Matemática - Livro 1-256-258

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MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana256
A classificação dos pares de ângulos do cruzamento
dessas retas é tal que:
y os pares de ângulos
x e y
y e z
z e w
w e x





 recebem o nome de
adjacentes.
y os pares de ângulos
x e z
y e w



 são denominados opostos
pelo vértice (opv).
Os teoremas que podem ser enunciados aqui são:
1. Dois ângulos adjacentes no cruzamento de duas retas
são suplementares.
2. Dois ângulos opostos pelo vértice no cruzamento de
duas retas têm a mesma medida.
De modo mais prático, é correto afirmar que, entre os
quatro ângulos determinados pelo cruzamento de duas
retas oblíquas, há apenas duas medidas complementares.
s
r β
β
α
α
α + β = 180°
Se duas retas são paralelas entre si, então elas não têm
nenhum ponto de interseção. Mas, se uma terceira reta for
transversal às duas primeiras, esta intercepta cada paralela
em um ponto diferente.
Nessa situação, são determinados dois cruzamentos
distintos em que podem ser observados oito ângulos, os
quais serão todos retos se a reta transversal for perpendi-
cular às paralelas; mas, se a reta transversal for oblíqua às
paralelas, então quatro desses ângulos serão agudos e os
outros quatro serão obtusos.
t
r
s//r
y
x
w
z
b
a
d
c
A classificação dos pares de ângulos dos cruzamentos
dessas retas é tal que:
y os pares de ângulos
x e a
y e b
z e c
w e d





 são denominados corres-
pondentes.
y os pares de ângulos
a e z
b e w



 recebem o nome de
alternos internos.
y os pares de ângulos
c e x
d e y



 são chamados alternos
externos.
y os pares de ângulos
a e w
b e z



 são denominados colate-
rais internos.
y os pares de ângulos
c e y
d e x



 recebem o nome de
colaterais externos.
Os teoremas que podem ser enunciados aqui são:
1 Ângulos correspondentes terão mesma medida
Exemplo: x = a
2 Ângulos alternos internos possuirão a mesma medida
Exemplo: z = a
3 Ângulos alternos externos também apresentarão a
mesma medida Exemplo: y = d
4 Ângulos colaterais internos terão medidas suplemen
tares Exemplo: a + w = 180°
5 Ângulos colaterais externos também possuirão medi
das suplementares. Exemplo: x + d = 180°
De modo mais prático, é correto afirmar que, se duas
retas paralelas são cortadas por uma transversal oblíqua,
então, entre os oito ângulos determinados, há apenas
duas medidas suplementares.
α
α
β
β
α
α
β
β
α + β = 180°
r
t
s // r
Três retas concorrentes duas a duas em pontos dis-
tintos determinam doze ângulos que dividem o plano em
sete regiões distintas, das quais seis são abertas e uma
é fechada. A figura determinada pela região fechada é
chamada de triângulo por conter exatamente três ângu-
los. Todos os demais ângulos visíveis nesta figura estão
situados em alguma região exterior ao triângulo. Algumas
dessas regiões convexas têm medidas iguais às dos ân-
gulos do triângulo, outras têm medidas iguais à soma das
medidas de dois ângulos do triângulo.
t
s
α + β
α + β
α + β + γ = 180°
β + γ
β + γ
α + γ α + γ
β
β
α
α
γ
γ
r
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo qualquer é 180°, então, prolongando qualquer lado
de um triângulo, obtemos um ângulo externo cuja medida
é igual à soma das medidas dos ângulos internos que não
lhe são adjacentes no triângulo.
F
R
E
N
T
E
 3
257
A B C
D
FE
35°
75°
α
A 10°
b 20°
C 30°
D 40°
E 50°
Resolução:
De acordo com o segundo postulado da Geometria
Euclidiana, podemos prolongar a reta ED
� 
 até que ela
intercepte a reta AC
� 
 em um ponto P.
A B CP
D
FE
35°
75°
35°
α
Como as retas AC
� 
 e EF
� 
 são paralelas, os ângulos al
ternos internos de vértices E e P têm mesma medida,
que é de 35° Como o ângulo com 75° no vértice B é
um ângulo externo do triângulo PBD, temos:
α + 35° = 75° ⇒ α = 40°
Alternativa: D.
7 Se as retas r e s são paralelas, e os ângulos α e β
medem, respectivamente, 75° e 65°, quanto mede o
ângulo γ?
r s
β
γ
α
A 140°
b 135°
C 125°
D 120°
E 90°
t
y
r
x
z
s
β
α γ
α β γ
α β
α γ
β γ
+ + = °
= +
= +
= +




180
x
y
z
Os teoremas que podem ser enunciados aqui são:
1 A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer
triângulo é igual a 180°
2 Cada ângulo externo de um triângulo mede a soma
dos ângulos internos não adjacentes
Exercícios resolvidos
5 Na figura, as retas r e s interceptam-se no ponto P,
origem da semirreta t Sabendo que t é perpendicular
à r, determine x e y.
s
r
t
yP
2x x + 15º
Resolução:
Os ângulos de medidas y e (x + 15°) são comple-
mentares Portanto: y + x + 15° = 90°
Os ângulos de medidas 2x e y são opostos pelo
vértice, logo: 2x = y
Assim, substituindo y na primeira equação, temos:
2x + x + 15° = 90°
3x = 75°
x = 25°
Então, y = 2 · 25° = 50°.
6 Na figura, se as retas AC
� 
 e EF
� 
 são paralelas, qual
deve ser o valor do ângulo α formado pelo segmento
BD e pela semirreta ED

?
MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana258
Resolução:
De acordo com o quinto postulado da Geometria Eucli-
diana, por um ponto fora de uma reta passa uma única
paralela à reta dada. Assim, pelo vértice do ângulo γ, po-
demos traçar uma reta que seja paralela às retas r e s.
r s
β
βα
α
Depois de traçada essa paralela, o ângulo γ ca dividi-
do em dois outros ângulos que são alternos internos
dos ângulos α e β.
Portanto, γ = α + β = 75° + 65° = 140°.
Alternativa: A.
8 A figura a seguir ilustra a posição relativa de quatro
ruas de um bairro da capital de São Paulo. Neste
esquema, vemos que as ruas representadas pelas
retas r e s são paralelas e que s, t e u se cruzam
em um mesmo local de modo que as seis esquinas
desse cruzamento tenham a forma de ângulos agu-
dos, cujas medidas são expressas por x, y e z, como
mostra a figura.
s // r
r
t
w
x
y
z
u
Assim, sendo w a medida do ângulo obtuso de uma
das esquinas do cruzamento entre as ruas represen-
tadas pelas retas t e r, pode-se armar que:
A w = x + y + z
b w = x + y
C w = x + z
D w = y + z
E w = x + y – z
Resolução:
Observando que, entre os ângulos internos do triân-
gulo determinado pelas retas que representam as
ruas r, t e u, temos um que é oposto pelo vértice ao de
medida x e outro que é alterno interno ao de medida
z, como mostra a gura.
s // r
r
t
w
x
x
y
z
z
u
Portanto, do teorema do ângulo externo de um triân-
gulo, obtemos w = x + z.
Alternativa: C.
Sobre os ângulos internos de um triângulo, também
é interessante observar que o ângulo de maior medida
sempre fica oposto ao lado de maior comprimento e que
o ângulo de menor medida sempre fica oposto ao lado de
menor comprimento.
Assim, se não houver o maior ângulo, então não existirá
maior lado e, se não houver o menor ângulo, também não
existirá o menor lado.
α
α
β
β β
β
Os triângulos com essas características possuem, além
de dois ângulos de mesma medida que ficam opostos aos
dois lados de mesmo comprimento, um eixo de simetria de
reflexão e recebem o nome de isósceles.
Em geral, o lado de um triângulo isósceles que possui
comprimento diferente dos demais é denominado ase do
triângulo. Assim, podemos afirmar que o eixo de simetria
desse tipo de triângulo é a reta mediatriz de sua base.
Alguns triângulos podem até ter os três ângulos de
mesma medida. Nesse caso, a medida desses ângulos será
de 60° e todos os lados do triângulo terão o mesmo com-
primento. Esses triângulos possuem três eixos de simetria
e são denominados equiláteros.
Os teoremas que podem ser enunciados aqui são:
1. Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm a
mesma medida
2 Os três ângulos internos de um triângulo equilátero me-
dem 60°
A classificação dos triângulos pode ser feita de duas
maneiras distintas. Quanto às medidas dos ângulos, um
triângulo pode ser:
y Acutângulo: quando todos os seus ângulos forem
agudos.
y Retângulo: quando um de seus ângulos for reto.
y Otusângulo: quando um de seus ângulos for obtuso.
E, quanto às medidas dos lados, um triângulo pode ser:
y Escaleno: quando as medidas dos três ladosforem di-
ferentes.
y Isósceles: quando pelo menos duas das medidas coin-
cidirem.
y Equilátero: quando todos os lados tiverem a mesma
medida.
Agora, quando um par de retas paralelas intercepta
outro par de retas paralelas, ocorrem quatro pontos de