Tópicos de Física 1 - Parte 2-013-015

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347TÓPICO 4 | GRAVITAÇÃO
É importante reforçar que a velocidade areolar para 
um dado planeta do sistema solar é constante. Isso não 
significa, porém, que o movimento do planeta ao longo 
de sua órbita seja uniforme.
Admitamos que, na figura ao lado, as áreas A1 e A2 
sejam varridas em intervalos de tempo iguais. Com 
base na Lei das áreas, concluímos que A1 5 A2 e que, 
devido à excentricidade da órbita, o espaço percorrido 
pelo planeta na região do periélio (deslocamento esca-
lar) é maior que o espaço percorrido pelo planeta na 
região do afélio (Ds1 . Ds2).
Ora, se na região do periélio, num intervalo de tempo 
de mesma duração, o planeta percorre um espaço 
maior que o percorrido na região do afélio, podemos 
dizer que sua velocidade escalar média de translação 
é maior na região do periélio que na do afélio.
No periélio, o planeta tem velocidade de translação 
com intensidade máxima, enquanto no afélio ele tem 
velocidade de translação com intensidade mínima.
Isso nos mostra que o movimento de um planeta 
que descreve órbita elíptica em torno do Sol não é 
uniforme. Do afélio para o periélio, o movimento é 
acelerado, e, do periélio para o afélio, o movimento 
é retardado.
A explicação para esse mecanismo está na força 
de atração gravitacional que o Sol exerce no planeta. 
Essa força, que está sempre dirigida para o centro de 
massa do Sol, foi descrita por Newton, como veremos 
detalhadamente no Bloco 2 deste tópico.
Observe na figura ao lado que, do afélio para o periélio, 
a força gravitacional admite uma componente tangencial 
no sentido da velocidade, ocorrendo o contrário do pe-
riélio para o afélio.
Destacamos que:
A
1
t
A
Dt
1
t
B
t
C
t
D
Dt
2
A
2
r
A
r
B
r
C
r
D
Considere a figura ao lado, que ilustra um planeta 
em quatro instantes consecutivos do seu movimento 
orbital em torno do Sol. Nela, estão representados os 
vetores-posição r&A, r&B, r&C e r&D associados aos instantes 
tA, tB, tC e tD respectivamente.
Representamos por A1 e A2 as áreas varridas pelo 
vetor-posição do planeta nos intervalos Dt1 5 tB 2 tA e 
Dt2 5 tD 2 tC:
Conforme propõe a 2a Lei de Kepler, temos:
Se Dt1 5 Dt2, então A1 5 A2.
periélio
F
2
v
2
afélio
m
ov
im
en
to 
 
ac
el
er
ad
o 
m
ovim
ento 
retardado 
F
t2
F
t1
F
1
v
1
A1
Ds
1 A
2
Ds
2
afélioperiélio
Se A
1
 5 A
2
, então Ds
1
 . Ds
2
.
O movimento será uniforme no caso particular de planetas descrevendo 
órbitas circulares.
B
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348 UNIDADE 2 | DINÂMICA
3a Lei – Lei dos períodos
Para qualquer planeta do sistema solar, é constante o quociente do cubo do raio 
médio da órbita, R3, pelo quadrado do período de revolução (ou translação), T2, 
em torno do Sol.
R
T
K
3
2 p
5
Planeta
Raio médio 
da órbita (UA)
Período de 
revolução (dias)
R3
T2
 (UA3 /dias2)
Mercúrio 0,387 88,0 7,48 · 10–6
Vênus 0,723 224,70 7,48 · 10–6
Terra 1,000 365,25 7,49 · 10–6
Marte 1,524 687 7,50 · 10–6
Júpiter 5,200 4 331 7,49 · 10–6
Saturno 9,580 10 747 7,61 · 10–6
Urano 19,195 30 589 7,55 · 10–6
Netuno 30,055 59 800 7,59 · 10–6
Fonte: <https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html>. 
Acesso em: 22 jul. 2018.
 Nesta imagem, uma espaçonave coloca um satélite em órbita da Terra. Quanto 
maior for o raio médio da órbita do satélite, maior será seu período de revolução 
ao redor do planeta.
A constante Kp denomina-se constante de Kepler e seu valor depende apenas 
da massa do Sol e das unidades de medida.
Na tabela abaixo, estão relacionados os oito planetas do sistema solar com 
seus respectivos raios médios de órbita (R) e períodos de revolução (T ). Na coluna 
à direita, aparecem os valores do quociente 
R
T
3
2
 para cada caso.
Note que o período de revolução cresce com o raio médio da órbita descrita pelo 
planeta em torno do Sol. Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol e, por isso, é o 
que tem o menor ano (88 dias terrestres). Netuno é o planeta mais afastado do Sol 
e, por isso, é o que tem maior ano (aproximadamente 164 anos terrestres).
3. Universalidade das Leis de Kepler
As três Leis de Kepler apresentadas até aqui são universais, isto é, valem para 
o sistema solar a que pertencemos e também para qualquer outro sistema do 
Universo em que exista uma grande massa central em torno da qual gravitem 
massas menores. O planeta Júpiter e seus setenta e nove satélites, por exemplo, 
constituem um sistema desse tipo. O mesmo ocorre com Marte e seus satélites 
Deimos e Fobos.
Em torno da Terra, gravitam a Lua e centenas de satélites artificiais, além de 
muita sucata espacial. Nessa situação, podemos aplicar as três leis de Kepler, 
com a Terra fazendo o papel de “Sol” e os citados corpos, o papel de “planetas”.
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349TÓPICO 4 | GRAVITAÇÃO
Nível 1Exercícios
 1. Adotando o Sol como referencial, aponte a alter-
nativa que condiz com a 1a Lei de Kepler da Gravi-
tação (Lei das órbitas):
a) As órbitas planetárias são quaisquer curvas, 
desde que fechadas.
b) As órbitas planetárias são espiraladas.
c) As órbitas planetárias não podem ser cir-
culares.
d) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol 
ocupando o centro da elipse.
e) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol 
ocupando um dos focos da elipse.
 2. Na figura a seguir, está representada a órbita elíp-
tica de um planeta em torno do Sol:
A
2
R
S
Q
P
A
1
a) Se os arcos de órbita PQ e RS são percorridos 
em intervalos de tempo iguais, qual a relação 
entre as áreas A1 e A2?
b) Em que lei física você se baseou para responder 
ao item a?
 3. (PUC-MG) A figura abaixo representa o Sol, três 
astros celestes e suas respectivas órbitas em 
torno do Sol: Urano, Netuno e o objeto recen-
temente descoberto [década de 1990], de nome 
1996 TL66.
1996 TL
66
Urano
Netuno
Sol
Analise as afirmativas a seguir:
 I. Essas órbitas são elípticas, estando o Sol em um 
dos focos dessas elipses.
 II. Os três astros representados executam movi-
mento uniforme em torno do Sol, cada um com 
um valor de velocidade diferente do dos outros.
 III. Dentre os astros representados, quem gasta 
menos tempo para completar uma volta em tor-
no do Sol é Urano.
Indique:
a) se todas as afirmativas são corretas.
b) se todas as afirmativas são incorretas.
c) se apenas as afirmativas I e II são corretas.
d) se apenas as afirmativas II e III são corretas.
e) se apenas as afirmativas I e III são corretas.
 4. (UFRGS-RS) A elipse, na figura abaixo, represen-
ta a órbita de um planeta em torno de uma estre-
la S. Os pontos ao longo da elipse representam 
posições sucessivas do planeta, separadas por 
intervalos de tempo iguais. As regiões alternada-
mente coloridas representam as áreas varridas 
pelo raio vetor da trajetória nesses intervalos de 
tempo. Na figura, em que as dimensões dos astros 
e o tamanho da órbita não estão em escala, o 
segmento de reta tSHu, de comprimento p, repre-
senta a distância do afélio ao foco da elipse.
Considerando-se que a única força atuante no 
sistema estrela-planeta seja a força gravitacional, 
são feitas as seguintes afirmações.
 I. As áreas S1 e S2, varridas pelo raio vetor da tra-
jetória, são iguais.
 II. O período da órbita é proporcional a p3.
 III. As velocidades tangenciais do planeta nos pontos 
A e H, VA e VH, são tais que VA . VH.
Quais estão corretas? 
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
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