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05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 1/49 Introdução à linguagem lógica Professor Marcelo Roseira Descrição Você vai aprender os princípios lógicos, estruturas e tabelas-verdade, equivalência lógica, leis do pensamento aristotélico e relações entre proposições. Também verá exemplos de operações de conjuntos e a conexão entre lógica e as operações básicas. Propósito A lógica tem aplicação direta em campos como ciência da computação, filosofia, matemática, direito e ciências sociais, capacitando os alunos a tomar decisões fundamentadas e identificar falácias. Ter uma compreensão sólida dos princípios lógicos e estruturas fundamentais para analisar, avaliar e construir argumentos de forma racional é de extrema importância para o desenvolvimento de habilidades de pensamento crítico. Objetivos Módulo 1 Introdução aos princípios lógicos 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 2/49 Identificar os princípios lógicos que regem o pensamento humano e investigar a importância do princípio da não contradição, bem como o princípio da identidade. Módulo 2 Principais estruturas lógicas e tabelas-verdade Formular as principais estruturas lógicas e suas tabelas-verdade e conhecer as propriedades da conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Módulo 3 Equivalência lógica Identificar as principais regras de equivalência lógica. Módulo 4 Principais regras e relações lógicas Reconhecer as implicações lógicas entre proposições, incluindo implicações, equivalências, tautologias e contradições. Introdução 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 3/49 A lógica permeia diversas áreas do conhecimento e está presente em nosso cotidiano de maneira mais profunda do que imaginamos. Vamos explorar os fundamentos dessa ciência, que nos permite analisar, avaliar e construir argumentos de forma racional. Abordaremos os princípios lógicos que regem o pensamento humano, investigando a importância do princípio da não contradição (uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo) e da identidade, que nos permitem desenvolver um pensamento mais claro e coerente. Exploraremos as principais estruturas lógicas e suas tabelas- verdade. Conheceremos as propriedades da conjunção, disjunção, condicional e bicondicional; aprenderemos a construir tabelas-verdade e veremos como essas estruturas se relacionam entre si. A equivalência lógica nos permite simplificar e transformar expressões lógicas sem alterar seu significado. Veremos suas principais regras, como a lei da dupla negação e a regra de Morgan, e aprenderemos a aplicá-las na simplificação de argumentos complexos. Exploraremos ainda as relações entre proposições, incluindo implicações, equivalências e contradições. Veremos quando uma proposição implica em outra, quando duas proposições são equivalentes, bem como detectar tautologias e contradições lógicas. Utilizaremos exemplos de linguagem lógica simbólica e nossa linguagem corrente. Você verá que a lógica pode ser uma ferramenta poderosa para analisar e resolver problemas complexos, além de desenvolver habilidades de pensamento crítico, valiosas em sua carreira profissional. A lógica está presente em todos os aspectos da vida. Aqui você será capaz de compreender seus princípios básicos e introdutórios à linguagem e aplicá-la de maneira eficaz. Material para download 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 4/49 Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF. Download material 1 - Introdução aos princípios lógicos Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os princípios lógicos que regem o pensamento humano e investigar a importância do princípio da não contradição, bem como o princípio da identidade. Introdução à lógica e sua importância em áreas do conhecimento Assista ao vídeo e confira a importância da lógica em diversas áreas do conhecimento. Além disso, veja como ela nos permite analisar argumentos sistemáticamente, identificar falhas de raciocínio e construir pensamentos coerentes. javascript:CriaPDF() 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 5/49 A lógica permeia diversas áreas do conhecimento, desde a filosofia e a matemática até a ciência da computação e a linguística. Ela nos permite analisar argumentos de forma sistemática, identificar falhas de raciocínio e construir pensamentos coerentes. Ao dominar seus conceitos básicos, desenvolvemos habilidades essenciais, como o pensamento crítico, a capacidade de avaliar informações e resolver problemas. O pensamento lógico também ajuda a analisar e compreender estruturas e relações entre as proposições. Por meio dos conectivos e estruturas lógicas (como a negação, a conjunção, a disjunção, a disjunção exclusiva, a condicional e a bicondicional), podemos combinar proposições simples e criar proposições compostas. A lógica é a ciência da razão e do raciocínio válido. A lógica nos possibilita distinguir entre argumentos válidos, ou seja, aqueles cujas conclusões são logicamente inferidas a partir de suas premissas, e argumentos inválidos, que contêm falhas lógicas. Ao compreender as leis do pensamento e os princípios lógicos, somos capazes de avaliar a validade de um argumento e identificar possíveis erros de raciocínio. Dica A construção e interpretação de tabelas-verdade nos permite determinar os valores lógicos dessas proposições compostas em diferentes cenários. Isso é particularmente importante em áreas como a matemática e a ciência da computação, em que a lógica é usada para estabelecer as bases do raciocínio dedutivo e da programação. Além de sua aplicação direta em várias disciplinas, a lógica também promove o pensamento crítico e a argumentação, auxiliando na tomada de decisão; ensina a formular perguntas claras, a examinar evidências de forma imparcial e avaliar argumentos com base em critérios objetivos. A habilidade de pensar logicamente nos capacita a tomar decisões e a evitar falácias e vieses cognitivos que podem levar a conclusões equivocadas. Na filosofia, a lógica desempenha papel fundamental na análise e 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 6/49 avaliação dos argumentos, permitindo identificar os válidos e inválidos, examinando a estrutura lógica subjacente. Além disso, a lógica nos ajuda a evitar falácias comuns e construir argumentos mais sólidos e convincentes. Veja a seguir como a lógica se aplica nestes aspectos. Filoso�a Desempenha papel fundamental na análise e avaliação dos argumentos, permitindo identificar os válidos e inválidos, examinando a estrutura lógica subjacente. Além disso, a lógica nos ajuda a evitar falácias comuns, e construir argumentos mais sólidos e convincentes. Matemática É essencial para o raciocínio dedutivo e a demonstração de teoremas. Os conceitos de verdade e falsidade são cruciais para a construção de provas lógicas e a resolução de problemas matemáticos. Por meio da lógica, estabelecemos uma base sólida para a compreensão das estruturas e relações matemáticas. Ciência da computação É amplamente utilizada na programação e no design de algoritmos. Os conectivos lógicos (como a negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional) permitem a construção de expressões lógicas complexas. Por meio das tabelas-verdade, podemos determinar os valores lógicos dessas expressões e garantir o correto funcionamento dos programas. 05/03/24, 17:45 Introduçãoà linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 7/49 O estudo dos conceitos básicos da lógica (como proposições lógicas, princípio da não contradição, princípio do terceiro-excluído, sentenças abertas, verdade e falsidade) é fundamental para o desenvolvimento do pensamento crítico e racional. Resumindo Os conceitos básicos da lógica são a base para a construção de argumentos sólidos, resolução de problemas complexos e tomada de decisões. Ao dominar esses fundamentos, estamos preparados para explorar os aspectos mais avançados da lógica e suas aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Conceitos básicos: proposição lógica, sentença, verdade, falsidade Assista ao vídeo e confira os principais conceitos utilizados na lógica e em suas aplicações. A lógica é essencial para a compreensão do raciocínio e da estrutura dos argumentos. Para adentrar nesse campo, é fundamental familiarizar-se com alguns conceitos básicos que servem como alicerce para a lógica e suas aplicações. Linguística Aplicada no estudo da semântica e da análise de argumentos linguísticos, ajudando a identificar ambiguidades e contradições na linguagem, permitindo uma análise mais precisa da estrutura e do significado das sentenças. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 8/49 Proposição lógica Frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. É importante ressaltar que nem todas as frases se enquadram nessa categoria. Atenção, essas sentenças não são consideradas proposições lógicas! Veja! Frases exclamativas Frases como "Que dia maravilhoso!" não podem ser consideradas proposições lógicas, pois não têm valor lógico definitivo. Frases imperativas Frases como "Feche a porta!" não são proposições lógicas, pois não expressam uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Frases interrogativas Frases como "Você vai viajar?" não são proposições lógicas, pois expressam uma pergunta e não uma afirmação com valor lógico determinado. Uma proposição lógica é uma frase declarativa, uma afirmação que pode ser categorizada como verdadeira ou falsa. Deve ser formulada de maneira clara e inequívoca, permitindo a determinação de seu valor lógico. Exemplo "O sol nasce no leste" é uma proposição lógica verdadeira. "Os pássaros cantam todas as manhãs" é uma proposição lógica falsa. Notação Para reforçar a representação das proposições lógicas verdadeiras e falsas, podemos utilizar as letras V (verdadeiro) e F (falso) para atribuir valores de verdade a elas. Essa convenção permite uma representação clara e padronizada dos valores lógicos das proposições. Ao analisar uma proposição, podemos atribuir o valor V quando ela é verdadeira e o valor F quando é falsa, facilitando a compreensão e a avaliação das afirmações lógicas. Essa representação é especialmente útil ao trabalhar com tabelas-verdade, em que as diferentes 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 9/49 combinações de valores V e F para proposições e conectivos lógicos podem ser exploradas para determinar resultados lógicos de expressões mais complexas. Curiosidade Alguns autores utilizam a representação numérica, usando "1" para representar verdadeiro e "0" para representar falso. Essa notação é comumente empregada em contextos em que a lógica é aplicada em sistemas digitais, como a lógica booleana e a programação de computadores. A representação numérica da notação, usando "1" e "0", tem a vantagem de ser facilmente mapeada para conceitos de verdadeiro e falso, sendo especialmente útil em circuitos digitais, nos quais os valores lógicos são representados eletronicamente. Além disso, essa notação se alinha à representação binária, utilizada em sistemas computacionais. Tanto a representação com "V" e "F" quanto a representação com "1" e "0" são formas válidas e amplamente utilizadas para atribuir valores de verdade às proposições lógicas. A escolha entre essas convenções depende do contexto e da preferência do autor ou da área de estudo. Portanto, ao estudar lógica, é importante estar ciente das diferentes formas de representação dos valores de verdade e adaptar-se ao padrão utilizado na fonte consultada ou definido no curso em questão. Deve-se compreender a relação entre os símbolos adotados e os conceitos de verdadeiro e falso. Sentença aberta Além das proposições, outro conceito importante é o de sentença aberta. Estrutura com variáveis não pode ser classificada como verdadeira ou falsa até que valores específicos sejam atribuídos a elas. Exemplo A sentença aberta "x + 2 = 5" só pode ser avaliada como verdadeira ou falsa quando um valor é atribuído à variável x. Se x = 3, a sentença se torna verdadeira, mas se x = 4, a sentença se torna falsa. Verdade x Falsidade Os conceitos de verdade e falsidade estão intrinsecamente relacionados às proposições lógicas. Uma proposição é considerada verdadeira se 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 10/49 está em conformidade com os fatos e a realidade, e falsa se entra em contradição com eles. Determinar a verdade ou falsidade de uma proposição é aspecto crucial da análise lógica. Além desses conceitos básicos, há outros termos relevantes na lógica, como premissa, conclusão, conectivos lógicos e tabelas-verdade. A lógica facilita a análise do raciocínio e a tomada de decisões, e nos capacita para distinguir entre informações válidas e falaciosas, tomar decisões embasadas em fundamentos sólidos, identificar erros de raciocínio e contradições, permitindo uma análise crítica mais precisa. Resumindo A introdução à lógica é fundamental para uma compreensão profunda das estruturas do pensamento e da argumentação. Ela nos permite analisar, avaliar e construir argumentos de forma racional, desenvolvendo habilidades de pensamento crítico cruciais em diversas áreas do conhecimento. Leis do pensamento aristotélico Assista ao vídeo e conheça os princípios da identidade, da não contradição e do terceiro excluído. As leis do pensamento aristotélico são fundamentais para a lógica clássica, e têm influência significativa na forma como entendemos o raciocínio e a validade dos argumentos. Essas leis, formuladas por Aristóteles, são compostas por 3 princípios que fornecem a base para construção de argumentos lógicos e análise rigorosa de proposições. Conheça esses princípios! Princípio da identidade Afi i é idê ti i E 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 11/49 Afirma que uma coisa é idêntica a si mesma. Em termos lógicos, uma proposição é verdadeira se, e somente se, ela se refere a algo verdadeiro. Por exemplo, se afirmarmos "O céu é azul", essa afirmação será verdadeira apenas se o céu for, de fato, azul. Esse princípio é intuitivo e serve como base para a consistência do raciocínio. Sem ele, seria impossível estabelecer qualquer forma de comunicação lógica, pois não poderíamos confiar na validade das afirmações. Princípio da não contradição Afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, no mesmo sentido e no mesmo contexto. Algo não pode ser e não ser ao mesmo tempo. Esse princípio, essencial para a coerência lógica e a consistência do pensamento, nos permite identificar contradições e inconsistências nos argumentos e descartá-los como inválidos. Exemplo: É logicamente impossível afirmar que "Um gato é um cão" e que "Um gato não é um cão", pois são proposições verdadeiras ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído Estabelece que uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira opção. Não pode haver meio-termoentre verdadeiro e falso. Esse princípio é crucial para determinar valores de verdade das proposições e permite a tomada de decisões lógicas com base na exclusão de opções inviáveis, essencial para análise e construção de argumentos lógicos válidos. Exemplo: "A água está quente ou não está quente", pois não há uma terceira possibilidade além de estar quente ou não. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 12/49 A importância dessas leis do pensamento aristotélico está na sua aplicação generalizada em diversas áreas do conhecimento. Elas fornecem um alicerce sólido para o raciocínio lógico, permitindo análise crítica e avaliação de argumentos. Os princípios das leis do pensamento aristotélico são usados não apenas na filosofia e na lógica formal, mas também na matemática, na ciência, no direito e em outras disciplinas. Eles nos capacitam a reconhecer argumentos válidos e não válidos, identificar falácias e contradições, e estabelecer um padrão de pensamento consistente e confiável. As leis do pensamento também têm implicações práticas no dia a dia. Ao aplicá-las, podemos evitar inconsistências em nossas afirmações, promover a coerência em nossos argumentos e tomar decisões mais fundamentadas. Resumindo As leis do pensamento aristotélico, representadas pelos princípios da identidade, da não contradição e do terceiro excluído são fundamentais para a lógica e a razão. Elas fornecem as bases para a validade dos argumentos, a consistência do pensamento e a tomada de decisões informadas. Ao compreender e aplicar esses princípios, somos capazes de desenvolver habilidades de pensamento crítico e analítico essenciais para diversas áreas do conhecimento e para a busca da verdade. Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Considere as seguintes afirmações: I. “Dizer que uma proposição lógica ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro”. II. “Dizer que uma proposição lógica é verdadeira e falsa ao mesmo tempo é sempre falso”. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 13/49 III. “Dadas duas proposições p e q, a proposição: (p Ù q) Ù ~(p Ú q) é uma tautologia”. Parabéns! A alternativa A está correta. I. “Dizer que uma proposição lógica ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro”. Essa afirmação está de acordo com o princípio fundamental da lógica clássica, conhecido como o princípio do terceiro excluído, segundo o qual uma proposição lógica só pode ser verdadeira ou falsa, não pode haver uma terceira opção. Portanto, a afirmação I é correta. II. "Dizer que uma proposição lógica é verdadeira e falsa ao mesmo tempo é sempre falso." Essa afirmação está de acordo com o princípio da não contradição, segundo o qual uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Portanto, a afirmação II também é correta. III. “Dadas duas proposições p e q, a proposição: (p Ù q) Ù ~(p Ú q) é uma tautologia”. Construindo a tabela-verdade da proposição lógica composta (p Ù q) Ù ~(p Ú q) e analisando sua última coluna, concluímos que ela é uma contradição, e não uma tautologia. Portanto, a afirmação III é falsa. ds A Somente I e II são corretas. B Somente I e III são corretas. C Somente II e III são corretas. D Somente I e II são falsas. E Somente I e III são falsas. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 14/49 Questão 2 Considere a sentença aberta S(x): "x é um número primo maior do que 10". Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: I. S(7) é verdadeira. II. S(12) é falsa. III. Existe um valor de x para o qual S(x) é verdadeira. Parabéns! A alternativa D está correta. Com base na sentença aberta S(x): "x é um número primo maior do que 10", vamos analisar cada proposição: I. S(7) é verdadeira. Essa afirmação diz que 7 é um número primo maior do que 10. No entanto, 7 não é maior do que 10, portanto, a proposição I é falsa. II. S(12) é falsa. Essa afirmação diz que 12 é um número primo maior do que 10. No entanto, 12 não é um número primo, pois é A Apenas a afirmação I é verdadeira. B Apenas a afirmação II é verdadeira. C Apenas a afirmação III é verdadeira. D Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. E Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 15/49 divisível por 2, 3, 4, 6 e 12. Portanto, a proposição II é verdadeira. III. Existe um valor de x para o qual S(x) é verdadeira. A sentença aberta S(x) afirma que existe um número primo maior do que 10. De fato, existem números primos maiores do que 10, como 11, 13, 17, 19 etc. Portanto, a proposição III é verdadeira. 2 - Principais estruturas lógicas e tabelas- verdade Ao �nal deste módulo, você será capaz de formular as principais estruturas lógicas e suas tabelas-verdade e conhecer as propriedades da conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Conectivos e estruturas lógicas básicas Assista ao vídeo e confira a explicação e exemplos de negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 16/49 Agora vamos abordar as principais estruturas lógicas básicas e suas tabelas-verdade. Uma tabela-verdade mostra possíveis combinações de valores lógicos para as proposições envolvidas. Vamos explorar os conectivos lógicos fundamentais, incluindo a negação, conjunção, disjunção, e as estruturas condicional e bicondicional. Negação (~) Conectivo que inverte o valor lógico de uma proposição. Se uma proposição p é verdadeira (V), a negação de p (~p) ou ( Øp) será falsa (F), e vice-versa. P ¬P V F F V Tabela Verdade - Negação Professor Marcelo Roseira Exemplo: Se p representa "O Sol é amarelo", a negação de p (~p) seria "O Sol não é amarelo". Ou “Não é verdade que o Sol é amarelo”. Ou “É falso que o Sol é amarelo”. Conjunção (Ù) Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo essa terceira proposição verdadeira apenas quando as anteriores também são. Em linguagem corrente, o sentido dessa nova estrutura é dado pelo conectivo “e”, cuja lógica correspondente na linguagem simbólica é do conectivo (Ù). Veja a tabela-verdade para conjunção (Ù) a seguir. p q p∧q V V V V F F F V F F F F 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 17/49 Tabela Verdade - Conjunção Professor Marcelo Roseira Exemplo 1: A proposição "Maria estuda matemática" pode ser representada por p. A proposição "Pedro estuda física" pode ser representada por q. A conjunção das duas proposições seria "Maria estuda matemática e Pedro estuda física", representada por p Ù q. Exemplo 2: A proposição "O Sol está brilhando" pode ser representada por p. A proposição "O céu está claro" pode ser representada por q. A conjunção das duas proposições seria “O Sol está brilhando e o céu está claro”, representada por p Ù q. Disjunção (Ú) Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Em linguagem corrente, o sentido dessa nova estrutura é dado pelo conectivo “ou”, cuja lógica correspondente na linguagem simbólica é do conectivo (Ú). Veja a tabela-verdade para disjunção (Ú) a seguir. p q pVq V V V V F V F V V F F F Tabela-verdade - Disjunção Professor Marcelo Roseira Exemplo 1: A proposição "Hoje é segunda-feira" pode ser representada por p. A proposição "Hoje é sexta-feira" pode ser representada por q. A disjunção das duas proposições seria "Hoje é segunda-feira ou sexta- feira", representadapor p Ú q. Exemplo 2: A proposição "João gosta de futebol" pode ser representada por p. A proposição "Maria gosta de basquete" pode ser representada por q. A disjunção das duas proposições seria "João gosta de futebol ou Maria gosta de basquete", representada por p Ú q. Disjunção excludente (Ú) 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 18/49 Também conhecida como disjunção exclusiva, indica que apenas uma das proposições pode ser verdadeira, excluindo a possibilidade de ambas serem verdadeiras ou falsas. O símbolo utilizado para representar a disjunção excludente é o " " ou "Ú". Quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou falsas), a disjunção excludente resulta em proposição falsa. Somente quando p e q têm valores lógicos diferentes é que a disjunção excludente é verdadeira. Exemplo 1: A proposição "O carro é vermelho" pode ser representada por p. A proposição "O carro é azul" pode ser representada por q. A disjunção excludente das duas proposições seria "O carro é vermelho ou azul, mas não ambos", representada por p Ú q. Alternativamente, poderíamos utilizar a forma “Ou o carro é vermelho, ou o carro é azul”. Exemplo 2: A proposição "Hoje é sábado" pode ser representada por p. A proposição "Hoje é domingo" pode ser representada por q. A disjunção excludente das duas proposições seria "Hoje é sábado ou domingo, mas não ambos", representada por p Ú q. Alternativamente, poderíamos utilizar a forma “Ou hoje é sábado, ou hoje é domingo”. Condicional (→) Relaciona duas proposições, estabelecendo uma implicação lógica entre elas. A proposição p → q afirma que, se p for verdadeira, então q também será. Na estrutura condicional, chamamos p de antecedente e q de consequente da estrutura condicional, respectivamente. Temos quatro formas distintas de verbalizar a relação entre p e q. Vejamos! p implica em q se p, então q (mais usada) p é condição su�ciente para q q é condição necessária para p 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 19/49 Observe a tabela-verdade para a estrutura condicional. p q p→q V V V V F F F V V F F V Tabela Verdade - Condicional Professor Marcelo Roseira Exemplo 1: A proposição "Se está chovendo, então a rua está molhada" pode ser representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro (“está chovendo”), então q também será (“a rua está molhada”). Exemplo 2: A proposição "Se a temperatura cai, então faz frio" pode ser representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro (“a temperatura cai”), então q também será (“faz frio”). Bicondicional (⬌) Estabelece relação de equivalência entre duas proposições. A proposição p ⬌ q será verdadeira quando p e q possuírem o mesmo valor lógico, e falsa em caso contrário. Você vai encontrar nos livros e questões envolvendo essa estrutura a expressão se, e somente se. Como veremos no exemplo a seguir, “O número é par se, e somente se, for divisível por 2.” Esta é a tabela-verdade para estrutura bicondicional. Veja! p q p↔q V V V V F F 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 20/49 p q p↔q F V F F F V Tabela-verdade - Estrutura bicondicional Professor Marcelo Roseira Exemplo 1: A proposição "O número é par se, e somente se, for divisível por 2" pode ser representada por p ⬌ q. Isso significa que p implica em q (“se o número é par, então é divisível por 2”) e q implica em p (“se o número é divisível por 2, então é par”). Exemplo 2: A proposição “Uma figura é um quadrado se, e somente se, tiver quatro lados iguais e quatro ângulos retos” pode ser representada por p ⬌ q. Isso significa que p implica em q (“se a figura é um quadrado, então tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos”) e q implica em p (“se a figura tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos, então é um quadrado”). Resumindo Conectivos, estruturas e tabelas-verdade nos permitem analisar a validade de argumentos e construir demonstrações lógicas. Relações entre proposições Assista ao vídeo e compreenda os conceitos de implicações, equivalências e contradições. Algumas estruturas e relações são importantes para compreender como as proposições se relacionam entre si e como podemos fazer deduções ou inferências a partir delas. Como exemplo, podemos citar implicação lógica, equivalência lógica, tautologia, contradição, contingência, contrariedade e subcontrariedade. Compreenda estes conceitos! 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 21/49 Implicação lógica Dada pela estrutura condicional, é uma relação entre duas proposições em que a veracidade de uma implica necessariamente na veracidade da outra. Representamos a implicação lógica com o símbolo "→" ou "Þ". Por exemplo, se temos a proposição "Se chove, então a rua fica molhada", podemos deduzir que, “se chove” (proposição antecedente) é verdadeiro, então “a rua ficará molhada” (proposição consequente). Equivalência lógica Relação entre duas proposições em que ambas possuem o mesmo valor lógico em todas as circunstâncias. Representamos a equivalência lógica com o símbolo "⬌" ou "Û". Por exemplo, se temos a proposição "O número é par se, e somente se, ele for divisível por 2", as duas partes da proposição são equivalentes, pois, se uma é verdadeira, a outra também é, e vice-versa. Tautologia Proposição sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes. Em outras palavras, é uma expressão lógica verdadeira em todas as linhas de sua tabela- verdade. Por exemplo, a proposição "p Ú ~p" é uma tautologia, pois a disjunção entre uma proposição e sua negação sempre resultará em uma proposição verdadeira. A tautologia é um caso especial de equivalência lógica, em que uma proposição é equivalente à proposição verdadeira ("V") em todas as circunstâncias. Ela é amplamente utilizada em lógica, pois nos permite estabelecer verdades b l t id tifi d õ d lid d 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 22/49 absolutas e identificar padrões de validade em argumentos. Ferramenta essencial na demonstração de teoremas em todas as áreas da matemática, ao identificar uma proposição como tautologia, podemos usá-la como base para deduções lógicas decorrentes e garantir a validade de nossos argumentos. Contradição Relação entre duas proposições opostas e que não podem ser verdadeiras simultaneamente. Quando duas proposições são contraditórias, uma é a negação da outra. A proposição "p Ù ~p" é uma contradição, pois a conjunção entre uma proposição e sua negação sempre resultará em uma proposição falsa. Exemplo: As proposições "A Terra é plana" e "A Terra não é plana" são contraditórias, pois não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Contrariedade Relação entre duas proposições em que não é possível que ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas simultaneamente. Exemplo: As proposições "O céu está azul" e "O céu está vermelho" são contrárias, pois não podem ser verdadeiras simultaneamente, mas podem ser falsas ao mesmo tempo. Subcontrariedade R l ã t d i õ b ã 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 23/49 Em síntese, ao compreender essas relações entre proposições, podemos analisar a validade de argumentos, simplificar expressões lógicas complexas e identificar equivalências que nos auxiliam no processo de raciocínio lógico. Esses conceitos são fundamentais para o estudo da lógica e têm aplicações práticas em diversas áreas, como ciência da computação,matemática, filosofia, entre outras. Linguagem lógica e conjuntos Assista ao vídeo e entenda a conexão entre a linguagem lógica e as operações básicas dos conjuntos. A linguagem lógica e as operações básicas de conjuntos (como a união, a interseção, a relação de inclusão e a igualdade entre eles) nos permitem analisar e descrever várias relações entre elementos e conjuntos, bem como propriedades importantes acerca de equivalências lógicas. Ao compreender a conexão entre essas duas áreas, podemos aprofundar nosso entendimento sobre a lógica e sua aplicação no campo de estudo dos conjuntos. Conjuntos e proposições Relação entre duas proposições em que ambas não podem ser falsas simultaneamente, mas podem ser verdadeiras simultaneamente. Exemplo: As proposições "Está chovendo" e "Está nevando" são subcontrárias, pois não podem ser falsas simultaneamente, mas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 24/49 Muitos livros e professores omitem que a linguagem lógica nos permite expressar proposições fortemente relacionadas a propriedades e operação entre conjuntos. Por exemplo, podemos representar a proposição "x pertence ao conjunto A" usando a linguagem lógica como p(x), "x pertence ao conjunto B" usando a linguagem lógica como q(x), e assim por diante. Dependendo da complexidade da relação que estamos estudando, ou do quão sofisticada é a proposição composta que precisamos representar, pode ser necessário utilizar vários outros conjuntos (C, D, E...) e proposições (r, s, t...). Podemos estabelecer conexões entre linguagem lógica e operações básicas que fazemos quando estudamos conjuntos, explorando como a conjunção, a disjunção, a condicional e o bicondicional se relacionam com essas operações. Conjunto interseção e a conjunção Podemos estabelecer uma conexão entre interseção de conjuntos e conjunção lógica. Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a interseção A ∩ B representa os elementos que pertencem tanto a A quanto a B. Veja no diagrama! Conjunto interseção e a conjunção Podemos expressar essa interseção usando a conjunção lógica como p(x) Ù q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Conjunto união e a disjunção Da mesma forma, a união de conjuntos pode ser relacionada à disjunção lógica. Veja no diagrama! 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 25/49 Conjunto união e a disjunção Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a união A È B representa os elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. Podemos expressar essa união usando a disjunção lógica como p(x) Ú q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Relação de inclusão e condicional Já a relação de inclusão entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura lógica dada pela condicional. Nesse caso, se temos os conjuntos A e B, a inclusão A Ì B significa que todo elemento de A também pertence a B. Observe! 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 26/49 Relação de inclusão e condicional Podemos expressar essa relação usando a condicional lógica como p(x) → q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Igualdade entre conjuntos e bicondicional A igualdade entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura lógica dada pela estrutura bicondicional. Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a igualdade A = B significa que todos os elementos de A pertencem a B, e todos os elementos de B pertencem a A. Do ponto de vista lógico, poderíamos expressar essa igualdade usando a estrutura lógica da bicondicional representada por p(x) « q(x), ou por meio do símbolo da dupla seta (Û), que dá o mesmo sentido a essa relação e também é usado por diversos livros e autores. Assim, p(x) Û q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Alguns exemplos para cada caso A simples observação de alguns exemplos para cada caso pode nos ajudar a ilustrar de forma mais concreta a conexão entre linguagem lógica e operações básicas de conjuntos. Veja! Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Como vimos, a interseção A B representa os elementos que pertencem tanto a A quanto a B. Podemos expressar essa interseção usando a conjunção lógica como p(x) Ù q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Nesse caso, a interseção A ∩ B será {2, 3}. A união de conjuntos pode ser relacionada à disjunção lógica. Por exemplo, se temos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, a união A ∪ B representa os elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. Podemos expressar essa união usando a disjunção lógica como p(x) ∨ q(x), em que p(x) representa a proposição "x Conjunto interseção e conjunção Conjunto união e disjunção 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 27/49 pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Nesse caso, a união A ∪ B será {1, 2, 3, 4, 5}. A relação de inclusão entre conjuntos pode ser relacionada à condicional lógica. Vamos a um exemplo não numérico agora! Considere os conjuntos de animais A = {cachorro, gato, pássaro} e B = {cachorro, gato, pássaro, peixe}. Nesse caso, a inclusão A Ì B significa que todos os animais em A também estão em B. Podemos expressar essa inclusão usando a estrutura condicional lógica p(x) → q(x), em que p(x) representa a proposição "x é um animal em A" e q(x) representa a proposição "x é um animal em B". Por exemplo, podemos dizer que "Se um animal é um cachorro, um gato ou um pássaro, então ele também é um animal em B". A igualdade entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura bicondicional. Vamos a um exemplo não numérico agora! Suponha que temos os conjuntos de frutas A = {maçã, banana, laranja} e B = {laranja, banana, maçã}. A igualdade A = B significa que todos os elementos de A estão em B, e todos os elementos de B estão em A. Podemos expressar essa igualdade usando o bicondicional lógico p(x) ⬌ q(x), em que p(x) representa a proposição "x é uma fruta em A" e q(x) representa a proposição "x é uma fruta em B". Por exemplo, podemos afirmar que "Uma fruta é uma maçã, uma banana ou uma laranja se, e somente se, ela também é uma fruta em B". Relação de inclusão e condicional Igualdade entre conjuntos e bicondicional 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 28/49 Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Considere as seguintes proposições: I. Salvador é capital da Bahia ou a Lua é plana. II. Se 21 é primo, então 6 é par. III. x2 = 1 Û x = 1. Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente, Parabéns! A alternativa E está correta. Vamos analisar cada uma das proposições: I. “Salvador é capital da Bahia ou a Lua é plana”. A proposição I é verdadeira, pois a primeira parte, "Salvador é capital da Bahia", é verdadeira. Não importa se a segunda parte, "a Lua é plana", é falsa, pois, em uma disjunção (Ú), apenas uma das partes precisa ser verdadeira para que a proposição seja verdadeira. A F, F, F. B F, V, F. C V, V, V. D V, F, V. E V, V, F. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 29/49 II. “Se 21 é primo, então 6 é par”. Essa proposição é verdadeira. A primeira parte, "21 é primo", é falsa, pois 21 é divisívelpor 3 e 7. Portanto, a implicação é considerada verdadeira de acordo com a terceira linha da tabela-verdade da condicional. III. “x2 = 1 Û x = 1”. Essa proposição é falsa. Embora seja verdade que x = 1 implica em x2 = 1, a recíproca não é verdadeira. Existem outros valores de x, como -1, que também satisfazem a equação x2 = 1. Questão 2 Considere as seguintes proposições: I. Todos os gatos são mamíferos ou todos os cachorros voam. II. Se 4 é um número ímpar, então 9 é um número primo. III. x2 = 16 <=> x = 4 ou x = -4. Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente, Parabéns! A alternativa C está correta. Vamos analisar cada uma das proposições: I. “Todos os gatos são mamíferos ou todos os cachorros voam”. Essa proposição é verdadeira, pois a primeira parte, "Todos os A V, F, F. B F, V, V. C V, V, V. D F, F, V. E V, V, F. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 30/49 gatos são mamíferos", é verdadeira. Na disjunção (Ú), apenas uma das partes precisa ser verdadeira para que a proposição como um todo seja verdadeira. II. “Se 4 é um número ímpar, então 9 é um número primo”. Essa proposição é falsa, pois a primeira parte, "4 é um número ímpar", é falsa. Nesse caso, uma implicação com uma premissa falsa é considerada verdadeira de acordo com a terceira linha da tabela- verdade da condicional. III. “x2 = 16 Û x = 4 ou x = -4”. Essa proposição é verdadeira. A primeira parte, "x2 = 16 Þ x = 4 ou x = -4", é verdadeira, pois, quando o quadrado de x é igual a 16, as soluções são x = 4 ou x = -4. A segunda parte, "x = 4 ou x = -4 Þ x2 = 16", também é verdadeira, pois, quando x é igual a 4 ou -4, o resultado do quadrado de x é igual a 16. 3 - Equivalência lógica Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as principais regras de equivalência lógica. Conceito de equivalência lógica Confira no vídeo o conceito e demonstrações de equivalência lógica. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 31/49 A equivalência lógica é um importante conceito na lógica matemática que descreve a relação entre duas proposições com o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis. Quando duas proposições são equivalentes, elas são indistinguíveis do ponto de vista da sua veracidade ou falsidade. Em outras palavras, se uma proposição é verdadeira, então a outra também será, e vice-versa. Para entender melhor o conceito de equivalência lógica, é necessário compreender o valor lógico das proposições. Exemplo Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). A proposição "2 + 2 = 4" é verdadeira, enquanto a proposição "2 + 2 = 5" é falsa. Quando duas proposições são equivalentes, são representadas pelo símbolo "≡" ou "Û", que denota essa relação de equivalência. Por exemplo, se P e Q são proposições compostas, podemos escrever “P ≡ Q” ou “P Û Q” para indicar que P e Q são equivalentes. A equivalência lógica é uma relação simétrica, ou seja, se P Û Q, então Q Û P. Além disso, a relação de equivalência também é reflexiva, o que significa que qualquer proposição é equivalente a si mesma, ou seja, P Û P. Uma maneira de verificar a equivalência lógica entre duas proposições é construir tabelas-verdade para ambas e observar se os valores lógicos das duas são sempre os mesmos em todas as linhas da tabela. A equivalência lógica não depende do conteúdo específico das proposições, mas sim da sua estrutura lógica. Ou seja, a equivalência lógica está relacionada à forma lógica das proposições, não ao seu conteúdo. Compreender o conceito de equivalência lógica é fundamental para a manipulação e simplificação de expressões lógicas. Por meio da identificação de proposições equivalentes, é possível simplificar expressões complexas e obter uma representação mais clara e concisa do raciocínio lógico. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 32/49 Propriedades e teoremas importantes da equivalência lógica Assista ao vídeo e confira as principais propriedades e teoremas que regem a equivalência lógica, fundamentais para a compreensão e manipulação de expressões lógicas. As propriedades e teoremas que regem a equivalência lógica são fundamentais para a compreensão e manipulação de expressões lógicas, permitindo-nos simplificar e transformar proposições de maneira eficiente. Vamos conferir! Propriedade distributiva Essa propriedade nos diz como as operações de conjunção e disjunção interagem entre si, e estabelece que a conjunção distribui sobre a disjunção e vice-versa. Por exemplo, a expressão "(p Ú q) Ù r" é equivalente a "(p Ù r) Ú (q Ù r)". Essa propriedade nos ajuda a reorganizar e simplificar expressões lógicas complexas. Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "(p Ú q) Ù r Û (p Ù r) Ú (q Ù r)" Da mesma forma, a expressão "(p Ù q) Ú r" é equivalente a "(p Ú r) Ù (q Ú r)". Usando mais uma vez apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "(p Ù q) Ú r Û (p Ú r) Ù (q Ú r)" Absorção Afirma que, se uma proposição está sendo conjunta ou disjuntamente combinada com ela mesma, podemos simplificá-la mantendo a equivalência. Por exemplo, a expressão "p Ú (p Ù q)" é equivalente a "p". 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 33/49 Essa propriedade nos permite eliminar termos desnecessários e simplificar a expressão lógica. Como fizemos com a propriedade distributiva, se quisermos utilizar apenas a notação simbólica, podemos escrever que: "p Ú (p Ù q) Û p" Da mesma forma, podemos construir a tabela-verdade da proposição lógica composta P dada pela expressão "(p Ú q) Ù r" e demonstrar que ela é equivalente a "p". Ou seja, usando mais uma vez apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "p Ù (p Ú q) Û p" Essas propriedades, juntamente com outros teoremas, serão exploradas em detalhes aqui para que você manipule expressões lógicas de forma mais eficiente, facilitando a resolução de problemas e a demonstração de equivalências lógicas. Além dessas propriedades, diversos teoremas nos auxiliam na manipulação de expressões lógicas. Identidade O teorema da identidade estabelece que uma conjunção entre uma proposição e uma proposição tautológica T (sempre verdadeira) resulta na própria proposição. Da mesma forma, a disjunção entre uma proposição e uma contradição C (sempre falsa) também resulta na própria proposição. Ou seja, a proposição "p Ù T" é equivalente a "p", bem como a proposição "p Ú C" é equivalente a "p". Esse teorema nos permite simplificar expressões lógicas quando temos uma conjunção com uma tautologia (T), ou uma disjunção com uma contradição (C). Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "(p Ù T) Û p" e "(p Ú C) Û p" Por analogia, podemos dizer que a proposição "(p Ú T)", disjunção entre a proposição p e a tautologia T, resulta em uma tautologia, e é equivalente a "T". Da mesma forma, a proposição "(p Ù C)", conjunção entre a proposição p e a contradição C, resulta em uma contradição, e é equivalente a "C". 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 34/49 Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "(p Ú T) Û T" e "(p Ù C) Û C" Inversão O teorema da inversão nos permite negar uma proposição mantendo a sua equivalência lógica. Por exemplo, se temos a equivalência entre "P" e "Q", então também podemos afirmar a equivalência entre "~P" e "~Q", em que “~” representa a negação. Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que: "(P Û Q)" Þ "(~P Û ~Q)" Ao compreender esses princípios, você terá ferramentas poderosas parasimplificar e manipular expressões lógicas, facilitando a análise e a resolução de problemas. Demonstração de equivalências: tabelas- verdade, regras e leis lógicas Assista ao vídeo e acompanhe uma demonstração de equivalências usando tabelas-verdade, regras e/ou leis lógicas. Aqui falaremos sobre a importância dos métodos para demonstrar equivalências lógicas de forma sistemática e rigorosa. Utilizaremos tabelas-verdade, regras e/ou leis lógicas como ferramentas para justificar a equivalência entre duas proposições. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 35/49 A demonstração de equivalências lógicas é habilidade essencial para a compreensão e manipulação de expressões lógicas. Ao demonstrar a equivalência entre duas proposições, estabelecemos que elas têm o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis. Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições componentes, o resultado será sempre o mesmo. Uma forma comum de demonstrar equivalências lógicas é por meio de tabelas-verdade, que apresentam todas as combinações possíveis de valores lógicos para as proposições envolvidas. Ao comparar as colunas correspondentes às proposições, podemos verificar se elas têm os mesmos valores lógicos em todas as linhas da tabela. Caso isso ocorra, podemos concluir que as proposições são equivalentes. O exemplo a seguir ajuda a visualizar como as colunas correspondentes às proposições são comparadas, bem como é feita a verificação dos valores lógicos em todas as linhas da tabela para concluir a equivalência entre as proposições. Demonstre que a proposição p Ù (~p Ú q) é equivalente à proposição p Ù q: Vamos analisar os valores lógicos de p, ~p, q e das proposições lógicas “~p Ú q”, “p Ù (~p Ú q)” e “p Ù q”. Observe! p q ¬p V V F V F F F V V F F V Aplicação de tabela Verdade Professor Marcelo Roseira Analisando as colunas correspondentes às expressões, podemos observar que elas têm os mesmos valores lógicos em todas as linhas da 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 36/49 tabela. Portanto, podemos concluir que a proposição p Ù (~p Ú q) é equivalente à proposição p Ù q. Essa demonstração utilizando a tabela-verdade permite verificar que as proposições têm a mesma valoração lógica em todas as combinações possíveis. Dessa forma, confirmamos a equivalência lógica entre p Ù (~p Ú q) e p Ù q. Outros recursos utilizados na demonstração de equivalências lógicas Além das tabelas-verdade, também utilizamos leis e/ou regras lógicas para demonstrar equivalências. Propriedades estabelecidas na lógica matemática, elas nos permitem manipular e simplificar expressões lógicas. São fundamentais para dedução de equivalências porque fornecem diretrizes precisas para a transformação de uma expressão em outra equivalente. Aqui você aprenderá a aplicar tanto as tabelas-verdade quanto as leis lógicas na demonstração de equivalências lógicas. Exploraremos exemplos práticos e exercícios para desenvolver sua habilidade de analisar e deduzir as equivalências de forma sistemática. Recomendação Ao compreender as estruturas lógicas e usar métodos adequados, você simplificará expressões lógicas eficientemente e estará preparado para enfrentar desafios mais avançados e aplicar esse conhecimento em várias áreas. Como vimos, a capacidade de reconhecer e provar a equivalência entre proposições é uma habilidade valiosa em campos como ciência da computação, matemática, filosofia, engenharia e outros. Portanto, você vai adquirir ferramentas necessárias para demonstrar equivalências lógicas de forma rigorosa, utilizando tabelas-verdade e/ou leis lógicas. Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 37/49 Para escrever uma proposição em uma linguagem simbólica, são usados os seguintes símbolos cujos significados estão ao lado de cada um deles: ~(não); Ú(ou); Ù(e); ®(implicação); «(dupla implicação). Assim sendo, seja a proposição p: “João é alto” e a proposição q: “João é elegante”, então a proposição “Não é verdade que João é baixo ou que não é elegante”, em linguagem simbólica, é Parabéns! A alternativa C está correta. A proposição "Não é verdade que João é baixo ou que não é elegante" pode ser traduzida para a linguagem simbólica da seguinte forma: ~(~p Ú ~q) p representa "João é alto". q representa "João é elegante". Ú representa a operação lógica "ou". ~ representa a negação. Questão 2 Considere as seguintes proposições simples: p: Pardais adoram frutas. q: Fazendeiros detestam pardais. A proposição composta ~p Ù (p Ú ~q), em linguagem corrente, é: A ~(~p Ú q). B p Ú (~p Ú q). C ~(~p Ú ~q). D ~(p Ú q). E p Ú ~q. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 38/49 Parabéns! A alternativa A está correta. A proposição ~p Ù (p Ú ~q) equivalente à proposição a ~p Ù ~q. A negação de p é "pardais não adoram frutas" e a negação de q é "fazendeiros não detestam pardais". A conjunção dessas duas negações é "pardais não adoram frutas e fazendeiros não detestam pardais". A “Pardais não adoram frutas e que fazendeiros não detestam pardais”. B “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”. C “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”. D “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”. E “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 39/49 4 - Principais regras e relações lógicas Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as implicações lógicas entre proposições, incluindo implicações, equivalências, tautologias e contradições. Regras de Morgan: negação de uma conjunção ou disjunção Confira neste vídeo a negação de uma conjunção ou disjunção por meio das regras de Morgan. A regra de Morgan é extremamente útil para negação de conjunções e disjunções. Por meio dela, podemos observar que a negação de uma conjunção é equivalente à disjunção das negações de seus componentes individuais, e a negação de uma disjunção é equivalente à conjunção das negações de seus componentes individuais. Vamos considerar a proposição "~(p Ù q)", que representa a negação da conjunção entre as proposições p e q. De acordo com a regra de Morgan, podemos reescrever essa proposição como "~p Ú ~q", que é a disjunção das negações de p e q. Da mesma forma, se tivermos a proposição "~(p Ú q)", que representa a negação da disjunção entre as proposições p e q, podemos aplicar a regra de Morgan para reescrevê-la como "~p Ù ~q", que é a conjunção das negações de p e q. Utilizando apenas a linguagem simbólica, podemos escrever que: ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q e ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q A regra de Morgan permite que simplifiquemos expressões lógicas complexas ao trabalharmos com suas negações. Ela nos ajuda a entender como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 40/49 envolvidos, facilitando a análise e a manipulação dessas expressões. Ao compreender e aplicar a regra de Morgan, podemos resolver problemas de lógica de forma mais eficiente e precisa. As regras de Morgan na lógica e as operações básicas dos conjuntos Na teoria dos conjuntos, existem operações fundamentais, como a união e a interseção, que se assemelham às operações lógicas da disjunção e da conjunção, respectivamente. Assim como as regras de Morgan são aplicáveis à negação de proposiçõeslógicas, elas também podem ser relacionadas à negação de conjuntos. Nas operações com conjuntos, a negação de um conjunto é representada pelo seu complementar. O complementar de um conjunto A em relação a um conjunto universo U é o conjunto de elementos que estão em U, mas não estão em A. Se pensarmos na negação de uma união de conjuntos, podemos utilizar a primeira regra de Morgan para reescrevê-la como a interseção dos complementares individuais dos conjuntos. Similarmente, a negação de uma interseção de conjuntos pode ser expressa como a união dos complementos individuais dos conjuntos, aplicando a segunda regra de Morgan. Essa relação entre as regras de Morgan na lógica e as operações de negação de conjuntos destaca mais uma vez a conexão entre esses dois campos, e como conceitos fundamentais em um podem ser aplicados no outro. Re�exão A interseção entre lógica e teoria dos conjuntos é uma das razões pelas quais o estudo desses temas é valioso e complementar, permitindo uma compreensão mais abrangente e a aplicação de conceitos em diversos contextos. Ao aplicar a negação a uma expressão composta, devemos distribuir a negação corretamente entre os componentes individuais de acordo com a regra de Morgan. Dessa forma, podemos obter equivalências lógicas precisas e garantir a correta simplificação das expressões. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 41/49 Negação da condicional: leis e regras para negar uma condicional Assista ao vídeo para compreender as leis e normas aplicadas à negação de condicionais, compreendendo como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos envolvidos. Vamos explorar agora as leis e regras para negar uma estrutura condicional, compreendendo como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos envolvidos. A negação da condicional é aspecto fundamental da lógica, e permite analisar a relação entre as proposições envolvidas em uma implicação. Para compreender a negação da condicional, devemos primeiro revisar sua estrutura. Uma condicional é composta por duas proposições, antecedente e consequente, conectadas por "se...então". Por exemplo, na condicional "Se chove, então a rua fica molhada", a proposição "chove" é o antecedente e "a rua fica molhada" é o consequente. O estudo da condicional é fundamental para compreender como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos envolvidos. Uma forma de abordar a negação da condicional é utilizando a equivalência lógica entre a implicação e a disjunção. A implicação lógica "p implica em q" (p ® q) pode ser reescrita como "a negação de p ou q" (~p Ú q). Portanto, para negar a condicional (p ® q), podemos aplicar a regra de Morgan, que estabelece uma equivalência entre a negação de uma disjunção e a conjunção das negações de seus componentes. Como provar que (p ® q) Û (~p Ú q)? Que tal usarmos uma tabela- verdade? 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 42/49 Vamos usar a tabela-verdade para provar a equivalência entre a condicional (p ® q) e sua forma equivalente (~p Ú q). Esta é a tabela- verdade para a condicional (p ® q). Veja! p q p⟷q V V V V F F F V F F F V Tabela Verdade - Estrutura bicondicional Professor Marcelo Roseira Agora, vamos construir a tabela-verdade para a forma equivalente (~p Ú q). Observe! p q ¬p V V F V F F F V V F F V Aplicação de tabela Verdade Professor Marcelo Roseira As colunas das proposições (p ® q) e (~p Ú q) têm os mesmos valores lógicos em todas as linhas da tabela-verdade. Portanto, podemos concluir que as duas proposições são equivalentes. Assim, com base na tabela-verdade, podemos afirmar que(p ® q)) é equivalente a (~p Ú q). Aplicando a regra de Morgan à condicional(p ® q)), temos que a negação dessa condicional seria equivalente à negação da sua forma equivalente (~p Ú q). Simplificando essa negação, usando Morgan, obtemos "~(~p) Ù ~q", que é equivalente a (p Ù ~q). Assim, concluímos 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 43/49 que a negação da condicional(p ® q)) é (p Ù ~q). Utilizando apenas a linguagem simbólica, podemos escrever que: (p ® q)) Û (p Ù ~q) Essa abordagem nos permite transformar a negação de uma implicação em uma conjunção, facilitando a análise e a simplificação de expressões lógicas. A negação da condicional nos permite explorar diferentes aspectos da lógica e compreender como as proposições se relacionam. A aplicação correta das regras lógicas, como a regra de Morgan, nos auxilia a identificar equivalências e simplificar expressões de forma rigorosa e precisa. A abordagem da negação da condicional (usando a equivalência lógica com a disjunção e a aplicação da regra de Morgan) amplia nosso repertório de ferramentas para lidar com proposições condicionais e fortalece nossa compreensão dos princípios lógicos fundamentais. A compreensão da negação da condicional é essencial para a análise lógica e a construção de argumentos válidos. Ao aplicarmos corretamente as regras de negação, podemos identificar contradições, deduzir conclusões e verificar a validade de argumentos. A negação da condicional nos permite explorar diferentes possibilidades e considerar cenários alternativos. Lei de dupla negação e lei da contrapositiva Assista ao vídeo e aprenda sobre a lei de dupla negação e a lei da contrapositiva. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 44/49 Lei de dupla negação Estabelece que a negação de uma negação de uma proposição resulta na proposição original. Simbolicamente, ~(~p) é equivalente a p. Essa lei nos permite eliminar duplas negações e simplificar expressões lógicas. Exemplo Pensemos a partir da proposição "Não é verdade que chove", a negação dessa proposição seria "Não é verdade que não chove". Pela lei de dupla negação, podemos simplificar essa expressão para "Chove". Negar a negação da proposição remete à proposição original. Essa lei permite eliminar as negações desnecessárias e expressar de forma mais clara e simples as proposições lógicas. Lei da contrapositiva Estabelece relação de equivalência entre uma condicional e sua contrapositiva. Seja a estrutura condicional "Se p, então q" (p ® q), sua contrapositiva é definida como "Se não q, então não p" (~q ® ~p). Essas duas estruturas condicionais são logicamente equivalentes, têm o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis. Vamos utilizar uma tabela-verdade para demonstrar a equivalência entre uma condicional e sua contrapositiva. (p ® q) Û (~q ® ~p) p q p→q V V V V F F F V V F F V Aplicação de tabela Verdade Professor Marcelo Roseira Analisando a tabela-verdade, podemos observar que, em todas as linhas, as colunas correspondentes à condicional "Se p, então q" (p ® q) e à sua 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 45/49 contrapositiva "Se não q, então não p" (~q ® ~p) têm os mesmos valores lógicos. Ou seja, a condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes. Portanto, por meio dessa tabela-verdade, provamos que a lei da contrapositiva é válida e que as duas condicionais são equivalentes. Essa lei nos permite reescrever uma condicional de forma equivalente, o que pode ser útil em várias situações. Exemplo Suponha a condicional (p ® q): "Se chove, então a rua fica molhada". Sua contrapositiva seria (~q ® ~p): "Se a rua não fica molhada, então não chove". Essas duas condicionais são logicamente equivalentes, ou seja, têm o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis. A lei da contrapositiva nos oferece uma maneira alternativa de expressar uma condicional,possibilitando a análise lógica de diferentes perspectivas e facilitando a compreensão e a manipulação de proposições. Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Considere a sentença: “Se é feriado, os bancos estão fechados”. A contrapositiva dessa sentença é: A “Se os bancos não estão fechados, não é feriado”. B “Se os bancos estão fechados, não é feriado”. C “Se não é feriado, os bancos estão fechados”. D “Se os bancos estão fechados, é feriado”. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 46/49 Parabéns! A alternativa A está correta. A contrapositiva da sentença "Se é feriado, os bancos estão fechados" é "Se os bancos não estão fechados, não é feriado". Questão 2 Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos baixarem, então haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que Parabéns! A alternativa C está correta. A sentença "Não é verdade que, se os impostos baixarem, então haverá mais oferta de emprego" é a negação da estrutura condicional (p ® q): se os impostos baixarem, então haverá mais oferta de emprego. Como sabemos que a negação da condicional se obtém por meio da equivalência lógica ~(p ® q) Û (p Ù ~q), E “Se é feriado, os bancos estão fechados”. A haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem. B se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego. C os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego. D os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego. E se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 47/49 concluímos que (p Ù ~q): os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego. Considerações �nais Aqui vimos diversos conceitos fundamentais e ferramentas analíticas essenciais para a compreensão e aplicação da lógica formal. Desenvolvemos habilidades de raciocínio lógico e capacidade de análise crítica por meio do estudo das proposições, conectivos lógicos e equivalências lógicas. Iniciamos com uma introdução às proposições, unidades básicas da lógica, e aprendemos a identificar suas características e representá-las de forma simbólica. Em seguida, exploramos os principais conectivos lógicos. Em relação às equivalências lógicas, estudamos importantes teoremas, como o teorema da identidade, que nos permite simplificar expressões lógicas quando temos uma conjunção ou disjunção com uma proposição tautológica (sempre verdadeira) ou uma contradição (sempre falsa). Além disso, abordamos a lei de dupla negação, que estabelece que a negação de uma negação resulta na proposição original. Exploramos também as regras de Morgan, que auxiliam na negação de expressões lógicas complexas, fornecendo equivalências entre a negação de uma expressão composta e a negação de seus componentes individuais. Discutimos a negação da condicional e a lei da contrapositiva. Por meio de exemplos e análise da tabela-verdade, demonstramos a equivalência entre uma condicional e sua contrapositiva. Vimos que a lógica é uma ferramenta poderosa para a argumentação, a tomada de decisões e a resolução de problemas. Com as habilidades adquiridas aqui, você está apto a aplicar conceitos e princípios da lógica em diversas áreas da vida cotidiana, pois os estudos na área da lógica está presente em diversos campos do conhecimento e pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento crítico e da clareza na comunicação. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 48/49 Explore + Confira no artigo Lógica: uma ferramenta indispensável na programação de computadores, da DevMedia, os conceitos fundamentais de lógica de programação, como estruturas de controle, tipos de dados e algoritmos, bem como exemplos práticos para ilustrar a aplicação desses conceitos. Referências AGLER, D. W. Symbolic Logic. Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2012. BERGMANN, M.; MOOR, J.; NELSON, J. The Logic Book. New York: McGraw-Hill Education, 2019. COPI, I. M.; COHEN, C.; MCMAHON, K. D. Introduction to logic. London: Routledge, 2016. HURLEY, P. J.; WATSON, L. A concise introduction to logic. Boston, MA: Cengage Learning, 2018. LOPES, A.; GARCIA, G. Introdução à programação: 500 algoritmos resolvidos. Rio de Janeiro: Campus, 2002. NUNES, J. Lógica Para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: Elsevier Brasil, 2008. PRIEST, G. Logic: a very short introduction. Oxford, UK: Oxford University Press, 2001. ZEGARELLI, M. Logic For Dummies. New York: John Wiley and Sons Ltd, 2011. 05/03/24, 17:45 Introdução à linguagem lógica https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/07791/index.html?high-contrast=true# 49/49 Material para download Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF. Download material O que você achou do conteúdo? Relatar problema javascript:CriaPDF()
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