Matemática - Livro 1-016-018

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MATEMÁTICA Capítulo 1 Teoria elementar dos conjuntos16
A quantidade de candidatos que participaram do con-
curso foi
A 44
 46
C 47
D 48
E 49
27 UEM 2017 Considerando os conjuntos:
A = {x ∈ ¥ | x ≠ 5 e x ≠ 8}; 
B = {x ∈ ¢ |x ≥ 4 ou x < 0},
é correto armar que:
01 A∪B = {x ∈ ¢ | x ≥ 4, x ≠ 5, x ≠ 8 e x < 0}.
02 A ∩ B = A.
04 N − A = A {5, 8}.
08 ¢   B = {0, 1, 2, 3, 4}.
16 B − A = {5, 8}
Soma:JJ
28 Dados os subconjuntos de R calcule (faça o gráfico):
A = {x ∈R | 2 ≤ x < 3};
B = {x ∈R | 1 ≤ x < 4};
C = {x ∈R | x < 0}
Calcule e faça o gráco de:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) (A ∩ C) ∩ B
29 Represente o conjunto B × A, em que A = {1; 2; 3} e
B = [1; 2].
30 FGV Em R × R, sejam (2m + n; m - 4) e (m + 1; 2n) dois
pares ordenados iguais. Então, m
n
 é igual a:
A 2
 0
C
1
2
D 1
E 2
31 Represente na reta numerada os seguintes subcon-
juntos de R.
a) A x x= ∈ >
-{ }R | 32
b) B = {x ∈R | 2 < x < 5}
32 Dados os conjuntos A x x= ∈ ≤ ≤{ | }, 1 10
B x x= ∈ < ≤{ | } 4 10 e C x x= ∈ ≤{ | }, 5 verifique
as seguintes afirmações
I. O conjunto (A ∪ B) possui infinitos elementos.
II O conjunto CCA possui infinitos elementos
III. O conjunto (B ∩ C) não possui elementos.
Marque a alternativa correta.
A Apenas a afirmação I está correta.
 Apenas a afirmação II está correta.
C Apenas a afirmação III está correta.
D Apenas as afirmações I e II estão corretas.
E Todas as afirmações estão corretas.
33 Ufes As marcas de cerveja mais consumidas em um bar,
num certo dia, foram A, B e C. Os garçons constataram
que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir.
Produto Número de consumidores
A 150
B 120
C 80
A e B 60
A e C 40
B e C 20
A, B e C 15
Outras 70
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e C, quantos be-
beram apenas duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a cerveja C?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca C?
34 Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcio-
nais fabricadas pela Nascebem S.A foi enviada para a
fiscalização sanitária
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 re-
provadas por conterem pílulas de farinha No teste
de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprova-
das, por conterem um número menor de pílulas que
o especificado.
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas fo
ram reprovadas em ambos os testes. Determine:
a) quantas caixas foram aprovadas nos dois testes?
b) quantas caixas foram aprovadas em um único
teste?
c) quantas caixas aprovadas em pelo menos um
teste?
35 Mackenzie 2018 Em uma pesquisa com 120 pessoas, ve-
rificou se que
65 assistem ao noticiário A
45 assistem ao noticiário B
42 assistem ao noticiário C
20 assistem ao noticiário A e ao noticiário B
25 assistem ao noticiário A e ao noticiário C
15 assistem ao noticiário B e ao noticiário C
8 assistem aos três noticiários
Então o número de pessoas que assistem somente a
um noticiário é
A 7  8 C 14 D 28 E 56
36 UEL 2018 Um estudante fez uma pesquisa com um
grupo de universitários para obter um panorama a res-
peito da utilização de três redes sociais. Ao computar
as informações fornecidas pelas pessoas entrevista-
das, constatou que:
• 55 utilizam Snapchat, Instagram e Facebook;
• 70 utilizam Snapchat e Facebook;
• 105 utilizam Snapchat e Instagram;
• 160 utilizam Instagram e Facebook;
• 180 utilizam Snapchat;
F
R
E
N
T
E
 1
17
• 225 utilizam Instagram;
• 340 utilizam Facebook;
• 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais
da pesquisa.
A partir dessas informações, quantas pessoas foram
entrevistadas?
Justique sua resposta, apresentando os cálculos rea-
lizados na resolução desta questão.
37 Uerj 2017 Crianças de uma escola participaram de uma
campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o
sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das
crianças receberam a vacina contra a paralisia, 90%
receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não rece-
beram nem uma, nem outra.
Determine o percentual de crianças dessa escola que
receberam as duas vacinas.
38 ITA Sejam A, B e C subconjuntos de R, não vazios, e
A - B = {ρ∈R; ρ∈ A e p∉ B}.
Dadas as igualdades:
1. (A B) x C = (A x C) (B x C)
2 (A B) x C = (A x B) (B x C)
3. (A ∩ B) A ≠ (B ∩ A) B
4. A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)
5. (A B) ∩ (B C) = (A C) ∩ (A B)
Podemos garantir que:
A 2 e 4 são verdadeiras.
b 1 e 5 são verdadeiras.
C 3 e 4 são verdadeiras.
d 1 e 4 são verdadeiras
E 1 e 3 são verdadeiras.
39 UFRN Se A, B e C são conjuntos tais que:
n(A (B ∪ C)) = 15
n(B (A ∪ C)) = 20
n(C (A ∪ B)) = 35
n(A ∪ B ∪ C) = 120
determine o número de elementos do conjunto
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Teoria dos conjuntos
O raciocínio lógico é formado por sentenças que afirmam fatos. Esses
fatos podem ser verdadeiros ou falsos (V ou F)
Para formarmos novas sentenças, temos de utilizar operadores lógicos
e regras de sintaxe.
Observe a lista dos operadores lógicos e os seus respectivos símbolos:
a e ∧
b ou (no sentido inclusivo) ∨
c. não ................................................................................ ~
d. Se ........... então (implicação) ...................................... →
e. Se e somente se (bi-implicação) ................................. ↔
f. Para algum (existe) ....................................................... ∃
g. Para todo ...................................................................... ∀
O papel da teoria dos conjuntos é representar essas ideias. Leia alguns
exemplos:
1. Considere o conjunto A = {x | x possui a propriedade p}. Para aqueles
elementos que não possuem a propriedade p, ou seja, que negam esse
fato, temos o seguinte conjunto: B= {x | x não possui a propriedade p}.
y Esse conjunto B é o complementar de A, ou seja, (B = A).
2. Sejam A e B conjuntos, tais que A⊂ B, ou seja, todos os elementos
de A também são elementos de B. Podemos entender que todo
elemento que possui a propriedade de A também tem a propriedade
de B. Simbolicamente: se x ∈A, então x ∈B ou x possui a proprie
dade de A→ x possui a propriedade de B.
y A ⊂ B significa então que: se x é um elemento que possui a pro-
priedade A, então x é um elemento que possui a propriedade B.
y Ter a propriedade de A acarreta ter a propriedade de B.
y Ter a propriedade de A é condição suficiente para ter a proprie
dade de B.
y Ter a propriedade de B é condição necessária para quem tem a
propriedade de A.
y (propriedade de A) ⊂ (propriedade de B).
3 Os conjuntos A e B são iguais quando A ⊂ B e B ⊂ A Utilizando a
ideia do item 2, temos que possuir a propriedade de A é condição
necessária e suficiente para ter a propriedade de B.
y x possui a propriedade de A↔ x possui a propriedade de B.
Noções de lógica matemática
Entenda-se raciocínio como uma modalidade especial do ato de pensar,
ou seja, de obter conclusões.
Chamamos de proposição toda oração afirmativa que pode ser classi
ficada como verdadeira ou falsa. As proposições são constituídas da
seguinte maneira:
1
a
) A oração possui sujeito e predicado.
2
a
) São afirmativas.
3
a
) Princípio do terceiro excluído: toda proposição possui um dos dois
valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F) excluindo qualquer outra
possibilidade. As proposições podem ser classificadas como simples
ou compostas.
São exemplos de proposições simples:
a. 2 é um número par.
b 5 > 2
c. o retângulo é um quadrado.
d a Lua é maior que a Terra
As proposições compostas podem ser construídas a partir do uso de
conectivos.
Negação
˜
não
Disjunção ∨ ou
Conjunção ∧ e
Condicional → se ... então
Bicondicional ↔ se e somente se
Textos complementares
MATEMÁTICA Capítulo 1 Teoria elementar dos conjuntos18
São exemplos de proposições compostas:
a Kant nasceu em 1724 e Newton morreu em 1727
b. Maria toca piano ou Pedro toma banho.
c. José é eleitor se, e somente se, vota.
d. Se João é paulista, então é brasileiro.
Sabemos que as proposições assumem valores V ou F Devemos ter
um critério para associaresses valores às proposições simples e com-
postas Por meio das chamadas tabelas verdades, organizamos esses
procedimentos.
Observe as seguintes tabelas-verdades:
p q
V F
F V
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Dizemos que duas proposições são equivalentes quando possuem as
tabelas-verdades iguais.
Exemplos:
a. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Vamos construir as duas tabelas-verdades e comparar.
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
F V V V F F F F
V F F F F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
 
colunas iguais
b Construir a tabela-verdade da proposição [~(p → q)] ∨ q
p q p→ q ~(p→ q) [~(p→ q)] ∨ q
V V V F V
V F F V V
F V V F V
F F V F F
c.  ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
p q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ~q ~p ∧ ~q
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
colunas iguais
Atividades
1 Sejam p, q e r três proposições, tais que p é verdadeira, q é falsa
e r é verdadeira. Considere as proposições compostas a seguir
e indique o valor verdade de cada uma delas.
a) p → q
b) q → r
c) (p ∨ ~r) ∨ q
d) (p ↔ r) ↔ ~q
e) p → (q → p)
2 Sejam p e q duas proposições, a negação de p ∧ q equivale a:
A ~p ∨ ~q
 ~p ∧ ~q
C ~p ∨ q
 ~p ∧ q
E p ∧ ~q
3 A negação da proposição X ∈(A ∪ B) é:
A X ∉(A ∩ B)
 X ∉A ou X ∉B
C X ∉A e X ∈B
 X ∈A ou X ∉ B
E X ∉A e X ∉B
4 Construa a tabela-verdade das seguintes proposições.
a) ~(p ∨ q) ∧ r
b) (p ∧ q) → r
c) (~p ∨ q) → r
Resumindo
A teoria dos conjuntos possui como conceitos primitivos a noção de conjunto, elemento e relação de pertinência.
A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A → x ∈ B)
Um conjunto finito com n elementos possui 2
n
 subconjuntos.
ATENÇÃO ∅ ⊂ A; ∀A
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈B}
A B = {x | x ∈ A e x ∉B}
A B = A ∩ B