Matemática - Livro 1-337-339

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F
R
E
N
T
E
 3
337
Teorema das cevianas
Em um triângulo, quando três cevianas se interceptam
no mesmo ponto, elas dividem os lados do triângulo em
razões cujo produto é unitário
C
R
Q
BA
P
AP
PB
BQ
QC
CR
RA
⋅ ⋅ = 1
Esse teorema foi provado, em 1678, pelo geômetra e
engenheiro italiano Giovanni Ceva (1646-1734) – daí o termo
“ceviana”, criado em homenagem a ele. Por isso, o teorema
também é conhecido como teorema de Ceva.
Demonstração:
Consideremos que, se dois triângulos têm a mesma
altura, então suas áreas são diretamente proporcionais aos
comprimentos de suas bases.
C
R
Q
BA
P
S
Sendo S o ponto de interseção das cevianas e indi
cando entre colchetes as áreas dos triângulos, da figura,
podemos extrair as seguintes proporções:
AP
PB
APC
BPC
APS
BPS
APC APS
BPC BPS
ASC
BSC
• =
 
 
=
 
 
=
  −  
   
=
 
 
BQ
QC
BQA
CQA
BQS
CQS
BQA BQS
CQA CQS
ASB
ASC
• =
 
 
=
 
 
=
   
  −  
=
 
 
CR
RA
CRB
ARB
CRS
ARS
CRB CRS
ARB ARS
BSC
ASB
• =
 
 
=
 
 
=
   
  −  
=
 
 
Multiplicando essas razões, obtemos:
AP
PB
BQ
QC
CR
RA
ASC
BSC
ASB
ASC
BSC
ASB
AP
PB
BQ
QC
C
⋅ ⋅ =
[ ]
[ ]
⋅
[ ]
[ ]
⋅
[ ]
[ ]
⋅ ⋅
RR
RA
1=
Exercício resolvido
15 Em um triângulo ABC, de base AB = 6, M é o ponto
médio do lado AC e o ponto D divide o lado BC de
modo que CD = 3 ⋅ BD. Além disso, os segmentos AD
e BM se interceptam no ponto F, e a reta CF
� 
 intercep-
ta o lado AB no ponto E.
Determine o comprimento do segmento AE.
Resolução:
Sendo AM = a, como M é ponto médio de AC, então
CM = AM = a Se BD = b, logo CD = 3 ⋅ BD = 3b E,
sendo AE = x, temos EB = 6 x Uma gura de acordo
com o enunciado pode ser:
E
M
CB D
F
a
x
A
6–x
3bb
a
Pelo teorema das cevianas, obtemos:
AE
EB
BD
DC
CM
MA
1
x
6 x
b
3b
a
a
1⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ =
Simplicando as frações expressas por a e b, encon-
tramos:
x
6 x
1
3
1
x
3 6 x
1 x 3 6 x
x 18 3x 4x 18 x
9
2
−
⋅ = ⇔
−( )
= ⇒ = ( ) ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
Portanto, AE
9
2
4,5= = .
Teorema de Menelaus
Se três retas determinam um triângulo ABC e uma quar
ta reta intercepta as retas AB
� 
, BC
� 
 e AC
� 
, respectivamente,
nos pontos D, E e F, então: AD
BD
BE
CE
CF
AF
⋅ ⋅ = 1
CB
D
F
E
A
Esse teorema foi demonstrado pelo geômetra e astrô-
nomo Menelaus de Alexandria, por volta do século II d.C.
Demonstração:
Traçando pelo ponto B uma paralela à retaDE
� 
, obtemos
o ponto P no prolongamento do lado AC do triângulo:
C
P
B
D
F
E
A
MATEMÁTICA Capítulo 4 Teorema dos senos e dos cossenos338
Aplicando o teorema de Tales nas transversais AB
� 
 e
AP
� 
, encontramos:
P
B
D
F
A
AD
BD
AF
FP
AD
BD
FP
AF
1= ⇔ ⋅ =
Aplicando o teorema de Tales nas transversais FP
� 
 e
BE
� 
, temos:
C
P
B
F
E
CF
FP
CE
BE
CF
FP
BE
CE
1= ⇔ ⋅ =
Multiplicando as equações obtidas, encontramos:
AD
BD
FP
AF
CF
FP
BE
CE
1 1⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Cancelando FP e reordenando as frações, obtemos:
AD
BD
BE
CE
CF
AF
1⋅ ⋅ =
Exercício resolvido
16 Em um triângulo equilátero ABC de lados medindo
12 cm, P é um ponto do lado AB tal que AP = 4 cm e Q
é um ponto do lado AC. Sabendo que o ponto R, de
intersecção das retas PQ
� 
 e BC
� 
, é tal que BR = 9 cm,
determine o comprimento do segmento AQ.
Resolução:
Sendo AQ = x, uma gura de acordo com o enunciado é:
R
P
Q
C12
12 X
B9
8
4
A
x
Pelo teorema de Menelaus, temos:
AP
BP
BR
CR
CQ
AQ
1
4
8
9
9 12
12 x
x
1⋅ ⋅ = ⇔ ⋅
+( )
⋅
( )
=
Fazendo as simplicações possíveis, encontramos:
1
2
3
7
12 x
x
1⋅ ⋅
−( )
=
Resolvendo a equação, obtemos:
1
2
3
7
12 x
x
3 12 x
14x
1
14x 36 3x 17x 36 x
36
17
⋅ ⋅
−( )
= ⇔
−( )
= ⇒
⇒ = − ⇒ = ⇒ =
1
Revisando
1 O ponteiro das horas de um relógio de parede mede
21 cm, e o ponteiro dos minutos mede 32 cm. Em dado
instante, após o meio-dia, esses ponteiros formam um
ângulo obtuso, como mostra a figura a seguir:
12
6
9
10 2
8 4
111
57
3
Se, nesse momento, a distância entre as extremidades
dos dois ponteiros for expressa, em centímetros, por
um número múltiplo de 5, então o maior valor possível
para essa distância é:
A 35 cm
b 40 cm.
C 45 cm
D 50 cm
E 55 cm.
F
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339
2 A Geometria Plana é, desde seu princípio, a ciência de
se medir a Terra. Atualmente, o profissional que coleta
essas medidas é chamado de topógrafo. Leia as duas
situações a seguir e resolva-as.
Situação 1: Um topógrafo quer determinar a distância
entre os pontos A e B situados em lados opostos de
um rio, como ilustra a figura a seguir (fora de escala):
75°
45°
B
A
P
Para isso, ele verifica que o ângulo APB mede 45°, que
a distância entre A e P é de 24,5 m e que o ângulo PAB
mede 75°. Sabendo que 24,5 é um valor próximo de
10 6 e que os lados de um triângulo são diretamente
proporcionais aos valores dos senos de seus ângulos
opostos, ajude o topógrafo a calcular a distância de
A até B.
Situação 2: Outro topógrafo quer determinar a distância
entre os pontos A e B, mas não pode percorrê-la, pois
entre esses pontos há um morro muito alto, como ilustra
a figura seguinte (fora de escala):
800 m
500 m
B
A
P
Para isso, ele verifica que a distância entre os pontos
P e A é de 500 m, que o ângulo APB mede 60° e que
a distância entre os pontos P e B é de 800 m Usando
o teorema dos cossenos, ajude o topógrafo a calcular
a distância entre os pontos A e B
3 Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circun-
ferência de centro O e raio 25 cm.
O
CB
A
H
Sabendo que AB = 35 cm e AC = 40 cm, determine a
medida da altura AH desse triângulo.
4 Uece 2016 A medida do cosseno do maior dos ângu-
los internos do triângulo cujas medidas dos lados são
respectivamente 8 m, 10 m e 15 m é igual a
A –0,38125.
b –0,42112.
C –0,43713.
D –0,46812.