Física 1-121-123

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Movimento vertical no vácuo 119
esse movimento de descida é acelerado, mas tem velocidade escalar negativa. No mo-
vimento acelerado, v e α têm o mesmo sentido e, portanto, o mesmo sinal. logo, a 
aceleração é negativa.
Equaç›es do lançamento vertical
Vamos supor que o corpo seja apenas um ponto material e que sua posição seja 
definida, em cada instante, pelo valor da ordenada y.
A ordenada inicial é denominada altura inicial do lançamento. Assim, y
0 
= h
0
.
y = y
0
 + v
0
t + αt
2
2
substituindo também α = – g, a equação horária das posições fica:
y = h
0
 + v
0
t – 
gt2
2
A equação horária da velocidade é:
v = v
0
 + αt
Fazendo α = – g, obtemos:
v = v
0
 – gt
temos também a equação de torricelli, que assim se escreve:
v2 = v2
0
 – 2g · Δy
Propriedades do lançamento vertical livre
1ª. ) No pico da trajetória (fig. 9) temos:
•	 Máxima altura atingida pelo móvel, a qual denominaremos H. Assim, a ordena-
da máxima é: y
máx
 = h
•	 Velocidade instantânea nula: v = 0
•	 Aceleração escalar não nula: α = – g
2ª. ) Num ponto qualquer da trajetória, de ordenada y < h, o móvel passará na subida 
com velocidade escalar (+v) e na descida com (–v), sendo v o módulo da velocida-
de. ou seja, na subida e na descida, as velocidades são iguais em módulo (fig. 10). 
essa propriedade mostra a simetria do movimento e sua demonstração é feita facil-
mente pela equação de torricelli:
v2 = v
0
2 – 2g · Δy ⇒ v
1, 2
 = v
0
2 – 2g · Δy
temos uma raiz positiva (subida) e outra negativa (descida), ambas de mesmo módulo:
v
1
 = –v
2
3ª. ) A contar do ponto de lançamento da partícula, os intervalos de tempo de subida e 
de descida são iguais.
essa propriedade é uma decorrência da simetria do movimento.
4ª. ) Denominamos tempo total de voo a soma dos tempos de subida e de descida:
Δt
voo
 = Δt
sub
 + Δt
desc
tendo em vista a propriedade anterior, também podemos escrever:
Δt
voo
 = 2Δt
sub
 = 2Δt
desc
DICA
Não substitua g 
por –10 m/s², pois 
ele é um valor 
absoluto. Quem 
tem sinal negativo 
é a aceleração 
escalar α. Se 
você cometer 
esse erro, acabará 
anulando o sinal 
da aceleração.
H
y = 0
y
máx
 = Hpico
solo
y
Figura 9. Móvel na 
altura máxima.
Il
U
st
r
A
ç
õ
es
: 
ZA
Pt
Figura 10. A simetria 
do movimento.
+v
v
0
–v
(+)
solo
y
Capítulo 6120
 
Exercícios de Aplicação
21. Uma partícula é lançada verticalmente para cima 
a partir do solo, com velocidade inicial de módu-
lo v
0
. A aceleração da gravidade local tem módulo 
g e despreza-se o efeito do ar. A trajetória é 
orientada para cima. Calcule:
a) o tempo de subida (t
sub
);
b) a altura máxima atingida (H).
Resolução:
Orientemos a trajetória para cima e tomemos a 
origem das ordenadas no solo.
a) A equação horária da velocidade escalar é 
dada por:
 v = v
0
 – gt
 No pico da trajetória:
 v = 0
 0 = v
0
 – gt
sub
 gt
sub
 = v
0
t
sub
 = 
v
0
g
b) A equação de Torricelli para o movimento fica:
 v2 = v
0
2 – 2g · Δy
 No pico da trajetória:
 v = 0 e Δy = H
 02 = v
0
2 – 2gH
 2gH = v
0
2
H = 
v
0
2
2g
22. Próximo da superfície terrestre e no vácuo, lan-
çamos verticalmente para cima um corpo com 
velocidade escalar de módulo 30 m/s. A acelera-
ção da gravidade é constante e vale g = 10 m/s². 
Considerando que o corpo tenha sido lançado do 
solo, determine:
a) o tempo de subida (t
sub
);
b) a máxima altura (H).
Resolução:
Orientemos a trajetória para cima e tomemos a 
origem no solo. 
H
v
0
y
origem
pico
y = H
v = 0
α = –10 m/s2
(+)
solo
As equações horárias são:
y = y
0
 + v
0
t – 
g
2
 · t2
v = v
0
 – gt
Temos: y
0
 = 0; v
0
 = 30 m/s; g = 10 m/s²
y = 30t – 5,0t2 (SI) (1)
v = 30 – 10t (SI) (2)
a) No pico da trajetória a velocidade se anula. Da 
equação (2), vem:
 0 = 30 – 10t
sub
 
10t
sub
 = 30 ⇒ t
sub
 = 3,0 s
b) Para se obter a máxima altura (H), substituí-
mos na equação (1) o tempo por 3,0 s e a 
ordenada por H:
 H = 30 · 3,0 – 5,0 · (3,0)2
H = 45 m
 Observação: Poderíamos ter obtido a altura 
máxima (H) por meio da equação de Torricelli.
23. No interior de um cilindro oco de vidro, vertical, 
fez-se vácuo para realizar o seguinte experimen-
to: duas bolinhas de aço de pesos diferentes 
foram simultaneamente lançadas verticalmente 
para cima a partir da base do cilindro, com velo-
cidades de mesmo módulo. A altura do cilindro 
foi suficiente para a realização do experimento 
com sucesso e nenhuma das bolinhas alcançou a 
tampa superior. 
vácuo
v
0
v
0
H
v
0
y
origem
pico
y = H
v = 0
α = –10 m/s2
(+)
solo
Il
U
st
r
A
ç
õ
es
: 
ZA
Pt
Movimento vertical no vácuo 121
Foi observado que: 
a) a bolinha mais pesada subiu e desceu mais 
depressa que a mais leve.
b) a bolinha mais pesada subiu e desceu mais 
devagar que a mais leve.
c) tal qual aconteceu na experiência de Galileu, o 
tempo de voo não depende da massa e os dois 
corpos realizaram o movimento de subida e de 
descida ao mesmo tempo, como se esperava.
d) a mais pesada subiu mais devagar e logo 
retornou, chegando antes da mais leve.
e) como não existia gravidade no interior do 
cilindro devido ao vácuo, as bolinhas subiram 
em MRU, mas não atingiram a tampa superior 
do cilindro, pois pararam no meio do cami-
nho, permanecendo em repouso uma ao lado 
da outra.
24. Uma bolinha de aço é lançada verticalmente 
para cima no interior de um tubo cilíndrico 
oco, vertical, de altura ilimitada. No seu inte-
Exercícios de Reforço
26. (UE-RJ) Em um jogo de voleibol, denomina-se 
tempo de voo o intervalo durante o qual um atle-
ta que salta para cortar uma bola está com ambos 
os pés sem contato com o chão, como ilustra a 
fotografia.
X
U
 y
U
/X
IN
h
U
A
 P
r
e
s
s
/c
o
r
b
Is
/l
A
t
IN
s
t
o
c
k
Considere um atleta que consegue elevar vertical-
mente o seu centro de gravidade a 0,45 m do chão 
e a aceleração da gravidade com módulo igual a 
10 m/s². Despreze o efeito do ar. Determine:
a) o módulo da velocidade inicial v
0
 do centro de 
gravidade desse atleta ao saltar;
b) o tempo de voo desse atleta.
27. (UF-CE) Em um circo, um malabarista lança bolas, 
verticalmente para cima, que atingem uma altura 
máxima h. No caso de jogá-las para que elas fiquem 
o dobro do tempo no ar, a nova altura máxima será:
a) 2 h c) 6 h
b) 4 h d) 8 h
rior se fez o vácuo. O módulo da velocidade 
inicial de lançamento é v
0
 e a aceleração da 
gravidade no laboratório tem módulo g. A boli-
nha subiu até uma altura H e retornou ao ponto 
de lançamento, tendo demorado um tempo T. 
Um segundo experimento foi realizado, porém 
dobrando-se o módulo da velocidade inicial de 
lançamento. Determine:
a) o novo tempo total em função de T;
b) a nova altura máxima em função de H.
25. Um jogador de futebol chuta uma bola verti-
calmente para cima com velocidade inicial de 
36 km/h. Admita que o atrito com o ar seja des-
prezível e que o movimento tenha sido vertical. 
Dado g = 10 m/s², considere desprezível a altura 
inicial e determine:
a) o tempo de subida e o tempo total do movi-
mento,
b) a máxima altura atingida.
28. (UF-AM) O diagrama abaixo representa uma 
sequência de fotografias, com intervalo de 1 s, 
de uma bola lançada verticalmente para cima 
num local onde a aceleração da gravidade tem 
módulo g. Sabe-se que a bola é lançada no ponto 
A, com velocidade inicial de módulo v
A
, e atinge 
sua altura máxima no ponto B (ver figura). Com 
base neste diagrama, podemos afirmar que v
A
 e g 
valem, respectivamente:
a) 20 m/s e 7 m/s²
b) 40 m/s e 10 m/s²
c) 20 m/s e 8 m/s²
d) 40 m/s e 8 m/s²
e) 40 m/s e 7 m/s²
29. (UF-PE) No instante t = 0 um menino lança uma 
pedra verticalmente para cima. Após 1,0 s, o 
movimento da pedra ainda é ascendente com uma 
velocidade que é a metade da velocidade inicial de 
lançamento. Supondo-se que o efeito do ar possa 
ser desprezado, calcule a altura máxima atingida 
pela pedra. Adote g = 10 m/s².
30. Uma bolinha de aço é atirada verticalmentepara 
cima com velocidade de módulo 10 m/s, a partir 
de uma altura inicial de 75 m do solo. A bolinha 
adquire um movimento retilíneo com aceleração 
constante e de módulo g = 10 m/s² e no seu 
retorno chega até o solo. 
36 m
B
g
A
Z
A
P
t