Física 2 (2)-394-396

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Capítulo 15392
46. A equação horária da elongação de um MHS, no 
SI, é: x = 5 cos 4t + π
6
. Apresente as equações 
horárias da velocidade escalar e da aceleração 
escalar.
47. Para o MHS da questão anterior, dê os valores de:
a) frequência angular; b) período.
48. Uma partícula executa MHS de amplitude 2,0 m 
e período 4,0 s. Determine os valores de:
a) velocidade máxima; b) aceleração máxima.
49. Uma partícula executa MHS de frequência angu-
lar 2,0 rad/s, de modo que, num determinado 
instante, a elongação é 6,0 m e a velocidade é 
–16 m/s. Determine a amplitude do movimento.
50. Uma partícula executa MHS de amplitude 10 cm 
e período 2,4 s. Supondo que no instante t = 0 
sua elongação seja 10 cm, determine os instantes 
em que a partícula passa, pela primeira vez, nos 
pontos de elongação:
a) 5 3 cm b) 5 2 cm c) 5 cm
51. Uma partícula executa MHS de amplitude 
A = 3,0 cm e frequência f = 0,50 Hz. Determine:
a) a pulsação do movimento;
b) a velocidade escalar da partícula quando 
passa em movimento retrógrado pelo ponto 
de alongação x = 2,0 cm.
Resolu•‹o:
a) ω = 2πf = 2π(0,50) ⇒ ω = π rad/s
b) Sendo θ a fase do movimento, temos:
x = A cos θ
v = –ωA sen θ
 ⇒ 
2,0 = 3,0 cos θ
v = –π(3,0) sen θ
 ⇒
⇒ 
cos θ = 
2,0
3,0
sen θ = – 
v
(3,0)π
 ⇒ 
cos2 θ = 
4,0
9,0
 1
sen2 θ = 
v2
(9,0)π2
 2
Da Trigonometria sabemos que:
sen2 θ + cos2 θ = 1 3
Assim, introduzindo 1 e 2 em 3 :
4,0
9,0
 + 
v2
(9,0)π2
 = 1 ⇒ v2 = 5π2 ⇒ |v| = 5π cm/s
Como o movimento é retrógrado temos:
v = – 5π cm/s
52. Consideremos um movimento harmônico simples 
de amplitude A e pulsação ω. Sendo x e v, res-
pectivamente, a elongação e a velocidade escalar 
do movimento, podemos afirmar que:
a) 
x2
ω
2A2
 + 
v2
A2
 = 1 d) 
v2
ω
2A2
 – 
x2
A2
 = 1
b) 
x2
A2
 – 
v2
ω
2A2
 = 1 e) 
A2x2
1 + 
v2
ω
2A2 = 1
c) 
x2
A2 + 
v2
ω
2A2
 = 1
53. Uma partícula executa MHS. Quando passa pelo 
ponto de elongação 3,2 cm, o módulo de sua 
velocidade é igual a 60% de sua velocidade máxi-
ma. Qual a amplitude do movimento?
Exercícios de reforço
54. (UF-PE) Um corpo de massa m está preso à extremi-
dade de uma mola de constante elástica k = 32 N/m 
e oscila de acordo com a equação a seguir, onde 
todas as variáveis estão com unidades do SI:
x = 2 cos 3t + π
2
m
k
xO
Pode-se concluir que a energia mecânica do corpo:
a) é nula nas extremidades e máxima na posição 
de equilíbrio.
b) é de 32 J nas extremidades e nula na posição 
de equilíbrio.
c) é constante e igual a 64 J.
d) é de 32 J nas extremidades e 64 J na posição 
de equilíbrio.
e) é nula nas extremidades e na posição de equi-
líbrio.
55. (OPF-SP) Em um barbeador elétrico, a lâmina move- 
se para frente e para trás de uma distância máxi-
ma de 2,0 mm, com uma frequência de 60 Hz. 
Interpretando-se o movimento como sendo um mo - 
vimento harmônico simples, é correto afirmar que:
a) a amplitude do movimento é 2,0 mm.
b) a aceleração máxima durante o movimento é 
aproximadamente 1,4 m/s².
c) a velocidade máxima durante o movimento é 
aproximadamente 0,38 m/s.
d) nenhuma das alternativas acima está correta.
Z
A
P
T
Movimento harmônico simples 393
56. (UF-PB) Um oscilador harmônico desloca-se entre 
os pontos A e B, conforme a figura.
A C
d
B
d
O oscilador passa pelo ponto C com velocidade 
3,0 m/s, e sua aceleração no ponto B tem módulo 
3,6 · 104 m/s2. Adotando π = 3, calcule, em kHz, 
a frequência do movimento.
57. (UF-PA) A equação horária da posição de uma 
partícula em MHS é: x = 10 cos 100πt + 
π
3 com 
x em centímetros e t em segundos. A amplitude e 
a frequência do movimento são, respectivamente:
a) 10 cm e 50 Hz d) 50 cm e 100 Hz
b) 10 cm e 100 Hz e) 10 cm e π
3
 Hz
c) 50 cm e 50 Hz
58. (UF-PI) Uma partícula executa um movimento 
harmônico simples na direção x, em torno do 
ponto x = 0, com frequência angular ω = 1 rad/s. 
Em um dado instante t, observa-se que a posição 
da partícula é x = 3 metros, e sua velocidade é 
v
x
 = –4 m/s. A amplitude do movimento dessa 
partícula, em metros, vale:
a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 5,0 e) 5,5
59. (Mackenzie-SP) Um corpo 
apoiado sobre uma superfí-
cie horizontal lisa e preso a 
uma mola ideal, comprimida 
de 20 cm, é abandonado 
como mostra a figura.
Esse corpo realiza um MHS de frequência 5,0 Hz, 
sendo O o seu ponto de equilíbrio. A velocidade 
(v) adquirida pelo corpo, no SI, varia com o 
tempo (t) obedecendo a função:
a) v = –2π sen (10πt + π)
b) v = 2π cos (10πt + π)
c) v = –π sen 10πt + π
2
d) v = π cos 10πt + π
2
e) v = –2π sen 10πt + 2π
2
60. (OBF-Brasil) Um corpo executa um movimento 
harmônico simples de amplitude igual a 40 cm 
sobre um segmento de reta AB (figura a seguir).
O
20 cm
A X B
Sendo O o ponto de equilíbrio, e considerando 
que entre a primeira passagem pelo ponto X, 
dirigindo-se para a direita, e a segunda passagem 
pelo mesmo ponto X decorrem 4 segundos, qual é 
o período desse movimento?
a) 1 s b) 2 s c) 4 s d) 6 s e) 8 s
61. (Mackenzie-SP) Uma partícula em MHS obedece à 
equação x = 0,05 · cos 
π
2 + 
π
4 t com dados no 
SI a partir do instante t = 0. A velocidade escalar 
dessa partícula no instante t = 6 s é:
a) zero d) 
π
4
 m/s
b) 0,05 m/s e) 
π
2
 m/s
c) 0,05 π
4
 m/s
62. (UF-BA) A figura a seguir representa a posição 
ocupada no instante t, por uma partícula P que 
descreve movimento circular uniforme de veloci-
dade angular 4π rad/s, no sentido anti-horário, 
sobre uma circunferên-
cia de raio R = π cm. A 
figura representa tam-
bém a posição da proje-
ção P' da partícula sobre 
um eixo Ox, paralelo ao 
diâmetro OO' da circun-
ferência, com Ox, OO' e a 
circunferência contidos 
no mesmo plano.
A seguir são feitas afirmações sobre o movimen-
to da projeção P'. Dê como resposta a soma dos 
números que antecedem as sentenças verdadeiras.
(01) O movimento é harmônico simples de ampli-
tude 2π cm.
(02) O período do movimento é 0,5 s.
(04) Se a fase inicial for nula, a equação horária 
da velocidade escalar é v = –4π2 sen (4πt), 
com v em cm/s.
(08) No ponto de abscissa x = –π cm, a acelera-
ção escalar é máxima e igual a 16π3 cm/s².
(16) Ao se deslocar de x = π cm até x = 0, a 
energia cinética diminui.
63. (ITA-SP) Uma partícula em movimento harmôni-
co simples oscila com frequência 10 Hz entre os 
pontos L e –L de uma reta. No instante t
1
 a par-
tícula está no ponto 3 L
2
 caminhando em direção 
a valores inferiores e atinge o ponto – 
2 L
2
 no 
instante t
2
. O tempo gasto nesse deslocamento é:
a) 0,021 s d) 0,21 s
b) 0,029 s e) 0,29 s
c) 0,15 s
O
20 cm
Il
u
ST
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
O O'
P'
tP
xRx0–R
+
Capítulo 15394
9. Gráficos do MHS 
Vimos que as equações horárias da elongação, da velocidade escalar e da ace-
leração escalar de um MHS envolvem as funções seno e cosseno. Mas, nas aulas 
de Matemática, aprendemos que os gráficos das funções y = sen t e y = cos t 
têm a mesma forma, que é a apresentada na figura 34, e, por isso, a curva que 
vemos nessa figura pode ser chamada de senoide ou cossenoide. Assinalamos 
também, na figura, vários modos de obter o período T da função.
Ty
1
0
t
–1
T
2
T
4
T
T
T
x
A
O
t
–A
v
ωA
O
t
–ωA
a
ω
2A
O
t
–ω
2A
A–A
–ωA
ωA
x
v
0
A–A
–ωA
ωA
x
v
0
Figura 34. Gráfico da função y = sen t ou y = cos t.
Figura 35.
(a) A > ωA.
(b) A < ωA.
Figura 36. Gráfico de v em 
função de x.
Tanto a função y = sen t como a função y = cos t têm valor máximo +1 
e mínimo –1. Mas, como as equações horárias da elongação, da velocidade 
escalar e da aceleração escalar do MHS são dadas por:
x = A
máx
↓
 cos (θ
0
 + ωt) v = –ω · A
↓
máx
 · sen (θ
0
 + ωt) a = –ω2 · A
↓
máx
 · cos (θ
0
 + ωt)
os valores máximos de x, v e a serão, respectivamente, A, ωA e ω2A. Portanto, 
os gráficos de x, de v e de a, em função do tempo, terão os aspectos da 
figura 35. Observe que nos gráficos deixamos pontilhada parte do eixo dos 
tempos para indicar que as posiçõesexatas dos eixos verticais dependem das 
condições iniciais (a elongação inicial, a velocidade inicial e a aceleração inicial).
Gráfico de v em função de x 
No exercício 52 vimos que a equação que relaciona a velocidade escalar (v) 
com a elongação (x) de um MHS é:
x2
A2
 + v
2
ω2A2
 = 1 32
Nas aulas de Matemática, na parte de Geometria Analítica, você aprenderá 
que o gráfico correspondente à equação 32 é uma elipse (fig. 36). Como ve-
mos, para cada elongação x (tal que x ≠ A e x ≠ –A) temos dois valores para 
a velocidade, sendo um positivo e outro negativo. Isso já era esperado, pois a 
partícula em MHS passa duas vezes por cada ponto (que não seja um extremo): 
uma vez no sentido progressivo e outra no sentido retrógrado.
Se, na equação 32, fizermos x = 0, obteremos:
v2
ω2A2
 = 1 ou v = ± ωA
isto é, a elipse corta o eixo da velocidade nos pontos de ordenadas ωA e –ωA.
Se fizermos v = 0, a equação 32 nos fornecerá:
x2
A2
 = 1 ou x = ±A
isto é, a elipse corta o eixo da elongação nos pontos de abscissas A e –A.
Il
u
ST
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT