Precálculo_Enfoque_de_resolución_de_problemas_Prado,_Santiago,_Aguilar

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Precálculo
Enfoque de resolución de problemas
Revisión técnica 
Leopoldo Zúñiga Silva 
Doctor en Ciencias en Matemática Educativa 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología, Instituto Politécnico Nacional (CICATA-IPN) 
Director del Departamento de Físico Matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Ciencias 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus San Luis Potosí
Eudaldo Rubio Güemes Lázaro Barajas de la Torre
Director Académico Director Académico
Rectoría de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México Rectoría de la Zona Centro 
Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey
Carlos Daniel Prado Pérez 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Rubén Dario Santiago Acosta 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Ciudad de México
Guillermo Rodríguez López 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Guadalajara
Ma. de Lourdes Quezada Batalla 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
José Luis Gómez Muñoz 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
Blanca Rosa Ruiz Hernández 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Monterrey
Araceli Florido Segoviano 
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Querétaro
Precálculo
Enfoque de resolución de problemas
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e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
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PRIMERA EDICIÓN, 2006
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53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
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El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del
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ISBN 970-26-0671-3
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 08 07 06 05
Datos de catalogación bibliográfica
PRADO, SANTIAGO, AGUILAR, RODRÍGUEZ, 
QUEZADA, GÓMEZ, RUIZ y FLORIDO 
Precálculo. Enfoque de resolución de problemas 
�����������PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006
ISBN: 970-26-0671-3
Área: Universitarios
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 672
Unidad 1. Problemas de conteo (conjuntos) 1
1.1 El lenguaje de conjuntos 2
El lenguaje de conjuntos 3
Diagramas de Venn 5
1.2 Problemas de conteo 13
Cardinalidad de conjuntos 14
Probabilidad de eventos 20
Unidad 2. Expresiones algebraicas 29
2.1 Productos notables 30
Productos notables o especiales 31
2.2 Factorización 42
Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor 43
Factorización de trinomios cuadrados perfectos 45
Factorización de otros productos notables 47
Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c 49
2.3 División de expresiones algebraicas 59
División de expresiones algebraicas 60
División sintética 64
Contenido
vi Contenido
2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas 72
Dominio de una fracción algebraica 73
Simplificación de expresiones racionales 74
Multiplicación y división de fracciones algebraicas 75
2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 83
Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones 84
Suma y resta de fracciones 86
Fracciones complejas 89
2.6 Exponentes enteros 98
Exponentes enteros 99
2.7 Exponentes fraccionarios y radicales 112
Radicales 113
2.8 Números complejos 129
El conjunto de los números complejos 131
Operaciones con números complejos 132
Unidad 3. Ecuaciones 147
3.1 Ecuaciones lineales 148
Ecuación lineal 149
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 159
Ecuaciones lineales con varias variables 162
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 164
Métodos de solución 166
Tipos de solución 174
Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 177
Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
con tres incógnitas 179
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 186
3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 201
Ecuaciones cuadráticas 202
La fórmula general 203
Ecuaciones con radicales 212
3.4 Ecuaciones polinomiales 224
Funciones polinomiales 226
Resolución y factorización de una ecuación polinomial 227
Las posibles raíces de una función polinomial 233
viiContenido
Unidad 4. Desigualdades 251
4.1 Desigualdades 252
Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos 253
Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades 254
Ejemplos sobre intervalos 257
Propiedades de las desigualdades 258
Ejemplo de la demostración de una propiedad 260
Solución de desigualdades 260
Resolución de problemas que involucran desigualdades 267
4.2 Valor absoluto 278
Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto
de un número real 280
Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real 281
Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en 
la recta numérica real 281
Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades 281
Algunas propiedades del valor absoluto 283
Unidad 5. Trigonometría 291
5.1 Ángulos 292
Ángulos 293
Medida en grados y en radianes 295
Conversión de grados a radianes y viceversa 298
Longitud de un arco circular y el área de un sector circular 302
5.2 Funciones trigonométricas 316
Definición de las funciones trigonométricas 317
5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 333
Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180° 334
Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos 336
Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45° 339
Identidades de paridad 341
5.4 Identidades fundamentales 351
Identidades fundamentales o básicas 354
Demostración de otras identidades 357
viii Contenido
Unidad 6. Geometría analítica 371
6.1 Recta 372
Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, intersecciones
con los ejes 373
Líneas paralelas y líneas perpendiculares 383
Gráfica de sistemas de desigualdades lineales 388
Distancia de un punto a una recta 392
6.2 Circunferencia 405
Ecuaciones de la circunferencia 406
Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias 
complejas 412
6.3 Parábola 419
Parábola 420
6.4 Elipse 432
Elipse 433
Más sobre elipses 439
6.5 Hipérbola 453
Hipérbola 454
Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas 457
Unidad 7. Funciones 473
7.1 Conceptos básicos de funciones 474
Concepto de función 475
Variable dependiente, variable independiente, dominio e imagen 
de una función 476
Formas de representación para una función 477
Efectos geométricos en la gráfica de una función 479
7.2 Modelación 499
Planteamiento matemático de relaciones funcionales 500
7.3 La función lineal 512
La función lineal 513
Crecimiento y decrecimiento 513
Modelación de funciones lineales 514
7.4 La función cuadrática 525
Análisis de la gráfica de una función cuadrática 526
Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática 530
ixContenido
7.5 Funciones que forman parte de una cónica 540
Graficación de funciones 541Análisis de crecimiento y decrecimiento 541
Modelación de problemas 552
Graficación de funciones seccionadas 556
Modelación de problemas 559
7.6 Funciones polinomiales 573
Funciones potenciales 574
Funciones polinomiales 578
Máximos y mínimos de funciones polinomiales 585
7.7 Funciones racionales 601
Funciones racionales 602
7.8 Funciones trigonométricas 613
Funciones trigonométricas 614
Otras funciones trigonométricas 623
Las funciones trigonométricas inversas 629
El siglo que ahora vivimos se caracteriza, entre diversas cualidades, por cambios que
ocurren en todos los ámbitos del quehacer humano. El advenimiento de las tecnologías
de información está transformando nuestras vidas de manera inusitada al darnos grandes
posibilidades de acceso a información y, sobre todo, de interacción con personas de to-
dos los lugares del mundo.
Las computadoras que se desarrollaron inicialmente con finalidades de cómputo se
han transformado adicionalmente en poderosos instrumentos de comunicación, organi-
zación y acceso a información, provocando que la rapidez de los cambios se esté acele-
rando, por lo que saber hacer frente a esta dinámica situación constituye ahora un factor
clave para el éxito en la vida.
Para dar respuesta al creciente cúmulo de información, y lograr transformarla en co-
nocimientos que impulsen el desarrollo de la sociedad, se necesita mantenerse al día
aprendiendo por cuenta propia o por otros medios. Lograr este tipo de aprendizaje re-
quiere asegurar la existencia de bases fundamentales constituidas por conocimientos
esenciales, particularmente los provenientes de los diversos campos de la matemática.
Es, en este contexto, que me complace presentar este libro que tiene como propósito
asegurar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos esenciales para abordar de
manera exitosa los diversos dominios de la matemática requeridos en el nivel universi-
tario.
El libro ha sido el resultado de la colaboración de profesores entusiastas de diversos
campus del Tecnológico de Monterrey, que basados en su experiencia, incluyeron acti-
vidades individuales y de colaboración relacionadas con la vida diaria, que permitirán
estimular en los alumnos el desarrollo de cualidades necesarias para desempeñarse con
éxito en su futura vida profesional.
Los autores han enfatizado el aprendizaje significativo considerando los diversos
estilos de aprendizaje de los estudiantes, con el fin de conducirlos a profundizar en el
análisis del conocimiento y orientarlos a la observación, planteamiento y resolución de
Presentación
xii Presentación
problemas. Adicionalmente se ha aprovechado el uso de tecnologías computacionales
basadas en hojas de cálculo, para así asegurar la comprensión de los conceptos y apro-
vechar aplicaciones computacionales no especializadas, de amplia disponibilidad.
Se trata así de un libro en el que los estudiantes aprenderán a partir del “hacer”, lo
que a su vez les formará “ser”, dándoles una formación analítica. No se trata solamente
de lo que podrán hacer con las matemáticas, sino lo que las matemáticas harán por quie-
nes las estudien.
Lázaro Barajas de la Torre
Director Académico
Rectoría de la Zona Centro
Tecnológico de Monterrey
Prólogo
Distingue lo que puede servir en el problema que estés tratando;
más tarde, al resolver otros problemas, intenta descubrir el mo-
delo general que subyace en el fondo de la situación concreta
que afrontas.
GEORGE POLYA
Escribimos este trabajo pensando en que tú, como estudiante universitario, requieres,
además del conocimiento, las habilidades que desarrolla una ciencia tan antigua y útil
como las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un ba-
gaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará, por supuesto, tu gusto por
el trabajo y tu deseo, tal vez apenas incipiente, de aprender. Nos gustaría que intentes
ser de las personas que responden bien a los desafíos y que, además de escuchar, te gus-
te participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón, consideramos que,
por un juicio preconcebido, no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu for-
mación profesional. 
El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de la
disciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientemente
elaborados, que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención es
que desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantear
estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto.
Por lo tanto, nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticas
mediante la solución de situaciones reales o simuladas, cuyo fundamento es nuestra ex-
periencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias, y en las investigaciones que
hemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes, así co-
mo en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectua-
les de alto nivel.
xiv Prólogo
En cada una de las secciones, encontrarás que el texto muestra situaciones que ofre-
cen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemas
pertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por la
humanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestiones
que corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye, por
lo tanto, el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender lo
que aprende”. 
La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo.
Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a
comprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral. 
En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizan
el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos: el primero es que los conceptos
matemáticos se exploren utilizando tecnología, y el segundo, que la herramienta sirva
para resolver problemas más complejos.
También hemos buscado un adecuado equilibrio entre el trabajo individual y el traba-
jo en equipos pequeños. Para el primero se proponen actividades rutinarias de solución
de ejercicios; mientras que para el segundo se sugieren actividades más ambiciosas que,
por su complejidad, requieren de un estudio colectivo. 
El texto inicia con un capítulo sobre conjuntos. La importancia del tema reside en que
buena parte del saber matemático actual se basa en este concepto. Marcamos el capítulo
con el principio de que los símbolos, más que una danza de entes extraños, deben ofre-
cer la posibilidad de transitar entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje colo-
quial, con la finalidad de que tengan significado para el estudiante.
El capítulo 2 trata de las operaciones básicas del álgebra elemental. Mantenemos
nuestra idea fundamental de que el simbolismo matemático es un medio para lograr un
fin. En este caso, la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos, sino en
convertir o transformar expresiones de una en otra forma, la que sea más útil, para resol-
ver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto, partimos de la idea de que una
competencia adecuada en matemáticas tendrá que ver con la posibilidad de efectuar
transformaciones entre una forma algebraica y otra. 
En el capítulo 3 hacemos nuestra la concepción de uno de los científicos más grandes
de todos los tiempos; a saber: “El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un proble-
ma referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho
problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico (Newton)”. Por esta razón el capí-
tulo 3 se dedica en su totalidad al estudio de las ecuaciones, desde las lineales hasta las
más elaboradas, como las ecuaciones polinomiales y las que implican radicales.
Las desigualdades también juegan unpapel preponderante en las aplicaciones. Por
ello, el capítulo 4 aborda su estudio partiendo de las definiciones, propiedades y notacio-
nes básicas, hasta algunas posibles aplicaciones.
En el capítulo 5 tratamos con la materia prima de los conceptos relacionados con fe-
nómenos periódicos y diversas relaciones angulares; es decir, la trigonometría, que en su
forma más básica estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rec-
tángulo. Sin embargo, las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas que
tienen poco o nada que ver con esto, como, por ejemplo, fenómenos periódicos como el
sonido, la luz, las ondas eléctricas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planeta-
rios. De las aplicaciones mismas se intuye la importancia de este capítulo.
El capítulo 6 está dedicado a un tema en extremo importante: la geometría analítica.
Nuevamente tenemos aquí el interés de presentar los conceptos más significativos, sin
perder de vista la potencial utilidad de una de las herramientas matemáticas más pode-
rosas en la aplicación de diversas áreas. 
xvPrólogo
Finalmente, el capítulo 7 se dedica al estudio de las funciones. Tal vez éste sea uno
de los capítulos más interesantes que componen el libro, a causa de la riqueza de sus
aplicaciones, que van desde asuntos cotidianos hasta aplicaciones que sorprenden por lo
inesperado. Cabe indicar que este capítulo, junto con el resto del material, ofrece una ex-
celente introducción al cálculo. Discutimos varios modelos que involucran funciones,
gráficas y tablas numéricas, de las que conjeturamos métodos que después aparecerán
relacionados con el importantísimo concepto de derivada del cálculo diferencial, que no
se presenta en este trabajo.
No han sido pocas las dificultades que hemos enfrentado para escribir esta obra; sin
embargo, esperamos que lo que aquí encuentres sea novedoso; quizá no tanto en cuanto
al desarrollo de la teoría presentada, pero sí en el enfoque de varios de sus temas y en la
presentación de muchos de sus problemas, que se pensaron para darle un alto grado de
significancia a los conocimientos. 
Unidad
Problemas de 
conteo (conjuntos)
Contenido de la unidad
1.1 El lenguaje de conjuntos
1.2 Problemas de conteo
Introducción a la unidad
¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar tu país, afectando con sus decisiones tu vida dia-
ria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la opinión y las preferencias de la gente. Desde
hace varios años, cada elección política viene precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los perió-
dicos sobre la “intención de voto” para cada candidato. De hecho, al final de la elección las “encuestas de salida”
de los medios de comunicación anuncian al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Si
la diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande, los resultados de las encuestas predicen con se-
guridad quién es el ganador. Sin embargo, en casos donde la elección es muy cerrada, los resultados de las encues-
tas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más famoso es el de la elección presidencial del año 2000 en
Estados Unidos, cuando algunos medios de comunicación internacionales, basándose en sus encuestas, informaron
erróneamente que el candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situación
deterioró fuertemente la credibilidad del público internacional, tanto en los medios de comunicación como en la
elección misma. Como verás, es muy importante saber qué se puede asegurar y qué no al interpretar los resultados
de una encuesta.
Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven precisamente para organizar e interpretar
los resultados de las encuestas, incluso en términos de probabilidades. De hecho, muchos de los ejercicios de con-
juntos comienzan “Se realizó una encuesta en…”. Cabe mencionar que la importancia de la unidad va todavía más
lejos, ya que las matemáticas, básicas o avanzadas, tienen su fundamento en la teoría de conjuntos.
2 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Es razonable pensar que lo que lees no tiene sentido para ti, en tanto no veas de manera
clara alguna posible utilidad de este lenguaje; por ello, considera la siguiente situación:
Competencia automotriz
A una revista de automovilismo le interesa estudiar la preferencia que la gente de
la zona metropolitana tiene sobre las marcas de automóviles disponibles en el
mercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford,
Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un
auto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 poseen un Ford,
900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y
un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 uno de cada una de las tres mar-
cas y el resto alguno de las marcas restantes.
La simple lectura del párrafo anterior en lenguaje coloquial servirá para ver la maraña
que se ha formado. La organización de datos y relaciones, en tales términos, no parece
tarea sencilla; sin embargo, la teoría de conjuntos te será útil para organizar la maraña,
te ayudará a sintetizar su información y, lo que es más importante aún, te facultará para
interpretarla. 
1.1 El lenguaje de 
conjuntos
Admitámoslo, el estudio de las mate-
máticas es una locura divina del espíri-
tu humano, un refugio ante la urgencia
aguijoneante de los sucesos apremiantes. 
Alfred North Whitehead
Introducciónn
En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En
matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos
que lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de
conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo co-
mún en la cotidianidad. Más aún, el desarrollo moderno de la matemática re-
posa sobre el concepto de conjunto, así que si supieras un poco de teoría de
conjuntos tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las mate-
máticas. 
31.1 El lenguaje de conjuntos
El lenguaje de conjuntos
Igual que ocurre con el estudio de cualquier otro lenguaje, iniciaremos el estudio del len-
guaje de las matemáticas estableciendo un vocabulario básico que contiene las palabras
que son esenciales en la construcción de los enunciados propios de nuestra ciencia. 
Las matemáticas constituyen un lenguaje exacto, que requiere palabras sencillas, aun-
que bien definidas, y la estricta observancia de sus reglas. Una frase en matemáticas de-
be transmitir un mensaje exacto a quien la lea. Frases cuyo significado no es claro y
aquellas que admiten más de una interpretación no pueden ser toleradas en este lengua-
je. El escritor de una frase matemática tiene que saber lo que quiere decir,y estar seguro
de que la frase expresa el mensaje que desea transmitir. Como regla general, las frases
en matemáticas, breves y sencillas, se expresan por medio de símbolos. Un símbolo en
matemáticas, traducido al lenguaje coloquial, puede requerir muchas palabras. En con-
secuencia, una frase matemática sería muy breve en comparación con la frase que ha de
construirse en otro lenguaje para decir lo mismo. Dentro de esta búsqueda por sintetizar
ideas, el lenguaje de conjuntos constituye un poderoso recurso. 
La siguiente tabla te ofrece un resumen del vocabulario básico de la teoría de conjun-
tos; en la tercera columna encontrarás una breve “traducción” de los símbolos al lengua-
je coloquial:
Objetivos
Al terminar la sección, serás capaz de “traducir” una expresión que involu-
cre conjuntos y sus operaciones al lenguaje común y viceversa.
símbolo traducción
nombre
matemático
U Conjunto universal Colección de números, objetos o ideas “del mismo
tipo” que abarca la totalidad de elementos en una dis-
cusión particular.
x H U Pertenencia Cada número, objeto o idea que comprende U es lla-
(léase: x pertenece a U) mado elemento de U. Es costumbre designar a losele-
mentos con minúsculas.
A Conjunto A es una parte de U determinada por una ley de elegi-
bilidad.1 Es costumbre designar a los conjuntos con
mayúsculas.
x x A No pertenencia Número, objeto o idea que “no pasa” la ley de elegibi-
(léase: x no pertenece a A) lidad que define al conjunto A. 
Tabla 1.1 Vocabulario básico del lenguaje de conjuntos
4 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
1 La ley de elegibilidad para un conjunto A debe estar definida clara-
mente, de tal modo que:
• sea posible examinar a cada elemento de U y decidir si pertenece
o no pertenece a A,
• cada elemento de U pertenece al conjunto A o no pertenece a A.
Se usan llaves para colocar los elementos de un conjunto o la ley de
elegibilidad del conjunto. Por ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} = {x H N :x
es un número par menor que 10}, aquí N = conjunto de todos los
números naturales, o enteros positivos; en el ejemplo, “x es un nú-
mero par menor que 10” es la ley de elegibilidad.
2 Cada elemento del conjunto universal debe pertenecer ya sea a A o
a su complemento Ac.
3 A B equivale a B ⊃ A, A B; también se lee: A está contenido
en B, mientras que B ⊃ A se lee: B contiene a A.
4 Si A ∩ B = ∅ se dice que A y B son ajenos entre sí. Lo anterior sig-
nifica que no tienen elementos en común.
Los siguientes son resultados básicos de la teoría de conjuntos:
⊃⊃
A´ o Ac (léase: A complemento) Complemento Ac es el conjunto de todos los elementos que estando 
de A en U en U no pasan2 la ley de elegibilidad que define al con-
junto A.
A B (léase: A es un Inclusión de 3Se escribe cuando cada elemento de A pertenece
subconjunto de B) conjuntos también a B.
A = B Igualdad de Cada elemento de A pertenece a B y viceversa.
conjuntos
∅ Conjunto vacío Es el único subconjunto de U que carece de elementos. 
A ∪ B (léase: A unión B, Unión de conjuntos Este nuevo conjunto se forma con los elementos que 
o bien, “A o B”) pertenecen a A o a B o a ambos. 
A ∩ B (léase: A intersección B, Intersección Este conjunto4 se forma con los elementos que son co-
o bien, “A y B”) de conjuntos munes tanto a A como a B. 
A − B (léase: A diferencia B, Diferencia Este conjunto consta de los elementos que pertenecen 
o bien, complemento de B de conjuntos a A, pero no a B.
respecto de A)
⊃⊃
1. En toda discusión se tiene que: ∅ (A (U.
2. A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B; esto es, A A ∪ B y B
A ∪ B.
3. A ∩ B es subconjunto tanto de A como de B, es decir, A ∩ B A y
A ∩ B B.⊃
⊃
⊃⊃
51.1 El lenguaje de conjuntos
Diagramas de Venn
Las ideas de conjunto y subconjunto, así como las operaciones referentes a la combina-
ción de ambos pueden ilustrarse gráficamente por medio de los llamados diagramas de
Venn (en honor a John Venn, matemático y lógico inglés). En dichos diagramas se repre-
senta al conjunto universal U con un rectángulo y se usan regiones encerradas por cur-
vas simples (generalmente círculos), dibujadas dentro del rectángulo, para representar
los conjuntos que intervienen. A continuación se muestran representaciones gráficas de
algunas de las operaciones de conjunto que ya fueron descritas.
4. A − B A, además los conjuntos, A − B, A ∩ B y B − A son mutua-
mente ajenos, es decir, la intersección de dos cualesquiera de ellos es
el conjunto vacío.
5. A ∪ Ac = U, mientras que A ∩ Ac = ∅.
6. A − B = A ∩ Bc.
7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
a éstas se les conoce como leyes distributivas.
8. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; a éstas se les conoce como
leyes de De Morgan.
⊃
Intersección de conjuntos Unión de conjuntos
Conjunto diferencia: B-A
A unión B menos la intersección de A y B
Conjunto diferencia: A-B
Complemento de la unión de A con B
A B
A B A B
A B A B
A B
6 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
solución
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Convierte a lenguaje de conjuntos las siguientes proposiciones textuales:
a) x no pertenece a A.
b) B es un conjunto que contiene al conjunto A.
c) d es un elemento de A y B.
d) A no es subconjunto de B o C.
a) x x A
b) B ⊃ A
c) d H A ∩ B
d) A X B ∪ C
Ejemplo 2
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {2, 4, 8, 9}, D = {4, 5}, E = {2, 4} y F = {2}. Sea
X un conjunto desconocido. Determina cuáles de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales
a X si se conoce la siguiente información:
1. X A y X B, 2. X X B y X C, 3. X X A y X X C, 4. X B y X X C
1. El único conjunto que es subconjunto de A y de B es D; C, E y F no son subconjuntos de B porque
2 H C, E, F, pero 2 x B.
2. El conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues éstos son subconjuntos de C y, como ya se vio, no son
subconjuntos de B. 
3. Sólo B no es subconjunto de A ni de C. D y A son subconjuntos de A; C, E y F son subconjuntos de C.
Por lo tanto, X = B.
4. Tanto B como D son subconjuntos de B, pero no son subconjuntos de C. Los demás conjuntos dejan de
cumplir al menos una de las condiciones. Por lo tanto, X = B o X = D.
Ejemplo 3
Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x2), en donde xi es el resultado del i-ésimo
dado i = 1, 2. Determina:
a) La colección de todos los resultados que componen al conjunto universo U de esta situación.
b) Sea A el conjunto que consta de todas las parejas (x1, x2), tales que la suma de los números de los
dos dados es 10. Escribe al conjunto A usando su ley de elegibilidad, después indica las parejas de
resultados de U que lo componen.
⊃⊃⊃⊃
71.1 El lenguaje de conjuntos
solución
solución
c) Si B es el conjunto que consta de las parejas (x1, x2), tales que el primer dado aparece con un núme-
ro mayor que el segundo, describe al conjunto B usando su ley de elegibilidad, después indica las
parejas de U que lo componen.
d) Determina el conjunto que cumple las condiciones en (b) y en (c).
e) Encuentra el conjunto que cumple con la condición en (b), pero no en (c).
a) U = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 1),..., (6, 6)}
b) A = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
c) B = {(x1, x2) H U :x1 > x2} = {(2, 1), (3, 1), (3, 2),..., (6, 4), (6, 5)}
d) A ∩ B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 > x2} = {(6, 4)}
e) A − B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 ≤ x2} = {(4, 6), (5, 5)}
Ejemplo 4
Una fábrica produce fusibles para uso doméstico. Su departamento de control de calidad decide tomar
dos cajas, llamadas caja 1 y caja 2, de un lote de la producción de la última semana. Si un fusible es
defectuoso, se le asigna la letra D; si no lo es, la letra N. Al examinar dos fusibles, uno de cada caja, se
producen parejas cuyas componentes son D o N. Por ejemplo, (D, N) significa que el fusible de la pri-
mera caja resultó defectuoso, mientras que el fusible de la segunda caja no resultó defectuoso. Sea A1
el conjunto en donde el primer fusible es defectuoso, A2 el conjunto en donde el segundo fusible es de-
fectuoso. Escribe en la notación de conjuntos y determina todos los elementos que corresponden a cada
una de las siguientes descripciones:
a) Al conjunto universal de la situación.
b) Al conjunto que describe que exactamente uno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.
c) Al conjunto que describe que ninguno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.
d) Al conjunto que describe que al menos uno de los dos fusibles es defectuoso.
e) Al conjunto que describe que el número de fusibles defectuosos sea uno como máximo.
a) U = {(D, D), (D, N), (N, D), (N, N)}
b) Notamos que A1 = {(D, D), (D, N)} y que A2 = {(D, D), (N, D)}. Ahora bien, A
c
1, por ejemplo, significa
que A1 no se cumple, es decir, que el fusible extraído de la caja 1 es no defectuoso. Por lo tanto, la des-
cripción coloquial de este inciso corresponde a: (A1 ∩ A
c
2 ) ∪ (A
c
1 ∩ A2) en el lenguaje de conjuntos. Se
tiene, en consecuencia:
(A1 ∩ A
c
2 ) ∪ (A
c
1 ∩ A2) = {(D, N), (N, D)}
c) La descripción de este inciso corresponde a Ac1 ∩ A
c
2 ={(N, N)}.
d) Ahora la descripción corresponde a: A1 ∪ A2 = {(D, D), (D, N), (N, D)}.
e) La última descripción corresponde al conjunto: Ac1∪ A
c
2 ={(N, D), (N, N), (D, N)}.
solución
8 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Ejemplo 5
Una compañía de seguros se interesa en la distribución de edades de las parejas. Sea x la edad del ma-
rido y y la edad de la esposa. Cada observación da como resultado una pareja de números (x, y).
Considera como conjunto universal U al primer cuadrante del plano x, y, de manera que cada punto con
x > 0 y y > 0 es un elemento de U. 
Primera parte
Describe cada uno de los siguientes conjuntos:
a) El conjunto A: “el marido es mayor de 40”.
b) El conjunto B: “el marido es mayor que la esposa”.
c) El conjunto C: “la esposa es mayor de 40”.
Segunda parte
“Traduce” al español cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje de conjuntos, donde A, B y C
son los conjuntos de la primera parte.
a) A ∩ B; ¿tiene la esposa más de 40 años?
b) A ∩ Bc; ¿es la esposa mayor o menor de 40 años?
c) A ∩ C; ¿quién tiene más edad: el esposo o la esposa?
d) A ∪ C; ¿son los dos menores de 40 años?
e) (A ∪ B)c ∩ C; ¿por qué se puede reducir este conjunto a Ac ∩ C?
Primera parte
a) El conjunto A está representado por todos los puntos del primer cuadrante a la derecha de la recta ver-
tical x = 40.
b) B está representado por la zona angular del primer cuadrante entre el eje x y la bisectriz y = x.
c) El conjunto C está representado por todos los puntos del primer cuadrante colocados por encima de la
recta horizontal y = 40.
Segunda parte
a) A ∩ B: el marido es mayor de 40 años y mayor que su esposa. No puede afirmarse nada respecto de la
edad de la esposa.
b) A ∩ Bc: el marido es mayor de 40, pero no mayor que su esposa; por lo tanto, la esposa tiene más de 40
años.
c) A ∩ C: la mujer y el marido son mayores de 40 años. Con esta información no puede precisarse quién
es mayor.
d) A ∪ C : por lo menos uno de ellos es mayor de 40 años. La pregunta debe responderse negativamente.
e) Por una de las leyes de De Morgan: (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C : el marido tiene menos de 40 años o
el marido es menor que la mujer y ella tiene más de 40 años; por lo tanto, si el marido tiene menos de
40 años y la mujer más de 40 años, luego el marido es menor que la mujer; entonces podemos prescin-
dir de Bc.
91.1 El lenguaje de conjuntos
Ejercicios 
y problemas
Problemas para trabajar en equipo
1. Si A = {x H N :3x = 9} y b = 3, ¿es b = A?
2. Si M = {r, s, t}, indica cuáles de las afirmaciones son correctas o incorrectas. Si alguna es incorrecta,
señala por qué lo es:
a) r H M, b) r M, c) {r} H M, d) {r, s} M
3. Sea A un subconjunto de B y B un subconjunto de C. Suponiendo que a H A, b H B, c H C y, ade-
más, d x A, e x B, f x C, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) a H C, b) b H A, c) c x A, d) d H B, e) e x A, f ) f x A
4. Un juego de azar, similar al juego de la ruleta, arroja 12 posibles resultados numerados como 1, 2,
3,…, 12. Dos jugadores, Antonio y Blanca, participan y deciden jugar con los números: {1, 2, 3, 4} y
{3, 5, 6}, respectivamente; esto es, si en el juego sale alguno de los números elegidos entonces el juga-
dor correspondiente gana. Cabe decir que entre más números escojan, más costosa será su partida. De-
termina cada uno de los siguientes conjuntos.
a) El conjunto universal y los conjuntos de números con los que ganan Antonio o Blanca.
b) El conjunto de números con los que no ganan ni Antonio ni Blanca.
c) El conjunto de números con los que gana exactamente uno de los jugadores.
d) El conjunto de números con los que gana por lo menos uno de los jugadores.
⊃⊃
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. Competencia automotriz
Una revista de automovilismo está interesada en estudiar la preferencia que la gente de la
zona metropolitana tiene en cuanto a las marcas de automóviles disponibles en el mercado.
De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford, Chevrolet y Chrysler.
Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un auto de modelo reciente, mostró
la siguiente información: 801 tienen un Ford, 900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un
Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 un au-
to de cada una de las tres marcas y el resto de los encuestados algún auto de las marcas
restantes.
Usen notación de conjuntos y sus operaciones para trasladar, al lenguaje matemático, cada
una de las siguientes descripciones dadas en el lenguaje coloquial:
El conjunto de propietarios:
a) De sólo una marca de vehículo.
10 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
b) De exactamente dos marcas de vehículo.
c) Que no poseen ninguna de las tres marcas de vehículo.
d) Con al menos un vehículo de alguna de las tres marcas.
e) De un vehículo cuando mucho de dos marcas.
2. De la vacuidad a la infinitud 
Si A = {1, 2, 3,…} y B = ∅ . Realicen los siguientes pasos:
a) Tomen los números 1 y 2 de A y colóquenlos en B. 
b) Cuando falte 1/2 hora para terminar su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,
tomen los números 3 y 4 del conjunto A y colóquenlos en B.
c) Un 1/4 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,
tomen los números 5 y 6 del conjunto A y colóquenlos en B.
d) Cuando falte 1/8 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número
mayor de B, tomen los números 7 y 8 del conjunto A y colóquenlos en B.
Si este procedimiento continúa así, ¿cuál es el conjunto B al terminar la clase? Una vez halla-
do el conjunto B, describan sus elementos a través de una ley de elegibilidad adecuada.
3. Preferencias televisivas
En esta actividad organizarás con tu equipo cierta información conforme a los siguientes li-
neamientos:
a) Cada miembro del equipo (considerando equipos con cuatro integrantes en promedio)
hará una entrevista a 20 personas e investigará sus preferencias televisivas en el horario de
9 a 10 de la noche. De manera más específica, investigará si la persona entrevistada ve al-
gún programa de TV Azteca, Televisa o televisión privada (sin distingo de la señal contra-
tada). 
b) Respondan a las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas personas ven en el citado horario algún programa únicamente de TV Azteca?
¿De Televisa? ¿Cuántos ven sólo televisión privada?
• ¿Hay personas que ven dos programas de televisoras diferentes? ¿Hay quienes ven de los
tres tipos de televisión?
• ¿Hay personas que no ven televisión?
c) Sean A: el conjunto de personas que ven TVAzteca, B: el conjunto de personas que ven
Televisa y C: el conjunto de personas que ven televisión privada. El símbolo N(X) (léase:
cardinalidad del conjunto X) representa el número de elementos que contiene el conjunto X.
Coloquen la información del inciso (a) en un diagrama de Venn adecuado.
• Determinen la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos:
A − (B ∪ C); (A ∪ B ∪ C)c; A ∩ B ∩ C; A ∩ B
• Sin utilizar símbolos matemáticos, expresen en sus propias palabras el significado de ca-
da uno de los conjuntos del punto anterior.
111.1 El lenguaje de conjuntos
1. Indica la opción que contiene una descripción que no define a un conjunto.
a) A es el conjunto de los múltiplos de 2.
b) B es el conjunto de los números interesantes.
c) C es el conjunto de matrículas de estudiantes del ITESM.
d) D es el conjunto de los números x que satisfacen la ecuación x + 4 = 5.
2. Sea U = {copa, basto, espada, oro}, determina la opción que contiene la afirmación falsa.
a) basto ∈ { basto, espada}
b) {espada, oro} U 
c) Si A = {copa, basto}, B = {copa, basto, espada}, entonces:
d) {copa, espada, oro} ∈ U
3. Este problema refiere su descripción a la del problema 4 de la sección de ejercicios y proble-
mas. Así, sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; supón ahora que juegan tres jugado-
res, cada uno de ellos decidiendo su juego, según se indica a continuación:
, , .
Elige la opción que contiene al conjunto que especificado en español se da a continuación:
“el juego es ganado exactamente por uno de losjugadores”.
a) {10, 11, 12}
b) {1, 2, 3}
c) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d) {1, 2, 3, 10, 11, 12}
4. Para los conjuntos de las columnas A y B, relaciona los que son iguales.
Columna A Columna B
C = { , , }7 8 9B = { , , , , , }4 5 6 7 8 9A = { , , , , , }1 2 3 4 5 6
A B− = ∅
⊃
a) A = { 2 n +1: n es un número natural}
b) A = { x : x fue presidente de México antes
de 1815}
c) A = { 4 n: n es un número natural}
d) A = { x: x satisface la ecuación
2x2 + x − 1 = 0}
i. A = {Guadalupe Victoria, Vicente
Guerrero}
ii. A = {1/2, −1}
iii. A = {2 n: n es un número natural}
iv. A = {2k: k es un número natural par}
v. ∅
vi. A = {2 n −1: n es un número natural
mayor o igual a 2}
vii. A = {2 n −1: n es un número natural}
viii. A = {Guadalupe Victoria} 
12 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. No, A = {3}, pero hay una diferencia fundamental entre un elemento x y el conjunto {x}.
2. a) Correcta
b) Incorrecta. El símbolo vincula a dos conjuntos, pero r no es un conjunto, sino un elemento de M.
c) Incorrecta. El símbolo ∈ vincula a un elemento con un conjunto, pero {r} es un subconjunto de M, no
un elemento de M.
d) Correcta. 
3. a) A es un subconjunto de C. Luego a ∈ A implica a ∈ C, así la afirmación es verdadera.
b) Como el elemento b ∈ B puede no ser elemento de A, la afirmación es falsa.
c) El elemento c ∈ C podría ser un elemento de A; por lo que c ∉ A podría no ser verdadera.
d) El elemento d, que no está en A, puede no estar en B; así que la afirmación podría no ser verdadera.
e) Como e ∉ B y A B, e ∉ A es verdadera.
f) Ya que f ∉ C y A B, f ∉ A es verdadera.
4. Si U designa al conjunto universal de la situación, A representa el conjunto de números con los que gana
Antonio y B el conjunto de números con los que gana Blanca; entonces:
a) , ,
b) 
c) 
d) A B∪ = { , , , , , }1 2 3 4 5 6
( ) ( ) { , , , , }A B A Bc c∩ ∪ ∩ = 1 2 4 5 6
A B A Bc c c∩ = ∪ =( ) { , , , , , }7 8 9 10 11 12
B = { , , }3 5 6A = { , , , }1 2 3 4U = { , , , , , , , , , , , }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
⊃
⊃
⊃
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. b) 
2. d)
3. b) 
4. (a, vi), (b, v), (c, iv), (d, ii)
131.2 Problemas de conteo
1.2 Problemas
de conteo
-—¡Ya lo tengo! -—gritó-—¡Es un juego de
niños! ¿Cómo lo sabes? —preguntó el señor
Bockel. -—¡Ooooh!-— respondió Robert-—,
se calcula sólo. Y tocó la estrellita
bajo su camiseta y pensó, agradecido,
en su diablo de los números.
Hans Magnus Enzensberger,
El diablo de los números
Introducciónn
La demografía es una ciencia donde se analizan elementos de la dinámica
poblacional como la natalidad y la mortalidad. En esta área suele usarse la
teoría de conjuntos como la base de un sistema de clasificación que considera
sexo, edad, composición urbano-rural, etcétera. Más aún, el conocimiento
del número de elementos que tienen los conjuntos usados permite, a los gober-
nantes, planear nuevos programas en salud, educación y seguridad, entre
otros. Con la siguiente situación, conocerás el potencial que tiene el contar
los elementos de un conjunto.
Relación entre alfabetización, edad y sexo
Resultados del XII Censo Nacional de Población y Vivienda, efectuado en Mé-
xico en el 2000, muestran que la dinámica poblacional depende del sexo y la
edad. Por ejemplo, para edades comprendidas entre ocho y 14 años se tiene
mayor proporción de hombres que de mujeres, en tanto que para edades supe-
riores la proporción cambia notablemente. Resultados relacionados con la al-
fabetización muestran una situación similar. En la tabla siguiente se muestran
los resultados clasificados por sexo, edad y grado de alfabetización. De acuerdo
con la información presentada ¿cuántos hombres y cuántas mujeres mayores
de ocho años no saben leer ni escribir? Considerando que la muestra es repre-
sentativa de la población, ¿cuál es la probabilidad de que un hombre, seleccio-
nado al azar, sea mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? Para responder
tales preguntas necesitaremos contar el número de elementos con un conjunto
finito y calcular la probabilidad de que suceda un conjunto de resultados en un
experimento aleatorio.
14 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Cardinalidad de conjuntos
Considera los siguientes conjuntos:
Claramente el conjunto A consta de seis elementos y el conjunto B de un número infini-
to de elementos. Es posible contar los elementos del conjunto B estableciendo una rela-
ción con el conjunto de los números enteros positivos. Por ejemplo, el primer número es
el 1, el segundo es el 3, el tercero es el 5, el cuarto el 7 y así sucesivamente. La diferen-
cia entre los dos conjuntos es el número de elementos que lo forman; para distinguirlos,
contamos con la siguiente definición:
A
B
= − −
=
{ , , , , , }
{ , , , , , , , ...}
2 1 7 9 11 55
1 3 5 7 9 11 13
Sexo
(total)
Alfabetización
(porcentaje)
Hombre Mujer Hombre Mujer 
Población de 8 a 14 años 7,707,486 7,522,440 94.9% 95.6% 
Población de 15 años y más 30,043,824 32,798,814 92.5% 88.6%
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Definir el concepto de cardinalidad de un conjunto finito.
• Determinar la cardinalidad de conjuntos finitos dados.
• Resolver problemas de conteo, utilizando diagramas de Venn y el concep-
to de cardinalidad.
• Utilizar diagramas de Venn para resolver problemas de probabilidad de
eventos. 
Definición
a) Un conjunto A es finito si contiene n elementos diferentes a1, a2, a3,.., an.
Decimos entonces que su cardinalidad, o número de elementos que lo forman,
es N(A) = n.
b) Un conjunto A es infinito si tiene un número infinito de elementos. Decimos
entonces que su cardinalidad es N(A) = ∞.
151.2 Problemas de conteo
Los conjuntos finitos tienen las propiedades siguientes:
Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces:
1. A ∪ B y A ∩ B son finitos.
2. Si A y B son ajenos, entonces N (A ∪ B) = N(A) + N(B)
3. Si A B, entonces N (A) ≤ N(B)
4.
5.
6. N A B C N A N B N C N A B N A C
N B C N A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
N A B N A N B N A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩
Las propiedades 1, 2 y 3 son evidentes por sí mismas. La propiedad 6 es una generaliza-
ción de la propiedad 5, así que sólo mostraremos las propiedades 4 y 5.
Demostración de la propiedad 4. Para demostrar la propiedad 4, considera que:
Aplicamos la operación de cardinalidad y la propiedad 2, entonces tenemos:
Finalmente, despejamos N(A − B) de la última relación para obtener:
Demostración de la propiedad 5. La propiedad 5 se deduce, considerando que:
Al calcular la cardinalidad, tenemos:
donde hemos usado las propiedades 2 y 4.
N A B N A B B A A B
N A B N B A N A B
N A N A B N B N A B N A B
N A N B N A B
( ) (( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
∪ = − ∪ − ∪ ∩
= − + − + ∩
= − ∩ + − ∩ + ∩
= + − ∩
A B A B B A A B∪ = − ∪ − ∪ ∩( ) ( ) ( )
N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩
N A N A B A B
N A B N A B
( ) (( ) ( ))
( ) ( )
= − ∪ ∩
= − + ∩
A A B A B= − ∪ ∩( ) ( )
⊃
16 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Juan y Carlos encuestaron a 350 mexicanos sobre sus preferencias para visitar Cancún y Acapulco en
las vacaciones. Cancún recibió 210 menciones, mientras que Acapulco recibió sólo 195. Doce de los
encuestados mencionaron que no les gustaría visitar ninguno de los dos lugares. ¿A cuántos les gusta-
ría visitar los dos lugares? ¿A cuántos les gustaría visitar sólo Cancún?
Sean
U = conjunto de todos los encuestados,
A = conjunto de las personas que desean visitar Acapulco, y
C = conjunto de las personas que desean visitar Cancún.
De los datos del problema, tenemos que:
El diagrama de Venn ilustra la situación:
Si usamos la propiedad 5, se tiene:
de donde se concluye que:
Concluimos que 67 personas quieren visitar los dos lugares. Para determinar el número de personas que
quieren visitar sólo Cancún usamos 
N(C − A) = N(C) − N(C ∩ A)
= 210 − 67 = 143.
Es decir, 143 personas quierenvisitar sólo Cancún.
N A C( ) .∩ = + − =195 210 338 67
N A C N A N C N A C
N A C
( ) ( ) ( ) ( ),
( ),
∪ = + − ∩
= + − ∩338 195 210
N A
N C
N U
N U AUC
N AUC
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ( )) ,
( )
=
=
=
− =
= − =
195
210
350
12
350 12 338
A-C C-AA∩C
A, 195 C, 210
U, 350
solución
171.2 Problemas de conteo
Ejemplo 2 
De 400 estudiantes que estudian inglés o francés en una escuela prestigiada, 60 toman clases de inglés
y francés simultáneamente. Si se sabe que hay tres veces más estudiantes que estudian inglés que fran-
cés, ¿cuántos estudiantes estudian francés? ¿Cuántos no estudian inglés?
Consideremos que:
x = número de quienes estudian sólo inglés.
y = número de los que estudian inglés y francés.
z = número de quienes estudian sólo francés.
El diagrama de Venn siguiente ilustra las condiciones del problema:
De los datos, tenemos:
De la figura, establecemos el sistema de ecuaciones:
El sistema se reduce a:
Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo el resultado en la segunda ecuación, se obtiene:
x z
z z
= −
− + = +
340
340 60 3 60
,
( ).
x z
x z
+ =
+ = +
340
60 3 60
,
( ).
y
x y z
x y y z
=
+ + =
+ = +
60
400
3
,
,
( ).
N I F
N I F
N I N F
( ) ,
( ) ,
( ) ( ).
∪ =
∩ =
=
400
60
3
I F
x zy
solución
18 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Despejando z se tiene:
El valor de x lo obtenemos usando 
Entonces, el número de alumnos que estudian francés es N(F) = y + z = 60 + 55 = 115. El número de
alumnos que no estudian inglés es z = 55.
Ejemplo 3
Se aplicó una encuesta a 1200 personas sobre sus pasatiempos favoritos. Los resultados indican que: a
720 les gusta el cine, 620 escuchan música, 700 hacen ejercicio, 420 hacen ejercicio y les gusta el ci-
ne, 314 escuchan música y les gusta el cine, 220 hacen ejercicio y escuchan música y sólo 17 realizan
las tres actividades.
a) ¿A cuántas personas no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejercicio?
b) ¿Cuántas personas no escuchan música, pero sí van al cine y hacen ejercicio?
Sean:
C = conjunto de personas que van al cine.
M = conjunto de personas que escuchan música.
E = conjunto de personas que hacen ejercicio.
Y las variables ai:
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
a N C M E
c c
c c
c c
c
c
c
1
2
3
4
5
6
7
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
= ∩ ∩
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ).
x z
x
x
= −
= −
=
340
340 55
285
,
.
400 180 3
400 180 3
220 4
220 4
55
− = +
− = +
=
=
=
z z
z z
z
z
z
,
,
,
/ ,
.
191.2 Problemas de conteo
En el diagrama de Venn siguiente hemos colocado las variables ai
De los datos, sabemos que: a7 = 17 Usando nuevamente los datos del problema, se tiene:
de donde es simple determinar que: a4 = 297, a5 = 203, a6 = 403.
El primer diagrama de Venn se simplifica como sigue.
Usando nuevamente los datos y
se obtiene que: a1 = 3, a2 = 103, a3 = 77.
a
a
a
1
2
3
297 17 403 720
297 17 203 620
403 17 203 700
+ + + =
+ + + =
+ + + =
,
,
,
a a
a a
a a
4 7
5 7
6 7
314
220
420
+ =
+ =
+ =
,
,
,
C, 720
E, 700
M, 620
a1 a2
a3
a4
a7
a6 a5
C, 720
E, 700
M, 620
a1 a2
a3
297
17
403 203
20 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Finalmente para responder a las dos preguntas, observamos que:
a) Cc ∩ Mc ∩ Ec = conjunto de personas que no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejer-
cicio, y N(Cc ∩ Mc ∩ Ec) = 1200 − 3 − 103 − 77 − 403 − 297 − 203 − 17 = 97.
b) C ∩ Mc ∩ E = conjunto de personas que no escuchan música pero sí van al cine y hacen ejercicio,
y N(Mc ∩ C ∩ E) = a6 = 403.
Probabilidad de eventos
Consideremos el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto puede representar los re-
sultados posibles al lanzar un dado. Cada uno de los resultados tiene una probabilidad
de ocurrir. Nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que salga un
número par al lanzar un dado? En ese caso, la respuesta es . La pro-
babilidad es una forma de determinar la proporción de ocurrencias de un cierto resulta-
do con respecto a todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Definimos
algunos conceptos de probabilidad que nos serán útiles posteriormente.
P A
N A
N S
( )
( )
( )
= =3
6
P
N S
= =1
6
1
( )
Definición
1. El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados de un experi-
mento aleatorio.
2. Un evento A es un subconjunto del espacio muestral.
3. La probabilidad del evento A, en espacios donde todos los resultados son
igualmente probables, es:
P A
N A
N S
casos a favor
casos posibles
( )
( )
( )
= =
Si A, B y C son eventos y S es el espacio muestral, entonces:
1. P(S) = 1
2. 0 ≤ P(A) ≤ 1
La probabilidad de un evento A tiene propiedades similares a la función cardinalidad. La
razón es que la probabilidad y la cardinalidad de un conjunto A son proporcionales.
Enunciamos, sin demostración, las propiedades de la probabilidad de un evento A:
211.2 Problemas de conteo
3. P(A) + P(Ac) = 1
4. Si A B, entonces P(A) ≤ P(B)
5.
6. 
7. P A B C P A P B P C P A B P A C
P B C P A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
P A B P A P A B( ) ( ) ( )− = − ∩
solución
Ejemplos
Ejemplo 4
La probabilidad de que un esposo vote en la próxima elección presidencial es 0.7, la probabilidad de
que su esposa vote es 0.6, la probabilidad de que los dos voten es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que 
a) ninguno vote?
b) un esposo vote y su esposa no? 
Sean A y B los eventos
A = el esposo vota y
B = la esposa vota
De los datos del problema, se tiene que P(A) = 0.7, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.45. Entonces
a) Para responder la pregunta a), usamos:
P(ninguno vote) = 1 − P(A ∪ B)
= 1 − 0.85
= 0.15
b) para responder la pregunta b), observamos que:
P(un esposo vote y su esposa no) = P(A ∩ Bc)
= P(A) − P(A ∩ B)
= 0.7 − 0.45
= 0.25
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )
. . .
.
∪ = + − ∩
= + −
=
0 7 0 6 0 45
0 85
⊃
solución
22 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Ejemplo 5 
Se aplicó una encuesta a 750 personas en septiembre de 2004 sobre inseguridad en el Distrito Federal.
A los encuestados se les hicieron las preguntas:
P1: ¿Ha sido víctima alguna vez de algún delito?
P2: ¿Ha notado aumento en la inseguridad?
P3: ¿La autoridad hace lo suficiente para reducir la inseguridad?
Después de capturar las respuestas, se encontró que 277 personas respondieron afirmativamente la pre-
gunta P1, 293 la pregunta P2 y 270 la pregunta P3. Además, 120 respondieron afirmativamente las
preguntas P1y P2, 132 la P2 y la P3, 125 la P1 y la P3, y 74 las tres preguntas. Si se selecciona una
persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 
a) una persona haya sido víctima alguna vez, declare que no se esté haciendo lo suficiente y que haya
notado aumento en la inseguridad?
b) una persona no haya sido víctima, declare que se esté haciendo lo suficiente por las autoridades y
que no haya notado aumento en la inseguridad?
Consideremos que los conjuntos A, B y C son los formados por aquellos que respondieron afirmativa-
mente a las preguntas P1, P2 y P3. El número de personas que respondieron afirmativamente alguna de
las tres preguntas se calcula usando:
Trabajando de forma similar al ejemplo 3, se obtiene el diagrama de Venn:
Finalmente, para responder a las dos preguntas observamos que:
a) A ∩ B ∩ Cc es el evento deseado y 
b) Ac ∩ Bc ∩ C es el evento deseado y P A B C N A B C
N S
c c
c c
( )
( )
( )
∩ ∩ = ∩ ∩ = 87
750
P A B C
N A B C
N S
c
c
( )
( )
( )
∩ ∩ = ∩ ∩ = 46
750
N A B C N A N B N C N A B N A C
N B C N A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
- - -
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩
− ∩ + ∩ ∩
= + + + =277 293 270 120 132 125 74 537 
A, 277
C, 270
B, 293
46
87
115106
74
51 58
231.2 Problemas de conteo
Ejercicios 
y problemas
1. Si N(A ∪ B) = 280, N(A ∩ B) = 120 y N(A) = 3N(B), determina cuántos elementos tiene cada uno de
los conjuntos A y B.
2. En un grupo de 100 estudiantes se tienen 30 queestudian preparatoria, 20 mujeres y 10 mujeres que
estudian preparatoria. ¿Cuántos estudiantes son hombres que no estudian preparatoria?
3. En una encuesta realizada entre 1000 personas sobre sus preferencias electorales, 440 contestaron
estar a favor del partido revolucionario, 470 a favor del partido nacional y 260 declararon no estar
a favor de ninguno de los dos partidos. ¿Cuántos de los entrevistados están a favor sólo del partido re-
volucionario?
4. De 3000 alumnos que asisten a una escuela profesional, 368 utilizan sólo su automóvil, 548 usan el
transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan sólo
el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y 1438
no usan ningún medio de transporte.
a) ¿Cuántos alumnos utilizan solamente el transporte urbano?
b) ¿Cuántos alumnos utilizan su automóvil o el transporte escolar, pero no el transporte urbano?
c) ¿Cuántos alumnos utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?
d) ¿Cuántos alumnos utilizan los tres medios de transporte?
5. Una universidad tiene 1050 alumnos de primer ingreso. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física,
388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción, y todos
llevan al menos una de las tres asignaturas.
a) ¿Cuántos alumnos cursan física y matemáticas pero no redacción?
b) ¿Cuántos alumnos cursan matemáticas y no llevan física ni redacción?
6. La probabilidad de que una persona escuche música o lea un libro es de 0.4. Si la probabilidad de que
lea un libro es de 0.2 y la probabilidad de que escuche música es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de
que lea un libro y no escuche música? 
7. En una encuesta aplicada a 5000 personas se encontró que 330 no trabajan ni estudian, 2607 sólo tra-
bajan y 220 trabajan y estudian. Si se escoge una al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie pero no trabaje?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie?
8. En cierta población hay tres periódicos, el Imparcial, la Crónica y Últimas Noticias. Al Imparcial es-
tán suscritas el 60% de las familias de esa población, a la Crónica el 40%, a Últimas Noticias el 30%; al
Imparcial y la Crónica el 20%, al Imparcial y a Últimas Noticias el 10%, a la Crónica y a Últimas
Noticias el 20% y a los tres periódicos el 5% de la población. Determina la probabilidad de que una
familia seleccionada al azar
a) esté suscrita al menos a uno de los tres periódicos.
b) no esté suscrita a ningún periódico.
Problemas para trabajar en equipo
24 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
9. En una encuesta aplicada a 102 trabajadores de una fábrica, se obtuvo la siguiente información: Todos
los hombres tenían más de 20 años y había 52 mujeres. En total, 62 personas tenían más de 20 años,
25 mujeres estaban casadas, 15 de las quienes dijeron estar casadas superaban los 20 años y 10 de las
mujeres casadas tenían más de 20 años. Supón que seleccionas una persona al azar, calcula la probabi-
lidad de que:
a) sea casada
b) sea una mujer soltera de más de 20 años
c) sea un hombre casado
d) tenga menos de 20 años
10. En una encuesta aplicada a 180 personas, se obtuvo la siguiente información: 48 tienen por lo menos
casa propia, 87 tienen por lo menos automóvil, 120 tienen por lo menos televisión, 52 tienen sólo au-
tomóvil y televisión, una tiene sólo casa propia, tres tienen sólo automóvil y 44 no tienen ninguna de
las tres cosas. Calcula la probabilidad de que un empleado, seleccionado al azar,
a) tenga automóvil, casa propia y televisión
b) tenga casa propia y televisión pero no automóvil
c) tenga televisión pero no casa propia ni automóvil
d) tenga automóvil o televisión
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes
situaciones:
1. Relación entre alfabetización, edad y sexo 
a) Construye un diagrama de Venn con los datos proporcionados en el inicio de la sección.
b) Determina, si es posible, el número de hombres y mujeres mayores de ocho años que no
saben leer ni escribir.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no sepa leer ni escribir?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea hombre mayor de 14 años
y no sepa leer ni escribir?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar sea mayor de 14 años y no
sepa leer ni escribir?
2. El examen 
Recientemente se aplicó un examen de precálculo con tres problemas A, B y C. Sólo 25
alumnos resolvieron al menos un problema. De aquellos alumnos que no resolvieron el pro-
blema A, el número de quienes resolvieron el problema B fue el doble de los que resolvieron
el problema C. El número de quienes resolvieron el problema A fue uno más de quienes resol-
vieron el problema A y al menos otro problema. De todos los alumnos que sólo resolvieron
251.2 Problemas de conteo
exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema A. Exactamente 12 alumnos re-
solvieron el problema A o el C. ¿Cuántos alumnos resolvieron el problema B?
3. El conjunto potencia 
El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. 
a) Determina el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5} y el número de elementos que lo
forman.
b) ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos tiene el conjunto potencia de A?
c) ¿Cuántos subconjuntos del conjunto potencia de A no tienen como elemento al 2 y al 3?
d) Responde las preguntas a), b) y c) considerando al conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1. En una universidad hay 100 estudiantes que estudian alemán o francés. Se sabe que 50 estu-
diantes se matricularon para alemán y 70 para francés. Indica cuál de las opciones siguientes
contiene la fracción de estudiantes que estudian alemán solamente.
a) 3/10
b) 5/10
c) 2/10
d) 3/5
2. Indica cuál de las opciones dadas a continuación contiene N(A − B).
a)
b)
c)
d)
3. Una fábrica de prendas de vestir produce camisas. Doce inspectores revisan 10,000 prendas y en-
cuentran 25 con la tela rayada, 20 ligeramente rotas, 20 descoloridas, seis con rayas y ligera-
mente rotas, cinco rayadas y descoloridas, cuatro rotas y descoloridas, y sólo una con los tres
defectos. Indica el número de camisas que tienen al menos un defecto. 
a) 1
b) 13
c) 51
d) 38
N B N A B( ) ( )− ∩
N A N A B( ) ( )+ ∪
N A N A B( ) ( )− ∩
N A N A B( ) ( )+ ∩
26 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
4. Diversos estudios de la Secretaría de Turismo establecen que un turista que visita la ciudad
de México tiene una probabilidad de 0.74 de visitar la Basílica de Guadalupe, de 0.70 de ir
al Palacio de las Bellas Artes, de 0.62 de visitar Santa Fe, de 0.52 de visitar la Basílica e ir a
Bellas Artes, de 0.44 de ir a Bellas Artes y visitar Santa Fe, de 0.46 de visitar la Basílica y
Santa Fe y de 0.34 de visitar la Basílica, Santa Fe y Bellas Artes. Indica cuál de las siguien-
tes opciones representa la probabilidad de que un turista cualquiera realice al menos una de
estas actividades:
a) 0.32
b) 0.64
c) 0.98
d) 0.06
5. Considera la siguiente situación:
La Delegación Mexicana para los Juegos Olímpicos de Sydney estuvo formada por 205 depor-
tistas. Entre ellos hubo 135 atletas con estudios superiores de licenciatura, 146 que asistían al
menos por segunda vez a unos Juegos Olímpicos y 84 eran mujeres, 30 eran mujeres con li-
cenciatura, 35 eran mujeres que asistían por segunda vez y 110 eran atletas con licenciatura
que asistían por segunda vez. 
Encuentra en la columna B las respuestas a las preguntas que aparecen en la columna A:
Columna A Columna B
a) ¿Número de mujeres con licenciatura que
asisten por segunda vez?
b) ¿Número de hombres con licenciatura que
asisten por segunda vez?
c) ¿Número de mujeres sin licenciatura que
asisten por primera vez?
d) ¿Número de hombres sin licenciatura que
asisten por primera vez?
i. 25
ii. 29
iii. 11
iv. 10
v. 15
vi. 20
vii. 5
viii. 100
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. N(A) = 300,N(B) = 100
2. 60
3. 270
271.2 Problemas de conteo
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. a
2. b
3. c
4. c
5. (a, iv), (b, viii), (c, ii), (d, vii) 
4.
a) 490
b) 624
c) 1042
d) 118
5. 
a) 382
b) 208
6.
0.1
7. 
a) 0.3686
b) 0.4126
8. 
a) 0.85
b) 0.15
9. 
a) 25/102
b) 2/102
c) 5/102
d) 40/102
10. 
a) 1/9
b) 1/12
c) 33/180
d) 0.75
Unidad
Expresiones 
algebraicas
Contenido de la unidad
2.1 Productos notables
2.2 Factorización
2.3 División de expresiones algebraicas
2.4 Simplificación, multiplicación y 
 división de fracciones algebraicas
2.5 Suma y resta de fracciones 
 algebraicas
2.6 Exponentes enteros
2.7 Exponentes fraccionarios y radicales
2.8 Números complejos
Introducción a la unidad
¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es un
objeto real, es una abstracción mental, una idea. Esto se hace más evidente cuando convivimos con una niña muy
pequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una vez y otra con la
niña “uno, dos, tres…”, contando pelotas, piezas de un rompecabezas o las teclas de un pianito. Quizás, al princi-
pio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden a la vez que se señalan objetos; tendrá
que pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad. Por ejemplo, si a cinco manzanas le qui-
tamos dos manzanas, quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles, quedan tres pasteles.
Como esto sigue siendo cierto para cualquier tipo de objeto que contemos, diremos que si a cinco le quitamos dos,
quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitas
dos, quedan tres. Pero un cinco no es un objeto; jamás encontrarás un cinco tirado en la calle. Lo que si podrías
encontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta de
cinco, es decir, un papel que tuviera escrito un “5”. Eso nos lleva a otro paso más en la abstracción que la niña ten-
drá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: “si a cinco le quitas dos, quedan
tres”; en lugar de eso utilizará símbolos: 5 – 2 � 3. ¿Por qué debe esforzarse la pequeña en aprender tales abstrac-
ciones y simbología? Porque son útiles para la vida diaria. Cuando sea más grande y vaya a comprar cinco refrescos
de a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de 100 pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para sa-
ber si le dieron el cambio correcto. Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces sería víctima fácil de los
estafadores.
Cuando aprendes álgebra, te encuentras en una situación similar a la de la niña. Te enfrentarás con nuevas abs-
tracciones y simbología. Por ejemplo, en lugar de decir “si a un número cualquiera le sumo cinco y le quito tres,
30 Unidad 2: Expresiones algebraicas
obtengo el mismo resultado que si a ese mismo número le sumo dos”, ahora escribirás
x � 5 – 3 � x � 2. Manejar la simbología algebraica permite trabajar con relaciones
complejas más fácilmente que si tuviéramos que usar sólo palabras. Por ejemplo, intenta
explicar la siguiente expresión sin usar simbología algebraica: (x � y)2 � x2 � 2xy � y2. Si
te preguntas: ¿Por qué debo esforzarme en aprender estas abstracciones y símbolos?, parte
de la respuesta es similar al caso de la niña: porque el álgebra te será útil para resolver
problemas en tu vida profesional. Algunos de los ejercicios que resolverás en esta uni-
dad te darán una idea de las aplicaciones del álgebra: “El dilema del gerente de com-
pras”, “La demanda de la señora Celia Reyes Lujano”, “El problema del agricultor” y
“¿Exponentes fraccionarios en la inflación?”. Más aún, el álgebra tiene relación con la
música y el arte, como aprenderás en “Arte por medio de radicales, la proporción áurea”.
Si no aprendieras a manejar el álgebra, perderías una herramienta muy importante para
un profesionista, independientemente de la carrera que quieras estudiar.
Hay otra razón también muy importante para aprender álgebra. ¿Por qué en la escue-
la nos hicieron leer poemas, si pocos de nosotros seremos poetas? Porque la poesía es
uno de los logros más bellos de la humanidad; en consecuencia, debe ser parte de la for-
mación de todo ser humano. ¿Por qué aprender álgebra, si pocos de nosotros vamos a ser
matemáticos? Por la misma razón. 
2.1 Productos
notables
La matemática es el faro mediante el
cual lo que antes se veía tenue ahora
surge con trazos firmes y marcados.
Irving Fisher
Introducción
La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w´al muqabala, título de un libro
escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al Juarismi. La traducción fo-
nética de al-jabr en el latín popular, llevó al nombre de la rama de las mate-
máticas que ahora conocemos como álgebra; disciplina donde se usan letras
para denotar números arbitrarios y símbolos para combinarlos a través de la
suma, la resta, el producto, la división y la potenciación. Pero el simbolis-
mo sólo es un medio para un fin; la función del álgebra no consiste en hacer
desfilar símbolos, sino en convertir o transformar expresiones de una for-
ma en otra, la que sea más útil, para resolver el problema que tengamos entre
manos. Por lo tanto, una competencia adecuada en matemáticas estará rela-
cionada con la posibilidad de efectuar transformaciones entre una forma alge-
312.1 Productos notables
braica y otra. ¿Qué determina que una expresión algebraica sea más útil que
otra? La respuesta depende, en general, de la situación que se trate. No obs-
tante, es preciso señalar que prácticamente cualquier estudio o aplicación de
las matemáticas, por simple o técnica que sea, requerirá de tales transforma-
ciones. Te presentamos una situación que requiere, según analizarás en uno
de los problemas, una de tales transformaciones. 
Objetivos
Al terminar esta sección, serás capaz de:
1. Reconocer y desarrollar los productos notables.
2. Ponderar la utilidad del lenguaje algebraico cuando el lenguaje colo-
quial ya no es útil.
3. A través de los productos notables, identificar las transformaciones al-
gebraicas adecuadas que te permitan la solución de problemas. 
Productos notables o especiales
Con frecuencia se denomina al álgebra la aritmética de las operaciones simbólicas; al
decir operaciones se quiere subrayar a la suma, la resta, el producto, la división y la ele-
vación a potencias de expresiones algebraicas. En esta sección trabajaremos con las tres
primeras, bajo la consideración de los así llamados productos notables; término emplea-
do para señalar a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, sin efectuar las operaciones indicadas. No obstante que
estudiarás una parte introductoria del álgebra, te será necesario tener presentes algunos
de sus principios, dos de los cuales te presentamos a continuación:
Regla de los signos
El producto o la división de dos cantidades de signos iguales es positivo, el producto o
la división de dos cantidades de signos contarios es negativo.
La antigua disputa 
En tiempos de la vieja Rusia, se cuenta que dos mercaderes vendieron una
partida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros ha-
bía en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas,
pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito. Al partirse el rebaño en
dos mitades, uno recibió una oveja más, y el otro, el corderito. Sin embargo,
esto provocó una fuerte disputa entre ellos, que se arregló compensando al
dueño del corderito con un rublo. La pregunta es: ¿fue suficiente esta com-
pensación para que el reparto fuese equitativo? 
Ésta y otras situaciones completamente diferentes pueden ser analizadas
con la ayuda de las transformaciones algebraicas de las que hemos hablado.
32 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Leyes básicas de exponentes
Por el momento, sólo necesitaremosde las siguientes leyes de exponentes, donde a, b,
m y n son cantidades cualesquiera:
1. . 
2. . 
3. .
Con base en las tres leyes anteriores, estableceremos sin dificultad la veracidad de los si-
guientes resultados, que son los productos notables que más frecuentemente aparecen en
el desarrollo y la factorización de expresiones algebraicas.
( )ab a bm m m=
( )a am n mn=
a a am n m n= +
i. Binomio al cuadrado:
ii. Binomio al cuadrado:
iii. Binomios conjugados:
iv. Cubo de un binomio:
v. Cubo de un binomio:
vi. Producto de dos binomios:
vii. Diferencia de cubos:
viii. Suma de cubos:
ix. Diferencia de potencias enésimas:
x. Cuadrado de un trinomio: ( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2
( )( )a b a a b a b ab b a bn n n n n n n− + + + + + = −− − − − −1 2 3 2 2 1L
( )( )a b a ab b a b+ − + = +2 2 3 3
( )( )a b a ab b a b− + + = −2 2 3 3
( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ + = + + +2
( )a b a a b ab b− = − + −3 3 2 2 33 3
( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3
( )( )a b a b a b+ − = −2 2
( )a b a ab b− = − +2 2 22
( )a b a ab b+ = + +2 2 22
Tabla 2.1 Productos notables
Nota: Observa que en el desarrollo ix. de la tabla anterior, el segundo factor del miem-
bro izquierdo puede ser escrito en la forma:
,
Como puedes observar los exponentes de a comienzan con n � 1y decrecen hasta lle-
gar a 0, mientras que los de b empiezan en 0 y crecen hasta n � 1; asimismo, que la
suma de los exponentes de a y b en cada término es n � 1.
 a b a b a b ab b
n n n n n− − − − −+ + + + +1 0 2 3 2 2 1L
332.1 Productos notables
El desarrollo en x. tiene una generalización: el cuadrado de un polinomio cualquiera es
igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble producto de
cada término con cada uno de los que le siguen.
Como se señaló, es posible verificar cada uno de los resultados anteriores e incluso en
algunos casos dar una interpretación geométrica sencilla. A manera de ejemplo, ilustra-
mos dos de las igualdades que se han establecido:
I II
IIIIV
Considera el cuadrado de la figura 2.1 y supón que tiene lado a � b, donde a es el valor
del lado en el cuadrado IV y b el lado del cuadrado II. Si A es el área total del cuadrado, y
AI, AII, AIII y AIV son las áreas mostradas en la figura anterior; entonces,: ;
también:
�
;
por lo tanto: .
Si en la misma figura 2.1, tomamos ahora al valor de a como al valor del cuadrado
más grande y como b al lado del cuadrado II; entonces:
,
,
como , concluimos que: .( )a b a ab b− = − +2 2 22A a bIV = −( )
2
= − + − − + = − +a ab b b ab b a ab b2 2 2 2 2 22
= − − − − −a a b b b a b b2 2( ) ( )
A A A A AIV I II III= − − −
( )a b a ab b+ = + +2 2 22
= + +a ab b2 22
ab b ab a+ + +2 2
A A A A AI II III IV= + + +
A a b= +( )2
Figura 2.1
34 Unidad 2: Expresiones algebraicas
solución
solución
solución
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejemplos, desarrolla la expresión usando el producto notable que corresponda:
Ejemplo 1
, asociando términos (binomios conjugados)
, (iii)
, binomio al cuadrado (i)
, uso de las leyes de exponentes (a), (b).
Ejemplo 2
, (generalización de x), ver nota anterior,
, uso de la regla de los signos.
Ejemplo 3
, una extensión del resultado (vi)
, ley de exponentes (b).
Ejemplo 4
, escribe el resultado en la forma
, para cierto valor de k.( )( )x y x yk k k k− +
( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +
= + ++ +x xa a2 2 117 72
( )( ) ( ) ( ) ( )x x x xa a a a+ + + ++ + = + + +1 1 1 2 18 9 8 9 8 9
( )( )x xa a+ ++ +1 18 9
= + + + − + − − + −a b c d ab ac ad bc bd cd2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ − + − − + −2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( )b c b d c d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c d a b c d a b a c a d− + − = + − + + − + − + + −2 2 2 2 2 2 2 2
( )a b c d− + − 2
= + + −x x x4 3 22 1
= + + −( ) ( )( )x x x x2 2 2 22 1
= + −( )x x2 2 21
[ ][ ] [( ) ][( ) ]x x x x x x x x2 2 2 21 1 1 1+ + + − = + + + −
[ ][ ]x x x x2 21 1+ + + −
352.1 Productos notables
solución
solución
� , ley de exponentes
, de acuerdo al resultado (ix) con n � 7
, ley de exponentes (b) y diferencia de cuadrados.
Ejemplo 5
, utilizando (viii)
, por la ley de exponentes (c).= +x y3 3 8
( )( ) ( )xy x y xy xy+ − + = +2 2 4 22 2 3 3
( )( )xy x y xy+ − +2 2 42 2
= − = − +x y x y x y14 14 7 7 7 7( )( )
= −( ) ( )x y2 7 2 7
( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x y x x y x y x y x y x y y2 2 2 6 2 5 2 2 4 2 2 2 3 2 3 2 2 2 4 2 2 5 2 6− + + + + + +
( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +
Ejercicios 
y problemas
1. Determina si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En caso de que la proposi-
ción sea falsa, proporciona su corrección; si, por el contrario, la proposición es verdadera fundamenta
su veracidad:
a) 
b) 
c) 
d) Con la finalidad de que , sea igual a se requiere que
, y 
e) El coeficiente de x2 en es .
2. Desarrolla cada una de las siguientes operaciones, sin recurrir al producto directo, sino utilizando al-
guno de los productos notables i)- x):
a) .( )( )( )x x x4 2 21 1 1+ + −
5 4− m3 2 42 2( ) ( )( ) ( )x my x my x my mx y− + − + − +
c = 7 6b = 5 2a = 4 3
4 2x x+a x x b x x c[ ( ) ] [ ( ) ]3 3 2 21 1− − + − − +
[( )( )]a a a a− + = + +3 2 362 4 2
x x x x x x x( ) ( )+ + + = + + + +1 1 1 4 6 43 3 2 3 4
( )( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x x+ + − + − = + − − =1 1 1 1 1 1 22 2
36 Unidad 2: Expresiones algebraicas
b) .
c) .
d) .
e) .
3. Una esfera de radio r centímetros tiene un volumen de . ¿Cuánto aumentará el volumen si el ra-
dio se incrementa en un centímetro?
4. Considera la figura 2.2, en el cuadrado: OA � OB � n. Por otro lado, cada Bj es un cuadrado de lado
j. Si también usamos Bj para referirnos al área del rectángulo correspondiente, se te pide hallar una for-
ma cerrada para la suma de áreas (véase el problema Una mente brillante, de la sección de Proble-
mas para trabajar en equipo): .
Considera el siguiente procedimiento:
a) Desarrolla , luego escribe el resultado en la forma: , para ciertos valores de
las constantes a, b, c.
b) En la igualdad , asigna a k sucesivamente los valores 1, 2, …, n, luego
escribe las ecuaciones resultantes, una debajo de la otra.
c) Suma en forma ordenada el miembro izquierdo de una ecuación con el de la ecuación que está in-
mediatamente debajo de ésta y simplifica, en cuanto al miembro derecho; sólo podrás escribir su-
mas en forma abierta. 
d) En el miembro derecho quedarán las sumas abiertas: , y ; relaciona
este hecho con la suma , luego determina la respuesta pedida.B B Bn1 2+ + +L
1 22 2 2+ + +L n 1 2+ + +L n
( )k k ak bk c+ − = + +1 3 3 2
ak bk c2 + +( )k k+ −1 3 3
B B Bn1 2+ + +L
4
3
3π r
( )( )x y x x y ym m m m m m3 3 2 1 6 6 3 3 2 1 4 2+ + + + + ++ − +
( )( )x y x x y x y xy y− + + + +2 2 4 8 164 3 2 2 3 4
− + + + −( )( )x y z x y z
( )( )( )a a a a a a2 2 4 21 1 1− + + + + +
1
4
3
2
1 4320
B1
B2
B3
B4
B
A
Figura 2.2
372.1 Productos notables
Problemas para trabajar en equipo
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes
situaciones:
1. La antigua disputa
Lean nuevamente el problema presentado en la introducción (La antigua disputa). Fundamen-
tando una respuesta con todo detalle y claridad, argumenten en favor o en contra acerca de si
el reparto que se describe en este problema es equitativo o no.
2. Una mente brillante 
El título de este problema poco tiene que ver con la obra cinematográfica que en honor del ma-
temático John Forbes Nash produjo Hollywood, pero es el calificativo con el que uno se tiene
que referir a la inteligencia de uno de los hombres que la historia ha señalado como a una de
las mentes más brillantes de la antigüedad; nos referimos a Arquímedes. Algunos historiadores
atribuyen las fórmulas para la suma de los primeros enteros positivos y la de sus cuadrados a
este genio de la antigua Grecia. La fórmulas que discutirás en este problema eran conocidas por
los matemáticos árabes de la Edad Media,que tradujeron, honraron y preservaron las obras de
Arquímedes durante esos oscuros siglos durante los cuales la mayoría de los europeos no sa-
bía leer o escribir ni nada de matemáticas; los pocos que sabían leer y escribir vivían en mo-
nasterios y estaban sumergidos en una vida de piedad. 
1 An4320
1
n
B
4
3
2
Ln
L3
Figura 2.3
38 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Consideren la figura 2.3, los cálculos que realizarán llevaron a los matemáticos árabes hace
más de mil años a determinar una hermosa fórmula que se aplica, por ejemplo, en el campo del
cálculo integral. El argumento depende de los cuadrados B1, B2, B3, …, que se construyen co-
mo sigue. Comenzando en el punto O, tracen segmentos sucesivos de longitudes 1, 2, 3, etcé-
tera, y uno de longitud n, que se extiende hasta el punto A. Hagan lo mismo en el segmento OB
perpendicular a OA, de modo que (una suma como ésta se conoce
como abierta porque se usa la notación de puntos suspensivos para sugerir muchos términos
que están presentes, pero no se escriben).
En este problema, su trabajo consiste en hallar una forma cerrada para la suma:
. Apóyense en la guía que se desglosa en los siguientes puntos:
a) Escriban , y debajo de esta expresión nuevamente a S, pero en la 
forma: . Ahora, sumen el primer término de la primera expresión
con el primer término de la segunda, el segundo con el segundo y así sucesivamente.
¿Cuál es el valor de las sumas indicadas? A partir de su respuesta, determinen una for-
ma cerrada (esto es, una expresión equivalente para ,
pero en la que ya no aparecen los puntos suspensivos) para la suma . 
La fórmula que deben obtener es de la forma: , para ciertos valores
constantes de a, b, c, d, k.
b) Sea “C” el área del cuadrado con lados OA, OB. Usando el resultado del inciso anterior,
determinen una expresión cerrada para el cálculo de C.
c) Ahora, sean L1, L2, etcétera, las regiones en forma de “L” que se muestran en la figu-
ra; designemos, por las mismas letras, los valores de sus áreas. Entonces:
. Usen el hecho de que puede descomponerse en dos rectángu-
los, como se ve en la figura 2.3, para probar que ; de este modo:
.
Determinen una expresión cerrada para C del tipo: , donde r, s, t, p, l son
ciertos enteros positivos.
3. Números pitagóricos
Desde hace miles de años, un antiguo método empleado por agrimensores y constructores de
pirámides egipcias, se basaba en que los triángulos, en los que la relación de sus lados es 3: 4:
5, son rectángulos (puesto que: ). Hay infinidad de números enteros y positivos
a, b, c que satisfacen la relación ; a este tipo de números se les conoce como nú-
meros pitagóricos. El trabajo de su equipo consiste en determinar la veracidad o falsedad de
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si a, b, c son número pitagóricos, también lo son pa, pb y pc, donde p es un factor ente-
ro positivo.
Nota: Si la proposición es verdadera, se seguirá que en caso de que a, b y c tengan un factor
común, éste puede ser simplificado.
a b c2 2 2+ =
3 4 52 2 2+ =
rn sn tn
l
p p p+ +− −1 2
C n= + +1 23 3 3L
L kk=
3
L kC L L L n= + + +1 2 L
( )( )an b cn d
k
+ +
 1 2+ + +L n
 1 2+ + +L n
S n n= + − + +( )1 1L
 S n= + + +1 2 L
1 23 3 3+ + +L n
 OA OB n= = + + +1 2 L
392.1 Productos notables
b) Con la finalidad de que a, b y c no tengan factores comunes en la relación , es necesa-
rio que si a es par entonces b sea impar (y viceversa). 
c) Hay números pitagóricos a, b, c, tales que a, b son impares y c es par.
1. Descubre la opción que contiene el único desarrollo algebraico correcto. 
a) 
b) 
c) 
d)
2. Determina la opción que contiene un error algebraico.
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Un cubo de lado a aumenta en dos unidades, ¿cuánto aumenta el volumen del cubo?
a)
b)
c) 8
d)
4. Lee cada uno de los siguientes textos y determina cuál de ellos es incorrecto:
a) Al multiplicar dos cantidades con la misma base, se suman los exponentes de estas
cantidades. 
b) El producto de la diferencia de dos cantidades a y b, por la suma de las mismas canti-
dades, produce una diferencia de cuadrados.
c) Si al cuadrado de la suma de a y b se le resta el cuadrado de b, se obtiene el cuadrado
de a, más el doble producto de a y b.
d) La diferencia del cubo de a más b menos el cubo de a menos b da como resultado dos
veces el cubo de b.
6 82a +
3 3 82a a+ +
6 12 82a a+ +
( )2 3 4 12 92 2 2x y x xy y− = − +
( )( )x y x y x y+ + = +2 2
x x x x3 28 2 2 4+ = + − +( )( )
( )( )( )x x x x x− + + = − −2 2 3 122 4 2
( )− + = − +1 1 22 2x x x
( )x x x x− = − + −2 8 6 123 3 2
( )2 5 4 252 2x x− = +
( )( )2 2 4 2− − = −x x x
40 Unidad 2: Expresiones algebraicas
5. Encuentra, en la columna B, los desarrollos de las operaciones que aparecen en la co-
lumna A.
Columna A Columna B
a) i.
b) ii.
c) iii.
d) (x2y3 � 8)(x2y3 + 6) iv.
v.
vi.
vii.
viii. x y x y4 9 2 348 2− −
x x4 22 3+ −
x y x4 2 2+ −
x y x y4 6 2 32 48− −
x 4 81−
x x4 218 81+ +( )( )x x y y x x
2 2− + + +
x x4 23 2− +( )( )( )x x x+ + −3 9 3
2
x x y y x4 2 2 22+ + −( )( )x x
2 21 3− +
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. a) El desarrollo es incorrecto, puesto que ; en efecto: .
Así, la corrección es:
b) El desarrollo es correcto, en efecto:
c) La proposición es falsa, desarrollando:
= − − + + ≠ + +a a a a a a4 3 2 4 22 11 12 36 36
= + + − − +a a a a a4 2 3 236 2 12 12
[( )( )] [ ]a a a a− + = − −3 2 62 2 2
= + + + +1 4 6 42 3 4x x x x
= + + + + + + +x x x x x x x4 3 2 3 23 3 3 3 1
x x x x x x x x x x( ) ( ) ( )+ + + = + + + + + + +1 1 3 3 1 3 3 13 3 3 2 3 2
= + + − + = +x x x x2 22 1 1 2 2
( )( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x x+ + − + − = + − −1 1 1 1 1 12 2
( )( ) ( )x x x+ + = +1 1 1 2( )( )x x x+ + ≠ +1 1 12
412.1 Productos notables
d) La proposición es verdadera, si desarrollamos:
si sustituimos los valores dados para a, b y c, la última expresión se convierte en:
e) La proposición es verdadera, ya que al desarrollar la expresión algebraica dada, encontramos:
2. a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3.
4. 
 
B B B
n n n
n1 2
1 2 1
6
+ + + = + +L ( )( )
4
3
3 3 12π ( )r r+ +
x ym m9 9 6 3+ ++
x y5 532−
− − − +x xy y z2 2 22
1 2 3 22 4 6 8+ + + +a a a a
x8 1−
3 2 4 5 4 14 42 2 2 2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x my x my x my mx y m x mxy m y− + − + − + = − − + −
= +4 2x x.
4
3
3 3 1
5
2
2 1
7
6
4 4
4
3
5
5
2
7
6
2 2x x x x x x− +[ ] + − + = − + + − +[ ]
= − + + − +a x x b x c[ ] [ ]3 3 1 2 12
a x x x x b x x x c[ ( )] [ ( )]3 3 2 2 23 3 1 2 1− − + − + − − + +
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. d
2. c
3. a
4. d
5. (a, vii), (b, iv), (c, i), (d, v)
42 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Espectaculares en la Autopista del Sol 
La empresa “Carteleras y Espectaculares S. A. de C. V.” recientemente fir-
mó un contrato con “Caminos y Puentes Federales” para construir y colo-
car 60 espectaculares gigantes en la Autopista del Sol, que conecta la ciudad
de México con el puerto de Acapulco. En el contrato se especifica que:
“cada espectacular deberá ser del tipo estructural de dos vistas y con di-
mensiones que no sobrepasen 15 metros de largo y 8 metros de alto, con la
condición adicional de que el ancho no debe sobrepasar el doble del largo”.
2.2 Factorización
Debemos hacer la ciencia lo más
sencilla posible. Pero no más sencilla.
Albert Einstein
Introducciónn
En la sección anterior establecimos expresiones para productos notables que
permiten desarrollar la multiplicación de dos expresiones algebraicas de forma
ágil y rápida. Por ejemplo, al multiplicar las expresiones 4x + 3y y 4x − 3y
utilizamos el producto notable de binomios conjugados para obtener
En esta relación 4x + 3y y 4x − 3y son factores del producto 16x2 − 9y2.
Nuestro interés, en esta sección, es desarrollar métodos que permitan resolver el
problema inverso, es decir, determinar los factores de una expresión algebraica
dada. La utilidad de la factorización se ilustra en la siguiente situación.
( )( ) ( ) ( )
.
4 3 4 3 4 3
16 9
2 22 2
x y x y x y
x y
+ − = −
= −
Figura 2.4 Espectacular
vacío en la Autopista
del Sol.
432.2 Factorización
Actualmente existe una diferencia de opinión entre las dos empresas porque
los espectaculares que fueron colocados fueron de dimensiones diferentes
y “Caminos y Puentes Federales” considera que no cumplen las disposiciones
del contrato. En el reporte entregado por “Carteleras y Espectaculares” se
señala que los diferentes tipos de espectaculares colocados fueron:
• Cuarenta espectaculares con un área de contenido de 32 metros cuadra-
dos, con márgenes laterales de 0.2 metros y márgenes superior e inferior
de 0.1 metros y con ancho igual al doble del largo.
• Doce espectaculares con márgenes iguales a 0.1 metros en todos los
lados, ancho dos veces el alto y área de 105.12 metros cuadrados 
• Ocho espectaculares con márgenes iguales a 0.2 metros en todos los
lados, ancho dos veces el alto y área de 112.48 metros cuadrados 
¿Cuál de las dos empresas tiene razón?
Contenido del espectacular
Margen
superior
 Margen
inferior
Margen
lateral
Figura 2.5 Diseño de un espectacular.
Objetivos
Al terminar la sección deberás ser capaz de:
• Identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
• Identificar y factorizar una diferencia de cuadrados.
• Identificar y factorizar una diferencia de cubos.
• Identificar y factorizar una suma de cubos.
• Factorizar una expresión dada
Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor
En el trabajo con la aritmética de números enteros resultan útiles el máximo común di-
visor y la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c). El máximo común divisor (mcd) de
una colección de números enteros se utiliza cuando queremos encontrar el mayor número
44 Unidad 2: Expresiones algebraicas
que los divide . Por ejemplo, 8 es el mcd de 16 y 24. La propiedad distributiva sirve
para factorizar una suma o resta de números. Para expresiones algebraicas existen equi-
valentes del mcd y de la propiedad distributiva que resultan útiles en el proceso de fac-
torización por agrupación.
Definición
✓ Un monomio m(x) es factor común de un polinomio p(x) si todos los térmi-
nos que componen el polinomio tienen a m(x) como un factor. En ese caso
se puede escribir p(x) = m(x)n(x)
✓ El máximo común divisor (mcd) de p(x) es el factor mcd (x) que incluye to-
dos los factores comunes de todos los términos del polinomio. 
Por ejemplo, el monomio 4xy es un factor común del polinomio 4xy2 + 8x2y3. En efecto, de
acuerdo con la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c) se tiene que:
Sin embargo, el mcd es 4xy2 puesto que 4xy2 es un factor común de los dos términos del
polinomio.
4 8 4 4 2
4 2
2 2 3 2
2
xy x y xy y xy xy
xy y xy
+ = +
= +
* *
( )
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Factorizar el polinomio 4xy + 8xy2 + 2x2y.
El monomio 2xy es factor de todos los términos del polinomio. En efecto, tenemos que
Usando este resultado para factorizar el polinomio obtenemos:
4 8 2 2 2 4 2 2
2 2 4
2 2xy xy x y xy y xy x xy
xy y x
+ + = + +
= + +
( ) ( ) ( )
( )
4 2 2
8 4 2
2 2
2
2
xy xy
xy y xy
x y x xy
=
=
=
( )
( )
( ).
solución
solución
452.2 Factorización
Ejemplo 2
Factorizar el polinomio 6x2y3 + 3x3y3 + 3x4y3 + 9x2y4 determinando su máximo común divisor.
El término 3x2y2 es el mcd del polinomio debido a que es el mayor de todos los factores comunes del
polinomio. Usando este resultado para factorizar el polinomio tenemos:
Ejemplo 3
¿Qué número tiene la propiedad de que la suma de ese número más dos veces su recíproco es igual a 3?
Sea x el número, su recíproco es 1/x. Debemos encontrar un número x con la propiedad de que
Multiplicando por x se tiene x2 + 2 = 3x, escribiendo todos los términos en el lado izquierdo se tiene x2
− 3x + 2 = 0. Factorizamos el polinomio de la siguiente forma
De tal suerte que se debe cumplir que (x − 1) (x − 2) = 0. El producto de dos términos es igual a cero,
si y sólo si, al menos uno de los dos factores es igual a cero, entonces, x = 1 y x = 2. Cualquiera de
estos dos números cumple la condición pedida, por lo tanto, esos son los números buscados.
x x x x x
x x x
x x
2 23 2 2 2
2 2
1 2
− + = − − +
= − − −
= − −
( ) ( )
( )( )
x
x
+ =2 3
6 3 3 9 2 3 3 3 3 3
2 3 3
2 3 3 3 4 3 2 4 2 3 2 3 2 2 3 2 3
2 2 3
x y x y x y x y x y x x y x x y y x y
x x y x y
+ + + = + + +
= + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Los trinomios cuadrados perfectos son expresiones algebraicas que se obtienen de la su-
ma o diferencia de cuadrados. Los productos notables
permiten determinar si una expresión es o no un trinomio cuadrado perfecto. Concreta-
mente, un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede expresarse como el cua-
drado de un binomio.
( )
( )
a b a ab b
a b a ab b
+ = + +
− = − +
2 2 2
2 2 2
2
2
solución
solución
Ejemplos
46 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 1
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto x2 + 6xy + 9y2.
Escribimos el polinomio como:
donde se identificó y .
Ejemplo 2
Determina si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, en caso de que lo sean factorízalos.
a) 
b) 
c) 
a) x2 + 4xy + y2 no es un trinomio cuadrado perfecto porque el segundo término no es 2xy.
b) El polinomio 4x4 + 20x2 + 25 es un trinomio cuadrado perfecto porque podemos identificar que
, luego:
c) El polinomio 16x2y2z 2 + 24xyzt + 9t2 también es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso iden-
tificamos , . La factorización resulta
 
16 24 9 4 4 3 3
4 3
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2
x y z xyzt t xyz y xyz t t
xyz t
a a b b
+ + = + +
= +
( ) ( )( ) ( )
( )
124 34 {123{ {
b t↔ 3a xyz↔ 4
 
4 20 25 2 2 2 5 5
2 5
4 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
x x x x
x
a
a b b
+ + = + +
= +
( ) ( )( )
( )
123 { { { {
b ↔ 5a x↔ 2 2 ,
16 24 92 2 2 2x y z xyzt t+ +
4 20 254 2x x+ +
x xy y2 24+ +
3y b↔x a↔
 
x xy y x x y y
x y
a a b b
2 2 2 2
2
6 9 2 3 3
3
2
2
+ + = + +
= +
{ { { 123( )( ) ( )
( )
2
solución
472.2 Factorización
Ejemplo 3
Encuentra las raíces de la ecuación 36x2 + 48x3 + 16x4 = 0.
Para resolver la ecuación factorizamos primero el factor 4x2, luego identificamos , .
El proceso es el siguiente:
Finalmente los factores se igualan a cero para obtener las raíces x = 0, x = −3/2.
 
36 48 16 4 9 12 4
4 3 2 3 2 2
4 3 2
2 3 4 2 2
2 2 2
2 2
2 2
x x x x x x
x x x
x x
a a b b
+ + = + +
= + +
= +
( )
( ( )( ) ( ) )
( )
{ {{ 123
2x b↔3 ↔ a
Factorización de otros productos notables
Los siguientes productos notables se pueden usar para factorizar diversas expresiones al-
gebraicas
Cuando se usan estos resultados en el proceso de factorización conviene identificar pri-
mero a y b.
a b a b a b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
3 3
3 3
− = + −
+ = + + +
− = − + −
+ = +( ) − +( )
− = −( ) + +( )
( )( )
( )
( )
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Factoriza la expresión x4 − 81y4.
Claramente tenemos una diferencia de cuadrados, identificamos , y obtenemos
x y x y
x y x y
x y x y x y
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
81 9
9 9
3 3 9
− = −
= − +
= − + +
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
usando diferencia de cuadrados,
 usando nuevamente diferencia de cuadrados
9 2y b↔x a2 ↔
solución
solución
solución
48 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 2
Factoriza la expresión 8x3 - 27y3.
Tenemos una diferencia de cubos, identificamos , y obtenemos
Ejemplo 3
Factoriza la expresión 8a3 + 36a2 + 54a + 27.
Escribimos el polinomio como
Ejemplo 4
Factoriza la expresión a6 - (y + a)6.
Se observa que tenemos una diferencia de cuadrados primero y después diferencia y suma de cubos. En
efecto, la factorización se puede efectuar como sigue:
 
a y a a y a a y a
a y a a a y a y
a y a a a y a y a a y a a a y a y a
6 6 3 3
2 2
3 3
2 2
2
− + = − + + +
= − + + + +
− + + + + + + + − + + +
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ( ))( ( ) (
( ( ))( ( ) ( ) ) ( ( ))( ( ) ( ) )
1 244 344 1 244 344
++ + + − + + +
= − + + + + + + − − + + +
= − + + + + +
a a y a a a y a y a
ya ay a y ay a y a a ay a y ay a
y a ay y y a a ay y
) )( ( ))( ( ) ( ) )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3 2
8 36 54 27 2 3 2 3 3 2 3 3
2 3
3 2 3 2 2 3
3
a a a a a a
a
+ + + = + + +
= +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
 
8 27 2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 6 9
3 3 3 3
2 2
2 2
3 3
2 2
x y x y
x y x x y y
x y x xy y
a b
a b a a b b
− = −
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= − + +
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
123 123
{ { 123 {{ 123
3y b↔2x a↔
solución
492.2 Factorización
Ejemplo 5
Dos enteros pares consecutivos tienen la propiedad de que el cubo del mayor menos el cubo del menor
es igual a 8, encuentra esos números.
Sean 2x y 2x + 2 los dos pares consecutivos. De acuerdo con el problema se tiene que
Desarrollando la diferencia de cubos y colocando todos los términos del lado izquierdo se tiene
Finalmente, las raíces son x = 0 y x = −1. Los números pares consecutivos son 0 y 2. Otro par de nú-
meros que cumple la condición es −2 y 0.
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,
,
,
( ) ,
2 2 2 8
2 3 2 2 3 2 2 2 2 8
8 24 24 8 8 8
24 24 0
24 1 0
3 3
3 2 2 3 3
3 2 3
2
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
+ − =
+ + + − =
+ + + − =
+ =
+ =
desarrollando los productos
simplificando 
factorizando 
( ) ( )2 2 2 83 3x x+ − =
Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c
Para factorizar términos de la forma ax2 + bx + c es conveniente recordar el resultado
del producto 
El método es simple,
( )( ) ( )ax r ax s a x r s ax rs+ + = + + +2 2
Método para factorizar trinomios
✓ Primero se multiplica y divide la expresión por el coeficiente a para obtener:
✓ Se buscan números r y s que cumplan
, .
✓ Finalmente tenemos que
ax bx c
a
a x bax ac
a
ax r ax s
2 2 21
1
+ + = + +
= + +
( )
( )( )
ac rs=b r s= +
1 2 2
a
a x bax ac+ +( )
solución
solución
Ejemplos
50 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 1
Factoriza la expresión x2 − 5x + 6
Como el coeficiente de x2 es 1, proponemos directamente la factorización como
x x x x2 5 6 2 3− + = − −( )( )
x x x r x s2 5 6− + = − −( )( )
x x x x2 5 6− + = − −( )( )
x x x x2 5 6− + = −( )( ) El signo propuesto es el signo del coeficiente de x, en este
caso es − porque el coeficiente es −5
El segundo signo propuesto es el signo del producto del coe-
ficiente de x con el término independiente. En este caso es −
porque el producto es −30. 
Buscamos dos números r y s tales que la suma: (−r) + (−s)
sea −5 y el producto (−r) (−s) sea 6.
Los números r, s se obtienen por prueba y error buscando
entre los divisores del número 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Por ejem-
plo, si r = −1 y s = −6, (−r) (−s) = 6 pero (−r) + (−s) es 7.
En cambio, los números r = 2 y s = 3 cumplen las dos con-
diciones.
Ejemplo 2
Factoriza la expresión 3x2 + 5xy − 2y2.
Seguimos el proceso siguiente:
Y proponemos dos números r y s que cumplan r + (−s) = 5 y r(−s) = −6. Los números que cumplen am-
bas condiciones son r = 6, s = 1. Tenemos entonces que:
= + −( )( )x y x y2 3
3 5 2
1
3
3 6 32 2x xy y x y x y+ − = + −( )( )
3 5 2
1
3
9 5 3 6
1
3
3 3
2 2 2 2x xy y x x y y
x y x y
+ − = + −( )
= + −
( )
( ___ )( ___ )
solución
solución
512.2 Factorización
Ejemplo 3
Factoriza la expresión 4x4 − 6x2 − 4.
El proceso de factorización se muestra a continuación
donde r y s cumplen . Los valores que satisfacen estas condiciones son: r = 8
y s = 2. Finalmente se tiene
En el último paso hemos usado el producto notable de binomios conjugados.
Ejemplo 4
Un granjero tiene 250 metros de cerca para delimitar un área rectangular. Un lado del terreno se encuen-
tra al lado de un terreno previamente cercado de forma que es posible aprovechar la cerca existente. Si
el área a cercar es de 7200 metros cuadrados determina las dimensiones del terreno.
4 6 4
1
4
4 8 4 2
2 4 2
2 2 4 2
4 2 2 2
2 2
2
x x x x
x x
x x x
− − = −( ) +( )
= − +
= −( ) +( ) +( )
( )( )
− + = − − = −r s r s6 16, ( )
4 6 4
1
4
4 6 4 16
1
4
4 4
4 2 2 2 2
2 2
x x x x
x r x s
− − = − −( )
= −( ) +( )
( ) ( )
Cerca existente 
x x
y
Los 250 metros servirán para cercar el terreno. De la figura se tiene:
2 250
250 2
x y
y x
+ =
= −
Figura 2.6
solución
52 Unidad 2: Expresiones algebraicas
El área de la región es A = xy. Usando la relación anterior se tiene que
En nuestro problema se afirma que el área es de 7200 metros cuadrados, entonces:
.
El problema se reduce a determinar las raíces de la ecuación anterior. Aplicamos nuestro método de fac-
torización para obtener
Tenemos dos posibles soluciones al problema. La primera solución se obtiene al considerar que x = 45,
entonces y = 250 − 2(45) = 160. La segunda solución se obtiene cuando x = 50 y y = 250 − 2(80) = 90.
Ejemplo 5
La utilidad U ( x ) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por
.
Determina el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener una utilidad de $1600.
El problema se reduce a resolver la ecuación 
,
transponiendo y factorizando se tiene:
De donde la única solución es x = 40 unidades.
Ejemplo 6
Un bateador de béisbol golpea una pelota con el bat. La pelota describe aproximadamente la trayectoria
y = 20x − 5x2
Donde y es la altura de la pelota y x es la distancia recorrida. ¿A qué distancia del bateador se encuen-
tra la pelota cuando la altura es 15 metros?
0 80 1600
40 40
40
2
2
= − +
= − −
= −
x x
x x
x
( )( )
( )
1600 80 2= −x x
U x x x( ) = −80 2
2 250 7200
1
2
4 250 2 14400
1
2
2 90 2 160
45 2 160
2 2x x x x
x x
x x
- ( )
( )( )
+ = − +( )
= −( ) −( )
= − −
7200 250 2 2= −x x
A xy x x x x= = − = −( )250 2 250 2 2
solución
532.2 Factorización
Substituyendo los datos del problema resulta que
,
transponiendo y factorizando se tiene:
La altura de la pelota es de 15 metros a una distancia de 1 ó 3 metros del bateador. 
0 5 20 15
5 4 3
5 3 1
2
2
= − +
= − +( )
= − −
x x
x x
x x( )( )
15 20 5 2= −x x
Ejercicios 
y problemas
1. Factoriza los expresiones algebraicas siguientes
a) f )
b) g)
c) h)
d) i)
e) j)
2. Factoriza las siguientes expresiones determinando primero su máximo común divisor.
k) n)
l) o)
m)
3. Encuentra la factorización de los siguientes trinomios cuadrados perfectos
p) s)
q) t)
r) 16 40 254 2x x− +
9 24 162 2u u v w v w+ + + +( ) ( )16 8 2 2+ +xy x y
x y xyz z2 2 24 4+ +4 12 92x x− +
12 16 242 3 3 4 2abc a bc a b c− −
8 4 2 2 3a ab ab ab+ + +7 2 35 4 4 5 5 5x y x y x y+ −
15 25 10xy yz xyz+ +8 4 24 2 2 2 3 5x y x y x y− +
4 8 2 42 2 2 2a mx a nx a my a ny+ − −u u uv v2 6 6+ + +
y y y5 44 4+ + +x x xy y2 3 2 6+ − −
w x y z x y x y( ) ( ) ( )+ − + + +4 5 2 8 3 411 4 4( ) ( )a b b a b+ − +
xy x x y+ + +3 6 224 3 3( ) ( )x a x+ + +
x x x x4 3 23 3+ + +2 43 3xy x y+
54 Unidad 2: Expresiones algebraicas
4. Usa los productos notables para diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos para factorizar las
siguientes expresiones algebraicas.
u) x)
v) y)
w)
5. Aplica el método para factorizar trinomios cuadrados para factorizar las siguientes expresiones.
z) ee)
aa) ff )
bb) gg)
cc) hh)
dd) ii)
6. Resuelve las siguientes ecuaciones usando factorización.
jj) oo)
kk) pp)
ll) qq)
mm) rr)
nn) ss)
7. Un cuerpo en caída libre tiene altura dada por h = 29.4 − 4.9t − 4.9t2 metros.
tt) Determina cuándo el cuerpo chocará contra el piso.
uu) ¿En qué momento la altura será de 19.6 metros?
8. Un granjero va a cercar un terreno rectangular de área 48 metros cuadrados: si el largo es dos unidades
mayor que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? ¿Cuál es el perímetro del terreno?
9. El cuadrado de un número más siete veces el mismo número es igual a 18, encuentra el número.
10. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 280 metros y un área de 4500 metros cuadrados, ¿qué di-
mensiones tiene el terreno?
9 9 2 02+ + =y y3 16 35 02x x− − =
2 14 120 02x x+ − =3 10 8 02x x− + =
15 6 02x x+ − =2 2 12 02x x+ − =
4 7 2 02x x+ − =x x2 6 0− − =
6 15 21 02x x− − =x x2 9 8 0− + =
8 22 56 3 2 4xx y y+ +2 14 1202x x− −
− − +5 13 62 2 2 2b bxyz x y z4 2 22x x− −
4 9 22 2 4y x y x+ +6 5 212x x− −
3 5 22 2x xy y+ +3 8 352x x+ −
4 7 22 2x y xy+ −2 5 122x x− −
8 643( )x y− −
( ) ( )2 23 3x y x y+ + −16 814 4y x −
( ) ( )2 23 3x y x y+ − −25 6252x −
552.2 Factorización
Problemas para trabajar en equipo
Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situa-
ciones. 
1. La situación presentada en la introducción: “Espectaculares en la Autopista del Sol”
2. “La empresa de cable”.
La empresa “Televisión por Cable S. A. de C. V.” tiene actualmente 20,000 suscriptores que pa-
gan una renta mensual de $200.00 por el servicio. Su departamento de “Estudios de Mercado”
realizó una encuesta que reveló que por cada $2.50 de disminución en la renta se tendrían 500
suscriptores más.
a) ¿Cuál es el ingreso actual?
b) Si se realiza una reducción de $2.50 ¿cuál sería el ingreso?
c) Si hicieras una reducción de $5.00 ¿cuál sería el ingreso?
d) Supón que x es el número de reducciones en la renta, escribe una ecuación para calcular el in-
greso.
e) Usa la ecuación que obtuviste para determinar el número de reducciones que tendrías que
hacer para obtener un ingreso de $4,000,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?.
f) Con la misma ecuación determina el número de reducciones necesarias para tener un ingre-
so de $4,375,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?.
g) Repite el inciso anterior cuando se tiene un ingreso de $4,468,750 y cuando el ingreso es
$4,500,000.
h) ¿Cuál debería ser el valor de la renta si la empresa quiere tener un ingreso máximo?
3. “Marcos de pinturas”
En el monumento a la Madre, cerca del cruce entre Insurgentes y Reforma, en la ciudad de
México, pintores de todas las edades y condiciones socioculturales muestran sus pinturas todos
los fines de semana. Algunos de ellos indican que las pinturas resaltan por los enmarcados y
márgenes alrededor de ellas. Un buen enmarcado, para un cuadro horizontal, debe tener alto
igual a 1.5 veces el ancho y 3 centímetros de margen en cada lado. Si un amante de la pintura
compra tres pinturas al óleo con áreas de 1.49985, 5.99985, y 3.37485 metros cuadrados, ¿có-
mo debe solicitar los enmarcados para que resalten sus cuadros?
Figura 2.7
Otro Blues, ¡por favor!,
Ivonne López (2000)
Figura 2.7
56 Unidad 2: Expresiones algebraicas
1. Factoriza la expresión x3 − 4x2 − x + 4
a)
b)
c)
d)
2. Señala la opción donde aparece la factorización de la expresión x3 − 8.
e)
f)
g)
h) (x − 2)(x2 + 2x + 4)
3. Factoriza la expresión 25x2 − 60x + 36
i)
j)
k)
l)
4. Dos números enteros positivos pares consecutivos son tales que la suma de sus cuadrados es
igual a 100. Indica la opción que contiene la multiplicación de esos dos números pares
a) 12
b) 48
c) 80
d) 36
5. Encuentra en la columna B un factor de los polinomios que aparecen en la columna A.
Columna A Columna B
a) i.
b) ii.
c) iii.
d) iv.
v.
vi.
vii.
viii. 4 6 92 2a ab b+ +
a b+ 2
2 4a b−
4 92 2a b+
2a b−4 2 122 2a ab b+ −
2 3a b−4 8 32 2a ab b− +
3 2a b−16 814 4a b−
2 3a b+8 273 3a b−
( )5 6 2x +
( )5 6 2x −
( )( )5 9 5 4x x+ −
( )( )5 6 5 6x x+ −
( )( )x x x+ + +2 2 42
( )( )x x x− − +2 2 42
( )( )x x x+ − −2 2 42
( )( )( )x x x− + −2 2 1
( ) ( )x x− +2 12
( )( )x x2 1 4+ −
( )( )( )x x x− + −1 1 4
572.2 Factorización
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2.
k)
l)
m)
n)
o)
3.
p)
q)
r)
s)
t)
4.
u)
v)
w)
x)
y)
5.
z)
aa)
bb) ( )( )2 3 3 7x x+ −
( )( )x x+ −5 3 7
( )( )2 3 4x x+ −
4 4 32 2x x y( )+
2 12 2 2y x y( )+
8 2 2 2 2 42 2( )( )x y x xy y x y− − − + + − +
( )( )( )2 3 2 3 4 92 2xy xy x y− + +
25 5 5( )( )x x− +
( )3 4 4 2u v w+ +
( )xy z+ 2 2
( )4 52 2x −
( )4 2+ xy
( )2 3 2x −
mcd a a b b= + +; ( )( )4 22
mcd y y x z xz= + +5 5 3 5 2; ( )
mcd abc abc ac a b c= − −4 4 3 4 62 2 3; ( )
mcd x y x y x y xy= + −4 4 4 4 7 2 3; ( )
mcd x y x y x xy= − +2 2 4 22 2 2 2 2 3; ( )
2 2 22a x y m n( )( )− +
( )( )y y4 1 4+ +
( )( )w z x y− + +10 3 4
( )( )x y x+ +2 3
( )( )x x x3 3+ +
( )( )u v u+ + 6
( )( )x y x− +2 3
( )( )11 4− +b a b
( )( )4 3+ +a x
2 22 2xy y x( )+
58 Unidad 2: Expresiones algebraicas
cc)
dd)
ee)
ff )
gg)
hh)
ii)
6.
jj) 1, 8
kk) 3, −2
ll) −3, 2
mm) 2, 4/3
nn) 7, −5/3
oo) −1, 7/2
pp) −2, 1/4
qq) 3/5, −2/3
rr) 5, −12
ss) −3, −3/2
7.
tt) t = 2 seg.
uu) t = 1 seg.
8. Ancho = 6m, largo = 8m, perímetro = 28m.
9. x = 2; x = −9
10. 90 y 50 metros.
( )( )4 2 53 2 3 2x y x y+ +
( )( )3 2 5xyz b xyz b+ −
( )( )2 42 2x y x y+ +
( )( )x y x y+ +3 2
( )( )xy xy+ −2 4 1
( )( )2 10 12x x+ −
( )( )4 2 1x x+ −
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. a
2. d
3. c
4. b
5. (a; iii, viii), (b; iii, i, v), (c; iii, iv), (d; iii, vii)
El dilema del gerente de compras
Carlos Montes de Oca, licenciado en administración de empresas recién egresa-
do de la Universidad, trabaja como gerente de compras en una gran tienda depar-
tamental, que regularmente vende 600 refrigeradores por año. Los refrigeradores
se piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en una bodega cercana para
almacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay
“periodos pico” durante el año, si los aparatos se venden de forma regular, el
inventario promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refri-
geradores. Consecuentemente, la tienda incurre en costos corrientes sustanciales,
debidos a derechos de almacenamiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar
el inventario. Para bajar estos costos corrientes, el gerente puede decidir pedir los
refrigeradores en lotes más pequeños, volviendo a hacerlo tan pronto como sea
necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos, deben
considerarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya que cada vez que
los refrigeradores se vuelven a ordenar se hacen gastos extras, tales como papel,
mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. En efecto, órdenes más pequeñas
redundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, con lo que se incremen-
tarían los costos de pedido, mientras que los costos corrientes han sido reducidos. 
2.3 División de expresiones
algebraicas
La matemática es la ciencia
del orden y medida, de bellas
cadenas de razonamientos,
todos sencillos y fáciles.
René Descartes
Introducciónn
En sus orígenes, el principal uso del álgebra fue para resolver problemas
relacionados con el comercio, principalmente de los mercaderes del Mar
Mediterráneo. En el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-
1250), más conocido como Fibonacci. Alrededor del 1202 escribió su célebre
obra Liber Abaci (El libro del ábaco), en donde se encuentran expuestos: el
cálculo de números, según el sistema de numeración posicional; operacio-
nes con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales, como la
regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas so-
bre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresio-
nes y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas. En esta sección revisaremos
algunas estrategias algebraicas que usaremos para resolver problemas
como:
592.3 División de expresiones algebraicas
60 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan
grandes deben ser las órdenes (número de refrigeradores pedidos) que debe pedir
a la tienda departamental si quiere conservar sus costos totales en un mínimo.
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Dividir dos expresiones cualesquiera.
• Utilizar la división sintética, cuando el divisor sea de la forma adecuada.
División de expresiones algebraicas
La división es la operación inversa de la multiplicación. Es posible también definir la di-
visión con el postulado siguiente:
Dados dos números cualesquiera a y c, a ≠ 0, existe un número b y sólo uno, tal
que ab = c 
Este número b está dado por , a ≠ 0, que se lee “b es igual a c, divididoentre
a”; de aquí, se dice que b es el cociente obtenido al dividir el dividendo c entre el divisor a.
Nota: La operación de división puede indicarse por medio de una línea horizontal, una
línea oblicua, con el símbolo ÷ o, simplemente, con dos puntos: Entonces, , , c ÷ a
y c : a tienen el mismo significado.
En seguida mostraremos la manera de dividir dos expresiones algebraicas, pero antes re-
visaremos algunas reglas y leyes importantes:
Regla de los signos de la división
El cociente de dos números es positivo o negativo, según el dividendo y el divisor ten-
gan signos iguales o contrarios, respectivamente. Por lo tanto, si a, b y c son todos posi-
tivos, escribiremos
; − = − =
−
b
c
a
c
a
b
c
a
c
a
= = −
−
c
a
c
a
b
c
a
=
Leyes de los exponentes
a) Para m entero y positivo tenemos .
b) Para a ≠ 0, m y n enteros positivos tales que m > n, .
c) Si a y b son ambos diferentes de cero, m, n, r y s son números enteros y po-
sitivos, tales que m > n y r > s; entonces .
a b
a b
a b
m r
n s
m n r s= − −
a
a
a
m
n
m n= −
a
b
a
b
m m
m
⎛
⎝
⎞
⎠ =
612.3 División de expresiones algebraicas
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio en-
tre el monomio, luego se suman los cocientes obtenidos. Esto es:
a b c
m
a
m
b
m
c
m
+ + = + +
Guía para dividir un polinomio entre otro
a) Se ordenan el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de
una misma literal.
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divi-
sor; el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el di-
visor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.
c) El residuo obtenido del paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el
proceso del paso 2, para obtener el segundo término del cociente.
d) Se repite este proceso hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior que
el del divisor.
Nota: Si en una división A es el dividendo, B es el divisor, Q el cociente y R el residuo,
tenemos:
• Si R = 0, la división es exacta, luego escribimos , de donde A = BQ. Esta
igualdad muestra que la división exacta se comprueba verificando que el dividen-
do es igual al producto del divisor y el cociente.
• Si R ≠ 0, la división puede convertirse en exacta si el dividendo original es dismi-
nuido en R. Entonces, escribimos , de donde A − R = BQ y A = BQ + R.
La última relación muestra que cualquier división se comprueba verificando que el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo. Observa que de ma-
nera equivalente:
A
B
Q
R
B
= +
A R
B
−
A
B
Q=
Ejemplos
Efectúa las siguientes divisiones:
Ejemplo 1
8 43 4 2a b ab( ) ÷ −( )
solución
solución
solución
solución
solución
62 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Dividimos término a término, para obtener: . 
Ejemplo 2
Dividiendo término a término, obtenemos: . 
Ejemplo 3
Dividimos término a término, y obtenemos: . 
Ejemplo 4
, dividimos cada término entre 2a2b
, y simplificamos.
Ejemplo 5
; dividimos cada término entre 
; y simplificamos.= − +m n x m n y m n z
2 2 3 2
2
3
5
3
3
m n x m n y m n z
m n
m n x
m n
m n y
m n
m n z
m n
4 3 5 3 4 2
2
4 3
2
5 3
2
4 2
2
5 9
3 3
5
3
9
3
− + = − +
m n x m n y m n z m n4 3 5 3 4 2 25 9 3− +( ) ÷ ( )
= − −3
2
2
5
2
2 2
2abx
a b y
b
3 4 5
2
3
2
4
2
5
2
3 2 4 3 2 3
2
3 2
2
4 3
2
2 3
2
a b x a b y a b
a b
a b x
a b
a b y
a b
a b
a b
− − = − −
3 4 5 23 2 4 3 2 3 2a b x a b y a b a b− −( ) ÷ ( )
−
−
= −
−
⋅ ⋅ =4
2
4
2
2
5 4
3
5
3
4
2 3m n
m n
m
m
n
n
m n
−( ) ÷ −( )4 25 4 3m n m n
7
2
7
2
7
2
3 2
2 3
3
2
2
3
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
x
y
= ⋅ ⋅ ⋅ =
7 23 2 2 3x y z x y( ) ÷ ( )
8
4
8
4
2
3 4
2
3 4
2
2 2a b
ab
a
a
b
b
a b
−
=
−
⋅ ⋅ = −
solución
solución
632.3 División de expresiones algebraicas
Ejemplo 6
.
Primero ordenamos el dividendo y el divisor, con potencias descendentes de m; la operación se hace
como sigue:
Comprobación: . Es posible escribir el resul-
tado como:
Ejemplo 7
El dividendo y el divisor están ordenados con potencias descendentes de x; la operación se hace como
sigue:
Comprobación: .
Podemos escribir el resultado como: .
x x y x y xy y
x xy y
x xy y
4 3 2 2 3 4
2 2
2 27 6
2
2 3
− − + −
+ −
= − +
( )( )x xy y x xy y x x y x y xy y2 2 2 2 4 3 2 2 3 42 2 3 7 6+ − − + = − − + −
)x xy y x x y x y xy y
x xy y cociente
x x y x y
x y x y xy y
x y x y xy
x y xy y
x y xy
2 2 4 3 2 2 3 4
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3 4
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3
2 7 6
2 3
2
2 7 6
2 2 4
3 3 6
3 3 6
+ − − − + −
− +
− + −
− + + −
− − − +
+ −
− + −
( )
( )
( )
( yy
residuo
4
0
)
( )
x x y x y xy y x xy y4 3 2 2 3 4 2 27 6 2− − + −( ) ÷ + −( )
− + + −
+ −
= − + + − −
+ −
= − + − +
+ −
5 9 7
1
5 6
2 1
1
5 6
2 1
1
3 2
2 2 2
m m m
m m
m
m
m m
m
m
m m
( )( ) ( )m m m m m m m2 3 21 5 6 2 1 5 9 7+ − − + + − − = − + + −
m m m m m2 3 25 9 7 1− + −( ) ÷ + −( )
como
m
m
m
:
− = −5 5
3
2
)m m m m m
m cociente
m m m restamos m m m
m m
m m restamos m m
m residuo
2 3 2
3 2 2
2
2 2
1 5 9 7
5 6
5 5 5 5 1
6 4 7
6 6 6 6 1
2 1
+ − − + + −
− +
− − − + − + −
+ −
− + − + −
− −
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
como
m
m
6
6
2
2 =
64 Unidad 2: Expresiones algebraicas
División sintética
Hay un método para efectuar rápidamente la división de un polinomio entre un binomio
de la forma x − a; a esta división se le conoce como división sintética. Antes de indicar
en qué consiste tal método, enunciaremos el teorema en el que se fundamenta:
Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x − a, siendo a una constante in-
dependiente de x, el residuo es igual a P(a).
La representación algebraica del teorema es: . 
Explicaremos el método de división sintética efectuando la división del polinomio
6x3 − 8x2 − 4x − 14 entre x − 2.
De acuerdo con la sección anterior, la división algebraica ordinaria es:
Procederemos ahora a abreviar el esquema anterior, tanto como sea posible. Como los
polinomios se escriben ordenados con potencias descendentes de x, es posible omitir ta-
les potencias y conservar solamente sus coeficientes. Además, el coeficiente de x en el
divisor es la unidad, el primer término de cada producto parcial es una repetición del tér-
mino que sigue inmediatamente después de él; por lo tanto, puede ser omitido. También,
el segundo término de cada residuo parcial es una repetición del término que está sobre
él en el dividendo, por lo cual es posible omitirlo. Por comodidad, omitimos el primer
término del divisor y colocamos el término constante a la derecha del dividendo. De
igual manera, ya que cada coeficiente del cociente, con excepción del primero, está re-
presentado por el primer coeficiente del residuo parcial, resulta que todo el cociente pue-
de omitirse. Con todas estas omisiones, la división se reduce a lo siguiente:
Escribiendo en tres líneas todo lo anterior, y repitiendo el coeficiente principal en la ter-
cera línea, tenemos:
6 8 4 14 2
12 8 8
6 4 4 6
− − − −
↓ − − − − − −
−
|
( ) ( ) ( )
6 8 4 14 2
12
4
8
4
8
6
− − − −
− −
− −
− −
−
|
( )
( )
( )
)x x x x
x x cociente
x x
x x
x x
x
x
residuo
− − − −
+ +
− −
− −
− −
−
− −
−
2 6 8 4 14
6 4 4
6 12
4 4 14
4 8
4 14
4 8
6
3 2
2
3 2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
P x
x a
Q x
P a
x a
( )
( )
( )
−
= +
−
652.3 División de expresiones algebraicas
Si cambiamos el signo del término que representa al divisor, sumaremos los productos
parciales en lugar de restarlos. Lo anterior es deseable pues, de acuerdo con el teorema
visto al inicio de la sección, el residuo obtenido como resultado de la división es el valor
de P(x), cuando el valor de x es 2 y no −2. Por lo tanto, la forma final de la división queda
así:
El cociente 6x2 + 4x + 4 se construye utilizando la tercera línea, mientras que el residuo,
separado de esta línea tal como se indica, es −6.
6 84 14 2
12 8 8
6 4 4 6
− − −
↓ + + +
+ + −
|
|
Guía para la división sintética
Para dividir un polinomio entre x − a, se
procede como sigue:
a) En la primera línea se escriben en orden los coeficientes c0, c1, c2,…, cn del
dividendo P(x); el número a va separado y a la derecha. Si alguna potencia
de x no aparece en P(x), su coeficiente se escribe como cero:
b) Se incluye el coeficiente principal c0 como primer término de la tercera línea y
se multiplica por a, escribiendo el producto c0a en la segunda línea debajo de
c1. Se suma c1 con el producto c0a y se anota la suma c1 + c0a, en la tercera línea.
Se multiplica esta suma por a, se escribe el producto en la segunda línea debajo
de c2 y se suma con c2, escribiéndose la suma en la tercera línea. Se continúa
así hasta que se usa como sumando cn, escribiéndose la suma en la tercera línea.
c) El último número de la tercera línea es el residuo; los números anteriores son
los coeficientes del cociente, correspondientes a potencias descendentes de
x, es decir:
 Cociente c x c a c x c a c a c x
n n n= + + + + + +− − −0
1
0 1
2
2 0 1
3( ) ( ( )) K
c c c c a
c a a c a c
c c a c c a c a c residuo
n0 1 2
0 0 1
0 0 1 2 0 1
L
L
|
( )
( ) ( ) |
↓ +
+ + +
c c c c a
c
n0 1 2
0
L |
↓
 P x c x c x c x c
n n n
n( ) = + + + +
− −
0 1
1
2
2 K
solución
solución
solución
Ejemplos
66 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Obtén el cociente y el residuo, usando división sintética:
Ejemplo 1 
Divide −x2 + x3 − x −3 entre x − 3. 
Primero ordenamos los términos del dividendo con las potencias en forma descendente, es decir: x3
− x2 − x − 3. Además, como vamos a dividir entre x − 3, tomaremos a = 3. La operación queda como:
Concluimos que tiene como cociente x2 + 2x + 5 y residuo 12.
Ejemplo 2 
Divide 2x4 + 3x3 − 10x − 3 entre x − 1.
Como el dividendo carece del término de x2, ponemos el coeficiente cero en ese lugar. Además, como
vamos a dividir entre x − 1, tomamos a = 1. La operación queda así:
Concluimos que tiene como cociente 2x3 + 5x2 + 5 − 5 y residuo −8.
Ejemplo 3 
Divide x3 − 3x2 + 2x − 5 entre x + 3.
El dividendo ya tiene los coeficientes de x arreglados en forma descendente. Como vamos a dividir entre
x + 3 = x −(−3), debemos tomar a = −3. La operación queda como:
Por lo cual, tiene como cociente x2 − 6x + 20 y residuo −65.x x x
x
3 23 2 5
3
− + −
+
1 3 2 5 3
3 18 60
1 6 20 65
− − −
− −
− −
|
|
2 3 10 3
1
4 3x x x
x
+ − −
−
2 3 0 10 3 1
2 5 5 5
2 5 5 5 8
− −
−
− −
|
|
x x x
x
3 2 3
3
− − −
−
1 1 1 3 3
3 6 15
1 2 5 12
− − − |
|
solución
672.3 División de expresiones algebraicas
Ejemplo 4 
Divide x5 + 2x3 + 6x − 35 entre x + 4.
Ahora, el dividendo carece de los términos x4 y x2; en consecuencia, hay que poner los coeficientes cero
en esos lugares. Además, como vamos a dividir entre x + 4 = x − (−4), tomamos a = −4. La operación
queda así:
Entonces, tiene como cociente x4 − 4x3 + 18x2 − 72x + 294 y residuo −1211.x x x
x
5 32 6 35
4
+ + −
+
1 0 2 0 6 35 4
4 16 72 288 1176
1 4 18 72 294 1211
− −
− − −
− − −
|
|
Ejercicios 
y problemas
1. En una división exacta el dividendo es x3 + 3x2y + xy2 − 2y3 y el cociente es x2 + xy − y2. Halla el di-
visor. 
2. Efectúa la división indicada y comprueba el resultado:
a)
b)
c)
d)
e)
3. En cada uno de los ejercicios siguientes, obtener el cociente y el residuo usando la división sintética
a)
b)
c)
d) n n n n n n n
5 2 4 3 62 7 8 5 5 3 1+ + − + + +( ) ÷ +( )
a a a a a4 3 25 10 8 2 2+ − − +( ) ÷ +( )
5 20 15 20 33 2r r r r− + +( ) ÷ −( )
m m m m3 28 18 7 5− + +( ) ÷ −( )
r r s rs s r rs s4 2 2 2 4 2 22 4 2+ − +( ) ÷ + +( )
x y x y x y xy y x y xy y5 4 2 2 4 5 6 2 2 34 10 7 9 4+ + − +( ) ÷ + −( )
x x x x x x4 3 2 24 10 12 9 2 3− + − +( ) ÷ − +( )
50 10 35 53 2r r r r+ −( ) ÷ ( )
12 6 18 63 3 2 2m n m n mn mn− +( ) ÷ −( )
Problemas para trabajar en equipo
68 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. El dilema del gerente de compras (la situación de la introducción). Carlos Montes de Oca,
licenciado en administración de empresas recién egresado de la Universidad, trabaja como
gerente de compras en una gran tienda departamental que regularmente vende 600 refrigera-
dores por año. Los refrigeradores se piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en una
bodega cercana para almacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no
hay “periodos pico” durante el año y si los aparatos se venden de forma regular, el inventario
promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refrigeradores. Consecuen-
temente la tienda incurre en costos corrientes sustanciales, debidos a derechos de almace-
namiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar tales costos
corrientes, el gerente puede decidir pedir los refrigeradores en lotes más pequeños, volviendo
a pedir tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño
de los pedidos deben considerarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya que
cada vez que los refrigeradores se vuelvan a ordenar se harán gastos extras, tales como papel,
mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. Obviamente, órdenes más pequeñas re-
dundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, lo que incrementaría los costos de
pedido mientras que los costos corrientes han sido reducidos. Tomando en cuenta ambos
tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de
refrigeradores pedidos) que tiene que pedir a la tienda departamental si quiere conservar sus
costos totales en un mínimo. Carlos ha pedido ayuda a sus profesores de la Universidad,
quienes le han sugerido que considere lo siguiente:
a) Determinar los costos corrientes anuales. Carlos sabe que tiene que considerar los cos-
tos anuales por refrigerador y el número promedio de refrigeradores. 
b) Obtener los costos de pedido. Carlos se ha informado que debe considerar los costos de
entrega y el número de entregas en el año, además de que los costos de entrega constan
de costos de pedido fijos y de costos variables, que se originan al recibir cada entrega
c) Determinar los costos totales mediante los costos corrientes y de pedidos anuales.
d) Carlos desea comprobar los costos totales considerando que el costo anual corriente por
refrigerador es de $400, el valor de los costos de pedidos fijos es de $200 y que el cos-
to de remesa de refrigerador es de $250, obteniendo el tamaño óptimo del lote y el costo
total que este pedido originaría. 
2. El ingeniero industrial Felipe Guzmán trabaja en la compañía HTS y necesita conocer el cos-
to promedio de producción en cualquier tiempo; ha observado que el número de mercancías
producidas en la compañía, durante un turno de 10 horas, está dado por n(t) = t + 3, pero
también ha investigado que el costo total en dólares por producir n(t) mercancías está dado por
c(t) = 5t2 + 17t + 6; por último, le han informado que el costo promedio de producción está
dado por . A Felipe le han pedido que informe qué sucede con el costo prome-
dio de producción a las 10 horas y cuál es el costo promedio por mercancía en ese momento.
a t
c t
n t
( )
( )
( )
=
692.3 División de expresiones algebraicas
3. La compañía “Hardware y Software S.A.” produce discos compactos vírgenes y grabados. Ana-
lizando sus archivos han deducido que el costo promedio en dólares por disco para una pro-
ducción de x discos grabados está dada por la función . ¿Aproximadamente,
cuál es el costo promedio si el número de discos es muy grande? ¿Cuál será el costo prome-
dio para 20 discos compactos?
4. La compañía Silva-Form diseña una caja para almacenar archivos; la caja con base cuadra-
da debe ser cerrada y con capacidad de 108 cm3. El gerente de la compañía tiene pensado
hacer la caja de cartón, por lo que requiere conocer la cantidad de cartón necesaria para ha-
cer cada cajaen términos del lado de la base. Determina la cantidad de cartón que se requie-
re para elaborar una de estas cajas.
5. La función da la concentración N(t) en el cuerpo, en partes
por millón, de una cierta dosis de medicamento, después de t horas. Realiza el cociente y
explica qué representan el cociente y el residuo.
N t
t
t
t( )
.
;= +
+
≥0 8 1000
5 4
15
f x
x
x
( ) = +13 100
1. Indica la opción que contiene el cociente y el residuo de utilizan-
do división sintética.
a) Cociente: ; residuo: 101.
b) Cociente: ; residuo: 283.
c) Cociente: ; residuo: 23.
d) Cociente: ; residuo: 41.
2. Halla la opción que contiene el cociente y el residuo de 
.
a) Cociente: ; residuo: .
b) Cociente: ; residuo: .
c) Cociente: ; residuo: .
d) Cociente: ; residuo: .y y y x y xy3 3 2 2 22− − + +x xy y y x y2 2 2 23 2 10+ − + +
y y y xy xy2 3 3 210 3+ − + +x xy y y2 2 33 10+ + −
y y xy xy4 6 3 510 3 33− − +x y y xy xy2 3 210 3+ − + +
y y y xy xy2 3 3 210 3+ − + +x xy y y xy2 2 33 2 10− + − +
x y x y x y x y x y xy x y x y xy y4 3 2 2 2 2 3 3 3 4 2 4 2 2 34 2 3 3+ + + + − −( ) ÷ + −( )
2 3 113 2x x x− + −
2 53 2x x x+ −
2 11 33 973 2x x x+ + +
2 11 313 2x x x+ +
8 5 2 2 33 4+ + −( ) ÷ +( )x x x x
70 Unidad 2: Expresiones algebraicas
3. Determina la solución del problema: La población P en cientos de habitantes de la ciudad de
Cuernavaca está dada por , donde t está dado en meses. Encuentra
la población en cualquier tiempo.
a) P(t) = 65 + 250t
b) P(t) = 65t + 5 + 250t2
c) P(t) = 250t + 130
d) P(t) = 130 + 25t
4. Indica la opción que representa la solución del problema: La cantidad total de pulgadas de 
lluvia durante una tormenta de t horas de duración, se calcula así: ,
donde a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Encuentra
la cantidad total de pulgadas R (t) de lluvia para la región del Pacifico, si se sabe que en esa
región a = 2 y b = 8.
a) 2t − 7
b) 2t + 8
c) t + 3
d) 2t + 1
5. Encuentra, en la columna B, las soluciones de las operaciones que aparecen en la columna A.
Columna A Columna B
a) i. x5 + 3x + y2
b) ii. x2 + 2xy + y2
c) iii. x2 + y2
d) iv. x5 − 2x2 + y5
v. x2 – y3
vi. x5 + y5
vii. x5 + 5xy2 + y4
viii. x2 + 2xy2
4 2 4 2 2 47 4 5 3 2 4 3 5 8 5 2 5x x y x y x y x y xy y x x y x− − + + −( ) ÷ − +( )
− + + − + −( ) ÷ −( )2 24 7 2 3 5 3 2 6 8 2 3x y x y x y x y x y y x y y
x x y x y x y x y xy x xy8 4 2 6 2 2 4 3 4 6 3 25 5+ − − + −( ) ÷ −( )
x x x y x y x y y x x xy y5 4 3 4 3 2 4 3 2 23 4 2 3 2+ + + + +( ) ÷ + − +( )
R t
at at a
at b
( ) = + +
+
2 9 42
P t
t t
t
( ) = + +
+
130 510 500
2 1
2
712.3 División de expresiones algebraicas
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. x + 2y
2.
a) −2m2n2 + mm − 3
b) 10r2 + 2r − 7
c). x2 − 2x + 3
d) Cociente: x3 + xy2 + 6y3; residuo −30xy5 + 15y6
e) Cociente: r2 − 2rs + 5s2; residuo: −4s4 − 4rs2 − 8rs3
3. 
a) Cociente: m2 − 3m + 3; residuo: 22
b) Cociente: 5r2 − 5r; residuo: 20
c) Cociente: a3 + 3a2 − 16a + 24.; residuo: −46
d) Cociente: 5n5 − 4n4 + 11n3 − 19n2 + 21n − 16.; residuo: 19
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. d) 
2. b) 
3. c)
4. d)
5. (a, ii), (b, vii), (c, iv), (d, v)
72 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones
algebraicas
La matemática: el inconmovible
fundamento de todas las Ciencias 
y la generosa fuente de beneficios
para los asuntos humanos. 
Isaac Barrow
Introducción
Pocas tecnologías han disfrutado alguna vez de una celebridad similar a la de
una estrella de cine, como la que los superconductores recibieron en la déca-
da de 1980. La historia se inicia con la Ley de Ohm, que en teoría eléctrica
nos indica que , donde R representa la resistencia (en ohms) del con-
ductor, V la diferencia de potencial (en volts) en los terminales del conductor
e I la corriente (en amperes) que circula por el conductor. La resistencia de
ciertas aleaciones se aproxima a cero conforme la temperatura se acerque al
cero absoluto (alrededor de −273° C), en tanto que la aleación se convierte
en superconductor de electricidad. Si la tensión V es fija, entonces para dicho
superconductor, a medida que R se aproxime a 0, la corriente aumentará sin
límite. Los superconductores permiten usar corrientes muy altas en plantas
generadoras y motores. También tienen aplicaciones en el transporte terrestre
de alta velocidad (trenes levitantes de hasta 500 kph), donde los intensos cam-
pos magnéticos producidos por imanes superconductores elevan los trenes,
con lo cual se evita la fricción entre las ruedas y la vía; quizá la aplicación
más importante de los superconductores se realice en los circuitos para
computadoras, en los cuales se produce muy poco calor. 
La siguiente situación es sólo un esbozo que marca la utilidad del álgebra
en la práctica tecnológica:
I
V
R
=
¿Álgebra en los circuitos eléctricos? 
La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir
circuitos eléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tarea
del todo simple si, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación de
los ingenieros que han investigado que para determinados circuitos del modelo 
C520T el voltaje está dado por y la resistencia, por .R t
t
t
( ) = +
−
2 1
3 1
V t
t
t
( ) =
+
2
5 3
Ejemplos
732.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Dominio de una fracción algebraica 
Una expresión racional o fracción algebraica es el cociente indicado de dos poli-
nomios. Por ejemplo, si A es el dividendo y B es el divisor (no nulo), el cociente A / B
es una fracción. Aquí, A recibe el nombre de numerador y B el de denominador; esto es,
.
Por ejemplo: , y son fracciones algebraicas.
Dominio de una fracción algebraica
El dominio de una expresión racional es el conjunto de todos los números reales para los
cuales la expresión está definida. Puesto que no se puede dividir entre cero, cualquier nú-
mero que haga el denominador cero no está en el dominio de una fracción algebraica. 
Considera los siguientes ejemplos:
x
x x
2
2
9
6
−
+ −
5
2x +
2
8
A
B
numerador
deno ador
←
← min
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Encontrar los valores de las variables para los cuales una fracción dada no
está definida.
• Reducir a su mínima expresión una fracción dada.
• Multiplicar y dividir fracciones dadas.
Determina el dominio de las fracciones racionales siguientes:
Expresiones racionales
El denominador es cero si x = 0 x = −2 x = 6 x = 2 y x = −3 Para ninguna x y = x3
Dominio Toda Toda x Toda x Toda x tal que Toda x Toda x y y tales que
x ≠ 0 tal que tal que x ≠ 2 y x ≠ −3 y ≠ x3
x ≠ −2 x ≠ 6
x x y y
y x
3 2 2
3
2 16− +
−
x
x x
2
2
16
4
+
+ +
x
x x
2
2
9
6
−
+ −
x
x − 6
5
2x +
1
x
74 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Simplificación de expresiones racionales
Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos, o totalmente sim-
plificada, cuando no hay ningún factor común al numerador y al denominador. 
De acuerdo con el siguiente teorema: El valor de una fracción no varía si el numera-
dor y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula, para
simplificar expresiones racionales, consideraremos que ; a este proceso 
se le llama cancelación de factores comunes.
ac
bc
a
b
c
c
a
b
= =*
solución
solución
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes entre ellos:
si x ≠ 0 y 
Ejemplo 2
Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos sus factores comunes:
si x ≠ 0 y 
Ejemplo 3
Factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes:
si x ≠ 0 y x ≠ 4
5
5 4
10 23 12
5 4
10 23 12
5 4
2 3 5 4 2 3
4 3
4 3 2
3
2 2
3
2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x
−
− +
= −( )
− +( ) =
−( )
−( ) −( )
=
−( )
5 4
10 23 12
4 3
4 3 2
x x
x x x
−
− +
x ≠ 1
2
− − +
− + −
=
− + −()
− − +( ) =
− −( ) +( )
− −( ) −( )
= +
−( )
6 2
2 7 3
6 2
2 7 3
2 1 3 2
2 1 3
3 2
3
3 2
4 3 2
2
2 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x
− − +
− + −
6 2
2 7 3
3 2
4 3 2
x x x
x x x
x ≠ 1
5
20 14 2
10 17 3
20 14 2
10 17 3
5 1 4 2
5 1 2 3
4 2
2 3
4 3 2
4 3 2
2 2
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
− +
− +
=
− +( )
− +( ) =
−( ) −( )
−( ) −( )
= −
−
20 14 2
10 17 3
4 3 2
4 3 2
x x x
x x x
− +
− +
752.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador y denomina-
dor son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denomi-
nadores de las fracciones dadas. Es decir:
El cociente de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el recíproco del
divisor; esto es:
De manera equivalente: y a
b
c
d
ad
bc
÷ =a
b
c
d
ad÷ =
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
÷ = × =
a
b
c
d
ac
bd
× =
dividendo divisor recíproco
solución
Ejemplos
Efectúa la operación indicada y simplifica:
Ejemplo 1
Multiplicamos los numeradores y los denominadores:
Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamos
los factores comunes; resulta:
Ejemplo 2
x
x x
x
x x2 23 4
1
6+ −
× −
− −
7
6
3
10
21
60
7
20
2
2
2
2
2 2
2 2
x y
ab
a b
xy
a bx y
ab xy
ax
by
× = =
7
6
3
10
21
60
2
2
2
2
2 2
2 2
x y
ab
a b
xy
a bx y
ab xy
× =
7
6
3
10
2
2
2
2
x y
ab
a b
xy
×
solución
solución
76 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Multiplicamos los numeradores y los denominadores:
Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, finalmente eliminamos los
factores comunes; resulta:
si x ≠ 1.
Ejemplo 3
Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación:
Ahora, multiplicamos los numeradores y los denominadores:
Finalmente, factorizamos numerador y denominador, con la finalidad de eliminar los factores comunes:
Otra forma de hacer el cociente es:
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
2
2
2
2
2 2
2 2
4 3
5 6
5 6
6
4 3 6
5 6 5 6
1 3 2 3
3 2 3 2
1
2
− +
+ +
÷ − +
+ −
=
− +( ) + −( )
+ +( ) − +( ) =
−( ) −( ) −( ) +( )
+( ) +( ) −( ) −( )
= −
+
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
2
2
2
2
2 2
2 2
4 3
5 6
6
5 6
4 3 6
5 6 5 6
1 3 2 3
3 2 3 2
1
2
− +
+ +
× + −
− +
=
− +( ) + −( )
+ +( ) − +( ) =
−( ) −( ) −( ) +( )
+( ) +( ) −( ) −( )
= −
+
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
2
2
2
2
2 2
2 2
4 3
5 6
6
5 6
4 3 6
5 6 5 6
− +
+ +
× + −
− +
=
− +( ) + −( )
+ +( ) − +( )
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
4 3
5 6
6
5 6
− +
+ +
× + −
− +
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
4 3
5 6
5 6
6
− +
+ +
÷ − +
+ −
x
x x
x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x
x x x2 2
2
2 23 4
1
6 3 4 6
1
1 4 2 3 4 2 3+ −
× −
− −
= −
+ −( ) − −( ) =
−( )
−( ) +( ) +( ) −( )
=
+( ) +( ) −( )
x
x x
x
x x
x x
x x x x2 2
2
2 23 4
1
6 3 4 6+ −
× −
− −
= −
+ −( ) − −( )
solución
solución
772.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
Ejemplo 4
Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación:
Multiplicamos los numeradores y los denominadores:
Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamos los
factores comunes; resulta:
O bien:
Ejemplo 5
Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación: ; de aquí:
Factorizamos y simplificamos:
O bien:
6 5 6
4
2 3
2
6 5 6 2
4 2 3
3 2 2 3 2
2 2 2 3
3 2
2
2
2
2 2
2 2
x x
x
x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x
− −
−
÷ −
+
=
− −( ) +( )
−( ) −( ) =
+( ) −( ) +( )
−( ) +( ) −( )
= +
−( )
6 5 6
4
2
2 3
6 5 6 2
4 2 3
3 2 2 3 2
2 2 2 3
3 2
2
2
2 2
2
2 2
x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x
− −
−
× +
−
=
− −( ) +( )
−( ) −( ) =
+( ) −( ) +( )
−( ) +( ) −( )
= +
−( )
6 5 6
4
2
2 3
6 5 6 2
4 2 3
2
2 2
2
2 2
x x
x
x
x x
x x x
x x x
− −
−
× +
−
=
− −( ) +( )
−( ) −( )
6 5 6
4
2
2 3
2
2 2
x x
x
x
x x
− −
−
× +
−
6 5 6
4
2 3
2
2
2
2x x
x
x x
x
− −
−
÷ −
+
x
x x2 4 5 2+( ) +( )
5 12 4
16
25 20 4
2
5 12 4 2
16 25 20 4
5 2 2 2
4 2 2 5 2
2
4
2
2
2 2
4 2 2 2
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
+ +
−
÷ + +
−
=
+ +( ) −( )
−( ) + +( ) =
+( ) +( ) −( )
+( ) −( ) +( ) +( ) =
5 12 4
16
2
25 20 4
5 12 4 2
16 25 20 4
5 2 2 2
4 2 2 5 2
4 5 2
2
4
2
2
2 2
4 2 2 2
2
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x x
+ +
−
× −
+ +
=
+ +( ) −( )
−( ) + +( ) =
+ + −
+ − + +
=
+ +
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
5 12 4
16
2
25 20 4
5 12 4 2
16 25 20 4
2
4
2
2
2 2
4 2
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x
+ +
−
× −
+ +
=
+ +( ) −( )
−( ) + +( )
5 12 4
16
2
25 20 4
2
4
2
2
x x
x
x x
x x
+ +
−
× −
+ +
5 12 4
16
25 20 4
2
2
4
2
2
x x
x
x x
x x
+ +
−
÷ + +
−
Ejercicios 
y problemas
78 Unidad 2: Expresiones algebraicas
1. Determina el dominio de las fracciones algebraicas siguientes:
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Simplifica las fracciones siguientes:
a)
b) 
c) 
d) 
3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:
a) 
b) 
c) 
d) 
y
y
y y
y y
3
2
2
2
1
1
1
2 1
−
−
÷ + +
+ +
x x x
x x
x x x
x x
3 2
2
4 3 2
2
6
2
5 4
4 5
− −
+ −
÷ + +
+ −
x x
x x
x x
x
2
2
2
2
2 3
4 4
3 10
1
+ −
+ +
× − −
−
4 32 64
2 6 8
1
64
4 3 2
3 2
2
3
x x x
x x x
x
x
+ +
+ −
× −
+
y
y
3
6
1
1
−
−
x y
x x y x y xy
4 4
4 3 2 2 32 2
−
+ − −
4 16
2 6 8
3 2
3 2
x x
x x x
+
+ −
9 6 3
12 12
2
2
x x
x
+ −
−
x
x x
−
+ +
1
2 102
a b
a ab b
2 2
2 23 2
−
+ +
x y
x xy y
+
− +2 32 2
x
x x
−
+ +
3
4 32
Problemas para trabajar en equipo
792.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
1. Indica la opción que contiene el dominio de la fracción 
a) Toda x tal que x ≠ 0 y 
b) Toda x tal que x ≠ 0 y 
c) Toda x tal que x ≠ 0; y 
d) Toda x tal que y 
2. Halla la opción que contiene la simplificación de 
a) 
b) 
x
x
−
+
2
3 2
x
x 2 2−
8 26 15
8 42 67 30
3 2
4 3 2
x x x
x x x x
− +
− + −
x ≠ − 32x ≠
3
5
x ≠ 53x ≠ −
3
2
x ≠ − 53
x ≠ − 2 3
3 10
6 15
2
3 2
x x
x x x
+ −
− −
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. Resuelvan el problema de la introducción a esta sección: ¿Álgebra en los circuitos eléc-
tricos?
La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitos
eléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tarea del todo simple
si, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación de los ingenieros que han
investigado que para determinados circuitos del modelo C520T el voltaje está dado por 
y la resistencia por . Determinen la corriente I(t).
2. La compañía Tecnologías Genéticas, S.A. ha encontrado que el número de bacterias de una
colonia en cualquier tiempo t está dado por , donde t es el tiempo. Los 
genetistas desean saber cuál es el número de bacterias en que se estabilizará la colonia; han
investigado con diversos especialistas sobre cómo determinar el nivel de estabilización y
algunos de ellos les han sugerido hacer el cociente y luego analizar qué sucede a medida que
se incremente el tiempo. Completen los detalles descritos por los especialistas.
n
t
t
= +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10000
3 1
1
2
2
R t
t
t
( ) = +
−
2 1
3 1
V t
t
t
( ) =
+
2
5 3
80 Unidad 2: Expresiones algebraicas
c) 
d) 
3. Halla la opción que contiene la simplificación de 
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Halla la opción que contiene la simplificación de 
a) 
b) 
c) 
d) 
5. Indica la opción que representa la solución del siguiente problema. La cantidad total de pulgadasR(t) de lluvia durante una tormenta de t horas de duración se calcula por , donde
a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Además, la intensidad I(t)
de la lluvia en (pulg/hora) está definida por . Encuentra la intensidad I(t) de la lluvia
para la región del Pacífico, si se sabe que en esa región a = 2 y b = 8.
a) 
b) 2
8
t
t +
t
t
+ 8
I t
R t
t
( )
( )=
R t
at
t b
( ) =
+
x x
x
2 2
1
−
−
3 2
2 1
2x
x
−
+
5 1
42
x
x
−
+
3 2
6 5
x
x
−
−
15 8 12
3 4 4
5 6
4
2
3 2
2
4 2
x x
x x x
x x
x x
+ −
+ −
÷ + −
−
2 1
3 2
x
x
−
+
3
4 1
2x x
x
+
+
5 2
2 3
2x x
x
+
+
3 1
2 32
x
x
+
+
12 28 5
4 4 15
15 2
18 3 1
3 2
2
2
2
x x x
x x
x x
x x
− −
− −
× + −
− −
1
2x −
x
x x
−
−
5
2
812.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas
c) 
d) 
6. Encuentra, en la columna B, la simplificación que corresponde a la expresión de la co-
lumna A.
Columna A Columna B
a) i.
b) ii.
c) iii.
d) iv.
v.
vi.
vii.
viii.
2 1
1
2
2
x x
x
+ +
−
x
x x
+
+ +
1
12
4 3x
x
−
x
x
+
+
3
2
x x
x
2
2
1+ +x
x x x
x x x
x
3
3 2
3 2
3
8
3 2
2 4
1
−
− +
÷ + +
−
2 3
2 4
x
x
+
−
x
x x x
x x x
x x
4
3 2
3 2
2
16
2 4 8 16
2 4 8 16
4 2 12
−
− + −
÷ − − +
− −
x x
x
2 1
2
− +
+
4 8 9 8 3
2 5 5 5 3
4 3 2
4 3 2
x x x x
x x x x
− − − −
− − + +
3 2
3
x
x
+
−
x x x
x x x
4 3
3 2
2 2
5 8 4
+ + +
+ + +
2
82t t+
2
8t +
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. a) Toda x tal que x ≠ −1 y x ≠ −3.
b) Toda x, y tales que x ≠ y y 2x ≠ y.
c) Toda a y b tal que a ≠ −2b y a ≠ −b.
d) Toda x.
82 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2. 
a) 
b) 
c) 
d) 
3.
a) 
b) 
c) 
d) y + 1
x x
x x x
+( ) −( )
+( ) +( )
5 3
1 4
x x
x x
−( ) +( )
+( ) +( )
5 3
2 1
2 1
4 162
x x
x x
+( )
− +
1
13y +
x y
x xy
2 2
2 2
+
+
2
1
x
x −
3 1
4 1
x
x
−
−( )
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c)
2. d)
3. b)
4. d)
5. c)
6. (a, ii), (b, viii), (c, iii), (d, iv)
832.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
2.5 Suma y resta de fracciones
algebraicas
No es necesario introducirse mucho en
los rompecabezas de problemas 
que conduzcan a ecuaciones simples,
para convencerse de la utilidad del
simbolismo algebraico. Cada símbolo
distinto acude, como una mano amiga,
para ayudar a desenredar la maleza.
Herbert Westren Turnbull
Introducciónn
Aun cuando los fenómenos electrostáticos fundamentales eran conocidos en
la época de Charles Coulomb (1736-1806), todavía no se conocía la propor-
ción en la que esas fuerzas de atracción y repulsión variaban. Fue este físico
francés quien, tras poner a punto un método de medida de fuerzas sensibles
a pequeñas magnitudes, lo aplicó al estudio de las interacciones entre peque-
ñas esferas dotadas de carga eléctrica. El resultado final de la investigación
experimental fue la ley que lleva su nombre y describe las características de
las fuerzas de interacción entre cuerpos cargados. La utilidad del lenguaje alge-
braico es palpable en diversas áreas de las ciencias puras y aplicadas. Como
caso sencillo, baste decir por el momento que el álgebra ha logrado describir,
con unos cuantos símbolos, lo que de otra manera, esto es, con el lenguaje co-
loquial, abarcaría una extensión considerable. El caso de la ley de Coulomb
en español se expresa así:
La ley de Coulomb
Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de la
fuerza atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al pro-
ducto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa, dependiendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea.
En la sección de problemas, te pediremos que discutas con tu equipo cómo la
misma ley puede expresarse de una manera muy concisa en lenguaje algebraico.
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Encontrar el mínimo común denominador de una suma o una resta de frac-
ciones dadas.
• Sumar o restar fracciones dadas.
• Reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada.
solución
solución
Ejemplos
84 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Mínimo común denominador de una suma
o resta de fracciones
Un polinomio que es divisible exactamente entre otro se llama un múltiplo de este últi-
mo. Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se conoce como múltiplo
común de estos polinomios. El múltiplo común de dos o más polinomios, con el menor
grado posible, se llama mínimo común múltiplo de dichos polinomios, al que se gene-
ralmente se le designa con la abreviatura M.C.M.
El mínimo común múltiplo de una suma o una resta de fracciones es igual al
producto de todos los factores de los diferentes polinomios de los denominado-
res, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca.
Ejemplo 1
Encuentra el M.C.M. de x2 − y2, x2 − 2xy + y2, x3 − y3.
Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada:
Los factores diferentes son , y . El mayor exponente de es 2 y el de los
otros factores es 1. Por lo tanto,
Nota: Generalmente conviene conservar el M.C.M. en su forma factorizada.
Ejemplo 2
Encuentra el M.C.M. de x3 − 27, x2 − 6x + 9, x2 − 9, 2x2 − 3x − 9.
Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada:
x x x x3 227 3 3 9− = −( ) + +( )
M.C.M. = −( ) +( ) + +( )x y x y x xy y2 2 2
x y−( )x xy y2 2+ +( )x y−( )x y+( )
x y x y x xy y3 3 2 2− = −( ) + +( )
x xy y x y2 2
2
2− + = −( )
x y x y x y2 2− = −( ) +( )
solución
solución
852.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
Los factores diferentes son (x − 3), (x + 3), (2x + 3) y (x2 + 3x + 9). El mayor exponente de (x − 3) es
2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto,
M.C.M. = (x − 3)2 (x + 3)(2x + 3)(x2 + 3x + 9)
Ejemplo 3
Encuentra el M.C.M. de x3 − 2x2 − 3x, x2 + x − 2, x3 − x2 − 6x.
Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada:
x3 − 2x2 − 3x = x(x − 3)(x + 1)
x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2)
x3 − x2 − 6x = x(x − 3)(x + 2)
Los factores diferentes son x, (x − 1), (x + 1), (x + 2) y (x − 3). Todos los factores tienen como expo-
nente 1. Por lo tanto,
M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3)
Ejemplo 4
Encuentra el M.C.M. de los denominadores de: .
Primero tenemos que buscar el M.C.M de x3 − 1, x2 − 2x + 1, x2 − 1; para ello escribimos cada polino-
mio en forma factorizada.
x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
Los factores diferentes son (x + 1), (x − 1) y (x2 + x + 1). El mayor exponente de (x − 1) es 2 y el de los
otros factores es 1. Por lo tanto,
M.C.M. = (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)
x
x x x
x
x3 2 21
3
2 1
2
1−
+
− +
−
−
2 3 9 3 2 32x x x x− − = −( ) +( )
x x x2 9 3 3− = −( ) +( )
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
solución
86 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 5
Encuentra el menor denominador común (M.C.M. de los denominadores) de:
De acuerdo con el ejemplo 3, el M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3). Luego, el menor denominador
común es x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3)
1
2 3 2
2
63 2 2 3 2x x x
x
x x x x x− −
+
+ −
+
− −
Suma y resta de fracciones 
Si dos fracciones tienen denominador común, entonces su suma o diferencia se obtiene
como:
Este método puede utilizarse para obtener la suma algebraica de tres o más fracciones
que tengan un denominador común.
Si dos o más fracciones no tienen un denominador común, entonces pueden ser trans-
formadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar como
en el caso anterior. Así, si b y d son diferentes; entonces,
Al transformar dos o más fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominador
común, conviene usar su menor denominador común; esto es el M.C.M. (mínimo co-
mún múltiplo) de los denominadores.
a
b
c
d
ad
bd
bc
bd
ad bc
bd
± = ± = ±
a
m
b
m
a b
m
± = ±
Ejemplos
Calcula las sumas algebraicas de fracciones:
Ejemplo 1
Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tantocomo sea posible:
2
4
1
2
1
3 22 2
x
x x
x
x x−
−
−
+ −
+ +
solución
872.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
Encontramos el denominador común de ; para ello, debemos obtener el 
M.C.M. de x2 − 4, x − 2. x2 +3x +2. Escribimos cada polinomio de manera factorizada:
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
x − 2 = (x − 2)
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Los factores diferentes son (x − 2), (x + 1) y (x + 2). Todos los factores tienen como exponente 1. Por lo
tanto, el M.C.M. = (x − 2)(x + 1)(x + 2), expresión que es el menor denominador común. 
Ahora, transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denomi-
nador común:
En consecuencia, la suma de fracciones queda como:
Una vez teniendo el menor denominador común, es posible operar de otra manera:
Ejemplo 2
Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible:
x
x x x
x
x3 2 21
3
2 1
2
1−
+
− +
−
−
= −( )
−( ) +( ) +( )
=
+( ) +( )
=
+ +
2 2
2 2 1
2
2 1
2
3 22
x
x x x x x x x
=
+( ) − + +( ) + − + −( )
−( ) +( ) +( )
= −
−( ) +( ) +( )
2 2 3 2 3 2
2 2 1
2 4
2 2 1
2 2 2x x x x x x
x x x
x
x x x
2
4
1
2
1
3 2
2 1 1 1 2 1 2
2 2 12 2
x
x x
x
x x
x x x x x x
x x x−
−
−
+ −
+ +
= +( ) − +( ) +( ) + −( ) −( )
−( ) +( ) +( )
= −( )
−( ) +( ) +( )
=
+( ) +( )
=
+ +
2 2
2 2 1
2
2 1
2
3 22
x
x x x x x x x
2
4
1
2
1
3 2
2 2 3 2 3 2
2 2 1
2 4
2 2 12 2
2 2 2
x
x x
x
x x
x x x x x x
x x x
x
x x x−
−
−
+ −
+ +
=
+( ) − + +( ) + − + −( )
−( ) +( ) +( )
= −
−( ) +( ) +( )
1
3 2
1
2 1
1 2
2 2 1
3 2
2 2 12
2−
+ +
= −
+( ) +( )
= −( ) −( )
−( ) +( ) +( )
= − + −
−( ) +( ) +( )
x
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x x
1
2
1 1 2
2 2 1
3 2
2 2 1
2
x
x x
x x x
x x
x x x−
= +( ) +( )
−( ) +( ) +( )
= + +
−( ) +( ) +( )
2
4
2
2 2
2 1
2 2 1
2 2
2 2 12
2x
x
x
x x
x x
x x x
x x
x x x−
=
−( ) +( )
= +( )
−( ) +( ) +( )
= +
−( ) +( ) +( )
2
4
1
2
1
3 22 2
x
x x
x
x x−
−
−
+ −
+ +
solución
solución
88 Unidad 2: Expresiones algebraicas
En el ejemplo 4 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común es
(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1).
Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común:
Luego, la suma de fracciones queda como:
Otra forma de hacer la suma algebraica es:
Ejemplo 3
Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible:
En el ejemplo 5 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común es
x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3).
Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común:
1
2 3
1
3 1
1 1 2
3 1 1 2
2
3 1 1 23 2
2
x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x− −
=
−( ) +( )
= −( ) +( )
−( ) +( ) −( ) +( )
= + −
−( ) +( ) −( ) +( )
1
2 3 2
2
63 2 2 3 2x x x
x
x x x x x− −
+
+ −
+
− −
=
−( ) + + + +( ) − −( )
−( ) +( ) + +( )
= − + + + +
−( ) +( ) + +( )
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
3 3 2 4
2 2
4 3 2
2 2
3 6 6 3 2 2
1 1 1
2 4 6 7 3
1 1 1
x
x x x
x
x
x x x x x x x x x x
x x x x3 2 2
2 2
2 21
3
2 1
2
1
1 1 3 1 1 2 1 1
1 1 1−
+
− +
−
−
=
−( ) +( ) + +( ) + +( ) − −( ) + +( )
−( ) +( ) + +( )
x
x x x
x
x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x3 2 2
3 3 2 4
2 2
4 3 2
2 21
3
2 1
2
1
3 6 6 3 2 2
1 1 1
2 4 6 7 3
1 1 1−
+
− +
−
−
=
−( ) + + + +( ) − −( )
−( ) +( ) + +( ) =
− + + + +
−( ) +( ) + +( )
2
1
2
1 1
2 1 1
1 1 1
2 2
1 1 12
2
2 2
4
2 2
x
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x−
=
−( ) +( )
=
−( ) + +( )
−( ) +( ) + +( ) =
−
−( ) +( ) + +( )
3
2 1
3
1
3 1 1
1 1 1
3 6 6 3
1 1 12 2
2
2 2
3 2
2 2x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x− +
=
−( )
=
+( ) + +( )
−( ) +( ) + +( ) =
+ + +
−( ) +( ) + +( )
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x3 2 2 2
3
2 21 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1−
=
−( ) + +( ) =
−( ) +( )
−( ) +( ) + +( ) =
−
−( ) +( ) + +( )
892.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
Luego, la suma de fracciones queda como:
O bien, sumando directamente:
=
+ −( ) + − −( ) + −( )
−( ) +( ) −( ) +( )
= − + −
−( ) +( ) −( ) +( )
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
2 4 3 2 2
4 3
2 2 3 2 2
3 1 1 2
2 4
3 1 1 2
1
2 3 2
2
6
1 1 2 3 1 2 1 1
3 1 1 23 2 2 3 2x x x
x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x− −
+
+ −
+
− −
= −( ) +( ) + ( ) −( ) +( ) + −( ) +( )
−( ) +( ) −( ) +( )
= − + −
−( ) +( ) −( ) +( )
x x x
x x x x x
4 32 4
3 1 1 2
1
2 3 2
2
6
2 2 3 2 2
3 1 1 23 2 2 3 2
2 4 3 2 2
x x x
x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x− −
+
+ −
+
− −
=
+ −( ) + − −( ) + −( )
−( ) +( ) −( ) +( )
2
6
2
3 2
2 1 1
3 1 1 2
2 2
3 1 1 23 2
2
x x x x x x
x x
x x x x x
x
x x x x x− −
=
−( ) +( )
= −( ) +( )
−( ) +( ) −( ) +( )
= −
−( ) +( ) −( ) +( )
x
x x
x
x x
x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x2
4 3 2
2 1 2
3 1
3 1 1 2
2 3
3 1 1 2+ −
=
−( ) +( )
= ( ) −( ) +( )
−( ) +( ) −( ) +( )
= − −
−( ) +( ) −( ) +( )
Fracciones complejas
Una fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones, ya sea en su nume-
rador o en su denominador, o en ambos.
Para reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada, se pueden usar
dos métodos:
• Transformar el numerador y el denominador en fracciones simples (en caso
de ser necesario); luego, proceder como en la división.
O bien:
• Obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador
originales por el menor denominador común de todas las fracciones.
solución
Ejemplos
90 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión:
Ejemplo 1
Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja:
Usamos el primer método:
Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:
Si dividimos ahora el numerador entre el denominador y simplificamos, tenemos:
Con el segundo método:
Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas
las fracciones, que en este caso es (x − y)(x + y):
Ejemplo 2
Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja:
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
+ −
+
+ +
−
x
x y
x
x y
y
x y
x
x y
x
x y
x
x y
x y x y
y
x y
x
x y
x y x y
x x y x x y
y x y x x y
x xy x xy
xy y x xy
−
−
+
−
+
+
=
−
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( ) +( )
−
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( ) +( )
=
+( ) − −( )
+( ) + −( ) =
+ − +
+ + −
=
2 2
2 2
2xyxy
x y2 2+
=
−( ) +( )
−( ) +( ) +( ) = +( )
2 2
2 2 2 2
xy x y x y
x y x y x y
xy
x y
2 2 2xy
x y x y
y x
x y x y−( ) +( ) ÷
+
−( ) +( )
x
x y
x
x y
y
x y
x
x y
x x y x x y
x y x y
y x y x x y
x y x y
x xy x xy
x y x y
xy y x xy
x y x y
xy
x y x y−
−
+
−
+
+
=
+( ) − −( )
−( ) +( )
+( ) + −( )
−( ) +( )
=
+ − +
−( ) +( )
+ + −
−( ) +( )
=
−( ) +( )
2 2
2 2
2
yy x
x y x y
2 2+
−( ) +( )
x
x y
x
x y
y
x y
x
x y
−
−
+
−
+
+
solución
solución
912.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
Primer método:
Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:
Dividimos el numerador entre el denominador, y simplificamos:
Segundo método:
Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas
las fracciones, que en este caso es (x − 1)(x + 1):
Ejemplo 3
Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja:
Primer método:
Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:
Dividimos el numerador entre el denominador:
h x h
x x h
h
h x h
hx x h
x h
x x h
− −( )
+( )
÷ = − −( )
+( )
= − −( )
+( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2x h x
h
x x h
x x h
h
x x xh h
x x h
h
xh h
x x h
h
h x h
x x h
h
+( )
−
=
− +( )
+( ) =
− − −
+( ) =
− −
+( ) =
− −( )
+( )
1 1
2 2x h x
h
+( )
−
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
2 1 1 1
1 1 1 1
2 2 22x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x x
x x x x
x x x−
+ −
+
+ +
−
= −
+ −
+
⎛
⎝
⎞
⎠ −( ) +( )
++
−
⎛
⎝
⎞
⎠ −( ) +( )
= +( ) + −( ) −( )
−( ) +( ) + +( ) +( )
= + + − ++
− + + +
= +
+
=
+( )
+( )
1
1 2 1
3
2 2
3
2 1
2 2
2
2
2
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x x
x
x x
2 2 23
1 1
2
1
3 1
2 1 1
3
2 1
+
−( ) +( )
÷
−( )
=
+( ) −( )
−( ) +( )
=
+( )
+( )
2
1
1
1
1
1
1
2 1 1 1
1 1
1 1 1
1
2 2 2 1
1 1
1 1
1
3
1 1
2
2 2
x
x
x
x
x
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x
x
x x
x
x
−
+ −
+
+ +
−
=
+( ) + −( ) −( )
−( ) +( )
−( ) + +( )
−( )
=
+ + − +
−( ) +( )
− + +
−( )
=
+
−( ) +( )
−−( )1
solución
92 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Segundo método:
Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas
las fracciones que en este caso es (x + h)2x2:
Ejemplo 4
Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja:
En este ejemplo sólo usaremos el primer método. Reducimos los denominadores en fracciones simples
y simplificamos cada fracción:
= ( ) + −( ) = + = +
1
2 1
2
1
1
2
2
1x x x x
=
+
−
=
+ −
1
1
2
1
1
1
2
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
x x
x
x
x x
x
+
+ +
−
=
+ −( ) + +( )
−
1
1
1
1
1
x x
x
+
+ +
−
= − −( )
+( )
= − −( )
+( )
h x h
hx x h
x h
x x h
2 2
2 2 2 2
= − +( )
+( )
= − − −
+( )
x x h
hx x h
x x xh h
hx x h
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x h x
h
x h x
x x h
hx x h
+( )
−
=
+( )
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+( )
+( )
Ejercicios
y problemas
Problemas para trabajar en equipo
932.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
1. Indica la manera de obtener el menor denominador común de una suma o una resta de fracciones. 
2. Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado:
a)
b) 
c) 
3. Reduce a su mínima expresión las fracciones complejas siguientes:
a) 
b) 
c) 
Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. Escriban en lenguaje matemático la Ley de Coulomb, enunciada en la introducción de esta
sección de la siguiente manera:
Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de la fuer-
za atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al producto de
sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, depen-
diendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea.
x
x x
x x
x
1
4
1
1
2
1
4
3
1
−
−
−
+
+
− −
−
1 1
3 3x h x
h
+( )
−
1
1
1
1
1
2
1
x x
x
x
+
−
−
+
−
x
x x
x
x x
x
x x
−
− +
+ −
− +
− −
− +
2
2 5 2
5 2
5 12 4
3 1
6 5 12 2 2
2
2 3 1
1
2 7 5
3
4 12 52 2 2x x x x x x− +
−
− +
+
− +
3
2 11 15 2 9 10
1
5 62 2 2x x
x
x x
x
x x− +
−
− +
+ −
− +
94 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Posteriormente proporciona la posición en que la fuerza neta es cero para una partícula de
carga −1, que está dada en una recta de coordenada en x = −2. Si una partícula de carga +1
está en la posición x entre −2 y 2:
2. Adolphe Quetelet (1796-1874), director del Observatorio de Bruselas de 1832 a 1874, fue
el primero que intentó ajustar una expresión matemática a los datos del crecimiento humano.
La fórmula de Quetelet para personas de sexo masculino de Bruselas se puede expresar como:
donde h0 es la estatura de nacimiento, hM es la estatura final de un adulto, t es su edad en
años y a es una constante.
a) Determina si la fórmula funciona para personas nacidas en México: para ello, investiga
los datos de h0 y hM, considera diversos valores de a para 0.5 < a < 0.6, y realiza una ta-
bla con todos los valores posibles de t. 
b) Compara los resultados obtenidos en el punto anterior con datos reales de la población
mexicana. 
c) ¿A qué edad se alcanza 90%, 70% y 50% de la estatura de la edad adulta?
3. La empresa Tecnologías Óxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitos
eléctricos. En los circuitos C728T, el voltaje de salida está definido por:
donde:
y 
Los ingenieros necesitan determinar una fórmula para Vsalida en términos de Ventrada; para ello,
les han sugerido considerar que R sea igual a X. Completen los detalles requeridos para obte-
ner la citada fórmula.
Z
R X RX
R Xentrada
i
i
= − −
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 2 3
I
V
Zentrada
entrada
entrada
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V I
RX
R Xsalida entrada
i
i
= −
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h
h
h h
at
h t
tM
+
−
= + +
+
0
1
4
3
952.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
1. Indica la opción que contiene la solución:
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Halla la opción que contiene la simplificación:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: La fórmula de contracción
de Lorentz, en teoría de la relatividad, relaciona la longitud L de un objeto que se mueve a
una velocidad de v m/s, con respecto a su observador, con su longitud L0 en reposo. Si c es la 
velocidad de la luz, entonces . ¿Para qué velocidades ? Escribe tu
respuesta en términos de c:
a) 
b) 3
2
c
3
2
c
L L= 1
2 0
L L
v
c
2
0
2
2
21= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x x
x
2 2
5 4
+
− +
x
x x
2
2
1
3 2
−
+
x
x x
−
−
1
22
x
x x
2
2
1
5 4 1
+
+ −
x
x x
x
x
−
−
+
−
−
+
1
1
1
3
2
1
2
1
27 32
10 59 47 103 2
−
− + −
x
x x x
3 7
5 7 13 2
x
x x x
−
− + −
7 3
3 22
x
x x
−
− −
x
x x x
−
− − +
2
2 5 123 2
5
2 11 5
2
5 27 10
3
10 9 22 2 2− + −
+
− + −
−
− +x x x x x x
96 Unidad 2: Expresiones algebraicas
c) 
d) 
4. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: Cuando dos resistores R1 y R2
se conectan en paralelo, la resistencia neta R está dada por . Si R 1 =10 ohms . ¿Qué
valor de R2 hará que la resistencia neta sea de 2 ohms?
a)
b) 
c) 
d) 
5. Encuentra, en la columna B, las simplificaciones de las expresiones que aparecen en la co-
lumna A:
Columna A Columna B
a) 
b) 
c) 
d)
4
3
5
3
5
2
8
2
−
−
−
−
−
x
x
4 3
3
5
2
2
1
4
x x
x
−
−
−
−
+
x
x x x x x2 3 1
2
2 1
5
12 2 2− +
−
+ −
+
−
x
x x
x
x x x x
2
2 3 2 2
1
4 3
2
5 7 3
1
1
−
− +
+ −
− + −
−
−
4
5
5
2
5
4
2
5
1 1 1
1 2R R R
= +
2
3
c
3
4
c
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
x x
x x x
2
3 2
7 8
3 18
− −
+ −
x x
x x x
2
3 2
3
1
+ −
+ + +
x x
x x x
2
3 2
9 3
2 2 1
+ −
− − +
x x
x x
2
2
84 76
131 30
− +
− +
2 17 84
8 3 81
2
3 2
x x
x x x
− −
+ −
8 94 276
31 130
2
2
x x
x x
− +
− +
x
x
3
2−
x x x
x x x
4 2
2 2
2 3 4
1 2 3
− + −
−( ) − −( )
972.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. El menor denominador común de una suma o un resta de fracciones es igual al producto de todos los
factores de los diferentes polinomios de los denominadores, tomando cada factor con el máximo expo-
nente que aparezca.
2.
a) 
b) 
c) 
3.
a) 
b) 
c) − −( ) +( ) +( )
+ − +
3 1 4 2
3 7 33 2
x x x
x x x
− − −
+( )
3 32 2
3 3
x xh h
x x h
2 3
22 3
−
− + +
x
x x x
1
2x −
12 5
5 17 16 42 3
−
− + −
x
x x x
− + +
− + − +
x x
x x x
2
3 2
1
2 15 37 30
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. d
2. a
3. b
3. c
4. (a, i), (b, vi), (c, iv), (d, iii)
98 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2.6 Exponentes enteros
El álgebra es generosa: a menudo
da más de lo que se le pide.
Jean D’Alambert
Introducciónn
El álgebra se vale de símbolos y convenciones para representar cantidades y
operaciones con éstas. La evolución de la ciencia matemática, en general, y del
álgebra, en particular, no dejan duda respecto de que el simbolismo ha sido
uno de los principales promotores del desarrollo de la misma. Gracias al sim-
bolismo, el matemático o el usuario de tal ciencia llega a escribir expresiones
largas de manera compacta, para que el ojo perciba al instante y la mente re-
tenga lo que se dice.
Parte de este simbolismo corresponde al tema de exponentes, con los cua-
les analizaremos aplicaciones vinculadas a asuntos tales como los sistemas de
numeración y la notación científica, tan útil al hablar de cantidades muy gran-
des o muy pequeñas.Cabe señalar que la actual notación para exponentes se
remonta apenas al siglo XVI, con Francois Vieta, quien logró la liberación de
la aritmética y el álgebra por medio de la notación algebraica.
Te presentamos una situación real (que podrás consultar en la dirección
electrónica indicada) donde el uso de exponentes es insoslayable. 
La demanda de la señora Celia Reyes Lujano
(Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html) 
“CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004.- Celia Reyes Lujano abrió, ha-
ce 16 años, dos cuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejos
pesos, con un interés anual del 124%, la otra por $54,072,400.00, también de
viejos pesos, con un rendimiento del 149%. Sus inversiones tenían una cláusula
de renovación automática, con reinversión de intereses. En 1998, la señora Celia
Reyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptó
pagar la cantidad exigida por su cliente. La señora Reyes inició una demanda
mercantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que el
Banco del Atlántico debía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100%
anual. El apoderado legal de la señora Reyes estimó que la suma podría alcanzar
los 450 mil millones de pesos, cantidad que supera por mucho el valor del banco.
992.6 Exponentes enteros
Exponentes enteros
Desde la antigüedad, los números han formado parte de la vida del hombre; en sus inicios,
con fines utilitarios para realizar trueques y actividades diversas vinculadas, principal-
mente, con la agricultura y la astronomía. Más tarde, en la medida en que el conocimien-
to humano fue evolucionando y haciéndose más complejo, la matemática llamó la aten-
ción por la belleza de sus estructuras. 
La figura 2.8 era llamada por los griegos gnomon (escuadra) y la utilizaban para la
construcción de los números cuadrados. Los griegos descubrieron que si sumaban en
forma consecutiva los números impares, obtendrían siempre números cuadrados; esto es:
Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad a pagar
no supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlán-
tico, expresó: Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de que
con cerca de 60 mil nuevos pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millones
de pesos, digo, ni el Banco de México los tiene en sus arcas. Desde 1998, la de-
manda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferentes juicios de ampa-
ro que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia analiza
un incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actua-
lizado del capital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambas
partes en el conflicto pueden apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscar
un amparo”.
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Dar significado a las potencias de una variable cuando el exponente sea un
número entero.
• Reconocer las leyes que rigen las transformaciones algebraicas con expo-
nentes enteros.
• Aplicar tus conocimientos a diferentes contextos donde es imprescindible
el uso de potencias con exponentes enteros.
1 = 1 ⋅1
1 + 3 = 4 = 2 ⋅2
1 + 3 + 5 = 9 = 3⋅3
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 ⋅4
…
Figura 2.8
Es posible que el descubridor de esta ley (tal vez Pitágoras) se haya inspirado en la figura
gnomon para hacerla evidente. Observa que cada número cuadrado surge al añadir, al nú-
mero anterior, un grupo de puntos en la forma de L. Por ejemplo, 4 se construye al agregar
100 Unidad 2: Expresiones algebraicas
el grupo de tres puntos en forma de L al punto inicial. El siguiente número cuadrado, el
9, sale al aumentar al número cuadrado 4 el siguiente grupo de cinco puntos en forma de
L, y así sucesivamente.
Figura 2.9
Uno de los ejemplos más sencillos de la comodidad del simbolismo algebraico está en
los exponentes. Con ello, las igualdades anteriores pueden ser escritas de la siguiente
manera:
1 = 1 ⋅1 = 12
1 + 3 = 4 = 2 ⋅2 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 3 ⋅3 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4⋅4 = 42
…
En la expresión 32 = 9, por ejemplo, el número 2 es el exponente, el 3 es la base y el 9
se conoce como una potencia del número 3. El exponente se coloca arriba y a la derecha
de la base para indicar que la cantidad a la que se aplica, 3 en este caso, se multiplicará por
sí misma dos veces. Por supuesto que esta idea puede extenderse; así, 35 indicaría que el
3 se multiplicaría por sí mismo cinco veces; esto es,
35 = 3 ⋅3⋅3⋅3 ⋅3
De manera general, an con n, un entero positivo, indica que a se multiplica por sí mismo
n veces. Pero los exponentes son más útiles que esto; por ejemplo, si deseamos multipli-
car por , entonces tendríamos: . 
En general, si m y n son números enteros positivos, an ⋅ am = an+m (i).
Supongamos ahora que deseamos expresar con exponentes; para ello,
escribiríamos . Además, si quisiéramos calcular el valor de la expresión original,3
3
5
4
3 3 3 3 3
3 3 3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
a a a a a a a a a
nveces mveces
n m veces
n m n m⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ =
+
+L124 34 L124 34
1 2444 3444
a a a
m veces
⋅ L124 34a a a
n veces
⋅ L124 34
1012.6 Exponentes enteros
tendríamos que suprimir del numerador y denominador cuatro veces el número 3, así que
obtendríamos:
Es decir, llegamos al mismo resultado si al 5 le restamos 4. Esta resta nos indica el nú-
mero de factores que quedan después de la simplificación. 
En términos generales, si m y n son enteros positivos, y si m es mayor que n, entonces
(ii).
Pero también llega a darse el caso en el que nos encontremos con una expresión como la
siguiente:
;
con exponentes escribiríamos: . En esta ocasión, al suprimir los factores del nume-
rador y el denominador, reduciríamos la expresión a . Expuesto de manera gene-
ral, si m y n son enteros positivos, y si n es mayor que m, entonces:
(iii).
Analicemos ahora qué ocurre con una expresión como . Con exponentes es-
cribiríamos . Si como en los casos anteriores restáramos los exponentes, tendríamos:
Con la finalidad de extender lo que ya hemos descubierto sobre exponentes, será pre-
ciso convenir un significado para una expresión como 30. Sabemos que ;
luego, parece que lo más natural sería establecer de manera general que si a ≠ 0, enton-
ces a0 = 1.
Todavía se puede decir más: supongamos que en un cálculo hallamos una expresión
como
De acuerdo con lo que se ha señalado, 35 ⋅ 35 ⋅ 35 ⋅ 35 = (35)4. Pero también,
 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 5 5 5
5 5 5 5
4
20
5 4⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) = =L
123
L
123
L
123
L
123
1 244444 344444
L{
veces veces veces veces
veces
veces
( )
3 3 3 35 5 5 5⋅ ⋅ ⋅
3
3
3
10
5
5= =
3
3
3 3
5
5
5 5 0= =−
3
3
5
5
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
a
a a
m
n n m= −
1
1
3
1
31
=
3
3
4
5
3 3 3 3
3 3 3 3 3
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
a
a
a
m
n
m n= −
3
1
3 31 5 4= = −
102 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Este ejemplo es esencia de otra ley de exponentes: si m y n son enteros positivos, en-
tonces 
(am)n = amn (iv).
Hay otro resultado sobre exponentes de gran utilidad. Supongamos que tenemos una ex-
presión como
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3,
es decir: 24 ⋅ 3 4. Como el orden en el que aparecen los factores no importa, es correcto
escribir
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) = (2 ⋅ 3)4.
Este hecho significa que, si m es un entero positivo, entonces:
(ab)m = am bm (v).
Aunque no lo mostraremos, cabe la aclaración de que una ley similar a la (v) en el pro-
ducto se cumple para el cociente; esto es:
(vi).
Ahora, extendemos el trabajo precedente a cualquier exponente entero, sea positivo o ne-
gativo. Lo único que requerimos es darle significado a una expresión como am, con m
negativo; los casos m = 0 y m entero positivo han sido discutidos ya. El significado que
buscamos es muy sencillo, ya que si a ≠ 0 y m < 0, entonces:
am = (a−1)−m, de acuerdo con (iv), donde −m es un entero positivo;
de aquí: . A partir de esto puede deducirse quelas leyes (i)-(vi) son váli-
das también para números enteros cualesquiera. Es conveniente notar también que:
, (vii);
así, un factor del numerador (denominador) puede llevarse al denominador (numerador)
cambiando el signo de su exponente.
Te presentamos en síntesis los resultados que se han discutido hasta aquí:
a
a a a
m m
m
m m=
⎛
⎝
⎞
⎠ = =
−
−
− −
1 1 1
a
a
m m= ⎛⎝
⎞
⎠
−1
a
b
a
b
m m
m
⎛
⎝
⎞
⎠ =
Leyes de exponentes
En lo que sigue, suponemos que m y n son números enteros, y que a y b son nú-
meros reales positivos arbitrarios, entonces:
a) am an = am + n d) (am)n = amn g) 
b) e) ambm = (ab)m
c) a0 = 1; a ≠ 0 f) a
b
a
b
m m
m
⎛
⎝
⎞
⎠ =
a
a
a
a
m
n
m n
n m= =
−
−
1
a
a
m
m= −
1
1032.6 Exponentes enteros
solución
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Distribuye y usa las leyes de los exponentes en la siguiente expresión para transformarla en otra equi-
valente que contenga sólo exponentes positivos:
; usamos e)
, por d); además,
, se distribuyeron y acomodaron los factores
, por a) 
, por c) y g)
, por b) y c).
Ejemplo 2
Escribe la expresión como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y
d, con exponentes positivos.
, de acuerdo con b)
, simplificando
, usando d), e) y f)
, por g).=
⋅
⋅ = ⋅ ⋅
−
− − −
c
b d a
a b d
c
8
16 12 2
2 16 12
8
1
=
⋅
⋅
−
− −
−
−
c
b d a
4 2
8 2 6 2
2
1 2
1( )
( ) ( ) ( )
( )
=
⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
c
b d a
4
8 6 1
2
1
a c
b d
b d
a c
c
b d a
3 8
3 4
5 2
4 4
2 8 4
3 5 4 2 4 3
2
1⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − − −
− − − − −
−
( ) ( )
a c
b d
b d
a c
3 8
3 4
5 2
4 4
2
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − −
= − = −
− − −x y x y
x y
x y
x y
2 9 6 2 2 9 9
2 9
2 3
2 9
1
= −1 16 2 9y x y
= −− − −x y x y0 6 2 9
= −− − − − −x x y x y y2 2 6 2 6 3
( )
( )
− = =− −1 1
2 1
1 2= −
− − −x y x y2 6 2 3( )
−( ) −( ) = − ( ) −− − − − − −xy x y x y x y3 2 2 3 2 2 3 2 2 31( ) ( )
−( ) −( )− −xy x y3 2 2 3
solución
solución
104 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 3
Determina la división de a−4 + 2 + 3a−2 entre a−4 − a−2 + 1; escribe tu respuesta usando sólo exponen-
tes positivos.
Notamos que:
(estamos usando un factor igual a 1; véase sección anterior).
, se distribuyó y se utilizaron las leyes a) y c)
Elaborando la división de estos polinomios, determinamos que:
Ejemplo 4
Simplifica la siguiente expresión, transformándola en una equivalente que sólo tenga exponentes
positivos:
Como indicamos en la sección anterior, una estrategia cómoda y rápida para simplificar expresiones de
este tipo consiste en determinar los denominadores que sería deseable no tener dentro de los cocientes
de los dos términos anteriores. Una vez localizados, tomamos el producto de todos ellos y multiplica-
mos numerador y denominador por el producto formado. De esta manera, observamos que es conve-
niente multiplicar el primer término por x y2 y el segundo por x2 y2, luego:
, usando las leyes a) y c)
, tomando como M.C.M. a x2 y= + +y x x
x y
2 2
2
2
= + + +y x
x y
x
xy
2
2
1
x y
xy
x y x y
x y
x y
xy
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
− −
−
− − − −
− −
− −
−
− − − −
− −
+ + + = +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
1
2 2 1 2
1 1
1 2
1
2
2
2 2 1 2
1 1
2 2
2 2
x y
xy
x y x y
x y
− −
−
− − − −
− −
+ + +
1 2
1
2 2 1 2
1 1
2 3 1
1
2
5 1
1
4 2
4 2
2
4 2
a a
a a
a
a a
+ +
− +
= + −
− +
a a
a a
− −
− −
+ +
− +
=
4 2
4 2
2 3
1
= + +
− +
2 3 1
1
4 2
4 2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a
− −
− −
− −
− −
+ +
− +
= + +
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4 2
4 2
4 2
4 2
4
4
2 3
1
2 3
1
solución
1052.6 Exponentes enteros
Ejemplo 5
En las áreas científicas, es común trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que se escriben
en la forma a × 10n, en donde a es un decimal tal que 1 ≤ a < 10. A esta escritura se le conoce como
notación científica. La notación científica permite determinar (sin contar ceros) las magnitudes relati-
vas de números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, uno de los números primos más grandes
conocidos es 244497 − 1. Verificar que este número era primo le llevó a una de las computadoras más rá-
pidas del mundo 60 días. La máquina era capaz de realizar 2 × 1011 cálculos por segundo. Usa la nota-
ción científica para estimar el número de cálculos requeridos para realizar tal hazaña.
En 60 días hay 60 × 24 × 3600 = 5.184 × 106 segundos. Si la máquina era capaz de realizar 2 × 1011
cálculos por segundo, entonces el número total de cálculos que realizó fue:
cálculos, equivalente al número 10,368 seguido de 14 ceros.
Dato curioso: Se sabe que un libro normal de 100 páginas llega a contener aproximadamente 800, 000
dígitos. Para darnos una mejor idea de la magnitud del número hallado en la solución y de las ven-
tajas de la notación científica, imagina que intentamos escribir en un libro los números 1, 2, 3,…,
1.0368 × 1018. Si pudiéramos (y quisiéramos) hacer esto, nos daríamos cuenta que necesitaríamos
1, 296, 000, 000, 000 volúmenes.
5 184 10 2 10 1 0368 106 11 18. .×( ) ×( ) = ×
Ejercicios 
y problemas
1. Escribe las siguientes expresiones como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y d, con
exponentes positivos:
a) 
b) 
a b
b c
d a
d c
4 6
5 6
2 3
3 4
2
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅− −
a b c a b c4 3 5 2 3 4 6
3( ) ( )− − −
Problemas para trabajar en equipo
106 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2. Simplifica las siguientes expresiones y transfórmalas en otras equivalentes que sólo contengan expo-
nentes positivos:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Algunos asuntos de astronomía:
a) Las distancias cósmicas se miden en años luz, donde un año luz es la distancia que recorre un rayo
de luz en un año. Investiga la velocidad de la luz y determina el valor aproximado de un año luz en
kilómetros; expresa tu resultado usando notación científica.
b) En la actualidad se tiene una buena estimación del número de estrellas que conforman la Vía Lác-
tea. Encuentra este número y exprésalo con notación científica.
c) También se conoce una estimación del diámetro de la Vía Láctea; expresa este diámetro en kilóme-
tros usando notación científica.
x y
x y
y x
y x
x y
− −
− −
− − −
− −
−
− −+
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ÷
+
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + +( )
1 1
1 1
1 2 2
2 2
1
3 3 0
x xy y
y
x
xy x
− − −
−
−
− +
⎛
⎝
⎞
⎠ + +
2 1 2
2
1 0
2
2
( )
x x
x
x
x
− −
−
−+ + +
+
1 2
2
11
1
xy
x
x
y
− −
−
−( )
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
1
3
Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. La demanda de la señora Celia Reyes Lujano 
(Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html) 
“CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004- Celia Reyes Lujano abrió, hace 16 años, dos
cuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejos pesos, con un interés anual del
124%, la otra por $54’072, 400.00, también de viejos pesos, con un rendimiento del 149%. Sus
inversiones tenían una cláusula de renovación automática con reinversión de intereses. En 1998,
la señora Celia Reyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptó
pagar la cantidad exigida por su cliente y entonces la señora Reyes inició una demanda mer-
cantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que el Banco del Atlántico
debía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100% anual. El apoderado legal de la seño-
ra Reyes estimó que la suma podría alcanzar los 450 mil millones de pesos, cantidad que supera,
por mucho, el valor del banco. Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad a
pagar no supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlántico, expre-
só: ‘Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de que con cerca de 60 mil nuevos
1072.6 Exponentes enteros
pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millones de pesos, ni el Banco de México los tiene en
sus arcas’. Desde 1998,la demanda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferen-
tes juicios de amparo que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia anali-
za el incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actualizado del
capital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambas partes en el conflicto pue-
den apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscar un amparo.
a) Investiguen y expliquen los conceptos de interés simple y compuesto. Señalen en qué radi-
ca su diferencia.
b) Den su punto de visto sobre el asunto de la señora Reyes. Investiguen el plazo que se acor-
dó entre la señora y el banco para la capitalización de intereses. Estimen el monto que el
banco le debe a la señora Reyes.
c) ¿Cuál sería el saldo de la señora Reyes si los vencimientos reales hubieran tenido venci-
miento cada siete días? ¿Qué infieren de sus cálculos?
d) Investiguen las deudas que por Fobaproa y deuda externa tiene México. Comparen estas
cantidades con el monto que demanda la señora Reyes. ¿Qué conclusiones obtienen de tal
situación y de todas las preguntas formuladas? 
e) Den su punto de vista acerca de esta disputa, fundamentado su opinión a partir de sus
cálculos.
2. El problema del agricultor
El siguiente problema es un “clásico” y se remonta a épocas tan antiguas como lo son las cul-
turas babilónica y egipcia. Una versión del problema del agricultor aparecía descrita en una de
las tablillas cuneiformes descubiertas en las cercanías del río Tigris en Sumeria (actualmente
Irak), unos 6,000 años atrás. Ni los caldeos ni los egipcios lograron grandes avances en álge-
bra; no obstante, se apreciará en el citado problema el nivel de su cultura matemática. 
Adaptada a nuestra cultura y lenguaje, les ofrecemos una versión del problema del agricultor:
Un labrador sabe que cada año puede cosechar el triple del grano que haya sembrado en
primavera; si siembra un tercio de barril de semilla, entonces recogerá un barril completo de
la misma. El sembrador sabe además que requiere para su propio consumo alimenticio un
barril anual de semilla. De esta manera, si él sembrara exactamente un tercio de barril en pri-
mavera de cierto año, obtendría de su cosecha un barril de grano que utilizaría para su con-
sumo del siguiente año; sin embargo, ya no le quedaría semilla para sembrar. Por lo tanto, el
campesino debe sembrar algo más que un tercio de barril de grano, pero ¿cuánto más? De ma-
nera más específica, ¿cuánto grano debe sembrar en la primavera para obtener el suministro
adecuado de comida para el siguiente año, con suficiente sobrante de grano para sembrar nue-
vamente? Si respondemos que necesitamos , entonces obtendríamos en la cosecha un 
barril para consumo y otro tercio de barril para sembrar; sin embargo, en este caso, ya no ten-
dría grano para sembrar en un siguiente año. Si estas condiciones se mantienen permanente-
mente, ¿cuánto grano debería sembrar un campesino de 20 años en la primera ocasión para
que al momento de su muerte (justo al cumplir 80 años) no falte ni sobre semilla?
Discutan el problema y resuélvanlo justificando sus afirmaciones.
3. Trucos usando números
Vladimir, un viejo ruso adicto a las apuestas, le decía a un amigo: he pensado un número ente-
ro entre 1 y 1000. Adivínalo, haciéndome como máximo 10 preguntas a las que sólo responde-
1
3
1
9+
108 Unidad 2: Expresiones algebraicas
ré con “sí” o “no”, y yo te daré la mitad de mis bienes si aciertas. Si fallas, tú me darás en
efectivo el valor que tengan estos bienes. 
Si fueras el amigo de Vladimir, ¿aceptarías la apuesta?
Para tener una respuesta fundamentada a la pregunta anterior, consideren y discutan la si-
guiente información:
Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El ejemplo más conocido de un
sistema no posicional es el sistema de los números romanos. En este sistema se tiene una colec-
ción determinada de símbolos principales, en tanto que todo número se representa como una
combinación de tales símbolos. Por ejemplo, el número 888 se escribe en este sistema como
DCCCLXXXVIII. En este caso, el significado de cada símbolo no depende del lugar que ocupa.
En la representación del número 888, la cifra X aparece tres veces y siempre vale lo mismo,
diez unidades. Pero, si hablamos de nuestro usual sistema decimal, una cantidad como 888 se
representa como combinación de potencias de 10, con coeficientes que toman valores del 0 al
9; así:
Decimos que el número 888 está representado en base 10 (decimal). Con no menos éxito, po-
dríamos representar todo número como combinación de potencias de otro número entero posi-
tivo (con excepción del 1), que no sea el número 10. Si tomamos un número p, como base del
sistema de numeración, un número N se representaría como la combinación de potencias de p
con coeficientes que toman valores de 0 a p − 1 en la forma:
Afirmamos que N se ha representado en la base p, y escribimos:
Elaboren una respuesta al reto que propone Vladimir; apóyense en la siguiente guía:
a) Discutan cómo escribir los números (3287)10 = 3287 y (1000)10 = 1000 en el sistema bi-
nario N = (ak ak − 1 … a0)2. Noten que cada aj puede tomar únicamente los valores 0 y 1.
Describan un método general para representar un número en sistema decimal a otro en una
base diferente.
Asuman que uno de ustedes es el amigo de Vladimir. Formulen a Vladimir las siguientes
preguntas:
• 1a. pregunta: divide el número entre 2, ¿da resto la división? 
Si la respuesta es “no”, anota la cifra 0; si la respuesta es “sí”, escribe la cifra 1.
• 2a. pregunta: divide entre 2 el cociente obtenido en la primera división, ¿da resto la divi-
sión?
De nuevo, escribe 0 si la respuesta es “no” y 1 si la respuesta es “sí”.
• Las demás preguntas serán del mismo tipo: ”divide entre 2 el cociente obtenido en la divi-
sión anterior”. Todas las veces escribe 0, si la respuesta es “no”, y 1, si la respuesta es “sí”.
b) Indiquen qué se logra con las preguntas formuladas en el inciso anterior. ¿Qué ocurriría si
en lugar de formular 10 preguntas, sólo se formularan ocho preguntas?
 
N a a ak k p= ( )−1 0L
 N a p a p a p a pk
k
k
k= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅−
−
1
1
1
1
0
0L
888 8 10 8 10 8 102 1 0= ⋅ + ⋅ + ⋅
1092.6 Exponentes enteros
c) Señalen si es posible adivinar el número. Si acaso lo es, propongan una estrategia para adi-
vinar cualquier número entero entre 1 y 1000. Si no es posible, expliquen por qué no es po-
sible.
d) Si la respuesta al inciso anterior fue afirmativa, prueben entre los miembros de su equipo su
propuesta de solución.
1. Indica la opción que contiene la igualdad correcta. 
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Considera las siguientes proposiciones y determina si son verdaderas o falsas. En caso de que
alguna sea falsa, corrígela, con la finalidad de que se convierta en una proposición verdadera.
a) 
b) 
c)
d) 
3. Simplifica las siguientes expresiones; responde usando sólo exponentes positivos:
a) 
b) 
4. Realiza las operaciones indicadas, simplifica tu resultado y exprésalo usando sólo exponentes
positivos:
a) 2 1 1 3 1 13 4 2x x x x+( ) −( ) − +( ) −( )− −
2
4
1 3 3 2
0 1 1 4
− −
− −
x y z
x y z
2
3
2 1 0
1 4 2 3
r s v
r s v
−
− − −
−( ) = ⎛⎝
⎞
⎠
−
− −
3
3
2
2 2
2a
a b
b
a b
a b
+( ) = +−1 1 1
−( ) = −− −a b a
b
1 2 3
3
6
2
2
3
3
3 3a
a
a a a
( ) = −( ) =
a b abm n m n= ( ) +
a
b
b
a
⎛
⎝
⎞
⎠ =
−3 3
3
( )a b a b+ = +4 4 4
a b a b2
3 3 5( ) =
110 Unidad 2: Expresiones algebraicas
b) 
c) 
d) 
5. Encuentra, en la columna B, la expresión que se corresponda con la que se ha dado de la co-
lumna A.
Columna A Columna B
a) a−t a−r
b) 
c) 
d) a ax x− +1 1
9
3
3 4
2 1
3
1
2
x
x
y
x
a
a
b
a
−
− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b
b
0
1
5
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6 2 1 3 2 2 2 1 3 21 2 2x x x x−( ) +( ) − −( ) +( )− −
x x x+( ) − +( ) +( )− −2 4 2 14 5
3 3 2 2 3 22 2 3 3x x x x+( ) −( ) − +( ) −( )− −
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. a) 
b) 
2. a) 
b) x x
x
2 1+ +
1
6x y
a b c d1110
8
a b
c
17 18
8
i. b−5
ii. 27x3a − 9 yb
2
iii. a2x
iv. b5
v. 27xa − 7 y 2b
vi. art
vii. ax
2 − 1
viii. a−(r + t)
1112.6 Exponentes enteros
c) 
d) 
3. a) 9.4608 × 1012 kilómetros.
b) Se estima que hay 100 mil millones de estrellas = 1 × 1011 = 1011 estrellas.
c) El diámetro d de la Vía Láctea se estima en 100, 000 años luz, esto es:
d = (105)(9.4608 × 1012) = 9.4608 × 1017 kilómetros.
2
2
xy
x y+( )
x y
x xy
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
2
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c)
2. a) Es falsa; en realidad 
b) La proposición es verdadera.
c) Es falsa; de hecho 
d) La proposición es verdadera.
3. a) 
b) 
4. a) 
b) 
c) 
d) 
5. (a, viii), (b, iv), (c,v), (d, iii)
2
3 2 3 5
2 1 2
x x
x
+( ) −( )
−( )
− +
+( )
3 2
2 5
x
x
x x
x
−( ) +( )
+( )
2 13
3
2
3
x x
x
−( ) −( )
+( )
5 1
1 4
x
y z
4
2 22
6 3
2
s v
r
a b
a b
+( ) =
+
−1 1
2 2
8
3
3
3a
a
a
a
( ) = ⎛⎝
⎞
⎠ =
112 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2.7 Exponentes fraccionarios
y radicales
En cuanto a las matemáticas, no puedo
informar de imperfecciones, salvo que
los hombres no entienden en grado
suficiente las excelencias de las mismas.
Francis Bacon
Introducciónn
Las conexiones matemáticas son tan diversas como fascinantes; lo mismo se
les haya en la ciencia aplicada y teórica que en la música y las bellas artes.
Te presentamos, a manera de introducción, un concepto que tiene que ver con
matemáticas (de manera particular, con radicales), pero también con el arte
clásico. El concepto del que hablamos se llama proporción áurea o propor-
ción sagrada (según se le refiere en el papiro de Rhind, escrito hacia el año
1650 a. C.); con ella se erigió la Gran Pirámide en Gizeh y se desarrolló la
arquitectura griega, en tanto que el arte renacentista la utilizó en la pintura y
la escultura.
Arte por medio de radicales, la proporción áurea
El descubrimiento de la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, esto es
, fue como una ducha de agua helada para las matemáticas griegas. Sin em-
bargo, gracias al desarrollo lógico de la matemática, la aparición de este tipo de
cantidades, llamadas por los griegos inconmensurables, les dio a éstos un con-
cepto geométrico de gran valor y un hermoso número: la proporción áurea, para
ser utilizada a través de los años en las obras artísticas más hermosas que ha crea-
do el hombre y que aún en la actualidad sirven para nuestro regocijo; dicha pro-
porción se construye a partir del rectángulo áureo, o de oro. 
En la sección Problemas para resolver en equipo, hablaremos más abun-
dantemente de esta proporción; por el momento baste decir que los radicales
han sido ampliamente usados en muchas áreas del saber humano y que, más
allá de esto, han tenido incluso vertientes que van hacia lo sagrado, lo filosófi-
co y lo estético.
2
1132.7 Exponentes fraccionarios y radicales
Radicales
Todo número real positivo a determina un número real positivo único (léase “b
es igual a la raíz enésima de a”) para todo entero positivo n. Entonces, b está definido
como aquel número real positivo cuya enésima potencia bn es igual con a. Es costumbre
que en el caso de que n = 2 se escriba simplemente y no ; además, hacemos no-
tar que .
Para precisar nuestras definiciones, fijemos nuestra atención en . De acuerdo con
lo indicado en el párrafo anterior, sabemos que:
Ahora bien, el miembro derecho de la ecuación puede escribirse como 31. Si quisiéra-
mos conservar la validez de las leyes de exponentes para este caso, nos interesaría saber
qué notación de exponentes adoptaríamos para . Digamos que esta notación fuera 3a;
entonces:
;
esto es, tendríamos 2a = 1 o a = 1/2. Así, lo que sugiere este razonamiento es que adop-
temos la notación ; de manera más general, tomamos como . A
se le llama radical; a b, expresión subradical, y a n, índice o grado del radical. Los
cálculos con radicales no son muy usuales en la práctica y generalmente tanto en las
matemáticas como en sus aplicaciones se prefiere ver al radical en forma de exponente
fraccionario, según se ha indicado; esto es: (léase: “la raíz enésima de b es
igual a b elevado a la potencia 1 entre n”). Buscando preservar las leyes de exponentes
expuestas en la sección anterior, parece razonable definir una potencia fraccionaria de la
siguiente manera:
La extensión de esta definición de potencia con exponente racional, a la potencia an
para todo número real positivo a y todo número real n, queda más allá del alcance de este
texto; no obstante, vale la pena señalar que las leyes de exponentes que se han discutido
para el caso de exponentes enteros siguen siendo válidas para exponentes reales. De ma-
nera más especifica, tenemos:
a a a
m
n nm n
m
= ( ) = ⎛⎝ ⎞⎠
1 1/
b b
n n=
1
b
n
b n
1
b
n
3 3
1
2=
3 3 3 3 32 1a a a a a= = =+
3
3 3 3 3
2
= ( ) =
3
b b
1 =
b
2b
b a
n=
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Definir y operar símbolos de la forma an con n un número racional.
• Transformar cualquier potencia de la forma an con n un número racional en
forma de radical y viceversa.
• Resolver problemas que involucran exponentes fraccionarios.
• Enunciar, aplicar y simplificar radicales a partir de las leyes que los rigen.
Notas:
1
2 Hemos indicado que en el radical , a debe ser positivo; no obstante, en el caso en
el que n sea impar, es posible definir de la siguiente manera. Si a < 0, entonces
a = −d con d positivo. Si n es impar:
3 La expresión , con a negativo y n real, no tiene sentido en general en los números
reales.
4 En general ; sin embargo, en todo caso: , el valor absoluto de A que
se define de la siguiente manera:
A
A si A
A si A
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
0
0
A A2 =A A2 ≠
a n
1
a d dn n n
1 1 1
= −( ) = −
a
n
a
n
b a ab
n nn=
114 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Leyes de exponentes para las potencias de números reales positivos
a) d) g) 
b) e) 
c) f ) 
donde a y b son números reales positivos arbitrarios y n y m son números rea-
les cualesquiera.
a
b
a
b
m m
m
⎛
⎝
⎞
⎠ =
a a0 1 0= ≠;
a b abm m m= ( )a
a
a
a
m
n
m n
n m= =
−
−
1
a
a
m
m= −
1a am n mn( ) =a a am n m n= +
Las leyes para exponentes, en el caso de que los exponentes sean fraccionarios, pueden
expresarse a través de radicales de la siguiente manera:
Leyes de exponentes fraccionarios expresadas con radicales
ab a b
a
b
a
b
a a a a a
n n n n
n
n
mn mn n m m nmn
= =
= =
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
+
;
;
1152.7 Exponentes fraccionarios y radicales
Por otro lado, en general sí se cumple que 
5 no debe confundirse con . En el primer radical, se asume que la cantidad es
positiva; en el segundo se trata en realidad de dos cantidades, una positiva y otra nega-
tiva. Si nos referimos al valor negativo de la raíz cuadrada de x, debemos escribir .− x
± xx
A A( ) =2
solución
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Simplifica el siguiente radical:
Simplificación: Se dice que el radical está simplificado cuando satisface las siguientes condicio-
nes:
a) El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice n del radical.
b) El subradical no contiene fracciones.
c) El índice del radical es el menor posible.
La simplificación pedida es:
Ejemplo 2
Determina la suma indicada y simplifica tu resultado:
Observamos que los radicales de la expresión no tienen el mismo índice; en consecuencia, buscaremos
transformar los términos a radicales del mismo índice.
784
4 14
4
494 4
4− +
= −3 2 23abc ab
= −( )3 3 3 3 63 23a b c ab
− = −27 34 5 63 3 3 3 2 63a b c a ab b c( )
an
−27 4 5 63 a b c
solución
solución
116 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 3
Efectúa la operación 
Ejemplo 4
Racionalizar el denominador de una fracción dada significa transformar esa fracción en otra equiva-
lente, cuyo denominador sea racional. Aunque no es usual, es posible hablar también de racionalizar el
numerador.
Racionaliza el denominador en la operación:
La técnica estándar para racionalizar el denominador consiste en multiplicar numeradory denominador
por el factor de racionalización del denominador; esto es, un factor que convierte una expresión con ra-
dicales a otra de tipo racional. Por ejemplo, si la expresión con radicales es de la forma, , su 
factor de racionalización es la expresión conjugada ; ésta difiere de la primera en el signo que
entrelaza a los dos radicales.
Tenemos:
,
(nota que el segundo factor es en realidad igual a 1)
2 6
5 2 6
2 6
5 2 6
5 2 6
5 2 6
−
+
= −
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a b+
a b−
2 6
5 2 6
−
+
= =27 33
= − ( )49 22 23
7 22 7 22 7 22 7 223 3 3+ ⋅ − = + −( )( )
7 22 7 223 3+ ⋅ −
= − = − = −49 7 74 24
= − +2 49 4 49 494 4 4
= − ⋅ +2 49 4 2 7
4
494
2 2
4 4
784
4 14
4
49 2 49
4 14
4
494 4
4 44
24
4
4− + = ⋅ −
( )
+
solución
solución
1172.7 Exponentes fraccionarios y radicales
Ejemplo 5
Calcula el valor de x2 + 2x − 4 cuando 
Sustituyendo:
Ejemplo 6
Simplifica la expresión 
= − − + −
− + −
= −2 4 4 4
4 4
2 4
2 2 2
2 2
2x x x
x x
x
[ ]
= − + −
−
−
+
−
2 4 4
1
4
4
4
2 2
2
2 2
[ ]x x
x
x x
8 2 2 4
1
4
2
1
4
2 4 4
1
4
2
4
4
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
− + −
−
−
+
−
= − + −
−
−
+
−
x x
x
x x
x x
x
x x
[ ]
8 2 2 4
1
4
2
1
4
2 2
2
2 2
− + −
−
−
+
−
x x
x
x x
− +( ) + − +( ) − = − + − + − = −1 3 2 1 3 4 1 2 3 3 2 2 3 4 22
x = − +1 3
= − = −22 9 6
1
22 9 6
=
− + ( )
− ( )
10 9 6 2 6
5 2 6
2
2 2 2
118 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejercicios 
y problemas
1. Establece el valor de verdad (verdadero o falso) de cada una de las siguientes proposiciones.
a) , para todo número x
b) 
c) 
d) , únicamente para x mayor que 1
e) para todo valor de x y y
2. Escribe cada una de los siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios no negativos, simpli-
fica tu resultado:
a) 
b) , con a, b, c y d positivos
c) , con x, y, y z positivos
d) 
3. Racionaliza el denominador y encuentra la forma simplificada para x > 0, y > 0.
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Simplifica:
a) 2 450 9 12 7 48 3 98+ − −
x x
x x
+
+ +1
x x
x x
− − +
− + +
1 1
1 1
x y
x y
2 2−
−
x xy
x y
2 −
+
a a
a
a
a a
⋅ +
⋅
− −
−
2
3
5
6
1
256 23
x y
z
5 34
23
a b
c d
24 53
2 2−
x 234
x y x y x+ + −( ) =2 2 22
x
x
x
−
−
= −1
1
1
x x x4 2 22 1 1+ + = +
a aa aa a
2 1− −=
x x2 =
1192.7 Exponentes fraccionarios y radicales
b) 
c) 
5. Elabora las operaciones indicadas y reduce el resultado lo más que sea posible.
a) Multiplica por 
b) Multiplica por 
c) Divide entre 
d) 
6. Utiliza las fórmulas: para racionalizar el denominador de las siguien-
tes expresiones:
a) 
b) 
c) 
7. El área superficial S del cuerpo humano (en pies cuadrados) se puede estimar a partir de la estatura h
(en pulgadas) y el peso w (en libras) usando la expresión:
Esta fórmula se usa para estimar el contenido total de grasa del cuerpo.
a) Calcula el área superficial de un individuo de 6 pies de estatura que pesa 175 libras.
Los incisos b)-d) requieren cuando menos la lectura del enunciado del problema ¿Exponentes fraccio-
narios en la inflación? de la sección de Ejercicios para trabajar en equipo.
b) ¿Cuál es el efecto sobre el área superficial de un cuerpo, si se produce un 10% de aumento en el peso?
c) Si en un periodo de seis meses, un adolescente incrementa su estatura en un 6.5% y su peso en un
7%, ¿cuál es el efecto sobre el área superficial de su cuerpo?
d) Si un joven incrementa en un 3% su estatura, ¿cómo debe variar su peso a fin de mantener el valor
de su área superficial? 
8. La velocidad v (en metros por segundo) necesaria para que un satélite permanezca en órbita alrededor
de la Tierra está dada por la fórmula:
S w h= 0 1091 0 425 0 725. . .
a
a a
6
4 2 3 3
6
6 36
−
+ +
x
x x
−
+ +
8
8 6423 3 3
131
5 63
−
− −
a
a
a b a b a ab b
a b a b a ab b
3 3 2 2
3 3 2 2
− = − + +
+ = + − +
⎧
⎨
⎩
( )( )
( )( )
( )a b+ 23
1
10
2 2a
4
5
43 a b
2 3 34 a ba b2 23
a x a x+ − −a x a x+ − −
( ) ( ) ( )a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
− +
−
− + −
+
+ −
−
2 2
1
3 108
1
10
625
1
7
1715 4 323 3 3 3+ + −
Problemas para trabajar en equipo
120 Unidad 2: Expresiones algebraicas
donde d es la distancia del satélite al centro de la Tierra en metros. Calcula la velocidad de un satélite
que está a 5.2 × 107 metros del centro de la Tierra.
9. La fórmula estima la velocidad v (en pies por segundo) a la que avanzaba un automóvil, a
partir de la longitud L (en pies) de las marcas que deja al frenar sobre piso mojado. 
a) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 50 pies?
b) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 100 pies?
10. En la Primera Guerra Mundial, las potencias centrales, no anticipando una guerra prolongada, comen-
zaron a preocuparse por la salud de sus pueblos. Necesitaban una medición rápida de la desnutrición.
Se encontró experimentalmente que para alguien saludable, el cubo de la altura de una persona sen-
tada es aproximadamente 10 veces su peso en gramos. A partir de esta idea formularon una razón
llamada peledisi, que se calcula con la fórmula:
La talla sentado en centímetros es la distancia desde lo alto de la cabeza a la silla. Un adulto bien ali-
mentado tiene un peledisi muy cercano al 100%, el peledisi de un adulto desnutrido es menor del 100%
y el de una persona obesa es superior al 100%.
a) Describe la nutrición de un adulto cuyo peso es de 77,000 gramos y cuya altura (sentado) es de 100 cm.
b) Determina tu propio peledisi, describe tu estatus de nutrición.
peledisi
peso en gramos
talla sentado en centímetros
=
×
×
10
100
3 ( )
%
v L= 12
v
d
= ×4 10
14
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1.Arte por medio de radicales, la proporción áurea
La proporción áurea, que escribiremos con la letra φ , encontró lugar tanto en el arte griego
como en el renacentista. Por ejemplo, la relación entre el alto y el ancho del frente del Parte-
nón en Atenas, construido en el siglo V a. C. es muy aproximada a la proporción φ. El hecho
de que un rectángulo cuyos lados estén en la proporción φ (lo que se llama rectángulo áureo)
sea agradable al ojo humano es algo que se ha sabido durante siglos. En el siglo XIX, psicólo-
gos, encabezados por Adolf Zeising, ensayaron con el gusto de los humanos en lo referente a
la forma del rectángulo. Se descubrió que preferimos la forma de un rectángulo similar al rec-
tángulo áureo.
1212.7 Exponentes fraccionarios y radicales
Con la finalidad de que conozcan algunas de las hermosas relaciones que giran en torno a la
proporción áurea, discutan los siguientes puntos:
a) Inicien con un rectángulo cuyos lados BC, AB midan 1 y 2, respectivamente (en general, es
suficiente que los lados se encuentren en la proporción 1:2). Tracen la diagonal del rectángulo;
así, el rectángulo quedará dividido en dos triángulos; llamen a uno de éstos ABC (véase la
figura 12.10). ¿Cuánto miden los lados de este triángulo?
b) Tomen a C como eje de rotación, giren los segmentos CB y CA hasta dejarlos alineados con
el segmento EF; esto es, los vértices A y B deberán coincidir con los puntos E y F, respec-
tivamente. ¿Cuánto mide el segmento EF? Observen que al girar el segmento CB, como se
ha indicado, el segmento AB coincidirá con el segmento DF.
c) Con los lados EF y FD, construyan un nuevo rectángulo. Los griegos definieron la propor-
ción áurea como: , ¿cuál es el valor de φ ?φ = longitud EF
longitud DF
( )
( )
E C F
D
A
B
Figura 2.10 Construcción de la figura áurea
E R F
U
T
V
S D
Figura 2.11 ¿Qué sucede si se sustrae un cuadrado de un rectángulo áureo?
2. En la figura 2.11, el rectángulo SDFE tiene lados de longitudes SD igual a y DF de
longitud 2. Si ERTS es un cuadrado con lados de longitud igual a la del segmento AB
de la figura 2.10, ¿es áureo el rectángulo RFDT? Si en el rectángulo RFDT repetimos el
proceso anterior, quitando un cuadrado de longitud UV, entonces quedará el rectángulo
UVDT. ¿Es áureo este rectángulo? ¿Qué infieren desus respuestas? Expliquen.
5 1+
122 Unidad 2: Expresiones algebraicas
a) ¿Cuál es la proporción entre el área del rectángulo EFDS y la del rectángulo RFDT? Res-
pondan la misma pregunta con los rectángulos RFDT y UVDT. Escriban su respuesta en
términos de φ.
b) Sea φ´ el recíproco cambiado de signo de φ; determinen el valor de φ´; si es necesario,
racionalicen el denominador.
c) El valor de φ 2 puede expresarse en la forma aφ + b; determinen los valores de a y b.
d) A partir del inciso anterior, infieran una relación entre φ n, φ n − 1 φ n − 2 y calculen enton-
ces las primeras ocho potencias de φ, expresen sus resultados por medio de radicales. 
3. Algo de ganadería con radicales
En la ganadería hay dos términos relacionados con el cuidado de los animales; éstos son: ra-
ción alimenticia de sostén y ración de producción. El primero se refiere a la cantidad mínima
de alimento que cubre, de manera exclusiva, el número de calorías que consume el funciona-
miento de los órganos internos y el restablecimiento de las células que perecen, mientras que
el segundo tiene que ver con el alimento destinado a la producción ganadera. Para el primero
de ambos términos, la ciencia veterinaria ha determinado los siguientes principios:
• Que la ración alimenticia de sostén es proporcional a la superficie externa del cuerpo del
animal. 
• Las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidas
lineales (l).
• Los pesos de cuerpos semejantes son proporcionales al cubo de sus medidas lineales.
Haciendo uso de estas observaciones, un veterinario determinó que un buey de 630 kilogramos
requiere 13, 500 calorías para su ración alimenticia de sostén.
a) A partir de la información anterior, determinen las calorías necesarias para cubrir la ración
alimenticia de sostén de un buey que pesa 420 kilogramos.
b) Si un médico veterinario tuviera a su cargo el cuidado de 100 cabezas de ganado, no sería
práctico repetir los cálculos del inciso a) animal por animal; por ello, deduzcan una fórmu-
la que permita determinar el número de calorías de la ración alimenticia de sostén para un
animal que pese p kilogramos.
4. ¿Exponentes fraccionarios en la inflación?
Un estudiante de economía ajustó, apoyándose en una técnica de la estadística conocida como
regresión lineal y en los precios a los consumidores de tres productos de la canasta básica: le-
che, huevo y arroz, un modelo simplificado que proporciona el consumo mensual (C) de carne
(en kilogramos), en términos de los precios de los tres productos señalados. Sus cálculos lo lle-
varon a la expresión:
Aquí, A es una cierta constante, x es el precio del litro de leche, y y z los precios del kilogra-
mos de huevo y arroz, respectivamente.
La expresión puede ser usada para determinar la variación porcentual en
el consumo de carne. Su trabajo consiste en determinar lo siguiente:
r
C C
C
= − ×1 0
0
100%
C A x y z= − − −0 3 0 2 0 5. . .
1232.7 Exponentes fraccionarios y radicales
a) El cambio porcentual en el consumo mensual de carne si el litro de leche aumentara en un
3%, el kilogramo de huevo disminuyera en un 2% y el precio del kilo de arroz se incremen-
tara en un 1%. Interpreten su resultado.
b) Si el precio de la leche disminuyera un 2% por litro y el kilo de arroz incrementara su pre-
cio en un 4%, ¿en qué porcentaje debería variar el precio del kilogramo de huevo con la fi-
nalidad de mantener el consumo de carne en su nivel?
5. Conexiones numéricas asombrosas
Una fracción como puede escribirse en la forma:
Las características de la última fracción son:
• El numerador y denominador son números de un solo dígito,
• Está escrita como un número entero más una fracción con un numerador y denominador ca-
da uno de los cuales es menor a 10. 
Una fracción como la que se ha descrito, con las características señaladas, se conoce como frac-
ción continua. Cuando una fracción continua (como la anterior) termina, se le llama fracción
continua finita; en caso contrario, se le conoce como fracción continua infinita.
Con la finalidad de simplificar nuestra notación, escribimos:
aquí, el primer 1 se separa con punto y coma del resto para indicar que es un número entero.
Una fracción como 
según se ha dicho, es una fracción continua infinita. Dada la repetición de los números 1 y 2,
se acostumbra escribir:
a) Construyan una fracción continua infinita que represente al número . Usen sus cálculos
para ofrecer una estimación de este número.
2
[ ; , , , , ...] [ ; , ]1 1 2 1 2 1 1 2=
• •
[ ; , , , , ...]1 1 2 1 2 1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
= +
+
+
+
+
L
17
15
1 7 2= [ ; , ]
17
15
1
2
15
1
1
15
2
1
1
7
1
2
= + = + = +
+
17
15
124 Unidad 2: Expresiones algebraicas
(Sugerencia: Escriban . Ahora, noten que ,
simplifiquen y escriban en la forma ; deberán hallar los valores de
a, b, c y d. Sustituyan reiteradamente en lugar de , de aquí resulta la frac-
ción continua correspondiente).
b) También existe el concepto de radical continuo. Un radical continuo es una expresión de la
forma:
A “L” se le conoce como límite del radical continuo.
Eleven al cuadrado L y resten n al resultado, deduzcan un método que permita escribir
un número L en forma de radical continuo; apliquen su método al número 9.
c) Escriban la proporción áurea (vean el problema Arte por medio de radicales, la propor-
ción áurea) como radical continuo. Usen el inciso g) del citado problema para escribir su
resultado sin el empleo del símbolo φ ni de su valor equivalente con radicales.
 
L n n n n= + + + +L
2a
b
c d
+
+ 2
2
2
= +
+
a
b
c d
2
2 1 2 1
2 1
2 1
− = − +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )2 1 2 1= + −( )
1. Indica la opción que contiene la proposición verdadera.
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Señala la opción que contiene la proposición falsa:
a) 
b) x xaba b=
x y x y x y+( ) +( ) = +3 2 3 2
a
a
a
n
m
n m= −
a amn m pnp=
a b a bn n n+ = +
a b abn n n= 2
1252.7 Exponentes fraccionarios y radicales
c) Para x < y:
d) 
.
3. Determina la forma más simple de las siguientes expresiones:
a) 
b) , con a = 4, b = 16, x = 3.
c) , con a = 4, b = 8, x = 32, y = 7.
d) 
4. Encuentra en la columna B las transformaciones de las expresiones correspondientes que apa-
recen en la columna A.
Columna A Columna B
a) i.
b) ii.
c) iii.
d) iv.
v.
vi.
vii.
viii. x2
x y
2
3
2
3+
x x2 3
2
2a
x
y
3
x 2136
x x y y
2
3
1
3
1
3
2
3− +
4
9
8
27
2
2
3
3
1
2
1
3x
x
x
y
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
÷
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
x x62 82 2
1
2a a÷( )−
−
a2
4( ) ( )x y x y+ ÷ +
1
3
1
3
1
3
4
5
1
12
− +
3
2
1
1
2
2
3
3
5 0
3
1
3
0 45
a b
x y
a b
b x
−
− −
+ − +
a b a b x− + +2 0
1
2
3
4
x x y xy y3 2 2 33 3 3+ + +
1
3 2
3 2
−
= +
x x y y+ −( ) =2
126 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. a) Siendo x un número real, . Si , para todos los valores en x; entonces con
x = −1, tendríamos que , o sea , lo que resulta absurdo. En realidad,
, para x ≥ 0, para x < 0. Un resultado válido para ambos casos es
.
b) La proposición es verdadera, en efecto:
c) La proposición es verdadera ya que:
d) La proposición es verdadera. no es un número real si x < 1. Asimismo,
no tiene sentido si el denominador es 0; esto es si x = 1. Por lo tanto, para x > 1
e) Esta proposición es falsa. Por ejemplo, con x = 2, y = 4:
mientras que 2x = 4. El error radica en considerar que , en realidad se cumple
que .
2. a) 
b) 
c) 
d) 2
a
x y
z
1
10
3
8
1
3
a b c
d
1
4
5
6
x
1
6
x y x y−( ) = −2 22
x y x y−( ) = −2 22
x y x y+ + −( ) = + + − =2 2 2 8 2 8 162 2( )
x
x
x x x
−
−
= −( ) = −( ) = −−1
1
1 1 11
1
2
1
2
x
x
x
−
−
= −1
1
1x − 1
x x x x x4 2 2 2 2 22 1 1 1 1+ + = +( ) = + = +
a a aa aa
a a
a a
2
2
1−
−
−= =
x x2 =
x x2 = −x x2 =
1 1= −−( ) = −1 12
x x2 =x 2 0≥
1272.7 Exponentes fraccionarios y radicales
3. a) 
b) 
c) 
d) 
4. a) 
b) 
c) 
5. a) 
b) 
c) 
d) 
6. a) 
b) 
c) 
7. a) Tomando 1 pie como12 pulgadas, S ≈ 21.7611
b) El área superficial aumentaaproximadamente un 4.13 %.
c) El área superficial aumenta aproximadamente un 7.725 %.
d) Disminuyendo su peso en un 4.93%.
8. 2.774 × 103
9. a) Aproximadamente iba a 24.49 pies por segundo.
b) Aproximadamente iba a 34.64 pies por segundo.
10. a) Desnutridos, peledisi ≈ 91.65%
a2 3 6−
x3 2−
25 5 6 63 23+ − + −a a( )
a b+3
8
2 2 26
a
a b
2 27 5 1112a a b
3 3 2 2a x a x− − −
2 a b−
4 3
5
2
3
3
+
9 2 10 3−
x x
x x
2
21
+
+ +
x x2 1− −
x y x y+( ) +( )
x x y−( )
128 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c)
2. a)
3. a) x + y
b) 18
c) 
d) 
4. (a, iii), (b, v), (c, iv), (d, ii)
5 3 4 5
10
−
1 4364
1292.8 Números complejos 
La impedancia
En el análisis de circuitos de corriente alterna se utiliza el análisis fasorial,
consistente en representar cada uno de los elementos de un circuito (resistencias,
capacitores e inductancias) en forma de impedancias (ZR, ZC, ZL, respectivamente)
para, después, aplicar la Ley de Ohm y obtener los voltajes VR, VC, VL, lo mismo
que las corrientes (I) que circulan por el circuito. Las impedancias de cada ele-
mento se muestran en la figura 2.12. 
2.8 Números complejos
El Divino Creador ha encontrado
ocasión de manifestar su sublime
inteligencia en esta maravilla del análisis,
este portento del mundo ideal, este anfibio
entre el ser y el no ser que llamamos raíz
imaginaria de la unidad negativa. 
Leibnitz
Introducción
El concepto de número ha evolucionado a la par con el desarrollo de la hu-
manidad. Los números naturales surgen prácticamente en épocas prehistóri-
cas por la necesidad innata que tenemos los seres humanos de contar. Todas
las culturas, de una forma u otra, han requerido desarrollar el concepto de nú-
mero. Babilonios, egipcios y griegos descubrieron los números racionales en
procesos donde se requerían proporciones y los números irracionales en el
cálculo de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. A pesar de
tales avances, no se desarrolló la comprensión de los números negativos y se
tuvo que esperar hasta el siglo XV para que fueran aceptados. Sin superar plena-
mente las dificultades conceptuales que planteaban los números negativos, los
números complejos aparecieron al considerar el cálculo de sus raíces cuadra-
das. La necesidad de establecer un marco para el desarrollo de los complejos
se hizo patente cuando Tartaglia y Cardano (matemáticos italianos del siglo
XV) tuvieron que utilizarlos cuando buscaban fórmulas generales de raíces de
ecuaciones polinomiales cúbicas. En 1799, Gauss (matemático alemán) propor-
cionó el impulso requerido para su consolidación, al utilizarlos en su primera
demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. Actualmente los números
complejos son una herramienta básica para el trabajo de ingenieros y cientí-
ficos, quienes los utilizan en infinidad de aplicaciones. Por ejemplo, los inge-
nieros electricistas los utilizan para analizar circuitos eléctricos, así como para
formular la teoría de señales y sistemas, entre otras cosas. El siguiente ejemplo
nos muestra las enormes posibilidades que se abren con su uso:
130 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Por ejemplo, para el circuito serie de la figura 2.12, la Ley de Ohm establece que:
,
donde 
• ZT es la impedancia total.
• V es el voltaje de la fuente de corriente alterna medida en voltios.
• R es la resistencia medida en ohms.
• C es el valor del capacitor o condensador medido en farads.
• L es la inductancia medida en henries.
• I es la corriente que circula en el circuito y está medida en amperes.
• f es la frecuencia de la fuente y sus unidades son los hertz.
(Nota: usualmente en ingeniería eléctrica la unidad imaginaria se denota por ,
en tanto se reserva el símbolo i para la corriente. Nosotros usaremos la convención usual
y denotamos la corriente con el símbolo I.)Si se desea conocer el voltaje de cada uno de
los elementos del circuito (resistencia, capacitor, inductancia) se aplica nuevamente la
Ley de Ohm. En el caso de la resistencia, se tiene:
.
Para el voltaje en el capacitor, obtenemos:
.
De la misma forma se obtiene el voltaje en la inductancia:
.
Este tipo de circuitos se conocen como filtros y son la base de los ecualizadores utiliza-
dos en cualquier sistema de audio.
V Z I
f L V i
R
i
f C
f L i
L L= =
− +
*
2
2
2
π
π
π
V Z I
i V
fC R
i
fC
f Li
C C= = −
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
*
2
2
2π
π
π 
 
 
V Z I
R V
R
i
fC
f Li
R R= =
− +
*
2
2
π
π
 
 
j = −1
I
V
Z
V
Z Z Z
V
R
i
fC
f LiT R C L
= =
+ +
=
− +
2
2
π
π
R
V
L
C
Impedancias de los elementos de un
circuito 
Z R
Z
i
fC
Z i f L
R
C
L
=
= −
=
; Resistencia
; Capacitor
; Inductancia
2
2
π
π
Figura 2.12 Circuito serie
1312.8 Números complejos 
El conjunto de los números complejos
Como se indica en la introducción, los números complejos surgen al considerar raíces de
números negativos. Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo,
una ecuación como x2 � 9 � 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Para tratar con tales situaciones, debemos aceptar la existencia de soluciones del tipo
y extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjun-
to de los números complejos. Más aún, es necesario definir la unidad imaginaria
y aceptar que las reglas para trabajar con radicales son válidas en los comple-
jos, para escribir la raíz de cualquier número negativo en términos de la unidad i. Por
ejemplo, es posible simplificarla así: . Cualquier raíz cuadra-
da de un número negativo puede llevarse a esta forma. Con el número i lograríamos
construir todo el sistema de los números complejos, para lo cual requerimos la siguien-
te definición:
x i= − =9 1 3x = −9
i = −1
x = −9
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Describir el conjunto de los números complejos.
• Realizar operaciones de suma, resta, producto y cociente entre números
complejos.
• Representar gráficamente números complejos en el plano.
• Determinar el conjugado de un número complejo.
• Obtener raíces cuadradas de números negativos reales.
• Obtener raíces cuadradas de números complejos.
Definición
Un número complejo es una expresión de la forma z � a � bi, donde a y b son
números reales que se conocen como parte real y parte imaginaria de z, y se de-
notan a � Re (z) y b � Im(z), respectivamente. El conjunto de los números com-
plejos está formado por todos los números de la forma z � a � bi.
Por ejemplo, en el número z � 4 � 3i la parte real es 4 y la parte imaginaria es 3. 
Cualquier número complejo z � a � bi, se puede visualizar en el plano cartesiano
asociándole el punto (a, b). En la figura siguiente se muestran los números z � 4 � 3i,
zc � 4 � 3i, �zc � �4 � 3i y �z � �4 � 3i.
132 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Operaciones con números complejos
Entre números complejos es posible realizar diferentes operaciones: suma, resta, produc-
to, cociente. Tales operaciones se establecen a continuación:
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
Re z
Im z
Los números 4 + 3i, 4 – 3i,
 4 + 3i, – 4 – 3i.
–1–1–2–3–4–5
–2
–3
–5
0
0
–4
Figura 2.13 Representación gráfica de números complejos
Suma y resta
La suma de los números complejos z � a � bi y w � c � di es el número z � w �
(a � c) � (b � d)i.
La resta de los números complejos z � a � bi y w � c � di es el número z � w �
(a � c) � (b � d)i.
Es decir, para sumar (restar) dos números complejos z y w se suman (restan) la parte real
de z con la parte real de w y la parte imaginaria de z con la parte imaginaria de w. Por
ejemplo,
.
En la siguiente figura se muestran la suma y la resta de dos números complejos; hemos
incluido el segmento dirigido del origen a cada punto para volver evidente el significado
geométrico de la suma y de la resta.
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2 8 4 2 3 8 6 11
4 3 2 8 4 2 3 8 2 5
+ + + = + + + = +
+ − + = − + − = −
i i i i
i i i i
1332.8 Números complejos 
No es necesario memorizarla fórmula, ya que se obtiene el mismo resultado si conside-
ramos esta multiplicación como un producto de binomios y remplazamos i2 por �1. Por
ejemplo 
esto es, (3 � 2i) (4 � 5i) � 2 � 23i. En la siguiente ilustración se muestra el resultado
del producto:
 3 2
4 5
12 8
15 10
12 23 10
2
+
+
+
+ +
+ −
i
x i
i
i i
i
0 1 2 3 4 5 6 7
0
2
4
6
8
10
12
Re z
Im z
z2
z1
z1 + z2
−z
Suma de números complejos
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Re z
Im z
z2
z1 −z2
z1 −z2
−z
Resta de números complejos
0 1 2 3 4 5
z1
Figura 2.14 Suma y resta de números complejos
Producto
El producto z * w, o simplemente z w, de los números complejos z � a � bi y
w � c � di es el número complejo.
z w a bi c di ac bd ad bc i* ( )( ) ( ) ( )= + + = − + +
134 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Antes de definir el cociente, hay que definir el conjugado y la magnitud de un número
complejo.
Im z
Re z
Producto de números complejos
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
−z
z1*z2
z1
z2
Figura 2.15 Producto de números complejos
Definición
El conjugado de un número complejo z � a � bi es z� � a � bi. 
La magnitud de un número complejo z � a � bi es el número real || ||z a b= +2 2
No es difícil mostrar la siguiente propiedad:
Propiedad
Si z � a � bi es un número complejo, entonces || || .z z z2 =
En efecto, mediante una multiplicación directa se tiene:
Enunciamos otras propiedades de la magnitud sin demostración:
z z a bi a bi a abi abi b i a b z* ( ) * ( ) || ||= + − = + − − = + =2 2 2 2 2 2
1352.8 Números complejos 
Ahora definamos el cociente de dos números complejos:
Propiedades 
Si z y w son números complejos, entonces:
• 
• || * || || || * || ||z w z w=
|| || || || || ||z w z w+ ≤ +
Cociente
El cociente , de los números complejos z � a � bi y w � c � di � 0, es
el número complejo 
z
w
a bi
c di
ac bd bc ad i
c d
= +
+
= + + −
+
( )
2 2
z w/
Tampoco es necesario memorizar esta fórmula, ya que el cálculo se reduce a multiplicar
y dividir por el conjugado de w, así como a realizar las operaciones necesarias, obser-
vando que w*w– es un número real. En efecto,
Por ejemplo, simplifiquemos el cociente . Multipliquemos y dividamos por el
conjugado de 3 � 4i. Obtenemos, después de realizar varias simplificaciones:
Con tales operaciones se puede demostrar que el conjunto de los números complejos
cumple las siguientes propiedades:
1
3 4
1
3 4
3 4
3 4
3 3 4 4
9 16
3 3 4 4
9 16
7
25
7
25
1
25
2
+
+
= +
+
−
−
= + − −
+
= + − +
+
= −
= −
i
i
i
i
i
i
i i i
i i
i
i
.
1
3 4
+
+
i
i
z
w
a bi
c di
a bi
c di
c di
c di
ac bd bc ad i
c d
= +
+
= +
+
−
−
= + + −
+
.
( )
2 2
136 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Propiedades de la suma Propiedades del producto
Cerradura Si z1 y z2 son complejos, Cerradura Si z1 y z2 son complejos,
también lo es su suma. también lo es su producto.
Conmutatividad z1 � z2 � z2 � z1 Conmutatividad z1 * z2 � z2 * z1
Asociatividad z1 � (z2 � z3) � (z1 � z2) � z3 Asociatividad z1 *(z2 * z3) � (z1 * z2)* z3
Existencia del 0 Existe un número complejo, el Existencia del 1 Existe un número complejo,
cero 0 � 0 � 0i, con la propiedad llamado uno 1 � 1 � 0i, con la
de que z � 0 � 0 � z � z propiedad de que
z * 1 � 1 * z � z
Existencia del Para cualquier número complejo Existencia del Para cualquier número 
inverso aditivo z, existe un único número inverso complejo z � 0, existe un
complejo(�z), llamado inverso multiplicativo inverso multiplicativo único 
aditivo de z, tal que , llamado inverso z � (�z) � 0
de z, tal que z
z
z
*
|| ||2
1=
1
2z
z
z
=
|| ||
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Si z1 � 2 � 3i y z2 � 8 � 6i y determina
a) z1 � z2
b) z1 � 4z2
c) 2z1 � z2
d z1 * z2
e) z1 / z2
Haciendo las operaciones indicadas, se tiene:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) z
z
i
i
i
i
i
i
i i i
i1
2
2 3
8 6
2 3
8 6
8 6
8 6
16 24 12 18
64 36
2 36
100
0 02 0 36= +
−
= +
−
+
+
= + + −
+
= − + = − +* . .
z z i i i i i i i1 2
22 3 8 6 16 24 12 18 16 12 18 34 12* ( ) * ( )= + − = + − − = + + = +
2 2 2 3 8 6 4 6 8 6 4 121 2z z i i i i i− = + − − = + − − = − +( ) ( ) ( ) ( )
z z i i i i i1 24 2 3 4 8 6 2 3 32 24 34 21+ = + + − = + + − = −( ) ( ) ( ) ( )
z z i i i i1 2 2 3 8 6 2 8 3 6 10 3+ = + + − = + + − = −( ) ( ) ( ) ( )
solución
solución
solución
1372.8 Números complejos 
Ejemplo 2
Si z1 � 3 � 4i y z2 � 2 � 5i, calcula y 
Haciendo las operaciones indicadas, se tiene:
a) z1 � z2 � (3 � 4i) � (2 � 5i) � 5 � i y la magnitud es 
b) 
Ejemplo 3
Determina k de forma que el cociente sea un número:
a) real
b) imaginario puro; esto es, un número complejo sin parte real.
Haciendo la división, se tiene:
a) Para obtener un número real, se requiere que k2 � 16 ó k � �4.
b) Para que el resultado sea imaginario puro se necesita que k � 0.
Ejemplo 4
Grafica en el plano z, z2, z3, z4, z5, z6 z7 y z8 si 
Primero calculemos las potencias pedidas de z:
z i i
i i
i2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
1
2
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + + − =
z i= +1
2
1
2
8
2
8
2
2
2
8 16 2
4
8 16 2
4
10 16
4
2 2
2
2
2
2
2
+
+
= +
+
−
−
= + − −
+
= + − +
+
= + −
+
ki
k i
ki
k i
k i
k i
k k i i ki
k
k k i k
k
k k i
k
*
( )
( )
8
2
+
+
ki
k i
|| || || || || || || || . .z z i i1 2 3 4 2 5 9 16 4 25 25 29 5 5 385 10 385+ = + + − = + + + = + ≈ + =
|| || .z z1 2 25 1 26 5 099+ = + = ≈
|| || || ||z z1 2+|| ||z z1 2+
solución
138 Unidad 2: Expresiones algebraicas
En la gráfica siguiente se muestran los puntos. Claramente forman un octágono regular:
z z z z i i i
i
z z z i i
z z z z i
z z z i
3 2
4 2 2
5 4
6 2 4
1
2
1
2 2
1
2
1
1
2
1
2
= = = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
= = = −
= = − = − −
= = −
* *
* *
*
* ( 11
1
2
1
2
1
2 2
1 1 1
7 6
8 4 4
)
* ( ) ( )
* ( ) * ( )
= −
= = − = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− = −
= = − − =
i
z z z z i i i
i
z z z
−1.5
1.5 Im z
Re z
Potencias de z = 2−1/2 +2−1/2 i
−1.51 1.55
−0.5
−0.5. 0.5
0.5
0
0
1
1
−11
−1
Figura 2.16 Potencias de z i= +1
2
1
2
Ejemplo 5
Determina números reales a y b, tales que . Posteriormente, muestra la posición de los nú-
meros obtenidos en el plano complejo.
Elevando al cuadrado y simplificando se tiene:
Tomando en cuenta el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspon-
dientes partes real e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
i a bi a bi a bi
i a b abi
= + = + +
= − +
( ) ( )( )2
2 2 2
i a bi= +
1392.8 Números complejos 
De la primera ecuación se tiene:
Sustituyendo en la segunda ecuación. Resulta:
Sólo consideramos el signo positivo porque a es real; esto implica que b � a. Obtenemos:
Los números complejos buscados son:
y
En la siguiente figura se muestran los números complejos i, 0.7071 � 0.7071i, �0.7071� 0.7071i:
z i i2
1
2
1
2
0 7071 0 7071= − − ≈ − −. .
z i i1
1
2
1
2
0 7071 0 7071= + ≈ +. .
a = ± 1
2
± =
= ±
2 1
1
2
2
2
a
a
b a= ±
a b
ab
2 2 0
2 1
− =
=
0.5
0.5
0.5
–1 1
1
–1
0
0
Re z
Im z
Los números i, 0,7071 + 0,7071i,
0,7071 – 0,7071i.
–0.5
Figura 2.17 Los puntos i, 0.7071 � 0.7071i, �0.7071� 0.7071i
solución
140 Unidad 2: Expresiones algebraicas
Ejemplo 6
Determina las raíces cuadradas del número complejo 3 � 4i y muestra sus posiciones en el plano.
Queremos determinar un número complejo z = a + bi, tal que:
Elevando al cuadrado y simplificando, tenemos:
Usando el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspondientes partes
real e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De la segunda ecuación, se tiene:
Sustituyendo en la primera ecuación, resulta:
Como a es real, sólo debemos considerar el caso:
cuya solución es:
Finalmente, usamos la relación entre a y b para obtener:
Así que los números complejos buscados son:
y
z i2 2= − −
z i1 2= +
b
a
= =
±
= ±2 2
2
1
a = ±2
a2 4 0− =
a
a
a
a
a
a a
a a
a a
2
2
2
2
2
4 2
4 2
2 2
2
3
4
3
4 3
3 4 0
4 1 0
− ⎛⎝
⎞
⎠ =
− =
− =
− − =
−( ) +( ) =
;;
;
;
;
 multiplicando por se tiene
 simplificando obtenemos
 factorizando se tiene
b
a
= 2
a b
ab
2 2 3
2 4
− =
=
3 4
3 4 2
2
2 2
+ = + = + +
+ = − +
i a bi a bi a bi
i a b abi
( ) ( )( )
3 4+ = +i a bi
1412.8 Números complejos
En la figura siguiente se muestran los números complejos 3 � 4i, 2 � i, �2 � i.
Im z
Re z
Los números 2 + i, −2 − i,
3 + 4 i
0
1
2
3
4
5
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
−2
−1
Figura 2.18 Los puntos 3 � 4i, 2 � i, �2 � i. 
Ejercicios 
y problemas
1. Realiza las siguientes operaciones, luego expresa cada número en la forma: z = a + bi:
a) f)
b) g) 
c) h)
d) i) 
e) j) ( )( )
( )
1 1
1 2
4
3
+ −
+
i i
i
( ) ( ) ( )( )1 4 2 5 32− + − + +i i i i
( )2 5 3+ i( )( )5 2 1 5− +i i
1
3 4
2+
+
⎛
⎝
⎞
⎠
i
i
( )( )3 2 3 2− +i i i
1
1 5( )− i
( )( )3 5+ −i i
3 4
2 3
+
+
i
i
( ) ( )3 5 2 3+ + −i i
Problemas para trabajar en equipo
142 Unidad 2: Expresiones algebraicas
2. Escribe los siguientes números en la forma z � a � bi:
a) c) 
b) d) 
3. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es 5.
Calcula ambos números.
4. Calcula la magnitud de los siguientes números:
a) c) 
b) d) 
5. Sea . Calcula el valor de k para que z � 2 � i.
6. Sea z � (3 � 6i)(4 � ki). Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
7. Determina las raíces cuadradas de los números 
a) z � 3 � 4i
b) z � 4 � 3i
c) z � 15 � 8i
8. Una raíz cuadrada de un número complejo es �1 � i. Calcula dicho número y su otra raíz cuadrada. 
9. Demuestra que para dos números complejos cualquiera se cumple que
10. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4 2
1
3 5
m i
n i
i
−
+
= −
|| || || || || || || ||z z z z z z1 2
2
1 2
2
1
2
2
22 2+ + − = +
z
k i
i
= +
+2
z
i
i
= +
−
2 2
3
z
i
i
= +
−
3
2
z i i i= − +( )( )5 10 2z i= −8 6
3
1
4
+
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
i
i
1
1
4+
−
⎛
⎝
⎞
⎠
i
i
1
3
4−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
i
i
i i
i
5 8 4
2
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. La impedancia, presentada en la introducción. 
a) En la situación se habla de los siguientes términos: impedancia, Ley de Ohm, circuito se-
rie, filtro. Investiguen el significado de cada uno de ellos. 
1432.8 Números complejos
b) Se tiene un circuito serie RLC con los datos de los incisos siguientes. Para cada inciso
determinen la impedancia total, la corriente I y los voltajes VR, VC, VL, así como sus mag-
nitudes. Supongan que el voltaje de entrada es V � 2 voltios de corriente alterna y que la
frecuencia es f � 1 /(2p)hertz.
i. R � 4Ω, C � 3 farads, L � 5 henries
ii. R � 2Ω, C � 5 farads, L � 4 henries
iii. R � 3Ω, C � 2 farads, L � 2 henries
iv. R � 4.5Ω, C � 2.5 farads, L � 2.5 henries
v. R � 4.8Ω, C � 3 farads, L � 5.1 henries.
c) Un semáforo compacto de bajo consumo se diseñó utilizando los elementos básicos de la
electrónica de potencia. Para armarlo, se requiere de un condensador (capacitor) de
330x10�9 F, otro de 220x10�9 F y uno más de 150x10�9 F. Desafortunadamente tienes
cinco capacitores sin su valor impreso y el laboratorio no cuenta con un puente de impe-
dancias, con el cual podría resolverse el problema. Para determinar el valor de cada uno
de los capacitores, se arma el circuito de la figura 2.19. Se prueban cada uno de los capa-
citores y se obtienen los datos de ⎟⎜VC⎟⎜, que aparecen en la figura. Determinen si los ca-
pacitores que encontraron servirían para terminar el semáforo.
Capacitor
Voltaje medio en cada 
capacitor. 
⎟⎜Vc ⎟⎜ (volts)
R 
V 24V
60Hz
C¿?
33K
1 8.82
2 4.15
3 5.69
4 11.54
5 16.86
Figura 2.19 Medición de
condensadores o capacitancias 
2. Graficando potencias de números complejos
a) Consideren el número complejo z � i; sus primeras cuatro potencias son z2 � �1,
z3 � �i, z4 � 1. Elaboren una figura donde muestres los cuatro puntos en el plano com-
plejo. ¿Qué figura se forma? ¿Cambia la figura si consideramos potencias superiores?
b) Determinen las primeras ocho potencias del número complejo z � 0.7071� 0.7071i y
grafíquenlas en el plano complejo. ¿Qué figura se forma? 
144 Unidad 2: Expresiones algebraicas
c) Determinen las primeras seis potencias del número complejo z � 0.5 � 0.866025i. ¿Qué
figura forman?
d) Para los siguientes números complejos calculen las primeras 20 potencias y coloquen los
puntos en el plano complejo. ¿Qué figura forman?
i. z � 3 � 4i
ii. z � 1 � i
iii. 
iv. 
v.
e) Calculen ahora la magnitud de todos los números complejos que utilizaste. ¿Qué relación
guardan las magnitudes con las figuras?
f) Seleccionen tres números complejos y grafiquen su primeras 20 potencias en el plano com-
plejo. Intenten determinar la gráfica sin hacer el cálculo. 
z i= −5
6
3
6
z i= −2
3
1
5
z i= +1
2
1
2
1. Realiza la operación 
a) 9 � 13i
b) 15 � 13i
c) 15 � 13i
d) 15 � 4i
2. Simplifica la operación 
a) i
b) i � 2
c) i � 2
d) �i /2
3
4 2 1
−
− +
i
i
i
i
*
( )( )4 3 3− +i i
1452.8 Números complejos
3. Encuentra una raíz cuadrada del número z � 3 � 4i
a) 2 � i
b) �2 � i
c) 2 � i
d) 1�i /2
4. Calcula z10 si z � 1� i
a) �32(1 � i)
b) 32(1 � i)
c) �32i
d) 32i
5. Encuentra la forma simplificada z � a � bi, en la columna B de la operación indicada en la
columna A.
Columna A Columna B
a) (i � 2)3
b)
c) 
d) ( )( )3 4 1 2+ −i i
13
5
i
i +
3
1
−
+
i
i
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. 
a) 5 � 2i
b) 16 � 2i
c) 13i
d) 15 � 23i
e) �15 � 19i
f) (18 � i) /13
i. 0.5 � 2.5i
ii. �5 � 10i
iii. 2 � 11i
iv. 0.5 � 2.5i
v. 2 � i
vi. 1 � 2i
vii. 10 � 11i
viii. 5 � 10i
146 Unidad 2: Expresiones algebraicas
g) �(1� i) /8
h) (48 � 14i) /625
i) �142 � 65i
j) (52 � 36i) /125
2.
a) �1
b) 1
c) 
d)
3. 3 � 4i, 3 � 4i
4.
a) 10
b) 
c) 25 
d) 1
5. k � 5 � i
6. k � 2
7. 
a) 2 � i, �2 � i
b) ;
c) 4 � i, �4 � i
8. El número es �2i y la otra raíz cuadrada es 1 � i.
9. Considera z1 � a � bi y z2 � c � di y muestra ⎟⎜z1 � z2⎟⎜
2 � (a � c)2 � (b � d)2 y ⎟⎜z1 � z2⎟⎜
2 �
(a � c)2 � (b � d)2. Al sumar estos dos términos y al desarrollar se obtiene el resultado pedido.
10. m � 2, n � 1.
− −3
2 2
i3
2 2
+ i
2
2 2 3− i
( ) /1 3 8+ i
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. a
2. d
3. c
4. d
5. (a, iii), (b, vi), (c,iv), (d, ii)
Unidad
Ecuaciones
Contenido de la unidad
3.1 Ecuaciones lineales
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales
3.3 Ecuaciones cuadráticas y con 
 radicales
3.4 Ecuaciones polinomiales
Introducción a la unidad
“Llama a la llama para que no se queme con la llama”. Es evidente que la primera “llama” en esta frase es una conju-
gación del verbo llamar, la segunda es un conocido animal andino y la tercera se refiere a fuego. Sin embargo, las tres
se escriben exactamente igual. En todos los idiomas hay ejemplos similares, como también los hay en la simbolo-
gía algebraica. Quizá te sorprenda averiguar que el signo “igual a” (=) tiene diferentes significados. Por ejemplo, en
una expresión del tipo (x + a)2 = x2 + 2ax + a2, indica una identidad, ya que (x + a)2 es idéntico a x2 + 2ax + a2 pa-
ra cualquier pareja de números a y x. Por otro lado, una expresión del tipo x2 + 8x + 16 = 0, aunque parece similar a la
anterior, no es una identidad, ya que sólo es cierta cuando x vale −4, en tanto que es falsa para cualquier otro valor de
x. Este tipo de expresión se llama ecuación. Imagínate que una identidad es una aseveración: “el lado izquierdo es idén-
tico al lado derecho”; por otro lado, una ecuación es una pregunta: “¿Para qué valores de x es el lado izquierdo
igual al derecho?” Decimos que resolvemos una ecuación cuando respondemos esa pregunta.
Es muy importante que aprendas a plantear y resolver ecuaciones en problemas prácticos. Ernest Mach, un famo-
so científico del siglo XIX, dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente, porque en la solución
de un problema, después de construir la ecuación, te puedes “olvidar”de toda la situación práctica para concentrar-
te en la expresión matemática; todo lo que no es necesario para resolver el problema deja de interferir con tu mente.
Otro famoso científico, Isaac Newton, escribió que El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema re-
ferente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema del lenguaje coloquial
al idioma algebraico.
Desafortunadamente no hay una receta infalible para construir la ecuación o las ecuaciones que corresponden a
cada problema práctico. Necesitas imaginación e intuición; por lo tanto, requieres mucha práctica y mucho esfuerzo.
Como suele suceder en muchos casos, aprenderás más de los errores que de los aciertos. Sin embargo, todo el tiem-
po que utilices planteando y resolviendo ecuaciones será una valiosa inversión, que te permitirá resolver proble-
mas prácticos en tu vida profesional.
148 Unidad 3: Ecuaciones
3.1 Ecuaciones lineales
El álgebra es el instrumento intelectual
que se creó para dilucidar el aspecto
cuantitativo del mundo.
Alfred North Whitehead
Introducciónn
El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema referente a núme-
ros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema
del lenguaje coloquial al idioma algebraico, escribió Newton, en 1707, en su
manual de álgebra titulado Aritmética universal. El ejemplo que sigue servi-
rá para mostrarte la enorme utilidad que ofrece el aprendizaje del álgebra:
Un reparto equitativo 
Una empresa que administra servicios informáticos obtuvo ganancias por
$140,000.00 en el año fiscal y desea repartir la utilidad entre sus cinco socios.
Para decidir qué cantidad corresponde a cada socio, se pretende considerar dos
aspectos: el capital aportado y el número de clientes captados por cada socio. La
siguiente tabla muestra la distribución por socio.
Socio Capital aportado Clientes captados
Antonio López $ 10, 000.00 4
Bernardo Sánchez $ 8, 000.00 10
Carmen Martínez $ 50, 000.00 0
Damián Leyva $ 14, 000.00 6
Eunice Bautista $ 18, 000.00 15
Los socios han acordado aplicar alguno de los siguientes criterios para el reparto
de las ganancias:
1493.1 Ecuaciones lineales
1. Repartir el 50% de la utilidad en proporción al capital aportado y el otro 50%
en relación con el número de clientes captados.
2. Repartir usando el criterio anterior, pero definiendo cualquiera otra relación
porcentual.
3. Repartir en relación con el producto de los dos índices, lo cual quiere decir
que Carmen, aunque aportó la mayor cantidad de capital, por no haber capta-
do clientes no le tocaría reparto de ganancias.
Las siguientes son sólo algunas de las cuestiones que el álgebra, así como de ma-
nera particular el planteamiento adecuado y las correspondientes soluciones de
ecuaciones lineales, podrían responder:
1. Si los socios adoptan el primer criterio, ¿cuánto correspondería a cada socio?
2. ¿Cuál de los socios, Bernardo Sánchez o Antonio López, se beneficiaría más
con un reparto de ganancias de acuerdo con el 40% en proporción al capital y
60% en relación con el número de clientes captados? 
Tal vez la solución de problemas como el anterior harían probablemente que
coincidieras con la opinión de Ernest Mach, un famoso científico del siglo XIX,
quien dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente. En
efecto, en la solución de un problema como el propuesto nos “olvidamos” de toda
la situación física para concentrarnos en la expresión matemática. Todo cuanto fue-
se improcedente para resolver el problema dejará de interferir con nuestra mente.
Objetivos
Al terminar esta sección, serás capaz de:
• Determinar la solución de una ecuación lineal.
• Definir el concepto de ecuación equivalente y usarlo para resolver ecuaciones
lineales.
• Plantear y resolver problemas donde sea necesario el uso de ecuaciones
lineales.
Ecuación lineal
Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:
, ( )a ≠ 0ax b+ = 0
La única solución de la ecuación lineal es:
x
b
a
= −
150 Unidad 3: Ecuaciones
que se obtiene al transformar la ecuación original en ecuaciones equivalentes (ecuacio-
nes que tienen la misma solución) hasta obtener el valor de la variable x. También se 
dice que el conjunto solución de la ecuación lineal es
El procedimiento ordinario para la resolución de las ecuaciones lineales más com-
plicadas consiste en trasladar al primer miembro de la ecuación todos los términos que
contienen a x como factor, y al segundo todas las constantes. Entonces la ecuación se
escribiría en la forma:
en donde d y c son constantes y c no es 0. En este caso, la única solución será x = d/c.
cx d=
−⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
b
a
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Resolver la ecuación: (x + 1)(2x + 3) = 2x2 + 8 x + 5
Desarrollando el producto del miembro izquierdo, se obtiene:
eliminando el término 2x2, resulta:
trasponiendo 8x y la constante 3, se tiene:
simplificando y despejando x, obtenemos la solución de la ecuación lineal.
así, el conjunto solución de la ecuación es .
Ejemplo 2
Determinar la raíz de la ecuación siguiente:
3
5
4
2 3x x−
=
−
−⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
2
3
− =
= −
3 2
2 3
x
x
,
/
5 8 5 3x x− = −
5 3 8 5x x+ = +
2 5 3 2 8 52 2x x x x+ + = + +
solución
solución
1513.1 Ecuaciones lineales
Primero multiplicamos ambos términos por ; simplificando, se obtiene:
Ejemplo 3
Despejar x en la ecuación:
Se trasladan al primer miembro todos los términos en x y al segundo todos los que no lo contienen, con
lo cual se obtiene:
factorizando los términos con x, resulta:
después de factorizar el término del lado derecho y simplificar la solución es:
Ejemplo 4
Raúl visitó Atenas en los Juegos Olímpicos de 2004. Al llegar al aeropuerto rentó un automóvil com-
pacto por $750 diarios, más $5 por kilómetro recorrido. Si Raúl tiene un presupuesto de $1,800 por día,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer cada día?
x
y a y a a
a y y
a y y
a y y
a
a
= − − − + −
− +
= − − +
− +
= −
2
2
2
2
2 1 2 1 2 1
1
2 1 1
1
2 1
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )ay a ay a x y ay ay a ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − − = − + − + + + −
ay x ax ayx ax y ay ay a ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − − = − + − + + + −
ay x y ay ax ayx ay a ax ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − + = − + + + + −
3 2 3 4 5
6 9 4 20
9 4 20 6
13 26
26
13
2
( ) ( )− = −
− = −
− − = − −
− = −
= −
−
=
x x
x x
x x
x
x
x
( )( )2 3 5− −x x
solución
solución
152 Unidad 3: Ecuaciones
El costo de recorrer x kilómetros, considerando la renta del auto, es:
como el presupuesto de Raúl es de $1,800, se tiene:
por lo tanto, Raúl puede recorrer 210 km.
Ejemplo 5
La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era
el doble de la edad Gerardo dentro de 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo?
Supongamos que x es la edad de Gerardo; la primera condición indica que Jorge tiene una edad tres veces
mayor, es decir, la edad de Jorge es 3x. El mismo Jorge tenía una edad de 3x − 5 hace cinco años. La
edad de Gerardo dentro de 10 años será x + 10. La segunda condición del problema se puede escribir
como:
reuniendo los términos con la variable en el lado izquierdo y simplificando, se tiene:
es decir, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75.
3 5 2 20
3 2 20 5
25
x x
x x
x
− = +
− = +
=
3 5 2 10x x− = +( )
1800 750 5
1800 750 5
1800 750
5
210
= +
− =
= −
=
x
x
x
x
C x x( ) = +750 5
Ejercicios 
y problemas
1533.1 Ecuaciones lineales
1. Considera las ecuaciones: y . ¿Tienen el mismo conjunto solu-
ción?
2. Se ha indicado que el conjunto solución de la ecuación ax + b = 0, (a ≠ 0) es , ¿qué ocurre si
a = 0?
3. Encuentra el valor de x que resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f ) 
g) 
h) 
i ) 
j ) 
4. Carlos y Juan pueden levantar una barda en seis horas trabajando conjuntamente. Juan trabaja dos ve-
ces más rápido que Carlos. Si solamente trabaja Carlos, ¿en cuánto tiempo terminará de levantar la
barda?
5. Un estudiante gasta $500 en herramientas necesariaspara producir velas de diferentes tipos. Si para ela-
borar cada vela requiere además de $8 en material y si la puede vender en $15. ¿Cuántas velas debe
producir para obtener una ganancia de $550?
6. Juan invierte una cantidad al 7% de interés anual, invierte el doble de esa cantidad al 6% anual. Su in-
greso total anual por concepto de intereses generados por las dos inversiones es de $44,650. ¿Cuánto
invirtió a cada tasa?
7. Un fabricante gasta $20,000 en herramientas necesarias para producir cierto artículo doméstico. Si pro-
ducir cada artículo requiere de $2 en material y mano de obra y todo artículo producido se puede ven-
der a $2.50. ¿Cuántos artículos debe producir el fabricante para obtener $25,000 de utilidad?
1
2
1
3
3
62x x x x+
+
−
=
− −
( ) ( ) ( )x x x x+ − − = − +1 1 6 3 23 3
4 1
2 3
2 1x
x
x
x
−
+
= +
6
4 5
3 1
2 2
x
x
x
x−
= +
+
2
3
4
5
1
x x
+ = +
3
5
4
2 3x x−
=
−
4 2
5 3x x
=
−
3 5 1 2 1 4x x x x− − = − + +( ) ( )
5 2
3
7 6
4
+ = −x x
x x+ = −3 2 5
−⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
b
a
x
x x
+ +
−
= +
−
1
1
1
2
1
1
x + =1 2
154 Unidad 3: Ecuaciones
8. Juan se dedica a la compra-venta de autos usados. En su última operación compró dos automóviles
Chevy y se gastó $80,000, posteriormente los vendió obteniendo una utilidad total de $5,400. Si ganó
en uno 8% y perdió en el otro 2% del precio de compra. ¿Cuánto le costó cada automóvil?
9. En la tienda de la esquina se ofrece 30% de descuento en el frasco de café “La Oaxaqueña” y, aun así,
se obtiene una utilidad del 10%. Si al tendero le cuesta $28 el artículo, ¿cuál debe ser el precio con el
que debe marcar el frasco?
10. Francisco ha decidido invertir una cantidad en el Banco Nacional a una tasa de interés del 6% anual,
y el doble de esa cantidad en el Banco Mundial a una tasa del 8%. Si al terminar el año tiene una ga-
nancia de $22,000, ¿cuánto invirtió en cada banco? 
11. Raúl sale de la ciudad de México hacia Acapulco a las 6 de la mañana a una velocidad constante de 80
km/h. Una hora después sale del mismo lugar y también dirigiéndose a Acapulco su amigo Carlos. Si
Carlos mantiene una velocidad constante de 110 km/h, ¿a qué distancia alcanzará a Raúl? 
12. La tienda de electrodomésticos redujo el precio de una televisión de color en un 25%, ¿cuál es el pre-
cio original de la televisión si el precio de la oferta es de $1,200?
13. Carlos elaboró un libro de matemáticas para la empresa editora Pearson. La compañía ofrece un pago
único de $60,000 o $5,000 más 10% de regalías por copia vendida. Si el precio de venta del libro es de
$180 y se esperan vender 3000 copias del libro, ¿qué plan le sugieres elegir a Carlos?
14. El club de tenis “Océano Pacífico” ofrece dos planes de pago para sus miembros. El plan I es un pago
mensual de $250, más $10 pesos por hora de renta de la cancha. El plan II no tiene pagos mensuales,
pero la hora de renta de la cancha es de $18.50, ¿cuántas horas tendrá que jugar Jorge para que le con-
venga el plan I?
15. Una tienda de electrónica se encuentra en liquidación de equipos. La primera semana reduce sus pre-
cios en un 10%, en la segunda semana reduce $50 cada artículo que vende. Si Raúl compró una calcu-
ladora graficadora por $490 durante la segunda semana, encuentra el valor original de la calculadora.
16. Encuentra dos números tales que su suma sea 508 y el triple del menor exceda al mayor en 100.
17. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados sea 57.
18. El largo de un jardín es el doble del ancho. Si el largo se disminuye en seis metros y el ancho aumen-
ta en cuatro metros, la superficie del jardín no cambia. Determina las dimensiones del jardín.
19. Juan compró un perro y su collar en $5,400, si el perro costó ocho veces más que el collar determine
el valor del perro y del collar.
20. Armando y Manuel, trabajando juntos, pueden hacer una puerta de madera en ocho horas, pero si Ar-
mando requiere 12 horas para construir la misma puerta trabajando solo, ¿cuánto tiempo necesita
Manuel para elaborar una puerta sin ayuda de Armando?
Problemas para trabajar en equipo
1553.1 Ecuaciones lineales
Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes:
1. Un reparto equitativo, presentado en la introducción de la sección. 
2. Lo que el álgebra puede hacer por el anticongelante.
Ocasionalmente las fábricas de automóviles cometen errores que resultan muy costosos para
sus empresas. Por ejemplo, recientemente una fábrica de automotores no cumplió con las nor-
mas de concentración de anticongelante al llenar equivocadamente los radiadores, con capaci-
dad de 10 litros, de un lote de 1000 autos compactos. Se utilizó una mezcla que contenía 20%
de anticongelante y 80% de agua. No obstante, una especificación de fabricación señala que, de
los 10 litros, el 50% debe ser anticongelante y el otro 50% debe ser agua. Para corregir este
error es necesario extraer parte de la mezcla y reemplazarla con anticongelante para que la mez-
cla resultante cumpla con la citada especificación.
a) El supervisor de turno propone manejar la situación de la siguiente manera: sacar cinco li-
tros de la mezcla y sustituirlos por cinco litros de anticongelante. ¿Qué inconveniente le en-
cuentras a esta solución? ¿Cuál es el costo del reemplazo de la mezcla según la propuesta
del supervisor?
b) Discute alternativas a la solución propuesta por el supervisor; además indica ventajas y des-
ventajas. La discusión debe incluir aspectos económicos y éticos de las alternativas propuestas.
c) Halla la estrategia que reduzca el costo de la empresa al mínimo y que cumpla con las es-
pecificaciones de la fábrica.
d) Calcula el ahorro entre las propuestas de los incisos a) y c).
3. La tumba de Diofanto.
En la tumba de Diofanto (matemático griego) se escribió el siguiente epitafio.
Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar la duración de su vida.
La primera sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además otra
duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la sépti-
ma parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinque-
nio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Éste entregó su cuerpo y
su existencia habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Dio-
fanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su
hijo.
a) ¿A qué edad murió Diofanto?
b) ¿A qué edad murió su hijo?
c) ¿Cuántos años duró su matrimonio?
d) ¿Cuál era la edad de Diofanto cuando nació su hijo?
e) ¿Cuándo se cubrió de vello su barba?
f) ¿Cuánto duró su infancia?
156 Unidad 3: Ecuaciones
1. Indica la opción que contiene la solución de la ecuación x + 3 = 2x − 5.
a) −8
b) −2
c) 8
d) 8/3
2. Halla la opción que contiene el conjunto solución de la ecuación:
a) {−1, 1}
b) No tiene solución
c) {0, 3/2}
d) {5}
3. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25% de alcohol. Escoge la opción
que indica el número de litros de alcohol que deben añadirse para obtener una mezcla que con-
tenga el 50% de alcohol.
a) 8 litros
b) 6 litros
c) 10 litros
d) 7 litros
4. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados
sea 151.
a) 85 y 86
b) 74 y 75
c) 84 y 85
d) 75 y 76
5. Encuentra en la columna B las soluciones de las ecuaciones lineales que aparecen en la co-
lumna A.
2
1
2
3
1
x
x x−
− =
+
1573.1 Ecuaciones lineales
Columna A Columna B
a)
b) 
c) 
d) 
7 3 2 3
12
x
x x x x
−
+
= +
+
5
2 5
2
7( )x x−
=
−
4 7
3
3 5 4
7
9
( ) ( )x x
x
+ + + =
3 5 4 2 21( )x x x+ − + = −
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. No. La primera ecuación tiene solución x = 1; la segunda no tiene solución.
2. La ecuación se reduce a b = 0.
3. 
a) x = 8
b) x = 1/26
c) x = 7/9
d) x = 2/3
e) x = 2
f) x = 13/9
g) x = −5/23
h) x = −1/3
i) x = 0
j) x = 2
4. 18 horas
5. 150
6. $235,000 y $470,000
7. 90,0008. $70,000 y $10,000
i. x = 1
ii. x = −5
iii. x = 19
iv. x = 55/9
v. x = 2.5
vi. x = 0.666
vii. x = 2
viii. x = −5/7
158 Unidad 3: Ecuaciones
9. $44.00
10. $100,000 y $200,000
11. A 293.33 km de la Ciudad de México
12. $1,600
13. Aceptar los $60,000
14. 30 o más horas
15. $600
16. 152 y 356
17. 28 y 29
18. 12 y 24 metros
19. $600 y $4,800
20. 24 horas
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c
2. d
3. a
4. d
5. (a, iii), (b, vii), (c, iv), (d, v)
1593.2 Sistemas de ecuaciones lineales
3.2 Sistemas
de ecuaciones lineales
Con las rectas no hay una segunda
vez, si se encuentran será solamente
una vez; si reinciden, es para
siempre y desde siempre.
Introducción
El álgebra dio lugar a un cambio radical en las condiciones del trabajo mate-
mático, porque permitió reemplazar, mediante el trazo escrito, ciertos usos de
la memoria humana. Pero no fue esa su única aportación, el álgebra también
hizo posible la determinación de patrones de conducta de ciertos problemas,
que nos permite caracterizarlos y resolverlos de manera más general a partir
del análisis de las variables que intervienen, es decir, su uso no se restringe a
la manipulación algebraica, sino a la modelación y caracterización de fenó-
menos en los que intervienen más de una incógnita.
En el trabajo matemático, de manera frecuente encontramos que la relación
entre dos cantidades está dada a través de una fórmula. Así, sabemos que para
conocer cuánto mide el contorno de un círculo se parte de la fórmula: p = 2πr,
y de medir su radio. Si el radio de la circunferencia que nos interesa es de un
metro, su perímetro o contorno será de 2π metros o de 6.28 metros, aproxi-
madamente, pero si el radio es de 4.5 metros, su perímetro o contorno será de
9π metros o, de forma aproximada, de 28.27 metros, es decir, hacemos uso
de una relación entre dos variables, en donde el cambio en una introduce una
modificación en la otra: una de ellas “varía” conforme “varía” la otra. A una de
tales variables la denotamos r (radio) y a la otra p (perímetro).
Perímetro aprox. 
(m)
Radio 
(m)
Círculos
0.3 1.88496 
1 6.28319 
1.5 9.42478 
2 12.56637 
2.34 14.70265 
10 62.83185 
21.3 133.83185 
160 Unidad 3: Ecuaciones
Para analizar mejor este fenómeno, tenemos que ser capaces de imaginarnos
que hay muchos círculos con diferente radio y, por lo tanto, también con di-
ferente perímetro. La ecuación p = 2πr establecería la relación entre el radio
y el perímetro de todos los círculos que podamos imaginar que existen. En la
siguiente tabla te esbozamos algunos de los círculos que nos imaginamos, ¿es
posible que te imagines más?
Sin embargo, hay muchas relaciones en las que una variable puede modi-
ficar a otra. Así, si nuestro interés no hubiera estado en el contorno del círculo,
sino en la superficie del círculo, entonces nos hubiéramos concentrado en el
análisis de otra variable y requeriríamos de otra fórmula, la del área: a = πr2.
Necesitaremos también la existencia imaginaria de muchos círculos. Pero, en
este caso, aprovechemos los ya imaginados.
Área aprox. 
(m2)
Radio 
(m)
Círculos
0.3 0.28274 
1 3.14159 
1.5 7.06858 
2 12.56637 
2.34 17.20210 
10 314.15926 
21.3 1425.30917 
Aunque las relaciones son diferentes (¿por qué podemos considerarlas mate-
máticamente diferentes?), una de las variables es la misma: el radio del cír-
culo, es decir, al variar el radio de un círculo, varía también su perímetro, pe-
ro lo mismo ocurre con su área. Observemos y comparemos los valores del
área con los valores del perímetro en los diferentes círculos:
• En los círculos con radio de 0.3, de 1 y de 1.5, el perímetro es mayor que
su área. (¿Te esperabas eso?)
• En un círculo con un radio de 2, el perímetro y el área son iguales.
• En los círculos con radio de 2.34, 10 y 21.3, el perímetro es menor que su
área. (¿Ocurrirá lo mismo con otros valores mayores a estos?)
Esta comparación propicia más preguntas; por ejemplo, ¿hay otros círcu-
los con radio diferente a 2 metros para los que su área y su perímetro sean
iguales? O bien, ¿cómo probaríamos la hipótesis de que en círculos en donde
su radio tenga valores mayores a dos, siempre el área será mayor que su perí-
metro? La discusión que tuvimos es insuficiente para responder tal tipo de
cuestiones, que se resuelven a través del análisis matemático de las relaciones
1613.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Moira y Eris
Moira salió de Acapulco en su automóvil a las 6:00 de la mañana de ayer, con
una velocidad de 80 km/h, hacia el DF, que está a 434 kilómetros de Acapulco
por la carretera libre. Al mismo tiempo que Moira salía de Acapulco, Eris salió
en su automóvil del DF hacia Acapulco, con una velocidad de 60 km/h. Ambas
viajaron por la carretera libre y mantuvieron sus velocidades constantes.
Algunas de las preguntas que nos podemos hacer en el contexto aritmético son
las siguientes:
1. Dos horas después de haber salido, a las 8:00 de la mañana, ¿a qué distancia
estaba Moira de Acapulco? ¿Del DF? ¿A qué distancia se hallaban separadas
Eris y Moira en la carretera? Contesta las mismas preguntas cuando las jóve-
nes tengan cuatro horas de haber salido, a las 10:00 de la mañana.
Desde la perspectiva algebraica, nuestras preguntas serían:
a) t horas después de haber salido, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco?
¿Del DF? ¿A qué distancia estaba Eris del DF? ¿De Acapulco? ¿Qué distan-
cia separaba a Eris y a Moira en la carretera? ¿Qué valores puede tomar t pa-
ra que estas expresiones tengan sentido? ¿A qué horas corresponden del día
de ayer?
establecidas, y que, aunque importante, no se puede restringir a un análisis
aritmético, porque requiere un trabajo algebraico más profundo.
En esta situación hipotética con diferentes círculos, observamos que en
una misma circunstancia podemos manejar diferentes tipos de variables y de
relaciones, dependiendo de cuál sea nuestro interés. Así, por ejemplo, tal vez
estemos interesados en rodear con un hilo una circunferencia con cierto radio
(en tal caso, nos importará el perímetro) o en saber cuánto papel requerimos
para recortar un círculo con un cierto radio (en tal caso, nos concentraríamos en
el área) o por el valor del radio que hace que el área y la circunferencia sean
iguales, por simple curiosidad. A partir de una sola situación es posible estable-
cer muchas variables y muchas relaciones, lo que va a guiar nuestro análisis
será el contexto en el que estemos insertos.
También en este análisis observamos que las ecuaciones que describen el
área y el perímetro son diferentes. La diferencia principal es que a pesar de
que ambas tienen una misma variable, el radio, en las fórmulas que usamos,
ésta aparece con diferente exponente. Esto es, el grado de la ecuación del perí-
metro es 1; en cambio, el grado de la ecuación del área es 2 (porque en este
último caso la variable radio está elevada al cuadrado, algo que no ocurre en
la primera fórmula). En este apartado nos restringiremos al análisis de ecua-
ciones lineales, es decir, aquellas en donde las relaciones entre las variables
establecidas tengan como grado máximo 1; sin embargo, introduciremos un
análisis algebraico que permita sondear problemas con dos o más variables y
que logren conducir al análisis de otras ecuaciones con mayor grado.
El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las ecua-
ciones lineales y para distinguir el tipo de problemas que es posible resolver
a través de ellas.
162 Unidad 3: Ecuaciones
Nuestras preguntas son:
• ¿A qué hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera? ¿A qué distancia de Aca-
pulco ocurrió su feliz encuentro?
Objetivos
Al terminar esta sección, serás capaz de:
• Definir e identificar un sistema de ecuaciones lineales en un contexto dado.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por diferen-
tes métodos.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
• Resolver problemas que requieran el planteamiento de sistemas de ecua-
ciones lineales.
Ecuacioneslineales con varias variables
Las ecuaciones lineales también son llamadas ecuaciones de primer grado, porque el
grado máximo de cualquiera de sus términos es 1. Tales ecuaciones relacionan entre sí
una o más variables. Comenzaremos el análisis con las ecuaciones lineales más simples:
con las que tienen dos variables.
Una ecuación que puede escribirse de la forma:
con
es una ecuación lineal con dos variables. A esta forma se le llama forma general. 
a b y ≠ 0ax by c+ + = 0
A una ecuación lineal con dos variables también se le denomina ecuación de primer grado
con dos incógnitas, porque el grado máximo de esta ecuación es 1 y porque las variables,
en ciertos casos, fungen como incógnitas, es decir, como números desconocidos. Del
mismo modo, existen otras formas en las que comúnmente encontramos a la ecuación li-
neal; entre ellas:
o bien
Una ecuación lineal con dos variables tiene un número infinito de soluciones. Todos
aquellos valores, tanto para x como para y, que hacen que se cumpla la igualdad. Así, por
ejemplo, en la ecuación:
la igualdad se cumple cuando x = 1 y y = 5 (¡compruébalo!, sustituye ambos valores
en la ecuación), pero también cuando x = −1 y y = 1 o cuando x = −35 y y = −67. Las
soluciones de las ecuaciones de dos variables, entonces, están dadas por dos valores, uno
para cada una de las variables, a los que comúnmente se les escribe en forma de pares
y x− =2 3
ax by c+ =y ax b= +
1633.2 Sistemas de ecuaciones lineales
ordenados: (1, 5), (−1, 1) y (−35, −67), donde el primer elemento se corresponde con la
variable x y el segundo con la y. Hay muchos más pares ordenados que cumplen con esa
igualdad: (0.1, 3.2), (π, 2π + 3), (−1.41, 0.18)...; como habíamos dicho, un número in-
finito de soluciones.
Aunque es necesario escribir las soluciones de las ecuaciones en forma de pares
ordenados, una solución queda automáticamente establecida cuando una de las dos va-
riables queda definida. Así, por ejemplo, cuando definimos a x con valor 3, y debe tener
valor 9 para que la igualdad se cumpla; la solución sería (3, 9). Si y toma el valor de 10,
entonces x debe valer 3.5; en ese caso, la solución sería (3. 5, 10).
No sería posible representar todas las soluciones de una ecuación de primer grado con
dos incógnitas de manera aritmética, pues nunca terminaríamos de numerarlas todas.
Hay una forma más sencilla de representar muchos de estos pares ordenados, aunque di-
fícilmente todos, que es a través de su representación gráfica.
La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una línea
recta (de ahí el nombre de estas ecuaciones), en donde cada punto de la gráfica
representa un par ordenado.
Cada punto de la gráfica representa un par ordenado, así que una recta es la unión de un
número muy grande de pares ordenados; por lo tanto, también representa muchas solu-
ciones de la ecuación
Pero hay una sola forma de representar todos los pares posibles:
«para cualquier valor de x, y valdrá 2x + 3»,
puesto que para conocer cuánto vale y, dado el valor de x, bastará con sustituir x en 2x + 3.
De modo que una forma más general de escribir todas las soluciones de la ecuación será
a través de la misma ecuación: y = 2x + 3
y x− =2 3
Gráfica de
y − 2x = 3
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10−2−4−6−8
(−4, −5)
(−1, 1)
(1, 5)
(3, 9)
Figura 3.1 Gráfica de la recta
y − 2x = 3
164 Unidad 3: Ecuaciones
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
 3 + y = 24
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10−2−4−6−8
(−1, 6.75)
(2, 4.5)
(0, 6)
(8, 0)
Figura 3.2 Gráfica de la recta 3x + 4y = 24
Por ejemplo, si elegimos otra ecuación diferente a la manejada antes:
Ésta también tendrá un número infinito de pares ordenados, que harán que la igualdad se
cumpla: (0, 6), (2, 4.5), (−1, 6.75), (4, 3) (8, 0), ..., y también tendrá como gráfica una lí-
nea recta:
3 4 24x y+ =
Dos ecuaciones de primer grado, con dos variables o incógnitas consideradas
conjuntamente, forman un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.
Suele escribirse en la forma:
Nuestro objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas gene-
ralmente es conocer el valor de incógnitas que hace que las dos ecuaciones se
cumplan. El par ordenado que satisface ambas ecuaciones será la solución
del sistema de ecuaciones.
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =
Cada una de las dos ecuaciones, tanto como , tienen un núme-
ro infinito de soluciones y una línea recta como representación gráfica, pero sólo una
3 4 24x y+ =y x− =2 3
1653.2 Sistemas de ecuaciones lineales
solución común. Es decir, hay un solo par de números que hacen que las dos igualdades
se cumplan. Esto se vislumbra mejor si graficamos ambas ecuaciones en un solo siste-
ma de ejes cartesianos. Se observa que cada una de las gráficas es independiente, pero
tienen un punto en común, que es aquel en el que ambas rectas se intersecan. Por lo tan-
to, todos los pares ordenados que constituyen cada recta son diferentes, excepto uno de
ellos, que estará dado por las coordenadas del punto de intersección de las rectas:
y − 2x = 3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−3−4−5−6−7−8−9
 3x + 4y = 24
Figura 3.3 La intersección de las rectas y − 2x =3, 3x + 4y = 24.
Único punto en común a las
dos rectas (sus coordenadas
serán el único par ordena-
do que cumplirá con las dos
ecuaciones).
A través de la gráfica, incluso podemos determinar, de manera aproximada, cuáles con
las coordenadas de ese punto y, por lo tanto, el valor aproximado de x y y con el que las
dos igualdades se cumplen.
En resumen, en un sistema de ecuaciones de dos variables el objetivo principal
es encontrar:
1. Las coordenadas del punto en el que se intersecan las dos rectas.
2. El valor de x y el valor de y, que hacen que las dos igualdades se cumplan.
El principio básico es que ambas ecuaciones tienen un número infinito de solucio-
nes (tantos como puntos tiene su gráfica), pero queremos conocer aquella solución
que sea común a las dos ecuaciones (o un punto común a las dos gráficas).
166 Unidad 3: Ecuaciones
Métodos de solución
Como ya mencionamos, una forma aproximada de conocer el punto común a las dos rec-
tas es a través de la gráfica de las dos ecuaciones. Aparentemente el punto común a las
dos gráficas que nos ocupan es (1, 5). Comprobémoslo: El par ordenado (1, 5) debe sa-
tisfacer las ecuaciones; por lo tanto, si sustituimos x = 1 y y = 5, en ambas ecuaciones,
se debe cumplir la igualdad:
• 5 = 2(1) + 3
5 = 5 
Sí cumple con la igualdad
•
No cumple con la igualdad 
Por lo tanto, el punto (1, 5) no es solución para las dos ecuaciones, sino sólo para la
primera.
A pesar de ello, el punto (1,5) está muy próximo a una solución de la segunda ecua-
ción, puesto que 23 es cercano a 24. De modo que podemos probar otras aproximacio-
nes a través de una tabla, proponiendo valores cercanos a 1 para x y encontrando cuál sería
el valor de y que satisface cada una de las ecuaciones. Es necesario, para ello, despejar
y de ambas ecuaciones.
23 24≠
3 1 4 5 24( ) ( )+ ≠3 4 24x y+ =
y x− =2 3
x y = 2y x + 3x y – x
x
0.9 4.8 5.325 
1 5 5.25 
1.1 5.2 5.175 
1.2 5.4 5.1 
y x= −6 3
4
y x= +2 3
En esta tabla se muestran diversas soluciones para ambas ecuaciones. Ninguna de esas
soluciones es la solución del sistema de ecuaciones, puesto que ninguno de los pares
ordenados son iguales en ambas ecuaciones; sin embargo, se deduce que un valor de 1.1
para x es una mejor aproximación a la solución que 1, puesto que (1.1, 5.2) está más
próximo a (1.1, 5.175) que (1, 5) a (1, 5.25). De manera que encontraríamos una mejor
aproximación si damos valores a x, ahora alrededor de 1.1, de la misma forma que lo hi-
cimos alrededor de 1.
Aun cuando el método gráfico es muy útil para comprender uno de los significados
de la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, no nos proporciona una
solución muy precisa. El método aritmético brinda una solución másexacta, pero es ne-
cesario un tanteo sistemático para encontrarla. El álgebra, en cambio, nos proporciona
métodos con los que es posible hallar de una manera más rápida esa solución.
Todos los métodos algebraicos se basan en reducir el problema a una ecuación que
tenga una sola incógnita, siguiendo el principio básico de que buscamos la solución
1673.2 Sistemas de ecuaciones lineales
que sea común a ambas ecuaciones, y tienen nombres que siguen al pie de la letra el pro-
cedimiento que se debe llevar.
Método de igualación 
El método consiste en igualar las dos ecuaciones. Para ello, es necesario despejar pre-
viamente la misma variable de ambas ecuaciones. 
Ejemplifiquemos el procedimiento:
La primera ecuación es: La segunda ecuación es:
Despejamos y: Despejamos y:
Recordemos que las y de ambas ecuaciones deben ser iguales:
y = y
Por lo tanto:
De aquí, ya podemos despejar x:
Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones donde y está despejada:
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
264
11
24=
33
11
3=
36
11
228
11
24+ =57
11
24
11
3− =
3
12
11
4
57
11
24⎛⎝
⎞
⎠ +
⎛
⎝
⎞
⎠ =
57
11
2
12
11
3− ⎛⎝
⎞
⎠ =
y = 57
11
y = ⎛⎝
⎞
⎠ +2
12
11
3
y x= +2 3
x = 12
11
11
4
3x =
2
3
4
6 3x x+ = −
2 3 6
3
4
x x+ = −
y x= −6 3
4y x= +2 3
3 4 24x y+ =y x− =2 3
168 Unidad 3: Ecuaciones
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
En forma decimal, la solución es , muy próxima a la que ya habíamos en-
contrado. Pero como la solución es un número decimal periódico, no es posible encon-
trar la solución exacta a través del método numérico, sólo hallaremos aproximaciones. 
El procedimiento seguido hubiera sido el mismo si originalmente hubiéramos despe-
jado x en ambas ecuaciones.
Método de sustitución
1 09 5 18. , .( )
12
11
57
11
,⎛⎝
⎞
⎠
El método consiste en sustituir una de las dos variables en la otra ecuación. Para
ello, al menos una de las dos ecuaciones debe tener despejada una de las dos va-
riables. 
Veamos un ejemplo diferente:
La primera ecuación es: La segunda ecuación es:
Despejamos x de la primera ecuación:
Sustituimos x en la segunda ecuación:
Despejamos y de esta ecuación resultante:
Sustituimos el valor de y para encontrar el valor de x en la primera ecuación ya despejada:
x = 2
x = − +3
4
1
11
4
( )
y = −1
57
4
57
4
y = −
33
4
6 16
121
4
y y+ = −
33
4
121
4
6 16y y+ + =
33
4
121
4
6 16y y+ + =
11
3
4
11
4
6 16y y+⎛⎝
⎞
⎠ + =
x y= +3
4
11
4
11 6 16x y+ =4 3 11x y− =
1693.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
En este método hubiéramos podido escoger cualquiera de las dos ecuaciones para
despejar cualquiera de las dos incógnitas y después sustituir en la otra ecuación. Pero hay
que tener cuidado de despejar de una ecuación y sustituir en la otra ecuación. Si se sus-
tituye en la misma ecuación de la que se despeja, no se involucran las dos ecuaciones
en la solución; por lo tanto, sólo se destruirá el proceso realizado, porque la igualdad
resultante será cierta para cualquier valor de la variable.
Método de suma y resta, reducción o eliminación
2 1, −( )
22 6 16− =8 3 11+ =
11 2 6 1 16( ) + − =( )4 2 3 1 11( ) − − =( )
La intención en este método es reducir el sistema a una ecuación con solución
obvia. Una de las dos variables se elimina sumando o restando una ecuación a la otra.
Para lograrlo, es necesario reemplazar una o ambas ecuaciones originales del sistema
con ecuaciones equivalentes, en donde la incógnita que se quiere reducir esté en
condiciones de que, al sumarlas o restarlas, efectivamente la incógnita sea eli-
minada. 
Ilustremos este método con otro ejemplo:
La primera ecuación es: La segunda ecuación es:
Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by = c:
Se analizan ambas ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. El
criterio de selección habrá de definir cuál de las dos variables ofrece mayor facilidad para
que, al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en las
dos ecuaciones del sistema. En este caso, los coeficientes de y tienen signo contrario, así
que para que al ser sumadas ambas ecuaciones se elimine la variable y, será necesario
multiplicar cada una de las ecuaciones por un número, de manera que esta variable ten-
ga el mismo coeficiente, pero de signo contrario.
Se multiplica la ecuación por 5: Se multiplica la ecuación por 3:
21 15 54x y− =25 15 65x y+ =
7 5 18x y− =5 3 13x y+ =
7 5 18x y= +5 13 3x y= −
170 Unidad 3: Ecuaciones
Las ecuaciones resultantes son equivalentes a las originales; entonces, lo importante es
que la variable y tiene coeficientes simétricos, por lo que al sumar ambas ecuaciones se
“eliminará” la variable y:
46x = 119
De la ecuación resultante, ya es posible despejar x:
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
Este método es el menos rutinario, porque exige un análisis previo de las ecuaciones,
pero una vez que te has familiarizado con él resulta el más fácil de realizar, pues el des-
peje de la incógnita no eliminada es inmediato.
Método de determinantes
Este método hace uso de herramientas matemáticas que permiten la solución de sistema
de ecuaciones de manera rutinaria y general: las matrices, y más específicamente del
concepto de determinante.
119
46
1
46
,⎛⎝
⎞
⎠
833
46
833
46
=595
46
595
46
=
833
46
5
46
18= +595
46
13
3
46
= −
7
119
46
5
1
46
18⎛⎝
⎞
⎠ =
⎛
⎝
⎞
⎠ +5
119
46
13 3
1
46
⎛
⎝
⎞
⎠ = −
⎛
⎝
⎞
⎠
y = 1
46
3
3
46
y =
3
595
46
13y = −
595
46
13 3= − y
5
119
46
13 3⎛⎝
⎞
⎠ = − y
 x = 119
46
21 15 54x y− =
25 15 65x y+ =
+
1713.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema de ecuaciones:
De manera general, la matriz de un sistema de dos por dos (dos ecuaciones con dos in-
cógnitas), se representa de la siguiente manera:
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema:
Cabe decir que para usar este método debemos tener el mismo número de ecuaciones que
de incógnitas.
a x b y c2 2 2+ =
a b
a b
1 1
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a x b y c1 1 1+ =
x y− = −5 3
2 3
1 5−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3 7x y+ =
Una matriz es un arreglo de números que permitirá representar un sistema de
ecuaciones de manera simplificada a través de los coeficientes de sus variables.
En general, los coeficientes de la variable x se colocan en la primera columna y
los de la variable y en la segunda columna. Asimismo, los coeficientes de la primera
ecuación están en el primer renglón y los de la segunda ecuación en el segundo
renglón, de manera que la ubicación de los números permite reconstruir fácil-
mente el sistema de ecuaciones.
El valor del determinante de una matriz de dos por dos, , se simboli-
za con la letra D y está dado por el número a1b2 − a2b1
a b
a b
1 1
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Una forma de recordar cómo se calcula el valor del determinante de una matriz de dos
por dos es:
Entonces, el determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería:
Matriz del sistema:
Ds = −10 − (3) = −13
2 3
1 5−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
172 Unidad 3: Ecuaciones
Pero, ¿cuál es el objetivo de calcular ese número? ¿Qué nos indica el −13? 
La regla de Cramer establece que para encontrar la solución de un sistema de
ecuaciones es necesario establecer varias matrices: la matriz del sistema y una
matriz por cada variable que tengamos. El valor de cada variable estará dado
por el cociente del determinante de la matriz de esa variable entre la matriz del
sistema. Para justificar la validez del método bastaría con resolver un sistema
general de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados.
Las matrices de las variablesse construyen sustituyendo la columna asignada a la varia-
ble en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos indepen-
dientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa la
matriz de cada una de sus variables será:
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: Matriz de la variable x:
x y
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: Matriz de la variable y:
x y
Los determinantes de cada uno de estas matrices serían:
Matriz de la variable x:
Dx = −35 − (−9) = −26 
Matriz de la variable y:
Dy = −6 − (7) = −13
2 7
1 3−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7 3
3 5− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
x y− = −5 3
2 7
1 3−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3
1 5−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3 7x y+ =
x y− = −5 3
7 3
3 5− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3
1 5−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3 7x y+ =
1733.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuacio-
nes sería:
y 
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: (2,1)
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. 
La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se re-
sume de la siguiente forma:
Sistema de ecuaciones:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =
2 5 1 3− = −( )2 2 3 1 7( ) ( )+ =
x y− = −5 32 3 7x y+ =
y = −
−
=13
13
1x = −
−
=26
13
2
Del sistema De la variable ‘y’De la variable ‘x’
Matriz:
Determinante: Ds = a1b2 − a2b1 Dx = c1b2 − c2b1 Dy = a1c2 − a2c1
Solución:
y
a c a c
a b a b
= −
−
1 2 2 1
1 2 2 1
x
c b c b
a b a b
= −
−
1 2 2 1
1 2 2 1
y
Dy
Ds
=x Dx
Ds
=
a c
a c
1 1
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c b
c b
1 1
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a b
a b
1 1
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
La ventaja de esta generalización es que se observa claramente la condición indispensable
para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
La presentación de tantos métodos de solución alude a las diferentes formas en que
se puede mostrar un sistema de ecuaciones. Regularmente hay un método por el cual el
sistema de ecuaciones de interés se logra resolver de una manera más fácil, por lo que
constituye un reto saber seleccionar cuál es el método más simple en cada caso particular.
Sin embargo, en forma de recomendación general, es preferible hacer uso del método de
suma y resta en los casos más complicados y el de determinantes en caso de que los coe-
ficientes de las variables sean otras variables (o parámetros).
a b a b1 2 2 1 0− ≠
174 Unidad 3: Ecuaciones
Tipos de solución
La condición que se establece a partir de la generalización de la solución de un sistema
de ecuaciones cuestiona el tipo de soluciones que se podrían hallar. ¿Será posible encon-
trar un sistema de ecuaciones en donde no ocurra que ? ¿Qué pasa con
los otros métodos cuando esto ocurre? ¿Qué significado tiene tal condición?
Sabemos que hay dos situaciones bajo las cuales la condición no se cumple:
1. Una de ellas es cuando el sistema de ecuaciones a resolver está constituido por
ecuaciones equivalentes y, por lo tanto, el sistema es dependiente. La gráfica
de ambas ecuaciones es la misma línea recta. Lo anterior significa que cual-
quier par ordenado que sea solución de una de las ecuaciones, también lo será
de la otra ecuación, por lo que para el sistema de ecuaciones habrá muchas so-
luciones, tantas como soluciones tenga cada ecuación por separado: un número
infinito.
2. La otra ocurre cuando el sistema es inconsistente. Esto significa que no existe una
solución que haga que ambas se cumplan. En tal caso, la gráfica del sistema de
ecuaciones serán dos rectas paralelas que nunca se juntan; por lo tanto, el sistema
de ecuaciones no tiene solución.
Daremos un ejemplo para cada caso, usando diferentes métodos de solución.
Sistema de ecuaciones dependientes
Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos.
6 8 4x y− = −
3 2 4x y+ =
a b a b1 2 2 1 0− ≠
Método 
de eliminación
Método 
de igualación
Método numérico 
y gráfico
Método de 
determinantes
Despejamos x de Acomodamos ambas Acomodamos ambas Elaboramos una tabla con distintas 
ambas ecuaciones: ecuaciones: ecuaciones: soluciones de ambas ecuaciones
6 4 8x y+ =6 4 8x y+ =
x
y= −8 4
6
y
x
2
8 6
4
= −y x1
4 3
2
= −3 2 4x y+ =3 2 4x y+ =x y= −4 2
3
x y1 y2
–3 6.5 6.5
–2 5 5
1753.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Igualamos las dos Multiplicamos por (−2) Obtenemos la matriz
ecuaciones: la primera ecuación del sistema y su deter-
para eliminar x: minante:
; Ds = 3*4 − 6*2
Ds = 0
Despejamos y: Sumamos ambas La gráfica de ambas ecuaciones es:
ecuaciones:
Cualquier valor de y Al simplificar se El determinante del Cualquier solución de la primera
hace cierta la eliminan ambas sistema es 0, por lo ecuación, es solución también
igualdad resultante. variables. tanto, el cociente de de la segunda.
las soluciones sería 0.
No es posible Da lugar a una igualdad Resulta una indeter- La gráfica de ambas ecuaciones
despejar la variable. que será siempre cierta. minación matemática. es la misma.
6 4 2 3 8 4
24 12 24 12
−( ) = −( )
− = −
y y
y y
6 4 8x y+ =
3 2
6 4
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− − = −6 4 8x y
4 2
3
8 4
6
− = −y y
–1 3.5 3.5
0 2 2
1 0.5 0.5
2 –1 –1
3 –2.5 –2.5
0 = 0
6 4 8x y+ =
− − = −6 4 8x y
1−1−2−3−4 2 3 4
1
2
3
4
−1
−2
−3
Conclusión: El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Esto significa que:
1. Todos los pares ordenados que satisfacen una ecuación también lo harán con la otra.
2. Todos los puntos que pertenezcan a la recta de una ecuación también pertenecerán a la otra.
Sistema de ecuaciones inconsistente
Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos:
5 8 10x y+ = −
x y+ =2 8
Método 
de eliminación
Método 
de igualación
Método numérico 
y gráfico
Método de 
determinantes
176 Unidad 3: Ecuaciones
Despejamos x de Acomodamos ambas Acomodamos ambas Elaboramos una tabla con distintas
ambas ecuaciones: ecuaciones: ecuaciones: soluciones de ambas ecuaciones:
Igualamos las dos Multiplicamos por (−5) Obtenemos la matriz 
ecuaciones: la primera ecuación del sistema y su 
para eliminar x: determinante:
; Ds = 1*10 − 5*2
Ds = 0
Despejamos y: Sumamos ambas La gráfica de ambas ecuaciones es
ecuaciones:
Ningun valor de y Al simplificar se El determinante del Ninguna solución de la primera
hace cierta la eliminan ambas sistema es 0. ecuación es solución de la
igualdad resultante. variables. segunda.
No es posible Da lugar a una Resulta una Las gráficas de las ecuaciones
despejar la variable. igualdad que nunca indeterminación son líneas paralelas.
será cierta. matemática.
0 = −48
10y − 10y = −8 − 40
0 = −2440 10 8 10− = − −y y
5 10 8x y+ = −
− − = −5 10 16x y5 8 2 8 10−( ) = − −y y
5 10 8x y+ = −
1 2
5 10
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥− − = −5 10 16x y
8 2
8 10
5
− = − −y y
5 10 8x y+ = −5 10 8x y+ = −
x
y= − −8 10
5
y
x
1
8 5
10
= − −y x2
8
2
= −
x y+ =2 8x y+ =2 8x y= −8 2
x y1 y2
–3 5.5 0.7
–2 5 0.2
–1 4.5 –0.3
0 4 –2.5
1 3.5 –1.3
2 3 –1.8
3 2.5 –2.3
1−1−2−3−4 2 3 4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
5x + 8 − 10y
x + 2y = 8
Conclusión: El sistema de ecuaciones no tiene solución. Esto significa que:
1. Ningún par ordenado hará que se cumplan las dos ecuaciones.
2. Las rectas no se cortan en ningún punto, son paralelas.
Entonces, dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos esperar tres resultados, dependiendo del tipo
de sistema de ecuaciones con el que nos encontremos:
1. Tendrá una solución si el sistema de ecuaciones es consistente y las ecuaciones que lo forman son independientes.
2. No tiene ninguna solución si el sistema de ecuaciones es inconsistente.
1773.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas
3. Tendrá un número infinito de soluciones si el sistema es consistente, pero las ecuaciones que lo forman son
dependientes.
No es posible diferenciar un sistema inconsistente de uno dependiente por el método de determinantes,pero sí hacerlo
explorando el sistema con algún otro método.
La forma general de una ecuación lineal con tres variables es una ecuación
que puede escribirse así:
con a b c, , ≠ 0ax by cz d+ + + = 0
Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que una de dos variables, tiene un nú-
mero infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para x, y y z que hacen que se
cumpla la igualdad. Esta vez cada solución es una terna ordenada: (x, y, z). Su gráfica
se traza en un sistema coordenado de tres ejes y es un plano.
z
x y
Figura 3.4 La gráfica de una ecuación lineal de tres variables es un plano
Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que son solución a la ecuación
son (1, 2, 5), (1, 0, −3), (2, 1, 5) y (3, 0, 5), en tanto que el plano
de arriba es su representación gráfica.
− − + + =4 4 7 0x y z
178 Unidad 3: Ecuaciones
El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas generalmente es co-
nocer el valor que tomará cada una de las tres incógnitas para que las tres ecuaciones se
cumplan; así, la terna ordenada que satisface las tres ecuaciones será la solución del
sistema de ecuaciones. La gráfica de cada ecuación por sí misma es un plano, de modo
que la terna ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres planos. 
Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas consideradas con-
juntamente forman un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Suele es-
cribirse de la forma:
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
+ + =
+ + =
+ + =
z
y
x
Figura 3.5 La gráfica de tres planos que representan tres ecuaciones lineales. El punto
de intersección es la solución del sistema de ecuaciones
Sin embargo, como en el caso del sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es posible
que el sistema de ecuaciones con tres incógnitas sea inconsistente, consistente-inde-
pendiente y consistente-dependiente. La complejidad de los tipos de soluciones que en-
contramos es mayor porque son más las posibilidades de intersección de los tres planos:
1. Puede ocurrir que los tres planos coincidan, sean los mismos. Esto significará que las
ecuaciones son equivalentes; por lo tanto, el sistema será dependiente y tendrá un nú-
mero infinito de soluciones porque todas las ternas ordenadas que satisfagan una de
las ecuaciones lo harán con las otras dos.
2. Otra posibilidad es que dos de los planos coincidan y el tercero sea paralelo. En tal
caso, las primeras dos ecuaciones son equivalentes; por lo tanto, dependientes e in-
consistentes con la tercera ecuación. El sistema no tendrá solución porque no hay
puntos comunes a los tres planos.
3. Los tres planos pueden ser distintos y paralelos. En tal caso, el sistema es inconsis-
tente y no tiene solución, porque no hay puntos comunes a los tres planos.
1793.2 Sistemas de ecuaciones lineales
4. Dos planos pueden ser coincidentes y el tercero cortarlos. Entonces, las dos ecuacio-
nes correspondientes a los planos coincidentes son dependientes y consistentes con
la tercera ecuación. En tal caso hay un número infinito de soluciones, dadas por los
puntos que satisfacen a la recta en que se cortan los dos planos.
5. Los tres planos se cortan en una misma recta; el dibujo sería semejante a las hojas de
una revista. En éste las tres ecuaciones son consistentes, pero dependientes (a pesar
de no haber equivalencia), porque el sistema es redundante, puesto que se podría eli-
minar una ecuación sin afectar el conjunto solución. El número de soluciones es infi-
nito, dadas por los puntos de la recta común a los tres planos.
6. Los tres planos pueden corresponder a las caras de un prisma triangular: se cortan por
pares. El corte de cada par de planos es una línea recta que será paralela a la recta for-
mada por otro par de planos. Así, con el corte de los tres planos se forman tres rectas
paralelas; por lo tanto, el sistema es independiente, pero inconsistente. El sistema no
tiene solución porque no hay puntos comunes a los tres planos.
7. Dos planos pueden ser paralelos y el tercero cortarlos. Así, el sistema es inconsisten-
te e independiente. El sistema no tiene solución porque no hay puntos comunes a los
tres planos.
8. Los tres planos pueden cortarse en un punto único, como ocurre con las caras de una
pirámide triangular o con las tres paredes perpendiculares de una recámara o una ca-
ja. En tal caso, el sistema es consistente e independiente, y tiene una única solución.
Dependiendo del tipo de solución, es posible resumir los tipos de soluciones en cuatro
casos:
1. No hay ninguna solución cuando se presenta algún tipo de inconsistencia, es decir,
cuando no hay puntos comunes a los tres planos y, por lo tanto, no hay valores posi-
bles para las tres variables que hagan que las tres ecuaciones sean ciertas (casos 2, 3,
6 y 7).
2. La solución es un plano cuando las tres ecuaciones son dependientes entre sí, es de-
cir, cuando la gráfica de las tres ecuaciones es un mismo plano; por lo tanto, todas las
ternas ordenadas que satisfacen una de las ecuaciones también serán solución de
las otras dos. En este caso se afirma que el sistema tiene un número infinito de solu-
ciones y la gráfica de esas soluciones será un plano (caso 1).
3. La solución es una línea recta cuando dos de las ecuaciones que constituyen el siste-
ma tienen algún tipo de dependencia, pero no hay inconsistencia (casos 4 y 5). Las
ternas ordenadas que están sobre esa línea recta serán las soluciones al sistema de
coordenadas; por lo tanto, también tiene un número infinito de soluciones.
4. La solución es una terna ordenada cuando los tres planos se interceptan (caso 8). En
tal caso, el sistema es consistente e independiente.
Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
con tres incógnitas
Los métodos para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones con tres
incógnitas son muy parecidos a los vistos para las ecuaciones con dos incógnitas. La ló-
gica que se sigue es la misma: cada ecuación tiene un número infinito de soluciones y
tratamos de encontrar alguna solución común a las tres ecuaciones. Como ya se analizó,
es posible encontrar diferentes soluciones y darse cuenta de qué tipo de solución se trata.
180 Unidad 3: Ecuaciones
Dada la complejidad que implica el manejo algebraico de tres incógnitas, reducire-
mos la exposición de los métodos de solución a dos casos: por reducción o suma y res-
ta, y por determinantes, que son los más sencillos y los más útiles para tratar sistemas de
ecuaciones con más incógnitas.
Método de suma y resta, reducción o eliminación 
El principio será el mismo que en el caso de dos variables, sólo que ahora nuestra pri-
mera intención es reducir un sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitas
para, posteriormente, resolver este último sistema, como ya se describió. La mecánica
consiste en eliminar una de las tres variables sumando o restando parejas de ecuaciones,
dando lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, que se podrá resolver de la
forma vista. Ilustremos este método con un ejemplo. Encontraremos la solución al siste-
ma de ecuaciones:
Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by + cz = d:
1. 2. 3.
Se analizan las tres ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. El
criterio de selección es definir cuál de las tres variables ofrece mayor facilidad para que,
al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en dos de las
ecuaciones del sistema.
En este caso, los términos de y tienen el mismo coeficiente en dos de las ecuaciones
(la primera y la tercera) y el coeficiente de la segunda es múltiplo de las otras dos. Así,
uno de nuestros pares de ecuaciones será el formado por la primera y la tercera ecuacio-
nes; el otro estaría constituido por las ecuaciones primera y tercera (aunque también po-
dríamos haber escogido la segunda y la tercera ecuaciones).
Par de ecuaciones 1ª y 3ª: Par de ecuaciones 1ª y 2ª:
La primera ecuación se multiplicaLa primera ecuación se multiplica por el
por el factor (−1), luego se suman factor (2), luego se suman y se elimina
y se elimina la variable y: la variable y:
4. –5x + 7z = 4 5. 5x −z = −7
Las ecuaciones resultantes tienen dos incógnitas: x y z, así que volvemos a buscar la for-
ma de reducir una de las dos incógnitas para despejar la otra. En este caso, los coeficien-
tes de x son simétricos, de modo que al sumarlas se eliminará esa variable, es decir, no
necesitamos multiplicar por un factor para que al sumarlas se eliminen.
x y z− − = −4 5 7− + + =3 2 9 4x y z
4 4 4 0x y z+ + =− − − =2 2 2 0x y z
x y z− − = −4 5 7− + + =3 2 9 4x y z
2 2 2 0x y z+ + =2 2 2 0x y z+ + =
− + + =3 2 9 4x y zx y z− − = −4 5 72 2 2 0x y z+ + =
2 2 2
4 7 5
3 2 9 4
x y z
y x z
x y z
+ = −
− + + =
− + + =
1813.2 Sistemas de ecuaciones lineales
De la ecuación resultante, ya es posible despejar z:
Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para co-
nocer x. En este caso, por facilidad, se sustituirá en la ecuación 5:
Sustituimos las dos incógnitas ya conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales.
Por facilidad, sustituiremos en la ecuación 1:
Comprobemos los valores encontrados para las tres variables en las tres ecuaciones ori-
ginales:
− = −5
2
5
2
− − = −1 3
2
5
2
9
2
4
9
2
4+ + − =− − + = −8 3
2
7
5
2
− + =3 4 1
− −⎛⎝
⎞
⎠ + ( ) + −
⎛
⎝
⎞
⎠ =3
3
2
2 2 9
1
2
4− ( ) + −⎛⎝
⎞
⎠ + = −
⎛
⎝
⎞
⎠4 2
3
2
7 5
1
2
2
3
2
2 2 2
1
2
−⎛⎝
⎞
⎠ + ( ) = − −
⎛
⎝
⎞
⎠
− + + =3 2 9 4x y z− + + =4 7 5y x z2 2 2x y z+ = −
y = 2
2 4y =
2 4 0y − =
− + − =3 2 1 0y
2
3
2
2 2
1
2
0−⎛⎝
⎞
⎠ + + −
⎛
⎝
⎞
⎠ =y
x = − 3
2
x = − 15
2 5( )
5 7
1
2
x = − −
5
1
2
7x − −⎛⎝
⎞
⎠ = −
 z = − 1
2
 z6 3= −
5 7x z− = −
− + =5 7 4x z
1 1= 4 4=
182 Unidad 3: Ecuaciones
La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
Como se observa, este método también permite resolver sistemas de ecuaciones con más
incógnitas; la mecánica sería la misma: reducir el sistema de ecuaciones hasta llegar a
una solución obvia. Así, un sistema con cuatro incógnitas y cuatro ecuaciones se reduci-
ría a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones; ese sistema se volvería a reducir a
un sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones y así sucesivamente hasta despejar fá-
cilmente una de las incógnitas.
No está por de más recordar que si en el proceso no es posible despejar las incógnitas,
el sistema no tendrá solución o tendrá un número infinito de soluciones, dependiendo
del tipo de indefinición a la que se llegue, de la misma forma que ocurre con un sistema de
dos incógnitas con dos ecuaciones. Si resulta una igualdad obvia, el sistema tendrá algu-
na modalidad de dependencia y un número infinito de soluciones; si no hay un valor de
la variable que haga que la ecuación resultante sea cierta, el sistema tendrá algún tipo de in-
consistencia y ninguna solución.
Método de determinantes
La Regla de Cramer, ya definida, es cierta para cualquier sistema de ecuaciones con más
de dos incógnitas. De modo que nuestra preocupación ahora será encontrar las matrices
y los determinantes, tanto del sistema como de cada una de las incógnitas en un sistema
de ecuaciones con tres incógnitas.
Las matrices del sistema y de las incógnitas se encuentran de la misma manera que
se describió en el caso de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Es conveniente
que el sistema de ecuaciones tenga el orden en que serán ordenadas las variables en las
matrices; también, sólo es posible usar este método cuando hay el mismo número de
ecuaciones que de incógnitas. 
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema:
De manera general, la matriz de un sistema de tres por tres (tres ecuaciones con tres in-
cógnitas) se representa de la siguiente manera:
Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema:
Obtener el valor del determinante de una matriz de tres por tres es un poco 
más complicado que para una matriz de dos por dos. El determinante está dado por:
Ds = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2
a x b y c z d3 3 3 3+ + =
a x b y c z d2 2 2 2+ + =
a x b y c z d1 1 1 1+ + =
4x + 2y + z = 1
−2x − 2y − z = −1
x − 2y + 5z = 0
− −⎛⎝
⎞
⎠
3
2
2
1
2
, , 
1833.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Para recordar cómo se calcula el valor del determinante, es necesario modificar la ma-
triz original. Se repiten los dos primeros renglones; así, calcular el determinante será
cuestión de multiplicar las ternas formadas por las diagonales. Se suman los productos
de cada columna y el resultado de la columna del lado izquierdo se resta al resultado de
la columna del lado derecho. En general, el proceso se ilustra de la siguiente manera:
El determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería:
Determinante del sistema: Ds = −14 − (−38) = 24 
Las matrices de las variables se construyen sustituyendo la columna asignada a la varia-
ble en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos indepen-
dientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa, la
matriz de x se obtiene sustituyendo la columna 0, −1 y 1 (términos independientes del
sistema) por la columna correspondiente a los coeficientes de x en la matriz del sistema
(recuerda que en esta matriz están ordenados: x, y, z).
Matriz del sistema:
Matriz de la variable x: Matriz de la variable y: Matriz de la variable z:
A continuación se calculan los determinantes de cada una de estas matrices:
1 5−2
−2 −1−2
−40 = (4)(−2)(5) (1)(−2)(1) = −2
−2 = (1)(2)(−1) (−2)(2)(5) = −20
4 = (−2)(−2)(1) (4)(−2)(−1) = 8
−38 −14
184 Unidad 3: Ecuaciones
De la variable x:
Determinante de x: Dx = −8 − (−8) = 0 
De la variable y:
Determinante de y: Dy = −11 − (−21) = 10 
De la variable z:
Determinante de z: Dz = 6 − 2 = 4 
Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuaciones
sería:
, y
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
1 1=− = −1 10 0=
5
6
1
6
1+ =− − = −5
6
1
6
1− + =5
6
5
6
0
4 0 2
5
12
1
6
1( ) + ⎛⎝
⎞
⎠ + =− ( ) −
⎛
⎝
⎞
⎠ − = −2 0 2
5
12
1
6
10 2
5
12
5
1
6
0− ⎛⎝
⎞
⎠ +
⎛
⎝
⎞
⎠ =
4x + 2y + z = 1− 2x − 2y − z = −1x − 2y + 5z = 0
z = =4
24
1
6
y = =10
24
5
12
x = =0
24
0
1 0−2
−2 −1−2
10 = (4)(−2)(0) (1)(−2)(1) = −2
−2 = (1)(2)(−1) (−2)(2)(0) = 0
4 = (−2)(−2)(1) (4)(−2)(−1) = 8
2 6
1 50
−2 −1−1
−20 = (4)(−1)(5) (1)(−1)(1) = −1
−1 = (1)(1)(−1) (−2)(1)(5) = −10
0 = (−2)(0)(1) (4)(0)(−1) = 0
−21 −11
0 5−2
−1 −1−2
−10 = (1)(−2)(5) (0)(−2)(1) = 0
0 = (0)(2)(−1) (−1)(2)(5) = −10
2 = (−1)(−2)(1) (1)(−2)(−1) = 2
−8 −8
1853.2 Sistemas de ecuaciones lineales
DeterminanteMatriz Solución
La igualdad se cumple en las ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. 
La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se resu-
me de la siguiente forma:
Sistema de ecuaciones:
a x b y c z d3 3 3 3+ + =
a x b y c z d2 2 2 2+ + =
a x b y c z d1 1 1 1+ + =
0
5
12
1
6
, ,⎛⎝
⎞
⎠
Claramente se observa que para que haya una solución de un sistema de ecuaciones con
tres incógnitas se debe cumplir que , es decir,
.
En caso contrario, el sistema de ecuaciones tendría muchas soluciones
o ninguna y deberá analizarse por otro método.
Hay que tener cuidado al aplicar el método de determinantes a sistemas de ecua-
ciones con un número de incógnitas superior a tres, ya que si bien es cierto que tanto la
Regla de Cramer como la obtención de las matrices del sistema y de cada una de las va-
riables se extiende a sistemas mayores a los tratados, el cálculo del determinante de las
matrices es diferente. La regla expuesta para la obtención del determinante aquí tratado
sólo es cierta para las matrices de tres por tres y de dos por dos. La obtención del deter-
minante de matrices superiores pertenece al campo delálgebra lineal y las reglas a se-
guir pueden ser consultadas en esa área de la matemática.
a b c a b c2 1 3 1 3 2 0− ≠ .
a b c a b c a b c a b c1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1+ + − −Ds ≠ 0
Del sistema
De la
variable x
De la
variable y
De la
variable z z
Dz
Ds
=Dz a b d a b d a b d a b d a b d a b d= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
a b d
a b d
a b d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
y
Dy
Ds
=Dy a d c a d c a d c a d c a d c a d c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
a b c
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x
Dx
Ds
=Dx d b c d b c d b c d b c d b c d b c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
d b c
d b c
d b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Ds a b c a b c a b c a b c a b c a b c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
a b c
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
186 Unidad 3: Ecuaciones
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones
solución
Ejemplos
Ejemplo 1: ¡Taxi!
En el aeropuerto de una cierta ciudad dos compañías se disputan los clientes interesados en viajar del
aeropuerto a cualquier sitio de la urbe. La compañía “Viaje Seguro” cobra por kilómetro recorrido 3.50
pesos por kilómetro y 25 pesos de cuota inicial. En cambio, la compañía “Los Pequeños Aquiles” ofre-
ce un costo por kilómetro recorrido de 2.60 pesos, pero cobra una cuota inicial de 40 pesos. ¿En cuál de
las dos compañías convendrá viajar?
Organizamos la información que se nos proporciona de las dos compañías.
La compañía “Los Pequeños Aquiles” cobra una alta cuota inicial, pero ofrece un menor costo por ca-
da kilómetro recorrido que la compañía “Viaje Seguro”, que a cambio de cobrar una cuota superior por
cada kilómetro recorrido cobra una menor cuota inicial. Lo anterior significa que la respuesta a la pre-
gunta de cuál es la compañía en la que conviene viajar dependerá del número de kilómetros que el
usuario necesite recorrer. Si el pasajero viajará grandes distancias, le convendrá la compañía “Los Pe-
queños Aquiles”, porque cobra una menor cuota por kilómetro recorrido y él recorrerá muchos; en cam-
bio, si el usuario recorrerá una distancia corta, le convendrá usar la compañía que cobra menor cuota
inicial. Para que nuestra respuesta sea consistente, es necesario ocuparse de contestar qué significa
“grandes distancias” y “distancia corta”, es decir, hay que preocuparse por resolver cuántos kilómetros
tendrá que recorrer el usuario para que la compañía “Viaje Seguro” deje de ser conveniente para él y le
convenga usar la compañía “Los Pequeños Aquiles”.
Observamos que el número de kilómetros es nuestra variable independiente. El costo del viaje depen-
de de ello; por lo tanto, se pueden establecer las ecuaciones del costo del viaje en función del número de
kilómetros recorridos para cada compañía:
Los pequeños AquilesViaje seguro
Cuota inicial $ 25.00 $40.00
Cuota por $3.50 $2.60
kilómetro recorrido
Los pequeños AquilesViaje seguro
Distancia d d
recorrida (km)
Costo del viaje 25 + 3.5d 40 + 2.6d
(en pesos)
1873.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Para observar mejor la tendencia de las dos compañías, se puede recurrir a una tabla y a la gráfica de
ambas ecuaciones. Observamos que la variable independiente es la distancia recorrida y la dependien-
te es el costo del viaje, de modo que la primera irá en el eje de las abscisas y la segunda en el eje de las
ordenadas.
5 10 20 25
10
20
30
40
50
60
70
80
90
distancia recorrida
Costo del viaje
C = 25 + 3.5d
“Viaje seguro”
C = 40 + 2.6d
“Los pequeños 
Aquiles”
Figura 3.6 Intersección de las rectas del ejemplo “Taxi”
Tanto en la tabla como en la gráfica observamos que el costo por el viaje es superior en la compañía
“Los Pequeños Aquiles”, si la distancia recorrida está entre 0 y 16 kilómetros aproximadamente; a par-
tir de ahí, la compañía “Viaje Seguro” comienza a ser más cara para el usuario que debe recorrer una
distancia mayor a 16 kilómetros aproximadamente. Es decir, la cota que buscamos está alrededor de los
16 kilómetros, pero no la conocemos con exactitud porque la tabla o la gráfica no nos lo permiten. Po-
dríamos hacer una tabla más precisa, pero también recurrir a la herramienta matemática estudiada en
este apartado.
Observamos que la cuota que buscamos es donde ambas compañías cobran lo mismo, es decir, don-
de el costo es igual para las dos, que también es el punto de intersección de las rectas que describen el
comportamiento de ambas. De modo que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones del que que-
remos conocer el valor de sus variables que hace que ambas ecuaciones se cumplan. Resolveremos el
sistema de ecuaciones por el método de suma y resta, aunque ya sabemos que es posible usar cualquie-
ra otro que se nos facilite.
La ecuación del costo del viaje para La ecuación del costo del viaje para la
la compañía “Viaje seguro” es: compañía “Los pequeños Aquiles” es:
C d= +40 2 6.C d= +25 3 5.
Distancia Viaje Pequeños
recorrida seguro Aquiles 
d 25 + 3.5d 40 + 2.6d
(km) (pesos) (pesos) 
0 25.0 40.0 
2 32.0 45.2 
4 39.0 50.4 
6 46.0 55.6 
8 53.0 60.8 
10 60.0 66.0 
12 67.0 71.2 
14 74.0 76.4 
16 81.0 81.6 
18 88.0 86.8 
20 95.0 92.0 
22 102.0 97.2 
24 109.0 102.4 
26 116.0 107.6 
188 Unidad 3: Ecuaciones
Nos conviene eliminar la variable C porque tiene coeficiente 1 en ambas. Basta con multiplicar por
(−1) cualquiera de las dos ecuaciones para eliminar la variable. Multiplicaremos por (−1) la ecuación
de la compañía “Los pequeños Aquiles” y la sumaremos con la ecuación de la compañía “Viaje seguro”.
De la ecuación resultante, ya es posible despejar d:
Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conocer C
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
El resultado es algo que ya esperábamos, porque teníamos una idea de cuál sería la solución por la ta-
bla y la gráfica que elaboramos, de modo que podemos estar seguros que esa solución no sólo es co-
rrecta desde la perspectiva matemática, sino también en el contexto del problema.
Por lo tanto, la solución al problema propuesto será:
Si el usuario de los taxis recorre una distancia menor a 16.67 kilómetros, le convendrá usar la compa-
ñía “Viaje seguro”; en cambio, si el usuario necesita recorrer una distancia superior a 16.67 kilóme-
tros le convendrá usar la compañía “Los pequeños Aquiles”. Cuando el usuario desea recorrer 16.67
kilómetros, le dará lo mismo usar cualquiera de las dos compañías, ya que ambas le cobrarán lo mis-
mo: 83.33 pesos.
Nota: La solución obtenida en el sistema de ecuaciones por sí misma no es la solución al problema, es
necesario transformar el resultado y darle un sentido dentro del contexto del problema.
50
3
250
3
,⎛⎝
⎞
⎠
250
3
250
3
=250
3
250
3
=
250
3
40
130
3
= +
250
3
25
175
3
= +
250
3
40 2 6
50
3
= + ⎛⎝
⎞
⎠.
250
3
25 3 5
50
3
= + ⎛⎝
⎞
⎠.
C d= +40 2 6.C d= +25 3 5.
C = ≈250
3
83 333.
C = + ⎛⎝
⎞
⎠25 3 5
50
3
.
 d = = ≈15
0 9
50
3
16 667
.
.
 0 15 0 9= − + . d
− = − −C d40 2 60.
C d= +25 3 5.
solución
1893.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2
En la línea
La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general . Si sabemos que la grá-
fica de la parábola que está dibujada a la derecha pasa por los puntos (3,4) (−2,5) (8,5), ¿cuál sería la
ecuación de esta parábola?
y ax bx c= + +2
12
8
0 4–4–8 8 12 16
(–2,5)
(3,4)
(8,5)
4
0
y
x
Figura 3.7 La gráfica de la parábola que pasa por los puntos (3, 4), (−2, 5) y (8, 5)
Es obvio que la parábola dibujada pasa por muchos más puntos que los que nos proporcionan; sin embar-
go, la información que proporcionan esos tres puntos es suficiente para resolver nuestro problema.
Si sabemos que la forma de la parábola es , nuestro problema se reduce a encon-
trar el valor de los coeficientes a, b y c, puesto que, al sustituirlosen la forma general, encontraríamos
la ecuación de esa parábola. Por otro lado, si conocemos que los puntos proporcionados pasan por la
parábola dibujada, entonces esos puntos harán que la igualdad sea cierta al sustituirlos en la ecuación.
Es decir, el punto (8, 5), por ejemplo, nos proporciona la información de que y = 5 cuando x = 8 y eso
debe ser cierto también en la ecuación. De manera que es posible sustituir cada punto en la forma ge-
neral de la parábola:
y ax bx c= + +2
Punto Simplificación 
(8, 5)
(3, 4)
(−2, 5) 5 = 4a − 2b + c5 2 22= −( ) + −( ) +a b c
4 9 3= + +a b c4 3 32= ( ) + ( ) +a b c
5 64 8= + +a b c5 8 82= ( ) + ( ) +a b c
y ax bx c= + +2
190 Unidad 3: Ecuaciones
Si observamos las ecuaciones resultantes, son tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas son
los valores de los coeficientes de la ecuación de segundo grado, es decir, justo lo que queremos conocer
para encontrar la ecuación de la parábola. Nuestro problema se reduce, entonces, a resolver ese siste-
ma de ecuaciones de tres por tres. Podemos emplear determinantes o suma y resta, pero aquí usaremos
el método de suma y resta.
Las ecuaciones en cuestión son:
1. 2. 3.
En este caso, la variable c tiene coeficiente 1 en las tres ecuaciones; es la que nos conviene reducir en
primera instancia. Seleccionamos la ecuación más sencilla (la tercera), la multiplicamos por (−1) y se
la sumamos a las otras dos. De manera que haremos dos pares de ecuaciones: la primera con la tercera
y la segunda con la tercera para reducir el sistema.
Par de ecuaciones 1ª y 3ª: Par de ecuaciones 2ª y 3ª:
4. 5.
Las dos ecuaciones resultantes las volvemos a sumar para eliminar otra incógnita. Nos conviene eli-
minar la incógnita b, dividiendo entre (−2) la ecuación 4, con lo que lograremos que los coeficientes
de ambas ecuaciones sean simétricos.
De la ecuación resultante, ya es posible despejar a:
Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para conocer b. En este
caso, por ser la más sencilla, se sustituirá en la ecuación 4:
b = − 6
25
− =10 12
5
b
0 60
1
25
10= ⎛⎝
⎞
⎠ + b
0 = 60a + 10b
 a = 1
25
 a− = −1 25
−1 = 5a + 5b
0 30 5= − −a b
−1 = 5a + 5b0 = 60a + 10b
− = − + −5 4 2a b c− = − + −5 4 2a b c
4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c
5 = 4a − 2b + c4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c
+
1913.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Sustituimos las dos incógnitas conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales. Por facilidad,
sustituiremos en la ecuación 3:
Comprobemos la solución en las tres ecuaciones originales:
La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:
es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. 
De manera que esos serán los valores de los coeficientes a, b y c. La ecuación de la parábola dibujada
será:
De modo que si sustituimos x = 3, esperamos que nos dé y = 4, mientras que si sustituimos x = −2,
esperamos que nos dé y = 5. Esta comprobación es equivalente a la que realizamos al sustituir los
valores de a, b y c en las tres ecuaciones, al finalizar el proceso de resolver el sistema de ecuaciones,
de manera que es posible afirmar que dentro del contexto del problema la solución encontrada es cierta.
La ecuación encontrada también se puede escribir como: , porque todos los
términos de su lado derecho tienen como denominador a 25, de modo que es posible multiplicarla por
25 para simplificarla. Después sólo la igualamos a 0.
x x y2 6 25 109 0− − + =
y x x= − +1
25
6
25
109
25
2
1
25
109
25
, , 
6
25
 −⎛⎝
⎞
⎠
5 5=4 4=5 5=
5
125
25
=4 100
25
=5 125
25
=
5
4
25
12
25
109
25
= + +4 9
25
18
25
109
25
= − +5 64
25
48
25
109
25
= − +
5 4
1
25
2
6
25
109
25
= ⎛⎝
⎞
⎠ − −
⎛
⎝
⎞
⎠ +4 9
1
25
3
6
25
109
25
= ⎛⎝
⎞
⎠ + −
⎛
⎝
⎞
⎠ +5 64
1
25
8
6
25
109
25
= ⎛⎝
⎞
⎠ + −
⎛
⎝
⎞
⎠ +
5 4 2= − +a b c4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c
c = 109
25
c = − −5 4
25
12
25
5
4
25
12
25
= + + c
5 4
1
25
2
6
25
= ⎛⎝
⎞
⎠ − −
⎛
⎝
⎞
⎠ + c
5 4 2= − +a b c
Ejercicios 
y problemas
192 Unidad 3: Ecuaciones
1. Dada la ecuación :
a) Verifica si (1, 2, 0) es una solución o no a esa ecuación.
b) Verifica si (1, 4, 4) es una solución o no a esa ecuación.
c) Verifica si (−3, 2, 4) es una solución o no a esa ecuación.
d) Encuentra la solución en donde se cumpla que (x, 0, 0).
e) Encuentra la solución en donde (2, y, 3).
f) Encuentra todas las soluciones (x, y, z), en donde x = 2, y = −1.
2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
Di cuáles de las siguientes ternas ordenadas son soluciones al sistema y cuáles no:
a) (1, 2, −1)
b) (1, 2, 1)
c) (0, 0, 6)
d) (−2, 0, 8)
e) (1, 1, −2)
f) (4, 4, 6)
g) Encuentra otra solución al sistema.
3. Clasifica cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones como consistentes, inconsistentes e inde-
pendiente o consistente y dependiente. En cada caso, indica cuáles serían sus soluciones.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
3 2 6
14 21 42
r s
s r
− =
= −
3 2
3 3 1
m n
m n
+ =
+ =
3 5
5
y x
y x
=
=
y x z
z y x
x z y
− + = −
+ − =
− + = −
1
3 2 8
6 2 4 4
x y
x y
+ + =
− + =
4 0
1
2
1
6
2
5
0
5 2 4
15 6 1
p q
p q
− =
− =
2 3 1
8 12 7
x y
x y
− =
− =
2 1
3 2 2
a b
a b
+ =
+ =
n m
m n
=
− =
2
6 3 0
y x
x y
=
+ = 1
x y z
x y z
+ + =
− + =
2 6
3 2
x y z- 2 3 5+ =
1933.2 Sistemas de ecuaciones lineales
k) l)
m)
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, utiliza un cambio de variable; supón que
y que 
a) b)
5. Encuentra un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenga como única solu-
ción el punto (−2, 1). Verifica que el sistema efectivamente tenga este punto como solución.
6. La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general . Si sabemos que la pará-
bola pasa por los puntos (2, 16) (0, −6) (1, 2), ¿cuál es la ecuación?
7. Dos cuadrados son tales que el lado del más grande mide el doble del lado del otro, ¿cuánto mide el la-
do de ambos cuadrados si el perímetro del cuadrado más grande es de 60 metros?
8. Un ama de casa recuerda que la receta de un pastel pedía tanta azúcar como mantequilla y el doble de
harina que de azúcar. Sabe que por cada kilogramo de masa que haga, el pastel le alcanzará para 20
personas. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente necesita para 100 personas? (Supón que la masa
del pastel está hecha únicamente por la mezcla de los tres ingredientes mencionados.)
9. Cuando una balsa navega contra la corriente, avanza 30 kms/h y cuando navega a favor de la corrien-
te, recorre 60 kilómetros cada hora. Suponiendo que la balsa y la corriente llevan la misma velocidad,
tanto de ida como de regreso, ¿cuáles son las velocidades de la balsa y de la corriente?
10. Tres amplificadores y cinco bocinas cuestan $19,500. Cinco amplificadores y ocho bocinas cuestan
$32,000. ¿Cuál es el precio de cada bocina y de cada amplificador?
11. En la elaboración de un producto se pueden seguir dos procedimientos obteniendo la misma calidad en
el artículo producido. La inversión inicial requerida en el primer proceso es de $100,000.00 y en el otro
es de $50,000.00. En el primero el costo de elaboración de cada artículo es de $4.00 y en el segundo
es de $7.00. ¿En cuál de los dos procesos convendrá invertir?
12. Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uni-
formemente hasta terminarse en cuatro horas, en tanto que la otra se consume en seis horas. Ambas mi-
den 120 centímetros ¿A qué hora deben prenderse ambas velas para que a las 5:00 de la tarde la vela
más grande mida el doble que la otra?
y ax bx c= + +2
5 1
3
1
2
2
1
x y
x y
+ =
+ =
3 2
1
7 6
2
x y
x y
− = −
− = −
n
y
= 1m
x
= 1
− + − =
− − − = −
+ + =
x z y
y x z
z x y
0
4 6 6 20
3 3 2 10
− + + =
− + − =
+ =
x y z
y x z
z x
3 0
3 5 0
4 2 3
3 2
5
6
7
2
2 5
3
7
4
1
q p q
p q p
+ + + =
− + + =
Problemas para trabajar en equipo
194 Unidad 3: Ecuaciones
13. Tu compañero de cuarto es corredor de distancia.Corre a una velocidad media constante de 12.8 km/h
y cada mañana se entrena. Una mañana, dos horas después de que él salió a correr, tú decides alcan-
zarlo, pero en tu coche, por la misma ruta que él sigue a una velocidad de 60 kilómetros por hora.
¿Cuánto tiempo tardarás en darle alcance a tu amigo? ¿A qué distancia de tu casa lo encontrarás?
14. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para ha-
cer una válvula estándar son necesarios cinco minutos en el torno y 10 en la prensa taladora; para la
válvula de lujo son necesarios nueve minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está dis-
ponible cuatro horas y la prensa siete. ¿Cuántas válvulas de cada tipo deben hacerse para utilizar las dos
máquinas todo el tiempo posible?
15. Seis hombres planean alquilar una avioneta para ir de pesca al Lago del Oso en Canadá, repartiéndose
la cuota en forma equitativa. Descubrieron que si iban tres personas más, la cuota de cada uno se redu-
ciría en 150 pesos. ¿Cuál es el costo total del vuelo?
16. Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo in-
greso. Decidieron contratar dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son:
a) El primer grupo cobra $30,000, más el 40% de lo recaudado por las entradas
b) El segundo grupo cobra $64,500, más el 10% de lo recaudado por las entradas.
Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las en-
tradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo. ¿Cuánto es lo menos que tienen que
cobrar por persona para que eso se cumpla, si estiman que habrá 500 personas que pagarán su entrada?
17. En una oficina se necesita una fotocopiadora y tienen dos opciones: una que cuesta $20,000.00 y otra,
de mayor calidad, que cuesta $40,000.00. Con la primera fotocopiadora se obtienen 1000 copias por
hora y con la segunda, 1500. El costo de producción por cada copia es de $0.1 con la primera fotoco-
piadora y de $0.05 con la fotocopiadora más cara. Tomando en cuenta todas las características mencio-
nadas, ¿cuál de las dos fotocopiadoras conviene comprar?
Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes:
1. Moira y Eris, presentado al inicio de la sección.
2. A flor de piel
Una empresa fabrica carteras y maletines con el mismo tipo de piel. Asimismo, para su fabrica-
ción, ha especializado a un grupo de trabajadores que se dedican exclusivamente a la elaboración
de estos dos tipos de productos. Contesta las siguientes preguntas utilizando la información que
se te proporciona:
a) Para fabricar una cartera utiliza un metro cuadrado de piel y tres metros cuadrados para un
maletín. En total, dispone de 27 metros cuadrados de piel. Aprovechando al máximo la piel
disponible, ¿es posible producir siete carteras y tres maletines? ¿Es posible producir ocho
carteras y siete maletines? ¿Es posible producir 12 carteras y cinco maletines? ¿Hay más po-
sibilidades de producción?
1953.2 Sistemas de ecuaciones lineales
b) Para fabricar una cartera, los trabajadores de la empresa ocupan dos horas y para fabricar
un maletín, una hora. La empresa dispone de 34 horas de trabajo efectivo de los trabaja-
dores por semana, ¿cuántos maletines y carteras es posible producir para aprovechar lo
más posible el tiempo disponible de los trabajadores? Proporciona algunas posibilidades
de producción.
c) ¿Cuántos maletines y cuántas carteras se deben producir para aprovechar al máximo el ma-
terial disponible y las horas de trabajo?
3. Tiro al blanco
Por mutación, un virus está siendo cada vez más fuerte y no alcanza con un solo rayo para ma-
tarlo. Hay que enviarle dos rayos de manera simultánea para destruirlo.
a) Si el virus aparece ahora en el punto de coordenadas (2, 3), propón dos ecuaciones de dos
rayos que lo alcancen y dibuja su grafica. Verifica algebraicamente que los rayos alcancen
al virus.
b) Un virus aparece en el punto (−1, 3) y los rayos que emiten las fuentes son tales que además
de pasar por ese punto, el primero de ellos para por el punto (−2,4) y el segundo por (0,1).
¿Cuáles son las ecuaciones de los rayos que alcanzan al virus?
1. Una compañía renta automóviles por 350 pesos el día, más 10 pesos por kilómetro recorrido.
Otra compañía cobra 300 pesos diarios más 12 pesos el kilómetro recorrido. Si necesitas ren-
tar uno por cinco días, ¿qué distancia debes recorrer para tener ventaja económica si rentas
uno en la segunda compañía?
a) Debes recorrer más de 25 kilómetros por día o bien, más de 125 kilómetros en cinco
días.
b) Debes recorrer exactamente 25 kilómetros por día, o bien, 125 kilómetros en cinco días.
c) Debes recorrer menos de 25 kilómetros por día, o bien, menos de 125 kilómetros en cinco
días.
d) No es posible obtener ventaja por rentar un auto en la segunda compañía.
e) Siempre se va a tener ventaja por rentar en la segunda compañía.
196 Unidad 3: Ecuaciones
2. Relaciona los siguientes sistemas de ecuaciones con su correspondiente solución:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Encuentra las ecuaciones de dos rectas que se corten en el punto (3,1).
4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, indica cuáles de las siguientes ternas son soluciones
para ese sistema:
a) (−2, 0, −2)
b) (5, 1, −12)
c) (3, −3, 2)
d) (1, 2, −11)
e) (1, 2, −2)
f) (4, −1, −5)
g) (2, −5, 9)
h) (1, 1, −8)
5. Cada una de las siguientes gráficas mostradas representan tres ecuaciones lineales con tres
variables. Indica cuál de esos sistemas de ecuaciones tiene:
a) Una sola solución.
b) Un número infinito de soluciones definidas por una línea recta.
c) Un número infinito de soluciones definidas por un plano.
d) Ninguna solución.
x z y
z y x
+ + + =
+ + =
3 4 0
2 3 5
y x
x y
= −
= +
1 2
1 3
7 3
3 21 9
x y
y x
− =
− =
− − =
+ = −
4 2 6
1 3 2
x y
y x
2 3 1
5 2 7
x y
x y
− =
− − =
i. Ninguna solución.
ii. Una solución, el punto 
iii. Un número infinito de soluciones.
iv. Una solución, el punto − −⎛⎝
⎞
⎠
2
5
3
5
,
4
7
1
7
, −⎛⎝
⎞
⎠
1973.2 Sistemas de ecuaciones lineales
y
x
z
x y
z
x y
z
z
yx
z
yx
z
x y
z
x y
z
x y yx
z
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. 
a) No lo es.
b) Sí lo es.
c) Sí lo es.
198 Unidad 3: Ecuaciones
d) La solución es (5, 0, 0).
e) La solución es (2, 3, 3).
f) Sólo hay una solución :
2.
a) No es solución.
b) Sí es solución.
c) No es solución.
d) Sí es solución.
e) No es solución.
f) No es solución.
g) Una solución muy sencilla de encontrar es (4, 4, −6). En forma general, cuando para
cualquier valor de y, los valores de z serán iguales en ambas ecuaciones.
3.
a) Es consistente; su solución es 
b) Es consistente y dependiente, tiene un número infinito de soluciones.
c) Es consistente; su solución es (0, 1).
d) Es inconsistente; no tiene solución.
e) Es inconsistente; no tiene solución.
f) Es consistente; su solución es (0, 0).
g) Es consistente; su solución es 
h) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones.
i) Es consistente; su solución es (1, 1).
j) Es consistente; su solución es 
k)Es consistente; su solución es 
l) Es consistente; su solución es 
m) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones.
4.
a) 
b) m n x y= = = =10
19
7
19
19
10
19
7
, , , por lo tanto: 
m n x y= − = − = − = −1
2
1
4
2 4, , , por lo tanto: 
0
1
4
3
4
, ,−⎛⎝
⎞
⎠
27
7
25
7
45
7
, ,−⎛⎝
⎞
⎠
− −⎛⎝
⎞
⎠
8
5
12
5
,
5
6
1
2
, −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
1
2
,⎛⎝
⎞
⎠
x
y= − +4 3
2
2 1
1
3
, ,−⎛⎝
⎞
⎠
z = 1
3
1993.2 Sistemas de ecuaciones lineales
5. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que sean ciertas
cuando x = −2 y y = 1, y que verifiquen que la solución del sistema es el punto que se proporciona. Un
ejemplo de una ecuación cuya solución es (−2, 1) es 2x + 3y = −1 porque 2(−2) + 3(1) = −1.
6. La ecuación es: y = 3x2 + 5x − 6.
7. El cuadrado más grande tiene por lado15 metros; el otro, 7.5 metros.
8. Se necesitan 1.25 kilogramos de mantequilla, 1.25 kilogramos de azúcar y 2.5 kilogramos de harina.
9. La balsa lleva una velocidad de 45 km/h y la corriente de 15 km/h.
10. El precio de cada bocina es de $1,500 y el de cada amplificador es de $4,000.00.
11. Si el número de artículos producidos es menor a 16,666 artículos es preferible invertir en el segundo
proceso, pero si la cantidad de artículos producidos es mayor a 16,666 artículos es preferible invertir en
el primer proceso.
12. A las 2:00 de la tarde.
13. A las 0.5423 horas, a 32.54 kilómetros de tu casa.
14. 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo.
15. El costo total del vuelo es de 2,700 pesos.
16. El precio de entrada debe ser de $230 pesos por persona.
17. Si se tendrá un tiempo de trabajo superior a 800 horas, conviene invertir en la fotocopiadora más cara,
pero si la fotocopiadora trabajará menos de 800 horas, será conveniente la primera fotocopiadora. Si se
laborarán 800 horas, el costo de comprar una u otra fotocopiadoras será el mismo.
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c
2. (a, iv), (b, iii) (c, i) (d, ii)
200 Unidad 3: Ecuaciones
3. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que sean
ciertas cuando x = 3 y y = 1, así como que verifiquen que la solución del sistema es el punto
que se proporciona. Un ejemplo de una ecuación cuya solución es (3,1), donde 2x + 3y = 9,
porque 2(3) + 3(1) = 9. En general, la familia y = 1 + m(x − 3) pasa por el punto (3, 1), sin im-
portar el valor de m. Así que sólo se deben seleccionar dos valores de m para hallar la solución
al problema.
4. b, c, f y g
5. a: la gráfica 8; b: las gráficas 4 y 5; c: la gráfica 1; d: las gráficas 2, 3, 6 y 7
Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas
“Vulcano”, S.A. de C.V., es una empresa que renueva llantas en la zona de Xa-
lostoc. Su gerente desea aumentar las utilidades, pero está indeciso en cuanto a
reducir el precio de venta unitario de cada llanta, con lo cual ganaría clientes, o
a incrementarlo, con el riesgo de perderlos. Actualmente para la empresa cada
llanta tiene un costo de renovación total (incluyendo costos fijos y costos variables)
que depende del nivel de producción. Se sabe que el costo unitario de renova-
ción es de 85 pesos, pero que por cada 50 llantas más éste se reducirá progre-
sivamente en 2.50 pesos por cada unidad renovada. Asimismo, se sabe que en
promedio la empresa vende 800 llantas a un precio de 170 pesos y estima que por
cada incremento en el precio de venta unitario de 5 pesos, venderá siete llantas
menos (en promedio) por mes. Por cuestión de costos, el gerente está cuidando
además no tener llantas almacenadas; esto es, todo lo que produzca la empresa se
deberá vender.
3.3 Ecuaciones cuadráticas
y con radicales
En el empleo de símbolos y en el razo-
namiento con éstos es donde se reconoce
la transición de la aritmética al álge-
bra, aunque en realidad no haya línea
divisoria alguna.
Morris Kline
Introducciónn
El estudio de las ecuaciones puede remontarse a épocas tan remotas como las
que corresponden a los egipcios y babilonios. Problemas que de no ser por el
álgebra hubieran sido muy laboriosos, han sido resueltos de manera exacta
con la ayuda del simbolismo algebraico. No obstante, por increíble que pa-
rezca, la idea de involucrar símbolos en la solución de ecuaciones (práctica
que luego se extendió a otras áreas de las matemáticas) es reciente. La introduc-
ción de la simbología algebraica se atribuye a François Vieta (1540-1603),
quien siendo abogado y trabajando para los reyes de Francia encontró en las
matemáticas un pasatiempo fascinante al que dedicó un trabajo intenso. Vieta
tuvo plena conciencia de su hazaña, consistente en introducir símbolos para
las cantidades que en otros tiempos sólo se habían manejado numéricamen-
te. Es por este simbolismo que las matemáticas logran vincularse a muy di-
versos contextos, a la generación de procedimientos de carácter general y a
la obtención de respuestas exactas. La siguiente situación te ofrece un en-
cuentro, de muchos posibles, entre las matemáticas y nuestra realidad:
2013.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
202 Unidad 3: Ecuaciones
¿Cómo fundamentar una recomendación al gerente para que cumpla su obje-
tivo?
Ésta y otras situaciones te ayudarán a ver al álgebra, y de manera más especí-
fica a la solución de ecuaciones, como una poderosa herramienta para resolver
problemas.
Objetivos
Al terminar la sección, deberás ser capaz de:
• Reconocer y resolver una ecuación cuadrática.
• Determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática y su re-
lación con los coeficientes de la ecuación.
• Aplicar ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas que así lo re-
quieran.
• Resolver ecuaciones con radicales y aplicar los correspondientes métodos
en la solución de problemas que así lo requieran.
Ecuaciones cuadráticas
Definiciones básicas
Sea f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c son números complejos con a ≠ 0 un po-
linomio de grado 2. Si reemplazamos x por el número complejo r, el resultado
se denomina valor de f(x) en x = r, y se designa como f(r). Si f(r) es el número
complejo 0, r se llama una raíz o 0 de f(x). 
Una ecuación del tipo f(x) = 0 siempre conlleva la siguiente pregunta: ¿cuáles son los nú-
meros complejos r tales que f(r) = 0? Los valores que satisfagan esta ecuación serán lla-
mados raíces o soluciones de la ecuación. Una respuesta a la ecuación f(x) = 0 no será
completa a menos que se den todas las raíces; diremos entonces que se ha resuelto la
ecuación cuando se han encontrado todas sus raíces.
Por otro lado, si f(x) y g(x) son dos polinomios en x de grado 2, la ecuación f(x) = g(x)
debe traducirse en la pregunta: ¿cuáles son los números complejos r tales que f(r) y
g(r) tienen el mismo valor? La pregunta formulada es equivalente a la siguiente: ¿qué
valores complejos r satisfacen la ecuación f(x) − g(x) = 0? Es probable que la segunda
pregunta sea más fácil de resolver que la primera, por ello requerimos de la siguiente de-
finición:
Definición
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen exactamente las mismas raíces.
2033.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Con esta base diremos que una ecuación es una ecuación cuadrática si a través de trans-
formaciones algebraicas puede llevarse a la forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.
La fórmula general
Hay una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, fórmula que se ge-
nera a través del siguiente principio:
Principio de completación de cuadrados
La expresión x2 + px se convierte en cuadrado perfecto si se le suma el cuadrado
de la mitad del coeficiente de x. El resultado de tal operación genera un trinomio
cuadrado perfecto en x menos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
En símbolos, el principio anterior es:
Apliquemos ahora este principio a la ecuación cuadrática. Factoricemos primero el
coeficiente a; observa que es preciso que el coeficiente de x2 sea igual a 1. Tenemos
entonces:
Sumando y restando la cantidad , dentro del corchete y reagrupando, se tiene:
Reconociendo el término entre llaves como un trinomio cuadrado perfecto se tiene:
Utilizando el producto notable de la diferencia de cuadrados obtenemos:
f x a x
b
a
b ac
a
a x
b
a
b ac
a
x
b
a
b ac
a
( ) = +⎛⎝
⎞
⎠ −
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= + + −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
4
4
2
4
2 2
4
2
2 2
2
2 2
f x a x
b
a
ac b
a
( ) = +⎛⎝
⎞
⎠ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥2
4
4
2 2
2
f x a x
b
a
x
b
a
c
a
b
a
( ) = + + ⎛⎝
⎞
⎠
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ − ⎛⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
2 2
2 2
b
a2
2
⎛
⎝
⎞
⎠
f x ax bx c a x
b
a
x
c
a
( ) = + + = + +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 2
x px x px
p p
x
p p
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+ = + + ⎛⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
⎛
⎝
⎞
⎠
= +⎛⎝
⎞
⎠ −
⎛
⎝
⎞
⎠
204 Unidad 3: Ecuaciones
En resumen, tenemos la:
Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado
La ecuación de segundogrado puede resolverse identificando la última ecua-
ción en la forma
f(x) = a(x − r1)(x − r2)
donde:
, r
b b ac
a2
2 4
2
= − − −r b b ac
a1
2 4
2
= − + −
Naturaleza de la raíces de una ecuación cuadrática (coeficientes a, b, c reales)
La cantidad Δ = b2 − 4ac que aparece en el radical de la fórmula de segundo gra-
do recibe el nombre de discriminante y determina la naturaleza de las raíces; a
saber:
a) Si Δ = 0, entonces las raíces r1, r2 son reales e iguales a 
b) Si Δ > 0, entonces será un número real positivo; en consecuencia, r1 y
r2 son reales y diferentes.
c) Si Δ < 0, definimos Λ = −Δ; entonces, , donde es positivo y
las raíces son:
,
Es decir, las raíces son números complejos conjugados.
r
b
a a
i1 2 2
= − + Λr
b
a a
i1 2 2
= − + Λ
ΛΔ Λ= i
Δ
r r
b
a1 2 2
= = −
Observa que si conoces la factorización de una ecuación cuadrática, en términos de
factores lineales, entonces conoces las raíces de la ecuación. En efecto, si tienes la fac-
torización definida como
f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2) = 0
las raíces de la ecuación son: x = r1 y x = r2
El siguiente es un resultado que clasifica las raíces de acuerdo con su naturaleza:
2053.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Observa que, independientemente de la naturaleza de las raíces, siempre se cumple que:
y
donde hemos usado el producto notable de la diferencia de cuadrados y simplificaciones
sucesivas. En resumen, tenemos la siguiente relación:
r r
b b ac
a
b b ac
a
b
a
b ac
a
b
a
b ac
a
b
a
b ac
a
b
a
b ac
a
ac
1 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
4
2 2
4
2
2
4
2
4
4
4
4
= − + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− − −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= − + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= −⎛⎝
⎞
⎠ −
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= − −
=
44 2a
c
a
=
r r
b b ac
a
b b ac
a
b
a
b
a1 2
2 24
2
4
2
2
2
+ = − + − + − − − = − = −
Relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes
Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática f(x) = ax
2 + bx + c = 0, entonces
se cumple que:
y r r
c
a1 2
=r r b
a1 2
+ = −
Es posible una interpretación geométrica acerca de la naturaleza de las raíces de una
ecuación cuadrática. Concretamente, si hacemos y = f(x) = ax2 + bx + c, su representa-
ción gráfica en el plano cartesiano corresponderá en cualquier caso a una parábola ver-
tical. Ya que el cálculo de raíces se realiza a través de la ecuación cuadrática: y = f(x) =
0, debemos interpretar las soluciones de esta ecuación como las intersecciones (si las
hay) de la parábola con el eje x. La figura 3.8 muestra los tres casos posibles; observa
que en el último caso no hay intersección con el eje x.
206 Unidad 3: Ecuaciones
Observa que en la figura 3.8.a (una parábola que abre hacia arriba) el valor más peque-
ño de y se encuentra en el punto medio entre las dos raíces r1 y r2. Es decir, el valor mí-
nimo que puede obtener la función y = f(x) es:
En el caso de la figura 3.8b el valor mínimo es 0. Para el caso de la figura 3.8.c, no se
tienen raíces reales; sin embargo, el valor mínimo también se puede calcular usando:
De manera similar, si la parábola abriera hacia abajo, entonces se tendría un valor máxi-
mo para y, dado por:
Pasemos ahora a discutir el concepto de irreducibilidad de una expresión cuadrática. Re-
cordemos que p(x) y q(x) son factores (o divisores) de f(x) si f(x) = p(x)q(x). Es claro que
todo polinomio tiene factorizaciones triviales del tipo:
f(x) = a[a−1 f(x)]
y f
r r b ac
amax
= +⎛⎝
⎞
⎠ = −
−1 2
2
2
4
4
y
b ac
amin
= − −
2 4
4
y f
r r
f
b
a
a
b
a
b
b
a
c
b
a
b
a
c
b
a
c
b ac
a
min =
+⎛
⎝
⎞
⎠ =
−⎛
⎝
⎞
⎠
= −⎛⎝
⎞
⎠ +
−⎛
⎝
⎞
⎠ +
= − +
= − + =
= − −
1 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
4 2
4
4
4
−10
−5
0
5
10
0 2 4−2−4
a) caso Δ > 0
f (x) = 2x2 + x − 2 = 2(x − 1)(x + 2)
−10
−5
0
5
10
0 2 4−2−4
b) caso Δ = 0
f (x) = 2x2 − 4x + 2 = 2(x − 1)2
−10
−5
0
5
10
0 2 4−2−4
c) caso Δ < 0
f (x) = 2x2 + x + 2
x
y y y
x x
Figura 3.8 Posibles intersecciones de una parábola con el eje x
solución
Ejemplos
2073.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
para cualquier número a ≠ 0. Por lo tanto, todo polinomio tiene a todos los múltiplos
constantes distintos de 0 como factores triviales. Esto nos permite hacer la siguiente de-
finición:
Definición (factores irreducibles)
Si un polinomio no tiene más factorizaciones que las triviales, se dice que es un
polinomio irreducible; en caso contrario, afirmamos que el polinomio es reducible.
Criterio de irreducibilidad para expresiones cuadráticas 
Un polinomio f(x) = ax2 + bx + c, con coeficientes reales, es irreducible en el
campo de los números reales (es decir, no puede factorizarse usando polinomios
de grado 1 con coeficientes reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac < 0.
De otra manera: el polinomio f(x) = ax2 + bx + c es reducible (puede factori-
zarse en los reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac ≥ 0, en cuyo caso, si r1 y r2 son las
raíces (reales) de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces: f(x) = ax2 + bx + c =
a(x − r1)(x − r2).
A partir del discriminante puede establecerse el siguiente criterio para decidir la irredu-
cibilidad de una expresión cuadrática. De manera concreta:
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 2x2 − 4x + 8 = 5x2 + 2x − 5
Trasponiendo términos, se obtiene la ecuación equivalente:
3x2 + 6x − 13 = 0
En esta ecuación: a = 3, b = 6 y c = −13, luego 
Δ = b2 − 4ac = 36 + 156 = 192 = 3(82)
Por lo tanto, las raíces son:
r 1 2
6 8 3
6
1
4
3
3, =
− ± = − ±
solución
solución
208 Unidad 3: Ecuaciones
Ejemplo 2
Determina los valores de k para los cuales la ecuación 9k x2 − 60x + 6k + 1 = 0 tiene raíces iguales.
Para que la ecuación tenga raíces iguales se requiere que el discriminante sea 0. Tenemos entonces que:
Δ = b2 − 4ac = 3600 − 4(9k)(6k + 1) = 36(100 − k − 6k2) = 0
De donde se infiere que:
6k2 + k − 100 = 0
Aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, obtenemos las raíces:
Para el caso k1 = 4, la ecuación inicial se convierte en 36x
2 − 60x + 25 = 0. Esta ecuación tiene, en efec-
to, dos raíces reales e iguales: (¡verifícalo!).
Con , la ecuación inicial se convierte en: 25x2 + 40x + 16 = 0, que tiene, como se espera,
dos raíces reales iguales: (¡verifícalo!).
Ejemplo 3
Un tren recorre 400 kilómetros con una velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido 20 kms/h ma-
yor, el tiempo empleado hubiera sido de dos horas menos. Calcula la velocidad del tren.
Sea v la velocidad (en realidad rapidez) del tren en kms/h. En el caso de velocidad constante, sabemos 
que o , donde d es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. El tiempo necesario 
para recorrer los 400 kilómetros a la velocidad original es de horas. Si se aumenta la velocidad 
en 20 kms/h, cambia el tiempo que se necesita para hacer el recorrido. Este tiempo es ahora, con la ve-
locidad modificada: horas.
Si tomamos la diferencia de estos dos tiempos, el resultado es de dos horas. En términos algebrai-
cos, esto significa que:
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por v(v + 20), tenemos:
400(v + 20) − 400v = 2v(v + 20)
400 400
20
2
ν ν
−
+
=
400
20ν +
400
ν
t
d
v
=ν = d
t
r r1 2
4
5= = −
k2
25
6
= −
r r1 2 5 6= =
k = − ± + = − ± = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1 1 2400
12
1 49
12
4
25
6
solución
2093.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
desarrollando se obtiene:
400v + 8000 − 400v = 2v2 + 40v
Finalmente, trasponiendo términos y simplificando, hallamos la ecuación equivalente:
v2 + 20v − 4000 = 0
Al resolver esta ecuación, usando la fórmula general, encontramos:
y ;
ambos valores en kms/h.
El valor satisface la ecuación original y las condiciones del problema. El valor de
v1 satisface la ecuación original, pero no el contexto del problema; por esa razón, debe ser rechazado. 
Nota: Es común encontrar, al resolver problemas de este tipo, que haya raíces que cumplen las condi-
ciones algebraicas del problema, pero físicamente sean inaceptables, como en este problema. Te acon-
sejamos analizar las respuestas para determinarsi las soluciones son o no viables o aceptables.
Ejemplo 4
Dados los siguientes polinomios de grado 2, determina si son reducibles o no en los reales. En caso de
que lo sean, encuentra su factorización:
a) g(x) = x2 − 2x − 1
b) h(x) = 9x2 + 24x + 16
c) f(x) = (x − 5)(x + 1) − 2(x − 2)2
Para determinar si los polinomios son reducibles o no, usaremos el criterio de irreducibilidad.
a) En este caso, Δ = (−2)2 −4(1)(−1) = 8 > 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrá-
tica. Consideremos la ecuación:
x2 − 2x − 1 = 0
aplicando la fórmula general, obtenemos las raíces:
y 
Luego:
Observa que esta factorización no hubiera podido obtenerse por ninguno de los casos de factoriza-
ción estudiados hasta ahora.
g x x x x x( ) ( )( )= − − = − − − +2 2 1 1 2 1 2
r2 1 2= −r1 1 2= +
ν2 10 1 41= − +( )
ν2 10 1 41 54 0312= − + ≈( ) .ν1 10 1 41 74 0312= − + ≈ −( ) .
solución
210 Unidad 3: Ecuaciones
b) En este caso, Δ = (24)2 − 4(9)(16) = 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrática.
Consideremos la ecuación 9x2 + 24x + 16 = 0, cuyas raíces son:
luego:
c) Si desarrollamos y simplificamos, encontramos que:
f(x) = x2 − 4x − 5 − 2(x2 − 4x + 4) = −x2 + 4x − 13
El discriminante asociado a la ecuación cuadrática -x2 + 4x − 13 = 0 es:
Δ = 42 − 4(−1)(−13) = −36 < 0
de donde concluimos que el polinomio es irreducible.
Ejemplo 5
Calcula el valor de k que satisfaga la condición dada:
a) En la ecuación (k + 1)x2 + (k + 8)x + 10 = 0, la suma de sus raíces debe ser 4.
b) En la ecuación (k − 1)x2 − 5x + 10 = 0, una de las raíces debe ser el recíproco de la otra.
a) Los coeficientes de la ecuación son a = k + 1 y b = k + 8. Sabemos que la suma de las raíces cum-
ple:
Por lo tanto,
de aquí:
−k − 8 = 4k + 4, o 
De acuerdo con nuestros cálculos, se esperaría que al sustituir este valor de k en la ecuación, la su-
ma de las raíces de la ecuación resultante sea, en efecto, 4. Haciendo la sustitución indicada, tene-
mos que la ecuación resultante es:
ó −7x2 + 28x + 50 = 0− + +7
5
28
5
102x x
k = −12
5
− +
+
=( )k
k
8
1
4
r r
b
a1 2
+ = −
h x x x x x x( ) = + + = − −⎛⎝
⎞
⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− −⎛⎝
⎞
⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
9 24 16 9
4
3
4
3
9
4
3
2
2
r r1 2
4
3
= = −
2113.3: Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Las raíces de esta ecuación pueden ser escritas como:
y 
luego:
b) Identificamos primero los coeficientes de la ecuación a = k − 1 y c = 10. Sabemos que el producto
de las raíces cumple que:
En el caso que nos ocupa, se tiene:
De acuerdo con la condición del enunciado, si r1 es una raíz, entonces r2 = 1/r1 debe ser la otra raíz.
Tenemos que el producto de estas raíces es 1. Por lo tanto:
en consecuencia:
k = 11
A manera de comprobación, si sustituimos este valor de k en la ecuación, ésta se convierte en:
10x2 − 5x + 10 = 0 o 2x2 − x + 2 = 0
las raíces de esta ecuación son:
y 
Observa ahora que:
Con esto se comprueba el resultado.
1 4
1 15
4
1 15
1 15
1 15
4 1 15
1 15
4 1 15
16
1 15
4
1
2 2
2
r i
i
i
i
i
i
i
i
r
=
−
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
−
= +
= +
=
( )
( )
( )
r
i
2
1 15
4
=
+
r
i
1
1 15
4
=
−
10
1
1
k −
=
r r
k1 2
10
1
=
−
r r
c
a1 2
=
r r1 2
14 546
7
14 546
7
28
7
4+ = − + + = =
r2
14 546
7
= +r1
14 546
7
= −
212 Unidad 3: Ecuaciones
Ecuaciones con radicales
Una ecuación con uno o más radicales que contienen a la incógnita se conoce como
ecuación con radicales. 
Por ejemplo:
es una ecuación con radicales.
Sólo consideraremos aquí ecuaciones en las que intervienen raíces cuadradas y cuya
solución dependa de ecuaciones lineales o cuadráticas. En este caso, es importante seña-
lar un convenio respecto de los signos de los radicales. Este convenio es un acuerdo so-
bre notación:
x x+ + − =6 4 6
Convenio de notación
Si no hay signo escrito antes de una raíz cuadrada, deberá asumirse en todo caso
que significa raíz cuadrada positiva.
Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales
Trasponiendo términos, aislamos un radical dejándolo solo en un miembro de la
ecuación, después elevamos al cuadrado ambos lados de ésta. El método, conoci-
do como aislamiento del radical, puede ser repetido para cada uno de los radica-
les restantes.
Si se desea la raíz cuadrada negativa, debe escribirse el signo menos delante del radical.
Así, la raíz cuadrada positiva de x debe escribirse como , la raíz cuadrada negativa
se escribe , y ambas raíces se escriben como .
Para resolver una ecuación con radicales, debe tomarse en cuenta que la idea funda-
mental es la eliminación del o los radicales que aparecen en la ecuación. El siguiente
procedimiento suele ser útil para dicho fin.
± x− x
x
Para evitar que aparezcan ecuaciones de cuarto grado, hay que aislar con cuidado el
radical. En muchas ocasiones, al resolver ecuaciones con radicales aparecen soluciones
extrañas. Éstas parecen ser soluciones de la ecuación, pero en realidad no lo son. Por
ello, se tienen que comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación
original. También es importante observar que existen ecuaciones con radicales sin solu-
ción. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución.x x− − + =3 2 2 2
solución
Ejemplos
2133.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación y determina si aparecen raíces extrañas:
El primer paso es aislar uno de los radicales; trasponiendo se tiene:
Si elevamos al cuadrado resulta:
Otra vez, si aislamos el radical que aparece en la ecuación, hallamos:
Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que 
100(2x + 5) = 784 + 56x + x2
simplificando obtenemos:
x2 − 144x + 284 = 0
Al resolver esta ecuación, encontramos las raíces: x1 = 2 y x2 = 142.
A manera de comprobación, al sustituir x1 = 2 en la ecuación , hallamos que:
es una proposición verdadera; luego x1 = 2 sí es solución de la ecuación.
Por otro lado, si sustituimos x2 = 142, se tiene:
Esto es, x2 = 142 es una solución extraña. Por lo tanto, la única solución de esta ecuación es x1 = 2.
Ejemplo 2 
Verifica que la ecuación no tiene solución.x x− − + =3 2 2 2
142 2 2 142 5 5+ + + ≠( )
2 2 2 2 5 5+ + + =( )
10 2 5 28x x+ = +
x x
x x
+ = − +( )
= − + +
2 5 2 5
30 10 2 5 2
2
x x+ = − +2 5 2 5
x x+ + + =2 2 5 5
solución
solución
214 Unidad 3: Ecuaciones
Trasponiendo para aislar un radical, resulta:
Si ahora elevamos al cuadrado, tenemos:
Aislando nuevamente el radical y simplificando, hallamos que:
de donde se obtiene después de elevar al cuadrado y simplificar:
16(x − 3) = x2 + 2x + 1 o x2 − 14x + 49 = (x − 7)2 = 0
Resolviendo esta última ecuación, encontramos que sus raíces son x1 = x2 = 7. Ahora sustituimos x = 7
en la ecuación original; obtenemos:
De aquí concluimos que la ecuación dada no tiene solución.
Ejemplo 3
Racionaliza la siguiente ecuación, es decir, transfórmala en una ecuación sin radicales.
Trasponiendo términos para aislar un radical, tenemos:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior, hallamos que:
Si desarrollamos y simplificamos, deducimos que:
Si aislamos nuevamente el radical y dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación, tenemos:
5 3 3 252 2( )x y x+ + = +
− = − + + +6 100 20 3 62 2x x y x( )
( ) ( ) ( )x y x y x y− + = − + + + + +3 100 20 3 32 2 2 2 2 2
( ) ( )x y x y− + = − + +3 10 32 2 2 2
( ) ( )x y x y− + + + + =3 3 102 2 2 2
7 3 2 7 2 2 4 2− − + = − ≠( )
− − = +4 3 1x x
x x x− − − + = +3 4 3 4 2 2
x x− − = +3 2 2 2
solución
2153.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros; obtenemos:
25x2 + 150x + 225 + 25y2 = 9x2 + 150x + 625
Simplificando, nos da:
16x2 + 25y2 = 400
Ejemplo 4 
Resuelve la ecuación:
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por , hallaremos que:
Elevando al cuadrado, tenemos:
x2 − 18x + 81 = x2 − 9
de donde −18x = −90; esto es, x = 5. Si ahora sustituimos este valor:
Esto es, x = 5 es la única solución de la ecuación.
5 3
5 3
2
5 3
5 3
2 2
2
2 2
1
+
−
− −
+
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
x x x x
x x
+ − − = − +
− + = −
3 2 3 3 3
9 92
( )
x x− +3 3
x
x
x
x
+
−
− −
+
=3
3
2
3
3
1
Ejercicios 
y problemas
1. Para los incisos a)-e), considera la ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + 3 = 0, y supón que sus raíces
son r1 y r2.
a) ¿Existe algún número complejo r ≠ r1, r2 tal que f(r) = 0? Argumenta tu respuesta.
b) Si la suma de las raíces de una ecuación cuadrática es 4 y su producto es , determina los valores
de los coeficientes a, b en la ecuación.
c) Aplica el criterio del discriminante y, sin resolver la ecuación, determina la naturaleza de sus raíces. 
1
3
216 Unidad 3: Ecuaciones
d) Resuelve la ecuación resultante f(x) = ax2 + bx + 3 = 0.
e) El polinomio cuadrático f(x) = ax2 + bx + 3, ¿es reducible o irreducible (en los reales)? En caso de
que el polinomio sea reducible, factorízalo.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 − 4x + 1 = 0
b) 
c) 2x2 = x − 1
d) 2x4 − 13x2 − 7 = 0 (sugerencia: sustituye u = x2 y resuelve la ecuación cuadrática resultante).
e) (sugerencia: sustituye y resuelve la ecuación cuadrática re-
sultante).
3. Una piscina tiene forma rectangular de 12 metros de ancho por 15 de largo y está rodeada de una zo-
na verde. El pasillo que rodea a la piscina tiene un ancho uniforme y el área total de la zona verde es
de 52 metros cuadrados. Calcula el ancho del pasillo.
u x
x
= − 2x
x
x
x
−⎛⎝
⎞
⎠ − −
⎛
⎝
⎞
⎠ +
2
3
2
2
2
2 4 2 2 02x x− + =
Piscina
Pasillo
Figura del problema 3
4. Un comerciante compra cierto número de bolsas de dulces por 180 pesos y las vende todas, menos seis,
con una ganancia de 2 pesos por cada bolsa. Si con el dinero recaudado en la venta ahora puede comprar
30 bolsas de dulces más, calcula el precio al que el comerciante está comprando cada bolsa de dulces.
5. Dos ebanistas, Luis y Manuel, juntos, barnizan un comedor en 10 días. Trabajando por separado, Luis
tarda cinco días más que Manuel. Encuentra el número de días que tardarían cada uno de ellos en bar-
nizar un comedor si trabajaran separados.
2173.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
6. Resuelve el siguiente verso originario de la India, que traducido al español dice:
Regocíjanse los monos divididos en dos bandos:
su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza.
Con alegres gritos, doce atronando el campo están.
¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total?
7. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. Un barco se encuentra en el punto A y otro en el B, exactamente 10 kilómetros al norte de A. El barco
que está en el B navega hacia el este a una velocidad de 2 kms/h. El barco que se encuentra en el A es
capaz de navegar a 5 kms/h, y su capitán desea interceptar a la otra nave en un cierto punto C. Si el ca-
pitán sabe que las velocidades de ambos navíos se mantendrán constantes durante su trayecto:
a) Determina la ecuación con radicales que resulta de la situación descrita.
b) Resuelve la ecuación y encuentra la distancia x a la que se encontrarán los navíos que salen de A y
B, siendo x la distancia desde B hasta un punto C al este de B.
x x x x2 26 6 3 5− − − − =
4
8 32
3
52
−
− +
=x
x x
x x+ − =16 2
x x x x2 6 2+ = +
A
10
B C
Figura del problema 8
218 Unidad 3: Ecuaciones
9. En el Caribe mexicano existe una isla reservada a la fauna y flora silvestres del lugar. La isla se encuen-
tra a 40 kms en línea recta del punto D más cercano sobre una playa recta. Una empresa de turismo or-
ganiza un recorrido que parte del punto C, situado a 200 kilómetros del punto D, hasta un punto B
ubicado sobre la playa a x kilómetros del punto D. El recorrido sigue después por mar hasta la isla. El
recorrido sobre agua se hace a 20 kms/h en promedio, mientras que sobre tierra se lleva a cabo a una
velocidad de 60 kms/h. Determina la ubicación del punto B entre D y C, donde la empresa debe pla-
near el embarco, con la finalidad de que el tiempo total de recorrido sea de nueve horas. 
40
BD
Isla
C
200 − xx
Figura del problema 9
BA C
E
10
D
2
Figura del problema 10
10. En la siguiente figura, AD = 10, BE = 2 y ED mide el triple de lo que mide el segmento AB. Determina
cuánto mide el segmento AB.
Problemas para trabajar en equipo
2193.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-
tuaciones:
1. La situación: Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas, que fue presenta-
da en la introducción de esta sección.
La actividad de tu equipo consistirá en formular una propuesta detallada para lograr el ob-
jetivo del gerente; para ello, deberán escribir un reporte con sus cálculos, conclusiones y reco-
mendaciones. La siguiente guía les ayudará a precisar una recomendación fundamentada para
esta situación. 
Sean:
U: las utilidades mensuales de la empresa.
n: el número de incrementos de 5 pesos sobre el precio actual de venta.
m: el número de llantas vendidas por la empresa.
p: el precio de venta unitario de cada llanta.
a) Determinen una ecuación lineal que vincule el costo de cada llanta con m.
b) Señalen cómo calcular las utilidades en términos de n; escriban su resultado en la forma de
un polinomio de segundo grado del tipo: U = an2 + bn + c.
c) Encuentren la ecuación lineal que vincula el precio de venta unitario p con n, entonces es-
criban a U en la forma:U = ap2 + bp + c.
d) ¿Cuál es el monto de las ganancias actuales? Si esto es posible, ¿a qué precio se debe fijar
la venta de las llantas con la finalidad de incrementar las ganancias en un 6%?
e) Determinen las raíces de la ecuación cuadrática U = 0. El punto medio de estas dos raíces
proporcionará un valor máximo o mínimo para U. ¿Qué deducen? ¿Pueden mejorarse las
utilidades actuales? Si la respuesta a la última pregunta es afirmativa, ¿con qué precio se lo-
gra esta máxima utilidad? ¿A cuánto asciende la utilidad máxima? De acuerdo con sus cálcu-
los, cuánto está dejando de percibir la empresa mensualmente en la actualidad.
f) Los asesores del gerente han comentado que un medio para encontrar U = ap2 + bp + c
consiste en registrar las utilidades durante un lapso de tres meses para precios de venta p
variables. Encuentren por este medio la expresión U = ap2 + bp + c, dado que la empresa ha
determinado que: U(170) = 68000, U(175) = 71092.50 y U(180) = 74119.80.
g) Aplica tus conocimientos, busca una empresa como la descrita en este problema, investiga
los datos que correspondan y haz un estudio como el precedente con esos datos.
2. El álgebra en las leyes del Universo
De acuerdo con la Ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza de atracción entre dos
cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre los cuerpos. ¿A qué distancia de la Tierra se localiza el punto o
los puntos donde la Tierra y la Luna atraen a un satélite artificial con la misma fuerza, supo-
niendo que éste se encuentra sobre la recta que une los centros de la Tierra y la Luna?
220 Unidad 3: Ecuaciones
3. ¿Dónde poner las marcas?
Cónica, S.A. de C.V., es una empresa que se dedica a la manufactura de productos de papel, y
entre otros productos fabrica “conitos” para beber. Con la finalidad de optimizar en tiempo
y costo sus procesos de manufactura, la gerencia de producción ha decidido construir los men-
cionados conos cortando un sector circular limitado por los puntos A y B, sobre la circunferencia
de un círculo de papel de radio R. Después del corte, se unen los puntos A y B (véase la figura del
problema). Con el propósito de construir los conos de mayor volumen, se necesita determinar
dónde colocar las marcas para los puntos A y B; esto es, hay que determinar cuántos grados de-
be tener el arco del sector circular mostrado en la figura.
El gerente de producción y su equipo de trabajo tienen las siguientes ideas para determinar
las marcas. Completen los detalles y escriban un reporte con cálculos, resultados, conclusiones
y su respuesta a la pregunta formuladaen esta situación.
Ideas generadas por el equipo de producción:
a) Sea x el perímetro de la circunferencia de la base del cono. Determinen la relación entre r y x.
b) Encuentren la relación existente entre la altura del cono (H) y el perímetro x.
c) Expresen el volumen del cono en términos de x.
d) La gerencia no está segura de los siguientes tres principios que un miembro del equipo planteó:
i. El mayor valor de una cantidad K que depende de x se alcanza simultáneamente cuando
K2 es máxima.
ii. Si una cantidad L se divide en dos partes, de manera que L = m + n, entonces el produc-
to mn resulta máximo cuando m = n = L/2.
(Nota: A partir de esto se intuye que, si L = m1 + m2 + ⋅⋅⋅ + mp, donde L es constante, enton-
ces el producto m1m2 ⋅⋅⋅ mp resulta máximo cuando…)
iii. El producto X′(a − X)s resulta máximo si:
(Sugerencia: Multipliquen la expresión Xr(a − X)s por . Deben observar que el resultado
de este producto: , alcanza su valor máximo cuando lo hace la expresión inicial
Xr(a − X)s; relacionen ahora el producto con (d, ii).
Refuten o validen los tres principios anteriores.
e) El gerente ha decidido aceptar las sugerencias del inciso anterior, después de aplicarlas en-
contró que las cantidades y están en una relación de 2 a 1. Discutan
la validez de esta afirmación y el contenido de la conclusión a la que ha llegado la gerencia.
R
x2
2
2
− ⎛⎝
⎞
⎠π
x
2
2
π
⎛
⎝
⎞
⎠
X
r
a X
s
r
r
s
s
( )−
X
r
a X
s
r
r
s
s
( )−
1
r sr s
X
a X
r
s−
=
2213.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
A partir de esto, determinen su utilidad en la solución de la situación planteada.
Círculo de radio R para la
manufactura de conos.
Los puntos A y B se han
unido para formar el cono.
C
C
H
r
A = B
R 
A B
Figura del problema para trabajar en equipo 3
1. Elige la opción que contiene la proposición verdadera:
a) Si una raíz de ax2 + bx + c = 0 es el doble de la otra, entonces: 2b2 = 4ac.
b) Si x = r es una raíz de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces la división de ax2 + bx + c
entre x + r produce un residuo igual a 0.
c) Una ecuación cuadrática tiene una raíz igual a 0 si y sólo si su término independiente
es 0.
d) La suma de los cuadrados de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a 
2. Hallar la opción que contiene la proposición falsa:
a) Si los coeficientes de ax2 + bx + c = 0 son reales, a y b son ambos positivos y c es negati-
vo, entonces una raíz es positiva y la otra negativa.
b) La suma de los recíprocos de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a 
c) La ecuación x2 − 2x + 5 = 0 cuadrática tiene a 1 + 2i como una de sus raíces.
d) El polinomio cuadrático f(x) = x2 + 2x + 2 es irreducible en el campo de los números reales,
pero no en el campo de los números complejos.
−2b
ac
b
a
c
a
2
2
2+
222 Unidad 3: Ecuaciones
3. Elige la opción que contiene el valor de k con el cual puede asegurarse que la ecuación
(k + 4) x2 − 1 = (2k + 2) x − k, tenga raíces iguales.
a) k = 5
b) 
c) k = 7
d) 
4. Relaciona cada pregunta en la columna B con su respuesta en la columna A.
Columna A Columna B
i. 16
ii.
iii. 23
iv.
v.
vi. 32
vii.
viii. 1 4
−15
4
1
7
−22
3
1
8
k = − ±1 13
2
k
i= − ±3 11
2
a) Valor de a con el cual la ecuación ax2 + 16x + 2
tiene solución única.
b) Valor entero que no puede tomar el discriminan-
te en la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a, b, c enteros
y b par.
c) Solución positiva de la ecuación 
d) Valor de b con el cual la ecuación 2x2 − bx +
4 = 0 tiene una raíz igual a −3.
4
2 1
3
2 1
0
x
x x−
+
+
=
Respuestas a los
Ejercicios y problemas
1. a) Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática, entonces: f(x) = ax
2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2),
luego: f(r) = a(r − r1)(r − r2); como r ≠ r1, r2, concluimos que es imposible que f(x) = 0.
b) a = 9, b = −36
c) Δ = b2 − 4ac = (−36)2 − 4(9)(3) = 1188 > 0; por lo tanto, las raíces r1 y r2 son reales y dife-
rentes.
d) y 
e) El polinomio es reducible; en efecto: f x x x x x( ) ( )( )= − + = − − − +9 36 3 3 6 33 3 6 332
r2
6 33
3
= −r2
6 33
3
= −
2233.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales
2. a) 
b) 
c) 
d) ; 
e) x = −1, x = 2,
3. El ancho del pasillo es de 0.902614 metros.
4. Cada bolsa de dulces costó 3 pesos.
5. Luis tardaría 22.8 días, mientras que Manuel tardaría 17.8 días.
6. Hay dos soluciones posibles, 48 o 16 monos.
7. a) x = 0 y x = 2
b) x = 0
c) x = 1 es la única solución.
d) x = 7 y x = −1
8. a) 
b) x = 4.4 kilómetros.
9. El desembarco debe planearse en el punto B ubicado a 162.734 kilómetros del punto D
10. 2.31386
x x
2
100
5
2= +
x = ±1 3
x i= ± 2
2
x = ± 7
1 7
4
± i
r r1 2 2= =
2 3±
Respuestas a los
ejercicios de autoevaluación
1. c
2. b
3. a
4. (a, vi), (b, iii), (c, viii), (d, iv)
224 Unidad 3: Ecuaciones
3.4 Ecuaciones polinomiales
Hay verdades fundamentales, pero im-
productivas, hasta que alguien da con su
formulación científica. De ahí el culto a
las ecuaciones, que traducen al lenguaje
de la vigilia los barruntos oníricos.
Sólo los poetas y los sabios son capaces
de dar ese salto de una a otra dimensión.
Y lo dan apoyados en un humilde verso
o en una breve fórmula algebraica.
J. J. Millás
Introducción
En ingeniería, negocios, economía o las ciencias en general se llega a en-
contrar modelos que involucran funciones polinomiales de tercero o cuarto
grados o mayores. Así, por ejemplo, la función a(x) = −0.0915x3 + 1.771x
modela la concentración aproximada de alcohol en la sangre que hay en pro-
medio en una persona x horas después de haberlo ingerido. Algunas de las
preguntas que haríamos a partir de esta formulación son: ¿A qué hora ese su-
jeto habrá digerido toda la cantidad de alcohol que ingirió? Dos horas des-
pués de haber ingerido el alcohol, ¿cuál será la concentración del mismo en
su sangre? La solución a este tipo de preguntas involucra el análisis de fun-
ciones de grado mayor a dos y, con ello, la solución de ecuaciones de grado
superior a dos.
Hasta aquí hemos resuelto ecuaciones de primero y segundo grados, que
no son más que casos particulares de las ecuaciones polinomiales; sin embar-
go, la solución de ecuaciones polinomiales no es tan simple como la solución
de ecuaciones de primero o segundo grados. La solución de las ecuaciones
polinomiales de tercero y cuarto grados fue descubierta hasta el siglo XVI y
fueron muchos los matemáticos que trabajaron en ello. Se considera que el
comienzo del periodo moderno de la matemática comenzó en el momento
cuando se lograron resolver las ecuaciones cúbica y cuártica. Las fórmulas
halladas tuvieron la virtud de estimular el desarrollo del álgebra y jugaron un
papel relevante en el desarrollo posterior de los números complejos. En su li-
bro Ars magna, Jerónimo Cardano describe la forma de resolver cualquier
ecuación de tercero y cuarto grados, siguiendo un número finito de pasos me-
diante las cuatro reglas aritméticas; sin embargo, la solución requiere de un
cambio de variable más o menos complicado y, tal como la conocemos aho-
ra, del manejo de operaciones con números complejos. La solución a la ecua-
ción de tercer grado es adjudicada a Niccolo Tartaglia y la solución de la
ecuación de cuarto grado a Luigi Ferrari, aunque en ambos casos también se
considera la participación de Cardano. La matemática tuvo que esperar alre-
dedor de tres siglos a que llegaran dos matemáticos muy jóvenes: Niels Hen-
2253.4 Ecuaciones polinomiales 
rik Abel y Evariste Galois, para demostrar que no era posible resolver
ecuaciones de grados superiores a cuatro con un número finito de pasos. En
resumen, hoy sabemos que no hay una fórmula para resolver ecuaciones de
grado superior a cuatro, así como que los procedimientos para resolver ecua-
ciones de tercero y cuarto grados requieren nociones matemáticas comple-
jas no propias de este grado de estudios. Eso no significa que las funciones
polinomiales nos sean totalmente inaccesibles; en este apartado nos concen-
traremos en el estudio de aquellas ecuaciones polinomiales cuyas raíces seannúmeros racionales o ecuaciones que sea posible simplificar hasta una ecua-
ción de segundo grado. De tal suerte, será necesario fundamentar diversos
resultados matemáticos que permitan analizar y clasificar las raíces de las
ecuaciones a tratar.
El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las fun-
ciones polinomiales y del tipo de problemas que podemos resolver a través
de ellas.
“De allá pa’ca”
Carlitos se encuentra en una mecedora en el frente de su casa, desde donde ob-
serva a un vendedor ambulante que pasa varias veces por la misma calle en una
camioneta anunciando sus productos con un altavoz. Tomando en cuenta que el
vendedor modificaba su aceleración de forma constante, la ecuación que descri-
be la posición del vendedor (x) con respecto al tiempo (t) sería la siguiente:
En donde el tiempo está medido en minutos, a partir de que el vendedor pasa
frente de la casa de Carlitos, y la posición del vendedor está medida en metros
con respecto a la casa de Carlitos.
1. De acuerdo con esto, ¿cuántas veces pasa el vendedor frente a su casa y cuan-
to tiempo después de haber pasado la primera vez?
2. Su amiga Lulú vive a 20 metros a la derecha de su casa, pero Carlitos no al-
canza a observar si el vendedor pasó frente a su casa. ¿Se puede usar la infor-
mación que tenemos para saber si pasó o no pasó frente a la casa de Lulú? Si
así fue, ¿cuántos minutos después pasó el vendedor frente a la casa de Lulú?
¿Pasa una sola vez?
x t t t= − + −3 29 16
Objetivos
Al terminar esta sección, serás capaz de:
• Definir e identificar una función polinomial.
• Plantear y resolver ecuaciones polinomiales con soluciones racionales.
• Enunciar y aplicar los teoremas del factor, de las n raíces y de la raíz racio-
nal en el análisis de las funciones polinomiales.
• Resolver problemas que dan lugar a ecuaciones polinomiales.
226 Unidad 3: Ecuaciones
Funciones polinomiales 
Las funciones polinomiales se definen sólo en términos de suma, resta y multi-
plicación. Así, una función polinomial tiene la forma:
donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no ne-
gativo.
p x a x a x a x a x an
n
n
n
n
n( ) ...= + + + +−
−
−
−
1
1
2
2
1 0
Una función polinomial está definida por dos variables, una de las cuales está igualada
a un polinomio de grado n definido por la otra variable. El grado de la función polino-
mial es el grado del polinomio.
Así, por ejemplo:
es una función polinomial de grado 2
es una función polinomial de grado 5
no es una función polinomial
Como observarás, las ecuaciones de segundo grado, ya estudiadas, no son más que un
caso particular de las funciones polinomiales.
Las funciones polinomiales dan lugar a ecuaciones polinomiales cuando hay un in-
tención explícita de resolver, es decir, de encontrar los valores de alguna variable que
hagan cierta esa igualdad. Si en la ecuación primera, , quisiéramos co-
nocer cuánto vale x cuando y = 5, entonces igualaríamos la ecuación a 5. La función se
transformaría en la siguiente ecuación: , que resolveríamos por alguno
de los métodos ya tratados.
3 5 2 02x x+ − =
y x x= + +3 5 32
p x
x
x x
( ) = −
+ −
4 3
4 52
p x x x x( ) = − + −3 9 4 85 3
y x x= + +3 5 32
Así, una ecuación polinomial tiene la forma:
donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no ne-
gativo.
a x a x a x a x an
n
n
n
n
n+ + + + =−
−
−
−
1
1
2
2
1 0 0...
Las ecuaciones polinomiales más comunes son aquellas que se forman cuando queremos
conocer las raíces de una función polinomial. Una raíz o solución de una función poli-
nomial p(x) es aquel valor de x que hace que el polinomio sea igual a 0. Generalmente a
la raíz de un polinomio se le denota con la letra r.
2273.4 Ecuaciones polinomiales 
Resolución y factorización de una ecuación polinomial
Como ya lo mencionamos, no hay un método general para resolver cualquier ecuación
polinomial; el método que se analizará aquí sólo permitirá obtener la solución de las
ecuaciones de grado superior a 2, cuya solución sea un número entero o fraccionario, o
cuando se trate de una ecuación polinomial que pueda ser reducida a una ecuación de se-
gundo grado. Nuestro método se basa principalmente en la factorización de polinomios.
Para introducirnos en este tema, será necesario que redefinamos primero algunos aspec-
tos importantes ya vistos; para ello, se partirá de la solución de una ecuación de segun-
do grado.
Para resolver una ecuación de segundo grado; por ejemplo, , esco-
geríamos tres caminos familiares: completar trinomio cuadrado perfecto, con fórmula
general o factorizándola. Indudablemente la forma más sencilla de hacerlo es por facto-
rización, cuando el trinomio es factorizable. En este caso sí lo es:
por lo tanto:
Puesto que el producto está igualado a 0, tenemos la seguridad de que la igualdad se
cumplirá si igualamos cada uno de los factores a 0, es decir:
1. Si , entonces se cumple la igualdad
2. Pero si , también se cumple la igualdad
De estas dos igualdades, conocemos los valores de x que hacen que la igualdad original
se cumpla. Despejando, obtenemos que x vale , o bien, que x vale −1. Pero también
es cierto que es posible ignorar las bondades de la factorización y resolverla por fórmu-
la general; entonces:
obtenemos los valores que hacen que la igualdad se cumpla:
o
De esta otra forma, encontramos las respuestas (que son las mismas que habíamos obte-
nido), pero no factorizamos el trinomio. Sin embargo, una vez con las respuestas, cono-
ceremos los factores porque podemos partir exactamente al revés, es decir, si sabemos
que y , son las soluciones de una ecuación de segundo grado, también
sabemos que tenemos dos igualdades, que es posible despejar e igualar a 0:
x = −1x = − 4
3
x = −1x = − 4
3
x
x
=
− ± − ( )( )
( )
= − ±
 
 
7 7 4 3 4
2 3
7 1
6
2( )
− 4
3
x + =1 0
3 4 0x + =
3 4 1 0x x+( ) +( ) =
3 7 4 3 4 12x x x x+ + = +( ) +( )
3 7 4 02x x+ + =
228 Unidad 3: Ecuaciones
Pero como 0 por 0 es 0, y cada una de las ecuaciones que tenemos está igualada a 0, tam-
bién se cumpliría que:
¿Qué obtuvimos? La ecuación original factorizada. Es decir, usamos una nueva manera
de factorizar una ecuación conociendo sus raíces. Pongamos otro ejemplo en el que real-
mente no conozcamos la ecuación.
3 4 1 0x x+( ) +( ) =
0 0 0( )( ) =
3 4 0x + =
x + =1 03 4x = −
x = −1x = − 4
3
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Si sabemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado son y −3, ¿se podría encontrar una
ecuación de la que provengan?
7
2
Las soluciones las escribiríamos como y , de manera que también es cierto que
y ; por lo tanto, la ecuación original estaría dada por , la cual,
efectuando la multiplicación de los factores, quedaría: .
De este modo, conociendo las soluciones, no sólo es posible factorizar la ecuación, sino también
conocer una de las ecuaciones de las que provengan. Pero, ¿por qué dice que es sólo “una” de las
ecuaciones de las que provenga? Porque en realidad las soluciones provendrían de otra ecuación; por
ejemplo, de , porque la factorización de la ecuación sería: , y
sus soluciones serían las mismas. Además, la ecuación estaría influida por otro factor, como −1; así,
la ecuación sería y su factorización: . En realidad, dadas las
soluciones de una ecuación cuadrática, hay un número infinito de ecuaciones de las que proven-
dría (¡imagínate! cualquier número puede ser otro factor); aquí nos contentaremos con que provenga
de la más sencilla.
− −( ) +( ) =2 7 3 0x x− + + =2 21 02x x
4 2 7 3 0x x−( ) +( ) =8 4 84 02x x− − =
2 21 02x x− − =
2 7 3 0x x−( ) +( ) =x + =3 02 7 0x − =
x = −3x = 7
2
2293.4 Ecuaciones polinomiales 
solución
solución
solución
Ejemplo 2
Proporciona una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones los números 1.234 y −4.567.
La ecuación que obtuviste, ¿es factorizable?
Las soluciones las escribiremos como y , de manera que también es cierto que:
y
por lo tanto, la ecuación original estaría dada por, la cual, desarrollada, que-
daría: .
Observemos que en otras circunstancias hubiese sido factible pensar que no es posible factorizarla,
porque hubiera sido realmente difícil encontrar dos números que multiplicados dieran −5.635678 y su-
mados 3.333; sin embargo, ahora sabemos que sí es posible factorizarla y que sus factores serían
y , así como que si sólo hubiéramos conocido la ecuación hubiese podido fac-
torizarla resolviéndola primero por fórmula general.
x +( )4 567.x −( )1 234.
x x2 3 333 5 635678 0+ − =. .
x x−( ) +( ) =1 234 4 567 0. .
x + =4 567 0.x − =1 234 0.
x = −4 567.x = 1 234.
Ejemplo 3
¿De qué grado es la ecuación que tiene como única solución a x = 3 repetida dos veces?
Si la solución está repetida dos veces, significa que hay dos factores iguales, es decir, la ecuación pro-
vendría del desarrollo de , o bien, , y sería ; por lo tan-
to, la ecuación que tiene como solución a x = 3 repetida dos veces debe ser de segundo grado.
x x2 6 9 0− + =x −( ) =3 02x x−( ) −( ) =3 3 0
Ejemplo 4
¿Cuál sería el grado de una ecuación polinomial del que sabemos que sus soluciones son ,
y , y no son repetidas?x = 6
x = 5x = 4
Si tenemos tres soluciones no repetidas, el polinomio debe provenir del desarrollo del siguiente produc-
to: ; por lo tanto, tiene tres factores en los que se involucra la variable x, de
manera que el polinomio tiene que ser de grado 3. Sus factores serían: , y .x −( )6x −( )5x −( )4
x x x−( ) −( ) −( ) =4 5 6 0
Ejemplo 5
¿Qué diríamos de un polinomio del que sabemos que dos de sus soluciones son 7 y −4?
230 Unidad 3: Ecuaciones
¿Qué se concluye de estos ejemplos? Puntualicemos:
1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lo mismo
con una ecuación de la que provengan, porque cada una de las soluciones se trans-
forma en uno de los factores de la ecuación.
2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, se conocería el gra-
do de la ecuación, porque cada una de las soluciones se convierte en un factor que
es posible desarrollar para hallar la ecuación.
Analicemos cada una de estas conclusiones por separado:
solución
Esas dos soluciones las escribiremos como: y , de manera que también es cierto que:
y 
Pero esta vez no es posible asegurar que la ecuación está dada por , porque no
sabemos si la ecuación sólo tiene esas dos soluciones o más (en el enunciado no lo especifican).
Si la ecuación sólo tuviera esas dos soluciones, estaría dada por ese producto, pero de otra ma-
nera sólo afirmaríamos que y son dos de sus factores y que no podemos conocer
los demás.
x - 7( )x +( )4
x x+( )( ) =4 7 0-
x − =7 0x + =4 0
x = 7x = −4
1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lo
mismo con una ecuación de la que provengan, porque cada una de las solu-
ciones se transforma en un factor de la ecuación.
Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que 
es una ecuación con esas soluciones. De tal manera que si esa ecuación polinomial
proviene de una función , los valores de x = a, x = b y x = c
harán que esa función sea igual a 0. Esto último lo escribiremos de la sigueinte forma:
, y , es decir, a, b y c son raíces de la función f(x). Así, si
se conocen las raíces de una función polinomial, es posible conocer una función de las
que provengan, pero el resultado más importante es que si conocemos una de las raí-
ces de una función polinomial, ocurre lo mismo con uno de los factores de esa función.
A este importante resultado se le llama teorema del factor, el cual, al pie de la letra,
nos dice:
f c( ) = 0f b( ) = 0f a( ) = 0
f x x a x b x c( ) = −( ) −( ) −( )
x a x b x c−( ) −( ) −( ) = 0
2313.4 Ecuaciones polinomiales 
Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que 
es una función con raíces a, b y c, y que el grado del polinomio está dado por la multiplica-
ción de sus factores: ; por lo tanto,
el grado de la función polinomial es 3. Del mismo modo, si se sabe que la función tiene
cuatro raíces, x = a, x = b, x = c y x = d, también se sabrá que cuatro son sus factores
y que, por lo tanto, el grado de la función es 4. Pode-
mos esperar que una función con n soluciones tenga n factores y que sea de grado n.
La reflexión inversa resulta interesante; si una función es de grado n, ¿significa que
tiene n soluciones? Recordemos el ejemplo 3; en éste las soluciones de una ecuación de
segundo grado son iguales, pero finalmente hay dos soluciones. ¿Qué otro caso se pue-
de tener? Es posible que las soluciones estén dadas por números complejos, de manera
que considerando una ampliación, en el sentido de que las raíces de los números com-
plejos pueden ser iguales o distintas, reales o complejas, se da lugar a otro importante
teorema, el Teorema de las n raíces:
f x x a x b x c x d( ) = −( ) −( ) −( ) −( )
f x x ax bx cx abx acx bcx abc( ) = − − − + + + −3 2 2 2
f x x a x b x c( ) = −( ) −( ) −( )
Teorema del factor
Si , entonces es un factor de la función polinomial f, que tam-
bién se cumple en sentido inverso, es decir, si es un factor de una fun-
ción polinomial f, entonces .f c( ) = 0
x c−( )
x c−( )f c( ) = 0
2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, ocurriría lo
mismo con el grado de la ecuación, porque cada una de las soluciones se con-
vierte en un factor que es posible desarrollar para hallar la ecuación.
Teorema de las n raíces
Todo polinomio f(x) de grado , con coeficientes reales o complejos, puede
expresarse como producto de n factores lineales; por lo tanto, tiene n raíces no
necesariamente distintas.
n ≥ 1
Pero estos dos teoremas, ¿qué utilidad tienen en la solución de las ecuaciones poli-
nomiales? ¿Cómo se encuentran las raíces de una polinomial de tercer grado como
?
De acuerdo con lo desarrollado, las raíces de se encuen-
tran cuando , de modo que las raíces se hallarán si resolvemos la ecuación po-
linomial . Por el teorema de las n raíces, se sabe que tiene tres3 8 13 30 03 2x x x− − + =
f x( ) = 0
f x x x x( ) = − − +3 8 13 303 2
f x x x x( ) = − − +3 8 13 303 2
232 Unidad 3: Ecuaciones
raíces y tres factores. De modo que si factorizamos la ecuación será posible encontrar
las raíces, pero ¿cómo se factoriza? Vayamos paso a paso:
Por el Teorema del factor, si se conoce una raíz de la función polinomial f (x) =
, se tendrá un factor del polinomio. Pero ¿cómo conoceremos una
raíz? Se llega a hacer una tabla en donde se le dé valores a x y se calcule el valor de f(x),
hasta obtener un 0. Los valores deberán ser positivos y negativos. La tabla obtenida se
muestra a continuación:
3 8 13 303 2x x x− − +
x f(x)
0 30
1 12
-1 32
2 -4
-2 0
De acuerdo con la tabla, es una raíz de la función polinomial; por lo tanto, uno
de los factores del polinomio es . Se gana un factor, pero ¿cómo se obtienen los
otros dos? Si uno de los factores del polinomio es , hay al-
gún otro polinomio Q(x) (que no conocemos) que, multiplicado por , sea igual
a , de modo que es posible establecer la siguiente igualdad:
Esto significa que sí se puede conocer a Q(x):
La división que hay que efectuar para conocer Q(x) sería una división sintética, por-
que el divisor tiene la forma x − a:
3 −8 −13 30 −2
−6 28 −30
3 −14 15 0
El polinomio resultante es ; por lo tanto:
El polinomio de segundo grado es factorizable: , por
métodos conocidos. De modo que el polinomio de tercer grado queda factorizado de la
siguiente forma:
3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )
3 14 15 3 5 32x x x x− + = −( ) −( )
3 8 13 30 2 3 14 153 2 2x x x x x x− − + = +( ) − +( )
Q x x x( ) = − +3 14 152
Q x
x x x
x
( ) = − − +
+
3 8 13 30
2
3 2
3 8 13 30 23 2x x x x Q x− − + = +( ) ( )
3 8 13 303 2x x x− − +
x +( )2
x +( )23 8 13 303 2x x x− − +
x +( )2
x = −2
2333.4 Ecuaciones polinomiales 
Es posible obtener las raíces del polinomio original :
de donde:
, y 
Entonces las raíces del polinomio son , y , en tanto que el polino-
mio queda factorizado como .
Concluiremos que para resolver una ecuaciónde tercer grado será necesario encon-
trar una solución; de esa manera, nuestro problema se reduce a una ecuación de segun-
do grado, que puede ser resuelto por métodos conocidos. El problema real es cómo
conocer una solución o raíz; más aún, cuando la ecuación que se desee resolver sea de gra-
do superior a 3, porque en tales casos, para llegar a tener una ecuación de segundo grado
es necesario conocer dos o más raíces.
Las posibles raíces de una función polinomial
En el ejemplo que se resolvió, la primera solución se encontró a través de una tabla en
donde se le dieron valores a x y se evaluó la función hasta encontrar el valor de x que hicie-
ra que f fuera 0. Pero, ¿no hay una manera más simple? ¿Cómo saber hasta dónde seguir
evaluando?
Hay formas de simplificar esa evaluación; sin embargo, el método exige un tanteo que
se puede sistematizar y simplificar, pero que sigue siendo un tanteo. Analizaremos va-
rios casos para concluir en la manera de simplificar este procedimiento.
Analicemos el polinomio resuelto y su factorización:
Lo anterior es fácilmente demostrable porque bastará con efectuar la multiplicación de
los tres binomios; si el resultado es el polinomio de la izquierda, la factorización será
correcta. Hay que observar que el término independiente, 30, forzosamente debe prove-
nir del producto de 2 por −5 por −3 ,y que las soluciones están de alguna manera condi-
cionadas por esos números, de manera que en este caso no hubiese sido posible que el
polinomio tuviera como raíz entera el número 7, porque de esa forma uno de los facto-
res sería (x −7); por lo tanto, tendría que haber números enteros que, multiplicados por
−7, dieran como producto 30, lo que no puede ser.
De modo que los términos independientes de los factores del polinomio están condicio-
nados por los factores del término independiente del polinomio. Como las raíces enteras
están dadas por el inverso de los términos independientes de los binomios de primer gra-
do, éstas también quedan condicionadas por los factores del término independiente. Así,
las raíces enteras posibles de la función polinomial sólo
pueden ser 1,−1, 5, −5, porque los factores , , o sí serían
factores del polinomio .
Hay que observar que 5 y 1 son los factores del término independiente del polinomio.
¿Qué ocurre con las raíces fraccionarias? En el resultado obtenido:
3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )
3 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −
x +( )1x −( )1x +( )5x −( )5
g x x x x x( ) = − − − −3 2 2 2 54 3 2
3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )
f x x x x( ) = +( ) −( ) −( )2 3 5 3
x = 3x = 5
3
x = −2
x = 3x = 5
3
x = −2
f x x x x
f x x x x
( )
( )
= − − + =
= +( ) −( ) −( ) =
3 8 13 30 0
2 3 5 3 0
3 2
f x( )
234 Unidad 3: Ecuaciones
La raíz fraccionaria proviene del factor . Observa que el 3x es indis-
pensable porque el producto de x por 3x por x, en los tres factores, debe regresar al 3x3
del polinomio y el coeficiente 3 luego se convierte en el denominador de la raíz fracciona-
ria. De manera que si una ecuación polinomial tiene un factor de la forma , en-
tonces a debe ser factor del coeficiente del término de mayor grado del polinomio, así
como b un factor de su término independiente, en tanto que su raíz es de la forma . A
este resultado se le conoce como Teorema de la raíz racional, el cual se enuncia de la
siguiente forma:
b
a
ax b−( )
3 5x −( )x = 5
3
Teorema de la raíz racional
Si el número racional , escrito en su mínima expresión, es una raíz del polinomio:
con coeficientes enteros, entonces p debe ser factor de a0 (el término constante de
f(x)) y q un factor de an (el coeficiente del término de mayor grado de f(x)).
f x a x a x a x a x an
n
n
n
n
n( ) ...= + + + +−
−
−
−
1
1
2
2
1 0
p
q
De modo que no hubiera sido posible que fuera raíz de la función f(x) = 3x2 −
, porque el factor (2x − 1) no puede ser factor del polinomio
. Hay que observar que 2 no es factor del coeficiente del término de
grado mayor.
De acuerdo con este teorema, las raíces racionales (enteras y fraccionarias) posibles
de una función polinomial estarían dadas por la fracción simplificada que resulta del
cociente de todas las posibles combinaciones de los factores del término independiente
entre los factores del coeficiente del término de mayor grado.
3 8 13 303 2x x x− − +
8 13 302x x− +
x = 1
2
Ejemplo
Las posibles raíces racionales de la función están dadas por:
Factores del término independiente: 1, 5.
Factores del término de mayor grado: 1, 3.
Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1, 5, −5.
Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér-
mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , , , .− 5
3
5
3
− 1
3
1
3
g x x x x x( ) = − − − −3 2 2 2 54 3 2
2353.4 Ecuaciones polinomiales 
Se sabe que el número de raíces de la ecuación es 4 (porque es de cuarto grado) y el número de posi-
bilidades que se encontraron son 8. De manera que para conocer exactamente cuáles de todas ellas son
las raíces de la función polinomial, hay que evaluar cada una en la función hasta encontrar un 0. Cier-
tamente aún son muchas las posibilidades, lo que implica muchas evaluaciones, pero son menos que las
que se tendría si no hubiera forma de discriminar entre todas las posibilidades que hay en el conjunto
de los números racionales.
Se puede afirmar que en ese conjunto de números encontrados están todas las soluciones racionales
posibles de la ecuación dada, de manera que si la función se evalúa en todos esos valores y ninguno
proporciona un 0 para la función, entonces la función tratada no tendrá ninguna raíz en el conjunto de
los números racionales; por lo tanto, sus soluciones estarán en el conjunto de los números irracionales
(decimales infinitos no periódicos) o de los complejos. El método que se está describiendo, por lo tan-
to, no servirá para hallar las raíces del polinomio dado. Es necesario que al menos haya un número de
raíces racionales tal que el polinomio sea llevado a un producto en donde uno de los factores sea de se-
gundo grado, porque este tipo de ecuaciones sí logran resolverse aún cuando la naturaleza de sus solu-
ciones sea compleja o irracional. En el ejemplo que nos ocupa, esto es posible si dos de sus raíces son
racionales, porque el polinomio es de grado 4. Si el polinomio fuera de quinto grado, sería necesario
que al menos tres de sus raíces fueran de naturaleza racional.
Por ello, se concluye que si la función polinomial es de grado n y si al menos n-2 de las raíces del
polinomio no son de naturaleza racional (entera o fraccionaria), el método que se proporciona no ser-
virá para hallar las soluciones.
Ahora que ya sabemos cuáles son las posibles soluciones de la función g(x) = 3x4 − 2x3 −
, nos dedicaremos a buscar cuáles de esas posibilidades son realmente sus raíces. Ya
mencionamos que para lograrlo se debe evaluar hasta encontrar un 0, pero hay una forma más sencilla
de hacer esa evaluación que haciendo directamente la sustitución en la función; esto es: efectuando
la división.
Sabemos que las posibles raíces racionales de esa función son: 1, −1, 5, −5, , , , . Esco-
jamos una de ellas, por ejemplo la primera: Si 1 es una de las raíces del polinomio, entonces sería
factor del polinomio; por lo tanto, al efectuar la división de la función g(x) entre , su residuo ten-
dría que ser 0. Si no es factor del polinomio, entonces al efectuar la división el residuo no se-
ría 0; por lo tanto, 1 no sería raíz del polinomio. De manera que si sustituimos el valor en la función y
nos da como resultado un 0, será equivalente a realizar la división entre el polinomio y el factor posi-
ble y que el residuo nos dé 0. Realizar la división es más sencillo que sustituir la posible raíz en el po-
linomio, porque esto último requiere elevar un número a una potencia varias veces; en cambio, si se usa
una división sintética (porque los divisores serán de la forma) las únicas operaciones que se rea-
lizarán son la suma, la resta y la multiplicación. Efectuaremos las divisiones con cada una de las posi-
bles raíces hasta encontrar una que en efecto lo sea:
1. Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre (x − 1) es:
3 −2 −2 −2 −5 1
3 1 −1 −3
3 1 −1 −3 −8
El residuo resultante es −8; por lo tanto, no es factor de g(x).x −( )1
3 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −x −( )1x = 1
x a−( )
x −( )1
x −( )1
x −( )1
− 5
3
5
3
− 1
3
1
3
2 2 2 53 2x x x− − −
236 Unidad 3: Ecuaciones
2. Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre es:
3 −2 −2 −2 −5 −1
−3 5 −3 5
3 −5 3 −5 0
El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de g(x) y es el otro factor:
Como observamos, al encontrar una raíz podemos tener dos factores, uno de primer grado y otro de
tercer grado. El problema se ha reducido un grado, pero todavía queda un polinomio de tercer gra-
do por resolver, para lo cual hay que utilizar el mismo método. En este caso, las posibles raíces son
iguales que las del polinomio anterior, porque el coeficiente del término de mayor grado es 3 y el
término independiente es 5, así que continuaremos haciendo más divisiones sintéticas con los va-
lores que ya tenemos. Como no resultó ser raíz de g(x), tampoco lo será del polinomio
, así que comenzaremos la evaluación con , porque es posible que el po-
linomio tenga factores repetidos.
3. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre es:
3 −5 3 −5 −1
−3 8 −11
3 −8 11 −26
El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .
4. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre es:
3 −5 3 −5 5
15 50 265
3 10 53 260
El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .
5. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre es:
3 −5 3 −5 −5
−15 100 −515
3 −20 103 520
El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .3 5 3 53 2x x x− + −x +( )5
x +( )5
3 5 3 53 2x x x− + −x +( )5x = −5
3 5 3 53 2x x x− + −x −( )5
x −( )5
3 5 3 53 2x x x− + −x −( )5x = 5
3 5 3 53 2x x x− + −x +( )1
x +( )1
3 5 3 53 2x x x− + −x +( )1x = −1
x = −13 5 3 53 2x x x− + −
x = 1
3 2 2 2 5 1 3 5 3 54 3 2 3 2x x x x x x x x− − − − = + − + −( )( )
3 5 3 53 2x x x− + −x +( )1
x +( )1
3 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −x +( )1x = −1
2373.4 Ecuaciones polinomiales 
6. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de 
entre es:
3 −5 3 −5 
1 
3 −4 
El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .
7. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de
entre es:
3 −5 3 −5 
−1 2 
3 −6 5 
El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .
8. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de
entre es:
3 −5 3 −5 
5 0 5
3 0 3 0
El residuo de esta división es 0; por lo tanto, es factor de y es el
otro factor. Así:
3 5 3 5
5
3
3 33 2 2x x x x x− + − = −⎛⎝
⎞
⎠ +( )
3 32x +3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝
⎞
⎠
5
3
5
3
x −⎛⎝
⎞
⎠
5
3
3 5 3 53 2x x x− + −
x −⎛⎝
⎞
⎠
5
3
x = 5
3
3 5 3 53 2x x x− + −x +⎛⎝
⎞
⎠
1
3
− 20
3
− 5
3
− 1
3
x +⎛⎝
⎞
⎠
1
3
3 5 3 53 2x x x− + −
x +⎛⎝
⎞
⎠
1
3
x = − 1
3
3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝
⎞
⎠
1
3
− 40
9
5
3
5
9
− 4
3
1
3
x −⎛⎝
⎞
⎠
1
3
3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝
⎞
⎠
1
3
x = 1
3
238 Unidad 3: Ecuaciones
Como:
Entonces:
Reacomodando factores:
Igualando el último factor a 0, , se obtienen las dos raíces que nos hace falta conocer:
Por lo tanto, las raíces de g(x) son: , , y . La función g(x) en el conjunto
de los números reales queda factorizado como: g x x x x( ) ( )= + −( ) +( )1 3 5 12
x i=x i= −x = 5
3
x = −1
x i= ±
x = ± −1
x = −1
x 2 1 0+ =
x 2 1+( )
g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −( ) +( )3 2 2 2 5 1 3 5 14 3 2 2
g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −⎛⎝
⎞
⎠ +( )3 2 2 2 5 1
5
3
3 14 3 2 2
g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −⎛⎝
⎞
⎠ +( )3 2 2 2 5 1
5
3
3 34 3 2 2
g x x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + − + −( )3 2 2 2 5 1 3 5 3 54 3 2 3 2
solución
Ejemplos
Ejemplo 1
Encuentra las raíces y los factores de la siguiente función polinomial: .f x x x x( ) = − + −4 7 5 14 2
Lo primero que habrá que analizar es cuáles son las posibles raíces de la función f(x):
Factores del término independiente: 1.
Factores del término de mayor grado: 1, 2, 4.
Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1.
Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér-
mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , , , .− 1
4
1
4
− 1
2
1
2
2393.4 Ecuaciones polinomiales 
Después, habrá que ver cuáles de esas posibles raíces son efectivamente raíces de la función polino-
mial. Para ello, recurriremos a la división sintética. Hay que hacer notar que el polinomio es de cuarto
grado; por lo tanto, esperamos cuatro factores y cuatro raíces.
a) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre
es:
4 0 −7 5 −1 1
4 4 −3 2
4 4 −3 2 1
El residuo resultante es 1; por lo tanto, no es factor de f(x) ni es su raíz.
b) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre
es:
4 0 −7 5 −1 −1
−4 4 3 −8
4 −4 −3 8 −9
El residuo resultante es −9; por lo tanto, no es factor de f(x) ni es su raíz.
c) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre
es:
4 0 −7 5 −1 
2 1 −3 1
4 2 −6 2 0
El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de f(x); su otro factor es 
y es su raíz. Así, obtenemos que:
4 7 5 1 2 1 2 3 14 2 3 2x x x x x x x− + − = −( ) + − +( )
4 7 5 1
1
2
2 2 3 14 2 3 2x x x x x x x− + − = −⎛⎝
⎞
⎠ + − +( )
4 7 5 1
1
2
4 2 6 24 2 3 2x x x x x x x− + − = −⎛⎝
⎞
⎠ + − +( )
x = 1
2
4 2 6 23 2x x x+ − +x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
1
2
x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
4 7 5 14 2x x x− + −x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
x = 1
2
x = −1x +( )1
x +( )1
4 7 5 14 2x x x− + −x +( )1x = −1
x = 1x −( )1
x −( )1
4 7 5 14 2x x x− + −x −( )1x = 1
ó
ó
240 Unidad 3: Ecuaciones
Las posibles raíces del polinomio de tercer grado tienen que ser subconjunto de las raíces del polinomio
anterior, de cuarto grado, en tanto que los valores que ya probamos que no son raíces del polinomio de
cuarto grado, pero tampoco pueden ser raíces del polinomio de tercer grado, así que continuaremos eva-
luando a partir de donde nos quedamos, porque lo que sí llegaría a ocurrir es que la raíz esté repetida.
d) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre
es:
2 1 −3 1 
1 1 −1
2 2 −2 0
El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de ; su otro factor es
y es una raíz doble. Así, obtenemos que:
Como: , entonces:
El siguiente factor es de segundo grado, pero como no es posible factorizarlo en los racionales (no
hay dos números racionales que multiplicados den 1 y que sumados o restados den −1), hay que recu-
rrir a otros métodos para encontrar las dos raíces que faltan.
Para hallar las raíces, es necesario igualar a 0 la función polinomial:
Así, el factor cuadrático queda igualado a 0; por lo tanto, es resoluble a través de la fórmula general:
x =
− ± − ( ) −( )
( )
 1 ( 1 ) 4 
2 1
2 1 1
x x2 1 0+ − =
2 1 2 1 1 02x x x x−( ) −( ) + −( ) =
f x x x x x( ) = −( ) −( ) + −( )2 1 2 1 12
f x x x x x( ) = −( ) + − +( )2 1 2 3 13 2
f x x x x x x x x( ) = − + − = −( ) + − +( )4 7 5 1 2 1 2 3 14 2 3 2
2 3 1 2 1 13 2 2x x x x x x+ − + = −( ) + −( )
2 3 1
1
2
2 13 2 2x x x x x x+ − + = −⎛⎝
⎞
⎠ + −( )
2 3 1
1
2
2 2 23 2 2x x x x x x+ − + = −⎛⎝
⎞
⎠ + −( )
x = 1
2
2 2 22x x+ −
2 3 13 2x x x+ − +x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
1
2
x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
2 3 13 2x x x+ − +x −⎛⎝
⎞
⎠
1
2
x = 1
2
ó
ó
2413.4 Ecuaciones polinomiales 
solución
solución
Por lo tanto, las raíces de f(x) son: , , y . La función f(x) en el
conjunto de los números racionales, queda factorizada como f x x x x x( ) = −( ) −( ) + −( )2 1 2 1 12
x = 1
2