pré cálculo - funções

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FACULDADE DO CENTRO LESTE – UCL 
BÁSICO DAS ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serra 2015 
 Este trabalho contém uma compilação de 
textos de diversos autores, tendo sido elaborado 
com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático 
para o aluno em sala de aula. 
 
Prof. Walquiria Torezani 
 2
Sumário 
1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES .................................................................... 3 
1.1. Por que estudar as Funções .................................................................................. 3 
1.2. Conceito de Função ............................................................................................... 3 
1.3. Algumas Características das Funções ................................................................. 5 
1.4. Funções Compostas ............................................................................................. 15 
1.5. Funções Inversas ................................................................................................. 17 
1.6. Algumas Funções Básicas ................................................................................... 21 
1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares ....................................... 27 
1.8. Função Exponencial ............................................................................................ 36 
1.9. A Função Logarítmica ........................................................................................ 38 
1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ................................ 41 
1.11. Transformações das funções trigonométricas .............................................. 57 
1.12. Identidades Trigonométricas ......................................................................... 61 
1.13. Exercícios ......................................................................................................... 66 
Algumas Características das funções .......................................................................... 66 
Funções Compostas e Funções Inversas ...................................................................... 66 
Aplicações das Funções ............................................................................................... 68 
Algumas Funções Básicas ........................................................................................... 69 
Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ................................................ 76 
 
 3
 
 
1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES 
 
1.1. Por que estudar as Funções 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque 
em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum 
expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais e os problemas de engenharia, dentre 
outros, por meio de funções. 
 
As funções são consideradas o elemento chave para a modelagem matemática que nada 
mais é do que descrever os problemas do mundo real em termos matemáticos. A noção de 
função é fundamental para todo o nosso trabalho em cálculo. 
 
Este capítulo abre caminho para o cálculo discutindo as ideias básicas relacionadas às 
funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los e transformá-los. 
 
Uma função pode ser representada por uma equação, uma tabela numérica, um gráfico ou 
verbalmente. O gráfico de uma função é uma maneira particularmente útil de visualizar 
suas propriedades e comportamento geral. 
 
Vamos estudar aqui os principais tipos de funções que ocorrem no cálculo e descrever o 
modo de usá-las como modelos matemáticos do nosso cotidiano. Daremos ênfase especial 
para as funções exponenciais, trigonométricas e suas inversas. 
 
1.2. Conceito de Função 
 
As funções surgem quando relacionamos duas grandezas variáveis, isto é quando uma 
grandeza depende de outra. Vejamos alguns exemplos: 
 
• A temperatura de ebulição da água depende da altitude – o ponto de ebulição 
diminui quando a altitude aumenta. 
• Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro 
permanece investido. 
• A distância que um objeto percorre a uma velocidade constante, a partir de um 
ponto inicial, ao longo de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido. 
 
Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor 
de outra, que podemos denominar de x. Uma vez que o valor de y é completamente 
determinado pelo valor de x, dizemos que y é uma função de x. 
 
Definição – Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa a cada 
elemento x de A um e somente um elemento y de B. 
Usamos as seguintes notações: 
 
)(
:
xfx
BAf
a
→
 ou 
)(xfx
BA f
a
→
 ou 
yx
BAf
a
→:
 tal que ( )xfy = 
 
 
 4
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da 
função. Como a definição não obriga que todos os elementos de B sejam atingidos pela 
função, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem de A pela função f, ou 
simplesmente imagem da função. 
 
A variável x que representa os elementos do conjunto A é chamada de variável 
independente e a variável y = f(x) que representam os elementos do conjunto B é chamada 
de variável dependente, pois seus valores dependem dos valores de x. 
 
No nosso curso A e B serão sempre conjuntos de números reais. 
 
Representações de Funções 
 
É possível representar uma função de quatro maneiras: 
• Verbalmente – descrevendo-a com palavras. 
 
Dizemos que a área A de um círculo é função do seu raio r. 
Dado um círculo de raio r sua área A é calculada multiplicando-se π pelo quadrado 
do seu raio ( )2r . 
 
• Numericamente – por meio de tabela de valores 
 
Podemos representar a função que expressa a área A de um círculo como função do 
seu raio r através da seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
• Algebricamente – Utilizando-se uma fórmula explícita )(xfy = 
 
A mais útil dentre as representações da área A de um círculo em função de seu raio 
r é provavelmente a fórmula: 
( ) 2rrA π= 
 Apesar de ser possível, como visto acima, elaborar uma tabela de valores, bem 
como esboçar seu gráfico. 
 
• Visualmente - através de gráficos ou diagrama de Venn – Euler 
 
Como o raio do círculo deve ser positivo, o domínio da função ( )rA é dado por: 
{ } [,0]0/ ∞=>∈= rIRrD , assim seu gráfico é parte de uma parábola. 
 
 
r 1 cm 2 cm 3 cm ... 
A 2cmπ 24 cmπ 29 cmπ ... 
 5
Usando o Diagrama de Venn – Euler a tabela que montamos anteriormente podemos 
representar a função ( )rA da seguinte maneira: 
 
 A B 
 
 
Cada flecha conecta um elemento de A com um único elemento de B. A flecha indica, por 
exemplo, que 2 está associado a π4 . Podemos escrever ainda que ( ) π42 =A . 
 
1.3. Algumas Características das Funções 
 
Domínio 
 
Usualmente definimos uma função f enunciando uma fórmula para calcular o valor de 
( )xf para cada valor de x dado. Quando o domínio de uma função não é especificado no 
problema, tomamos como domínio todos os valores reais de x para os quais existe a 
imagem ( )xfy = . 
Se x está no domínio de f, dizemos que f é definida em x, ou que ( )xf existe, caso 
contrário dizemos que ( )xf não existe ou que f não está definida em x. 
 
Exemplo 1 - Dada a função 2)( −= xxf , determine, se possível: 
 
a) ( )27f b) ( )2f c) ( )1f 
 
Vamos calcular cada um desses valores: 
 
a) ( ) 52522727 ==−=f 
b) ( ) 00222 ==−=f 
c) ( ) R1211 ∉−=−=f 
 
Observe que x não pode assumir certos valore, por exemplo, para x = 1 temos que ( )1f 
não é um número real e portanto, nem todo número real pertence ao domínio dessa função. 
 
Para determinar o domínio de uma função é preciso obedecer duas regras básicas da 
matemática, que chamaremos de “Condições de Existência”. Essas regras são válidas 
sempre que estivermos tratando de números reais. 
 
• Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero. 




 ≠ 0bcom
b
a
 
• Emuma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero. 
( )0≥acoma 
Exemplo 2 - Determine o domínio das funções abaixo: 
 6
 
a) 252 −+= xxy b) 
3
2
−
=
x
y c) 2−= xy d)
x
x
y
−
=
4
5
 e)
5
3
−
−=
x
x
y 
 
a) Neste caso, não há qualquer restrição, portanto D = R. 
 
b) Aqui devemos respeitar a primeira condição de existência: 
 
 
303 ≠⇒≠− xx 
Logo: { }3−= RD 
 
c) Aqui devemos respeitar a segunda condição de existência: 
 
202 ≥⇒≥− xx 
Graficamente temos que: 
 
Logo: [,2[ ∞=D 
 
d) Este é um caso típico onde devemos satisfazer as duas condições de existência, 
pois temos uma raiz quadrada no denominador de uma fração: 
 
404 <⇒>− xx 
Graficamente temos que: 
 
Logo: [4,] ∞−=D 
 
e) Aqui também usaremos as duas condições de existência; a primeira para o 
denominador da fração e a segunda para o numerador que é uma raiz quadrada: 
 
3x03-x
e 
505
≥⇒≥
≠⇒≠− xx
 
Graficamente temos que: 
 
 
Logo: { }5[,3[ −∞=D 
 
Imagem 
 
Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos 
os elementos By∈ que estão relacionados com algum x de A. Isto é, 
 
( ){ }AxxfyByf ∈=∈= algum para /Im 
 
 7
Exemplo - Determine a imagem de cada uma das funções abaixo: 
 
 
[,2[Im ∞−=f IRf =Im 
 
 
[ ]2.0Im =f { }2[,0]Im −∪∞=f 
 
Interceptos da Função 
 
Dada uma função y = ( )xf , os valores de x para os quais ( ) 0=xf são chamados de raízes 
da função ou interceptos - x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos 
pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. 
 
No gráfico abaixo temos que ( ) 01 =xf , ( ) 02 =xf e ( ) 03 =xf . Assim 321 e , xxx são as 
raízes da função. 
 
 
 
O valor de ( )0f é chamado de interceptos – y pois é a ordenado do ponto onde o gráfico 
corta o eixo vertical. 
 
 
Função Injetora e Função Sobrejetora 
 
 8
Uma função BAf →: é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto 
( )21 xxA ≠ correspondem elementos distintos do conjunto ( )21 yyB ≠ . 
Isto é, 
( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ 
 
Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento de B for 
atingido por, no máximo, uma flecha. 
 
Exemplo - Observe cada uma das funções abaixo descrita através de seus diagramas de 
Venn: 
 
f(x) não é Injetora f(x) é injetora 
 
Em relação ao seu gráfico uma função é considerada injetora se qualquer reta horizontal 
intercepta o gráfico, no máximo, uma vez. 
 
Exemplo - Observe os gráficos abaixo: 
 
 
 f(x) não é injetora f(x) é injetora 
 
Uma função BAf →: é dita sobrejetora se seu conjunto imagem é igual ao conjunto B. 
 
Bf =)Im( . 
 
Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que 
todos os elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Observe o diagrama de Vem das funções representadas abaixo: 
 
 9
 
 f(x) é sobrejetora f(x) não é sobrejetora 
 
Em relação ao seu gráfico uma função somente será sobrejetora se a projeção do gráfico 
sobre o eixo Oy for seu contradomínio. 
 
Exemplo - A função IRIRf →: dada por ( ) 2xxf = cujo gráfico está representado 
abaixo não é sobrejetora, pois sua imagem é o conjunto IR+. 
 
 
 
 
 
Uma função BAf →: é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função bijetora é preciso que 
todos os elementos B sejam atingidos por uma única flecha. 
 
 
 f(x) é bijetora f(x) não é bijetora 
 
É fácil ver que as funções que são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio são 
funções bijetoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - As funções esboçadas abaixo são funções bijetoras. 
 
 10
 ( ) 2
:
+=
→
xxf
IRIRf
 ( ) ( )xxf
IRIRf
2/1
*
log
:
=
→+ 
 
 
 
 
Dependendo do domínio A e do contradomínio B escolhido, a função f: A → B 
determinada pela mesma sentença aberta poderá ser somente sobrejetora, somente injetora, 
bijetora, ou nem sobrejetora, nem injetora. 
 
Exemplo - Considere a função determinada por ( ) 2xxf = . 
 
a) Considerando A = IR+ e B = IR, f(x) é somente injetora. 
 
 
 
 
 
b) Considerando A = IR e B = IR+, f(x) é somente sobrejetora. 
 
 
 
c) Considerando A = IR+ e B = IR+, f(x) bijetora. 
 
 
 11
 
 
d) Considerando A = IR e B = IR, f(x) não é injetora nem sobrejetora. 
 
 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y 
valores também crescentes. Isto é: 
 
( ) ( )2121 xfxfxx <⇒< 
 
Exemplo 1 - Os gráficos abaixo descrevem funções crescentes. Observe que, embora as 
três funções sejam crescentes, não crescem da mesma forma: 
 
 
 
Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y 
valores decrescentes. Isto é: 
 
( ) ( )2121 xfxfxx >⇒< 
 
Exemplo 2 - Os gráficos abaixo descrevem funções decrescentes. Observe que, embora as 
três funções sejam decrescentes, não decrescem da mesma forma: 
 
 12
 
 
Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece 
invariável. Isto é, 
( ) ( )21 xfxf = para todo fDxx ∈21, 
 
Exemplo 3 - O gráfico abaixo descreve uma função constante: 
 
 
 
Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente 
naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é 
chamada não crescente naquele intervalo. 
 
Exemplo 4 - Os gráficos abaixo descrevem uma função não decrescente e uma função não 
crescente: 
 
 
Não decrescente Não crescente 
 
Uma maneira simples de determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento de 
uma função é aplicar o seguinte teste: 
 
“Da esquerda para a direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos 
intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ela desce a 
função é decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.” 
 
 13
Exemplo 5 - Usando o teste acima, determine os intervalos de crescimento e 
decrescimento da função f(x) ilustrada abaixo: 
Resolução: 
 
 
 
Observando o gráfico vemos que: 
• f(x) é decrescente nos intervalos [2, 4], [7, 9] e [12, 15] 
• f(x) é constante no intervalo [4,7] 
• f(x) é crescente nos intervalos [9,12], [15,18] 
 
Máximos e Mínimos de uma Função 
 
Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, 
tendo intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre a função 
apresenta máximos ou mínimos locais, conforme o caso. 
 
Dizemos que ( )0xf é um máximo local (máximo relativo) de uma função ( )xfy = se 
( ) ( )xfxf ≥0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto 
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras ( )0xf está “no topo de uma montanha”, pois em 0x 
a função passa de crescente para decrescente. 
 
Da mesma forma, ( )0xf é um mínimo local (ou mínimo relativo) de uma função ( )xfy = 
se ( ) ( )xfxf ≤0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto 
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras ( )0xf está “no fundo de um poço”, pois em 0x a 
função passa de decrescente para crescente. 
 
Se 0x é tal que ( )0xf é o maior valor que a função assume em todo o seu domínio, então 
0x é dito ponto de máximo absoluto de f. 
 
Analogamente, se ( )0xf é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio, 
então 0x é dito ponto de mínimo absoluto de f. 
 
 14
Exemplo - Determine os pontos de máximos e mínimos locais e absolutos da função cujo 
gráfico está ilustrado abaixo: 
 
 
 
Supondo que o domínio dessa função é o intervalo de zero a quinze temos: 
 
• Máximos locais: ( ) 2,47,1 =f , ( ) 97 =f e ( ) 5,35,12 =f . 
• Mínimos locais: ( ) 24 −=f e ( ) 210 −=f . 
• Máximo absoluto: ( ) 97 =f . 
• Mínimo absoluto: ( ) 315 −=f . 
 
Funções Pares e ÍmparesUma função f é par se ( ) ( )xfxf =− para todo fDx∈ . 
 
Exemplo - São funções pares: 
 
( ) 2xxf = ( ) 34 −= xxf ( )
2
2
2
2
+
−=
x
x
xf 
 
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Observe o gráfico de 2xy = : 
 
 15
 
 
Uma função f é ímpar se ( ) ( )xfxf −=− para todo fDx∈ . 
 
Exemplo - São funções ímpares: 
 
( ) 3xxf = ( ) xxxf 35 += ( )
42
3
−
=
x
x
xf 
 
Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem. 
 
Exemplo - Observe o gráfico de 3xy = : 
 
 
 
Algumas funções não são nem pares nem ímpares. 
 
Por exemplo, ( ) 152 −+= xxxf não é nem par nem ímpar, pois calculando ( )xf − temos: 
 
( ) ( ) ( ) 1515 22 −−=−−+−=− xxxxxf 
 
Logo, ( ) ( )xfxf ≠− e ( ) ( )xfxf −≠− . 
 
1.4. Funções Compostas 
 
Considere as funções BAg →: e CBf →: . Chama-se função composta das funções f e 
g a função CAh →: definida por: 
 
( ) ( )( ) ( )( )xgfxgfxh == o 
 
 16
 
A imagem de um determinado elemento x de A através da função composta ( )gf o é 
definida em duas partes: 
 
• A transformação do elemento x de A no elemento g(x) de B. 
• A transformação do elemento g(x) de B no elemento ( )( ) ( )( )xgfxgf o= de C. 
 
O contradomínio de g é idêntico ao domínio de f, porém, para existir ( )gf o é preciso que 
( ) ( )fDg ⊂Im . 
Podemos dizer então, que o domínio de ( )gf o é o conjunto de todos os ( )gDx∈ para os 
quais ( )( ) IRxgf ∈ . 
( )( ){ }IRxgfDxD ggf ∈∈= /o 
 
Exemplo 1 - Dadas as funções ( ) 32 += xxf e ( ) xxg 5= , pede-se determinar ( )( )xfg o e 
( )( )xgf o . 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 151032532 +=+=+== xxgxfgxfg o 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 3103525 +=+=== xxxfxgfxgf o . 
Este exemplo nos mostra que de modo geral fggf oo ≠ , ou seja, a operação de 
"composição de funções " não é comutativa. 
Exemplo 2 – Dadas as funções ( ) 162 −= xxf e ( ) xxg = , determine: 
a) ( )( )xgf o e o seu domínio. 
b) ( )( )xfg o e o seu domínio. 
 
Inicialmente note que IRD f = e [,0[ ∞=Dg 
 
 a) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1616162 −=−=−=== xxxxfxgfxgf o 
 
Se considerássemos apenas a expressão final poderíamos a ser levados a crer que o 
domínio de gf o fosse IR. Entretanto, por definição, o domínio de gf o é o conjunto de 
todos os [,0[ ∞∈x tal que g(x) está em IR. 
 17
Assim, [,0[ ∞=gfD o 
 b) ( )( ) ( )( ) ( ) 1616 22 −=−== xxgxfgxfg o 
 
Por definição o domínio de fg o é conjunto de todos os x em IR tal que f(x) está em 
[,0[ ∞ . 
Logo devemos determinar os valores de x para os quais 40162 ≥⇒≥− xx . 
Assim, [,4[]4,] ∞∪−∞−=fgD o 
 
Forma Funcional Composta 
 
Se f e g são funções tais que ( ) ( )xguufy == e 
 
 Então, substituindo o valor de u em ( )ufy = , temos ( )( ) xgfy = . 
 
Para certos problemas no cálculo, costumamos inverter este procedimento, ou seja, dado 
( )xhy = para alguma função h, determinamos uma forma funcional composta 
( ) ( )xguufy == e tal que ( ) ( )( ) xgfxh = . 
 
Exemplo - Expresse ( ) 52 8+= xy sob a forma de uma função composta. 
 
Fazendo 
uy
52xu
8



=
+=
 temos que ( ) 8uufy == onde 52 += xu 
 
O método usado para resolver este exemplo pode ser aplicado a outras funções. 
Em geral suponha ( ) xhy = . Para escolher a expressão interior ( )xgu = em uma forma 
funcional composta, faça a seguinte pergunta: 
 
“Se estivesse usando uma calculadora que parte de ( ) xhy = seria calculada primeiro?” 
 
Isso conduz em geral a uma escolha adequada de ( )xgu = . Após escolher u, recorra a 
( ) xh para determinar ( ) uhy = . 
 
Exemplo - Observe a tabela abaixo que ilustra a escolha de algumas formas funcionais 
compostas: 
 
Função Escolha de ( )xgu = Escolha de ( )ufy = 
( ) 152 53 −+= xxy 152 3 −+= xxu 5uy = 
24 xy −= 
24 xu −= uy = 
13
2
−
=
x
y 
13 −= xu 
 
2
u
y = 
 
1.5. Funções Inversas 
 
Se f é uma função bijetora com domínio A e contradomínio B, então para cada By∈ , 
existe um único número Ax∈ tal que ( )xfy = . Podemos então pensar na existência de 
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uma função que a partir da imagem ( )xfy = determine o número x que a gerou, ou seja, 
uma função g tal que ( ) xyg = . Essa função g que faz o caminho de volta da função f, é 
chamada de função inversa de f e recebe a notação 1−f . 
 
 
Propriedades das funções inversas 
 
1. O domínio da função f é a imagem da função 1−f e o domínio da função 1−f é a 
imagem de f. 
 
2. Considerando que a função f leva o elemento a na imagem ( )afb = e que a função 
inversa 1−f traz a imagem de volta ao elemento a, ( ) abf =−1 , então vale: 
• ( )( ) xxff =−1 Para todo x em A e 
• ( )( ) xxff =−1 Para todo x em B. 
 
3. Podemos mostrar também que: 
• ( )( ) ( )xfxf =−− 11 e 
• ( ) 111 −−− = fggf oo 
 
4. Se o par ordenado ( )ba, pertencer ao gráfico de f então o par ( )ab, pertencerá ao 
gráfico de 1−f e isso representado no plano cartesiano nos proporcionará uma simetria dos 
pontos de f e 1−f em relação à reta xy = . 
Logo os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à reta xy = . 
 
 
Diretrizes para determinar 1−f . 
 
1 – Verifique se f pode ser definida com domínio e contradomínio nos quais ela é bijetora. 
2 – Resolva a equação ( )xfy = em relação à x em termos de y, obtendo uma equação da 
forma ( )yfx 1−= . 
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3 – Troque y por x na função encontrada em (2) para obter a função ( )xfy 1−= que será a 
função inversa de f. 
4 – Verifique se valem as condições ( )( ) xxff =−1 e ( )( ) xxff =−1 para todo x nos 
domínios de f e 1−f . 
 
Exemplo 1 - Seja ( ) 53 −= xxf . Para determinar a função inversa de f devemos seguir os 
quatro passos dados pelas diretrizes acima: 
 
1 - É fácil ver que o domínio e a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, logo 
IRIRf →: é uma função bijetora. (observe seu gráfico) 
 
 
 
2 - Considere então a equação: 
 
Isolando x nesta equação temos: 
3
5
5353
+=⇒+=⇒−= yxyxxy 
3 – Trocando x por y obtemos a função: 
( )
3
51 +=− xxf 
4 – Verificando as condições para e existência da inversa: 
( )( )
( )( ) ( ) xxxxfxff
xx
xx
fxff
==+−=−=
=−+=−+=




 +=
−−
−
3
3
3
553
53
555
3
5
.3
3
5
11
1
 
 
Fazendo os gráficos de f e de 1−f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que 
de fato são simétricos em relação à reta xy = . 
 
53 −= xy
 20
 
 
Exemplo 2 - Seja ( ) 32 −= xxf para 0≥x . Determine a função inversa de f. 
 
Vamos seguir os quatro passos dados pelas diretrizes acima. 
 
1 – Observando o gráfico de f vemos que se [,0[ ∞=fD e [,3[Im ∞−=f então, 
[,3[[,0[: ∞−→∞f é bijetora. 
 
 
2 - Considere então a equação: 
 
Isolando x nesta equação temos: 
 
333 22 +=⇒+=⇒−= yxyxxy 
3 – Trocando x por y obtemos a função: 
 
( ) 31 +=− xxf 
 
4 – Verificando as condições para e existência da inversa: 
 
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) xxxxfxff
xxxxfxff
==+−=−=
=−+=−+=+=
−−
−
22211
21
333
33333
 
 
Fazendo os gráficos de f e de 1−f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que 
de fato são simétricos em relação à reta xy = . 
 
32 −= xy
 21
 
 
 
1.6. Algumas Funções Básicas 
 
Função Constante 
 
Função constante é toda função do tipo: 
cy = 
Onde IRc∈ é constante. 
 
Características 
 
Domínio – IR 
Imagem – 
Gráfico – O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal na altura de y = c 
 
Função Linear 
 
 Função Linear é toda função do tipo: 
( ) baxxf += 
Sendo a e b constantes reais e 0≠a . 
 
Características 
 
Domínio – IR 
Imagem – IR 
Gráfico – O gráfico de uma função linear é uma reta e é obtido pelo deslocamento do 
gráfico da função xy = . 
 
 
O gráfico de baxy += intercepta o eixo x no ponto de abscissa 
a
b
x −= 
 22
A constante b é chamada coeficiente linear e representa no gráfico o ponto onde a reta 
intercepta o eixo-y. 
 
 
 
A constante a é chamada de coeficiente angular e indica a inclinação ou direção da reta. 
 
Quando 0>a , o gráfico corresponde a uma função crescente e quando 0<a o gráfico 
corresponde a uma função decrescente. 
 
 
 0>a 0<aUma característica muito importante da função linear é que a variação do y é sempre a 
mesma quando x varia de 1 unidade por isso o coeficiente angular a também é chamado 
de Taxa de Variação da função em relação a x. 
 
Função Quadrática 
 
Função Quadrática é toda função do tipo: 
( ) cbxaxxf ++= 2 
Em que a, b e c são constantes reais e 0≠a . 
 
Características 
 
Domínio – IR 
Imagem – 






<∆−∞−
≥∞∆−
0 se ]
4
,]
0 se [,
4
[
a
a
a
a 
Gráfico – O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola e é obtido através 
das transformações da função 2xy = . 
 
 23
 
 
 
A concavidade da parábola é voltada para cima se 0>a e voltada para baixo se 0<a . 
 
 
 
 0>a 0<a 
 
O ponto V do gráfico acima é chamado Vértice da parábola e suas coordenadas são dadas 
por: 
( )vv yxV , Onde 
( )






=∆−=
−=
vvv
v
xfy
a
y
a
b
x
ou 
4
2 
 
Observe que se 0>a , V é um ponto de mínimo da parábola e se 0<a , V é um ponto de 
máximo da parábola. 
 
A reta vxx = é chamada de eixo de simetria da Parábola. 
 
Os eventuais pontos de interseção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo 0=y . 
Isto é, resolvendo a equação 02 =++ cbxax . 
Segue dos nossos estudos anteriores que: 
 
⇒>∆ 0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos 
⇒=∆ 0 A parábola corta o eixo x em um único ponto (que é o vx ) 
⇒<∆ 0 A parábola não corta o eixo x 
 
A interseção com o eixo y é obtida fazendo-se 0=x . 
Portanto 
 24
cycbayx =⇒+⋅+⋅=⇒= 000 2 
 
Logo a parábola corta o eixo y no ponto cy = 
 
Função Potência 
 
Chamamos de Função Potência a toda função do tipo: 
 
( ) nxxf = 
Onde n é uma constante. 
 
Características 
 
Quando 0=n , 1=n ou 2=n temos situações particulares já estudadas, que são as 
funções constantes, lineares e quadráticas, respectivamente. Para outros valores de n, as 
características de ( )xf variam dependendo da natureza de n. 
Vamos estudar alguns casos. 
 
Caso 1 – Expoente (n) inteiro e positivo 
 
Vejamos algumas dessas funções: 
 
Exemplo 1 - Considere a função ( ) xxf = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio – IR 
Imagem – IR 
Simetria – Origem 
Paridade – Função ímpar 
 
Exemplo 2 - Considere a função ( ) 2xxf = 
 
 
 
Domínio – IR 
Imagem - [;0[ ∞
 Simetria – Eixo y 
Paridade – Função par 
 25
 
Exemplo 3 - Considere a função ( ) 3xxf = 
 
 
 
 
 
 
Domínio – IR 
Imagem – IR 
Simetria – Origem 
Paridade – Função ímpar 
 
A forma geral do gráfico de ( ) nxxf = depende de n ser par ou ímpar. 
Se n for par ( ) nxxf = será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola 2xy = . 
Se n for ímpar ( ) nxxf = será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de 3xy = . 
 
Caso 2 – Expoente (n) Racional 
 
A função ( ) nxxf = onde n é um número racional é uma função raiz. 
 
Vejamos os casos mais comuns: 
Exemplo 1 - Considere a função ( ) xxxf == 2
1
 
 
 
 
 
Domínio – [ [∞,0 
Imagem - [ [∞,0 
 
 
Observe que este gráfico é a parte superior da parábola 2yx = . 
Para outros valores pares de n, o gráfico de n xy = é similar ao gráfico de xy = . 
 
 
 
 
 
 
 26
Exemplo 2 - Considere a função ( ) 33
1
xxxf == 
 
 
 
 
 
Domínio – IR 
Imagem – IR 
Simetria – Origem 
Paridade – Função ímpar 
 
Para outros valores ímpares de n, o gráfico de n xy = é similar ao gráfico de 3 xy = . 
 
Exemplo 3 - Considere a função ( ) 3 2xxf = 
 
 
 
 
 
Domínio – IR 
Imagem - [,0[ ∞
 Simetria – Eixo y 
Paridade – Função par 
 
Caso 3 – Expoente (n) Inteiro Negativo 
 
Se n é um inteiro positivo então ( )
n
n
x
xxf
1== − . 
Vejamos algumas dessas funções: 
 
Exemplo 1 - Considere a função ( )
x
xxf
11 == − Seu gráfico é chamado de Hipérbole e 
tem as seguintes características: 
 
 
 27
 
 
Domínio – { }0−IR 
Imagem – { }0−IR 
Simetria – Origem 
Paridade – Função ímpar 
 
Se n ímpar o gráfico de ( )
nx
xf
1= se assemelha ao gráfico de ( )
x
xf
1= . 
 
Exemplo 2 - Considere a função ( )
2
2 1
x
xxf == − . 
 
 
 
 
 
Domínio – { }0−IR 
Imagem – [,0] ∞ 
Simetria – Eixo y 
Paridade – Função par 
 
Se n par o gráfico de ( )
nx
xf
1= se assemelha ao gráfico de ( )
2
1
x
xf = . 
 
1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares 
 
Funções Definidas por partes 
 
Funções definidas por partes são funções definidas por fórmulas diversas em diferentes 
partes do seu domínio. 
Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função f definida por ( )



>−
≤−
=
1 se1
1 se 1
xx
xx
xf 
Como fazer o gráfico de f? 
 
Observe que a parte do gráfico de f à esquerda da reta vertical 1=x deve coincidir com a 
reta xy −= 1 , enquanto que a parte do gráfico de f à direita da reta vertical 1=x deve 
coincidir com a reta 1−= xy . Neste caso, precisamos de apenas dois pontos de cada lado 
da reta 1=x para esboçar seu gráfico. 
 
Considere então as tabelas: 
 
 28
1≤x 1>x 
 x y = 1 - x x y = x - 1 
0 1 1 0 
1 0 2 1 
 
Logo: 
 
 
Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função definida por( )



−>
−≤+
=
2 se3
2 se 12
x
xx
xf 
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior podemos construir as seguintes tabelas: 
 
2−≤x 2−>x 
x y = 2x + 1 x y = 3 
-3 -5 -2 3 
-2 -3 1 3 
Assim: 
 
 
 
 
Exemplo 3 - Esboce o gráfico da função definida por ( )





≥−
<<−
−≤+
=
1 se 7
11 se 6
1 se 12
xx
x
xx
xf 
 
Neste caso precisamos construir três tabelas, pois a função tem três leis de formação. 
 
 
 29
1−≤x 11 <<− x 1≥x 
x y = x2 + 1 x y = 6 x y = 7 - x 
-2 5 -1 6 1 6 
-1 2 1 6 2 5 
 
Assim: 
 
 
Funções Modulares 
 
Dado um número real x, sempre existe x e seu valor é único. Podemos então, definir uma 
função +→ RRf : tal que ( ) xxf = chamada de Função Modular. 
Usando a definição de x temos que: 
( )



<−
≥
=
0 se
0se
xx
xx
xf 
 
Observe que a função modular é uma função definida por partes. 
Graficamente temos: 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função ( ) 3−= xxf : 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
 
 
 30
3<x 3≥x 
x y = - x + 3 x y = x - 3 
2 1 3 0 
3 0 4 1 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 3 unidades para a direita. 
 
Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função ( ) 1+= xxf : 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = - x + 1 x y = x + 1 
0 1 1 2 
-1 2 0 1 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 1 unidades para cima. 
 
 
 31
Exemplo 3 - Esboce o gráfico de ( ) xxf −= 
 
Temos que ( )



<
≥−
=
 0 se 
0 sex 
xx
x
xf 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = x x y = - x 
0 0 1 -1 
-1 -1 0 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
Observe que este gráfico é a reflexão do gráfico de xy = em relação ao eixo x. 
 
Exemplo 4 - Dada a função ( ) 32 −+= xxf . Escreva ( )xf como uma função definida 
por partes e esboce seu gráfico. 
 
Temos que: 
( )

<++−
≥++
=+
02 se2
02se2
2
xx
xx
x 
Isto é, 



−<−−
−≥+
=+
2 xse 2
2 xse 2
2
x
x
x 
 
Subtraindo 3 a cada uma das expressões temos: 
 
( )



−<−−
−≥−
=
2 se5
2se1
xx
xx
xf 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
 
 
 32
2−<x 2−≥x 
x y = - x - 5 x y = x - 1 
-5 0 -2 -3 
-2 -3 1 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 2 unidades para a esquerda e de 3 
unidades para baixo. 
 
Exemplo 5 - Esboce o gráfico da função ( ) xxf 3= : 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = - 3x x y = 3x 
0 0 1 3 
-1 3 0 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano podemos observar que o gráfico de ( ) xxf 3= 
é o gráfico de xy = esticado verticalmente de 3 unidades: 
 
 
 
 
 
 33
Exemplo 6 - Esboceo gráfico da função ( ) 22 xxf −= . 
 
O gráfico de ( )xfy = deve ser feito a partir do gráfico de 22 xy −= refletindo a parte 
negativa deste último em relação ao eixo x. 
Observe o gráfico de 22 xy −= . 
 
 
Assim podemos escrever ( )xf como uma função definida por partes: 
 
 
( )




>−
≤−
=
2 se 2
2 se 2
2
2
xx
xx
xf 
 
Dessa forma seu gráfico é dado por: 
 
 
 
 
Exemplo 7 - Esboce o gráfico da função ( )
x
x
xf = : 
Temos que: 



<−
≥
=
0 se
0se
xx
xx
x 
Dividindo por x temos que: 






<−
>
=
 0 se 
0 se 
x
x
x
x
x
x
x
x
 
Assim, 
 34
 
( )



<−
>
=
 0 se 1
0 se 1
x
x
xf 
 
Portanto o gráfico de f(x) é uma reta horizontal na altura do 1 se 0>x e uma reta 
horizontal na altura do – 1 se 0<x . 
 
 
 
Exemplo 8 - Esboce o gráfico da função ( ) 12 ++−= xxxf : 
 
Temos que: 



<+−
≥
=−
 2 se 2
2 se 2-
2
xx
xx
x e 



−<−−
−≥+
=+
 1 se 1
1 se 1
1
xx
xx
x 
 
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual 
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus 
domínios. 
 
 1−<x 21 <≤− x 2≥x 
2−x 2+− x 2+− x 2−x 
1+x 1−− x 1+x 1+x 
12 ++− xx 12 +− x 3 12 −x 
 
Assim, 
 
( )





<+−
<≤
≥
=
 -1 xse 12
21- se 3
2 se 1-x2
x
x
x
xf 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
1−<x 21 <≤− x 2≥x 
x y = - 2x + 1 x y = 3 x y = 2x - 1 
-2 5 -1 3 2 3 
-1 3 2 3 3 5 
 35
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que: 
 
 
 
 
Exemplo 9 - Esboce o gráfico da função ( ) 13 −−+= xxxf : 
 
Temos que: 



−<−−
−≥+
=+
3 se 3
3 se 3
3
xx
xx
x e 



<+−
≥−
=−
 1 se 1
1 se 1
1
xx
xx
x 
 
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual 
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus 
domínios. 
 
 3−<x 13 <≤− x 1≥x 
3+x 3−− x 3+x 3+x 
1−x 1+− x 1+− x 1−x 
13 −−+ xx 4− 22 +x 4 
 
Assim, 
 
( )





<−
<≤+
≥
=
 -3 xse 4
13- se 2x2
1 se 4
x
x
xf 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
3−<x 13 <≤− x 1≥x 
x y = - 4 x y = 2x + 2 x y = 4 
-4 - 4 -3 - 4 1 4 
-3 - 4 1 4 2 4 
 
 
 
 
 36
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que: 
 
 
 
 
1.8. Função Exponencial 
 
A Função Exponencial de Base a 
 
Dado um número real a tal que 1 e 0 ≠> aa denomina-se função exponencial de base a à 
função *: +→ RRf definida por: 
( ) xaxf = 
 
As restrições 1 e 0 ≠> aa dadas na definição são necessárias, pois: 
 
• Para 0=a e x negativo, não existe xa ; 
• Para 0<a e 2/1=x , por exemplo, não é possível calcular xa ; 
• Para 1=a , 1=xa para qualquer que seja o valor de x; 
 
Gráfico de xay = 
 
O padrão gráfico da função exponencial xay = depende fundamentalmente da base a ser 
maior ou menor do que 1. 
 
Para 1>a temos: 
 
 
 
Para 10 << a temos: 
 
 
 
 
 
 37
Características de xay = 
 
• Em ambos os gráficos quando x cresce uma unidade, o valor da função é multiplicado 
pela base a. Este padrão generaliza todas as funções exponenciais e acarreta na fórmula 
recursiva: 
 
( ) ( )xafxf =+1 
• Domínio: RD = 
 
• Imagem: ] [∞= ,0Im 
 
• O gráfico de xay = é uma figura chamada de Curva Exponencial 
 
• O gráfico de xay = corta o eixo y no ponto ( )1,0 . 
 
• O gráfico de xay = não toca o eixo x. 
 
• Para 1>a , a função é crescente e chamada de Função de Crescimento Exponencial. A 
base a, neste caso, é o seu fator de crescimento. 
 
• Para 10 << a , a função é decrescente e chamada de Função de Decrescimento 
Exponencial. A base a, neste caso, é o seu fator de decrescimento. 
 
• O gráfico de 
x
a
y 




= 1 é a reflexão do gráfico de xay = em relação ao eixo y. 
 
Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2)( = e xxg 3)( = são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
xy 2= xy 3= 
 38
Exemplo 2 - Os gráficos das funções
x
xf 




=
2
1
)( e 
x
xg 




=
3
1
)( são: 
 
 
 
A Função Exponencial de Base e 
 
Uma função exponencial muito importante na Matemática é aquela cuja base é o número e, 
conhecido como a Constante de Euler. Esta função é ( ) xexf = . 
Nós já vimos que para qualquer valor de a, ( ) xaxf = passa pelo ponto (0,1), entretanto, 
cada uma delas passa por esse ponto com uma inclinação diferente. A escolha da base a 
influencia na forma com que o gráfico corta o eixo y. 
O número e é um número irracional definido como a base da função exponencial cuja 
inclinação no ponto (0.1) é 1. 
Observe seu gráfico: 
 
 
 
 
Podemos provar que: 
 
....7182818284,2≈e 
 
 
 
1.9. A Função Logarítmica 
 
O Logaritmo de um número 
 
Dados dois números positivos a e b com 1≠a , definimos o logaritmo de b na base a como 
sendo o número c tal que bac = . 
Isto é: 
bacb ca =⇔=log 
x
y 




=
2
1 
x
y 




=
3
1 
 39
 
Exemplo: Temos que: 
 
1) 813 pois 481log 43 == 
 
2) 32
2
1
 pois 532log
5
2
1 =




−=
−
 
 
3) ( ) 55 pois 25log 2
5
== 
 
4) 18 pois 01log 08 == 
 
5) 162 pois 416log 42 == 
 
6) 10010 pois 2100log 210 == 
 
Observações 
 
1) Quando a base for 10, temos os chamados logaritmos decimais e neste caso, 
omitimos a base na notação de logaritmos: 
 
xx loglog10 = 
 
2) Quando a base for o número e, temos os logaritmos naturais ou Neperianos e 
neste caso, escrevemos: 
xxe lnlog = 
 
Propriedades dos Logaritmos 
 
Propriedades Básicas Propriedades Operatórias 
 
1) 01log =a P1) ( ) NMNM aaa loglog.log += 
2) 1log =aa P2) ( ) NMNM aaa loglog/log −= 
3) ya ya =log P3) MbM a
b
a loglog = 
4) xa xa =log P4) 
a
M
M
b
b
a log
log
log = 
 
Função Logarítmica 
 
Dado um número positivo a com 1≠a , a função logarítmica de base a é a função 
IRIRf →+
*: definida por: 
( ) xxf alog= 
 
 
 
 40
 
Gráfico de y = loga x 
 
O padrão gráfico da função exponencial xy alog= depende fundamentalmente da base 
a ser maior ou menor do que 1. 
 
Para 1>a temos: 
 
 
 
 
 
 
Para 10 << a temos: 
 
Características do Gráfico de y = loga x 
 
• Domínio: ] [∞= ,0D 
 
• Imagem: IR=Im 
 
• O gráfico de xy alog= corta o eixo x no ponto ( )0,1 . 
 
• O gráfico de xy alog= não toca o eixo y. 
 
• Para 1>a , a função é crescente. 
 
• Para 10 << a , a função é decrescente. 
 
• O gráfico de xy alog= é a reflexão do gráfico de 
xay = em relação à reta xy = . 
 
 
 
 
 41
 
Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2log)( = e xxg 3log)( = são: 
 
x ( )xf 
1/2 -1 
1 0 
2 1 
 
x ( )xg 
1/3 -1 
1 0 
3 1 
 
 
 
Exemplo 2 - Os gráficos das funções xxf
2
1log)( = e xxg
3
1log)( = são: 
 
x ( )xf 
1/2 1 
1 0 
2 -1 
 
x ( )xg 
1/3 1 
1 0 
3 -1 
 
 
1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas 
 
O Ciclo Trigonométrico 
 
Ciclo Trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica é a circunferência orientada que 
possui as seguintes características: 
 
i) Raio igual a 1; 
ii) Centro na origem dos eixos coordenados x e y; 
iii) O ponto ( )0.1A como a origem dos arcos orientados. 
 
Os eixos coordenados dividem o círculo trigonométrico em quatro arcos congruentes, 
chamados de quadrantes. 
 
 
( )xf 
( )xg 
( )xf 
( )xg 
42 
 
Observe a tabela a seguir que relaciona ângulos e quadrantes: 
 
Variação dos 
Arcos em graus 
º900a º180º90 a º270º180 a º360º270 a 
Variação dos 
Arcos em radianos 2
0
π
a ππ a
2
 
2
3ππ a ππ 2
2
3
a 
Quadrante 
Correspondente 
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q 
 
São definidas no ciclo trigonométrico seis funções circulares básicas: seno, cosseno, 
tangente, cotangente, secante e cossecante. 
Vamos conhecer cada uma dessas funções. 
 
Função Seno, Função Cosseno e Suas Inversas 
 
Considere no ciclo trigonométrico um ponto ( )yxP , gerado pelo arco que mede radθ .Definimos: 
 
( )
( ) ysen
cos
=
=
θ
θ x
 
Podemos mostrar que: 
( ) ( ) 1cossen 22 =+ θθ 
 
De fato, do ciclo trigonométrico extraímos o seguinte triângulo: 
 
 
Aplicando Pitágoras obtemos: 
( ) ( ) 1cossen 22 =+ θθ 
 
Exemplo 1 - Seja θ um ângulo do 1º quadrante cujo cosseno vale 
4
3
. Determine o valor de 
( )θsen . 
 
 
 
43 
 
Usando a relação acima temos que: 
( ) ( ) ( )
4
7
16
7
16
9
11
4
3
sen 2
2
2 ±=⇒=−=⇒=




+ θθθ sensen 
 
Mas sendo θ um ângulo do 1º quadrante, temos que ( )θsen é positivo. 
Logo, 
( )
4
7
sen =θ . 
Exemplo 2 – Calcule ( )xcos , sabendo que ( ) ( ) 5cos43 =+ xxsen e 
2
0
π<< x . 
Devemos resolver o seguinte sistema de equações: 
 
( ) ( )
( ) ( )


=+
=+
1cos
5cos43
22 xxsen
xxsen
 
 
Isolando ( )xsen na primeira equação temos: 
 
( ) ( )
3
cos5 x
xsen
−= 
Substituindo na segunda equação: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 016cos40cos251cos
3
cos5 22
2
=+−⇒=+




 −
xxx
x
 
 
Fazendo ( )xy cos= temos a equação 0164025 2 =+− yy 
Resolvendo esta equação quadrática obtemos 
5
4=y . 
Assim, 
( )
5
4
cos =x . 
 
Veremos a seguir os valores do seno e do cosseno de alguns arcos notáveis: 
 
 
44 
 
 
Características da Função Seno 
 
Segue diretamente da definição de ( )θsen que a função ( ) ttf sen= tem as seguintes 
características: 
 
• Domínio: IR 
• Imagem: [ ]1,1− 
• Período: ( ) ( )tsen2tsen pois 2 =+ ππ 
• ( ) ( ) ímpar função uma é seno função a tsensen ⇒=− t 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
 
Observando os valores do seno dos arcos representados na figura acima vemos que:
 
( ) ( )ttf sen= é positiva no 1º e 2º quadrantes 
( ) ( )ttf sen= é negativa no 3º e 4º quadrantes 
( ) ( )ttf sen= é crescente no 1º e 4º quadrantes 
( ) ( )ttf sen= é decrescente no 2º e 3º quadrantes 
 
 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xsen 
 
0 0 
2/π 1 
π 0 
2/3π -1 
π2 0 
 
Características da Função Cosseno 
 
Segue diretamente da definição de ( )θcos que a função ( ) ttf cos= tem as seguintes 
características: 
 
• Domínio: IR 
• Imagem: [ ]1,1− 
• Período: ( ) ( )tcos2tos pois 2 =+ ππ c 
• ( ) ( ) par função uma é cosseno função a tcostcos ⇒=− 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
( ) ( )ttf cos= é positiva no 1º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf cos= é negativa no 2º e 3º 
quadrantes 
 
45 
 
( ) ( )ttf cos= é crescente no 3º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf cos= é decrescente no 1º e 2º 
quadrantes 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xcos 
 
0 1 
2/π 0 
π -1 
2/3π 0 
π2 1 
 
 
Função Arco Seno 
 
Sabemos que a função seno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xsen=y restrita ao intervalo 
22
ππ ≤≤− x é bijetora e portanto é invertível neste 
intervalo. 
Observe seu gráfico: 
 
 
Definimos a função arco seno por: 
( ) ( ) xy =⇔= ysenxarcsen e 
22
ππ ≤≤− y . 
 
 
Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de: 
 
a) 
2
3
6
cos
2
1
arcsencos =




−=










− π 
46 
 
b) ( )
2
1arcsen,
2
senarcsen
ππ ==











 
c) 
32
3
arcsen,
4
tan
2
3
arcsen
ππ =






=











 
 
Características da Função Arco Seno 
 
• Domínio: [ ]1,1− 
• Imagem: 


−
2
,
2
ππ
 
• ( ) ( ) ímpar função uma é seno arco função a arcsenarcsen ⇒−=− xx 
• A Função Arco Seno é sempre crescente 
• Sinal: 
( )
( )

≤<<
≤≤−≥
10 se 0arcsen
01 se 0arcsen
xx
xx
 
• Gráfico: 
 
 
 
 
Função Arco Cosseno 
 
Sabemos que a função cosseno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xcos=y restrita ao intervalo π≤≤ x0 é bijetora e portanto é invertível neste 
intervalo. 
Observe seu gráfico: 
 
 
 
 
47 
 
Definimos a função arco cosseno por: 
 
( ) ( ) xy =⇔= ycosxcosarc e π≤≤ y0 . 
 
Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de: 
 
d) 
2
1
3
2
cos
2
1
cosarccos −=




=










− π 
e) 
3
2
2
1
cosarc,
3
2
coscosarc
ππ =




−=











 
f) ( )( ) ( ) 00tan,1cosarctan == 
 
Características da Função Arco Cosseno 
 
• Domínio: [ ]1,1− 
• Imagem: [ ]π,0 
• Se 0>x então, ( ) ( )
2
cosarcarcsen
π=+ xx 
• A Função Arco Cosseno é sempre decrescente e sempre positiva 
• Gráfico: 
 
 
 
 
Função Tangente 
 
Considere no ciclo trigonométrico um ponto ( )yxP , gerado pelo arco que mede radθ e a 
reta vertical t que passa pelo ponto ( )0,1A . 
Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ( )',' yxQ intersecção de OP com a 
reta t. 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos ( ) 'tan y=θ 
 
Vejamos a seguir alguns valores da tangente de alguns arcos notáveis: 
 
 
 
 
 
 
Podemos mostrar que: 
( ) ( )( )θ
θθ
cos
tan
sen= 
 
 
 
De fato, 
Da definição de tangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OAQ e OHP. 
49 
 
 
 
Usando semelhança de triângulos temos que: 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )( )θ
θθ
θ
θθ
cos
tan
cos1
tan
sen
sen
OH
PH
OA
QA
=
⇒=⇒=
 
 
Características da função Tangente 
 
Segue diretamente da definição de ( )θtan que a função ( ) ( )ttf tan= tem as seguintes 
características: 
 
• Domínio 
A função tangente está definida nos pontos em que a função cosseno não se anula. 
Portanto, 





 ∈+≠∈= ZkktIRtD onde 
2
/ ππ 
• Imagem: IR 
• Período: ( ) ( )ttantan pois =+ ππ t 
• ( ) ( ) impar função uma é tangentefunção a ttanttan ⇒−=− 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
• 
 
( ) ( )ttf tan= é positiva no 1º e 3º 
quadrantes 
( ) ( )ttf tan= é negativa no 2º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf tan= é sempre crescente. 
 
 
 
 
 
 
50 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xtan 
 
0 0 
2/π ∃/ 
π 0 
2/3π ∃/ 
π2 0 
Observe que as retas do tipo Zkkx ∈+= com 
2
ππ são Assíntotas Verticais do gráfico de 
( )xy tan= . 
 
Função Arco Tangente 
 
Sabemos que a função tangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xtan=y restrita ao intervalo 
22
ππ <<− y é bijetora e portanto é invertível neste 
intervalo. 
Definimos a função arco tangente por: 
( ) ( ) xy =⇔= ytanxtanarc e 
22
ππ <<− y . 
 
Características da Função Arco Tangente 
 
• Domínio: IR 
• Imagem: 


−
2
,
2
ππ
 
• ( ) ( ) ímpar função uma é tangentearco função a tanarctanarc ⇒−=− xx 
• A Função Arco Tangente é sempre crescente 
• Sinal: 
( )
( )



<<<−
≥<≤
0 se 0arcsen
2
0 xse 0
2
tanarc0
xx
x
π
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
• Gráfico: 
 
 
 
Função Cotangente 
 
Considere no ciclo trigonométrico um ponto ( )yxP , gerado pelo arco que mede radθ e a 
reta horizontal t que passa pelo ponto ( )1,0B . 
Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ( )',' yxQ intersecção de OP com a 
reta t. 
 
 
 
 
 
 
Definimos ( ) 'cot x=θ 
Podemos mostrar que: 
( ) ( )( )θ
θθ
sen
cos
cot = 
De fato, 
Da definição da função cotangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OBQ e 
OHP: 
 
Usando semelhança de triângulos temos que: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )θ
θθ
θ
θθ
sensenPH
OH
OB
QB cos
cot
cos
1
cot =⇒=⇒= 
 
Podemos escrever ainda 
52 
 
( ) ( )θθ tan
1
cot = 
De fato, 
Sabemos que ( ) ( )( )θ
θθ
cos
tan
sen= . 
Assim, 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )θθ
θ
θ
θθ
cot
cos
cos
1
tan
1 ===
sensen
 
 
Característica da Função Cotangente 
 
Usando a identidade ( ) ( )θθ tan
1
cot = , podemos concluir que a função ( ) ( )ttf cot= tem as 
seguintes características: 
 
• Domínio 
A função cotangente está definida nos pontos em que a função seno não se anula. 
Portanto, 
{ }ZkktIRtD ∈≠∈= onde / π 
• Imagem: IR 
• Período: ( ) ( )tcottot pois =+ ππ c 
• ( ) ( ) impar função uma é cotangente função a tcottcot ⇒−=− 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
 
( ) ( )ttf cot= é positiva no 1º e 3º 
quadrantes 
( ) ( )ttf cot= é negativa no 2º e 4º 
quadrantes 
 
Além disso, ( ) ( )ttf cot= é sempre 
decrescente. 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xcot 
 
0 ∃/ 
2/π0 
π ∃/ 
2/3π 0 
π2 ∃/ 
53 
 
Observe que as retas do tipo Zkkx ∈= com π são Assíntotas Verticais do gráfico de 
( )xy cot= . 
 
Função Arco Cotangente 
 
Sabemos que a função cotangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xcot=y restrita ao intervalo π<< x0 é bijetora e portanto é invertível neste intervalo. 
 
Definimos a função arco cotangente por: 
 
( ) ( ) xy =⇔= ycotxcotarc e π<< y0 . 
 
Características da Função Arco Cotangente 
 
• Domínio: IR 
• Imagem: ] [π,0 
• ( ) ( )xx tanarc
2
cotarc −= π 
• A Função Arco Cotangente é sempre decrescente e sempre positiva 
• Gráfico: 
 
 
 
 
Função Secante e Função Cossecante 
 
Considere no ciclo trigonométrico um ponto ( )yxP , gerado pelo arco que mede radθ e a 
reta t que é tangente ao círculo trigonométrico no ponto P. 
Sejam os pontos ( )0,mxM e ( )nyN ,0 intersecção da reta t com os eixos x e y 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Definimos: 
( ) mx=θsec 
( ) ny=θcsc
54 
 
Podemos mostrar que: 
( ) ( )θθ cos
1
sec = e ( ) ( )θθ sen
1
csc = 
De fato, 
Da definição de secante e cossecante no circulo trigonométrico extraímos os triângulos 
OPM, OPN e OHP: 
 
 
Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPM e OHP temos: 
 
( )
( ) ( ) ( )θθθ
θ
cos
1
sec
cos
1
1
sec =⇒=⇒=
OH
OP
OP
OM
 
 
Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPN e OHP temos: 
 
( )
( ) ( ) ( )θθθ
θ
sensenPH
OP
OP
ON 1
csc
1
1
csc =⇒=⇒= 
 
Características da Função Secante 
 
Usando a identidade ( ) ( )θθ cos
1
sec = , podemos concluir que a função ( ) ( )ttf sec= tem as 
seguintes características: 
 
• Domínio 
A função secante não está definida nos pontos onde o cosseno se anula. Portanto: 





 ∈+≠∈= ZkktIRtD onde 
2
/ ππ 
• Imagem: ] ] [ [∞∪−∞− ,11, 
• Período: ( ) ( )tsec2tec pois 2 =+ ππ s 
• ( ) ( ) par função uma é secante função a tsectsec ⇒=− 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
( ) ( )ttf sec= é positiva no 1º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf sec= é negativa no 2º e 3º 
quadrantes 
( ) ( )ttf sec= é crescente no 1º e 2º 
quadrantes 
( ) ( )ttf sec= é decrescente no 3º e 4º 
quadrantes 
55 
 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xsec 
 
0 1 
2/π ∃/ 
π -1 
2/3π ∃/ 
π2 1 
Observe que as retas do tipo Zkkx ∈+= com 
2
ππ são Assíntotas Verticais do gráfico de 
( )xy sec= . 
 
Características da Função Cossecante 
 
Usando a identidade ( ) ( )θθ sen
1
csc = , podemos concluir que a função ( ) ( )ttf csc= tem as 
seguintes características: 
 
• Domínio 
A função cossecante não está definida nos pontos onde o seno se anula. Portanto: 
{ }ZkktIRtD ∈≠∈= onde / π 
• Imagem: ] ] [ [∞∪−∞− ,11, 
• Período: ( ) ( )tcsc2teccsc pois 2 =+ ππ s 
• ( ) ( ) impar função uma é cossecante função a tcsctcsc ⇒−=− 
• Sinal, Crescimento e Decrescimento: 
( ) ( )ttf csc= é positiva no 1º e 2º 
quadrantes 
( ) ( )ttf csc= é negativa no 3º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf csc= é decrescente no 1º e 4º 
quadrantes 
( ) ( )ttf csc= é crescente no 2º e 3º 
quadrantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
• Gráfico: 
 
x ( )xcsc 
 
0 ∃/ 
2/π 1 
π ∃/ 
2/3π -1 
π2 ∃/ 
Observe que as retas do tipo Zkkx ∈= com π são Assíntotas Verticais do gráfico de 
( )xy csc= . 
 
Função Arco Secante 
 
Sabemos que a função secante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xsec=y restrita ao intervalo π≤≤ x0 com 
2
π≠x é bijetora e portanto é invertível 
neste intervalo. 
 
Definimos a função arco secante por: 
 
( ) ( ) xy =⇔= ysecxsecarc com π≤≤ y0 e 
2
π≠y 
 
Características da Função Arco Secante 
 
• Domínio: ] ] [ [∞∪−∞− ,11, 
• Imagem: [ ]





−
2
,0
ππ 
• ( ) 




=
x
x
1
cosarcsecarc 
• A Função Arco secante é sempre crescente e positiva em seu domínio. 
• Gráfico: 
 
 
 
57 
 
Função Arco Cossecante 
 
Sabemos que a função cossecante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função 
( ),xcsc=y restrita ao intervalo 
22
ππ ≤≤− x com 0≠x é bijetora e portanto é invertível 
neste intervalo. 
 
Definimos a função arco cossecante por: 
 
( ) ( ) xy =⇔= ycscxcscarc com 
22
ππ ≤≤− y e 0≠y 
 
Características da Função Arco Cossecante 
 
• Domínio: ] ] [ [∞∪−∞− ,11, 
• Imagem: { }0
2
,
2
−


− ππ 
• ( ) 




=
x
x
1
senarccscarc 
• ( ) ( )xx secarc
2
arccsc −= π 
• A Função Arco cossecante é sempre decrescente 
• Sinal: 
( )
( )



≤<<−
≥<≤
1 se 0cscarc
2
1 xse 0
2
cscarc0
xx
x
π
π
 
• Gráfico: 
 
 
 
1.11. Transformações das funções trigonométricas 
As regras para deslocamento, ampliação, redução e reflexão do gráfico de uma função 
também se ampliam às funções trigonométricas. 
Seja f uma função trigonométrica, podemos a partir do gráfico de f construir o gráfico de: 
dcxbafy ++= ))(( 
Onde, 
58 
 
→a Promove uma ampliação ou redução vertical e/ou uma reflexão em relação ao eixo x. 
 
→b Promove uma ampliação ou redução horizontal e/ou uma reflexão em torno do eixo y. 
 
→c Promove um deslocamento horizontal; 
 
→d Promove um deslocamento vertical. 
 
Exemplos: Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período de: 
 
1) ( )xy cos1+= 
 
O gráfico desta função é o gráfico ( )xy cos= deslocado uma unidade para cima. 
 
x ( )xcos ( )xcos1+ 
0 1 2 
2/π 0 1 
π -1 0 
2/3π 0 1 
π2 1 2 
 
 
 
Domínio: IR 
Imagem: [ ]2,0 
Período: π2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
2) ( )xseny 2−= 
 
O gráfico desta função é o gráfico ( )xseny = ampliado verticalmente de 2 unidades e 
refletido em relação ao eixo x. 
 
x ( )xsen ( )xsen2− 
0 0 0 
2/π 1 -2 
π 0 0 
2/3π - 1 2 
π2 0 0 
 
 
 
Domínio: IR 
Imagem: [ ]2,2− 
Período: π2 
 
 
 
3) 




=
2
cos
x
y 
 
O gráfico desta função é o gráfico ( )xy cos= ampliado horizontalmente de 2 unidades. 
 
x 
2
x
 





2
cos
x
 
0 0 1 
π 2/π 0 
π2 π -1 
π3 2/3π 0 
π4 π2 1 
Domínio: IR 
Imagem: [ ]1,1− 
O período, neste caso, foi alterado. 
Sabendo que o período do ( )xcos é 
π2=p , fazemos: 
ππ 42
2
=⇒= xx 
Logo, o período da nova função é 
π4=p . 
 
 
60 
 
 
 
 
4) 




 +=
2
tan
π
xy 
O gráfico desta função é o gráfico ( )xy tan= deslocado horizontalmente de 
2
x
 unidades 
para a esquerda. 
 
x 
2
π+x 




 +
2
tan
π
x 
2/π− 0 0 
0 2/π ∃/ 
2/π π 0 
π 2/3π ∃/ 
2/3π π2 0 
 
 
Domínio: 
{ }ZkkxIRxD ∈≠∈= onde / π 
Imagem: IR 
Período: π . 
Assíntotas Verticais: Zkkx ∈= onde π 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
5) 




 −−=
2
21
π
xseny 
 
x 
2
π−x 




 −
2
π
xsen 




 −
2
2
π
xsen 




 −−
2
21
π
xsen 
2/π 0 0 0 1 
π 2/π 1 2 -1 
2/3π π 0 0 1 
π2 2/3π -1 -2 3 
2/5π π2 0 0 1 
 
Domínio: IR 
Imagem: [ ]3,1− 
Período: π2 
 
 
 
 
1.12. Identidades Trigonométricas 
 
Além das identidades trigonométricas básicas já relacionadas, também são válidas, dentre 
outras, as seguintes identidades: 
 
1) ( ) ( )θθ 22 sec1tan =+ 
2) ( ) ( )θθ 22 csc1cot =+ 
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sensencoscoscos +=− 
4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sensencoscoscos −=+ 
5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abbaba cossencossensen −=− 
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abbaba cossencossensen +=+ 
7) ( ) ( ) ( )aaa cossen22sen = 
8) ( ) ( ) ( )aaa 22 sencos2cos −= 
9) ( ) ( )( )aasen 2cos1
2
12 −= 
10) ( ) ( )( )aa 2cos1
2
1
cos2 += 
 
62 
 
Exemplo 1 – Sabendo que ( )
12
5
tan =x e que x é um arco do segundo quadrante, calcule o 
valor de ( )xcos . 
 
Vamos utilizar as relações ( ) ( )θθ 22 sec1tan =+ e ( ) ( )θθ cos
1
sec = . 
Então temos que: 
( ) ( ) 1144
25
cos
1
cos
1
1
12
5
22
2
+=⇒=+





θθ
 
Daí, 
( ) ( ) 13
12
cos
144
169
cos
1
2
±=⇒= x
θ
 
 
Como x é um arco do segundo quadrante, então ( )
13
12
cos −=x . 
 
Exemplo 2 – Calcule o valor de ( )º75sen . 
 
Podemos escrever ( ) ( )º45º30º75 += sensen 
Assim 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
4
62
º75
2
3
.
2
2
2
2
.
2
1
º75
º30cosº45º45cosº30º45º30º75
+=
⇒+=
+=+=
sen
sen
sensensensen
 
 
Exemplo 3 – Sendo a um ângulo do 1º quadrante e b do 2º quadrante, ( )
5
4
cos =a e 
( )
13
5=bsen , calcule ( )ba −cos . 
Como a está no 1º quadrante, ( )
5
3
25
16
1 =−=asen . 
Como b está no 2º quadrante, ( )
13
12
169
25
1cos −=−−=b . 
Portanto, 
( )
65
33
13
5
.
5
3
13
12
.
5
4
cos −=+




−=− ba 
 
 
 
 
 
 
63 
 
Exemplo 4 – Prove que ( )aasen cos
2
=




 + π 
( ) ( )
( ) ( )
( )aasen
aasenasen
senaasenasen
cos
2
1.cos0.
2
2
cos
2
cos
2
=




 +
⇒+=




 +
⇒




+




=




 +
π
π
πππ
 
 
Demonstração das identidades trigonométricas 
 
1) ( ) ( )θθ 22 sec1tan =+ 
Sabemos que ( ) ( ) 1cos22 =+ θθsen 
Dividindo esta igualdade por ( )θ2cos temos: 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )θθθθ
θ
θ
θ 22
22
2
2
2
sec1tan
cos
1
cos
cos
cos
=+⇒=+sen 
 
 
2) ( ) ( )θθ 22 csc1cot =+ 
Sabemos que ( ) ( ) 1cos22 =+ θθsen 
Dividindo por ( )θ2sen temos: 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )θθθθ
θ
θ
θ 22
22
2
2
2
csc1cot
1cos =+⇒=+
sensensen
sen
 
 
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba +=− coscoscos 
 
Sejam a e b arcos do ciclo trigonométrico conforme figura abaixo: 
 
 
 
Temos que: 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )asenaP
basenbaRA
bsenbO
,cos
,cos 0,1
,cosQ 0.0
−− 
 
64 
 
Os triângulos OPQ e OAR são semelhantes, logo, ( ) ( )RAdQPd ,. = . 
Mas, 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )22
22
01cos,
e coscos.
−−+−−=
−+−=
basenbaRAd
asenbsenabQPd
 
Assim, 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )babsenasenba
basenbaasenbsenab
basenbaasenbsenab
−−=−−
−−+−−=−+−
−−+−−=−+−
cos222coscos22
01coscoscos
01coscoscos
2222
2222
 
Portanto, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba +=− coscoscos 
 
4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sensencoscoscos −=+ 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbababa −+−=−−=+ coscoscoscos 
 
Mas, ( ) ( ) ( ) ( )bsenbb −==− b-sen e coscos 
Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba −=+ coscoscos 
 
5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abbaba cossencossensen −=− 
 
É fácil ver que ( )asena =




 −
2
cos
π
 e ( )aasen cos
2
−=




 − π . 
Portanto, 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenabasenba
bsenasenbaba
bababa
coscossen
2
cos
2
cossen
2
cos
2
cossen
−=−
⇒




 −+




 −=−
⇒




 −




 −=




 −−=−
ππ
ππ
 
 
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abbaba cossencossensen +=+ 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenababasenba −−−=−−=+ coscossensen 
 
Mas, ( ) ( ) ( ) ( )bsenbb −==− b-sen e coscos 
Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenababa coscossensen +=+ 
 
7) ( ) ( ) ( )aaa cossen22sen = 
 
Fazendo ba = na igualdade (6) temos: 
 
65 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )aasenasen
aasenaaaasena
cos22
coscossen2sen
=
⇒+=+=
 
 
8) ( ) ( ) ( )aaa 22 sencos2cos −= 
 
Fazendo ba = na igualdade (4) temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )asenaasen
asenasenaaaaa
22cos2
coscoscos2cos
−=
⇒−=+=
 
 
 
9) ( ) ( )( )aasen 2cos1
2
12 −= 
 
Fazendo ( ) ( )asena 22 1cos −= na igualdade (8) temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )aasen
aasen
asenasenasena
2cos1
2
1
2cos12
2112cos
2
2
222
−=
⇒−=
⇒−=−−=
 
 
10) ( ) ( )( )aa 2cos1
2
1
cos2 += 
 
Fazendo ( ) ( )aasen 22 cos1−= na igualdade (8) temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )aa
aa
aaaa
2cos1
2
1
cos
2cos1cos2
1cos2cos1cos2cos
2
2
222
+=
⇒+=
⇒−=+−=
 
66 
 
1.13. Exercícios 
 
Algumas Características das funções 
 
1. Se a e h são números reais, determine e simplifique: 
 
i) ( )af ii) ( )af − iii) ( )af− iv) ( )haf + v) ( ) ( )hfaf + e 
vi) 
( ) ( )
h
afhaf −+
 desde que 0≠h em cada caso. 
a) ( ) 25 −= xxf b) ( ) 32 +−= xxxf 
 
2. Uma função f satisfaz a condição ( ) ( ) ( )11 fxfxf +=+ qualquer que seja o valor da 
variável x. Sabendo-se que ( ) 12 =f , determine o valor de ( )3f . 
 
3. Obtenha o domínio das seguintes funções: 
 
a) ( ) 322 23 ++−= xxxxf 
b) ( )
2
52
+
+=
x
x
xg 
c) ( )
2
1
2 −−
+=
tt
t
tf 
d) ( )
53
12
2 ++
−=
tt
t
tg 
e) ( ) xxf −= 3 
f) ( ) 83 += xxg 
g) ( )
123
12
−
+=
x
x
xf 
h) ( )
2
1
+
−=
x
x
xg 
i) ( )
xx
x
xf
4
1
3 −
+= 
j) ( )
4
34
2 −
−=
x
x
xg 
 
4. Determine o conjunto B de modo que a sentença ( ) 2xxf = defina uma função 
sobrejetora de [ ]4,3−=A em B. Nestas condições podemos dizer que f é bijetora? 
 
 
 
Funções Compostas e Funções Inversas 
 
1. Considere 
1
1
)(
−
=
x
xf . Determine o valor de x, para o qual ( ) 1)( =xff o . 
 
2. Se ( ) 13 += xxf e ( ) 22xxg = , determine o valor de ( )( ) ( )( )11 −−− fggf . 
 
67 
 
3. Considere as funções ( ) 12 += xxf e ( ) 12 −= xxg . Determine as raízes da equação 
( )( ) 0=xgf . 
 
4. Sabendo que ( ) 2+= xxf e ( )( ) 32 −= xxgf , determine a função ( )xg . 
 
5. Sendo ( ) 7−= xxg e ( )( ) 13 −= xxgf , determine a função ( )xf . 
 
6. Determine uma forma funcional composta para y em cada caso: 
 
a) ( ) 3/12 3xxy += 
b) 
( )43
1
−
=
x
y 
c) 14 2 ++= xy 
d) 
24
24
++
−+=
x
x
y 
e) ( )32 53
1
−+
=
xx
y 
 
7. Sejam as funções reais definidas por .1)( −= xxf e baxxg +=)( . Sabendo que 
( )( ) xxgf 2−= , determine a função ( )xg . 
 
8. Se 
52
2
)(
+
=
x
xf determine o valor de x de modo que ( )( ) 2=xff . 
9. Sejam as funções ( ) 12 −= xxf e ( ) tkxxg += funções de IR em IR. Determine os 
valores de k e t para que ( ) ( )xfxg 1−= . 
 
10. Seja IRIRf →: uma função bijetora definida por ( ) 13 += xxf . Seja IRIRg →: , 
uma função bijetora, definida por ( )
3
14 += xxg . Determine o valor de ( ) 










+−
2
1
91 fgf . 
11. A função f, definida em IR - {2} por ( )
x
x
xf
−
+=
2
2
 é inversível. O seu contradomínio é 
IR - {a}. Determine o valor de a. 
 
12. Dadas as funções bijetoras ( ) 32 −= xxf e ( ) 3xxg = , determine ( ) ( )xgf 1−o . 
 
13. Seja f, de IR em IR, uma função definida por ( ) pmxxf += . Se o gráfico de ( )xf 1− 
passa pelos pontos ( )0,4A e ( )3,0B , determine a função ( )xf . 
 
14. Sejam ( )



<+
≥+
=
1 se 2x5
1 se 43
x
xx
xf e ( )



≤−
>+
=
3 se 55
3 se 12
xx
xx
xg determine os valores 
de: 
a) ( )( )2fg 
b) ( )( )01 gf − 
 
15. Sabendo-se que ( )( ) 22
22
+
−=
x
x
xfg e ( )
x
x
xg
−
+=−
1
121 determine ( ) 




−+
2
7
5 gf . 
 
68 
 
16. Determine as soluções da equação 
( ) ( )( )
( )( ) 22
2 =−
fg
gfxf
 sabendo que ( ) xxxf 52 −= e 
( ) 32 += xxg . 
 
Aplicações das Funções 
 
1. Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t 
anos será 
t
tV 




=
3
1
6561)( . Determine a depreciação total sofrida até daqui a 3 anos. 
2. A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo 
produto, é dada por ( ) qqR 115= , e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, 
satisfaz a equação ( ) 76090 += qqC . Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja 
maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que 
deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro. 
 
3. Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O 
custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por: 
( )
( )




≤<+−
≤≤−+
=
201040
2
3
100125
xsex
xsexx
xC 
Se em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o 
custo da produção das 24 unidades. 
 
4. Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de: 
• Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria de R$ 18,00; 
• Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 
15,00. 
Nessas condições, determine a expressão que permite calcular,em reais, o gasto de uma 
pessoa que compra x ingressos, x > 20. 
 
5. Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é 
2a
m
I = , na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas e a é a sua altura, em metros. Se I 
estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher 
com 51,2kg obteve I = 20. Determine a altura dessa mulher. 
 
6. Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10m. 
Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta um válvula 
que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a 
função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura 
da válvula? 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Algumas Funções Básicas 
 
1. A função kxxy +−= 42 tem valor mínimo igual a 8. Nestas condições, determine o 
valor de k. 
 
2. Sabendo que a parábola de equação 2axy = passa pelo vértice da parábola 
24 xxy −= , determine o valor de a. 
 
3. Determine o valor de ( )2f sabendo que o gráfico da função quadrática definida por 
( ) ( )12 −+−= mmxxxf , onde IRm∈ , tem um único ponto em comum com o eixo das 
abscissas. 
 
4. Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas 
cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola 
xxy 102 +−= e da reta 54 += xy , com 82 ≤≤ x . Qual a soma das coordenadas do 
ponto representando a interseção das estradas? 
 
5. Determine a distância do vértice da parábola 1782 −+−= xxy ao eixo das abscissas. 
6. Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos ( )24,4−− e ( )0,2 . 
 
 
 
a) Determine a equação da reta r. 
b) Determine a equação dessa parábola. 
c) Seja ( )xf a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: 
um sobre a parábola e o outro sobre a reta r. Determine x para que ( )xf seja a maior 
possível. 
 
7. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade 
de volatização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, 
em horas, de acordo com a fórmula: 
( ) 10833 12 +−−= +tttm 
Assim sendo, determine o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este 
material antes que ele se volatize totalmente. 
 
8. De acordo com a Lei de Poiseville, a velocidade do sangue num ponto r cm do eixo 
central de um vaso sanguíneo é dada dela função: ( ) ( )22 rRCrv −= em cm/s. Onde C é 
uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso que 
24 10 e 10.8,1 −== RC , calcule: 
70 
 
a) A velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo. 
b) A velocidade do sangue no ponto médio entre a parede do vaso e o eixo central. 
 
9. Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas 
desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em 
centímetros, dessas duas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que 
representa o crescimento da planta A é uma reta passando por ( )3,2 e que o que representa 
a planta B pode ser descrito pela lei matemática 
12
24 2xx
y
−= . Um esboço desses gráficos 
está apresentado na figura abaixo. 
 
 
Determine: 
a) A equação da reta que representa o crescimento da planta A. 
b) O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura bem como a altura atingida 
por elas. 
 
10. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os 
outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir a área máxima. 
Determine o valor dessa área e as dimensões do curral. 
 
11. Um campo petrolífero tem 8 pontos que produzem um total de 1.600 barris de petróleo 
por dia. Para cada poço adicional perfurado, a produção média decresce de 10 barris 
diários. Quantos poços adicionais devem ser abertos para maximizar a produção? 
 
12. Na figura, o ponto R representa a localização, à beira mar, de uma usina que capta e 
trata o esgoto de certa região. Com o objetivo de lançar o esgoto tratado no ponto T, uma 
tubulação RQT deverá ser construída. 
 
 
O ponto T situa-se a 800 m do cais, em frente ao ponto P, que dista 2 km de R, conforme 
ilustração acima. O custo da tubulação usada no trajeto retilíneo RQ, subterrâneo ao longo 
do cais, é de 100 reais por quilômetro, e o custo da tubulação usada na continuação QT, 
também retilínea, porém submarina, é de 180 reais por quilômetro. Sendo x a medida de 
PQ, determine. 
71 
 
a) A função f que representa o custo, em reais, da tubulação RQT em termo de x, em 
quilômetros. 
b) O custo da tubulação, supondo que kmx 1= . 
 
13. Um balão de ar quente é liberado à 1h da tarde e sobe verticalmente à razão de 2 m/s; 
Um ponto de observação está situado a 100m do ponto do chão diretamente debaixo do 
balão. Sendo t o tempo em segundos, após 1 da tarde, exprima a distância d do balão ao 
ponto de observação em função de t. 
 
 
14. A primeira aeronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular 
reto. Na figura, os raios da base a e b já foram determinados. 
a) Utilize semelhança de triângulos para expressar y como função de h. 
b) Expresse o volume do tronco em função de h 
c) Se a = 2m e b = 1m, para que valores de h o volume do tronco é de 20 m3? 
 
 
 
15. De acordo com Keynes (John Maynard, economista inglês, pioneiro da 
macroeconomia, 1883 – 1946), a demanda por moeda para fins especulativos é função da 
taxa de juros. Admita que em determinado país )3 (para 
3
10 >
−
= x
x
y , em que x é a taxa 
anual de juros (em %) e y é a quantia (em bilhões) que as pessoas procuram manter para 
fins especulativos. 
a) Esboce o gráfico dessa função. 
b) Qual a demanda por moeda para fins especulativos se a taxa de juros for 7% ao 
ano? 
72 
 
c) O que acontece com a demanda quando x se aproxima de 3% ao ano? 
 
16. Numa população, a distribuição da renda é dada por 
( )
 
10.4
8,1
8
x
y = em que x é a renda 
mensal de cada pessoa. 
a) Quantas pessoas ganham pelo menos R$ 6.000,00 por mês? 
b) Qual a menor renda das 1.000 pessoas com renda mais altas? 
c) Qual a menor renda das 4.000 pessoas com renda mais alta? 
 
17. Há água vazando para fora de um reservatório que contém um orifício no fundo. 
Segundo a Lei de Torricelli, em qualquer instante, a velocidade v com a qual a água 
escapa de um reservatório é dada por uma função potência da profundidade d da água 
naquele instante, estas duas variáveis se relacionam pela fórmula pkdv = onde k e p são 
constantes. Quando péd 1= tem-se spésv /8= e quando péd 4/1= tem-se 
spésv /4= . Expresse a fórmula da função ( )dfv = e esboce seu gráfico. 
 
 
18. O Triathlon Ironman é uma corrida que consiste em três etapas: 2,4 milhas de natação, 
seguidas de 112 milhas de ciclismo, e, por último, 26,2 milhas de maratona. Um 
participante nada uniformemente a 2milhas/hora, pedala uniformemente a 20 milhas/hora, 
e depois corre uniformemente 9 milhas/hora. Supondo que nenhum tempo seja perdido na 
transição entre uma etapa e outra, determine uma fórmula para a distância d, percorrida em 
milhas, como uma função do intervalo de tempo t, em horas, desde o início da competição. 
 
19. Uma indústria pode produzir, por dia até 20 unidades de um determinado produto. O 
custo C, em R$, da produção de x unidades desse produto é dado por: 
( )




≤<+
≤≤−+
=
20x10 se 40
2
3
-
10x0 se 125
)(
x
xx
xC 
a) Esboce o gráfico dessa função. 
b) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades, e no dia seguinte, 15 unidades, 
calcule o custo da produção das 24 unidades. 
 
20. Sobre o preço dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de: 
• Até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria R$ 18,00. 
• Mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por 
R$ 15,00. 
Determine a expressão da função que representa a receita do espetáculo e esboce o seugráfico sabendo que no teatro cabem no máximo 50 pessoas. 
 
21. Durante o ano de 1997 uma empresa que teve seu lucro diário L dado pela 
função ( ) ( )20010050 −+−= xxxL onde 365,3,2,1 L=x corresponde a cada dia do ano 
e L é dado em reais. Determine em que dias do ano o lucro foi e R$ 10.000,00. 
 
22. O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a equação 
( ) +∈−−−−= IRttttV ,622410 . Nela V é o volume medido em m³ após t horas, 
contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã 
em que o volume permanece constante. 
 
73 
 
23. Nas proximidades da superfície terrestre, a pressão atmosférica P, em atmosfera (atm), 
é dada em função da altitude h, em quilômetro, aproximadamente por: 
( ) ( )htP 9,0= . 
Se, no topo de uma montanha, a pressão é 0,729 atm, determine a altitude desse topo. 
 
24. Mensalmente, a produção em toneladas de certa indústria é dada pela expressão: 
xy 05,04.100100 −−= 
na qual x é o número de meses contados a partir de certa data. Após dez meses, qual será a 
produção atingida? 
 
25. Um empregado está executando sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha 
que ( )tN 5,021.640 −−= seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado 
após t dias do início do processo de fabricação. Se 14=t , qual é o valor de N? 
 
26. Em um município, após a pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores 
dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes 
funções: 
( ) ( )ttA 6,1.10.2 5= e ( ) ( )ttB 4,0.10.4 5= 
Considere as estimativas corretas e que 0=t refere-se dia 1º de janeiro de determinado 
ano. 
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1º de janeiro desse ano. 
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 
c) Mostre que, em 1º de outubro desse ano, a razão entre os números de eleitores de A 
e B era maior que 1. 
 
27. Um cientista está estudando um determinado tipo de bactérias. O cientista percebe 
que, se o crescimento no número de bactérias for exponencial, ele será representado pela 
função ( ) batg t += e, se o crescimento for linear, ele será representado pela função 
( ) cattf += em que t é o tempo de observação. Através do gráfico, determine o número 
inicial de bactérias, supondo que o crescimento seja linear. 
 
 
 
28. Considere a função ( ) xxf 2log= . Determine os valores de m e n sabendo que 
( ) mnf = e ( ) 12 +=+ mnf . 
 
74 
 
29. A figura mostra o esboço dos gráficos das funções ( ) xxf 22= e ( ) ( )1log2 += xxg . 
Determine a área do triângulo ABC. 
 
 
 
30. A curva a seguir representa a função ( ) ( )xxf 2log= , sendo D e E dois dos seus 
pontos. Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a ( )0,k e ( )0,4 com 
1 e >∈ kIRk , a área do triângulo CDE será igual a 20% da área do trapézio ABCD para 
que valor de k? 
 
 
 
31. Ao perceber uma mancha de óleo no mar, o capitão de um navio petroleiro comunicou 
imediatamente à Capitania dos Portos o vazamento em seu navio. Algum tempo depois, os 
técnicos da Defesa Ambiental constataram que a mancha de óleo cobria 12 Km² da 
superfície do mar e crescia 2% por hora; concluíram também que, no momento do 
comunicado à Capitania dos Portos, a área da mancha de óleo era 10 Km². Supondo que a 
taxa de crescimento tenha sido constante até o momento da medição, quanto tempo 
decorreu desde o momento do comunicado à Capitania dos Portos até a conclusão da 
medição da área da mancha de óleo? 
 
32. O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após 
t dias do início da exposição, o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é 
dado por ( )ty 95,033−= , onde y é dado em milhões de pessoas. Para que valores de t 
teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto? 
 
33. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um som estejam relacionados pela 
equação logarítmica Ilog10120+=β em que β é medido em decibéis e I, em watts por 
metro quadrado. Sejam 1I a intensidade correspondente a um nível sonoro de 80 decibéis 
de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e 2I a intensidade correspondente ao 
75 
 
nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar condicionado. Determine 
a razão 21 / II . 
 
34. A energia nuclear, derivada de isótopos radioativos, pode ser usada em veículos 
espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, 
no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial 2500.
t
ePP
−
= na qual 
P é a potência instantânea, em watts de radioisótopos de um veículo espacial; 0P é a 
potência inicial do veículo e t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de 00 =t . Nessas 
condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um 
veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? 
 
35. No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Arncara, na Turquia, 
registro de 5.9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com 
registro de 5,8 graus na escala Richter. Considere que 1m e 2m medem a energia liberada 
sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, 
na escala Richter, 1r e 2r , respectivamente. Sabe-se que estes valores estão relacionados 
pela fórmula ( )2121 /log mmrr =− . Considerando-se que 1r seja o registro do terremoto da 
Turquia e 2r o registro do terremoto do Japão, determine o valor da razão 21 / mm . 
 
36. Suponha que ( )dV informe a altura, em pés, da maré cheia em Vitória, em um dia 
específico, d, do ano. Use deslocamentos da função para determinar fórmulas para as 
seguintes funções: 
 
a) ( )dG , a altura da maré cheia em Guarapari no dia d, dado que a maré cheia em 
Guarapari é sempre um pé mais alta que a maré cheia em Vitória. 
b) ( )dS , a altura da maré cheia em Serra no dia d, dado que a maré cheia em Serra 
tem a mesma altura que a maré cheia em Vitória no dia anterior. 
 
37. Um tijolo quente é retirado do forno e colocado no chão para esfriar. Seja t o tempo, 
em minutos, depois de que o tijolo é retirado. A diferença, ( )tD , entre a temperatura do 
tijolo, inicialmente a 350ºF, e a temperatura ambiente, de 70ºF, decai exponencialmente 
com o passar do tempo, a uma taxa de 3% por minuto. A temperatura do tijolo, ( )tH , é 
uma transformação de ( )tD . Determine uma fórmula para ( )tH . Compare os gráficos de 
( )tD e de ( )tH , prestando atenção nas assíntotas. 
 
38. Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
 
a) 



>++
≤+
=
0 se 34x
0 se 33
)( 2 xx
xx
xf 
b) 







≥
<<++−
≤−
=
3 se 1-
31 se 2
1 se 2
)(
2
x
xxx
xx
xf 
c) 







≥+
<<
−≤−
=
1 4x-
12 se x-
2 se 3
)( 2
se x
x-
xx
xf 
76 
 
d) ( )








≥+−−
<≤+
−<
+
=
2 se ,12
21- se ,1
1 se ,
1
1
3
xx
xx
x
x
xf 
e) ( )
2
1
|1| −−= xxf 
f) 
2
2
)(
−
−
=
x
x
xf 
g) ( ) 2|4| −+−= xxxf 
h) ( ) |65| 2 +−= xxxf 
i) ( ) 29
3
1
xxf −= 
j) ( )
2
2
1
4 




−−= xxf 
k) ( ) ( )3ln +−= xxf 
 
 
Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas 
 
1 – Calcule y em cada caso. 
 
a) ( ) 




+




+=
6
sen4
2
sen2sen
πππy 
b) 5
4
sen4
4
sen2 2 −




+




= ππy 
c) ( ) 




−=
2
coscos 2
ππy 
d) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxy 4sec4tan2sen4cos2 −+−= para 
4
π=x 
e) 
( ) ( )
( ) ( )xx
xx
y
3csccot5
2sec2tan3
+
−= para 
2
π=x 
f) 
( ) ( )
( ) ( )xx
xx
y
3cos2sec
csc4sen5 2
+
−= para 
6
π=x 
 
2 – Determine o sinal de cada uma das expressões abaixo: 
 
a) 
( ) ( )
( ) ( )xx
xx
y
tancsc
secsen= para x no 4º quadrante 
 
b) 
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]xxx
xx
y
seccossen
costan
+
= para x no 2º quadrante 
 
c) 
( ) ( )
( ) ( )º49cscº212cot
º330cosº240sen=y 
 
3 – Determine