Física 1-472-474

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Capítulo 24470
exercícios de Aplicação
3. Na figura, representamos a trajetória de um pla-
neta em torno do Sol.
a) Represente os vetores de velocidade do plane-
ta, nas posições A, B, C e D.
b) Em qual posição a velocidade do planeta tem 
módulo máximo?
c) Em qual posição a velocidade do planeta tem 
módulo mínimo?
d) No trecho CDA o movimento é acelerado ou 
retardado?
e) No trecho ABC o movimento é acelerado ou 
retardado?
1. Calcule a velocidade areolar de um planeta que 
descreve, em torno do Sol, uma órbita pratica-
mente circular, de raio R, com período T.
Resolu•‹o:
Chamando de K a velocidade areolar, sua defini-
ção é:
K = 
área varrida
intervalo de tempo
 = 
A
Δt
Em uma volta completa do planeta em torno do 
Sol, teremos:
A = πR2 e Δt = T
Portanto: K = 
πR2
T
2. Na figura a seguir representamos o percurso de 
um planeta em torno do Sol. As áreas A
1
 e A
2
 
valem 8,8 · 1024 m2 e 26,4 · 1024 m2, respectiva-
mente. Sabendo que o percurso BC é efetuado 
em 62,15 anos, em quanto tempo é feito o per-
curso DE?
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
Na tabela 2 apresentamos os valores de R, T e r
3
T2
 
para os oito planetas do Sistema Solar.
Como podemos observar, o valor de r
3
T2
 é pratica-
mente o mesmo para todos os planetas.
É interessante notar que as leis de kepler valem 
para qualquer sistema semelhante ao Sistema So-
lar. Ou seja, elas valem sempre que em torno de um 
corpo de massa "grande" giram corpos de massas 
"pequenas", como, por exemplo, na situação de um 
planeta e seus satélites.
A Terra tem apenas um satélite natural, que é a 
Lua. mas o planeta Saturno tem vinte satélites que 
giram em torno dele, obedecendo aproximadamente 
às três leis de kepler. Essas leis aplicam-se também à 
Terra e aos satélites artifi ciais que giram em torno dela. 
Nesse caso, supõe-se geralmente que as órbitas são 
circulares e, assim, o semieixo maior coincide com o 
raio R da trajetória.
Planeta R (1010 m) T (anos)
R3
T2
 
(1033 m3/ano2)
mercúrio 5,79 0,241 3,34
Vênus 10,8 0,615 3,33
Terra 15,0 1,00 3,37
marte 22,8 1,88 3,35
Júpiter 77,8 11,9 3,33
Saturno 142 29,5 3,36
Urano 287 84,0 3,35
Netuno 449 165 3,35
Tabela 2. Dados da Terceira Lei de kepler para os 
planetas do Sistema Solar.
Gravitação 471
4. Um planeta P gira em 
torno do Sol de modo 
que sua distância máxi-
ma ao centro do Sol 
é D = 8,16 · 1011 m e 
a distância mínima é 
d = 7,41 · 1011 m. 
Qual é a distância média do planeta ao Sol?
5. Os semieixos maio-
res da órbita da 
Terra e da órbita de 
Marte em torno do 
Sol medem cerca 
de 1,5 · 1011 m 
e 2,3 · 1011 m, 
respectivamente. 
Calcule o período de translação de Marte, isto 
é, o tempo que ele gasta para dar uma volta em 
torno do Sol.
Resolução:
Resumindo as informações apresentadas acima:
T
T
 = período de translação da Terra = 1 ano
T
M
 = período de translação de Marte = ?
R
T
 = medida do semieixo maior da órbita da Terra
R
M
 = medida do semieixo maior da órbita de Marte
Pela Terceira Lei de Kepler temos:
R3
M
T
2
M
 = 
R3
T
T
2
T
 ⇒ 
T
M
TT
2
 = 
R
M
RT
3 
⇒
⇒ 
T
M
1
2
 = 
2,3 · 1011
1,5 · 1011
3
 ⇒ T ≅ 1,61 ano
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
6. Um cometa gira em torno do Sol em órbita elíp-
tica de modo que sua distância mínima ao Sol é 
2,5 · 1011 m e sua distância máxima ao Sol 
é 9,5 · 1011 m. Determine o período de translação 
desse cometa, sabendo que a distância média da 
Terra ao Sol é 1,5 · 1011 m. 
7. Dois satélites artificiais, 
A e B, estão girando em 
torno da Terra, em órbi-
tas circulares de raios 
r e R, respectivamente, 
tais que R = 4r. Calcule 
o período do satélite B, 
sabendo que o período 
de A é igual a 3 horas.
8. Um satélite geoestacionário é um satélite colo-
cado a girar em torno da Terra, de modo que 
sua órbita está no mesmo plano do equador e 
seu período de translação é aproximadamente 
24 horas, que é igual ao período de rotação da 
Terra. Desse modo, o satélite estará sempre em 
repouso para um observador fixo na Terra. Há um 
grande número de satélites desse tipo girando 
em torno da Terra, os quais são utilizados para 
transmissões de televisão e telefonia a grandes 
distâncias.
Sabendo que o período de translação da Lua em 
torno da Terra é 27,3 dias, a distância entre os 
centros da Terra e da Lua é aproximadamente de 
380 000 km e o raio da Terra é aproximadamente 
6 370 km, calcule:
a) o valor aproximado do raio da órbita de um 
satélite geoestacionário;
b) o valor aproximado da altitude do satélite 
acima da superfície da Terra.
AR
Terra
r
B
Z
A
P
T
exercícios de reforço
9. A figura representa a tra-
jetória elíptica da Terra em 
torno do Sol. Sabendo que 
a área da região sombrea-
da na figura é igual a um 
quinto da área total da 
elipse, pode-se afirmar que 
o tempo gasto pela Terra 
para percorrer o trecho 
ABC é aproximadamente igual a:
a) 1,8 mês. c) 2 meses. e) 4 meses.
b) 2,4 meses. d) 3 meses. 
10. (U. F. Viçosa-MG) Um 
satélite artificial orbi-
ta em torno da Terra 
(T ), como representa-
do no esquema. 
Considerando as leis de 
Kepler, podemos afir-
mar que as velocidades do satélite nos pontos a, b, 
c e d de sua órbita obedecem às seguintes relações:
a) v
b
 > v
a
 > v
c
 > v
d
 d) v
b
 = v
a
 > v
c
 = v
d
b) v
b
 > v
a
 = v
c
 > v
d
 e) v
b
 = v
a
 < v
c
 = v
d
c) v
b
 < v
a
 = v
c
 < v
d
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Capítulo 24472
11. (UF-MA) Considerando que a órbita dos planetas 
seja circular, a 3ª. Lei de Kepler pode ser enun-
ciada da seguinte forma: “O quadrado do período 
de revolução de um planeta é proporcional ao 
cubo do raio de sua órbita”. Se dois planetas 
P
1
 e P
2
 descrevem órbitas de raios R
1
 = R e 
R
2
 = 2R, respectivamente, qual a relação entre 
seus períodos T
1
 e T
2
?
a) T
2
 = 8T
1 
c) T
2
 = 2T
1 
e) 2T
2
 = T
1
b) T
2
 = T
1
 d) 8T
2
 = T
1
12. (Unicamp-SP) Em agosto de 2006, Plutão foi reclas-
sificado pela União Astronômica Internacional, 
passando a ser considerado como planeta-anão. A 
Terceira Lei de Kepler diz que: T2 = K · a3, onde T é 
o tempo para um planeta completar uma volta em 
torno do Sol e a é a média entre a maior e a menor 
distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa 
média é a
T
 = 1,5 · 1011 m, enquanto para Plutão 
é a
P
 = 60 · 1011 m. A constante K é a mesma para 
todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velo-
cidade da luz no vácuo é igual a 3,0 · 108 m/s.
a) Considerando-se as distâncias médias, quanto 
tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? 
E para atingir Plutão?
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para 
dar uma volta completa em torno do Sol? 
Expresse o resultado de forma aproximada 
como um número inteiro.
(Sugestão dos autores: Adote 10 ≅ 3,2.)
13. (UF-PI) Com relação às leis de Kepler para o 
movimento planetário, foram feitas as seguintes 
afirmações:
I. Os planetas do Sistema Solar descrevem 
órbitas elípticas em torno do Sol, estando o 
mesmo no centro dessas elipses.
II. Como o dia (do nascer ao pôr do Sol) é mais 
curto no inverno do que no verão, podemos 
concluir que o vetor posição da Terra (linha 
que une a Terra ao Sol) varre uma área menor 
no inverno do que no verão, para o mesmo 
período de 24 horas.
III. Como a distância média da Terra ao Sol é 
de 1,5 · 108 km e da Terra a Saturno é de 
1,43 · 109 km, pela 3ª. Lei de Kepler conclui- 
se que o “ano” de Saturno é da ordem de 
30 vezes o ano da Terra.
IV. As leis de Kepler não fazem referência à força 
de interação entre o Sol e os planetas.
Analise as afirmações e verifique qual é a alter-
nativa correta:
a) I e IV são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) I e II são verdadeiras.
d) III e IV são verdadeiras.
e) II e IV são verdadeiras.
3. Lei da Gravitação Universal
Estudando as leis de kepler, Newton concluiu que elas poderiam ser explicadas 
supondo-se que:Entre duas partículas de massas m
1
 e m
2
 existe um par de forças de atração 
cuja intensidade é diretamente proporcional ao produto das massas e 
inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas.
F = G 
m
1
 · m
2
d2
 1
A constante de proporcionalidade G deve ser obtida experimentalmente e isso 
foi feito pela primeira vez pelo inglês Henry Cavendish em 1798.
No SI o valor da constante de proporcionalidade G é:
G = 6,673 · 10–11
m
1
m
2
d
F –F
Figura 15.
Z
A
P
T