Circuito eletricos - 2021 (1)

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Professora Analéia Gomes
Circuitos Elétricos
Professora Analéia Gomes
Circuitos Elétricos
U1 - Leis e teoremas de circuitos 
elétricos
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.1 Leis de circuitos
Definições:
• Circuito elétrico: é conceituado como o conjunto de n fontes
e cargas (dispositivos elétricos) interconectados (THOMAS;
ROSA; TOUSSAINT, 2011; SADIKU; ALEXANDER; MUSA, 2014).
• Ramo: é denominado como a representação de um único
elemento, podendo ser uma fonte de tensão ou um resistor,
por exemplo (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.1 Leis de circuitos
Definições:
• Nó: é designado como um ponto ou uma junção elétrica
entre dois ou mais elementos de um ramo (THOMAS; ROSA;
TOUSSAINT, 2011; ALEXANDER; SADIKU, 2013).
• Laço ou loop: é definido como qualquer caminho fechado
em um circuito elétrico (THOMAS; ROSA; TOUSSAINT, 2011;
ALEXANDER; SADIKU, 2013).
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.1 Leis de circuitos
I – Lei de Ohm
Em 1826, o físico alemão George Simon Ohm estabeleceu a
relação entre tensão, corrente e resistência em um circuito,
denominada de Lei de Ohm (SADIKU; ALEXANDER; MUSA,
2014).
A partir das informações obtidas por meio dessa lei foi possível
definir que a tensão (V) sobre um resistor (R) é diretamente
proporcional à corrente (I) percorrida nesse mesmo elemento,
podendo ser representada por:
� ∝ �
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I – Lei de Ohm
Ademais, Ohm definiu a constante de proporcionalidade para um
resistor como: � � � · �
Em que:
V: tensão medida em volts (V);
I: corrente medida em ampères (A);
R: resistência medida em ohms (Ω).
Podendo, ainda, ser deduzida a equação em:
� � �� � � � 
�
�
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I – Lei de Ohm
É possível, ainda, definir a potência dissipada por um
resistor, em termos das seguintes equações:
	 � � · �
	 � �².R
P � �²
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I – Lei de Ohm
É importante destacar que, para
considerar os conceitos
analisados anteriormente, é
necessário verificar o sentido
da corrente (I) e a polaridade da
tensão (V), devendo elas
estarem de acordo com o sinal
passivo (convenção), conforme
ilustrado na Figura 1.3 (SADIKU;
ALEXANDER; MUSA, 2014).
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I – Lei de Ohm
Podemos verificar que, se a
corrente fluir do maior para o
menor potencial, será obtido:
� � � · �
Em contrapartida, se a corrente
fluir do menor potencial para o
maior, será adquirido:
� � �� · �
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I – Lei de Ohm
Outra análise importante a se realizar, tratando de circuitos
resistivos, é a averiguação dos valores extremos que um
resistor pode possuir. Como esse elemento pode apresentar
valores entre zero (0) e infinito (∞), serão verificados dois
casos em questão, sendo:
(1) valor do resistor igual a zero (R = 0) = curto-circuito
E
(2) valor do resistor igual a infinito (R = ∞ ) = circuito aberto.
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I – Lei de Ohm
A tensão e a resistência para o
caso (1) possuem valor zero,
porém a corrente pode possuir
qualquer valor.
Dessa forma, temos que:
� � � · � = 0
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I – Lei de Ohm
A corrente possui valor igual a
zero (0), porém a tensão pode
possuir qualquer valor.
Dessa forma, temos que:
I = lim
→� �
 � 0
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I - Lei de Ohm
É importante enfatizarmos a diferença entre curto-circuito e
circuito aberto.
É conceituado como curto-circuito um elemento do circuito
com resistência próxima a zero (consequentemente, tensão
próxima a zero).
Já o circuito aberto é conceituado dessa forma quando
possui um elemento do circuito com resistência próxima a
infinito (consequentemente, corrente próxima a zero).
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Seção 1.1 Leis de circuitos
II – Leis de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff, elaboradas pelo físico alemão Gustav
Robert Kirchhoff, podem ser divididas em duas, sendo:
• Lei de Kirchhoff das correntes, conhecida como LKC, ou
lei dos nós;
E
• Lei de Kirchhoff das tensões, nomeada também de LKT,
ou lei das malhas.
Essas leis complementam a Lei de Ohm, sendo, dessa forma,
ferramentas de análise essenciais para o estudo de circuitos
elétricos.
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II – Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das correntes
A Lei de Kirchhoff das correntes baseia-se na lei de
conservação de carga, a qual define que a soma algébrica
das cargas dentro de um sistema não muda (SADIKU;
ALEXANDER; MUSA, 2014). Portanto, a LKC estabelece que a
soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual
a zero (SADIKU; ALEXANDER; MUSA, 2014). Temos, então:
� � �� � �� � �� � �� � … � �� � 0
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II – Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das correntes
É possível representar o conceito da LKC
Neste caso:
�� � �� � ��
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II – Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das tensões
A Lei de Kirchhoff das tensões baseia-se no princípio da
conservação de energia em um sistema elétrico. Partindo
desse pressuposto, esse princípio indica que a soma
algébrica das diferenças de potencial ao longo de um
circuito deve ser igual a zero (SADIKU; ALEXANDER; MUSA,
2014).
Logo, a LKT estabelece que a soma algébrica de todas as
tensões ao longo de um loop (laço ou caminho fechado)
deve ser igual a zero.� � �� � �� � �� � �� � … � �� � 0
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II – Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das tensões
� �� � 0
�
� �
Em que:
N: número de tensões em um caminho fechado;
Vi: i-ésima tensão.
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II – Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das tensões
É possível representar o conceito da LKT
Neste caso:
��� � �� � �� � 0
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
Compreendendo as leis básicas apresentadas, é possível
analisar tanto circuitos elétricos com fontes independentes
(circuitos analisados até o momento) quanto circuitos
elétricos com fontes dependentes.
É importante destacar que o valor da fonte dependente (de
tensão ou corrente) será proporcional à tensão ou corrente
do circuito em estudo (SADIKU; ALEXANDER; MUSA, 2014).
Em relação à análise dessas fontes dependentes, podemos
dispor de quatro tipos:
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Seção 1.1 Leis de circuitos
III – Análise de circuitos com fontes dependentes
• Fonte de tensão controlada por tensão:
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
• Fonte de corrente controlada por tensão:
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
• Fonte de tensão controlada por corrente:
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
• Fonte de corrente controlada por corrente:
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
Exemplo: Qual é o valor da fonte dependente de tensão
4Vx?
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
Exemplo: Qual é o valor da fonte dependente de tensão
4Vx?
Pela LKT:
�20 � 5 · �� � 4 · �$ � 0Sendo que:
5 · �� � �$
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III – Análise de circuitos com fontes dependentes
Exemplo: Qual é o valor da fonte dependente de tensão
4Vx?
Dessa forma, temos que:
�20 � �$ � 4 · �$ � 05 · �$ � 20�$ � 4�
Sendo que:
4 · �$ � 16�
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Superposição:
O Teorema de Superposição é uma consequência do princípio
da linearidade. A partir dele, em um circuito linear contendo
duas ou mais fontes independentes, conseguimos calcular, em
qualquer ponto do circuito, a corrente ou a tensão, bastando,
para isso, realizar uma soma algébrica das contribuições
individuais de cada fonte atuando sozinha.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Superposição:
Considerar os efeitos de cada fonte de forma independente
exige que as demais fontes sejam removidas e substituídas
sem afetar o resultado final. Para removermos uma fonte de
tensão ao aplicar esse teorema, a diferença de potencial
entre os terminais dessa fonte deve ser ajustada em zero
(curto-circuito). Já para removermos uma fonte de corrente, a
exigência é que seus terminais sejam abertos (circuito
aberto), como ilustrado na Figura 1.13.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema da Superposição:
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema da Superposição:
Resumindo: no Teorema de Superposição, para encontrar o
efeito de uma determinada fonte no circuito, as demais fontes
precisam ser substituídas da seguinte maneira:
a) Se for uma fonte de tensão: substituir por um curto-circuito.
b) Se for uma fonte de corrente: substituir por um circuito
aberto.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema da Superposição:
Para ilustrar melhor o Teorema de Superposição, considere o
mesmo circuito da Figura 1.13, com v = 12 V, R1=16 Ω , R2=8Ω
e i = 6A. Encontre o valor de VR2 no circuito usando o teorema
da Superposição.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema da Thèvenin:
O Teorema de Thévenin afirma que é possível simplificar
qualquer circuito linear, independente de quão complexo,
em um circuito equivalente com apenas uma única fonte de
tensão em série com uma resistência, conectados em série a
uma resistência denominada resistência de carga,
geralmente variável.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Thèvenin
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Thèvenin
Usando o Teorema de Thévenin, o circuito pode, então, ser
representado simplesmente como mostrado na Figura 1.17:
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Thèvenin
O Teorema de Thévenin facilita toda a análise devido à
simplificação do circuito, porém, para transformar um
circuito complexo em seu equivalente Thévenin, precisamos
seguir estes passos:
1. Substituímos a resistência de carga por um circuito
aberto.
2. Calculamos a tensão entre os terminais desse circuito
aberto. Essa será a tensão equivalente Thévenin (VTh).
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Thèvenin
O Teorema de Thévenin facilita toda a análise devido à
simplificação do circuito, porém, para transformar um
circuito complexo em seu equivalente Thévenin, precisamos
seguir estes passos:
3. Ainda sem o resistor de carga, substituímos todas as
fontes de corrente por um circuito aberto e todas as
fontes de tensão por um curto-circuito (similar ao que
vimos no Teorema de Superposição). Calculamos, então,
a resistência equivalente desse circuito, que será a
resistência de Thévenin (RT h ).
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Thèvenin
Considere o circuito da Figura 1.16, porém agora assuma
VFonte =15V, R 1 = 2 kΩ , R 2 = 1 kΩ , R 3 = 1 kΩ e R 4 = 1 kΩ .
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
O Teorema de Norton afirma que qualquer circuito linear
contendo várias fontes e resistências pode ser substituído
por uma única fonte de corrente constante em paralelo
com um único resistor e ambos em paralelo com uma
resistência de carga. Ao considerarmos o mesmo circuito
da Figura 1.13, mas agora aplicando o Teorema de Norton,
obtemos o circuito da Figura 1.20:
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
Assim como no Teorema de Thévenin, precisamos seguir
algumas etapas para encontrar o circuito equivalente, sendo
elas:
1. Para encontrarmos a corrente da fonte de Norton
(INorton), substituímos o resistor de carga do circuito
original por um curto-circuito (atente-se: esse passo é
exatamente o oposto do que ocorre no Teorema de
Thévenin, no qual substituímos o resistor de carga por
um circuito aberto). Depois, calculamos a corrente que
atravessa esse curto-circuito, a qual é a de Norton.
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
Assim como no Teorema de Thévenin, precisamos seguir
algumas etapas para encontrar o circuito equivalente, sendo
elas:
2. Para calcular a resistência de Norton (RNorton), realizamos
o mesmo procedimento usado para calcular a resistência de
Thévenin, isto é, substituímos todas as fontes de tensão por
um curto-circuito e fontes de corrente por um circuito
aberto. Depois, calculamos a resistência equivalente entre
os terminais de conexão em aberto, ou seja, entre “A” e “B”
(terminais em que a resistência de carga está originalmente
conectada).
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
Uma vez que os teoremas de Thévenin e Norton são dois
métodos igualmente válidos para reduzir um circuito
complexo para algo mais simples de ser analisado, deve
haver alguma maneira de converter um circuito equivalente
Thévenin para um circuito equivalente Norton, e vice-versa.
De fato, existe e o procedimento é simples.
O processo para calcular Rnorton é o mesmo para calcular
RThèvenin
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
Considerando o fato de que ambos os circuitos equivalentes
de Thévenin e Norton se destinam a fornecer a mesma
tensão e corrente ao mesmo resistor de carga e que esses
dois circuitos equivalentes foram derivados do mesmo
circuito, então devem se comportar de forma idêntica.
Assim, podemos dizer que a tensão de Thévenin é igual à
corrente de Norton multiplicada pela resistência de Norton,
obedecendo à Lei de Ohm:
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Seção 1.2 - Teorema de circuitos elétricos
Teorema de Norton
Por outro lado, se quisermos calcular a corrente de Norton
através da tensão e resistência de Thévenin, também é
possível:
Analisando essas duas equações, concluímos, então, que
RTh= RNorton
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
O Teorema de Máxima Transferência de Potência é outro
método extremamente útil de análise de circuitos, definindo
a condição sob a qual a potência máxima é transferida da
fonte para a carga. A rigor, o teorema afirma que “A potência
máxima será transferida da fonte para a carga quando a
resistência de carga for igual à resistência interna da fonte”
(ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 133.).
U1 - Leise teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Impedância:
Representa uma oposição que um componente, circuito ou
sistema eletrônico oferece à corrente elétrica alternada e/ou
contínua. É uma quantidade vetorial (bidimensional),
consistindo em dois fenômenos escalares independentes
(unidimensionais): resistência e reatância (capacitiva ou
indutiva, como veremos em futuras unidades).
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Consideremos o sistema elétrico com carga mostrado na Figura
1.26. Vamos, agora, determinar o valor da resistência de carga
de modo a fornecer a potência máxima à carga.
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Basicamente, para encontrar essa condição, podemos utilizar
técnicas de malha ou corrente nodal, obter uma expressão
para a potência absorvida pela carga e, em seguida, utilizar o
cálculo diferencial para encontrar a expressão de máxima
potência, ou seja, derivar a equação em relação à resistência
de carga e igualar a zero.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
No caso de um sistema complexo, podemos encontrar a
máxima transferência de potência com o uso do circuito
equivalente de Thévenin. Agora, substituiremos a parte do
sistema elétrico que consideramos complexa pelo circuito
equivalente de Thévenin, como mostrado na Figura 1.27.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Qual é a corrente que flui na carga?
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Qual é a corrente que flui na carga?
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Qual é a potência exigida pela carga?
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Qual é a potência exigida pela carga?
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Substitua a equação da corrente I na equação da potência
exigida pela carga:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Substitua a equação da corrente I na equação da potência
exigida pela carga:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
É importante notar na equação que Rcarga é a única variável,
portanto, a condição para a máxima potência entregue à
carga é determinada pela diferenciação da potência de
carga em relação à resistência de carga com o resultado
igualado a zero.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Esta é a condição para a máxima transferência de potência,
ou seja, indica que a potência fornecida à carga será máxima
quando a resistência de carga Rcarga coincidir com a
resistência de Thévenin RTh do sistema.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Sob essa condição, a máxima transferência de potência para
a carga é dada por:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Para calcular a máxima transferência de potência:
1. Remova a resistência de carga do circuito.
2. Encontre a tensão de Thévenin VTh do circuito de origem.
3. Encontre a resistência de Thévenin RTH do circuito de
origem.
4. De acordo com o teorema, o valor RTh deverá ser igual à
resistência de carga do circuito, ou seja, RTh = Rcarga .
5. A Máxima Transferência de Potência é dada por:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Devemos lembrar que esse teorema resulta em
transferência de potência máxima, mas não
necessariamente em uma eficiência máxima. Se a
resistência de carga for menor que a resistência da fonte, a
potência entregue à carga é reduzida, enquanto a maior
parcela é dissipada na fonte, fazendo com que a eficiência
seja baixa.
Vamos calcular a eficiência sob a condição de máxima
transferência de potência. Considere a potência de entrada,
ou potência da fonte como sendo:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Sabendo que eficiência é a relação entre a potência de saída
(carga) pela potência de entrada, temos que:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Sabendo que eficiência é a relação entre a potência de saída
(carga) pela potência de entrada, temos que:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Devido à eficiência de 50%, a máxima transferência de
potência nem sempre é desejável.
No sistema de transmissão de energia, por exemplo, a maior
ênfase é dada para manter as quedas de tensão e as perdas
da linha a um valor mínimo, e, portanto, o funcionamento
do sistema de transmissão de energia, operando com
capacidade de transmissão de potência em massa, torna-se
não econômico se ele operar com apenas 50% de eficiência.
Assim, no sistema de transmissão de energia elétrica, o
critério de máxima transferência de potência raramente é
usado.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Exemplo: Calcule a máxima transferência de potência no 
circuito a seguir:
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema de Substituição
A tensão em qualquer ramo ou a corrente através desse
ramo de um circuito, sendo conhecida, o ramo pode ser
substituído pela combinação de vários elementos que
resultarão na mesma tensão e corrente através desse ramo.
Em outras palavras, o Teorema de Substituição diz que, para
equivalência de ramificação, a tensão e corrente do terminal
devem ser iguais.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema de Substituição
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Teorema de Substituição
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema de Substituição
Vamos, agora, utilizar o Teorema da Substituição e substituir
o ramo AB por um equivalente, ou seja, a substituição deve
manter os valores da tensão e corrente entre AB iguais ao
que havia no ramo inicialmente, 15V e 3A, respectivamente.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema de Substituição
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Substituição
De maneira simples, podemos utilizar algumas etapas para
resolver um circuito usando o Teorema da Substituição,
sendo elas:
1. Obtenha a tensão e a corrente do ramo que se deseja
substituir.
2. O ramo pode ser substituído por uma fonte de tensão
independente.
3. Da mesma forma, o ramo pode ser substituído por uma
fonte de corrente independente.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Reciprocidade
Um circuito com apenas uma fonte de tensão, se essa
fonte estiver em um determinado ramo A e provocar uma
corrente no ramo B, ao mover a fonte do ramo A para o
ramo B, uma mesma corrente, que antes estava no ramo B,
será provocada no ramo A, como mostrado na Figura 1.32.
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Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Reciprocidade
I( � )*+,- � �.)��,�012� � 0,4118A
� � �� · 3030 � 5 � 
0,4118 · 30
30 · 5 � 0,3536
�78 � 20 � 5 · 3030 � 5 � 24,2857�
→
IT = 0,4118A
I = 0,353A
U1- Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Reciprocidade
I( � )*+,- � �.)�2� � 0,5882A
� � �� · 3030 � 20 � 
0,5882 · 30
30 � 20 � 0,3536
�78 � 5 � 20 · 3030 � 20 � 17�
→
IT = 0,4118A
I = 0,353A
I = 0,353A
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Reciprocidade
Passo 1 - Em primeiro lugar, selecione os ramos entre os
quais a reciprocidade deve ser estabelecida.
Passo 2 - A corrente no ramo é obtida usando qualquer
método convencional de análise de rede.
Passo 3 - A fonte de tensão é trocada entre o ramo
selecionado.
Passo 4 - A corrente no ramo onde a fonte de tensão
estava existindo anteriormente é calculada.
Passo 5 - Agora, é visto que a corrente obtida na ligação
anterior, isto é, no passo 2 e a corrente que é calculada
quando a fonte é permutada, isto é, no passo 4, são
idênticas uma à outra.
U1 - Leis e teoremas de circuitos elétricos
Seção 1.3 - Teorema de Máxima Transferência de Potência
Teorema da Reciprocidade
A limitação desse teorema é que ele é aplicável somente
em circuitos de fonte única, e não em circuitos com
múltiplas fontes.
Além disso, o Teorema de Reciprocidade somente pode ser
aplicado se o circuito for linear, apresentando apenas
resistências, indutores, capacitores e circuitos acoplados.
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Circuitos Elétricos
U2 - Métodos de análise de circuitos
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Segundo Sadiku e Alexander (2013), a análise nodal, ou
método do nó-tensão, fornece um procedimento genérico
para análise de circuitos elétricos usando tensões nodais
como variáveis de circuitos. A vantagem de escolher as
tensões nodais em vez de tensões de elementos como as
variáveis do sistema dar-se pela redução do número de
equações que se deve resolver simultaneamente.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Conceitualmente, um nó é um ponto no qual dois ou mais
elementos de circuitos se juntam, ou em outras palavras, os
nós de um circuito são os lugares nos quais os elementos são
ligados entre si. É habitual, nas representações dos circuitos
elétricos, simbolizar os elementos na horizontal ou vertical e
ligá-los por retas que representam os fios; já os nós são
representados como pontos, como mostra a Figura 2.1, em
que os nós do circuito são determinados pelos pontos a, b e c.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Para análise nodal de um circuito elétrico, devemos determinar
qual será nosso nó de referência. Essa escolha é arbitrária, ou
seja, qualquer nó do circuito pode ser escolhido como nó de
referência. Normalmente, este é escolhido na parte inferior da
representação do circuito. Na Figura 2.1, o nó c foi escolhido
como nó de referência, mas quaisquer dos outros dois pontos
também poderiam ter sido escolhidos como nó de referência.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
O nó de referência é comumente chamado de terra (GND) e
possui um potencial nulo. Esse tipo de nó é representado pelos
símbolos ilustrados na Figura 2.2.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
A tensão em qualquer nó do circuito em relação ao nó de
referência é chamada de tensão de nó. Logo, assim que
escolhemos um nó de referência, atribuímos designações de
tensão aos nós que não são de referência, ou seja,
denominamos as tensões de nó.
As tensões nos nós da Figura 2.1 podem ser representadas
como vac e vbc , porém, frequentemente, ignoramos o índice c e
chamamos as tensões de va e vb . Note que a tensão de nó no
nó terra é vcc = vc = 0V .
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Tensão de nó, ou tensão nodal, é um termo especial para uma
tensão medida a partir de um ponto em relação ao terra (ou
GND).
Para análise completa de um circuito com n nós, são
necessárias n-1 equações.
Uma forma de se obter essas equações é aplicar a Lei de
Kirchhorf das Correntes (LKC) a todos os nós, exceto ao nó de
referência.
Após aplicação dessa lei, devemos utilizar a Lei de Ohm para
expressar as correntes desconhecidas em termos das tensões
nodais.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Em um resistor, a corrente convencional flui de um potencial
maior para um potencial menor, logo a corrente que passa por
esse elemento pode ser dada pela expressão:
� � �:;�<= � �:7�<=�
Dessa forma, as variáveis desconhecidas das equações de nó
são as tensões de nó do circuito. Para obtermos os valores
dessas variáveis, podemos utilizar quaisquer das técnicas de
solução de sistemas lineares, como a regra de Cramer,
substituição, subtração, entre outras.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Para determinação das tensões nodais, devemos realizar as
seguintes etapas:
1. Selecionar um nó como referência.
2. Atribua tensões ( v1, v2,...,vn-1) aos n-1 nós restantes.
3. Aplique a LKC a cada um dos nós que não são de referência.
Use a Lei de Ohm para expressar as correntes nos ramos em
termos das tensões nodais.
4. Resolva o sistema linear.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Calcule as tensões nodais no circuito da Figura a
seguir:
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Para realizarmos método do nó-tensão, devemos, inicialmente,
escolher o nó de referência do circuito e, então, atribuir
tensões aos nós que não são de referência, como os nós v1 e v2
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Para realizarmos método do nó-tensão, devemos, inicialmente,
escolher o nó de referência do circuito e, então, atribuir
tensões aos nós que não são de referência, como os nós v1 e
v2, em seguida eleger os sentidos
das correntes.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Dessa forma, no nó v1 , aplicando a LKC e a Lei de Ohm,
obtemos:
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
No nó v2 , fazemos da mesma forma e obtemos:
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
0 � 4?� � 80
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Usaremos as duas equações e calcularemos os valores de v1 e
v2, através de sistema linear.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
0 � 4?� � 80
?� � 0.�?� � 20
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Exemplo: Circuito para análise nodal.
Substituindo v2 em qualqueruma das equações,
encontraremos v1.
> 3?� � ?� � 20�3?� � 5?� � 60
0 � 4?� � 80
?� � 0.�?� � 20�
3?� � ?� � 20
3?� � 20 � 203?� � 20 � 20
?� � 403 ?� � 13.333�
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Inicialmente, vamos considerar um circuito com uma fonte de
tensão conectada entre o nó de referência e outro nó que não
seja o de referência, como o nó v1 .
Podemos concluir que a tensão no nó que não é de referência
é igual à fonte de tensão, neste caso, v1 =10 V.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Agora, vamos considerar que a fonte de tensão (dependente
ou independente) está conectada entre dois nós que não são
de referência, como a fonte conectada aos nós v2 e v3. Neste
caso, teremos a formação de um nó genérico ou super nó, e
devermos aplicar tanto a LKC como a Lei de Kirchhoff das
Tensões (LKT) para determinar as tensões nodais.
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Logo, ao aplicarmos a LKC ao super nó, obtemos a primeira
equação:
@� � @� � @�
?� � ?�2 � 
?�6 �
?�4
6A?� � ?�B12 � 
2?�12 �
3?�12
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Logo, ao aplicarmos a LKC ao super nó, obtemos a primeira
equação:
@� � @� � @�
6A10 � ?�B12 � 
2?�12 �
3?�1260 � 6?� � 2?� � 3?�
 60 � 2?� � 6?� � 3?�60 � 8?� � 3?�
V1 = 10V
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Para obtermos a segunda equação do sistema linear, devemos
aplicar a LKT ao super nó. Para isso, devemos redesenhar o
circuito como mostra a Figura 2.6.
�?� � 5 � ?� � 0
�?� � ?� � �5
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Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Resolvendo o sistema linear, determinaremos os valores das
tensões v2 e v3.
60 � 8?� � 3?�
�?� � ?� � �5
>8?� � 3?� � 60?� � ?� � 5
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Resolvendo o sistema linear, determinaremos os valores das
tensões v2 e v3.
60 � 8?� � 3?�
�?� � ?� � �5
11?� � 0 � 75
>8?� � 3?� � 603?� � 3?� � 15
?� � 7511 � 6,82�
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.1 - Análise Nodal
Determine as tensões no circuito da Figura 2.5
Resolvendo o sistema linear, determinaremos os valores das
tensões v2 e v3.
60 � 8?� � 3?�
�?� � ?� � �5
11?� � 0 � 75
>8?� � 3?� � 603?� � 3?� � 15
?� � 7511 � 6,82�
�?� � ?� � �5
�6,82 � ?� � �5 ?� � 1,82V
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Seção 2.2 - Análise de Malhas
A análise de malhas, ou análise de laço, ou método malha
corrente, fornece um procedimento genérico para a análise
de circuitos elétricos usando correntes de malha como
variáveis de circuitos. A vantagem de escolher as correntes de
malha para analisar um circuito é devido à redução do
número de equações que se deve resolver matematicamente.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Conceitualmente, um laço é um caminho fechado, que não
passa mais de uma vez pelo mesmo nó. Já uma malha é um
laço que não contém qualquer outro laço dentro de si.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Para análise de malhas de um circuito elétrico planar, devemos
determinar as correntes de malha por meio da aplicação da Lei
de Kirchhoff das Tensões (LKT).
Definimos corrente de malha como a corrente que circula nos
componentes que pertencem à malha, como as correntes i1 e
i2, pertencentes, respectivamente, às malhas 1 e 2.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Para determinarmos os valores das correntes de cada malha,
inicialmente, devemos atribuir correntes a todas as malhas do
circuito sob análise. Embora uma corrente de malha possa ser
atribuída com um sentido arbitrário, utilizaremos a conversão
que as correntes de malham circulam no sentido horário.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Em seguida, aplicamos a LKT para encontrarmos a equação de
cada malha do circuito. Para aplicarmos esta lei, é fundamental
utilizarmos a Lei de Ohm para expressarmos as tensões dos
elementos passivos em termos das correntes de malha.
Para obtermos a soma algébrica das tensões ao longo de uma
malha, percorremos esta malha no sentido horário, quando
encontramos o sinal positivo (+) antes do sinal negativo para
uma fonte de tensão, somamos a tensão; contudo, quando
encontramos o sinal negativo (-) antes do positivo para as
fontes de tensão, subtraímos a tensão.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Já para os elementos passivos, como os resistores, os valores
de tensão serão sempre positivos, e a corrente desse elemento
será sempre a corrente da malha que estamos percorrendo
menos a corrente da outra malha, que passe pelo mesmo
elemento passivo, caso exista. Dessa forma, aplicando a LKT à
malha 1 (M1), cuja corrente de malha é i1, obtemos:
Ou:
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Seção 2.2 - Análise de Malhas
Para malha 2 (M2), cuja corrente de malha é i2, ao aplicarmos
a LKT, obtemos:
Ou:
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Para determinação das correntes de malha, devemos realizar
as seguintes etapas:
1. Atribua correntes de malha (i1, i2 ,..., in) às n malhas do
circuito.
2. Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a Lei de Ohm
para expressar as tensões em termos das correntes de
malhas.
3. Resolva o sistema linear para obter as correntes de malha.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Malha 1:
20-5i1-10(i1-i2)-10=0
10-15i1+10i2=0
-15i1+10i2=-10
15i1-10i2=10
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Malha 2:
10-10(-i1+i2)-1i2-4i2+5=0
15+10i1-10i2-1i2-4i2=0
10i1-15i2=-15
-10i1 +15i2=15
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Resolvendo o sistema linear:
Multiplicaremos a 1ª equação por 6
E a 2ª equação, multiplicaremos por 4.
> 15@1 � 10@� � 10�10@� � 15@� � 15
>15@1 � 10@� � 10 CA6B�10@� � 15@� � 15 CA4B
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Resolvendo o sistema linear:
Substituindo o valor encontrado em qualquer uma das
equações, teremos:
> 90@1 � 60@� � 60�40@� � 60@� � 60
50@1 � 0 � 120
@� � 120/50 = 2,4A
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Substituindo o valor encontrado em qualquer uma das
equações, teremos:
> 90@1 � 60@� � 60�40@� � 60@� � 60
90@1 � 60@2 � 60
90x2,4 – 60i2 = 60
216 – 60i2 = 60
-60i2 = 60-216
-60i2 = -156
I2 = 156/60 = 2,6A
U2 - Métodos de análise de circuitoselétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Exemplo: Para o circuito da Figura a seguir, determine as
correntes de cada elemento resistivo.
Resolvendo o sistema linear:
> 15@1 � 10@� � 10�10@� � 15@� � 15
I1 = 2,4A
I2 = 2,6A
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine o valor de R, através de LKT, sabendo que i1=1A,
i2=5A e i3= 0,5A.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine o valor de R, através de LKT, sabendo que i1=1A,
i2=5A e i3= 0,5A.
Aplique a LKT na malha 3.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine o valor de R, através de LKT, sabendo que i1=1A,
i2=5A e i3= 0,5A.
Resolvendo a equação:
Teremos o valor de R.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
1 - Atribua correntes de malha (i1, i2 ,..., in) às n malhas do
circuito.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
2 - Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a Lei de Ohm
para expressar as tensões em termos das correntes de malhas.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
2 - Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a Lei de Ohm
para expressar as tensões em termos das correntes de malhas.
Malha 1:
Malha 2:
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
2 - Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a Lei de Ohm
para expressar as tensões em termos das correntes de malhas.
Malha 1:
Malha 2:
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
3 - Resolva o sistema linear para obter as correntes de malha
> 24@1 � 12@� � 45�12@� � 18@� � �15
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.2 - Análise de Malhas
Determine as correntes no circuito a seguir.
3 - Resolva o sistema linear para obter as correntes de malha
> 24@1 � 12@� � 45�12@� � 18@� � �15
I1 = 2,19A
I2 = 0,625A
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Os circuitos elétricos são formados por elementos ativos,
como fonte de tensão e corrente, e por elementos passivos,
como os resistores.
Esses elementos podem ser associados de diversas maneiras,
como em associações em série e paralelo.
Contudo, diversos circuitos possuem configurações que não
permitem serem simplificados utilizando apenas essas
associações, sendo necessário, para tanto, utilizar o conceito
de circuitos de três terminais.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Esse tipo de rede de circuito elétrico pode ser classificado em
estrela ípsilon (Y), tê (T) ou estrela, ou em circuitos do tipo
delta (∆), pi (π) ou triângulo, e podem ser transformados um
em outro para simplificação da análise da avaliação desses
sistemas elétricos.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Sendo assim, nesta seção, conheceremos as redes em estrela
(Y ou T) e as redes em triângulo (∆ ou π) e as transformações
de redes, que podem ser estrela-triângulo (Y-∆) ou triângulo-
estrela (∆-Y), amplamente utilizadas em circuitos elétricos.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
As associações de resistores em três terminais, formando os
circuitos estrela (Y) ou delta ( ∆ ), podem ocorrer por si só ou
como parte de uma rede maior e são, normalmente, utilizadas
em redes trifásicas e filtros elétricos.
Além disso, podemos converter o circuito triângulo em estrela,
e vice-versa. Esse tipo de conversão, geralmente, leva a um
circuito que pode ser resolvido utilizando técnicas de circuitos
série e paralelo.
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Conversão de delta para estrela – (∆-Y)
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Conversão de estrela para delta – (Y-∆)
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Exemplo:
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Exemplo:
U2 - Métodos de análise de circuitos elétricos
Seção 2.3 Transformação de tipos de circuitos elétricos
Exemplo:
Professora Analéia Gomes
Circuitos Elétricos
U3 - Elementos armazenadores de 
energia
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Um dos componentes passivos mais utilizados é o capacitor,
encontrado em quase todos os dispositivos eletrônicos já
fabricados.
Os capacitores têm uma série de aplicações essenciais em
eletrônicos, comunicações, computadores e sistemas de
energia.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Um capacitor consiste, basicamente, em duas placas
condutoras separadas por um isolador (ou dielétrico). Em
muitas aplicações práticas, as placas podem ser folhas de
alumínio enquanto o dielétrico pode ser ar cerâmica, papel ou
mica.
Quando uma tensão V é aplicada através das placas do
capacitor, uma carga positiva +q se acumula em uma placa e
uma carga negativa -q na outra.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Quando uma tensão V é aplicada através das placas do
capacitor, uma carga positiva +q se acumula em uma placa e
uma carga negativa -q na outra.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
A quantidade de carga armazenada no capacitor então,
representada por q , é diretamente proporcional à tensão
aplicada V, dada pela Equação 3.1.
Onde C é a constante de proporcionalidade, conhecida como
capacitância do capacitor. A unidade de capacitância é o farad
(F) em homenagem ao físico inglês Michael Faraday (1791-
1867).
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Podemos ainda estender o conceito de capacitância como
sendo a proporção entre a quantidade de carga em uma placa
de um capacitor, dado uma certa diferença de potencial entre
as duas placas, medida em farads (F).
Note que 1 farad = 1 Coulomb / Volt.
Embora a capacitância C do capacitor seja a relação da carga q
por placa com a tensão aplicada V, ela não depende de q ou V.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Depende das dimensões físicas do capacitor. Por exemplo, para
o capacitor de placas paralelas mostrado na Figura 3.1, a
capacitância é dada pela Equação 3.2:
Onde A é a área de superfície de cada placa, d é a distância
entre as placas e e é a permissividade do material dielétrico
entre as placas.
Embora a Equação 3.2 se aplique somente a capacitores de
placa paralela, podemos inferir que, em geral, três fatores
determinam o valor da capacitância:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
1. A superfície da placa – quanto maior a área, maior a
capacitância.
2. O espaçamento entre as placas – quanto menor o
espaçamento, maior a capacitância.
3. A permissividade do material – quanto maior a
permissividade, maior a capacitância.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
O símbolo do circuito e as variáveis elétricas associadas para o
capacitor são mostradosna Figura 3.2:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Se recordarmos que a corrente elétrica é a variação de carga
em uma determinada variação de tempo, dada por i=dq/dt,
então se derivarmos a Equação 3.1 em relação ao tempo,
obteremos a relação corrente-tensão do capacitor, Equação
3.3:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Energia armazenada:
A potência instantânea fornecida ao capacitor é dada pela
Equação 3.4:
À energia armazenada em um capacitor é então a integral da
potência instantânea. Assumindo que o capacitor não possui
carga entre suas placas no instante t=−∞[V(-∞)=0] então a
energia armazenada em um capacitor em um tempo t será
dado pela Equação 3.5:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Energia armazenada:
Substituindo a Equação 3.4 na Equação 3.5, teremos a Equação
3.6:
Assim, obtemos com a Equação 3.7 a energia armazenada em
um capacitor:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Capacitores em paralelo:
Para obter o capacitor equivalente Ceq de N capacitores em
paralelo, considere o circuito da Figura 3.3. Observe que os
capacitores possuem a mesma tensão V entre seus terminais.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Capacitores em paralelo:
Aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes temos que
i=i1+i2+iN. Podemos agora reescrever a equação de corrente
utilizando a Equação 3.3, então teremos:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Capacitores em série:
Integrando a Equação 3.3, obteremos a Equação 3.9
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Capacitores em série:
Agora, aplicando a lei de Kirchhoff para as tensões no circuito
da Figura 3.4 temos que V=V1+V2+...+VN. Assim, ao
substituirmos a Equação 3.9 no resultado do LKT, teremos a
Equação 3.10:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF.
Essa associação está sob uma tensão de 12 V.
Nessas condições é possível encontrar a capacitância
equivalente, a carga em cada capacitor e a tensão sobre cada
um.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
Para encontrar a tensão em cada capacitor:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.1 Capacitores
Exemplo:
Considere três capacitores ligados em série, com as seguintes
capacitâncias: C1 =5µF, C2 =3µF e C3 =7µF. Essa associação está
sob uma tensão de 12 V. Nessas condições é possível encontrar
a capacitância equivalente, a carga em cada capacitor e a
tensão sobre cada um.
Para encontrar a tensão em cada capacitor:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Um indutor, elemento passivo, é uma bobina de fio, na
maioria das vezes, em torno de um núcleo central que pode
consistir em uma variedade de materiais.
Assim, os indutores também são conhecidos como bobina ou
reator. Se uma corrente elétrica flui através dessa bobina de
fio, produz um campo magnético em torno dela.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
A força do campo magnético induzido pela corrente elétrica
que flui em torno do núcleo central depende de quatro
fatores: do tipo de material do núcleo, do número de bobinas
do fio, da área da seção transversal e do comprimento da
bobina.
Por exemplo, se o núcleo central também for magnético, o
campo magnético em torno do indutor apresentará uma força
elevada. Os indutores são componentes importantes nos
circuitos eletrônicos porque eles são capazes de resistir ou
opor-se às mudanças de corrente no circuito.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Funcionamento de um indutor
Um indutor, à medida que uma corrente elétrica flui através
de sua bobina. Esse campo magnético armazena
temporariamente energia elétrica como energia magnética,
criando uma tensão em todo o indutor.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Funcionamento de um indutor
Assim, de uma forma mais simples, uma mudança na corrente
faz com que o campo magnético mude. Isso, por sua vez, induz
uma tensão através do indutor que se opõe à mudança original
na corrente. De acordo com a Lei de Faraday, essa tensão pode
ser obtida através da Equação 3.11:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Funcionamento de um indutor
Em que:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Funcionamento de um indutor
Portanto, um campo magnético variável no tempo induz uma
tensão que é proporcional à taxa de mudança da corrente que
o produz, com um valor positivo indicando um aumento na
Força Eletromotriz (fem) e um valor negativo indicando uma
diminuição na fem.
A equação que relaciona esta tensão induzida, a corrente e a
indutância pode ser encontrada substituindo por L,
que indica a constante de proporcionalidade chamada
indutância da bobina (sendo sua unidade o Henry [H]),
obtendo a Equação 3.12.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Funcionamento de um indutor
A relação entre o fluxo no indutor e a corrente que flui através
do indutor é dada pela Equação 3.13:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Potência no indutor
Sabemos que a potência em um resistor relaciona a tensão e a
corrente elétrica. Para o indutor a relação “tensão-corrente”
também é válida, assim, a potência em um indutor é dada pela
Equação 3.14:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Energia armazenada em um indutor
A energia armazenada no campo magnético criado ao redor do
indutor é dada pela integral da potência (Equação 3.14) ao
longo do tempo, resultando na Equação 3.15:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Os indutores são componentes passivos que podem armazenar
e fornecer essa energia armazenada ao circuito, mas não
podem gerar energia.
Um indutor ideal não apresenta perdas, o que significa que ele
pode armazenar energia indefinidamente, pois nenhuma
energia é perdida.
No entanto, os indutores reais sempre apresentam alguma
resistência associada aos enrolamentos da bobina e sempre
que a corrente flui, há perda de energia relacionada com essa
resistência, perda sob a forma de calor devido à Lei de Ohm.
U3 - Elementos armazenadoresde energia
Seção 3.2 Indutores
Indutores em paralelo:
Os indutores também podem ser associados em paralelo ou
série em um circuito.
Indica-se que os indutores estão ligados em paralelo quando
ambos os seus terminais estão conectados respectivamente a
cada terminal do outro indutor.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Indutores em paralelo:
:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Indutores em paralelo:
Desta forma, concluímos que a indutância equivalente LT de
uma associação de indutores em paralelo é obtida de maneira
equivalente ao cálculo da resistência equivalente para
resistores em paralelo.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Indutores em série:
A corrente I que atravessa o primeiro indutor, também
atravessa os demais indutores. Assim, todos os indutores
apresentam a mesma corrente.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Associação mista de indutores
Na associação mista de indutores teremos um circuito que
contém indutores em série e também indutores associados em
paralelo.
Para encontrar a indutância equivalente do circuito, basta
então aplicar a regra para associação em série e a regra para
associação em paralelo.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Exemplo:
Considere um circuito formado por dois indutores ligados em
paralelo (L1 = 5mH e L2 = 10mH) e esse conjunto conectado em
série a um outro indutor (L3 =5mH) . Nessas condições é
determine a indutância equivalente Leq do circuito.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Exemplo:
Considere um circuito formado por dois indutores ligados em
paralelo (L1 = 5mH e L2 = 10mH) e esse conjunto conectado em
série a um outro indutor (L3 =5mH) . Nessas condições é
determine a indutância equivalente Leq do circuito.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.2 Indutores
Exemplo:
Considere um circuito formado por dois indutores ligados em
paralelo (L1 = 5mH e L2 = 10mH) e esse conjunto conectado em
série a um outro indutor (L3 =5mH) . Nessas condições é
determine a indutância equivalente Leq do circuito.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Um circuito RC é dito sem fonte quando a fonte de tensão
que estava conectada ao capacitor C é desligada do circuito
em um tempo t = 0 , conforme a Figura 3.16.
Circuitos RC sem fonte
U3 - Elementos armazenadores de energia
Assim:
• Para t < 0 , o capacitor é um circuito aberto e não há circulação de
corrente através do resistor R1.
• Para t > 0 , a tensão no capacitor decresce e a energia é dissipada
via resistor R.
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuitos RC sem fonte
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Similarmente ao circuito RC sem fonte, um circuito RL é dito
sem fonte quando a fonte de corrente que estava conectada
ao indutor L é desligada do circuito em um tempo t = 0 , como
ilustrado na Figura 3.17.
Circuitos RL sem fonte
U3 - Elementos armazenadores de energia
Assim:
• Para t < 0 , o indutor L é um curto-circuito, sendo atravessado
pela corrente IS, enquanto não há corrente nos resistores.
• Para t > 0 , a corrente no indutor decresce e a energia é dissipada
via resistor R.
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuitos RL sem fonte
U3 - Elementos armazenadores de energia
Tanto para circuitos RC sem fonte quanto para RL sem fonte, o
tempo em que as fontes de tensão e corrente inicialmente
ficaram ligadas aos circuitos é suficientemente grande de
modo a fazer com que no instante da abertura das chaves o
capacitor se comportasse como um circuito aberto, enquanto
o indutor como um curto-circuito.
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuitos RC e RL sem fonte
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
Queremos encontrar a tensão e a corrente que surgem nos
elementos armazenadores de energia.
Uma vez que as tensões e correntes dos circuitos básicos RC e
RL são descritas por equações diferenciais de primeira ordem,
os circuitos RC e RL básicos são denominados circuitos de
primeira ordem.
Para o t > 0 , temos então o circuito RL reduzido, mostrado na
Figura 3.18.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
Para o t > 0, temos então o circuito RL reduzido, mostrado na
Figura 3.18.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões, obtemos a Equação
Diferencial Ordinária de primeira ordem para i(t), Eq.1.19.
Onde L e R são ambas independentes de i e t. Através das
condições iniciais para o indutor, podemos resolver a Eq. 1.19,
obtendo a Equação 1.20, que é a resposta natural do circuito
em termos da corrente i (t).
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
Onde τ = L/R é chamado 
de constante de tempo.
E sua unidade é 
segundos (s)
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
De maneira similar podemos encontrar a resposta natural para
um circuito RC sem fonte. Considere agora o circuito reduzido
da Figura 3.19.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resposta natural em circuitos RL e RC
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes, obtemos a Equação
Diferencial Ordinária de primeira ordem para v(t), Eq 1.21.
Onde C e R são ambas independentes de v e t
Onde τ = RC é chamado 
de constante de tempo.
E sua unidade é 
segundos (s)
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL
As constantes de tempo para circuito RC e RL sem fonte,
descrevem a velocidade com que os elementos armazenadores
de energia se descarregam.
Para o circuito RL sem fonte, o valor da corrente i (t) irá cair �-1
(aproximadamente 37%) do seu valor inicial I0 dentro de uma
constante de tempo t .
Após 5×τ(5 constantes de tempo), o valor da corrente será
menor que 1% do seu valor inicial.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL
Se i(t) é aproximado por uma função linear, ele desaparecerá
em uma constante de tempo, conforme mostrado na Fig 3.20.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL
O circuito RC é o circuito dual do RL, assim, o valor da tensão v
(t) irá cair �-1 (aproximadamente 37%) do seu valor inicial V0
dentro de uma constante de tempo t .
Após 5×τ, considera-se que o capacitor foi completamente
descarregado.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL 
Se v(t) é aproximado por uma função linear, ele desaparecerá
em uma constante de tempo, conforme mostrado na Fig 3.21.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL 
As constantes de tempo mostradas para os circuitos sem fonte
indicam o processo de descarrega dos elementos
armazenadores de energia.
Assim, em uma constante de tempo t a tensão no capacitor
estará com 37% do seu valor inicial.
Considere agora, o caso em que o capacitor do circuito RC está
completamente descarregado e então uma fonte de tensão é
conectada a ele em um tempo t=0 .
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Constante de tempo em circuitos RC e RL 
Se nesse momento a fonte está conectada, significa que o
capacitor está carregando e dentro de umtempo t o valor da
tensão v(t) será 63% do valor da tensão da fonte.
Se em vez de um circuito RC for usado um circuito RL com uma
fonte de corrente, após um tempo t, qual o valor da corrente
i(t) no indutor?
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Considere que no circuito da Figura 3.21, a fonte de tensão
ficou conectada tempo suficiente para carregar o capacitor C e
então em um tempo definido como t=0 a fonte foi
desconectada.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
Para calcular a tensão no capacitor no instante t=2s , basta
aplicar a relação:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
Para calcular a tensão no capacitor no instante t=2s , basta
aplicar a relação:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
Para calcular a tensão no capacitor no instante t=2s , basta
aplicar a relação:
A capacitância pode ser calculada utilizando a definição da
constante de tempo para um circuito RC:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
Para calcular a tensão no capacitor no instante t=2s , basta
aplicar a relação:
A capacitância pode ser calculada utilizando a definição da
constante de tempo para um circuito RC:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Exemplo:
Nesse exato instante, a tensão no capacitor era de 10V.
Sabendo que a resistência R é igual a 10Ω e constante de
tempo do circuito é de 5s é possível então determinar a tensão
no capacitor para, t=2s bem como o valor da capacitância
necessária para conseguir essa constante de tempo.
A capacitância pode ser calculada utilizando a definição da
constante de tempo para um circuito RC:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RC - Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL - Energização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL – Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL – Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Circuito RL – Desenergização:
U3 - Elementos armazenadores de energia
Seção 3.3 Circuitos de primeira ordem sem fonte
Resumo das equações de carga e descarga – RC e RL
Capacitores
τ=RxC
Indutores
τ=L/R
Energização Desenergização Energização Desenergização
Vr(t) = E·(�(-t/τ)) Vr(t) = -E·(e(-t/τ)) VR(t) = E·(1-e(-t/τ)) VR(t) = E·(e(-t/τ))
i(t) = I·(e(-t/τ)) i(t) = -I·(e(-t/τ)) i(t) = I·(1-e(-t/τ)) i(t) = I·(e(-t/τ))
Vc(t) = E·(1-e(-t/τ)) Vc(t) = E·(e(-t/τ)) VL(t) = E·(e(-t/τ)) VL(t) = -E·(e(-t/τ))
Professora Analéia Gomes
Circuitos Elétricos
U4 - Circuitos de primeira e segunda 
ordem
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Uma “aplicação súbita” de fonte de energia significa que essa
aplicação ocorreu em tempo zero, como a operação de uma
chave em série com uma bateria.
Isso equivale a uma função forçante que é nula até o instante
em que a chave for fechada e igual à tensão da bateria desse
momento em diante. Logo, a função forçante, ou função de
comutação, tem uma quebra ou uma descontinuidade, no
instante em que o interruptor é fechado, e é conhecida como
função de singularidade.
Entre as funções de singularidade, a mais usada na análise de
circuitos elétricos é a degrau unitário.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Naturalmente, a aplicação da fonte em tempo zero não é
fisicamente possível, porém, se a escala de tempo na qual
esse evento ocorrer for muito curta em comparação com as
demais escalas de tempo que escrevem a operação de um
circuito, podemos considerar, então, que é aproximadamente
verdade e matematicamente conveniente a utilização das
fontes no tempo nulo.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
As funções de singularidade são funções descontínuas ou que
apresentam derivadas descontínuas.
Segundo Hayt Jr., Kemmerly e Durbin (2014), definimos a
função degrau unitário como uma função temporal que é zero
para todos os valores de seu argumento menores do que zero
e unitária para todos os valores positivos de seu argumento.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Isto é, se assumirmos um argumento como (t-t0) e
representarmos a função degrau unitária como u, então
u(t-t0) será zero para todos os valores de t menores do que t0
e unitária para todos os valores de t maiores do que t0 ,
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Observe que em t=t0 , a função degrau unitário muda
abruptamente de 0 para 1 e seu valor nesse instante de
tempo é indefinido. Todavia, seu valor é conhecido nos
instantes de tempo próximos a t=t0.
Frequentemente, indicamos isso por meio das notações: u(t-)
= 0 e u(t+) = 1.
A definição matemática para função degrau é:
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A função degrau unitário é adimensional.
Se quisermos que ela represente uma tensão, é necessário
multiplicar u(t-t0) por algum valor de tensão constante, como 10V.
Então, v(t) = 10u(t− 1)V é uma fontede tensão ideal que é zero
antes de t=1s e igual a 10V após t=1s.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Similarmente, uma fonte de corrente pode ser representada por
uma função degrau. Note que para t < t0 a corrente flui toda pelo
curto-circuito e a corrente fornecida ao circuito nos terminais ab
é nula (i = 0), ou seja, o circuito está em aberto; e para t > t0 a
corrente flui para o circuito no terminais ab e equivale i = I0
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Como um circuito que consiste em uma bateria cuja tensão é
Vb em série com uma chave, um resistor R e um indutor L.
A chave é fechada em t = 0
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Como a chave está aberta, podemos notar que a corrente é
nula antes de t=0, e, portanto, podemos substituir a bateria e a
chave por uma função de singularidade do tipo degrau de
tensão de valor Vbu(t). Dessa forma, podemos calcular a
corrente i(t) tanto no circuito original quanto no circuito
equivalente.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Para obtermos i(t), devemos aplicar a lei de Kirchhorff das
tensões ao circuito equivalente. Assim, teremos:
Como a função degrau é uma função descontínua, nesse caso
em t=0, devemos, então, considerar a solução da equação 4.1
inicialmente para t < 0 e, em seguida, para t > 0.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Sendo assim, para −∞ < t < 0. Contudo, para t > 0 o valor de
u(t) é unitário e a equação 4.1 pode ser rescrita como:
E pode ser reestruturada como:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Integrando ambos os lados da equação 4.3, obtemos:
Após algumas simplificações algébricas:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A equação reescrita em termos da função degrau:
AG1
Slide 238
AG1 Analeia Gomes; 02/11/2020
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A equação reescrita em termos da função degrau:
Resposta 
Natural
AG2
Slide 239
AG2 Analeia Gomes; 02/11/2020
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A equação reescrita em termos da função degrau:
Resposta 
Natural
Corrente em 
Regime 
Permanente
AG3
Slide 240
AG3 Analeia Gomes; 02/11/2020
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A equação reescrita em termos da função degrau:
Essa corrente é a parte da resposta que pode ser atribuída à
função forçante, logo, ela é conhecida como resposta forçada.
Dessa forma, dado que a resposta da equação é formada por
duas partes, resposta natural e resposta forçada, ela é,
portanto, conhecida como resposta completa.
Resposta 
Natural
Corrente em 
Regime 
Permanente
AG4
Slide 241
AG4 Analeia Gomes; 02/11/2020
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A resposta natural é característica do circuito e não das fontes.
Assim, seu valor pode ser obtido considerando-se o circuito
sem fontes e ela tem uma amplitude que depende da
amplitude inicial da fonte e da energia inicial armazenada no
elemento passivo.
Já a resposta forçada tem a característica da função forçante e
seu valor é obtido considerando-se que as chaves foram
acionadas muito tempo atrás e será observada no circuito por
um longo tempo, logo, é considerada como valor final ou
resposta em regime permanente, isto é, que permanece no
circuito.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Sendo assim, deve haver um período transitório durante o qual
as correntes e tensões mudam seus valores iniciais para seus
valores finais.
A parte da resposta que fornece a transição entre os valores
iniciais e finais é a resposta natural, frequentemente chamada
de resposta transitória.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Por exemplo, se considerarmos um circuito RL sem fonte,
diremos que a resposta forçada será nula e que a resposta
natural irá conectar a resposta inicial, armazenada no indutor,
com valor da resposta final ou forçada.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Para determinar a resposta a um degrau de um circuito RL,
precisamos de três informações:
1. A corrente inicial, iinicial , no indutor em t=0.
2. A corrente final, ifinal , no indutor.
3. A constante de tempo τ.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
Quando t < 0, o resistor de 4Ω
está curto-circuitado e o
indutor atua como um curto-
circuito. A corrente através do
indutor em t(0- ), ou seja, logo
antes de t = 0, é:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
Uma vez que o indutor não
pode mudar instantaneamente,
então:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
Quando a chave é aberta, t > 0,
os resistores estão em série.
Logo:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
A resistência equivalente entre
os terminais do indutor é:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0. Considere que a chave foi
fechada há um bom tempo.
A constante de tempo é:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Exemplo:
Determine i(t) no circuito para t > 0.
Considere que a chave foi fechada há um bom tempo.
Portanto:
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
A resposta completa de um circuito RC qualquer também pode
ser obtida com a soma das respostas natural e forçada,
considerando o circuito formado por uma bateria cuja tensão é
Vb em série com uma chave, um resistor R e um capacitor C.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Nosso objetivo será determinar a tensão do capacitor como
resposta do circuito. Em vez de aplicar a Lei de Kirchhorff,
usaremos a representação da resposta completa ser a soma da
resposta transitória v(t) e da resposta em regime permanente,
ou estacionário (vss).
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Sabemos que a resposta transitória sempre é uma exponencial,
podendo, portanto, ser representada pela equação a seguir,
em que A é uma constante a ser determinada.
Já o valor em regime permanente, ou estacionário, é o valor da
tensão bastante tempo depois de a chave ser fechada.
U4 - Circuitos de primeira e segunda ordem
Seção 4.1 Circuitos de primeira ordem com fonte
Sabemos que a tensão transitória irá se extinguir após um
intervalo de tempo e, nesse momento, o capacitor se tornará
um circuito aberto e a tensão nele será a própria tensão da
fonte. Nesse caso:
Logo, a reposta completa pode ser dada