ASSUNTO CONJUNTOS 2 SÉRIE

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E.E Luís Antônio 
2ª serie médio 
 
Conjuntos 
Na prática a notação para conjuntos é usada letras 
do alfabeto em maiúsculo: A, B, C, …, Z. E a 
representação de um conjunto pode ser feita de 
diversas maneiras. Vamos ver cada uma delas 
adiante. 
Exemplos: 
 O conjunto de todos os alunos de uma sala 
(A); 
 O conjunto musical (M); 
 O conjunto dos números inteiros (Ζ); 
 O conjunto dos números naturais (Ν). 
Elementos de um conjunto 
Elemento de um conjunto é qualquer coisa que 
pertença a um determinado conjunto. Além disso, os 
elementos devem ser listados entre um par de 
chaves. 
Quando listamos os elementos de um conjunto, 
devemos separá-los por vírgula ou ponto e vírgula, 
de acordo com a necessidade. 
Exemplos: 
1. Considere A como o conjunto das vogais, 
então listamos assim: A = {a, e, i, o, u} 
2. Considere B como o conjunto das cores 
primárias: B = {vermelho, azul e amarelo} 
Quando um conjunto apresenta elementos infinitos, 
ou seja, que não é possível contabilizar todos os 
elementos, usamos a reticência (…) para indicar 
que o conjunto é infinito. 
Exemplos: 
1. Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} 
2. Conjunto do números inteiros: Z = {…, -5, -
4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
Principais formas de representar um conjunto 
As principais formas de representarmos um 
conjunto são: 
Enumerar os elementos: 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} 
Através de uma propriedade que se repete: 
Exemplo: B = {x ∈ A; x é vogal}, corresponde ao 
conjunto do exemplo anterior 
Através do Diagrama de Venn: 
 
Na matemática também admite a existência dos 
conjuntos vazio, sem elemento e são representados 
por: {} ou ∅. E do conjunto unitário, que contém 
apenas um elemento. 
Relação de pertinência 
Pertinência é a característica associada a um 
elemento ao qual faz parte de um conjunto. 
Quando queremos indicar que um elemento 
pertence a um conjunto, usamos o 
símbolo: ∈ (pertence). 
Quando queremos indicar que um elemento não 
pertence a um determinado conjunto, usamos o 
símbolo: ∉ (não pertence). 
Exemplos: 
 1 pertence ao conjunto dos números 
naturais (N): 1 ∈ N; 
 João pertence ao conjunto dos alunos da 
sala: João ∈ A; 
 0,5 pertence ao conjunto dos números 
reais: 0,5 ∈ R; 
 11 pertence ao conjunto dos números 
primos: 11 ∈ P; 
 b não pertence ao conjuntos das 
vogais A: b ∉ A. 
Relação de inclusão 
A relação de inclusão pode ser bastante confundida 
se o aluno não entender a simbologia: 
 Quando falamos que o conjunto A está 
contido no conjunto B, então todo elemento 
de A pertence a B e usamos o símbolo: A ⊂ 
B; 
 Quando falamos que B contém A, usamos 
o símbolo: B ⊃ A 
 Quando falamos que o conjunto A não está 
contido em B, usamo o símbolo: A ⊄ B; 
 Quando falamos que o conjunto B não 
contém A, usamos o símbolo: B ⊅ A; 
 Quanto falamos que o conjunto A é 
subconjunto de B, ou seja, que todos os 
elementos de A também são elementos 
de B, usamos o símbolo: A ⊆ B; 
https://matematicabasica.net/numeros-naturais/
https://matematicabasica.net/numeros-inteiros/
 Por fim, quando dizemos que B não é 
subconjunto de A, ou seja, B não está 
contido nem é igual a A, usamos o 
símbolo: B ⊈ A. 
Importante: a simbologia para relação de inclusão 
deve ser usada para relacionar conjuntos, se usar 
para relacionar elementos está errado. 
Exemplos: 
 Forma errada: 
o 1 ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}; 1 neste caso é 
um elemento, para ser conjunto 
deveria está entre chaves, o 
símbolo ⊂ deve ser usado para 
relacionar conjuntos; 
o {1} ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; {1} neste caso 
é um conjunto, o símbolo ∈ serve 
para relacionar elementos; 
 Forma correta: 
o {1} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}; 
o {1} ⊄ {{1}, 2, 3, 4, 5}; aqui {1} é 
elemento e não conjunto. 
Então: {1} ∈ {{1}, 2, 3, 4, 5} . 
Representação gráfica pelo 
Diagrama de Venn 
 
Subconjuntos 
Dado um conjunto A, dizemos que B é um 
subconjunto de A, se B estiver contido em A, 
denotado por: B ⊂ A (B está contido em A). É o 
mesmo que dizer que B está dentro de A, ou seja, 
se todos os elementos de B estão dentro de A. 
Exemplos: 
Diagrama de Venn: 
 
Perceba que o conjunto B está literalmente dentro 
de A, portanto é subconjunto de A. Os elementos 
de B também são elementos de A. 
C = {a, e, i, o, u} e D = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, 
m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} 
O conjunto das vogais C é subconjunto do conjunto 
do alfabeto da língua portuguesa D. Ou seja, o 
conjunto das vogais está contido no conjunto do 
alfabeto D. 
Considerando que A e B são conjuntos, dizemos 
que A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B. 
Exemplos: 
Diagrama de Venn 
 
Os elementos de A são os mesmo elementos de B. 
A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}; a ordem dos elementos 
não importa, os dois conjuntos tem os mesmo 
elementos. 
Observações: 
 Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, 
pois todos os seus elementos são 
elementos dele mesmo; 
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto. 
Conjunto unitário 
Dizemos que um conjunto é unitário quando tem 
somente um elemento. 
Exemplos: 
 A = {a} 
 B = {10} 
Conjunto universo 
Chamamos de conjunto universo um conjunto que 
contém todos os elementos dos conjuntos que 
estamos representando. Esse conjunto é 
simbolizado pela letra maiúscula U. 
Exemplo: 
 
O conjunto U é o conjunto universo dos 
conjuntos A e B. 
Complementar 
Conjunto complementar é aquele que contém todos 
os elementos do conjunto universo que não estão 
no outro conjunto. 
Definição do conjunto complementar 
Seja A um conjunto, temos que o conjunto 
complementar AC é definido por: 
AC = U – A = {x | x ∈ U e X ∉ A} 
Exemplo: 
 
O conjunto complementar de A são todos os 
elementos que estão no conjunto universo U (em 
vermelho, mas não estão em A). 
É simbolizado pela letra do conjunto que queremos 
encontrar o complementar com um traço em cima. 
Símbolos usados para conjunto 
complementar: Ä, AC, A’, CUA ou 
 
Conjuntos das partes 
Seja A um conjunto qualquer, chamamos de 
conjunto das partes de A todos os subconjuntos 
possíveis da conjunto A. É representado por P(A). 
Exemplos: A = {1, 2, 3} 
Como determinar o conjunto das partes? 
Para determinar o conjunto das partes para A, 
temos que escrever todos os subconjuntos de A. 
 Sabemos que o conjunto vazio é 
subconjunto de qualquer conjunto: ∅; 
 Devemos considerar em A os subconjuntos 
com um elemento: {1}, {2}, {3}; 
 Agora subconjuntos com dois 
elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}; 
 Consideremos agora o subconjunto com 
três elementos: {1, 2, 3}; 
 Então, por fim, temos o conjunto das partes 
para A: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, 
{2, 3}, {1, 2, 3}}. 
Esse passo ajuda você, caro leitor, a entender como 
funciona o conjunto das partes. No entanto, um 
conjunto com muitos elementos pode necessitar de 
mais combinações de elementos. 
Número de elementos do conjunto das partes 
Para saber a quantidade de elementos do conjunto 
das partes e, portanto, saber a quantidade de 
subconjuntos de um conjunto qualquer, utilizamos a 
seguinte fórmula: 
Seja A um conjunto qualquer, então: 
O número de elementos do conjunto das partes de 
A: n[P(A)] = 2n(A), onde n(A) é a quantidade de 
elementos de A. 
Exemplo: 
 A = {1, 2, 3}; então: n[P(A)] = 2³ = 8 
Pelo exemplo anterior, percebemos que o conjunto 
das partes para o conjunto A tem exatamente 8 
elementos. 
Igualdade de conjuntos 
Sejam os conjuntos A e B, temos que A = B se, e 
somente se, eles possuem os mesmos elementos. 
Independente da ordem como são apresentados ou 
da quantidade. 
Exemplos: 
 A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1} 
 A = {1, 2, 3, 3, 3, 3} e B = {1, 2, 3} 
Temos que A = B nos dois exemplos acima. 
Leis de De Morgan 
As leis de De Morgan mostram que: 
1. O complementar da união de dois conjuntos 
é igual a interseção dos complementares 
dos dois conjuntos; 
2. O complementar da interseção de dois 
conjuntos é igual a união dos 
complementares dos doisconjuntos. 
Exemplos: 
Podemos verificar através do Diagrama de Venn: 
 (A ∪ B)C = AC ∩ BC 
 
(A ∩ B)C = AC ∪ BC 
 
Operações com conjuntos 
União 
Em muitos problemas em provas de vestibulares e 
do ENEM é necessário saber as operações com 
conjuntos. São elas: União, Interseção e 
Diferença. 
A união de dois conjuntos no conjunto universo U é 
formada pelos elementos que pertencem a A ou B. 
 A ∪ B (Leia-se: A união B) 
Definição de união 
Sejam A e B conjuntos, a união de A com B é dada 
por: 
 A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
Propriedades 
 A ∪ B = B ∪ A 
 B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A 
 A ∪ ∅ = A 
 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C 
Exemplos: 
 {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 
 {a, b, c, c, c} ∪ {d} = {a, b, c, d} 
 {1, 2} ∪ ∅ = {1, 2} 
Interseção 
A interseção de dois conjuntos no conjunto 
universo U é formada pelos elementos que 
pertencem a A e B. 
A ∩ B (Leia-se: A interseção B) 
 
Definição de interseção 
Sejam A e B conjuntos, a interseção de A com B é 
dada por: 
 A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B} 
Exemplos: 
 {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {5, 6, 7} = {5} 
 {a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c} 
 {1, 2} ∩ ∅ = ∅ 
Propriedades 
 A ∩ B = B ∩ A 
 B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B 
 A ∩ ∅ = ∅ 
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C 
 (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) 
Diferença 
A diferença de dois conjuntos no conjunto 
universo U é formada pelos elementos que 
pertencem a A mas não pertencem a B. 
 A – B (Leia-se: a diferença entre A e B) 
 
Definição da diferença 
Sejam A e B conjuntos, a diferença entre A e B é 
dada por: 
 A − B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B} 
Exemplos: 
 A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 6} 
 B – A = {6} 
 A – B = {2, 3} 
Propriedades 
 (A – B) ⊂ A 
 A – ∅ = A 
 ∅ – A = ∅ 
 A – (A ∩ B) = A – B