Matemática - Livro 2-010-012

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MATEMÁTICA Capítulo 5 Funções logarítmicas10
6 Construa o gráfico da função: f(x) = 2 ⋅ log2x.
Resolução:
Para compreender esse gráco, vamos compará-lo
com o gráco básico log2x. Observe:
x
y
2
–1
–2
2
1
1
2
log
2
x
2 log
2
x
(1, 0)
Você deve comparar o valor do y para o mesmo x
nos dois grácos para ter ideia de suas posições. No
gráco anterior, comparamos o y para x = 2 e depois
para x =
1
2
.
7 Construção do gráfico da função: f(x) = log2x
2
.
Resolução:
Cuidado! Sabemos que log2x
2 = 2 log2x, então o grá-
co será igual ao anterior?
Não será, observe os domínios das duas funções:
Função 2 log2x: logaritmando deve ser positivo, x > 0.
Função log2 x
2
: x
2 > 0 para qualquer x ∈ R*.
Na primeira função, não podemos calcular seu
valor para x = -2, já na segunda é possível, pois
log2 (-2)
2 = log24 = 2. Além de toda essa análise,
log2x
2
 é uma função par, pois log2(-x)
2 = log2x
2
. O
gráco da função cará igual a:
x
y
(1, 0)(–1, 0)
f(x) = logax, as condições de existência da função logarítmica são:
≠





x > 0
a > 0
a 1
y Quando resolver uma equação logarítmica, verifique se a solução
satisfaz as condições de existência.
y Uma função é par se, e somente se, para qualquer x do domínio
temos f(x) = f(–x). O gráfico da função é simétrico em relação
ao eixo y.
Cuidado! logba
a ≠ (logba)
a
Para simplificar a notação, escrevemos (log35)
2
 como log3
2
5
Atenção
8 Obtenha o domínio da função: f(x) = log3  (2x – 1).
Resolução:
∃ - ⇔ - ⇒
∈






log ( )3 2 1x
D
2x 1 > 0 x >
1
2
x / x >
1
2
= 
9 Obtenha o domínio da função: f(x) = log(3 x)  (x + 2)
Resolução:
∃ + ⇔
- ≠




-
log (x 2)
x + 2 > 0
3 x > 0
3 x 1
(3 x)
logo:
-
≠




x > 2
x < 3
x 2
Fazendo a interseção desses conjuntos, temos:
2
−2
2 3
2
3
D = {x ∈R/ 2 < x < 3 e x ≠ 2}
10 Obtenha o domínio da função: f(x) = log(2x 4)  (3 + 2x – x
2
).
Resolução:
∃ + - ⇔
-
-
≠





log ( )( )2 4
2
3 2
2
x x x
x
3 + 2x x > 0
4 > 0
2x 4 1
2
1 < x < 3
 > 2
x
5
⇒
-
≠







x
2
F
R
E
N
T
E
 1
11
Fazendo a interseção desses conjuntos, temos:
5
2
5
2
−1
2
2
3
3
�= ∈ < < ≠






D x / 2 x 3 e x
5
2
11 Obtenha o domínio da função:
f(x) = log(2x2 - 3x + 1)  (3x
2 - 5x + 2)
Resolução:
∃ - ⇔
-
log
(2 1
2
2
2
3
2
x
x
x
 3x + )
2
(3x 5x + 2)
5x + 2 > 0
3x + 1 > 0
2x 3x + 1 1
x > 1 ou x <
2
3
x > 1 ou x <
1
x 0
2 ≠





⇒
≠
2
 e x ≠









3
2
Fazendo a interseção desses conjuntos, temos:
 1
 1
 1
0
0
2
3
3
2
3
2
1
2
1
2
D = ] 0[ ]0,
1
2
 [ ] + [∞ ∪ ∪ ∪ ∞, [ ] , ,1
3
2
3
2
Generalização do gráfico da função
f(x) = log c(ax + b)
Observe os exemplos de construção dos seguintes
gráficos:
Exemplo 6
y f(x) = log2(3x – 5)
a) Condição de existência: 3x 5 > 0⇔ x >
5
3
Eventualmente se utiliza C.E. como abreviação de condição de existência.
Atenção
b) Equação da assíntota: 3 5 0
5
3
x x- = ⇔ =
c) Raiz da função:
log2 (3x – 5) = 0⇔ 3x – 5 = 2
0 ⇔ 3x = 6⇔ x = 2
A função “corta” o eixo x no ponto (2, 0).
d) Eixo y:
 Pontos do eixo y possuem abscissa zero, como o
domínio da função é x >
5
3
, não há cruzamento com
o eixo y.
e) Gráfico do logaritmando:
−5
y
x5
3
 A função y = 3x – 5 é crescente. Como a função lo-
garítmica possui base 2, a função principal também é
crescente.
f) Esboço do gráfico:
y
x5
3
2
Exemplo 7
y f(x) = log ( 2x 3)
1
3
+
a) Condição de existência: –2x + 3 > 0⇔ x <
3
2
b) Equação da assíntota: 2x + 3 = 0⇔ x =
3
2
c) Raiz da função:
log ( )1
3
0
2 3 0 2 3
1
3
2 2 1+ = ⇔ + = 



⇔ = ⇔ =x x x x
A função “corta” o eixo x no ponto (1, 0).
d) Eixo y:
 Para x = 0, temos o ponto de cruzamento do gráfico no
eixo das ordenadas (0, 3)
MATEMÁTICA Capítulo 5 Funções logarítmicas12
e) Gráfico do logaritmando:
y
x
3
3
2
A função y = 2x + 3 é decrescente e a função loga-
rítmica tem base
1
3
, assim, a função principal é crescente
f) Esboço do gráfico:
y
x1
−1
3
2
Conclusões e observações
Podemos citar as partes principais da construção do
gráfico logc (ax + b):
I. Condição de existência: ax b x
b
a
+ > ⇔ >0 ; a ≠ 0
II. Equação da assíntota: + = ⇔ =ax b 0 x
b
a
III. Raiz da equação:
log ( )c ax b ax b c x
b
a
+ = ⇔ + = ⇔ =
-
0
10
IV. Eixo y: caso x = 0 e pertença ao domínio da função, o
gráfico logc (ax + b) “corta” o eixo y no ponto (0, logcb).
V. Função do logaritmando: seja f(x) = logc(ax + b) e
g(x) = ax + b, temos, então, f(x) = logcg(x). Para obter
uma ideia do gráfico de f(x), analise:
1) g(x) crescente (a > 0 e c > 1)→ f(x) é crescente
2) g(x) decrescente (a < 0 e c > 1)→ f(x) é decrescente
3) g(x) crescente (a > 0 e 0 < c < 1)→ f(x) é decrescente
4) g(x) decrescente (a < 0 e 0 < c < 1)→ f(x) é crescente
Para melhor entendimento, observe a demonstração
do item 4:
x1 > x2 g(x1) < g(x2) logcg(x1) > logcg(x2)
g é decrescente 0 < c < 1
\ logc(g(x)) é crescente.
Generalização do gráfico da função
f(x) = logd(ax
2
+ bx + c)
Observe os exemplos de construção desses gráficos, se-
guindo as ideias obtidas na teoria do gráfico f(x) = logc (ax + b)
Exemplo 8
y f(x) = log2(x
2
 6x + 8)
a) Condição de existência: x
2
 6x + 8 > 0
4 x−
++
2
 x > 4 ou x < 2
b) Equações das assíntotas: x
2
 6x + 8 = 0 → x = 2 ou
x = 4
c) Raízes da equação:
log2(x
2
 – 6x + 8) = 0\ (x
2
 – 6x + 8) = 2
0
\ x
2
 – 6x + 7 = 0
x =
±
=
±6 8
2
6 2 2
2
x 3 2
x 3 2
1
2
= +
= -
d) Eixo y:
Para x = 0, temos y= log2(0
2
 – 6 · 0 + 8) = log28 = 3→ (0, 3).
e) Função do logaritmando:
 Analisando os intervalos em que x
2
 – 6x + 8 é crescen-
te ou decrescente e observando a base do logaritmo,
no caso 2 > 1, podemos esboçar a função f(x).
2
8
3
4 x
−1
2
6x 8x +
x = 3→ y = –1
x > 3→ crescente
x < 3→ decrescente
f) Esboço do gráfico:
 Esse item é a junção dos demais itens, mas com um
cuidado especial para o item e, pois ele indica se f(x)
é crescente ou decrescente.
2 43 2− 3 2+
3
f(x)
x