FÍSICA ELETRICIDADE AULA 3

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FÍSICA – ELETRICIDADE 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Ao estudarmos a Eletricidade, não podemos deixar de analisar o 
funcionamento de equipamentos que fazem parte do nosso cotidiano. O 
desenvolvimento tecnológico atual, que explora diferentes formas de mídia e nos 
mantém conectados ao mundo e as informações, explora os fenômenos elétricos 
criando dispositivos e equipamentos de forma a promover uma rápida evolução 
da tecnologia, muitas vezes difícil de acompanhar. No entanto, as tendências 
atuais mostram a necessidade de compreendermos o funcionamento e os 
processos dessas tecnologias, cada vez mais interativas e conectadas umas às 
outras. Esse movimento dinâmico que hoje se mostra como uma revolução tem 
causado mudanças não apenas em setores industriais e setores de tecnologias 
de informação, mas tem gerado profundas marcas sociais, culturais e 
econômicas por todo o mundo. 
Nesta aula vamos aprender como o movimento de cargas permite o 
funcionamento de dispositivos eletrônicos como os resistores elétricos, e quais 
os efeitos dessa corrente elétrica. Veremos também como analisar e trabalhar 
com circuitos de corrente contínua envolvendo resistores e capacitores. 
TEMA 1 – CORRENTE ELÉTRICA 
Um condutor imerso em região de campo elétrico causa um movimento 
de cargas elétricas em seu interior decorrente da força elétrica que atua sobre 
elas. Esse movimento de cargas é denominado corrente elétrica. Essas cargas, 
diferentemente do movimento no espaço vazio, movem-se no condutor, 
chocando-se com partículas fixas, sofrendo desvios e transmitindo energia 
nesse processo. Podemos então definir uma velocidade média de movimento, 
chamada velocidade de deriva. 
As colisões entre as cargas elétricas e as partículas do condutor causam 
o aumento da temperatura do material devido à transmissão da energia cinética 
durante o choque, causando um aquecimento do material. Esse feito recebe o 
nome de efeito Joule. 
A corrente elétrica é definida como é um fluxo de carga. A corrente elétrica 
é uma taxa de transmissão de cargas elétrica no tempo, podendo ser 
determinada matematicamente pela Equação 1: 
 
 
3 
𝑖 =
∆𝑞
∆𝑡
 ⇔ 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 (1) 
Em que q é a quantidade de carga elétrica que atravessa uma seção 
transversal de referência em um condutor, t é o intervalo de tempo, e i é a 
intensidade da corrente elétrica. A intensidade da corrente elétrica é medida em 
ampere, unidade equivalente ao coulomb por segundo. Essa unidade recebe 
esse nome por causa de André Marie Ampère, físico e matemático francês que 
fundou a Eletrodinâmica (Ribeiro, 2014). 
1 
𝐶
𝑠
= 1 𝐴 
Figura 1 – Cargas em movimento em um fio condutor 
 
Fonte: Adaptado de Universia, S.d. 
Em função da velocidade de deriva vd, podemos definir que a intensidade 
da corrente elétrica é dada pela Equação 2. Quando uma carga elétrica q 
atravessa o condutor cilíndrico de volume V com uma taxa n de elétrons livres 
por unidade de volume, teremos que: 
∆𝑞 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑉 
O volume do cilindro é dado pelo produto entre a área da seção 
transversal e o comprimento do condutor, por isso: 
𝑉 = 𝐿 ∙ 𝐴 
∆𝑞 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝐿 ∙ 𝐴 
 
 
4 
A velocidade de deriva pode ser determinada pela razão entre 
comprimento do condutor L e o intervalo de tempo t. 
𝑣𝑑 =
𝐿
∆𝑡
 ⇔ 𝐿 = 𝑣𝑑 ∙ ∆𝑡 
∆𝑞 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑 ∙ ∆𝑡 ∙ 𝐴 
Para determinar a intensidade de corrente elétrica: 
𝑖 =
∆𝑞
∆𝑡
=
𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑 ∙ ∆𝑡 ∙ 𝐴
∆𝑡
 
𝑖 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑 ∙ 𝐴 (2) 
Podemos, assim, também definir uma grandeza vetorial chamada 
densidade de corrente elétrica J, que mede a intensidade de corrente elétrica por 
unidade de área transversal e que indica o sentido do fluxo de cargas no 
condutor. 
𝐽 =
𝑖
𝐴
= 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑 ⇔ 𝐽 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑⃗⃗ ⃗⃗⃗ (3) 
Observe que a densidade de corrente apresenta mesma direção e sentido 
do vetor velocidade de deriva. A corrente elétrica é constituída, de forma real, 
pelo movimento de elétrons (que se opõe ao sentido do campo elétrico). Mas 
adotamos como sentido da densidade da corrente um sentido convencional 
(como de cargas positivas em movimento) que segue no mesmo sentido do 
campo elétrico que move essas cargas. 
Exemplo 1: um fio de cobre de 5 mm de diâmetro transmite uma corrente 
elétrica de 2,0 A. Considerando para cada átomo de cobre há um elétron livre, e 
que o cobre possui 8,47 ∙ 1028á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚³, determine a velocidade de deriva 
desses elétrons. 
Resolução: observe que o fio de D=5 mm de diâmetro tem área de seção 
circular dada por: 
A = π ∙ (
D
2
)
2
 
Em que D 2⁄ é a metade do diâmetro, ou seja, o raio da área circular. 
Convertendo a medição do diâmetro para metro (D = 5 ∙ 10−3m), podemos 
definir que a área da seção é: 
 
 
5 
𝐴 = 𝜋 ∙ (
5 ∙ 10−3𝑚
2
)
2
 
𝐴 = 3,927 ∙ 10−5 𝑚² 
Como a relação entre a intensidade da corrente elétrica i=2,0 A e a 
velocidade de deriva vd dos elétrons é dada pela Equação 2, e sabendo que para 
o cobre n = 8,47 ∙ 1028 elétrons/m³, 
𝑖 = 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝑣𝑑 ∙ 𝐴 ⇔ 𝑣𝑑 =
𝑖
𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝐴
 
𝑣𝑑 =
2,0𝐴
(8,47 ∙ 1028 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠/𝑚³)(1,602 ∙ 10−19𝐶)(3,927 ∙ 10−5𝑚2)
 
𝑣𝑑 = 3,76 ∙ 10
−6 𝑚/𝑠 
Logo, a velocidade de deriva dos elétrons livre é de 3,76 ∙ 10−6 m/s. 
Observe que em metais as partículas que se movem gerando uma 
corrente elétrica são os elétrons (partículas negativas). Mas eu um gás ionizado, 
movem-se elétrons e íons positivos. Já em materiais semicondutores, os elétrons 
movem-se, mas os buracos criados pelo movimento dessas partículas 
comportam-se como cargas positivas. O que adotamos como uma corrente 
convencional é o sentido de movimento de cargas positivas. 
TEMA 2 – RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
Quando uma corrente elétrica é transmitida por um condutor, os elétrons 
livres movem-se chocando-se com partículas fixas ou mesmo com outros 
elétrons que compõem o material do objeto. Esses choques, além de causarem 
o aquecimento do condutor devido à transmissão de energia, criam uma 
resistência ao movimento dos elétrons, denominada resistência elétrica. 
George Simon Ohm, físico alemão “descobridor dos fundamentos da 
eletrocinética, que estuda as correntes elétricas em movimento” (Costa, 2013, p. 
6), após ter conhecimento dos trabalhos de Fourier sobre fluxo de calor, resolveu 
estudar melhor os efeitos elétricos fazendo analogias com a lei de Fourier para 
condução de calor. Inicialmente analisou circuitos compostos por vários 
condutores de comprimentos diferentes e de mesmo diâmetro, ligados a uma 
pilha voltaica (pilha que permitiam a produção de correntes elétricas constantes 
– corrente contínua). Medindo a corrente elétrica em cada condutor, Ohm 
 
 
6 
percebeu que havia uma relação entre a intensidade da corrente elétrica e o 
comprimento do condutor. Ele percebeu que uma “perda de força” (analisada a 
partir da alteração na corrente elétrica) ocorria de acordo com as dimensões do 
condutor. Com esse estudo, Ohm conclui que a resistência elétrica dependia da 
geometria e do material que compunha o condutor. O conceito de força 
eletromotriz (FEM) foi inserido por Ohm para explanar a ideia de tensão elétrica 
já utilizada por Benjamin Franklin anteriormente (Rocha, 2002). 
Um resistor fixo é representado graficamente em um circuito como mostra 
a Figura 2. Mas alguns tipos de resistores de resistência variável têm sua 
representação diferenciada. 
Figura 2 – Representação de resistores elétricos 
 
Resistores Variáveis podem ser utilizados como divisores de tensão. 
Esses resistores são chamados potenciômetros, e permitem variar a tensão em 
diferentes partes ou dispositivos do circuito de acordo com a resistência elétrica 
ajustada. 
2.1 Leis de Ohm 
A relação linear entre a tensão elétrica V aplicada nas extremidades e a 
intensidade da corrente elétrica i queatravessa um condutor foi relacionada à 
resistência elétrica R pelo que chamamos de Primeira Lei de Ohm (Equação 4). 
𝑉 = 𝑅 ∙ 𝑖 (4) 
 
 
7 
A resistência elétrica tem como unidade o Ohm representado pela letra 
grega ômega (). 
A variação das dimensões do condutor é relacionada à resistência elétrica 
pela Segunda Leis de Ohm (Equação 5). A resistência elétrica R é diretamente 
proporcional ao comprimento do condutor L, mas é inversamente proporcional à 
área da seção transversal A desse (vide Figura 1). 
𝑅 =
𝜌 ∙ 𝐿
𝐴
 (5) 
A grandeza física representada pela letra grega rô () informa a 
resistividade elétrica do material que compõe o condutor. 
Exemplo 2: em um fio de cobre, de 100 m de comprimento e diâmetro de 
10 mm, é aplicada uma tensão de 127 V. Qual a corrente elétrica que atravessará 
esse fio? Considere a resistividade do cobre 𝜌 = 1,72 ∙ 10−8 Ω ∙ 𝑚. 
Resolução: para determinar a resistência elétrica desse fio de 
comprimento L=100 m, é necessário utilizar a Equação 5. 
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
 
A área da seção transversal do fio é dada por 
𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 10 ∙ 10−3 𝑚 → 𝑟 = 5 ∙ 10−3 𝑚 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 
𝐴 = 𝜋 ∙ (5 ∙ 10−3 𝑚)2 
𝐴 = 7,85 ∙ 10−5 𝑚² 
Logo: 
𝑅 =
(1,72 ∙ 10−8 Ω ∙ 𝑚)(100 𝑚)
7,85 ∙ 10−5 𝑚2
 
𝑅 = 2,19 ∙ 10−2 Ω 
2.2 Resistividade elétrica 
A resistividade elétrica é uma grandeza que informa a intensidade de um 
campo elétrico para estabelecer uma densidade de corrente elétrica em um dado 
corpo. Isso significa que quanto maior a resistividade, maior a intensidade do 
campo elétrico necessária para causar uma corrente elétrica determinada 
 
 
8 
através de uma área do condutor. Ou seja, podemos definir a resistividade 
elétrica  pela Equação 6, em que J é a densidade de corrente elétrica e E 
representa o campo elétrico no condutor. 
�⃗⃗� = 𝜌𝐽 ⇒ 𝜌 =
𝐸
𝐽
 (6) 
Após a publicação dos trabalhos de Ohm, Heinrich F. E. Lenz (físico 
russo) percebeu que a resistência do fio condutor metálico variava com a 
mudança de temperatura. De forma mais específica, Lenz percebeu que a 
resistência dos condutores metálicos aumentava com o aumento da temperatura 
(Rocha, 2002). 
Isso ocorre devido à variação da resistividade do material com a 
temperatura. A resistividade de todos os condutores metálicos cresce com o 
aumento da temperatura. Essa relação pode ser observada pela Equação 7, em 
que a resistividade é relacionada com a variação de temperatura (T) e o 
coeficiente de temperatura da resistividade do material (). 
𝜌 = 𝜌0[1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇] (7) 
Em que 0 representa a resistividade do material em uma temperatura T0, 
e  representa a resistividade do material em uma temperatura T. A resistividade 
elétrica tem como unidade o ohm-metro (m). 
 Diversos materiais apresentam propriedades de supercondutividade. 
Nesses casos, à medida que a temperatura baixa, a resistividade diminui de 
forma regular, até atingir uma temperatura crítica, na qual a resistividade cai 
bruscamente até se tornar nula. Em materiais classificados como 
semicondutores, a resistividade do material cai rapidamente com o aumento da 
temperatura. Podemos observar o comportamento de materiais condutores 
metálicos comuns, de metais supercondutores, ligas ou compostos, e de 
materiais semicondutores na Figura 3. 
 
 
 
9 
Figura 3 – Gráfico da resistividade versus temperatura para metais comuns, 
supercondutores e semicondutores 
 
Os semicondutores formam uma classe intermediária entre os metais e 
os isolantes, sendo importantes por serem sensíveis à variação da temperatura 
e à quantidade de impurezas (Young; Freedman, 2015). 
Podemos observar alguns valores de resistividade elétrica e coeficiente 
de temperatura para alguns materiais na Tabela 1. 
Tabela 1 – Resistividade a 20 °C e coeficientes de temperatura de resistividade 
SUBSTÂNCIA 
RESISTIVIDADE 
ELÉTRICA (m) 
COEFICIENTE DE 
TEMPERATURA DA 
RESISTIVIDADE (°C-1) 
CONDUTORES 
Metais 
Prata 1,47 ∙ 10
−8 0,0038 
Cobre 1,72 ∙ 10
−8 0,00393 
Alumínio 2,63 ∙ 10
−8 0,0039 
Tungstênio 5,51 ∙ 10
−8 0,0045 
Ferro 9,68 ∙ 10
−8 0,0050 
Chumbo 2,2 ∙ 10
−7 0,0043 
Ligas 
Manganino 44 ∙ 10
−8 0,0000 
Constantan 49 ∙ 10
−8 +0,000002 
Nicrômio 100 ∙ 10
−8 0,0004 
SEMICONDUTORES 
 
Puro 
Carbono 3,5 ∙ 10−5 -0,0005 
Germânio 0,60 -0,0048 
Silício 2300 -0,0075 
ISOLANTES 
 
Âmbar 5 ∙ 10
14 - 
Vidro 10
10 − 1014 - 
Lucita > 10
13 - 
Mica 10
11 − 1015 - 
Quartzo (fundido) 75 ∙ 10
16 - 
Enxofre 10
15 - 
Teflon > 10
13 
Madeira 10
8 − 1011 
 
 
10 
O inverso da resistividade elétrica de um material é denominado 
condutividade (Equação 8). A condutividade  tem como unidade de medida 
(m)-1. 
𝜎 =
1
𝜌
 (7) 
Exemplo 3: um estudante de engenharia analisa a resistência elétrica de 
um filamento de tungstênio de 2 cm e seção transversal circular de raio 0,25 mm. 
a. Qual a resistência elétrica desse filamento à 20 °C? 
b. Qual a resistência elétrica desse filamento à 1500 °C? 
Resolução: veja que para o tungstênio à uma temperatura T0 = 20 °C, a 
resistividade e o coeficiente de temperatura são, respectivamente: 
𝜌0 = 5,5 ∙ 10
−8 Ω ∙ 𝑚 
𝛼 = 0,0045 °𝐶−1 
a. Para determinar a resistência elétrica desse filamento de comprimento 
L=2 cm, é necessário conhecer a área da seção transversal A de raio 
r=0,25 mm. 
𝐿 = 2 ∙ 10−2 𝑚 
𝑟 = 0,25 ∙ 10−3 𝑚 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 
𝐴 = 𝜋 ∙ (0,25 ∙ 10−3)2 
𝐴 = 1,96 ∙ 10−7𝑚² 
 
A resistência elétrica nesse caso é dada pela Equação 5. 
𝑅0 =
𝜌0𝐿
𝐴
 
𝑅0 =
(5,5 ∙ 10−8Ω ∙ 𝑚)(2 ∙ 10−2 𝑚)
1,96 ∙ 10−7𝑚2
 
𝑅0 = 5,61 ∙ 10
−3 Ω 
b. Para determinar a resistência elétrica a uma temperatura de T=1500 °C, 
é necessário conhecer a resistividade do tungstênio nessa temperatura 
pela Equação 7. 
 
 
11 
𝜌 = 𝜌0[1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇] → 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 
𝐿
𝐴
 
𝜌 ∙
𝐿
𝐴
= 𝜌0 ∙
𝐿
𝐴
∙ [1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇] 
𝑅 = 𝑅0[1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇] 
𝑅 = (5,61 ∙ 10−3 Ω)[1 + (0,0045 °𝐶−1) ∙ (1500 °𝐶 − 20 °𝐶)] 
𝑅 = 43,0 ∙ 10−3 Ω 
Observe que com o aumento da temperatura, houve um aumento da 
resistência elétrica. 
2.3 Materiais ôhmicos e não ôhmicos 
Alguns dispositivos resistivos apresentam uma relação linear entre a 
tensão aplicada e a intensidade da corrente elétrica. Nesses casos, a resistência 
é constante. Diferentemente de dispositivos, cuja resistência elétrica muda com 
a ddp aplicada, causando assim alterações na intensidade da corrente que o 
atravessa de forma não linear (Figura 4). 
Figura 4 – Gráficos da Tensão elétrica em função da intensidade da corrente 
elétrica em um resistor ôhmico em e um resistor não ôhmico 
 
Veja que nos resistores ôhmicos, a reta que representa a relação entre a 
tensão elétrica V e a intensidade da corrente elétrica i tem como coeficiente 
angular o valor da resistência elétrica do dispositivo. Isso significa que o resistor 
obedece a lei de Ohm (Young; Freedman, 2015). 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =
𝑉
𝑖
 ⇒ 
𝑉
𝑖
= 𝑅 
 Para os resistores não ôhmicos, o coeficiente angular da reta tangente em 
cada ponto da função do gráfico permite determinar a resistência elétrica do 
 
 
12 
dispositivo para as condições de tensão V e intensidade de corrente elétrica i 
específicas do ponto. 
2.4 Força eletromotriz (FEM) 
 Qualquer dispositivo que proporcione energia elétrica é uma fonte de força 
eletromotriz (FEM) (Tipler, 2000), como baterias e geradores. Essas fontes 
realizam um trabalho sobre as cargas, de forma que aumentem sua energia 
potencial. Esse trabalho por unidade de carga é o que denominamos como FEM 
() da fonte, medida em volt. 
Em uma situação ideal, uma fonte deve fornecer uma ddp constante, 
independentemente da corrente elétrica que proporcione. Essa ddp é igual a 
FEM fornecida pela fonte ideal. No entanto, fontes reais a ddp fornecida são 
diferentes da FEM da fonte. Observamos que a ddp fornecida ao circuitodiminui 
à medida que a corrente aumenta, devido a uma resistência interna r da fonte. 
2.5 Potência elétrica 
Ao observamos o funcionamento de um resistor elétrico, o efeito Joule 
caracteriza a conversão da energia das cargas elétricas em movimento (corrente 
elétrica) em energia térmica devido a choques com outras partículas no interior 
do condutor. Em decorrência ao campo elétrico que atua sobre as cargas, estas 
são aceleradas, o que gera uma perda de energia potencial dessas cargas 
elétricas dada por: 
−∆𝑈 = 𝑄 ∙ 𝑉 
A taxa de variação dessa perda de energia potencial elétrica no tempo é 
o que denominamos como potência elétrica dissipada, dada pela Equação 8. 
𝑃 =
−∆𝑈
∆𝑡
=
𝑄 ∙ 𝑉
∆𝑡
 
𝑃 = 𝑖 ∙ 𝑉 (8) 
Para resistores, a equação que define a potência elétrica dissipada para 
resistores pode ser escrita de formas equivalentes em função da resistência 
elétrica (Equação 9). 
 
 
13 
𝑃 = 𝑖 ∙ 𝑉 = 𝑖2 ∙ 𝑅 =
𝑉2
𝑅
 (9) 
Lembre-se que a potência é medida em joule por segundo, que 
chamamos de watt. 
1 𝐽 𝑠⁄ = 1𝑊 
Exemplo 4: qual será a corrente elétrica de operação e a resistência 
elétrica de um aquecedor elétrico de 5000 W é projetado para operar a 254 V? 
Considere que a resistência elétrica permanece constante. 
Resolução: para determinar a corrente elétrica de operação i e a 
resistência elétrica do aquecedor, podemos utilizar a Equação 9. 
𝑃 = 5000 𝑊 
𝑉 = 254 𝑉 
𝑃 = 𝑖 ∙ 𝑉 ⇔ 𝑖 =
𝑃
𝑉
 
𝑖 =
5000 𝑊
254 𝑉
 
𝑖 = 19,69 𝐴 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 ⇔ 𝑅 =
𝑉2
𝑃
 
𝑅 =
(254 𝑉)2
5000 𝑊
 
𝑅 = 12,9 Ω 
TEMA 3 – ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
Em circuitos elétricos, podemos associar resistores de duas formas: em 
série ou em paralelo. Ou ainda utilizar esses dois tipos de associação no mesmo 
circuito, ao que denominamos associação mista. 
 Esses tipos de combinação de resistores permitem uma análise 
simplificada quando substituímos os resistores associados por um resistor 
equivalente (como já estudamos nos casos de associação de capacitores). 
 
 
 
14 
3.1 Associação de resistores em série 
 A combinação de resistores em série ocorre quando resistores são ligados 
em sequência (Figura 5). 
Figura 5 – Associação de resistores em série 
 
Nesse tipo de associação, a corrente elétrica que atravessa os resistores 
é a mesma. Consequentemente, a queda de potencial em cada resistor 
dependerá da resistência elétrica de cada elemento resistivo. A soma das 
quedas de potencial de todos os resistores associados em série equivale a ddp 
aplicada nos terminais do circuito (Young; Freedman, 2015; Tipler, 2000; 
Halliday; Resnick; Walker, 1996). 
𝑖 = 𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖3 = ⋯ 
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ 
Por esse motivo, resistência equivalente do circuito é dada pela soma da 
resistência elétrica de cada resistor associado em série (Equação 10). 
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ 
𝑖 ∙ 𝑅𝑒𝑞 = 𝑖 ∙ 𝑅1 + 𝑖 ∙ 𝑅2 + 𝑖 ∙ 𝑅3 + ⋯ 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ (10) 
Exemplo 5: uma sequência de 40 lâmpadas associadas em série 
transmite uma corrente elétrica de 2,5 mA quando ligada a uma ddp de 12 V em 
seus terminais. Se todas as lâmpadas possuem a mesma resistência elétrica R, 
qual será o valor da resistência de cada lâmpada? 
Resolução: veja que a associação em série de 40 lâmpadas de 
resistência RL pode ser definida a partir da Equação 10. 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ → 𝑅𝑒𝑞 = 40 ∙ 𝑅𝐿 
 
 
15 
Pela Lei do Ohm (Equação 4), teremos que: 
𝑉 = 𝑅𝑒𝑞 ∙ 𝑖 ⇔ 𝑅𝑒𝑞 =
𝑉
𝑖
 
𝑉 = 120 𝑉 
𝑖 = 2,5 𝑚𝐴 → 𝑖 = 2,5 ∙ 10−3 𝐴 
𝑅𝑒𝑞 =
12 𝑉
2,5 ∙ 10−3 𝐴
 
𝑅𝑒𝑞 = 4,8 ∙ 10
3 𝛺 
Essa é a resistência equivalente da associação das 40 lâmpadas. Nesse 
caso, cada lâmpada possui uma resistência de: 
4,8 ∙ 103 𝛺 = 40 ∙ 𝑅𝐿 
𝑅𝐿 =
4,8 ∙ 103 Ω
40
 
𝑅𝐿 = 120 Ω 
3.2 Associação de resistores em paralelo 
A combinação de resistores em paralelo ocorre quando resistores são 
ligados nos mesmos terminais (Figura 6). 
Figura 6 – Associação de resistores em paralelo 
 
Nesse tipo de associação, a ddp entre os terminais de cada resistor é o 
mesmo. Consequentemente, a intensidade da corrente elétrica que passa por 
cada resistor dependerá da resistência elétrica de cada elemento resistivo. A 
soma das intensidades de corrente elétrica de todos os resistores associados 
 
 
16 
em paralelo equivale a corrente elétrica que atravessa o circuito (Young; 
Freedman, 2015; Tipler, 2000; Halliday; Resnick; Walker, 1996). 
𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 = ⋯ 
𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 + ⋯ 
Por esse motivo, o inverso da resistência equivalente do circuito é dado 
pela soma dos inversos da resistência elétrica de cada resistor associado em 
paralelo (Equação 11). 
𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 + ⋯ 
𝑉
𝑅𝑒𝑞
=
𝑉
𝑅1
+
𝑉
𝑅2
+
𝑉
𝑅3
+ ⋯ 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
+ ⋯ (11) 
No caso de apenas dois resistores associados em paralelo, a Equação 11 
pode ser reescrita pela Equação 12. 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1 ∙ 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 (12) 
Exemplo 6: lâmpadas de resistência elétrica R e potência de 500 W são 
associadas em paralelo. Ao aplicar uma ddp de 127 V nos terminais do circuito, 
a corrente que o atravessa é de 15 A. Quantas lâmpadas são associadas no 
circuito? 
Resolução: conforme a Equação 11, uma associação em paralelo de n 
resistores apresentará uma resistência equivalente dada por: 
eq
eq eq
1 1 1 1 1 1
...
R R R R R R
1 n R
n
R R R
     
  
 
Como a potência de cada lâmpada P=500 W, podemos definir pela 
Equação 9 que: 
 
 
17 
 
2
V² V²
P R
R P
127V
R
500W
R 32,258
  


 
Pela Lei do Ohm (Equação 4), 
eq eq
eq
eq
V
V R i R
i
127V
R
15A
R 8
   


 
Ou seja, 
eq
R
n
R
32,258
n
8
n 4,0





 
São associadas quatro lâmpadas no circuito. 
3.3 Associação de resistores mista 
Nas associações mistas, os resistores são associados em série e em 
paralelo. Nesse tipo de associação, as resistências equivalentes são 
determinadas em cada arranjo em série e em paralelo, até reduzir o circuito a 
uma associação simples em série ou em paralelo, o que permitirá determinar a 
resistência equivalente do circuito (Young; Freedman, 2015). 
Exemplo 7: o esquema da Figura 7a apresenta um pequeno circuito 
elétrico com resistores associados de forma mista. Determine a resistência 
equivalente do circuito. 
 
 
 
18 
Figura 7a – Circuito do Exemplo 7 
 
Resolução: primeiramente, é necessário identificar os diferentes tipos de 
associação de resistores do circuito. 
Figura 7b – Circuito do Exemplo 7 – Resolução 
 
Observe que R1 representa uma associação em paralelo, cujo valor de R1 
é de: 
1
1
1
1
1 1 1
R 5,0 10
1 2 1
R 10
1 3
R 10
R 3,33
 



 




 
Já a associação R2 é uma ligação em série de R1 e o resistor de 2,0 . 
 
 
19 
2 1
2
2
R R 2,0
R 3,33 2,0
R 5,33

 

 
 

 
A associação R3 caracteriza uma associação em série, sendo dada por: 
3
3
R 3,0 4,0
R 7,0
 

 

 
Como a associação de R2 e R3 é uma ligação em paralelo, a resistência 
equivalente do circuito é dada por: 
eq 2 3
eq
eq
1 1 1
R R R
1 1 1
R 5,33 7,0
R 3,0
 

 
 

 
A resistência equivalente desse circuito é de 3,0 . 
TEMA 4 – CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
Os circuitos de corrente contínua são aqueles em que as fontes de FEM 
são constantes, e, consequentemente, geram correntes elétricas de intensidade 
constante nos diferentes arranjos que compõem o circuito. 
Nem todos os circuitos podem ser analisados apenas pela substituição de 
resistores equivalentes das associações em série e em paralelo. Circuitos 
compostos por malhas que compõem uma rede podem ser analisados pelas leis 
criadas pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff. 
4.1 Leis de Kirchhoff 
A primeira regra de Kirchhoff é chamada Lei dos Nós que deriva da 
conservação da carga. A Lei dos Nós enuncia que: a soma da intensidadedas 
correntes elétricas que chegam a um nó é igual a soma da intensidade das 
correntes elétricas que saem do nó, em qualquer nó do circuito. 
 
 
 
20 
Figura 8 – Lei dos Nós 
 
Veja que essa lei pode ser descrita pela Equação 13. 
∑ 𝑖𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑚 = ∑ 𝑖𝑠𝑎𝑒𝑚 (13) 
A segunda regra de Kirchhoff é chamada de Lei das Malhas. Essa lei 
enuncia que: a soma algébrica das variações de potencial geradas pelos 
elementos que compõem uma malha fechada é nula. 
Figura 9 – Lei das Malhas 
 
Veja que essa lei pode ser descrita pela Equação 14. 
∑ 𝑉 = 0 (14) 
 
 
21 
Para circuitos com mais de uma malha, é necessário utilizar as duas leis. 
Quando adotamos o sentido de uma malha, as quedas e os aumentos de 
potencial são definidos pelo sentido da malha e da corrente elétrica nos 
elementos do circuito. Quando a malha atravessa uma fonte, entrando pelo polo 
negativo e saindo pelo polo positivo, caracteriza aumento de potencial. No caso 
contrário, quando a malha atravessa uma fonte entrando pelo polo positivo e 
saindo pelo polo negativo, caracteriza queda de potencial. No caso de resistores, 
quando a corrente elétrica sugerida segue o mesmo sentido da malha, o resistor 
causa uma queda de potencial. E quando a corrente elétrica sugerida segue o 
sentido contrário ao da malha, o resistor causa um aumento de potencial. Veja 
no exemplo. 
Exemplo 8: um aluno de engenharia precisa analisar o circuito elétrico 
dado pela Figura 10a, e identificar a intensidade da corrente elétrica que passa 
em cada ramo do circuito e a ddp entre os pontos a e b do circuito. Determine a 
intensidade das correntes e a ddp que o aluno precisa descobrir. 
Figura 10a – Circuito Elétrico do Exemplo 10 
 
Resolução: para analisar esse circuito, utilizaremos as Leis de Kirchhoff. 
Obedecendo a Lei dos Nós, sugerimos o sentido das correntes elétricas em cada 
ramo do circuito. 
 
 
 
22 
Figura 10b – Circuito Elétrico do Exemplo 10 – Resolução 
 
Veja que, pela Lei dos Nós, tanto pelo nó a quanto pelo nó b chegamos a: 
1 2 3i i i  
Como precisamos de mais informações, utilizaremos a Lei das Malhas. 
Podemos adotar qualquer malha fechada do circuito para a qual a soma dos 
ganhos e quedas de potencial será nula. 
3 1 1
1 3
2 3 2
2 3
MALHA INTERNA ESQUERDA - sentido anti-horário
6 ,0V 3,0 i 1,0 i 3,0V 1,0 i 0
3,0V 2,0 i 3,0 i 0
MALHA INTERNA DIREITA - sentido anti-horário
6 ,0V 2,0 i 3,0 i 6 ,0V 1,0 i 0
3,0 i 3,0 i 0
  
 
  
 
       
    
       
    
 
Veja que para as três equações encontradas, o valor de i1, i2 e i3 devem 
ser iguais, logo, resolvendo o sistema de equações: 
1 2 3
1 3
2 3
1
2
3
i i i
3,0V 2,0 i 3,0 i 0
3,0 i 3,0 i 0
i 0,86 A
i 0,43A
i 0,43A
 
 
 

    
    



 
Ou seja, a intensidade das correntes elétricas em cada ramo são i1=0,86 
A e i2=i3=0,43 A. 
 
 
23 
Para determinas a ddp entre os pontos a e b, devemos supor que um 
deles tenha potencial elétrico Vb=0 (ponto b). 
Nesse caso, o potencial no ponto a será dado por: 
 
b 3 a
a
a
V 6,0V 3,0 i V
0 6,0V 3,0 0,43A V
V 4,71V


   
   

 
Ou seja, a ddp entre os pontos a e b é: 
ab a b
ab
ab
V V V
V 4,71V 0
V 4,71V
 
 

 
TEMA 5 – CIRCUITO RC 
Um circuito RC é composto por um resistor elétrico e um capacitor. Esse 
tipo de circuito permite a passagem de uma corrente elétrica variável no tempo, 
em apenas um sentido. Uma fonte de tensão permite o carregamento do 
capacitor. Depois de carregado, o capacitor descarrega por meio do resistor. 
Podemos compreender melhor esse processo de carga e descarga do 
capacitor no circuito pode ser melhor analisado por meio das Leis de Kirchhoff. 
5.1 Descarregamento do capacitor 
Um circuito simples composto por um resistor de resistência elétrica R e 
um capacitor de capacitância elétrica C carregado é montado conforme a Figura 
11. 
Figura 11 – Circuito RC com capacitor carregado 
 
 
 
24 
Ao fecharmos a chave, fechamos o circuito, permitindo a passagem de 
uma corrente elétrica i neste. A corrente é gerada pela ddp que atua sobre o 
resistor, sendo provocada pelo deslocamento da carga elétrica Q0 armazenada 
no capacitor. Essa corrente varia no tempo, sendo seu valor inicial i0 dado pela 
razão entre a ddp inicial V0 e a resistência elétrica R do resistor. 
𝑖0 =
𝑉0
𝑅
 
Essa ddp inicial é dada pelo acúmulo de cargas nas placas do capacitor, 
sendo V0 dada por: 
𝑄0 = 𝐶 ∙ 𝑉0 ⇔ 𝑉0 =
𝑄0
𝐶
 
Podemos, então, definir que a corrente elétrica inicial i0 é dada pela 
Equação 14. 
𝑖0 =
𝑄0
𝐶⁄
𝑅
 ⇒ 𝑖0 =
𝑄0
𝑅 ∙ 𝐶
 (14) 
A corrente elétrica é uma taxa de variação da carga em função o tempo 
(Equação 15). 
𝑖 = −
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 (15) 
Pelas Leis de Kirchhoff para o circuito, podemos definir a Equação 16 para 
variação da carga elétrica Q do capacitor em função do tempo. 
𝑉𝐶 − 𝑉𝑅 = 0 
𝑄
𝐶
− 𝑖 ∙ 𝑅 = 0 
𝑄
𝐶
− (−
𝑑𝑄
𝑑𝑡
) ∙ 𝑅 = 0 
𝑄
𝐶
+
𝑑𝑄
𝑑𝑡
∙ 𝑅 = 0 
1
𝑄
𝑑𝑄 = −
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡 
∫
1
𝑄
𝑑𝑄
𝑄
𝑄0
= − ∫
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡
𝑡
0
 
𝑙𝑛
𝑄
𝑄0
= −
𝑡
𝑅𝐶
 
𝑄(𝑡) = 𝑄0 ∙ 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ (16) 
 
 
25 
Veja que essa descarga é uma função exponencial, que permite que 
determinemos a variação da corrente elétrica no circuito em função do tempo 
(Equação 17). 
𝑖 = −
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 
𝑖 = −
𝑑
𝑑𝑡
(𝑄0 ∙ 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ ) 
𝑖 = 𝑖0 ∙ 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ (17) 
Podemos observar que, após um intervalo de tempo 𝑡 = 𝑅𝐶, a carga Q 
dada pela Equação 16, assim como a corrente i dada pela Equação 17, tem uma 
redução exponencial de 1 𝑒⁄ . Chamamos esse produto da resistência pela 
capacitância do circuito de constante de tempo  (Equação 18). 
𝜏 = 𝑅𝐶 (18) 
Podemos observar nos gráficos da Figura 12 a variação da carga elétrica 
Q em função do tempo e a variação da corrente elétrica i em função do tempo. 
Em ambos os casos, veja que se a carga elétrica e a corrente elétrica variassem 
de forma linear, atingiram um valor nulo em um intervalo de tempo . 
Figura 12 – Gráficos a carga elétrica e da corrente elétrica em função do tempo 
para o descarregamento do circuito RC 
 
5.2 Carregamento do capacitor 
Em um circuito simples composto por um resistor de resistência elétrica 
R, um capacitor de capacitância elétrica C e uma fonte de tensão , montado 
 
 
26 
conforme a Figura 13, o capacitor (inicialmente descarregado Q0=0) é carregado 
até adquirir uma carga elétrica Q. 
Figura 13 – Circuito RC com capacitor sendo carregado por uma fonte de 
tensão 
 
Nesse circuito, a corrente elétrica i varia em função do tempo conforme a 
Equação 19. 
𝑖 = +
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 (19) 
Nesse caso, pelas Leis de Kirchhoff, poderemos definir que a carga 
elétrica do capacitor varia em função do tempo segundo a Equação 20. 
𝜀 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐶 = 0 
𝜀 − 𝑅 ∙ 𝑖 −
𝑄
𝐶
= 0 
𝜀 − 𝑅 ∙
𝑑𝑄
𝑑𝑡
−
𝑄
𝐶
= 0 
𝑑𝑡
𝑅𝐶
=
𝑑𝑄
𝜀𝐶 − 𝑄
 
∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑡
0
= ∫
𝑑𝑄
𝜀𝐶 − 𝑄
𝑄
0
 
𝑡
𝑅𝐶
= −𝑙𝑛 (
𝜀𝐶 − 𝑄
𝜀𝐶
) × (−1) 
−
𝑡
𝑅𝐶
= 𝑙𝑛 (
𝜀𝐶 − 𝑄
𝜀𝐶
) 
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶⁄ =
𝜀𝐶 − 𝑄
𝜀𝐶
 
𝑄(𝑡) = 𝜀𝐶 (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶⁄ ) ⇔ 𝑄(𝑡) = 𝑄𝑓 (1 − 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ ) (20) 
 
 
27 
Veja que a carga elétrica final do capacitor será dada pelo fator 𝑄𝑓 = 𝜀𝐶. 
Inicialmente, a corrente elétrica no circuito é 𝑖0 =
𝜀
𝑅⁄ , tornando-se nula 
quando o capacitor estiver totalmente carregado. Podemos definir a variação da 
corrente elétrica em função do tempo pela Equação 21. 
𝑖 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 
𝑖 =
𝑑
𝑑𝑡
( 𝜀𝐶 (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶⁄ )) 
𝑖 =
𝜀
𝑅
∙ 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶⁄ ⇔ 𝑖 = 𝑖0 ∙ 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ (21) 
Podemos observar nos gráficos da Figura 14 a variação da carga elétrica 
Q em função do tempo e a variação da corrente elétrica i em função do tempo. 
Em ambos os casos, veja que se a carga elétrica variasse de forma linear,atingiria um valor máximo em um intervalo de tempo . Da mesma forma, se a 
corrente elétrica decrescesse de forma linear, atingiria um valor máximo em um 
intervalo de tempo . 
Figura 14 – Gráficos a carga elétrica e da corrente elétrica em função do tempo 
para o descarregamento do circuito RC 
 
FINALIZANDO 
Estudamos nesta aula o movimento de cargas elétricas e os efeitos das 
correntes elétricas em resistores elétricos. Compreendemos como podemos 
explorar as características resistivas desses dispositivos, e como podemos 
analisar e projetar circuitos com associações de resistores. 
 
 
28 
Aprendemos também como trabalhar com circuitos fechados de corrente 
contínua com redes de malhas, compostos por elementos resistivos e fontes de 
tensão por meio das Leis de Kirchhoff. Além disso, analisamos o comportamento 
de capacitores associados a resistores em seu processo de carga e descarga. 
 
 
 
29 
REFERÊNCIAS 
COSTA, S. I. N. Lei de Ohm. Relatório de estágio (Mestrado em Ensino de Física 
e Química) – Universidade da Beira Interior, Covilhã, Portugal, 2013. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: 
Eletromagnetismo. Tradução de, D. H. S. Sotero e G. B. Costamilan. 4. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 1996. v. 3. 
RIBEIRO, D. André-Marie Ampère. Revista de Ciência Elementar, v. 2, n. 2, 
Porto, Casa das Ciências, 2014. 
ROCHA, J. F. (Org.). Origens e evolução das ideias da física. Salvador: 
Edufra, 2002. 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros: eletricidade, magnetismo 
e ótica. Tradução de, H. Macedo e R. Biasi. 4. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 
2000. 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III, Sears e Zemansky: 
Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.