examenesresueltosalgebralineal-100620201941-phpapp01 pdf

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL 
 
08 
Ejercicios propuestos de 
Álgebra Lineal y 
Exámenes Resueltos 
Álgebra Lineal (B) 
ICM-00604 
Ramiro Javier Saltos Atiencia (Ayudante Académico) 
rjsaltos@espol.edu.ec 
Guayaquil- Ecuador 
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL 
Instituto de Ciencias Matemáticas 
Algebra Lineal (B) 
 
Deber # 1: Transformaciones Lineales 
 
Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales. Justifique adecuadamente su 
respuesta 
 
1. 1
2: PRT → )5()2( baxba
b
a
T −++=





 
 
2. 32: RPT → ( )










+
−
=++
0
2
2
2 ba
ba
cbxaxT 
 
3. RRT →3: 










=










z
y
x
z
y
x
T
63
52
41
det 
 
4. 222: xMPT → [ ] 





=
)3()2(
)1()0(
)(
pp
pp
xpT 2)(; Pxp ∈ 
 
5. RMT nxn →: )det()( AAT = nxnMA∈; 
 
6. RMT nxn →: )()( AtrazaAT = nxnMA∈; 
 
7. 222: xMPT → ( ) 





⋅





=++
cb
ba
cbxaxT
43
21
2 
 
8. 222: RDT x → 





+
+
=





ba
ba
b
a
T
0
0
 
 
 
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Instituto de Ciencias Matemáticas 
Algebra Lineal (B) 
 
Deber # 2: Núcleo e Imagen de Transformaciones Lineales 
 
Determine las condiciones, una base y la dimensión del núcleo y de la imagen de cada una de las 
siguientes transformaciones lineales 
 
 
1. 32: RRT → 
2 2
a b
a
T a b
b
a b
+ 
   = −   
   + 
 
 
2. 21: RPT → ( ) 





−
+
=+
ba
ba
baxT
32
 
 
3. 2222: xx DST → 





−
−+
=





ba
cba
cb
ba
T
30
0
 
 
4. 222: xMPT → ( ) 











=++
cb
ba
cbxaxT
11
11
2 
 
5. 222: PST x → ( ) ( ) ( )cbaxcbaxcba
cb
ba
T 98765432 2 ++++++++=





 
 
6. 222: xMPT → [ ] 





=
)3()2(
)1()0(
)(
pp
pp
xpT 2)(; Pxp ∈ 
 
7. 1
2: PRT → )5()2( baxba
b
a
T −++=





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Instituto de Ciencias Matemáticas 
Algebra Lineal (B) 
 
Deber # 3: Matriz Asociada a una Transformación Lineal 
 
Determine la representación matricial de cada transformación lineal respecto a las bases dadas 
 
1. 32: RRT → 
2 2
a b
a
T a b
b
a b
+ 
   = −   
   + 
 
 
a) 1
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
 y 2
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
B
      
      =       
      
      
 
 
b) 3
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
 y 4
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
B
      
      =       
      
      
 
 
 
2. 21: RPT → ( ) 





−
+
=+
ba
ba
baxT
32
 
 
a) { }1 1,B x= y 2
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
 
 
b) { }3 1 ,1B x x= + − y 4
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
 
 
 
3. 2222: xx DST → 





−
−+
=





ba
cba
cb
ba
T
30
0
 
 
a) 1
1 0 0 1 0 0
, ,
0 0 1 0 0 1
B
      
=       
      
 y 2
1 0 0 0
,
0 0 0 1
B
    
=     
    
 
 
b) 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
 y 4
1 0 1 0
,
0 1 0 1
B
 −    
=     
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 222: xMPT → ( ) 











=++
cb
ba
cbxaxT
11
11
2 
 
a) { }21 1, ,B x x= y 2
1 0 0 1 0 0 0 0
, ,
0 0 0 0 1 0 0 1
B
       
=        
       
 
 
b) { }23 1, 1, 1B x x x= + + + y 4
1 1 0 1 1 1 0 0
, ,
0 0 2 0 1 0 0 1
B
 − −       
=        
       
 
 
 
5. 222: PST x → ( ) ( ) ( )cbaxcbaxcba
cb
ba
T 98765432 2 ++++++++=





 
 
a) 1
1 1 1 0 0 2
, ,
1 1 0 1 2 1
B
 −      
=       −      
 y { }22 ; 1; 1B x x x= + − 
 
b) 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
 y { }24 1 2 ;1 2 ;5B x x x= + − − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Algebra Lineal (B) 
 
Deber # 4: Miscelánea de Transformaciones Lineales 
 
1. Sea 21:T P R→ una transformación lineal con regla de correspondencia: 
( )
2
3 4
a b
T a bx
a b
+ 
+ =  + 
 
 
Determine: 
a) ( ); ( )Nu T v T 
b) Im( ); ( )T Tρ 
c) La matriz asociada a T respecto a las bases { }1 1 ;1B x x= + − y 2
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
 
 
2. Sea 3 2 2: xT R S→ una transformación lineal con regla de correspondencia: 
2 3 4
3 4 5 8
a
a b c a b c
T b
a b c a b c
c
 
− + + +   =    + + − +  
 
 
 
Determine: 
a) ( ); ( )Nu T v T 
b) Im( ); ( )T Tρ 
c) La matriz asociada a T respecto a las bases 1
1 1 1
0 , 2 , 2
0 0 3
B
      
      =       
      
      
 y 
2
1 1 1 1 1 0
, ,
1 1 1 0 0 0
B
 − −      
=       −      
 
 
3. Sea 2 2 2: xT P D→ una transformación lineal con regla de correspondencia: 
( )2 0
0 3
a b c
T ax bx c
a b
+ + 
+ + =  + 
 
 
Determine: 
a) ( ); ( )Nu T v T 
b) Im( ); ( )T Tρ 
c) La matriz asociada a T respecto a las bases { }2 21 ; 1; 1B x x x x= − + − y 
2
1 0 2 0
,
0 2 0 1
B
    
=     −    
 
 
 
 
 
 
4. Sea 4 2 2: xT R M→ una transformación lineal definida como: 
2 3
4 2 3 4
a
b a b c d
T
c a c d a b c
d
 
  − − +   =    − + − + 
 
 
 
 
Determine: 
a) ( ); ( )Nu T v T 
b) Im( ); ( )T Tρ 
c) La matriz asociada a T respecto a las bases 1
0 1 1 1
1 0 1 1
, , ,
1 1 0 1
1 1 1 0
B
        
        
        =                          
 y 
2
1 3 1 3 8 2 1 0
, , ,
2 4 0 1 0 0 0 0
B
 −        
=         
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Instituto de Ciencias Matemáticas 
Algebra Lineal (B) 
 
Deber # 5: Ejercicios de Verdadero o Falso sobre Transformaciones Lineales 
 
Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Si es verdadera demuestre caso 
contrario proponga un contraejemplo 
 
1. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, 
entonces se cumple que ( ) ( ) dimv T T Wρ+ = 
 
2. Sea :T V W→ una transformación lineal biyectiva. Si { }1 2, ,..., nv v v es una base de V , entonces 
( ) ( ) ( ){ }1 2, ,..., nT v T v T v es una base de W 
 
3. Sea :T V W→ una transformación lineal tal que T es un isomorfismo y { }0Rα ∈ − . Entonces 
( ) ( ) :T v V Wα → es también un isomorfismo 
 
4. Si 1 :T V W→ y 2 :T W U→ son dos isomorfismos, entonces 2 1 :T T V U→o es también un isomorfismo 
 
5. Una transformación lineal :T V W→ cuyo único elemento en el núcleo de T es el VO es inversible 
 
6. Sean 1 :T V W→ y 2 :T V W→ dos transformaciones lineales. Si ( ) ( )1 2Nu T Nu T= y ( ) ( )1 2Im ImT T= , 
entonces 1 2T T= 
 
7. Sean 1 :T V W→ y 2 :T V W→ dos isomorfismos, entonces 1 2 :T T V W+ → también es un isomorfismo 
 
8. Es posible construir una transformación lineal inyectiva 2 2 2: xT P S→ tal que 2 2Im( ) xT D= 
 
9. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita. Si 
( ) ( )dim dimV W= , entonces T es un isomorfismo 
 
10. Sea 21:T P R→ una transformación lineal. Si ( )
3
2
1
T x
− 
− =  
 
 y ( )
1
1
5
T x
− 
+ =  
 
, entonces T es un 
isomorfismo 
 
11. Existe una transformación lineal 31:T P R→ que es sobreyectiva 
 
12. Sean 1 :T V W→ y 2 :T W U→ dos transformaciones lineales. Si 2 1 :T T V U→o es sobreyectiva,entonces 1T es sobreyectiva 
 
13. Sea :T V W→ una transformación lineal tal que ( )dim 5V = y la ( )dim 3W = . Si el vector típico del 
( )Nu T se puede expresar en función de dos variables libres, entonces cualquier conjunto de la Im( )T con 
un mínimo de 4 vectores es linealmente dependiente 
 
 
 
 
 
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Deber # 6: Construcción de Transformaciones Lineales 
 
1. Construya, de ser posible, una transformación lineal 32:T P R→ tal que: 
( )2
2
1 0
1
T x x
 
 + + =  
 
 
 ( )2
3
1 2 1
0
T x
 
 + =  
 
 
 ( )2
1
2
3
T x x
 
 + = − 
 
 
 
 
 
2. Sea 21:T P R→ una transformación lineal tal que: 
( )
3
2
1
T x
− 
− =  
 
 ( )
1
1
5
T x
− 
+ =  
 
 
 
Demuestre que T es un isomorfismo y encuentre la regla de correspondencia de 1T − 
 
 
3. Sea 3 2 2: xT R S→ una transformación lineal tal que: 
5 1 3
1 1 3
0 2 4
A
− − 
 = − − 
 
 
 
 
Es la representación matricial de T respecto a las bases 1
0 1 1
1 , 0 , 1
1 1 0
B
      
      =       
      
      
 y 
2
1 1 1 1 1 0
, ,
1 1 1 0 0 0
B
      
=       
      
 de 3R y 2 2xS respectivamente. 
 
a) Encuentre la regla de correspondencia de T 
b) Determine una base y la dimensión del núcleo y la imagen de T 
 
 
4. Construya, de ser posible, una transformación lineal 2 2 2: xT S P→ que cumpla con las siguientes 
condiciones: 
•••• ( ) 2 2 / 2 0x
a b
Ker T S a b c
b c
  
= ∈ + − =  
  
 
•••• ( ) { }2Im / 0T ax bx c c a b= + + = − = 
•••• 2
1 1
1 1
T x x
 
= + 
 
 
 
 
 
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Deber # 7: Espacios con Producto Interno y Proyecciones 
 
1. Determine si las siguientes funciones son un producto interno real en 1P 
a) ( ) ( ) bdadbcacdcxbax 2+−−=++=•• 
b) ( ) ( ) )1()1(2)0()0()()( −−+==•• qpqpxqxp 
 
2. Sea 3RV = y sea el subespacio de vectorial 










==∈










= cbaR
c
b
a
H 32/3 
 
a) Determine una base ortonormal para ⊥H 
b) Exprese el vector 










−
=
1
2
1
v como la suma de un vector Hh∈ con un vector ⊥∈Hp 
 
3. Sea 4RV = y el subespacio 














=+∈














= cbaR
d
c
b
a
H 43/4 
 
a) Determine el complemento ortogonal de H 
b) Exprese el vector 














−
=
3
1
0
1
v como la suma de un vector Hh∈ con un vector ⊥∈Hp 
 
4. Sea el espacio vectorial 22xSV = donde está definido el producto interno real: 
)(, 22 ABtrazaBASBA x =∈∀ 
 
Sea el subespacio de V : 






+=∈





= bacS
cb
ba
H x /22 
 
a) Encuentre una base y determine la dimensión de ⊥H 
b) Si 22
21
11
xSv ∈





−
−
= encuentre un par único de vectores Hh∈ y ⊥∈Hp tales que 
phv += 
 
 
 
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Deber # 8: Diagonalización 
 
1. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz: 










−
−
=
500
032
023
A 
 
2. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz: 
1 1 0
0 2 0
2 1 3
A
 
 =  
 − 
 
 
3. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz: 
0 0 1
4 2 2
2 0 3
A
 
 = − 
 − 
 
 
4. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz: 
2 1 1
2 3 2
3 3 4
A
 
 =  
 
 
 
 
5. Sea 2 2:T P P→ una transformación lineal definida por: 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 3 3 3 4T ax bx c a b c x a b c x a b c+ + = − + + + − + + + − + + 
 
Encuentre, de ser posible, una base B de 2P respecto de la cual la representación matricial de T 
sea una matriz diagonal 
 
6. Sea el operador lineal 11: PPT → tal que tiene los siguientes vectores propios: 
•••• x+−1 
•••• x+1 
 
Determine la regla de correspondencia de T si se conoce que la primera columna de su 
representación matricial respecto a la base canónica es ( )13− 
 
7. Encuentre, de ser posible, la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz: 
3 2 0
2 3 0
0 0 1
A
 
 =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXÁ
 
 
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación
 
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique 
formalmente su respuesta 
 
a) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz 
)()( BA ρρ = (Verdadero) 
 
Por definición, la matriz A es equivalente por renglones a la matriz 
operaciones elementales de renglón 
 
En este caso la matriz B se obtiene por un simple intercambio de
BA RR = dado que los renglones de A
 
También hay que recordar que dim(Im(
 
 
b) Si 53xMA∈ es una matriz cualquiera, entonces 
Sea 53
00100
00010
11001
xMA ∈









 −−
=
 





→=
100
010
001
3OAX R
 
De donde obtenemos: 
 
a
da
=
−
 
EXÁMENES RESUELTOS 
 
Instituto de Ciencias Matemáticas 
 
Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación 
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique 
ne a partir de la matriz A por medio de un intercambio de filas, entonces 
es equivalente por renglones a la matriz B si A puede reducirse a 
se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones)
A y B son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente
)dim()dim()())dim(Im( AA RCAA === ρ 
)()( BA ρρ =∴ 
es una matriz cualquiera, entonces 3)( ≥Av (Falso) 
. Sea )(ANu
e
d
c
b
a
X ∈
















= 










=




















−−
0
0
0
00
00
11
e
d
c
b
a
 → 





100
010
001
ed
ed
+
=− 0
 0=b 0=c 
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique 
por medio de un intercambio de filas, entonces 
puede reducirse a B mediante 
filas (renglones) de A , entonces 
son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente 




−−
000
000
011
 
















+
















=















 +
=
















1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
ed
e
d
ed
e
d
c
b
a
 
















































=
1
0
0
0
1
,
0
1
0
0
1
)(ANuB 2)( =∴ Av 
 
c) Sea V un espacio vectorial. Sea VBA ⊆, , entonces )()()( BgenAgenBAgen ∩=∩ (Falso) 
 
Sea 3RV = . Sea 








































=
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
A y VB ∈






























=
2
0
0
,
0
1
0
 
 
• 




















=∩
0
1
0
BA 










==∈










=∩→ 0/)( 3 caR
c
b
a
BAgen 
 
• 










∈∈










= RcbaR
c
b
a
Agen ,,/)( 3 y 










=∈










= 0/)( 3 aR
c
b
a
Bgen 
 
• 










∈∧=∈










=∩ RcbaR
c
b
a
BgenAgen ,0/)()( 3 )()()( BgenAgenBAgen ∩≠∩∴ 
 
d) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si Ww∉ y R∈α , entonces Ww∉α (Falso) 
 
Sea 2RV = . Sea 






=∈





= 0/2 aR
b
a
W un subespacio de V . Sea 0=α 
Sea 





=
0
1
w , este vector no pertenece a W por no cumplir la condición de que 0=a 
( ) 





=





=
0
0
0
1
0wα 
 
Por hipótesissabemos que W es un subespacio y por tanto contiene al nulo de V y VOw =α 
 
Ww∈∴α 
 
e) Si RRL →: es una transformación lineal, entonces [ ] )()( 22 vLvL = (Falso) 
 
Sea aaL 2)( = una transformación lineal 
Sea 2=a 
 
[ ]
( )
816
)4(4
)2()2(
2
22
≠
=
=
L
LL
 
 
[ ] )()( 22 vLvL ≠∴ 
 
Tema 2: (10 puntos) Sea 






>∧>





= 00/ yx
y
x
V con las operaciones: 






⋅
⋅
=





⊕





21
21
2
2
1
1
4
9
yy
xx
y
x
y
x
 








=





•
αα
αα
α
y
x
y
x
2
2
2
3
 
 
Si ( )•⊕,,V es un espacio vectorial, determine: 
a) El neutro o cero vectorial de V 
b) Si Vv∈ , el inverso aditivo de v 
 
Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender que 
primero hay que determinar si V es un espacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicio 
planteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal. 
 
a) 
• Usando el teorema Vv∈∀ VOv =•0 
 






=








=






•=
1
1
2
3
0
0)0(2
0)0(2
V
V
V
O
y
x
O
y
x
O
 
 
• Usando el axioma VOV ∈∃ Vv∈∀ vOv V =+ 
Sea V
b
a
v ∈





= . Sea 





=
y
x
OV 
 






=











=





⊕





b
a
by
ax
b
a
y
x
b
a
4
9
 
9
1
9
=
=
x
aax
 
4
1
4
=
=
y
bby
 








=
4
1
9
1
VO 
 
El nulo pertenece a V porque sus componentes son mayores que 0 
Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe al 
mal planteamiento del problema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta 
 
 
b) 
• Usando el teorema Vv∈∀ '1 vv =•− 
 








=








=






•−=
−−
−−
y
xv
y
x
v
y
x
v
4
1
9
1
'
2
3
'
1'
1)1(2
1)1(2
 
 
• Usando el axioma Vv∈∀ Vv∈∃ ' VOvv =+ ' 
La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axioma 
porque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro 
 
Sea V
y
x
v ∈





= . Sea 





=
b
a
v' 
 








=













=





⊕





4
1
9
1
4
9
4
1
9
1
yb
xa
b
a
y
x
 
x
a
xa
81
1
9
19
=
=
 
y
b
yb
16
1
4
14
=
=
 








=
y
xv
16
1
81
1
' 
 
Ambos inversos pertenecen a V por ser sus componentes mayores que 0 
Con el mismo argumento mencionado al calcular el VO sabemos que nos debió quedar la misma respuesta. 
 
También se puede notar que V no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma: 
 
M10) Vv∈∀ vv =•1 
Sea V
y
x
v ∈





= 
 






≠











=












=





•
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
4
9
2
3
1
1)1(2
1)1(2
 
 
 
Tema 3: (20 puntos) Sea 23xMV = . Sean 1W el conjunto de las matrices que tienen la primera y 
última fila iguales; 2W el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a su 
segunda columna; y 3W el conjunto de las matrices 23xA tal que 12 −= iai , .3,2,1=i 
 
Determine. 
a) Los conjuntos que son subespacios de V 
b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior 
c) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literal 
d) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b) 
y (c), respectivamente. 
 
Para hallar 1W hay que tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentes 
en dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que: 










=∧=∈










= fbeaM
fe
dc
ba
W x /231 
 
Ahora procedemos a determinar si 1W es un subespacio de V 
 
1) 1, Wwv ∈∀ 1Wwv ∈+ 
Sea 










=
11
11
11
fe
dc
ba
v y 1
22
22
22
W
fe
dc
ba
w ∈










= 
 
Como ambos vectores pertenecen a 1W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que: 
11 ea = 11 fb = 22 ea = 22 fb = 
 










++
++
++
=+
2121
2121
2121
ffee
ddcc
bbaa
wv 
 
Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple la condición 
00
2121
2121
=
+=+
+=+
eeee
eeaa
 
00
2121
2121
=
+=+
+=+
ffff
ffbb
 
 
Por tanto 1Wwv ∈+ 
 
2) R∈∀α 1Wv∈∀ 1Wv∈α 
Sean R∈α . Sea 1W
fe
dc
ba
v ∈










= 
 
Sabemos que ea = y fb = entonces 0=− ea y 0=− fb 
 










=
fe
dc
ba
v
αα
αα
αα
α 
00
0)0(
0)(
0
=
=
=−
=−
α
α
αα
ea
ea
 
00
0)0(
0)(
0
=
=
=−
=−
α
α
αα
fb
fb
 
 
Por tanto 1Wv∈α 
 
1W∴ es un subespacio de V 
 
El mismo procedimiento vamos a realizar con 2W pero aquí hay que notar que ambas columnas son 
iguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nos 
queda que: 










=∧=∧=∈










= fedcbaM
fe
dc
ba
W x /232 
 
Ahora procedemos a determinar si 2W es un subespacio de V 
 
1) 2, Wwv ∈∀ 2Wwv ∈+ 
Sea 










=
11
11
11
fe
dc
ba
v y 2
22
22
22
W
fe
dc
ba
w ∈










= 
 
Como ambos vectores pertenecen a 2W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que: 
011
11
=−
=
ba
ba
 
011
11
=−
=
dc
dc
 
011
11
=−
=
fe
fe
 
022
22
=−
=
ba
ba
 
022
22
=−
=
dc
dc
 
022
22
=−
=
fe
fe
 
 










++
++
++
=+
2121
2121
2121
ffee
ddcc
bbaa
wv 
 
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
=
=+
=−+−
=+−+
baba
bbaa
 
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
=
=+
=−+−
=+−+
dcdc
ddcc
 
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
=
=+
=−+−
=+−+
fefe
ffee
 
 
Por tanto 2Wwv ∈+ 
 
2) R∈∀α 2Wv∈∀ 2Wv∈α 
Sean R∈α . Sea 2W
fe
dc
ba
v ∈










= 
 










=
fe
dc
ba
v
αα
αα
αα
α 
00
0)0(
0)(
0
=
=
=−
=−
α
α
αα
ba
ba
 
00
0)0(
0)(
0
=
=
=−
=−
α
α
αα
dc
dc
 
00
0)0(
0)(
0
=
=
=−
=−
α
α
αα
fe
fe
 
Por tanto 2Wv∈α 
 
2W∴ es un subespacio de V 
 
Finalmente nos falta encontrar 3W y determinar si este es un subespacio, y para ello hay que utilizar la 
regla de correspondencia para determinar el valor de las componentes en la segunda columna, la cual es 
12 −= iai 
 
0
11
12
12
=
−=
a
a
 
1
12
22
22
=
−=
a
a
 
2
13
32
32
=
−=
a
a
 
 










∈∈










= RcbaM
c
b
a
W x ,,/
2
1
0
233 
 
Para determinar si 3W es un subespacio hay que recordar que todo subespacio debe contener a vector nulo 
del espacio vectorial, pero en este caso el nulo que es 










00
00
00
 no pertenece a 3W por no cumplir con la 
forma de todo vector de 3W , la cual consiste en que su segunda columna siempre tendrá 0 , 1 y 2 , 
respectivamente 
 
3W∴ no es un subespacio de V 
 
Procederemos a encontrar la intersección entre los subespacios hallados y una base para la misma. Sabemos 
que: 
 
• 










=−∧=−∈










= 00/231 fbeaM
fe
dc
ba
W x 
• 










=−∧=−∧=−∈










= 000/232 fedcbaM
fe
dc
ba
W x 
 
Por tanto: 










=−=−=−=−=−∈










=∩ 0/2321 fedcbafbeaM
fe
dc
ba
WW x 
 
Pero no es correcto dejar expresada la intersección en función de muchas condiciones. A estas hay que 
simplificarlas usando Gauss, así: 
 








=−
=−
=−
=−
=−
0
0
0
0
0
fe
dc
ba
fb
ea
 )1(
0110000
0001100
0010010
0100010
0010001
)1(
0110000
0001100
0000011
0100010
0010001
2313 AA
















−
−−
−
−
−
















−
−
−
−
−
 
 
















−
−
−
−
−
















−
−
−
−
−
0000000
0001100
0110000
0100010
0010001
)1(
0110000
0001100
0110000
0100010
0010001
35A 
 
Como ya no podemos seguir obteniendo más filas llenas de ceros, entonces la intersección sólo quedará en 
función de estas condiciones: 
 










=−=−=−=−∈










=∩∴ 0/2321 dcfefbeaM
fe
dc
ba
WW x 
 
Para obtener una base para la intersección debemos reemplazar las condiciones en el vector típico de la 
misma, pero antes hay que hacer unos cuantos despejes para dejar al vector en función de la menor 
cantidad posible de variables 
ea
ea
=
=− 0
 
ef
fe
=
=− 0
 
eb
fb
fb
=
=
=− 0
 
dc
dc
=
=− 0
 
Sea 21 WW
fe
dc
ba
∩∈










 










+










=










=










00
11
00
11
00
11
de
ee
dd
ee
fe
dc
ba
 
 






























=∴ ∩
00
11
00
,
11
00
11
21 WW
B 2dim 21 =∩WW 
 
Finalmente hallaremos las condiciones del subespacio suma y una base para el mismo, pero antes 
necesitamos las bases de los subespacios 1W y 2W 
 
 
 
 
Para 1W 
Sea 1W
fe
dc
ba
∈










 










+










+










+










=










=










00
10
00
00
01
00
10
00
10
01
00
01
dcba
ba
dc
ba
fe
dc
ba
 
 


















































=
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
1W
B 4dim 1 =W 
 
Para 2W 
Sea 2W
fe
dc
ba
∈










 










+










+










=










=










11
00
00
00
11
00
00
00
11
eca
ee
cc
aa
fe
dc
ba
 
 








































=
11
00
00
,
00
11
00
,
00
00
11
2W
B 3dim 2 =W 
 
Una vez obtenidas las bases, podemos calcular cuál va a ser la dimensión de 21 WW + para saber cuántos 
vectores deberán estar en su base. Sabemos que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) 5dim
234dim
dimdimdimdim
21
21
212121
=+
−+=+
∩−+=+
WW
WW
WWWWWW
 
 
Por tanto habrá 5 vectores en la base 
 
{ }
















































































=+
∪=+
11
00
00
,
00
11
00
,
00
00
11
,
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
21
21 21
genWW
BBgenWW WW
 
 
Pero el conjunto generador tiene 7 vectores, eso significa que hay dos vectores de más, los cuales 
eliminaremos colocando los vectores de este conjunto en una matriz donde cada fila representa un vector y 
luego simplificamos hasta obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros 
 






















−






















−−
−
−






















110000
000000
000000
001000
000100
100010
010001
)1(
)1(
110000
000000
010010
001000
000100
100010
010001
)1(
)1(
)1(
110000
001100
000011
001000
000100
100010
010001
75
25
46
36
15
A
A
A
A
A
 
 
Lo que significa que los vectores 5 y 6 dependen de los otros 
 




























































=∴ +
11
00
00
,
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
21 WW
B 
 
Ahora sólo falta hallar las condiciones del subespacio suma y para ello escribimos al vector típico como 
combinación lineal de los vectores de la base y simplificamos el sistema hasta obtener las condiciones, así: 
 
Sea 21 WW
fe
dc
ba
+∈










 
 










++
=










+










+










+










+










=










5251
43
21
54321
11
00
00
00
10
00
00
01
00
10
00
10
01
00
01
αααα
αα
αα
ααααα
fe
dc
ba
 
 




















−+−
−
−




















−
−
−
−




















eabf
ae
d
c
b
a
A
bf
ae
d
c
b
a
A
A
f
e
d
c
b
a
00000
10000
01000
00100
00010
00001
)1(
10000
10000
01000
00100
00010
00001
)1(
)1(
10010
10001
01000
00100
00010
00001
56
26
15 
 










=−+−∈










=+∴ 0/2321 eabfM
fe
dc
ba
WW x
 
Tema 4: (10 puntos) Sea V un espacio vectorial y { }321 ,, vvvB = una base de V . Se define el 
conjunto: 
 
{ }3132121 3,3,2 vvvvvvvgenW +−+−+= 
 
a) Determine una base para W , denotada como WB 
b) Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de B a WB 
 
Siempre es recomendable primero leer bien el planteamiento del problema junto con lo que solicitan hallar. 
Razonando un poco, en el literal “b” nos piden calcular una matriz de cambio de base y para poder hacerlo 
la base WB debe tener exactamente 3 vectores al igual que la base B de V 
 
Si esto sucede significaría que la base de W es también una base para V , por tanto VW = . Así que para 
que sea factible resolver el literal “b” habrá que demostrar que el conjunto generador de W es una base 
para V 
 
Para ello partimos de la hipótesis que nos dice que los vectores { }321 ,, vvv son linealmente independientes 
por ser una base para V , esto implicaría que: 
 
0321332211 ===⇔=++ αααααα VOvvv 
 
Lo cual se cumple por ser linealmente independientes 
 
Para demostrar que los vectores del conjunto generador de W son linealmente independientes los 
escribimos como combinación lineal y los igualamos al VO 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) V
V
Ovccvccvccc
Ovvcvvvcvvc
=+−++++−
=++−+−++
3322211321
3133212211
332
332
 
 
Con lo que hemos obtenido una ecuación parecida a la primera expresada en términos de { }321 ,, vvv , y por 
hipótesis los escalares que los multiplican deben ser iguales a cero, con lo que planteamos un sistema de 
ecuaciones y procedemos a calcular los valores de los escales ic 
 





=+−
=+
=+−
03
032
0
32
21
321
cc
cc
ccc
 
)1(
)1(
0310
01010
0111
)4(
0310
0250
0111
)2(
0310
0032
0111
22
21
3212
A
A
AA










−
−










−
−
−
−










−
−
 
 










−
−


























0100
0010
0001
)10(
)11(
0100
01010
01101
13
1
01300
01010
01101
32
31
3
A
A
M 0321 === ccc 
 
Si nos hubiese quedado al resolver el sistema una o más filas con ceros, el sistema tenía infinita soluciones 
y en ese caso los vectores del conjunto generador de W serían linealmente dependientes 
 
{ }3132121 3;3;2 vvvvvvvBW +−+−+=∴ 
 
 
Para hallar la matriz que nos piden vamos a suponer que { }321 ,, uuuBW = tal que: 
211 2vvu += 3212 3 vvvu −+−= 313 3vvu += 
 
También recordamos que: 
[ ] [ ] [ ]










↓↓↓
↑↑↑
=→ BBBBB uuuC W 221 
 
[ ]










=
0
2
1
1 B
u [ ]










−
−
=
1
3
1
2 B
u [ ]










=
3
0
1
3 B
u 
 










−
−
=→
310
032
111
BBW
C 
 
Y para hallar la matriz de cambio que nos piden habrá que sacar la inversa de la matriz arriba encontrada 
 
)1(
)1(
100310
4121010
001111
)4(
100310012250
001111
)2(
100310
010032
001111
23
21
3212
A
A
AA










−
−
−










−
−−
−
−










−
−
 
 
















−
−
−
−
−












−
−
−
















−
−
−
13
5
13
1
13
2
100
13
2
13
3
13
6
010
13
3
13
2
13
9
001
)10(
)11(
13
5
13
1
13
2
100
4121010
4111101
13
1
5121300
4121010
4111101
32
31
3
A
A
M 
 












−
−
−
=∴ →
13
5
13
1
13
2
13
2
13
3
13
6
13
3
13
2
13
9
WBB
C 
 
 
Ramiro J. Saltos 
Tema 5: (10 puntos) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal: 
czyx
bzyx
azyx
=−+
=+−
=−+
32
2
2
 
 
a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A 
b) Si bac += 2 , determine si el vector 










=
c
b
a
u pertenece a )Im(A 
 
La matriz A está dada por los coeficientes del sistema de ecuaciones, estos coeficientes corresponden a 
número que se encuentra delante de cada variable x , y y z , por tanto: 










−
−
−
=
321
211
112
A 
 
a) 
• 




















−









−










−
=
3
2
1
,
2
1
1
,
1
1
2
genFA 
Sea AF
c
b
a
∈










 










−+−
+−
++
=










−
+










−+










−
=










321
321
321
321
32
2
2
3
2
1
2
1
1
1
1
2
ααα
ααα
ααα
ααα
c
b
a
 → 





=−+−
=+−
=++
c
b
a
321
321
321
32
2
2
ααα
ααα
ααα
 
 










−−
+−
−−
−










−−
+−
+−










−−
−
c
cb
cba
A
c
cb
ca
A
A
c
b
a
321
110
35000
)5(
321
110
2550
)1(
)2(
321
211
112
21
32
31 
 










=−−∈










=∴ 035/3 cbaR
c
b
a
FA 
 
• { }3/)( 3 ROAXRXANu =∈= 
Sea )(ANu
c
b
a
X ∈










= 
 
Ramiro J. Saltos 










−
−−










−
−
−
−
−










−
−
−
0321
0530
0000
)1(
0321
0530
0530
)1(
)2(
0321
0211
0112
21
32
31
A
A
A
 
 
053 =+− cb 032 =−+ cba 
 










=∧=−+∈










=∴ cbcbaR
c
b
a
ANu 53032/)( 3 
 
• { }33 ;/)Re( RXYAXRYA ∈=∈= 
Sea )Re(A
c
b
a
Y ∈










= 
 










−
−−
−−
−










−
−−
−−
−
−










−
−
−
c
cb
cba
A
c
cb
ca
A
A
c
b
a
321
530
000
)1(
321
530
2530
)1(
)2(
321
211
112
21
32
31 
 
0=−− cba 
 










=−−∈










=∴ 0/)Re( 3 cbaR
c
b
a
A 
 
b) 
Para que el vector u pertenezca a la imagen de A debe cumplir con la condición de la misma, cabe recalcar 
que la imagen de una matriz es también conocida como el recorrido de una matriz 
 
Sea 










=
c
b
a
u , donde bac += 2 
02
02
0)2(
0
=−−
=−−−
=+−−
=−−
ba
baba
baba
cba
 
 
Pero hay que tener en cuenta que ba 2−− no necesariamente tiene que ser igual a 0 
 
)Im(Au∉∴ 
 
 
 
 
Ramiro J. Saltos 
 
 
 
 
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL 
Instituto de Ciencias Matemáticas 
I-Término 2008 
Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B) 
 
1. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su 
respuesta 
 
a) Sea un espacio vectorial ( )•⊕,,V . Si wuvwvu =⇒⊕=⊕ 
 
Sumamos el inverso aditivo de v en ambos lados de la ecuación 
( ) ( )
( ) ( )
wu
OwOu
vvwvvu
vvwvvu
VV
=
⊕=⊕
⊕⊕=⊕⊕
⊕⊕=⊕⊕
''
''
 
 
Verdadero∴ 
 
b) Sea ( )•⊕,,V un espacio vectorial. Si { }kvvvS ,...,, 211 = V⊆ y { } VwwwS r ⊆= ,...,, 212 son 
conjuntos linealmente independientes, entonces 21 SS ∪ es también linealmente independiente 
 
Sea 2RV = . Sean 


















1
0
,
0
1
1S y 


















0
1
,
1
1
2S dos conjuntos linealmente independientes en 
2R 
























=∪
1
1
,
1
0
,
0
1
21 SS , como tiene más elemento que la base de 
2R podemos concluir que este conjunto 
es linealmente dependiente 
 
Falso∴ 
 
c) Si mxnMA∈ , entonces ( ) ( )AA RN dimdim = , donde AN es el núcleo de la matriz A 
 
Sea la matriz 





=
43
21
A 


















=
4
3
,
2
1
genRA , pero este conjunto es linealmente independiente en 
2R y por tanto constituye una 
base del espacio renglón de A , entonces ( ) ( ) )()Im(dim2dim AARA ρ=== 
 
Del teorema de la dimensión para matrices: 
( ) 0dim)(
22)(
)()(
==
=+
=+
ANAv
Av
nAAv ρ
 ( ) ( )AA RN dimdim ≠⇒ Falso∴
 
Ramiro J. Saltos 
d) Sean H y W dos subespacios vectoriales de V con bases { }211 ,vvB = y { }322 ,vvB = 
respectivamente. Entonces { }2vB = es base del subespacio WH ∩ 
 
Sea 2RV = . Sean los subespacios 


















=
1
0
,
0
1
genH y 


















=
1
0
,
0
2
genW 
Podemos notar que los conjuntos generadores de H y W son linealmente independientes y por tanto 
constituyen una base de 2R , es decir, 2RWH == 
 
Entonces 2RWH =∩ y una base de la intersección sería 


















=
1
0
,
0
1
B Falso∴ 
 
 
Ramiro J. Saltos 
2. Sea 22xMV = . Dados los conjuntos: 






−++=+∈





= 2312/221 dbaM
dc
ba
H x 






∈





+
++
= Rdcba
da
caba
H ,,,/
1
2 


















−
=
00
11
,
10
01
3 genH ( ){ }0det/224 ≠∈= AMAH x 
 
a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de V ? 
b) Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en ( )a , así como 
de su intersección 
c) Sean 





=
12
12
A y 





−
=
20
13
B . Determine si BA + pertenece a la unión de los 
subespacios hallados en ( )a 
Sea 





=
00
00
VO 
El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de V , entonces: 
2HOV ∉ porque no posee la forma de todo elemento de 2H , es decir, en su cuarta componente debe estar 
siempre presente la constante 1, lo cual no ocurre con el vector nulo 
2H∴ no es subespacio de V 
4HOV ∉ porque su determinante es igual a 0 y con ello no cumple la condición del conjunto 4H 
4H∴ no es subespacio de V 
3H es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores 





−10
01
 y 





00
11
 y por 
teorema este conjunto es un subespacio de V y además es el menor de todos los subespacios que contienen a 
los vectores ya mencionados 
3H∴ es un subespacio de V 
Se han analizado los conjuntos más sencillos, con el último hay que determinar si se cumplen los axiomas 
de cerradura de la suma y multiplicación por escalar 
1. 1, Hwv ∈∀ 1Hwv ∈+ 
Sean 





=
11
11
dc
ba
v y 





=
22
22
dc
ba
w 1H∈ 222111 22 dbadba +=∧+=⇒ 






++
++
=+






+





=+
2121
2121
22
22
11
11
ddcc
bbaa
wv
dc
ba
dc
ba
wv
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
00
2222
22
2
2121
221121
212121
=
+=+
+++=+
+++=+⇒
aaaa
dbdbaa
ddbbaa
 
 
Ramiro J. Saltos 
→ La suma es cerrada en 1H 
2. R∈∀α 1Hv∈∀ 1Hv∈•α 
Sea R∈α . Sea 1H
dc
ba
v ∈





= dba +=⇒ 2 






=•






•=•
dc
ba
v
dc
ba
v
αα
αα
α
αα
 ⇒ 
aa
dba
dba
dba
22
2
)()2(
)(2
=
+=
+=
+=
αα
ααα
 → La multiplicación por escalar es cerrada en 1H 
1H∴ es un subespacio de V 
Sea 1H
dc
ba
∈





 





 −
+





+




=




 −
=





10
10
01
00
00
212
dca
dc
daa
dc
ba
 











 −












=∴
10
10
,
01
00
,
00
21
1HB ( ) 3dim 1 =H 
El conjunto generador de 3H es linealmente independiente y por tanto constituye una base para 3H 


















−
=∴
00
11
,
10
01
3HB ( ) 2dim 3 =H 
Sea 31 HH
dc
ba
∩∈





 






−
+
=





+





−
=





1
221
21
000
11
10
01
α
ααα
αα
dc
ba





 −
=




 −
+





+





=





32
311
321
2
10
10
01
00
00
21
ββ
βββ
βββ
dc
ba
 





 −
=





−
+
32
311
1
221 2
0 ββ
βββ
α
ααα
 







=−
=
−=
=+
→
31
2
312
121
0
2
βα
β
ββα
βαα
 
 
Ramiro J. Saltos 
( )














−
−
+−
−














−
−
+














−
−
3
2
31
31
21
3
2
31
31
41
3
2
31
1
01
00
210
200
)1(
01
00
210
10
1
01
00
210
11
β
β
ββ
ββ
β
β
ββ
ββ
β
β
ββ
β
AA 02 =β 
31
31
2
02
ββ
ββ
=
=+−
 
( )






=





=










 −
=










 −
=





10
32
0
32
0
222
2
3
3
33
3
333
32
311
β
β
ββ
β
βββ
ββ
βββ
dc
ba
dc
ba
dc
ba
 












=∴ ∩
10
32
31 HHB ( ) 1dim 31 =∩HH 






−
=+
12
25
BA 
Para que esta matriz pertenezca a la unión de ambos subespacios, debe pertenecer ya sea a 1H o a 3H . Si 
pertenece a 1H debe cumplir su condición 
110
12)5(2
2
=
−=
+= dba
 1HBA ∉+→ 
Finalmente hay que determinar si pertenece a 3H y para ello debe ser una combinación lineal de los 
vectores de su base 






−
+
=





−






+





−
=





−
1
221
21
012
25
00
11
10
01
12
25
c
ccc
cc
 
Si nos damos cuenta nos queda la igualdad 02 = la cual es falsa 3HBA ∉+→ 
31 HHBA ∪∉+∴
 
Ramiro J. Saltos 
3. Sea 2PV = y { }3,,1 221 −−+= xxxxB y { }1,3,22 222 −−+−= xxxxB bases de 2P . 
Determine: 
a) La matriz de cambio de base de 2B a 1B 
b) El núcleo y la imagen de la matriz obtenida en ( )a 
 
Sea 2
2 Pcbxax ∈++ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )31322212
1
2
2
2
1
2
3
31
αααααα
ααα
−++−++=++
−+−++=++
xxcbxax
xxxxcbxax
 
 





=−
=+−
=+
c
b
a
31
32
21
3αα
αα
αα
 










−−−
−−










−−−
−−










−
−
bac
b
a
A
ac
b
a
A
c
b
a
400
110
011
)1(
310
110
011
)1(
301
110
011
2313 
 
4
4
3
3
cba
bac
−+
=
−−=−
α
α
 
4
3
2
32
cba
b
−−
=
=+−
α
αα
 
4
33
1
21
cba
a
++
=
=+
α
αα
 
 
[ ]










−+
−−
++
=++⇒
cba
cba
cba
cbxax B 3
33
4
1
1
2 
 
[ ]










=+−
−
−
4
3
4
5
4
1
1
2 22 Bxx [ ]










=−
1
0
0
3 1Bx [ ]










=−
2
1
2
1
2
1
1
2 1 Bx 
 










=∴
−
−
→
2
1
4
3
2
1
4
5
2
1
4
1
12
1
0
0
BBC 
 
Como C es una matriz de cambio de base, su determinante siempre será diferente de cero, esto implica que 
sus columnas son linealmente independientes en 3R y constituyen además de una base del espacio 
)Im(CCC = también una base para 
3R 
3)Im( RC =∴ 
 
Para el núcleo utilizamos el teorema de la dimensión: 
0)(
33)(
)()(
=
=+
=+
Cv
Cv
nCCv ρ
 
 
Como la nulidad es cero, entonces el único elemento presente en el núcleo de C es el 3RO 
 
Ramiro J. Saltos 




















=∴
0
0
0
)(CNu 
4. Sea el espacio vectorial 










∈∈










= +RzRyx
z
y
x
V ,,/ junto con las operaciones: 










+
++
=










⊕










21
21
21
2
2
2
1
1
1 2
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
 









 −+
=










•
α
α
αα
α
z
y
x
z
y
x 22
 
 
Determine: 
a) El neutro de V y el opuesto de Vv∈ 
b) Si 










0
0
0
 es combinación lineal de 










−
2
1
1
 y 










−
4
2
2
 
 
 
1. Vv∈∀ VOv =•0 









−
=









 −+
=










•=
1
0
2
0
2)0(20
0
0z
y
x
z
y
x
OV 









−
=∴
1
0
2
VO 
 
2. Vv∈∀ '1 vv =•− 










−
−−
=










−
−−+−
=










•−=
−
z
y
x
z
y
x
z
y
x
v
11
4
)1(
2)1(2)1(
1' 










−
−−
=∴
z
y
x
v
1
4
' 
 
3. 










0
0
0
 no es una combinación lineal de los vectores mencionados porque este no pertenece al espacio 
vectorial V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ramiro J. Saltos 
 
 
 
 
 
 
Instituto de Ciencias Matemáticas 
 
Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación 
 
1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifique 
formalmente sus repuestas. 
 
a) Una transformación lineal cuyo núcleo es { }VO , es invertible 
Sea 32: RRT → una transformación lineal definida por 










+
=





ba
b
a
b
a
T 
Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es 





0
0
 pero como la WV dimdim ≠ , T no es 
invertible. 
 
También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe ser 
sobreyectiva 
 
Falso∴ 
 
b) :, Rtr ∈∀ 





−
=
)()(
)()(
trSentCos
tCostrSen
A es ortogonal 
 
Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismo 
tiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1. Entonces, utilizando el 
producto interno canónico: 
 
00
0)()()()(
0
)(
)(
)(
)(
=
=−
=












−






tCostrSentCostrSen
trSen
tCos
tCos
trSen
 
 
[ ] 01)(
1)(1)(
1)()(
1
)(
)(
)(
)(
22
222
222
=−
=−+
=+
=


















rtSen
tSentSenr
tCostSenr
tCos
trSen
tCos
trSen
 
π20
0)(
0)(2
=∧=
=
=
tt
tSen
tSen
 
1
1
01
2
2
±=
=
=−
r
r
r
 
 
 
Ramiro J. Saltos 
Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Se 
igual procedimiento para la segunda columna 
 
Falso∴
 
Ramiro J. Saltos 
c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu ∈, dos vectores ortonormales. 
Si los vectores vu βα + y vu βα − son ortogonales, entonces βα = 
 
0)/()/()/()/(
0)/()/()/()/(
0)/(
22 =−+−
=−++−+
=−+
vvvuvuuu
vvuvvuuu
vuvu
βαβαβα
ββαββααα
βαβα
 
 
Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: 1)/()/( == vvuu 
 
βα
βα
βα
βα
=
=
=−
=−
22
22
22
0
0)/()/( vvuu
 
 
Verdadero∴ 
 
d) Si λ es un valor propio de 





−
=
10
01
A , entonces ( ) AAA λλ 21 =+ − 
 
Primero tenemos que darnos cuenta la matriz A es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el producto 
interno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma es 
uno, entonces: 
 
AAAA T =→= −− 11 
 
También como A es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, es 
decir: 
 
1
1
−=
=
λ
λ
 
 
Finalmente: 
( )
( )
AA
AAA
AAA
22
2
2
11
1
=
=+
=+ − λ
λ
 
( )
( )
AA
AA
AA
AAA
AAA
2
1
2
1
2
1
)()2(
2
1
)2(
2
2
11
1
11
1
=
=
=
=+
=+
−−
−
−−
− λλ
 
 
 
Verdadero∴ 
 
 
Ramiro J. Saltos 
 
 
Ramiro J. Saltos 
2. (15 puntos) Sea 222: RML x → una transformación linealtal que: 






=





=





=





1
1
01
01
10
01
01
10
LLL y 





=





0
0
00
01
L 
 
Determine: 
a) )Im(),( LLNu 
b) La matriz asociada a L respecto a las bases canónicas de cada espacio 
 
La mejor opción es encontrar la regla de correspondencia de L , y para ello necesitamos una base del espacio 
de partida y para armarla usamos los cuatro vectores que nos dan de datos, así: 
 






























=
00
01
,
01
01
,
10
01
,
01
10
B 
 
Y al vector típico de 22xM lo escribimos como combinación lineal de los vectores de esta base, luego 
planteamos el sistema de ecuaciones y obtenemos los escalares en términos de dcba ,,, 
 






+





+





+





=





00
01
01
01
10
01
01
10
4321 αααα
dc
ba
 






+
++
=





231
1432
ααα
αααα
dc
ba
 
 







=
+=
=
++=
2
31
1
432
α
αα
α
ααα
d
c
b
a
 
bc
bc
−=
+=
3
3
α
α
 
dcba
bcda
−−+=
+−+=
4
4
α
α
 
 
Finalmente reemplazamos los datos en la combinación lineal inicial: 
 






+





+





+





=





00
01
01
01
10
01
01
10
4321 TTTT
dc
ba
T αααα 






−−++





−+





+





=





0
0
)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)( dcbabcdb
dc
ba
T 






+
+
=





dc
dc
dc
ba
T 
 
Calculando el núcleo tenemos: 
 



=+
=+
0
0
dc
dc
 





→





000
011
011
011
 → 
dc
dc
−=
=+ 0
 
 






=+∈





=∴ 0/)( 22 dcM
dc
ba
LNu x 
 
Ramiro J. Saltos 
Y la imagen: 
 



=+
=+
ydc
xdc
 





−
→





xy
x
y
x
00
11
11
11
 → 
yx
xy
=
=− 0
 
 






=∈





=∴ yxR
y
x
L /)Im( 2 
 
Para obtener la matriz asociada a la base canónica, sabemos que: 
 






























=
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
22 xMC
B 


















=
1
0
,
0
1
2CR
B 
 






=





0
0
00
01
T 





=





0
0
00
10
T 





=





1
1
01
00
T 





=





1
1
10
00
T 
 














↓↓↓↓
















































↑↑↑↑
=
2222
10
00
01
00
00
10
00
01
CRCRCRCR
BBBB
TTTTA 
 






=∴
1100
1100
A 
 
 
Ramiro J. Saltos 
3. (15 puntos) Sea 










=
a
a
a
A
11
11
11
 
Determine: 
a) Los valores propios de A 
b) Una base para cada espacio propio de A 
 










−
−
−
=−
λ
λ
λ
λ
a
a
a
IA
11
11
11
 
 
[ ] [ ] [ ]
[ ]
02)(3)(
0)(11)(1)()(
0)(111)(11)()(
3
2
2
=+−−−
=−−++−−−−−
=−−+−−−−−−
λλ
λλλλ
λλλλ
aa
aaaa
aaaa
 
 
Ahora realizamos un cambio de variable para visualizar mejor las cosas: 
 
λ−= ax 
0233 =+− xx 
 
Aplicando división sintética: 
0211
211
23011
−
−
−
 
0)1)(2)(1(
0)2)(1( 2
=−+−
=−+−
xxx
xxx
 
1
1
1
−=
=−
=
a
a
x
λ
λ 
2
2
2
+=
−=−
−=
a
a
x
λ
λ 
 
Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada λ en la matriz IA λ− 
 
1−=aEλ 










→










000
000
111
111
111
111
 
cba
cba
−−=
=++ 0
 









−
+









−
=









 −−
=










1
0
1
0
1
1
cb
c
b
cb
c
b
a
 
 



















−









−
=∴
1
0
1
,
0
1
1
λE
B 
2+=aEλ 










−
−→










−
−→










−
−
−
→










−
−
−
101
110
000
211
110
000
211
330
330
211
121
112
 
cb
cb
=
=+− 0
 
ca
ca
=
=− 0
 
 
 
Ramiro J. Saltos 










=










=










1
1
1
c
c
c
c
c
b
a
 




















=∴
1
1
1
λE
B
 
Ramiro J. Saltos 
4. (5 puntos) Determine si la matriz 










=
101
110
101
A es diagonalizable 
 










−
−
−
=−
λ
λ
λ
λ
101
110
101
IA 
 
Calculamos la ecuación característica: 
 
[ ]
[ ] 01)1()1(
0)1()1()1(
2
2
=−−−
=−−−−
λλ
λλλ
 
1
0)1(
=
=−
λ
λ
 
 
0)2)((
0)11)(11(
01)1( 2
=−−
=+−−−
=−−
λλ
λλ
λ
 0=λ 
2
02
=
=−
λ
λ
 
 
Debemos recordar el corolario que dice: “Si nxnMA∈ tiene n valores propios distintos, entonces A es 
diagonalizable” 
 
Como tenemos tres valores propios distintos, entonces A es diagonalizable 
 
 
Ramiro J. Saltos 
5. (15 puntos) Sea 3RV = y 










=+−∈










= 0623/3 zyxR
z
y
x
W un subespacio de V 
Determine: 
a) El complemento ortogonal de W 
b) La proyección de v sobre W si se conoce que 









−
=
4
1
3
v 
 
Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W 
 
zxy
zyx
632
0623
+=
=+−
 
 










+










=










+=










=










2
6
0
0
3
2
2
63
2
2
2
2
zx
z
zx
x
z
y
x
z
y
x
 






























=⇒
1
3
0
,
0
3
2
WB 
 
Sea ⊥∈










W
c
b
a
 
 
ba
ba
c
b
a
32
032
0
0
3
2
−=
=+
=






























 
bc
cb
c
b
a
3
03
0
1
3
0
−=
=+
=






























 
 










=+=+∈










=∴ ⊥ 0332/3 bcbaR
c
b
a
W 
 
Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre ⊥W debido a que la base de este 
subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo. 
 










−
−
=










−
−
=










=










6
2
3
6
2
3
2
2
2
b
b
b
b
c
b
a
c
b
a
 




















−
−
=⇒ ⊥
6
2
3
W
B 
 
Ahora procedemos a ortonormalizar esta base: 
 
1
1
1
1
v
v
u •= 
 
( )
749
3649
6
2
3
6
2
3
/
1
1
1
111
==
++=




















−
−










−
−
=
=
v
v
v
vvv
 




















−
−
=∴ ⊥
6
2
3
7
1*
WB 
 
Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores Wh∈ y ⊥∈Wp , hallaremos p 
y luego contestaremos la pregunta al encontrar pvh −= 
 
( ) 11
Pr
uuvp
voyp
W
=
= ⊥
 
( )










−




=










−
−
•−+




=










−
−
•




















−
−









−





=
6
2
3
49
13
6
2
3
2429
49
1
6
2
3
6
2
3
4
1
3
49
1
p
p
p
 
 











−
=











−
+









−
=
49
248
49
75
49
186
49
52
49
26
49
39
4
1
3
h
h
 
 











−
=∴
49
248
49
75
49
186
Pr voyW