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Escola de Sargentos das Armas - ESA Sargentos do Exército (CFS) Matemática 1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: Representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio ............................................................ 1 Conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, números primos, fatoração, número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum .................................................................................... 4 Conjunto dos números racionais: operações fundamentais. conjunto dos números reais: operações fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais. ................................................ 13 Razões e proporções ......................................................................................................................................................... 17 Grandezas diretamente e indiretamente proporcionais e porcentagem; e números complexos: operações, módulo, conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica. Representação no plano de Argand - Gauss, Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. .................................................................................................................................. 19 2) Funções: Definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, funções pares e ímpares, funções periódicas; funções compostas; relações; raiz de uma função;função constante, função crescente, função decrescente;função definida por mais de uma sentença;função inversa e seu gráfico; 3) Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: Gráficos, domínio, imagem e características;variações de sinal; máximos e mínimos; e inequação produto e inequação quociente. ............................................................. 25 4) Função Modular: Definição, gráfico, domínio e imagem da função modular;equações modulares; e inequações modulares. .................................................................................................................................................... 36 5) Função Exponencial: Gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais, e equações e inequações exponenciais. ...................................................................................................... 38 6) Função Logarítmica: Definição de logaritmo e propriedades operatórias;gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica; e equações e inequações logarítmicas. ..................................................... 41 7) Trigonometria: Arcos notáveis; trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); lei dos senos e lei dos cossenos; unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano; círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; funções trigonométricas, transformações, identidades trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; e sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. ......................................................................................... 46 8) Contagem e Análise Combinatória: Fatorial: definição e operações; princípios multiplicativo e aditivo da contagem; arranjos, combinações e permutações; e binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. .................................................................................................................................................. 61 9) Probabilidade: Experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; probabilidade em espaços amostrais equiprováveis; probabilidade da união de dois eventos; probabilidade condicional; propriedades das probabilidades; e probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. ... 66 10) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição e produto); matriz inversa; determinante de uma matriz: definição e propriedades; e sistemas de equações lineares. ....................................................................................................................................................... 70 11) Sequências Numéricas e Progressões: Sequências numéricas; progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades; progressões geométricas (finitas e infinitas): termo geral, soma dos termos e propriedades. .................................................................................................................................................................... 82 12) Geometria Espacial de Posição: Posições relativas entre duas retas; posições relativas entre dois planos; posições relativas entre reta e plano; perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e projeção ortogonal. ........................................................................................................................................... 85 13) Geometria Espacial Métrica: Prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; inscrição e circunscrição de sólidos. .. 87 14) Geometria Analítica Plana: Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condição de alinhamento de três pontos; reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas retas, distância entre ponto e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequações do primeiro grau com duas variáveis .............................................................................................................................................................................. 99 Circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; ................................................................................................................................................................ 103 Elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole; parábola: definição, equação, posições relativas entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. .................................................................................................................................................................................. 108 15) Geometria Plana: Ângulo: definição, elementos e propriedades; Ângulos na circunferência; Paralelismo e perpendicularidade; Semelhança de triângulos; Pontos notáveis do triângulo; Relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); Triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras; Congruência de figuras planas; Feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales; Teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo; Quadriláteros notáveis; Polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; Perímetro e área de polígonos, polígonos regulares,circunferências, círculos e seus elementos; Fórmula de Heron; Razão entre áreas; Inscrição e circunscrição. ......................................................................... 113 16) Polinômios: Função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau de um polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D'Alembert e dispositivo de Briot-Ruffini; relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de polinômios; 17) Equações Polinomiais: Teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e teorema de Bolzano. ............................................................. 132 Português 1) Leitura, interpretação e análise de textos Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em um texto e o respectivo relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. .............................................. 1 2) Fonética, ortografia e pontuação Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, partição silábica e pontuação. ........................................................................................................................................... 3 3) Morfologia Estrutura e formação das palavras e classes de palavras. ............................................................... 19 4) Morfossintaxe Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e reduzidas), funções sintáticas do pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de concordância (verbal e nominal) e sintaxe de colocação. .................................................................................................................. 42 5) Noções de versificação Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. ....... 63 6) Teoria da linguagem e semântica História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; níveis de linguagem, funções da linguagem; figuras de linguagem e significado das palavras. ..................................... 64 7) Introdução à literatura A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e no Brasil. .................................................................................................................................................................................. 83 8) Literatura brasileira Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, Barroco, Arcadismo, Romantismo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré- modernismo e Mordenismo. .......................................................................................................................................... 94 9) Redação Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos de discurso; intertextualidade; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a ambiguidade; a não-contradição; paralelismos sintáticos e semânticos; continuidade e progressão textual); texto e contexto; o texto narrativo: o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da descrição; o narrador; o texto argumentativo; o tema; a impessoalidade; a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argumentação e a persuasão; o texto dissertativoargumentativo; a consistência dos argumentos; a contraargumentação; o parágrafo; a informatividade e o senso comum; formas de desenvolvimento do texto dissertativo- argumentativo; a introdução; e a conclusão. ............................................................................................................. 117 10) Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, assinado em Lisboa, em 16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique e, posteriormente, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de dezembro de 2012........... ..... 140 História e Geografia do Brasil 1) História do Brasil a) A expansão Ultramarina Européia dos séculos XV e XVI .................................................... 1 b) O Sistema Colonial Português na América Estrutura político-administrativa; estrutura socioeconômica; invasões estrangeiras; expansão territorial; interiorização e formação das fronteiras; as reformas pombalinas; rebeliões coloniais; e movimentos e tentativas emancipacionistas. .......................................................................... 3 c) O Período Joanino e a Independência (1) A presença britânica no Brasil, a transferência da Corte, os tratados, as principais medidas de D. João VI no Brasil, a política joanina, os partidos políticos, as revoltas, conspirações e revoluções e a emancipação e os conflitos sociais. (2) O processo de independência do Brasil. d) Brasil Imperial Primeiro Reinado e Período Regencial: aspectos administrativos, militares, culturais, econômicos, sociais e territoriais; Segundo Reinado: aspectos administrativos, militares, econômicos, sociais e territoriais; e Crise da Monarquia e Proclamação da República. ................................................................................................... 13 e) Brasil República Aspectos administrativos, culturais, econômicos, sociais e territoriais, revoltas, crises e conflitos e a participação brasileira na II Guerra Mundial. ....................................................................................... 21 2) Geografia do Brasil a) O território nacional: a construção do Estado e da Nação, a obra de fronteiras, fusos- horários e a federação brasileira. .................................................................................................................................. 36 b) O espaço brasileiro: relevo, climas, vegetação, hidrografia e solos. ................................................................... 39 c) Políticas territoriais: meio ambiente. ....................................................................................................................... 42 d) Modelo econômico brasileiro: o processo de industrialização, o espaço industrial, a energia e o meio ambiente, os complexos agro-industriais e os eixos de circulação e os custos de deslocamento. .................... 43 e) A população brasileira: a sociedade nacional, a nova dinâmica demográfica, os trabalhadores e o mercado de trabalho, a questão agrária, pobreza e exclusão social e o espaço das cidades. .............................................. 49 f) Políticas territoriais e regionais: a Amazônia, o Nordeste, o Mercosul e a América do Sul. ............................ 57 Inglês 1) Competências e Habilidades a) Compreender a utilização de mecanismos de coesão e coerência na produção escrita; b) Compreender de que forma determinada expressão pode ser interpretada em razão de aspectos sociais e/ou culturais; c) Analisar os recursos expressivos da linguagem verbal, relacionando textos e contextos mediante a natureza, função, organização, estrutura, de acordo com as condições de produção ...... 1 2) Conteúdos linguístico-textuais: a) Denotação e conotação .................................................................................. 11 b) Sinonímia e antonímia ................................................................................................................................................. 13 c) Correlação morfológica, sintática e/ou semântica ................................................................................................. 13 d) Pronomes e suas referências ......................................................................................................................................16 e) Artigos (definidos e indefinidos) .............................................................................................................................. 17 f) Singular e Plural............................................................................................................................................................. 20 g) Verbos no tempo presente, para expressar hábitos e rotinas, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; h) Verbos no Presente Contínuo, para expressar atividades momentâneas e futuro, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa ............................................................................................................................ 22 i) Comparativo e superlativo; j) Adjetivos e advérbios e suas posições nas frases ............................................... 24 k) Quantificadores (many, much, few, little, a lotof) .................................................................................................. 29 Aqui você vai saber tudo sobre o Conteúdo Extra Online Para acessar o Conteúdo Extra Online (vídeoaulas, testes e dicas) digite em seu navegador: www.apostilasopcao.com.br/extra O Conteúdo Extra Online é apenas um material de apoio complementar aos seus estudos. 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Dúvidas sobre matérias podem ser enviadas através do site: https://www.apostilasopcao.com.br/contatos.php, com retorno do Professor no prazo de até 05 dias úteis. PIRATARIA É CRIME: É proibida a reprodução total ou parcial desta apostila, de acordo com o Artigo 184 do Código Penal. Apostilas Opção, a Opção certa para a sua realização. AVISO IMPORTANTE https://www.apostilasopcao.com.br/contatos.php MATEMÁTICA APOSTILAS OPÇÃO Matemática 1 Como representar um conjunto Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8. {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b, m. Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado. P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos: Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: {x, tal que x tem a propriedade P} Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por: {x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, {x : x tem a propriedade P} Exemplos - { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3} - {x : x em um número inteiro e x² = x } é o mesmo que {0, 1} Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”. Exemplos - Se A = {a, e, i, o, u} então - Se B = {0, 1, 2, 3 }, então Conjunto Vazio Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês Ø ou, simplesmente { }. Exemplos - Ø= {x : x é um número inteiro e 3x = 1} - Ø= {x | x é um número natural e 3 – x = 4} - Ø= {x | x ≠ x} Subconjunto Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B. Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Exemplos - {2, 4} ⊂{2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4} - {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4} - {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6} Inclusão e pertinência A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂). A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão. Exemplo {1, 3} ⊂{1, 3, 4} 2 ∈ {2, 3, 4} Igualdade Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A. Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Exemplos - {2, 4} = {4, 2}, pois {2, 4} ⊂ {4, 2} e {4, 2}⊂ {2, 4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos. - {2, 2, 2, 4} = {2, 4}, pois {2, 2, 2, 4} ⊂ {2, 4} e {2, 4} ⊂ {2, 2, 2, 4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária. - {a, a} = {a} - {a, b} = {a} ↔ a= b 1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: Representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio APOSTILAS OPÇÃO Matemática 2 - {1, 2} = {x, y} ↔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos. 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas vezes. Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira. b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. Observe o diagrama e comprove. 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − −𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Conjunto das partes Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A). Exemplos a) = {2, 4, 6} P(A) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} b) = {3,5} P(B) = {Ø, {3}, {5}, B} c) = {8} P(C) = {Ø, C} d) = Ø P(D) = {Ø} Propriedades Seja A um conjunto qualquere Ø o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades: Ø≠(Ø) Ø∉Ø Ø⊂Ø Ø∈{Ø} Ø⊂A ↔ Ø ∈ P(A) A ⊂ A ↔ A ∈ P(A) Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos. União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A∪B. Simbolicamente: A∪B = {X | X∈A ou X∈B} Exemplos - {2, 3}∪{4, 5, 6}={2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}∪{3, 4, 5}={2, 3, 4, 5} - {2, 3}∪{1, 2, 3, 4}={1, 2, 3, 4} - {a, b}∪{a, b} Intersecção de conjuntos A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {X | X∈A e X∈B} Exemplos - {2, 3, 4}∩{3, 5}={3} - {1, 2, 3}∩{2, 3, 4}={2, 3} - {2, 3}∩{1, 2, 3, 5}={2, 3} - {2, 4}∩{3, 5, 7}=Ø Observação: Se A∩B=Ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Subtração A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e X∉B} O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: CAB = A – B = {X | X∈A e X∉B} APOSTILAS OPÇÃO Matemática 3 Exemplos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1, 3} e CBA = B – A =Ø A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14} A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0, 2, 4} e CBA = B – A = {1, 3, 5} Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂ A. - Se B ⊂ A representa-se por B̅ o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ↔ B̅= A – B = CAB´ Exemplos Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: a) A = {2, 3, 4} → A̅ = {0, 1, 5, 6} b) B = {3, 4, 5, 6 } → B̅ = {0, 1, 2} c) C = Ø→ C̅ = S Número de elementos de um conjunto Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) A ∩ B = Ø → n(A ∪ B) = n(A) + n(B) n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) B ⊂ A → n(A - B) = n(A) - n(B) Questões 01. (MGS- Nível Fundamental Incompleto-IBFC) A união entre os conjuntos A ={ 0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} é: (A){0,1,2,3,5,6,7,8} (B){0,1,2,3,4,5,6,7,8} (C){1,2,3,4,5,6,7,8} (D){0,1,2,3,4,5,6,8} 02. (Pref. de Maria Helena/PR - Professor - Ensino Fundamental - FAFIPA) Considere os conjuntos A= {3,6,11,13,21} e B= {2,3,4,6,9,11,13,19,21,23,26}. Sobre os conjuntos A e B podemos afirmar que: (A)A ⊂ B (B)9 ∉ B (C)17 ∈ A (D)A ⊃ B 03. (Metrô/SP – Oficial Logística –Almoxarifado I – FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro. A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de: (A) 15. (B) 29. (C) 52. (D) 46. (E) 40. 04. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde NM – AOCP) Qual é o número de elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o conjunto B. (A) {1;2;3} (B) {0;3} (C) {0;1;2;3;5} (D) {3;5} (E) {0;3;5} 06. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança Do Trabalho – FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a: (A) 50. (B) 26. (C) 56. (D) 10. (E) 18. Comentários 01. Resposta: B. A ={0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} A união entre conjunto é juntar A e B: {0,1,2,3,4,5,6,7,8} 02. Resposta: A. A "está contido em" B ou seja todos os números do conjunto A estão no conjunto B. ⊂ = A está contido em ∉ = não pertence ∈ = Pertence 03. Resposta: D. https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/ibfc-2015-mgs-nivel-fundamental-incompleto https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fafipa-2014-prefeitura-de-maria-helena-pr-professor-ensino-fundamental https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fafipa-2014-prefeitura-de-maria-helena-pr-professor-ensino-fundamental APOSTILAS OPÇÃO Matemática 4 Pelo diagrama verifica-se o número de atletas que ganharam medalhas. No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 (por ser 2 medalhas )e na intersecção das três medalhas (multiplica-se por 3). Intersecções: 6 ∙ 2 = 12 1 ∙ 2 = 2 4 ∙ 2 = 8 3 ∙ 3 = 9 Somando as outras: 2+5+8+12+2+8+9=46 04. Resposta: B. A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} 10 elementos 05. Resposta: E. Como a intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. A-B são os elementos que tem em A e não em B. Então de AB, tiramos que B={0;3;5}. 06. Resposta: E. 92-38+x-x-42+x+94-38+x-x-60+x+110-42+x-x-60+x+38- x+x+42-x+60-x+26=200 X=200-182 X=18 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O surgimento do Conjunto dos Números Naturais, deveu- se à necessidade de se contarem objetos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que estes números. Subconjuntos notáveis em N: 1 – Números Naturais não nulos N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 2 – Números Naturais pares Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 3 - Números Naturais ímpares Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 4 - Números primos P = {2,3,5,7,11,13...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplo: - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Operações com Números Naturais As duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais são: a adição e a multiplicação. - Adição de Números Naturais: tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Exemplo: 5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total - Subtração de Números Naturais: é usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou sejaquando a - b tal que a ≥ 𝑏. Exemplo: 254 – 193 = 61, onde 254 é o minuendo, o 193 subtraendo e 61 a diferença. Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais: tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo: 2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. Fique Atento!!! 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto (.), para indicar a multiplicação. - Divisão de Números Naturais: dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo (D) e o outro número que é menor é o divisor (d). O resultado da divisão é chamado quociente (Q). Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. Muitas divisões não são exatas, logo temos um resto (R) maior que zero. Conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, números primos, fatoração, número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum APOSTILAS OPÇÃO Matemática 5 Fique Atento!!! - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a, b e c ∈ 𝑁 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Referências IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções Questões 01. (UFSBA – Técnico em Tecnologia da Informação – UFMT/2017) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, H e I. Obtido o resultado correto, a sequência BAHIA representa o número: (A) 69579 (B) 96756 (C) 75695 (D) 57697 02. (Câmara de Sumaré/SP – Escriturário – VUNESP/2017) Se, numa divisão, o divisor e o quociente são iguais, e o resto é 10, sendo esse resto o maior possível, então o dividendo é (A) 131. (B) 121. (C) 120. (D) 110. (E) 101. 03. (Prefeitura de Canavieira/PI- Auxiliar de serviços gerais -IMA) São números pares, EXCETO: (A)123 (B)106 (C)782 (D)988 Comentários 01. Resposta: D. Sabemos que o minuendo é maior que o subtraendo, pois temos como resultado um número natural positivo. Fazendo cada número temos: 8 – 2 = H ⇾ H = 6 A - 4 = 3 ⇾ A = 3 + 4 ⇾ A = 7 3 – 1 = 2 B – A = 8, como já sabemos que A = 7; B – 7 = 8 ⇾ B = 8 – 7 = 15, sabemos que só podemos ter número de 0 a 9, logo 15 – 10 = 5, então B = 5. Aqui neste caso o número 5 não tem como subtrair de 7, e pede 1 “emprestado” ao do lado. Sabemos que o I deve ser acrescido de 1, já que “emprestou” um para o lado. I – 4 = 4 ⇾ logo I = 4 + 4 = 8 , acrescido de 1 = 9 B A H I A 5 7 6 9 7 02. Resposta: A. Como o resto é o maior possível e sabemos que R < d, temos que: 10 < d. Logo podemos sugerir que d seja igual a 11. D = 11 . 11 + R ⇾ D = 121 + 10 = 131 Também podemos montar a equação através do enunciado: D = d. Q +R d = Q R = 10 D = d. d + 10 ⇾ D = d² + 10 ⇾ D – 10 = x². Observando as respostas, temos que o resultado que torna a equação possível é 131. 131 – 10 = x² ⇾ 121 = x² ⇾ x = 11 03. Resposta: A. Sabemos que: - Todo número par é terminado em um dos seguintes (0, 2, 4,6,8). - Todo número ímpar é terminado em um dos seguintes (1, 3, 5, ,9). Portanto: O número que NÃO é PAR acima é 123 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão). N ᑕ Z – O conjunto dos números Naturais está contido no Conjunto do Números Inteiros. Subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N - O conjunto dos números inteiros positivos: APOSTILAS OPÇÃO Matemática 6 Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números opostos ou simétricos Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 Particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Operações com Números Inteiros Adição de Números Inteiros: para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo NUNCA pode ser dispensado. Subtração de Números Inteiros: a subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 3 + 5 = 8 3 – 5 = -2 Exemplificando: 1) Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2) Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 ATENÇÃO: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Fique Atento!!! Todos parênteses, colchetes,chaves, números, entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. Multiplicação de Números Inteiros: a multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Divisão de Números Inteiros: divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20): (+ 5) = q (+ 5) . q = (– 20) q = (– 4) Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Fique Atento!!! * (+7): (–2) ou (–19): (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. * No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. * Não existe divisão por zero. * Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: a) 0: (–10) = 0 b) 0: (+6) = 0 c) 0: (–1) = 0 Regra de Sinais aplicado a Multiplicação e Divisão Potenciação de Números Inteiros: a potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. an = a x a x a x a x ... x a, a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 APOSTILAS OPÇÃO Matemática 7 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 Fique Atento!!! - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3). (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8). (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5). (–5) . (–5) = –125 Propriedades da Potenciação 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva- se a base e somam-se os expoentes. Ex.: (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva- se a base e subtraem-se os expoentes. Ex.: (-13)8 : (-13)6 = (- 13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. Ex.: [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. Ex.: (- 8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Ex.: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros: a raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). - A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. ATENÇÃO: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Fique Atento!!! Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: √9 = ±3 , mas isto é errado. O certo é: √9 = +3 Observação: não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. - A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: (𝐼)√8 3 = 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8 (𝐼𝐼)√−8 3 = −2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)3 = 8 Fique Atento!!! Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a, b e c ∈ 𝑍 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Referências IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções Questões 01. (Fundação Casa – Analista Administrativo – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi (A) 50. (B) 45. (C) 42. (D) 36. (E) 32. 02. (CGE/RO – Auditor de Controle Interno – FUNRIO/2018) O jornal “O Globo” noticiou assim, em 10/02/2018, em sua página eletrônica, o desfile comemorativo do centenário de fundação do tradicional bloco carnavalesco “Cordão da Bola Preta”. Se o tradicional bloco desfilou pela primeira vez em 1918 e, de lá para cá, desfilou todos os anos, apenas uma vez por ano, então o centésimo desfile do Cordão da Bola Preta realizou-se ou se realizará no ano de: (A) 2016. (B) 2017. (C) 2018. (D) 2019. (E) 2020. 03. (BNDES - Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo APOSTILAS OPÇÃO Matemática 8 menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será (A) - 72 (B) - 63 (C) - 56 (D) - 49 (E) – 42 04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – Cachoeira Dourada – MPE-GO/2017) Para o jantar comemorativo do aniversário de certa empresa, a equipe do restaurante preparou 18 mesas com 6 lugares cada uma e, na hora do jantar, 110 pessoas compareceram. É correto afirmar que: (A) se todos sentaram em mesas completas, uma ficou vazia; (B) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma ficou com apenas 2 pessoas; (C) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma ficou com apenas 4 pessoas; (D) todas as pessoas puderam ser acomodadas em menos de 17 mesas; (E) duas pessoas não puderam sentar. 05. SAP/SP – Agente de Segurança Penitenciária – MS CONCURSOS/2017) Dentre as alternativas, qual faz a afirmação verdadeira? (A) A subtração de dois números inteiros sempre resultará em um número inteiro. (B) A subtração de dois números naturais sempre resultará em um número natural. (C) A divisão de dois números naturais sempre resultará em um número natural.(D) A divisão de dois números inteiros sempre resultará em um número inteiro. Comentários 01. Resposta: A. 50-20=30 atitudes negativas 20.4=80 30.(-1)=-30 80-30=50 02. Resposta: B. Em 1918 ele desfilou uma vez, logo 100 – 1 = 99. Somando 1918 + 99 = 2017. 03. Resposta: D. Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. Portanto: 7(- 7) = - 49 04. Resposta: E. Se multiplicarmos o número de mesas por lugares que cada uma tem, teremos: 18. 6 = 108 lugares. 108 lugares – 110 pessoas = -2, isto significa que todas as mesas foram preenchidas e 2 pessoas não sentaram. 05. Resposta: A. (a) A subtração de dois números inteiros sempre resultará em um número inteiro. – V (b) A subtração de dois números naturais sempre resultará em um número natural. – somente se o primeiro for maior que o segundo - F (c) A divisão de dois números naturais sempre resultará em um número natural. – somente se o dividendo for maior que o divisor - F (d) A divisão de dois números inteiros sempre resultará em um número inteiro. – somente se o dividendo for maior que o divisor - F NÚMEROS PRIMOS Um número natural P é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo (P). Sendo assim, o número 1 não é primo, pois possui apenas um número divisor que é ele mesmo. O número zero também não é primo, pois possui vários divisores naturais. Já os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos, pois possuem apenas dois divisores naturais. Nota: o número 2 é o único número primo que é par. Os demais são números ímpares. Para verificar se um número é primo ou não devemos dividir esse número começando pelo menor número primo, que é o número 2, e posteriormente com os demais números naturais primos, até que seu quociente seja menor ou igual ou número que está sendo dividido. Exemplo: o número 127 é primo? 127: 3 = o resultado é 42 e sobra resto 1; 42 > 3 127: 5 = o resultado é 25 e sobra resto 2 ; 25 > 5 127: 7 = o resultado é 18 e sobra resto 1; 18 > 7 127 : 11 = o resultado é 11 e sobra resto 6; 11 = 11 Nesse caso, as divisões foram realizadas pelos números naturais primos e na última divisão, o quociente é igual ao divisor. Logo, o número 127 é primo. O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). Os 100 primeiros números primos positivos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 6 1, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 Exemplos 1 não é primo pois D(1)={1} 2 é primo pois D(2)={1,2} 3 é primo pois D(3)={1,3} 5 é primo pois D(5)={1,5} 7 é primo pois D(7)={1,7} 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14} Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única. Múltiplos e Divisores Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que: a = k . b Exemplo 1 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5. Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5. Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_da_aritm%C3%A9tica http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatora%C3%A7%C3%A3o http://pt.wikipedia.org/wiki/Dois http://pt.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinco http://pt.wikipedia.org/wiki/Sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Onze http://pt.wikipedia.org/wiki/Treze http://pt.wikipedia.org/wiki/Dezessete http://pt.wikipedia.org/wiki/Dezenove http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Trinta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Trinta_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarenta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarenta_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarenta_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinq%C3%BCenta_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinq%C3%BCenta_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Sessenta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Sessenta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Sessenta_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Setenta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Setenta_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Setenta_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Noventa_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_tr%C3%AAs http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_treze http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_vinte_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_trinta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_trinta_e_sete http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_trinta_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_quarenta_e_nove http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_cinquenta_e_um http://pt.wikipedia.org/wiki/Trezentos_e_treze APOSTILAS OPÇÃO Matemática 9 Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os números naturais possíveis. Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. a = 1 x b ↔ a = b. Exemplo 2 Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b. Exemplo 3 3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5. Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele. Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 4 divisores. Decomposição de um número natural em fatores primos Para decompor um número natural em fatores primos é necessário dividir o número pelo seu menor divisor primo, repetindo as divisões até chegar ao quociente 1. Exemplos: a) 8 = 2.2.2 = 2³ b) 9 = 3.3 = 3² c) 54 = 2.3.3.3 = 2.3³ d)12 = 2.2.3 = 2².3 Dentre os exemplos citados podemos dizer que todas essas formas são formas fatoradas dos números naturais. Modos de reconhecimento de um número primo. 1º Modo: Dividimos o número pelos primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. …, até encontrarmos: – um quociente exato. Neste caso, verificamos que o número não é primo. – um quociente, na divisão inexata, menor ou igual ao divisor. Neste caso, verificamos que o número é primo. Exemplos: – Verifique se o número 101 é primo. Solução: Observe as divisões sucessivas abaixo: Executamos as divisões conforme a regra acima veja que a última divisão é inexata e o quociente (9) é menor do que o divisor (11). Assim, podemos afirmar que o número 101 é primo. Vejamos outro exemplo: – Verifique se o número 403 é primo. Solução:Veja que 403 não é divisível por 2, também não é por 3 e nem por 5, então começaremos a divisão a partir do 7. Perceba que a última divisão é exata, isto quer dizer que 13 é um divisor de 403, logo 403 tem mais de dois divisores e não é primo. 2º Modo: Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja mais próximo do número a ser verificado. Se nenhum dos primos menores, ou iguais, a n dividir o número a ser verificado, podemos afirmar que ele é primo, caso contrário, não é. Exemplo: Verifique se o número 181 é primo. Solução: primeiro observe que o quadrado de 13 é o mais próximo do número 181, isto é, 132 = 169, agora vamos verificar se, pelo menos um, dos números primos menores ou iguais a 13 (2, 3, 5, 7, 11 e 13) divide 181. Verifique você mesmo que nenhum dos números (2, 3, 5, 7, 11 ou 13) divide 181. Assim, podemos afirmar que o número 181 é primo. Questões 01. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – Ceres – MPE/GO/ 2017) Quais dos números a seguir são primos? (A) 13. (B) 30. (C) 49. (D) 65. (E) 87. 02. (MPCM- TÉCNICO EM INFORMÁTICA - SUPORTE TÉCNICO-CETAP) Um número primo é um número que pode ser dividido somente por 1 e por ele mesmo. Segundo esse critério, selecione a alternativa na qual se listem somente números primos. (A) 2, 3, 27, 511. (B)3, 8, 57, 201. (C)2, 5, 7, 99. (D)5,17, 29, 61. (E)5, 23, 57, 73. 03. (BRDE- ANALISTA DE SISTEMAS-SUPORTE- FUNDATEC)Considere os conjuntos definidos por: A = { 2,3,5,7,9,11,13,15} Assinale a alternativa que apresenta uma sentença verdadeira para descrever os elementos do conjunto. (A)Todos os elementos do conjunto A são números pares. (B)Algum elemento do conjunto A é divisível por 4. (C)Nenhum elemento do conjunto A é divisível por 3. (D)Existem elementos do conjunto A que são ímpares e maiores que 15. (E)Existem elementos do conjunto A que são primos. https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cetap-2015-mpcm-tecnico-em-informatica-suporte-tecnico https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cetap-2015-mpcm-tecnico-em-informatica-suporte-tecnico https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fundatec-2015-brde-analista-de-sistemas-suporte http://lh3.ggpht.com/-0paWrYZ-cZc/UJH-lHRtmsI/AAAAAAAAAy8/K9cELu6HlOM/s1600-h/clip_image002[6].jpg http://lh5.ggpht.com/-Wu0t1ko_A8E/UJH-mvhBFdI/AAAAAAAAAzM/o4mYYv_DORU/s1600-h/clip_image004[6].jpg http://lh6.ggpht.com/-gL5yL-fkco8/UJH-nn7KfaI/AAAAAAAAAzc/ZzisKdm2b0w/s1600-h/clip_image006[6].jpg http://lh4.ggpht.com/-P9Yab_XQFik/UJH-pflhR2I/AAAAAAAAAzs/UGQqIUR7xOY/s1600-h/clip_image008[6].jpg http://lh4.ggpht.com/-eZ9pKEUgLUs/UJIBsf38Y-I/AAAAAAAAA1Y/p4zJD9ht_b8/s1600-h/image[41].png http://lh6.ggpht.com/-cSfRj91GIjg/UJH-xV3LJeI/AAAAAAAAA0M/Biv1C9V5Y7s/s1600-h/clip_image002[10].jpg http://lh4.ggpht.com/-5oGwrdpqZhI/UJH-ylmkZmI/AAAAAAAAA0c/hzbAEUiMdXc/s1600-h/clip_image004[10].jpg http://lh3.ggpht.com/-6SRsiYOpQkE/UJIBt2SlI-I/AAAAAAAAA1o/Y-M6bjadoHc/s1600-h/image[45].png APOSTILAS OPÇÃO Matemática 10 04. (COPASA-AGENTE DE SANEAMENTO - TÉCNICO EM INFORMÁTICA-FUNDEP) Ao fatorar em números primos o número 270, a quantidade de números primos, distintos, que encontramos é (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 05. (UFAL-AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO- COPEVE- UFAL)Dados os itens acerca dos números inteiros, I. Todos os números primos são ímpares. II. Todo número múltiplo de 2 é par. III. O valor da expressão 8 – 3 x 4 é negativo. verifica-se que está(ão) correto(s) (A)I, apenas. (B)II, apenas. (C)I e III, apenas. (D)II e III, apenas. (E)I, II e III. Respostas 01. Resposta: A. 02. Resposta: D. Sabe-se que por definição, os números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... são aqueles divisíveis, somente, por um e por ele mesmo. E se suas divisões sucessivas por números primos resultarem resto diferente de 0, até o divisor ser maior ou igual ao quociente. Avaliando cada alternativa, podemos verificar que: A- ERRADA, pois o 27 pode ser dividido por 9 B - ERRADA pois 8 não é primo C - ERRADA, pois o 99 pode ser divido por 33 D - CORRETA E - ERRADA, pois o 57 pode ser dividido por 3 03. Resposta: E. Avaliando cada alternativa, podemos verificar que: a) Todos os elementos do conjunto A são números pares.Sao todos impares b) Algum elemento do conjunto A é divisível por 4.Nenhum é divisivel por 4 c) Nenhum elemento do conjunto A é divisível por 3.3, 9 e 15 são divisíveis d) Existem elementos do conjunto A que são ímpares e maiores que 15.nenhum elemento e maior que 15 no conjunto e) Existem elementos do conjunto A que são primos. CERTO 04. Resposta: C. 270/2 = 135 135/3 = 45 45/3 = 15 15/3 = 5 5/5 = 1 Portanto, números primos distintos, que são 2, 3 e 5 05. Resposta: D. Ao avaliarmos cada alternativa, verifica-se que: I. Falso. Porque o numero 2 é primo e par. III. Verdadeiro. (Porque quando a expressão não delimita números com parênteses, inicia-se pela multiplicação). Portanto, -3x4 = -12+8 = -4 ( sim , valor negativo) MÚLTIPLOS E DIVISORES Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. Podemos dizer então que: “30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a. Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7 x 0 = 0 7 x 1 = 7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 ⋮ O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, ...}. Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. - Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k (kN). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k N). O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z. Critérios de divisibilidade São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplo: 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplo: 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. Exemplos: a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fundep-2014-copasa-agente-de-saneamento-tecnico-em-informatica https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fundep-2014-copasa-agente-de-saneamento-tecnico-em-informatica https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/copeve-ufal-2014-ufal-auxiliar-em-administracao APOSTILAS OPÇÃO Matemática 11 Divisibilidadepor 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 417 – 4 = 413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. Exemplos: a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em zero. Exemplo: 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou quando essas somas forem iguais. Exemplo: - 43813: 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2º 4º Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Exemplo: ) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Exemplo: a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). Fatoração numérica Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O produto de todos os fatores primos representa o número fatorado. Exemplo: Divisores de um número natural Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 12 = 22 . 31 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. Logo o número de divisores de 12 são: 22⏟ (2+1) . 31⏟ (1+1) → (2 + 1) .(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na decomposição do número natural. Exemplo: 12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 20 . 30=1 20 . 31=3 21 . 30=2 21 . 31=2.3=6 22 . 31=4.3=12 22 . 30=4 O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 Observação Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois divisores, um negativo e o outro positivo). Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. Questões 01. O número de divisores positivos do número 40 é: (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 20 02. O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 03. Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é: (A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 8 (E) 10 Respostas 01. Resposta: A. Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: APOSTILAS OPÇÃO Matemática 12 3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40. 02. Resposta: D. Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo: 4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos: 24 = 23 .3 , para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e multiplicamos o resultado: (3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 03. Resposta: D. Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. Logo os finais devem ser 4 e 6: 354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números. MDC O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos os números dados. Consideremos: - o número 18 e os seus divisores naturais: D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. - o número 24 e os seus divisores naturais: D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18, 24) = 6. Outra técnica para o cálculo do MDC: Decomposição em fatores primos Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: - Decompomos cada número dado em fatores primos. - O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente. Exemplo: MMC O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números dados. Consideremos: - O número 6 e os seus múltiplos positivos: M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} - O número 8 e os seus múltiplos positivos: M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24 Outra técnica para o cálculo do MMC: Decomposição isolada em fatores primos Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: - Decompomos cada número dado em fatores primos. - O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente. Exemplo: O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B Questões 01. Um professor quer guardar 60 provas amarelas, 72 provas verdes e 48 provas roxas, entre vários envelopes, de modo que cada envelope receba a mesma quantidade e o menor número possível de cada prova. Qual a quantidade de envelopes, que o professor precisará, para guardar as provas? (A) 4; (B) 6; (C) 12; (D) 15. 02. O policiamento em uma praça da cidade é realizado por um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: Grupo Intervalo de passagem Policiais a pé 40 em 40 minutos Policiais de moto 60 em 60 minutos Policiais em viaturas 80 em 80 minutos Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: (A) 160 (B) 200 (C) 240 (D) 150 (E) 180 03. Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens partem 2,4 em 2,4 minutos. Na linha2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, (A) 10 minutos e 48 segundos. (B) 7 minutos e 12 segundos. (C) 6 minutos e 30 segundos. (D) 7 minutos e 20 segundos. (E) 6 minutos e 48 segundos. APOSTILAS OPÇÃO Matemática 13 Respostas 01. Resposta: D. Fazendo o mdc entre os números teremos: 60 = 2².3.5 72 = 2³.3³ 48 = 24.3 Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12 60/12 = 5 72/12 = 6 48/12 = 4 Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo. 02. Resposta: C. Devemos achar o mmc (40,60,80) 𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 03. Resposta: B. Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim acharemos os minutos Mmc(18,24)=72 Portanto, será 7,2 minutos 1 minuto---60s 0,2--------x x = 12 segundos Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q Um número racional é o que pode ser escrito na forma 𝑚 𝑛 , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é reconhecido pela letra Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { n m : m e n em Z, n ≠0} N ᑕ Z ᑕ Q – O conjunto dos números Naturais e Inteiros estão contidos no Conjunto do Números Racionais. Subconjuntos notáveis: No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional 𝒎 𝒏 , tal que m não seja múltiplo de n. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos (decimais exatos): 3 5 = 0,6 2º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente (Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas): 1 33 = 0,3030… Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica especial (existência de um período): Uma forma decimal infinita com período de UM dígito pode ser associada a uma soma com infinitos termos desse tipo: 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎. . . = 𝑎. 1 (10)1 + 𝑎. 1 (10)2 + 𝑎. 1 (10)3 + 𝑎. 1 (10)4 … Aproveitando, vejamos um exemplo: 0,444. . . = 4. 1 (10)1 + 4. 1 (10)2 + 4. 1 (10)3 + 4. 1 (10)4 … Representação Fracionária dos Números Decimais Estando o número racional escrito na forma decimal, e transformando-o na forma de fração, vejamos os dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais após a virgula do número dado: 0,7 = 7 10 0,007 = 7 1000 2º) Devemos achar a fração geratriz (aquela que dá origem a dízima periódica) da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: a) Seja a dízima 0, 444... Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 4), então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador o período. Conjunto dos números racionais: operações fundamentais. conjunto dos números reais: operações fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais APOSTILAS OPÇÃO Matemática 14 Assim, a geratriz de 0,444... é a fração 4 9 . b) Seja a dízima 3, 1919... O período que se repete é o 19, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 3 é a parte inteira, logo ele vem na frente, formando uma fração mista: 3 19 99 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (3.99 + 19) = 316, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 316 99 Assim, a geratriz de 3,1919... é a fração 316 99 . Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada dígito que tiver o período da dízima. c) Seja a dízima 0,2777... Agora, para cada algarismo do anteperíodo se coloca um algarismo zero, no denominador, e para cada algarismo do período se mantém o algarismo 9 no denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: (Parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira com anteperíodo) d) Seja a dízima 1, 23434... O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso temos uma dízima periódica composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um anteperíodo (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos como numerador o 232. O denominador é formado pelo dígito 9 – que corresponde ao período, neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que corresponde a tantos dígitos que tiverem o anteperíodo, neste caso 0(um zero). 1 232 990 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎: (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 1222 990 Simplificando por 2, obtemos 𝑥 = 611 495 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Logo, o módulo de: − 5 7 é 5 7 . 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟: |− 5 7 | = 5 7 Números Opostos: dizemos que − 5 7 𝑒 5 7 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos − 5 7 é 5 7 ao ponto zero da reta são iguais. Inverso de um Número Racional ( a b ) −n , a ≠ 0 = ( b a ) n , b ≠ 0 → ( 5 7 ) −2 = ( 7 5 ) 2 Representação geométrica dos Números Racionais Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. Operações com Números Racionais Soma (Adição) de Números Racionais: como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e, c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de: 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑏𝑑 Subtração de Números Racionais: a subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p = 𝑎 𝑏 e q = 𝑐 𝑑 . 𝑎 𝑏 − 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑏𝑑 Multiplicação (Produto) de Números Racionais: como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e, c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de: 𝑎 𝑏 . 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑐 𝑏𝑑 O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d ou a/b . c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática. Divisão (Quociente) de Números Racionais: a divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de APOSTILAS OPÇÃO Matemática 15 multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 onde p = 𝑎 𝑏 , q = 𝑐 𝑑 e q-1= 𝑑 𝑐 ; 𝑎 𝑏 : 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏 . 𝑑 𝑐 Potenciação de Números Racionais: a potência bn do número racional b é um produto de n fatores iguais. O número b é denominado a base e o número n é o expoente. bn = b × b × b × b × ... × b, (b aparece
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