Trigo-Módulo 7 - Equações e Inequações Trigonométricas

Prévia do material em texto

Equações e Inequações Trigonométricas
TRIGONOMETRIA
Módulo 7
57
Equações TrigonométricasTRIGO
Módulo 7
Resolva as equações abaixo considerando 0 ≤ x ≤ 2
a) sen x = 1/2
b) 2 cosx - 2 = 0
c) tgx + 1 = 0
d) 2cosx + 1 = 0
58
Equações TrigonométricasTRIGO
Módulo 7
Resolva em IR as equações abaixo.
a) sen x = 1/2
b) 2 cosx - 2 = 0
c) tgx + 1 = 0
d) 2cosx + 1 = 0
59
Exercícios de AplicaçãoTRIGO
Módulo 7
1. (Eear 2019) Se 0° ≤ 𝑥 ≤ 90° e se 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = −
3
2
,
um dos possíveis valores de x é 
a) 30º 
b) 45º 
c) 75º 
d) 85º
2. (EsPCEx 2019) O número de raízes reais da
equação 2cos2(x) + 3cos(x) + 1 = 0 no intervalo
]0, 2𝜋[ é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
60
Exercícios de AplicaçãoTRIGO
Módulo 7
3. (UECE) O número de soluções da equação
|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| = | 𝑐𝑜𝑠( 𝑥)|, no intervalo fechado [−2𝜋, 2𝜋]
é igual a
a) 4.
b) 10.
c) 8.
d) 6.
4. (EsPCEx) A soma das soluções da equação
𝑐𝑜𝑠( 2 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) = 0, com 𝑥 ∈ [0, 2𝜋), é igual
a
a)
5𝜋
3
b) 2𝜋
c)
7𝜋
3
d) 𝜋
e)
8𝜋
3
1. (AFA 2019) Seja a equação trigonométrica 𝑡𝑔3𝑥 − 2 𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 + 2 = 0, com
𝑥 ∈ [0, 2𝜋[−
𝜋
2
,
3𝜋
2
.
Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação,
é correto afirmar que são, exatamente,
61
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7
a) três.
b) quatro.
c) cinco.
d) seis.
2. (FGV) A única solução da equação sen(2x)  sen(3x) = cos(2x)  cos(3x) com
0° ≤ 𝑥 < 90°, é
62
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7
a) 72°.
b) 36°.
c) 24°.
d) 18°.
e) 15°.
3. (ITA) Determine o conjunto das soluções reais da equação 3 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2
𝑥
2
− 𝑡𝑔2𝑥 = 1.
63
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7
(Fórmulas)
64
Transformação em ProdutoTRIGO
Módulo 7
sen(p) + sen(q) =
sen(p) - sen(q) =
cos(p) + cos(q) =
cos(p) - cos(q) =
(Mack) A soma das raízes da equação
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 = 𝟎, no intervalo [0, 𝜋], é
a) 0
b)
𝜋
2
c) 𝜋
d)
3𝜋
2
e)
2𝜋
3
4. (Fuvest) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz /2 < x <  e verifica a
equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Assim,
a) determine x.
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x.
65
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7
66
Inequações TrigonométricasTRIGO
Módulo 7
Resolva as inequações abaixo considerando 0 ≤ x ≤ 2
a) sen x > 1/2
b) 2 cosx - 2 < 0
c) tgx - 1 ≥ 0
d) 2cosx + 1 ≥ 0
67
Exercícios de AplicaçãoTRIGO
Módulo 7
1. (UEG) A inequação 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) ≤ 0, no intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 e x real, possui
conjunto solução
a)
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 𝜋 ou
3𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
b) 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
ou 𝜋 ≤ 𝑥 ≤
3𝜋
2
c)
𝜋
4
≤ 𝑥 ≤
3𝜋
4
ou
5𝜋
4
≤ 𝑥 ≤
7𝜋
4
d)
3𝜋
4
≤ 𝑥 ≤
5𝜋
4
ou
7𝜋
4
≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
e) 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
ou
2𝜋
3
≤ 𝑥 ≤ 𝜋
68
Exercícios de AplicaçãoTRIGO
Módulo 7
2. (Mackenzie) Em ℝ, o domínio da função f, definida por 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
, é 
a) 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
b) 𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
c) 𝑥 ∈ ℝ|
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
d) 𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ∨
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
e) 𝑥 ∈ ℝ|2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ∨
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
69
Exercícios de AplicaçãoTRIGO
Módulo 7
3. (EsPCEx)
O conjunto solução da inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 ≥ 0, no intervalo 0, 2𝜋 é
a) 
2𝜋
3
,
4𝜋
3
.
b) 
𝜋
3
,
5𝜋
6
.
c) 
𝜋
3
,
5𝜋
3
.
d) 
𝜋
3
,
2𝜋
3
∪
4𝜋
3
,
5𝜋
3
.
e) 
𝜋
6
,
5𝜋
6
∪
7𝜋
6
,
10𝜋
6
.
70
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7
1. (UEFS) A figura mostra parte do gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)−2
.
No intervalo aberto (0, 2𝜋) a solução de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) > 𝑓(𝑥) é o conjunto
a) 𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 <
𝜋
2
b) 𝑥 ∈ ℝ|
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋
c) 𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 𝜋
d) 𝑥 ∈ ℝ|𝜋 < 𝑥 < 2𝜋
e) 𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 2𝜋
71
Exercícios de AprofundamentoTRIGO
Módulo 7 2. (Fuvest)
Determine os valores de x no intervalo ]0,2[ para os quais cos x ≥ 3 sen x + 3.