(Coleção do Professor de Matemática) João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana-SBM (2006)

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ISBN: 85-85818-02-6 
GeoITietria 
Euclidiana Plana 
João Lucas Marques Barbosa 
Nona Edição 
Coleção do Professor de Matemática 
SOCIEDADE 
· BRASILEIRA 
· li] DE MATEMÁTICA 
1■ p SOCIEDADE 
BRASILEIRA 
, ~~ DE MATEMÃTICA 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
• Logaritmos - KL.Lima 
• Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios - A.C.Morgado, 
J.B.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez 
• Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E,L.Lima 
• Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E,L.Lima 
• Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - KL.Lima com a colaboração 
de P.C.P.Carvalho 
• Trigonometria, Números Complexos - M.P.do Carmo, A.C.Morgado, E.Wagner, 
Notas Históricas de J.B.Pitombeira 
• Coordenadas no Espaço - E.L.Lima 
• Progressões e Ivfatemática Financeira - A.C.Morgado, E.Wagner e S.C.Zani 
• Construções Geométricas - E.Wagner com a colaboração de J.P.Q.Carneiro 
• Introdução à Geometria Espacial - P.C.P.Carvalho 
• Geometria Euclidiana Plana - J.L.M.Barbosa 
• Isometrias - E.L.Lima 
• A Matemática do Ensino Médio Vol.1 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• A Matemática do Ensino Médio Vol,2 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• Matemática e Ensino - E.L.Lima 
• Temas e Problemas - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado 
• Episódios da História Antiga da Matemática - A.Aaboe 
• Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E.L.Lima 
• Temas e Problemas Elementares- E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E. Wagner e A.C.Morgado 
COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA 
• Números Irracionais e Transcendentes - D.G.de Figueiredo 
• Primalidade em Tempo Polinomial- Uma Introdução ao Algoritmo AKS- S.C.Coutinho 
COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS 
• Introdução à Computação Algébrica com o Maple - L.N.de Andrade 
• Elementos de Aritmética - A. Hefez 
• Métodos Matemáticos para a Engenharia - E.C.de Oliveira e M.Tygel 
• Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies - M.P.do Carmo 
• Matemática Discreta - L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi 
• Álgebra Linear - H.P. Bueno 
COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA 
• Introdução à Inferência Estatística - H.Bolfarine e M.Sandoval 
COLEÇÃO OLIMPÍADAS 
• Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9'ª a 16'ª - e.Moreira, E.Motta, E.Tengan, 
L.Amâncio, N.Saldanha, P.Rodrigues 
A 
A ída Marques Barbosa 
que me criou incentivando 
o ideal pelo magistério. 
A meus filhos 
Henrique, Lucas e Davi 
que só me têm dado alegrias. 
Introdução 
Desde sua publicação em 1985 este livro foi revisto apenas na edição 
ele 1994, para eliminar pequenos erros tipográficos, e, exceto pela 
inclusão ele um prefácio elo Professor Manfredo P. elo Carmo na 
edição ele 1999, não sofreu qualquer alteração relevante. 
Apesar elos inúmeros apelos, sempre me esquivei ele rever o seu 
texto; como desculpa a falta ele tempo. Foi somente depois que 
recebi um exemplar contendo a indicação ele um grande número de 
erros tipográficos e sugestões, que me convenci a fazê-lo. O exem-
plar me chegou às mãos, pelo correio, sem qualquer outra mensagem 
que uma nota manuscrita na página de rosto, logo abaixo elo título 
e do nome do autor, que dizia " ... com anotações de Vanclik Estevam 
Barbosa ... ". Fiquei encantado com o detalhamento de suas anota-
ções, com as quais concordei na quase totalidade. Foi o incentivo 
que estava faltando para me fazer colocar mãos à obra, trabalho cio 
qual resultou a presente edição. Quero, neste momento, agradecer 
ao Vanclik por sua contribuição. 
A permanência elo livro entre os mais vendidos ela Sociedade 
Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985, o que tem exigido 
constantes reimpressões, me convenceu ele que o texto não deveria 
ser modificado, apenas corrigido. Atendendo ao apelo ele grande 
número ele colegas que utilizam ou utilizaram o livro, inclui novos 
exercícios em todos os capítulos e criei um novo, no final, apenas 
com exercícios, pensando naqueles alunos que precisam fazer uma 
revisão da Geometria Euclidiana. Neste mister fui auxiliado dire-
tamente por três alunos de iniciação científica do Departamento de 
Matemática da UFC: a Valdenize Lopes do Nascimento, o Antonio 
Marcelo Barbosa da Silva e o Gláucio Cordeiro Alencar, que se dis-
puseram a encontrar, selecionar e resolver uma enorme quantidade 
de exercícios de geometria. Se por um lado eles me auxiliaram bas-
tante, por outro, aprofundaram seus conhecimentos matemáticos. 
Agradeço-lhes elo excelente trabalho que fizeram 
Devo também agradecer a contribuição do meu filho mais novo, 
Davi, que no presente ano cursa o terceiro científico e se prepara 
para o vestibular. Os problemas de Matemática, que me trouxe, 
vez por outra, sem que soubesse, serviram de inspiração para a 
proposta de novos exercícios. 
Infelizmente todas as figuras do texto original foram perdidas e 
tiveram de ser refeitas. Para isto contei com o talento e dedicação 
do Márcio Pereira da Silva, o qual investiu tempo e esforço para 
reconstituí-las e para produzir outras, que acompanham os novos 
exercícios. 
Agradeço a todos os que direta ou indiretamente, colaboraram 
com esta edição do livro, particularmente a Professora Suely Driick, 
atual presidente da Sociedade Brasileira de Matemática e a todos 
os professores que, ao longo dos anos, me enviaram indicações de 
erros tipográficos no texto das edições anteriores deste livro. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, Julho de 2003 
ii 
Prefácio da 4~ Edição 
Até a publicação deste livro do Professor João Lucas Barbosa, não 
existia em português um texto que pudesse ser indicado para um 
estudante iniciar o seu aprendizado ela Geometria axiomtica. O 
método ela geometria axiomtica fornece uma demonstração tão con-
vincente da força do pensamento puro que os livros ele Euclides 
foram usados, através dos séculos, para treinar inteligências em 
formação, e serviram de modelos ele rigor para trabalhos tais como 
a Ética ele Espinoza e os Princípios de Newton. A Geometria ele-
mentar é o domínio por excelência no qual o método axiomático 
pode ser aplicado em situaçes que, embora simples, dão resultados 
altamente não-triviais. Tais métodos devem, portanto, fazer parte 
ela formação básica de um cidadão. Os livros ele Euclides são, entre-
tanto, difíceis para principiantes (além ele ser incompleta a axiomá-
tica ele Euclides) e, em outros países, várias tentativas foram feitas 
para tornar mais accessível ( e mais completo) o método axiomáti-
co no ensino da Geometria. No Brasil, há anos atrás, houve um 
relativo abandono elo ensino da Geometria à maneira ele Euclides. 
Na prática, o que se passava era que o assunto era relegado para 
o fim elo curso, e quase sempre não era ensinado. Isto devia-se em 
parte às dificuldades próprias elo assunto e em parte a uma certa 
influência ela então chamada, "matemática moclerna"que, embora 
utilizando a axiomática em outros tópicos, propugnava a eliminação 
ela Geometria ele Euclides no ensino básico. Foi neste quadro que 
iii 
apareceu o livro cio Professor Lucas Barbosa. Utilizando uma mo-
dificação ela axiomática ele Euclides, devida ao matemático russo 
A.V. Pogorelov, o Professor Lucas produziu um texto em português 
apresentando os elementos fundamentais ela Geometria Plana ele 
modo accessível, eficiente e correto. Que o livro foi bem recebido 
é comprovado pelo fato que ele foi reimpresso diversas vezes e quecontinua a demanda por novas edições. O livro, como diz o co-
nhecido chavão, preencheu uma lacuna. Ele é uma boa referência 
em português para aqueles que queiram ir mais adiante no estudo 
ela Geometria. Por exemplo, o excelente ((Medida e Forma em 
Geometria"clo Professor Elon Lima cita o livro cio professor Lu-
cas como referência para Geometria Plana. Em verclacle, O livro cio 
Professor Elon e um curso ele Geometria Hiperbólica dado no XX 
Colóquio Brasileiro ele Matemática pelo Professor Lucas constituem 
uma ótima continuação para os estudos aqui iniciados. Com isto, 
começo a me afastar cio meu tema inicial e creio conveniente con-
cluir aqui este Prefácio. Antes, porém, quero parabenizar o Profes-
sor Lucas pelo ótimo trabalho realizado. 
Manfreclo Perdigão cio Carmo 
19 ele abril ele 1999. 
iv 
Introdução da 3~ edição 
Esta é uma edição revista elo livro ele mesmo título que escrevi há 
cerca ele vinte anos e que foi publicado, em sucessivas impressões, 
na coleção Fundamentos ele Matemática Elementar ela Sociedade 
Brasileira ele Matemática. 
A revisão consistiu essencialmente na alteração cio enunciado ele 
alguns elos exercícios e problemas propostos, a correção de alguns 
erros ele datilografia e a possível inclusão ele alguns novos ... 
Agradeço a todos aqueles que me indicaram erros e enganos 
no texto original e fizeram sugestões para modificações do mesmo. 
Foram mais ele uma centena ele cartas, algumas apresentando a 
contribuição ele turmas inteiras ele cursos ele geometria em que ele. 
foi adotado. Por ser impossivel aqui registrar todos os seus nomes, 
quero representa-los na pessoa cio mais ilustre destes leitores, o 
Professor Manfreclo Perdigão cio Carmo, que me enviou em 1986 
uma cópia cio livro com suas observações e sugestões, a qual utilizei 
como repositório ele todas as que me foram enviadas posteriormente, 
o que simplificou sobremaneira a preparação desta nova edição. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, julho ele 1994 
V 
Introdução da 1~ edição 
Este livro foi escrito para servir de texto a uma disciplina de Geo-
metria para alunos ele cursos de licenciatura em Matemática. Ele 
contém o material padrão de um curso ele Geometria Euclidiana 
Plana, excetuando-se os tópicos relativos a movimentos e a cons-
trução de figuras com régua e compasso. Este material será incluído 
numa versão futura deste texto. 
Os axiomas adotados são aqueles selecionados por A.V. Pogo-
rélov no seu livro "Geometria Elemental". Estes axiomas têm a 
vantagem de levarem o aluno rapidamente aos teoremas mais impor-
tantes da Geometria Plana. Em alguns casos eles estão enunciados 
ele forma mais ampla do que seria necessário. Por exemplo, um de-
les afirma que, dada uma reta existem pontos sobre ela e pontos fora 
dela. De fato seria suficiente postular apenas a existência ele dois 
pontos sobre a reta e um ponto fora dela. Os axiomas sobre medição 
ele segmentos e medição de ângulos são extremamente vantajosos elo 
ponto ele vista metodológico. Primeiramente eles evitam o traba:ho 
ele estabelecer os conceitos ele medida ele segmentos e ele medida ele 
ângulos. É sabido que a introdução destes conceitos, quando se faz 
uso de uma axiomática clássica, constitui-se num problema nada 
simples e que requer a utilização ele meios inacessíveis ao aluno, 
por sua profundidade. Segundo, através dos a.xiomas de medição, 
incorpora-se a aritmética e a álgebra elementar ao arsenal de meios 
utilizáveis para as demonstrações cios teoremas ela Geometria. 
vii 
A introdução cio quinto postulado, característico ela Geometria 
Euclidiana, é retardada até o capítulo 6. Assim, os teoremas obti-
dos até o capítulo 5 são válidos em uma geometria não Euclidiana 
em que sejam verdadeiros os quatro primeiros axiomas. Neste as-
pecto este livro poderia ser considerado como um texto preliminar 
a um curso ele Geometria não Euclidiana ou servir como fonte ele 
referência para alunos daqueles cursos. 
O livro está organizado em 10 capítulos. Cada um deles contém, 
além ela parte ele conteúdo, uma relação ele exercícios, uma ele 
problemas e um texto denominado "Comentário". A separação 
elas questões propostas aos alunos, em problemas e exercícios, foi 
feita, em princípio, considerando-se que os problemas complemen-
tam a teoria e têm um caráter mais conceituai, enquanto que os 
exercícios destinam-se mais à fixação cio conteúdo apresentado. Os 
comentários constituem-se numa seleção ele pequenos tópicos, que 
não fazem parte cio conteúdo cio livro, mas que têm sido ele muita 
utiliclacle na formação cios alunos cios cursos ele Geometria que tenho 
lecionado. Incentivado por eles fui levado a incluir alguns destes pe-
quenos tópicos neste livro. 
Ao finalizar esta introdução gostaria de agradecer ao professor 
José Euny Moreira, que leu criticamente a versão manuscrita deste 
texto, e a minha esposa Cira que me incentivou a escrevê-lo. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, maio ele 1985 
viii 
Sumário 
Introdução 
Prefácio da 4ª Edição 
Introdução da terceira edição 
Introdução da primeira edição 
1. Axiomas de Incidência e Ordem 
2. Axiomas sobre Medição de Segmentos 
3. Axiomas sobre Medição de Ângulos 
4. Congruência 
111 
V 
Vll 
1 
13 
29 
45 
5. O Teorema do Ângulo Externo e suas Conseqüências 61 
6. O Axioma das Paralelas 
7. Semelhança de Triângulos 
8. O Círculo 
9. Funções Trigonométricas 
ix 
85 
109 
127 
157 
10. Área 
11. Revisão e Aprofundament: 
X 
175 
195 
CAPÍTULO 1 
AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ÜRDEM 
As figuras geométrica elementares, no plano, são os pontos e as 
retas. O plano é constituído de pontos e as retas são subconjuntos 
distinguidos ele pontos do plano. Pontos e retas cio plano satisfazem 
a cinco grupos ele axiomas que serão apresentados ao longo deste e 
dos próximos capítulos. 
O primeiro grupo ele axiomas é constituído pelos axiomas de 
incidência. 
Axioma 11 Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem 
e pontos que não pertencem à reta. 
Axioma 12 Dados dois pontos distintos existe uma única reta que 
os contém. 
Quando duas retas têm um ponto em comum diz-se qt1e elas se 
intersectam ou que elas se cortam naquele ponto. 
Proposi-;ão 1.1 Duas retas distintas ou não se intersectam ou se 
intersectarr:, em um único ponto. 
Prova: Sejam rn e n duas retas distintas. A interseção destas duas 
retas não pode conter dois (ou mais) pontos, cio contrário, pelo 
1 
2 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
axioma 12 , elas coincidiriam. Logo a interseção de m e n é vazia ou 
contém apenas um ponto. 
Imaginamos um plano como a superfície de uma folha de papel 
que se estende infinitamente em todas as direções. Nela um ponto 
é representado por uma pequena marca produzida pela ponta de 
um lápis, quando pressionada sobre o papel. O desenho da parte 
de uma reta é feito com o auxílio de uma régua. 
A 
o 
Figura 1.1 
Ao estudarmos geometria é comum fazer-se uso de desenhos. 
Nós mesmos faremos uso extensivo de desenhos ao longo destas 
notas. O leitor, no entanto, deve ser advertido, desde logo, que os 
desenhos devem ser considerados apenas como um instrumento de 
ajuda à nossa intuição e linguagem. 
Utilizaremos letras maiúsculas A, B, C, ... para designar pontos, 
e letras minúsculas a, b, e, ... para designar retas. Por exemplo, na 
Figura 1.2 
figura a:cima estão representados três pontos: A, B e C, e duas 
retas: me n. O ponto A é o ponto de interseção das du~ \~tas. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 3 
A figura abaixo apresenta uma reta e três pontos A, B e C desta 
reta. O ponto C localiza-se entre A e B ou, equivalentemente, os 
pontos A e B estão separados pelo ponto C. 
A e B 
Figura 1.3 
A noção de que um ponto localiza-se entre dois outros é uma 
relação, entre pontos de uma mesma reta, que satisfaz aos axiomas 
II1 , II2 e Ih apresentados a seguir. Estes são referidos como axiomas 
de ordem. 
Axioma II1 Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas 
um deles localiza-se entre osoutros dois. 
Definição 1.2 O conjunto constituído por dois pontos A e B e por 
todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado segmento 
AB. Os pontos A e B são denominados extremos ou extremidades 
do segmento. 
Muitas figuras planas são construídas usando-se segmentos. A 
mais simples delas é o triângulo que é formado pôr três pontos que 
não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determi-
nados por estes três pontos. Os três pontos são chamados vértices 
do triângulo e os segmentos, lados do triângulos. 
B 
Figura 1.4 
4 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Definição 1. 3 Se A e B são pontos distintos, o conjunto consti-
tuído pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos C tais que 
B encontra-se entre A e C, é chamado de semi-reta de origem A 
contendo o ponto B, e é representado por S.4B. O ponto A é então 
denominado origem da semi-reta S AB 
A B 
Figura 1.5 
Observe que dois pontos A e B determinam duas semi-retas SAB 
e SnA as quais contêm o segmento AB. 
A B 
Figura 1.6 
Proposição 1.4 Para as semi-retas determinadas por dois pontos 
A e B tem-se: 
a) SAB U SBA é a reta determinada por A e B, 
Prova (a) Sejam a reta determinada por A e B. Como SAB e SBA 
são constituídas ele pontos ela reta m, então SAB U SBA e m. Por 
outro lado, se C é um ponto ela reta m então, ele acordo com o 
axioma 111, uma das três possibilidades exclusivas ocorre: 
1) C está entre A e B, 
2) A está entre B e C, 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 5 
3) B está entre A e C. 
No caso (1), C pertence ao segmento AB; no caso (2), C per-
tence a SBAi e no caso (3), C pertence a SAB· Portanto, em qual-
quer caso, C pertence a SAB U SBA· 
A prova ele (b) é deixada como exercício para o leitor. 
Axioma Ih Dados dois pontos distintos A e B sempre existem: 
um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e 
D. 
Uma conseqüência imediata deste axioma é que, entre quaisquer 
dois pontos ele uma reta, existe uma infinidade ele pontos. Também 
é uma conseqüência dele que uma semi-reta S'AB contém uma in-
finidade ele pontos além daqueles contidos no segmento AB. 
Considere uma reta m e dois pontos A e B que não pertencem 
a esta reta. Diremos que A e B estão em um mesmo lado da reta 
m se o segmento AB não a intercepta. 
Definição 1.5 Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence 
a m. O conjunto constituído pelos pontos de m e por todos os pontos 
B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é chamado 
de semi-plano determinado por m contendo A, e será representado 
por Pm.A· 
Axioma Ih Uma reta m determina exatamente dois semi-planos 
distintos cuja interseção é a reta m. 
Figura 1.7 
6 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, 
da esquerda para a direita. Determine: 
a) ABUBC 
b) AB n BC 
e) ACnBD 
d) AB nCD 
e) SAB n SBc 
f) SAB n SAn 
g) ScB n SBc 
h) SAB U SBc 
2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um 
conjunto de 3 retas do plano? E um conjunto de 4 retas do 
plano? 
3. Prove o item (b) da proposição (1.4). 
4. Prove a afirmação feita, no texto, ele que existem infinitos 
pontos em um segmento. 
5. Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando 
quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. 
Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio 
plano e qualquer semi-plano. Mostre que a interseção de dois 
semi-planos é um convexo. 
6. Mostre que a interseção de n semi-planos é ainda um convexo. 
7. Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos 
pode não ser um convexo. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 7 
8. Diz-que três ou mais pontos são colineares quando eles to-
dos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que 
eles são não coline;ares. Mostre que três pontos não colineares 
determinam três retas. Quantas retas são determinadas por 
quatro pontos sendo que quaisquer três deles são não colinea-
res? 
9. Repita o exercício anterior para o caso de ô pontos. 
10. Seja U um subconjunto do plano. Dizemos que U é estrelado 
relativamente a um ponto P quando, para todo ponto A EU, 
o segmento PA esta totalmente contido em U. Mostre que 
conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer 
de seus pontos. Dê um exemplo de conjunto estrelado que 
não é convexo. 
11. Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pon-
tos mostre que ele é convexo. 
12. Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto 
A é o plano. 
13. Chama-se plano de incidência ao par (P, R) onde P é um 
conjunto de pont?s e 'R é uma coleção de subconjuntos de P, 
denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas 11, 12 e 
à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. 
Verifique se são planos de incidência os pares (P, R) seguintes: 
a) P = {A,B} e R = {{A, B}} 
b) P = {A, B, C} e 'R = {{A, B}, {A, C}} 
c) P = {A, B, C, D} e R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, 
{B, C}, {B, D}, {C, D}} 
d) P = R2 e R = {{ ( x, y) E R2; ax + by + e = O}; 
sendo ab-/= O} 
8 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e) P = {A, B, C, D} e 'R. = { {A, B, C}, {A, D}, {B, D}, 
{C,D}} 
14. Construa exemplos distintos ele planos ele incidência com 5 
pontos. 
15. Um conjunto ele n cidades é ligado por estradas de modo que 
existe sempre uma ligando diretamente quaisquer duas delas. 
Tomando-se as cidades como pontos e as estradas como retas, 
verifique a validade elos axiomas ele plano de incidência. 
16. Denomina-se uma malha tipo 2-3 ao par ('P, 'R-) onde Pé um 
conjunto de pontos e Ré uma coleção ele subconjuntos de P, 
denominados retas, satisfazendo aos seguintes axiomas: 
Ml. Cada reta contém exatamente três pontos. 
M2. Por cada ponto passam exatamente duas retas. 
M3. Por dois pontos passa no máximo uma reta. 
M4. Existe pelo menos um ponto no plano. 
Construa exemplos de tais malhas com 6 e 9 pontos. 
17. São dados quatro pontos A, B, C e D e uma reta m que não 
contém nenhum deles. Sabe-se que os segmentos AB e CD 
cortam a reta me que o segmento BC não a corta. Mostre 
que o segmento AD também não a corta. 
18. Dados quatro pontos A, B, C e D no plano, mostre que, se os 
segmentos AB e CD se intersectam, então os pontos B e D 
estão em um mesmo semi-plano com relação á reta que passa 
por A e C. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 9 
PROBLEMAS 
1. Discuta a seguinte questão utilizando apenas os conhecimen-
tos geométricos estabelecidos, até agora, neste livro: "Exis-
tem retas que não se interceptam?" 
2. Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas. Faça uma 
conjectura de qual será a resposta no caso de n retas. 
3. Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que AB íl CD= 
{E}. Mostre que a reta que contém AB não pode conter CD. 
4. Mostre que não existe um exemplo de um plano de incidência 
com 6 pontos, em que todas as retas tenham exatamente 3 
pontos. 
5. Se C pertence a SAB e C =/- A, mostre que: SAB = SAc, que 
BC e SAB e que A <j. BC. 
6. Demonstr~ que a interseção de convexos é ainda um con,rexo. 
7. Mostre que um triângulo separa o plano em duas regiões, uma 
das quais é convexa. 
8. Generalize os exercícios 8 e 9 para o caso de n pontos. 
9. Podem existir dois segmentos distintos tendo dois pontos em 
comum? E tendo exatamente dois pontos em comum? 
10. Porque o conjunto de todos os pontos do plano não pode ser 
uma reta? Pode o conjunto vazio ser uma reta do plano? 
10 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
11. De acordo com os axiomas enunciados neste capítulo, qual o 
número mínimo de pontos de uma reta? 
12. Dado um conjunto P com n pontos, qual o número máximo 
de retas que o torna um plano de incidência? 
13. Seja (P, n) uma malha do tipo 2-3. Mostre que o número de 
elementos de Pé divisível por 3, e que o número de elementos 
de n é divisível por 2. 
14. Construa exemplos de malhas do tipo ·2-3 com 12 e 18 pontos. 
15. Generalize a noção de malha do tipo 2-3 para malha do tipo 
2-n. Classifique as malhas do tipo 2-2. 
16. Construa um exemplo de malha do tipo 2-4 com 16 pontos. 
Construa, emgeral exemplo de malha do tipo 2-n com 2n 
pontos. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 11 
COMENTÁRIO 
Para se aprender a jogar algum jogo, tal como damas, firo, 
xadrez, etc., temos que, inicialmente, aprender as suas regras. Um 
pai tentando ensinar seu filho a jogar damas dirá algo como: "Este 
é o tabuleiro de damas e estas são as pedras com que se joga", "São 
12 para cada jogador", "As pedras são arrumadas no tabuleiro as-
sim.", e arrumará as pedras para o filho. Aí já terá recebido uma 
enxurrada de perguntas do tipo: "Por que as pedras só ficam nas 
casas pretas?" , "Por que só são doze pedras?", "Eu acho mais boni-
tas as pedras brancas nas casas pretas e as pretas nas casas brancas, 
por que não é assim?", etc. 
Todas estas perguntas têm uma única resposta: Porque esta 
é uma das regras do jogo. Se alguma delas for alterada, o jogo 
resultante, embora possa ser também muito interessante, não será 
mais um jogo de damas. 
Observe que, ao ensinar um tal jogo, você dificilmente deter-se-
ia em descrever o que são as pedras. O importante são as regras do 
jogo, isto é, a maneira de arrumar as pedras no tabuleiro, a forma 
de movê-las, a forma de "comer" uma pedra do adversário, e etc. 
Qualquer criança, após dominar o jogo, improvisará tabuleiros com 
riscos no chão e utilizará tampinhas de garrafa, botões, cartões, e 
etc., como pedras. 
Ao criar-se um determinado jogo é importante que suas regras 
sejam suficientes e consistentes. Por suficiente queremos dizer que 
as regras devem estabelecer o que é permitido fazer em qualquer 
situação que possa vir a ocorrer no desenrolar de uma partida do 
jogo. Por consistente queremos dizer que as regras não devem 
contradizer-se, ou sua aplicação levar a situações contraditórias. 
12 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Geometria, como qualquer sistema dedutivo, é muito parecida 
com um jogo: partimos com certos conjuntos de elementos (pon-
tos, retas, planos) e é necessário aceitar algumas regras básicas que 
dizem respeito às relações que satisfazem estes elementos, as quais 
são chamadas de axiomas. O objetivo final deste jogo é o ele deter-
minar as propriedades elas figuras planas e cios sólidos no espaço. 
Tais propriedades, chamadas Teoremas ou Proposições, devem ser 
clecluziclas somente através cio raciocínio lógico a partir cios axiomas 
fixados ou a partir de outras propriedades já estabelecidas. 
De fato, existem várias geometrias distintas clepenclenclo elo con-
junto de axiomas fixado. A geometria que iremos estudar nestas no-
tas é chamada de Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides 
que a descreveu no seu livro, denominado "Elementos". 
CAPÍTULO 2 
AXIOMAS SOBRE l\1EDIÇÃO DE SEGMENTOS 
O instrumento utilizado para medir comprimento ele segmentos é 
a régua graduada. Na figura abaixo o segmento AB mede 3cm, o 
segmento AC mede 8cm, e o segmento BC mede 5cm. 
A B e 
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \ 
111111111111111q1111p111111111111q11111p111111111111111111p111111111111q1111p11111111p111 
\ 
Figura 2.1 
Observe que ao ponto B, corresponde (na régua) o número 3 e 
ao ponto C, o número 8. A medida elo segmento BC é obtida pela 
diferença 8 - 3 = 5. É claro que a régua poderia ter sido colocada 
em muitas outras posições e números diferentes corresponderiam 
aos pontos B e C. No entanto, em cada caso, a diferença entre eles 
seria sempre 5 que é a medida do segmento BC. 
Estes fatos são introduzidos em nossa geometria através ele axio-
mas. 
Axioma III1 A todo par de pontos elo plano corresponde um 
número maior ou igual a zero. Este número é zero se e só se os 
pontos são coincidentes. 
13 
14 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
O número a que se refere este axioma é chamado de distância 
entre os pontos ou é referido como o comprimento do segmento 
determinado pelos dois pontos. Está implícito no enunciado do 
axioma, a escolha de uma unidade de medida que será fixada de 
agora em diante ao longo destas notas. 
Axioma III2 Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados 
em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que 
a diferença entre estes números meça a distância entre os pontos 
correspondentes. 
Este axioma bem poderia receber o apelido de axioma da "régua 
infinita" pois, ao estabelecer a correspondência biunívoca entre os 
números reais e os pontos da reta, a própria reta torna-se como que 
uma régua infinita que pode ser usada para medir o comprimento 
de segmentos nela contidos. 
Ao aplicarmos este axioma, o número que corresponde a um 
ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. 
De acordo com o axioma 1111 o comprimento ele um segmento 
AB é sempre maior do que zero. Assim, se a e b são as coorde-
nadas das extremidades deste segmento, o seu comprimento será a 
diferença entre o maior e o menor destes números. Isto é equivalente 
a tomar-se a diferença entre a e bem qualquer ordem e, em seguida, 
considerar o seu valor absoluto. Nós indicaremos o comprimento do 
segmento AB pelo símbolo AB. Portanto 
AB = lb-al. 
Axioma III3 Se o ponto C encontra-se entre A e B então 
Com a introdução dos axiomas 1111 , llh e llh, podemos rela-
cionar a ordenação dos pontos· de uma reta, introduzida através dos 
axiomas 111 e 112 , com a ordem dos números reais. Os números reais 
são ordenados pela relação "menor do que" ( ou pela relação "maior 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 15 
do que"), e faz sentido dizer-se que um número e está entre dois 
outros a e b, quando ocorre a < e < b ou b < e < a. 
Proposição 2.1 Se, em uma semi-reta SAB, considerarmos um 
segmento AC com AC < AB, então o ponto C estará entre A e B. 
Prova: Certamente o ponto A não pode estar entre B e C, já que B 
e Cestão na mesma semi-reta de origem A. Se o ponto B estivesse 
entre A e C então, pelo axioma Ilh, teríamos AB + BC = AC e, 
como conseqüência, AB < AC. Mas esta desigualdade é contrária 
a hipótese AC< AB. Portanto, é o ponto C que está entre A e B. 
Teorema 2.2 Sejam A, B e C pontos distintos de uma mesma reta 
cujas coordenadas são, respectivamente, a, b e e. O ponto C está 
entre A e B se e só se o número c está entre a e b. 
Prova Se C está entre A e B então, pelo axioma Ilh, tem- se que 
AC+ CB = AB, ou seja 
lc - ai + lb - cl = la - bl . 
Vamos supor inicialmente que a < b. Neste caso, da igualdade 
acima, obtém-se 
lc- ai< b- a e lb-cl < b-a. 
Como conseqüência, c - a < b - a e b - c < b - a. Portanto, 
e< b e a< c. Assim, resulta que c está entre a e b. 
O caso em que b < a pode ser analisado de maneira análoga e é 
deixado a cargo do leitor. 
Reciprocamente, se o número c está entre os números a e b então 
lc - ai + lb - cl = la - bl . 
Segue-se daí que AC + C B = AB. Em particular 
e CB < AB. 
16 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Consideremos as semi-retas determinadas pelo ponto A. Se C e 
B pertencem à mesma semi-reta, então é uma conseqüência ela 
proposição anterior que C está entre A e B. Afirmo que C e B 
não podem pertencer a semi-retas distintas, isto é, não podem ser 
separados pelo ponto A. Se este fosse o caso, seria o ponto A que 
estaria entre B e C e teríamos BA + AC = BC. Mas daí resulta 
que BA < BC o que está em contradição com a designaldadc já 
obtida acima. Isto prova a afirmação e conclui a demonstração do 
teorema. 
Definição 2.3 Chamamos de ponto médio do segmento AB a um 
ponto C deste segmento tal que AC = C B. 
Teorema 2.4 Um segmento tem exatamente um ponto médio. 
Prova (Existência) Sejam a e b as coordenadas elas extremidades 
cio segmento. Considere o número c = (a+ b)/2. De acordo com o 
axioma IIl2 existe um ponto C ela reta que tem c por coorclenaela. 
Como 
AC la- cl = 'ª -ª; bl = ,~ - ~, 
C B = 1 e - bl = 1 a ; b - b 1 = 1 ~ - t 1 
concluímos que AC = C B. Como o número ( a + b) /2 está entre os 
números a e b, segue-se ela proposição anterior que C está entre A 
e B. Logo C é o ponto médio ele AB. 
( Unicidade) Seja C como obtido na prova ela existência e seja 
C' um outro ponto cio segmento AB tal que AC' = BC'. Sejam a, b 
e e' as coordenadas ciospontos A, B e C' respectivam1:;nte. Então 
teremos, 
(i) e' - a= b - e' , no caso em que a < e' < b, 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 17 
(ii) a - é = é - b, no caso em que b < é < a. 
Em ambos os casos a conclusão é que 
, a+ b 
e=--. 
2 
Assim, em qualquer circunstância, é = e e, portanto, pelo 
axioma 1112, C = C'. Fica assim provada a unicidade do ponto 
médio. 
Observação A noção de distância é uma das noções mais básicas 
da geometria. Pelo que já vimos ela satisfaz às seguintes pro-
priedades: 
1) Para quaisquer dois pontos A e B do plano, tem-se AB ~ O. 
Além disso, AB = O se e somente se A = B. 
2) Para quaisquer dois pontos A e B tem-se que AB = BA. 
Uma outra importante propriedade da distância é a desigualdade 
triangular: 
3) Para quaisquer três pontos A, B e C do plano tem-se AC ::; 
AB + BC. Igualdade ocorre se e somente se B pertence ao 
intervalo AC. 
Esta desigualdade será demonstrada no capítulo 5 (veja o teorema 
(5.11)) como conseqüência cios 4 primeiros grupos ele axiomas. 
Definição 2.5 Seja A um ponto do plano e r um número real pos-
itivo. O círculo de centro A e raio r é o conjunto constituído por 
todos os pontos B do plano tais que AB = r. 
18 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
o 
• 
A e 
e 
Figura 2.2 
É uma conseqüência elo axioma 1112 que podemos traçar um 
círculo com qualquer centro e qualquer raio. 
Todo ponto C que satisfaz a desigualdade AC < r é dito estar 
dentro elo círculo. Se, ao invés, AC > r, então C é dito estar fora 
elo círculo. O conjunto elos pontos que estão dentro do círculo é 
chamado de disco ele raio r e centro A. 
É também uma conseqüência elo axioma 1112 que o segmento ele 
reta ligando um ponto de dentro elo círculo com um ponto fora elo 
mesmo tem um ponto em comum com o círculo. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 19 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam A, B e C pontos ele uma reta. Faça um desenho repre-
sentando-os, sabendo que AB = 3, AC = 2 e BC = 5. 
2. Repita o exercício anterior, sabendo que C está entre A e B 
e que AB = 7 e AC = 5. 
3. Quatro pontos A, D, V e I estão sobre uma reta ele modo que 
suas coordenadas são número inteiros consecutivos. Sabe-se, 
além disto, que V está entre I e A e que DA < DV. Faça 
uma figura indicando as posições relativas destes pontos. 
4. Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. 
Suponha que a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto 
B seja um. Marque agora pontos cujas coordenadas são 
3, 5, 5/2, 1/3, 3/2, 2, -1, -2, -5, -1/3, -5/3. 
5. Sejam A1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada 
elo ponto médio A3 elo segmento A1A2 . Dê a coordenada elo 
ponto médio A4 elo segmento A2A3. Dê a coordenada A5 elo 
ponto médio elo segmento A3A4 . 
6. Dados três pontos colineares A, B e C tais que AB seja o 
triplo ele BC, calcule as medidas ele AB e BC sabendo que 
AC mede 32cm. 
7. São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M 
e N os pontos médios ele AB e BC respectivamente. Mostre 
que MN = (AB + BC)/2. 
20 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. São dados três pontos A, B e C com Centre A e B. Sejam M 
e N os pontos médios de AB e BC respectivamente. Mostre 
que M N = (AB - BC)/2. 
9. Considere três pontos colineares A, B e C, sendo que B fica 
entre A e C e AB = BC. Se M é o ponto médio de AB e N 
é o ponto médio de BC mostre que M N = AB. 
10. São dados pontos A, B, C e D colineares com coordenadas 
x, y, z e w tais que x < y < z < w. Prove que AC = BD se e 
só se AB = CD. 
11. Prove que, se (a/b) = (c/cl) então 
a) 
a b cl e 
cl 
e 
b e a 
b) 
a+b e+ cl a-b e - cl 
e --
a e a e 
e) 
a+b e+ cl a-b e - cl 
b cl 
e 
b d 
12. Se P é ponto de interseção de círculos de raio r e centros em 
A e B, mostre que PA = PB. 
13. Usando régua e compasso, descreva um método para constru-
ção de um triângulo com dois lados de mesmo comprimento. 
(Um tal triângulo é chamado de triângulo isósceles). 
14. Descreva um método para construção de um triângulo com 
os três lados de mesmo comprimento. (Um tal triângulo é 
chamado de triângulo eqüilátero). 
15. Mostre que, se a < b então a< (a+ b)/2 e b > (a+ b)/2. 
16. Um segmento ligando dois pontos de um círculo e passando 
pelo seu centro é chamado de diâmetro. Mostre que todos os 
diâmetros têm a mesma medida. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 21 
17. Considere um círculo de raio r. Mostre que a distância entre 
quaisquer dois pontos situados dentro do círculo é menor do 
que 2r. 
18. Considere dois círculos de raio r que não se intersectam. 
Mostre que o comprimento do segmento ligando seus centros 
é maior do que 2r. ' 
19. O círculo de raio r 1 centrado em A intercepta o círculo de raio 
r2 centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode 
afirmar sobre AB? 
20. Considere um círculo de raio r e centro A. Sejam B e C 
pontos deste círculo. O que se pode afirmar sobre o triângulo 
ABC? 
21. Considere um círculo de raio r e centro O. Seja A um ponto 
deste círculo e seja B um ponto tal que o triângulo OAB é 
eqüilátero. Qual é a posição do ponto B relativamente ao 
círculo? 
22. Dois círculos de mesmo raio e centros A e B se interceptam 
em dois pontos C e D. O que pode ser afirmado sobre os 
triângulos ABC e AC D? 
23. Sejam A, B, C e D quatro pontos da reta m tais que Besta 
entre A e C, e Cesta entre B e D. Sabendo que AB = CD 
mostre que AC = BD. 
24. Decida se existem pontos A, B e C tais que AB = 5, BC = 3 
e CA = 1. 
25. Seja m uma reta e 'H a união de todos os discos de raio 1 
e centro em pontos de m. Seja 'H' o conjunto de todos os 
pontos A satisfazendo a propriedade de que existe um ponto 
P(A) E m tal que a distância da A a P(A) e menor do que 
1. Mostre que 'H = 'H'. 
22 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
26. Decida se o resultado elo exercício anterior é verdadeiro quando 
substituímos m por um segmento LM. 
27. Uma emissora ele rádio transmite com potência suficiente para 
alcançar qualquer receptor situado a menos de 100 Km de 
sua antena. Justifique a veracidade da seguinte afirmação: 
sabendo-se que é possível viajar da cidade A para a cidade B 
ouvindo no rádio continuamente a transmissão daquela emis-
sora conclui-se que a distância entre A e B é de, no máximo, 
de 200 Km. 
28. Sejam M, A e B pontos distintos situados sobre uma mesma 
reta. Se a = 1"\1 A/ M B diz-se que M divide AB na razão a. 
Dado qualquer número real positivo a mostre que existe um 
único ponto M E AB tal que M divide AB na razão a. 
29. Dado qualquer número real positivo a -=I= 1 mostre que existe 
um único ponto M na reta determinada por A e B, que não 
pertence a AB e que divide AB na razão a. Porque o caso 
a = 1 teve ele ser excluído? 
30. Sejam M, N, A e B pontos distintos sobre uma mesma reta, 
sendo que ME AB e que N está fora de AB. Diz-se que M 
e N dividem harmonicamente o segmento AB quando 
MA NA 
====a. 
MB NB 
Quando a > 1, determine as posições relativas dos quatro 
pontos. Repita o exercício para o caso em que O < a < 1. 
31. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento 
AB. Mostre que 
2 1 1 
-=-±-
AB AM AN 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 23 
32. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento 
AB e que O seja o ponto médio ele AB. Mostre que 
33. São dados três pontos A, B e C no plano e constata-se que a 
distância ele A a B é igual a soma elas distâncias ele A a C e 
ele C a B. O que pode ser afirmado sobre estes pontos? 
34. Decida se existem três pontos A, B e C sobre uma reta tais 
que AB = 5cm, BC= 6cm e AC= 7cm? 
35. No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma 
reta m que não passa por nenhum deles. Sabe~se.que os seg-
mentos AB e CD cortam a reta e que AC não a corta. O que 
pode ser dito sobre o segmento BD? · 
36. Quatro pontos A, B, C e D são colineares. O ponto B está 
entre A e C, e o ponto C entre B e D. Demonstre que o 
ponto C se encontra entre A e D. 
37. Considere uma reta m. Associe a cada ponto um número real 
como é garantido pelo Axioma III2• Seja A um ponto desta 
reta que tem coordenada a. Mostre queas duas semi-retas 
L1 e L2 determinadas por A em rn podem ser descritas como: 
L1 = {B E m; a coordenada ele B é ~ a} e L2 = {B E 
m; a coordenada ele B é ~ a}. 
38. Seja X um ponto qualquer da reta m cuja coordenada repre-
sentaremos por x. Mostre que as soluções da desigualdade 
x ~ a constitui uma semi-reta. 
39. Usando a notação elo exercício anterior, descreva geométricamente 
as soluções da desigualdade x 2 - 1 ~ O. 
40. Repita o exercício anterior para a desigualdade x2-5x+6 ~ O. 
24 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
41. Repita o exercício anterior para x3 - x ~ O. 
42. É frequentemente dito que «a menor distância entre dois pon-
tos é uma linha reta". Embora seu significado seja muito 
claro, tal afirmação é incorreta. Porque? Como você modifi-
caria as três últimas palavras da frase para que ela se tornasse 
correta? 
43. Tome uma caixa de cartolina e escolha sobre ela dois pontos 
quaisquer. Usando um cordão tente achar a menor distância 
a ser percorrida por uma formiga que deseje ir de um ao outro 
ponto escolhidos. Relate os resultadoe encontrados. 
44. Aproximadamente quantos tijolos serão necessários para cons-
truir uma parede de 6m de comprimento por 3m de altura 
sabendo-se que: ela deve ser construída com ~'iolos e arga-
massa, cada tijolo mede 19cm de comprimento por 14cm ele 
altura e sua largura é a largura da parede, e cada tijolo será 
contornado por uma camada de argamassa de 1cm. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 25 
PROBLEMAS 
1. Dado um segmento AB mostre que existe, e é único, um ponto 
C entre A e B tal que (AC/ BC) = a, onde a é qualquer 
número real positivo. 
2. Prove a seguinte afirmação feita no texto: o segmento de reta 
ligando um ponto fora ele um círculo com um ponto dentro 
do mesmo, tem um ponto em comum com o círculo. 
3. Dados dois pontos A e B e um número real r maior do que 
AB, o conjunto dos pontos C satisfazendo a CA + CB =ré 
chamado de elipse. Estabeleça os conceitos de região interior 
e de região exterior a uma elipse. 
4. Um conjunto M de pontos elo plano ·é limitado se existe um 
círculo C tal que todos os pontos de M então dentro de C; e é 
ilimitado quando não é limitado. Prove que qualquer conjunto 
finito de pontos é limitado. Prove também que segmentos são 
limitados. Conclua ·o mesmo resultado para triângulos. 
5. Prove que a união de uma quantidade finita de conjuntos 
limitados é ainda um conjunto limitado. 
6. Mostre que, dado um ponto P e um conjunto limitado M, 
existe um disco com centro em P que contém M. 
7. Prove que as retas são conjuntos ilimitados. (Sugestão: use o 
problema 6.) 
26 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. Discuta a veracidade da seguinte afirmação: o caminho que 
realiza a menor distância entre dois pontos é o segmento de 
reta que os une. 
9. Mostre que é possível construir um círculo de qualquer raio 
contido em um semi-plano. 
10. Considere uma semi-reta SAB· Mostre que, para cada ponto 
C de S AB existe um círculo centrado em C passando pelo 
ponto A. Para cada C, seja B(C) o disco limitado por C. 
Mostre que a união dos B(C) é um conjunto convexo. 
11. Sejam uma reta e Pum ponto que não pertence a m. Seja 
1i a união das semi-retas de origem P que cortam m. 
a) Mostre que 1{ é um conjunto convexo. 
b) Discuta a seguinte afirmação: a fronteira de 1{ é a união 
de duas semi-retas que não interceptam m. 
12. Sejam A, B, C e D quatro pontos situados fora de um círculo 
de raio r e centro O. Suponha que os segmentos AB, BC, 
CD e D E estão fora do círculo e que o segmento AC contém 
o ponto O. Mostre que AB +BC+ CD+ DA> 4r. 
13. Descreva um método para desenhar um triângulo eqüilátero. 
14. Descreva um método para desenhar um triângulo cujos lados 
medem 3, 4 e 6. 
15. A superfície ela terra é uma esfera ele raio muito grande. 
Tão grande que, localmente, tem-se a sensação ele que estar 
vivendo sobre uma superfície plana. De fato, esta sensação é 
tão forte que a história registra um período em que tal crença 
era lugar comum. Discuta a seguinte questão: o que são retas 
sobre uma esfera. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 27 
16. Continue a questão anterior discutindo se as retas na esfera 
satisfazem ou não aos axiomas I, II e III. 
17. Dentro da mesma ordem ele idéias, suponha que vivêssemos 
numa superfície cilíndrica. Repita os exercícios 15 e 16 neste 
contexto. Observo que um autor de ficção científica concebeu 
uma nave espacial de dimensões gigantescas na forma ele um 
cilindro que giraria em torno de seu eixo para gerar gravidade 
artificial. Tal nave seria a nova morada elo homem ao longo 
de viagens espaciais que durariam várias gerações. 
18. Considere como plano a parte ela planta de uma cidade ocu-
pada pelas ruas e avenidas. Considere como segmento de reta 
qualquer caminho que possa ser seguido por um ta.xi para ir 
de um ponto a outro ela cidade. Verifique se cada um dos 
axiomas que já enunciamos vale ou não nesta "geometria". 
19. Tome uma folha de papel. Suponha que o plano seja cons-
tituído apenas elos pontos desta folha ele papel. Dados dois 
pontos neste plano, usando uma régua e um lapis pode-se 
traçar um segmento ligando os dois pontos. Defina as reta 
como a extensão ele um segmento até a borda ela folha ele 
papel. Discuta a validade ou não, nesta "geometria", de todos 
os a.xiomas já apresentados até aqui. 
20. Se a folha ele papel for levemente encurvada, muda alguma 
coisa na resposta elo item anterior? 
21. Analise a possibilidade ele estabelecer um conceito ele "estar 
entre" para pontos de um círculo. 
28 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
As primeiras noções geométricas surgiram quando o homem viu-
se compelido a efetuar medidas, isto é, a comparar distâncias e 
a determinar as dimensões dos corpos que o rodeavam. Egípcios, 
Assírios e Babilônios já conheciam as principais figuras geométricas 
e a noções de ângulo que usavam nas medidas ele área e na Astrono-
mia. 
A maior parte do desenvolvimento da Geometria resultou cios es-
forços feitos, através de muitos séculos, para construir-se um corpo 
de doutrina lógica que correlacionasse os dados geométricos obtidos 
da observação e medida. Pelo tempo de Euclides (cerca de 300 a.C.) 
a ciência da Geometria tinha alcançado um estágio bem avançado. 
Do material acumulado Euclides compilou os seus "Elementos", um 
dos mais notáveis livros já escritos. 
A Geometria, como apresentada por Euclides, foi o primeiro 
sistema ele idéias desenvolvido pelo homem, no qual umas pou-
cas afirmações simples são admitidas sem demonstração e então 
utilizadas para provar outras mais complexas. Um tal sistema é 
chamado dedutivo. A beleza da Geometria, como um sistema de-
dutivo, inspirou homens, das mais diversas áreas, a organizarem 
suas idéias da mesma forma. São exemplos disto o "Principia" de 
Sir Isaac Newton, no qual ele tenta apresentar a Física como um 
sistema dedutivo, e a "Ética" do filósofo Spinoza. · 
CAPÍTULO 3 
AXIOMAS SOBRE lVIEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Definição 3.1 Chamamos de ângulo a figura formada por duas 
semi-retas com a mesma origern. 
A 
Figura 3.1 
As semi-retas são chamadas ele lados do ângulo e a origem comum, 
de vértice cio ângulo. Um ângulo formado por duas semi-retas dis-
tintas de uma mesma reta é chamado ele ângulo raso. 
A 
Figura 3.2 
29 
30 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Existem várias maneiras distintas de representar um ângulo. 
Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) pode ser designado por BÂC 
ou por CÂB. Ao utilizarmos esta notação, a letra indicativa do 
vértice deve sempre aparecer entre as outras duas, as quais repre-
sentam pontos das semi-retas que formam o ângulo. 
Figura 3.3 
Quando nenhum outro ângulo exibido tem o mesmo vértice, 
pode-se usar apenas a letra designativa elo vértice para represen-
tar o ângulo. Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) poderia ser 
representado simplesmente por Â. Em qualquer dos dois casos con-
siderados a letra designativa do vértice levará sempre um acento 
circunflexo. Também é comum a utilização de letrasgregas para 
representação ele ângulos. Neste caso é conveniente escrever a letra 
designativa elo ângulo próximo do seu vértice, como indicado na 
figura abaixo. 
\~ª -
Figura 3.4 
Os ângulos são medidos em graus com o auxílio de um trans-
feridor1. Na figura seguinte, o ângulo BÂC mede 20° (vinte graus). 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 31 
Observe que, de maneira análoga ao que ocorre no caso da medição 
de segmentos, o transferidor pode ser colocado de várias maneiras 
diferentes, no entanto, o valor ela medida elo ângulo BÂC será sem-
pre 20°. 
Figura 3.5 
A maneira ele introduzir a medição ele ângulos na geometria é 
através elos axiomas apresentados a seguir. Observe que eles têm 
enunciados semelhantes aos dos ax:iomas sobre medição ele segmen-
tos. 
Axioma III4 Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zero. 
A medida ele um ângulo é zero se e somente se ele é constituído por 
duas semi-retas coincidentes. 
Para facilitar o enunciado elo próximo axioma, vamos dar a se-
guinte definição: 
Definição 3.2 Diremos que uma semi-reta divide um semi-plano 
se ela estiver contida no semi-plano e sua origem f ar um ponto da 
reta que o determina. 
32 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Axioma 1115 É possível colocar, em correspondência biunívoca, os 
números reais entre zero e 180 e as semi-retas da mesma origem 
que dividem um dado semi-plano, de modo que a diferença entre 
estes números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas 
correspondentes. 
180 
125 
B 
o 
Figura ~-6 
60 
A 
o 
Ao fazer tal correspondência chamamos o número que corres-
ponde a uma dada semi-reta de coordenada da semi-reta. Na figura 
(3.6) acima, a semi-reta SoA tem coordenada 60, a semi-reta SoB 
tem coordenada 125. De acordo com o axioma 1115 a medida do 
ângulo AÔB é 125-60=65. Este é um fato geral. Se a e b forem 
coordenadas cios lados cio ângulo AÔB, então ia - bl é a medida 
deste ângulo. Indicaremos um ângulo e a sua medida pelo mesmo 
símbolo. Assim escreveremos ele uma maneira geral 
AÔB = la-bl 
para significar que la-bl é a medida elo ângulo AÔB. Observe que 
as semi-retas que formam um ângulo raso serão sempre numeradas 
por O e 180, sendo assim a medida de tais ângulos sempre 180°. 
Definição 3:3 Sejam SoA, SoB e So::: semi-retas de mesma origem. 
Se o segmento .4.B interceptx· Soe dircr,ws que S00 divide o ângulo 
AÔB. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 33 
Axioma III6 Se uma semi-reta Soe divide um ângulo AÔB, então 
AÔB = AÔC + CÔB . 
Definição 3.4 Dois ângulos são ditos suplementares se a soma 
de suas medidas é 1800. O suplemento de um ângulo é o ângulo 
adjacente ao ângulo dado obtido pelo prolongamento de um de seus 
lados 
e 
Figura 3.7 
É claro que um ângulo e seu suplemento são ângulos suple-
mentares. É também evidente que, se dois ângulos têm a mesma 
medida, então o mesmo ocorre com seus suplementos. 
Quando duas retas distintas se interceptam, formam-se quatro 
ângulos, como indicado na figura abaixo. Os ângulos AÔB e DÔC 
são opostos pelo vértice. Do mesmo modo o são os ângulos AÔ D e 
BÔC. 
D 
e 
Fig.ura 3.8 
~ 
A 
B 
34 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 3.5 Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma me-
dida. 
Prova: De fato, se AÔB e DÔC são ângulos opostos pelo vértice, 
então eles têm o mesmo suplemento: AÔD. Logo 
AÔB + AÔD 180º 
DÔC + AÔD 180º 
Portanto AÔB = 180° - AÔD = DÔC. 
Definição 3.6 Um ângulo cuja medida é 9(f. é chamado ângulo 
reto. 
É claro que o suplemento ele um ângulo reto é também um 
ângulo reto. Quando duas retas se intersectam, se um elos quatro 
ângulos formados por elas for reto, então todos os outros também 
o serão. Neste caso diremos que as retas são perpendiculares. 
Teorema 3. 7 Por qualquer ponto de uma reta passa uma única 
perpendicular a esta reta. 
Prova: (Existência}. Dada uma reta rn e um ponto A sobre ela, as 
duas semi-retas determinadas por A formam um ângulo raso. Con-
sidere um elos semi-planos determinados pela reta m. De acordo 
com o axioma IIl5 , entre todas as semi-retas com origem A, que 
dividem o semi-plano fixado, existe uma cuja coordenada será o 
número 90. Esta semi-reta forma, com as duas semi-retas determi-
nadas pelo ponto A sobre a reta m, ângulos ele 90°. Portanto ela é 
perpendicular a reta m. 
(Unicidade}. Suponha que existissem duas retas n e n' pas-
sando pelo ponto A e perpendiculares a m. Fixe um elos semi-
planos determinados por m. As interseções elas retas n e n' com 
este semi-plano são semi-retas que formam um ângulo a e, como na 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
n' n 
y 
A 
Figura 3.9 
m 
35 
figura (3.9), formam outros dois ângulos /3 e I com as semi-retas 
determinadas pelo ponto A na reta m. 
Como n e n' são perpendiculares a 1n então /3 = 1 = 90º. Por 
outro lado, devemos ter a + /3 + 1 = 180°. Lego a = 0° e as retas 
n e n' coincidem. 
1Queremos observar que os ângulos podem também ser medidos utilizando 
o grado, o radiano ou qualquer outra unidade de medida de ângulos. Elas cor-
respondem a diferentes maneiras de numerar ao:; semi-retas de mesma origem e 
sua adoção não interfere com o desenvolvimento da teoria. O leitor vai encon-
trar no "comentário" deste capítulo uma razão histórica pela qual escolhemos o 
grau para unidade de medida de ângulos neste texto. 
36 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Mostre que se um ângulo e seu suplemento têm a mesma 
medida então o ângulo é reto. 
2. Dois ângulos são suplementares. A diferença entre eles é de 
50°. Determine a medida dos dois ângulos. 
3. Um ângulo é chamado agudo se mede menos de 90°, e é cha-
mado obtuso se mede mais de 90°. Mostre que o suplemento 
de um ângulo agudo é sempre obtuso. 
4. Quanto mede o ângulo cuja quinta parte do seu suplemento 
mede 24º? 
5. O ângulo formado pelas bissetrizes ele dois ângulos adjacentes 
mede 40°. Sendo a medida de um deles igual a três quintos 
da medida elo outro, determine a medida elos dois ângulos. 
6. Três semi-retas ele mesma origem são traçadas no plano. Co-
locando-se o transferidor de forma adequada, a primeira delas 
tem coordenada O, a· seg_unda 30 e a ultima 120. Qual a me-
dida do ângulo entre a segunda e a terceira? Se o transferidor 
fosse rodado um pouco de modo que a coordenada da primeira 
fosse agora 20, qual seriam as coordenadas das outras semi-
retas? 
7. Duas retas se interceptam formando quatro ângulos. Se um 
deles é reto, mostre que os outros também são retos. Se, 
ao invés de ser reto, um deles medisse 60°, qual seriam as 
medidas elos outros. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 37 
8. Use um transferidor e desenhe ângulos de 45º, 60°, 90º, 142°, 
15.5° e 33°. 
' 9. Dois ângulos são ditos complementares se sua soma é um 
ângulo reto. Dois ângulos são complementares e o suplemento 
de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo mais 
30º. Quanto medem os dois ângulos? 
10. Determine a medida do ângulo agudo que tem a mesma me-
dida do seu complemento. 
11. Qual é o ângulo agudo que mede o dobro do seu complemento? 
12. Porque o complemento de um ângulo é sempre menor do que 
o seu suplemento? 
13. Qual a medida da diferença entre o suplemento de um ângulo 
e seu complemento? 
14. Ao longo de 1/2 hora o ponteiro dos minutos de um relógio 
descreve um ângulo raso ( ou seja, o ângulo entre sua posição 
inicial e sua posição final é um ângulo raso). Quanto tempo 
ele leva para descrever um ângulo de 60° graus? 
15. Ao mesmo tempo em que o ponteiro dos minutos gira, o das 
horas também gira, só que em menor velocidade: ele leva 6 
horas para descrever um àngulo raso. Quanto tempo ele leva 
para percorrer um ângulo de 10º. 
16. Qual o ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e da~ 
horas quando são 12 horas e 30 minutos? 
17. Exatamente às 12 horas um ponteiro estará sobre o outro. A 
que horas voltará a ocorrer que os dois ponteiros formem um 
ângulo de Oº? 
38 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A 
18. Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência ele 
pontos A1, A2, ... , An e pelossegmentos A1A2, A2A3, A3A4, 
... , An_1A 11 • Os pontos são os vértices ela poligonal e os 
segmentos são os seus lados. Desenhe a poligonal ABCD 
sabendo que: AB = BC = CD = 2cm,, ABC = 120º e 
BÔD = 100º. 
19. Um polígono é uma poligonal em que as seguintes 3 condições 
são satisfeitas: (a) A11 = A1, (b) os lados ela poligonal se in-
terceptam somente em suas extremidades, (e) cada vértice é 
extremidade ele dois lados e ( d) dois lados com mesma ex-
tremidade não pertencem a uma mesma reta. Das 4 figuras, 
abaixo, apenas duas são polígonos. Determine quais são elas. 
A 
D A D 
E 
e e 
e E B 
B 
A B 
B \ 
E 
c~c 
E D 
Um polígono ele vértices A1, A2, ... , An+l = A1, será repre-
sentado por A 1A2A3, ... , A 11 • Ele tem n lados, n vértices e n 
ângulos. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 39 
20. Desenhe um polígono de 4 lados ABC D tal que AB = BC = 
CD= DA= 2cni, com AÊC = AÍJC = 100º e com BêD = 
BÂD = 80º. 
21. A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada 
de perímetro do polígono. Desenhe um polígono, meça seus 
lados e determine seu perímetro. 
22. Seja ABCD um polígono tal que AB =BC= CD= DA. Se 
AB = a seu perímetro será 4a. Determine um ponto E fora 
da região limitada pelo polígono tal que ABE é um triângulo 
eqüilátero. Considere agora o polígono AEBCD. Determine 
seu perímetro. 
23. No polígono ABCD da questão anterior, seja M o ponto 
médio do lado AB. Determine agora dois pontos E 1 e E2 
tais que AE1M e !11 E2B sejam eqüiláteros. Determine agora 
o perímetro do polígono AE1Jvf E2BCD. 
24. Generalize a construção do exercício anterior tomando agora 
pontos médios dos segmentos AM e M B e determine o perí-
metro do polígono resultante. 
25. Mostre que todo polígono é limitado. 
26. O segmento ligando vértices não consecutivos de um polígono 
é chamado uma diagonal do polígono. Faça o desenho de um 
polígono de seis lados. Em seguida desenhe todas as suas 
diagonais. Quantas diagonais terá um polígono de 20 lados? 
E de n lados? 
27. Discuta a seguinte afirmação: todo polígono separa o plano 
em duas partes, uma limitada e outra ilimitada. (A parte 
limitada é referida como a região limitada pelo polígono, ou 
o interior do polígono). 
40 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
28. Dê exemplo de um polígono que possua uma diagonal que não 
esteja contida na região por ele limitada. 
29. Considere um polígono de quatro lados. Mostre que o com-
primento de qualquer uma de suas diagonais é menor do que 
a metade do seu perímetro. 
30. São dados quatro pontos A, B, C e D. É também sabido que 
AB +BC+ CD+ DA e 2AC são iguais. O que você pode 
afirmar sobre a posição relativa dos quatro pontos? 
31. Um polígono é convexo se está sempre contido em um dos 
semi-planos determinados pelas retas que contêm os seus la-
dos. Na figura abaixo mostre que o polígono (a) é convexo e 
o {b) é não convexo. 
(a) (b) 
32. Mostre que, em um polígono convexo, as diagonais estão sem-
pre contidas na região limitada pelo polígono. 
33. Os ângulos formados pelos lados de um polígono convexo são 
chamados de ângulos do polígono. Suponha que tenha sido 
demonstrado que a soma dos ângulos de qualquer triângulo 
é um valor constante s. Com esta informação mostre que 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 41 
a soma dos ângulos de um polígono convexo de n lados é 
(n - 3)a. 
34. Suponha agora que tenha sido demonstrado que a soma dos 
ângulos de qualquer triângulo é sempre menor do que um 
número a. Mostre então que a soma dos ângulos de um 
polígono convexo de n lados é menor do que (n - 3)a. 
35. Polígonos convexos recebem designações especiais. São as 
seguintes as designações dadas a estes polígonos de acordo 
com seu número de lados, até 10 lados. 
nº de lados nome do polígono convexo 
3 triângulo 
4 quadrilátero 
5 pentágono 
6 hexágono 
7 heptágono 
8 octágono 
9 nonágono 
10 decágono 
Dado um polígono convexo mostre que qualquer de suas dia-
gonais sempre o divide em dois conjuntos convexos. 
36. Dê exemplo de uma polígono não convexo que possua uma 
diagonal que o divide em dois polígonos convexos. 
42 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. Dado um ângulo AÔ B mostre que existe uma única semi-reta 
Soe tal que AÔC = ÇÔB. A semi-reta Soe é chamada de 
bissetriz do ângulo AO B. 
2. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento 
são perpendiculares. 
3. Dado um ângulo AÔ B e um número real positivo a, O < a < 
1, mostre que existe uma única semi-reta Soe, contida neste 
ângulo, tal que CÔB =a• AÔB. 
4. De quantos graus move-se o ponteiro dos minutos enqaanto o 
ponteiro elas horas percorre um ângulo raso? 
5. Descreva um processo pelo qual um desenhista, sem usar 
um transferidor, possa "copiar" um ângulo, isto é, dado um 
ângulo desenhado em uma folha de papel, desejamos estabele-
cer um procedimento pelo qual possamos desenhar um outro 
ângulo que tenha a mesma medida do primeiro, isto sem fazer 
uso de um transferidor. 
6. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um com-
passo e de uma régua não numerada, para desenhar um tri-
ângulo eqüilátero. 
7. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um com-
passo e de uma régua não numerada, de construção de um 
quadrilátero com os quatro lados de mesmo comprimento. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 43 
8. Seu método se estende para o caso de 5 lados? 
9. Uma alternativa para definir ângulo é a de considerar a in-
terseção de semi-planos. Formalize esta ideia. Relacione com 
nossa definição. 
10. Considere dois círculos S1 e S2 centrados no ponto O. As 
semi-retas tendo O como origem podem ser usadas para as-
sociar a cada ponto P do círculo S1 um ponto Q do círculo 
S2 . Pense nela como uma função f elo círculo S1 no círculo 
S2. Mostre que: 
a) Se J(Pi) = J(A) então A = A- (fé biunívoca.) 
b) Se Q for qualquer ponto ele S2 então existe P E S1 tal 
que J(P) = Q. (fé sobre.) 
Comente sobre a seguinte afirmação: "Os círculos S1 e S2 têm 
o mesmo número ele pontos". 
11. De exemplo de um quadrilátero (não convexo) com duas dia-
gonais que não se interceptam. 
12. Por definição, se P for um polígono convexo, então, para cada 
um ele seus lados m,, podemos escolher um semi-plano L(m,) 
determinado por m tal que P e L(m). Logo P e ílm L(m). 
Mostre que P = ílm L(m). 
13. Sejam m e n duas retas. Mostre que: se 1n está contida em 
um elos semi-planos determinados por n então ou m, = n ou 
m, e n não se intersectam. 
14. Mostre que se uma semi-reta tem origem no vértice A ele um 
triângulo ABC e passa por algum ponto interior ao triângulo, 
então ela intercepta o lado BC. 
44 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
No segundo e primeiro milênios antes de Cristo, floresceram 
na Mesopotâmea ( a região entre os rios Eufrates e Tigre, o que 
hoje é aproximadamente o Iraque) várias civilizações conhecidas, 
de um modo geral, como civilização babilônica. Entre elas, a ci-
vilização Suméria, que teve seu ápice no segundo milênio a.C., e 
a civilização que se desenvolveu em torno da cidade chamada Ba-
bilônia no primeiro milênio a.C. Os babilônios absorveram grande 
parte da cultura matemática egípcia e a ela acrescentaram suas 
próprias conquistas. Entre estas, figura o total desenvolvimento da 
álgebra elementar e a invenção de um sistema de numeração em que 
os algarismos têm um valor de posição na grafia dos números. Este 
método de escrever os números, infelizmente não foi absorvido pelas 
civilizações que se seguiram à civilização babilônica. Em passado 
mais recente ele foi redescoberto pelos hindus de quem o importa-
mos, através dos árabes. 
Enquanto a base de numeração hindú era decimal, exatamente 
como utilizamos hoje, a base de numeração babilônica era sexa-
gesimal. Isto significa que eles utilizavam 60 símbolos (algarismos) 
distintos para escrever todos os números. Infelizmente o zero era 
representado por uma lacuna o que tornava a leitura de alguns 
números confusa. Talvez esta tenha sido a dificuldade essencial, 
que levou este sistema a não ser absorvidopelas civilizações que 
sucederam a civilização babilônica. 
Para este povo, que utilizava um sistema de numeração de base 
60, foi muito natural dividir o círculo em 360 partes (grau), e cada 
uma destas partes em 60 partes (minuto) e repetir o processo para 
estas sub-partes. Assim o "grau" é uma invenç:ão dos babilônios, 
que entraram para a história da ciência matemática com uma con-
tribuição importante que utilizamos até hoje. 
CAPÍTULO 4 
CONGRUÊNCIA 
Definição 4.1 Diremos que dois segmentos AB e CD são con-
gruentes quando AB = CD; diremos que dois ângulos  e Ê são 
congruentes se eles têm a mesma medida. 
Observe que, com esta definição, as propriedades ela igualdade 
ele números passam a valer para a congruência ele segmentos e ele 
ângulos. Como conseqüência, um segmento é sempre congruente a 
ele mesmo e dois segmentos, congruentes a um terceiro, são con-
gruentes entre si. O mesmo valendo para ângulos. 
Para simplificar ao máximo a nossa notação, iremos utilizar o 
símbolo "="para significar congruente. Assim, AB = CD eleve ser 
lido como AB é congruente a CD e  = Ê eleve ser lido como 
ângulo A é congruente ao ângulo B. Em geral não haverá perigo 
ele confusão com a igualdade ele números ou ele conjuntos. Quando 
houver, reforçaremos com palavras o significado elo símbolo. 
Definição 4.2 Dois triângulos são congruentes se for possível es-
tabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vérices de modo 
que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. 
Se ABC e EFG são dois triângulos congruentes e se 
45 
46 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A - E 
B -----.t F 
C - G 
é a correspondência que define a congruência, então valem, simul-
taneamente, as seis relações seguintes: 
AB 
 
EF 
Ê 
BC 
Ê 
FC 
p 
AC 
ê 
EG 
ê 
Se, nos triângulos abaixo, considerarmos a correspondência C - F, 
B - D e A - E, verificaremos que ê = P, Ê = ÍJ, Â = Ê, 
CB = FD, BA = DE e AC= EF. Portanto os triângulos CBA 
e F D E são congruentes. 
e G 
6 
F 
30 ,____,_ ___ 4 ___ .___--"" A 
E 
Figura 4.1 
Escreveremos ABC = EFG para significar que os triângulos 
ABC e EFG são congruentes e que a congru.ência leva A em E, B 
em F e Cem G. 
Axioma IV Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, 
AC = EG e  = Ê então ABC = EFG. 
4. CONGRUÊNCIA 47 
Observe que, ele acordo com a definição ( 4. 2), para verificarmos 
se dois triângulos são congruentes temos que verificar seis relações: 
congruência elos três pares de lados e congruência dos três pares de 
ângulos correspondentes. O axioma acima afirma que é suficiente 
verificar apenas três delas, ou seja: 
AB = EF} 
AC=EG 
Â=Ê 
==> { 
A-f! = E}F, BC= FC, AC= EG 
A= E, Ê = F, ê = ê 
Este axioma é conhecido como primeiro caso ele congruência ele 
triângulos. Outros dois casos serão apresentados a seguir. 
Teorema 4.3 (2° caso de congruência de triângulos) Dados 
dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, Â = Ê e Ê = F, 
então ABC = EFG. 
Prova: Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB = EF, 
 = Ê e Ê = F. Seja D um ponto ela semi-reta SAc tal que 
AD= EG. 
G 
A~----------~B E~----------~F 
Figura 4.2 
Compa~e os !riângulos ABD e EFG. Como AD = EG, AB = 
EF e A = E, concluímos, pelo axioma IV, que ABD = EFG. 
Como conseqüência, tem-se que AÊD = F. Mas, por hipótese, 
F = AÊC. Logo AÊD = AÊC. Consequentemente as semi-retas 
SBD e S8 c coincidem. Mas então o ponto D coincide com o ponto 
48 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
C· e, portanto, coincidem os triângulos ABC e ABD. Como já 
provamos que ABD = EFG, então ABC= EFG. 
Definição 4.4 Um triângulo é dito isósceles se tem dois lados con-
gruentes. Estes lados são chamados de laterais, e o terceiro lado é 
chamado de base. 
Proposição 4.5 Em um triângulo isósceles os ângulos da base são 
congruentes. 
Prova Seja ABC um triângulo em que AB = AC. Pretende-se 
provar que Ê = ê. Para isto compare o triângulo ABC com ele 
mesmo fazendo corresponder os vértices da seguinte maneira: 
A t--t A, B t-t C e C t-t B. 
Por hipótese, AB = AC e 
AC = AB. Como  = 
Â, segue-se (pelo axioma IV) 
que esta correspondência de-
fine uma congruência. Como 
conseqüência tem-se Ê = ê. B 
A 
P.igura 4.3 
e 
Caso o leitor tenha alguma dificuldade em seguir o argumento 
acima, deve desenhar duas cópias elo triângulo ABC e repetir o 
raciocínio para estes dois triângulos. 
Proposição 4.6 Se, em um triângulo ABC, tem-se dois ângulos 
congruentes, então o triângulo é isósceles. 
4. CONGRUÊNCIA 49 
Prova Seja ABC um triângulo em que Ê3 = ê. Vamos mostrar 
que AB = AC. Novamente comparemos o triângulo ABC com 
ele próprio, fazendo corresponder os vértices como na prova ela 
proposição anterior, isto é: A - A, B - C e C - B. Como 
Ê3 = ê e ê = Ê3 por hipótese, e BC= CB, segue-se (pelo teorema 
( 4.3)) que esta correspondência define uma congruência. Como 
conseqüência AB = BC. 
Definição 4. 7 Seja ABC um triângulo e seja D um ponto da 
reta que contém B e C. O segmento AD chama-se mediana do 
triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de 
BC. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo  se a semi-reta 
SAD divide o ângulo C ÂB em dois ângulos congruentes, isto é, se 
CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo rela-
tivamente ao lado BC, se AD for perpendicular a reta que contém 
B eC. 
Na figura (4.4), em (a) AD é mediana, em (b) AD é bissetriz, 
e em (c) AD é altura. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
BL...---0.__ _ _, 
(a) 
A C 
(b) 
Figura 4.4 
A 
(e) 
50 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 4.8 Em um triângulo isósceles a mediana relativa-
mente a base é também bissetriz e altura. 
Prova: Seja ABC um triângulo isósceles cuja base é AB. Seja 
CD sua mediana relativamente à base. Deve-se provar que AÔD = 
BÔD e que ADC é um ângulo reto. Para isto considere os triângulos 
ADC e BDC. Como AD = BD (já que CD é mediana), AC = 
BC (já que o triângulo é isósceles com base AB) e  = Ê (de 
acordo com a proposição anterior), então,pelo Axioma IV, tem-se 
ADC = BCD. Segue- se daí que AÔD = BÔD e CÍJA = BÍJC. 
A primeira congruência nos diz que CD é bissetriz do ângulo Aê B. 
Como AD B é um ângulo raso e C ÍJ A + B ÍJC = AD B então 
CÍJA + BÍJC = 180°. Como já sabemos que CÍJA = BÍJC então 
concluímos que CÍJA = BÍJC = 90°. Portanto CD é perpendicular 
a AB. Isto conclui a prova da proposição. 
e 
A D e 
Figura 4.5 
Teorema 4.9 (3º caso de congruência de triângulos) Se dois 
triângulos têm três lados correspondentes congruentes então os tri-
ângulos são congruentes. 
4. CONGRUÊNCIA 51 
e 
A1------,-------➔ B 
D 
Figura 4.6 
Prova Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB = EF, 
BC = FC e AC = EG. Vamos provar que ABC = EFG. 
Para isto, construa, a partir da semi-reta SAB e no semi-plano 
oposto ao que contém o ponto C, um ângulo igual ao ângulo Ê. No 
lado deste ângulo que não contém o ponto B, marque um ponto D 
tal que AD = EG e ligue D a B. Como AB = E F (por hipótese), 
AD = EG (por construção) e DÂB = Ê (por construção), então 
ABD = EFG. Vamos agora mostrar que os triângulos ABD e 
ABC são congruentes. Para isto trace CD. Como AD = EG = 
AC e DB = FG = BC, então os triângulos ADC e BDC são 
isósceles. Segue-se que AÍJC = Aê D e C ÍJ B = Dê B e logo que 
AÍJ B = Aê B. Mas então, pelo primeiro caso de congruência de 
triângulos, podemos concluir que ABD = ABC. Como já tínhamos 
provado que ABD = EFG, concluímos que ABC= EFG. 
52 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Um ângulo raso é dividido por duas semi-retas em três ângulos 
adjacentes congruentes. Mostre que a bissetriz elo ângulo elo 
meio é perpendicular aos lados elo ângulo raso. 
2. Desenhe um triângulo. Construa agora um outro triângulo 
congruente ao que você desenhou. Descreva o procedimento. 
3. Construa um triângulo ABC sabendo que AB = 7, 5e111,, 
BC = 8, 2e111, e AÊC = 80°. Meça o comprimento ele AC 
e os outros ângulos elo triângulo. 
4. Na figura abaixo à esquerda os ângulos a e /3 são congruentes. 
Mostre que AC = BC. 
D 
e A 
E 
5. Na figura acima à direita tem-se AB= AC e BD = CE. 
Mostre que: ACD = ABE e BCD = CBE 
6. Dois segmentos AB e CD se interceptam em um ponto M o 
qual é ponto médio elos dois segmentos. Mostre que AC = 
BD. 
7. Em um triângulo ABC a altura elo vértice A é perpendicular 
ao lado BC e o divide em dois segmentos congruentes. Mostre 
que AB = AC. 
4. CONGRUÊNCIA 53 
8. Mostre que os pontos médios dos lados de um triângulo isósceles 
formam um triângulo também isósceles. 
' 
9. Na figura ao lado, AC = AD 
e AB é a bissetriz do ângulo 
C ÂD. Prove que os triângulos 
AC B e AD B são congruentes. 
10. Complemente o exercício 
anterior mostrando que, se 
traçármos o segmento CD, ele 
será perpendicular a AB. 
e 
A <---------o B 
D 
11. Em um quadrilátero ABC D sabe-se que AB = CD e BC = 
AD. Mostre que os triângulos AC B e CAD são congruentes. 
Conclua que os ângulos opostos do quadrilátero são congruen-
tes, isto é, que  = ê e Ê = ÍJ. Altere sua prova para mostrar 
que, se os quatro lados tiverem a mesma medida então os qua-
tro ângulos serão congruentes. 
12. Mostre que um triângulo eqüilátero é também eqüiangular, 
isto é, tem os três ângulos iguais. 
13. Na figura abaixo o ponto A é ponto médio dos segmentos CB 
e DE. Prove que os triângulos ABD e AGE são congruentes. 
e 
D A~E 
~ 
B 
14. Considere um círculo de raio R centrado em um ponto O. 
Sejam A e B pontos do círculo. Mostre que o raio que passa 
54 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
pelo ponto médio do segmento AB é perpendicular a este 
segmento. Inversamente, mostre que, se o raio é perpendicular 
ao segmento então o cortaria no seu ponto médio. 
15. Na figura abaixo os ângulos  e ê são retos e o segmento DE 
corta CA no ponto médio B de CA. Mostre que DA= CE. 
D 
e B 
A 
E 
16. Dois círculos de centro A e B e mesmo raio se interceptam 
em dois pontos C e D. Se M é o ponto de intersecção de AB 
e CD, mostre AM = M B e Clvi M D. 
17. Use o resultado do exercício anterior para descrever um mé-
todo de construir, usando apenas régua e compasso, a per-
pendicular a uma reta passando por um ponto fora da reta. 
18. Da figura ao lado sabe-se que 
OC = O B, O D = O A e 
BÔD = CÔA. fl.fostre que 
CD = BA. ~:e, além disto, 
soubermos que CD = O B con-
clua que os três triângulos for-
mados são isósceles. D 
e B 
M 
o A 
19. Considere um ângulo AÔB onde AO BO. Trace dois 
círculos ele mesmo raio centrados erL A e em B. Suponha 
que seus raios sejam grande suficientes para que eles se inter-
ceptem em dois pontos. Mostre que a reta ligando estes dois 
pontos passa pelo vértice do âr1gulo e é sua bissetriz. 
4. CONGRUÊNCIA 55 
20. Use o resultado o exercéicio anterior para descrever um método 
ele construir a bissetriz de um ângulo usando apenas régua e 
compasso. 
21. Faça uma demonstração cliferente da Proposição (4.5) fazendo 
uso da solução elo exercício 5. 
22. Três sarrafos ele madeira são 
pregados, dois a dois, ele 
modo a formar um triângulo, 
com somente um prego em 
cada vértice. A figura as-
sim obtida é rígida. Por que? 
Para comparação construa um 
quadrilátero com quatro sar-
rafos e um prego em cada 
vértice. É esta figura rígida? 
23. Explique porque é usual reforçar-se um portão com uma trave 
na diagonal como indicado esquematicamente na figura se-
guinte à esquerda. 
24. Explique porque a figura acima à direita é rígida. 
56 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. Na figura ao lado C!vl A é 
um ângulo reto e M é ponto 
médio de AB Mostre que 
CA = CB. 
2. A região marcada com um 
11,f representa um lago. Des-
creva um processo pelo 
qual seja possível medir a 
distância entre os pontos A 
e B. ( Qualquer medição 
fora do lago é possível). 
ç 
e 
B 
3. Mostre que, se um triângulo tem os três lados congruentes, 
então tem também os três ângulos congruentes. 
4. Na figura ao lado ABD 
e BCD são triângulos 
isósceles com base D B. 
Prove que os ângulos 
AÊC e AÍJC são congru-
entes. 
e 
B 
D 
5. Usando a mesma figura, mostre que ,também a reta AC é 
bissetriz de B ÂD e é perpendicular a D B. 
4. CONGRUÊNCIA 
6. Na ao lado, ABD 
e são triângulos 
isósceles com base BD. 
Prove que AÊC = AÍJC 
e que AC é bissetriz do 
ângulo BêD. 
57 
e 
7. Justifique o seguinte procedimento para determinação do pon-
to médio de um segmento. "Seja AB um segmento. Com um 
compasso centrado em A, desenhe um círculo de raio AB. 
Descreva outro círculo de mesmo raio e centro em B. Estes 
dois círculos se interceptam em dois pontos. Trace a reta 
ligando estes dois pontos. A interseção desta reta com o seg-
mento AB será o ponto médio de AB." 
A M B 
8. Na construção acima é realmente necessário que os dois cír-
culos tenham raio AB '? 
9. Mostre que, na construção descrita no problema 7, acima, a 
reta que determina o ponto médio de AB é perpendicular a 
AB. 
10. Utilize a idéia da construção descrita no problema 7 e pro-
ponha um método de construção de uma perpendicular a uma 
reta dada passando por um ponto desta reta. 
58 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
11. Na figura abaixo tem-se AD = DE, Â = DÊC e AÍJE = 
BÍJC. Mostre que os triângulos ADB e EDC são congruen-
tes. 
12. Um quadrilátero tem diagonais congruentes e dois lados opos-
tos também congruentes. Mostre que os outros dois lados são 
congruentes. 
13. Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade 
de serem equidistantes dos extremos de um segmento. 
14. Sejam A e B pontos de um círculo e M o ponto médio de 
AB. sejam C e D pontos do segmento AB equidistantes do 
ponto M. Mostre que C e D são também equidistantes do 
centro do círculo. O resultado ainda vale se os pontos C e D 
estiverem sobre a reta que contém AB? 
15. Uma reta corta dois círculos concêntricos em quatro pontos. 
Mostre que os dois segmentos que ficam ·na região entre os 
círculos são congruentes. 
4. CONGRUÊNCIA 59 
COMENTÁRIO 
Foi na Grécia que surgiu, pela primeira vez na história, a figura 
do cientista profissional. Aquele homem devotado à busca ele co-
nhecimento e recebendo um salário para fazer isto. Alguns elos 
nomes mais representativos desta classe, durante a civilização grega, 
viveram em Alexandria, onde Ptolomeu I fez erigir um grande cen-
tro de pesquisas denominado "Museo", com sua famosa biblioteca. 
Ali, a tradição grega em Ciência e Literatura foi preservada e de-
senvolvida. O sucesso desse empreendimento foi considerável. 
Entre os primeiros pesquisadores associados ao M useo de Ale-
xandria está Euclides, um dos matemáticos mais influentes de todos 
os tempos. Euclides aparentemente recebeu sua educação mate-
mática em Atenas, dos discípulos ele Platão, e sua principal obra 
intitula-se: "Elementos", (composto de 13 volumes). Este trabalho 
deve ter-se tornado um clássico logo após sua publicação. Cer-
tamente, desde os tempos de Arquimedes, ele era constantemente 
referido e utilizado como texto básico. Ao lado ela bíblia é sem 
düvida o livro mais reproduzido e estudado de todos os que já foram 
escritos na história do rriundo ocidental. Mais de 1.000 edições dele 
já foram produzidas desde a invenção ela imprensa e, antes disto, 
cópias manuscritas dominavam todo o ensino ela matemática. A 
geometria ensinada na escola secundária é, freqüentemente, cópia 
quase literal ele 8 ou 9 dos 13 volumes que o constituem. O próprio 
texto que o leitor tem em mãos contém muitas demonstrações que 
são, exceto pela linguagem, parte dos "Elementos". 
Certamente Euclides não criou toda a geometria contida nos 
seus "Elementos". Seu trabalho foi muito mais aquele de um com-
pilador, desejoso de colocar em um ünico texto, três das grandes 
descobertas gregas: 
60 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
a) a teoria de Eudoxio das proporções (livro V). 
b) a teoria ele Teteto dos irracionais (livro X) e 
c) a teoria dos cinco corpos regulares que ocupava lugar ele des-
taque na cosmologia ele Platão. 
Foi, no entanto, a aplicação sistemática do método dedutivo 
para desenvolver a geometria à partir ele alguns fatos básicos toma-
dos como axiomas, que, sem dúvida, teve o maior impacto