Conjuntos da Matemática

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Universidade Anhanguera
Tecnologia em Marketing
JOYCE DA SILVA
8799003235
Conjuntos
São Paulo / SP
2017
Introdução
A matemática está presente em nosso dia a dia desde a formação do mundo, ainda que não tenha um lápis e papel, fazemos cálculos o tempo todo e em cada movimento existe a matemática. 
Composta por diversas categorias, classes e áreas a matemática nos envolve e nesse trabalho falaremos um pouco mais sobre uma dessas classes, conjuntos, esse será o tema abordado, por tanto segue abaixo nosso desenvolvimento.
Conjuntos
Na matemática é uma coleção de elementos.
· O conjunto de todos os alunos de uma sala (A);
· O conjunto musical (M);
· O conjunto dos números inteiros (Ζ);
· O conjunto dos números naturais (Ν).
Por definição, qualquer conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúsculo: A, B, C, ..., Z.
Representação de Conjuntos na Matemática
A representação, na matemática, é bastante simples e é representado entre chaves ou, também, pode ser representado pela forma geométrica. 
1. A = {João, Paulo, Ana, Carla, …}
2. N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
3. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
4. V = {a, e, i, o, u}
Um conjunto A também pode ser definido quando temos uma regra na qual podemos verificar se um dado elemento pertence ou não a A.
1. {x | x é uma vogal}
2. {x : x é um número inteiro}
Conceitos primitivos
- Conjunto;
- Elemento;
- Pertinência.
Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈∈) ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence.
Símbolos
A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos nos exemplos a seguir:
- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A3∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A3∉A
- Existe algum: ∃∃ 
- Qualquer que seja: ∀∀
- Tal que: |
Conjuntos importantes
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado por ∅∅ ou {  }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento
Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:
Representações
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;
Exemplos:
A = {–1, 0, 1}
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;
Exemplos:
A=x∈Z |−2<x<2A=x∈Z |−2<x<2
N=x∈Zx≥0N=x∈Zx≥0
Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.
Conjuntos Iguais
Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.
Subconjuntos
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se A⊂BA⊂B(A está contido em B).
Propriedades
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se: 
- A ⊂⊂ A
- ∅⊂∅⊂ A
- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B(A⊂B e B⊂A)⇔A=B
- (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C(A⊂B e B⊂C)=>A⊂C
Conjunto das partes
É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).
Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n2n elementos, ou seja, o conjunto A possui 2n2n subconjuntos.
Operações com Conjuntos
União
Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa agrupá-los com intuito de torná-los um s
Definição: 
Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto união de A e B por:
A∪B=A∪B= {xx∈A ou x∈Bxx∈A ou x∈B}
 A∪∅A∪∅ = A (elemento neutro);
 A∪AA∪A = A (recíproca)
 A∪B=B∪AA∪B=B∪A (comutativa)
								A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C (associativa)
Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) A ∪ B.
b) A ∪ B ∪ C.
Solução:
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Interseção
Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todos esses conjuntos ao mesmo tempo.
Definição:                                              
                                                                     
Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto interseção de A e B por:
A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
Para três conjuntos arbitrários A, B e C, valem as seguintes propriedades:
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∩ A = A (recíproca) - A ∩ B = B ∩ A (comutativa) - A ∩ (B ∩ C)  =  (A ∩ B) ∩ C (associativa) 
Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
a) A ∩ B.
b) A ∩ C.
c) A ∩ B ∩ D.
Solução:
a) A ∩ B = {0, 5}
b) A ∩ C = Ø
c) A ∩ B ∩ D = {0}
Diferença entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença A - B por:
A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
 
Para a diferença entre conjuntos, valem as seguintes propriedades:
- A – ∅ = A - ∅ – A = ∅ - A – A = ∅
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, obtenha:
a) A – B.
b) B – A.
Solução:
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5}
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6}
Exemplo 2:
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A – B e B – A.
Respostas:
a) A – B = {0, 4, 6, 8}
b) B – A = {3, 5, 7}
Complementar de um conjunto
Dados dois conjuntos A e V tais que A ⊂ V, representa-se o complementar de A em relação a V porC_V_VA, A¯¯¯A¯¯¯ ou A'. Por definição, C_V_VA = V – A.
São válidas as seguintes propriedades:
- CV=(A∪B)=CVA∩CVBCV=(A∪B)=CVA∩CVB
- CV(A∪B)=CVA∩CVBCV(A∪B)=CVA∩CVB
Exemplo:
Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter C_Y_YX.
C_Y_YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}
Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos)
Princípio que serve para calcular o número de elemento da união de dois conjuntos A e B, em função do número de elementos de A, de B e de A interseção B.
 
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
Onde:
n(A) = número de elementos do conjunto A;
n(B) = número de elementos do conjunto B;
n(A ∩ B) = número de elementos da interseção;
n(A ∪ B) = número de elementos da união.
Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos:
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- A ∩ B = {4, 5, 6, 7}
Podemos comprovar pelo princípio da inclusão e exclusão que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
9 = 7 + 6 – 4 (verdadeiro). 
Referências
Educação Globo Disponível em: 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html Acesso em 27 de Novembro de 2017
Matemática Básica Disponível em:
<https://matematicabasica.net/conjuntos/> Acesso em 27 de Novembro de 2017