Matemática - Livro 1-091-093

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y O mínimo múltiplo comum, pela sigla mmc.
mmc(4, 6) = 12
y O máximo divisor comum, pela sigla mdc.
mdc(4, 6) = 2
Entre essas operações, muitas são bem definidas em todos
os conjuntos numéricos, desde os naturais até os complexos.
Algumas não exatamente da mesma maneira, como a divisão,
que nos conjuntosℕ eℤ produz quociente e resto, mas produz
apenas quociente nos demais conjuntos numéricos.
Fechamento de um conjunto em relação
a uma operação
Considera-se um conjunto numérico K fechado em re-
lação a uma operação aritmética, se essa operação gera
apenas resultados pertencentes a K, quando aplicada a seus
elementos.
Representando por * uma operação aritmética genérica,
um conjunto K é fechado em relação a * se, e somente se:
a K
b K
a b K *
∈
∈



⇒ ( ) ∈
Nessa implicação lógica, a e b representam números
do conjunto K e a b∗( ) representa o resultado produzido
pela operação * aplicada aos números a e b.
O conjunto ℕ, por exemplo, é fechado em relação à
adição, à multiplicação, à potenciação, ao mmc e ao mdc,
mas não é fechado em relação à operação de subtração
Quando um conjunto K não é fechado em relação
a alguma operação*, a concepção de número pode ser
ampliada para abranger o significado dos resultados que
escapam de K. E assim, a partir dos elementos deℕ, podem
ser construídos os demais conjuntos numéricosℤ,ℚ,ℝ e ℂ.
Operações comutativas e associativas
As propriedades comutativa e associativa de uma ope
ração aritmética dizem respeito à ordem ou posição dos
números que participam da operação: o primeiro, o segundo,
o terceiro, etc
A comutatividade de uma operação pode ser ob
servada nos resultados de sua aplicação aos pares de
números. Uma operação * é comutativa quando a * b e b * a
produzem o mesmo resultado, quaisquer que sejam os
números a e b
Já a associatividade de uma operação precisa ser
observada nos resultados de sua aplicação a uma su
cessão de pelo menos três números Uma operação * é
associativa quando a b c* *( ) e a b c* *( ) produzem o mes
mo resultado, quaisquer que sejam os números a, b e c
De modo que, se uma operação é associativa, não há
necessidade de indicar por parênteses em qual ordem
ela deve ocorrer, pois a * b * c pode ser calculado tanto
da direita para a esquerda quanto da esquerda para a
direita sem modificação no resultado
(a * b) * c = a * (b * c)
Fig. 2 Operação associativa
Entre as operações aritméticas mencionadas neste capítulo apenas quatro são comutativas e associativas: a adição, a multiplicação, o mmc e o mdc.
Comutativas Associativas
a + b = b + a a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
a ⋅ b = b ⋅ a a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
mmc(a, b) = mmc(b, a) mmc(a, b, c) = mmc(mmc (a, b), c) = mmc(a, mmc(b, c))
mdc(a, b) = mdc(b, a) mdc(a, b, c) = mdc(mdc (a, b), c) = mdc(a, mdc(b, c))
A atribuição indevida dessas propriedades a outras operações aritméticas como a divisão e a potenciação, por exemplo, é responsável por boa
parte dos erros cometidos em resoluções de questões.
Atenção
Os números como soluções de equações
Na tecnologia, os números se prestam, em grande parte, a responder perguntas de forma precisa Na linguagem
matemática muitas dessas perguntas são expressas por sentenças algébricas em que um valor desconhecido x deve ser
encontrado Essas sentenças são chamadas de equações. Veja alguns exemplos na tabela a seguir:
Pergunta Equação
Qual número deve ser somado ao número 3 para se obter o número 9? x + 3 = 9
Qual número deve ser multiplicado por 3 para se obter o número 15? 3 ⋅ x = 15
Qual número deve ser elevado ao expoente 3 para se obter o número 64? x3 = 64
MATEMÁTICA Capítulo 1 Conjuntos numéricos92
Todas as equações do quadro foram enunciadas usando
apenas números naturais: 3, 9, 15 e 64, e possuem soluções
que também são números naturais. Essas soluções resultam
das aplicações das operações contrárias, respectivamente, à
adição, multiplicação e potenciação, que são, nessa ordem,
as operações de subtração, divisão e radiciação:
y x + 3 = 9 ⇔ x = 9 – 3 = 6
y 3 ⋅ x = 15 ⇔ x = 15 ÷ 3 = 5
y x3 = 64 ⇔ x = 64 = 43
Mas nem toda equação enunciada com números natu-
rais admite solução natural. Veja alguns exemplos na tabela
a seguir.
Pergunta Equação
Qual número deve ser somado ao número 9
para se obter o número 4?
x + 9 = 4
Qual número deve ser multiplicado por 4 para
se obter o número 9?
4 x = 9
Qual número deve ser multiplicado por 9 para
se obter o número 4?
9 ⋅ x = 4
Qual número deve ser elevado ao expoente 4
para se obter o número 9?
x4 = 9
Observe que os resultados destas equações não per
tencem ao conjunto dos números naturais:
y A solução da equação x + 9 = 4 é um número negativo.
x + 9 = 4 ⇔ x = 4 – 9 = –5
y A solução da equação 4 ⋅ x = 9 é um número que se
escreve com apenas duas casas decimais.
4 ⋅ x = 9 ⇔ x = 9 ÷ 4 = 2,25
y A solução da equação 9 ⋅ x = 4 tem como solução
um número que, para ser escrito na forma decimal,
precisa de uma quantidade infinita de casas decimais
repetidas. Representações numéricas desse tipo são
chamadas de dízimas periódicas.
9 ⋅ x = 4 ⇔ x = 4 ÷ 9 = 0,4444444444444444444...
y A equação x4 = 9 tem como solução um número que,
para ser escrito na forma decimal, precisa de uma
quantidade infinita de casas decimais em que não se
observa padrão de repetição algum. Números desse
tipo são chamados de irracionais.
x4 = 9 ⇔ x = 94 = 1,73205080756887729352745
De tais resultados derivam-se novas interpretações e
as novas formas de representações numéricas, que estu-
daremos no decorrer do capítulo
Os números naturais
O conjunto dos números naturais pode ser definido
através de duas teorias diferentes: a ordinal e a cardinal.
As diferenças de interpretação desses tipos de números
naturais são tão profundas, que as palavras usadas na lín-
gua portuguesa para designar os numerais de cada tipo
pertencem a classes gramaticais diferentes.
Numeral ordinal
Primeiro (1o)
Segundo (2o)
Terceiro (3o)
...
Numeral cardinal
Zero (0)
Um (1)
Dois (2)
Três (3)
...
Os números cardinais
A cardinalidade de um conjunto finito é a quantidade
de elementos distintos que ele possui. Indica-se por n(K) a
cardinalidade de um conjunto K.
Como exemplos, considere os conjuntos A dos meses
do ano e J dos dias do mês de janeiro. Repare que, mesmo
não sendo numéricos, esses conjuntos definem números:
y n(A) = 12
y n(J) = 31
Natural cardinal é todo número capaz de indicar a
quantidade de elementos de um conjunto finito. Esse tipo
de interpretação do número natural é o que há de comum
entre dois conjuntos de elementos completamente dife-
rentes como, por exemplo, o conjunto dos gases nobres
da tabela periódica e o conjunto das bandas do espectro
luminoso estudado por Newton.
Vermelho
Laranja
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
He
Ne
Ar
Kr
Xe
Rn
Og
Fig 3 Conjuntos de mesma cardinalidade.
A construção formal do conjunto desses números natu-
rais está fundamentada sobre dois conceitos da teoria dos
conjuntos, que são o número zero e a relação de sucessão.
y O número zero indica a quantidade de elementos do
conjunto vazio: 0 = n(∅).
y A relação de sucessão é a que existe entre as cardina-
lidades de um conjunto K e do conjunto que se obtém
acrescentando-se um único elemento ao conjunto K.
A partir desses conceitos enunciam-se os seguintes
postulados:
I. Zero é um número natural.
II. Todo número natural possui sucessor.
III. Zero não é sucessor de nenhum número natural.
IV. Não há dois números naturais diferentes que pos-
suam o mesmo sucessor.
V. Se um conjunto numérico possui o número zero e o
sucessor de qualquer um de seus elementos, então
esse é exatamente o conjunto dos números naturais.
Este último postulado é conhecido como o Princípio da
Indução Matemática.
Postulado: princípio ou fato não demonstrado que se admite como
verdadeiro.
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Os números ordinais
Estes numerais servem como ferramenta de localiza-
ção espacial, como na frase “Vire na 3a rua à esquerda” ou
temporal, como em “Marçoé o 3o mês do ano”.
Observe que tanto a 3a rua quanto o 3o mês são únicos
em suas existências e que, nesses casos, o número 3 foi
utilizado para indicar apenas uma unidade Essa é a carac-
terística principal de um número natural ordinal.
Zero não é número natural ordinal.
Atenção
Independentemente da interpretação, cardinal ou ordi-
nal, dois números naturais são denominados consecutivos
se diferem em apenas uma unidade
Além disso, ℕ é um conjunto numérico discreto. Isso
significa que, entre dois números naturais consecutivos,
não há nenhum outro número natural. Considere a ordem
de chegada dos atletas que participam de uma corrida e
observe, por exemplo, que não existe colocação interme-
diária entre o 3o e o 4o lugar.
Em linguagem matemática:
∈
< < +



⇒ ∉  n
n m n 1
 m
Defasagem cardinal ordinal
Usamos o asterisco para diferenciar os conjuntos de
números naturais cardinais e ordinais. Assim:
y N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, }
y N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Em todos os demais conjuntos numéricos o asterisco
é usado para indicar que o número zero não é elemento
do conjunto considerado.
É importante observar que há uma defasagem entre os
elementos desse conjunto. Do fato de zero ser o primeiro
número natural decorre que o número 12 é o 13o número
natural, por exemplo.
A defasagem entre os elementos desses conjuntos é
a responsável pelo ano de 2020 pertencer ao século 21,
entre outros exemplos cotidianos.
Sendo a e b dois números inteiros tais que a < b, temos que:
I. De a até b há exatamente (b a) + 1 números inteiros.
II Entre a e b há exatamente (b a) 1 números inteiros.
Atenção
Exercícios resolvidos
1 Responda às seguintes perguntas:
a) Quantos números naturais podem ser contados a
partir do número 10 até o número 100?
b) Quantos números naturais existem entre os nú-
meros 10 e 100?
Resolução:
a) De 10 a 100 podem ser contados (100 10) + 1 =
= 91 números.
b) Entre 10 e 100 existem (100 – 10) – 1 = 89 números.
2 Uma corrida de rua disputada pelas crianças de um con
domínio tinha as seguintes regras: na largada todas as
crianças deveriam estar com uma das mãos encostadas
no primeiro poste da calçada de um dos lados da rua, e
a criança que encostasse primeiro a mão no oitavo pos
te dessa mesma calçada venceria a corrida
A distância do primeiro para o segundo poste é de
50 metros, do segundo para o terceiro, 70 metros, do ter-
ceiro para o quarto, 90 metros, e assim por diante, ou seja,
as distâncias entre dois postes consecutivos aumentam
de vinte em vinte metros.
Com esses dados, podemos armar que a corrida
toda tem
A 190 metros
 210 metros
C 770 metros.
 960 metros.
E 1 170 metros.
Resolução:
Como oito postes consecutivos determinam apenas
sete distâncias entre dois postes consecutivos, temos
que o comprimento total da corrida, em metros, é
igual à soma das seguintes sete parcelas:
50 + 70 + 90 + 110 + 130 + 150 + 170 = 770
A corrida tem 770 metros
Alternativa: D.
A
n
to
n
io
 G
u
ill
e
m
/S
h
u
tt
e
rs
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.c
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E
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