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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
UNIVERSIDAD ABIERTA
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
PROPUESTA PARA SU ESTUDIO
TESIS DE GRADO-ANEXO
AUTOR: ALEJO VERGARA BOLAÑOS
ASESORA: INO. DOLORES VIRGINIA ASTUDILLO ORTIZ
San Lorenzo- Esmeraldas-Ecuador
1.996
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2017
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
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EL ESTUDIO DE
LOS NUMEROS
RACIONALES
INDICE
Pag.
ÍNTRODUCCION. VIII
MARCO TEQRICO
FUNDAMENTOS DESCR/PCION Y ANAUS1S
MODULO UNO
EL CONJUNTO DE LOS NUMERO 3 RACIONALES..........................
Objetivos de Estudio, Objetivo General, Objetivos Espeolficos,
unidadesde Estudio, ..... ................................ . ...... . ...... .... ..... . ......... .10
lera. UN/DAD. FUNDAMENTOS DE LOS NUMERO S RACIONALES 11
Objetivo 01- Temas y Presentación- ............. . ...................................11
12
Lección N°01 Historia de los números..............................................
EjercicioN° 01 ................................................................................ 13
Solucionarloal Ejercicio N°01. ............................ .. ............................ 14
Lección N°02 Origen de los números racionales............................ 15
EjercicioN°02................................................................................ 17
Solucionarlo el Ejercicio N°02........................................................... 17
Lección N°03 Clases de Fracciones.............................................. 18
Definición de una fracción................................................................ 18
Clasificación de fracciones.............................................................. 21
EjercicioN°03............................................................................... 23
Solucionarlo al Ejercicio N°03.......................................................... 24
2da. UNIDAD. - O PERA TI VIDAD PRELIMINAR DE LOS NÚMEROS
RACIONALES.................................................................................. 25
Objetivo N902 Temes y Presentación................................................ 25
Lección N°04 La Expresión Mixta................................................... 27
EjercicioN° 04. ................. ..............................................................
28
Solucionarlo al Ejercicio N°04........................................................... 29
Lección N°05 . -Relación de Equivalencia entre Números Racionales
yPropiedades................................................................................. 30
Re/ación de Equivalencias................................................................ 30
Propiedades de la Relación de Equivalencia..................................... 31
EjercicioN°05............................................................................... 32
Solucionarlo al Ejercicio N°05........................................................... 32
Lección N°06 Propiedades Generales de las Fracciones.................. 34
EjercicioN°06................................................................................ 37
Solucionarlo al Ejercicio N°06........................................................... 38
Lección NO 07. -Propiedades Particulares de las Fracciones.............. 39
EjercicioN°07................................................................................ 41
Solucionarlo al Ejercicio N°07........................................................... 41
Lección NI' 06. y Simplificación de Fracciones................ 43
EjercicioN°08................................................................................ 43
Solucionarlo al Ejercicio N°08........................................................... 44
Resumen del Módulo Uno................................................................ 46
Aufoevaluación del Módulo Uno........................................................ 50
Solucionarlo.................................................................................... 54
Comentarios sobre los aciertos.................................................. 56
aibliogra(a. ................ . ......... . ............ . ..... .......................................
56
MODULO DOS
OPERACIONES CON LOS NUMERO 5 RACIONALES
Objetivos de Estudio, Objetivo General, Objetivos Específicos,
Un/dedos de Estudio...................................................................... 58
3era UNIDAD- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES.......... 59
Objetivo 01 Temas y Presentación................................................... 59
Lección N°01 Homogeneidad y heterogeneidad de las
fracciones........................................................................................ 61
Lección N°02 Suma y Reste de Fracciones Homogeneas.................. 62
EjercicioN°01................................................................................. 62
Solucionarlo al ejercicio N°01 .................................................. ...... 63
Lección N°03 Sume y Reste de Fracciones Heterogeneas................ 64
Ejercicio N°02................................................................................
66
Solucionarlo el ejercicio N°02. ............................ .......................... 66
41. UNIDAD- Multiplicación y División de Números Racionales....... 68
Objetivo 02 Temes y Presentación................................................ 68
Lección N°04 Multiplicación y División de Fracciones....................... 69
EjercicioN°03............................................................................... 72
Solucionarlo al Ejercicio N°03....................................................... 72
5ta, UNIDAD - Potenciación y Radicación de Números Racionales... 74
Objetivo N°03 Temes y Presentación............................................. 74
Lección N°05 Potenciación de las fracciones................................... 75
EjercicioN°04.................................................................................. 76
Solucionarlo el Ejercicio N°04......................................................... 76
Lección N°06 Radicación de Números Fraccionarios...................... 78
EjercicioN°05................................................................................ 80
Solucionarlo al Ejercicio N°05.......................................................... 81
Resumen del Módulo Dos................................................................ 84
Autoevaluaclón del Módulo............................................................. 88
Solucionar/o..................................................................................... 90
Comentarios sobre los aciertos........................................................ 90
&bliogrefía.. ............................ ......... .. ..... ............... ............. ... ..... ...
91
MODULO TRES
ALCANCE Y APUCA ClON DE LOS NUMEROS RACIONALES,.
Objetivos de Estudio, Objetivo General, Objetivos Específicos,
Unidades de Estudio...................................................................... 92
6ta. UN/DAD Expresiones Decimales............................................. 93
Objetivo 01 tomos, Presentación.,.,,...,...,.,................,................... 93
Lección N°01 Expresiones Decimales Periódicas Puras................. 94
EjercicioN°01..............................................................................95
Solucionarlo el ejercicio N°01 .................. . .... . .................. .............. 95
Lección N°02 Expresiones Decimales Periódicas Mixtas.,.,.......,.,.. 97
Ejercicio N°02. ............... .............................................................
98
Solucionarlo el ejercicio N° 02....................................................... 98
7ma. UN/DAD Los Números Racionales y su Aplicación................. 99
Objetivo 02 Temes, Presenteción.,,,,,.,..,,,,.,,,,.,,,,,,,,,,,,..,.,,,.,,,,....,.. 99
Lección N°03 La ¡Votación científica................................................ 100
Ejercicio N° 03. ............................................................. ...............
102
Solucionarlo al ejercicio N°03....................................................... 102
Lección N°04 Las Magnitudes...................................................... 103
Ejercicio N°04 105
Solucionarlo al ejercicio N°04 105
Lección N°05 Expresiones Fraccionarias complejas . 108
Ejercicio N°05, 109
Solucionarlo al Ejercicio N°05 109
RESUMEN DEL MODULO 111
Autoevekrnoión del Módulo. .............. . ...... . ...................................... 114
Solucionarlo. ................................... ... . ................ . .......................... 117
Comentarios sobre los Aciertos............................ . ......................... 118
Bibliografía. . ............. .... ....... ---- ... ... ..... ... ... ..... .......... ...................... 119
Bibliografía General................................ . ........................................ 120
ro
N
INTRODUCCION
A medida que avanza la ciencia; la tecnología presenta mayores y mejores artefactos
que van desplazando algunas actividades que el hombre solfa hacer comúnmente en
otros tiempos; esta simplificación de acciones ha invadido el sistema educativo
primando el principio; lo que puede y debe hacer el ahanno, no tiene por qué hacerlo
el profesor."
Una vez comprobado que solo le enseñanza activa es la que facilita el verdadero
aprendizaje en el alumno, la enseñanza modular cobra cada vez mayor vigencia puesto
que permite al alumno caminar sobre pasos seguros y afirmar conocimientos útiles,
estables y duraderos que son los fundamentos sobre los cuales se va construyendo el
edificio de la ciencia.
El enfoque modular que sobre el estudio de los números racionales planteamos, no
pretende otra cosa que esfumar la necesidad de adquirir el considerable dominio de un
tema que en la mayoría de los casos se los estudie superficialmente causando un mal
terrible en el educando puesto que no es lo mismo estudiar matemáticas que cualquier
otra ciencia.
Por esta razón se he considerado el estudio de los números racionales en tres
módulos que sistemáticamente hilvanados abarcan todo el contenido que plantea la
Reforma Curricular Consensuada pare le educación básica; estos módulos son:
1-.El conjunto de los Q
2-.Operaciones con los O
3-.Alcance y ampliación de los Q
Los módulos a su vez contienen unidades de estudio que desglosados en temas van
cubriendo el contenido científico; la estrategia de trabajo es la lectura científica es decir
comprensiva de manera que cada idea se vaya impregnando en la mente y con la
resolución de los ejercicios se afiance de manera total.
El alumno lector solo tiene que ir ejecutando lo que se le indica sin pasar al estudio de
un nuevo tema antes de haber logrado el pleno dominio del tema anterior: entre 1 y 2
horas diarias de trabajo por cada tema laboradas a conciencia, será suficiente.
La primera parte es un enfoque teórico de los números racionales que el leerlos con
profundidad, le dará al lector un marco para el trabajo y estudio modular posterior.
Para el estudio de los números racionales, se debe tener conocimientos previos de los
números naturales, enteros y decimales; así como de las medidas y de las razones y
proporciones, Insumos científicos que se estudian en cursos anteriores.
•
PROPUESTA PARA EL TRATAMIENTO DE LOS
'~MEROS RACIONALES .•
1.-,Marco Teórico
FUNDAMENTOS DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS
El enfoque sistemático para el estudio de la Matemática que presenta la Reforma
Curricular para le Educación Básica ecuatoriana a partir de 1996 nos obliga a encontrar
mejores caminos para el tratamiento de esta ciencia formal, que ahora sobre todo está
obligada a cumplir una función vital en la formación de la persona.
Con esta reforma, se pretende lograr en la práctica una persona que llegue al siguiente perfil:'
• Conciencia clara y profunda del ser ecuatoriano; en el marco del conocimiento de la
diversidad cultural, étnica, goegráfica y de género del psis.
• Conscientes de sus derechos y deberes en relación a la familia, a la comunidad y a la
nación.
• Alto desarrollo de su Inteligencia, a nivel del pensamiento creativo,práctico y teórico
• Capaces de comunicarse con mensajes corporales estéticos, orales escritos y otras.
Con habilidades para procesar los diferentes tipos de mensajes de su entorno.
• Con capacidad de aprender, con personalidad autónoma y solidaria con su entorno social
y natural, con ideas positivas de si mismo, y;
• Con actitudes positivas frente al trabajo y al uso del tiempo libre.
Estas aspiraciones a las que se pretende llegar con la aplicación de una nueva Reforma
Curricular que pone al lenguaje y a la matemática como pilares para la construcción de todas
las demás ciencias y sobre todo para la constitución de una nueva persona; precisan de un
ingrediente indispensable: la alta motivación del maestro y del alumno con un predominio del
primero sobre el segundo para que pueda persuadir, e este último a conseguir lo propuesto.
El estudio de le matemática en la nueva educación básica, ecuatoriana, no sólo servirá de
instrumento esencial para la vida, sino nos desarrolla el rigor científico, la disciplina, el orden
Intelectual y la concentración; es por ello que se puntualiza al lenguaje y e le matemática como
las herramientas fundamentales del conocimiento; no lograr su dominio coloca a la persona
con una gran desprotecclón frente al mundo y en total desventaja.
1 fr. REFORMA CTJRRICTJLAR CON$ENSUADA 1996, Pag 4
La Reforma Cunicular pare la educación básica, propone el tratamiento de bloques
temáticos de estudios en matemática a manera de sistemas, entendidos éstos como un
conjunto de objetos con sus operaciones y relaciones, tal como fue el enfoque que los
estudiosos propusieron al destacar la Matemática Moderna con la que se n pretendía elhnlnar
las barieras que separan las dlveises ramas de las Matemáticas y unificar la mateHa
mediante sus conceptos generales, fonnulaclonas, opescIonas, aplicaciones,
relaciones y estructuras"2
Este factor que estuvo previsto hace 20 años y más, ahora emerge con gran fuerza
determinando los siguientes contenidos de estudios por sistemas; ellos son:
- Numérico
- De funciones
- Geométrico y de Medida
- De estadística y probabilidad
El sistema numérico comprende: Números Naturales,Enteros, Decimales, Racionales y
Reales, el siguiente esquema, caracteriza al sistema numérico contemplado en la educación
básica (Según la Reforma curricular Consensuada).
NUMEROS REALES
RACIONALES
2 CF Kline, M (1 976), El fracaso de la matemática Moderna.Pag 26
2
R
Q D
En este sistema numérico, destacan en grandes líneas los siguientes argumentos temáticos:
Orden, OperatMdad, Divisibilidad, Sistemas de numeración y Proporcionalidad.
Para adentramos el estudio de los números racionales, necesariamente hay que tener una
visión general de las características de cada uno de los conjuntos numéricos que constituyen
al sistema. Simbólicamente el sistema numérico descrito lo denotamos así:
R) Q , O J Z; Z D N Resumiendo: R J O D Z D N
Siendo R los reales , O los racionales, Z los enteros y N los naturales
Las anteriores relaciones se leen de la siguiente manera:
R 3 Q ; los números reales incluyen a los números racionales, lo que significa que los
números racionalesson un subconjunto de los números reales así: O C R.
Q DZ ; determina que los números racionales Incluyen a los números enteros, lo que quiere
decir que los números enteros son un subconjunto de los números racionales así: Z C Q
Finalmente Z D N Indica que los números enteros incluyen a los naturales o a su vez
podemos confirmar que los números naturales son un subconjunto de los números enteros así
NCZ.
El cuadro anterior también lo podemos representar de las siguientes maneras:
DIAGRAMA LINEAL DIAGRAMA GRPFICO DE VENN - EULER pctto lay)
Cfr. LIPSCHUTZ .: (1970). T&orla de Cnjuntos y Temas Afines. Pag 31
3
La D determina la presencia de los números decimales, a los que muy poco nos
hemos referido porque no son más que un apéndice de los números racionales pues
éstos al reducirse se transforman en ellos.
De manera general definimos a los números racionales de la siguiente forma:
Q= {xlx aJb:aAbz, bO } expresión que leemos así:
O es el conjunto de los números racionales cuyos elementos son los x , tal que equis es
igual a , a sobre b, siendo a y b elementos de los números enteros con b no igual a
cero, según lo afirma Seymour Llpschutz (1971)
El conjunto de los números racionales O , está definido en función del conjunto de los
números enteros. Z ,este conjunto a su vez está definido por los siguientes elementos:
Z= {.....-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 ......}
De modo que: Z = z- U [o} U z+ tomando muy en cuenta que Z+ =N, concluyendo
Z- ={.....-5,-4,-3,-2,-1,}
Z+=N={ 1,2,3,4,5,6,7 ......} y O N.
Los números racionales, se originan al producirse la operatMdad de números enteros;
al ejecutarse la suma, resta y multiplicación de enteros, se produce la propiedad de
cerradura 4en el conjunto para dichas operaciones así:
(4)+(-7)=-3 (suma)
(-8) - (12) = -20 (reste )
(-5)( -2) 10 (multiplicación)
Siendo -20,-3,10 Z. lo que prueba que al sumarse, restarse o multiplicarse
números enteros, el resultado siempre será un entero; esto no sucede con la división
pues no siempre al dividir dos números enteros su resultado es un número entero
veamos:
(6) (-3) = -2
(-3) 4- ( 6) = -3/6=- =-0.5
4 cfr, DE LA CRUZ M: (1981), Matemática Moderna
4
-2 E Z ; - 316 Z. toda vez que al reducirse -316 nos resulta -0,5 y -0,5 no es
elemento del conjunto Z; esto obliga a extender el sistema numérico con el nacimiento de
otro conjunto para estos elementos -0.5, 0.5 \IT etc, los racionales" según De la
Cruz M. (1981).
Pero hay que destacar que los números denotados con -.- se denomine
comúnmente Fracciones y ello tiene un fundamento que lo explicaré más adelante, por
ahora es necesario definir con claridad al conjunto de los números racionales, puesto
que todo fraccionario no forma parte de Q, para ello tiene que ser un número fraccionario
puro 5 así:
3/5; 41-9; -20144
Resumiendo podemos concluir que:
O =2 U Números fraccionarios puros
Para presentar e los números fraccionarios y racionales en general utilizamos con
frecuencia la recta numérica. La recta numérica no es más que la representación de un
segmento de recta en posición horizontal o vertical que de manera condensada y
continua representa al sistema de los números; sobre la recta se elige un punto
cualquiera que viene a ser el punto de origen a este se lo designa con el cero (0) que
quiere decir ausencia de cantidad; a partir de este punto hacia la derecha se coloca las
cantidades positivas y hacia la izquierda las cantidades negativas, así:
5 Cfr REPETIO L]NKENS. FEQUET (1967). M bca1 a&262
5
o +
izquierda derecha
punto i le origen
A partir del punto de origen se toman distancias iguales a derecha y a izquierda; estas
distancias representan a los números enteros Z Z= Z+ U Z-, representados los
números enteros , a partir de ellos se representan los números racionales, lo confirma
Máximo De la Cruz (1981).
- o +
i I 1 Ir
2 1 1 2
REPRESENTACION DE NÚMEROS ENTEROS
1 1 1 i
-1 -1h-1/4 112%
REPRESENTA1ON DE NÚMEROS RACIONALES
La recta numérica, se presta para presentar a los números racionales, por ser un
ejemplo práctico de cantidad continua que a diferencia de las cantidades discretas no se
pueden manipular con facilidad, es por ello que el dominio de su interpretación no resulta
fácil para un niño de escasa edad.
La Interpretación de los números racionales está en estrecha relación con la edad del
educando, de ahí que se hace necesario introducir su estudio con elementos
manipulables y que el alumno los pueda observar y trabajar objetivamente y a medida
que avance su edad, ir eliminando los objetos para que el trabajo se opere más
mentalmente.
Son ejemplos de cantidades continuas, la longitud de una carretera, la velocidad de
un avión, el volumen de una caja etc. En cambio las cantidades discretas son objetos
6
particulares tales como los estudiantes de un curso, las manzanas de un cesto, las uvas
de un racimo, etc., así lo afirma Aurelio Baldor (1980).
La presencia de los números racionales está en relación directa con la presencia de
la unidad, toda vez que de ella se derivan
7
MODULOS
DE
ESTUDIO
11
2.1 MODULO UNO
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES
2.1.1 OBJETIVOS DE ESTUDIO
a) OBJETIVO GENERAL
Conocer el fundamento del conjunto de los números racionales y su operatMdad preliminar.
b) OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Describir el fundamento del conjunto de los números racionales.
• Operar en la conversión de números racionales.
c) UNIDADES DE ESTUDIO
1. Fundamentos de los números racionales.
2. OperstMdad preliminar de los números racionales.
2.1.2 PRIMERA UNIDAD
FUNDAMENTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES
a) OBJETIVO 01:
Al finalizar es estudio de la presente unidad, el alumno será Capaz de describir el
fundamento del conjunto de los números racionales
b) TEMAS 02:
Historia de los números
Origen de los números racionales
Ciases de fracciones
PRESENTACIÓN
Una clave esencial en el inicio de todo estudio es la predisposición al aprendizaje,
actividad que depende exclusivamente del actor en toda su magnitud y de la claridad con
que halla enfocado los fundamentos que determinan las bases para el inicio del estudio
de cualquier tema. De manera especial en el tratamiento de la matemática si las bases
no son firmes no se puede construir el edificio de esta ciencia que por su naturaleza su
estudio es secuencial y lógico; de su dedicación y de la ejecución de los ejercicios
depende su éxito, la unidad describe los preliminares de este conjunto numérico.
11
LECCIÓN N°01
HISTORIA DE LOS NUMEROS
Un tema muy amplio y profundo es el tema de la historia de la matemática; Ud.
estimado alumno o lector esta frente a uno de los más grandes descubrimiento de la
humanidad. Todos los pueblos y culturas del universo han contribuido al desarrollo de
esta ciencia, unos en mayor, otros en menor escala, pero su aporte ha incrementado por
un lado y a cofimiado por otro el desarrollo de esta gran ciencia.
Para Roger Caratini (1970) los primeros matemáticos en el sentido estricto de la
historia de la humanidad fueron los mesopotámicos cuyos descubrimientos se remontan
a los milenios Vil y IV antes de nuestra era. La cultura mesopotámica en donde
florecieron (Babilonia, Asiria y Caldee) se disputa este privilegio con la cultura Egipcia
según lo confirma José R. Millan ( 1964 ) dándose un desarrollo sincrónico entre estas
grandes culturas universales.
Al parecer, el primer sistema de numeración fue adoptado por los babilonios que
pertenecían a la cultura mesopotámica, pero todo hace Indicar que cada cultura adoptó
su propio sistema al menos los primeros en desarrollarse universalmente. Los fenicios en
el milenio 1 a de JC. crearon un sistema de numeración menos engorroso que el de los
egipcios según Roger Caratini (1970).
El sistema de numeración que hoy poseemos se engrendra en las culturas que
surgieron en la cuenca del Mediterráneo y se fortalece en el Asia; tos Chinos poseían
un libro clásico de cálculos" al decir de Roger Caratini; compuesto entre los siglosVI y 1 a de J.C. que comprendía nueve signos diferentes para designar a los Números
1,2,3,4,5,6,7,8,9, *
12
En el siglo III a de J.C. los griegos prosiguen el sistema de númeración adoptado por
los Egipcios y entre los siglos II y VI d de J.0 los Hindues que conocieron el sistema
de numeración Babilónico lo adaptaron a la numeración decimal y dieron origen a los
signos numéricos que hoy poseemos.
La idea de número estuvo asociada a la actividad del comercio que se desarrolló en la
humanidad mediante el trueque; pare esta acción el hombre se sirvió del primer conjunto
que tuvo a su alcance, los dedos de sus manos (10) y los signos para representan a
estos números se fueron perfeccionando en el desarrollo comercial entre estas culturas
llegando a Europa con la invasión de los pueblos Arabes, por eso a nuestro sistema de
numeración se le conoce con el nombre de Indo-Arábigo.'
EJERCICIO No
1. A quiénes se considera los primeros matemáticos de la historia?
2. Hay dos culturas universales que se disputan el desarrollo sincrónico del
conocimiento científico; cuáles son?
3. El primer sistema de numeración en le historia surgió en ____ que perteneció a la
cultura
4. Nuestro sistema de numeración se engendré en las culturas que se desarrollaron
en la cuenca del.
5. En las siguientes afirmaciones , ponga una C si es correcto o una 1 si es Incorrecto.
La idee de los números surgió con la actividad del comercio
Los Fenicios crearon su propio sistema de numeración?
En el lii milenio a de J.0 los Griegos siguen el sistema de numeración
adoptado por los Egipcios.
Los Hindúes adaptaron al sistema decimal la numeración Babilónica.
Nuestro sistema de numeración se llama Indo-Arábigo.
1 Cfr. CAPATINI R: (1970), Los Números y el Espacio. Pag. 19
13
6OLUCION AL EJERCICIO No 01
1. En el sentido estricto de la historia de le humanidad, los primeros matemáticos
fueron los Mesopotámeos.
2. .Las culturas Mesopotámica y la Egipcia.
3. LI primer sistema de numeración en la historia surgió en Babilonia que perteneció a
la cultura Mesopotamia.
4. .Mediterraneo.
S. .Q La idea de número surgió con la actividad del comercio
Los Fenicios crearon su propios sistema de numeración.
L En el III milenio a de J.0 los Griegos siguen el sistema de numeración adoptado
por los Egipcios.
Corrección: En el III siglo a de J.0 los Griegos siguen el sistema de numere
ción adoptado por los Egipcios.
Los Hindúes adaptaron al sistema decimal la numeración Babilónica
Q Nuestro sistema de numeración se llama indo-Arábigo
Si acertó en todas las respuestas FELICITACIONES siga adelante, si no lo hizo vuelva a
estudiar la lección con mayor interés.
14
LECCION N°02
ORIGEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
La idea del número y su simbologia es de nuestra era, su tratamiento científico es
labor de los griegos; según Aurelio Baldor (1980), este excepcional pueblo alcanzó un
elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas, a ellos debemos el
nacimiento de la Aritmética, palabra que tiene origen eminentemente griego y la
aritmética no es más que una rigurosa teoría de los números.
A medida que surgió en el hombre la necesidad de mejores instrumentos y
herramientas para el desarrollo del conocimiento por la magnitud de la expansión
comercial entre los pueblos; aparece la inquietud de establecer comparaciones
agrupaciones, incrementos, disgregaciones, disminuciones, reparticiones, etc, surgen
así las llamadas operaciones matemáticas. La primera operación aritmética a la que so
vió evocado el hombre fue la de sumar, inverso al acto de agrupar surge la necesidad de
disminuir y cuando el hombre se ve forzado a establecer reparticiones nace la operación
de dividir.
Al decir , de Aurelio Baldor (1980) los primeros en conocer la división fueron los
babilonios y los hindúes, estos argumentos llegaron a nosotros de similar forma como
llegaron los otros conocimientos matemáticos; Leonardo de Pisa, los expresa en 1.202 y
William Qughtred en 1.647 propuso el signo de (:) para indicar la división.
La raya horizontal entre dos números naturales para denotar la división es obra de
Leonardo de Pisa que la tomó de textos árabes.
15
Aurelio Baldor continúa afirmando que los números fraccionarios tuvieron su origen en
las medidas, sin embargo, el conocimiento preliminar de las fracciones pertenece a los
egipcios según revela un papirus escrito por el sacerdote egipcio Mmes. U En realidad
los egipcios conocieron solo aquellas fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo
denominador es 2,3,4.... y las fracciones 2/3y 314; su flotación era la siguiente
9=1/2 , ¶? =1//4»2
Los griegos tenían una forma muy peculiar de representar a las fracciones; según
Roger Caratini, los números como 1/3 y 34 etc, eran representados mediante las letras
que designaban 3,4.... seguidas de un doble acento « "> así: r"=1/3 E"=115'. Las
fracciones ordinarias como 517 o 29113 se escribían así, con ayuda de una barra
antepasado de nuestra raya de fracción, introducida por los árabes. x e'
En conclusión se admite de manera general que como efectos de la división entre dos
números naturales al presentarse la inexactitud en el resultado de la operación se dió
origen al nacimiento de dos expresiones; la primera que se manifiesta con la notación
de la operación a z b o a/b, y la otra que se obtiene como resultado mismo de la
división inexacta a!b = x....
Al no encontrarse una sola representación simbólica para demostrar la división exacta
entre dos números enteros, se prefirió la flotación alb para mantener la operación
indicada, lo que persistió por las facilidades de comprensión, interpretación real y de
cálculos posteriores, nació así lo que hoy llamamos fracción como elemento esencial del
conjunto de los números racionales.
La palabra fracción viene del latín fractio que a su vez se originó para Iraducir la
palabra árabe al-Kasr que significa quebrar, romper" 3 , por lo tanto del fraccionamiento
(división) de un entero nació el número fraccionario; Leonardo de Pisa prefería usar la
palabra ruptus según lo afirma Aurelio Baldor.
2 Cfr. CARATINIR: (1970), Op. Cit Pag.10
3 cfr. BALDOR AURELIO,: (1980), Aritmética Teórico Práctica. Pat. 23 1
16
EJERCICIO N° 02
1. Falso o Verdadero: Según los griegos , la Aritmética es una rigurosa teoría de los
números
2. Falso o Verdadero: Los primeros en conocer la operación de división fueron los
babilonios y los hindúes.
3. Quién propuso el signo (:) para Indicar la división?
4. A quién perteneció el conocimiento preliminar de las fracciones?
5. Escriba la equivalencia de las siguientes fracciones escritas en flotación egipcia y
griega: 9
6. Describe brevemente cómo se originó la fracción
7. De dónde se originó la palabra 'Tracción".?
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N°02
1. Verdadero
2. Verdadero
3. William Qughtred
4. A los egipcios
5. -"=Y3'
6. Al presentarse la división entre dos números entreros con un resultado inexacto de la
operación, se dio origen al nacimiento de dos expresiones, la primera para denotar la
operación así: a b; o a/b , y la otra que surge como resultado de la división inexacta
alb = x. . . ..AI no hallar una sola representación simbólica para expresar la división
exacta entre dos números enteros se prefirió la notación alb para mantener la
operación indicada..
7. La palabra fracción se originó del latín fractio que a su vez surgió de la palabra árabe
al-Kasr que significa quebrar, romper.
Si acertó en todas las respuestas FELICITACIONES siga adelante, si no lo hizo vuelva a
estudiar la lección con mayor interés.
17
TECN
«
LECCIONNo3
CLASES DE FRACCIONES
En las dos lecciones anteriores, hemos revisado la parte histórica de los números
racionales en una forma muy breve y concreta; ahora nos aprestamos a estudiar en la
presente leccion los fUndamentos de un número fraccionario y su clases. Empecemos
por definir a una fracción.
DEFINICIÓN DE UNA FRACCIÓN
Desde el punto de vista etimológico, la palabra fracción proviene del latín Fractioque
a su vez se origina de la palabra Arabe al-kasr que significa quebrar, romper ; de allí el
nombre vulgar con el que se ha denominado a las fracciones "Quebrados".
La fractura es el término que señala el rompimiento o la división de algo en partes; ese
algo representa al todo y el todo de un objeto en términos matemáticos representa a la
unidad; por lo tanto la representación de la unidad es un objeto en su totalidad así:
Una barra de Metal
Una fruta
18
Al romperse, fraccionarse o quebrarse la barra (la unidad) o repartirse la fruta (la
unidad) se originan partes y cada una de esas partes que salen de la barra de metal o
de la fruta se les conoce con el nombre de fracciónes. Cada una de esas fracciones
(partes ) en lo que se rompió la barra o se repartió la fruta tiene un nombre muy
característico que depende del número de partes en las que se haya quebrado.
Si la barra se rompió en cinco partes así:
Unidad
Unidad Fraccionada
Cada una de esas partes iguales se denominan quintos.
Si la fruta se parte en dos así:
HjIjJilibi
ir
riI
Unidad
Unidad Fraccionada
Cada una de estas partes iguales toman el nombre de medios
Como se pudo apreciar, la unidad puede fraccionarse, romperse, quebarse o
repartirse en partes iguales. Cuando un objeto se rompe, o se reparte se ha producido
una operación matemática (división); esta división es muy especial por cuanto se trata
de la unidad y cuando la unidad se divide, cada una de las partes que resultan son más
pequeflas al ser comparadas con ella; por lo tanto RECUERDE:
"Se llama fracción a cada una de las partes en las que se ha dividido la
unidad"
19
Cómo expresamos numéricamente a una fracción ? Recuerde que en nuestros
ejemplos anteriores la barra se había dividido en cinco ( 5 ) partes y la fruta lo hizo en
dos ( 2 ) a cada una de las cinco partes se le denominó Quintos y a las dos partes se
les llamó medios ; ahora, numéricamente se expresa así:
115 Un quinto
% Un medio
Nótese que al escribir el quinto y el medio usamos dos números enteros separados
por una raya horizontal o inclinada.
Si en lugar de un ( 1 ) tomáramos dos partes, entonces la escritura resultaría:
215 Dos quintos
2/2 Dos medios
Mora, para identificar a un número fraccionario hay que observar a los números
enteros que están separados por la barra, el de la parte superior se nombra primero y
luego el de la parte inferior.
Al número escrito en la parte Inferior se le conoce con el nombre de DENOMINADOR
y señala las partes en los que se ha dividido la unidad, y el número escrito en la parte
superior de la barra se denomina NUMERADOR puesto que numera las partes que
tomamos de la unidad dividida.
Si de la barra de metal tomamos 3 partes, esta fracción se identificará como: Tres
quintos así: 3/5 3 -----> Numerador
--> Denominador
20
El nombre que se dé al denominador depende de las partes en que se divide; si Ésta
se divide en 10 partes, cada una de ellas se llama décimas: de allí en adelante se
denomina al número y se le agrega la terminación a yos así: Si el denominador es 11 se
llamará once-ayos, si es 12 será doce-ayos, si es 15 será quince-ayos etc
CLASIFICACION DE LAS FRACCIONES
De manera general, se conoce dos clases de números fraccionarios; los fraccionarios
comunes y los decimales.
FRACIONES COMUNES
Se ¡dentifica como fracción común, a todas aquellas en donde el
denominador es un número entero cualquiera, excepto la unidad
seguida de ceros.
Ejemplos: 115 ( unquinto), 318 (tres octavos), 8115 (ocho quinceavos)
-4/9 (menos cuatro novenos)
FRACCIONES DECIMALES
Es aquella fracción, en donde el denominador es la unidad seguida de
cero o una potencia de 10.
Ejemplos:3110 (tres décimos); 71100 (siete centécimos); 9/1 .000( nueve milécimos)
Tanto las fracciones comunes, como las decimales pueden ser propias, impropias y
aparentes.
4 cfr. REPETID LiNsKwsFEsQuET. (1967) .Aritmética 1. Pag. 263
21
FRACCION PROPIA -.
Se conoce con el nombre de fracción propia o número fraccionado
puro a todo aquel que es inferior a la unidad.
Ejemplo: 115 , 2/3 , 419 , 91100
Nótese: Que en los números fraccionarios puros o propios, el numerador
es Inferior al denominador.
FRACCION IMPROPIA-.
Son todas aquellas en donde el numerador es mayor que el
denominador.
Ejemplo: 512, 813 , 125110
FRACCION APARENTE -
Se conoce as¡ a todas aquellas fracciones que al simplicarse o
reducirse, quedan restringidas a la unidad, a un número entero o un
número fraccionario equivalente.
Ejemplo: 5/5 ; 1012 ; 8/20
Estos números fraccionarios son aparentes po lo siguiente:
5/5; 5 ;:5 = 1
22
10/2; 102 =5
8/2 se puede simplificar así:812=4 4/2=2;
201210 ) 10/2=5;
8/20=2/5
Recuerde: En un número fraccionario la división del numerador entre el denominador
equivale a una expresión decimal,
EJERCICIO N° 03
1. Subraye las palabras que son sinónimo de fracción, Quebrado, Rompimiento,
Elevación, División, Depresión.
2 -. Escriba una definición de número fraccionario.
3 -. Ponga el nombre de cada una de las siguientes fracciones.
8115 ; 121100 ; 317 ; 15110.000
4-. Encierre en un círculo a las fracciones comunes entre las siguientes:
1/5 ; 5/2 ; 3110 ; 81100 ; 41125
5 -- Por qué las siguientes fracciones son propias:?
215 ; 8115 ; 419
23
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N° 03
1 -. Quebrado, Rompimiento, División.
2 -. Se llama número fraccionario a cada una de las partes en que se divide la unidad.
3-. 8115 (ocho quInceavos), 121100 (doce centécimos). 3/7 (tres séptimo).
15110.000 (quince dlezmiléclmos)
4-. 1/5, 5/2, 41125
5 -. Porque los numeradores son inferiores a los denominadores.
Bravo lo logró
24
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2.1.3. SEGUNDA UNIDAD
OPERATIVIDAD PRELIMINAR DE LOS NUMEROS RACIONALES
a). OBJETIVO 02.-
Realizado el estudio de la unidad, el alumno será capaz de operar
en la conversión de números racionales
b) TEMAS
EXPRESIÓN MIXTA
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Y SUS PROPIEDADES
PROPIEDADES GENERALES DE LAS FRACCIONES
PROPIEDADES PARTICULARES DE LAS FRACCIONES
REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
PRESENTACIÓN
Con el estudio de la segunda unidad, el estudiante logrará el dominio de las
operaciones preliminares que se ejecutan con los números fraccionarios, elemento
esencial del conjunto de los racionales; el manejo de sus propiedades le darán un claro
panorama de su amplitud y con la simplificación se le facilitará el cálculo posterior en las
operaciones con estos números.
Lo destacado en el estudio de las fracciones aritméticas está en el dominio de sus
fundamentos preliminares, la interpretación de las expresiones para que el proceso
lógico de operación se afiance; perdure; toda la teoría conocida previamente de los
25
números enteros servirá de base para proseguir el tratamiento de los números
racionales pues amigo lector Ud. debe recordar que los números racionales (Q) es un
subconjunto de los números reates aquellos que para llegar a su conocimiento final
deben partir de los números naturales y los enteros, para entrar el conocimiento de los
números racionales. Adelante.
No olvide que el estudio es mucho más que una simple lectura, trabaje siempre con un
lápiz y papel a la mano para ir haciendo sus propias conclusiones.
26
LECCION N° 04
LA EXPRESION MIXTA
Iniciado el estudio de los números racionales ,destacando su historia y origen para
culminar la primera unidad en este tratamiento con las clases de fracciones aritméticas;
ahora iniciamos la operatMdad preliminar de los números fraccionarios que son el
fundamento de todo el consiguiente tratado a realizar con ellos.
La expresión mixta, llamada generalmente número mixto porque se compone de un
número entero y otro fraccionario así:
23/5 -> Fraccionario
Entero
Toda expresión aritmética mixta equivale a un número fraccionario impropio, debido a
que ella resulta de la división del numerador entre el denominador del número
fraccionario:
Eejemplo: 1315 Fraccionario Impropio
Proceso:: Se divide 13/5 ; 13 Divisor-J.Q 2—Entero
3\
osiduo
27
Luego se coloca el número entero y seguido el residuo como númeror y el divisor
como denominador:
1315= 23/5
En igual forma una expresión mixta puede transformarse en número fracionano
Impropio para lo cual basta múltiplicar el número entero con el denominador de la
fracción y a este resultado se le suma el numerador:
Ejemplo: 2 315= 5+3 2 3/5 = 10+3 =2 3/52= 13/5
Recuerde:
Todo número fraccionario impropio equivale a una expresión aritmética mixta y a su
vez toda expresión aritmética mixta,corresponde a un número fraccionario impropio.
Cabe destacar que todo número fraccionario Impropio es mayor a la unidad, de allí el
porque necesariamente corresponde a una expresión aritmética mixta.
EJERCICIO No 04
1 -. Por qué un número fraccionario impropio es mayor que fa unidad.?
2-. Convertir las siguientes expresiones mixtas a números fraccionario a impropio.
153/8, 7 314 , 62/5,81/2,9 5/6,10517, 10 113, 9215, 2314 ,161/4
3.- Convertir los siguientes números fraccionarios a expresión mixta:
63110;M; 125125; 21f7;5/2; 80111; 112111; 2613; 354161; 3819
28
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N° 04
Todo número fraccionario impropio es mayor que la unidad por el simple hecho de
que el numerador es superior al denominador y si ésto sucede las partes que se toman
de la unidad son más de las que en realidad se dMdlÓ la unidad.
2-. 153/8= 12318 ; 7 314 =31/4 ; 6 2/5=32/5 ; 8 1/2= 17/2
95/6=59/6 105/7=1517 :101/3=3113 ; 92/3=29/3
23/5=13 :16 1/4=65/4
3-. 63110 = 6 311 ; 8/5 = 13/5 ; 125/5 5 ; 21/7 = 3
511 = 2 1/2 ; 80/11 = 7 3111 ; 112111 = 102/11 ; 26/3 = 8 213
354161 = 5 49161 ; 38/9= 4 2/9
Si Ud. pudo resolver estos ejercicios ha dado un paso importante en sus estudio; si no
lo hizo insista otra vez.
29
LECCION No 5
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE NÚMEROS RACIONALES Y SUS PROPIEDADES
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Dos o más números fraccionarios son equivalentes cuando al ser estos reducidos
adquieren el mismo valor.
De manera general se afirma que dos fracciones son equivalentes cuando el
producto del numerador de la primera con el denominador de la segunda es Igual al
producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Ejemplo: 318 = 9/24 => 3/8 = 0,375 9124 = 0.375
[-is;ual valor J
318= 9124 -- -_- 3x24 = 8x9 . 72= 72
Recuerde: De manera general aib c/d
si solos¡ a.d=bc
............
30
PROPIEDADES DE LA RELACION DE EQUIVALENCIA
La relación de equivalencia entre dos fracciones goza de las propiedades:
- Reflexiva
- Simétrica
- Transitiva
PROPIEDAD REFLEXIVA. - Toda la fracción es equivalente a si misma
Ejemplo: 3/5 3/5 ; 06 0.6 ; aib alt)
PROPIEDAD SIMÉTRICA
Si una fracción es equivalente a otra , la segunda es equivalente a la
primera.
Ejemplo: 4/5 20/25 > 20/25 = 4/5; 0.8 = 0.8; &b c/d ; c/d
PROPIEDAD TRANSITIVA .-
Si una primera fracción es equivalente a una segunda, esta es
equivalente a una tercera; entonces la primera es equivalente a la
tercera ; así.
114= 3112 ; 3112 9136 - > 114 9136
Generalizando: Si aIb cid ; cid el a/b el
31
9/34
EJERCICIO N° 05
1 -. Por qué las siguientes fracciones son equivalentes, % Y 618?
2 -. Escriba tres fracciones que son equivalentes 215
3 -. Mediante un gráfico demuestre que 116 es equivalente a 2112
4 -. Demuestre numéricamente que en las siguientes fracciones se cumple la propiedad
Transitiva: 115 , 2110 , 4/20
8OLUCIONARIO AL EJERCICIO N° 05
1-. 314 y 618 son equivalentes porque al reducirlos su valor es Igual asi:
3/4=0.75 ; 618=0.75
2-. 215 4110 = 14/35 = 18145
3-.
[1
32
4-. 1/5=2110 >lxlO=2x5 => 10=10
2110 ,= 4120 ==> 2x20 = 4x10 > 40=40
1/S=4120. > 1x20 = 4x5 ==> 20=20
Con estos ejercicios Ud. ha hecho un importante avance lógico-deductivo.
33
LECCION N°6
PROPIEDADES GENERALES DE LAS FRACCIONES
Al iniciar el estudio de la sexta lección de este primer módulo del tratamiento de los
números racionales, Ud. ya ha ido cimentando el fundamento preliminar de este conjunto
numérico; ahora con el conocimiento de las propiedades Ud. afirma el alcance de las
fracciones y reafirme la estructura lógica de las mismas, por ello lo animamos a seguir
con decisión y altamente motivado.
Las fracciones gozan de propiedades generales y particulares; se les denomine
propiedades generales porque se dan por igual en los números fraccionarios propios e
Impropios; veamos:
1. Si dos o más fracciones tienen un mismo denominador; mayor es la que tiene el
numerador mayor.
Ejemplo : De entre 1/5 , 3/5 y 8/5
Mayor es 8/5 puesto que el numerador 8 > 3 A 8> 1
portento. 8/5 > 315 ; 815 > 115
.........
1 1 1 1
1 1 8/5
E
—>unidad
34
2 -. De dos o más fracciones que tienen igual numerador, mayor es la que tiene
menor denominador.
Ejemplo Sean : 34 , 316, 3110
Mayor será 314 puesto que tiene el menor denominador y de hecho se aproxime más
a la unidad.
314 > 3/6 ; 314 > 3110
3/4-->
3/6----->
3/10—>
3 -Si a los términos de una fracción se múltiplica por un mismo número entero, la
fracción resultante es equivalente a la primera y representa por lo tanto el mismo
número natural.
Ejemplo: Sea 115 multipliquemos por 3 nos resulta
115 x 3/3= 3115 ; 1I() x (-3)I-3=-3/-15=3/l5haciendo
1/5—>
311 5-----5'
35
4 -.Si los dos términos de una fracción tiene un divisor común y se dividen para él , la
fracción resultante es equivalente e le primera.5
Ejemplo: Sea 8110 dividamos para 2 ; nos resulta
8110 r, ( 2)/(2)=4/5 ; 8110 (-2)/(-2)-4/54/5
haciendo (- ) (-) = +
5 - Si el numerador de una fracción se multiplica por un número, le fracción queda
multiplicado, y si se divida, la fracción queda dividida.
Ejemplo: Sea 4/5 lo multiplicamos por 2 y luego lo dividimos
4/5x2=815; 4/5<8/5
4/5 '8/51 AUMENTA
-DISMINIMF..........
115 .-2/5
6 -.Si el denominador de una fracción se múltiplice o divide por un número; la fracción
queda dividida en primer caso y multiplicada en segundo caso por dicho número
Ejemplo: Sea 3/4 multiplicamos el denominador por 2, luego dMdlmos
Cfr, GRUPO EDiTORIAL OCEArNO.; (1 980).E1 Mundo de la Maternática.Tomo IL pa88
36
3/4-->
3/8-->
disminuye
3/4---.
3/2—>
aumenta
3/4k2 = 3/8 ; 3/4> 3/8
.L L ;i>
4x2 8 4 2
EJERCICIO P006
1. Sean las fracciones 315 y 2/5 Cual será mayor? señale la razón
2. Entre 318 y 3/5 . Cual es mayor? señale la razón
3. Qué sucede si a los dos términos de una fracción se dividen para un mismo número
4. Si el numerador de una fracción se multiplica por un número, qué sucede con la
fracción? Demúesfrelo:
5. Mediante un gráfico demuestre lo que sucede cuando el denominador de una fracción
se divide por un número.
37
3/2—>
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N° 06
1. Entre 3/5 y 2/5 el mayor es 3/5 porque tiene el mayor numerador.
2. Entre 318 y 315 es mayor 3/5 porque tiene el menor denominador
3. Si los términos de una fracción se dividen para un mismo número la fracción que
se forma es equivalente a la primera: : 218 lo dividimos para 2
2/8 212 = % LUEGO 218 = Y4 => 0.25=0.25
4. Si el numerador de una fracción se multiplica por un número, la fracción resultante
es mayor que la primera. 2/5 x 3 = 615; 2t5<6/5=>0.4<1.2
5. Cuando el denominador de una fracción se divide por un número, la fracción
resultante es mayor que la original.
Sea. % dividimos al denominador para 2
-%2=3/2 =>3/2 >3/4
3/4-->
Mi-algía
Al comparar sus respuestas con el solucionarlo, Ud. encontrará sus puntos
coincidentes si éstos son en un 100% , siéntase satisfecho y siga adelante; si solo
acertó en 4 preguntas no se detenga siga a la siguiente lección; si solo acertó en 3
preguntas vuelva a revisar la lección.
38
LECCION No 7
PROPIEDADES PARTICULARES DE LAS FRACCIONES
Con el estudio de estas propiedades, Ud. afianzará sus conocimientos preliminares
sobre las fracciones aritméticas y habrá dado el primer gran paso para operar sin
dificultad con los números racionales.
Las propiedades particulares toman esta identificación por que no se cumple por igual
en losnúmeros fraccionarios propios e impropios veamos:
1 -Si a los dos términos de una fracción propia, se suma un mismo número, la
fracción resultante es mayor que la primera; así:
SI a 2/5 le sumamos 3 nos resulta:
215+3/3=518=>2/5<5/8
2/5—> •-
518---> !T-- 1 AUMENTA
2 - Si a los dos términos de una fracción impropia se suma un mismo número, la fracción
que resulta es menor que la primera.
Ejemplo: Sea :312 le sumamos 2; resulta:
312 +2/2 = 514 3I2>5/4
39
pr
M2 '5/4
3 -Si a los dos términos de una fracción propia, se esta un mismo número, la fracción
que resulta es menor que le primera.
Ejemplo: Sea 315 le restamos 2 ; resulta.
E
I.]EH[Uk'
..EJE HuffiliEN
01^ Ala¡
4 - .Si los dos términos de una fracción Impropia se les reste un mismo número, la
fracción que resulta es mayor que la primera.
Ejemplo: Sea 4/3 le restamos 2, resulta:
413 -2/2=2/1 => 4/3<2
=
11 sífil El
40
EJERCICIO No 07
1. Si a una fracción propia se le suma un mismo número a sus dos términos que
sucede? demuestrelo con un ejemplo.
2. Sea 413 súmele 2 a cada uno de los términos y compare el resultado.
3. Demuestre graflcamente por qué disminuye una fracción propia cuando e sus
términos se reste un mismo número.
4. -. SI e 5/2 le restemos 2 a cada término; qué sucederá, demuéstrelo.
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N o 07
1. La fracción resultante es mayor: Sea 1/2. le sumamos 3, + 31 3=415 ; 1/2=0.5;
4/5=0.8 luego 0.5<0.8
2. 413+2/2=6)5 ; 4/3=1.33 615=1.2 luego 1.33>1.2
311 le restamos 3 311-313=114
311—>
1/4—>
3.- 5/2 le restamos 2; 5/2-2t2=3/1=3
la fracción resultante es mayor
512411 : 512 <3
SI Usted logró captar la esencia de cada una de las propiedades y acertó en los ejercicios ya puede
sentirse tranquilo y continuar su estudio con normalidad.
41
•]
REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Con el tratamiento de esta lección concluimos el primer módulo de estudios de los
números racionales y hemos cimentado las bases para el futuro tratamiento de las
operaciones con estos números.
Reducir una fracción es convertirla en otra equivalente o en une expresión cuyo valor
sea igual . Ejemplo 215 = 0.4 ; 5/2 2.5
Toda fracción impropia que equivale a una expresión mixta, contiene una parte entera
y otra fraccionaria pura, la parte fraccionaria pura es equivalente a una expresión
decimal así:
1518= 1 718-FRACCIÓN
-a-ENTERO
718 = 0.875 ; 17/8 1.875
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente que sea irreducible.. Una
fracción es Irreducible cuando sus términos son primos entre si es decir no hay
divisibilidad entre ellos. Para simplificar una fracción se divide sus términos
sucesivamente para los factores comunes que tengan, o se halla el máximo común
divisor entre sus términos . Ejemplo: 54196
42
PRIMERA FORMA: 54196= 27148 = 9116 : 54196 = 9116
JI
MifAD TERCERA
SEGUNDA FORMA:54/96m.c.d1 2 m.cd=2x3=6
2119
54-6= 9
96148 6 98 6=16
54)96 =9116
EJEMPLO: 2 Simplificar: 5941648
PRIMERA FORMA: 594/648 = 2971324=991108 = 33/36 = 11112
JI JI ji ji
Mftad Tercera Tercera Tercera
SEGUNDA FORMA: m.c. d 1 2 1 21 2 13 13 1 3 1 3
594 1 297 1 -
- 311 -
648 324 16 81 27 3 1
m.c.d = 2x? => m.c.d = 2x 27 => m.c.d =54
594 54 =11; 648;54=12 : 594/648= 11112
EJERCICIO No 08
Simplificar las siguientes fracciones:
72160; 81/54; 3601900; 75/225,6401891, 1801612; 361108; 1051945,154144;
675/1260,
43
SOLUCION AL EJERCICIO No 08
72160=36130=18/15=615= liis
81/54 = 27118 = 9/6 = 3/2 = 1 1/2
360/900 = 1801450 = 90/225 = 30/75 = 10125 = 2/5
751225 = 25175 = 5115 = 113
4601896 = 2301448 = 1151224
1801612 = 90/306 = 451153 = 15/51 = 5117
36/108 = 18154 = 9/27 = 319 = 1/3
1051945 = 35/315 = 7/63 = 1)9
154/44=77/22=7/2 = 31/2
67511260 = 2251420 = 751140 = 15128
44
Si Ud. acertó el 70% de estos ejercicios puede continuar adelante, si no lo hizo intente
nuevamente hasta lograr el parámetro establecido.
Si desea hacer mayor práctica, remítase a la ARITMETIcA DE BALDOR o a la
ARITMETICA 1 de REPETTO, RECUERDE que los conocimientos matemáticos se
afianzan con el constante ejercicio.
45
RESUMEN DEL MODULO UNO
Según Roger Caratini, los primeros matemáticos en el sentido estricto de la historia
fueron los mesopotámicos cuyos descubrimientos se remontan a los milenios Vil y IV
antes de nuestra era, precisamente el primer sistema de numeración es obra de los
babilonios que formaron parte de la cultura Mesopotamia aquella que de alguna manera
se disputa el despertar científico con su similar de Egipto.
Al parecer cada cultura adoptó su propio sistema de numeración, pero el mayor
desarrollo de nuestro actual sistema surge en la cuenca del Mediterráneo en el Asia,
siendo los hindúes los que perfeccionaron el sistema de numeración babilónica para
Implantado después en Europa con la Invasión de los árabes generando el actual
sistema decimal fundamentando en los 10 dedos de las manos y conocido con la
denominación de Indo-arábigo.
Los números fraccionarios como elementos fundamentales de los racionales, nacieron
de la necesidad del hombre por encontrar una respuesta a las reparticiones a tal punto
que para Aurelio Beldor las fracciones surgieron por las medidas: los primeros en
conocer las fracciones fueron los egipcios aunque la división como operación es obra de
los babilonios y los hindúes . En 1.202 Leonando de Pise, expuso estos conocimientos
y Wilian Oughtred, en 1.647 propuso el signo ( : ) para la división mientras que la raya
horizontal entre dos números naturales es obra de Leonardo de Pisa, que la tomó de los
textos árabes.
El término fracción se origine de la palabra latina fratio que a su vez nació de la
palabra árabe al-Kasr que significa romper quebrar; Leonardo de la Pisa usó con mayor
frecuencia ci vocablo ruptus, el nombre vulgar de quebrados surgió entonces del
significado de la palabra fracción. La división de un todo en partes dió origen al
surgimiento de los números fraccionarios, por ello se define a una fracción "como ¡as
pailas Iguales en las que se dMde ¡a unidad".
Los números fraccionarios se denotan con la siguiente expresión alb siendo a y b
números naturales o enteros diferentes del cero, la raya inclinada denote división; el
número superior (a) se llama n,ane,dory señala las partes que se toman de la unidad
dMdida; en número Inferior ( b) se llama denominador y señala las partes en las que
se ha dividido la unidad.
Las fracciones tomen el nombre según el numerador y el denominador así: 215 dos
quintos , 3110 tres décimos ; a partir del 11 como denominador se lee así: 4111 cuatro
onceavos , 5115 cinco quince-ayos , nótese que se denomine el número y se le agrega la
terminación ayos.
Se conocen dos clases de números fraccionarios; las fracciones comunes y les
decimales; los primeros tienen como denominador cualquier número entero, excepto la
unidad seguida de cero; las fracciones decimales tienen como denominador le unidad
seguida de ceros. Las fracciones además pueden ser propias, impropias y aparentes.
Las fracciones propias son aquellos inferiores a la unidad; las fracciones impropias
tienen el numerador superior al denominador, y las fracciones aparentes son aquellas
que al reducirse son iguales a le unidad, e un entero o a otra fracción equivalente.
215 FRACCIÓN COMÚN 81100 FRACCIÓN DECIVIAL
2/5 FRACCIÓN PROPIA 5/2 FRACCIÓN IvPROP1A
3/3 FRACCIÓN APARENTE
47
Toda fracción impropia equivale a una expresión aritmética mixta y a su vez toda
expresión mixta es Igual a una fracción Impropia, su transformación de una a otra es
muy sencilla . Veamos:
5/2=2!4 ;52=2 ; RESIDUO I ; 2=2X2+1:5/2
Dos fracciones son equivalentes cuando se cumple la siguiente particularidad:
aIb= c/d > ad=bc.
La relación de equivalencia entre fracciones cumple las siguientes propiedades
Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Reflexiva Sea aib ; adb eA,
Simétrica Sea aib cid > c/d alb
Transitiva Sea alb=c/d y c/d=e/f aIbeff
Las fracciones gozan de propiedades generales yparticulares ; las propiedades
generales se dan por igual en las fracciones propias e impropias, en cambio las
propiedades particulares no tienen esa característica
Las propiedades generales son:
1. Entre varias fracciones de Igual denominador, mayor es la que tiene mayor
numerador.
2. Entre varias fracciones de igual numerador , mayor es la que tiene menor
denominador.
.. Sea una fracción &t y alb x c/c = aclbc >&b aclbc
4. Sea una fracción aft y a c/c = a/c/b/c'r»>alb. ./db/c
Sea sk yalbx c=aclb —>aIb<acA,
Sea eA, y &b*c = &bc => alb>albc
a, bc = a/c => afta a/ bfc
48
Las propiedades particulares son:
1 -. Sea una fracción propia a Ib; si alb + c/c ( a+c)I(b+c) >(a+c )I(b+c)> alb
2-. Sea una fracción Impropia &b; si alb + c/c = (e+c)/(b+c)=>(a+c)/(b+c)<alb
3-. Sea una fracción propia sib si alb - c/c = (a-c)!(b-c)>(a-c)/(b-c) <alb
4-. Sea una fracción Impropia alb si &b - c/c = (a-c)/(b-c)= (e-c)I(b-c)> alb
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente cuyos términos no sean
divisible entre ellos.
49
AUTO EVALUACIÓN DEL MÓDULO
OBJETIVO 01
A -.Marque una x dentro del paréntesis que esta debajo de la V o de la F según
sean verdaderos o falsos los enunciados.
V F
( )( )1.- A los mesopotámicos se los
considera los primeros
matemáticos de la historie. -.
2.— .Nuestro sistema de
numeración surgió en les culturas
que se desarrollaron en la cuenca
del medlterreneo.
3.- Los hindúes adoptaron el
sistema de numeración babilónio
4.- Los primeros en conocer la
división ftieron los babilónicos y
los hindúes
( )( )
( )( )
( ) ( )
5.- El conocimiento preliminar de
les fracciones es obra de los ( ) .( )
egipcios
50
8-. Complete los siguientes enunciados colocando las palabras que fallan:
6-. El primer sistema de numeración en la historia de la humanidad surgió
en:
7-. El signo ( :) para indicar la división es obra de
8-. La palabra árabe aI-kasr significa:
9-. Número fraccionario, son las partes Iguales en la que se divide le
C -. Marque una x dentro del paréntesis que está Junto a la respuesta concrete:
10-.Toda fracción propia es:
a) ( ) Igual a la unidad
b) ( ) Menor que la unidad
c) ( ) Equivalente a la unidad
11 -. Generalmente hay dos clases de números fraccionarios
e)( ) Comunes y decimales
b) ( ) Comunes y equivalentes
c) ( ) Decimales y periódicas
51
OBJETIVO 02
A .- Marque una x dentro del paréntesis que está en la respuesta correcta.
1 -. Toda expresión aritmética mixta equivale a:
a) ( ) Un número entero
b) ( ) Un número natural
c) ( ) Un número fraccionario impropio
2 -. Una fracción es equivalente a otra cuando cumple la condición
a)( ) ad=bc.
b)( ) ab=cd.
c)( ) sc=bd.
3 -. Sea. sIb c/d si aIb cid y c/d alb se cumple la propiedad
8)(
)
Reflexiva
b) (
)
Simétrica
C) (
)
Transitiva
4-. Entre dos o más fracciones de igual denominador , mayor será:
a) ( ) La que tiene mayor denominador
b) ( ) La que tiene menor denominador
c) ( ) La que tiene mayor numerador
B .- Realice las siguientes operaciones.
52
5 .- Convertir 2 5/9 en número mixto
6 Demuestre lo que sucede si a 314. le dMdlmos su denominador
para 2
7 Simplifique la siguiente fracción 361108 use el método directo
8 .- Simplifique 1801612 use método del m.c.d.
9 .- Qué sucede si a los términos de una fracción propia le restamos
un mismo número; demuéstrelo gráficamente.
Compare sus respuestas con el solucionado..
33
SOLUCIONARlO
OBJETIVO 01
A.
1 -. Verdadero
2-. Verdadero
3-. Falso Los hindúes adaptaron el sistema de numeración babilónico
4-. Verdadero
5-. Verdadero
B. 6-. Babonia
7-. WUhan Qughtred
8-. Quebrar, Romper, Fraccionar
9-. Unidad
C.- 1O-.b.
11-a.
OBJETIVO 02
A.- 1-c.
2-a.
3-b.
4-c
B.- 5.- 25/9 ; 2x9+5=18+5=23=> 2 519=2319
6 .- 31(4+2) = 3/2 => 314 < 312 porque 314 = 0.75
312 = 1,5 : 0.75 < 1,5
54
7 36/108= 18/54 = 9/27 = 319 = 113 OrECA
MITAD MITAD TERCERA TERCERA
8..- 18012
mcd2 2 33
180 90 45 155
612 306 153 51 17
. 3
m.c.d. 2 x3 > m..c.d=36
180 36=5 ; 612 36 = 17
180 12 = 5/17
9 .- La fracción resuftante es menor que la primera:
3/5-2/2= 1/3=> 3/5> 1/3
yi
disminuye
1/3—>
35
COMENTARIOS
Si Ud. acertó el 100% de los dos objetivos, FEUCITACIONES su
dedicación ha sido todo un éxito; si acertó el 80% deI primer obeJtivo y •l 100% dei
segundo EXCELENTE ; si solo acertó el 80% en cada uno de los objetivos, examine las
preguntas que falló puesto que para aprobar el módulo debe acerterse de is siguiente
forma.:
OBJETIVO 1 BLOQUE A. 4 Preguntas, BLOQUES By C 5 Preguntas.
OBJETIVO 2 BLOQUE A. 3 Preguntas, BLOQUE B. todas las preguntas.
U J ' ;1 C'I1;1J'
1. Baldor, A: (1.980 ), ARITMEF1CA TEORICA PRACTICA, Madrid, Cultura¡ Centroamericana S. A
2. CARAÍINI I R: (1.970 )' LOS NUMEROS Y ESPACIOS; Enciclopedia tem*c., ARGOS, 50-51
3. DE LA CRUZ M,: (1.981 ) MATEMATICA MODERNA 2-. Urna, Editorial BRASA S
4. GRUPO EDITORIAL OCEANO .: (1980). El Mundo de la MalamIcs. Torno 2
S. UPSCNUTZ 5,: (1.975 )TEORIA DE COt'UUNTO Y TEMAS AFINES, Ubro. Mcgraw-Hill de México.
8. QUEZADA M.: (1.994 ) DISEÑO Y EVALUAQON DE PROYECTOS; 1 .- Editorial Universidad Técnica
Particular de Loja.
7. REPETrO, UNSKENS, FESQUET; (1.967) ARITMETICA 1.- Matemática Moderna, Buenos Aire,
Editorial Kapeluz.
56
2.2 MODULO DOS
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS RACIONALES
2.2.1 OBJETIVOS DE ESTUDIOS
a) OBJETIVO GENERAL
Realizar operaciones con números racionales
b) OBJETIVOS ESPECIFICOS
• Ejecutar suma y resta con números racionales
. Realizar operaciones de multiplicación y división con números racionales
• Realizar operaciones de potenciación y radicación con números racionales.
e) UNIDADES DE ESTUDIO
3.-. Suma y resta de números racionales
4.- Multiplicación y división de números racionales
5.- Potenciación y radicación de números racionales
2.2.2 .- TERCERA UNIDAD
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES
a) OBJETIVO 01
Hecho el estudio de la presente unidad, el alumno estará
en capacidad de ejecutar suma y reste con números
racionales
b TEMAS
• HOMOGENEIDAD Y HETEROGENEIDAD DE LAS FRACCIONES
• SUMY RESTA DE FRACCIONES HOMOGENEAS
• SUMA RESTA DE FRACCIONES HETEROGENEAS
PRESENTACIÓN
En el estudio de los números racionales, la ejecución de las operaciones es lo más
Importante, su proceso puede generar confusiones especialmente en las operaciones de
suma y reste por cuanto hay que diferenciar los procesos, para lo cual es necesario
Identificar las clases de fracciones con las que se opera.
Hay una marcada diferencia en la suma y reste con fracciones homogéneas en
comparación con la misma operación de fracciones heterogéneas, además vale destacar
que las unidades se han programado con operaciones principales y su inversa,
considerando en el primer grupo a las operaciones de la familia aumentativa: suma,
59
multiplicación y potenciación y en el grupo de la familia disminutiva se ha considerado a
las operaciones Inversas: reste, división y radicación.
Las unidades por lo tanto se han programado así:
Adición y reste de números racionales
Multiplicación y división de Q
Potenciación y radicación de O
Hay que captar las normas de operación y ejecutar los ejercicios que se proponen para
reafirmar lo estudiado.
60
LECCIÓN N°01
HOMOGENEIDAD Y HETEROGENEIDAD DE LAS FRACCIONES
Para comprender la homogeneidad y le heterogeneidad de las fracciones, es
necesario considerar dos características esenciales, la une es de carácter numérico de
esencia matemática y te otra de especie concrete de unidades.
Consideremos el siguiente ejemplo: 113 de queso, Y4 de queso , 215 de queso, son
heterogéneos matemáticos pero a la vez son homogéneos concretos, debido a que se
refieren a una misma especie natural. Tomemos ahora el siguiente ejemplo: 115 de
cartón, 3/5 de vare y 415 de une manzana son homogéneos matemáticos pero a la vez
son heterogéneos concretos por las especies a las que se refieren, como lo afirma José
Junquera Muné (1969).
Partiendo de los ejemplosanotados, afirmaremos que la homogeneidad y la
heterogeneidad de las fracciones hacen alusión a la repetición o no de sus
denominadores en el orden estrictamente matemático sin Importar la especie concrete e
la que se refieren así:
116, 316, 716 son fracciones homogeneas
Recuerde:
Dos o más fracciones son homogéneas; cuando tienen un mismo denominador; y
cuando tienen distintos denominadores son heterogéneas
Ejemplo: 115 . 213 , 8/7 son fracciones heterogeneas.
61
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGENEAS
Para sumar, restar o sumar y restar a la vez fracciones homogéneas basta operar con
los numeradores y conservar siempre el denominador:
Ejemplo 1: SUMAR 318+218
3/Ø+218=(3+2)/8=518 Rp: 518
Ejemplo 2: RESTAR: 9/5 de 3/5
3/5 - 9/5 = (3-9 )I 5 = -615 Rp: -6/5
Ejemplo 3: Realizar la siguiente operación:
7115 - 12115 + 8115-2/15
7/15-12/15+8/15-2115= (7-12+8-2)/15=(15-14)/15 = 1115
OBSERVESE: que en el ejemplo 3, se suman números positivos y negativos por separado y
finalmente se ejecute la resta.
EJERCICIO N°01
Ejecutar los siguientes ejercicios:
215 + 315 ; 11115 + 13/15+ 14115 ; 1/10+3/10-7/10 ; 719-154+119 ; -117+4/7-1217
62
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N 001
215+315=(2+3)/5 = 515 = 1
11/15+13/15+14/15 = (11+13+14)/ 15 = 38/15 = 2 8115
1/10+3I10-7110 =(1+3-7)/ 10 (4-1) /10 = -3110
71-9 - 1519 + 119 =(7-15+1) 19 =(8-15)/9 = -719
-1114417-12/7 =(-194-12) 17 = (4-13) / 7 = -9/7 = - 1
Si usted acertó en todos estos ejercicios, ha hecho un gran paso, sin embargo te
recuerdo que debe seguir practicando por lo menos después de 48 horas otros ejercicios
similares , recurra a la ARITMETICA de Aurelio Baldor, a la ARITMETICA 1 de
REPETTO o a cualquier otro texto de aritmética que contenga ejercicios de este tipo.
63
LECCIÓN N° 03
SUMA Y RESTA CON FRACCIONES NETEROGENEAS
El proceso de sumar y restar con fracciones heterogeneas, difiere sustancialmente
del proceso utilizado en la suma y resta con fracciones homogeneas, en este caso antes
de operar con los numeradores, hay que hacerlo con los denominadores encontrando,
un común divisor entre ellos para luego operar con cada una de las fracciones
parcialmente, veamos el siguiente ejemplo:
-11/2+5/4+8/3
Se obtiene el m.c. m. (mínimo común múltiplo) entre los denominadores 2, 4 y 3 para
ello se aplica un proceso ya estudiado previamente al haber conocido la teoría de los
números enteros.
Elm.c.m = 12
-1112+514+8/3=[6(-11)+3(5)+4(8)1112 , el 6, 3y4 se obtienen dividiendo el m.c.m
(12) para los denominadores 2,4 y 3.
-11/2+5/4+8/3 =(-66+15+32)112=-66+47112=-19/12 =- 1 7112
Es Importante destacar que para encontrar el M.C.M (Mínimo común múltiplo) entre
los denominadores, se procede a descomponer los denominadores en sus factores
primos y luego se escogen los factores comunes y no comunes con el mayor exponente
que viene a ser el mínimo común denominador.
64
Como en la suma y resta de números enteros, esta operación con números
racionales goza de les propiedades de: "Clausure, asociativa, elemento neutro, elemento
simétrico y conmutativa", veamos:
PROPIEDAD DE CLAUSURA.-
De la suma de dos o más números racionales resulta otro número racional.
Ejemplo: Sumar 213 + 3/5
2/3+3/5 =[5(2) +3 (3)]/ 15 = (10+5)! 15 = 19115 ; 19115 O
PROPIEDAD ASOCIATIVA..
Sean las fracciones : 1/2, 3/4,5/6 se puede sumar asociando los sumandos:
(34 +3/41 +5/6 = 34+ (3/4+5/6] veamos
[(2+3)14] +516 = y2 + [ {3(3)+2(5)} 1121
(5141+516 = %41(9+10) 1121
[3(5) +2 (5)J112 = 112+19112
(15+10)/12 (6+19)1 12
25112 = 25112
ELEMENTO NEUTRO.-
Todo número racional sumado con 0 e Igual a si mismo, ejemplo:
4/5+0 = 0+415 = 415
Cfr. DELA.CRIJZM; (1981), MatemáticaModerna 2.Pag2, 77,78,79
65
ELEMENTO 3IMETRICO..-
Sea 417 y -417 , le suma de las dos fracciones, es igual a 0 , así:
417+(-4/7) =(-417) +417 =(-4.4)/7 = Oil = O
En la suma , el elemento simétrico de un número racional se llama opuesto.
PROPIEDAD CONMUTATIVA..
El orden de los sumandos en la operación con fracciones, no altere el resultado
así:
-518+112 ; -518+112= 1/2+(-5/8)===> (-5+4)/8 = ( 4.5) /8 -1/8 -1/8
EJERCICIO N° 02
1. RealIzar los siguientes ejercicios: 511-2121+1/3 ; 112-3/8-1 ; 8/9-3/4-516
315+1/2-1110-314; 716+8-113 ; 11/3-511-3/2
2. Un agricultor siembra las 215 partes de su terreno de maíz, la tercera parte de viñedos
y el resto de hortalizas. Qué parte de su terreno es cultivado de hortalizas?
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N* 02
1.-
511-2121+1/3 = [3(5)-1(2) +7(1)1/21 = (15-2+7)/21 =( 22-2)/21 = 20/21
112-3/8-111 = [4(1)- 1(3)- 8(1)]/8=(4-3-8)/8 =(4-11)/8 = -718
819-314-516= [4(8)-9(3) -6(5)1136 (32-27-30)136= (32-57)136 = -25136
3/5+112-1110-314=[ 4(3)+10(1)-2(1)-5(3)J/20 = (12+10-2-15)120 =(22-17)+/20 =5120 = 34
66
716+8/1-13=[1(7)+6(8)-2(1)]/6= (7*48-2)16=(55-2)16=5316 =85/6
11+3-517-3/2=[14(11)-6(5)-21(3)J/42 =(154-30-63)/42 =(154-93)/42 = 61142
2.- PLANTEO: Maíz = 2/5; Viñedo= 1/3; Hodeilzas = x
RAZONAMIENTO: 2/5+1/34 = 1
SOLUCION: 215 + 113+ x =1; x 1-215.1/3
1/1-2/5-1/3=[15 (1)-3(2)-5(1)] 115 =(15-6-5)! 15 =(15-11) /15 = 4115
R=Hortallzas= 4115
Si usted acertó en estos ejercicio, va en progreso si no los pudo hacer insista nuevamente,
busque otros ejercicios en cualquier abro de matemáticas que los contenga., Repetto -
Aritmética 1, especiaknente.
67
,
r0
-J -
\ ___'J -
2.2.3 CUARTA UNIDAD
TECA)
MULTIPUCACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a) OBJETIVO 02.
Con el estudio de la presente unidad, el alumno será capaz
de realizar operaciones de multiplicación y división de
racionales
b) TEMAS
MULTIPLICACION Y DMSION DE FRACCIONES
PRESENTACION
La operatividad con números racionales es una de las tareas fundamentales en el
tratamiento de este conjunto numérico, las operaciones se fusionan de esta manera para
darles un enfoque directo puesto que la diferencia entre ellas es mínima y más bien se
complementan entre ellas.
Esta unidad presenta un solo tema, dada la capacidad de síntesis se puede operar
no presentando mayor dificultad para el estudiante.
68
LECCION N° 04
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones, baste operar numeradores y denominadores entre si; si las
fracciones se pueden simplificar se procede a ello, de lo contrario directamente a la
multiplicación.
Ejemplo: Multiplicar: 815 x 9110 x 5112
1 3 . 1
815 x 9110 x 5112
1 53
1
= 111 x 315 x 111 = (lx3xl)/(lxSxl ) = 315
Ejemplo: Multiplicar: 45118 x 38112 x 22115 x 9
4118 x 38112 x 22115 x 911 = /2 x 1911 x 11/1 x1/1= (lxl9xllxl)I( 2xlxlxl)=20912
En la división de fracciones solo basta Invertir la fracción divisor y se procede a
operar como en la multiplicación.
Ejemplo: DMdir: 3/5 9110
3/5x10/9 =111x213= (1x2)I(1x3)=213
Ejemplo: Dividir: -1613 (-4/5)
-16/3 x (-514) = -413 x (-511) = [-4 x (-5) ]/3x1 = 2013
ri
69
La Multiplicación de fracciones goza de las siguientes propiedades:
PROPIEDAD DE CLAUSURA.-
La multiplicación de dos números racionales es otro número racional, así:
% x 215 = 3/2 x 1/5 = 3110 luego 3110 € Q
PROPIEDAD ASOCIATIVA.-
Dados los racionales 113, 2/5 y -314
1113 x 2/51(-314) (113) [2/5 x (-314)]
[2/15] (-314)= (113)[-6/20]
-6/60 = -6/60 ===> -1110 = -1110
En resumen , asociando fracciones de modos distintos se obtiene el mismo.
producto
ELEMENTO NEUTRO
Toda fracción multiplicada por 1 equivale a si misma; el elemento neutro es por lo
tanto el 1
(317)(1)'
(311) 1= 3x1 17 = 317
70
ELEMENTO SIMETRICO
Toda fracción multiplicada por su inverso es igual e 1
Así: (413)(314), siendo % el Inverso de 4/3
413x% =lIlxlIl=1
Vale recordar que las fracciones no deben ser nulas, así 0/5 o 5fl
PROPIEDAD CONMUTATIVA.-
Cualquiera sea el orden de los factores el producto será siempre igual.
Ejemplo: 2/5 x4/10 = 4110 x 215
2/5x4/10 = 4/10x 2/5 ===> 115 x 4/5 = 4/5 x 1/5; 1x4 )5x5 = 4x1 1 5x5
4125=4125
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Sea 1/5 y 518 , descomponiendo 5/8 en 218 y 318, tendremos:
(1/5) (518) = 1/5 E 218+318] => 118= 115 [(2+3)/8] ==> 1/8= 1/5[5/8]
1/8= 1/8
Luego: 1/5 (2/8+3/8)=(115)(218) + (1/5)(318)
(1/5)(518) = 2140+3140
5140= 5/40==> 118=118
71
EJERCICIO N° 03
1. -Realizar los siguientes ejercicios: 23134 x1 7/28 x 7180 ; 2/3 x 6I5 9 1019 x 118
718x8111 x22114xY4 (3112+1/8)X(6-213)X(5114 +1/12)
2. - Hallar 219 de 13 • los 315 de 40 ; los 213 de 9
3. - Realizar (1/2; 314); 312, (4-113) 1116 ; (518 x 10/50); 1034
4. Cuántas varillas de Y. de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de
5112 de metros de largo.
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N° 03
a) 23/34x 17128 x 7160 = 2312 % ' ?1/60 = 23x1x1 / 2x4x60 = 23/480
b) 2/3 x 615 x1019 x 118 • 111 x111 x119 x111 u 119
c) 7/8x8/11 x 22114 x114=111 x 111 x 111 x 114 = 114
ci) (31/2 +118) x -2 x (51!4+1112)= Q/2 +118 x (&.v:» x (2114+1112)
[(28+118)] [(18-2)13)] x [(63+1)/12) 29/8 x 1613 x 64112
2918x1613X64/12=29/1X413X813(29X4X8)/(1 X3X3) 928/9 103v
1-
2-
a) 2/9 de 13 ,2/9x13=2x1319=26/92819
b)3/5 de 40 ;3/5 x40=3x81124 o 405=8x324
c) 2/3de9 , 213x92x3116 o 93=3x2=6
a) (1123M) 3/2; (112x413)x2/34/6X2138118419
b)(4-1/3)-'1116 , [(12-1)1311118 = 11/3x 6111= 111 x211=211=2
3.-
72
c) (518 x10/50»1 0112 ; (518 x10150) 2112 = (118 xl/1) x 2121= 1/8x2t21 =
1/4x 1/21= 1184
4.- 511234=5I12x 411 =5/3 xl/1 =5/3=1 2/3
Procure resolver todos estos ejercicios, ésto le ayudará a ampliar su panorama
sobre los números racionales
73
2.2.4 QUINTA UNIDAD
POTENCIACION Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a) OBJETIVO 03
Al culminar el estudio de la unidad , el alumno será capaz¡
de realizar operaciones de potenciación y radicación coni
números racionales
b) TEMAS
POTENCIACIÓN DE LAS FRACCIONES
RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
PRESENTACIÓN
Con el estudio de esta unidad culmina el módulo dos, quizás el más Importante en el
estudio de los números racionales por cuanto en la operatividad de las fracciones radica
la parte esencial de este conjunto numético, se subdMde la unidad en dos temas para
enfocar las operaciones por separado, pese a que las dos se complementan dado lo
Inverso de la una con relación a la otra.
74
LECCIÓN N° 05
POTENCIACIÓN DE LAS FRACCIONES
La potenciación de números racionales es una operación que se fundamenta en la
multiplicación así: (1/5) el exponente 3 señala que la fracción 1/5 se multiplica por si
misma tres veces , así:
(115) = (1/5) (115) (1/5)= 11125
La fracción 115 en este caso viene a ser la base, el 3 exponente que indica las veces
que hay que multiplicar la base.
Así como en los números enteros, la potenciación de los números racionales goza de
las siguientes propiedades:2
1. Toda fracción elevada a la potencia (0) cero es igual a 1;(-«5) ° = 1; (219) °1
2. Toda fracción elevada a la potencia (1) equivale a s! misma.
3. El exponente de toda fracción, afecta por igual al numerador y al denominador
(1I2) =14 1 2 < xl xl xl)I(2x2x2x2)= 1116
4. Si el producto de dos fracciones de igual base se elevan a distintas potencias, su
resultado seré igual a la misma base elevada a la suma de sus potencias. Así
(-2/5) x (-2/5) = (-2/5 r =(-215)
(215) = (-215) (-215) (-215) (-2/5) (-215)=-3213125
2 cfr. REPET1OI L1NKEN3, FE3QUET. (1967), Aritmética 1 Pag.3 16
75
5. Si el cociente de dos fracciones de igual base están afectadas de diferentes
Potencias, su resultado será la misma base elevada a la diferencIa de los expohentes.
Así: (lI7- (l17 "= (117j 5 =(1/7); (1/7) =1 xl 17 x7 ; (l/7)' 1149
6. Si una potencia de un número racional a su vez se eleva e otra potencia, su resultado
será igual al número racional elevado al producto de sus potencias.:t 3x1
[(2/3$ 1 =(2t3)= (213)
6
(213)" =(2x2 X2X2X2X2)1(3X3 x3x3 x3x3)=641729
7. Sl una fracción se encuentra elevada e una potencie negativa, ésta da origen e una
fracción compleja donde la unidad es el numerador y la fracción base con el
exponente en posItIvo es el denominador: Veamos:
(31$)4 = 11(31ef =1 r. (318)
1
= 1. 9164 = 1 x 64/9 =64/9 = 7 ii
EJERCICIO N° 04
1. Resolver:
(315jt_
(6/5? ; [(1/4) J4; ff213)2
2. Resolver: (117y (_514)3; (1/2 x % x 1/1 O) ; [(-3/2)(- 1M)J
3. Resolver: (3/5j'- (3/5)t ; [(1/5) ] «(112)2 ] rt
SOLUCIONARJO AL EJERCICIO N° 04
1.-
a)(3/5y (6/5)1 = (9125) (36125) = 9/25 x 25136= 111 x 114= 114
b) [(114)* J4= (1/4) =(1/4)8 = 1165536
c) 12(3) J f.=
(2/3)1xi)t (2/3)8=
250561
(3/8Í2
76
2
a) (117)2 =lI(117f
1.(117)! =141M9 = 1x4911=49
t» (-514Í3 = 11(-5141 = 1- (-5I4$ = 1 1-(-125164) = U(-64/1 25)=-641125
c)(1/2x3/4xl/lOf = (3/øOj =9/6400
d) [(-3J2)(-1I4)] [3/6f 729132768v
3.-
a) (3/5)' •
(3/6)_t (3/6)--&t)
= (3/5)•'
(3/sr = 1 «3/sf = 1 (81/625) = 1 x625/81 =625/81=7 58181
b) ((j/5)4
j3= E
1 (lis? f= [1 1125]3=[1x 25I1]= [25I1]
(25) = 15625
C)
fl(_1/2]1)={[( 1-(-1/2) 1' )[15 (_112)]2= (-1x2/lt =4/1
«4) J
}4{4}•L =114
En la resolución de estos ejercicios usted ha puesto en práctica una combinación de
operaciones con números racionales, si logró resolver todos estos ejercicios,
felicitaciones, si ejecutó 8 de los 10 no se desanime, siga adelante, gj sólo pudo
resolver 5 o6, Insista con los restantes.
71
LECCIÓN N°06
RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Al estudiar la operación de la potenciación de números racionales observamos
que de manera general la operación se representa de la siguiente forma:(alb) a / b,
en donde eb es la base, n el exponente y e / b el producto o resultado; en la
radicación n pasa a ser el índice de la raíz , a / b , el radicando o cantidad
subradical y &b la raíz, así:
radicando
índice -' n
Sol alb, raíz
El signo radical en las fracciones, afecta por igual al numerador y al denominador.
así:
'iÁ =a-i = = re íqb
3
Ejemplo: \[n164 V? =
La radicación de números racionales , goza de las siguientes propiedades:3
1.- Las raíces de índice impar y radicando positivo tienen resultado positivo , así:
3 3
\J&ii = 2/3 puesto que ( 213 ) = (213)(213)(2/3) = 8127
'cfr. REPETrO, I2NKEN8. FESQUET.: (1969) Op. Cit Pag 234
78
2.- Las raíces de Indice Impar y radicando negativo, tienen resultado negativo, así:
'f125 = -315 puesto que (-3/51 = (-3/5)(-3/5)(-3/5)= -271125
3.- Las raíces de índice par y radicando positivo tienen dos resultados que son
números opuestos
= 2t3 puesto que (213 )' = 16181
'/16/81 =-213 puesto que (-2I3) = 16181
4.- Las raíces de índice par y radicando negativo no tienen solución en el conjunto
de los números racionales:
4
\ 256 no tiene solución.
79
EJERCICIO N°05
1.- Realizar los siguientes ejercicios:'/8 ; 'I7291125 ; 18I27 x 11125x64/343
\147 x\13-1-5xV ; (V3-55 x 116f: (-514)
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N°05
bY[729/1 25 = V15 -15=9/5=1 415
c)8/27x11125x64/343 = \I1/5x4)7 =213x1/5x417=(11105
d)Vi •\J >15= V413 x —3/5x 511 =V411 x 111 x 111 = = 2
¡ £ 2.eíl x i16)
2
: (-514)- ((3/5)' x 1/6) (3/5) (1/6) 3/5 x 1136 = 1/5 x 1/12 1160
E
1160 (-514) = 1160 (-4/5) -1115
Si usted acertó en la solución de estos ejercicios, su aprendizaje ha sido eficaz, pero no
por ello debe descuidarse, practique con otros ejercicios por lo menos cada 48 horas
durante dos semanas, ello afianzará sus conocimientos.
80
RESUMEN DEL MÓDULO DOS
En este módulo, hemos hecho el estudio de las operaciones con los números
racionales; es necesario recordar que les operaciones con elementos de este conjunto
numérico, se fundamenten en los mismos procedimientos de las operaciones con
números enteros, excepción hecha con la suma y reste de fracciones heterogenees.
Son fracciones homogeneas aquellas que tienen el mismo denominador. Ejemplo:
215 ; 4/5; 815; en cambio las fracciones heterogeneas, son les que tienen diferentes
denominadores. Así: ½ , 815, 1217
En la suma y reste de fracciones homogenees sólo se opera con los numeradores y se
conserva el denominador Así: alb+mlb+nlb=(a+m+n) 1
Con las fracciones heterogeneas, hay que lograr primero un común denominador
que contenga a los denominadores exactamente; este denominador se divide para
cada denominador de las fracciones en forma parcial y su resultado se multiplica con el
respectivo numerador, con los resultadosobtenidos sumamos o restemos hasta hallar el
total. Así:
115+1/2-317 son fracciones heterogenees, el común denominador es 70 por ser el
número que los contiene a los denominadores; luego se ejecuta lo siguiente: (70; 5)(1);
(70 1 2)(1) ; (707)(3); los resultados se suman y resten conservando 70 como
denominador común.
1/5+1/2 317=[14(1)+35(1>10(3)] /70 =(14+35-30)170=(49-30)170=19170
La sume de fracciones goza de les propiedades de clausure, elemento neutro,
elemento simétrico, propiedad asociativa y conmutativa.
PROPIEDAD DE CLAUSURA: Sea a/b + c/d= m/n Si a/b,c/d € Q==»m/n €Q
ELEMENTO NEUTRO: Toda a/b + 0= &b siendo b 0 y es elemento neutro
ELEMENTO SIvTRICO: Sea alb y (-a/b) , a/b +( -a/b) = a/b-"= O
PROPIEDAD ASOCIATIVA (a/b+c/d)+m/n = a/b +(c/d+m/n)
PROPIEDAD CONMUTATIVA a/b + c/d = c/d+alb el orden de las fracciones no aleta la suma.
La multiplicación de fracciones es muy sencilla, se multiplican numeradores y
denominadores entre si: alb x c/d = aclbd
En le división se invierte la posición de los términos de la fracción divisor y se
procede como en la multiplicación:
alb cid --> fracción Divisor
alb xdlc ad/bc
La multiplicación tiene las siguientes propiedades:
DE CLAUSURA: Sea albx c/d =ac1bdSlaIb; c/d Q=>acIbd e Q
ELEMENTO NEUTRO: Toda fracción multiplicada por 1 es igual a sí misma:
albxl =a/b ; 1 es el elemento neutro
ELEMENTO SIMETRICO: Sea alb y b/a; alb x b/a = 1
ASOCIATIVA: (a/bxc/d)x mh=a)bx(c1dx mm)
CONMUTATIVA: alb x cid = c/d x affi , el orden no altere el producto
DISTRIBUTIVA: affi (cid +m/d)= (alb)(c/d) +(alb)(mld)
La potenciación y la radicación de fracciones son operaciones similares a su
operetMdad con números enteros, en la potenciación se cumplen las siguientes regias:
82
La potenciación y la radicación de fracciones son operaciones similares a su
operatMdad con números enteros, en la potenciación se cumplen les siguientes reglas:
1. Sea (a/b)°=1
2. Sea (a/b)' =a/b
S. Sea (aJbÇ= a/b
4. Sea ( aibf x (aJb)1" = (a/b)"
S. sea (aIb)''(a/b) =(a/br
6. Sea [(a/b)" f"= (a/b)'
7. Sea (a/b ) = 11 (a/b)7
La radicación goza de las siguientes reglas:
1. Sea '/ I tf=a!b siendo
2. Sea 'J(-a' / b) = -a/b siendo n impar.
3. Sea Ji /b"=±/bsiendonpar,hay2resPUeStaS-a/b ;+a/b
4. Sea l-AIB = sin solución siempre que n sea par.
83
AUTOEVALUACIÓN DEL MÓDULO 0TECff)
OBJETIVO 01
A.— Complete los siguientes enunciados colocando las palabras que fallan:
1.- En la suma y reste de fracciones basta operar con los numeradores
2.- En la sume y resta de fracciones - q; obtónár primero el común
denominador
3.- Las fracciones : 111,3/7, 5/7 son homogeneas porque tienen un mismo_______
4.- Las fracciones 4/5,8110,3115 son heterogeneas porque sus denominadores
son_____________
B.- Marque une X dentro del paréntesis que esté debajo de la V o de la F, según
sean verdaderos o falsos los enunciados:
V F
5.- En la suma de fracciones,
el 1 es el elemento neutro
6.- El resultado de sumar ( ) ( )
números raclonaies,es otro
racional
( ) ( )
7.- En la suma de fracciones
se cumple le propiedad
conmutativa ( ) ( )
8.-- albesel inverso dealb ( ) ( )
84
c.- Complete el proceso de las siguientes operaciones:
51+2/3 .3J{5(5)+10( )- (3)]/30 =(25+ -18)130 =(45-1*30= /30=9110
10.- Se han vendido los % de una pieza de casimir, luego la cuarta parte del resto.
Cuánto queda aún?
Razonamiento: La pieza es 1
'4 se venden, queda Y4
Luego se vende % de lo que quedó.
PLANTEO: 314 +114(114)=1
SOLUCIÓN: 1-(314+11 )=
1-314-11 =16( )- (3)- (1) 116 =(16- -1)116=16- 116=3116
[.] 17 ^4i
A.- Marque una X dentro del paréntesis que está en la respuesta correcta:
1.- Una de las siguientes reglas define a la división de fracciones:
a) ( ) Producto de numeradores y denominadores entre sí
b) ( ) Se opera con los numeradores
c) ( ) Se invierte la fracción divisor y se procede como en la multiplicación.
2.- El elemento neutro de la multiplicación de fracciones es:
a)( el cero
b)( el uno
c) ( ) otra facción similar
85
3.- En cuál de los siguientes ejemplos se ha aplicado la propiedad conmutativa
a)( )315x417=12135
b)( )2/3x3/53/5x2/3
c) ( ) (315 x Y2 )(219) = (3/5)(1/2 x 2/9)
4.- En el siguiente ejercicio (3/5)(5/3)=1 hemos aplicado la propiedad
8)( ) asociativa
b) ( ) distributiva
c) ( ) Elemento simétrico
B.- Resuelva los siguientes ejercicios:
5.- 1/5x7122x5/2x213xx99/28X 16115
6.- Hallar los % de 200
7... (3/2 + Y4 + 518 +3116) (-114)
8.- Un obrero que debe abrir una zanja de 65 m de largo , ha hecho primero los 2113 de
la misma y luego el duplo de lo ya hecho. Qué longitud debe abrir aún?
OBJETIVO 03
A.- Marque una X dentro del paréntesis que está debajo de la V o F según sean
verdaderos o falsos los siguientes enunciados
V o
1.- Toda fracción elevada a la
potencia) es igual a 1 ( ) ( )
86
1- La raíz par de una fracción ( ) ( )
negativa no tiene solución
3.-(Ib)tm. (alb)" = (aIb)m ( ) ( )
4.-Toda Raíz Impar de una ( ) ( )
fracción negativa tiene como
resultado otra fracción negativa
B.- Resuelva los siguientes ejercicios:
5.-í3-215
6.- ((-2/3f
7.-[(1/2 + 516-1/3 )(314.1/5)]2
Compare sus respuestas con el solucionado.
Oj
SOLUCIONARlO
OBJETIVO 01
A
1. Homogeneas
2. Heterogeneas
3. Denominador
4. Diferentes o distintos
B
5.- FALSO es el cero
6.- VERDADERO
7.- VERDADERO
8.-VERDADERO
c.-
9.-516+2t3-3/5= [5(5) +10(2).6(3)J/30 (25+2()..18)/30 = (45-18)/30=27130=9110
10.-1-(314+1/16)
1/1-3/4-1116= [16(1)4(3)-1(1)J 116= (16-12-1 )/16 = (16-13) /16 = 3118
OBJETIVO 02
A.-
1. c
2. b
3. b
4. c
6.-
5.-1/5x7/22x512x213x99/28x16115
1/5 x7/22 x512 x2/3x 99/28x 16/15=1/1 xl/2 xlIlx lux 111x4/5 = 215
6.-3h de 200 ; (200 4) 3= (200/4)3 = 50(3) = 150
88
7.- (312 +114+5/8+3116) (-114)
312+114+518+3116= (24+4+10+3)/16 = 41/16 ; 41116 x (-411)-- 4114 x(-IU) = o
-4114=-10 114
8.- RAZONAMIENTO:
2113(65) total =65m
2[2113 (65)]
PLANTEO:
65- [2/13 (65) +4/13(65)]
65- 2/13(65) - 4/13(65) = 65- 2 (5) - 4(5)
65-10-20= 65-30 = 35
OBJETIVO 03
A.-
1.- VERDADERO
2.- VERDADERO
3.- FALSO (aIbf'. (&b)' (afl)m
4.- VERDADERO
8
5.- \/3-2—t5 - \/¿-/
V32/5 - 2/5 =\[32/5 x 512 = =4
(-2/3t =(-213) (-2/3) = 419
[4/9) =25616561
7.- [(1t2 + 516 -
1/2+5/6-1/3= (3+5-2)16 =(8-2)/6 = 616 = 1
3/4-1/5=(15-4)/20= 11120
1(1)(11/20)f (11/20t =1211400
89
COMENTARIOS
Las preguntes del objetivo 1 deben responderse acertadamente en el 100%; en
el segundo objetivo no puede fallarse con las preguntas del bloque B, lo mismo
acontecerá con las preguntas del objetivo 3.
De los objetivos 2 y3 se debe acertar en el 75% a las preguntas de los bloques A.
Si usted logró este propósito, ha sido todo un éxito. FELICITACIONES.
BIBLIOGRAFÍA
1. BALDORA,: (1980); ARITMETICA,TEORICO PRAC71CA, Cultural
Centroamerlcana.Madrld
2. DE LA CRUZ M (1981 ).MATEMATICA MODERNA 2.,Llma Editorial BRASA S.A
3. REPETrO,LINSKENS,FESQUET; (1967) ARITME11CA 1 y 2, Matemática Moderna,
Buenos Aires. Editorial Kapeluz.
4. JUNQUERA MUNE J.: (1969), Didáctica del cálculo, (3ra. Edición), Barcelona, Editorial
Labor SA.
/
90
2.3 MODULO TRES
ALCANCE Y APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
2.3.1 OBJETIVOS DE ESTUDIO
a) OBJETIVO GENERAL
Determinar el alcance y la aplicabilidad de los números racionales
b) OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definimos el alcance de los números racionales
Describir la aplicación de los números racionales
c) UNIDADES DE ESTUDIO
6 EXPRESIONES DECIMALES
7 LOS NÚMEROS RACIONALES Y SU APLICACIÓN.
2.3.2 SEXTA UNIDAD
EXPRESIONES DECIMALES
a) ObjetIvo 01
Al culminar el tratamiento de la unidad, el estudiante será capaz de:
Definir el alcance de los números racionales
b) TEMAS
EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS PURAS
EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS MIXTAS
PRESENTACIÓN
Al iniciar el estudio del conjunto de los números, arrancamos con el tratamiento de
los números naturales como parte de los números enteros, luego se extendió el
conocimiento a los números negativos y posteriormente a la presencia de los números
racionales, deesta forma se amplia el conocimiento del sistema numérico para
fundamentar el aprendizaje de la matemática.
Con la presente unidad profundaremos la esencia de los números racionales
bajo sus dos formasde fraccionarios y decimales con sus diversas características.
93
EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS PURAS
De modo general, todo número fraccionario puro o Impuro corresponde a un
decimal, entendido éste como una cantidad expresada en cifras numéricas escritas con
una coma que los Identifica como tales.
Ejemplo: Y2 0,5 siendo Y2 fraccionario y 0,5 decimal
8/5 = 1,6 siendo 8/5 fraccionado y 1,6 decimal
Toda fracción decimal se expresa como una cantidad decimal, así: 71100= 0,07
(siete centésimos); lo mismo se puede hacer con una expresión o cantidad decimal que
se puede escribir en forma de fracción: Ocho diez milésimos 0,0008= 8110000, ciento
setenta y cinco milésimos: 0,175 17511000
Las fracciones comunes se pueden expresar como fracciones decimales veamos:
2/5=0,4; 0,4=4110 ; 4/10=2/5
8/15=0,533 ; 0,53353311000= 8115 ?
En este último ejemplo, observamos que no se puede encontrar la fracción común
original de manera exacta, eso se debe al hecho de que la división de 8 entre 15 no es
exacta y su resultado continúa de manera sucesiva e Interminable así: 0,53333333.......a
estas fracciones que originan una cantidad decimal con cifras constantes se las
denomine expresiones decimales periódicas y las cifras que se repiten forman el
período.
94
Cuando el período se repite de manera inmediata después de la coma, entonces
la expresión, es decimal periódica pura. Así: 0,947947; 0,626262
0,2727....=27199 w 3111
EJERCICIO 1001
1. Sumar 512 , -1/2, 0,5 ; 2.3
2. Sumar 0,2 ; -114, 213
3. Escribir en forma de fracción ordinaria las siguientes expresiones decimales
periódicas puras:0,481481 3.119119;........0,555; ........2,025025; 0,51425142
4. Multiplicar: 0,75 (-4) /2 (-0,1)
5. Multiplicar: (-2,4)1/5 1312
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO 1 01
1.-5/2,-1/2 ,0,5;2,3
0.5 = 5/10= 34
2,3 = 2+3110 23110
5/2-34+1/2+23/10=5/2+23/10= (25+23)/10 = 48110 = 2415 = 4.8
2.- 0,2 -114 213
0.2=2110=1/5
115 -34+V3 = (12-15*40) 160 = (52-15)160 = 37160
3.- 0.481481 =481/999
3.119119 =3+1191999 =31161999
0.555 =5/9
2.025025 = 2+025 1999 = 2023 1999
0.51425142 = 5142 19999
95
4.-Q.75(-4)4 (0.1)
0.75 =751100 = %; 0.1=1110
(314)(4) (112)(-1110) = +12180 = 3/20
5.- (-2.4) 1/5 x 312
2.4= 24/10 = 2 215 = 1215
(-12/5)(115) x 312 - 36/50 -18/25
Si pudo ejecutar estos ejercicios FELICITACIONES, si no los pudo hacer insista hasta
lograrlo
96
LECCIÓN N° 02
EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS MIXTAS
Al reducir una fracción común a expresión decimal, resulta que no siempre se
obtiene un pendo fijo después de la coma y más bien se obtienen cifras que no se
repiten como el período, a estas cifras se las conoce con el nombre de no periódicas y a
la expresión decimal que los contiene se la identifica con el nombre de expresión decimal
periódica mixta. Así:
8115 O.533333 .... es una expresión decimal periódica mixta
5—>Es la cifra no periódica
3—>Es la cifra periódica
Para conocer la fracción generatriz de una expresión decimal periódica
aplicamos la siguiente regla 1:
Toda expresión decimal periódica mixta con parte entera nula y penódo distinto de
9 proviene de una fracción que tiene por numerador la parte no periódica seguida del
período menos la parte no periódica y por denominador tantos nueves como cifras tiene
el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 0.53333
05333...=53-5/90 = 48190 = 24145 = 8115
5—> CIfra no periódica =0 ; 3—> CIfra periódica =9
1.504848..= 1+5048-50 19900 = 1+499819900 = 1+249914950 = 744914950
'Cfr. REPErrO, L3KENa, FESQUET,: (1967), Aritmética 2, Pag. 85
91
EJERCICIO N°02
1)Transforme las siguientes fracciones decimales en cantidades decimales: 3/10,
451100; 83/1000; 843/10 ; 3110000; 66/100; 111000
2) Convertir a fracción ordinaria las siguientes expresiones decimales periódicas mixtas:
0,34545.; 0,352121 ; 0,4689689; 0,09191; 1,17515515
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N° 02
1.-
a) 3110 ; 3/10= 0.3
b)451100 ; 451100 = 0.45
c) 8311000 ; 8311000 = 0.083
d) 843110 ; 843110 = 84.3
e) 3110000 ; 3110000=0.0003
f) 661100 ; 66/100=0.66
9) 111000 ; 111000 = 0.001
2.-
a) 0.34545 = 345-31990 = 3421990 = 1711495
b) 0.352121 ; 0.352121 = 3521-3519900 =3486/9900 = 174314950=581/1650
c) 0.4689889 ; 04689689 = 4689-419990 = 4685/9990 = 93711998
d)0.09191 ; 0.09191 = 091-0/990 =91/990
e)1.17515515 :1,17515515 = 1+17515- 17199900 = 1 + 17498199900 = 1 + 8749149950
= 58699149950
Felicitaciones...I
98
2.3.3 SÉPTIMA UNIDAD
LOS NÚMEROS RACIONALES Y $U APLICACIÓN
a) OBJETIVO 02
Al culminar el tratamiento de esta unidad de estudios , el alumno
estará en capacidad de describir la aplicación de los números
racionales
b) TEMAS:
NOTACIÓN CIENTÍFICA
MAGNITUDES
EXPRESIONES FRACCIONARIAS COMPLEJAS
PRESENTACIÓN
La presencia de los números racionales reviste enorme importancia para la
continuidad de la profundlzaclón en el estudio de la matemática cuya herramienta
principal viene a ser el sistema de los números con sus conjuntos derivados o
subsistemas.
La apilcacion de este conjunto numérico es muy diverso, está en todo el campo de
acción de la matemática y tiene aplicaciones prácticas en la vida cotidiana del comercio,
las magnitudes y una aplicación directa en las ciencias exactas como la Física y la
Química con sus múltiples derivaciones y aplicaciones tecnológicas.
Los descubrimientos en el macro y mlcromundo cada vez se auxilía en expresión de
cantidades que para su manejo precisan de la flotación cientifica como para señalar una
de las mayores aplicaciones de los racionales en la actualidad.
9
LECCIÓN N° 03
LA NOTACIÓN CIENTIFICA
Se conoce con esta denominación a la forma de expresar grandes y pequeñas
cantidades en base a dos factores, el primero un número mayor que le unidad y menor
que 10 y el otro , una potencia de 10; veamos:
59.000'000.000= 5.9 x 10
0.000000035 3.5 x 10
De modo general, una cantidad expresada en flotación científica se denote de la
siguiente forma: A x 10K donde A es una cifra numérica mayor que 1 y menor a 10 y K es
una potencia positiva, negativa o cero según lo confirman González-MandIl (1980).
Si K es positivo, la cantidad es un número entero, pero si K es negativo, entonces la
cantidad corresponde a una fracción decimal.
Ejemplos
1.- La distancie que recorre la luz, en un año (año-luz) es aproximadamente: 5.87 x 10'
millas
5 870000'O00.000 = 5.87 x 10 millas
CANTIDAD REAL NOTACIÓN CIEN1IFICA
100
2.- La mesa del electrón es 9.1 x 10' Kgr
9.1 x 1031Kar = 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 00091
NOTACIÓN CIENTÍFICA CAN11DAD REAL
La norma para expresar cantidades en flotación cientifica es muy sencilla; si la
cantidad es entera se cuenta los lugares que recorre la coma a la izquierda.
5870 000 000 000 = 5.87 x 10'
12 9 8 3
4
IZQUIERDA
SI la cantidad es decimal, se cuentan los lugares que recorre la coma a la derecha:
0.000 000 000 00000000000000000000091 =
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 31
derecha....
Toda cantidad escrita en flotación cientÍtica con exponente negativo, corresponde a
una fracción decimal. Veamos:
9.1 x 10 = 9.1 x 1/10" = 9.11 10
101
EJERCICIO N° 03
1.-Escribir en forma decimal los siguientes números:
4.2 x 10 ; 3.1x10 7x10 ; 5.12x10 1.4x10' 3.6x10 4' 8x10'5 2.9x103
2.-Escribir según la flotación cientifica los siguientes números:
0.00325; 0.00008; 0.000 000 005; 721,023; 0,407 ; 0,016
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N°03
1.
a) 4.2 x10 5= 0.000 042
b) 3.1 x 1O"= 0.000 000 000 031
cjc) 7x10 =0.000000007
d) 5.12x10T= 0.000 000 512
e) 1.4 x 10'= 0.000 0014
0 3.8 x 10= 0.00036
9) 8 x10'5 0.000 000 000 000 008
h) 2.9 x iO4 = 0,0029
2.-
a) 0.00325= 3.25 x
b) 0.00008=8x105
c) 0.000 000 005= 5x109
) 721.025 =7.21025 x10
e) 0.407 4.07x10
1) 0.016=1.6x10
Si usted logró realizarestos ejercicios FELICIDADES si tuvo dificultad insista con otros
ejercicios hasta que logre un total dominio
102
LECCIÓN N° 04
LAS MAGNITUDES
Se entiende por magnitud , aquello que se puede medir; de la actividad de medir
surgieron los números racionales cuando el hombre empezó a establecer comparaciones
entre el todo y sus partes. En la naturaleza hay muchas realidades materiales y
abstractas que se pueden medir , a ellas se las conoce con el nombre de magnitudes,
tales como la longitud, superficie , volumen , capacidad , peso , calor, fuerza,
temperatura, etc.
Las primeras magnitudes con las que el hombre se familiarizó fueron la longitud y el
peso,; la primera para determinar perímetros y tamaños de territorios especialmente y la
segunda para determinar cantidades de masa empleada especialmente en el comercio;
para llevar adelante estas acciones fue preciso crear instrumentos guías para la
medición.
Los egipcios establecieron como medida de longitud el codo, este era la distancia
determinada desde la punta del codo hasta el extremo del dedo mayor de la mano
extendida; un codo equivalía a 7 palmos siendo un palmo el ancho de la mano
extendida en la base de sus dedos, por lo tanto en relación de medida i pmo= 1/7 codo
1 dedo 1/4 palmo 2,
Ha pasado mucho tiempo hasta llegar el establecimiento de un Sistema Internacional de
Medidas, labor que se debe a la Academia de Ciencias de París que en el año de 1.790
estableció como unidad de medida de longitud al Metro, cuya equivalencia se realizó en
base al Sistema de numeración, fijando a un metro como la longitud equivalente a la
2 Cfr. REPEUO, LD~, PESQUET, (1967), Aritmética 2Pag. 115
103
P §
7Çd
diez millonésima parte de un cuarto de longitud de un meridiano terrestre,
aproximadamente; esta definición en la actualidad ha sufrido modificación, pero hasta la
fecha la relación de medida se mantiene y la unidad de medida de longitud sigue siendo
el metro.
El metro es sólo una unidad de medida referencia¡ puesto que hay medidas
mayores y menores a él, la variación de estas medidas es de 10 unidades, una do otra
de manera sucesiva, así:
Kilómetro— >Km=1000 m 1 km=lOHm
Ivftipios Hectómetro>Hm=100m 1 Hm=lODm
Decámetro— >Dm=10 m 1 Dm=10 m
Unidad Metro----> m = 1 lm - lOdm
Declmetro—»dm=1/IO m =0.lm 1 dm=10 cm
SubMkiplcs CentImetro ..>cm=1f100 m 0.Olm 1 cm=10 mm
Miimetro--. .._>mmm1/1 000 m0.001 m
Expresadas estas equivalencias en forma de fracción , tenemos:
1dm = 1110 m 1 cm=111OOm lmm=111000 m
1 m= 1110 Dm imE 11100 Hm 1m1/1 000 Km
1 dm=1110000 km 1 cm=11100.000 km 1 mm=111000000 km
Estas fracciones son decimales por tener la unidad seguida de ceros como
denominador, al efectuar la operación de división la fracción queda convertida en
cantidad decimal.
Recuerde: Las fracciones comunes se pueden transformar en fracciones decimales,
haciendo que el denominador se convierta en potencia de 10 y para ello se muitiplica el
104
denominador y el numerador por un mismo número de tal manera que al multiplicar
resulte una potencia de 10 en el denominador:
Ejemplo: 8/5;8x215x2=16/10=1.6
15/80=15 x 125/80 x 125 =1875/10000
EJERCICIO N°04
1.-Exprear en km: 1283 m ,43000cm ; 13500 dm , 1.25 Hm,25.40 Dm ,9000 000 mm;
0.816m
2.-Expresar en metros, los resultados de las siguientes operaciones:
2.5 Hm + 3.126 m + 0.78 cm + 2 dm
3.25 km- 1.13 Dm
22.5 dm + 30.45 km +3 mm
3.-Cuál es la longitud del piolín necesario para atar una caja de 0.60 m de largo, 40 cm
de ancho y 35 cm de alto, contando además 0,15 m para el nudo.
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N°04
1.-a) 1283m; I KM= I000m 11VI11I000KM
1283 x 111000 Km = 1.283 Km
b) 43000 cm 1cm=111 00000 km
43000 x 11100000km = 0.43 km
105
c) 13500 dm; ldm=1/1 0000 km
13500x 1110000 Km = 1.35 Km
d)1.25 Hm; 1 Hm= 1110 Km
1.25Hmx1/10Km =0.125Km
e) 25,40 Dm; lDm= 11100 Km
25.40 x 11100 Km = 0.2540 km
1) 9.000.000 mm; 1mm111000.000 Km
9.000.000x 111.000.000 Km = 9 W
9) 0.816 m; lm= 111000 Km
0.816 x 111000 km = 0.000816 km
2.- a)2.5 Hm + 3.126m + 0.78 cm + 2 dm
2.5 hm x 100 m + 3126 m +0.78 cm x 1m1100cmr+ 2 dm x lmIlOdm
250 m +3.126 m +0.0078 m + 0.2 m = 253.3338 m
b)3.25km-. 1.13 Dm
3.25 kmx 1000mIkm -1.13 Dm 10 mIDm
3250 m- 11.3 m = 3238.7 m
c) 22.5 dm + 30.45 Km +3 mm
22.5 dm x lmIlO dm + 30.45 Km x 1000 mlkm +3 mm x 1mI1000mm
2.25 m + 30450 m + 0.003 = 30452.253 m
3.- 1= 0,60 m 0=40 cm
me
h=35 cm
P1=60x2+40x2
P2=40 x 2+35 x 2
P1=120+80=200 cm
P2=80+70=150 cm
106
200 cm +150 cm+15 cm = 365 cm 3, 65 m
Con la resolución de estos ejercicios , usted estimado lector o estudiante, ha hecho un
avance significativo para el aprendizaje del cálculo posterior en el trabajo a fondo de las
magnitudes
107
EXPRESIONES FRACCIONARIAS COMPLEJAS
Se llama fracción compleja a aquella que contiene a su vez fracciones en el
numerador y denominador: As¡ 513 ¡ 1/5
Para simplificar o reducir una fracción compleja, baste realizar la operación que se
indica:
513 115 = 5/3 x 511 = 25/3 = 8 1/3
Cuando en el numerador y denominador encontramos a su vez combinación de
operaciones, entonces la expresión es fraccionaria compleja.
ejemplos: (21544/6-318) 1116
1 -,
1- 1 / (2-112)
1+1 /(2/1-2/3)
En cada uno de estos casos es necesario primero interpretar la expresión e iniciar de
manera lógica las operaciones Indicadas e tal punto de evacuar progresivamente ie
complejidad de las operaciones.
Recuerde: En las expresiones fraccionarias complejas primero se interpreta la
complejidad de las operaciones dándole el justo significado a los signos.
Ejemplo: (315v -1/6 x 10
V314-1^115 (312213
108
EJERCICIO N°05
1)3/4+1/2-5/8 x (3/2+2 1/2)
1/5-3/4
2)1215 3/5 - 311 :6- 11-7/50 +V5-9314
3)L7/5-3/571/2)(1-5/8)2
2/3 x 6
4) 4x5/4-115
4x11110+ V•
1
Li - 1I(112fJ
SOLUCIONARlO AL EJERCICIO N°05
1)3/4+1)2-5/8 x (3/2+2 lt)
LiL4t
1/5-3/4
= 3/4+1/2-518(644.-5) /8=518
(1I4)' 1/16 = 1/16 1/16 (-11/20) = 1/16(-20/1 1)= -5/44
1/5-3/4 (4-15)/20 -11120
(518 1-5144)x (312+5/2) =5/8: (-5/44) x 8/2 =-22
2)1215 : 3/5-3/7:6-1/7/50+V9i/14
12/5 x 5/3-311 x 1/6-1 x 50/7+\13 x3/1
14
4-1/14-50/7+3/14=4/1-1/14-50t7+3/14 =(56-1-100+3)/14 =(59-101)/14 = -42114=-3
109
3)(7l5-3/5-1/2)(1-5/6)
-113rx213 x6
7/5-315- 1/2 = 4/5 - (8-5)/10 3110 ; 111-5/6= (6-5)/6 116
(116= 11(116t = 11 1136 = 36; (3110)36 5415
S
x 4 = \J3(3)t x 4 =V-33 x 4 = (-3)(4) = -12
+ 54/5 I-12I1 = 54/5 (-1112) 915 (-112) = -9110
4) 4x59-1/5
4x11/1O+
4x5!4- 1/5=5/1 -1/524/5
4x11110+4J 22/5+2/5 = 2415
24/5 24/5 = 24/5 x 5/24 = 1
1
1̂1(112)1 '3 -
1 ; 1-11 114 = 1-4=-3
1 -
(11-3? =-1121
110
RESUMEN DEL MÓDULO TRES
La aplicación y el alcance de los números racionales invade el campo de la
matemática con una práctica de utilización de manera especial en la tecnología para el
cálculo de medidas y pesos.
Toda fracción común se puede transformar en fracción decimal considerando que el
resultado de una fracción es una cantidad decimal; al reducir una fracción común
pueden generarse dos tipos de cantidades decimales, una exacta y otra inexacta, en la
cantidad decimal inexacta se presentan dos tipos de expresiones decimales; una
periódica pura y otra perlodica mixta.
Una expresión del siguiente tipo 0.33333. ...es periódica pura puesto que hay un
período que se repite luego de la coma; en cambio hay expresiones como: 0.5333... o
1.504848.....en donde el período se repite luego de unas cifras que no se repiten , son
expresiones periódicas mixtas.
Para encontrar la fracción generatriz en el caso de una expresión decimal periódica
pura, basta dividir el período para tantos nueve como cifras tenga dicho período.
Cuando la expresión decimal periódica es mixta, se divide la cantidad no periódica y el
periodo menos la cantidad no periódica pare tantos nueve como cifras tenga el período
acompañados de tantos ceros como cifras tenga la cantidad no periódica. Así:
EXPRESIÓN DECV%AL PERIÓDICA PURA 0.3333= 3/9
EXPRESIÓN DECIVIAL PERIÓDICA MIXIA 0.504848u 5048-50/99004998I9900883/1 850La forma más práctica y utilizable de los números racionales, es la expresión de
macro y micro cantidades en notación cientifica, la flotación científica es la forma de
expresar cantidades en potencia de 10, en la siguiente forma Ax 10 en donde A es una
cantidad entera mayor que Uno y menor que 10; K es un exponente positivo o negativo
sí K es positivo la cantidad es entera y si K es negativo la cantidad es decimal. Así:
8x10 =8'000000 ;5.27x10 =0.0000527
Toda cantidad decimal expresada en notación científica equivale e una fracción Así:
5.27x10 =5.27110
La natación científica se utiliza con frecuencia en la expresión de equivalencia de
magnitudes.
Ejemplo: 1 Km= 10 m ; 2.5 km = 2.5 x 10 m
La magnitud es todo aquello que se puede medir como la longitud, el peso, la
temperatura, fuerza, velocidad, etc. Las primeras magnitudes que conoció el hombre
fue la longitud y el peso; la primera para determinar el tamaño de terrenos y la segunda
para pesar cantidades de masa utilizadas en la actividad del comercio.
Para medir longitudes el hombre utilizó el codo que fue una medida descubierta por
los egipcios y equivalía a la longitud determinada desde el codo hasta la punta dei dedo
central de la mano del brazo opuesto extendido, un codo equivalía a 7 palmos y cada
palmo era igual a 4 dedos , un palmo era el ancho de la mano; 1 palmo 111 codo ; 1
dedo = 114 palmo.
A manera de ejemplo se ha tomado a la unidad de la medida de longitud que es el
metro equivalente a la diez millonésima parte de la longitud de un cuarto de meridiano
112
terrestre 1 metro 10 "según la Real Academia de Ciencias de París. El metro tiene
múltiplos y submúltiplos y sus equivalencias varían de 10 en 10.
1 Km=10 Hm; lHm= 10 Dm; lDm=lOm; lm=lOdm; ldm=10 cm
1 cm=10 mm.
La presencia de las expresiones fraccionarias complejas surge de las llamadas
fracciones complejas que son aquellas fracciones que tienen a su vez fracciones en su
numerador y denominador; en las expresiones fraccionarias complejas tenemos
combinación de operaciones que reflejan la complejidad de la expresión.As(:
21 ..—> Fracción Compleja
413
213+4 -_813—>Expresión Fraccionaria Compleja
8/27 - 4/7
113
AUTOEVALUACIÓN DEL MÓDULO
OBJETIVO 01
A) Marque una X dentro del paréntesis que está debajo de la V o de la F, según
.sean Verdaderos o falsos los enunciados:
V o F
1.-Toda fracción equivale a une cantidad decimal ( ) ( )
2.-Una fracción común se puede transforma en fracción decimal ( ) ( )
1- La siguiente expresión 0.947947. .es una expresión decimal
periódica mixta ( ) ( )
4.-La siguiente relación 0.481481— = 4811999 es correcta . ..... ..................
..( ) ( )
5.-Las siguientes son fracciones decimales:
2110 ; 48110 ; 5111000 ( ) ( )
B) Encontrar la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales:
6.-2.025025...
7.-0.119119
8.-1.504848...
9.- 0.4689689...
10.-Multiplicar 0.75(4) Y2 (-0.1)
OBJETIVO 02
A) Complete los siguientes enunciados , coloque la palabra que falte:
1.-Magnitud es todo aquello que se puede_________________________________
2.-La siguiente expresión A x10 denote una cantidad expresada en
114
1- 5.21 x 1O corresponde a una cantidad
4.- La siguiente '4 1415 es una
B) Marque una X dentro del paréntesis debajo de la C o de la 1 según el enunciado
sea correcto o Incorrecto.
5.- La siguiente relación 2.7 x 10 t. 2.7/10v es
1- Toda cantidad decimal expresada en notación científica
equivale a una fracción
7.- Un metro es igual a la diez milésima 10parte de la
longitud de un cuarto de meridiano terrestre
8..-1m=1x10Km=1110
9.-La longitud , la fuerza, temperatura son magnitudes
10.- 2.27 x l!" = 0.000227
C
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
C.- Resolver los siguientes ejercicios:
11.-Encuentre la cantidad de 9.1 x
12.-Exprese en notación científica 0.000 000 000 031
13.-Hallar la respuesta en metros: 2.5 dm +314 m +2.5 Km
14.-Para empapelar una habitación se necesitaron 9 rollo de papel a s/.9.75 cada rollo,
por mano de obra se abonó 4/3 del costo dei papel ,Cuál ha sido el gasto total?
115
15.- 1 -316)5
3/8 - x \í7/8 (1114Y
113+2 27116x4x2/3
r= 4121
116
SOLUCIONARlO
OBJETIVO 01
A
1.-Verdadero
2.-Verdadero
3.-Falso
4.-Verdadero
5.-Verdadero
8
6.-2.025025 = 20231999
7.-0.119119 =1191999
8.-1.504848 = 248311650
9.- 0.4689689 = 93711998
10.-0.75 (4) Y2 (-0.1) = -3/20
OBJETIVO 02
A)
1.-Medir
2.-Notación científica
3.-Entera
4.-Fracción compleja
8
5.-Correcta
6.-Correcta.-
7.- Incorrecta
117
8.- Correcta
9.- Correcta
10.- Incorrecta
C
11.- =9.1 x 10 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91
12.- 0.000 000 000 031 = 3.1 x 10 11
13.- 2.5 dm + 314m + 2.5km 2501m
14.- REPRESENTACION
TOTAL ROLLOS =9 COSTO ROLLO Si. 9.75
COSTO PAPEL = 9X9.75 Costo Papel = 87.75
MANO DE OBRA 413 (87.75)
MANO DE OBRA = 117 T1 17+87.75 ==> T204
15.-
1 -3/6/5
3/8-% x Ví8 : (1/14)1
113+2
27116x4x213
2
r=4/21
COMENTARIOS
Los objetivos 01 y 02 se evalúan COfl 25 preguntas en bloques de 10 y 15, usted
debe acertar el 80% en el objetivo 01 y el 100% ene 1 objetivo 02, en todo caso
los desaciertos ene 1 objetivo 01, deben corresponder al bloque A
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BIBLIOGRAFÍA
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