Física 1-382-384

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Capítulo 19380
 Portanto v
máx
 ocorre quando F
el
 = P.
 k · x = m · g
 Sendo: k = 5,0 · 102 N/m, m = 10 kg e 
g = 10 m/s2, vem:
 5,0 · 102 · x = 10 · 10
 x = 0,20 m
b) Vamos adotar como plano de referência, para 
medida da energia potencial gravitacional, o 
plano horizontal que passa pelo ponto em que 
a velocidade do bloco é máxima. 
v
0
 = 0(1)
(3)
h = 3,1 m
x = 0,20 m
plano horizontal
de referência
v
máx
A
A
Figura g.
 Nessas condições, a energia potencial gravita-
cional inicial do bloco, mg(h + x), transfor-
ma-se em energia potencial elástica da mola, 
kx2
2
, e em energia cinética do bloco, 
m · v2
máx
2
:
 mg(h + x) = kx
2
2
 + 
m · v2
máx
2
 Sendo m = 10 kg, g = 10 m/s2, h = 3,1 m, 
x = 0,20 m e k = 5,0 · 102 N/m, vem:
 10 · 10 · (3,1 + 0,20) =
 = 
5,0 · 102 · (0,20)2
2
 + 
10 · v2
máx
2
 v
máx
 = 8,0 m/s
c) Cálculo da máxima deformação da mola. Ela 
ocorre no instante em que o bloco parar 
(posição 5) em que v
A
 = 0.
v
0
 = 0
v
A
 = 0
(1)
(5)
h = 3,1 m
y
plano horizontal
de referência
A
A
Figura h. 
47. O bloco A, de massa m = 10 kg, é abandonado 
em repouso da posição indicada na figura a. 
Figura a.
(1)
3,1 m
A
Sendo a constante elástica da mola k igual a 
5,0 · 102 N/m e g = 10 m/s2, determine:
a) a deformação que a mola sofre quando o bloco 
A atinge sua máxima velocidade;
b) a máxima velocidade do bloco A;
c) a máxima deformação da mola.
Despreze as perdas de energia mecânica.
Resolução:
a) Abandonando o bloco, ele ficará sob ação de 
seu peso P , somente até encontrar a mola 
(fig. b). A partir desse instante, além de P , 
passa a agir no bloco a força elástica F
el
, cuja 
intensidade aumenta com a deformação da 
mola (fig. c). Enquanto P > F
el
, o movimento 
do bloco é acelerado, atingindo a velocidade 
máxima quando F
el
 = P (fig. d). A partir 
desse instante, P < F
el
 e o movimento do 
bloco passa a ser retardado (fig. e), até que 
sua velocidade se anule.
P
(1)
Figura b.
P > F
el
 
movimento
acelerado
(2)
P
F
el
Figura c.
F
el
 > P 
deformação
máxima
v = 0(5)
P
F
el
Figura f.
F
el
 = P 
v
máx
(3)
P
F
el
Figura d.
F
el
 > P 
movimento
retardado
(4)
P
F
el
Figura e.
 
il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt
Energia e potência 381
 Entre as posições 1 e 5 aplicamos o 
Princípio da Conservação da Energia Mecânica:
 E
M
1
 = E
M
5
 m · g · h
1
 + 
mv
1
2
2
 = m · g · h
5
 + 
mv
5
2
2
 + 
kx2
2
 Sendo v
1
 = 0, h
5
 = 0, v
5
 = 0, x = y (ver 
figura) e h
1
 = h + y, vem:
 m · g · (h + y) + 0 = 0 + 0 + 
ky2
2
 m = 10 kg; g = 10 m/s2; k = 5,0 · 102 N/m
 10 · 10(3,1 + y) = 
5,0 · 102 · y2
2
 
 3,1 + y = 2,5y2 ⇒ 2,5y2 – y – 3,1 = 0 ⇒
 ⇒ 25y2 – 10y – 31 = 0 ⇒
 ⇒ y = x
máx
 ≅ 1,33 m
48. O bloco de massa m = 8,0 kg é abandonado em 
repouso da posição indicada na figura. A constan-
te elástica da mola é k = 2,0 · 102 N/m. Adote 
g = 10 m/s2 e despreze as perdas de energia 
mecânica. 
1,6 m
Determine:
a) a máxima velocidade que o bloco atinge;
b) a máxima deformação que a mola sofre.
49. Um pequeno bloco de massa m = 5,0 kg é proje-
tado para cima, da posição O, por uma mola ideal 
comprimida de x = 0,50 m. Determine o mínimo 
valor da constante elástica k da mola, que per-
mitirá ao bloco um contato permanente com a 
guia OABCD, ao longo da qual desliza sem atrito. 
Considere g = 10 m/s2, ℓ = 3,0 m e R = 1,0 m.
B
R
ℓ
C
D
A
O
m
Resolu•‹o:
B
R
ℓ
C
D
plano horizontal
de referência
A
O
v
B
Não existe atrito, a mola é ideal e, desprezando 
qualquer outra força dissipativa, podemos admi-
tir que o sistema seja conservativo.
O ponto crítico da trajetória é o ponto B. Adotando 
o plano horizontal de referência que passa por O, 
concluímos que a energia potencial elástica da 
mola em O, kx
2
2
, é transformada em energia poten-
cial gravitacional e energia cinética do bloco, 
em B, respectivamente: mg(ℓ + R) e 
m · v
B
2
2
. 
Assim, temos: kx
2
2
 = mg(ℓ + R) + 
m · v
B
2
2
.
Observe que o mínimo valor de k corresponde a v
B
 
mínimo. Sabemos que o mínimo valor da veloci-
dade v
B
, para que o bloco consiga efetuar a curva, 
é igual a Rg. Portanto:
k
mín
 · x2
2
 = mg(ℓ + R) + 
m · (v
B
 
mín
)2
2
k
mín
 · x2
2
 = mg(ℓ + R) + 
m · Rg
2
2
k
mín
 · x2
2
 = mg(ℓ + R) + m · g · R
2
k
mín
 · x2
2
 = mg ℓ + 3R
2
k
mín
 = mg(2ℓ + 3R)
x2
Sendo m = 5,0 kg, g = 10 m/s2, ℓ = 3,0 m, 
R = 1,0 m e x = 0,50 m, vem:
k
mín
 = 5,0 · 10(2 · 3,0 + 3 · 1,0)
(0,50)2
k
mín
 = 1,8 · 103 N/m
50. No esquema, ABCDE é um trilho liso cujo trecho 
BCD tem a forma de uma semicircunferência de 
raio R = 3,6 m. Um bloco de massa m = 4,0 kg 
é colocado sobre uma mola ideal de constante 
elástica k = 2,0 · 104 N/m, comprimida na 
posição A. Soltando-se o sistema, o bloco é 
empurrado pela mola e começa a subir. Sabendo 
il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt
Capítulo 19382
que g = 10 m/s2, calcule a mínima compressão 
que a mola deve ter, na posição A, de modo que o 
bloco deslize por todo o trecho ABCDE sem perder 
contato com o trilho.
C
R
D
E
B
A
4,6 m
51. Um anel de massa 1,2 kg desliza sem atrito ao 
longo de uma guia vertical AB. A mola ideal liga-
da no anel tem comprimento de 0,20 m, quando 
não deformada, e sua constante elástica é de 
48 N/m. Abandonando-se o anel em repouso na 
posição A, determine sua velocidade na posição 
B, após descer 0,30 m. Considere g = 10 m/s2.
plano horizontal
de referência
A
C
B
0,40 m
0
,3
0
 m
52. Um bloco de massa m, ligado a uma mola presa 
a uma parede, oscila em torno de O, entre as 
posições A e B, sobre uma superfície sem atrito, 
como mostra a figura a. 
x (m)+0,400
OB A
–0,40
Figura a.
Sendo k = 2,0 · 102 N/m a constante elástica da 
mola, construa os gráficos:
a) da energia potencial elástica E
P
 em função da 
deformação x;
b) da energia mecânica E
M
 em função de x;
c) da energia cinética E
C
 em função de x.
Resolu•‹o:
a) A energia potencial elástica é dada por 
E
P
 = kx
2
2
. Nessas condições, o gráfico de 
E
P
 em função de x é um arco de parábola, com 
a concavidade voltada para cima e passando 
pela origem.
il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt
ponto O:
x = 0 ⇒ E
PO
 = 0
ponto A:
x = +0,40 m
E
PA
 = kx
2
2
 = 2,0 · 10
2 · (0,40)2
2
 ⇒ E
PA
 = 16 J
ponto B:
x = –0,40 m ⇒ E
PB
 = 16 J
+0,400 x (m)
E
P
 (J)
16
–0,40
Figura b.
b) A energia mecânica permanece constante. Nos 
pontos A e B, a energia potencial elástica é 
igual a 16 J e, nesses pontos, como a velocida-
de do bloco é nula, a energia cinética é nula. 
Assim, a energia mecânica é constante e igual 
a 16 J. Temos, então, o gráfico da figura c.
+0,400 x (m)
E
M
 (J)
16
–0,40
Figura c.
c) Sendo E
M
 = E
C
 + E
P
, vem: E
C
 = E
M
 – E
P
 e 
E
C
 = 16 – kx
2
2
. 
 Nessas condições, o gráfico de E
C
 em função 
de x é, também, um arco de parábola, mas 
com concavidade voltada para baixo:
ponto O: E
PO
 = 0; E
CO
 = 16 J
ponto A: E
PA
 = 16 J; E
CA
 = 0
ponto B: E
PB
 = 16 J; E
CB
 = 0
+0,400 x (m)
E
C
 (J)
16
–0,40
Figura d.