Física - Livro 1-065-068

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CAPÍTULO Análise gráca
A relação entre duas variáveis pode ser representada por um gráco, em que
cada ponto é associado a dois números (suas coordenadas). Por meio de um gráco,
podem ser representados matematicamente diferentes fenômenos do dia a dia para
que estes sejam analisados. O eletrocardiograma, por exemplo, é um registro gráco
de fenômenos elétricos gerados durante a atividade cardíaca em um intervalo de
tempo. Um tacógrafo registra gracamente a velocidade e o tempo de uso de um
veículo, bem como a distância percorrida por ele. As utuações da crosta terrestre
podem ser medidas e representadas gracamente por um sismógrafo.
FRENTE 1
P
a
v
e
 P
o
lk
o
v
n
ik
o
v
/S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
.c
o
m
FÍSICA Capítulo 4 Análise gráfica66
Introdução
Passaremos a uma breve revisão de conceitos impor-
tantes para o desenvolvimento deste capítulo.
Trigonometria
Seja um triângulo retângulo ABC:
a
b
c
θ
A
C
B
Fig. 1 Triângulo retângulo.
Em relação ao ângulo q, temos:
q ⇒ q
q ⇒ q
q ⇒ q
sen =
cateto oposto
hipotenusa
sen =
b
a
cos =
cateto adjacente
hipotenusa
cos =
c
a
 tg =
cateto oposto
cateto adjacente
tg =
b
c
Para 0 < q < 90°:
sen q > 0 cos q > 0 tg q > 0
Para 90° < q < 180°:
sen q > 0 cos q < 0 tg q < 0
Função do primeiro grau
A representação da função do primeiro grau y = ax + b
no plano cartesiano é:
y
x
y2
x2
y1
0
b
θ
θ
x1
x2 – x1
y2 – y1
P1
P2
Fig. 2 Função do primeiro grau.
em que:
a – coeficiente angular da reta
b – coeficiente linear da reta
Quando x = 0, temos y = a · 0 + b = b
Logo, a reta corta o eixo y no ponto (0; b).
Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na
equação da reta, temos:
⇒
⇒




⇒
P (x ; y ) y = ax + b
P (x ; y ) y = ax + b
y – y = a(x – x )
a =
y – y
x – x
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 1 2 1
2 1
2 1
Assim:
a = tg
N
q
ou seja, o coeficiente angular a é numericamente igual à
tangente trigonométrica do ângulo entre a reta e o eixo x.
Gráficos de espaço, velocidade e
aceleração
Se uma partícula percorre uma trajetória, a descrição de
seu movimento pode ser feita pelo estudo de como variam
suas grandezas em função do tempo.
Já estudamos que, se conhecermos o espaço como
função do tempo, podemos determinar velocidade e
aceleração também como função do tempo.
Há várias maneiras de representarmos essas funções.
No caso de um movimento uniforme, temos, por exemplo:
a. Equação
 A equação s = -6 + 4t (SI) é a expressão de um movi-
mento uniforme.
b. Tabela
 Esse mesmo movimento pode ser descrito pela se-
guinte tabela.
s(m) –6 –2 2 6
t(s) 0 1 2 3
c. Gráfico
 A partir da equação s = -6 + 4t, podemos construir um
gráfico s × t:
0 1 2 3 t (s)
s (m)
–2
–4
–6
6
4
2
Fig. 3 Gráfico de s = –6 + 4t.
As três formas nos dão, para cada instante t, o espaço
s ocupado pelo móvel.
vAtenção
Veja que, apesar de o gráfico s × t ser uma reta,
não se pode afirmar nada sobre a trajetória, que pode
ser circular, elíptica ou até uma reta. Sabemos apenas,
nesse caso, que o móvel percorre espaços iguais para
tempos iguais.
F
R
E
N
T
E
 1
67
Velocidade escalar média
Para determinarmos graficamente a velocidade escalar
média, vamos tomar um gráfico s × t qualquer. Não estamos
aqui especificando qualquer movimento.
s
t
s
2
s
1
t
1
P
1
P
2
t
2
t
2
t
1
s
2
s
1
0
θ
θ
O
–
–
Fig. 4 Determinação da velocidade escalar média.
Sobre o gráfico:
y P1 é o ponto em que s1 é o espaço para o instante t1.
y P2 é o ponto em que s2 é o espaço para o instante t2.
Podemos observar que o triângulo OP1P2 é retângulo
em O.
Da trigonometria:
tg =
s s
t t
2 1
2 1
q
N -
-
em que q é o ângulo formado entre a reta secante ao grá-
fico que passa pelos pontos P1 e P2 e o eixo t.
Mas: D Ds = s s e t = t t
2 1 2 1
- -
Como:
D
D
v =
s
t
 =
s – s
t – t
m
2 1
2 1
Então:
v = tgm
N
q
Isso significa que, para calcular graficamente a ve-
locidade escalar média entre dois instantes t1 e t2 de um
movimento qualquer, basta determinarmos o valor da tan-
gente trigonométrica do ângulo formado entre a reta que
passa pelos pontos do gráfico s × t correspondentes a t1 e
t2 (P1 e P2) e o eixo t.
Ou ainda, como tg q é numericamente igual ao coe-
ficiente angular da reta P1P2, a velocidade escalar média
entre t1 e t2 é o coeficiente angular de P1P2.
Velocidade escalar instantânea
Se quisermos calcular a velocidade escalar instantânea
em t1, vamos nos valer da definição:
D
DD →
v = lim
s
tt 0
Isso significa que, para calcular a velocidade escalar
instantânea, basta calcularmos a velocidade escalar média
entre dois instantes muito próximos.
Se Dt tender a zero, t2 tende a t1, aproximando-se deste.
À medida que t2 se aproxima de t1, P2 se aproxima de P1, e
a reta que passa pelos dois pontos, de secante ao gráfico,
tende a ser tangente ao gráfico no ponto P1.
s
tt1
P1 P2’’’
t2’’’ t2’’ t2’ t20
θ
secante
tende à
tangente
t2 tende a t1
P2 tende a P1
P2’
P2
Fig. 5 Determinação da velocidade escalar instantânea.
Se, para dois instantes t1 e t2, a vm é numericamente
igual ao coeficiente angular da reta secante, P1P2, à medida
que Dt tende a zero, a velocidade escalar média tende ao
valor da velocidade escalar instantânea.
Logo:
v = tg
N
q
ou seja, a velocidade escalar instantânea em t1 é numerica-
mente igual ao coeficiente angular da tangente geométrica
ao gráfico no ponto P1.
No caso do MU, a tangente ao gráfico s × t será a
mesma para qualquer ponto e coincidirá com o próprio
gráfico. Assim, no MU, a velocidade escalar instantânea
será constante e igual ao coeficiente angular da reta s × t.
Esse resultado já era conhecido, pois, no MU:
s = s0 + v · t, com v constante.
Aceleração escalar média
Analogamente ao caso da velocidade escalar média,
em um gráfico v × t qualquer:
P
1
v
1
v
2
t
1
t
2
P
2
v
t0
θ
O
θ
v
2
– v
1
t
2
– t
1
Fig. 6 Determinação da aceleração escalar média.
teremos:
a = tgm
N
q
Isso significa que, para calcular graficamente a ace-
leração escalar média entre dois instantes t1 e t2 de um
movimento qualquer, basta determinarmos o valor da tan-
gente trigonométrica do ângulo formado entre a reta que
passa pelos pontos do gráfico v × t correspondentes a t1 e
t2 (P1 e P2) e o eixo t.
FÍSICA Capítulo 4 Análise gráfica68
Ou ainda, como tg q é numericamente igual ao coe-
ficiente angular da reta P1P2, a aceleração escalar média
entre t1 e t2 é o coeficiente angular de P1P2.
Aceleração escalar instantânea
Analogamente ao caso da velocidade escalar instan-
tânea, em um gráfico v × t qualquer:
P
1
t
1
v
t
θ
0
Fig. 7 Determinação da aceleração escalar instantânea.
teremos:
a = tg
N
q
ou seja, a aceleração escalar instantânea em t1 é numerica-
mente igual ao coeficiente angular da tangente geométrica
ao gráfico no ponto P1.
No caso do MUV, a tangente ao gráfico v × t será a
mesma para qualquer ponto e coincidirá com o próprio
gráfico. Assim, no MUV, a aceleração escalar instantânea
será constante e igual ao coeficiente angular da reta v × t.
Esse resultado já era conhecido, pois, no MUV: v =
= v0 + a · t, com a constante.
Dessa forma, observamos que, a partir de um gráfico
s × t, podemos obter o valor da velocidade escalar instan-
tânea para qualquer t; portanto, o gráfico v × t.
A partir do gráfico v × t, podemos obter o valor da
aceleração escalar instantânea para qualquer t; portanto,
o gráfico a × t.
Variação do espaço
Para calcular, a partir de um gráfico v × t, o valor da va-
riação do espaço entre dois instantes t1 e t2, vamos utilizar
como exemplo o movimento uniforme.
No MU, a velocidade escalar instantânea é constante
e igual à velocidade escalar média:
D
D
v = v =
s
t
m
Graficamente:
A
v
v
tt1 t2
0
Fig. 8 Variação de espaço no MU.
O retângulo colorido tem área dada por:
área do retângulo = base × altura
Logo:
A = v · (t2 - t1)
Como Dt = t – t ,
2 1
 então DA = v · t
Mas:
D
D
⇒ D Dv =
s
t
s = v · t
Então:
Ds = A
N
ou seja, a variação de espaço entre dois instantesquaisquer
t1 e t2 é numericamente igual à área limitada pelo gráfico
v × t, pelo eixo t e pelas perpendiculares ao eixo t que
passam por t1 e t2.
Apesar de termos provado essa propriedade para o grá-
fico v× t de um movimento uniforme, ela é válida para o gráfico
v × t de qualquer movimento.
v
A
tt1 t2
0
Fig. 9 Variação de espaço em um movimento qualquer.
Observação: A demonstração dessa propriedade para v × t qualquer utiliza
recursos matemáticos ainda não estudados.
Portanto, teremos sempre para um gráfico v × t:
Ds = A
N
Variação da velocidade escalar
Analogamente ao que fizemos para o cálculo da variação
do espaço, se agora tomarmos o gráfico a × t de um movi-
mento uniformemente variado, em que a aceleração escalar
instantânea é constante e igual à aceleração escalar média:
D
D
a = a =
v
t
m
teremos:
tt1 t2
0
A
a
a
Fig. 10 Variação de velocidade no MUV.