,815 3,665 3,425 3,375 3,272 
14 4,030 3,939 3,656 3,505 3,256 3,215 3,112 
15 3,895 3,805 3,522 3,372 3,132 3,081 2,977 
16 3,780 3,691 3,409 3,259 3,018 2,967 2,863 
17 3,682 3,593 3,312 3,162 2,920 2,869 2,764 
18 3,597 3,508 3,227 3,077 2,835 2,784 2,678 
19 3,523 3,434 3,153 3,003 2,761 2,709 2,602 
20 3,457 3,368 3,088 2,938 2,695 2,643 2,535 
21 3,398 3,310 3,030 2,880 2,636 2,584 2,476 
22 3,346 3,258 2,978 2,827 2,583 2,531 2,422 
23 3,299 3,211 2,931 2,780 2,536 2,483 2,373 
24 3,256 3.168 2,889 2,738 2,492 2,440 2,329 
25 3,217 3,129 2,850 2,699 2,453 2,400 2,289 
26 3,182 3,094 2,815 2,664 2,417 2,364 2,252 
27 3,149 3,062 2,783 2,632 2,384 2,330 2,218 
28 3,120 3,032 2,753 2,602 2,354 2,300 2,187 
29 3,092 3,005 2,726 2,574 2,325 2,271 2,158 
30 3,067 2,979 2,700 2,549 2,299 2,245 2,131 
40 2,888 2,801 2,522 2,369 2,114 2,058 1,938 
50 2,785 2,698 2,419 2,265 2,007 1,949 1,825 
60 2,718 2,632 2,352 2,198 1,936 1,877 1,749 
70 2,672 2,585 2,306 2,150 1,886 1,826 1,695 
80 2,637 2,551 2,271 2,115 1,849 1,788 1,655 
90 2,611 2,524 2,244 2,088 1.820 1,759 1.623 
100 2,590 2,503 2,223 2,067 1,797 1,735 1,598 
200 2,497 2,411 2,129 1,971 1,694 1,629 1,481 
500 2,443 2,356 2,075 1,915 1,633 1,566 1,408 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
271 
 
 
ANEXO 7 
Tabla de valores críticos para la prueba de homogeneidad de 
varianzas de Cochran (α= , 5 
 
 
 N° de grupos 
gl 2 3 4 5 6 7 
1 0,9985 0,9969 0,9065 0,8412 0,7808 0,7271 
2 0,9750 0,8709 0,7679 0,6838 0,6161 0,5612 
3 0,9392 0,7977 0,6841 0,5981 0,5321 0,4800 
4 0,9057 0,7457 0,6278 0,5441 0,4803 0,4307 
5 0,8772 0,7071 0,4447 0,5895 0,5065 0,3974 
6 0,8534 0,6771 0,5598 0,4783 0,4184 0,3726 
7 0,8332 0,6530 0,5365 0,4564 0,3980 0,3535 
8 0,8159 0,6333 0,5175 0,4387 0,3817 0,3384 
9 0,8010 0,6167 0,5017 0,4241 0,3682 0,3259 
16 0,7341 0,5466 0,4366 0,3645 0,3135 0,2756 
36 0,6602 0,4748 0,3720 0,3066 0,2612 0,2278 
144 0,5813 0,4031 0,3093 0,2513 0,2119 0,1833 
 
 
 
 N° de grupos 
gl 8 9 10 15 20 
1 0,6798 0,6385 0,6020 0,4709 0,3894 
2 0,5157 0,4775 0,4450 0,3346 0,2705 
3 0,4377 0,4027 0,3733 0,2758 0,22054 0,3910 0,3584 0,3311 0,2419 0,1921 
5 0,3595 0,3286 0,3029 0,2195 0,1735 
6 0,3362 0,3067 0,2823 0,2034 0,1602 
7 0,3185 0,2901 0,2666 0,1911 0,1501 
8 0,3043 0,2768 0,2541 0,1815 0,1422 
9 0,2926 0,2659 0,2439 0,1736 0,1357 
16 0,2462 0,2226 0,2032 0,1429 0,1108 
36 0,2022 0,1820 0,1655 0,1144 0,0879 
144 0,1616 0,1446 0,1308 0,0889 0,0675 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
272 
 
 
ANEXO 8 
Tabla de valores críticos de la distribución X2 
 
 
gl 0,05 0,025 0,01 gl 0,05 0,025 0,01 
1 3,841 5,023 6,635 27 40,113 43,194 46,962 
2 5,991 7,377 9,210 28 41,337 44,460 48,278 
3 7,815 9,348 11,345 29 42,557 45,772 49,587 
4 9,488 11,143 13,277 30 43,773 46,979 50,892 
5 10,070 12,832 15,086 31 44,985 48,231 52,191 
6 12,591 14,449 16,811 32 46,194 49,480 53,485 
7 14,067 16,012 18,475 33 47,399 50,725 54,775 
8 15,507 17,534 20,090 34 48,602 51,966 56,060 
9 16,919 19,022 21,666 35 49,801 53,203 57,342 
10 18,307 20,483 23,209 36 50,998 54,437 58,619 
11 19,675 21,920 24,725 37 52,192 55,668 58,892 
12 21,026 23,336 26,217 38 53,383 56,895 61,162 
13 22,362 24,735 27,688 39 54,572 58,120 62,428 
14 23,684 26,118 29,141 40 55,758 59,341 63,690 
15 24,995 27,488 30,577 45 61,656 65,410 69,956 
16 26,296 28,845 31,999 50 67,504 71,420 76,153 
17 27,587 30,191 33,408 55 73,311 77,380 82,292 
18 28,869 31,526 34,805 60 79,082 83,297 88,374 
19 30,143 32,852 36,190 70 90,531 95,023 100,425 
20 31,410 34,169 37,566 80 101,879 106,628 112,328 
21 32,670 35,478 38,932 90 113,145 118,135 124,116 
22 33,924 36,780 40,289 100 124,342 129,561 135,806 
23 35,172 38,075 41,638 140 168,613 174,647 181,840 
24 36,415 39,364 42,979 200 233,994 241,057 249,445 
25 37,652 40,646 44,314 300 341,395 349,874 359,906 
26 38,885 41,923 45,641 500 553,126 563,851 576,493 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
273 
 
 
ANEXO 9 
Tabla de valores críticos para la prueba Q (Tukey-Snedecor α= , 5 
 
 
gl 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 17,97 26,98 32,82 37,08 40,41 43,12 45,40 47,36 
2 6,08 8,28 9,80 10,89 11,73 12,43 13,03 13,54 
3 4,50 5,91 6,83 7,51 8,04 8,47 8,85 9,18 
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,70 7,06 7,35 7,60 
5 3,64 4,60 5,22 5,67 5,93 6,38 6,58 6,80 
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,89 6,12 6,32 
7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,35 5,59 5,82 5,99 
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 
10 3,15 3,88 4,33 4,66 4,91 5,12 5,30 5,46 
11 3,11 3,82 4,26 4,58 4,82 5,03 5,20 5,35 
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 
13 3,06 3,73 4,15 4,46 4,69 4,88 5,05 5,19 
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 
16 3,00 3,65 4,05 4,34 4,56 4,74 4,90 5,03 
17 2,98 3,62 4,02 4,31 4,52 4,70 4,86 4,99 
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,83 4,96 
19 2,96 3,59 3,98 4,26 4,47 4,64 4,79 4,92 
20 2,95 3,58 3,96 4,24 4,45 4,62 4,77 4,90 
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 
30 2,89 3,48 3,84 4,11 4,30 4,46 4,60 4,72 
40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 
60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 
120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 
∞ 2,77 3,32 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
274 
 
 
ANEXO 10 
Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson 
 
 
n 0,05 0,01 n 0,05 0,01 
1 - - 24 0,404 0,515 
2 - - 25 0,396 0,505 
3 0,997 1,000 26 0,388 0,496 
4 0,950 0,990 27 0,381 0,487 
5 0,878 0,959 28 0,374 0,479 
6 0,811 0,917 29 0,367 0,479 
7 0,755 0,874 30 0,361 0,463 
8 0,707 0,834 32 0,349 0,449 
9 0,666 0,798 34 0,339 0,436 
10 0,632 0,765 36 0,329 0,424 
11 0,602 0,735 38 0,320 0,413 
12 0,576 0,708 40 0,312 0,402 
13 0,553 0,684 42 0,304 0,393 
14 0,532 0,661 44 0,297 0,384 
15 0,514 0,641 46 0,291 0,376 
16 0,497 0,623 48 0,285 0,368 
17 0,482 0,606 50 0,279 0,361 
18 0,468 0,590 60 0,254 0,330 
19 0,456 0,575 70 0,235 0,305 
20 0,444 0,561 80 0,220 0,386 
21 0,433 0,549 90 0,207 0,270 
22 0,423 0,537 100 0,197 0,256 
23 0,413 0,526 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
275 
 
 
ANEXO 11 
Tabla de valores críticos de la prueba U de Mann-Whitney 
 
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 
1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2 - - - - - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3 - - - - 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 
 - - - - - - - - 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 
4 - - - 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 
 - - - - - 0 0 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 7 
5 - - 0 1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 
 - - - - 0 1 2 3 3 4 5 6 7 7 8 9 10 11 12 
6 - - 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 
 - - - 0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 15 16 17 
7 - - 1 3 5 6 8 10 12 14 16 18 29 22 24 26 28 30 32 
 - - - 0 2 3 4 6 7 9 10 12 13 15 16 18 19 21 22 
8 - 0 2 4 6 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 
 - - - 1 3 4 6 8 9 11 13 15 17 18 20 22 24 26 28 
9 - 0 2 4 7 19 12 14 16 18 23 26 28 31 34 37 39 42 45 
 - - 0 1 3 5 7 9 11 13 16 18 20 22 24 27 29 31 33 
10 - 0 3 5 8 11 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 
 - - 0 2 4 5 9 11 13 16 18 21 24 26 29 31 34 37 39 
11 - 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 
 - - 0 2 5 7 10 13 16 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 
12 - 0 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 
 - - 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 31 34 37 41 44 47 51 
13 - 0 4 8 12 15 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 
 - - 1 3 7 10 13 17 20 24 27 31 34 38 42 45 49 53 57 
14 - 0 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 
 - - 1 4 7 11 15 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 63 
15 - 0 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 
 - - 2 5 8 12 16 20 24 29 33 37 42 46 51 55 60 64 69 
16 - 0 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 
 - - 2 5 9 13 18 22 27 31 46 41 45 50 55 60 65 70 74 
17 - 0 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 
 - - 2 6 10 15 19 24 29 34 39 44 49 54 60 65 70 75 81 
18 - 0 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 
 - - 2 6 11 16 21 26 31 37 42 47 53 58 64 70 75 81 87 
19 - 0 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 
 - - 3 7 12 17 22 28 33 39 45 51 57 63 69 74 81 87 93 
Los valores de la ° línea para cada n corresponde a un α=0,05 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
276 
Los valores de la 2° línea para cada n corresponde a un α=0,0 
 
ANEXO 12 
Tabla de valores críticos de la prueba de rangos de Wilcoxon 
 
 
n 0,05 0,01 
1 - - 
2 - - 
3 - - 
4 - - 
5 - - 
6 1 - 
7 2 - 
8 4 0 
9 6 2 
10 8 3 
11 11 5 
12 14 7 
13 17 10 
14 21 13 
15 25 16 
16 30 19 
17 35 23 
18 40 28 
19 46 32 
20 52 37 
21 59 43 
22 66 49 
23 73 55 
24 81 61 
25 90 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
277 
 
 
ANEXO 13 
Tabla de valores críticos de la prueba de varianza unifactorial de Kruskal-Wallis 
 
 
n1 n2 n3 n4 n5 0,05 0,01 n1 n2 n3 n4 n5 0,05 0,01 
2 1 1 - - 6 4 1 4,95 7,11 
2 2 1 - - 6 4 2 5,34 7,34 
2 2 2 - - 6 4 3 5,61 7,50 
3 1 1 - - 6 4 4 5,69 7,80 
3 2 1 - - 6 5 1 4,99 7,18 
3 2 2 4,71 - 6 5 4 5,66 7,94 
3 3 2 5,14 - 6 5 5 5,73 8,03 
3 3 3 5,36 - 6 6 1 4,95 7,12 
4 1 1 - - 6 6 2 5,41 7,47 
4 2 1 - - 6 6 3 5,63 7,73 
4 2 2 5,33 - 6 6 4 5,72 8,00 
4 3 1 5,21 - 6 6 5 5,77 8,12 
4 3 2 5,44 6,44 6 6 6 5,80 8,22 
4 3 3 5,73 6,75 7 7 7 5,82 8,38 
4 4 1 4,96 6,67 8 8 8 5,81 8,47 
4 4 2 5,45 7,04 2 1 1 1 - - 
4 4 3 5,59 7,14 2 2 1 1 - - 
4 4 4 5,697,65 2 2 2 1 5,68 - 
5 1 1 - - 2 2 2 2 6,17 6,67 
5 2 1 5,00 - 3 1 1 1 - - 
5 2 2 5,16 6,53 3 2 1 1 - - 
5 3 1 4,96 - 3 2 2 1 5,83 - 
5 3 2 5,25 6,91 3 2 2 2 5,33 7,13 
5 3 3 5,65 7,08 3 3 1 1 6,33 - 
5 4 1 4,99 6,96 3 3 2 1 6,24 7,20 
5 4 2 5,27 7,21 3 3 2 2 6,53 7,67 
5 4 3 5,63 7,45 3 3 3 1 6,60 7,40 
5 4 4 5,62 7,76 3 3 3 2 6,73 8,11 
5 5 1 5,13 7,31 3 3 3 3 7,00 8,54 
5 5 2 5,34 7,39 4 1 1 1 - - 
5 5 3 5,71 7,58 4 2 1 1 5,83 - 
5 5 4 5,64 7,82 4 2 2 1 6,13 7,00 
5 5 5 5,78 8,00 4 2 2 2 6,55 7,39 
6 1 1 - - 4 3 1 1 6,18 7,07 
6 2 1 4,82 - 4 3 2 1 6,31 7,46 
6 2 2 5,35 6,98 4 3 2 2 6,62 7,87 
6 3 1 4,86 - 4 3 3 1 6,55 7,76 
6 3 2 5,35 6,97 4 3 3 2 6,80 8,33 
6 3 3 5,62 7,41 4 3 3 3 6,98 8,66 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
278 
 
 
Tabla de valores críticos de la prueba de varianza de Kruskal-Wallis (continuación) 
 
 
n1 n2 n3 n4 n5 0,05 0,01 n1 n2 n3 n4 n5 0,05 0,01 
4 4 1 1 5,95 7,91 3 1 1 1 1 - - 
4 4 2 1 6,39 7,89 3 2 1 1 1 6,58 - 
4 4 2 2 6,73 8,35 3 2 2 1 1 6,80 7,60 
4 4 3 1 6,64 8,23 3 2 2 2 1 7,31 8,13 
4 4 3 2 6,87 8,62 3 2 2 2 2 7,68 8,68 
4 4 3 3 7,04 8,88 3 3 1 1 1 7,11 - 
4 4 4 1 6,73 8,59 3 3 2 1 1 7,20 8,07 
4 4 4 2 6,96 8,87 3 3 2 2 1 7,59 8,58 
4 4 4 3 7,14 9,08 3 3 2 2 2 7,91 9,12 
4 4 4 4 7,24 9,29 3 3 3 1 1 7,58 8,42 
2 1 1 1 1 - - 3 3 3 2 1 7,76 9,05 
2 2 1 1 1 - - 3 3 3 2 2 8,04 9,51 
2 2 2 1 1 6,75 - 3 3 3 3 1 8,00 9,45 
2 2 2 2 1 7,13 7,53 3 3 3 3 2 8,20 9,88 
2 2 2 2 2 7,42 8,29 3 3 3 3 3 8,33 10,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 
________________________________________________________________________ 
 
279 
 
 
ANEXO 14 
Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman 
 
n 0,05 0,01 n 0,05 0,01 
1 - - 29 0,368 0,475 
2 - - 30 0,362 0,467 
3 - - 31 0,356 0,459 
4 - - 32 0,350 0,452 
5 1,000 - 33 0,345 0,446 
6 0,886 1,000 34 0,340 0,39 
7 0,786 0,929 35 0,335 0,435 
8 0,738 0,881 36 0,330 0,427 
9 0,700 0,833 37 0,325 0,421 
10 0,648 0,794 38 0,321 0,415 
11 0,618 0,755 39 0,317 0,410 
12 0,587 0,727 40 0,313 0,405 
13 0,560 0,703 41 0,309 0,400 
14 0,538 0,679 42 0,305 0,395 
15 0,521 0,654 43 0,301 0,391 
16 0,503 0,635 44 0,298 0,386 
17 0,488 0,618 45 0,294 0,382 
18 0,472 0,600 46 0,291 0,378 
19 0,460 0,584 47 0,288 0,374 
20 0,447 0,570 48 0,285 0,370 
21 0,435 0,556 49 0,282 0,366 
22 0,425 0,544 50 0,279 0,363 
23 0,415 0,532 60 0,255 0,351 
24 0,406 0,521 70 0,235 0,307 
25 0,398 0,511 80 0,220 0,287 
26 0,390 0,501 90 0,207 0,271 
27 0,382 0,492 100 0,197 0,257 
28 0,375 0,483 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
280