2834-Apostila - PRF - Física pdf

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SUMÁRIO
1. CINEMÁTICA ESCALAR 3
 1 CINEMÁTICA ESCALAR 4
1. 2 Velocidade Média, M.R.U. E M.R.U.V. 4
1. 3 Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) 4
1.4 Movimento Retilíneo Uniforme Variado (M.R.U.V.) 4
1.4	Gráficos	no	MU	e	MUV 5
1.5	Gráficos	v	x	t 5
1.6	 Gráficos	a	×	t 6
EXERCÍCIOS 7
QUESTÕES DE CONCURSO 22
2. DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO 30
2 DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO 31
2.1 Lançamento Vertical 31
2.2 Lançamento horizontal 32
2.3 Lançamento oblíquo 32
3.4 Movimento circular 34
 EXERCICIOS 38
3. DINÂMICA 51
3.1	Leis	de	Newton	 52
4. FORÇA	DE	ATRITO 65
4. Força de Atrito 66
EXERCICIOS 70
5. TRABALHO DE UMA FORÇA 81
5. INTRODUÇÃO 82
5.2	Trabalho	de	uma	força	constante	paralela	de	deslocamento 82
5.3	Trabalho	de	uma	força	constante	não-paralela	ao	deslocamento 83
5.4	Trabalho	de	uma	força	qualquer 85
5.5	Dois	casos	notáveis 85
5.6	Potência 88
5.7	Rendimento 88
EXERCICIOS 90
6. ENERGIA	E	SUA	CONSERVAÇÃO 95
6.ENERGIA E SUA CONSERVAÇÃO 96
6.1 Energia Cinética (EC) 96
6.2 Energia Potencial 96
6.2	Energia	mecânica	de	um	sistema	e	sua	conservação 96
EXERCICIOS 97
7. QUANTIDADE DE MOVIMENTO, IMPULSO E TEOREMA DO IMPULSO 100
7. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 101
7.1	Quantidade	de	movimento 101
7.2	Impulso 101
7.3	Teorema	do	Impulso 101
7.4	Conservação	da	Quantidade	de	Movimento 101
7.5	Colisões,	Choques	e	Explosões 102
7. 6	Coeficiente	de	restituição 102
3
CINEMÁTICA ESCALAR
4
 1 CINEMÁTICA ESCALAR
 Nosso mundo tem, como característica fundamental, o movimento. Tudo se 
move; mesmo corpos que estão em aparente repouso num referencial, não o estão em 
relação a outros. Sentados em nossos sofás, confortavelmente instalados em frente 
aos nossos aparelhos de TV, temos a impressão que tudo está em repouso ao nosso 
redor, no entanto, a Terra se move no espaço, e nós juntamente com ela. A Lua move-se 
ao redor da Terra. Caso estivéssemos sentados num avião, em pleno voo, tudo dentro da 
aeronave também pareceria parado em relação a nós, mas em movimento em relação 
ao solo. Portanto, a noção de movimento ou repouso é relativa; depende do referencial 
que se adota.
1. 2 Velocidade Média, M.R.U. E M.R.U.V.
1. 3 Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)
No movimento uniforme, o móvel percorrerá distâncias iguais em intervalos de 
tempo iguais.
O	desenvolvimento	da	equação	v	=	Δs/Δt	resulta	em:	v	=	Δs	=	s	-	s0 ; assumindo 
que t0=0s,	temos: Δt							t	-	t0
1.4 Movimento Retilíneo Uniforme Variado (M.R.U.V.)
Aceleração	escalar	média	(a):	a			-	v2	-	v1	-	Δv
	 	 	 	 	 		t2-t1						Δt
Como	em	um	MUV	o	valor	da	aceleração	é	constante,	podemos	escrever	que:	
a = Δv=v2-v1
								Δt			t2	-	t1
Desenvolvendo	a	igualdade,	teremos:	
a	=	v2	-	v1	-	Δv->	v2 - v1 + a (t-t) -> v2	= v1+a(t2-	t1)	
							t2	-		t1
Assumindo	que	t1	=	0,	temos	que	v2	=	v1	+	at2,	ou	simplesmente:	
v=v0+at	(função	horária	da	velocidade)										
Δs	=	v0t+at2/2 (função horária da posição)
v=v0+at																					 v2=v20	+	2aΔs
Δs=v0t+1/2at2										 (Equação	de	Torricelli)
Tabela de conversão
5	m/s	=	18	km/h
10	m/s	=	36	km/h
15	m/s	=	54	km/h
20	m/s	=	72	km/h
25	m/s	=	90	km/h
30	m/s	=	108	km/h
distância total percorrida
tempo total gasto
vm =
s=s0+vt (função horário da posição no MU
}->
5
1.4	Gráficos	no	MU	e	MUV	
a) Movimento Uniforme b) Movimento Uniforme Variado
s=	s0+vt s=s0 +v0t+at2/2
1.5	Gráficos	v	x	t
a) Movimento	Uniforme:
v = constante
b) Movimento	Uniformemente	Variado:
a	=	constante	Função:	v	=	v0 +at
6
c) Propriedades:
I. A	área	sob	a	curva	dá	o	valor	do	Δs.
II. A	aceleração	pode	ser	calculada	por	a=		Δv	.
		Δt
1.6	 Gráficos	a	×	t
a) Movimento	Uniforme:	a	=	0
b)Movimento	Uniformemente	Variado:	a	=	0
c) Propriedade:						Área	=	Δv
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 EXERCÍCIOS
Questão 01
Um	automóvel	deslocou-se	durante	1	h	com	velocidade	constante	de	60	km/h	
e,	a	seguir,	por	mais	meia	hor	a,	com	velocidade	constante	de	42	km/h	.	A	velo	cidade	
escalar		média	do	automóvel	nesse	intervalo	de	1h	30	min	foi	de	15	m/s.
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 02 
Em uma passagem de nível, a cancela é fechada automaticamente quando o 
trem está a 100 m do início do cruzamento. O trem, de comprimento 200 m, move-se 
com	velocidade	constante	de	36	km/h.	Assim	que	o	último	vagão	passa	pelo	final	do	
cruzamento, a cancela se abre, liberando o tráfego de veículos.
Considerando	que	a	rua	tem	largura	de	20	m,	o	tempo	que	o	trânsito	fica	contido	
desde o início do fechamento da cancela até o início de sua abertura, será superior a 30 
segundos.
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 03 
Na pista de testes de uma montadora de automóveis, foram feitas medições do 
comprimento da pista e dotempogastopor umcerto veículopara percorrê-la. Os valores 
obtidos foram, respectivamente, 1030,0 m e 25,0 s. Levando-se em conta a precisão 
das	medidas	efetuadas,	é	correto	afirmar	que	a	velocidade	média	desenvolvida	pelo	
citado	veículo	foi	menor	que	30	m/s.
( ) Certo ( ) Errado
8
 Questão 04 
 Um motorista apressado passa em alta velocidade por uma base da Polícia 
Rodoviária,	com	velocidade	constante	de	módulo	90	km/h.	Dez	segundos	depois,	uma	
viatura parte em perseguição desse carro e o alcança nos próximos 30 segundos. A 
velocidade	escalar	média	da	viatura,	em	todo	o	percurso,	será	de	120	km/h.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 05
Um corredor velocista corre a prova dos 100 m rasos em, aproximadamente, 10 
s. Considerando-se que o corredor parte do repouso, tendo aceleração constante, e
atinge	sua	velocidade	máxima	no	final	dos	100	m,	a	aceleração	do	corredor	durante	a
prova,	é	3	m/s².
( ) Certo ( ) Errado
Questão 06 
Um	carro	corre	a	uma	velocidade	de	20	m/s	quando	o	motorista	vê	um	obstáculo	
50 m à sua frente. A desaceleração mínima constante que deve ser dada ao carro para 
que	não	haja	choque	é	de	4	m/s².
( ) Certo ( ) Errado
Questão 07 
Uma	motocicleta	com	velocidade	constante	de	20	m/s	ultrapassa	um	trem	de	
comprimento	100	m	e	velocidade	15	m/s.	A	duração	da	ultrapassagem	é	de	25s.
( ) Certo ( ) Errado 
O enunciado abaixo refere-se às questões 08 e 09.
 Numa	 determinada	 avenida	 onde	 a	 velocidade	 máxima	 permitida	 é	 de	 60	
km/h,	 um	 motorista	 dirigindo	 a	 54	 km/h	 vê	 que	 o	 semáforo,	 distante	 a	 63	 m,	 fica	
amarelo	e	decide	não parar. 
 Questão 08 
 Sabendo-se que o sinal amarelo permanece aceso durante 3s aproximadamente, 
esse motorista, se não quiser passar no sinal vermelho, deverá imprimir ao veículo 
uma aceleração mínima de 4 m/s²
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 09
O resultado é que esse motorista não será multado, pois não avançou o sinal e 
nem superou a velocidade máxima permitida na via.
( ) Certo ( ) Errado 
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Questão 10 
O engavetamento é um tipo comum de acidente que ocorre quando motoristas 
deliberadamente mantêm uma curta distância do carro que se encontra à sua frente 
e	este	último	repentinamente	diminui	sua	velocidade.	Em	um	trecho	retilíneo	de	uma	
estrada, um automóvel e o caminhão, que o segue, trafegam no mesmo sentido e 
na	 mesma	 faixa	 de	 trânsito,	 desenvolvendo,	 ambos,	 velocidade	 de	 108	 km/h.	 Num	
dado momento, os motoristas veem um cavalo entrando na pista. Assustados, pisam 
simultaneamente nos freios de seus veículos aplicando, respectivamente, acelerações 
de	 intensidades	 3	 m/s²	 e	 2	 m/s².	 Supondo	 desacelerações	 constantes,	 a	 distância	
inicial mínima de separação entre o para-choque do carro (traseiro) e o do caminhão 
(dianteiro),	suficiente	para	que	os	veículos	parem,	sem	que	ocorra	uma	colisão,	é	de	50	
m.
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 11
Em um teste para uma revista especializada, um automóvel acelera de 0 a 90 
km/h	em	10	segundos.	Nesses	10	s,	o	automóvel	percorre	125m.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 12
Uma	 motocicleta,	 com	 velocidade	 de	 90	 km/h,	 tem	 seus	 freios	 acionados	
bruscamente e para após 25 s. O módulo da aceleração que os freios aplicaram à 
motocicleta	foi	de	1m/s².
( ) Certo ( ) Errado
Questão 13
Um	automóvel	parte	do	repouso	e	é	submetido	auma	aceleração	média	de	5	m/
s²	durante	4	s.	A	desaceleração	que	ele	deve	sofrer,	a	partir	desse	instante,	para	voltar	
ao	repouso	a	140	m	da	posição	inicial,	em	módulo	será	2	m/s².
( ) Certo ( ) Errado
Questão 14 
No momento em que um motorista vê a luz vermelha de um semáforo, ele freia o 
seu carro, o máximo possível, até parar. A “distância de parada” pode ser considerada 
como “distância de reação” do motorista, percorrida com velocidade constante, mais 
“distância de frenagem”, percorrida com desaceleração constante.
( ) Certo ( ) Errado 
Para os valores fornecidos na 
tabela, o tempo decorrido para o motorista 
conseguir parar completamente o seu 
carro superior a 3,0s.
10
Questão 15
Certo	piloto	de	kart	é	avaliado	durante	uma	prova,	ao	longo	de	um	trecho	retilíneo	
de 200 m de comprimento. O tempo gasto nesse deslocamento foi 20 s e a velocidade 
escalar do veículo variou segundo o diagrama abaixo.
Nesse	caso,	a	medida	de	v	no	instante	em	que	o	kart	concluiu	o	trecho	foi	de	90	
km/h.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 16 
O	gráfico	representa	a	variação	da	velocidade	de	um	automóvel	ao	frear.
Se nos 4 s da frenagem o automóvel deslocou 40 m então a velocidade em que 
se	encontrava	no	instante	em	que	começou	a	desacelerar	era	de	108	km/h.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 17
Seja	o	gráfico	da	velocidade	em	função	do	tempo	de	um	corpo	em	movimento	
retilíneo uniformemente variado representado abaixo.
( ) Certo ( ) Errado
 Considerando a posição inicial 
desse movimento igual a 46 m, então a 
posição do corpo no instante t = 8 s é 62 m.
11
Questão 18 
Este	gráfico,		velocidade		versus		tempo,	representa	o	movimento	de	um	automóvel	
ao longo de uma estrada reta.
A distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 12 s foi inferior a 144m.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 19 
Dois móveis, M e N, partem de um mesmo ponto e percorrem a mesma trajetória. 
Suas	velocidades	variam	com	o	tempo,	como	mostra	o	gráfico	a	seguir.
Analise	as	seguintes	afirmações	a	respeito	desses	móveis:
I. Os dois descrevem movimento uniforme.
II. Os dois se encontram no instante t = 10 s.
III. No	instante	do	encontro,	a	velocidade	de	M	será	32	m/s.
Deve-se	afirmar	que	apenas:
a) I é correta.
b) II é correta.
c) III é correta.
d) I e II são corretas.
e) II e III são corretas.
Questão 20 
O	gráfico	abaixo	mostra	as	velocidades	de	doiscarros,	A	e	B,	que	trafegam	no	
mesmo sentido ao longo de uma via plana e reta. No instante t = 0 os carros estão 
alinhados	num	mesmo	semáforo.	Após	quanto	tempo	o	carro	B	alcançará	o	carro	A?
a) t = 1 s
b) t = 2 s
c) t = 3 s
d) t = 4 s
e) t = 5 s
12
Questão 21
Um corpo que se movimenta em trajetória
retilínea	tem	sua	velocidade	variando	em	função	do	tempo,	conforme	mostra	o	gráfico	
abaixo.
Analise os itens a seguir.
I. No intervalo entre t0 e t1, o movimento é uniforme.
II. No intervalo entre t1 e t2, a aceleração aumenta.
III. A distância percorrida pelo corpo no intervalo de tempo t2 e t3 vale 
v2.(t3- t2).
IV. Nos intervalos entre t1 e t2, o movimento é progressivo e acelerado.
Sobre	eles,	pode-se	afirmar	que
a) os itens I e II estão corretos.
b) todos os itens estão incorretos.
c) todos os itens estão corretos.
d) apenas os itens I e III estão corretos.
e) apenas os itens I , III e IV estão corretos.
O	enunciado	abaixo	refere-se	às	questões	22	a	26.
O	gráfico	abaixo	representa	as	velocidades	em	função	do	tempo	para	dois	carros,	
A	e	B,	em	uma	estrada	reta.	Em	t	=	0	eles	se	encontram	no	quilômetro	zero.
Questão 22
 A velocidade média desenvolvida pelo carro A nas primeiras duas horas da 
viagem	é	70	km/h.
( ) Certo ( ) Errado
13
Questão 23
Ao	final	das	primeiras	duas	horas	de	viagem,	o	carro	B	ultrapassa	o	carro	A.	
( ) Certo ( ) Errado
Questão 24
Durante as primeiras quatro horas de viagem, cada carro se desloca 
em movimento uniformemente acelerado. 
( ) Certo ( ) Errado
Questão 25
Nas	primeiras		duas		horas		de	viagem,		a	aceleração	do	carro	B	é	maior	do	que	a	
aceleração do carro A. 
( ) Certo ( ) Errado
Questão 26
Ao	final	das	primeiras	quatro	horas	de	viagem,	a	distância		entre		os	dois	carros	é		
de	20	km.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 27 
O	gráfico	representa	o	movimento	de	um	carro	durante	certo	percurso.	Podemos	
afirmar	que	a	velocidade	média	do	carro	nesse	percurso	foi	de	64	km/h.	
( ) Certo ( ) Errado
Questão 28
Um	 carro	 viaja	 5h	 a	 uma	 velocidade	 que	 varia	 conforme	 o	 gráfico.	 Podemos	
afirmar	que	a	velocidade	média	do	veículo	durante	a	viagem	foi	superior	a	54	km/h.
( ) Certo ( ) Errado
14
O	enunciado	abaixo	refere-se	às	questões	29	a	31.
Duas	partículas	A	 e	B	movem-se	numa	mesma	 trajetória,	 e	 o	 gráfico	 a	 seguir	
indica suas posições (s) em função do tempo (t).
Questão 29
Pelo	gráfico,	podemos	afirmar	que	as	partículas	encontram-se	inicialmente	a	35	
m de distância uma da outra. 
( ) Certo ( ) Errado
Questão 30 
Podemos	afirmar	que	as	partículas	possuem	a	mesma	velocidade	no	instante	t	=	
5 s.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 31
Após	10	s,	podemos	afirmar	que	as	partículas	encontram-se	afastadas	com	a	
mesma distância registrada no início do movimento.
( ) Certo ( ) Errado
Questão 32
Um móvel se desloca, em movimento uniforme, sobre o eixo x durante o intervalo 
de	tempo	de	t0	=	0	a	t	=	30	s.	O	gráfico	representa	a	posição	x,	em	função	do	tempo	t,	
para o intervalo de t0 = 0 s a t = 5,0 s. O instante em que o móvel passa pela posição -30 
m, é exatamente igual a 25 s
( ) Certo ( ) Errado
15
O	enunciado	abaixo	refere-se	às	questões	33	a	35.
O	movimento	de	um	corpo	ocorre	sobre	um	eixo	x,	de	acordo	com	o	gráfico,	em	
que as distâncias são dadas em metros e o tempo, em segundos.
Questão 33
A distância percorrida em 1 segundo entre o instante t1 = 0,5 s e t2 = 1,5 s foi de 
20 m.
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 34
A	velocidade	média	do	corpo	entre	t1	=	0,0	s	e	t2	=	2,0	s	foi	superior	a	20	m/s.	
( ) Certo ( ) Errado 
Questão 35 
A velocidade instantânea no instante t1 = 1,5 s é superior à velocidade instantânea 
no	instante	t2	=	0,5	s.	(C/E)
( ) Certo ( ) Errado
Questão 36 
Um	móvel	se	desloca	em	MRU,	cujo	gráfico	v	×	t	está	representado	no	gráfico.	O	
valor do deslocamento do móvel entre os instantes t1 = 2,0 s e t2 = 3,0 s é de 30m.
( ) Certo ( ) Errado 
16
Questão 37
A	figura	mostra	um	gráfico	da	velocidade	em	função	do	tempo	para	um	veículo	
que realiza um movimento composto de movimentos retilíneos uniformes. Sabendo-se 
que	em	t	=	0	a	posição	do	veículo	é	x0	=	+	50	km.	A	posição	do	veículo	no	instante	t	=	
4,0	h	é	25	km.
( ) Certo ( ) Errado
	O	enunciado	abaixo	refere-se	às	questões	38	a	40.
Este	gráfico	mostra	como	varia	a	posição	em	função	do	tempo	para	um	carro	que	
se desloca em linha reta. 
Questão 38
Podemos	afirmar	que	após	40s,	o	movimento	é	considerado	acelerado.	
( ) Certo ( ) Errado
Questão 39
No	instante	t	=	60	s,	a	velocidade	do	carro	é	36	km/h.	
( ) Certo ( ) Errado
Questão 40
Na posição 600 m, a velocidade é maior que no instante 50 s.
( ) Certo ( ) Errado
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
17
v
0
 = 20 m/ s
s = 50 m
v = 0
a = ?
v² = v
0
² + 2as
0² = 20² + 2a50
100a 4 00 
a = -4 m/ s² (Negat iva significa desaceleração)
06
C
v
M
 = 90 km/ h = 25 m/ s. Então após t = 10 s:
s = v · t Assim:
= 25 · 10
s = 250 m
v V
M M
s 0 v ·t
s 250 v ·t
 
  
No encont ro s
V
 = s
M
v
V
·t = 250 + v
M
·t
v
V
·30 = 250 + 25·30
v
V
· 30 1000
V
100
v m/ s
3
 × 3,6 = 120 km/ h
s = 100 m
t = 10 s
v
0
 = 0
a = ?
s = s
0
 + v
0
·t + at²
2
s - s
0
 = v
0
t + at²
2
s = v
0
·t + at²
2
100 = a(10)²
2
100·a 2 00
 a = 2 m/ s²
04
C
05
E
Gaba rito Com entado
Trecho 1:
1
1
1
s
v
t



1s60
1


s
1
 = 60 km
Trecho 2:



2
2
2
s
v
t
2s42
½


s
2
 = 21 km
v
m tot al
= ?
Então:
v
m tot al
= total
total
s 60 21 81
 54 km/h
t1 h ½ h 1,5
 
  
 
M as:
54 km/ h ÷ 3,6 = 15 m/ s
01
C
02
C
O cruzamento se encerra quanto o ponto A
percorre:
s = 200 m + 100 m + 20 m = 320 m
Logo:

     
 
s 320
v 10 t 32 s
t t
03
Es = 1030 m
t = 25 s
v
m
 = 
1030
25
 = 41,2 m/ s
18
  
    
M M
T T
s 0 v t 20t
s 100 v ·t 100 15t
É o mesmo que:
Após ult rapassagem:
s
M
 = s
T
20t = 100 + 15t
5t = 100
 t = 20 s
1ª Solução:
2ª Solução:

 
 
 
s 100
v 5
t t
t 20s
Obs.: M oto terá dimensão desprezível.
v
0
 = 54 km/ h = 15 m/ s
s = 63 m
v
Limite
 = 60 km/ h
s = s
0
 + v
0
t + at²
2
s = v
0
·t + at²
2
63 = 15 · 3 + 
a(3)²
2
63 - 45 = 
9a
2
9a = 36
a = 4 m/ s²
07
E
08
C
v = v
0
 + at
 v = 15 + 4.3
 v = 27 m/ s ou v = 97,2 km/ h
09
E
a
1
 = 2 m/ s² a
2
 = 3 m/ s²
I. v
1
² = v
01
² + 2a
1
 · s
1
0² = 30² - 2 · 2 s
1
4s
1
 = 900  s
1
 = 225 m
II. v
2
² = v
02
² + 2a
2
 · s
2
0² = 30² - 2 · 3 s
2
6s
2
 = 900  s
2
 = 150 m
Logo:
d = 225 - 150 d = 75 m
v
0
 = 0
v = 90 km/ h = 25 m/ s
t = 10 s
s = ?
v = v
0
 + at
25 = a · 10
a = 2,5 m/ s²
v² = v
0
² + 2as
25² = 2·2·5s
5s = 625
s = 125 m
11
C
v
1
 = v
2
 = 108 km/ h = 30 m/ s
10
E
v
0
 = 90 km/ h = 25 m/ s
v = 0
t = 25 s
a = ?
12
C
v = v
0
 + at
0 = 25 + a·25
a = -1 m/ s²
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
19
18
E
   
b·h 12· 24
s Área
2
 12·12 144 m
2
v
0
 = 0
a
1
 = 5 m/ s²
t = 4 s
I. v = v
0
 + at v² = v
0
² + 2as
v = 5 · 4 20² = 2 · 5 · s
v = 20 m/ s s = 40 m
II. a
2
 = ?
v² = v
0
² + 2a
2
s
2
0² = 20² + 2a
2
 · 100
200·a
2
 = -400
a
2
 = -2 m/ s²
140 m da
posição
in i ci al ,
si gn i f ica
que restam
100 m.
Trecho 1 (M .U.)
s
1
 = v
1
t
15 = 20t
t = 0,75 s
Trecho 2 (M .U.V.)
v
2
² = v
1
² + 2as
0² = 20² + 2a20
40a = -400
a = -10 m/ s²
v
2
 = v
1
 + at
0 = 20 - 10t
 t = 2s
Então:
t
total 
= 2,75 s
s = 200 m
t = 20 s
s N Área = A
t ot al
 = A
1
 + A
2
 + A
3
12
200 
·12,5
2
(v 12,5) 4
4·12,5

 
²
2
200 = 75 + 50 + 2(v + 12,5)
200 - 125 = 2v + 25
2v = 50  v = 25 m/ s = 90 km/ h
15
C
v
0
 = 72 km/ h = 20 m/ s
14
E
16
E
s N Área = 40 m = b·h
2
4
40  0
·v
2
v
0
 = 20 m/ s  v
0
 = 72 km/ h
17
C
v = v
0
 + at
0 = 10 + a5
 a = -2 m/ s²
s
0
 = 46 m
s = s
0
 + v
0
t + at²
2
s = 46 - 10·8 - 
2 2(8)
2
s = 46 + 80 - 64
 s = 62 m
13
C
20
24
E
I. (F) M (M .U.V.)
N (M .U.)
II. (F) Quando t = 10 s v
M
 = v
N
 mas não
mesma posição.
III. (V)
P/ N P/ M
s
N
 = 0 + 16t
16
a 1,6 m/s²
10
 
s
N
 = 16 t s
M
 = 0 + at + 1,6 t²
2
s
M
 = 0,8 t ²
19
C
No encont ro: Então:
S
M
 = S
N
v
M
 = v
0
 + at
0,8t ² = 16t v
M
 = 0 + 1,6 · 20
160
t 20s
8
  v
M
 = 32 m/ s
20
d
Para o carro A: (M .U.)
v
A
 = 10 m/ s
s
A
 = 0 + 10·t
 s
A
 = 10·t
Para o carro B: (M .U.V.)
 B
10
a 5 m/ s²
2
  B
5t²
s 0 0t
2
0Bv 0 B
5t²
s
2
Então no encont ro: s
A
 = s
B
 
A Bs s
5t²
10·t
2


 t = 4s
I. (V) t
0
 a t
1
 = v constante = M .U.
II. (F) Velocidade aumenta, aceleração não
III. (V) ∆s = Área = b · h = (t
3
 - t
2
) · v
2
IV. (V) v(+) a (+) 
21
E
Após 4h, tanto percorreram com M .U.V.
(acelerado) como M .U. (constante).
a
B
 > a
A
 pois ela é mais inclinada.
s
A
 = A
1
 + A
2
= 140 + 80·2
s
A
 = 300 km
s
B
 = (100 40)·3 1 · 100
2


s
B
 = 210 + 100 = 310 km
d = 310 - 300 = 10 km
s
1
 = A
1
 = 0,2·40 = 8 km
s
2
 = A
2
 = 0,3·80 = 24 km
s
 
= 32 km
t
 
= 0,5 h
M
s 32 32
v = 64 km/h
t 0,5 ½

  

22
C
25
C
26
C
27
C
1
(B b)·h (80 60) 2
Área s
2
 
   
2
140 km
m
s 140
Então : v 70 km/h
t 2

  

23
E
Após 2h, a distância percorr ida por A é
maior que B.
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
21
Trecho 1
s
1
 = 15 · 1 = 15 km
Como estava na posição 50 km, ele irá para a
posição 65 km.
Trecho 2
s
2
 = 2 · (-20) = -40 km
Portanto voltará 40 km e ficará na posição 25 km.
O movimento é uniforme e progressivo.
700 100 600
v 10 m/s
100 40 60

  

Ent re 40 s e 100 s, a velocidade é a mesma.
s N Área = b·h = 1·10 = 10 m
M
40 30 10
v 10 m/s
2 1 1

  

35
E
36
E
37
C
38
E
39
C
40
E
M
40
v 20 m/s
2
 
34
E
28
E
s
1
 = A
1
 = 2·40 = 80 km
s
2
 = A
2
 = 2·80 = 160 km
s
t ot al
 = 240 kmt
t ot al
 = 5 h
total
M
total
s 240
v 48 km/h
t 5

  

A
B
20 5 15
v 3 m / s
5 5
0 40 40
v 4 m / s
10 0 10

  

    

| v
B
| > | v
A
|
Então para s = -30 m, temos:
-30 = 20 - 2t
2t = 50
 t = 25 s
Para t = 0
s
oA
 = 5 m
s
oB
 = 40 m
 d = 35 m
29
C
30
E
31
C
32
C
s
0
 = 20 m
s = 20 - 2t
10
v 2 m/s
5

   
s 10 20 10 m
t 5 s
   

 
P/ t
1
 = 0,5s  s
1
 = 15 m
P/ t
2
 = 1,5s  s
2
 = 35 m
 d = 35 - 15 = 20 m
s
A
 = 5 + 3 · 10 = 35 m e s
B
 =
 
0
Logo: d = 35 m
33
C
22
 QUESTÕES DE CONCURSO
 Questão	01	(CBM-PA/2003-CESPE)
		 Cinemática	—	 que	 vem	 da	 palavra	 grega	 kínema	 e	 significa	 movimento	—	 é	
uma área da Física que estuda os movimentos sem se preocupar com suas causas ou 
seus efeitos. Ela faz uma análise apenas descritiva do movimento, em que o referencial 
tem uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os itens 
subsequentes.
 
 1.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as conclusões 
dependem do referencial em relação ao qual a análise está sendo feita. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 1.2 Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre caem 
com a mesma aceleração. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 1.3 Se, em uma corrida de Fórmula 1, um pilotodesenvolveu a velocidade média 
de	387	km/	h,	 conclui-se	que	ele	manteve	essa	velocidade	em	pelo	menos	50%	do	
tempo da corrida. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	02	(Perito	Polícia	Civil	-	PE)
 Um carro de polícia partiu do Recife às 10h40min e chegou a Vitória de Santo 
Antão	às	11h20min.	Se	a	distância	total	percorrida	foi	de	56	km,	determine	a	velocidade	
média do veículo.
	 a)	82	km/h
	 b)	84	km/h
	 c)	86	km/h
	 d)	88	km/h
	 e)	90	km/h
 Questão	03	(CESPE/2006-SEDUC-PA-Professor	de	Física)	
	 Considere	que	dois	automóveis	separados	a	uma	distância	de	375	km	inicialmente,	
deslocam	se	um	ao	encontro	do	outro	com	velocidades	constantes	e	iguais	a	60	km/h	
e	90	km/h,	respectivamente.
	 Nessa	situação,	os	automóveis	se	encontrarão	após:
 a)1 h.
 b)1 h e 30 min.
 c)2 h.
 d)2 h e 30 min.
 
23
Questão	04	(SEDUC-ES-CESPE)
 Suponha que, simultaneamente, um carro parta de São Paulo para o Rio de 
Janeiro	com	velocidade	constante	de	120km/h,	e	outro,	do	Rio	de	Janeiro	para	São	
Paulo	com	velocidade	constante	de	100km/	h,	ambos	seguindo	a	mesma	estrada.	Com	
base nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é 
de	400km,	julgue	os	itens	a	seguir.	
4.1 Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min. 
( ) Certo ( ) Errado
4.2	 Se	o	carro	que	partiu	de	São	Paulo	percorrer	100km	com	uma	velocidade	
de	100km/h	e	200km	com	uma	velocidade	de	50km/h,	então,	para	conseguir	perfazer	o	
trajeto	em	5h	e	30min,	o	motorista,	no	último	trecho	deverá	desenvolver	uma	velocidade	
superior	a	180km/h.	(
( ) Certo ( ) Errado
4.3 Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até São 
Paulo na mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele deverá ser superior 
a	160km/h.	
( ) Certo ( ) Errado
 4.4 Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais 
rodoviários medem as velocidades médias dos carros. 
( ) Certo ( ) Errado
Questão	05(CESPE-UNB-CEFET-PA-Diversos	Cargos)
Os							gráficos			anteriores,		referentes		ao	deslocamento	em	função	do	tempo,	
representam movimentos unidimensionais de um corpo em quatro situações diferentes 
W,	X,	Y	e	Z.	 Julgue	os	 itens	a	 seguir,	 com	base	nesses	gráficos	e	nos	conceitos	de	
movimento.
I. Nas quatro situações representadas nos
gráficos,as	velocidades	médias	são	iguais.
II. Nas	situações	 representadas,	os	gráficos	W,	X	e	Y	mostram	que	os	valores
absolutos das velocidades máximas são iguais.
III. Os	movimentos	 representados	pelos	gráficos	W,	X	e	Y	são	uniformemente
variados	e	o	movimento	 representado	pelo	gráfico	Z	é	uniforme.	 IV	Pelo	gráfico	Z,	é	
correto	concluir	que,	no	instante	de	tempo	igual	a	b/2,	o	deslocamento	do	corpo	foi	de	
2a.
24
	 A	quantidade	de	itens	certos	é	igual	a:
 a) 0
 b) 1
 c) 2
 d) 3
 Questão	06	(IPAD	-	PC-PE	-	2006	-	Perito	Criminal)
 A posição de um móvel em movimento retilíneo é dada pela função horária x = 4 
+	20t	-	2t²,	onde	x	está	em	metros	e	t	em	segundos.	Podemos	afirmar	que	a	velocidade	
do	corpo	é	igual	à	zero,	no	instante:
 a) t = 1 s
 b) t = 2 s
 c) t = 3 s
 d) t = 4 s
 e) t = 5 s
	 Questão	07	(FDRH	-	PC/RS	-	2008	-	Perito	Criminal
	 Um	automóvel,	em	eficiência	máxima,	é	capaz	de	aumentar	sua	velocidade	de	0	
a	90	km/h	num	intervalo	de	tempo	de	12s.	Supondo	que	esse	automóvel	movimente-	
se com aceleração constante ao longo de uma pista de corridas retilínea, a distância 
percorrida	por	ele	para	atingir	a	velocidade	final	é	de,	aproximadamente,
 a) 7,50 m
 b) 43,3 m
 c)150 m
 d)300 m
 e) 540 m
 Questão	08	(CESPE/UNB-CEFET-PA-2003)
	 No			Manual			de			Formação			de			Condutores,			do	Código	de	Trânsito	Brasileiro,	
consta	um	curso	de	direção	defensiva	que	se	baseia	no	seguinte	slogan:	o	bom	motorista	
é aquele que dirige para si e para os outros . Uma das recomendações importantes 
desse curso é que o motorista mantenha seu veículo a uma distância segura do veículo 
que	vai	à	sua	frente,	a	fim	de	evitar	colisão	em	caso	de	parada	ou	mesmo	de	desvio	
de	percurso	repentino.	Essa	distância	segura	é	definida	tendo	como	base	condições	
típicas de frenagem. Para avaliar esse problema, considere a situação representada na 
figura	abaixo.
 Nessa situação, as distâncias indicadas apresentam os seguintes 
significados	 físicos:	distância	de	 reação	—	é	aquela	que	o	veículo	percorre	desde	o	
instante em que o motorista percebe a situação de perigo até o momento em que 
25
aciona o pedal do freio; distância de frenagem — é aquela que o veículo percorre 
desde o instante em que o motorista pisou no freio até o momento da parada total do 
veículo; distância de parada — é aquela que o veículo percorre desde o instante em 
que	o	motorista	percebe	o	perigo	e	decide	parar	até	a	parada	total	do	veículo,	ficando	
a uma distância segura do outro veículo, pedestre ou qualquer objeto na via. A partir 
das informações acima e com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, 
considerando		que			o			caminhão	mostrado	na	figura	pare	repentinamente.
	 I.	 O	 gráfico	 ao	 lado	 poderia	 representar	
corretamente o comportamento da velocidade do 
carro — v — em função do tempo— t — do instante 
em que o motorista do carro percebe a parada do 
caminhão até a sua parada total.
 II. Se a velocidade inicial do carro fosse duplicada, a distância de parada também 
seria duplicada, caso fossem mantidas as condições de frenagem típicas.
 III. Na situaçãoapresentada, a distância de reação independe da velocidade inicial 
do carro.
 IV. Nas condições estabelecidas, a distância de frenagem depende da velocidade 
inicial do carro.
	 Estão	corretos	apenas	os	itens:
 a) I e III.
 b) I e IV.
 c) II e III.
 d) I, II e IV.
 e) II, III e IV.
 Questão	09	(Polícia	Civil–SP–Perito	Criminal–	FCC)
	 O	gráfico	qualitativo	da	velocidade	(v),	em	função	do	tempo	(t),	da	figura	a	seguir	
representa o movimento de um carro que se desloca em linha reta.
 Considerando que sua posição inicial era o marco zero da trajetória, o 
correspondente	gráfico	horário	de	sua	posição	(S),	em	função	do	tempo	(t),	é:
a) b)
 e)
c) d) 
26
 Questão	10	(COMVEST-Pol.	Civil/PB-Perito	Criminal)
 No instante em que a luz verde do semáforo acende, um carro ali parado, parte 
com	aceleração	constante	de	2,0	m/s².	Um	caminhão,	que	circula	na	mesma	direção	
e	 no	mesmo	 sentido,	 com	 velocidade	 constante	 de	 10	m/s,	 passa	 por	 ele	 no	 exato	
momento	da	partida.	Podemos,	considerando	os	dados	numéricos	fornecidos,	afirmar	
que:
 a) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo
 b) o carro não alcança o caminhão
 c) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo
 d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
27
4.1 v
REL
 = v
1
 + v
2
 (sent idos opostos) (C)
v
REL
 = 120 + 100 = 220 km/ h
s 400 km 20
v t h
t 220 km/ h 11
11h 9h 540
1 h min 1h49min
11 11 11

     

    
4.2
t
1
 = 1 h t
2
 = 4 h 33
3
s
v
t
100
200 km/ h
½

 


4.3 3
400 km
v 133 km/ h
3 h
  (E)
4.4 Velocidade Instantânea (E)
(C)
I. (F) v
w
 = v
x
 = v
y
  v
z
II. (F) M enor tempo, maior velocidade
III. (F) Todos são uniformes
s = 4 + 20t -2t ² v = v
0
 + at
• s
0
 = 4 m v = 20 - 4t
• v
0
 = +20 m/ s p/ v = 0 t = ?
• a = -4 m/ s² 0 = 20 - 4t
4t = 20  t = 5 s
v
0
 = 0
v = 90 km/ h ÷ 3,6 = 2,5 m/ s
t = 12 s
s = ?
I. v = v
0
 + at II. v² = v²
0
 + 2as
25 = a·12 (25)² = 
25
2·
12
· s
25
a m / s²
12

s
25
6

 s = 150 m
04
05
a
06
E
07
C
1.1 M ovim en t o ou repouso , SEM PRE
dependem do referencial. (C)
1.2 a = g (C)
1.3 Não obrigator iamente. (E)
t
1
 = 10h40min
t
2
 = 11h20min
s = 56 km
v
m
 ?



t = 40 m in =
2
h
3
m m
s 56 3
v v 56· 84 km/ h
t 2 / 3 2

    

Solução 1: No encont ro:
s
1
 = 0 + 60·t s
1
 = s
2
s
2
 = 375 - 90·t 60t = 375 - 90t
150t = 375
t = 375150 = 2,5 h
Solução 2: (mais fácil)
v
REL
 = v
1
 + v
2
 = 150 km/ h (sent idos opostos)
s = 375 m
375
t 2,5 h
150
  
02
b
03
d
GABARITO COM ENTADO
01
28
I. (V)
II. (F)
1ª situação
1
2
0 1v 2a s 
1
2
0
1
v
s
2a
 
2ª situação
2 10 0
v 2·v
Então:
2
2
0 2v 2a s 
 
1
2
0 22·v 2a s 
1
2
0 24v 2a s 
1
2
0
2
4v
s
2a
 
s
2
 = 4s
1
III. (F)
Quanto maior a velocidade inicial, maior é a
distância de reação.
IV. (V)
08
b
1º t recho = velocidade aumenta posit ivamente
2º t recho = velocidade diminui posit ivamente
3º t recho = velocidade constante (M .U.)
1 1
2t ²
s s t ²
2
  
2s 10t
09
e
10
a
No encont ro:
s
1
 = s
2
t ² = 10t
t = 10 s Logo: s
2
 = 10 · 10 = 100 m
ANOTAÇÕES
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
29
ANOTAÇÕES
30
DECOMPOSIÇÃO DO 
MOVIMENTO
31
 2 DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO
 Sabemos que, para alterar a velocidade de um objeto, é necessária a ação de 
uma aceleração. Esse é um dos fundamentos das Leis de Newton que estudaremos 
posteriormente. Portanto, somente a ação de uma força pode alterar o módulo ou a 
direção da velocidade de um objeto.
 Se não houvesse gravidade ou resistência do ar, uma esfera que rolasse sobre uma 
mesa e a abandonasse continuaria a se mover com velocidade constante, percorrendo 
distâncias iguais em intervalos de tempos iguais, apresentando um movimento retilíneo 
uniforme.
 As equações e as características vetoriais para os movimentos mencionados já 
foram estudadas em módulos anteriores, devendo ser, agora, aplicadas conjuntamente.
 Na direção horizontal, como o movimento é uniforme, o vetor velocidade 
permanece constante em módulo, direção e sentido. Na direção vertical, como o 
movimento é uniformemente acelerado, o vetor velocidade possui direção vertical, 
sentido para baixo e módulo crescente, de acordo com as equações já estudadas. 
O quadro a seguir apresenta o vetor velocidade para cada um dos movimentos 
componentes do movimento da esfera e as características associadas a eles.
 2.1 Lançamento Vertical
 
 Movimentos	no	plano	vertical
 a) Queda livre -> é um MRUV acelerado.
 b) Lançamento vertical -> é um MRUV retardado.
32
 2.2 Lançamento horizontal
 É importante observar que o vetor velocidade v de um corpo é sempre tangente 
à trajetória deste, em qualquer posição.
 2.3 Lançamento oblíquoO lançamento oblíquo nada mais é do que uma extensão do lançamento horizontal 
estudado no tópico anterior. Nessa nova situação, o lançamento é feito com velocidade 
vertical inicial diferente de zero. Dessa forma, devemos analisar o movimento vertical na 
subida	e	na	descida,	mas	isso	não	representará	grande	dificuldade,	já	que	a	descrição	
física e matemática dos movimentos verticais de subida e descida são análogas.
	 A	 figura	 a	 seguir	 mostra	 as	 características	 do	 vetor	 velocidade	 nas	 direções	
vertical e horizontal durante todo o movimento. É importante notar que o movimento 
segundo o eixo 0y equivale a um lançamento vertical para cima, com velocidade 
inicial	v0y	e	aceleração	de	valor	-10	m/s².	Como	já	dito,	enquanto	o	projétil	sobe,	seu	
movimento é desacelerado e, ao descer, acelerado.
33
 Vamos apresentar separadamente as características de cada parte do movimento 
e suas respectivas equações, considerando como positivos os sentidos coincidentes 
com os sentidos dos eixos coordenados.
	 Durante	a	subida:
 • a componente vertical da velocidade é positiva;
 • o módulo da componente vertical da velocidade diminui (movimento 
uniformemente desacelerado);
 • o módulo da velocidade horizontal não se altera;
	 •	o	valor	da	aceleração	devido	à	gravidade	é	de	-9,8	m/s²;	v	=	v0	+	gt	//	h	=	v0t	+	
½(gt²)	//	v²	=	v²0		+	2gd;
 Analisando-se o movimento total de subida, o valor da velocidade vertical inicial, 
v0,	é	o	valor	da	componente	vertical	da	velocidade	de	lançamento	(v0y	=	v0·sen	฀),	e	a	
velocidade	final	é	zero.
	 No	ponto	mais	alto	da	trajetória:
 • o valor da componente vertical da velocidade é nulo;
 • o intervalo de tempo gasto no movimento de subida será igual ao intervalo de 
tempo gasto no movimento de descida;
 • o valor da altura máxima atingida pelo projétil pode ser determinado a partir da 
análise do movimento uniformemente desacelerado, na direção vertical;
 • o valor da distância horizontal percorrida pode ser determinado a partir da 
análise do movimento uniforme, na direção horizontal, utilizando-se a velocidade 
horizontal inicial e o intervalo de tempo gasto na subida.
Durante	a	descida:
 • a componente vertical da velocidade é negativa;
 • o módulo da velocidade vertical aumenta (movimento uniformemente acelerado);
 • o valor da componente horizontal da velocidade permanece constante e igual 
ao valor da componente horizontal da velocidade no momento do lançamento;
34
	 •	o	valor	da	aceleração	devido	à	gravidade	é	de	-9,8	m/s²;	v=	v0	+	gt	//	d=	v0t+	(½)
gt²	//	v²=	v02	+	2gd;
 • analisando-se o movimento de descida, o valor da velocidade vertical inicial v0 
é	zero,	e	o	valor	da	velocidade	final	possui	o	mesmo	módulo	da	componente	vertical	da	
velocidade	de	lançamento	(v0y	=	v0·sen	0),	porém,	com	sinal	negativo.
 Tempo	total	de	movimento
 Podemos determinar o tempo total de permanência do projétil no ar, realizando 
os cálculos do tempo de subida e de descida separadamente, ou então, efetuar os 
cálculos	considerando	a	velocidade	inicial	de	subida	e	a	velocidade	final	de	descida.
 O tempo de subida pode ser determinado, utilizando-se a equação vy = v0y + gt. 
No instante em que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória, vy = 0.
 Altura	máxima	(hmáx)	
 O valor da altura máxima (hmáx) atingida pelo projétil, em relação ao solo, pode 
ser determinado, lembrando-se que hmáx é o valor da altura vertical quando Vy se anula. 
Na direção vertical, durante a subida, o movimento é uniformemente desacelerado.
 Alcance horizontal
 O alcance horizontal (A) é a distância percorrida pelo projétil, na horizontal, desde 
o instante do lançamento até o momento em que o projétil toca o solo. Seu valor é igual 
ao deslocamento horizontal do projétil durante o intervalo de tempo total do movimento.
 3.4 Movimento circular
 Velocidade angular
 Um objeto pode girar mais depressa que outro. O ponteiro de segundos de um 
relógio gira mais rápido que o de minutos, e este, mais rápido que o de horas. Para 
estudarmos	o	movimento	circular,	é	necessário	definir	uma	grandeza	que	meça	essa	
“rapidez” de giro, que é a velocidade angular.
 No MCU, os módulos das velocidades angular e linear são constantes. Já a 
direção do vetor velocidade linear é variável.
 
฀ = 
฀฀ 
฀t 
35
 Duas grandezas complementares são muito importantes para 
caracterizarmos	o	MCU;	são	elas:	o	período	(T)	e	a	frequência	(f).	Período	é	o	intervalo	
de tempo necessário para que um corpo, em MCU, efetue uma volta completa em torno 
de uma circunferência. Por exemplo, o período de revolução da Terra ao redor do Sol é 
de 1 ano, o período de um ponteiro de segundos é de 1 minuto, o período da broca de 
uma furadeira elétrica é da ordem de 0,01 s, etc.
	 Já	a	frequência	está	associada	ao	número	de	voltas	efetuadas	pela	partícula	a	
cada unidade de tempo. Por exemplo, se você amarrar um barbante a uma pedra e girá-
los, de modo que eles efetuem um MCU, obrigando a pedra a efetuar 50 voltas em 10 s, 
a	frequência	desse	movimento	será	de	5	voltas/segundo	ou	5	hertz	(5	Hz).
Por	 definição,	 1	 hertz	 representa	 uma	 volta	 ou	 revolução	 por	 segundo.	 O	 hertz	 é	 a	
unidade de frequência utilizada pelo Sistema Internacional de Unidades.
	 De	 acordo	 com	 as	 definições	 de	 período	 e	 de	 frequência	 apresentadas,	 no	
MCU, uma volta completada está para um intervalo de tempo igual a T, assim como 
f voltas completadas estão para um intervalo de tempo unitário (1 s, 1 min, 1 h, etc). 
Portanto, podemos escrever a seguinte igualdade de razões e deduzir uma equação de 
recorrência	entre	T	e	f:
	 Há	também	uma	relação	entre	a	velocidade	angular	de	um	corpo	em	MCU	e	a	
frequência desse movimento. Ao efetuar uma volta completa, o corpo descreve um 
ângulo	 de	 2π	 radianos	 em	 um	 intervalo	 de	 tempo	 T	 (período	 do	movimento).	 Logo,	
utilizando	a	definição	de	velocidade	angular	e	a	relação	entre	o	período	e	a	frequência,	
temos:
 Naturalmente, há também uma relação entre a velocidade linear e a frequência. 
Lembrando que, durante um período T, uma partícula em movimento circular uniforme 
de	raio	R	percorre	um	perímetro	igual	a	2πR	e	usando	a	definição	da	velocidade	linear,	
concluímos	que	o	módulo	dessa	velocidade	é	dado	por:
 Comparando essa equação com a equação da velocidade angular, obtida 
anteriormente, obtemos a seguinte expressão de recorrência entre essas duas 
velocidades:
 Transmissão	de	velocidades	no	movimento	circular
 É muito comum a transmissão do movimento circular de um disco (ou de uma 
roldana, ou de uma polia) a outro objeto, por meio do contato direto entre eles ou por 
meio do uso de correias ou de eixos. A seguir, discutiremos cada um desses casos.
1 
= 
f 
฀ T = 
1
 
T 1 f 
 
฀ = 
2฀ 
฀ ฀ = 2฀f 
T 
v =
 2฀R 
2฀Rf 
T 
 v = ฀R 
36
 Transmissão	por	contato
 Quando há transmissão de movimento circular de um disco a outro por meio do 
contato direto entre eles, os dois discos apresentam a mesma velocidade linear, desde 
que não haja deslizamento entre eles.
 
 
	 Dessa	forma,	temos:	
	 Considerando	a	figura	anterior,	temos	que																																																								,	ou	seja,	o	
disco	B	gira	mais	rápido	que	o	disco	A.	Consequentemente,	a	frequência	do	disco	A	é	
menor que a frequência do disco
B.	Em	outras	palavras,	como	v/R	=				=	2πf,	e	lembrando	que	v	é	constante,	concluímos	
que a velocidade angular e a frequência f são inversamente proporcionais ao raio. 
	 Assim,	por	exemplo,	se	na	figura	anterior	RA for igual a 2RB, então, fA será igual 
a fB/2.	No	caso	de	engrenagens,	 em	que	o	acoplamento	se	dá	por	encaixe	entre	os	
dentes,	o	 raciocínio	é	o	mesmo.	Como	última	nota	sobre	esse	 tipo	de	 transmissões	
de movimentos, é importante perceber que os dois discos (ou engrenagens) giram em 
sentidos	opostos,	como	pode	ser	observado	na	figura	anterior.
 
37
	 Transmissão	por	eixo
 Nesse tipo de acoplamento, todas as engrenagens encontram-se presas a 
um	 único	 eixo	 que,	 ao	 girar,	 faz	 com	 que	 essas	 engrenagens	 giremcom	 a	 mesma	
velocidade angular. Consequentemente, as engrenagens apresentarão, também, a 
mesma frequência de rotação que o eixo.
 
	 Sendo	assim,	temos	que:
 Essa equação mostra que a velocidade escalar v e o raio R do disco são 
grandezas	diretamente	proporcionais.	Por	exemplo,	na	figura	anterior,	veja	que	A	é	um	
ponto	na	periferia	de	uma	roda	dentada	maior	e	que	B	é	um	ponto	na	periferia	de	uma	
roda dentada menor. Então, RA > RB.
Consequentemente, vA > vB. Podemos estender esse raciocínio para um ponto na 
periferia do pneu.
 Quanto maior for o raio do pneu em relação ao raio das rodas dentadas centrais 
(catracas), maior será o aumento da velocidade. Na verdade, a velocidade escalar na 
periferia do pneu representa a própria velocidade de translação da bicicleta. Por isso, 
para proporcionar maiores velocidades, os diâmetros dos pneus de bicicletas são, em 
geral, muito grandes.
 
฀ = ฀ ฀ 
vA = 
vB
 A B R R A B 
38
 EXERCICIOS
 Questão	01 
 Um corpoé abandonadode uma altura de 20 m num local onde a aceleraçãoda 
gravidade	da	Terra	é	dada	por	g	=	10	m/s².	Desprezando	o	atrito,	o	corpo	toca	o	solo	
com	velocidade	iguala	20	km/h.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	02 
 Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de v0 
=	30	m/s.	Sendo	g	=	10	m/s²	e	desprezando	a	resistência	do	ar	podemos	afirmar	que	a	
velocidade	do	corpo,	2,0	s	após	o	lançamento,	será	10	m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	03
 Em relação às informações do texto da questão anterior, a altura máxima 
alcançada	pelo	corpo	será	55	m.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	04	
	 Um	corpo	em	queda	livre	sujeita-se	à	aceleração	gravitacional	g	=	10	m/s².	Ele	
passa	por	um	ponto	A	com	velocidade	10	m/s	e	por	um	ponto	B	com	velocidade	de	50	
m/s.	A	distância	entre	os	pontos	A	e	B	é	superior	a	115	m.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Quanto	 ao	 movimento	 de	 um	 corpo	 lançado	 verticalmente	 para	 cima	 e	
submetido	somente	à	ação	da	gravidade,	analise	as	assertivas	de	05	a	09.
 Questão	05
 A velocidade do corpo no ponto de altura máxima é zero instantaneamente. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	06
	 A	velocidade	do	corpo	é	constante	para	todo	o	percurso.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	07
 O tempo necessário para a subida é igual ao tempo de descida, sempre que o 
corpo	é	lançado	de	um	ponto	e	retorna	ao	mesmo	ponto.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	08
	 A	aceleração	do	corpo	é	maior	na	descida	do	que	na	subida.	(C/E)
 Questão	09
 Para um dado ponto na trajetória, a velocidade tem os mesmos valores, em 
módulo, na subida e na descida.
 ( ) Certo ( ) Errado
39
 Questão	10
 Uma equipe de resgate se encontra num helicóptero, parado em relação ao solo 
a 305 m de altura. Um paraquedista abandona o helicóptero e cai livremente durante 1,0 
s, quando abre-se o paraquedas. A partir desse instante, mantendo constante seu vetor 
velocidade,	o	paraquedista	atingirá	o	solo	exatamente	em	30	s.	(C/E)	(Dado:	g	=	10	m/s²)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	11
 Uma bola é lançada horizontalmente com velocidade inicial v0. Ao percorrer 
horizontalmente	 30	m,	 ela	 cai	 verticalmente	 20	m,	 conforme	mostrado	 no	 gráfico	 a	
seguir.	Considere	a	aceleração	da	gravidade	igual	a	10	m/s²	e	despreze	a	resistência	do	
ar.
	 É	correto	afirmar	que	o	módulo	da	velocidade	de	lançamento	v0	é	superior	a	12	
m/s.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	12
 Um projétil é lançado horizontalmente de uma altura de 20 m, com uma velocidade 
inicial	de	módulo	 igual	a	15	m/s.	Desprezando-se	a	resistência	do	ar	e	considerando	
o	módulo	 da	 aceleração	 gravitacional	 como	10	m/s²,	 é	 corretoafirmar	 que	 o	 projétil	
atingirá	o	solo	após	ter	percorrido	uma	distância	horizontal	igual	a	30m.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	13
 Um aluno do ANPRF, em uma partida de futebol,
lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo de 60° com a horizontal. 
	 Sabendo	que	a	velocidade	na	altura	máxima	é	20	m/s,	podemos	afirmar	que	a	
velocidade	de	lançamento	da	bola,	foi	de	40	m/s.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Texto	para	questões	14	e	15.
	 Uma	bola	é	lançada	verticalmente	para	cima,	com	velocidade	de	18	m/s,	por	um	
rapaz	situado	em	um	skate	que	avança	segundo	uma	reta	horizontal,	a	5,0	m/s.	Depois	de	
atravessar	um	pequeno	túnel,	o	rapaz	volta	a	recolher	a	bola,	a	qual	acaba	de	descrever	
uma	parábola,	conforme	a	figura.
 
40
	 Despreze	a	resistência	do	ar	e	considere	g	=	10	m/	s².
 Questão	14
 A altura máxima h alcançada pela bola foi superior a 16 m. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	15
O deslocamento horizontal até atingir novamente o solo foi 19 m. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	16
 Um super atleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o 
maior	alcance	possível.	Se	ele	se	lança	ao	ar	com	uma	velocidade	cujo	módulo	é	10	m/s,	
e	 fazendo	um	ângulo	de	45°	em	relação	à	horizontal,	podemosafirmar	que	o	alcance	
atingido pelo atleta no salto é superior a 9,5m. 
(Considere	g	=	10	m/s²)
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Este	enunciado	refere-se	aos	exercícios	17	a	24.
 Um projétil é lançado em certa direção com velocidade inicial v0, cujas 
componentes	vertical	e	horizontal	são	 iguais,	 respectivamente,	a	80	m/s	e	60	m/s.	A	
trajetória descrita é uma parábola e o projétil atinge o solo horizontal do ponto A.
 
 
 Questão	17
 O	módulo	da	velocidade	inicial	v	0	vale	100	m/	s.		
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	18
 No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil tem módulo igual a 
60m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
41
	 Questão	19
 Em um ponto qualquer da trajetória entre o
ponto de lançamento e o ponto A, o módulo da velocidade do projétil tem valor máximo 
de	140	m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	20
 O projétil chega em A com velocidade nula.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	21
 O módulo da velocidade do projétil ao atingir A é igual ao módulo da velocidade 
de lançamento.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	22	
 No ponto de altura máxima, a velocidade e a aceleração são nulas. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	23
 Durante o movimento há conservação das componentes horizontal e vertical 
da velocidade. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	24
 A aceleração do projétil é variável. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	25	
 Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal,
abandona-a com uma velocidade horizontal v0 e toca o solo após um segundo. Sabendo 
que a distância horizontal percorrida pela boca é igual a altura da mesa, a velocidade v0, 
considerando	g	=	10	m/s²,	é	de	5	m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Este	enunciado	refere-se	aos	exercícios	26	a	29.
 Uma roda de bicicleta de raio 0,30 m executa 20 voltas em 5,0 s.
 Questão	26
 A frequência do movimento é exatamente 4 rps.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	27
 O período é igual a 0,25s. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
42
	 	Questão	28	 	
	 A	velocidade	angular	da	roda		é	superior		a	32	rad/s.	(C/	E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	29 
 A velocidade linear de um ponto situado na extremidade da roda é superior a 10 
m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	30	
 Um móvel parte do repouso, de um ponto sobre
uma circunferência de raio R, e efetua um movimento circular uniforme de período igual 
a 8 s. Após 18 s de movimento, o seu vetor
deslocamento tem módulo igual a 2R 3 .
 ( ) Certo ( ) Errado
 Este	enunciado	refere-se	aos	exercícios	31	a	35.
	 Duas	polias,	A	e	B,	de	raios	R	e	R’,	com	R	<	R’,	podem	girar	em	torno	de	dois	eixos	
fixos	e	distintos,	interligadas	por	uma	correia.	As	duas	polias	estão	girando	e	a	correia	
não	escorrega	sobre	elas.	Então,	pode-se	afirmar:
 Questão	31
	 Que	a	velocidadeangular	de	A	é	menor	que	a	de	B,	porque	a	velocidade	tangencial	
de	B	é	maior	que	a	de	A.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	32
	 Que	a	velocidade	angular	de	A	é	maior	que	a	de	B,	porque	a	velocidade	tangencial	
de	B	é	menor	quea	de	A.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	33
	 Que	 as	 velocidadestangenciais	 de	 A	 e	 de	 B	 são	 iguais,	 porém	 a	 velocidade	
angular	de	A	é	menor	que	a	velocidade	angular	de	B.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	34	 																																																												
	 Que	 as	 velocidades	 angulares	 de	 A	 e	 de	 B	 são	 iguais,	 porém	 a	 velocidade	
tangencial	de	A	é	maior	que	a	velocidade	tangencial	de	B.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	35
	 Que	a	velocidade	angular	de	A	é	maior	que	a	velocidade	angular	de	B,	porém	
ambas têm a mesma velocidade tangencial. 
 ( ) Certo ( ) Errado
43
 Questão	36	
 Um menino passeia em um carrossel de raio R.
Sua mãe, do lado de fora do carrossel, observa o garoto passar por ela a cada 20 s. 
Podemos	afirmar	que	a	velocidade	angular	do	carrossel	é
π/10	rad/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	37
	 Pai	e	filho	passeiam	de	bicicleta	e	andam	lado	a	lado	com	a	mesma	velocidade.	
Sabe-se que o diâmetro das rodas da bicicleta do pai é o dobro do diâmetro das rodas 
da	bicicleta	do	filho.	Pode-se	afirmar	que	as	rodas	da	bicicleta	do	pai	giram	com	o	dobro	
da	frequência	e	da	velocidade	angular	com	que	giram	as	rodas	da	bicicleta	do	filho.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	38	
 Um entregador de mercadorias de um armazém utiliza um tipo especial de 
bicicletas em que a roda da frente tem um diâmetro duas vezes menor que o diâmetro 
da roda traseira para que, na frente, possam ser colocadas mercadorias em um local 
adequado.	Quando	esse	veículo	está	em	movimento,	pode-se	afirmar	que	o	pneu	menor	
tem frequência de rotação quatro vezes maior que a do maior. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	39
 Três rodas de raios Ra, Rb e Rc possuem velocidades angulares a, b e c, 
respectivamente, e estão ligadas entre si por meio de uma correia, como
ilustra	a	figura	adiante.
 
 
 Ao mesmo tempo que a roda de raio Rb realiza duas voltas, a roda de raio Rc 
realiza uma volta. Não há deslizamento entre as rodas e a correia.
Sendo	Rc	=	3Ra,	é	correto	afirmar	que																																										.														.
 
 ( ) Certo ( ) Errado
44
 Questão	40	
 Um automóvel encontra-se em repouso no interior de um estacionamento, a 20 
m	de	um	portão	eletrônico	inicialmente	fechado.	O	motorista	aciona,	então,	o	controle	
remoto	do	portão,	que	passa	a	girar	em	torno	de	seu	eixo	fixo	à	velocidade	constante	de	
π/40	rad/s.	Simultaneamente,	o	veículo	começa	a	mover-se	retilineamente	em	direção	
ao portão,comaceleração constante.Aaceleraçãoque o motorista deve imprimir ao 
veículo para que atinja a saída do estacionamento no exato instante em que o portão 
acaba	de	descrever	um	ângulo	de	π/2	rad,	abrindo-se	totalmente,	tem	módulo	de	0,10	
m/s².	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	41	
 Um dispositivo mecânico apresenta três polias (1), (2) e (3) de raios R1 = 6 cm, R2 
=	8	cm	e	R3	=	2	cm,	respectivamente,	pelas	quais	passa	uma	fita	que	se	movimenta,	sem	
escorregamento,	conforme	indicado	na	figura.	Se	a	polia	(1)	efetua	40	rpm,	o	período	do	
movimento da polia (3) é 0,5 s. 
 
 Este	enunciado	refere-se	aos	exercícios	42	a	46.	
 Uma	polia	A	é	ligada	a	uma	polia	B	através	de	uma	correia	e	esta	é	acoplada	a	
uma	polia	C,	conforme	mostra	a	figura	a	seguir.
 
	 Questão	42
	 A	velocidade	angular	de	B	é	menor	que	a	velocidade	angular	de	A.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	43	
 As relações entre as velocidades angulares e lineares ocorrem através do raio de 
cada polia. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	44
 A velocidade linear de um ponto localizado na periferia de A é igual a de um ponto 
localizado	na	periferia	de	B.	
 ( ) Certo ( ) Errado
45
 Questão	45	 		 
 As velocidades angulares das polias A e C são iguais. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	46
 A velocidade linear de A é igual à velocidade angular de C. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	47	
 A velocidade de um automóvel pode ser medida facilmente através de um 
dispositivo	que	registra	o	número	de	rotações	efetuadas	por	uma	de	suas	rodas,	desde	
que se conheça seu diâmetro. Considere, por exemplo, um pneu cujo diâmetro é de 0,50 
m.	Se	o	pneu	executa	480	rotações	por	minuto,	pode-se	afirmar	que	a	velocidade	do	
automóvel	é	40	π	m/s.
 ( ) Certo ( ) Errado
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
46
v
0
 = 0 (abandonado)
h = 20 m
g = 10 m/ s²
gt²
h
2

10(t)²
20
2

t ² = 4
t = 2 s
v = gt
v = 10 · 2
v = 20 m/ s
v² = 2gh
v² = 2 · 10 · 20
v = 20 m/ s
v
0
 = 30 m/ s
g = 10 m/ s²
p/ t = 2 s v = ?
v = v
0
 +at
v = 30 - 10·2
v = 10 m/ s
2
0
máx
v (30)² 900
h 45 m
2g 2·10 20
   
v
0
 = 0 (queda livre)
g = 10 m/ s²
v
A
 = 10 m/ s
v
B
 = 50 m/ s
Então:
2 2
B Av v 2a s  
50² = 10² + 2·10·s
2500 - 100 = 20·s
20s = 2400
s = 120 m
02
C
03
E
04
C
01
E
Velocidade vai reduzindo até o topo e
aumentando na descida.
Lançamento vert icla para cima  v = 0.
05
C
t
SUB
 = t
DESC
06
E
07
C
GABARITO COM ENTADO
ANOTAÇÕES
47
a = constante = g em todos os instantes.
| v
SUB
| = | v
DESC
|
08
E
09
C
10
C
1º trecho (queda livre)
gt² 10·(1)²
h h 5 m
2 2
   
(restam 300 m)
v = gt  v = 10·1 = 10 m/ s
2º trecho (M .U)
s 300
v t 30 s
t 10

   

 (Com paraquedas aberto)
h = 20 m
A = 30 m
g = 10 m/ s²
gt²
h
2

10·t ²
20
2

t ² = 4  t = 2 s
gt²
h
2

10·t ²
20
2

t ² = 4
t = 2 s
11
C
12
C
A = v
x
 · t
30 = v
x
 · 2
v
x
 = 15 m/ s
A = v
x
 · t
A = 15 · 2
A = 30
13
E
 = 60°
Na altura máxima = 20 m/ s = v
x
v
x
 = v
0
 · cos 
20 = v · cos 60°
20 = v
0
 · ½
 v
0
 = 40 m/ s
Na vert ical:
v = v
0
 + at
v
y
 = v
0y
 + gt (subida e altura máxima)
0 = 18 - 10·t
10t = 18
 t = 1,8 s
Na horizontal:
A = v
x 
· t
t
A = 5 · 3,6  A = 18 m
v
0y
 = 18 m/ s
v
0x
 = 5 m/ s
g = 10 m/ s²
14
C
15
E
Como  = 45°,
v
0x
 = v
0y
 = v
0
·sen 45° = v
0
·cos 45° =
2
10·
2
= 
5 2 m/ s
0y
SUB
v 5 2 2
t s
g 10 2
  
Então:
t
TOTAL 
 = 2·t
SUB
 = 22· 2 s
2

Portanto:
A = v
x
 · t
t
 = 5 · 2 10 m
16
C
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
48
Vide a explicação da questão 42 posto
que é válido para estas questões também.
Vide a explicação da questão 42 posto
que é válido para esta questão também.
T = 20 s
 = ?
2 2
Rad / s
T 20 10
  
   
32, 33 e 34
E
35
C
36
C
a = cte = g.
24
E
h = A
x
gt²
v ·t
2

10 · t · t = 2 · v
x
 · t
v
x
 = 
10 · 1
2
v
x
 = 5 m/ s
R = 0,3 m
n 20 voltas
f 4 RPS
t 5s
  

1 1
T 0,25 s
f 4
  
2 2
8 Rad/s
T ¼
 
    
v = w · R
3
v 8 · 2,4 m/s
10
  
25
C
26
C
27
C
28
E
29
E
30
E
d² = R² + R²
d² = 2R²
d R 2
Eixos 
v
A
 = v
B

A
  
B
T
A
  T
B
ƒ
A
  ƒ
B
Como R
A
 > R
B

A
 > 
B
31
E
v
0
 = 0  
0
 = 0
T = 8 s Logo: 18 s = 2 voltas + ¼ volta
v
0x
 = 60 m/ s
v
0y
 = 80 m/ s
v
0
² = v
0x
² + v
0y
²  v
0
² = 60² + 80²
v
0
 = 100 m/ s
No ponto mais alto, é v
x
. Logo v
x
 = 60 m/ s.
v
m áx
 = 100 m/ s e v
m ín
 = 60 m/ s
Com a mesma que foi lançado.
17
C
18
C
19
E
21
C
20
E
Nenhuma das duas.
Somente horizontal.
22
E
23
E
49
  
     
0 0
2
at²
s s v ·t
2
a(20) 1
20 400a 40 a m / s² 0,1 m / s²
2 10
t

 

2=
40 t
· t 40
2
t 20 s



  
 
II.
R
1
 = 6 cm ƒ
1
 = 40 RPM
R
2
 = 8 cm
R
3
 = 2 cm T
3
?
* Eixos
 diferentes  v1 = v3
ƒ
1
·R
1
 = ƒ
3
· R
3
340·6 ƒ ·2
ƒ
3
 = 120 RPM
v
A
  v
B
v
A
 = v
C
 R
A
 > R
B
Porém 
B
 = 
C
 e 
A
 > 
C
Logo 
A
 > 
B
v =  · R
v
A
 = v
C
  v
B
 e 
B
 = 
C
v
A
 = v
C
 e 
A
  
C
45
E
46
E
44
E
42
C
43
C
41
C
120 RPM = 2
RPS
Então: 1T s
2

Lado a lado = Eixos diferentes (v
1
 = v
2
) e (R
1
 = 2R
2
)
PAI FILHO PAI FILHO
1 1 2 2
1 2 2 2
2
1
ƒ · R ƒ · R
ƒ · 2R ƒ · R
ƒ
ƒ
2


1 1 2 2
1 2 2 2
2
1
R R
· 2R R
2
  
  

 
Então:
D
frente
 = 2D
t rás
Logo: R
frente
 = 2R
t rás
Pneu menor dá 1 volta na metade do tempo
do pneu maior.
ƒ
B
 = 2Hz
ƒ
C
 = 1 Hz
R
C
 = 3R
A
v
A
 = v
B
 = v
C

A
·R
A
 = 
B
·R
B
2 A A·ƒ ·R 2  B B
A B
B A
·ƒ ·R
3·R 2·R
3
R R
2


e
37
C
38
E
39
C
Então:

A
·R
A
 = 
C
·R
C
2 A A·ƒ ·R 2  C C
A A
·ƒ ·R
ƒ ·R A1·3R
Aƒ 3Hz
Novamente:

A
·R
A
 = 
C
·R
C
A A·R C A·3·R 
A C3  
40
C
Para o portão:
I. Rad/s
40
Rad
2

 

 
D = 0,5 m
ƒ = 480 RPM = 8 RPS
 1T s8

D
s 2 R · 2R      
s 82V · 4 m/ s
1t 2 1
8
 
    

47
E
50
ANOTAÇÕES
51
DINÂMICA
52
	 3.1	Leis	de	Newton
 A força é uma grandeza vetorial e, portanto, está sujeita a todas as propriedades 
já estudadas para os vetores. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de força 
é o newton (N). Uma força de 1 newton (1 N) é, aproximadamente, a força com que a 
Terra	atrai	um	objeto	de	massa	igual	a	0,1	kg	quando	este	se	encontra	ao	nível	do	mar	
e a 45° de latitude norte1. A descrição desses detalhes é necessária, uma vez que a 
intensidade com que a Terra atrai um objeto qualquer depende do local onde esse 
objeto se encontra.
 Existem outras unidades de força além daquela adotada pelo Sistema 
Internacional,	o	newton.	O	quilograma-força	(kgf)	é	uma	unidade	de	força	muito	utilizada	
e	equivale	ao	peso	de	um	objeto	de	massa	igual	a	1	kg.	Mais	uma	vez,	lembramos	que	
esse valor está associado ao local no qual a experiência é feita. A relação anterior nos 
permite	concluir	que	1	kgf	=	10	N.
 1ª	Lei	de	Newton	—	Lei	da	inércia
 Todo objeto permanece em estado de repouso ou de movimento uniforme em 
linha reta, a menos que seja obrigado a mudar aquele estado por forças que atuem 
sobre ele.
	 A	afirmativa	anterior,	portanto,	se	 relaciona	às	situações	de	ausência	de	 força	
ou de força resultante nula atuando sobre um corpo. Nesses casos, o corpo deve 
permanecer em MRU, se ele estiver com velocidade diferente de zero, ou em repouso, 
se a sua velocidade for nula. Essa lei tem uma importância crucial para as outras duas 
leis do movimento.
 2ª	Lei	de	Newton
 A toda força resultante que atua sobre um corpo corresponde uma aceleração 
de mesma direção, mesmo sentido e de módulo proporcional a essa força.
	 Com	base	em	experimentos,	Newton	pôde	obter	a	seguinte	relação	entre	a	força	
resultante	e	a	aceleração:
 ùR = m@ (2ª Lei de Newton para movimento)
 
 3ª	Lei	de	Newton
Para	 toda	 força	de	ação	que	um	corpo	A	exerce	sobre	um	corpo	B,	há	uma	força	de	
reação	de	mesma	intensidade,	mesma	direção	e	sentido	oposto	que	o	corpo	B	aplica	
em A. A 3ª Lei de Newton para o movimento também é conhecida como Lei da Ação e 
Reação. Podemos perceber que as forças sempre se manifestam aos pares.
~
53
	 Massa	e	peso
 Massa é uma grandeza escalar que mede o valor da inércia de um corpo. Não 
podemos associar a massa de um objeto ao seu tamanho, mas podemos associá-la à 
dificuldade	que	encontramos	em	alterar	o	estado	de	repouso	ou	de	movimento	desse	
objeto.	A	unidade	de	massa,	no	Sistema	Internacional	(SI),	é	o	quilograma	(kg).
O peso é uma grandeza vetorial, associada à força de atração gravitacional que um 
planeta exerce sobre um corpo. Essa força é o resultado da interação entre um objeto 
de massa m e o campo gravitacional g do planeta onde esse objeto se encontra.
 Como qualquer outra força, a força peso também apresenta uma reação. A 
figura	seguinte	mostra	o	 local	em	que	se	manifesta	a	 reação	à	 força	peso,	 resultado	
da interação entre a Terra e o objeto. A rigor, todas as porções da Terra atraem e são 
atraídas por qualquer objeto colocado em sua superfície, as porções mais próximas 
com maior intensidade e as mais distantes com menor intensidade. Newton mostrou 
que todas essas forças, que atuam em diversas porções da Terra isoladamente, podem 
ser	representadas	por	um	único	vetor	que	atua	no	centro	da	Terra,	como	representado	
na	figura	a	seguir.
 
 Força Normal
 Em quase todos os momentos de nossa vida, estamos apoiados em alguma 
superfície. São raras as ocasiões em que não estamos pressionando uma superfície. 
Ao interagirmos com uma superfície sobre a qual nos apoiamos, exercemos sobre ela 
uma força de compressão (N'). De acordo com a 3ª Lei de Newton, a superfície também 
exerce uma força sobre nosso corpo. Essa força, chamada de força normal (N), possui 
o mesmo módulo e a mesma direção que a força de compressão, porém, apresenta 
sentido oposto a esta.
 
P = mg 
54
	 Força	de	tensão	ou	tração
 Utilizar cordas para transmitir forças de um ponto a outro do espaço. Uma corda 
ideal	 é	 aquela	 que	 é	 inextensível,	 que	 possui	 flexibilidade	 e	 que	 apresenta	 massa	
desprezível em relação aos corpos aos quais está presa. Denominamos força de tensão, 
ou tração, a força que é transmitida de um ponto a outro de um sistema, utilizando 
cordas,	como	mostrado	na	figura	a	seguir.
	 Se	os	fios	são	ideais,	isto	é,	inextensíveis	e	de	massa	desprezível,	temos	que	|T1|	
=	|T2|	e	|T3|	=	|T4|.
	 Sempre	que	as	tensões	atuarem	sobre	um	mesmo	fio,	seus	módulos	serão	iguais.
 A	Lei	de	Hooke	(Força	elástica)
 Denominamos de objeto elástico os objetos que mudam de forma ao aplicarmos 
uma força sobre eles e que voltam a assumir sua forma original ao cessarmos a ação da 
força sobre eles. Um exemplo de um corpo elástico é a mola. Sabe-se que, quanto mais 
esticamos uma mola, maior deve ser a força que devemos aplicar às suas extremidades. 
Podemos usar essa propriedade para medir a intensidade das forças. Colocando uma 
mola	na	posição	vertical	e	fixando	sua	extremidade	superior,	podemos	pendurar	corpos	
de pesos diversos em sua outra extremidade. Para certa faixa de forças aplicadas, o 
valor da deformação x é proporcional à força aplicada, isto é, Fel a	x	ou:
	 Em	que	k	é	a	constante	elástica	da	mola.	Esse	tipo	de	deformação	é	denominada	
deformação elástica. Utilizando a equação anterior e medindo a deformação da mola, 
podemos calcular a intensidade da força aplicada sobre ela, desde que a constante 
elástica da mola seja conhecida.
Fel = kx 
55
 EXERCÍCIOS
	 Questão	01	
 Quando um cavalo puxa uma charrete, a força que possibilita o movimento do 
cavalo é a força que ele exerce sobre o solo. 
 ( ) Certo ( )Errado
	 Sobre	as	Leis	de	Newton,	analise	as	assertivas	02	a	04:
 Questão	02
 Segundo a 1ª Lei de Newton, é necessária uma força resultante para manter 
com velocidade constante o movimento de um corpo se deslocando numa superfície 
horizontal sem atrito. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	03
 De acordo com a 2ª Lei de Newton, a aceleração adquirida por um corpo é a 
razão entre a força resultante que age sobre o corpo e sua massa. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	04
 Conforme a 3ª Lei de Newton, a força peso e a força normal constituem um par 
ação-reação. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	05
 Um pequeno automóvel colide frontalmente com um caminhão, cuja massa é 
cinco vezes maior que a massa do automóvel. Em relação a essa situação, podemos 
afirmar	que	o	automóvel	experimenta	força	de	impacto	cinco	vezes	mais	intensa	que	a	
do caminhão. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	06
 Dois carrinhos de supermercado podem ser acoplados um ao outro por meio 
de	uma	pequena	corrente,	de	modo	que	uma	única	pessoa,	ao	invés	de	empurrar	dois	
carrinhos separadamente, possa puxar o conjunto pelo interior do supermercado. Um 
cliente aplica uma força horizontal de intensidade ù sobre o carrinho da frente, dando ao 
conjuntouma	aceleração	de	intensidade	0,5	m/s².
 
 Sendo o piso plano e as forças de atrito desprezíveis, o módulo da força F e o da 
força de tração na corrente são, 50N e 70N, respectivamente.
 ( ) Certo ( )Errado
56
 Texto	para	questões	07	e	08.
	 O	 aumento	 do	 número	 de	 veículos	 em	 Fortaleza,	 além	 de	 deixar	 o	 trânsito	
caótico,	tem	aumentado	bastante	o	número	de	acidentes.	Considere	que	um	pequeno	
automóvelcolide frontalmente com um caminhão, cuja massa é seis vezes maior que a 
massa	do	automóvel.	Em	relação	a	essa	situação,	podemos	afirmar	que:
 ( ) Certo ( )Errado
	 Questão	07
 Ambos experimentam força de impacto iguais.
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	08
O automóvel experimenta desaceleração seis vezes mais intensa que a do caminhão. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	09
	 Um	 octocóptero	 com	 seus	 equipamentos	 tem	massa	 de	 20,0	 kg	 e	 consegue	
ascender	(subir)	verticalmente	com	uma	aceleração	de	3,0	m/s².
	 Sabendo	que	a	aceleração	gravitacional	tem	valor	de	10,0	m/s²,	podemos	afirmar	
que a força resultante que atua sobre esse octocóptero é vertical, para cima e tem 
módulo inferior a 50,0 N.
 ( ) Certo ( )Errado
 
 	Texto	para	questões	10	a	12.
	 Uma	força	horizontal	de	 intensidade	F	=	10N	é	aplicada	no	bloco	A,	de	6	kg,	o	
qual	está	apoiado	em	um	segundo	bloco	B,	de	4	kg.	Os	blocos	deslizam	sobre	um	plano	
horizontal sem atrito.
	 Questão	10
	 Podemos	afirmar	que	a	aceleração	do	conjunto	será	exatamente	igual	a	1	m/s².	
 ( ) Certo ( )Errado
57
	 Questão	11
 A intensidade da força que um bloco exerce no outro é também de 10 N. 
 ( ) Certo ( )Errado
	 Questão	12
 A intensidade da força resultante de A é superior a 5N. 
 ( ) Certo ( )Errado
 Texto	para	questões	13	a	15.
	 Três	blocos	A,	B	e	C,	de	massa	mA	=	5	kg,	mB	=	2	kg	e	mC	=	3	kg,	estão	em	uma	
superfície horizontal sem atrito. Aplica-se ao bloco A uma força de
20	N,	constante,	como	indicado	na	figura.
 
 ( ) Certo ( )Errado
	 Questão	13
	 Podemos	afirmar	que	a	aceleração	do	conjunto	será	superior	a	1	m/s².	
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	14
	 A	intensidade	da	força	que	B	exerce	em	C	é	menor	que	7N.	
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	15
	 A	intensidade	da	força	que	A	exerce	em	B	vale	10	N.	
 ( ) Certo ( )Errado
	 Questão	16
	 Dois	blocos	de	massa	5	kg	e	3	kg	estão	numa	superfície	horizontal	sem	atrito	e	
ligados	por	um	fio	de	massa	desprezível.	A	força	horizontal	ù	tem	intensidade	constante	
igual	a	4	N.	Assim,	a	tração	no	fio	que	liga	os	corpos	é	superior	a	3N.	
 
 
 ( ) Certo ( )Errado
 
 
 
58
 Questão	17	
	 Sabendo-se	que	a	tração	no	fio	que	une	os	dois	blocos	da	figura	abaixo	vale	100	
N,	é	correto	afirmar	que	o	valor	do	módulo	da	força	ù	é	superior	a	275	N.	Não	há	atritos.	
 
 ( ) Certo ( )Errado
 
	 Questão	18	
	 No	 arranjo	 experimental	 da	 figura	 que	 não	 há	 atrito	 algum	e	 o	 fio	 tem	massa	
desprezível.	Adote	g	=	10m/s².	É	correto	afirmar	que	a	tração	no	fio	é	superior	a	10N.	
 ( ) Certo ( )Errado
 
 Texto	para	questões	19	a	21.
	 Na	situação	 indicada	na	figura,	os	fios	 têm	massa	desprezível	e	passam	pelas	
polias	sem	atrito.	Adote	g	=	10	m/s².
 ( ) Certo ( )Errado
 
 Questão	19
	 O	conjunto	se	moverá	no	sentido	anti-horário	com	aceleração	superior	a	3,0	m/
s².	
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	20
	 A	tração	no	fio	que	liga	A	a	B	é	igual	a	150N.	
 ( ) Certo ( )Errado
59
 Questão	21
	 A	tração	no	fio	que	liga	B	a	C	é	superior	a	120	N.	
 ( ) Certo ( )Errado
 Questão	22
	 Os	corpos	A	e	B	têm	massas	mA	=	1	kg	e	mB	=	3	kg.	O	corpo	C,	pendurado	pelo	
fio,	tem	massa	mC	=	1	kg.	O	fio	é	inextensível	e	tem	massa	desprezível.
Adote	g	=	10	m/s²	e	suponha	que	A	e	B	deslizam	sem	atrito	sobre	o	plano	horizontal.	A	
intensidade	da	força	que	o	corpo	B	exerce	em	A	é	exatamente	igual	a	6	N.	
 ( ) Certo ( )Errado
 
 Questão	23	
 No	arranjo	experimental	da	figura,	os	fios	e	as	polias	têm	massas	desprezíveis.	O	
fio	é	inexistente	e	passa	sem	atrito	pela	polia.
Adotando	g	=	10	m/s²,	as	trações	T1	e	T2	são	respectivamente	iguais	a	15	N	e	30	N
 
 ( ) Certo ( )Errado
	 Texto	para	questões	24	e	25.
	 No	esquema	representado	na	figura	abaixo,	o	bloco	C	tem	massa	0,5	kg	e	está	
em	repouso	sobre	o	plano	indicado	de	37°	com	a	horizontal,	preso	pelo	fio	AB.	Não	há	
atrito entre o bloco e o plano.
60
	 Questão	24
	 A	tração	exercida	pelo	fio	é	inferior	a	5N.	
 ( ) Certo ( )Errado
 
 Questão	25
	 Cortando-se	o	fio,	a	aceleração	adquirida	pelo	bloco	será	de	6	m/s².		
 ( ) Certo ( )Errado
	 Questão	26
	 Um	corpo	de	massa	igual	a	5	kg		parte,	do	repouso	da	base	de	um	plano	inclinado	
este com ângulo igual a 30° e comprimento 5 m e atinge sua extremidade superior em 
10 s. A intensidade da força externa paralela ao plano inclinado que foi aplicada ao corpo 
é	superior	a	20N.	Use	g=	10	m/s²	e	despreze	os	atritos.	
 Questão	27
	 Na	situação	esquematizada	é	correto		afirmar	que	a	aceleração	dos	corpos	será	
3	m/s².	
 
 ( ) Certo ( )Errado
 
	 Questão	28	
 No	sistema	abaixo,	o	corpo	1,	de	massa	6,0	kg	está	preso	na	posição	A.	O	corpo	
2	tem	massa	de	4,0	kg.	Despreze	os	atritos	e	adote	g	=	10	m/s².
 
	 Abandonando	o	corpo	1	sua	velocidade,	ao	passar	pela	posição	B	será	de	igual	a	
4	m/s².
 ( ) Certo ( )Errado
 
61
GABARITO COM ENTADO
F
RES
 = m · a   RESFa
m
F = ?
T = ?
Ele em pur ra o chão pra t rás e o chão
empurra-o para frente.
Nunca! Pois atuam no mesmo corpo.
m
CAM
 = 5m
CARRO
I . F
CAM
 = F
CAR
Então:
m
CAM
 · a
CAM 
= m
CAR
 · a
CAR
CAR5m CAM CAR·a m CAR·a
a
CAR
 = 5a
CAM
F
RES
 = 0
1


F T 40·a
 T 100·a
 

+ 1T 100 · 50N
2
 
1
F 140 · 70N
2
 
2
02
E
03
C
04
E
05
E
06
E
01
E
m
CAM
 = 6 m
CAR
F
CAM
 = F
CAR
07
C
F
AB
 = m
B
·a
F
AB
 = 4·1
F
AB
 = 4 N
F
RESA
 = F - F
BA
 10 - 4 = 6 N
F
RESB
 = F
AB
 = 4 N
m = 20 kg
a = 3m/ s² (subir)
g = 10 cm/ s²
F
R
 = m · a
F
R
 = 20 · 3
F
R
 = 60 N Vert ical para cima
F = 10 N
m
A
 = 6 kg
m
B
 = 4 kg
BAF F A
AB
m ·a
F

Bm ·a
10 = a(m
A
 + m
B
)
10 = a(6 + 4)  a = 1 m/ s²
10
C
11
E
12
C
08
CF
CAM
 = F
CAR
m
CAM
 · a
CAM 
= m
CAR
 · a
CAR
CAR6m CAM CAR·a m CAR·a
a
CAR
 = 6·a
CAM
09
E
F = 20 N
m
A
 = 5 kg
m
B
 = 2 kg
m
C
 = 3 kg
13
C
A) BAF F A
AB
m ·a
F

Bm ·a
F = a (m
A 
+ m
B
 + m
C
)
20 = a(5 + 2 + 3)
a = 2 m/ s²
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
62
200 - T
1
 = 20·2,5
200 - T
1
 = 50
T
1
 = 150 N
T
2
 - 100 = 10·2,5
T
2
 = 125 N
A. BAT F 1·a 
B. BAF 3·a
C. CP T 1·a 
P
C
 = 5·a
10 = 5a
a = 2m/ s²
F
AB
 = 3·2 = 6 N
21
C
22
C
20
C
F
BC
 = 3 · 2
F
BC
 = 6 N
14
C
F - T = 10·a
T = 5a
100 = 5a
a = 20 m/ s²
Então:
F - 100 = 10 · 20
F = 300 N
B B
A
P T m ·a
T m ·a
 

30 = a (2 + 3)
a = 6 m/ s²
T = 2·6 = 12 NmA = 2 kg
m
B
 = 3 kg
A)
B)
17
C
18
b
19
E
Como P
A
 > P
C
A 1
1 2
2 C
P T 20·a
T T 10·a
T P 10·a
 
 
 
P
A
 - P
C
 = 40a
200 - 100 = 40a  a = 2,5 m/ s²
F
AB
 - 6 = 2 · 2
F
AB
 = 10 N
15
C
16
E
F = 4 N
T = ?
2
1
F T m ·a
T m ·a
 

F = a (m
1
 + m
2
)
4 = a(5 + 3)
a = ½ m/ s²
Logo: T = 5 · ½ = 2,5 N
+
63
A 1 A
1 B B
P T m ·a
T P m ·a
 
 
30 - 10 = a(3 + 1)
20 = 4a
 a = 5 m/ s²
23
C
m
C
 = 0,5 kg  P
C
 = 5 N
N = P
y
 = P·cos 37°
N = 0,5·10·0,8
 N = 4N
24
C
F
R
 = m · a
F - P
x
 = m · a
F - P·sen 30° = m · a
F - 5 · 10·
1
2
 = 5·
1
10
F - 25 = 0,5
F = 25,5 N
P
x
 = P · sen 30° P
y
 = P · cos 30°
0 0
2
at²
s s v ·t
2
a(10)
s
2
100a 10
1
a m/s²
10
  



26
C
25
C
Cortando-se: (T = 0)
N = P
y
T = P
X
T = P·sen 37°
6
T 0,5·10
10
  T = 3N e
Px - T = m·a
3 - 0 = ½·a a = 6 m/ s²
T
1
 - 10 = 1,5
T
1
 = 15 N
T
2
 = 2T
1
 = 2·15
 T
2
 = 30 N
m = 5 kg
v
0
 = 0
 = 30°
d = 5 m
t = 10 s
27
E
P
AX
 = P
A 
· sen 30°
P
AX
 = 20 · ½ = 10 N < P
B
Logo B irá descer.
Então:
P
B
 - T = mB · a
T - PAX = mA · a
P
B 
- P
AX
 = a (m
A
 + m
B
)
20 - 10 = a(2 + 2)
10 = 4·a
a = 2,5 m/ s²
+
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
64
m
1
 = 6 kg
m
2
 = 4 kg
v
0
 = 0
P
2
 = a(m
1
 + m
2
)
40 = a(6 + 4)
a = 4 m/ s²
Então:
22 0
2
2
v² v ² 2a s
1
v² 2 · 4 · 
2
v 2 m/s²
  


28
E
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
65
FORÇA DE ATRITO
66
 4.Força de Atrito
 As superfícies dos corpos, por mais lisas que possam parecer, apresentam 
rugosidades, umas mais que outras, perceptíveis se estudadas microscopicamente.
 
 
 Como consequência, se duas superfícies em contato se comprimem, haverá 
uma certa resistência ao movimento relativo entre elas, ou seja, aparecerá uma força se 
opondo a esse movimento. Podemos dizer que aparecerá uma força de atrito, que uma 
superfície fará sobre a outra, tangencialmente a elas, e sempre se opondo à tendência 
de escorregamento ou ao próprio escorregamento.
 4.1		Força	de	atrito	estático
 É aquela que aparece quando não há o efetivo escorregamento entre as 
superfícies, existindo somente a tendência ao movimento. Essa força tem intensidade 
variável, de acordo com a força que tende a fazer o corpo se mover. Portanto, a força de 
atrito estático atua no corpo em repouso.
	 Examinemos	algumas	situações:
 1. Se não houver força solicitando o movimento, também não teremos força de 
atrito.
 
 
 2. Ao aparecer uma força, por exemplo, de 5 N e o corpo permanecer em repouso, 
podemos concluir que surgiu uma força de atrito de igual módulo, anulando a força 
solicitadora.
 3. Se aumentarmos a força solicitadora para 7,5 N e o bloco permanecer em 
repouso, a conclusão lógica é a de que a força de atrito também teve seu módulo 
aumentado para 7,5 N para o corpo permanecer em equilíbrio.
67
	 4.	Chegaremos	a	uma	situação	em	que	o	corpo	ficará	na	iminência	de	movimento.	
Nesta situação, a força de atrito estático será a maior possível e receberá o nome de 
força de atrito de destaque.
	 4.2	Força	de	atrito	máxima
 A força de destaque, ou seja, a maior força de atrito capaz de manter o corpo 
ainda em repouso, depende de uma grandeza característica das superfícies em 
contato,	denominada	coeficiente	de	atrito	estático	µe.
 Em que N é a força normal entre as superfícies.
 Portanto, a força de atrito estático irá variar de 0 a fat(máx).
 4.3 Força de atrito dinâmico (cinético)
 É aquela que aparece com o corpo em movimento, ou seja, quando uma 
superfície de fato escorrega sobre a outra.
Em	que	µc	é	o	coeficiente	de	atrito	cinético	e	N	a	força	normal.
 Enquanto a força solicitadora aumenta, a força de atrito (estático) acompanha 
com	o	mesmo	módulo	até	o	valor	máximo	µe.	N.	Aqui	começa	o	movimento	com	a	
força	de	atrito	diminuindo	o	seu	valor	para	µc.	N	e	permanecendo	constante.
Se	 a	 questão	 não	 faz	 distinção	 entre	 os	 coeficientes	 cinético	 e	 estático,	 iremos	
considerar com
valores iguais.
 Obs.:
	 1.	Os	coeficientes	de	atrito	µe	e	µc	são,	de	modo	geral,	independentes	das	áreas	
de contato entre as superfícies.
	 2.	O	coeficiente	de	atrito	µc	não	depende,	dentro	de	certos	limites,	da	velocidade	
relativa das superfícies em contato.
fat(máx) = µe · N 
fat = µc · N 
68
	 4.	Forças	em	Trajetórias	Circulares
 Introdução
 Para um corpo alterar sua direção de movimento, que é o que ocorre nos 
movimentos curvilíneos, é necessário que atue sobre ele uma força perpendicular ao 
movimento.
 Força	centrípeta
 É a resultante das forças que atuam na direção do centro da curva.
 Por ser uma resultante, é a massa do corpo multiplicada pela aceleração 
(centrípeta).
Lembrando:
	 Vejamos	alguns	exemplos:
 1. Uma pedra presa a um barbante gira num plano vertical.
	 Na	posição	1:	 Fcp	=	T	-	P	=	m	·	v²/R	
	 Na	posição	2:	 Fcp	=	T	=	m	·	v²/R
	 Na	posição	3:	 Fcp	=	T	+	P	=	m	·	v²/R
	 Na	posição	4:	 Fcp	=	T	-	Py	=	m	·	v²/R
 2. Depressões Lombadas
 
 
 
 3. Corpo girando sobre uma mesa horizontal preso por um barbante.
Fcp = m · acp 
 acp = v²/R 
Fcp	= T
69
 4. Corpo preso a um barbante e fazendo no ar uma circunferência horizontal.
 
 5. Carro realizando uma cruva plana.
 6. Curva em plano inclinado.
 A força centrípeta pode vir em função da velocidade angular.
Fcp = Tx 
F
cp 
= F
at 
 
 
tg ฀ = Fcp / P 
 
Fcp = m · ฀² · R 
70
 EXERCICIOS
 Questão	01
	 Um	bloco	de	massa	m	=	10	kg	movimenta-se	em	uma	mesa	horizontal	sob	a	ação	
de	uma	força	horizontal	ù	de	intensidade	30	N.	O	coeficiente	de	atrito	dinâmico	entre	o	
bloco	e	a	mesa	é	µd	=	0,20.
	 Sendo	g	=	10	m/s²,	é	correto	afirmar	que	a	aceleração	do	bloco	é	1m/s².	
 ( ) Certo ( ) Errado
 
	 Questão	02
Um	bloco	de	massa	m	=	5,0	kg	realiza	um	movimento	retilíneo	e	uniforme	em	uma	mesa	
horizontal ù de intensidade 10 N.
Sendo	g	=	10	m/s²,	podemos	afirmar	que	o	coeficiente	de	atrito	dinâmico	entre	o	bloco	
e a mesa é 0,2.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	03
	 Um	 bloco	 é	 lançado	 sobre	 um	 plano	 horizontal	 com	 velocidade	 de	 30	m/s	 e	
percorre	90	m	até	parar.	Considerando	g	=	10m/s²,	podemos	afirmar	que	o	coeficiente	
de atrito entre o bloco e o plano é superior a 0,4. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 	Texto	para	questões	04	e	05.
	 Dois	corpos	A	e	B	de	massas	mA	=	1	kg	e	mB	=	2	kg	estão	ligados	por	uma	corda	
de peso desprezível, que passa sem atrito pela polia C entre A e o apoio existe atrito de 
coeficiente	
C	=	0,5.	Adote	g	=	10	m/s².
 Questão	04
 A	aceleração	dos	corpos	é	superior	a	4	m/s².	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	05
	 A	tração	no	fio	vale	exatamente	12	N.
 ( ) Certo ( ) Errado
71
	 Texto	para	questões	06	e	07.	
 Um	corpo	de	massa	m	=	2,0	kg	movimenta-se	em	uma	mesa	horizontal	sob	ação	
de	uma	força	horizontal	ù	de	intensidade	8,0	N,	conforme	a	figura	(g	=	10	m/s²).
 
	 Sendo	2,0	m/s²	a	aceleração	que	o	corpo	adquire,	analise	as	assertivas	a	seguir:
	 Questão	06
 A intensidade da força de atrito que a mesa exerce no corpo é exatamente igual 
a 4 N. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 	 Questão	07
	 O	coeficiente	de	atrito	dinâmico	entre	o	corpo	e	a	mesa	vale	0,2.	(
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	08
	 Um	pequeno	bloco	de	massa	m	=	20	kg	desloca-se	em	uma	superfície	lisa	com	
velocidade	de	72	km/h.	A	seguir	atinge	uma	superfície	áspera,	onde	o	atrito	entre	 	o	
corpo		e	a	superfície		tem	coeficiente	de	atrito	dinâmico	µd			=	0,4.	As	As	superfícies	
são consideradas horizontais. O espaço percorrido pelo bloco na superfície áspera até 
parar	(g	=	10	m/s²)	é	maior	que	50m.
 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	09	
	 Arrasta-se	 um	 corpo	 de	 massa	 60	 kg	 sobre	 um	 plano	 horizontal	 rugoso,	 em	
movimento retilíneo uniforme, mediante uma força horizontal de intensidade 180 N. O 
coeficiente	de	atrito	dinâmico	entre	o	corpo	e	o	plano	é	0,6.	(Adote	g	=	10	m/s².)
 ( ) Certo ( ) Errado
72
	 Questão	10	
	 Dois	corpos	A	e	B,	de	massas	iguais	a	10	kg,	estão	ligados	por	um	fio	de	peso	
desprezível,	que	passa	por	uma	polia	sem	atrito,	como	se	indica	na	figura.
 
 
 
	 Entre	A	e	o	apoio	existe	atrito	de	coeficiente	µd	=	0,6.	É	correto	afirmar	que	a	
tração	do	fio	vale	mais	que	75	N.	(g	=	10	m/s²).	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	11
	 O	coeficiente	de	atrito	estático	entre	o	corpo	de
massa	m	=	10	kg	e	a	superfície	plana	horizontal	de	apoio	é	µe	=	0,2.	Adotando-se	g	=	10	
m/s²,	podemos	afirmar	que	o	máximo	valor	quemantém	o	corpo	em	repouso	é	de	30N.	
 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	12
	 O	bloco	A	de	massa	m	=	3,0	kg	está	apoiado	em	um	plano	inclinado	que	forma	um	
ângulo 0 em relação à horizontal. O bloco A está na iminência de escorregar para baixo. 
O	coeficiente	de	atrito	estático	entre	o	bloco	A	e	o	plano	é	µe	=	0,50.
 
	 (Dados:	sen	0	=	0,60;	cos	0	=	0,80;	g	=	10	m/s²)
Considere	o	fio	e	as	polias	ideais.	Nessas	condições,	o	peso	PB	do	bloco	B	para	que	
permaneça a iminência, conforme dito no texto, é 6 N. 
 ( ) Certo ( ) Errado
73
 Texto para questões 13 e 14.
	 A	figura	ilustra	um	bloco	A,	de	massa	mA	=	2,0	kg,	atado	a	um	bloco	B,	de	massa	
mB	=	1,0	kg,	por	um	fio	inextensível	de	massa	desprezível.	O	coeficiente	de	atrito	cinético	
entre	cada	bloco	e	a	mesa	é	µc.	Uma	força	ù	=	18,0	N	é	aplicada	ao	bloco	B,	fazendo	com	
que ambos se desloquem com velocidade constante.
 
Considerando	g	=	10,0	m/s²,	analise	as	assertivas	a	seguir:
	 Questão	13
	 O	coeficiente	de	atrito	µ	é	superior	a	0,6.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	14
	 A	traçãoT	no	fio	é	superior	a	10	N.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	15
	 Dois	blocos	A	e	B	,	apoiados	sobre	uma
superfície	horizontal,	estão	incialmente	em	repouso	e	possuem	massas	iguais	a	10	kg.	
Uma	força	horizontal	ù	de	intensidade	60	N	é	aplicada	ao	bloco	A.	O	coeficiente	de	atrito	
entre	os	blocos	e	a	superfície	é	µ	=	0,20.	Adotando	g	=	10	m/s²,	a	intensidade	da	força	
que	A	exerce	em	B,	vale	exatamente	30	N.	
 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	16	
	 O	bloco	A,	de	massa	5,0	kg,	sobe	o	plano
inclinado	 representado	 na	 figura	 a	 seguir	 com	 velocidade	 constante	 de	 2,0	 m/s.	 O	
coeficiente	de	atrito	entre	o	bloco	A	e	o	plano	inclinado	vale	0,50.
Dados:	sen	37°	=	0,60;	cos	37°	=	0,80;	g	=	10m/s²
 
Nessas	condições,	a	massa	do	bloco	B,	vale	5,0	kg.
74
	 Questão	17
	 O	 bloco	A,	 de	massa	 5,0	 kg,	 sobe	o	 plano	 inclinado	 representado	 na	 figura	 a	
seguir	com	velocidade	constante	de	2,0	m/s.	O	coeficiente	de	atrito	entre	o	bloco	A	e	o	
plano inclinado vale 0,50.
Dados:	sen	37°	=	0,60;	cos	37°	=	0,80;	g	=	10m/s²
 
Nessas	condições,	a	massa	do	bloco	B,	vale	5,0	kg.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	18
	 Um	veículo	de	massa	600	kg	percorre	uma	pista	de	raio	R	=	80	m.	Há	atrito	de	
escorregamento	lateral,	de	coeficiente	µ	=	0,5.
	 Adote	g	=	10	m/s².	A	máxima	velocidade	que	o	veículo	pode	ter	para	fazer	a	curva	
sem	derrapar	é	de	72	km/h.
Considere-o	um	ponto	material.	(C/E)
 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	19
 Um corpo descreve um movimento, em um plano vertical, no interior de uma 
superfície esférica de raio igual a 2,5 m.
	 Adote	g	=	10	m/s².	A	mínima	velocidade	que	o	corpo	deve	ter	para	não	perder	
contato	com	a,	superfície	esférica	é	de	8	m/s.		
 ( ) Certo ( ) Errado
75
 Texto	para	questões	20	a	22.
 Um estudante, indo para a faculdade, em seu carro, desloca-se em um plano 
horizontal, no qual descreve uma trajetória curvilínea de 48 m de raio, com uma 
velocidade	constante	em	módulo.	Entre	os	pneus	e	a	pista	existe	um	coeficiente	de	
atrito estático de 0,3.
 
	 Considerando	a	figura,	a	aceleração	da	gravidade	no	local,	de	10	m/s²,	e	a	massa	
do	carro	de	1200	kg,	analise	as	assertivas	a	seguir.
	 Questão	20
	 Caso	o	estudante	 	 resolva	 	 imprimir	 	uma	velocidade	de	60	km/h	ao	carro,	ele	
conseguirá fazer a curva.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
	 Questão	21
 A velocidade máxima possível para que o carro possa fazer a curva, sem derrapar, 
irá se alterar se diminuirmos a sua massa. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	22
 O vetor velocidade apresenta variações nestemovimento. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	23 
 A sobreelevação das pistas nas curvas de autódromos, velódromos ou mesmo 
em	avenidas,	 rodovias	ou	 ferrovias,	dá	mais	segurança	aos	usuários,	dificultando	ou	
impedindo que os veículos sejam arremessados para fora da pista quando em alta 
velocidade.	 Considere	 a	 seguinte	 situação:	 em	 um	 percurso	 de	 triatlo,	 os	 ciclistas	
precisam	fazer	curvas	circulares	de	40	m	de	raio	com	velocidade	de	módulo	72	km/h.	
Despreze	a	força	de	atrito	e	admita	g	=	10	m/s².	O	ângulo	de	inclinação	da	pista,	deve	
ser exatamente 45°. 
 ( ) Certo ( ) Errado
76
 Questão	24
 Um motociclista percorre uma trajetória circular vertical de raio R = 3,6 m, no 
interior de um globo da morte. O menor valor da velocidade no ponto mais alto que 
permita	ao	motociclista	percorrer	toda	a	trajetória	circular	será	6	m/s.	É	dado	g	=	10	m/
s².	
 
 Questão	25	
 Uma rodovia tem 8 m de largura. A diferença de nível que deve existir entre suas 
margens externa e interna para que um carro possa fazer uma curva de 600 m de raio a 
72	km/h	sem	depender	do	atrito,	é	aproximadamente	53	m.
Adote	g	=	10	m/s²	e,	para	pequenos	ângulos,	considere	sen	0	=	tg	0.	
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Figura	para	as	questões	26	e	27.
 Questão	26
 Um veículo tem peso P = 10000 N e passa no ponto inferior da depressão com 54 
km/h.	O	raio	da	curva	nesse	ponto	é	10	m.	A	força	de	reação	da	pista	no	veículo	nesse	
ponto	é	superior	a	35000	N.	Adote	g	=	10	m/s².	
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	27
	 Um	veículo,	de	massa	1600	kg,	percorre	o	trecho	de	estrada	(desenhada	em	corte	
na	figura	acima)	em	lombada,	com	velocidade	72	km/h.	Adote	g	=	10	m/s².	A	intensidade	
da força que o leito da estrada exerce no veículo quando este passa pelo ponto mais 
alto da lombada é de 8000N. 
 ( ) Certo ( ) Errado
77
GABARITO COM ENTADO
m = 5 kg
M .R.U.  F
R
 = 0
F = 10 N
g = 10 m/ s²
µ = ?
N = P = 5 · 10 = 50 N
F = ƒat 
10 = µ · a  10 µ · 50  µ = 0,2
II. F
R
 = ƒat
m · a µ · mg
5 = µ · 10
µ = 0,5
02
C
03
E
m = 10 kg
F = 30 N
µ
C
 = 0,2
g = 10 m/ s²
N = P = 10 · 10 = 100 N
F
R
 = m · a
F - ƒat = m · a
30 - µ·N = 10 · a
2
30 · ·100 10·a
10

10 = 10 · a
 a = 1m/ s²
01
C
v
0
 = 30 m/ s
v = 0
s = 90 m
g = 10 m/ s²
µ = ?
I. v² = v²
0
 + 2as
0 = 30² + 2a·90
180·a = -900
a = -5 m/ s²
N
A
 = P
A
 = 10 N
04
C
m
A
 = 1 kg
m
B
 = 2 kg
µ
C
 = 0,5
g = 10 m/ s²
B B
A
P T m ·a
T ƒat m ·a
 
 
P
B
 - ƒ
at
 = a(m
A
 + m
B
)
20 - ½·10 = a(1 + 2)
20 - 5 = 3·a  a = 5 m/ s²
T - ½·10 = 1 · 5
T = 10 N
05
E
m = 2 kg
F = 8 N
a = 2 m/ s²
ƒat = µ · N
4 = µ · 20 µ = 0,2
m = 20 kg
v
0
 = 72 km/ h = 20 m/ s
µ = 0,4
g = 10 m/ s²
s = ?
v = 0
I. F
R
 = ƒat
a = 4 m/ s²
II. v² = v
0
² + 2as
0 = 20² - 2·4·s
8·s = 400
s = 50 m
07
C
08
E
06
E
f - ƒat = m · a
8 - ƒat = 2·2  ƒat = 4 N
m = 60 kg
M RU  v = cte  a = 0  F
R
 = 0
F = 180 N
g = 10 m/ s²
µ = ?
09
E
F = ƒat
180 = µ · mg
180 µ·60·10
18
µ 0,3
60

 
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
78
16
E
Como F
1
 > F
2
 se deslocará para direita.
Então:
F
1
 = 30 N
F
2
 = 10 N
m
A
 = 3 kg
m
B
 = 3 kg
µ = 0,3
1
2
ƒ
ƒ
BA A A
AB B B
F F at m a
F F at m a
  
  
F
1
 - F
2
 - ƒat
A
 - ƒat
B
 = a(m
A 
+ m
B
)
20 - 10 - 3 33·10 2·10
10 10
 = a(3 + 2)
20 - 9 - 6 = 5a 5 = 5a
a = 1 m/ s²
+
m
A
 = 2 kg
m
B
 = 1 kg
F = 18 N
g = 10 m/ s²
v = cte
a = 0
µ = ?
T = ƒat
A
F = T + ƒat
B
F = ƒat
A
 + ƒat
B
18 = µ·N
A
 + µ·N
B
18 = µ·2·10 = µ·1·10
30µ = 18
µ = 0,6
T = ƒat
A
 = µ·N
A 

 
6
T ·2·10
10
  T = 12 N
N
A
 = N
B
 = 100 N F = 60 N µ = 0,2
A) ƒ
ƒ
BA A A
AB A B
F F at m a
F at m a
  
 
60 - µ·N
A
 - µ ·N
B
 = a(m
A
 + m
B
)
2 2
60 100 100
10 10
  = a(10 + 10)
60 - 20 - 20 = 20·a
20 = 20a
a = 1 m/ s²
10
C
11
E
15
C
14
C
13
E
B B
A
P T m ·a
T ƒat m ·a
 
 
m
B
·g - µ ·m
A
·g = a(m
A
 + m
B
)
10 · 10 - 6
10
 · 10 = a(10 + 10)
100 - 60 = 20a
40 = 20a
a = 2 m/ s²
m
A
 = m
B
 = 10 kg
µ = 0,6
g = 10 m/ s²
Então:
10 · 10 - T = 10 · 2
T = 100 - 20
T = 80 N
µ
e
 = 0,2
m =10 kg
(F
M ÁX
 sem sair do canto)
e e
e
ƒat µ · N
2
 · 10 · 10
10
ƒat 20N



12
C
N
A
 = P
Ay
 = P
A
 · cos 
P
Ax
 = P
A
 · sen 
Iminência  F
R
 = 0
P
B
 = T e T + ƒat = P
Ax
P
B
 + ƒat = P
Ax
P
B
 + µ · P
A
 · cos  = P
A
 · sen 
B
1 8 6
P · 30 · 30 · 
2 10 10
 
P
B
 + 12 = 18
 P
B
 = 6 N
B) F
AB
 - µ ·N
B
 = m
B
·a
= a(10 + 10)
F
AB
 - 2 100
10
= 10·1
F
AB
 = 30 N
+
Então:
F
AB
 - 10 - 3 2·10
10
 = 2·1
F
AB
 - 10 - 6 = 2  F
AB
 = 18 N
79
N = P
Ay
 = P
A
 · cos 37°
 T = P
Ax
 + ƒat
A
P
Ax
 = P
A
 · sen 37°
T = P
B
Logo:
P
B
 = P
Ax
 + ƒat
A
m
B
· g = m
A
· g · sen 37° + µ·m
A
g ·cos 37°
m
B
 = 
6 1 8
5 · ·5 · 
10 2 10

m
B
 = 3 + 2 = 5 kg
m
A
 = 5 kg
v = 2 m/ s (constante) (sobe)
µ = 0,5
17
C
m = 600 kg
R = 80 m
µ = 0,5
g = 10 m/ s²
F
CP
 = ƒat
²
·
mv
µ mg
R

v² = R·µg
v² = 
5
80· ·10
10
v² = 400
v = 20 m/ s = 72 km/ h
18
C
19
E
R = 2,5 m
g = 10 m/ s²
R = 48 m
µ = 0,3
g = 10 m/ s²
m = 1200 kg
F
CP
 = ƒat
²
·
mv
µ mg
R

v² = R·µg
v² = 
3
48· ·10
10
v² = 144
v = 12 m/ s = 43,2 km/ h
R = 40 m
v = 72 km/ h = 20 m/ s
Considerando que est á na velocidade
mínima (N~0).
Não depende da massa.
Vetor sim.
20
E
21
E
22
C
23
C
CPF P N
mv²
mg
R 

v² = R · g
v² = 2,5 · 10
v² = 25
v = 5 m/ s
Derrapará
pois v maior.
v² 20² 400
tg
Rg 40·10 400
45
   
  
24
C
No ponto mais alto:
CPF P
mv²
mg
R


v² = R · g
v² = 3,6 · 10  v = 6 m/ s
@
P
 R
 O
 F
. A
 L
 Y
 S
 S
 O
 N
 P
 A
 C
 A
 U
80
27
C
m = 1600 kg
v = 72 km/ h = 20 m/ s
g = 10 m/ s²
R = 80 m CPF P N
mv²
P N
R
mv²
N P
R
1600 ·(20)²
N 16000
80
 
 
 
 
N = 16000 - 20 · 400
N = 16000 - 8000
N = 8000 N
26
E
25
E
R = 600 m
v = 72 km/ h = 20 m/ s
g = 10 m/ s²
v² 20² 400 2
tg
Rg 600·10 6000 30
    
2 h
tg sen 30h 16
30 8
      
16 1600
h m 53 cm
30 30
  
m = 1000 kg
v = 54 km/ h = 15 m/ s
R = 10 m
CPF N P
mv²
N P
R
mv²
N P
R
1000·15²
N 10000
10
 
 
 
 
N = 22500 + 10000
N = 32500 N
ANOTAÇÕES
81
TRABALHO DE UMA FORÇA
82
 5. INTRODUÇÃO
 É comum ouvirmos frases do tipo "o trabalho deste operário é muito difícil" ou 
"vou levar 12 horas para concluir este trabalho". Nestas frases há o termo trabalho, que 
também	é	empregado	em	Física,	mas	com	um	significado	muito	diferente	do	anterior.
Em	Física,	 trabalho	está	associado	a	 forças,	e	não	a	corpos:	diz-se	 "trabalho	de	uma	
força" e nunca "trabalho de um corpo".
	 A	noção	de	trabalho	será	apresentada	por	etapas,	pelas	dificuldades	matemáticas	
que envolve. De início, veremos trabalho de uma força constante em dois casos 
particulares:	paralela	e	não	paralela	ao	deslocamento.	A	seguir,	 analisaremos	o	caso	
geral:	forças	e	deslocamentos	quaisquer.
	 5.2	Trabalho	de	uma	força	constante	paralela	de	deslocamento
	 Considere	um	corpo	que	realiza	o	deslocamento	AB	sob	a	ação	de	um	conjunto	
de forças. Destaquemos, desse conjunto, a força ù, constante, paralela e de mesmo 
sentido	que	o	deslocamento	AB	(figura	1).
 
 Fig. 1
	 Por	definição,	trabalho	t da força constante ù, paralela e de mesmo sentido que o 
deslocamento
AB	,	é	grandeza	escalar:
 
 ฀ = Fd 	,	sendo	d	=	|	AB	|
	 Se	a	força	constante	ù	for	paralela	e	de	sentido	contrário	ao	deslocamento	AB	
(figura	2),	
 Fig. 2
	o	trabalho	de	ù	será	dado	por:
 Quando a força favorece o deslocamento, seu trabalho é positivo e denominado 
trabalho	motor	 (figura	3a).	Quando	a	 força	de	opõe	ao	deslocamento,	seu	 trabalho	é	
negativo	e	denominado	trabalho	resistente	(figura	3b).
 Fig. 3a Fig. 3b
 ฀ = Fd 
83
	 Por	exemplo,	se	abandonamos	um	corpo,	deixando-o	em	queda	livre	(figura	4),	
seu peso favorece o deslocamento; nesse caso, o trabalho do peso é motor (positivo). 
Porém, se atirarmos um corpo para cima, seu peso se opõe ao deslocamento, e o 
trabalho do peso será resistente (negativo).
 
	 Portanto:
 t =	±Fd	(com	ù	paralelo	a	AB	)
	 Observe	que:
 a) o trabalho é sempre de uma força;
 b) o trabalho é realizado num deslocamento (entre dois pontos);
	 c)	o	trabalho	é	uma	grandeza	escalar	(intensidade	de	ù	e	de	AB	);
 d) o trabalho depende do referencial;
 e) o trabalho é positivo, quando a força favorece o deslocamento; e negativo 
quando	a	força	se	opõe	ao	deslocamento	(figura	5).
	 5.3	Trabalho	de	uma	força	constante	não-paralela	ao	deslocamento
 Vamos estender o conceito anterior para o caso da força não-paralela ao 
deslocamento.	Na	figura	6,	seja	F1	a	projeção	da	força	ù	na	direção	do	deslocamento	
AB	.
 Fig 6
Nessas	condições,	por	definição,	o	trabalho	da	força	ù	é	dado	por:
 
Fig. 4 
Corpo	caindo:
o peso favorece o 
deslocamento.
t > 0 (trabalho motor)
 
Corpo	atirado	para	cima:
o peso se opõe 
aodeslocamento.
t <	0	(trabalho	resistente)
No deslocamento d 
a força ù que o carro 
aplica no reboque 
realiza um trabalho 
motor (positivo)
No deslocamento d a 
força de atrito fat que o 
solo aplica no bloco realiza 
um trabalho resistente 
(negativo)
฀ = (proj. ù) · d = F1d = (F · cos ฀) · d 
 ฀ = F1d 
84
 Sendo F1	=	F	·	cos	0,	vem:	t = F · cos 0 · d
	 Se	a	força	componente	ùt	é	favorável	ao	deslocamento	(figura	7a),	o	trabalho	da	
força ù é motor (t	>	0).	Se	ùt	é	contrário	ao	deslocamento	(figura	7b),	o	trabalho	de	ù	é	
resistente (t	<	0).
 Fig. 7a Fig. 7b
 Na expressão t = Fd · cos 0, o termo d · cos 0 representa a projeção do deslocamento 
AB	na	direção	da	força	ù	(figura8).
Fig. 8
 t	 																																																j.	AB)
 
	 Portanto,	para	o	cálculo	do	trabalho,	conforme	a	conveniência:
	 a)	projete	a	força	na	direção	do	deslocamento	(figuras	6	e	7);	ou
	 b)	projete	o	deslocamento	na	direção	da	força	(figura	8).
	 Feito	isso,	para	os	elementos	paralelos,	aplique	a	definição	de	trabalho.
Quando	a	força	ù	é	perpendicular	ao	deslocamento	AB,	sua	projeção	(ou	a	projeção	de	
seu	deslocamento)	é	nula;	logo,	seu	trabalho	é	nulo	(figura	9).	Assim,	num	deslocamento	
horizontal, o peso e a reação normal do apoio têm trabalhos nulos. Analogamente, a 
força centrípeta tem trabalho nulo, pois é sempre perpendicular à trajetória, em cada 
instante.
฀ = Fd · cos ฀ 
85
	 5.4	Trabalho	de	uma	força	qualquer
 No caso de uma força constante ù agindo sobre o corpo, paralelo e de mesmo 
sentido que o deslocamento de módulo d, o trabalho pode ser calculado pela área do 
retângulo	destacado	no	gráfico	da	figura	10.	Essa	área	corresponde	ao	produto	Fd,	isto	
é:
 
 A = ฀ 
(numericamente)
Fig. 10 
	 5.5	Dois	casos	notáveis
 Trabalho	do	Peso
	 Considere	um	corpo	de	peso	P	e	seja	AB	um	deslocamento	vertical	e	h	o	desnível	
entre	A	e	B	 (figura	11).	Como	o	peso	P	é	constante	e	paralelo	ao	deslocamento	AB,	
temos:
 ฀ = ±Fd, sendo F = P e d = | AB|= h 
	 Portanto:	 t = ± Ph 
	 Se	o	corpo	cai	 (figura	11,	o	peso	está	a	favor	do	deslocamento	e	o	trabalho	é	
motor (t=	±Ph).	Se	o	corpo	estiver	subindo	(figura	11b),	o	peso	tem	sentido	contrário	ao	
deslocamento e o trabalho é resistente (t= -Ph).
Fig. 11 
	 Se	o	corpo	vai	de	A	até	B,	passando	por	um	ponto	C	 intermediário	 (figura	12),	
projetamos o deslocamento na direção do peso. Sejam h1 a projeção vertical de AC e 
h2	a	projeção	vertical	de	CB	.	
86
	 Daí:
 
 ฀ = ฀AC + ฀CB 
 
 
฀ = Ph1 + Ph2 = P · (h1 + h2) = Ph 
 
 ฀ = Ph 
	 Observe	que	o	resultado	é	o	mesmo:
	 Resumindo,	temos:
 Trabalho	do	peso
	 a)	Positivo	quando	o	corpo	desce:	t	=	+Ph	Negativo	quando	o	corpo	sobe:	t = –Ph 
Nulo	em	deslocamento	horizontal: t = 0
	 b)	Só	depende	do	próprio	peso	e	do	desnível	entre	posição	inicial	e	final	(h).
 c) Não depende da forma da trajetória.
 Trabalho	da	Força	Elástica
	 Considere	um	sistema	elástico	constituído	por	uma	mola	e	um	bloco.	Na	figura	
13a,	a	mola	não	está	deformada	e	o	sistema	está	em	repouso.	Ao	ser	alongada	(figura	
13b)	ou	comprimida	(figura	13c),	a	mola	exerce	no	bloco	uma	força	denominada	força	
elástica ùelást. que tende a trazer o bloco de volta à posição de equilíbrio.
 Fig. 13a
 Fig. 13b
 Fig. 13c
 A	intensidade	da	força	elástica	é	proporcional	à	deformação	x	(lei	de	Hooke):
ù
elást. 
= kx 
87
	 Nessa	fórmula,	k	é	a	constante	elástica	da	mola.
	 Para	calcular	o	 trabalho	de	uma	 força	elástica,	 nãose	utiliza	 a	definição	 "força	
vezes deslocamentos", pois essa força não é constante, variando com a deformação.
	 Para	isso	devemos	usar	o	cálculo	gráfico.	No	gráfico	da	figura	14,	o	valor	absoluto	
do	trabalho	da	força	elástica	é	numericamente	igual	à	área	destacada	na	figura	(área	de	
um	triângulo):
 Esse trabalho pode ser motor ou resistente. Será resistente, quando a mola for 
alongada	ou	comprimida:	t <	0	e	t	<	0;	será	motor,	quando	a	mola	voltar	à	sua	posição	de	
equilíbrio: t> 0 e t	>	0	(figuras	15b	e	15c).	Desse	modo:
 A exemplo do peso, o trabalho da força elástica é independentemente da 
trajetória. Assim, o trabalho da força elástica ao longo da trajetória AO (A->O) é igual ao 
trabalho	ao	longo	da	trajetória	AA'O	(A->	A'	->O),	como	se	mostra	nas	figuras	15d	e	15e.
 Fig. 15a
 Fig. 15b
 Fig. 15c
 
 Fig. 15d
 Fig. 15e
 
Fig. 14 
88
	 Concluindo,	as	forças	peso	e	elástica	têm	a	seguinte	propriedade:	seus	trabalhos	
são independentes da forma da trajetória. No entanto, nemtodas as forças apresentam 
essa propriedade.
 As forças cujo trabalho entre dois pontos independe da forma da trajetória são 
chamadas forças conservativas. O peso e a força elástica são exemplos de forças 
conservativas.
 Às forças conservativas associa-se o conceito de energia potencial. A força de 
atrito não é conservativa. Quando a força de atrito realiza trabalho, este depende da 
forma da trajetória. A força de atrito é chamada força dissipativa. A resistência do ar é 
outro exemplo de força dissipativa.
	 5.6	Potência
 Em situações práticas é fundamental considerar a rapidez da realização de 
determinado	trabalho.	Uma	máquina	será	tanto	mais	eficiente	quanto	menor	o	tempo	
de	realização	do	trabalho	da	sua	força	motora.	A	eficiência	de	uma	máquina	é	medida	
pelo	trabalho	de	sua	força	em	relação	ao	tempo	de	realização,	definindo	a	potência.
Num	intervalo	de	tempo	Δt,	se	o	trabalho	é	t, a potência média Potm	será:
 A seguir vamos estabelecer uma relação entre a potência e a velocidade, no 
caso particular em que a força ù é constante e paralela ao deslocamento. Nesse caso, o 
módulo	do	deslocamento	d	coincide	com	a	variação	do	espaço	Δs.	Assim:
 
฀ = Fd ฀ ฀ = F฀s 
	 Então:
 (sendo ù constante e paralela ao deslocamento)
	 5.7	Rendimento
 É comum o uso da expressão rendimento em nossa vida diária. Dizemos que 
um aluno que estuda muito mas aprende pouco tem baixo rendimento. E um motorista 
preocupa-se com o rendimento do seu carro, que roda uma quilometragem abaixo da 
desejável	com	um	litro	de	combustível.	Quem	aplica	seu	dinheiro	no	mercado	financeiro	
visa a obter um bom rendimento. E por aí afora... Em todos esses casos, o conceito de 
rendimento	exprime	a	mesma	 ideia	básica:	o	que	se	pode	obter	de	útil	 (aprendizado,	
quilometragem, juros) a partir de um total que foi aplicado (estudo, combustível, dinheiro).
 Em física, a noção de rendimento está relacionada ao trabalho ou à potência.
Considere	então	uma	máquina	M	(figura	16).	Admitamos	que	essa	máquina,	em	operação,	
receba uma potência total Pott e utilize Potu	(potência	útil)	inferior	à	total	Pott, perdendo 
Potp (potência perdida) pelos mais variados motivos.
Pot =
 ฀ 
฀ Pot = F 
฀s 
฀ Pot = Fv m ฀t m ฀t m m 
89
	 O	rendimento	ƞ	(letra	grega	"eta")	é	dado	pela	relação	entre	a	potência	útil	(Potu)	
e	a		potência	total	recebida	(Pott):4
 
 
 
 
฀ = 
Potu 
Pott 
 O rendimento é uma grandeza adimensional, pois é uma relação de grandezas 
medidas na mesma unidade. Comumente se multiplica o resultado obtido por 100, 
exprimindo-o em porcentagem.
90
 EXERCICIOS
 Figura	para	as	questões	01	e	02.
	 Um	bloco	parte	da	posição	A	e	atinge	a	posição	B	sob	ação	de	um	sistema	de	
forças,	conforme	mostra	a	figura:
 Sendo ù = 50 N, cos q = 0,80, P = 70 N, FN = 40 N,
	 ƒat	=	10	N	e	d	=	5,0	m,	julgue	as	assertivas:
 Questão	01
	 O	trabalho	que	a	força	de	atrito	exerce	no	deslocamento	AB	tem	módulo	50	J.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	02
	 O	trabalho	da	força	resultante	nesse	deslocamento	é	menor	que	150	J.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão 03
	 Uma	partícula	 de	massa	m	=	0,10	 kg	 é	 lançada	obliquamente,	 descrevendo	 a	
trajetória	indicada	na	figura.	no	deslocamento	de	A	para	B,	conforme	a	figura,	
Sendo	g	=	10	m/s²,	hA	=	1,0	m	e	hB	=	0,30	m,	o	trabalho	realizado	pelo	peso	da	partícula	
nos	de	O	para	A	e	de	A	para	B	são	respectivamente	–2,0	J	e	0,7	J.
 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
91
		 Questão	04	
		 Uma	pequena	esfera	de	massa	m	=	0,2	kg	está	presa	a	extremidade	de	um	fio	de	
comprimento	0,80	m,	que	tem	a	outra	extremidade	fixa	num	ponto	O.	O	trabalho	que	o	
peso	da	esfera	realiza	deslocamentos	de	A	para	B,	conforme	a	figura,	é	um	valor	entre	
1,5 J e 2,0 J.
 
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	05	
	 Um	 motor	 de	 potência	 60	 kw	 aciona	 um	 veículo	 durante	 30	 min.	 O	 trabalho	
realizado pela força motora é superior a 100000 KJ. 
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Texto	para	as	questões	06	e	07.
	 Um	rapaz	de	60	kg	sobe	uma	escada	de	20	degraus	em	10s.	Cada	degrau	possui	
20	cm	de	altura.	Sendo	g	=	10	m/s²,	julgue	as	assertivas	a	seguir:
	 Questão	06
 O módulo do trabalho do peso do rapaz ao subir a escada é superior a 2000J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	07
 O módulo da potência média associada ao peso do rapaz quando sobe a escada 
será 200 W. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	08
	 Uma	criança	de	30	kg	desliza	em	um	escorregador	de	2	m	altura	e	atinge	o	solo	
em 3 s. A potência média desenvolvida nesse intervalo de tempo será 200 W. 
(Use	g	=	10	m/s²).
 ( ) Certo ( ) Errado
92
	 Texto	para	as	questões	09	e	10.
	 Um	motor	de	potência	250	W	é	utilizado	para	erguer	uma	carga	de	peso	5,0	·	10²	
N e uma altura de 4,0 m em um movimento uniforme. Despreze as eventuais perdas e 
julgue os itens a seguir.
 Questão	09	
 O trabalho da força aplicada pelo motor vale 1000 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	10
	 O	tempo	que	a	carga	atinge	a	altura	desejada	é	superior	a	10	s.	(C/E)
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	11
	 O	rendimento	de	uma	máquina	é	de	70%.	Se	a	potência	total	recebida	é	de	10	cv,	
a potência efetivamente utilizada será 30 cv. 
 Questão	12
 A potência total de uma máquina que ergue um peso de 2000 N a uma altura de 
0,75	m	em	5s,	e	possui	um	rendimento	de	0,3,	vale	4/3	hp.	
Adote	1	hp	=	3/4	kw.
 ( ) Certo ( ) Errado
93
GABARITO COM ENTADO

N
 = 0

P
 = 0
F
F
F · d · cos
8
50 · 5 · 
10
200 J
  
 
ƒat ƒat · t
-10 · 5
- 50 J
  


RESF
  
N
 + 
P
 + 
F
 + 
ƒat
= 0 + 0 + 200 - 50 = +150 J
01
C
02
E
m = 0,1 kg
g = 10 m/ s²
h
A
 = 1m
h
B
 = 0,3 m

P0A
= ? e 
PAB
= ?

P0A
= mgh = 
1
·10·1
10
 = 1 J

PAB
= mg(h
A
 - h
B
)
= 
1
·10 (1 0,3)
10

= 0,7 J
m = 0,2 kg
L = 0,8 m
g = 10 m/ s²

PAB
= ?

P 
= mgL

P 
= 
2 8
·10
10 10

P
 = 1,6 J
03
E
04
C
06
C
07
E
m = 30 kg
h = 2 m
t = 3 s
F = 20 N
g = 10 m/ s²

P
 = mgh

P 
= 30·10·2

P 
= 600 J

  

600
P 200 w
t 3
m = 60 kg
20 degraus de 20 cm = 400 cm = 4 m
t = 10 s

P
 = mgh
= 60·10·4 = 2400 J
P = 60 kw
 1800 s
t = 30 min
½ h
 = P · t
= 60 · 1800
ou
= 108000 KJ
 = P · t
= 60 · ½
= 3 kw.h

  

2400
P 240 w
t 10
05
C
08
C
Pot = 250 w
Peso = 5·10² N
h = 4 m (M RU)

P
 = P·h
= 5·10²·4

P
 = 2·10³ J
09
E



  
P
t
2000
t 8 s
250
= 70%
P
TOTAL
 = 10 cv
P
ÚTIL
 = ?
ÚTIL
TOTAL
ÚTIL
P
P
P7
10 10

  PÚTIL = 7 cv
11
E
10
E
94
Pot = 2000 N
h = 0,75 m = ¾ m
t = 5 s
 = 0,3
1 HP = ¾ kw

P
 = mgh

P
 = 2000 · ¾

P
 = 1500 J
ÚTILP
1500
P 300 w
t 5

  
 
ÚTIL
TOTAL
P
P
3 300
10
 

TOTALP
P
TOTAL
 = 1000 w = 1 kw
1 HP  ¾ kw
x  1 kw
  
3x 4
1 x HP
4 3
12
C
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
95
ENERGIA E SUA CONSERVAÇÃO
96
 6.ENERGIA E SUA CONSERVAÇÃO
 6.1 Energia Cinética (EC)
 É a capacidade que um sistema tem de realizar trabalho em virtude de estarem 
movimento.
 Como o movimento é relativo, a grandeza energia cinética é relativa.
 
 
 
E = 
m · v² 
C 2 
 6.2 Energia Potencial
Energia que o corpo possui em virtude da posição ocupada por ele. A energia potencial 
pode	ser:
 • Gravitacional
 • Elástica
 a)Energia Potencial Gravitacional
 Um corpo, ao ocupar uma posição no espaço, adquire uma energia potencial 
em relação a um certo referencial, energia essa igual ao trabalho da força peso para 
levar	o	corpo	até	o	referencial	escolhido.	O	corpo	da	figura,	na	posição	A,	adquire,	em	
relação	ao	ponto	B,	uma	energia	potencial	gravitacional	igual	ao	trabalho	da	força	peso	
necessário	para	levar	o	corpo	do	ponto	A	ao	referencial	B.
	 b)	Energia	Potencial	Elástica
 
E = 
k · x² 
P 2 
	 6.2	Energia	mecânica	de	um	sistema	e	sua	conservação
 É a soma de todas as energias cinéticas e potenciais (gravitacionais e elásticas) 
presentes em um sistema.
 
EM = EC + EP 
 EP = mgh 
97
 São sistemas em que apenas as forças conservativas realizam trabalho. Portanto,temos apenas conversões entre energia cinética e potencial, podendo dizer que a 
energia mecânica total se conserva.
 
Em = constante 
 EXERCICIOS
 Questão	01	
 Um	corpo	de	10	kg	parte	do	repouso,	sob	a	ação	de	uma	força	constante,	em	
trajetória	horizontal,	e	após	16	s	atinge	144	km/h.	Podemos	afirmar	que	o	trabalho	dessa	
força nesse intervalo de tempo é superior a 8000 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	02
	 A	força	necessária	para	fazer	parar	um	trem	de	60	toneladas	a	54	km/h	em	uma	
distância de 500 m é superior a 13000 N. 
 Texto	para	as	questões	03	a	05.
	 Um	projétil	de	20	gramas,	com	velocidade	de	240	m/s,	atinge	o	tronco	de	uma	
árvore e nele penetra uma certa distância até parar.
	 Julgue	as	assertivas	a	seguir:
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	03
 A energia cinética EC do projétil antes de colidir com o tronco é superior a 550 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	04
 O trabalho t realizado sobre o projétil na sua trajetória no interior do tronco, até 
parar, em módulo tem o mesmo valor da energia cinética inicial. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	05
 Sabendo que o projétil penetrou 18 cm no tronco da árvore, o valor médio Fm da 
força	de	resistência	que	o	tronco	ofereceu	à	penetraçãodo	projétil	é	um	valor	entre	3	kN	
e	3,5	kN.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	06
 Uma pequena bola de borracha, de massa 50 g, é abandonada de um ponto A 
situado a uma altura de 5,0 m e, depois, de chocar-se com o solo, eleva-se verticalmente 
até	um	ponto	B,	situado	a	3,6	m.	Considere	a	aceleração	 local	da	gravidade	10	m/s².	
Podemos	afirmar	que	haverá	uma	perda	superior	a	1	J	no	impacto.
 ( ) Certo ( ) Errado
98
 Texto	para	as	questões	07	e	08.
	 Uma	bala	de	morteiro,	de	massa	5,0	·	10²	g,	está	a	uma	altura	de	50	m	acima	do	
solo	horizontal	com	uma	velocidade	de	10	m/s,	em	um	instante	t0.
	 Tomando	o	solo	como	referencial	e	adotando	g	=	10	m/s²,	analise	as	assertivas	a	
seguir, no instante t0:
	 Questão	07
 A energia cinética da bala vale 25000 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	08
 A energia potencial gravitacional da bala é menor que 30 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	09
	 Uma	pedra	de	5	g	cai	de	uma	altura	de	5	m	em	relação	ao	solo.	Adote	g	=	10	m/s²	
e despreze a resistência do ar. A velocidade da pedra quando atinge o solo é superior a 
10	m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	10	
	 Um	objeto	de	10	g	é	atirado	verticalmente	para	cima	com	velocidade	de	12	m/s.	
Adote	g	=	10	m/s²	e	despreze	a	resistência	do	ar.	A	altura	máxima	que	o	objeto	atinge	é	
superior a 7m. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	11
	 Uma	pedra	de	massa	0,2	kg	é	atirada	verticalmente	para	baixo	de	uma	torre	de	
altura	igual	a	25	m	com	velocidade	inicial	de	20	m/s.	Desprezando	a	resistência	do	ar	e	
adotando	g	=	10	m/s²,	a	energia	cinética	da	pedra	ao	atingir	o	solo	é	inferior	a	100	J.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	12	
	 Um	bloco	de	2	kg	cai	no	vácuo,	a	partir	do	repouso,	de	uma	altura	igual	a	20	m	
do solo. A energia cinética e potencial à metade da altura de queda, certamente terão 
valores	diferentes,	pois	a	velocidade	cresce	quadraticamente.	(g	=	10	m/s²).	Considere	
nula a energia potencial da pedra no solo.
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	13
	 Um	 pequeno	 bloco,	 de	massa	m	 =	 0,5	 kg,	 inicialmente	 em	 repouso	 no	 ponto	
A, é largado de uma altura de h = 1,6 m. O bloco desliza, sem atrito, ao longo de uma 
superfície	e	colide,	no	ponto	B,	com	uma	mola	de	constante	elástica	k	=	100	N/m	(veja	a	
figura	abaixo).	A	compreensão	máxima	da	mola,	será	inferior	a	5	cm.	
 ( ) Certo ( ) Errado
99
	 Texto	e	figura	para	as	questões	14	e	15.
	 Em	uma	montanha-russa	 um	carrinho	de	300	 kg	de	massa	 é	 abandonado	do	
repouso de um ponto A, que está a 5,0 m de altura.
(Dado:	g	=	10	m/s²)	Supondo-se	que	o	atrito	seja	desprezível,	julgue	os	itens	a	seguir:
 Questão	14
	 O	valor	da	velocidade	do	carrinho	no	ponto	B	é,	exatamente,	10	m/s.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	15
 A energia cinética do carrinho no ponto C, que está a 4,0 m de altura, será superior 
a	3	kJ.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	16
 Um carrinho percorre a pista, sem atrito, esquematizada abaixo. (Use g = 10 
m/s².)
 
	 A	 mínima	 velocidade	 escalar	 v,	 em	 m/s,	 que	 o	 carrinho	 deve	 ter	 em	 A	 para	
conseguir	chegar	a	D	deve	ser	maior	que	10	m/s.	
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	17
 Um	corpo	de	massa	0,30	kg	é	seguro	encostado	a	uma	mola	de	constante	elástica	
400	N/m,	comprimindo-a	de	20	cm.	Abandonado	o	sistema,	a	mola	impulsiona	o	corpo	
que sobe por uma pista sem atrito.
Se a aceleração local da 
gravidade	 é	 de	 10	 m/s²,	
pode-se	 afirmar	 que	 o	
corpo retorna de um ponto 
entre	B	e	C.	
( ) Certo 
( ) Errado
100
m = 5 g
h = 5 m
g = 10 m/ s²
E
M A
 = E
M B
E
CA
 + E
PA
 = E
CB
 + E
PB
Bmv²mgh
2

Bv ² 2gh
Bv ² 210·5
Bv ² 100  vB = 10 m/ s
m = 50 g
E
M1
 = E
C1
 + E
P1
 = mgh = 50·10–3·10·5 = 250·10–2 = 2,5 J
E
M 3
 = E
C3
 + E
P3
 = mgh = 50·10–3· 10
36
·
10
 = 1,8 J
Perdeu 0,7 J
O valor de cada E
Pg
 modif icar ia,
porém a diferença cont inuaria sendo 0,7 J.
m = 5·10² g = 5·10² · 10–3 = 5 ·10–1 kg
h = 50 m
v = 10 m/ s
g = 10 m/ s²
1
C
mv² 5·10 (10²) 5·10¹
E 25 J
2 2 2

   
E
pg
 = mgh = 15· 10 · 10 ·50 250 J
m = 10 kg
v
0
 = 0
t = 16 s
v = 144 km/ h = 40 m/ s
 = E
C
  
  
10(40)² 10(0)²
2 2
1600·10
 8000 J
2
 = E
C
 = E
CF
 - E
CO
F · d = 
60 ·10³(15)²
2
F· 500 -30·225· 1000
F = -30·450
F = -13500 N
m = 60 t = 60·10³ kg
v
0
 = 54 km/ h = 15 m/ s
v = 0
s = 500 m
m = 20 g
v
0
 = 240 m/ s
v = 0
E
CO
 = 
20 3·10 (240)²
2

 = 10-2 · 57600 = 576 J
 = E
C
 = 0 - 576 = 576 J
d = 18 cm
F = ?
 = F · d
576 = F · 18 · 10–2
F = 
576 · 10²
18
 =
32·10² = 3200 N
 = E
C
 = E
C0
GABARITO COM ENTADO
01
E
02
C
03
C
05
C
04
C
06
E
07
E
08
E
09
E
101
m = 10 g
g = 10 m/ s²
E
M A
 = E
M B
E
CA
 + E
PA
 = E
CB
 + E
PB
0mv ²mgh
2

0v ²h
2g
12² 144
h
2·10 20

 
h = 7,2 m
m = 0,2 kg
h = 25 m
v
0
 = 20 m/ s
g = 10 m/ s²
E
C
 = ?
E
M A
 = E
M B
E
CA
 + E
PA
 = E
CB
 + E
PB
0
CB
v ²
mgh E
2
 
CB
0,2
E 
(20)²
0,2·10·25
2

E
CB
 = 40 + 50 = 90 J
10
C
11
C
m = 2 kg
v
0
 = 0
h = 20 m
g = 10 m/ s²
E
M A
 = E
CA
 + E
PA
= mgh
= 2·10·20
= 400 J
Então:
E
PgB
 = mgh = 2·10·10
= 200 J
E
CB
 = 200 J
m = 0,5 kg
v
0
 = 0
h = 1,6 m
k = 100 N/ m
g = 10 m/ s²
E
M A
 = E
M B
E
CA
 = E
PA
 = E
CB
 + E
PB
kx²
mgh
2
 

  
2·16
100x²
2
16
x²
100
4
x 0,4 m 40 cm
10
12
E
13
E
1
· 10
2
16
·
10
100·x²
2

102
Entre
b) e c)
E
M A 
= E
M C
(Se chegar a C, com certeza chega a D)
E
CA
 + E
PA
 = E
CC
 + E
PC
A
A C
mv ²
mgh mgh
2
 
Av ²
2
 + 10·3 = 10·8
Av ² 50
2

v
A
² = 100
v
A
 = 10 m/ s
m = 0,3 kg
k = 400 N/ m
x = 20 cm
g = 10 m/ s²
E
M A 
= E
M X
E
CA
 + E
PA
 = E
CX
 + E
PX
kx²
mgh
2

1400·(2·10 )² 3
·10·h
2 10
2 00


·4· 10
2
3 h
8
h 2, ...m
3


 
Então: Ent re b) e c)
m = 300 kg
v
0A
 = 0
h
A
 = 5 m
E
M A
 = E
M B
E
CA
 + E
PA
 = E
CB
 + E
PB
Bmv²mgh
2

v
B
²= 2·10·5
v
B
 = 10 m/ s
E
M A
 = E
M C0
E
CA
 + E
PA
 = E
CC
 + E
PC
mgh
A
 = E
CC
 + mgh
300·10·5 = E
CC
 + 300·10·4
15000 = E
CC
 + 12000
E
CC
 = 3000 J
14
C
15
E
16
C
17
ANOTAÇÕES
103
QUANTIDADE	DE	MOVIMENTO,	
IMPULSO E TEOREMA DO 
IMPULSO
104
 7. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
	 7.1	Quantidade	de	movimento
	 A	quantidade	de	movimento,	ou	momento	linear,	significa	inércia	em	movimento	
e	é	definida	como	o	produto	da	massa	de	um	objeto	pela	sua	velocidade,	ou	seja:
	 No	Sistema	Internacional	(SI),	temos	que	a	unidade	de	Q	é	kg·m/s.
	 7.2	Impulso
 Admitindo uma força constante ù aplicada a um corpo durante um intervalo de 
tempo	Δt,	o	impulso	a	ele	transmitido	por	essa	força	pode	ser	definido	como	a	seguinte	
grandeza	vetorial:
	 Como	o	intervalo	de	tempo	Δt	é	sempre	positivo,	o	impulsoterá	sempre	a	mesma	
direção e o mesmo sentido da força, variando apenas seu módulo de acordo com o 
produto acima.
 No Sistema Internacional (SI), temos que unidade é N.s.
Para os casos em que a força aplicada sobre um corpo não apresentar módulo constante, 
o	impulso	pode	ser	calculado	utilizando	a	área	do	gráfico	de	Força	×	Tempo,	pois	seu	
valor numérico é igual à intensidade do impulso.
	 7.3	Teorema	do	Impulso
 O impulso resultante das forças que atuam sobre um corpo é igual à variação da 
quantidade de movimento dele.
	 Veja	que:	kg·m/s	=	N.s
	 7.4	Conservação	da	Quantidade	de	Movimento
 Ao se considerar um sistema mecânico onde a resultante das forças externas é 
nula, a quantidade de movimento é conservada.
 
฀ù
externas 
= 0 ฀ | I externo| ฀ | ฀Q | = 0 ฀ Q antes = Q depois 
 
 
I = 
r
·฀t F 
105
	 7.5	Colisões,	Choques	e	Explosões
 Colisões, choques e explosões são situações nas quais as forças internas são 
muito grandes e atuam em curtos intervalos de tempo, ou seja, são situações em que 
a aplicação do Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento de um sistema 
mostra-se	muito	útil.
 Nas colisões ideais, não há dissipação de energia mecânica e, nesse caso, 
temos uma colisão perfeitamente elástica, na qual a energia cinética total do sistema se 
conserva. Nas situações reais, parte da energia mecânica é convertida em outras formas 
de energia, como som, calor e trabalho, este realizado pelas forças de deformação. 
Denominamos colisão parcialmente elástica aquela em que a energia mecânica dos 
corpos que se chocam não se conserva. Existem colisões em que os corpos movem-
se juntos após o choque e, nesse caso, a dissipação de energia mecânica é a maior 
possível. Chamamos esse tipo de colisão de colisão inelástica.
 Apesar de o valor da energia mecânica sofrer uma redução na maior parte das 
colisões observadas, o módulo da quantidade de movimento dos sistemas isolados 
sempre permanece constante. As forças internas ao sistema possuem módulo 
muitas	vezes	superior	ao	das	outras	forças	atuantes	e,	por	isso,	podemos	afirmar	que,	
imediatamente antes e imediatamente depois da colisão, o módulo da quantidade de 
movimento total do sistema é o mesmo.
	 7.	6	Coeficiente	de	restituição
 A perda de energia cinética em uma colisão entre dois corpos está associada 
à diminuição da velocidade relativa entre os mesmos. Assim, podemos usar a razão 
entre os módulos da velocidade relativa de afastamento após o choque (vafast) e da 
velocidade relativa de aproximação antes do choque (vaprox) como uma medida da 
perda	 de	 energia	 cinética	 do	 sistema.	 Essa	 razão	 é	 conhecida	 como	 coeficiente	 de	
restituição (e).
 
 
e = 
vrelat. afast. 
vrelativ. aprox. 
 Nas colisões perfeitamente elásticas, o módulo da velocidade relativa de 
afastamento após o choque é igual ao módulo da velocidade relativa de aproximação 
antes	do	choque.	Portanto,	o	coeficiente	de	restituição	é	igual	a	um	(e	=	1).
 Nas colisões parcialmente elásticas, o módulo da velocidade relativa de 
afastamento após o choque é menor que o módulo da velocidade relativa de aproximação 
antes	do	choque.	Portanto,	o	coeficiente	de	restituição	é	menor	que	um	(0	<	e	<	1	).
	 O	menor	 valor	 do	 coeficiente	 de	 restituição	 é	 zero	 (e	 =	 0)	 e	 ocorre	 quando	 a	
velocidade relativa de afastamento após o choque é nula, ou seja, quando os corpos, 
após o choque permanecem juntos, chamada de colisão inelástica.
106
	 Texto	para	as	questões	01	a	03.
	 Uma	bola	de	massa	2	kg,	que	se	move	com	velocidade	constante	de	módulo	igual	
a	3	m/s,	choca-se	com	um	muro	e	retorna	seu	movimento	com	velocidade	constante	de	
mesmo	módulo.	Analise	os	itens	a	seguir:
 Questão	01
 Os módulos da quantidade de movimento antes e depois da colisão com o muro 
são iguais, assim como a direção e o sentido. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	02
 A energia cinética antes, é maior que a energia cinética após a colisão. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	03
 A colisão é do tipo anelástica. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Texto	e	figura	para	as	questões	04	e	05.
	 A	 maior	 fabricante	 de	 cintos	 de	 segurança	 no	 Brasil	 simula	 as	 colisões	 que	
podem	ocorrer	com	um	motorista	colocando	um	boneco	(de	massa	80	kg)	em	um	carro	
de	teste.	O	carro	é	lançado	em	uma	barreira	fixa	a	54	km/h	e	para	em	menos	de	0,5	s.
 
 Questão	06
 Uma esfera se move sobre uma superfície horizontal sem atrito. Num dado 
instante, sua energia cinética vale 20 J e sua quantidade de movimento tem módulo 20 
N.s.	Nestas	condições,	é	correto	afirmar	que	sua	massa	é	de	10	kg.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	07
	 Uma	esfera	de	massa	20	g	atinge	uma	parede	rígida	com	velocidade	de	4,0	m/	
s	e	volta	na	mesma	direção	com	velocidade	de	3,0	m/s.	O	módulo	do	impulso	da	força	
exercida pela parede sobre a esfera é superior 0,10 N.s. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	08
	 Um	caminhão	a	90	km/h	colide	com	a	traseira	de	um	automóvel	que	viaja	com	
movimento	de	mesmo	sentidoevelocidade	de	54	km/h.	Amassa	docaminhão	é	o	triplo	
da massa do automóvel. Imediatamente após a colisão, os dois veículos caminham 
juntos,	com	velocidade	superior	a	80	km/h.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 
107
 Questão	09	
 Um automóvel para quase que instantaneamente ao bater frontalmente numa 
árvore. A proteção oferecida pelo airbag, comparativamente ao carro que dele não 
dispõe, advém do fato de que a t ransferência para o carro de parte do momentum do 
motorista se dá em condição de menor força, em maior período de tempo. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	10
	 Dois	blocos	A	e	B,	de	massas	MA	=	0,2	kg	e	MB	=	0,8	kg,	respectivamente,	estão	
presos	por	um	fio,	com	uma	mola	ideal	comprimida	entre
eles,	conforme	figura	abaixo.
 Os blocos estão inicialmente em repouso, sobre uma superfície horizontal e lisa. 
Em	um	dado	instante,	o	fio	se	rompe	liberando	os	blocos	com
velocidades	vA	e	vB,	respectivamente.	A	razão	entre	os	módulos	das	velocidades	será	
vA/vB	=	4.	
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	11
	 Um	carrinho	de	massa	m1	=	2	kg,	deslocando-se	com	velocidade	v1	=	6m/	s	
sobre	 t	 rilhos	horizontais	sem	atrito,	colide	com	outro	carrinho	de	massa	m2	=	4	kg,	
inicialmente em repouso sobre o trilho. Após a colisão, os dois carrinhos se deslocam 
ligados um ao outro sobre esse mesmo trilho. A perda da energia mecânica após a 
colisão será 24 J. 
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	12
	 Um	automóvel	a	30	m/s	choca-se	contra	a	traseira	de	outro	de	igual	massa	que	
se	deslocava	no	mesmo	sentido	com	velocidade	de	20	m/s.	Se	os	dois	ficam	unidos,	a	
velocidade	do	conjunto,	imediatamente	após	o	impacto,	é	exatamente	90	km/h.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Texto	para	as	questões	13	e	14.
	 Um	corpo	A	(sentido	para	a	direita)	de	massa	6,0	kg	e	velocidade	10	m/s	choca-se	
com	um	corpo	B	de	massa	8,0	kg	inicialmente	em	repouso.	Sendo	e	=	0,5	o	coeficiente	
de	restituição	do	choque,	analise	as	assertivas	a	seguir:
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	13
	 Os	 módulos	 das	 	 novas	 velocidades	 de	 A	 e	 de	 B	 após	 o	 choque,	 são	
respectivamente	1,4	m/s	e	6,4	m/s.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
108
 Questão	14
 Ambos se movimentam para a direita após a colisão.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
 Questão	15 
 Uma pequena esfera E1 , de massa 100 g, é abandonada do repouso no ponto A 
de um trilho altamente polido, deslizando até se chocar frontalmente com uma esfera 
E2	,	de	massa	300	g,	inicialmente	em	repouso	no	ponto	B.
 
	 Sendo	o	choque	perfeitamente	elástico,	podemos	afirmar	que	após	o	choque,	a	
esfera E1 retorna pelo trilho e atingirá a altura máxima de 20,00 cm em relação à parte 
horizontal,	enquanto	a	esfera	E2	se	deslocará	no	sentido	de	B	para	C,	com	velocidade	
de	2,0	m/s.
 ( ) Certo ( ) Errado
 Questão	16
	 Na	figura	P	e	Q	são	blocos	idênticos	que	se	comportam	em	uma	colisão	como	
corpos perfeitamente elásticos. Sobre o bloco P, no percurso ao longo do trecho 
horizontal	AB,	atua	uma	força	de	atrito	constantede	módulo	igual	a	10	N.	Não	há	atrito	
no	trecho	BC.	Os	corpos	P	e	Q	têm	massas	iguais	a	5	kg,	g	=	10	m/s².	Considerar	os	
blocos	como	pontos	materiais.	A	velocidade	do	bloco	P	no	ponto	A	é	10	m/s.		O	ponto	
mais	alto	atingido	pelo	bloco	Q	ao	percorrer	o	trecho	BC	é	superior	a	3,0m.
 ( ) Certo ( ) Errado
 
109
	 Questão	17
 Perto de uma esquina, um pipoqueiro, P, e um “dogueiro”, D, empurram 
distraidamente seus carrinhos, com a mesma velocidade (em módulo), sendo que o 
carrinho	do	“dogueiro”	tem	o	triplo	da	massa	do	carrinho	do	pipoqueiro,	conforme	figura	
a seguir.
 Na esquina eles colidem (em O) e os carrinhos se engancham, em um choque 
totalmente inelástico. Uma trajetória possível dos dois carrinhos, após a colisão, é 
compatível com a indicada na posição A.
 ( ) Certo ( ) Errado
	 Questão	18
 Alguns	 automóveis	 dispõem	 de	 um	 eficiente	 sistema	 de	 proteção	 para	 o	
motorista,	 que	 consiste	 de	 uma	 bolsa	 inflável	 de	 ar.	 Essa	 bolsa	 é	 automaticamente	
inflada,	do	centro	do	volante,	quando	o	automóvel	sofre	uma	desaceleração	súbita,	de	
modo que a cabeça e o tórax do motorista, em vez de colidirem com o volante, colidem 
com a bolsa.
	 A	figura	a	seguir	mostra	dois	gráficos	da	variação	 temporal	da	 intensidade	da	
força que age sobrea cabeça de um boneco que foi colocado no lugar
do motorista. 
 
	 Os	dois	gráficos	foram	registrados	em	duascolisões	de	testes	de	segurança.	A	
única	diferença	entre	essas	colisões	é	que,	na	colisão	I,	se	usou	a	bolsa	e,	na	colisão	I,	
ela	não	foi	usada.	Da	análise	desses	gráficos,	podemos	concluir	que	a	explicação	para	o	
sucesso da bolsa como equipamento de proteção é que a bolsa aumenta o intervalo de 
tempo da desaceleração da cabeça do motorista, diminuindo, portanto, a força máxima 
que atua sobre a cabeça.
 ( ) Certo ( ) Errado
110
m = 20 g = 20·10–3 kg = 2·10–2 kg
v
0
 = 4 m/ s
v = 3 m/ s (sent idos opostos)
Q
0
 = m·v
0
Q
0
 = 2·10–2·4
Q
0
 = 8·10–2 kg m/ s
P/ direita
Q
F
 = m·v
F
Q
F
 = 2·10–2·3
Q
F
 = 6·10–2 kg m/ s
P/ esquerda
v
1
 = 90 km/ h m
1
 = 3m
2
v
2
 = 54 km/ h m
2
Q
ANT
 = Q
DEP
Q
1
 + Q
2
 = Q
cos
m
1
v
1
 + m
2
v
2
 = (m
1
 + m
2
)v
F
3m
2
 · 90 + m · 54 = (3m
2
 + m
2
)·v
F
324 · 2m = 4 2m · vF
v
F
 = 81 km/ h
I = 8 · 10–2 + 6·10–2
I = 14·10–2
I = 0,14 N·s
I = Q
(Aumenta o tempo. Diminui a força)
Ft = Q
m = 2 kg
v
0
 = 3 m/ s
v
F
 = 3 m/ s
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS 
= mv = 2·3 = 6 kg m/ s
O sent ido é cont rár io.
E
CI
= E
CF
 =  
mv² 2(3)²
9 J
2 2
m = 80 kg
v
0
 = 54 km/ h = 15 m/ s
v = 0
t = 0,5 s Se liga!
1 kgf = 10 N
Q
0
 = 80 · 15 = 1200 kgm/ s
Q
F
 = zero

Q
 = Q
F
 - Q
0
 = 0 - 1200 = -1200 kgm/ s
I = 
Q
 = 1200 N·s
I = F·t
1200 = 
15
F·
100
15·F = 120000
F = 
120000
15
F = 8000 N
Logo suporta.
E
C
 = 20 J
Q = 20 N·s
 Q = m·v
 20 = m·v
mv·v
20 20
2
 
20

·v
2
Perfeitamente elást ica.
F
SUP
 = 3000 kgf = 30000 N
t = 0,15 s
 v = 2m/ s
e
20 = m·2
m = 10 kg
GABARITO COM ENTADO
01
E
02
E
03
E
04
C
05
C
06
C
07
C
09
C
08
C
111
M
A
 = 0,2 kg
M
B
 = 0,8 kg
Q
ANT
 = Q
DEP
0 = Q
A
 + Q
B
0 = -m
A
v
A
 + m
B
v
B
2
10
A
8
v
10
 AB
B
v
v 4
v
m
1
 = 2 kg m
2
 = 4 kg
v
1
 = 6 m/ s v
2
 = 0
m
1
 + m
2
(juntos)
ANTES
DEPOIS
Q
ANT
 = Q
DEP
m
1
v
1
 + m
2
v
2
 = (m
1
 + m
2
)v
2·6 = (2 + 4)v
12 = 6v
v = 2m/ s
E
M ANT
 = E
C1
 + E
C2
 = 
2·(6)²
2
 = 36 J
E
M DEP
 = 1 2
(m m )v² 6·(2)²
2 2

 = 3·4 = 12 J
Perdeu 24 J
m
1
 = m v
1
 = 30 m/ s
m
2
 = m v
2
 = 20 m/ s
Q
B
 = Q
D
m
1
v
1
 + m
2
v
2
 = (m
1
 + m
2
)v
m·30 + m·20 = (m + m)v
  50 m 2mv v 25 m/ s
11
C
10
C
12
C
m
A
 = 6 kg v
A
 = 10 m/ s
m
B
 = 8 kg v
B
 = 0
e = 0,5
I. Q
ANT
 = Q
DEP
m
A
v
A
 + m
B
v
B
 = m
A
v’
A
 + m
B
v’
B
6·10 = -6v’
A
 + 8v’
B
60 = 8v’
B
 - 6v’
A
 ÷ (2)
30 = 4v'
B
 - 3v'
A
II. A B
A
v' v '
e
v



   ‘ ‘A B A B
v' v '1
v v 5 · (3)
2 10
Então:
+4v'
B
 - 3v'
A
 = 30 v'
B
 = 6,4 m/ s
+3v'
A
 + 3v'
B
 = 15 v'
A
 = -1,4 m/ s
7v'
B
 = 45
Velocidade negat iva signi f ica sent ido
cont rár io ao adotado.
13
C
14
C
112
m
P
 = m
Q
 = 5 kg
e = 1
I. ƒat = 10 N = F
R
10 = m·a  a = 2 m/ s²
II. v
B
² = v
A
² + 2as
v
B
² = 10² - 2(2)·9
v
B
² = 100 - 36
v
B
² = 64  v
B
  8 m/ s
III. Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
Q
P
 + Q
Q
 = Q’
P
 + Q’
Q
P P P P Q Qm v m v' m v '  
8 = v’
Q
 - v’
P
 e
P Q P Q
P
v' v ' v ' v '
e 1
v 8
 
    v’P + v’Q = 8
Então:
P Q
Q P
v ' v ' 8
v ' v ' 8
 
  2·v’Q = 16
 v’
Q
 = 8 m/ s v’
P
 = zero
IV. E
M B 
= Q
M C
E
CB
 + E
PB
 = E
CC
 + E
PC
B
C
mv²
mgh
2
   C
8²
h
2·10
  h
C
 = 3,2 m
v
P
 = v
D
M as
m
D
 = 3m
P
Air Bag aumenta o tempo de desaceleração
e diminui a força máxima que atual sobre a cabeça.
m
1
 = 100 g = 0,1 kg v
01
 = zero
m
2
 = 300 g = 0,3 kg v
02
 = zero
e = 1
h = 80 cm = 0,8 m
I. E
M A
 = E
M B
E
CA
 + E
PA
 = E
CB
 + E
PB



A
A
A
mv ²
mgh
2
v ² 2gh
v 2·10
8
·
10
Av 4 m/ s
II.
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
Q
1
 + Q
2
 = Q’
1
 + Q’
2
1
10
1
·4
10
  1
3
·v '
10
 2·v '
3v’
2
 - v’
1
 = 4 e 



1 2
1 2
v ' v '
e
v v
Portanto: 3v’
2
 - v’
1
 = 4
v’
1
 + v’
2
 = 4
4’v
2
 = 8
v’
2
 = 4 m/ s v’
1
 = 2 m/ s
 P/ Direita Volta
III. Retorno de E
1
E
M B
 + E
M X
E
CB
 + E
PB
 = E
CX
 + E
PX
Bmv ² mghx
2

    BX
v ² 2² 4
h 0,2 m 20 cm
2g 2·10 20
16
C
15
C
+
+
18
C
17
E
Texto para as questões 01 a 04.
(CESPE – PETROBRÁS – 2008) As g r andes
indúst r ias aut omobilíst icas fazem t est es de
col isão nos quais car ros são ar remessados
cont ra paredes. Em alguns desses test es, os
efeitos da colisão sobre um boneco, que simula
a presença de um ser humano, são estudados
na presença e na ausência de air bags.
Considerando o texto acima, acerca de impulso e
t rabalho, julgue os it ens que seguem.
Questão 01
O a i r bag f unciona com o um d isposi t i vo
protetor porque a variação do momento linear
do boneco devido à colisão é maior quando não
há ai r bags no veícu lo que quando esse
disposit ivo está presente e é acionado. (C/ E)
Questão 02
A variação do momento linear do boneco devido
à colisão é a mesma na presença e na ausência de air
bags. No entanto, quando o air bag é acionado
durante a colisão, o intervalo de tempo no qual
ocorre a variação de momento linear do boneco
é maior, o que torna o air bag um disposit ivo
protetor. (C/ E)
Questão 03
O impulso da força exercida pela parede sobre o
carro é igual à variação do momento total do
carro mult iplicada pela massa do próprio carro.
(C/ E)
Questão 04
Se a fração da energia cinét ica do carro que se
t ransforma em som, durant e a col isão, for
considerada desprezível, então a colisão ent re
o carro e a parede pode ser t ratada como uma
colisão elást ica. (C/ E)
Texto para as questões 05 a 09.
(CESPE-2003) Acidentes ent re veículos, quando
um deles é obrigado a parar repent inamente,
são comuns nas cidades. Esse t ipo de choque
produz deformações nos veículos, barulho e, em
alguns casos, até vít imas. A Física ajuda a esclarecer
as circunstâncias do acidente, como a velocidade
com que os veículos se moviam, já que as leis que
regem as colisões são universais. Considere que um
veículo de 800 kg, parado em um sinal vermelho,
seja abalroado por trás por outro veículo, de 1200 kg,
deslocando-se com uma velocidade de 72 km/ h e
que, imediatamente após o choque, os dois veículos
se movam juntos até que venham a parar. Nessas
circunstâncias, julgue os itens a seguir.
Questão 05
O choque é perfeitamente elást ico. (C/ E)
Questão 06
O choque não é elást ico, porém há conservação
da energia mecânica. (C/ E)
Questão 07
A velocidade do conjunto imediatamente após
o choque não pode ser determinada. (C/ E)
Questão 08
Nada se conser va em um choque dessa
magnitude. (C/ E)
Questão 09
A energia total envolvida, nas suas diferentes
formas, sempre se conserva.(C/ E)
Texto para as questões 10 a 13.
(CESPE-UNB-PF – Perito Físico) O pêndulo
balíst ico, disposit ivo frequentemente usado por
peritos para medir a velocidade de projéteis,
pode ser completamente caracterizado por meio
da d inâm ica ham il t on iana ou lagr angiana.
Considere que um projét il de massa m = 5,4 g
foi disparado horizontalmente na direção de um
bloco de madeira inerte de massa M = 5,4 kg,
que estava suspenso por f ios f inos idênt icos, de
forma semelhante a um pêndulo simples, e cujo
cent ro de m assa est ava a um a al t ura L do
suporte. O projét il penet rou o bloco, por meio
de uma colisão inelást ica, e o sistema bloco/
projét il oscilou, at ingindo a altura máxima h.
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS
O choque é perfeitamente inelást ico. A part ir do
ponto C, a superfície possui um coeficiente de
at r it o cinét ico µ
C
 = 0,2. Sabendo que R = 0,5 m,
a distância percorr ida pelos blocos a part ir de
C, até pararem, foi infer ior a 1 m. (C/ E)
Questão 15 (CESPE-UnB-DF-Adap.)
Dois corpos deslocando-se sobre uma superfície
horizontal sem at r it o sofrem choque frontal,
conforme a f igura.
Após choque eles permanecem presos um ao
out ro. A energia cinét ica f inal do conjunto, é
superior a 10 J. (C/ E)
Dados:
m
1
 = 4 kg; m
2
 = 2 kg; v
1
 = 1 m/ s; v
2
 = 8 m/ s
Texto para as questões 16 a 18.
(CESPE-UNB) Dois carros de mesma massa e mesma
velocidade em módulo colidiram frontalmente. Em
um dos carros, o motorista Alfredo, de massa m,
estava usando o cinto de segurança, e o carro dele
possuía air bag. No out ro veículo, o motorista
Bruno, também de massa m, não estava usando
cinto de segurança, e o carro dele não possuía air
bag. Imediatamente após a colisão, ocorrida no
instante t
0
, Alfredo encont rava-se com o rosto
encostado ao air bag, totalmente inflado, a uma
distância de 0,5 m do volante. Nesse instante,
ambos os mot or istas encont ravam-se a uma
velocidade de 10 m/ s em relação ao volante. O
sistema air bag-cinto, a part ir desse instante,
exerceu uma força resultante constante contrária
ao movimento de Alfredo, que o levou a at ingir a
velocidade igual a zero no exato instante t
1
 em que
seu rosto tocou o volante. Nessa situação, faça o
que se pede nos itens abaixo, desprezando, a parte
fracionária do resul t ado f inal obt ido, após
realizar todos os cálculos solicit ados.
A f igura acima ilust ra essa situação antes do
choque do projét il e após esse choque.
A part ir dessas informações, julgue os it ens que
se seguem, desprezando qualquer força de
at r it o e considerando que g é a aceleração da
gravidade e que o momentum é conservado.
Questão 10
O módulo da velocidade v do projét il var ia
l inearm ent e com a al t ura h, ist o é,
M m
v 2gh
m

 em que g é a aceleração da
gravidade. (C/ E)
Questão 11
A energia total antes e depois do choque é a
mesma. (C/ E)
Questão 12
A energia mecânica do sistema bloco/ projét il, ao
at ingir a sua altura máxima, é igual à energia
potencial gravitacional desse sistema. (C/ E)
Questão 13
O período de oscilação do pêndulo, formado por
bloco e projét il , é proporcional à soma das
massas do bloco e do projét il. (C/ E)
Questão 14 (CESPE - UnB - DF - Adap.)
Um bloco de massa m
1
 = 3,0 kg parte do repouso
no ponto A e escorrega sobre uma pist a lisa at é
col id ir com out ro bloco de massa m
2
 = 2,0 kg
no ponto B, como indica a f igura a seguir.
Seu carro e o out ro permanecem grudados após
a colisão. Sabendo que não houve marcas de
freada, e o caminhão ficou com o velocímet ro
preso na indicação de 50 km/ h, e que os dois
deslizam a 59° ao nor t e do lest e é cor ret o
af i rm ar que se seu car r o est ava acima da
velocidade permit ida que é 80 km/ h. (C/ E)
Dados: (sen 59° = 0,85; cos 59° = 0,51).
Texto para as questões 23 a 26.
(UFG) O pêndulo balíst ico é um dos disposit ivos
usados para medir velocidades de projéteis. O
pêndulo e composto basicamente por um bloco
de madeira de massa M suspenso por f ios ideais
de massa desprezível, conforme figura abaixo.
Est ando o b loco na sua posição nat ural de
equilíbr io, um projét il de massa m é at irado
horizont almente com velocidade alojando-se
neste. Após a colisão, o conjunto (bloco + bala)
adquire uma velocidade.
Questão 16
Calcule, em m/ s², o módulo da desaceleração
sofr ida por Alfredo.
Questão 17
Calcule, em s, o valor da d i ferença t
1
 - t
0
.
M ult iplique o valor encont rado por 100.
Questão 18
Supondo que a velocidade de Bruno, no instante
em que seu rost o t oca o volant e — aqui
considerado o mesmo instante da colisão —, é igual
a 10 m/ s e que o tempo para atingir o repouso é
igual a 5 × 10–3 s, calcule em módulo, quantas vezes a
força média contrária ao movimento de Bruno foi
superior à de Alfredo.
Texto para as questões 19 a 21.
(CESPE-UNB) Considere que dois car ros de
m esm a m assa m co l id i r am f r on t alm en t e.
Imediatamente antes da colisão, ambos estavam
com velocidades em módulo iguais a v em relação
ao asfalto. Suponha que apenas forças internas
agiram sobre esse sistema e admita que a colisão
fo i inelást ica. Com base nessa si t uação e
desconsiderando a energia gasta na deformação
dos carros, julgue os it ens que se seguem.
Questão 19
Nas co nd ições ap r esen t ad as, o si st em a
formado pelos dois car ros possuía, ant es da
colisão, quant idade de movimento total igual a
2 mv. (C/ E)
Questão 20
Após a colisão, a quant idade de movimento do
sistema não se conservou. (C/ E)
Questão 21
A energia cinét ica do sistema formado pelos dois
carros era igual a 2mv² no momento da colisão.
(C/ E)
Questão 22
Você est á d i r igindo um car ro de 1200 kg,
viajando para o lest e e em um cruzament o
quando um out ro veículo de 3000 kg, viajando
para o norte, at ravessa o cruzamento e bate em
seu carro (veja f igura).
Desprezando o at rito entre o bloco e o ar, pode-se
afirmar que:
Questão 23
A colisão é perfeitamente elást ica. (C/ E) 
88
Questão 24
A ve l o ci d ade d a b ala an t es da co l i são é
[ (M + m ) / m ] V' . ( C/ E)
Questão 25
A energia mecânica conserva-se após a colisão. (C/ E)
Questão 26
O moment o linear do sist ema, bloco + bala,
conserva-se após a colisão. (C/ E)
Questão 27 (CESGRANRIO-SEED-SP-Prof. de
Física)
Em um a co l i são f r on t al ine lást ica de dois
veículos, eles se mant iveram parados no preciso
local do impacto ent re eles, ou seja, nenhum
deles foi arrastado, mesmo tendo um deles 300 kg
mais de massa que o out ro. Se o mais leve pesa
600 kg e est ava a 30 km/ h, a velocidade do
out ro dever ia ser exat ament e 20 km/ h. (C/ E)
Texto para a questão 28.
(CESPE-UNB-PRF-2013)
Questão 29 (PC-PI)
Com relação às colisões de corpos, é correto afirmar:
a) Na colisão elást ica os corpos permanecem
em separado após a colisão, e o momento
linear não é conservado.
b) Na colisão elást ica os corpos permanecem
grudados após a colisão, e o momento linear
é conservado.
c) Na colisão inelást ica não é conservada a
energia e nem o momento linear.
d) Na colisão inelást ica os corpos permanecem
em separado após a colisão.
e) Na colisão inelást ica não existe conservação
da energia, mas o momento linear é conservado.
Questão 30 (CESGRANRIO-DECEA-Controlador
de Tráfego Aéreo)
Um automóvel de massa 1000 kg, inicialmente
a 15 m/ s, colide cont ra uma parede e para,
conforme most ram as f iguras abaixo.
Uma bala de revólver de massa igual a 10 g foi
disparada com velocidade v, na direção do bloco
de massa igual a 4 kg, suspenso por um f io,
conforme ilust rado na f igura acima. A bala f icou
encravada no bloco e o conjunto subiu até uma
altura h igual a 30 cm.
Considerando as informações e considerando que
a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/², julgue
o item a seguir.
Questão 28
Se t oda a energia cinét ica que o conjunt o
adquir iu imediatamente após a colisão fosse
transformada em energia potencial, a velocidade
do conjunto após a colisão e a velocidade com
que a bala foi disparada seriam respect ivamente
superiores a 2,0 m/ s e 960 m/ s. (C/ E)
Sabendo-se que a colisão durou 0,20 s, qual é,
aproximadamente, em N, o módulo da força
média da parede sobre o carro durante a colisão?
a) 1330
b) 3000
c) 6660
d) 15000
e) 75000
Texto para as questões 31 e 32.
(CESPE-UNB-PRF-2013) Considerando que um
veículo de massa 1000kg se mova em linha reta
com velocidade de 72 km/ h, e considerando
ainda que a aceleração da gravidade seja 10 m/ s²,
julgue os itens a seguir.
Questão 31
Quando o freio for acionado, para que o veículo
pare, a sua energia cinét ica e o t rabalho da força
de at r it o, em módulo deverão ser iguais. (C/ E)
Questão 32
Antes de iniciar o processo de frenagem, a energia
mecânica do veículo era de 200000 J. (C/ E)
89
QUESTÃO 33 (PRF-2009-FUNRIO)
Uma condição necessária e suficiente para que
um veícu lo de 1000 kg ap r esen t e um a
quant idade de movimento NULA é que
a) esteja trafegando em uma trajetória ret ilínea.
b) esteja somente em queda livre.
c) esteja parado, ou seja, em repouso.
d) apresente velocidade constante e diferente
de zero.
e) seja nula a resultante de forças que nele atua.
Questão 34 (PRF-2009-FUNRIO)
Um condutor, ao desrespeitar a sinalização, cruza
seu veículo de 5000 kg por uma linha férrea e é
at ingido por um vagão ferroviário de 20 t que
t rafegava a 36 km/ h. Após o choque, o vagão
arrasta o veículo sobre os t rilhos. Desprezando-se
a influência do at r it o e a natureza do choque
como sendo perfeitamente anelást ico, qual a
velocidade em que o veículo foi arrastado?
a) 9 m/ s
b) 8 m/ s
c) 10 m/ s
d) 12 m/ s
e) nula
Questão 35 (PRF-2009-FUNRIO)
Um veículo desgovernado perde o cont role e
tomba à margem da rodovia, permanecendo
posicionado com a lateral sobre o piso e o seu
plano superior rente à beira de um precipício. Uma
equipe de resgat e decide com o ação o
tombamento do veículo à posição normal para
viabilizar o resgate dos feridos e liberação da pista
de rolamento. Diante disso precisam decidir qual
o melhor ponto de amarração dos cabos na parte
inferior do veículo e então puxá-lo. Qual a condição
mais favorável de amarração e que também
demanda o menor esforço físico da equipe?
a) A amarração no veículo deve ser feita em
um pont o mais afastado possível do solo
(mais alta), e a equipe deve puxar o cabo o
mais próximo possível do veículo, dentro dos
limites de segurança.
b) A amarração no veículo deve ser feita em
um pont o m ais próximo possível do seu
cent ro de massa, e a equipe deve puxar o
cabo o mais distante possível do veículo.
c) A amarração no veículo deve ser feita em um
ponto mais próximo possível do seu cent ro
de massa, e a equipe deve puxar o cabo o
mais próximo possível do veículo, dent ro dos
limites de segurança.
d) A amarração no veículo deve ser feita em um
ponto mais afast ado do solo (mais alt a),
ent ret ant o o esfo r ço f ei t o pela equipe
independe de sua posição em relação ao
veículo, desde que dent ro dos limit es de
segurança.
e) A amarração no veículo deve ser feita em um
ponto mais afastado possível do solo (mais
alta), e a equipe deve puxar o cabo o mais
distante possível do veículo.
Questão 36 (PRF-2009-FUNRIO)
Um automóvel, de peso 12000 N, apresentou
pane mecânica e f icou parado no acostamento
de uma rodovia. Um caminhão reboque veio ao
local para ret irá-lo. O automóvel será puxado
para cima do caminhão com o auxílio de um
cabo de aço, at ravés de uma rampa que tem
uma inclinação de 30° com a horizontal.
Considerando que o cabo de aço permanece
par ale lo à r am pa e que os at r i t os são
desprezíveis, a menor força que o cabo de aço
deverá exercer para puxar o automóvel será,
aproximadamente, de:
a) 12000 N
b) 6000 N
c) 10400 N
d) 5200 N
e) 4000 N
Texto para as questões 37 a 39.
(CESPE-PRF-2018) A figura seguinte ilust ra uma
prova de t iro ao alvo com arma de fogo: o alvo
é um cír cu lo de 20 cm de d iâm et ro e est á
localizado a 50 m da ext remidade do cano da
arma. O cano da arma e o cent ro do alvo estão à
altura de 1,5 m do solo.
90
Nessa situação, um projét il de 15 g de massa
sai do cano de uma arma paralelamente ao solo
com velocidade inicial de 720 km/ h. Tendo como
referência a situação narrada julgue os it ens a
segui r, considerando que a aceleração da
gravidade vale 9,8 m/ s² e desprezando o at r it o
do ar sobre o projét il.
Questão 37
Se o alvo fosse ret irado da direção do projét il,
então o t rabalho realizado pela força gravitacional
para levar o projét il at é o solo ser ia super ior a
0,10 J. (C/ E)
Questão 38
Na situação em tela o projét il at ingirá o alvo
circular. (C/ E)
Questão 39
O deslocamento do projét il na direção horizontal
ocorre de acordo com uma função quadrát ica
com o tempo. (C/ E)
Texto para as questões 40 a 39.
(CESPE-PRF-2018) Um veículo de 1000 kg de
massa que se desloca sobre uma pista plana faz
um a cu r va ci r cu lar de 50 m de raio, com
velocidade de 54 km/ h. O coeficiente de at r it o
estát ico ent re os pneus do veículo e a pista é
igual a 0,6. A part ir dessa situação julgue os
itens que se seguem, considerando a aceleração
da gravidade igual a 9,8 m/ s².
Questão 40
O veículo está sujeito a uma aceleração centrípeta
superior à aceleração gravitacional. (C/ E)
Questão 41
Considere que esse veículo colida com out ro
veículo, mas o sistema permaneça isolado, ou seja,
não haja t roca de matéria com o meio externo nem
existam forças externas agindo sobre ele. Nesse
caso, segundo a lei da conservação da quantidade
de moviment o, a soma das quant idades de
movimento dos dois veículos, antes e após a colisão,
permanece constante. (C/ E)
Questão 42
Se o veículo est ivesse sujeito a uma aceleração
cent rípeta de 4,8 m/ s², então ele far ia a curva
em segurança, sem derrapar. (C/ E)
(PRF-2021) Um projét il foi lançado obliquamente
em relação ao solo em um local onde a aceleração
da gravidade é constante e a resistência do ar é
desprezível . Consider ando essa si t uação
hipotét ica bem como a mecânica clássica e áreas
a ela relacionadas, julgue os itens que se seguem.
Questão 43
Dur an t e t odo o m ovim en t o, a aceleração
vetor ial do projét il será constante. (C/ E)
Questão 44
Na posição de alt ura máxima, a velocidade
vetor ial do projét il será nula. (C/ E)
Questão 45
Na posição de altura máxima, a força resultante
sobre o projét il será nula. (C/ E)
(PRF-2021) Um projétil, de massa m e velocidade v,
colidiu frontalmente com um bloco de madeira de
massa M que estava em repouso em uma superfície
horizontal sem atrito, preso a uma mola ideal de
constante elástica k. Após a colisão, o projétil e o
bloco desenvolveram um movimento solidário, o
que provocou, na mola, uma compressão máxima
igual a x, conforme mostra a figura a seguir.
Com referência a essa situação hipot ét ica, à
mecânica clássica e a áreas a ela cor relatas,
julgue os it ens que se seguem.
Questão 46
Como não há at r it o entre o bloco de madeira e
a mesa horizontal, a conservação da energia
mecânica garante que o valor da energia cinét ica
do sistema imediatamente antes dacolisão seja
igual ao valor da energia cinét ica do sistema
imediatamente após a colisão. (C/ E)
Questão 47
Na posição de compressão máxima, a energia
potencial elást ica armazenada na mola t em
valor menor que o da energia cinét ica do projét il
antes da colisão. (C/ E)
91
Q é a mesma, quem muda é a força e o
intervalo de tempo.
t aumenta.
I =Q (Apenas isso, não é mult iplicado por m).
Ainda t em a parcela de energia que se
t ransforma em calor.
m
1
 = 800 kg v
1
 = 0
m
2
 = 1200 kg v
2
 = 72 km/ h = 20 m/ s
Colisão anelást ica (saem juntos).
Parte da energia mecânica se t ransforma em
som e calor, ou seja, não se conserva; Out ro
mot ivo é o o fato de ser inelást ico.
Pode. Bast a usar a conser vação da
quant idade de movimento.
A quant idade de movimento se conserva.
Energia total, sim.
m = 5,4 g
M = 5,4 kg
I. Q
ANT
 = Q
DEP
m·v
1
 = (m+M )·v
2


1
2
m·v
v
(m M)
II.EM
INICIAL
 = EM
FINAL

 






2
2
2
2
2
1
1
(M m)·v(M m)·g·h
2
v 2gh
v 2gh
m·v
2gh
(m M)
M m
v · 2gh
m
Porém não é linear devido à raiz quadrada.
Não há at r it o, portanto, há conservação da
energia.
Na altura máxima, não há velocidade. Há
soment e alt ura. Por t ant o, soment e energia
potencial gravitacional.
L
T 2
g
  ou seja, não depende das massas.
GABARITO COM ENTADO
10
E
01
E
05
E
04
E
03
E
02
C
09
C
08
E
07
E
06
E
11
C
12
C
13
E
92
Inelást ico
m
1
 = 4 kg m
2
 = 2 kg
v
1
 = 1 m/ s v
2
 = 8 m/ s
 (Referencial)
Q
ANT
 = Q
DEP
m
1
v
1
 + m
2
v
2 
= (m
1 
+ m
2
)·v
4·1 - 2·8 = (4 + 2)·v
4 - 16 = 6v
-12 = 6v
v = -2 m/ s andam p/ esquerda
FINAL
1 2
C
C
(m m )v²
E
2
(4 2)·(2)²
E
2




E
C
 = 3·4 = 12 J
m
1
 = 3 kg m
2
 = 2 kg
v
01
 = 0 v
02
 = 0
R = 0,5 m
µ = 0,2
Inelást ico
I. Para o corpo 1:
E
M I
 = E
M F
E
CI
 = E
PI
= E
CF
 = E
PF
2
1mvmgh
2
  
2
1
1
v 2·10·
2

  21 1v 10 v 10 m / s
II.Na col isão:
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
m
1
·v
1
 + m
2
·v
2
 = (m
1
 + m
2
)·v'
3 10 (3 2)v' 

3 10
v ' m / s
5
III.No t recho com at r it o:
N
P
ƒat
v = v
0
 + at
0 = 10 – 100t
100t = 10

1
t s
10
.
Então: 
1
100· 10
10
m
1
 = m
2
v
01
 = v
02
 = 10 m/ s
Alfredo possui air bag
Bruno não possui air bag
s = 0,5 m
v
F
 = 0
2 2
F 0v v 2a s  
0 = 10² + 2a· 12
a = -100 m/ s²
14
C
F
R
 = ƒat
m·a = µ·m·g
a = 
2
10
· 10
a = -2 m/ s² (desaceleração)
2 2
F 0v v + 2as
0 = 
3 10
5
 
 
 
– 2 · 2 · s
4·s = 
9 · 10
25
s = 9 · 10
100
 = 0,9 m
15
C
+
16
17
93
19
E
m
1
 = m
2
 = m
v
1
 = v
2
 = v
Inelást ica
Q
1
 = mv
Q
1
 = =mv
Q
TOTAL
 = mv = - mv = zero



Q
ANTES
 = Q
DEPOIS 
(Inelást ica)
1
TOTAL
2
C
C
C
mv²
E
mv² mv² 2mv²2
E mv²
mv² 2 2 2
E
2
     


m
1
 = 1200 kg p/ Leste v
1
m
2
 = 3000 kg p/ Norte v
2
 = 50 km/ h
No eixo x:
Q
1
 = Q
CONJx
m
1
v
1
 = (m
1
 + m
2
) · v
x
1200·v
1
 = (1200 + 3000)·v
CONJ 
· cos 
1200·v
1
 = 
1500·100 51
·
42·85 100

 
1
1500·51
v
12·85
76500
 76 km / h
1020
No eixo y:
Q
2
 = Q
CONJy
m
2
v
2
 = (m
1
 + m
2
) · v
y
3000·50 = (1200 + 3000)·v
y
150000 = 4200·v
y
y
1500 km / h
v
42
v
y
 = v
CONJ
 · sen 
CONJ
1500 85
v · 
42 100

CONJ
1500·100
v km / h
42·85
t
BRU
 = 5·10–3 s
I = Q
F
1
t
1
 = Q
F
1
·5·10–3 = Q
t
ALF
 = 10–1 s
I = Q
F
2
t
2
 = Q
F
2
·10–1 = Q
Então:
F
1
·5·10–3 = F
2
·10–1
1
2
1 3
F ·10
F
5·10

  
2
1
100·F
F
5
  F
1
 = 20·F
2
18
Inelást ica (Ficam juntos)
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
m·v = (m + M )·v'


(m M)·v'
v
m
Após a colisão, sim. Durante a colisão, não.
20
E
21
E
22
E
23
E
24
C
25
C
30
E
m = 1000 kg
v
0
 = 15 m/ s
v = 0
t = 0,2 s
F = ?
I = Q
F·t = m·v
F
 - m·v
0
F·2·10–1 = -1000 · 15
F = –1
15000
2·10

  F = -75000 N
m = 1000 kg
v
0
 = 72 km/ h = 20 m/ s
g = 10 m/ s²

FR
 = E
C

ƒat
 = E
CF
 - E
C0
| 
ƒat
| = | E
C0
|
33
C
m = 1000 kg
Para que Q = 0, temos que:
m = 0 (não é)
ou
v = 0
   M C
mv² 1000 · (20)²
E E 200.000 J
2 2
Após a colisão, o sistema ganha altura e
perde velocidade. Então após a colisão, não há
conservação do momento linear.
INELÁSTICA (f icam juntos)
M ais leve M ais pesado
m = 600 kg m + 300 kg = 900 kg
v
1
 = 30 km/ h v
2
 ?
Em sent idos opostos
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
600·30 - 900·v
2
 = 0
900v
2
 = 18000
v
2
 = 20 km/ h
m
1
 = 10 g = 10·10–3 = 10–2 kg
m
2
 = 4 kg
h = 30 cm = 0,3 m
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
m
1
v
1
 + m
2
v
2
 = (m
1
+m
2
)v
10–2·v
1
  4· 6
10–2·v
1
  4·2,4
v
1
  960 m/ s
mv²
mgh
2

v² = 2gh
v² = 2·10· 310
v² = 6
v = 6  2,4 m/ s
(Velocidade do conjunto)
I. II .
E
M FINAL
 = E
MINICIAL
26
E
27
C
28
C
29
E
31
C
32
C
A = v
x
 · t
50 = 200 · t
 
5 1
t s
20 4
9,8·t ²
h
2

h = 4,9(¼)²
4,9
h m
16

 
490
h 30,6 cm
16
ou
10·t ²
h
2
  5·(¼)²
 
5 500
h m = 31,25 cm
16 16
Porém, não há a necessidade de usar g = 9,8 m/s,
isso só dif iculta a conta e não altera quase nada
no resultado.
Como o alvo tem 20 cm de diâmet ro, terá
10 cm de r aio, independen t em ent e do g
ut ilizado, percebe-se que o projét il não at ingirá
o alvo.
m
1
 = 5000 kg v
1
 (no eixo no t r ilho) = 0
m
2
 = 20t = 20000 kgv
2
 = 36 km/ h = 10 m/ s
ANELÁSTICO = Ficam juntos
Q
ANTES
 = Q
DEPOIS
m
1
v
1
 + m
2
·v
2
 = (m
1
 + m
2
)·v
CONJ
20000·10 = (5000 + 20000)·v
CONJ
200000 = 25000 · v
CONJ
v
CONJ
 = 
200
25
 = 8 m/ s
Quanto mais afastado do solo, mais fácil e
mais seguro.
P = 12000 N
 = 30°
F = P
x
 = P · sen 30°
F = 12000 · ½
F = 6000 N
m = 15 g
v
x
 = 720 km/ h = 200 m/ s
g = 9,8 m/ s²

P
 = mgh = 15·10–3·10
15
10
 (usando o g = 10 m/ s²)
= 225·10–3 = 0,22 J
Obs.: M esmo se usássemos g = 9,8 m/ s², o
t rabalho seria bem próximo de 0,22 J, u seja,
permanece superior a 0,10 J.
34
b
35
E
36
b
37
C
38
E
Deslocam ent o na hor izont al , obedece ao
movimento uniforme, logo equação do 1º grau,
e não quadrát ica.
m = 1000 kg
R = 50 m
v = 54 km/ h = 15 m/ s
µ = 0,6
g = 9,8 m/ s²
F
CP
 = ƒat
m·a
CP
 = µ·mg
a
CP
 = µ·g
Não há a necessidade do candidato fazer
conta. Como o µ é menor que 1, f ica fácil
perceber que o resultado será menor que g.
Nos 3 t ipos de colisão há a conservação da
quant idade de movimento.
CP
6
a µ·g ·9,8 5,88 m/ s²
10
  
(Esse é o valor máximo da aceleração cent rípeta
admit ida, e como a cit ada na quest ão é de
apenas 4,8 m / s² , ent ão fará a cur va sem
problemas.
Obs.: A banca coloca o valor de 9,8 m/ s² para
que o candidato caia na “ armadilha” de fazer
essa conta que lhe roubará tempo. M as, se você
perceber, na hipótese do µ = 0,5, o resultado
seria a metade da gravidade (4,9 m/ s²) e que
ainda está dent ro do limite.
Portanto, com µ = 0,6 estará mais seguro ainda.
39
E
40
E
42
C
43
C
44
E
46
E
Durante todo o movimento a aceleração será
dada pela gravidade, portanto constante.
Na subida teremos no eixo y, M UV, onde a
componente V
y
 irá diminuindo até zerar. Já na
descida essa mesma componente irá aumentar.
Já no e ixo x, t er em os M U, po r t an t o a
com ponent e V
x
 i r á perm anecer com valor
constante. Assim, no ponto de altura máxima
V
y
 será igual a zero, enquant o que V
x
 será
diferente de zero, fazendo com que a velocidade
vetor ial (resultante) seja diferente de zero.
C
41
Durante todo o movimento a força atuante será
dada pelo peso, portanto a força resultante será
diferente de zero.
E
45
A colisão é do t ipo anelást ica por t ant o, há
dissipação de energia, e isso não tem a ver com
o fato de não haver at rito entre o bloco e a mesa.
47
C
Durante a subida do conjunto, a E
m
 se conserva
(E
pg
 t em o mesmo valor da E
c
 após a colisão),
porém, a questão compara a E
pg
 com a E
c
 antes
da colisão. Como a colisão foi do t ipo anelást ica,
houve dissipação de parte da E
c
 de antes da
colisão, fazendo com que a E
c
 após a colisão seja
menor, assim a E
pg
 também será menor que a E
c
antes da colisão.
v
y
 = v
0y
 - g · t
2 2
y 0yv v 2·g·H 
M ovimento hor izontal (M U): A = v
x
 · t
Lançamento horizontal
M oviment o ver t ical (M UV):
g
H · t ²
2
 v
y
 = g · t 2yv 2·g·H
M ovimento horizontal (MU): A = v
x
 · t
DINÂM ICA
Leis de Newton
1ª Lei – Inércia
2ª Lei: 
RF m · a
 
3ª Lei – Lei da Ação e Reação
Força Peso: P m · g
 
Na Terra: 1 kgf  10 N
Plano Inclinado:
P
x
 = P · sen  P
y
 = P · cos 
Força Elástica: F
elástica
 = k · x
Assoc. de molas em série:   
eq 1 2
1 1 1
...
K K K
Assoc. de molas em paralelo: K
eq
 = K
1
 + K
2
 + ...
Força de atrito
F
estát ico máx
 = µ
E
 · N F
cinético
 = µ
C
 · N
Resultante centrípeta: Cp
mv²
F
R
Trabalho
Trab. de força constante: 
F
 = F · d · cos 
Trabalho do peso: 
peso
 = ± m · g · h
Trab. de força variável: 
F
N ± área(gráficoo F
t
×d)
Trab. da Força elást ica: 

  
elást icaF
k · x²
2
Energia Cinét ica: C
m v²
E
2
Teorema da Energia Cinética:

total
 = E
Cinética
Soma dos   
2
0m · v² m · v
2 2
Potência e Rendimento
Potência M ecânica


méd iaot
P
t
 
m éd iao t m
P F · v · co s 
 
in s t a n t ân e ao t
P F · v · co s 
Rendimento:  últil
total
ot
ot
P
P
Energia M ecânica
Energia Potencial Gravitacional
E
pg
 = m · g · h
Energia Pot encial Elást ica
PE
k · x²
E
2
Sist em a conservat ivo
E
M ECfinal
 = E
M ECinicial
E
Cf
 + E
Pf
= E
Ci 
+ E
Pi
Sist em a dissipat ivo
E
M ECfinal
 < E
M ECinicial
| E
DIS
| = E
M ECinicial 
- E
M ECfinal
Dinâmica Impulsiva
Quant idade de M ovim ento

 
Q m · v
Impulso de uma Força Constante
 
 
 FI F · t
Propriedade do gráf ico F × t
I
F
 N ± área (gráf ico F
t
 × t )
Teorema do Im pulso
 

RF
I Q
 
 
 total f inal inicialI Q Q
Aplicação na reta
I
F
 = m · v - m · v
0
(Orientar trajetória para atribuir sinais algébricos)
Sistema m ecanicament e isolado
(col isões e explosões)

 
depois antes
total total
Logo LogoQ Q
Para dois corpos:
  
   
' '
A B A BQ Q Q Q
Col isão perfeit am ent e elást ica
e = 1
Colisão parcialment e elást ica
0 < e < 1
Col isão inelást ica
e = 0
CINEM ÁTICA
Grandezas básicas
Velocidade escalar média: 
m
s
v
t
Aceleração escalar média: 


m
v
a
t
M ovimento Uniforme



s
v
t
 s = s
0
 + v·t
Gráf ico s × t
v N tg
M ov. Uniformemente Variado
s = s
0
 + v
0
·t + at ²
2
v = v
0
 + a·t
2
0v² v 2·a s  
0
m
s v v
v
t 2
 
 

No gráf ico s × t
v N t g
No gráf ico v × t
s N ± área (v · t )
a N ± tg
No gráf ico a × t v N ± área (a · t )
Cinemática Vetorial
Velocidade vetorial média:  


m
d
v
t
Aceleração centrípeta: cp
v²
a
R
Aceleração vetorial: vetor ial centr ípet a tangenciala a a 
  
M ovimento Circular e Uniforme
Frequência e período


nº vo lt as
f
t
 1f
T
Velocidade angular: 
 
    

2
2 · · f
t T
Velocidade l inear :
 
     

s 2 · · R
v 2· ·R·f v · R
t T
Composição dos movimentos
result an te relativa arrastov v v 
  
 A,C A ,B B,Cv v v 
 
Lançamento oblíquo
Component es da velocidade inicial
( e o ângulo ent re v
0
 e a hor izontal)
v
0x
 = v
0
 · cos  v
0y
 = v
0
 · sen 
M oviment o ver t ical (M UV):
Sy = S
0y
 + v
0y
 · t - g
2
· t ²
MECÂNICA – RESUMO
98
ANOTAÇÕES